Construcción de un modelo de proceso estocástico. Método para construir modelos estocásticos de procesos de un paso Anastasia Vyacheslavovna Demidova. El modelado material difiere fundamentalmente del modelado ideal, basado en un St.

Serie "Economía y Gestión"

6. Kondratiev N. D. Los grandes ciclos coyunturales y la teoría de la previsión. - M.: Economía, 2002. 768 p.

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Construcción de un modelo estocástico de un parámetro del proceso de producción

Doctor. Asoc. Mordasov Yu.P.

Universidad de Ingeniería Mecánica, 8-916-853-13-32, [correo electrónico protegido] soldado americano

Anotación. El autor ha desarrollado un modelo matemático estocástico del proceso de producción, en función de un parámetro. El modelo ha sido probado. Para ello se creó un modelo de simulación del proceso de producción, construcción de maquinaria, teniendo en cuenta la influencia de perturbaciones-fallas aleatorias. La comparación de los resultados de los modelos matemáticos y de simulación confirma la conveniencia de aplicar el modelo matemático en la práctica.

Palabras clave: proceso tecnológico, matemática, modelo de simulación, control operacional, aprobación, perturbaciones aleatorias.

Los costos de la gestión operativa pueden reducirse significativamente desarrollando una metodología que le permita encontrar el óptimo entre los costos de la planificación operativa y las pérdidas que resultan de la discrepancia entre los indicadores planificados y los indicadores de los procesos productivos reales. Esto significa encontrar la duración óptima de la señal en el circuito de retroalimentación. En la práctica, esto significa una reducción en el número de cálculos de los calendarios para la puesta en producción de las unidades de ensamblaje y, por lo tanto, un ahorro de recursos materiales.

El curso del proceso de producción en ingeniería mecánica es de naturaleza probabilística. La influencia constante de factores que cambian continuamente no permite predecir para una determinada perspectiva (mes, trimestre) el curso del proceso de producción en el espacio y el tiempo. En los modelos estadísticos de programación, el estado de una pieza en cada momento específico debe darse como la probabilidad correspondiente (distribución de probabilidad) de que se encuentre en diferentes lugares de trabajo. Sin embargo, es necesario asegurar el determinismo del resultado final de la empresa. Esto, a su vez, implica la posibilidad, mediante métodos deterministas, de planificar determinados plazos para que las piezas estén en producción. Sin embargo, la experiencia muestra que las diversas interrelaciones y transiciones mutuas de los procesos de producción reales son diversas y numerosas. Al desarrollar modelos deterministas, esto crea dificultades significativas.

El intento de tener en cuenta todos los factores que afectan el curso de la producción hace que el modelo sea engorroso y deja de funcionar como una herramienta de planificación, contabilidad y regulación.

Un método más sencillo para construir modelos matemáticos de procesos reales complejos que dependen de un gran número de factores diferentes, difíciles o incluso imposibles de tener en cuenta, es la construcción de modelos estocásticos. En este caso, al analizar los principios de funcionamiento de un sistema real o al observar sus características individuales, se construyen funciones de distribución de probabilidad para algunos parámetros. En presencia de alta estabilidad estadística de las características cuantitativas del proceso y su pequeña dispersión, los resultados obtenidos utilizando el modelo construido están en buena concordancia con el desempeño del sistema real.

Los principales requisitos previos para construir modelos estadísticos de procesos económicos son:

Complejidad excesiva e ineficiencia económica asociada del modelo determinista correspondiente;

Grandes desviaciones de los indicadores teóricos obtenidos como resultado del experimento en el modelo de los indicadores de los objetos que realmente funcionan.

Por lo tanto, es deseable contar con un aparato matemático simple que describa el impacto de las perturbaciones estocásticas en las características globales del proceso de producción (producción comercial, volumen de trabajo en curso, etc.). Es decir, construir un modelo matemático del proceso productivo, que dependa de un pequeño número de parámetros y refleje la influencia total de muchos factores de diferente naturaleza en el curso del proceso productivo. La tarea principal que un investigador debe fijarse a sí mismo al construir un modelo no es la observación pasiva de los parámetros de un sistema real, sino la construcción de un modelo tal que, con cualquier desviación bajo la influencia de las perturbaciones, traería los parámetros del visualizado. procesos a un modo dado. Es decir, bajo la acción de cualquier factor aleatorio, se debe establecer un proceso en el sistema que converja a una solución planificada. En la actualidad, en los sistemas de control automatizado, esta función se asigna principalmente a una persona, que es uno de los eslabones de la cadena de retroalimentación en la gestión de los procesos productivos.

