Satunnaismuuttujien summan jakautumistiheys. Kahden satunnaisriippumattoman muuttujan summan jakautuminen. Summajakauman likiarvot

Määritelmä. Satunnaismuuttujia Х 1 , Х 2 , …, Х n kutsutaan riippumattomiksi, jos minkä tahansa x 1, x 2 , …, x n tapahtumat ovat riippumattomia

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

Se seuraa suoraan määritelmästä, että riippumattomille satunnaismuuttujille X 1, X 2, …, X n jakelutoiminto n-ulotteinen satunnaismuuttuja X = X 1, X 2, …, X n on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujien jakautumisfunktioiden tulo X 1, X 2, …, X n

F(x 1 , x2, …, x n) = F(x 1)F(x2)…F(x n). (1)

Erotetaan tasa-arvo (1) n kertaa x 1 , x2, …, x n, saamme

p(x 1 , x2, …, x n) = p(x 1)p(x2)…p(x n). (2)

Toinen satunnaismuuttujien riippumattomuuden määritelmä voidaan antaa.

Jos yhden satunnaismuuttujan jakautumislaki ei riipu siitä, mitä mahdollisia arvoja muut satunnaismuuttujat ovat saaneet, niin tällaisia ​​satunnaismuuttujia kutsutaan aggregaatissa itsenäisiksi.

Esimerkiksi ostetaan kaksi eri painoista arpalippua. Anna olla X- ensimmäisen lipun voittojen määrä, Y– toisen lipun voittojen määrä. satunnaismuuttujia X ja Y- riippumaton, koska yhden lipun voitto ei vaikuta toisen lipun jakautumislakiin. Mutta jos liput ovat samasta asiasta X ja Y-riippuvainen.

Kahta satunnaismuuttujaa kutsutaan itsenäiseksi, jos toisen jakaumalaki ei muutu riippuen siitä, mitkä mahdolliset arvot toinen muuttuja on saanut.

Lause 1(konvoluutiot) tai "lause 2 satunnaismuuttujan summan tiheydestä".

Anna olla X = (X 1;X 2) on riippumaton jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja, Y = X 1+ X 2. Sitten jakautumistiheys

Todiste. Voidaan osoittaa, että jos , niin

missä X = (X 1 , X 2 , …, X n). Sitten jos X = (X 1 , X 2), sitten jakelufunktio Y = X 1 + X 2 voidaan määritellä seuraavasti (kuva 1) -

Määritelmän mukaan funktio on satunnaismuuttujan Y = X 1 + X 2 jakautumistiheys, ts.

py (t) = mikä oli todistettava.

Johdetaan kaava kahden itsenäisen diskreetin satunnaismuuttujan summan todennäköisyysjakauman löytämiseksi.

Lause 2. Anna olla X 1 , X 2 – itsenäiset diskreetit satunnaismuuttujat,

Todiste. Kuvittele tapahtuma A x = {X 1 +X 2 = x) yhteensopimattomien tapahtumien summana

A x = å( X 1 = x minä; X 2 = x– x i).

Kuten X 1 , X 2 - sitten itsenäinen P(X 1 = x minä; X 2 = x– x i) = P(X 1 = x i) P(X 2 = x-x minä sitten

P(A x) = P(å( X 1 = x minä; X 2 = x – x i)) = å( P(X 1 = x i) P(X 2 = x-x i))

Q.E.D.

Esimerkki 1 Anna olla X 1 , X 2 - itsenäiset satunnaismuuttujat, joilla on normaalijakauma parametrien kanssa N(0;1); X 1 , X 2 ~ N(0;1).

Etsitään niiden summan jakautumistiheys (merkitsimme X 1 = x, Y = X 1 +X 2)

On helppo nähdä, että integrandi on normaalin satunnaismuuttujan jakauman tiheys parametrein a= , , ts. integraali on 1.

Toiminto py(t) on normaalijakauman tiheys parametreilla a = 0, s = . Siten riippumattomien normaalien satunnaismuuttujien summalla parametreilla (0,1) on normaalijakauma parametreilla (0,), ts. Y = X 1 + X 2 ~ N(0;).

Esimerkki 2. Olkoon sitten kaksi erillistä riippumatonta Poisson-jakauman satunnaismuuttujaa

missä k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

Lauseen 2 mukaan meillä on:

Esimerkki 3 Anna olla X 1, X 2 - riippumattomat satunnaismuuttujat eksponentiaalisella jakaumalla . Etsitään tiheys Y= X 1 +X 2 .

Merkitse x = x 1. Siitä lähtien X 1, X 2 ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, niin käytämme "konvoluutiolausetta"

Voidaan osoittaa, että jos summa ( Х i on eksponentiaalinen jakauma parametrilla l), niin Y= on jakauma nimeltä Erlang-jakauma ( n- 1) tilaus. Tämä laki saatiin mallintamalla puhelinkeskusten toimintaa ensimmäisissä jonoteorian teoksissa.

Matemaattisessa tilastossa käytetään usein satunnaismuuttujien jakautumislakeja, jotka ovat riippumattomien normaalien satunnaismuuttujien funktioita. Tarkastellaan kolmea yleisimmin havaittua lakia satunnaisten ilmiöiden mallintamisessa.

Lause 3. Jos satunnaismuuttujat ovat riippumattomia X 1, ..., X n, silloin näiden satunnaismuuttujien funktiot ovat myös riippumattomia Y 1 = f 1 (X 1), ...,Y n = f n(X n).

Pearsonin jakelu(alkaen 2 -jakelu). Anna olla X 1, ..., X n ovat riippumattomia normaaleja satunnaismuuttujia parametreineen a= 0, s = 1. Muodosta satunnaismuuttuja

Täten,

Voidaan osoittaa, että tiheydellä x > 0 on muoto , jossa k n on jokin kerroin täytetylle ehdolle. Kuten n ® ¥, Pearson-jakauma pyrkii normaalijakaumaan.

Olkoon Х 1 , Х 2 , …, Хn ~ N(a,s), sitten satunnaismuuttujat ~ N(0,1). Siksi satunnaismuuttujan c 2 -jakauma on n vapausastetta.

Pearson-jakauma on taulukoitu ja sitä käytetään erilaisissa matemaattisen tilaston sovelluksissa (esimerkiksi testattaessa hypoteesia, että jakautumislaki on johdonmukainen).

Päätöksentekijä voi käyttää vakuutuksia lieventääkseen tietyntyyppisten sattumanvaraisten tapahtumien haitallisia taloudellisia vaikutuksia.

Mutta tämä keskustelu on hyvin yleistä, sillä päätöksentekijä voi tarkoittaa sekä yksilöä, joka hakee suojaa omaisuus-, säästö- tai tulovahingoilta, että organisaatiota, joka hakee suojaa samanlaisilta vahingoilta.

Itse asiassa tällainen organisaatio voi olla vakuutusyhtiö, joka etsii keinoja suojautua taloudellisilta tappioilta, jotka johtuvat liian monista yksittäisen asiakkaan tai sen vakuutuskannan kanssa tapahtuneista vakuutustapahtumista. Tätä suojaa kutsutaan jälleenvakuutus.

