La ciencia de las relaciones cuantitativas del mundo real. Las matemáticas como ciencia de las relaciones cuantitativas y formas espaciales del mundo real. Período de matemáticas de variables.
Las propiedades idealizadas de los objetos en estudio se formulan como axiomas o se enumeran en la definición de los objetos matemáticos correspondientes. Luego, de acuerdo con reglas estrictas de inferencia lógica, se deducen otras propiedades verdaderas (teoremas) de estas propiedades. Esta teoría en conjunto forma un modelo matemático del objeto bajo estudio. Así, partiendo inicialmente de relaciones espaciales y cuantitativas, las matemáticas obtienen relaciones más abstractas, cuyo estudio es también objeto de las matemáticas modernas.
Tradicionalmente, las matemáticas se dividen en teóricas, que realizan un análisis en profundidad de las estructuras intramatemáticas, y aplicadas, que aportan sus modelos a otras ciencias y disciplinas de la ingeniería, y algunas de ellas ocupan una posición limítrofe con las matemáticas. En particular, la lógica formal puede considerarse tanto como parte de las ciencias filosóficas como parte de las ciencias matemáticas; mecánica, tanto física como matemática; la informática, la tecnología informática y los algoritmos son tanto ingeniería como ciencias matemáticas, etc. En la literatura se han propuesto muchas definiciones diferentes de matemáticas.
Etimología
La palabra "matemáticas" proviene de otro griego. μάθημα, que significa estudio de, conocimiento, la ciencia, etc. - Griego. μαθηματικός, que originalmente significaba receptivo, prolífico, luego estudiable, posteriormente relativo a las matemáticas. En particular, μαθηματικὴ τέχνη , en latín ars matematica, significa arte de las matemáticas. El término otro griego. μᾰθημᾰτικά en el sentido moderno de la palabra "matemáticas" ya se encuentra en los escritos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Según Fasmer, la palabra llegó al idioma ruso a través del polaco. matematyka, o a través de lat. matematica
Definiciones
Una de las primeras definiciones del objeto de las matemáticas fue dada por Descartes:
El campo de las matemáticas incluye sólo aquellas ciencias en las que se considera orden o medida, y no importa en absoluto si se trata de números, figuras, estrellas, sonidos o cualquier otra cosa en la que se busque esta medida. Así, debe haber alguna ciencia general que explique todo lo perteneciente al orden y la medida, sin entrar en el estudio de ninguna materia particular, y esta ciencia debe ser llamada no por el extranjero, sino por el antiguo nombre ya común de Matemáticas Generales.
La esencia de las matemáticas... se presenta ahora como una doctrina de relaciones entre objetos, de la que nada se sabe, salvo algunas propiedades que los describen -precisamente aquellas que se ponen como axiomas en la base de la teoría... Matemáticas es un conjunto de formas abstractas - estructuras matemáticas.
ramas de las matematicas
1. Matemáticas como disciplina académica
Notación
Dado que las matemáticas se ocupan de estructuras extremadamente diversas y bastante complejas, su notación también es muy compleja. El sistema moderno de escritura de fórmulas se formó sobre la base de la tradición algebraica europea, así como de las necesidades de las secciones posteriores de las matemáticas: análisis matemático, lógica matemática, teoría de conjuntos, etc. La geometría ha utilizado una representación visual (geométrica) de tiempo inmemorial. En las matemáticas modernas, los sistemas de notación gráfica complejos (por ejemplo, diagramas conmutativos) también son comunes, y también se usa a menudo la notación basada en gráficos.
Cuento
filosofia de las matematicas
Objetivos y Métodos
Espacio R norte (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), en n > 3 (\ estilo de visualización n > 3) es una invención matemática. Sin embargo, un invento muy ingenioso que ayuda a entender matemáticamente fenómenos complejos».
Cimientos
intuicionismo
matemáticas constructivas
aclarar
Temas principales
Cantidad
La sección principal que trata de la abstracción de la cantidad es el álgebra. El concepto de "número" se originó originalmente a partir de representaciones aritméticas y se refería a los números naturales. Más tarde, con la ayuda del álgebra, se extendió gradualmente a números enteros, racionales, reales, complejos y otros.
Transformaciones
Los fenómenos de transformaciones y cambios son considerados en la forma más general por análisis.
estructuras
Relaciones espaciales
La geometría considera los fundamentos de las relaciones espaciales. La trigonometría considera las propiedades de las funciones trigonométricas. El estudio de los objetos geométricos a través del análisis matemático se ocupa de la geometría diferencial. Las propiedades de los espacios que permanecen inalterables bajo deformaciones continuas y el fenómeno mismo de la continuidad son estudiados por la topología.
Matemáticas discretas
| ∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x"))) | |||
Las matemáticas existen desde hace mucho tiempo. El hombre recolectó frutas, desenterró frutas, pescó y almacenó todo para el invierno. Para entender cuánta comida se almacena, una persona inventó la cuenta. Así empezaron las matemáticas.
Entonces el hombre comenzó a dedicarse a la agricultura. Era necesario medir terrenos, construir viviendas, medir el tiempo.
Es decir, se hizo necesario que una persona usara la proporción cuantitativa del mundo real. Determine cuántos cultivos se han cosechado, cuál es el tamaño de la parcela de construcción o qué tan grande es el área del cielo con una cierta cantidad de estrellas brillantes.
Además, una persona comenzó a determinar las formas: el sol es redondo, la caja es cuadrada, el lago es ovalado y cómo se ubican estos objetos en el espacio. Es decir, una persona se interesó en las formas espaciales del mundo real.
Así el concepto matemáticas puede definirse como la ciencia de las relaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real.
En la actualidad, no hay una sola profesión en la que uno pueda prescindir de las matemáticas. El famoso matemático alemán Carl Friedrich Gauss, llamado el "Rey de las Matemáticas", dijo una vez:
"Las matemáticas son la reina de las ciencias, la aritmética es la reina de las matemáticas".
La palabra "aritmética" proviene de la palabra griega "arithmos" - "número".
Por lo tanto, aritmética es una rama de las matemáticas que estudia los números y las operaciones sobre ellos.
En la escuela primaria, en primer lugar, estudian aritmética.
Cómo se desarrolló esta ciencia, exploremos este tema.
El período del nacimiento de las matemáticas.
Se considera que el período principal de acumulación de conocimiento matemático es el período anterior al siglo V a.
El primero que comenzó a probar posiciones matemáticas fue un pensador griego antiguo que vivió en el siglo VII a. C., presumiblemente entre 625 y 545. Este filósofo viajó por los países de Oriente. La tradición dice que estudió con los sacerdotes egipcios y los caldeos de Babilonia.
Tales de Mileto trajo de Egipto a Grecia los primeros conceptos de geometría elemental: qué es un diámetro, qué determina un triángulo, etc. Predijo un eclipse solar, diseñó estructuras de ingeniería.
Durante este período, la aritmética se desarrolla gradualmente, la astronomía y la geometría se desarrollan. Nacen el álgebra y la trigonometría.
Período de matemáticas elementales
Este período comienza con el VI aC. Ahora las matemáticas están emergiendo como una ciencia con teorías y demostraciones. Aparece la teoría de los números, la doctrina de las cantidades, de su medida.
El matemático más famoso de esta época es Euclides. Vivió en el siglo III a.C. Este hombre es el autor del primer tratado teórico de matemáticas que nos ha llegado.
En las obras de Euclides, se dan los fundamentos de la llamada geometría euclidiana: estos son axiomas que se basan en conceptos básicos, como.
Durante el período de las matemáticas elementales nació la teoría de los números, así como la doctrina de las cantidades y su medida. Por primera vez aparecen los números negativos e irracionales.
Al final de este período, se observa la creación del álgebra, como cálculo literal. La misma ciencia del "álgebra" aparece entre los árabes como la ciencia de resolver ecuaciones. La palabra "álgebra" en árabe significa "recuperación", es decir, la transferencia de valores negativos a otra parte de la ecuación.
Período de matemáticas de variables.
El fundador de este período es René Descartes, que vivió en el siglo XVII d.C. En sus escritos, Descartes introduce por primera vez el concepto de variable.
Gracias a esto, los científicos pasan del estudio de las cantidades constantes al estudio de las relaciones entre variables ya la descripción matemática del movimiento.
Friedrich Engels caracterizó este período más claramente, en sus escritos escribió:
“El punto de inflexión en las matemáticas fue la variable cartesiana. Gracias a esto, el movimiento y, por lo tanto, la dialéctica entraron en las matemáticas, y gracias a esto, el cálculo diferencial e integral se hizo inmediatamente necesario, lo que surge de inmediato, y que en general fue completado, y no inventado por Newton y Leibniz.
Período de las matemáticas modernas
En los años 20 del siglo XIX, Nikolai Ivanovich Lobachevsky se convirtió en el fundador de la llamada geometría no euclidiana.
A partir de este momento comienza el desarrollo de las secciones más importantes de las matemáticas modernas. Como la teoría de la probabilidad, la teoría de conjuntos, las estadísticas matemáticas, etc.
Todos estos descubrimientos y estudios son ampliamente utilizados en diversos campos de la ciencia.
Y en la actualidad, la ciencia de las matemáticas se está desarrollando rápidamente, el tema de las matemáticas se está expandiendo, incluidas nuevas formas y relaciones, se están probando nuevos teoremas y se están profundizando los conceptos básicos.
Las propiedades idealizadas de los objetos en estudio se formulan como axiomas o se enumeran en la definición de los objetos matemáticos correspondientes. Luego, de acuerdo con reglas estrictas de inferencia lógica, se deducen otras propiedades verdaderas (teoremas) de estas propiedades. Esta teoría en conjunto forma un modelo matemático del objeto bajo estudio. Así, inicialmente, partiendo de relaciones espaciales y cuantitativas, las matemáticas obtienen relaciones más abstractas, cuyo estudio es también objeto de las matemáticas modernas.
Tradicionalmente, las matemáticas se dividen en teóricas, que realizan un análisis en profundidad de las estructuras intramatemáticas, y aplicadas, que aportan sus modelos a otras ciencias y disciplinas de la ingeniería, y algunas de ellas ocupan una posición limítrofe con las matemáticas. En particular, la lógica formal puede considerarse tanto como parte de las ciencias filosóficas como parte de las ciencias matemáticas; mecánica, tanto física como matemática; informática, tecnología informática y algoritmos se refieren tanto a la ingeniería como a las ciencias matemáticas, etc. En la literatura se han propuesto muchas definiciones diferentes de matemáticas (ver).
Etimología
La palabra "matemáticas" proviene de otro griego. μάθημα ( matemáticas), lo que significa estudio de, conocimiento, la ciencia, etc. - Griego. μαθηματικός ( matemáticos), originalmente significando receptivo, prolífico, luego estudiable, posteriormente relativo a las matemáticas. En particular, μαθηματικὴ τέχνη (Mathēmatikḗ tékhnē), en latín ars matematica, significa arte de las matemáticas.
Definiciones
El campo de las matemáticas incluye sólo aquellas ciencias en las que se considera orden o medida, y no importa en absoluto si se trata de números, figuras, estrellas, sonidos o cualquier otra cosa en la que se busque esta medida. Así, debe haber alguna ciencia general que explique todo lo perteneciente al orden y la medida, sin entrar en el estudio de ninguna materia particular, y esta ciencia debe ser llamada no por el extranjero, sino por el antiguo nombre ya común de Matemáticas Generales.
En la época soviética, la definición de la TSB dada por A. N. Kolmogorov se consideraba clásica:
Matemáticas... la ciencia de las relaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real.
La esencia de las matemáticas... se presenta ahora como una doctrina de relaciones entre objetos, de la que nada se sabe, salvo algunas propiedades que los describen -precisamente aquellas que se ponen como axiomas en la base de la teoría... Matemáticas es un conjunto de formas abstractas - estructuras matemáticas.
Aquí hay algunas definiciones más modernas.
Las matemáticas teóricas ("puras") modernas son la ciencia de las estructuras matemáticas, las invariantes matemáticas de varios sistemas y procesos.
