On olemassa useita tyyppejä irrationaalisuus murto-osia nimittäjässä. Se liittyy saman tai eri asteen algebrallisen juuren läsnäoloon. Päästäkseen eroon irrationaalisuus, on tarpeen suorittaa tiettyjä matemaattisia operaatioita tilanteesta riippuen.

Ohjeet

1. Ennen kuin pääset eroon irrationaalisuus murto-osia nimittäjässä sinun tulee määrittää sen tyyppi ja jatkaa ratkaisua tästä riippuen. Itse asiassa mikä tahansa irrationaalisuus johtuu juurien yksinkertaisesta läsnäolosta, ja niiden erilaiset yhdistelmät ja asteet oletetaan eri algoritmien avulla.

2. Nimittäjän neliöjuuri, muodon a/?b lausekeAnna lisätekijä, joka on yhtä suuri kuin?b. Jotta murto-osa ei muutu, on tarpeen kertoa sekä osoittaja että nimittäjä: a/?b ? (a ?b)/b. Esimerkki 1: 10/?3 ? (10?3)/3.

3. Läsnäolo viivan alla murto-osia murto-osan potenssin juuri muotoa m/n ja n>mTämä lauseke näyttää tältä: a/?(b^m/n).

4. Päästä eroon samanlaisista irrationaalisuus myös syöttämällä kertoimen, tällä kertaa vaikeampi: b^(n-m)/n, ts. Itse juuren eksponentista on vähennettävä sen merkin alla olevan lausekkeen aste. Tällöin nimittäjään jää vain ensimmäinen potenssi: a/(b^m/n) ? a (b^(n-m)/n)/b Esimerkki 2: 5/(4^3/5)? 5 ?(4^2/5)/4 = 5 ?(16^1/5)/4.

5. Neliöjuurien summa Kerro molemmat komponentit murto-osia samanlaisella erolla. Sitten irrationaalisesta juurien lisäyksestä nimittäjä muunnetaan juurimerkin alla olevien lausekkeiden/lukujen erotukseksi: a/(?b + ?c) ? a (?b – ?c)/(b – c). Esimerkki 3: 9/(?13 + ?23) ? 9 (?13-?23)/(13-23) = 9 (?23-?13)/10.

6. Kuutiojuurien summa/eroValitse lisätekijäksi eron epätäydellinen neliö, jos nimittäjä sisältää summan, ja vastaavasti juurien eron summan epätäydellinen neliö: a/(?b ± ?c) ? a (?b? ? (b c) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b? ? (b c) + ?c?) ?a (?b?? ?(b c) + ? c?)/(b ± c). Esimerkki 4: 7/(?5 + ?4) ? 7 (?25-?20 +?16)/9.

7. Jos tehtävä sisältää sekä neliö- että kuutiojuuren, jaa ratkaisu kahteen vaiheeseen: johda vaiheittain nimittäjästä neliöjuuri ja sitten kuutiojuuri. Tämä tehdään jo tuntemillasi menetelmillä: ensimmäisessä toiminnossa sinun on valittava juurien eron / summan kerroin, toisessa - summan / eron epätäydellinen neliö.

Vinkki 2: Kuinka päästä eroon irrationaalisuudesta nimittäjässä

Murtoluvun oikea merkintä ei sisällä irrationaalisuus V nimittäjä. Tällainen merkintä on helpompi ymmärtää ulkonäöltään, joten milloin irrationaalisuus V nimittäjä Siitä on viisasta päästä eroon. Tässä tapauksessa irrationaalisuudesta voi tulla osoittaja.

Ohjeet

1. Aluksi katsotaan primitiivistä esimerkkiä - 1/sqrt(2). 2:n neliöjuuri on irrationaalinen luku in nimittäjä.Tässä tapauksessa sinun on kerrottava murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sen nimittäjällä. Tämä antaa kohtuullisen määrän nimittäjä. Todellakin, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Kun kerrotaan 2 identtistä neliöjuurta keskenään, saadaan se, mikä on kaikkien juurien alla: tässä tapauksessa tulos: 1/sqrt (2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = neliö(2)/2. Tämä algoritmi sopii myös murtoluvuille, in nimittäjä jonka juuri kerrotaan kohtuullisella luvulla. Osoittaja ja nimittäjä on tässä tapauksessa kerrottava juurella nimittäjä.Esimerkki: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = neliö(3)/(2*3) = neliö( 3)/6.

2. Tietysti jotain tällaista pitäisi tehdä, jos nimittäjä Se ei ole neliöjuuri, joka löytyy, vaan esimerkiksi kuutiojuuri tai mikä tahansa muu aste. Juuri sisään nimittäjä on tarpeen kertoa täsmälleen samalla juurella, ja myös osoittaja kerrotaan samalla juurella. Sitten juuri menee osoittajaan.

3. Vaikeammassa tapauksessa sisään nimittäjä irrationaalisen ja järkevän luvun tai 2 irrationaalisen luvun summa tai erotus on 2 neliöjuuren tai neliöjuuren ja järkevän luvun summa (erotus), voit käyttää kuuluisaa kaavaa (x+y). )(x-y) = (x^2)-(y^2). Se auttaa sinua pääsemään eroon irrationaalisuus V nimittäjä. Jos sisään nimittäjä ero, sinun on kerrottava osoittaja ja nimittäjä samojen lukujen summalla, jos summa - niin erolla. Tätä kerrottua summaa tai erotusta kutsutaan konjugaatiksi lausekkeeseen in nimittäjä Tämän kaavion tulos näkyy selvästi esimerkissä: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (neliö(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = neliö(2)-1.