Harkitse yhtä kahdesta mallista (eli yksilöllinen riskimalli) käytetään laajalti vakuutuskorkojen ja -vastuiden määrittämisessä sekä jälleenvakuutuksessa.

Merkitse S vakuutusyhtiön sattumanvaraisten tappioiden määrä joltakin osalta riskejä. Tässä tapauksessa S on satunnaismuuttuja, jonka todennäköisyysjakauma on määritettävä. Historiallisesti r.v. S postulaatteja oli kaksi. Yksilöllinen riskimalli määrittelee S seuraavalla tavalla:

missä r.v. tarkoittaa numerolla varustetun vakuutuskohteen aiheuttamia vahinkoja minä, a n tarkoittaa vakuutuskohteiden kokonaismäärää.

Yleensä oletetaan, että ne ovat itsenäisiä satunnaismuuttujia, koska tällöin matemaattiset laskelmat ovat yksinkertaisempia, eikä niiden välisen suhteen luonteesta tarvita tietoa. Toinen malli on kollektiivinen riskimalli.

Tarkasteltu yksittäisten riskien malli ei heijasta rahan arvon muutoksia ajan myötä. Tämä tehdään mallin yksinkertaistamiseksi, minkä vuoksi artikkelin otsikko viittaa lyhyeen aikaväliin.

Käsittelemme vain suljettuja malleja, ts. ne, joissa vakuutuskohteiden määrä n kaavassa (1.1) tunnetaan ja on kiinnitetty tarkasteltavan aikavälin alkuun. Jos otamme käyttöön oletuksia vakuutusjärjestelmästä tai vakuutusjärjestelmään tapahtuvasta siirtymisestä, saadaan avoin malli.

Satunnaismuuttujat, jotka kuvaavat yksittäisiä maksuja

Aluksi muistetaan tärkeimmät henkivakuutussäännökset.

Jos kuolemantapausvakuutus on voimassa vuodeksi, vakuutuksenantaja sitoutuu maksamaan summan b, jos vakuutuksenottaja kuolee vuoden kuluessa vakuutussopimuksen solmimispäivästä, eikä maksa mitään, jos vakuutuksenottaja asuu tänä vuonna.

Todennäköisyys, että vakuutustapahtuma sattuu tietyn vuoden aikana, on merkitty symbolilla.

Vakuutusmaksuja kuvaavalla satunnaismuuttujalla on jakauma, joka voidaan määrittää joko todennäköisyysfunktiolla

(2.1)

tai vastaava jakelufunktio

(2.2)

Kaavasta (2.1) ja momenttien määritelmästä saadaan

(2.4)

Nämä kaavat voidaan saada myös kirjoittamalla X kuten

jossa on kuolemantapauksessa maksettu vakioarvo, ja se on satunnaismuuttuja, joka saa arvon 1 kuoleman yhteydessä ja 0 muussa tapauksessa.

Siten ja ja r.v:n keskiarvo ja varianssi. ovat yhtä suuret ja vastaavasti, ja r.v:n keskiarvo ja varianssi. ovat yhtä suuria ja , mikä on yhtäpitävä yllä olevien kaavojen kanssa.

Satunnaismuuttuja, jonka alue on (0,1), on laajalti käytössä vakuutusmatemaattisissa malleissa.

Todennäköisyysteorian oppikirjoissa sitä kutsutaan indikaattori, Bernoulli satunnainen arvo tai binomiaalinen satunnaismuuttuja yhden testin suunnittelussa.

Soitamme hänelle indikaattori lyhyyden vuoksi ja myös siksi, että se osoittaa kyseisen tapahtuman alkamisen tai alkamatta jättämisen.

Siirrytään etsimään yleisempiä malleja, joissa vakuutusmaksun arvo on myös satunnaismuuttuja ja useita vakuutustapahtumia voi tapahtua tarkastelulla aikavälillä.

Sairausvakuutus, auto- ja muu omaisuusvakuutus sekä vastuuvakuutus tarjoavat heti monia esimerkkejä. Yleistyskaava (2.5), asetetaan

missä on satunnaismuuttuja, joka kuvaa vakuutusmaksuja tarkastelulla aikavälillä, r.v. tarkoittaa maksujen kokonaismäärää tällä aikavälillä ja r.v. on osoitus siitä, että vähintään yksi vakuutustapahtuma on tapahtunut.

Tällaisen tapahtuman indikaattorina r.v. korjaa läsnäolon () tai puute () vakuutustapahtumat tällä aikavälillä, mutta ei siinä olevien vakuutustapahtumien määrää.

Todennäköisyys merkitään edelleen .

Tarkastellaan useita esimerkkejä ja määritetään satunnaismuuttujien jakauma ja jossain mallissa.

Tarkastellaan ensin kuolemantapausvakuutusta vuodeksi, lisäetulla, jos kuolema on tapaturma.

Varmuuden vuoksi oletetaan, että jos kuolema sattui tapaturman seurauksena, niin maksun suuruus on 50 000. Jos kuolema tapahtuu muusta syystä, maksun suuruus on 25 000.

Oletetaan, että tietyn ikäisen, terveydentilan ja ammatin omaavan henkilön todennäköisyys kuolla tapaturman seurauksena vuoden aikana on 0,0005 ja todennäköisyys kuolla muista syistä 0,0020. Kaavamuodossa se näyttää tältä:

Summaamalla kaikki mahdolliset arvot, saamme

,

Ehdollinen jakelu c. sisään. ehdolla on muoto

Tarkastellaan nyt auton kolarivakuutusta (korvaus auton omistajalle hänen autolleen aiheutuneesta vahingosta), jossa on ehdoton omavastuu 250 ja maksimimaksu 2000.

Selvyyden vuoksi oletetaan, että yksittäisen henkilön yhden vakuutustapahtuman todennäköisyys tarkastelujaksolla on 0,15 ja useamman kuin yhden törmäyksen todennäköisyys on nolla:

, .

Epärealistinen oletus, että yhden jakson aikana voi tapahtua enintään yksi vakuutustapahtuma, on tehty r.v.:n jakautumisen yksinkertaistamiseksi. .

Hylkäämme tämän oletuksen seuraavassa osiossa tarkasteltuamme useiden vakuutuskorvausten summan jakautumista.

Koska on vakuutuksenantajan maksujen arvo, ei autolle aiheutunut vahinko, voidaan tarkastella kahta ominaisuutta ja.

Ensinnäkin tapahtuma sisältää ne törmäykset, joissa vahinko on pienempi kuin ehdoton omavastuu, joka on 250.

Toiseksi r.v. sillä on todennäköisyysmassan "hyytymä" vakuutusmaksujen enimmäismäärän kohdalla, joka on 2000.

Oletetaan, että tähän pisteeseen keskittynyt todennäköisyysmassa on 0,1. Lisäksi oletetaan, että vakuutusmaksujen arvo välillä 0-2000 voidaan mallintaa jatkuvalla jakaumalla tiheysfunktiolla, joka on verrannollinen (Käytännössä vakuutusmaksujakaumaa kuvaava jatkuva käyrä on tulos edellisen kauden maksututkimuksista.)

Yhteenvetona nämä oletukset r.v:n ehdollisesta jakaumasta. ehdolla , saavutamme sekatyyppisen jakauman, jonka positiivinen tiheys on välillä 0 - 2000 ja tietty "nippu" todennäköisyysmassasta pisteessä 2000. Tätä havainnollistaa kuvion 1 kaavio. 2.2.1.