Las matemáticas son una ciencia que brinda la capacidad de calcular modelos que pueden reducirse a una forma estándar (canónica). La ciencia de encontrar soluciones a modelos analíticos (análisis) por medio de transformaciones formales.
ramas de las matematicas
1. Matemáticas como disciplina académica se subdivide en la Federación Rusa en matemáticas elementales estudiadas en la escuela secundaria y formada por las siguientes disciplinas:
- geometría elemental: planimetría y estereometría
- teoría de funciones elementales y elementos de análisis
4. La American Mathematical Society (AMS) ha desarrollado su propio estándar para clasificar las ramas de las matemáticas. Se llama Clasificación de materias de Matemáticas. Esta norma se actualiza periódicamente. La versión actual es MSC 2010. La versión anterior es MSC 2000.
Notación
Debido al hecho de que las matemáticas se ocupan de estructuras extremadamente diversas y bastante complejas, la notación también es muy compleja. El sistema moderno de escritura de fórmulas se formó sobre la base de la tradición algebraica europea, así como del análisis matemático (el concepto de función, derivada, etc.). Desde tiempos inmemoriales, la geometría ha utilizado una representación visual (geométrica). En las matemáticas modernas, los sistemas de notación gráfica complejos (por ejemplo, diagramas conmutativos) también son comunes, y también se usa a menudo la notación basada en gráficos.
Cuento
El desarrollo de las matemáticas se basa en la escritura y la capacidad de escribir números. Probablemente, los pueblos antiguos expresaron primero la cantidad dibujando líneas en el suelo o rascándolas en la madera. Los antiguos Incas, al no tener otro sistema de escritura, representaban y almacenaban datos numéricos mediante un complejo sistema de nudos de cuerda, los llamados quipu. Había muchos sistemas numéricos diferentes. Los primeros registros conocidos de números se encontraron en el Papiro de Ahmes, creado por los egipcios del Reino Medio. La civilización india desarrolló el sistema numérico decimal moderno incorporando el concepto de cero.
Históricamente, las grandes disciplinas matemáticas surgieron bajo la influencia de la necesidad de realizar cálculos en el ámbito comercial, en la medición del terreno y para la predicción de fenómenos astronómicos y, posteriormente, para la resolución de nuevos problemas físicos. Cada una de estas áreas juega un papel importante en el amplio desarrollo de las matemáticas, que consiste en el estudio de estructuras, espacios y cambios.
filosofia de las matematicas
Objetivos y Métodos
Las matemáticas estudian los objetos imaginarios, ideales y las relaciones entre ellos utilizando un lenguaje formal. En general, los conceptos y teoremas matemáticos no corresponden necesariamente a nada en el mundo físico. La tarea principal de la rama aplicada de las matemáticas es crear un modelo matemático que sea lo suficientemente adecuado para el objeto real en estudio. La tarea del matemático teórico es proporcionar un conjunto suficiente de medios convenientes para lograr este objetivo.
El contenido de las matemáticas se puede definir como un sistema de modelos matemáticos y herramientas para su creación. El modelo de objetos no tiene en cuenta todas sus características, sino solo las más necesarias para los fines del estudio (idealizadas). Por ejemplo, cuando estudiamos las propiedades físicas de una naranja, podemos abstraernos de su color y sabor y representarla (aunque no con total precisión) como una bola. Si necesitamos entender cuántas naranjas obtenemos si sumamos dos y tres, entonces podemos abstraernos de la forma, dejando el modelo con una sola característica: la cantidad. La abstracción y el establecimiento de relaciones entre objetos en su forma más general es una de las principales áreas de la creatividad matemática.
Otra dirección, junto con la abstracción, es la generalización. Por ejemplo, generalizando el concepto de "espacio" al espacio de n-dimensiones. " El espacio en es una invención matemática. Sin embargo, un invento muy ingenioso que ayuda a entender matemáticamente fenómenos complejos».
El estudio de objetos intramatemáticos, por regla general, se lleva a cabo utilizando el método axiomático: primero, se formula una lista de conceptos y axiomas básicos para los objetos en estudio, y luego se obtienen teoremas significativos de los axiomas utilizando reglas de inferencia, que juntos forman un modelo matematico
Cimientos
La cuestión de la esencia y los fundamentos de las matemáticas se ha discutido desde la época de Platón. Desde el siglo XX, ha habido un acuerdo comparativo sobre lo que debería considerarse una prueba matemática rigurosa, pero no ha habido acuerdo sobre lo que se considera verdadero en matemáticas. Esto da lugar a desacuerdos tanto en cuestiones de axiomática y la interconexión de las ramas de las matemáticas, y en la elección de los sistemas lógicos que deben utilizarse en las demostraciones.
Además de los escépticos, se conocen los siguientes enfoques sobre este tema.
Enfoque de teoría de conjuntos
Se propone considerar todos los objetos matemáticos en el marco de la teoría de conjuntos, la mayoría de las veces con la axiomática de Zermelo-Fraenkel (aunque hay muchas otras que son equivalentes a ella). Este enfoque ha sido considerado predominante desde mediados del siglo XX, sin embargo, en realidad, la mayoría de los trabajos matemáticos no se dan a la tarea de traducir sus enunciados estrictamente al lenguaje de la teoría de conjuntos, sino que operan con conceptos y hechos establecidos en algunas áreas. de las matemáticas Así, si se encuentra una contradicción en la teoría de conjuntos, esto no supondrá la invalidación de la mayoría de los resultados.
logicismo
Este enfoque asume una tipificación estricta de los objetos matemáticos. Muchas paradojas evitadas en la teoría de conjuntos solo mediante trucos especiales resultan ser imposibles en principio.
Formalismo
Este enfoque implica el estudio de sistemas formales basados en la lógica clásica.
intuicionismo
El intuicionismo presupone en la base de las matemáticas una lógica intuicionista que es más limitada en los medios de prueba (pero, se cree, también más confiable). El intuicionismo rechaza la prueba por contradicción, muchas pruebas no constructivas se vuelven imposibles y muchos problemas de la teoría de conjuntos se vuelven sin sentido (no formalizables).
matemáticas constructivas
La matemática constructiva es una corriente de las matemáticas cercana al intuicionismo que estudia las construcciones constructivas. aclarar] . Según el criterio de constructibilidad - " existir significa ser construido". El criterio de constructividad es un requisito más fuerte que el criterio de consistencia.
Temas principales
Números
El concepto de "número" originalmente se refería a los números naturales. Más tarde se extendió gradualmente a números enteros, racionales, reales, complejos y otros.
| Sistemas numéricos | |
|---|---|
| Contando conjuntos |
Números naturales () Enteros () Racionales () Algebraicos () Períodos Aritmética computable |
| Numeros reales y sus extensiones |
Real () Complejo () Cuaterniones () Números de Cayley (octavas, octoniones) () Sedeniones () Alterniones Procedimiento de Cayley-Dixon Hipercomplejo dual Superreal Hiperreal Número surrealista ( inglés) |
| Otro sistemas numéricos |
Números cardinales Números ordinales (transfinito, ordinal) p-ádico Números sobrenaturales |
| ver también | Números dobles Números irracionales Rayo numérico trascendente Bicuaternión |
Transformaciones
Matemáticas discretas
Códigos en los sistemas de clasificación del conocimiento
Servicios en línea
Hay una gran cantidad de sitios que brindan servicios para cálculos matemáticos. La mayoría de ellos están en inglés. De los de habla rusa, se puede destacar el servicio de consultas matemáticas del motor de búsqueda Nigma.
ver también
divulgadores de la ciencianotas
- Enciclopedia Británica
- Diccionario en línea de Webster
- Capítulo 2. Las matemáticas como lenguaje de la ciencia. Universidad Abierta de Siberia. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2012. Consultado el 5 de octubre de 2010.
- Diccionario griego antiguo grande (αω)
- Diccionario de la lengua rusa de los siglos XI-XVII. Edición 9 / Cap. edición F. P. Filin. - M.: Nauka, 1982. - S. 41.
- Descartes r. Reglas para guiar la mente. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
- Ver: TSB Matemáticas
- Marx K., Engels F. Obras. 2ª ed. T. 20. S. 37.
- Bourbaki N. La arquitectura de las matemáticas. Ensayos sobre la historia de las matemáticas / Traducido por I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
- Kaziev V. M. Introducción a las Matemáticas
- Mukhin O. I. Tutorial de Modelado de Sistemas. Permanente: RCI PSTU.
- Herman Weil // Kline M.. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
- Nivel educativo estatal de educación profesional superior. Especialidad 01.01.00. "Matemáticas". Calificación - Matemático. Moscú, 2000 (Compilado bajo la dirección de O. B. Lupanov)
- La nomenclatura de especialidades de trabajadores científicos, aprobada por orden del Ministerio de Educación y Ciencia de Rusia con fecha 25 de febrero de 2009 No. 59
- UDC 51 Matemáticas
- Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Elementos de álgebra lineal y geometría analítica. M.: Nauka, 1988. S. 44.
- N. I. Kondakov. Libro de referencia del diccionario lógico. M.: Nauka, 1975. S. 259.
- G. I. Ruzavin. Sobre la naturaleza del conocimiento matemático. M.: 1968.
- http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
- Por ejemplo: http://mathworld.wolfram.com
Literatura
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- Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes), década de 1980. // Referencias matemáticas generales y especiales en EqWorld
- Kondakov N. I. Libro de referencia del diccionario lógico. Moscú: Nauka, 1975.
- Enciclopedia de las Ciencias Matemáticas y sus Aplicaciones (alemán) 1899-1934 (la revisión más grande de la literatura del siglo XIX)
- G. Korn, T. Korn. manual de matemáticas para científicos e ingenieros M., 1973
- Kline M. Matemáticas. Pérdida de certeza. - M.: Mir, 1984.
- Kline M. Matemáticas. La búsqueda de la verdad. M.: Mir, 1988.
- klein f. Matemáticas elementales desde un punto de vista superior.
- Tomo I. Aritmética. Álgebra. Análisis M.: Nauka, 1987. 432 p.
- Volumen II. Geometría M.: Nauka, 1987. 416 p.
- R. Courant, G. Robbins.¿Qué son las matemáticas? 3ra ed., rev. y adicional - M.: 2001. 568 págs.
- Pisarevsky B. M., Kharin V. T. Sobre matemáticas, matemáticos y no solo. - M.: Binom. Laboratorio del Conocimiento, 2012. - 302 p.
- Poincaré A. Ciencia y método (rus.) (fr.)
Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas. No es nada fácil dar una breve definición de matemáticas, su contenido variará mucho dependiendo del nivel de educación matemática de una persona. Un alumno de primaria que acaba de empezar a estudiar aritmética dirá que matemáticas es estudiar las reglas para contar objetos. Y tendrá razón, porque es con esto que se familiariza al principio. Los estudiantes mayores agregarán a lo dicho que el concepto de matemáticas incluye el álgebra y el estudio de los objetos geométricos: líneas, sus intersecciones, figuras planas, cuerpos geométricos, varios tipos de transformaciones. Los graduados de secundaria, sin embargo, incluirán en la definición de matemáticas el estudio de funciones y la acción de pasar al límite, así como los conceptos relacionados de derivada e integral. Los egresados de instituciones de educación técnica superior o departamentos de ciencias naturales de universidades e institutos pedagógicos ya no estarán satisfechos con las definiciones escolares, ya que saben que otras disciplinas también forman parte de las matemáticas: teoría de la probabilidad, estadística matemática, cálculo diferencial, programación, métodos computacionales, así como aplicaciones de estas disciplinas para el modelado de procesos de producción, procesamiento de datos experimentales, transmisión y procesamiento de información. Sin embargo, lo que se enumera no agota el contenido de las matemáticas. En su composición también se incluyen la teoría de conjuntos, la lógica matemática, el control óptimo, la teoría de procesos aleatorios y mucho más.