4. Jos sisään nimittäjä on summa (ero), jossa on suuremman asteen juuri, silloin tilanne muuttuu ei-triviaaliksi ja vapautuminen irrationaalisuus V nimittäjä ei poikkeuksetta hyväksyttävää

Vinkki 3: Kuinka vapautua irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä

Murtoluku koostuu osoittajasta, joka sijaitsee rivin yläosassa, ja nimittäjästä, jonka se jakaa, joka sijaitsee alaosassa. Irrationaaliluku on luku, jota ei voida esittää muodossa murto-osia jossa kokonaisluku osoittajassa ja luonnollinen luku sisään nimittäjä. Tällaiset luvut ovat esimerkiksi 2:n tai pi:n neliöjuuri. Perinteisesti, kun puhutaan irrationaalisuudesta nimittäjä, juuri on oletettu.

Ohjeet

1. Poista irrationaalisuus kertomalla nimittäjällä. Näin irrationaalisuus siirtyy osoittajaan. Kun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla, arvo murto-osia ei muutu. Käytä tätä vaihtoehtoa, jos jokainen nimittäjä on juuri.

2. Kerro osoittaja ja nimittäjä nimittäjällä tarvittava määrä kertoja juuresta riippuen. Jos juuri on neliö, niin kerran.

3. Harkitse neliöjuuren esimerkkiä. Ota murto-osa (56-y)/√(x+2). Sillä on osoittaja (56-y) ja irrationaalinen nimittäjä √(x+2), joka on neliöjuuri.

4. Kerro osoittaja ja nimittäjä murto-osia nimittäjään, eli √(x+2). Alkuperäinen esimerkki (56-y)/√(x+2) muuttuu ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). Tulos on ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Nyt juuri on osoittajassa ja sisään nimittäjä ei ole irrationaalisuutta.

5. Ei poikkeuksetta nimittäjä murto-osia jokainen on juuren alla. Päästä eroon irrationaalisuudesta käyttämällä kaavaa (x+y)*(x-y)=x²-y².

6. Tarkastellaan esimerkkiä murto-osalla (56-y)/(√(x+2)-√y). Sen irrationaalinen nimittäjä sisältää 2 neliöjuuren erotuksen. Täydennä nimittäjä muodostamaan (x+y)*(x-y).

7. Kerro nimittäjä juurien summalla. Kerro osoittaja samalla saadaksesi arvon murto-osia ei ole muuttunut. Murtoluku on muodossa ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).

8. Hyödynnä yllä olevaa ominaisuutta (x+y)*(x-y)=x²-y² ja vapauta nimittäjä irrationaalisuudesta. Tulos on ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Nyt juuri on osoittajassa, ja nimittäjä on päässyt eroon irrationaalisuudesta.

9. Vaikeissa tapauksissa toista molemmat vaihtoehdot tarvittaessa. Huomaa, että irrationaalisuudesta ei aina ole mahdollista päästä eroon nimittäjä .

Algebrallinen murtoluku on muotoa A/B oleva lauseke, jossa kirjaimet A ja B tarkoittavat mitä tahansa numero- tai kirjainlauseketta. Usein algebrallisten murtolukujen osoittajalla ja nimittäjällä on massiivinen muoto, mutta operaatiot tällaisten murtolukujen kanssa tulisi tehdä samojen sääntöjen mukaan kuin toiminnot tavallisilla murtoluvuilla, joissa osoittaja ja nimittäjä ovat positiivisia kokonaislukuja.

Ohjeet

1. Jos annetaan sekoitettuna murto-osia, muuntaa ne epäsäännöllisiksi murto-osiksi (murto, jossa osoittaja on suurempi kuin nimittäjä): kerro nimittäjä koko osalla ja lisää osoittaja. Joten luku 2 1/3 muuttuu 7/3:ksi. Voit tehdä tämän kertomalla 3 kahdella ja lisäämällä yhden.

2. Jos sinun on muutettava desimaali virheelliseksi murtoluvuksi, ajattele sitä niin, että jaat luvun ilman desimaalipilkkua ykkösellä, jossa on niin monta nollaa kuin desimaalipilkun jälkeen on lukuja. Oletetaan, että luku 2,5 on 25/10 (jos lyhennät sitä, saat 5/2) ja 3,61 361/100. Väärien murtolukujen käyttäminen on usein helpompaa kuin seka- tai desimaalimurtoluku.

3. Jos murtoluvuilla on samat nimittäjät ja sinun on lisättävä ne, lisää vain osoittajat; nimittäjät pysyvät ennallaan.

4. Jos haluat vähentää murto-osia, joilla on sama nimittäjä, vähennä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta. Nimittäjät eivät myöskään muutu.