Tämän ehdollisen jakauman jakelufunktio näyttää tältä:

Kuva 2.1. R.v:n jakautumisfunktio. B ehdolla I = 1

Laskemme matemaattisen odotuksen ja varianssin tarkasteltavassa esimerkissä autovakuutuksella kahdella tavalla.

Ensin kirjoitamme r.v:n jakautumisen. ja käytä sitä laskemaan ja . Ilmaisee r.v:n jakautumisfunktion kautta. , meillä on

varten x<0

Tämä on sekoitettu jakelu. Kuten kuvassa näkyy. 2.2, sillä on sekä diskreetti (todennäköisyyslaskennan "möykky" pisteessä 2000) ja jatkuva osa. Tällainen jakaumafunktio vastaa todennäköisyysfunktion yhdistelmää

Riisi. 2.2. R.v:n jakautumisfunktio. X = IB

ja tiheysfunktiot

Erityisesti ja . Niin .

On olemassa useita kaavoja, jotka yhdistävät satunnaismuuttujien hetket ehdollisiin matemaattisiin odotuksiin. Matemaattista odotusta ja varianssia varten näillä kaavoilla on muoto

(2.10)

(2.11)

Oletetaan, että näiden yhtälöiden vasemmalla puolella olevat lausekkeet lasketaan suoraan r.v:n jakaumasta. . Laskettaessa oikealla puolella olevia lausekkeita, nimittäin ja, käytetään r.v:n ehdollista jakaumaa. kiinteällä arvolla r.v. .

Nämä lausekkeet ovat siksi r.v:n toimintoja. , ja voimme laskea niiden momentit käyttämällä r.v-jakaumaa. .

Ehdollisia jakaumia käytetään monissa vakuutusmatemaattisissa malleissa, mikä mahdollistaa yllä olevien kaavojen soveltamisen suoraan. Meidän mallissamme. Ottaen huomioon r.v. as ja r.v. kuten saamme

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

ja harkitse ehdollisia matemaattisia odotuksia

(2.16)

(2.17)

Kaavat (2.16) ja (2.17) määritellään r.v:n funktiona. , joka voidaan kirjoittaa seuraavalla kaavalla:

Siitä lähtien klo (2.21)

Sillä meillä on ja (2.22)

Kaavat (2.21) ja (2.22) voidaan yhdistää: (2.23)

Eli (2.24)

Korvaamalla (2.21), (2.20) ja (2.24) arvoilla (2.12) ja (2.13) saadaan

Sovelletaan saatuja kaavoja laskennassa ja esimerkissä autovakuutuksesta (kuva 2.2). Koska r.v.n tiheysfunktio Kun tila ilmaistaan ​​kaavalla

ja P(B=2000|I=1)= 0,1, meillä on

Lopuksi olettaen q= 0,15, kaavoista (2.25) ja (2.26) saadaan seuraavat yhtälöt:

Toisen vakuutustilanteen kuvaamiseksi voimme tarjota muita malleja r.v. .

Esimerkki: malli lentoonnettomuuksista johtuvien kuolemantapausten lukumäärälle

Tarkastellaan esimerkkinä mallia lentoonnettomuuksista johtuvien kuolemantapausten lukumäärälle lentoyhtiön yhden vuoden toiminnan aikana.

Voimme aloittaa satunnaismuuttujalla, joka kuvaa yhden lennon kuolleiden lukumäärää, ja sitten laskea nämä satunnaismuuttujat yhteen vuoden kaikkien lentojen osalta.

Yhdellä lennolla tapahtuma ilmoittaa lento-onnettomuuden alkamisesta. Tämän katastrofin aiheuttama kuolemantapaus esitetään kahden satunnaismuuttujan tulolla ja missä on ilma-aluksen täyttökerroin, eli lentokoneessa olevien ihmisten lukumäärä onnettomuushetkellä, ja kuolleiden osuus lentokoneessa olevista ihmisistä. lauta.

Kuolemien määrä on esitetty tällä tavalla, koska erilliset tilastot ja ovat paremmin saatavilla kuin tilastot r.v. . Joten vaikka kuolleiden osuus aluksella olevien henkilöiden joukosta ja aluksella olevien henkilöiden määrä ovat todennäköisesti yhteydessä toisiinsa, voidaan ensimmäisenä arviona olettaa, että r.v. ja riippumaton.

Riippumattomien satunnaismuuttujien summat

Yksilöriskimallissa vakuutusyhtiön suorittamat vakuutusmaksut esitetään maksujen summana monelle henkilölle.

Muista kaksi menetelmää riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakautumisen määrittämiseksi. Tarkastellaan ensin kahden satunnaismuuttujan summaa, joiden näyteavaruus on esitetty kuvassa. 3.1.

Riisi. 2.3.1. Tapahtuma

Viiva ja tämän rivin alla oleva alue edustavat tapahtumaa. Siksi r.v:n jakautumisfunktio. S on muotoa (3.1)

Kahdelle erilliselle ei-negatiiviselle satunnaismuuttujalle voimme käyttää kokonaistodennäköisyyskaavaa ja kirjoittaa (3.1) muodossa

Jos X ja Y ovat riippumattomia, viimeinen summa voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

(3.3)

Tätä jakaumafunktiota vastaava todennäköisyysfunktio löytyy kaavasta

(3.4)

Jatkuville ei-negatiivisille satunnaismuuttujille kaavoja (3.2), (3.3) ja (3.4) vastaavat kaavat ovat muotoa

Kun jompikumpi tai molemmat satunnaismuuttujat X ja Y on sekatyyppinen jakauma (joka on tyypillistä yksittäisille riskimalleille), kaavat ovat samanlaisia, mutta hankalampia. Satunnaismuuttujille, jotka voivat saada myös negatiivisia arvoja, yllä olevien kaavojen summat ja integraalit otetaan huomioon kaikki y:n arvot välillä - .

Todennäköisyysteoriassa kaavojen (3.3) ja (3.6) operaatiota kutsutaan kahden jakaumafunktion konvoluutioksi ja ja sitä merkitään . Konvoluutiooperaatio voidaan määritellä myös todennäköisyys- tai tiheysfunktioparille käyttämällä kaavoja (3.4) ja (3.7).

Enemmän kuin kahden satunnaismuuttujan summan jakautumisen määrittämiseksi voimme käyttää konvoluutioprosessin iteraatioita. varten , jossa ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, tarkoittaa r.v:n jakaumafunktiota ja on r.v:n jakaumafunktio. , saamme

Esimerkki 3.1 havainnollistaa tätä menettelyä kolmelle diskreetille satunnaismuuttujalle.

Esimerkki 3.1. Satunnaismuuttujat , ja ovat riippumattomia ja niillä on alla olevan taulukon sarakkeiden (1), (2) ja (3) määrittelemät jakaumat.

Kirjoitetaan r.v:n todennäköisyysfunktio ja jakaumafunktio.

Päätös. Taulukossa käytetään ennen esimerkkiä esiteltyä merkintää:

Sarakkeet (1)-(3) sisältävät saatavilla olevat tiedot.