Los intentos de definir las matemáticas enumerando sus ramas constituyentes nos llevan por mal camino, porque no dan una idea de qué estudian exactamente las matemáticas y cuál es su relación con el mundo que nos rodea. Si tal pregunta se le hiciera a un físico, biólogo o astrónomo, cada uno de ellos daría una respuesta muy breve, que no contendría una lista de las partes que componen la ciencia que estudian. Tal respuesta contendría una indicación de los fenómenos de la naturaleza que investiga. Por ejemplo, un biólogo diría que la biología es el estudio de las diversas manifestaciones de la vida. Aunque esta respuesta no es del todo completa, ya que no dice qué son la vida y los fenómenos de la vida, sin embargo, tal definición daría una idea bastante completa del contenido de la ciencia de la biología en sí y de los diferentes niveles de esta ciencia. . Y esta definición no cambiaría con la expansión de nuestro conocimiento de la biología.
No existen tales fenómenos de la naturaleza, procesos técnicos o sociales que serían objeto de estudio de las matemáticas, pero que no estarían relacionados con fenómenos físicos, biológicos, químicos, de ingeniería o sociales. Cada disciplina de las ciencias naturales: biología y física, química y psicología, está determinada por las características materiales de su tema, las características específicas del área del mundo real que estudia. El objeto o fenómeno en sí puede ser estudiado por diferentes métodos, incluidos los matemáticos, pero al cambiar los métodos, aún nos mantenemos dentro de los límites de esta disciplina, ya que el contenido de esta ciencia es el tema real, y no el método de investigación. Para las matemáticas, el tema material de investigación no es de importancia decisiva, el método aplicado es importante. Por ejemplo, las funciones trigonométricas se pueden usar tanto para estudiar el movimiento oscilatorio como para determinar la altura de un objeto inaccesible. ¿Y qué fenómenos del mundo real se pueden investigar usando el método matemático? Estos fenómenos están determinados no por su naturaleza material, sino exclusivamente por propiedades estructurales formales y, sobre todo, por aquellas relaciones cuantitativas y formas espaciales en las que existen.
Así, las matemáticas no estudian objetos materiales, sino que investigan métodos y propiedades estructurales del objeto de estudio, que permiten aplicarle determinadas operaciones (suma, diferenciación, etc.). Sin embargo, una parte importante de los problemas, conceptos y teorías matemáticas tienen como fuente primaria fenómenos y procesos reales. Por ejemplo, la aritmética y la teoría de números surgieron de la tarea práctica principal de contar objetos. La geometría elemental tuvo como origen problemas asociados con la comparación de distancias, el cálculo de áreas de figuras planas o los volúmenes de cuerpos espaciales. Era necesario encontrar todo esto, ya que era necesario redistribuir la tierra entre los usuarios, calcular el tamaño de los graneros o el volumen de movimiento de tierras durante la construcción de estructuras de defensa.
Un resultado matemático tiene la propiedad de que no sólo puede ser utilizado en el estudio de un fenómeno o proceso en particular, sino también para estudiar otros fenómenos, cuya naturaleza física es fundamentalmente diferente de los considerados anteriormente. Entonces, las reglas de la aritmética son aplicables en problemas económicos, y en cuestiones técnicas, y en la resolución de problemas de agricultura, y en investigación científica. Las reglas de la aritmética se desarrollaron hace milenios, pero conservaron su valor práctico para siempre. La aritmética es una parte integral de las matemáticas, su parte tradicional ya no está sujeta al desarrollo creativo en el marco de las matemáticas, pero encuentra y seguirá encontrando numerosas aplicaciones nuevas. Estas aplicaciones pueden ser de gran importancia para la humanidad, pero ya no contribuirán a las matemáticas propiamente dichas.
Las matemáticas, como fuerza creadora, tienen como objetivo el desarrollo de reglas generales que deben ser utilizadas en numerosos casos especiales. El que crea estas reglas, crea algo nuevo, crea. El que aplica reglas ya hechas ya no crea en las propias matemáticas, sino que, muy posiblemente, crea nuevos valores en otras áreas del conocimiento con la ayuda de reglas matemáticas. Por ejemplo, hoy en día los datos de la interpretación de imágenes satelitales, así como la información sobre la composición y edad de las rocas, anomalías geoquímicas y geofísicas se procesan mediante computadoras. Sin duda, el uso de una computadora en la investigación geológica deja atrás esta investigación geológica. Los principios de funcionamiento de las computadoras y su software se desarrollaron sin tener en cuenta la posibilidad de su uso en interés de la ciencia geológica. Esta posibilidad en sí está determinada por el hecho de que las propiedades estructurales de los datos geológicos están de acuerdo con la lógica de ciertos programas de computadora.
Dos definiciones de matemáticas se han generalizado. El primero de ellos fue dado por F. Engels en Anti-Dühring, el otro por un grupo de matemáticos franceses conocido como Nicolas Bourbaki en el artículo La arquitectura de las matemáticas (1948).
"La matemática pura tiene como objeto las formas espaciales y las relaciones cuantitativas del mundo real". Esta definición no solo describe el objeto de estudio de las matemáticas, sino que también indica su origen: el mundo real. Sin embargo, esta definición de F. Engels refleja en gran medida el estado de las matemáticas en la segunda mitad del siglo XIX. y no tiene en cuenta aquellas de sus nuevas áreas que no están directamente relacionadas ni con relaciones cuantitativas ni con formas geométricas. Esto es, en primer lugar, lógica matemática y disciplinas relacionadas con la programación. Por lo tanto, esta definición necesita algunas aclaraciones. Quizás habría que decir que las matemáticas tienen como objeto de estudio las formas espaciales, las relaciones cuantitativas y las construcciones lógicas.
Los Bourbaki argumentan que "los únicos objetos matemáticos son, propiamente hablando, estructuras matemáticas". En otras palabras, las matemáticas deberían definirse como la ciencia de las estructuras matemáticas. Esta definición es esencialmente una tautología, ya que dice una sola cosa: las matemáticas se ocupan de los objetos que estudian. Otro defecto de esta definición es que no aclara la relación de las matemáticas con el mundo que nos rodea. Además, Bourbaki enfatiza que las estructuras matemáticas se crean independientemente del mundo real y sus fenómenos. Por eso Bourbaki se vio obligado a declarar que “el principal problema es la relación entre el mundo experimental y el mundo matemático. Que existe una estrecha relación entre los fenómenos experimentales y las estructuras matemáticas parece haber sido confirmado de una forma completamente inesperada por los descubrimientos de la física moderna, pero desconocemos por completo las profundas razones de ello... y quizás nunca las sepamos. .
Una conclusión tan decepcionante no puede surgir de la definición de F. Engels, ya que contiene la afirmación de que los conceptos matemáticos son abstracciones de ciertas relaciones y formas del mundo real. Estos conceptos se toman del mundo real y se asocian con él. En esencia, esto explica la asombrosa aplicabilidad de los resultados de las matemáticas a los fenómenos del mundo que nos rodea y, al mismo tiempo, el éxito del proceso de matematización del conocimiento.
Las matemáticas no son una excepción a todas las áreas del conocimiento: también forman conceptos que surgen de situaciones prácticas y abstracciones posteriores; permite estudiar la realidad también aproximadamente. Pero al mismo tiempo, se debe tener en cuenta que las matemáticas no estudian cosas del mundo real, sino conceptos abstractos, y que sus conclusiones lógicas son absolutamente estrictas y precisas. Su proximidad no es de carácter interno, sino que está asociada a la elaboración de un modelo matemático del fenómeno. También notamos que las reglas de las matemáticas no tienen aplicabilidad absoluta, también tienen un área limitada de aplicación, donde reinan supremamente. Expliquemos la idea expresada con un ejemplo: resulta que dos y dos no siempre son cuatro. Se sabe que al mezclar 2 litros de alcohol y 2 litros de agua se obtienen menos de 4 litros de la mezcla. En esta mezcla, las moléculas están dispuestas de manera más compacta y el volumen de la mezcla es menor que la suma de los volúmenes de los componentes constituyentes. Se viola la regla de la suma de la aritmética. También puede dar ejemplos en los que se violan otras verdades de la aritmética, por ejemplo, al agregar algunos objetos, resulta que la suma depende del orden de la suma.
Muchos matemáticos consideran los conceptos matemáticos no como una creación de la razón pura, sino como abstracciones de cosas, fenómenos, procesos realmente existentes o abstracciones de abstracciones ya establecidas (abstracciones de órdenes superiores). En la Dialéctica de la Naturaleza, F. Engels escribió que “... todas las llamadas matemáticas puras se dedican a abstracciones... todas sus cantidades son, estrictamente hablando, cantidades imaginarias...” Estas palabras reflejan muy claramente la opinión de uno de los fundadores de la filosofía marxista sobre el papel de las abstracciones en las matemáticas. Solo debemos agregar que todas estas "cantidades imaginarias" están tomadas de la realidad, y no están construidas arbitrariamente, por un libre vuelo del pensamiento. Así es como el concepto de número entró en uso general. Al principio, estos eran números dentro de las unidades y, además, solo números enteros positivos. Luego la experiencia me obligó a ampliar el arsenal de números a decenas y centenas. El concepto de lo ilimitado de una serie de números enteros nació ya en una era históricamente cercana a nosotros: Arquímedes en el libro "Psammit" ("Cálculo de granos de arena") mostró cómo es posible construir números incluso más grandes que los dados. . Al mismo tiempo, el concepto de números fraccionarios nació de necesidades prácticas. Los cálculos relacionados con las figuras geométricas más simples han llevado a la humanidad a nuevos números, los irracionales. Así, poco a poco se formó la idea del conjunto de todos los números reales.
El mismo camino se puede seguir para cualquier otro concepto de las matemáticas. Todos ellos surgieron de necesidades prácticas y gradualmente se convirtieron en conceptos abstractos. Uno puede recordar nuevamente las palabras de F. Engels: “... las matemáticas puras tienen un significado independiente de la experiencia especial de cada individuo... Pero es completamente erróneo que en las matemáticas puras la mente trate solo con los productos de su propia creatividad e imaginación. Los conceptos de número y figura no se toman de ningún lado, sino solo del mundo real. Los diez dedos con los que la gente aprendió a contar, es decir, a realizar la primera operación aritmética, son cualquier cosa menos el producto de la libre creatividad de la mente. Para contar, es necesario no solo tener objetos para contar, sino también tener la capacidad de distraerse al considerar estos objetos de todas las demás propiedades excepto el número, y esta capacidad es el resultado de un largo desarrollo histórico basado en experiencia. Tanto el concepto de número como el concepto de figura se toman prestados exclusivamente del mundo exterior y no surgen en la cabeza del pensamiento puro. Tenía que haber cosas que tuvieran cierta forma, y estas formas tenían que compararse antes de que uno pudiera llegar al concepto de figura.
Consideremos si hay conceptos en la ciencia que se crean sin conexión con el progreso pasado de la ciencia y el progreso actual de la práctica. Sabemos muy bien que la creatividad científico matemática está precedida por el estudio de muchas materias en la escuela, la universidad, la lectura de libros, artículos, conversaciones con especialistas tanto en su campo como en otros campos del conocimiento. Un matemático vive en una sociedad, y de los libros, de la radio, de otras fuentes, se entera de los problemas que surgen en la ciencia, la ingeniería y la vida social. Además, el pensamiento del investigador está influido por toda la evolución previa del pensamiento científico. Por lo tanto, resulta estar preparado para la solución de ciertos problemas necesarios para el progreso de la ciencia. Por eso un científico no puede plantear problemas a su antojo, por capricho, sino que debe crear conceptos y teorías matemáticas que sean valiosas para la ciencia, para otros investigadores, para la humanidad. Pero las teorías matemáticas conservan su significado en las condiciones de diversas formaciones sociales y épocas históricas. Además, a menudo las mismas ideas surgen de científicos que no están conectados de ninguna manera. Este es un argumento adicional contra quienes se adhieren al concepto de libre creación de conceptos matemáticos.
Entonces, dijimos lo que está incluido en el concepto de "matemáticas". Pero también existen las matemáticas aplicadas. Se entiende como la totalidad de todos los métodos y disciplinas matemáticas que encuentran aplicaciones fuera de las matemáticas. En la antigüedad, la geometría y la aritmética representaban todas las matemáticas, y como ambas encontraban numerosas aplicaciones en los intercambios comerciales, la medición de áreas y volúmenes, y en materia de navegación, todas las matemáticas eran no sólo teóricas, sino también aplicadas. Más tarde, en la antigua Grecia, hubo una división en matemáticas y matemáticas aplicadas. Sin embargo, todos los matemáticos eminentes también se dedicaron a las aplicaciones, y no solo a la investigación puramente teórica.