5. Jos sinun on lisättävä murto-osia tai vähennettävä yksi murto toisesta, ja niillä on eri nimittäjät, pienennä murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi. Tätä varten etsi luku, joka on molempien nimittäjien pienin universaali kerrannainen (LCM) tai useiden, jos murtoluvut ovat suurempia kuin 2. LCM on luku, joka jaetaan kaikkien annettujen murtolukujen nimittäjiin. Esimerkiksi 2:lle ja 5:lle tämä luku on 10.

6. Piirrä yhtäläisyysmerkin jälkeen vaakaviiva ja kirjoita tämä numero (NOC) nimittäjään. Lisää koko termiin lisätekijöitä – luku, jolla sinun on kerrottava sekä osoittaja että nimittäjä saadaksesi LCM:n. Kerro osoittajat askel askeleelta lisätekijöillä säilyttäen yhteen- tai vähennysmerkki.

7. Laske kokonaissumma, vähennä sitä tarvittaessa tai valitse koko osa. Pitääkö se esimerkiksi taittaa? Ja?. LCM molemmille jakeille on 12. Sitten lisäkerroin ensimmäiselle jakeelle on 4, 2. jakeelle - 3. Yhteensä: ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. Jos kerrotaan esimerkki, kerro osoittajat yhteen (tämä on kokonaissumman osoittaja) ja nimittäjät (tämä on kokonaissumman nimittäjä). Tässä tapauksessa niitä ei tarvitse pelkistää yhteiseksi nimittäjäksi.

9. Jos haluat jakaa murto-osan murtoluvulla, sinun on käännettävä toinen murto ylösalaisin ja kerrottava murtoluvut. Eli a/b: c/d = a/b · d/c.

10. Kerroin osoittaja ja nimittäjä tarpeen mukaan. Siirrä esimerkiksi yleistekijä pois suluista tai laajenna sitä lyhennettyjen kertolaskujen mukaan, jotta voit tämän jälkeen tarvittaessa pienentää osoittajaa ja nimittäjää GCD:llä - yleisellä vähimmäisjakajalla.

Huomautus!
Lisää numeroita numeroihin, samanlaisia ​​kirjaimia samantyyppisiin kirjaimiin. Oletetaan, että 3a ja 4b on mahdotonta lisätä, mikä tarkoittaa, että niiden summa tai erotus jää osoittajaan - 3a±4b.

Arkielämässä väärennetyt numerot ovat yleisempiä: 1, 2, 3, 4 jne. (5 kg perunoita) ja murtolukuja, ei-kokonaislukuja (5,4 kg sipulia). Monet niistä on esitelty muodossa desimaalilukuja. Mutta edusta desimaalilukua muodossa murto-osia aika helppo.

Ohjeet

1. Oletetaan, että luku "0.12" on annettu. Jos et pienennä tätä desimaalilukua ja esitä sitä sellaisenaan, se näyttää tältä: 12/100 ("kaksitoista sadasosaa"). Päästäksesi eroon sadasta nimittäjässä, sinun on jaettava sekä osoittaja että nimittäjä numerolla, joka jakaa ne kokonaisluvuiksi. Tämä luku on 4. Sitten jakamalla osoittaja ja nimittäjä, saadaan luku: 3/25.

2. Jos katsomme enemmän arkea, voimme usein nähdä tuotteiden hintalapuissa, että sen paino on esimerkiksi 0,478 kg tai niin edelleen Tämä luku on myös helppo kuvitella muodossa murto-osia:478/1000 = 239/500. Tämä murto-osa on melko ruma, ja jos olisi todennäköisyys, niin tätä desimaalimurtolukua sallittaisiin edelleen pienentää. Ja kaikki samalla tavalla: valitse numero, joka jakaa osoittajan ja nimittäjän. Tätä lukua kutsutaan suurimmaksi universaaliksi tekijäksi. Kerroin on nimeltään "suurin", koska on paljon kätevämpää jakaa sekä osoittaja että nimittäjä välittömästi neljällä (kuten ensimmäisessä esimerkissä) kuin jakaa se kahdesti kahdella.

Video aiheesta

Desimaali murto-osa– monipuolisuus murto-osia, jonka nimittäjässä on "pyöreä" numero: 10, 100, 1000 jne., sano, murto-osa 5/10:n desimaaliluku on 0,5. Tämän opinnäytetyön perusteella murto-osa voidaan esittää desimaalilukuna murto-osia .

Ohjeet

1. Mahdollista, on esitettävä desimaalina murto-osa 18/25 Ensin sinun on varmistettava, että nimittäjässä on jokin "pyöreistä" numeroista: 100, 1000 jne. Tätä varten sinun on kerrottava nimittäjä 4:llä. Mutta sinun on kerrottava sekä osoittaja että nimittäjä neljällä.

2. Osoittajan ja nimittäjän kertominen murto-osia 18/25 kertaa 4, tulee 72/100. Tämä tallennetaan murto-osa desimaalimuodossa: 0,72.

Kun jaetaan 2 desimaalin murtolukua, kun laskinta ei ole käsillä, monet kohtaavat vaikeuksia. Tässä ei todellakaan ole mitään vaikeaa. Desimaali murto-osia kutsutaan sellaisiksi, jos niiden nimittäjässä on luku, joka on 10:n kerrannainen. Kuten tavallista, tällaiset luvut kirjoitetaan yhdelle riville ja niissä on pilkku, joka erottaa murto-osan kokonaisuudesta. Ilmeisesti murto-osan läsnäolon vuoksi, joka eroaa myös desimaalipilkun jälkeisten numeroiden lukumäärästä, monille ei ole selvää, kuinka suorittaa matemaattisia operaatioita tällaisilla luvuilla ilman laskinta.