Sarake (4) saadaan sarakkeista (1) ja (2) käyttämällä (3.4).

Sarake (5) saadaan sarakkeista (3) ja (4) käyttämällä (3.4).

Sarakkeen (5) määritelmä päättää r.v:n todennäköisyysfunktion määrityksen. . Sen jakaumafunktio sarakkeessa (8) on sarakkeen (5) osasummien joukko, alkaen ylhäältä.

Selvyyden vuoksi olemme sisällyttäneet sarakkeen (6), sarakkeen (1), sarakkeen (7) jakofunktion, joka voidaan saada suoraan sarakkeista (1) ja (6) käyttämällä (2.3.3) ja saraketta (8). ) määritetään samalla tavalla sarakkeille (3) ja (7). Sarake (5) voidaan määrittää sarakkeesta (8) peräkkäisellä vähennyksellä.

Tarkastellaan kahta esimerkkiä jatkuvilla satunnaismuuttujilla.

Esimerkki 3.2. Olkoon r.v. on tasainen jakauma välillä (0,2), ja olkoon r.v. ei riipu r.v:stä. ja sillä on tasainen jakautuminen välillä (0,3). Määritellään r.v:n jakaumafunktio.

Päätös. Koska r.v. ja jatkuva, käytämme kaavaa (3.6):

Sitten

Näytetila r.v. ja se on kuvattu kuvassa. 3.2. Suorakaiteen muotoinen alue sisältää kaikki mahdolliset parin ja arvot. Meitä kiinnostava tapahtuma, , on kuvattu kuvassa viidellä arvolla s.

Jokaisen arvon kohdalla viiva leikkaa akselin Y pisteessä s ja viiva pisteessä. Näiden viiden tapauksen funktioarvot kuvataan seuraavalla kaavalla:

Riisi. 3.2. Kahden tasaisen jakauman konvoluutio

Esimerkki 3.3. Tarkastellaan kolmea itsenäistä r.v. . R.v. on eksponentiaalinen jakauma ja . Etsitään r.v:n tiheysfunktio. käyttämällä konvoluutiooperaatiota.

Päätös. Meillä on

Käyttämällä kaavaa (3.7) kolme kertaa saamme

Toinen menetelmä riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauman määrittämiseksi perustuu hetken generoivan funktion ainutlaatuisuuteen, joka r.v. määräytyy suhteen mukaan .

Jos tämä matemaattinen odotus on äärellinen kaikille t jostakin avoimesta intervallista, joka sisältää origon, on silloin ainoa r.v:n jakautumismomenttien generoiva funktio. siinä mielessä, että ei ole muuta funktiota kuin , joka olisi r.v:n jakautumismomenttien generoiva funktio. .

Tätä ainutlaatuisuutta voidaan käyttää seuraavasti: summa

Jos ne ovat riippumattomia, niin tuotteen odotus kaavassa (3.8) on yhtä suuri kuin ..., niin

Eksplisiittisen lausekkeen löytäminen ainoalle momenttien generoivaa funktiota vastaavalle jakaumille (3.9) täydentäisi r.v:n jakauman löytämisen. . Jos sitä ei ole mahdollista määrittää eksplisiittisesti, sitä voidaan etsiä numeerisilla menetelmillä.

Esimerkki 3.4. Tarkastellaan esimerkin 3.3 satunnaismuuttujia. Määritellään r.v:n tiheysfunktio. , käyttämällä r.v:n momenttien generointifunktiota. .

Päätös. Tasa-arvon (3.9) mukaan joka voidaan kirjoittaa nimellä käyttämällä yksinkertaisiin jakeisiin hajottamista. Ratkaisu on . Mutta onko eksponentiaalisen jakauman momenttien generoiva funktio parametrilla , niin että r.v.n tiheysfunktio? on muotoa

Esimerkki 3.5. Satunnaisprosessien tutkimuksessa otettiin käyttöön käänteinen Gaussin jakauma. Sitä käytetään r.v:n jakeluna. AT, vakuutusmaksujen määrä. Käänteisen Gaussin jakauman momenttien tiheysfunktio ja generoiva funktio saadaan kaavoilla

Etsitään r.v:n jakauma. , jossa r.v. ovat riippumattomia ja niillä on samat käänteiset Gaussin jakaumat.

Päätös. Kaavaa (3.9) käyttämällä saadaan seuraava lauseke r.v.-momenttien generoivalle funktiolle. :

Momenttien generoiva funktio vastaa ainutlaatuista jakaumaa, ja voidaan nähdä, että sillä on käänteinen Gaussin jakauma parametreilla ja .

Summajakauman likiarvot

Keskirajalause antaa menetelmän numeeristen arvojen löytämiseksi riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakautumiselle. Yleensä tämä lause muotoillaan riippumattomien ja identtisesti jakautuneiden satunnaismuuttujien summalle, missä .

Minkä tahansa n:n kohdalla r.v. missä = , on matemaattinen odotusarvo 0 ja varianssi 1. Kuten tiedetään, tällaisten jakaumien sekvenssi (for n= 1, 2, ...) pyrkii standardinormaalijakaumaan. Kun n suuri, tätä lausetta sovelletaan likimääräiseen r.v-jakaumaan. normaalijakauma keskiarvon kanssa μ ja dispersio. Samoin summan jakautuminen n satunnaismuuttujien likiarvo on normaalijakauma keskiarvon ja varianssin kanssa.

Tällaisen approksimoinnin tehokkuus ei riipu vain termien lukumäärästä, vaan myös termien jakauman läheisyydestä normaaliin. Monet alkeistilastokurssit väittävät, että n:n on oltava vähintään 30, jotta approksimaatio olisi järkevä.

Kuitenkin yksi simulaatiomallinnuksessa käytetyistä normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien generointiohjelmista toteuttaa normaalin satunnaismuuttujan keskimäärin 12 riippumattomana satunnaismuuttujana tasaisesti jakautuneena ajanjaksolle (0,1).

Monissa yksittäisissä riskimalleissa summiin sisältyvät satunnaismuuttujat eivät ole jakautuneet tasaisesti. Tätä havainnollistetaan esimerkein seuraavassa osassa.

Keskirajalause ulottuu myös epätasaisesti jakautuneiden satunnaismuuttujien sarjoihin.

Havainnollistaaksemme joitain yksittäisen riskimallin sovelluksia, käytämme riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauman normaalia approksimaatiota numeeristen ratkaisujen saamiseksi. Jos , sitten

ja edelleen, jos r.v. riippumaton siis

Kyseistä sovellusta varten tarvitsemme vain:

• löytää yksittäisiä tappioita simuloivien satunnaismuuttujien keskiarvot ja varianssit,
• laskemalla ne yhteen saadaksesi koko vakuutusyhtiön tappioiden keskiarvon ja varianssin,
• käytä normaalia approksimaatiota.

Alla kuvaamme tätä toimintosarjaa.

Vakuutushakemukset

Tämä osio havainnollistaa normaalin approksimoinnin käyttöä neljällä esimerkillä.