El mayor desarrollo de las matemáticas estuvo continuamente conectado con el progreso de las ciencias naturales y la tecnología, con la aparición de nuevas necesidades sociales. A finales del siglo XVIII. existía la necesidad (principalmente en relación con los problemas de navegación y artillería) de crear una teoría matemática del movimiento. Esto fue hecho en sus obras por G. V. Leibniz e I. Newton. Las matemáticas aplicadas se han reabastecido con un nuevo método de investigación muy poderoso: el análisis matemático. Casi simultáneamente, las necesidades de la demografía y los seguros llevaron a la formación de los inicios de la teoría de la probabilidad (ver Teoría de la probabilidad). Siglos XVIII y XIX amplió el contenido de las matemáticas aplicadas, añadiéndole la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, las ecuaciones de la física matemática, los elementos de la estadística matemática, la geometría diferencial. siglo 20 trajo nuevos métodos de investigación matemática de problemas prácticos: la teoría de los procesos aleatorios, la teoría de grafos, el análisis funcional, el control óptimo, la programación lineal y no lineal. Además, resultó que la teoría de números y el álgebra abstracta encontraron aplicaciones inesperadas a los problemas de la física. Como resultado, comenzó a tomar forma la convicción de que las matemáticas aplicadas como una disciplina separada no existen y que todas las matemáticas pueden considerarse aplicadas. Quizás, es necesario decir no que las matemáticas son aplicadas y teóricas, sino que los matemáticos se dividen en aplicados y teóricos. Para algunos, las matemáticas son un método de cognición del mundo circundante y los fenómenos que ocurren en él, es con este propósito que el científico desarrolla y expande el conocimiento matemático. Para otros, las matemáticas mismas representan todo un mundo digno de estudio y desarrollo. Para el progreso de la ciencia se necesitan científicos de ambos tipos.
Las matemáticas, antes de estudiar cualquier fenómeno con sus propios métodos, crea su modelo matemático, es decir, enumera todas aquellas características del fenómeno que se van a tener en cuenta. El modelo obliga al investigador a elegir aquellas herramientas matemáticas que le permitan transmitir adecuadamente las características del fenómeno en estudio y su evolución. Como ejemplo, tomemos un modelo de sistema planetario: el Sol y los planetas se consideran como puntos materiales con las masas correspondientes. La interacción de cada dos puntos está determinada por la fuerza de atracción entre ellos.
donde m 1 y m 2 son las masas de los puntos que interactúan, r es la distancia entre ellos y f es la constante gravitacional. A pesar de la sencillez de este modelo, desde hace trescientos años transmite con gran precisión las características del movimiento de los planetas del sistema solar.
Por supuesto, cada modelo engrosa la realidad, y la tarea del investigador es, en primer lugar, proponer un modelo que, por un lado, transmita más completamente el lado fáctico del asunto (como se dice, sus características físicas), y, por otro lado, da una importante aproximación a la realidad. Por supuesto, se pueden proponer varios modelos matemáticos para un mismo fenómeno. Todos ellos tienen derecho a existir hasta que comience a afectar una discrepancia significativa entre el modelo y la realidad.
Matemáticas 1. ¿De dónde viene la palabra matemáticas? 2. ¿Quién inventó las matemáticas? 3. Temas principales. 4. Definición 5. Etimología En la última diapositiva.
De dónde viene la palabra (ir a la diapositiva anterior) Matemáticas del griego - estudio, ciencia) es la ciencia de las estructuras, el orden y las relaciones, históricamente basada en las operaciones de contar, medir y describir la forma de los objetos. Los objetos matemáticos se crean idealizando las propiedades de objetos reales u otros objetos matemáticos y escribiendo estas propiedades en un lenguaje formal.
Quién inventó las matemáticas (ir al menú) El primer matemático suele llamarse Tales de Mileto, que vivió en el siglo VI. antes de Cristo mi. , uno de los llamados Siete Reyes Magos de Grecia. Sea como fuere, fue él quien fue el primero en estructurar toda la base de conocimiento sobre este tema, que se ha formado durante mucho tiempo dentro del mundo conocido por él. Sin embargo, el autor del primer tratado de matemáticas que ha llegado hasta nosotros fue Euclides (siglo III a. C.). Él también merece ser considerado el padre de esta ciencia.
Temas principales (ir al menú) El campo de las matemáticas incluye sólo aquellas ciencias en las que se considera orden o medida, y no importa en absoluto si se trata de números, figuras, estrellas, sonidos o cualquier otra cosa en la que esta medida se encuentra Así, debe haber alguna ciencia general que explique todo lo perteneciente al orden y la medida, sin entrar en el estudio de ninguna materia particular, y esta ciencia debe ser llamada no por el extranjero, sino por el antiguo nombre ya común de Matemáticas Generales.
Definición (ir al menú) El análisis moderno se basa en el análisis matemático clásico, que se considera una de las tres áreas principales de las matemáticas (junto con el álgebra y la geometría). Al mismo tiempo, el término "análisis matemático" en el sentido clásico se utiliza principalmente en los planes de estudios y materiales. En la tradición angloamericana, el análisis matemático clásico corresponde a los programas de cursos con el nombre de "calculus"
Etimología (ir al menú) La palabra "matemáticas" proviene de otro griego. , que significa estudio, conocimiento, ciencia, etc. -Griego, originalmente significa receptivo, exitoso, luego relacionado con el estudio, luego relacionado con las matemáticas. En concreto, en latín, significa el arte de las matemáticas. El término es otro -griego. en el sentido moderno de esta palabra, "matemáticas" ya se encuentra en las obras de Aristóteles (siglo IV a. C.) en "El Libro de las Brevemente Seleccionadas sobre las Nueve Musas y las Siete Artes Libres" (1672)
En el siglo III a. C., apareció en Alejandría un libro de Euclides con el mismo nombre, en la traducción rusa de "Comienzos". Del nombre latino "Comienzos" vino el término "geometría elemental". Aunque los escritos de los predecesores de Euclides no nos han llegado, podemos formarnos alguna opinión sobre estos escritos a partir de los Elementos de Euclides. En los "Inicios" hay secciones que lógicamente están muy poco conectadas con otras secciones. Su aparición se explica únicamente por el hecho de que se introdujeron según la tradición y copian los "Principios" de los predecesores de Euclides.
Los Elementos de Euclides consta de 13 libros. Los libros 1 a 6 están dedicados a la planimetría, los libros 7 a 10 tratan sobre aritmética y cantidades inconmensurables que se pueden construir usando una regla y un compás. Los libros 11 a 13 estaban dedicados a la estereometría.
Los "Comienzos" comienzan con una presentación de 23 definiciones y 10 axiomas. Los primeros cinco axiomas son "conceptos generales", el resto se denominan "postulados". Los dos primeros postulados determinan acciones con la ayuda de una regla ideal, el tercero, con la ayuda de una brújula ideal. El cuarto, "todos los ángulos rectos son iguales entre sí", es redundante, ya que se puede deducir del resto de los axiomas. El último, quinto postulado decía: "Si una línea recta cae sobre dos líneas rectas y forma ángulos interiores de un solo lado en la suma de menos de dos líneas rectas, entonces, con una continuación ilimitada de estas dos líneas rectas, se cortarán en el lado donde los ángulos son menores que dos líneas rectas".
Los cinco "conceptos generales" de Euclides son los principios de medir longitudes, ángulos, áreas, volúmenes: "igual a lo mismo son iguales entre sí", "si se suman iguales a iguales, las sumas son iguales entre sí", "si se restan iguales de iguales, los restos son iguales entre sí", "combinados entre sí son iguales entre sí", "el todo es mayor que la parte".
Luego vino la crítica a la geometría de Euclides. Euclides fue criticado por tres razones: por el hecho de que consideró solo las cantidades geométricas que se pueden construir usando una regla y un compás; por romper la geometría y la aritmética y probar con los números enteros lo que ya había probado con las cantidades geométricas y, finalmente, con los axiomas de Euclides. El quinto postulado, el postulado más difícil de Euclides, ha sido el más criticado. Muchos lo consideraron superfluo, y que puede y debe deducirse de otros axiomas. Otros creían que debía ser sustituida por otra más sencilla e ilustrativa, equivalente a ésta: "Por un punto fuera de una recta, no puede trazarse en su plano más de una recta que no corte a esta recta".
La crítica de la brecha entre la geometría y la aritmética condujo a la extensión del concepto de número a un número real. Las disputas sobre el quinto postulado llevaron a que, a principios del siglo XIX, N. I. Lobachevsky, J. Bolyai y K. F. Gauss construyeran una nueva geometría en la que se cumplían todos los axiomas de la geometría de Euclides, a excepción del quinto postulado. Fue reemplazada por la declaración opuesta: "En un plano que pasa por un punto fuera de una línea, se puede dibujar más de una línea que no interseca a la dada". Esta geometría era tan consistente como la geometría de Euclides.
El modelo de planimetría de Lobachevsky en el plano euclidiano fue construido por el matemático francés Henri Poincaré en 1882.
Dibuja una línea horizontal en el plano euclidiano. Esta recta se llama absoluta (x). Los puntos del plano euclidiano que se encuentran por encima del absoluto son los puntos del plano de Lobachevsky. El plano de Lobachevsky es un semiplano abierto que se encuentra sobre el absoluto. Los segmentos no euclidianos en el modelo de Poincaré son arcos de círculos centrados en el absoluto o segmentos de línea perpendiculares al absoluto (AB, CD). La figura en el plano de Lobachevsky es la figura de un semiplano abierto que se encuentra sobre el absoluto (F). El movimiento no euclidiano es una composición de un número finito de inversiones centradas en las simetrías absoluta y axial cuyos ejes son perpendiculares al absoluto. Dos segmentos no euclidianos son iguales si uno de ellos puede trasladarse al otro mediante un movimiento no euclidiano. Estos son los conceptos básicos de la axiomática de la planimetría de Lobachevsky.
Todos los axiomas de la planimetría de Lobachevsky son consistentes. "Una línea no euclidiana es un semicírculo con extremos en el absoluto, o un rayo con origen en el absoluto y perpendicular al absoluto". Por lo tanto, la afirmación del axioma de paralelismo de Lobachevsky es válida no solo para alguna línea ay un punto A que no se encuentre en esta línea, sino también para cualquier línea ay cualquier punto A que no se encuentre en ella.
Detrás de la geometría de Lobachevsky surgieron otras geometrías consistentes: geometría proyectiva separada de la euclidiana, se desarrolló la geometría euclidiana multidimensional, surgió la geometría riemanniana (teoría general de los espacios con una ley arbitraria de medida de longitudes), etc. El espacio euclidiano, la geometría durante 40 a 50 años se ha convertido en un conjunto de varias teorías, solo algo similar a su progenitor: la geometría de Euclides.
Las principales etapas de la formación de las matemáticas modernas. Estructura de las matemáticas modernas
El académico A.N. Kolmogorov identifica cuatro períodos en el desarrollo de las matemáticas Kolmogorov A.N. - Matemáticas, Diccionario Enciclopédico Matemático, Moscú, Enciclopedia Soviética, 1988: el nacimiento de las matemáticas, matemáticas elementales, matemáticas de variables, matemáticas modernas.
Durante el desarrollo de las matemáticas elementales, la teoría de los números crece gradualmente a partir de la aritmética. El álgebra se crea como un cálculo literal. Y el sistema de presentación de la geometría elemental creado por los antiguos griegos, la geometría de Euclides, durante dos milenios más adelante se convirtió en un modelo de construcción deductiva de la teoría matemática.
En el siglo XVII, las exigencias de las ciencias naturales y la tecnología llevaron a la creación de métodos que permiten estudiar matemáticamente el movimiento, los procesos de cambio de cantidades y la transformación de figuras geométricas. Con el uso de variables en geometría analítica y la creación de cálculo diferencial e integral, comienza el período de las matemáticas de variables. Los grandes descubrimientos del siglo XVII son el concepto de cantidad infinitesimal introducido por Newton y Leibniz, la creación de las bases para el análisis de cantidades infinitesimales (análisis matemático).