Pasemos al análisis del proceso real de producción. Por lo general, la duración del período de planificación (la frecuencia de emisión de planes a los talleres) se selecciona en función de los intervalos de tiempo del calendario tradicionalmente establecidos: turno, día, cinco días, etc. Se guían principalmente por consideraciones prácticas. La duración mínima del período de planificación está determinada por las capacidades operativas de los organismos planificados. Si el departamento de producción y despacho de la empresa se ocupa de la emisión de tareas de turno ajustadas a las tiendas, entonces el cálculo se realiza para cada turno (es decir, los costos asociados con el cálculo y análisis de los objetivos planificados se incurren en cada turno).

Determinar las características numéricas de la distribución de probabilidad de

Una serie de perturbaciones de "Economía y Gestión" construirán un modelo probabilístico de un proceso tecnológico real de fabricación de una unidad de ensamblaje. Aquí y en adelante, el proceso tecnológico de fabricación de una unidad de ensamblaje significa una secuencia de operaciones (trabajos para la fabricación de estas partes o ensamblajes), documentada en la tecnología. Cada operación tecnológica de fabricación de productos de acuerdo con la ruta tecnológica solo puede realizarse después de la anterior. En consecuencia, el proceso tecnológico de fabricación de una unidad de ensamblaje es una secuencia de eventos-operaciones. Bajo la influencia de varias razones estocásticas, la duración de una operación individual puede cambiar. En algunos casos, es posible que la operación no se complete durante la vigencia de este trabajo de turno. Es obvio que estos eventos pueden descomponerse en componentes elementales: realización e inejecución de las operaciones individuales, que también pueden ponerse en correspondencia con las probabilidades de realización e inejecución.

Para un proceso tecnológico específico, la probabilidad de realizar una secuencia que consta de K operaciones se puede expresar mediante la siguiente fórmula:

PC5 \u003d k) \u003d (1 paquete + 1) PG \u003d 1P1, (1)

donde: P1 - la probabilidad de realizar la primera operación, tomada por separado; r es el número de la operación en orden en el proceso tecnológico.

Esta fórmula se puede utilizar para determinar las características estocásticas de un período de planificación específico, cuando la gama de productos lanzados a la producción y la lista de trabajos que deben realizarse en un período de planificación determinado, así como sus características estocásticas, que se determinan empíricamente. , son conocidos. En la práctica, solo ciertos tipos de producción en masa, que tienen una alta estabilidad estadística de características, satisfacen los requisitos enumerados.

La probabilidad de realizar una sola operación depende no solo de factores externos, sino también de la naturaleza específica del trabajo realizado y del tipo de unidad de montaje.

Para determinar los parámetros de la fórmula anterior, incluso con un conjunto relativamente pequeño de unidades de ensamblaje, con pequeños cambios en la gama de productos fabricados, se requiere una cantidad significativa de datos experimentales, lo que genera costos significativos de material y organización y hace que este método sea útil. determinar la probabilidad de producción ininterrumpida de productos difícilmente aplicable.

Sometamos el modelo obtenido al estudio de la posibilidad de su simplificación. El valor inicial del análisis es la probabilidad de ejecución sin fallas de una operación del proceso tecnológico de fabricación de productos. En condiciones reales de producción, las probabilidades de realizar operaciones de cada tipo son diferentes. Para un proceso tecnológico específico, esta probabilidad depende de:

Del tipo de operación realizada;

De una unidad de ensamblaje específica;

De productos fabricados en paralelo;

de factores externos.

Analicemos la influencia de las fluctuaciones en la probabilidad de realizar una operación sobre las características agregadas del proceso de producción de productos de fabricación (el volumen de producción comercial, el volumen de trabajo en curso, etc.) determinado utilizando este modelo. El objetivo del estudio es analizar la posibilidad de reemplazar en el modelo varias probabilidades de realizar una operación con un valor medio.

El efecto combinado de todos estos factores se tiene en cuenta al calcular la probabilidad geométrica promedio de realizar una operación del proceso tecnológico promediado. Un análisis de la producción moderna muestra que fluctúa ligeramente: prácticamente entre 0,9 y 1,0.

Una clara ilustración de cuán baja es la probabilidad de realizar una operación

walkie-talkie corresponde a un valor de 0,9, es el siguiente ejemplo abstracto. Digamos que tenemos diez piezas para hacer. Los procesos tecnológicos de fabricación de cada uno de ellos contienen diez operaciones. La probabilidad de realizar cada operación es 0.9. Encontremos las probabilidades de atrasar el programa para un número diferente de procesos tecnológicos.