Esimerkki 5.1. Henkivakuutusyhtiö tarjoaa vuoden mittaisen kuolemanvakuutuksen 1 ja 2 yksikön maksuilla henkilöille, joiden kuolintodennäköisyys on 0,02 tai 0,01. Alla oleva taulukko näyttää henkilömäärän nk jokaisessa neljässä maksun mukaisesti muodostetussa luokassa b k ja vakuutustapahtuman todennäköisyys qk:

k	q k	b k	nk
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

Vakuutusyhtiö haluaa periä tältä 1800 henkilön ryhmältä summan, joka vastaa tämän ryhmän vakuutusmaksujen jakauman 95:tä prosenttipistettä. Lisäksi hän haluaa, että kunkin henkilön osuus tästä summasta on verrannollinen henkilön odotettavissa olevaan vakuutusmaksuun.

Sen numeron omaavan henkilön osuuden, jonka keskimääräinen maksu on yhtä suuri, tulisi olla. 95. prosenttipisteen vaatimuksesta seuraa, että . Ylimääräinen arvo, , on riskipreemio, ja sitä kutsutaan suhteelliseksi riskipreemioksi. Lasketaan.

Päätös. Arvo määräytyy suhteen perusteella = 0,95, missä S = X 1 + X 2 + ... + X 1800. Tämä todennäköisyyslausunto vastaa seuraavaa:

Sen mukaisesti, mitä keskirajalauseesta sanottiin kohdassa Sec. 4, arvioimme r.v:n jakauman. standardi normaalijakauma ja käytä sen 95. prosenttipistettä, josta saamme:

Neljästä luokasta, joihin vakuutuksenottajat on jaettu, saadaan seuraavat tulokset:

k	q k	b k	Keskiarvo b k q k	Varianssi b 2 k q k (1-q k)	nk
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

Täten,

Siksi suhteellinen riskipreemio on

Esimerkki 5.2. Autovakuutusyhtiön asiakkaat jaetaan kahteen luokkaan:

Luokka	Numero luokassa	Tapahtuman todennäköisyys vakuutustapahtuma	Vakuutusmaksujen jako, typistetyt eksponentiaaliset parametrit jakelu
k				L
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

Katkaistun eksponentiaalisen jakauman määrittää jakaumafunktio

Tämä on sekatyyppinen jakauma, jossa on tiheysfunktio , ja todennäköisyysmassan "möykky" pisteessä L. Tämän jakaumafunktion käyrä on esitetty kuvassa 5.1.

Riisi. 5.1. Katkaistu eksponentiaalinen jakauma

Todennäköisyydellä, että vakuutusmaksujen kokonaismäärä ylittää vakuutuksenottajilta perityn määrän, tulee entiseen tapaan olla 0,05. Oletetaan, että suhteellisen riskipreemion tulee olla sama molemmissa tarkasteluissa. Lasketaan.

Päätös. Tämä esimerkki on hyvin samanlainen kuin edellinen. Ainoa ero on, että vakuutusmaksujen arvot ovat nyt satunnaismuuttujia.

Ensin saadaan lausekkeet katkaistun eksponentiaalisen jakauman momenteille. Tämä on valmisteleva vaihe kaavojen (2.25) ja (2.26) soveltamiselle:

Käyttämällä ehdossa annettuja parametriarvoja ja soveltamalla kaavoja (2.25) ja (2.26) saamme seuraavat tulokset:

k	q k	µk	σ 2 k	Keskiarvo q k μ k	Dispersio μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	nk
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

Niin, S, vakuutusmaksujen kokonaismäärä, on hetkiä

Määritelmän ehto pysyy samana kuin esimerkissä 5.1, eli

Käyttämällä jälleen normaalijakauman approksimaatiota, saamme

Esimerkki 5.3. Vakuutusyhtiön salkku sisältää 16 000 kuolemantapausvakuutussopimusta vuodeksi seuraavan taulukon mukaan:

Vakuutustapahtuman q todennäköisyys jokaiselle 16 000 asiakkaalle (näiden tapahtumien oletetaan olevan toisistaan ​​riippumattomia) on 0,02. Yhtiö haluaa asettaa oman säilytysprosenttinsa. Jokaisen vakuutuksenottajan omapidätyksen taso on arvo, jonka alapuolella tämä yritys (siirtoyhtiö) suorittaa maksuja itsenäisesti ja tämän arvon ylittävät maksut korvataan jälleenvakuutussopimuksella toiselta yhtiöltä (jälleenvakuuttajalta).

Esimerkiksi, jos oma pidätysprosentti on 200 000, niin yhtiö varaa jokaiselle vakuutetulle vakuutusturvaa 20 000 euroon asti ja ostaa jälleenvakuutuksen vakuutusmaksun ja 20 000 euron välisen erotuksen kattamiseksi kullekin niistä 4 500 vakuutuksenottajasta, joiden vakuutusmaksut ylittävät 20 000 .

Yhtiö valitsee päätöksentekokriteeriksi sen todennäköisyyden minimoimisen, että omasta vähennyksestään jäävät vakuutuskorvaukset lisättynä jälleenvakuutuksesta maksetulla määrällä ylittävät 8 250 000. Jälleenvakuutus maksaa 0,025 kattavuusyksikköä kohden (eli 125 % odotetusta korvaussummasta). vakuutusmaksujen arvo yksikköä kohden 0,02).

Uskomme, että kyseessä oleva salkku on suljettu: kuluvan vuoden aikana solmittuja uusia vakuutussopimuksia ei huomioida kuvatussa päätöksentekoprosessissa.

Osittainen ratkaisu. Tehdään ensin kaikki laskelmat ja valitaan maksuyksiköksi 10 000. Oletetaan esimerkiksi, että c. sisään. S on omalle vähennykselle jätettyjen maksujen määrä, jolla on seuraava muoto:

Näihin vakuutusmaksuihin jää omasta vähennyksestäsi S, lisätään jälleenvakuutusmaksujen määrä. Yhteensä tämän järjestelmän mukaisen kattavuuden kokonaismäärä on

Omalle vähennykselle jäävä määrä on yhtä suuri kuin

Jälleenvakuutuksen kokonaisarvo on siis 35 000-24 000 = 11 000 ja jälleenvakuutuksen hinta on

Näin ollen omalla pidätystasolla, joka on yhtä suuri kuin 2, omaan pidätykseen jäävät vakuutusmaksut plus jälleenvakuutuskustannukset ovat . Päätöskriteeri perustuu todennäköisyyteen, että tämä kokonaismäärä ylittää 825,

Normaalijakaumaa käyttämällä saadaan, että tämä arvo on suunnilleen yhtä suuri kuin 0,0062.

Vakuutusmaksujen keskiarvot vakuutettaessa kannattamattomuuden ylijäämää, yhtenä jälleenvakuutuslajista, voidaan arvioida käyttämällä normaalijakaumaa vakuutusmaksujen kokonaisjakaumana.

Olkoon vakuutusmaksuilla X normaalijakauma keskiarvon ja varianssin kanssa

Esimerkki 5.4. Tarkastellaan vakuutuskanta, kuten esimerkissä 5.3. Etsitään matemaattinen odotus vakuutussopimuksen mukaisten vakuutusmaksujen määrästä kannattamattomuuden ylitykselle, jos

(a) henkilökohtaista jälleenvakuutusta ei ole ja ehdoton omavastuu on 7 500 000

(b) yksittäisiin vakuutussopimuksiin määrätään henkilökohtainen ennakonpidätys 20 000 euroa ja salkun ehdoton omavastuu on 5 300 000 euroa.

