Integraalitaulukko on täydellinen ja integroinnin säännöt. Transsendenttisten toimintojen integraalit
Määritelmä 1
Antiderivaata $F(x)$ funktiolle $y=f(x)$ segmentissä $$ on funktio, joka on differentioituva tämän segmentin jokaisessa pisteessä ja sen derivaatalle pätee seuraava yhtälö:
Määritelmä 2
Jollekin segmentille määritettyä tietyn funktion $y=f(x)$ kaikkien antiderivaatojen joukkoa kutsutaan annetun funktion $y=f(x)$ epämääräiseksi integraaliksi. Epämääräistä integraalia merkitään symbolilla $\int f(x)dx $.
Johdannaisten taulukosta ja määritelmästä 2 saadaan perusintegraalien taulukko.
Esimerkki 1
Tarkista kaavan 7 oikeellisuus integraalitaulukosta:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
Erotetaan oikea puoli: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Esimerkki 2
Tarkista kaavan 8 oikeellisuus integraalitaulukosta:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
Erottele oikea puoli: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]
Derivaata osoittautui yhtä suureksi kuin integrandi. Siksi kaava on oikea.
Esimerkki 3
Tarkista kaavan 11" oikeellisuus integraalitaulukosta:
\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]
Erota oikea puoli: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.
\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]
Derivaata osoittautui yhtä suureksi kuin integrandi. Siksi kaava on oikea.
Esimerkki 4
Tarkista kaavan 12 oikeellisuus integraalitaulukosta:
\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=vakio.\]
Erottele oikea puoli: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.
$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Dirivaata on yhtä suuri kuin integrandi. Siksi kaava on oikea.
Esimerkki 5
Tarkista kaavan 13 "pätevyys integraalitaulukosta:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]
Erota oikea puoli: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.
\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) \]
Derivaata osoittautui yhtä suureksi kuin integrandi. Siksi kaava on oikea.
Esimerkki 6
Tarkista kaavan 14 oikeellisuus integraalitaulukosta:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=vakio.\]
Erottele oikea puoli: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]
Derivaata osoittautui yhtä suureksi kuin integrandi. Siksi kaava on oikea.
Esimerkki 7
Etsi integraali:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Käytetään integraalisummalausetta:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Käytetään lausetta vakiotekijän poistamisesta integraalimerkistä:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
Integraalitaulukon mukaan:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]
Ensimmäistä integraalia laskettaessa käytämme sääntöä 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]
Näin ollen
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]
Hyödynnetään sitä tosiasiaa, että integraatio on erilaistumisen käänteinen. on mahdollista saada perusintegraalitaulukko kääntämällä vastaavat differentiaalilaskennan kaavat (differentiaalitaulukko) ja käyttämällä epämääräisen integraalin ominaisuuksia. Esimerkiksi, koska
d(synti u) = cos u*du, niin useiden taulukkokaavojen johtaminen annetaan, kun tarkastellaan tärkeimpiä integrointimenetelmiä.
Alla olevan taulukon integraaleja kutsutaan taulukkomainen. Ne pitäisi tuntea ulkoa. Integraalilaskennassa ei ole yksinkertaisia ja universaaleja sääntöjä antiderivaatojen löytämiseksi alkeisfunktioista, kuten differentiaalilaskennassa. Menetelmät antijohdannaisten löytämiseksi (eli funktion integroimiseksi) rajoittuvat osoittamaan menetelmiä, jotka tuovat tietyn (toivotun) integraalin taulukkomuotoon. Siksi on tarpeen tuntea taulukkointegraalit ja osata tunnistaa ne.
Huomaa, että perusintegraalitaulukossa integrointimuuttuja ja voi merkitä sekä itsenäistä muuttujaa että riippumattoman muuttujan funktiota (integrointikaavan invarianssiominaisuuden mukaan).
Alla olevien kaavojen pätevyys voidaan varmistaa ottamalla oikeanpuoleinen differentiaali, joka on yhtä suuri kuin kaavan vasemmalla puolella oleva integrandi.
Todistakaamme esimerkiksi kaavan 2 pätevyys. Funktio 1/ u määritelty ja jatkuva kaikille arvoille u, muu kuin nolla.
Jos u> 0. sitten ln | u| =ln u, sitten d ln | u| = d ln u = du/u. Siksi 
Taulukko perusintegraalista 
Luettelemme alkeisfunktioiden integraalit, joita joskus kutsutaan taulukkomuodoiksi:
Mikä tahansa yllä olevista kaavoista voidaan todistaa ottamalla oikean puolen derivaatta (tuloksena saadaan integrandi).