Un evento aleatorio, que consiste en el hecho de que un determinado proceso tecnológico de fabricación de una unidad de montaje se retrase, corresponde al bajo rendimiento de al menos una operación de este proceso. Es lo opuesto a un evento: la ejecución de todas las operaciones sin fallar. Su probabilidad es 1 - 0,910 = 0,65. Dado que los retrasos en la programación son eventos independientes, la distribución de probabilidad de Bernoulli se puede utilizar para determinar la probabilidad de retraso en la programación para una cantidad diferente de procesos. Los resultados del cálculo se muestran en la Tabla 1.

tabla 1

Cálculo de las probabilidades de retraso en el cronograma de los procesos tecnológicos.

a C^o0.35k0.651O-k Suma

La tabla muestra que con una probabilidad de 0,92, cinco procesos tecnológicos se atrasarán, es decir, la mitad. La expectativa matemática del número de procesos tecnológicos retrasados ​​respecto al cronograma será de 6,5. Esto significa que, en promedio, 6,5 unidades de ensamblaje de cada 10 se retrasarán con respecto al cronograma, es decir, en promedio, se producirán de 3 a 4 piezas sin fallas. El autor desconoce ejemplos de tan bajo nivel de organización del trabajo en la producción real. El ejemplo considerado muestra claramente que la restricción impuesta sobre el valor de la probabilidad de realizar una operación sin fallas no contradice la práctica. Todos los requisitos anteriores se cumplen en los procesos de producción de los talleres de montaje de máquinas de producción de construcción de máquinas.

Así, para determinar las características estocásticas de los procesos productivos, se propone construir una distribución de probabilidad para la ejecución operativa de un proceso tecnológico, la cual expresa la probabilidad de realizar una secuencia de operaciones tecnológicas para fabricar una unidad de ensamble a través de la probabilidad media geométrica de realizando una sola operación. La probabilidad de realizar K operaciones en este caso será igual al producto de las probabilidades de realizar cada operación, por la probabilidad de no realizar el resto del proceso tecnológico, lo que coincide con la probabilidad de no realizar el (K + T )-ésima operación. Este hecho se explica por el hecho de que si alguna operación no se realiza, entonces las siguientes no se pueden ejecutar. La última entrada se diferencia del resto, ya que expresa la probabilidad de paso completo sin falla de todo el proceso tecnológico. La probabilidad de realizar K de las primeras operaciones del proceso tecnológico está únicamente relacionada con la probabilidad de no realizar las operaciones restantes. Así, la distribución de probabilidad tiene la siguiente forma:

PY=0)=p°(1-p),

Ð(§=1) = ð1(1-ð), (2)

P(^=1) = p1(1-p),

P(t=u-1) = pn"1(1 - p), P(t=n) = pn,

donde: ^ - valor aleatorio, el número de operaciones realizadas;

p es la probabilidad media geométrica de realizar una operación, n es el número de operaciones en el proceso tecnológico.

La validez de la aplicación de la distribución de probabilidad de un parámetro obtenida es intuitivamente evidente a partir del siguiente razonamiento. Supongamos que hemos calculado la media geométrica de la probabilidad de realizar una operación en una muestra de n elementos, donde n es lo suficientemente grande.

p = USHT7P7= tl|n]t=1p!), (3)

donde: Iy - el número de operaciones que tienen la misma probabilidad de ejecución; ] - índice de un grupo de operaciones que tienen la misma probabilidad de ejecución; m - el número de grupos que consisten en operaciones que tienen la misma probabilidad de ejecución;

^ = - - frecuencia relativa de ocurrencia de operaciones con probabilidad de ejecución p^.

De acuerdo con la ley de los grandes números, con un número ilimitado de operaciones, la frecuencia relativa de ocurrencia en una secuencia de operaciones con ciertas características estocásticas tiende en probabilidad a la probabilidad de este evento. De donde se sigue que

para dos muestras suficientemente grandes = , entonces:

donde: t1, t2 - el número de grupos en la primera y segunda muestra, respectivamente;

1*, I2 - el número de elementos en el grupo de la primera y segunda muestra, respectivamente.

De esto puede verse que si el parámetro se calcula para un gran número de pruebas, estará cerca del parámetro P calculado para esta muestra bastante grande.