Päätös.

(a) Yksittäisen jälleenvakuutuksen puuttuessa ja siirtyessä 10 000:een valuutaksi

soveltamalla kaavaa (5.2) saadaan

mikä on summa 43 770 alkuperäisinä yksikköinä.

(b) Kuvassa 5.3 saamme 20 000 yksittäisen omavastuun kokonaisvakuutusmaksujen keskiarvoksi ja varianssiksi 480 ja 784, kun käytetään yksikkönä 10 000. Eli =28.

soveltamalla kaavaa (5.2) saadaan

mikä on summa 4140 alkuperäisissä yksiköissä.

Käytännössä on usein tarpeen löytää jakautumislaki satunnaismuuttujien summalle.

Olkoon järjestelmä (X b X 2) kaksi jatkuvaa s. sisään. ja niiden summa

Etsitään jakautumistiheys c. sisään. U. Edellisen kappaleen yleisratkaisun mukaisesti löydämme tason alueen, jossa x + x 2 (kuva 9.4.1):

Erottamalla tämä lauseke y:n suhteen, saadaan ap. Satunnaismuuttuja Y \u003d X + X 2:

Koska funktio φ (x b x 2) = Xj + x 2 on symmetrinen argumenttiensa suhteen, niin

Jos kanssa. sisään. X ja X 2 ovat riippumattomia, silloin kaavat (9.4.2) ja (9.4.3) ovat muotoa:

Siinä tapauksessa, että riippumaton c. sisään. x x ja X 2, puhua jakelulakien koostumuksesta. Tuottaa sävellys kaksi jakautumislakia - tämä tarkoittaa jakautumislain löytämistä kahden riippumattoman c:n summalle. c., jaetaan näiden lakien mukaisesti. Symbolista merkintää käytetään osoittamaan jakautumislakien koostumusta

joka on oleellisesti merkitty kaavoilla (9.4.4) tai (9.4.5).

Esimerkki 1. Tarkastellaan kahden teknisen laitteen (TD) toimintaa. Ensinnäkin TU toimii sen jälkeen, kun sen vika (vika) on sisällytetty TU 2:n toimintaan. Päälläoloaika TU TU TU 2 - x x ja X 2 - ovat riippumattomia ja jakautuvat eksponentiaalisten lakien mukaan parametreilla A,1 ja X 2. Siksi aika Y TU:sta koostuvan TU:n häiriötön toiminta! ja TU 2 määritetään kaavalla

On löydettävä p.r. Satunnaismuuttuja Y, eli kahden eksponentiaalisen lain koostumus parametreilla ja X 2.

Päätös. Kaavalla (9.4.4) saadaan (y > 0)

Jos on olemassa kahden eksponentiaalisen lain koostumus, joilla on samat parametrit (?c = X 2 = Y), niin lausekkeessa (9.4.8) saadaan tyypin 0/0 epävarmuus, jota laajentamalla saadaan:

Vertaamalla tätä lauseketta lausekkeeseen (6.4.8) olemme vakuuttuneita, että kahden identtisen eksponentiaalisen lain koostumus (?c = X 2 = x) on toisen asteen Erlangin laki (9.4.9). Kun muodostetaan kaksi eksponentiaalista lakia eri parametreilla x x ja A-2 saa toisen asteen yleinen Erlangin laki (9.4.8). ?

Tehtävä 1. Kahden s:n eron jakautumislaki. sisään. Järjestelmän kanssa. sisään. (X ja X 2) on yhteinen rp./(x x x 2). Etsi p.r. heidän erojaan Y = X - X 2.

Päätös. Järjestelmälle, jossa sisään. (X b - X 2) jne. tulee olemaan / (x b - x 2), eli korvasimme eron summalla. Siksi a.r. satunnaismuuttuja U on muotoa (katso (9.4.2), (9.4.3)):

Jos kanssa. sisään. X x iX 2 riippumaton siis

Esimerkki 2. Etsi f.r. kahden riippumattoman eksponentiaalisesti jakautuneen s:n ero. sisään. parametrien kanssa x x ja X 2.

Päätös. Kaavan (9.4.11) mukaan saamme

Riisi. 9.4.2 Riisi. 9.4.3

Kuvassa 9.4.2 on p. g(y). Jos tarkastellaan kahden riippumattoman eksponentiaalisesti jakautuneen s:n eroa. sisään. samoilla parametreilla (A-i= X 2 = MUTTA,), sitten g(y) \u003d / 2 - jo tuttu

Laplacen laki (kuva 9.4.3). ?

Esimerkki 3. Etsi jakautumislaki kahden riippumattoman c:n summalle. sisään. X ja X 2, jaettu Poissonin lain mukaan parametrein x ja a 2.

Päätös. Selvitä tapahtuman todennäköisyys (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Siksi s. sisään. Y = X x + X 2 jaetaan Poissonin lain mukaan parametrin kanssa a x2) - a x + a 2. ?

Esimerkki 4. Etsi jakautumislaki kahden riippumattoman c:n summalle. sisään. x x ja X 2, jaettu binomilakien mukaan parametrien kanssa p x ri p 2, s vastaavasti.

Päätös. Kuvittele kanssa. sisään. x x kuten:

missä X 1) - tapahtuman ilmaisin MUTTA wu "kokemus:

Jakelualue kanssa. sisään. X,- on muotoinen

Teemme samanlaisen esityksen s:lle. sisään. X 2: missä X] 2) - tapahtuman ilmaisin MUTTA y":nnessä kokemuksessa:

Siten,

missä on X? 1)+(2), jos tapahtuman ilmaisin MUTTA:

Näin ollen olemme osoittaneet sen sisään. Anoppimäärä (u + n 2) tapahtuman indikaattorit MUTTA, mistä seuraa, että s. sisään. ^jaettu binomilain mukaan parametreilla ( n x + n 2), s.

Huomaa, että jos todennäköisyydet R eri koesarjoissa ovat erilaisia, sitten kahden riippumattoman s:n lisäämisen seurauksena. c., jaettuna binomilakien mukaan, käy ilmi c. c., jaettu ei binomiaalilain mukaan. ?

Esimerkit 3 ja 4 on helppo yleistää mielivaltaiseen määrään termejä. Muodostaessa Poissonin lakeja parametreilla a b a 2, ..., a t Poissonin laki saadaan jälleen parametrilla a (t) \u003d a x + a 2 + ... + ja T.

Kun kirjoitetaan binomilakeja parametreilla (n r); (minä 2, R) , (n t, p) jälleen saamme binomin lain parametreilla ("("), R), missä n (t) \u003d u + n 2 + ... + jne.

Olemme osoittaneet Poissonin lain ja binomiaalilain tärkeitä ominaisuuksia: "vakausominaisuuden". Jakelulaki on ns kestävä, jos kahden samantyyppisen lain koostumus johtaa samantyyppiseen lakiin (vain tämän lain parametrit eroavat). Kohdassa 9.7 osoitetaan, että normaalilla lailla on sama stabiilisuusominaisuus.