Aparece el concepto de función. La función se convierte en el principal tema de estudio. El estudio de una función conduce a los conceptos básicos del análisis matemático: límite, derivada, diferencial, integral.
A esta época pertenece también la aparición de la genial idea de R. Descartes sobre el método de las coordenadas. Se crea la geometría analítica, que permite estudiar objetos geométricos por métodos de álgebra y análisis. Por otro lado, el método de coordenadas abrió la posibilidad de una interpretación geométrica de hechos algebraicos y analíticos.
Un mayor desarrollo de las matemáticas condujo a principios del siglo XIX a la formulación del problema de estudiar posibles tipos de relaciones cuantitativas y formas espaciales desde un punto de vista bastante general.
La conexión entre las matemáticas y las ciencias naturales es cada vez más compleja. Surgen nuevas teorías y surgen no sólo como resultado de las exigencias de las ciencias naturales y la tecnología, sino también como resultado de la necesidad interna de las matemáticas. Un ejemplo notable de tal teoría es la geometría imaginaria de N. I. Lobachevsky. El desarrollo de las matemáticas en los siglos XIX y XX nos permite atribuirlo al período de las matemáticas modernas. El desarrollo de las matemáticas en sí, la matematización de varios campos de la ciencia, la penetración de los métodos matemáticos en muchas áreas de la actividad práctica, el progreso de la tecnología informática han llevado al surgimiento de nuevas disciplinas matemáticas, por ejemplo, investigación de operaciones, teoría de juegos, economía matemática, y otros.
Los métodos principales en la investigación matemática son las pruebas matemáticas: el razonamiento lógico riguroso. El pensamiento matemático no se limita al razonamiento lógico. La intuición matemática es necesaria para la correcta formulación del problema, para evaluar la elección del método para resolverlo.
En matemáticas, se estudian modelos matemáticos de objetos. El mismo modelo matemático puede describir las propiedades de fenómenos reales que están lejos unos de otros. Entonces, la misma ecuación diferencial puede describir los procesos de crecimiento de la población y la descomposición del material radiactivo. Para un matemático, lo importante no es la naturaleza de los objetos en consideración, sino las relaciones que existen entre ellos.
Hay dos tipos de razonamiento en matemáticas: deducción e inducción.
La inducción es un método de investigación en el que se construye una conclusión general sobre la base de premisas particulares.
La deducción es un método de razonamiento mediante el cual una conclusión de naturaleza particular se sigue de premisas generales.
Las matemáticas juegan un papel importante en la investigación de las ciencias naturales, la ingeniería y las humanidades. La razón de la penetración de las matemáticas en diversas ramas del conocimiento es que ofrece modelos muy claros para estudiar la realidad circundante, en contraste con los modelos menos generales y más vagos que ofrecen otras ciencias. Sin las matemáticas modernas, con su aparato lógico y computacional desarrollado, el progreso en varias áreas de la actividad humana sería imposible.
Las matemáticas no solo son una herramienta poderosa para resolver problemas aplicados y un lenguaje científico universal, sino también un elemento de una cultura común.
Características básicas del pensamiento matemático.
Sobre este tema, de particular interés es la característica del pensamiento matemático dada por A. Ya. Khinchin, o más bien, su forma histórica específica: el estilo del pensamiento matemático. Al revelar la esencia del estilo de pensamiento matemático, destaca cuatro características comunes a todas las épocas que distinguen notablemente este estilo de los estilos de pensamiento de otras ciencias.
En primer lugar, el matemático se caracteriza por el dominio del esquema lógico de razonamiento llevado al límite. Un matemático que pierde de vista este esquema, al menos temporalmente, pierde la capacidad de pensar científicamente por completo. Este rasgo peculiar del estilo de pensamiento matemático tiene mucho valor en sí mismo. Obviamente, en la medida máxima le permite controlar la corrección del flujo de pensamiento y garantías contra errores; por otro lado, obliga al pensador a tener ante sus ojos la totalidad de las posibilidades disponibles durante el análisis y lo obliga a tener en cuenta cada una de ellas sin perder una sola (tales omisiones son muy posibles y, de hecho, se observan a menudo). en otros estilos de pensamiento).
En segundo lugar, la concisión, es decir. el deseo consciente de encontrar siempre el camino lógico más corto que conduzca a un objetivo dado, el rechazo despiadado de todo lo que es absolutamente necesario para la impecable validez del argumento. Un ensayo matemático de buen estilo, no tolera ningún "agua", no embellece, debilita la tensión lógica del despotricar, la distracción al costado; La tacañería extrema, el rigor severo del pensamiento y su presentación son una característica integral del pensamiento matemático. Esta característica es de gran valor no solo para las matemáticas, sino también para cualquier otro razonamiento serio. El laconismo, el deseo de no permitir nada superfluo, ayuda tanto al pensador como a su lector u oyente a concentrarse plenamente en un determinado hilo de pensamiento, sin distraerse con ideas secundarias y sin perder el contacto directo con la línea principal de razonamiento.
Las lumbreras de la ciencia, por regla general, piensan y se expresan sucintamente en todos los campos del conocimiento, incluso cuando su pensamiento crea y plantea ideas fundamentalmente nuevas. ¡Qué impresión tan majestuosa, por ejemplo, la noble tacañería del pensamiento y del habla de los más grandes creadores de la física: Newton, Einstein, Niels Bohr! Tal vez sea difícil encontrar un ejemplo más llamativo del profundo efecto que el estilo de pensamiento de sus creadores puede tener en el desarrollo de la ciencia.
Para las matemáticas, la concisión del pensamiento es una ley indiscutible, canonizada durante siglos. Cualquier intento de sobrecargar la presentación con imágenes, distracciones y oratoria no necesariamente necesarias (incluso si son agradables y fascinantes para los oyentes) se coloca bajo sospecha legítima de antemano y provoca automáticamente un estado de alerta crítico.
En tercer lugar, una clara disección del curso del razonamiento. Si, por ejemplo, al probar una proposición, debemos considerar cuatro casos posibles, cada uno de los cuales puede descomponerse en uno u otro número de subcasos, entonces en cada momento del razonamiento, el matemático debe recordar claramente en qué caso y subcaso su ahora se está adquiriendo el pensamiento y qué casos y subcasos aún tiene que considerar. Con cualquier tipo de enumeraciones ramificadas, el matemático debe en todo momento ser consciente de por qué concepto genérico enumera los conceptos de especie que lo componen. En el pensamiento ordinario, no científico, muy a menudo observamos confusión y saltos en tales casos, lo que lleva a confusión y errores en el razonamiento. Ocurre a menudo que una persona comienza a enumerar las especies de un género, y luego, imperceptiblemente para los oyentes (y muchas veces para sí mismo), usando la insuficiente distinción lógica del razonamiento, salta a otro género y termina con la afirmación de que ambos géneros ahora están clasificados; y los oyentes o lectores no saben dónde se encuentra el límite entre las especies del primer y segundo tipo.
Para hacer imposibles tales confusiones y saltos, los matemáticos han hecho un amplio uso durante mucho tiempo de métodos externos simples de numeración de conceptos y juicios, a veces (pero con mucha menos frecuencia) utilizados en otras ciencias. Adelante se renumeran aquellos posibles casos o aquellos conceptos genéricos que deben ser considerados en este razonamiento; dentro de cada caso, los subcasos a considerar que contiene también se vuelven a numerar (a veces, por distinción, utilizando algún otro sistema de numeración). Antes de cada párrafo, donde comienza la consideración de un nuevo subcaso, se pone la designación aceptada para ese subcaso (por ejemplo: II 3 - esto significa que aquí comienza la consideración del tercer subcaso del segundo caso, o la descripción del tercer tipo del segundo tipo, si estamos hablando de clasificación). Y el lector sabe que hasta que se encuentre con una nueva rúbrica numérica, todo lo que se presenta se aplica solo a este caso y subcaso. Ni que decir tiene que tal numeración es sólo un dispositivo externo, muy útil, pero en modo alguno obligatorio, y que la esencia del asunto no reside en ella, sino en esa distinta división de argumentación o clasificación, que al mismo tiempo estimula y marca. por sí mismo.
En cuarto lugar, precisión escrupulosa de símbolos, fórmulas, ecuaciones. Es decir, “cada símbolo matemático tiene un significado estrictamente definido: reemplazarlo con otro símbolo o reubicarlo en otro lugar, por regla general, implica una distorsión y, a veces, una destrucción completa del significado de esta declaración”.
Habiendo señalado las características principales del estilo de pensamiento matemático, A. Ya. Khinchin señala que las matemáticas (especialmente las matemáticas de las variables) por su naturaleza tienen un carácter dialéctico y, por lo tanto, contribuyen al desarrollo del pensamiento dialéctico. En efecto, en el proceso del pensamiento matemático existe una interacción entre lo visual (concreto) y lo conceptual (abstracto). “No podemos pensar en líneas”, escribió Kant, “sin dibujarlas mentalmente, no podemos pensar en tres dimensiones por nosotros mismos sin dibujar tres líneas perpendiculares entre sí desde un punto”.
La interacción de lo concreto y lo abstracto “condujo” al pensamiento matemático al desarrollo de nuevos y nuevos conceptos y categorías filosóficas. En las matemáticas antiguas (matemáticas de constantes), estas eran “número” y “espacio”, que se reflejaron originalmente en la aritmética y la geometría euclidiana, y más tarde en el álgebra y varios sistemas geométricos. La matemática de las variables se "basó" en conceptos que reflejaban el movimiento de la materia: "finito", "infinito", "continuidad", "discreto", "infinitamente pequeño", "derivado", etc.
Si hablamos de la etapa histórica actual en el desarrollo del conocimiento matemático, entonces está en línea con el desarrollo posterior de las categorías filosóficas: la teoría de la probabilidad "domina" las categorías de lo posible y lo aleatorio; topología - categorías de relación y continuidad; teoría de catástrofes - categoría de salto; teoría de grupos - categorías de simetría y armonía, etc.
En el pensamiento matemático, se expresan los principales patrones de construcción de conexiones lógicas similares en forma. Con su ayuda, se lleva a cabo la transición del singular (por ejemplo, de ciertos métodos matemáticos: axiomático, algorítmico, constructivo, teórico de conjuntos y otros) a lo especial y general, a construcciones deductivas generalizadas. La unidad de los métodos y el tema de las matemáticas determina las especificidades del pensamiento matemático, nos permite hablar de un lenguaje matemático especial que no solo refleja la realidad, sino que también sintetiza, generaliza y predice el conocimiento científico. El poder y la belleza del pensamiento matemático radica en la máxima claridad de su lógica, la elegancia de las construcciones y la hábil construcción de las abstracciones.
Fundamentalmente nuevas posibilidades de actividad mental se abrieron con la invención de la computadora, con la creación de las matemáticas mecánicas. Se han producido cambios significativos en el lenguaje de las matemáticas. Si el lenguaje de las matemáticas computacionales clásicas consistía en fórmulas de álgebra, geometría y análisis, enfocadas en la descripción de los procesos continuos de la naturaleza, estudiadas principalmente en mecánica, astronomía, física, entonces su lenguaje moderno es el lenguaje de los algoritmos y programas, incluyendo el antiguo lenguaje de las fórmulas como caso particular.
El lenguaje de las matemáticas computacionales modernas se está volviendo cada vez más universal, capaz de describir sistemas complejos (multiparámetros). Al mismo tiempo, me gustaría enfatizar que, por perfecto que sea el lenguaje matemático, mejorado por la tecnología de computación electrónica, no rompe los lazos con el diverso lenguaje natural "vivo". Además, el lenguaje hablado es la base de un lenguaje artificial. En este sentido, el reciente descubrimiento de los científicos es de interés. El punto es que el antiguo idioma de los indios aymaras, que hablan unos 2,5 millones de personas en Bolivia y Perú, resultó ser extremadamente conveniente para la tecnología informática. Ya en 1610, el misionero jesuita italiano Ludovico Bertoni, quien compiló el primer diccionario aimara, notó la genialidad de sus creadores, quienes alcanzaron una gran pureza lógica. En aimara, por ejemplo, no hay verbos irregulares ni excepciones a las pocas reglas gramaticales claras. Estas características del idioma aymara permitieron al matemático boliviano Iván Guzmán de Rojas crear un sistema de traducción simultánea por computadora desde cualquiera de los cinco idiomas europeos incluidos en el programa, cuyo “puente” es el idioma aymara. La computadora "Aymara", creada por un científico boliviano, fue muy apreciada por los especialistas. Resumiendo esta parte de la pregunta sobre la esencia del estilo de pensamiento matemático, cabe señalar que su contenido principal es la comprensión de la naturaleza.
método axiomático
La axiomática es la principal forma de construir una teoría, desde la antigüedad hasta nuestros días, confirmando su universalidad y toda aplicabilidad.