Tarvitset

• paperiarkki, lyijykynä

Ohjeet

1. Osoittautuu, että jotta voit jakaa yhden desimaaliluvun toisella, sinun on tarkasteltava molempia lukuja ja määritettävä, kummalla niistä on enemmän numeroita desimaalipilkun jälkeen. Kerromme molemmat luvut luvulla, joka on 10:n kerrannainen, ts. 10, 1000 tai 100 000, joissa nollien määrä on yhtä suuri kuin suurempi määrä numeroita toisen kahdesta alkuluvustamme desimaalipilkun jälkeen. Nyt molemmat ovat desimaalilukuja murto-osia muunnetaan tavallisiksi kokonaisluvuiksi. Ota paperiarkki lyijykynällä ja erota tuloksena olevat kaksi numeroa "kulmalla". Saamme tuloksen.

2. Oletetaan, että meidän täytyy jakaa luku 7,456 luvulla 0,43. Ensimmäisessä numerossa on enemmän desimaaleja (3 desimaaleja), joten kerromme molemmat luvut ei 1000:lla ja saamme kaksi primitiivistä kokonaislukua: 7456 ja 430. Nyt jaetaan 7456 430:llä "kulmalla" ja saadaan, että jos 7,456 jaetaan klo 0.43 mennessä se tulee ulos noin 17.3.

3. On olemassa toinen jakomenetelmä. Desimaalien kirjoittaminen murto-osia primitiivisten murtolukujen muodossa, joissa on osoittaja ja nimittäjä, meidän tapauksessamme nämä ovat 7456/1000 ja 43/100. Myöhemmin kirjoitetaan lauseke 2 primitiivisen murtoluvun jakamiselle: 7456*100/1000*43, jonka jälkeen vähennetään kymmeniä, saadaan: 7456/10*43 = 7456/430 Lopputuloksessa saadaan jälleen jako 2 primitiivistä numeroa 7456 ja 430, jotka voidaan tuottaa "kulmalla".

Video aiheesta

Hyödyllinen neuvo
Näin ollen tapa jakaa desimaalimurtoluvut on pelkistää ne kokonaisluvuiksi, jolloin jokainen niistä kerrotaan samalla luvulla. Toimintojen suorittaminen kokonaisluvuilla, kuten tavallista, ei aiheuta vaikeuksia kenellekään.

Video aiheesta

Tässä aiheessa tarkastelemme kaikkia kolmea edellä lueteltua irrationaalisuuden rajaryhmää. Aloitetaan rajoista, jotka sisältävät epävarmuuden muodossa $\frac(0)(0)$.

Epävarmuusilmoitus $\frac(0)(0)$.

Tämän tyyppisten standardiesimerkkien ratkaisu koostuu yleensä kahdesta vaiheesta:

• Pääsemme eroon epävarmuutta aiheuttaneesta irrationaalisuudesta kertomalla ns. "konjugaattilausekkeella";
• Ota tarvittaessa lauseke huomioon osoittajassa tai nimittäjässä (tai molemmissa);
• Vähennämme epävarmuuteen johtavia tekijöitä ja laskemme rajan halutun arvon.

Edellä käytetty termi "konjugaattiekspressio" selitetään yksityiskohtaisesti esimerkeissä. Toistaiseksi ei ole syytä käsitellä sitä yksityiskohtaisesti. Yleensä voit mennä toiseen suuntaan ilman konjugaattilauseketta. Joskus hyvin valittu korvaaja voi poistaa järjettömyyden. Tällaiset esimerkit ovat harvinaisia ​​standarditesteissä, joten käsittelemme vain yhtä esimerkkiä nro 6 korvaavan aineen käytöstä (katso tämän aiheen toinen osa).

Tarvitsemme useita kaavoja, jotka kirjoitan alla:

\begin(yhtälö) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(yhtälö) \begin(yhtälö) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \loppu(yhtälö) \alku(yhtälö) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(yhtälö) \alku (yhtälö) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(yhtälö)

Lisäksi oletetaan, että lukija tietää kaavat toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Jos $x_1$ ja $x_2$ ovat neliöllisen trinomin $ax^2+bx+c$ juuret, se voidaan kertoa seuraavalla kaavalla:

\begin(yhtälö) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(yhtälö)

Kaavat (1)-(5) ovat varsin riittäviä standardiongelmien ratkaisemiseen, joihin nyt siirrytään.