TEEMA 3
	jakautumisfunktion käsite
	matemaattinen odotus ja varianssi
	tasainen (suorakulmainen) jakautuminen
	normaali (Gaussin) jakauma
	Jakelu
	t- Opiskelijajakelu
	F- jakelu
	kahden satunnaisriippumattoman muuttujan summan jakauma
	esimerkki: kahden riippumattoman summan jakauma tasaisesti jakautuneita määriä
	satunnaismuuttujan muunnos
	esimerkki: harmonisen aallon jakautuminen satunnaisella vaiheella
	Keskirajalause
	satunnaismuuttujan hetket ja niiden ominaisuudet
SYKLIN TARKOITUS LUENTOT:		RAPORTOINTI ALKUTIEDOT TÄRKEIMMISTÄ JAKELUTOIMINTOISTA JA NIIDEN OMINAISUUKSISTA

JAKOTOIMINNOT

Anna olla x(k) on joku satunnaismuuttuja. Sitten mille tahansa kiinteälle arvolle x satunnainen tapahtuma x(k) x määritellään kaikkien mahdollisten tulosten joukoksi k sellasta x(k) x. Mitä tulee näyteavaruuteen annettuun alkuperäiseen todennäköisyysmittaukseen, jakelutoimintoP(x) määritellään pistejoukolle määritettynä todennäköisyytenä k x(k) x. Huomaa, että joukko pisteitä k tyydyttää eriarvoisuutta x(k) x, on osajoukko pisteiden joukosta, jotka täyttävät epäyhtälön x(k) . Muodollisesti

Se on selvää

Jos satunnaismuuttujan arvoalue on jatkuva, mikä oletetaan alla, niin todennäköisyystiheys(yksiulotteinen) p(x) määräytyy differentiaalisuhteen mukaan

(4)

Siten,

(6)

Jotta diskreettejä tapauksia voidaan tarkastella, on tarpeen myöntää deltafunktioiden esiintyminen todennäköisyystiheyden koostumuksessa.

ODOTETTU ARVO

Olkoon satunnaismuuttuja x(k) ottaa arvot alueelta -  - + . Tarkoittaa(muuten, odotettu arvo tai odotettu arvo) x(k) lasketaan käyttämällä vastaavaa kulkua rajaan arvojen tulojen summassa x(k) näiden tapahtumien todennäköisyydestä:

(8)

missä E- lausekkeen matemaattinen odotus hakasulkeissa indeksin mukaan k. Todellisen yksiarvoisen jatkuvan funktion matemaattinen odotus määritellään samalla tavalla g(x) satunnaismuuttujasta x(k)

(9)

missä p(x)- satunnaismuuttujan todennäköisyystiheys x(k). Erityisesti ottaen g(x)=x, saamme keskineliö x(k) :

(10)

Dispersiox(k) määritellään eron keskineliönä x(k) ja sen keskiarvo,

eli tässä tapauksessa g(x)= ja

A-priory, keskihajonta Satunnaismuuttuja x(k), merkitty , on varianssin neliöjuuren positiivinen arvo. Keskihajonta mitataan samoissa yksiköissä kuin keskiarvo.

TÄRKEIMMÄT JAKOTOIMINNOT

YHTEINEN (SUORAKULMAINEN) JAKELU.

Oletetaan, että koe koostuu pisteen satunnaisesta valinnasta väliltä [ a,b], mukaan lukien sen päätepisteet. Tässä esimerkissä satunnaismuuttujan arvona x(k) voit ottaa valitun pisteen numeerisen arvon. Vastaavalla jakelufunktiolla on muoto

Siksi todennäköisyystiheys saadaan kaavalla

Tässä esimerkissä keskiarvon ja varianssin laskeminen kaavoilla (9) ja (11) antaa

NORMAALI (GAUSSIAN) JAKELU

, - aritmeettinen keskiarvo, - RMS.

Todennäköisyyttä P(z)=1- vastaava z:n arvo, ts.

CHI - NELIÖJAKELU

Anna olla - n riippumatonta satunnaismuuttujaa, joista jokaisella on normaalijakauma nollakeskiarvolla ja yksikkövarianssilla.

Chi-neliö satunnaismuuttuja, jolla on n vapausastetta.

todennäköisyystiheys.

DF: 100 - prosenttiyksikköä - jakaumat merkitään , ts.

keskiarvo ja varianssi ovat yhtä suuret

t - OPPILASJAKELU

y, z ovat riippumattomia satunnaismuuttujia; y - on - jakauma, z - normaalijakauman nollakeskiarvo ja yksikkövarianssi.

arvo - on t- Studentin jakauma n vapausasteella

DF: 100 - prosenttiyksikkö t - jakauma näytetään

Keskiarvo ja varianssi ovat samat

F - JAKELU

Riippumattomat satunnaismuuttujat; on - jakautuminen vapausasteilla; jakautuminen vapausasteilla. Satunnainen arvo:

,

F on hajautettu satunnaismuuttuja, jolla on vapausasteet.

,

DF: 100 - prosenttiyksikkö:

Keskiarvo ja varianssi ovat yhtä suuret:

MÄÄRÄN JAKUMINEN

KAKSI SATUNNAISMUUTTAJAA

Anna olla x(k) ja y(k) ovat satunnaismuuttujia, joilla on yhteinen todennäköisyystiheys p(x,y). Etsi satunnaismuuttujien summan todennäköisyystiheys

Kiinteästi x meillä on y=z–x. Niin

Kiinteästi z arvot x aja intervalli - - +. Niin

(37)

josta voidaan nähdä, että summan halutun tiheyden laskemiseksi on tiedettävä alkuperäinen yhteistodennäköisyystiheys. Jos x(k) ja y(k) ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden tiheydet ja vastaavasti sitten ja

(38)

ESIMERKKI: KAHDEN RIIPPUMATTOMAN, TAHTAISESTI JAETUNUN SATUNNAISMUUTTUJAN SUMMA.

Olkoon kahdella satunnaisriippumattomalla muuttujalla muodon tiheys

Muissa tapauksissa Etsitään niiden summan z= x+ y todennäköisyystiheys p(z).

Todennäköisyystiheys varten eli varten Siten, x vähemmän kuin z. Lisäksi ei ole nolla kaavalla (38), huomaamme, että

Kuva:

Kahden riippumattoman tasaisesti jakautuneen satunnaismuuttujan summan todennäköisyystiheys.

SATUNNUSMUUNNOS

ARVOT

Anna olla x(t)- satunnaismuuttuja todennäköisyystiheydellä p(x), Anna olla g(x) on yksiarvoinen todellinen jatkuva funktio x. Harkitse ensin tapausta, jossa käänteisfunktio x(g) on myös yksiarvoinen jatkuva funktio g. Todennäköisyystiheys p(g), joka vastaa satunnaismuuttujaa g(x(k)) = g(k), voidaan määrittää todennäköisyystiheydestä p(x) Satunnaismuuttuja x(k) ja johdannainen dg/dx olettaen, että johdannainen on olemassa ja eroaa nollasta, nimittäin:

(12)

Siksi rajoissa dg/dx#0

(13)

Tätä kaavaa käyttämällä se seuraa sen oikealla puolella muuttujan sijaan x korvaa sopiva arvo g.