Se debe prestar atención a la diferente proximidad al valor real de las probabilidades de realizar un número diferente de operaciones de proceso. En todos los elementos de la distribución, excepto en el último, existe un factor (I - P). Dado que el valor del parámetro P está en el rango de 0,9 - 1,0, el factor (I - P) fluctúa entre 0 - 0,1. Este multiplicador corresponde al multiplicador (I - p;) en el modelo original. La experiencia demuestra que esta correspondencia para una determinada probabilidad puede provocar un error de hasta el 300%. Sin embargo, en la práctica, uno no suele estar interesado en las probabilidades de realizar cualquier número de operaciones, sino en la probabilidad de una ejecución completa sin fallas del proceso tecnológico. Esta probabilidad no contiene un factor (I - P) y, por lo tanto, su desviación del valor real es pequeña (prácticamente no más del 3%). Para tareas económicas, esta es una precisión bastante alta.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria así construida es un modelo dinámico estocástico del proceso de fabricación de una unidad de ensamblaje. El tiempo participa en él implícitamente, como la duración de una operación. El modelo le permite determinar la probabilidad de que después de un cierto período de tiempo (el número correspondiente de operaciones) el proceso de producción de fabricación de una unidad de ensamblaje no se interrumpa. Para los talleres de ensamblaje mecánico de producción de construcción de maquinaria, el número promedio de operaciones de un proceso tecnológico es bastante grande (15 - 80). Si consideramos este número como un número base y asumimos que, en promedio, en la fabricación de una unidad de ensamblaje, se utiliza un pequeño conjunto de tipos de trabajo ampliados (torneado, cerrajería, fresado, etc.),

luego, la distribución resultante se puede utilizar con éxito para evaluar el impacto de las perturbaciones estocásticas en el curso del proceso de producción.

El autor realizó un experimento de simulación basado en este principio. Para generar una secuencia de variables pseudoaleatorias distribuidas uniformemente en el intervalo 0,9 - 1,0, se utilizó un generador de números pseudoaleatorios, descrito en . El software del experimento está escrito en el lenguaje algorítmico COBOL.

En el experimento se forman productos de variables aleatorias generadas, simulando las probabilidades reales de la implementación completa de un proceso tecnológico específico. Se comparan con la probabilidad de realizar el proceso tecnológico, obtenida a partir del valor de la media geométrica, que se calculó para una determinada secuencia de números aleatorios de la misma distribución. La media geométrica se eleva a una potencia igual al número de factores del producto. Entre estos dos resultados, se calcula la diferencia relativa en porcentaje. El experimento se repite para un número diferente de factores en los productos y el número de números para los que se calcula la media geométrica. Un fragmento de los resultados del experimento se muestra en la Tabla 2.

Tabla 2

Resultados del experimento de simulación:

n es el grado de la media geométrica; k - el grado del producto

n a Producto Desviación a Producto Desviación a Producto Desviación

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

Al establecer este experimento de simulación, el objetivo era explorar la posibilidad de obtener, utilizando la distribución de probabilidad (2), una de las características estadísticas ampliadas del proceso de producción: la probabilidad de realizar un proceso tecnológico de fabricación de una unidad de ensamblaje que consta de K operaciones sin fallos. Para un proceso tecnológico específico, esta probabilidad es igual al producto de las probabilidades de realizar todas sus operaciones. Como muestra el experimento de simulación, sus desviaciones relativas de la probabilidad obtenida utilizando el modelo probabilístico desarrollado no superan el 9%.

Dado que el experimento de simulación utiliza una distribución de probabilidad más inconveniente que la real, las discrepancias prácticas serán aún menores. Se observan desviaciones tanto en el sentido de disminución como en el sentido de superación del valor obtenido a partir de las características medias. Este hecho sugiere que si consideramos la desviación de la probabilidad de ejecución sin fallas de no un solo proceso tecnológico, sino varios, entonces será mucho menor. Obviamente, cuanto más pequeños, más procesos tecnológicos se considerarán. Así, el experimento de simulación muestra una buena concordancia entre la probabilidad de realizar sin fallas el proceso tecnológico de fabricación de productos con la probabilidad obtenida utilizando un modelo matemático de un parámetro.

Además, se realizaron experimentos de simulación:

Estudiar la convergencia estadística de la estimación del parámetro de distribución de probabilidad;

Estudiar la estabilidad estadística de la expectativa matemática del número de operaciones realizadas sin fallas;

Analizar métodos para determinar la duración del período mínimo de planificación y evaluar la discrepancia entre los indicadores planificados y reales del proceso de producción, si los períodos planificados y de producción no coinciden en el tiempo.

Los experimentos han mostrado una buena concordancia entre los datos teóricos obtenidos mediante el uso de técnicas y los datos empíricos obtenidos por simulación en

Serie "Economía y Gestión"

Computador de procesos productivos reales.

Basado en la aplicación del modelo matemático construido, el autor ha desarrollado tres métodos específicos para mejorar la eficiencia de la gestión operativa. Para su aprobación, se llevaron a cabo experimentos de simulación por separado.