Esimerkki nro 1

Etsi $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Koska $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ ja $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, niin annetussa rajassa on epävarmuus muotoa $\frac(0)(0)$. Ero $\sqrt(7-x)-2$ estää meitä paljastamasta tätä epävarmuutta. Tällaisista irrationaalisuudesta pääsemiseksi eroon käytetään kertomista niin kutsutulla "konjugaattilausekkeella". Tarkastellaan nyt, kuinka tällainen kertolasku toimii. Kerro $\sqrt(7-x)-2$ luvulla $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Avaa hakasulkeet käyttämällä , korvaamalla $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ mainitun kaavan oikealla puolella:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Kuten näet, jos kerrot osoittajan $\sqrt(7-x)+2$, niin juuri (eli irrationaalisuus) katoaa osoittajasta. Tämä lauseke $\sqrt(7-x)+2$ on konjugaatti lausekkeeseen $\sqrt(7-x)-2$. Emme kuitenkaan voi yksinkertaisesti kertoa osoittajaa $\sqrt(7-x)+2$:lla, koska tämä muuttaa murto-osan $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ rajan alle. . Sinun on kerrottava sekä osoittaja että nimittäjä samanaikaisesti:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Muista nyt, että $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ ja avaa sulut. Ja sulkujen avaamisen ja pienen muunnoksen $3-x=-(x-3)$ jälkeen pienennämme murtolukua $x-3$:lla:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\-3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Epävarmuus $\frac(0)(0)$ on kadonnut. Nyt saat helposti vastauksen tästä esimerkistä:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Huomaan, että konjugaattilauseke voi muuttaa rakennettaan riippuen siitä, minkälainen irrationaalisuus sen pitäisi poistaa. Esimerkeissä nro 4 ja nro 5 (katso tämän aiheen toinen osa) käytetään erityyppistä konjugaattiilmaisua.

Vastaus: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Esimerkki nro 2

Etsi $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Koska $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ ja $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, niin me käsittelevät epävarmuutta muodossa $\frac(0)(0)$. Päästään eroon irrationaalisuudesta tämän murtoluvun nimittäjässä. Tätä varten lisäämme murto-osaan $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ sekä osoittajan että nimittäjän. lauseke $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ konjugoitu nimittäjään:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\oikea|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Jälleen, kuten esimerkissä nro 1, sinun on käytettävä sulkeita laajentaaksesi. Korvaamalla $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ mainitun kaavan oikealle puolelle, saadaan seuraava lauseke nimittäjälle:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ oikea)=\\ =\vasen(\sqrt(x^2+5)\oikea)^2-\vasen(\sqrt(7x^2-19)\oikea)^2=x^2+5-(7x) ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Palataan rajaamme:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Esimerkissä nro 1 fraktio väheni lähes välittömästi konjugaattiekspressiolla kertomisen jälkeen. Tässä, ennen vähennystä, sinun on kerrottava lausekkeet $3x^2-5x-2$ ja $x^2-4$ ja vasta sitten siirryttävä vähentämiseen. Jotta voit ottaa lausekkeen $3x^2-5x-2$ huomioon, sinun on käytettävä . Ensin ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(tasattu) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(tasattu) $$

Korvaamalla $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ arvolla , saamme:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\oikea)(x-2)=\vasen(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\oikea)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Nyt on aika kertoa lauseke $x^2-4$. Käytämme , korvaamalla siihen $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Käytetään saatuja tuloksia. Koska $x^2-4=(x-2)(x+2)$ ja $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, niin:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Pienentämällä hakasulkeella $x-2$ saamme:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Kaikki! Epävarmuus on kadonnut. Vielä yksi askel ja tulemme vastaukseen:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Vastaus: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

Tarkastellaan seuraavassa esimerkissä tapausta, jossa irrationaalisuutta esiintyy sekä murtoluvun osoittajassa että nimittäjässä.

Esimerkki nro 3

Etsi $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Koska $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ ja $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, niin meillä on muodon $ epävarmuus \frac (0)(0)$. Koska tässä tapauksessa juuret ovat läsnä sekä nimittäjässä että osoittajassa, epävarmuuden poistamiseksi sinun on kerrottava kahdella hakasulkeella kerralla. Ensin lausekkeen $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ konjugoidaan osoittajaan. Ja toiseksi, lausekkeen $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ konjugaatti nimittäjään.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\oikea|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(tasattu) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(tasattu) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Lausekkeelle $x^2-8x+15$ saamme:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(tasattu) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2) = 5. \end(tasattu)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Korvaa tuloksena olevat laajennukset $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ ja $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ rajaan harkinnassa on:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5) \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Vastaus: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6 dollaria.

Seuraavassa (toisessa) osassa tarkastellaan vielä paria esimerkkiä, joissa konjugaattilausekkeella on eri muoto kuin edellisissä tehtävissä. Tärkeintä on muistaa, että konjugaattilausekkeen käytön tarkoitus on päästä eroon epävarmuutta aiheuttavasta irrationaalisuudesta.

Irrationaalisen lausekkeen muunnoksia tutkittaessa on erittäin tärkeä kysymys, kuinka päästä eroon irrationaalisuudesta murtoluvun nimittäjässä. Tämän artikkelin tarkoituksena on selittää tätä toimintoa käyttämällä erityisiä esimerkkiongelmia. Ensimmäisessä kappaleessa tarkastellaan tämän muunnoksen perussääntöjä, ja toisessa - tyypillisiä esimerkkejä yksityiskohtaisilla selityksillä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Irrationaalisuudesta vapautumisen käsite nimittäjässä

Aloitetaan selittämällä, mikä tällaisen muunnoksen merkitys on. Muista seuraavat säännökset tehdäksesi tämän.