La construcción de una teoría matemática se basa en el método axiomático. La teoría científica se basa en unas disposiciones iniciales, llamadas axiomas, y todas las demás disposiciones de la teoría se obtienen como consecuencias lógicas de los axiomas.
El método axiomático apareció en la antigua Grecia, y actualmente se utiliza en casi todas las ciencias teóricas y, sobre todo, en las matemáticas.
Comparando tres geometrías, en cierto modo, complementarias: Euclidiana (parabólica), Lobachevsky (hiperbólica) y Riemanniana (elíptica), cabe señalar que, junto con algunas similitudes, existe una gran diferencia entre la geometría esférica, por un lado mano, y las geometrías de Euclides y Lobachevsky - por el otro.
La diferencia fundamental entre la geometría moderna es que ahora abarca las "geometrías" de un número infinito de espacios imaginarios diferentes. Sin embargo, cabe señalar que todas estas geometrías son interpretaciones de la geometría euclidiana y se basan en el método axiomático utilizado por primera vez por Euclides.
Sobre la base de la investigación, el método axiomático ha sido desarrollado y ampliamente utilizado. Como caso especial de aplicación de este método se encuentra el método de las trazas en estereometría, el cual permite resolver problemas sobre la construcción de secciones en poliedros y algunos otros problemas posicionales.
El método axiomático, desarrollado por primera vez en geometría, se ha convertido ahora en una importante herramienta de estudio en otras ramas de las matemáticas, la física y la mecánica. Actualmente, se está trabajando para mejorar y profundizar en el método axiomático de construcción de una teoría.
El método axiomático de construcción de una teoría científica consiste en resaltar los conceptos básicos, formular los axiomas de las teorías y todos los demás enunciados se derivan de forma lógica, con base en ellos. Se sabe que un concepto debe explicarse con la ayuda de otros, que a su vez también se definen con la ayuda de algunos conceptos conocidos. Así llegamos a conceptos elementales que no se pueden definir en términos de otros. Estos conceptos se denominan básicos.
Cuando demostramos un enunciado, un teorema, nos basamos en premisas que se consideran ya probadas. Pero estas premisas también estaban probadas, había que fundamentarlas. Al final, llegamos a afirmaciones indemostrables y las aceptamos sin pruebas. Estos enunciados se llaman axiomas. El conjunto de axiomas debe ser tal que, apoyándose en él, se puedan demostrar otros enunciados.
Habiendo seleccionado los conceptos principales y formulado los axiomas, derivamos teoremas y otros conceptos de manera lógica. Esta es la estructura lógica de la geometría. Los axiomas y conceptos básicos forman los cimientos de la planimetría.
Dado que es imposible dar una definición única de los conceptos básicos para todas las geometrías, los conceptos básicos de geometría deben definirse como objetos de cualquier naturaleza que satisfagan los axiomas de esta geometría. Así, en la construcción axiomática de un sistema geométrico, partimos de un determinado sistema de axiomas, o axiomática. Estos axiomas describen las propiedades de los conceptos básicos de un sistema geométrico, y podemos representar los conceptos básicos en forma de objetos de cualquier naturaleza que tengan las propiedades especificadas en los axiomas.
Después de formular y probar los primeros enunciados geométricos, es posible probar algunos enunciados (teoremas) con la ayuda de otros. Las demostraciones de muchos teoremas se atribuyen a Pitágoras y Demócrito.
A Hipócrates de Chios se le atribuye la compilación del primer curso sistemático de geometría basado en definiciones y axiomas. Este curso y sus procesamientos posteriores se denominaron "Elementos".
Método axiomático de construcción de una teoría científica.
La creación de un método deductivo o axiomático de construcción de la ciencia es uno de los mayores logros del pensamiento matemático. Requirió el trabajo de muchas generaciones de científicos.
Una característica destacable del sistema deductivo de presentación es la sencillez de esta construcción, que permite describirla en pocas palabras.
El sistema deductivo de presentación se reduce a:
1) a la lista de conceptos básicos,
2) a la presentación de definiciones,
3) a la presentación de los axiomas,
4) a la presentación de teoremas,
5) a la demostración de estos teoremas.
Un axioma es un enunciado aceptado sin demostración.
Un teorema es un enunciado que se sigue de axiomas.
La prueba es una parte integral del sistema deductivo, es el razonamiento que muestra que la verdad de un enunciado se sigue lógicamente de la verdad de los teoremas o axiomas anteriores.
Dentro de un sistema deductivo no se pueden resolver dos cuestiones: 1) sobre el significado de los conceptos básicos, 2) sobre la verdad de los axiomas. Pero esto no significa que estas preguntas sean generalmente irresolubles.
La historia de las ciencias naturales muestra que la posibilidad de una construcción axiomática de una ciencia particular aparece solo en un nivel bastante alto de desarrollo de esta ciencia, sobre la base de una gran cantidad de material fáctico, lo que permite identificar claramente los principales conexiones y relaciones que existen entre los objetos estudiados por esta ciencia.
Un ejemplo de la construcción axiomática de la ciencia matemática es la geometría elemental. El sistema de axiomas de la geometría fue expuesto por Euclides (alrededor del 300 a. C.) en la obra "Comienzos" sin igual en su significado. Este sistema ha sobrevivido en gran medida hasta nuestros días.
Conceptos básicos: imágenes básicas de punto, línea, plano; mentir entre, pertenecer, moverse.
La geometría elemental tiene 13 axiomas, que se dividen en cinco grupos. En el quinto grupo, hay un axioma sobre las paralelas (postulado V de Euclides): a través de un punto en un plano, solo se puede dibujar una línea recta que no interseque esta línea recta. Este es el único axioma que provocó la necesidad de demostración. Los intentos de probar el quinto postulado ocuparon a los matemáticos durante más de 2 milenios, hasta la primera mitad del siglo XIX, es decir, hasta el momento en que Nikolai Ivanovich Lobachevsky demostró en sus escritos la completa inutilidad de estos intentos. En la actualidad, la indemostrabilidad del quinto postulado es un hecho matemático estrictamente probado.
Axioma sobre el paralelo N.I. Lobachevsky reemplazó el axioma: Deje que una línea recta y un punto que se encuentra fuera de la línea recta estén dados en un plano dado. A través de este punto, se pueden dibujar al menos dos líneas paralelas a la línea dada.
Del nuevo sistema de axiomas N.I. Lobachevsky, con impecable rigor lógico, dedujo un sistema coherente de teoremas que constituyen el contenido de la geometría no euclidiana. Ambas geometrías de Euclides y Lobachevsky son iguales como sistemas lógicos.
Tres grandes matemáticos del siglo XIX llegaron casi simultáneamente, independientemente el uno del otro, a los mismos resultados de la indemostrabilidad del quinto postulado ya la creación de la geometría no euclidiana.
Nikolái Ivánovich Lobachevski (1792-1856)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Janos Bolyai (1802-1860)
Prueba matemática
El método principal en la investigación matemática es la demostración matemática: el razonamiento lógico riguroso. En virtud de la necesidad objetiva, señala el miembro correspondiente de la Academia Rusa de Ciencias L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Las matemáticas modernas y su enseñanza, Moscú, Nauka, 1985, el razonamiento lógico (que por su naturaleza, si es correcto, también es riguroso) es un método de las matemáticas, las matemáticas son impensables sin ellas. Cabe señalar que el pensamiento matemático no se limita al razonamiento lógico. Para la correcta formulación del problema, para la evaluación de sus datos, para la selección de los significativos de ellos y para la elección de un método para resolverlo, también es necesaria la intuición matemática, que permite prever el resultado deseado antes. se obtiene, para trazar el camino de la investigación con la ayuda de un razonamiento plausible. Pero la validez del hecho en consideración no se prueba comprobándolo con una serie de ejemplos, no realizando una serie de experimentos (lo que en sí mismo juega un papel importante en la investigación matemática), sino de una manera puramente lógica, de acuerdo con el leyes de la lógica formal.
Se cree que la prueba matemática es la verdad última. Una decisión que se basa en la lógica pura simplemente no puede estar equivocada. Pero con el desarrollo de la ciencia y las tareas de los matemáticos se vuelven cada vez más complejas.
“Hemos entrado en una era en la que el aparato matemático se ha vuelto tan complejo y engorroso que a primera vista ya no es posible decir si el problema encontrado es cierto o no”, cree Keith Devlin de la Universidad de Stanford, California, EE. UU. Cita como ejemplo la “clasificación de grupos finitos simples”, que se formuló allá por 1980, pero aún no se ha impartido una demostración completa y exacta. Lo más probable es que el teorema sea cierto, pero es imposible decirlo con certeza.
Una solución informática tampoco puede llamarse exacta, porque tales cálculos siempre tienen un error. En 1998, Hales propuso una solución asistida por computadora al teorema de Kepler, formulado en 1611. Este teorema describe el empaque más denso de bolas en el espacio. La prueba se presentó en 300 páginas y contenía 40.000 líneas de código de máquina. 12 revisores revisaron la solución durante un año, pero nunca lograron un 100 % de confianza en la corrección de la prueba, y el estudio se envió para su revisión. Como resultado, se publicó solo después de cuatro años y sin la certificación completa de los revisores.
Todos los cálculos más recientes para problemas aplicados se realizan en una computadora, pero los científicos creen que para una mayor confiabilidad, los cálculos matemáticos deben presentarse sin errores.
La teoría de la prueba se desarrolla en lógica e incluye tres componentes estructurales: tesis (lo que se supone que debe probarse), argumentos (un conjunto de hechos, conceptos generalmente aceptados, leyes, etc. de la ciencia relevante) y demostración (el procedimiento para desplegar la evidencia en sí misma; una cadena secuencial de inferencias cuando la n-ésima inferencia se convierte en una de las premisas de la n+1-ésima inferencia). Se distinguen las reglas de la prueba, se indican los posibles errores lógicos.
La demostración matemática tiene mucho en común con los principios establecidos por la lógica formal. Además, las reglas matemáticas de razonamiento y operaciones obviamente sirvieron como uno de los fundamentos en el desarrollo del procedimiento de prueba en lógica. En particular, los investigadores de la historia de la formación de la lógica formal creen que en un momento, cuando Aristóteles dio los primeros pasos para crear leyes y reglas de la lógica, se volvió hacia las matemáticas y hacia la práctica de la actividad jurídica. En estas fuentes encontró material para las construcciones lógicas de la teoría concebida.
En el siglo XX, el concepto de prueba perdió su significado estricto, lo que sucedió en relación con el descubrimiento de paradojas lógicas que acechan en la teoría de conjuntos y especialmente en relación con los resultados que trajeron los teoremas de K. Gödel sobre la incompletud de la formalización.
En primer lugar, esto afectó a las propias matemáticas, en relación con las cuales se creía que el término "demostración" no tiene una definición precisa. Pero si tal opinión (que todavía se mantiene hoy) afecta a las matemáticas mismas, entonces llegan a la conclusión de que la prueba debe aceptarse no en el sentido lógico-matemático, sino en el psicológico. Más aún, una visión similar se encuentra en el propio Aristóteles, quien creía que probar significa llevar a cabo un razonamiento que nos convenza hasta tal punto que, usándolo, convenzamos a otros de la corrección de algo. Encontramos un cierto matiz del enfoque psicológico en A.E. Yesenin-Volpin. Se opone tajantemente a la aceptación de la verdad sin prueba, vinculándola a un acto de fe, y escribe además: "Llamo a la prueba de un juicio un método honesto que hace que este juicio sea innegable". Yesenin-Volpin informa que su definición aún debe aclararse. Al mismo tiempo, ¿no traiciona la misma caracterización de la evidencia como un "método honesto" una apelación a una evaluación moral-psicológica?