1. Metodología para determinar el volumen racional de la tarea de producción para el período de planificación.

2. Metodología para determinar la duración más efectiva del período de planificación operativa.

3. Evaluación de la discrepancia en caso de desfase temporal entre el periodo previsto y el de producción.

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La transición de la concentración a la diversificación es una vía eficaz para desarrollar la economía de las pequeñas y medianas empresas

profe. Kozlenko N. N. Universidad de Ingeniería Mecánica

Anotación. Este artículo considera el problema de elegir el desarrollo más efectivo de las pequeñas y medianas empresas rusas a través de la transición de una estrategia de concentración a una estrategia de diversificación. Se consideran los problemas de la conveniencia de la diversificación, sus ventajas, los criterios para elegir el camino de la diversificación, se da una clasificación de las estrategias de diversificación.

Palabras clave: pequeñas y medianas empresas; diversificación; ajuste estrategico; ventajas competitivas.

Un cambio activo en los parámetros del entorno macro (cambios en las condiciones del mercado, aparición de nuevos competidores en industrias relacionadas, aumento del nivel de competencia en general) a menudo conduce al incumplimiento de los planes estratégicos planificados de las pequeñas y medianas empresas. pequeñas empresas, pérdida de estabilidad financiera y económica de las empresas debido a una brecha significativa entre las condiciones objetivas para las actividades de las pequeñas empresas y el nivel de tecnología de su gestión.

Las principales condiciones para la estabilidad económica y la posibilidad de mantener ventajas competitivas son la capacidad del sistema de gestión para responder de manera oportuna y cambiar los procesos productivos internos (cambiar el surtido teniendo en cuenta la diversificación, reconstruir los procesos productivos y tecnológicos, cambiar la estructura de la organización, utilizar herramientas innovadoras de marketing y gestión).

Un estudio de la práctica de las pequeñas y medianas empresas rusas del tipo de producción y servicio ha revelado las siguientes características y relaciones básicas de causa y efecto con respecto a la tendencia actual en la transición de las pequeñas empresas de la concentración a la diversificación.

La mayoría de las PYMES comienzan como pequeñas empresas de talla única que sirven a los mercados locales o regionales. Al comienzo de su actividad, la gama de productos de dicha empresa es muy limitada, su base de capital es débil y su posición competitiva es vulnerable. Normalmente, la estrategia de estas empresas se centra en el crecimiento de las ventas y la cuota de mercado, así como en

4. Esquema para la construcción de modelos estocásticos

La construcción de un modelo estocástico incluye el desarrollo, la evaluación de la calidad y el estudio del comportamiento del sistema mediante ecuaciones que describen el proceso en estudio. Para ello, mediante la realización de un experimento especial con un sistema real, se obtiene la información inicial. En este caso, se utilizan métodos para planificar un experimento, procesar resultados, así como criterios para evaluar los modelos obtenidos, basados ​​​​en secciones de estadísticas matemáticas como dispersión, correlación, análisis de regresión, etc.

Etapas de desarrollo de un modelo estocástico:

formulación del problema

elección de factores y parámetros

selección del tipo de modelo

planificación de experimentos

implementación del experimento de acuerdo con el plan

construcción de un modelo estadístico

validación del modelo (relacionado con 8, 9, 2, 3, 4)

ajuste del modelo

exploración de procesos con un modelo (vinculado a 11)

definición de parámetros de optimización y restricciones

optimización de procesos con un modelo (vinculado a 10 y 13)

información experimental de equipos de automatización

control de procesos con un modelo (vinculado a 12)

La combinación de los pasos 1 a 9 nos da un modelo de información, los pasos 1 a 11 nos dan un modelo de optimización y la combinación de todos los elementos nos da un modelo de control.

5. Herramientas para el procesamiento de modelos

Con los sistemas CAE, puede realizar los siguientes procedimientos para procesar modelos:

superposición de una malla de elementos finitos en un modelo 3D,

problemas de estado de estrés por calor; problemas de dinámica de fluidos;

problemas de transferencia de calor y masa;

tareas de contacto;

cálculos cinemáticos y dinámicos, etc.

modelado de simulación de sistemas de producción complejos basados ​​en modelos de colas y redes de Petri

Por lo general, los módulos CAE brindan la capacidad de colorear imágenes en escala de grises, superponer las piezas originales y deformadas, visualizar flujos de líquidos y gases.

Ejemplos de sistemas para modelar campos de cantidades físicas de acuerdo con el FEM: Nastran, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow.