Irrationaalisuudesta voidaan puhua murto-osan nimittäjässä, jos siellä on radikaali, joka tunnetaan myös juuren merkkinä. Tällä merkillä kirjoitetut numerot ovat usein irrationaalisia. Esimerkkejä ovat 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5. Irrationaalisilla nimittäjillä varustetut murtoluvut sisältävät myös ne, joissa on eriasteisia juurimerkkejä (neliö, kuutio jne.), esimerkiksi 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y. Sinun tulisi päästä eroon irrationaalisuudesta ilmaisun yksinkertaistamiseksi ja lisälaskelmien helpottamiseksi. Muotoillaan perusmääritelmä:

Määritelmä 1

Vapauta itsesi irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä- tarkoittaa sen muuntamista korvaamalla se identtisellä yhtä suurella murtoluvulla, jonka nimittäjä ei sisällä juuria tai potenssia.

Tällaista toimintaa voidaan kutsua vapautukseksi tai irrationaalisuudesta eroon pääsemiseksi, mutta merkitys pysyy samana. Joten siirtyminen 1 2:sta 2 2:een, ts. murto-osaan, jolla on sama arvo ilman juurimerkkiä nimittäjässä, ja se on tarvitsemamme toiminto. Otetaan toinen esimerkki: meillä on murtoluku x x - y. Suoritetaan tarvittavat muunnokset ja saadaan identtisesti yhtä suuri murto-osa x · x + y x - y , vapautetaan irrationaalisuudesta nimittäjässä.

Määritelmän muotoilun jälkeen voimme siirtyä suoraan tutkimaan toimintosarjaa, joka on suoritettava tällaiselle muutokselle.

Perusvaiheet eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä

Päästäksesi eroon juurista, sinun on suoritettava kaksi peräkkäistä murtomuutosta: kerrotaan molemmat murto-osat muulla kuin nollalla ja muunnetaan sitten nimittäjässä saatu lauseke. Tarkastellaan päätapauksia.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa pääset toimeen muuntamalla nimittäjä. Voimme esimerkiksi ottaa murto-osan, jonka nimittäjä on yhtä suuri kuin 9:n juuri. Laskettuamme 9, kirjoitamme 3 nimittäjään ja näin pääsemme eroon irrationaalisuudesta.

Kuitenkin paljon useammin on välttämätöntä ensin kertoa osoittaja ja nimittäjä numerolla, jonka avulla nimittäjä voidaan tuoda haluttuun muotoon (ilman juuria). Joten jos kerromme 1 x + 1 x + 1:llä, saamme murto-osan x + 1 x + 1 x + 1 ja voimme korvata lausekkeen sen nimittäjällä x + 1:llä. Joten muutimme 1 x + 1:ksi x + 1 x + 1 päästäen eroon irrationaalisuudesta.

Joskus suoritettavat muutokset ovat melko erityisiä. Katsotaanpa muutama havainnollistava esimerkki.

Kuinka muuntaa lauseke murtoluvun nimittäjäksi

Kuten sanoimme, helpoin tapa tehdä tämä on muuntaa nimittäjä.

Esimerkki 1

Kunto: vapauta murto-osa 1 2 · 18 + 50 irrationaalisuudesta nimittäjässä.

Ratkaisu

Avataan ensin sulut ja saadaan lauseke 1 2 18 + 2 50. Juurien perusominaisuuksien avulla siirrytään lausekkeeseen 1 2 18 + 2 50. Laskemme molempien lausekkeiden arvot juurien alla ja saamme 1 36 + 100. Täällä voit jo poimia juuret. Tuloksena saimme murto-osan 1 6 + 10, joka on yhtä suuri kuin 1 16. Muutoksen voi suorittaa täällä.

Kirjataan koko ratkaisun eteneminen muistiin ilman kommentteja:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Vastaus: 1 2 18 + 50 = 1 16.

Esimerkki 2

Kunto: annettu murto-osa 7 - x (x + 1) 2. Päästä eroon irrationaalisuudesta nimittäjässä.

Ratkaisu

Aiemmin artikkelissa, joka on omistettu irrationaalisten lausekkeiden muunnoksille juurien ominaisuuksia käyttäen, mainittiin, että minkä tahansa A:n ja jopa n:n kohdalla voimme korvata lausekkeen A n n | A | koko muuttujien sallittujen arvojen alueella. Siksi meidän tapauksessamme voimme kirjoittaa sen näin: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. Tällä tavalla vapautimme itsemme irrationaalisuudesta nimittäjässä.

Vastaus: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1.

Irrationaalisuudesta eroon pääseminen kertomalla juurella

Jos murtoluvun nimittäjä sisältää A-muotoisen lausekkeen ja lausekkeessa A itsessään ei ole juuren merkkejä, niin voimme vapautua irrationaalisuudesta yksinkertaisesti kertomalla alkuperäisen murtoluvun molemmat puolet A:lla. Tämän toimenpiteen mahdollisuus määräytyy sen perusteella, että A ei muutu arvoksi 0 hyväksyttävien arvojen alueella. Kertomisen jälkeen nimittäjä sisältää muotoa A · A olevan lausekkeen, josta on helppo päästä eroon juurista: A · A = A 2 = A. Katsotaanpa, kuinka tätä menetelmää käytetään oikein käytännössä.