Integrointimenetelmät
Tarkastellaanpa joitain integroinnin perusmenetelmiä. Nämä sisältävät:
1. Hajotusmenetelmä(suora integraatio).
Tämä menetelmä perustuu taulukkointegraalien suoraan soveltamiseen sekä epämääräisen integraalin ominaisuuksien 4 ja 5 käyttöön (eli vakiotekijän ottaminen pois suluista ja/tai integrandin esittäminen funktioiden summana - laajentamalla integrandia termeiksi).
Esimerkki 1 Esimerkiksi löytääksesi (dx/x 4), voit käyttää suoraan taulukkointegraalia x n dx:lle. Todellakin, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Katsotaanpa vielä muutama esimerkki.
Esimerkki 2 Löytääksemme käytämme samaa integraalia:
Esimerkki 3 Löytääksesi sinun on otettava
Esimerkki 4 Löytääksemme edustamme integrandia muodossa 
ja käytä taulukkointegraalia eksponentiaaliselle funktiolle:
Harkitse vakiokertoimen sulkemista.
Esimerkki 5
Etsitään esim 
. Tämän huomioon ottaen saamme
Esimerkki 6 Etsitään. Koska 
, käytämme taulukkointegraalia 
Saada
Voit myös käyttää sulkeita ja taulukkointegraaleja seuraavissa kahdessa esimerkissä:
Esimerkki 7
(käytämme ja 
);
Esimerkki 8
(käytämme 
ja 
).
Katsotaanpa monimutkaisempia esimerkkejä, joissa käytetään summaintegraalia.
Esimerkki 9 Etsitään esimerkiksi 
. Laajennusmenetelmän soveltamiseksi osoittajassa käytämme summakuution kaavaa ja jaamme sitten tuloksena olevan polynomin termin nimittäjällä.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
On huomattava, että ratkaisun loppuun kirjoitetaan yksi yhteinen vakio C (eikä erillisiä kutakin termiä integroitaessa). Jatkossa ehdotetaan myös vakioiden jättämistä pois yksittäisten termien integroinnista ratkaisuprosessissa niin kauan kuin lauseke sisältää vähintään yhden epämääräisen integraalin (kirjoitamme yhden vakion ratkaisun loppuun).
Esimerkki 10 Etsitään 
. Tämän ongelman ratkaisemiseksi kerroimme osoittajan (sen jälkeen voimme pienentää nimittäjää).
Esimerkki 11. Etsitään. Tässä voidaan käyttää trigonometrisiä identiteettejä.
Joskus lausekkeen hajottamiseksi termeiksi on käytettävä monimutkaisempia tekniikoita.
Esimerkki 12. Etsitään 
. Integrandissa valitsemme murtoluvun kokonaislukuosan 
. Sitten
Esimerkki 13 Etsitään
2. Muuttuva korvausmenetelmä (korvausmenetelmä)
Menetelmä perustuu seuraavaan kaavaan: f(x)dx=f((t))`(t)dt, missä x =(t) on tarkasteluvälillä differentioituva funktio.
Todiste. Etsitään derivaatat muuttujan t suhteen kaavan vasemmasta ja oikeasta osasta.
Huomaa, että vasemmalla puolella on kompleksifunktio, jonka väliargumentti on x = (t). Siksi erottaaksemme sen t:n suhteen differentioidaan ensin integraali x:n suhteen ja sitten otetaan väliargumentin derivaatta t:n suhteen.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Oikean puolen johdannainen:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Koska nämä derivaatat ovat yhtä suuret, Lagrangen lauseen johdosta todistettavan kaavan vasen ja oikea osa eroavat jonkin vakion verran. Koska itse määrittelemättömät integraalit on määritelty määrittelemättömään vakiotermiin asti, tämä vakio voidaan jättää pois lopullisesta merkinnästä. Todistettu.
Onnistuneen muuttujan muutoksen avulla voimme yksinkertaistaa alkuperäistä integraalia ja yksinkertaisimmissa tapauksissa pienentää sen taulukkomuotoiseksi. Tätä menetelmää sovellettaessa erotetaan lineaarisen ja epälineaarisen substituution menetelmät.
a) Lineaarinen korvausmenetelmä katsotaanpa esimerkkiä.
Esimerkki 1
. Lett = 1 – 2x siis
dx=d(½ - ½t) = - ½ dt
On huomattava, että uutta muuttujaa ei tarvitse kirjoittaa erikseen. Tällaisissa tapauksissa puhutaan funktion muuntamisesta differentiaalin merkin alla tai vakioiden ja muuttujien käyttöönotosta differentiaalin merkin alle, ts. noin implisiittisen muuttujan substituutio.