Ejemplos de sistemas para modelar procesos dinámicos a nivel macro: Adams y Dyna - en sistemas mecánicos, Spice - en circuitos electrónicos, PA9 - para modelado multidimensional, es decir. para modelar sistemas, cuyos principios se basan en la influencia mutua de procesos físicos de diversa naturaleza.

6. Modelado matemático. Modelos analíticos y de simulación

Modelo matemático - un conjunto de objetos matemáticos (números, variables, conjuntos, etc.) y relaciones entre ellos, que refleja adecuadamente algunas propiedades (esenciales) del objeto técnico diseñado. Los modelos matemáticos pueden ser geométricos, topológicos, dinámicos, lógicos, etc.

- adecuación de la representación de los objetos simulados;

El área de adecuación es el área en el espacio de parámetros, dentro de la cual los errores del modelo se mantienen dentro de límites aceptables.

- economía (eficiencia computacional)- determinado por el costo de los recursos,
requerido para la implementación del modelo (tiempo de computadora, memoria utilizada, etc.);

- precisión - determina el grado de coincidencia de los resultados calculados y verdaderos (el grado de correspondencia entre las estimaciones de las propiedades del mismo nombre del objeto y el modelo).

Modelo matematico- el proceso de construcción de modelos matemáticos. Incluye los siguientes pasos: establecimiento del problema; construcción de un modelo y su análisis; desarrollo de métodos para obtener soluciones de diseño sobre el modelo; verificación experimental y corrección del modelo y métodos.

La calidad de los modelos matemáticos creados depende en gran medida de la correcta formulación del problema. Es necesario determinar los objetivos técnicos y económicos del problema a resolver, recolectar y analizar toda la información inicial, para determinar las limitaciones técnicas. En el proceso de construcción de modelos, se deben utilizar métodos de análisis de sistemas.

El proceso de modelado, por regla general, es de naturaleza iterativa, lo que permite refinar las decisiones anteriores tomadas en las etapas anteriores del desarrollo del modelo en cada paso de iteración.

Modelos Analíticos - modelos matemáticos numéricos que pueden representarse como dependencias explícitas de los parámetros de salida en parámetros internos y externos. Modelos de simulación - modelos algorítmicos numéricos que muestran los procesos en el sistema en presencia de influencias externas en el sistema. Los modelos algorítmicos son modelos en los que la relación entre los parámetros de salida, internos y externos se especifica implícitamente en forma de un algoritmo de modelado. Los modelos de simulación se utilizan a menudo en el nivel de diseño del sistema. El modelado de simulación se realiza mediante la reproducción de eventos que ocurren de forma simultánea o secuencial en el tiempo del modelo. Un ejemplo de un modelo de simulación puede considerarse el uso de una red de Petri para simular un sistema de colas.

7. Principios básicos para la construcción de modelos matemáticos

Enfoque clásico (inductivo). El objeto real a modelar se divide en subsistemas separados, es decir, Se seleccionan los datos iniciales para el modelado y se establecen objetivos que reflejan ciertos aspectos del proceso de modelado. Basado en un conjunto separado de datos iniciales, el objetivo es modelar un aspecto separado del funcionamiento del sistema; sobre la base de este objetivo, se forma un cierto componente del modelo futuro. El conjunto de componentes se combina en un modelo.

Este enfoque clásico se puede utilizar para crear modelos bastante simples en los que es posible la separación y la consideración mutuamente independiente de aspectos individuales del funcionamiento de un objeto real. Implementa el movimiento de lo particular a lo general.

Enfoque de sistemas. Con base en los datos iniciales que se conocen del análisis del sistema externo, aquellas restricciones que se imponen al sistema desde arriba o con base en las posibilidades de su implementación, y en base a la finalidad de funcionamiento, los requisitos iniciales para el se formula el modelo del sistema. Sobre la base de estos requisitos, se forman aproximadamente algunos subsistemas y elementos y se lleva a cabo la etapa de síntesis más difícil: la elección de los componentes del sistema, para los cuales se utilizan criterios de selección especiales. El enfoque de sistema también implica una cierta secuencia de desarrollo del modelo, que consiste en distinguir dos etapas principales de diseño: macrodiseño y microdiseño.

Etapa de diseño de macros– sobre la base de datos sobre el sistema real y el entorno externo, se construye un modelo del entorno externo, se identifican los recursos y las limitaciones para construir un modelo de sistema, se seleccionan un modelo de sistema y criterios para evaluar la idoneidad del sistema real modelo. Habiendo construido un modelo del sistema y un modelo del entorno externo, basado en el criterio de la eficiencia del funcionamiento del sistema, en el proceso de modelado, se elige la estrategia de control óptima, que permite realizar la posibilidad. del modelo para reproducir ciertos aspectos del funcionamiento de un sistema real.