Esimerkki 3

Kunto: annetut murtoluvut x 3 ja - 1 x 2 + y - 4. Päästä eroon niiden nimittäjien irrationaalisuudesta.

Ratkaisu

Kerrotaan ensimmäinen murtoluku 3:n toisella juurella. Saamme seuraavat:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

Toisessa tapauksessa meidän on kerrottava x 2 + y - 4 ja muutettava tuloksena oleva lauseke nimittäjässä:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Vastaus: x 3 = x · 3 3 ja - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

Jos alkuperäisen murtoluvun nimittäjä sisältää lausekkeita muotoa A n m tai A m n (riippuen luonnollisista m:stä ja n:stä), on valittava tekijä, jotta tuloksena oleva lauseke voidaan muuntaa muotoon A n n k tai A n k n (riippuen luonnollisesta k) . Tämän jälkeen on helppo päästä eroon irrationaalisuudesta. Katsotaanpa tätä esimerkkiä.

Esimerkki 4

Kunto: annetut murtoluvut 7 6 3 5 ja x x 2 + 1 4 15. Päästä eroon nimittäjien irrationaalisuudesta.

Ratkaisu

Meidän on otettava luonnollinen luku, joka voidaan jakaa viidellä, ja sen on oltava suurempi kuin kolme. Jotta eksponentti 6 olisi yhtä suuri kuin 5, meidän on kerrottava luvulla 6 2 5. Siksi meidän on kerrottava molemmat alkuperäisen murto-osat luvulla 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

Toisessa tapauksessa tarvitsemme luvun, joka on suurempi kuin 15, joka voidaan jakaa 4:llä ilman jäännöstä. Otamme 16. Saadaksemme tällaisen eksponentin nimittäjään, meidän on otettava tekijäksi x 2 + 1 4. Selvennetään, että tämän lausekkeen arvo ei missään tapauksessa ole 0. Laskemme:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Vastaus: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 ja x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Irrationaalisuudesta eroon pääseminen kertomalla konjugaattilausekkeella

Seuraava menetelmä sopii niihin tapauksiin, joissa alkuperäisen murtoluvun nimittäjä sisältää lausekkeet a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. Tällaisissa tapauksissa meidän on otettava konjugaattilauseke tekijänä. Selitämme tämän käsitteen merkityksen.

Ensimmäisen lausekkeen a + b konjugaatti on a - b, toisen a - b - a + b. A + b - a - b, a - b - a + b, a + b - a - b ja a - b - a + b. Toisin sanoen konjugaattilauseke on ilmaus, jossa toista termiä edeltää vastakkainen merkki.

Katsotaanpa, mikä tämä menetelmä tarkalleen on. Oletetaan, että meillä on tulo muotoa a - b · a + b. Se voidaan korvata neliöiden erolla a - b · a + b = a 2 - b 2, jonka jälkeen siirrytään lausekkeeseen a - b, jossa ei ole radikaaleja. Näin ollen vapautuimme irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä kertomalla konjugaattilausekkeella. Otetaan pari havainnollistavaa esimerkkiä.

Esimerkki 5

Kunto: päästä eroon irrationaalisuudesta lausekkeissa 3 7 - 3 ja x - 5 - 2.

Ratkaisu

Ensimmäisessä tapauksessa otamme konjugaattilausekkeen, joka on yhtä suuri kuin 7 + 3. Nyt kerromme alkuperäisen murtoluvun molemmat osat sillä:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

Toisessa tapauksessa tarvitsemme lausekkeen - 5 + 2, joka on lausekkeen - 5 - 2 konjugaatti. Kerro osoittaja ja nimittäjä sillä ja saat:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

On myös mahdollista suorittaa muunnos ennen kertomista: jos poistamme ensin miinuksen nimittäjästä, on helpompi laskea:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

Vastaus: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 ja x - 5 - 2 = x 2 - 5 3.

On tärkeää kiinnittää huomiota siihen, että kertolaskulla saatu lauseke ei muutu 0:ksi millekään muuttujalle tämän lausekkeen hyväksyttävien arvojen alueella.

Esimerkki 6

Kunto: annettu murto-osa x x + 4 . Muunna se niin, että nimittäjässä ei ole irrationaalisia lausekkeita.

Ratkaisu

Aloitetaan etsimällä muuttujan x hyväksyttävien arvojen alue. Se määritellään ehdoilla x ≥ 0 ja x + 4 ≠ 0. Niistä voimme päätellä, että haluttu alue on joukko x ≥ 0.

Nimittäjän konjugaatti on x - 4 . Milloin voimme kertoa sillä? Vain jos x - 4 ≠ 0. Hyväksyttävien arvojen alueella tämä vastaa ehtoa x≠16. Tuloksena saamme seuraavat:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Jos x on 16, saamme:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Siksi x x + 4 = x · x - 4 x - 16 kaikille x:n arvoille, jotka kuuluvat hyväksyttävien arvojen alueelle, lukuun ottamatta arvoa 16. Kohdassa x = 16 saadaan x x + 4 = 2.