Al mismo tiempo, el descubrimiento de las paradojas de la teoría de conjuntos y la aparición de los teoremas de Gödel solo contribuyeron al desarrollo de la teoría de la prueba matemática emprendida por los intuicionistas, especialmente la dirección constructivista, y D. Hilbert.
A veces se cree que la prueba matemática es universal y representa una versión ideal de la prueba científica. Sin embargo, no es el único método, existen otros métodos de procedimientos y operaciones basados en la evidencia. Solo es cierto que la prueba matemática tiene mucho en común con la prueba lógico-formal implementada en las ciencias naturales, y que la prueba matemática tiene ciertas especificidades, así como el conjunto de técnicas-operaciones. Aquí es donde nos detendremos, omitiendo lo general que lo relaciona con otras formas de evidencia, es decir, sin desplegar el algoritmo, reglas, errores, etc. en todos los pasos (incluso los principales). proceso de prueba.
Una prueba matemática es un razonamiento que tiene la tarea de fundamentar la verdad (por supuesto, en el sentido matemático, es decir, como deducible) de un enunciado.
El conjunto de reglas utilizadas en la demostración se formó junto con el advenimiento de las construcciones axiomáticas de la teoría matemática. Esto se realizó más clara y completamente en la geometría de Euclides. Sus "Principios" se convirtieron en una especie de modelo estándar para la organización axiomática del conocimiento matemático, y durante mucho tiempo lo siguieron siendo para los matemáticos.
Las declaraciones presentadas en forma de una determinada secuencia deben garantizar una conclusión que, sujeta a las reglas de la operación lógica, se considera probada. Debe enfatizarse que cierto razonamiento es una prueba solo con respecto a algún sistema axiomático.
Al caracterizar una prueba matemática, se distinguen dos características principales. En primer lugar, el hecho de que la prueba matemática excluye cualquier referencia a la evidencia empírica. Todo el procedimiento para fundamentar la verdad de la conclusión se lleva a cabo dentro del marco de la axiomática aceptada. El académico A.D. Aleksandrov enfatiza a este respecto. Puedes medir los ángulos de un triángulo miles de veces y asegurarte de que sean iguales a 2d. Pero las matemáticas no prueban nada. Se lo probarás si deduces la afirmación anterior de los axiomas. Repitamos. Aquí las matemáticas se acercan a los métodos de la escolástica, que también rechaza fundamentalmente la argumentación basada en hechos experimentales.
Por ejemplo, cuando se descubrió la inconmensurabilidad de los segmentos, al probar este teorema, se excluyó la apelación a un experimento físico, ya que, en primer lugar, el concepto mismo de "inconmensurabilidad" carece de significado físico y, en segundo lugar, los matemáticos no podrían, cuando se trata de abstracción, traer en ayuda extensiones material-concretas, medibles por un dispositivo sensorio-visual. La inconmensurabilidad, en particular, del lado y la diagonal de un cuadrado, se demuestra a partir de la propiedad de los números enteros mediante el teorema de Pitágoras sobre la igualdad del cuadrado de la hipotenusa (respectivamente, la diagonal) con la suma de los cuadrados de los catetos (dos lados de un triángulo rectángulo). O cuando Lobachevsky buscaba la confirmación de su geometría, refiriéndose a los resultados de las observaciones astronómicas, entonces esta confirmación la realizaba por medio de una naturaleza puramente especulativa. Las interpretaciones de Cayley-Klein y Beltrami de la geometría no euclidiana también presentaban objetos típicamente matemáticos en lugar de físicos.
La segunda característica de la prueba matemática es su máxima abstracción, en la que se diferencia de los procedimientos de prueba de otras ciencias. Y nuevamente, como en el caso del concepto de objeto matemático, no se trata solo del grado de abstracción, sino de su naturaleza. El hecho es que la demostración alcanza un alto nivel de abstracción en una serie de otras ciencias, por ejemplo, en la física, la cosmología y, por supuesto, en la filosofía, ya que los problemas últimos del ser y el pensar se convierten en el tema de esta última. Las matemáticas, por otro lado, se distinguen por el hecho de que aquí funcionan variables, cuyo significado es una abstracción de cualquier propiedad específica. Recuérdese que, por definición, las variables son signos que en sí mismos no tienen significado y adquieren este último sólo cuando se sustituyen por los nombres de ciertos objetos (variables individuales) o cuando se indican propiedades y relaciones específicas (variables predicadas), o, finalmente , en los casos de sustitución de una variable por un enunciado significativo (variable proposicional).
La característica señalada determina la naturaleza de la extrema abstracción de los signos utilizados en la demostración matemática, así como de los enunciados, que, por la inclusión de variables en su estructura, se convierten en enunciados.
El propio procedimiento de prueba, definido en lógica como demostración, procede sobre la base de las reglas de inferencia, a partir de las cuales se realiza el paso de un enunciado probado a otro, formando una cadena consistente de inferencias. Las más comunes son las dos reglas (sustitución y derivación de conclusiones) y el teorema de la deducción.
regla de sustitución En matemáticas, la sustitución se define como el reemplazo de cada uno de los elementos a de un conjunto dado por algún otro elemento F(a) del mismo conjunto. En lógica matemática, la regla de sustitución se formula de la siguiente manera. Si una fórmula verdadera M en el cálculo proposicional contiene una letra, digamos A, entonces reemplazándola dondequiera que aparezca con una letra arbitraria D, obtenemos una fórmula que también es verdadera como la original. Esto es posible, y admisible, precisamente porque en el cálculo de proposiciones se abstrae del significado de las proposiciones (fórmulas)... Sólo se tienen en cuenta los valores "verdadero" o "falso". Por ejemplo, en la fórmula M: A--> (BUA) sustituimos la expresión (AUB) en lugar de A, como resultado obtenemos una nueva fórmula (AUB) -->[(BU(AUB) ].
La regla para inferir conclusiones corresponde a la estructura del silogismo condicionalmente categórico modus ponens (modo afirmativo) en lógica formal. Se parece a esto:
un .
Dada una proposición (a->b) y también dada a. Sigue b.
Por ejemplo: si está lloviendo, entonces el pavimento está mojado, está lloviendo (a), por lo tanto, el pavimento está mojado (b). En lógica matemática, este silogismo se escribe de la siguiente manera (a->b) a->b.
La inferencia se determina, por regla general, separando por implicación. Si se dan una implicación (a->b) y su antecedente (a), entonces tenemos derecho a añadir al razonamiento (prueba) también el consecuente de esta implicación (b). El silogismo es coercitivo, constituyendo un arsenal de medios de prueba deductivos, es decir, cumpliendo absolutamente con los requisitos del razonamiento matemático.
Un papel importante en la demostración matemática lo desempeña el teorema de deducción, el nombre general de una serie de teoremas, cuyo procedimiento permite establecer la demostrabilidad de la implicación: A -> B, cuando hay una derivación lógica de la fórmula B de la fórmula A. En la versión más común del cálculo proposicional (en las matemáticas clásicas, intuicionistas y de otro tipo), el teorema de deducción establece lo siguiente. Si se da un sistema de premisas G y una premisa A, del cual, de acuerdo con las reglas, se puede deducir B G, A B (-signo de derivabilidad), entonces se sigue que solo de las premisas de G se puede obtener la oración A --> B.
Hemos considerado el tipo, que es una prueba directa. A su vez, en lógica también se utilizan las llamadas pruebas indirectas, existen pruebas no directas que se despliegan según el siguiente esquema. Al no tener, por una serie de razones (inaccesibilidad del objeto de estudio, pérdida de la realidad de su existencia, etc.) la oportunidad de realizar una prueba directa de la verdad de cualquier afirmación, tesis, construyen una antítesis. Están convencidos de que la antítesis conduce a contradicciones y, por lo tanto, es falsa. Luego, del hecho de la falsedad de la antítesis se extrae - sobre la base de la ley del tercero excluido (a v) - la conclusión sobre la verdad de la tesis.
En matemáticas, una de las formas de prueba indirecta es ampliamente utilizada: prueba por contradicción. Es especialmente valioso y, de hecho, indispensable en la aceptación de conceptos y disposiciones fundamentales de las matemáticas, por ejemplo, el concepto de infinito actual, que no se puede introducir de otra manera.
La operación de demostración por contradicción se representa en lógica matemática como sigue. Dada una secuencia de fórmulas G y la negación de A (G , A). Si esto implica B y su negación (G , A B, no-B), entonces podemos concluir que la verdad de A se sigue de la secuencia de fórmulas G. En otras palabras, la verdad de la tesis se sigue de la falsedad de la antítesis .
Referencias:
1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Higher Mathematics for Economists, libro de texto, Moscú, 2002;
2. L.D. Kudryavtsev, Matemáticas modernas y su enseñanza, Moscú, Nauka, 1985;
3. O. I. Larichev, Modelos objetivos y decisiones subjetivas, Moscú, Nauka, 1987;
4. A.Ya.Halamizer, “¿Matemáticas? - ¡Es gracioso!”, Edición de autor, 1989;
5. P. K. Rashevsky, Geometría riemanniana y análisis tensorial, Moscú, 3ª edición, 1967;
6. V. E. Gmurman, Teoría de la probabilidad y estadística matemática, Escuela Superior de Moscú, 1977;
7. Red mundial Enternet.
Las matemáticas son la ciencia de las relaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real. En estrecha relación con las demandas de la ciencia y la tecnología, el acervo de relaciones cuantitativas y formas espaciales estudiadas por las matemáticas crece constantemente, por lo que la definición anterior debe entenderse en el sentido más general.
El propósito de estudiar matemáticas es aumentar la perspectiva general, la cultura del pensamiento, la formación de una cosmovisión científica.
Comprender la posición independiente de las matemáticas como una ciencia especial se hizo posible después de la acumulación de una cantidad bastante grande de material fáctico y surgió por primera vez en la antigua Grecia en los siglos VI-V a.C. Este fue el comienzo del período de las matemáticas elementales.
Durante este período, la investigación matemática se ocupó solo de un stock bastante limitado de conceptos básicos que surgieron con las demandas más simples de la vida económica. Al mismo tiempo, ya se está produciendo una mejora cualitativa de las matemáticas como ciencia.
Las matemáticas modernas a menudo se comparan con una gran ciudad. Esta es una excelente comparación, porque en matemáticas, como en una gran ciudad, hay un proceso continuo de crecimiento y mejora. Están surgiendo nuevas áreas en las matemáticas, se están construyendo nuevas teorías elegantes y profundas, como la construcción de nuevos barrios y edificios. Pero el progreso de las matemáticas no se limita a cambiar el rostro de la ciudad por la construcción de uno nuevo. Tenemos que cambiar lo viejo. Las viejas teorías se incluyen en otras nuevas, más generales; existe la necesidad de fortalecer los cimientos de los edificios antiguos. Hay que trazar nuevas calles para establecer conexiones entre los barrios distantes de la ciudad matemática. Pero esto no es suficiente: el diseño arquitectónico requiere un esfuerzo considerable, ya que la diversidad de diferentes áreas de las matemáticas no solo estropea la impresión general de la ciencia, sino que también interfiere con la comprensión de la ciencia en su conjunto, estableciendo vínculos entre sus diversas partes.
A menudo se utiliza otra comparación: las matemáticas se comparan con un gran árbol ramificado que, sistemáticamente, da nuevos brotes. Cada rama del árbol es una u otra área de las matemáticas. El número de ramas no permanece invariable, a medida que crecen nuevas ramas, crecen juntas al principio creciendo por separado, algunas de las ramas se secan, privadas de jugos nutritivos. Ambas comparaciones son exitosas y transmiten muy bien el estado real de las cosas.