Esimerkki 2 Etsitään esimerkiksi cos(3x + 2)dx. Differentiaalin ominaisuuksien perusteella dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), sittencos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
Molemmissa tarkasteluissa esimerkeissä integraalien etsimiseen käytettiin lineaarista substituutiota t=kx+b(k0).
Yleisessä tapauksessa seuraava lause pätee.
Lineaarinen korvauslause. Olkoon F(x) jokin antiderivaata funktiolle f(x). Sittenf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, missä k ja b ovat joitain vakioita,k0.
Todiste.
Integraalin f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C määritelmän mukaan. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Otetaan integraalimerkin vakiotekijä k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nyt voidaan jakaa yhtälön vasen ja oikea osa k:lla ja saada todistettava väite vakiotermin merkintään asti.
Tämä lause sanoo, että jos lauseke (kx+b) korvataan integraalin f(x)dx= F(x) + C määritelmässä, niin tämä johtaa lisätekijän 1/k esiintymiseen edessä. antijohdannaisesta.
Todistetun lauseen avulla ratkaisemme seuraavat esimerkit.
Esimerkki 3
Etsitään 
. Tässä kx+b= 3 –x, eli k= -1,b= 3. Sitten
Esimerkki 4
Etsitään. Tässä kx+b= 4x+ 3, eli k= 4,b= 3. Sitten
Esimerkki 5
Etsitään 
. Tässä kx+b= -2x+ 7, eli k= -2,b= 7. Sitten
.
Esimerkki 6 Etsitään 
. Tässä kx+b= 2x+ 0, eli k= 2,b=0.
.
Verrataan saatua tulosta esimerkkiin 8, joka on ratkaistu hajotusmenetelmällä. Ratkaisimme saman ongelman toisella menetelmällä, saimme vastauksen 
. Verrataanpa tuloksia: Näin ollen nämä lausekkeet eroavat toisistaan vakiotermillä 
, eli saadut vastaukset eivät ole ristiriidassa keskenään.
Esimerkki 7 Etsitään 
. Valitsemme nimittäjästä täyden neliön.
Joissakin tapauksissa muuttujan muutos ei pelkistä integraalia suoraan taulukkomuotoiseksi, mutta se voi yksinkertaistaa ratkaisua mahdollistamalla hajotusmenetelmän soveltamisen seuraavassa vaiheessa.
Esimerkki 8 Etsitään esimerkiksi 
. Korvaa t=x+ 2, sitten dt=d(x+ 2) =dx. Sitten
,
missä C \u003d C 1 - 6 (kun korvataan lauseke (x + 2) t:n sijaan, kahden ensimmäisen termin sijasta saadaan ½x 2 -2x - 6).
Esimerkki 9 Etsitään 
. Olkoon t= 2x+ 1, sitten dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Korvaamme lausekkeen (2x + 1) t:n sijaan, avaa sulut ja anna samanlaiset.
Huomaa, että muunnosprosessissa siirryimme toiseen vakiotermiin, koska muunnosprosessin vakiotermien ryhmä voitaisiin jättää pois.
b) Epälineaarisen substituution menetelmä katsotaanpa esimerkkiä.
Esimerkki 1
. Olkoon t= -x 2 . Lisäksi x voidaan ilmaista t:llä, sitten löytää lauseke dx:lle ja toteuttaa muuttujan muutos haluttuun integraaliin. Mutta tässä tapauksessa on helpompi tehdä toisin. Etsi dt=d(-x 2) = -2xdx. Huomaa, että lauseke xdx on vaaditun integraalin integrandin tekijä. Ilmaisemme sen tuloksena olevasta yhtälöstä xdx= - ½dt. Sitten
Integrointi on yksi matemaattisen analyysin perustoiminnoista. Tunnettujen antiderivaalien taulukot voivat olla hyödyllisiä, mutta nyt, tietokonealgebrajärjestelmien syntymisen jälkeen, ne ovat menettämässä merkityksensä. Alla on luettelo yleisimmistä antiderivaatteista.
Taulukko perusintegraalista
Toinen kompakti versio
Trigonometristen funktioiden integraalitaulukko
Rationaalisista funktioista
Irrationaalisista funktioista
Transsendenttisten toimintojen integraalit
"C" on mielivaltainen integrointivakio, joka määritetään, jos integraalin arvo jossain vaiheessa tunnetaan. Jokaisella funktiolla on ääretön määrä antiderivaatteja.
Useimmilla koululaisilla ja opiskelijoilla on ongelmia integraalien laskennassa. Tämä sivu sisältää integraalitaulukot trigonometrisista, rationaalisista, irrationaalisista ja transsendenttisista funktioista, jotka auttavat ratkaisemaan. Myös johdannaistaulukko auttaa sinua.