Vastaus: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16 ) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Murtolukujen muuntaminen irrationaalisesti nimittäjässä käyttämällä kuutioiden summa- ja erotuskaavoja

Edellisessä kappaleessa kerroimme konjugaattilausekkeilla käyttääksemme neliöiden erotuskaavaa. Joskus irrationaalisuuden poistamiseksi nimittäjässä on hyödyllistä käyttää muita lyhennettyjä kertolaskukaavoja, esimerkiksi kuutioiden ero a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2). Tätä kaavaa on kätevä käyttää, jos alkuperäisen murtoluvun nimittäjä sisältää lausekkeita, joiden kolmannen asteen juuret ovat muotoa A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2. jne. Sen soveltamiseksi meidän on kerrottava murto-osan nimittäjä summan A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 tai erotuksen A 3 - B 3 osittaisella neliöllä. Summakaavaa voidaan soveltaa samalla tavalla a 3 + b 3 = (a) (a 2 − a b + b 2).

Esimerkki 7

Kunto: muunna murtoluvut 1 7 3 - 2 3 ja 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 päästämään eroon nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta.

Ratkaisu

Ensimmäiselle murtoluvulle meidän on käytettävä menetelmää, jossa molemmat osat kerrotaan summan 7 3 ja 2 3 osittaisella neliöllä, koska voimme sitten muuntaa käyttämällä kuutioiden erotuskaavaa:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

Toisessa murto-osassa nimittäjä on 2 2 - 2 x 3 + x 3 2. Tämä lauseke näyttää eron 2 ja x 3 epätäydellisen neliön, mikä tarkoittaa, että voimme kertoa murto-osan molemmat osat summalla 2 + x 3 ja käyttää kuutioiden summan kaavaa. Tätä varten ehdon 2 + x 3 ≠ 0 on täytyttävä, mikä vastaa x 3 ≠ - 2 ja x ≠ - 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Korvataan murtoluku 8 ja etsitään arvo:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Tehdään yhteenveto. Kaikille x:ille, jotka sisältyvät alkuperäisen murto-osan (joukko R) arvoalueeseen, lukuun ottamatta -8, saamme 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x. Jos x = 8, niin 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

Vastaus: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

Eri muunnosmenetelmien johdonmukainen soveltaminen

Käytännössä on usein monimutkaisempia esimerkkejä, kun emme voi vapauttaa itseämme nimittäjän irrationaalisuudesta yhdellä menetelmällä. Heille sinun on suoritettava jatkuvasti useita muunnoksia tai valittava epätyypillisiä ratkaisuja. Otetaan yksi tällainen ongelma.

Esimerkki N

Kunto: muunna 5 7 4 - 2 4 päästäksesi eroon nimittäjässä olevien juurten merkit.

Ratkaisu

Kerrotaan alkuperäisen murtoluvun molemmat puolet konjugaattilausekkeella 7 4 + 2 4 nollasta poikkeavalla arvolla. Saamme seuraavat:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

Käytetään nyt samaa menetelmää uudelleen:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Vastaus: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Muunnettaessa murtoalgebrallista lauseketta, jonka nimittäjä sisältää irrationaalisen lausekkeen, murto-osaa yritetään yleensä esittää niin, että sen nimittäjä on rationaalinen. Jos A,B,C,D,... ovat joitain algebrallisia lausekkeita, voit määrittää sääntöjä, joiden avulla pääset eroon radikaalimerkeistä muodon lausekkeiden nimittäjässä

Kaikissa näissä tapauksissa vapautuminen irrationaalisuudesta saavutetaan kertomalla murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kertoimella, joka on valittu niin, että sen tulo murtoluvun nimittäjällä on rationaalinen.

1) päästä eroon irrationaalisuudesta muodon murto-osan nimittäjässä. Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä luvulla

Esimerkki 1. .

2) Kun kyseessä ovat muodon murtoluvut. Kerro osoittaja ja nimittäjä irrationaalisella kertoimella

vastaavasti, eli konjugaattiirrationaaliseen ilmaisuun.

Viimeisen toiminnon tarkoitus on, että nimittäjässä summan ja erotuksen tulo muunnetaan neliöiden erotukseksi, joka on jo rationaalinen lauseke.

Esimerkki 2. Vapauta itsesi irrationaalisuudesta lausekkeen nimittäjässä:

Ratkaisu, a) Kerro murtoluvun osoittaja ja nimittäjä lausekkeella . Saamme (edellyttäen, että)

3) Kun kyseessä ovat ilmaisut kuten

nimittäjää käsitellään summana (erotuksena) ja kerrotaan erotuksen (summan) osittaisneliöllä, jolloin saadaan kuutioiden summa (erotus) ((20.11), (20.12)). Myös osoittaja kerrotaan samalla kertoimella.

Esimerkki 3. Vapauta itsesi irrationaalisuudesta ilmaisujen nimittäjässä:

Ratkaisu, a) Kun otetaan huomioon tämän murtoluvun nimittäjä lukujen ja 1:n summana, kerrotaan osoittaja ja nimittäjä näiden lukujen erotuksen osaneliöllä:

tai lopuksi:

Joissakin tapauksissa on tarpeen suorittaa päinvastainen muunnos: vapauttaa murto-osuus irrationaalisuudesta osoittajassa. Se suoritetaan täsmälleen samalla tavalla.

Esimerkki 4. Vapauta itsesi irrationaalisuudesta murtoluvun osoittajassa.