Etapa de microdiseño depende en gran medida del tipo particular de modelo elegido. En el caso de un modelo de simulación, es necesario asegurar la creación de sistemas de modelado de información, matemáticos, técnicos y de software. En esta etapa, es posible establecer las principales características del modelo creado, evaluar el tiempo de trabajo con él y el costo de los recursos para obtener una determinada calidad de correspondencia entre el modelo y el proceso de funcionamiento del sistema. modelo usado
al construirlo, es necesario guiarse por una serie de principios de un enfoque sistemático:

progreso proporcionalmente secuencial a través de las etapas y direcciones de creación del modelo;

coordinación de información, recursos, confiabilidad y otras características;

la proporción correcta de niveles individuales de la jerarquía en el sistema de modelado;

la integridad de las etapas individuales aisladas de la construcción del modelo.

Análisis de los métodos utilizados en la modelización matemática

En el modelado matemático, la solución de ecuaciones diferenciales o integro-diferenciales con derivadas parciales se realiza por métodos numéricos. Estos métodos se basan en la discretización de variables independientes: su representación mediante un conjunto finito de valores en puntos nodales seleccionados del espacio en estudio. Estos puntos se consideran como nodos de alguna cuadrícula.

Entre los métodos de cuadrícula, dos métodos son los más utilizados: el método de diferencias finitas (FDM) y el método de elementos finitos (FEM). Por lo general, se realiza la discretización de las variables espaciales independientes, es decir, utilizando una cuadrícula espacial. En este caso, la discretización da como resultado un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, que luego se reducen a un sistema de ecuaciones algebraicas utilizando condiciones de contorno.

Sea necesario resolver la ecuación BT(z) = F(z)

con condiciones de contorno dadas MV(z) = .(z),

donde L y METRO- operadores diferenciales, V(z) - variable de fase, z= (X 1, X 2, X 3, t) - vector de variables independientes, F(z) y ψ.( z) se dan funciones de variables independientes.

EN MKR la algebraización de derivadas con respecto a coordenadas espaciales se basa en la aproximación de derivadas mediante expresiones en diferencias finitas. Al usar el método, debe seleccionar los pasos de la cuadrícula para cada coordenada y el tipo de plantilla. Se entiende por plantilla un conjunto de puntos nodales, cuyos valores de variables se utilizan para aproximar la derivada en un punto determinado.

FEM se basa en la aproximación no de derivadas, sino de la solución misma V(z). Pero como se desconoce, la aproximación se realiza mediante expresiones con coeficientes indefinidos.

En este caso, estamos hablando de aproximaciones de la solución dentro de elementos finitos, y teniendo en cuenta sus pequeños tamaños, podemos hablar de usar expresiones de aproximación relativamente simples (por ejemplo, polinomios de bajo grado). Como resultado de la sustitución tales polinomios en la ecuación diferencial original y realizando operaciones de diferenciación, los valores de las variables de fase se obtienen en puntos dados.

Aproximación de polinomios. El uso de métodos está asociado a la posibilidad de aproximar una función suave por un polinomio y luego usar un polinomio de aproximación para estimar la coordenada del punto óptimo. Las condiciones necesarias para la implementación efectiva de este enfoque son unimodalidad y continuidad función en estudio. De acuerdo con el teorema de aproximación de Weierstrass, si una función es continua en algún intervalo, entonces se puede aproximar con cualquier grado de precisión mediante un polinomio de un orden suficientemente alto. De acuerdo con el teorema de Weierstrass, la calidad de las estimaciones óptimas de coordenadas de puntos obtenidas mediante el polinomio de aproximación se puede mejorar de dos formas: mediante el uso de un polinomio de orden superior y mediante la disminución del intervalo de aproximación. La versión más sencilla de la interpolación de polinomios es la aproximación cuadrática, que se basa en que la función que toma el valor mínimo en el punto interior del intervalo debe ser al menos cuadrática.

Disciplina "Modelos y métodos de análisis de soluciones de diseño" (Kazakov Yu.M.)

Clasificación de modelos matemáticos.

Niveles de abstracción de modelos matemáticos.

Requisitos para los modelos matemáticos.

Esquema para la construcción de modelos estocásticos.

Herramientas de procesamiento de modelos.

Modelo matematico. Modelos analíticos y de simulación.

Principios básicos para la construcción de modelos matemáticos.

Análisis de métodos aplicados en modelización matemática.

1. Clasificación de modelos matemáticos

Modelo matemático (MM) de un objeto técnico es un conjunto de objetos matemáticos (números, variables, matrices, conjuntos, etc.) y las relaciones entre ellos, que refleja adecuadamente las propiedades de un objeto técnico que son de interés para un ingeniero que desarrolla este objeto.