Sin duda, la demanda de belleza juega un papel importante en la construcción de teorías matemáticas. No hace falta decir que la percepción de la belleza es muy subjetiva y, a menudo, hay ideas bastante feas al respecto. Y, sin embargo, hay que sorprenderse de la unanimidad que los matemáticos ponen en el concepto de "belleza": el resultado se considera bello si a partir de un pequeño número de condiciones es posible obtener una conclusión general relativa a una amplia gama de objetos. Una derivación matemática se considera bella si es posible probar un hecho matemático significativo en ella mediante un razonamiento simple y breve. La madurez de un matemático, su talento se adivina por lo desarrollado que está su sentido de la belleza. Los resultados estéticamente completos y matemáticamente perfectos son más fáciles de entender, recordar y usar; es más fácil identificar su relación con otras áreas de conocimiento.
Las matemáticas en nuestro tiempo se han convertido en una disciplina científica con muchas áreas de investigación, una gran cantidad de resultados y métodos. Las matemáticas ahora son tan grandes que no es posible que una sola persona las abarque en todas sus partes, no hay posibilidad de ser un especialista universal en ellas. La pérdida de conexiones entre sus direcciones separadas es ciertamente una consecuencia negativa del rápido desarrollo de esta ciencia. Sin embargo, en la base del desarrollo de todas las ramas de las matemáticas hay algo en común: los orígenes del desarrollo, las raíces del árbol de las matemáticas.
La geometría de Euclides como primera teoría de las ciencias naturales
La matemática como ciencia de las relaciones cuantitativas y las formas espaciales de la realidad estudia el mundo que nos rodea, los fenómenos naturales y sociales. Pero a diferencia de otras ciencias, las matemáticas estudian sus propiedades especiales, haciendo abstracción de otras. Así, la geometría estudia la forma y el tamaño de los objetos, sin tener en cuenta sus otras propiedades: color, masa, dureza, etc. En general, los objetos matemáticos (figura geométrica, número, valor) son creados por la mente humana y existen solo en el pensamiento humano, en signos y símbolos que forman el lenguaje matemático.
La abstracción de las matemáticas permite su aplicación en una variedad de áreas, es una poderosa herramienta para comprender la naturaleza.
Las formas de conocimiento se dividen en dos grupos.
primer grupo constituyen formas de cognición sensorial, realizadas con la ayuda de varios órganos de los sentidos: vista, oído, olfato, tacto, gusto.
Co. segundo grupo incluyen formas de pensamiento abstracto, principalmente conceptos, declaraciones e inferencias.
Las formas de la cognición sensorial son Sentir, percepción y representación.
Cada objeto no tiene una, sino muchas propiedades, y las conocemos con la ayuda de las sensaciones.
Sentimiento- este es un reflejo de las propiedades individuales de los objetos o fenómenos del mundo material, que directamente (es decir, ahora, en este momento) afectan nuestros sentidos. Estas son sensaciones de rojo, cálido, redondo, verde, dulce, suave y otras propiedades individuales de los objetos [Getmanova, p. 7].
A partir de sensaciones individuales, se forma la percepción de todo el objeto. Por ejemplo, la percepción de una manzana se compone de tales sensaciones: esférica, roja, agridulce, fragante, etc.
Percepción es un reflejo holístico de un objeto material externo que afecta directamente a nuestros sentidos [Getmanova, p. ocho]. Por ejemplo, la imagen de un plato, taza, cuchara, otros utensilios; la imagen del río, si ahora navegamos por él o estamos en sus orillas; la imagen del bosque, si ahora hemos llegado al bosque, etc.
Las percepciones, aunque son un reflejo sensorial de la realidad en nuestra mente, dependen en gran medida de la experiencia humana. Por ejemplo, un biólogo percibirá un prado de una forma (verá diferentes tipos de plantas), pero un turista o un artista lo percibirá de forma completamente diferente.
Actuación- esta es una imagen sensual de un objeto que no percibimos actualmente, pero que percibimos previamente de una forma u otra [Getmanova, p. diez]. Por ejemplo, podemos imaginarnos visualmente las caras de conocidos, nuestra habitación en la casa, un abedul o un hongo. estos son ejemplos reproduciendo representaciones, como hemos visto estos objetos.
La presentación puede ser creativo, incluido fantástico. Presentamos a la hermosa Princesa Swan, al Zar Saltan, al Gallo de Oro y a muchos otros personajes de los cuentos de hadas de A.S. Pushkin, a quien nunca hemos visto y nunca veremos. Estos son ejemplos de presentación creativa sobre descripción verbal. También imaginamos a la Doncella de Nieve, Papá Noel, una sirena, etc.
Entonces, las formas del conocimiento sensorial son las sensaciones, las percepciones y las representaciones. Con su ayuda, aprendemos los aspectos externos del objeto (sus características, incluidas las propiedades).
Las formas de pensamiento abstracto son conceptos, declaraciones y conclusiones.
Conceptos. Alcance y contenido de los conceptos
El término "concepto" generalmente se usa para referirse a toda una clase de objetos de naturaleza arbitraria que tienen una determinada propiedad característica (distintiva, esencial) o un conjunto completo de tales propiedades, es decir, propiedades que son exclusivas de los miembros de esa clase.
Desde el punto de vista de la lógica, el concepto es una forma especial de pensar, que se caracteriza por lo siguiente: 1) el concepto es producto de una materia altamente organizada; 2) el concepto refleja el mundo material; 3) el concepto aparece en la conciencia como medio de generalización; 4) el concepto significa específicamente actividad humana; 5) la formación de un concepto en la mente de una persona es inseparable de su expresión a través del habla, la escritura o el símbolo.
¿Cómo surge en nuestra mente el concepto de cualquier objeto de la realidad?
El proceso de formación de un determinado concepto es un proceso gradual en el que se pueden apreciar varias etapas sucesivas. Considere este proceso utilizando el ejemplo más simple: la formación del concepto del número 3 en los niños.
1. En la primera etapa de la cognición, los niños se familiarizan con varios conjuntos específicos, utilizando imágenes de sujetos y mostrando varios conjuntos de tres elementos (tres manzanas, tres libros, tres lápices, etc.). Los niños no solo ven cada uno de estos conjuntos, sino que también pueden tocar (tocar) los objetos que componen estos conjuntos. Este proceso de "ver" crea en la mente del niño una forma especial de reflejo de la realidad, que se llama percepción (sentimiento).
2. Retiremos los objetos (objetos) que componen cada conjunto, e invitemos a los niños a determinar si hubo algo en común que caracterice a cada conjunto. El número de objetos en cada conjunto debía quedar grabado en la mente de los niños, que había "tres" en todas partes. Si esto es así, entonces se ha creado una nueva forma en la mente de los niños: idea del número tres.
3. En la siguiente etapa, sobre la base de un experimento mental, los niños deben ver que la propiedad expresada en la palabra "tres" caracteriza cualquier conjunto de diferentes elementos de la forma (a; b; c). Así, se señalará una característica común esencial de tales conjuntos: "tener tres elementos". Ahora podemos decir que en la mente de los niños formados concepto de número 3.
concepto- esta es una forma especial de pensamiento, que refleja las propiedades esenciales (distintivas) de los objetos u objetos de estudio.
La forma lingüística de un concepto es una palabra o un grupo de palabras. Por ejemplo, "triángulo", "número tres", "punto", "línea recta", "triángulo isósceles", "planta", "árbol conífero", "río Yenisei", "mesa", etc.
Los conceptos matemáticos tienen una serie de características. La principal es que los objetos matemáticos sobre los que es necesario formar un concepto no existen en la realidad. Los objetos matemáticos son creados por la mente humana. Estos son objetos ideales que reflejan objetos o fenómenos reales. Por ejemplo, en geometría se estudia la forma y el tamaño de los objetos, sin tener en cuenta sus otras propiedades: color, masa, dureza, etc. De todo esto están distraídos, abstraídos. Por eso, en geometría, en lugar de la palabra "objeto" se dice "figura geométrica". El resultado de la abstracción son también conceptos matemáticos como "número" y "valor".
Principales características ninguna los conceptos son lo siguiente: 1) volumen; 2) contenido; 3) relaciones entre conceptos.
Cuando hablan de un concepto matemático, por lo general se refieren a todo el conjunto (conjunto) de objetos denotados por un término (palabra o grupo de palabras). Entonces, hablando de un cuadrado, se refieren a todas las formas geométricas que son cuadrados. Se cree que el conjunto de todos los cuadrados es el alcance del concepto de "cuadrado".
El alcance del concepto se llama el conjunto de objetos u objetos a los que es aplicable este concepto.
Por ejemplo, 1) el alcance del concepto de "paralelogramo" es el conjunto de cuadriláteros tales como paralelogramos propiamente dichos, rombos, rectángulos y cuadrados; 2) el alcance del concepto de "número natural de un dígito" será el conjunto - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Cualquier objeto matemático tiene ciertas propiedades. Por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro lados, cuatro ángulos rectos iguales a las diagonales, las diagonales son atravesadas por el punto de intersección. Puede especificar sus otras propiedades, pero entre las propiedades de un objeto hay esencial (distintivo) y no esencial.
La propiedad se llama significativo (distintivo) para un objeto si es inherente a este objeto y sin él no puede existir; propiedad se llama insignificante para un objeto si puede existir sin él.
Por ejemplo, para un cuadrado, todas las propiedades enumeradas anteriormente son esenciales. La propiedad “el lado AD es horizontal” será irrelevante para el cuadrado ABCD (Fig. 1). Si se gira este cuadrado, entonces el lado AD será vertical.
Considere un ejemplo para niños en edad preescolar que usan material visual (Fig. 2):
Describa la figura.
Pequeño triángulo negro. Arroz. 2
Triángulo blanco grande.
¿En qué se parecen las figuras?
¿En qué se diferencian las figuras?
Color, tamaño.
¿Qué tiene un triángulo?
3 lados, 3 esquinas.
Así, los niños descubren las propiedades esenciales y no esenciales del concepto de "triángulo". Propiedades esenciales - "tener tres lados y tres ángulos", propiedades no esenciales - color y tamaño.
La totalidad de todas las propiedades esenciales (distintivas) de un objeto u objeto reflejadas en este concepto se llama el contenido del concepto .
Por ejemplo, para el concepto de “paralelogramo”, el contenido es un conjunto de propiedades: tiene cuatro lados, tiene cuatro esquinas, los lados opuestos son paralelos por pares, los lados opuestos son iguales, los ángulos opuestos son iguales, las diagonales en la intersección puntos se dividen por la mitad.
Existe una conexión entre el volumen de un concepto y su contenido: si el volumen de un concepto aumenta, su contenido disminuye y viceversa. Así, por ejemplo, el alcance del concepto "triángulo isósceles" es parte del alcance del concepto "triángulo", y el contenido del concepto "triángulo isósceles" incluye más propiedades que el contenido del concepto "triángulo", porque un triángulo isósceles no solo tiene todas las propiedades de un triángulo, sino también otras inherentes solo a los triángulos isósceles ("dos lados son iguales", "dos ángulos son iguales", "dos medianas son iguales", etc.).
Los conceptos se dividen en soltero, común y categorías.
Un concepto cuyo volumen es igual a 1 se llama concepto único .
Por ejemplo, los conceptos: "Río Yenisei", "República de Tuva", "ciudad de Moscú".
Los conceptos cuyo volumen es mayor que 1 se llaman común .
Por ejemplo, los conceptos: "ciudad", "río", "cuadrilátero", "número", "polígono", "ecuación".
En el proceso de estudiar los fundamentos de cualquier ciencia, los niños generalmente forman conceptos generales. Por ejemplo, en los grados de primaria, los estudiantes se familiarizan con conceptos como "número", "número", "números de un dígito", "números de dos dígitos", "números de varios dígitos", "fracción", "compartir ”, “suma”, “término”, “suma”, “resta”, “resto”, “reducido”, “diferencia”, “multiplicación”, “multiplicador”, “producto”, “división”, “divisible”, "divisor", "cociente", "bola, cilindro, cono, cubo, paralelepípedo, pirámide, ángulo, triángulo, cuadrilátero, cuadrado, rectángulo, polígono, círculo, "círculo", "curva", "polilínea", "segmento" , "longitud del segmento", "rayo", "línea recta", "punto", "longitud", "ancho", "altura", "perímetro", "área de la figura", "volumen", "tiempo", " velocidad", "masa", "precio", "costo" y muchos otros. Todos estos conceptos son conceptos generales.