Harkitse nyt tapausta, jossa käänteisfunktio x(g) on voimassa n-arvostettu toiminto g, missä n on kokonaisluku ja kaikki n arvot ovat yhtä todennäköisiä. Sitten

(14)

ESIMERKKI:

HARMONINEN TOIMINNON JAKAUMINEN.

Harmoninen toiminto kiinteällä amplitudilla X ja taajuus f on satunnaismuuttuja, jos sen alkuvaihekulma  =  (k)- satunnainen arvo. Erityisesti anna t kiinteä ja tasa-arvoinen t o, ja anna harmonisen satunnaismuuttujan olla muotoa

Teeskennetäänpä sitä  (k) on tasainen todennäköisyystiheys p( ) ystävällinen

Etsi todennäköisyystiheys p(x) Satunnaismuuttuja x(k).

Tässä esimerkissä suora funktio x( ) yksiselitteisesti ja käänteisfunktio  (x) epäselvä.

Ratkaistaan ​​yksi ongelma yllä olevalla yleisellä menetelmällä, nimittäin jakaumalaki kahden satunnaismuuttujan summalle. On olemassa kahden satunnaismuuttujan (X,Y) järjestelmä, joiden jakautumistiheys on f(x,y). Tarkastellaan satunnaismuuttujien X ja Y summaa: ja etsitään arvon Z jakautumislaki. Tätä varten rakennetaan xOy-tasolle suora, jonka yhtälö on (kuva 7). Tämä on suora, joka leikkaa akseleilta segmentit, jotka ovat yhtä suuria kuin z. Suora jakaa xy-tason kahteen osaan; oikealle ja sen yläpuolelle; vasemmalle ja alapuolelle.

Alue D on tässä tapauksessa xOy-tason vasen alaosa, varjostettu kuvassa 1. 7. Kaavan (16) mukaan meillä on:

Erottamalla tämä lauseke sisäisen integraalin ylärajaan sisältyvän muuttujan z suhteen, saadaan:

Tämä on yleinen kaava kahden satunnaismuuttujan summan jakautumistiheydelle.

Ongelman symmetrian vuoksi X:n ja Y:n suhteen voimme kirjoittaa toisen version samasta kaavasta:

joka vastaa ensimmäistä ja sitä voidaan käyttää sen sijaan.

Esimerkki normaalien lakien koostumuksesta. Tarkastellaan kahta riippumatonta satunnaismuuttujaa X ja Y normaaleiden lakien alaisina:

On tuotettava näiden lakien koostumus, eli löydettävä suuren jakautumislaki: .

Käytämme yleistä kaavaa jakautumislakien koostumukseen:

Jos avaamme sulut integrandin eksponenttiin ja tuomme samanlaiset termit, saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet kaavaan, jonka olemme jo kohdanneet

muunnosten jälkeen saamme:

ja tämä on vain normaali laki, jossa on hajontakeskus

ja keskihajonta

Sama johtopäätös voidaan tehdä paljon helpommin seuraavan laadullisen päättelyn avulla.

Avaamatta sulkuja ja suorittamatta muunnoksia integrandissa (17) tulemme välittömästi siihen tulokseen, että eksponentti on neliötrinomi muodon x:n suhteen.

jossa z:n arvo ei sisälly kertoimeen A ollenkaan, kerroin B sisältyy ensimmäiseen asteeseen ja kerroin C neliötetään. Tätä silmällä pitäen ja kaavaa (18) käyttäen päätämme, että g(z) on eksponentiaalinen funktio, jonka eksponentti on neliötrinomi suhteessa z:hen ja jakautumistiheyteen; tällainen vastaa normaalia lakia. Siten me; tulemme puhtaasti kvalitatiiviseen johtopäätökseen: z:n jakauman lain on oltava normaali. Tämän lain parametrien löytämiseksi - ja - käytämme matemaattisten odotusten yhteenlaskulausetta ja varianssien yhteenlaskulausetta. Matemaattisten odotusten summauslauseella. Dispersiolisälauseen mukaan, tai mistä kaava (20) seuraa.

Siirtymällä neliökeskiarvopoikkeamista niihin verrannollisiin todennäköisiin poikkeamiin, saamme: .

Siten olemme päässeet seuraavaan sääntöön: kun normaalilakeja muodostetaan, saadaan taas normaalilaki ja lasketaan matemaattiset odotukset ja varianssit (tai neliöidyt todennäköiset poikkeamat).

Normaalilakien koostumussääntö voidaan yleistää sattumanvaraiseen määrään riippumattomia satunnaismuuttujia.

Jos riippumattomia satunnaismuuttujia on n: normaalilakien alainen dispersiokeskittymien ja keskihajonnan kanssa, niin arvo on myös normaalin lain alainen parametrein

Kaavan (22) sijasta voidaan käyttää vastaavaa kaavaa:

Jos satunnaismuuttujien järjestelmä (X, Y) jakautuu normaalin lain mukaan, mutta suuret X, Y ovat riippuvaisia, niin se on helppo todistaa, kuten ennenkin, yleisen kaavan (6.3.1) perusteella. että suuren jakautumislaki on myös normaali laki. Sirontakeskuksia lisätään edelleen algebrallisesti, mutta keskihajonnan sääntö monimutkaistuu: , missä r on X- ja Y-arvojen korrelaatiokerroin.

Kun yhteen lasketaan useita riippuvaisia ​​satunnaismuuttujia, jotka kokonaisuutena noudattavat normaalilakia, myös summan jakautumislaki muuttuu parametrien kanssa normaaliksi

tai todennäköisiä poikkeamia

missä on suureiden X i , X j korrelaatiokerroin ja summaus ulottuu kaikkiin eri parittaisiin suureiden yhdistelmiin.

Olemme nähneet normaalin lain erittäin tärkeän ominaisuuden: kun normaalilait yhdistetään, saadaan taas normaali laki. Tämä on niin kutsuttu "vakausominaisuus". Jakaumalain sanotaan olevan stabiili, jos muodostamalla kaksi tämäntyyppistä lakia saadaan jälleen samantyyppinen laki. Olemme osoittaneet edellä, että normaali laki on vakaa. Hyvin harvoilla jakelulailla on stabiiliuden ominaisuus. Tasaisen tiheyden laki on epävakaa: kun muodostamme kaksi tasaisen tiheyden lakia osissa 0-1, saimme Simpsonin lain.

Normaalilain pysyvyys on yksi sen laajan käytännön soveltamisen olennaisista edellytyksistä. Stabiilisuuden ominaisuus on kuitenkin normaalin lisäksi myös eräillä muilla jakautumislailla. Normaalin lain ominaisuus on, että kun muodostuu riittävän suuri määrä käytännössä mielivaltaisia ​​jakautumalakeja, kokonaislaki osoittautuu mielivaltaisen lähelle normaalia riippumatta siitä, mitkä termien jakautumislait olivat. Tätä voidaan havainnollistaa esimerkiksi muodostamalla kolmen tasaisen tiheyden lain koostumus osissa 0 - 1. Tuloksena oleva jakautumislaki g(z) on esitetty kuvassa 1. 8. Kuten piirroksesta voidaan nähdä, funktion g (z) kuvaaja on hyvin samanlainen kuin normaalin lain kuvaaja.