Por la naturaleza de mostrar las propiedades del objeto:

Funcional: diseñado para mostrar los procesos físicos o de información que ocurren en los sistemas técnicos durante su operación. Un modelo funcional típico es un sistema de ecuaciones que describe procesos eléctricos, térmicos, mecánicos o procesos de transformación de información.

Estructural: muestra las propiedades estructurales del objeto (topológico, geométrico). . Los modelos estructurales se representan con mayor frecuencia como gráficos.

Por pertenecer al nivel jerárquico:

Modelos del micronivel: visualización de procesos físicos en espacio y tiempo continuos. Para el modelado se utiliza el aparato de ecuaciones de la física matemática. Ejemplos de tales ecuaciones son las ecuaciones diferenciales parciales.

modelos a nivel macro. Se utilizan ampliaciones, detalles del espacio sobre una base fundamental. Los modelos funcionales a nivel macro son sistemas de ecuaciones diferenciales algebraicas u ordinarias, para su derivación y solución se utilizan métodos numéricos apropiados.

Modelos de metonivel. Descripción ampliada de los objetos en consideración. Modelos matemáticos en el metanivel: sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas de ecuaciones lógicas, modelos de simulación de sistemas de colas.

Cómo obtener el modelo:

Teóricos: se construyen sobre la base del estudio de patrones. A diferencia de los modelos empíricos, los modelos teóricos son, en la mayoría de los casos, más universales y aplicables a una gama más amplia de tareas. Los modelos teóricos son lineales y no lineales, continuos y discretos, dinámicos y estadísticos.

empírico

Los principales requisitos para los modelos matemáticos en CAD:

adecuación de la representación de los objetos simulados;

La adecuación tiene lugar si el modelo refleja las propiedades dadas del objeto con una precisión aceptable y se evalúa mediante la lista de propiedades reflejadas y áreas de adecuación. El área de adecuación es el área en el espacio de parámetros, dentro de la cual los errores del modelo se mantienen dentro de límites aceptables.

economía (eficiencia computacional)– está determinado por el costo de los recursos necesarios para implementar el modelo (tiempo de computadora, memoria utilizada, etc.);

precisión- determina el grado de coincidencia de los resultados calculados y verdaderos (el grado de correspondencia entre las estimaciones de las propiedades del mismo nombre del objeto y el modelo).

También se imponen otros requisitos a los modelos matemáticos:

computabilidad, es decir. la posibilidad de estudiar manualmente o con la ayuda de una computadora los patrones cualitativos y cuantitativos del funcionamiento de un objeto (sistema).

Modularidad, es decir. correspondencia de las construcciones del modelo con los componentes estructurales del objeto (sistema).

Algoritmizabilidad, es decir. la posibilidad de desarrollar un algoritmo apropiado y un programa que implemente un modelo matemático en una computadora.

visibilidad, es decir. conveniente percepción visual del modelo.

Mesa. Clasificación de modelos matemáticos

Signos de clasificación	Tipos de modelos matemáticos
1. Pertenecer a un nivel jerárquico	Modelos de nivel micro Modelos de nivel macro Modelos de nivel meta
2. La naturaleza de las propiedades mostradas del objeto.	Estructural Funcional
3. Forma de representar las propiedades de los objetos	Analítico algorítmico simulación
4. Cómo conseguir el modelo	Teórico empírico
5. Características del comportamiento del objeto.	determinista probabilístico

Modelos matemáticos a nivel micro del proceso de producción reflejan los procesos físicos que ocurren, por ejemplo, al cortar metales. Describen procesos en el nivel de transición.

Modelos matemáticos a nivel macro proceso de producción describen los procesos tecnológicos.

Modelos matemáticos en el metanivel del proceso de producción describen los sistemas tecnológicos (secciones, talleres, la empresa en su conjunto).

Modelos matemáticos estructurales diseñado para mostrar las propiedades estructurales de los objetos. Por ejemplo, en CAD TP, los modelos estructural-lógicos se utilizan para representar la estructura del proceso tecnológico, el empaque del producto.

Modelos matemáticos funcionales diseñado para mostrar información, procesos físicos, temporales que ocurren en equipos operativos, en el curso de procesos tecnológicos, etc.

Modelos matemáticos teóricos se crean como resultado del estudio de los objetos (procesos) a nivel teórico.

Modelos matemáticos empíricos se crean como resultado de experimentos (estudiar las manifestaciones externas de las propiedades de un objeto midiendo sus parámetros en la entrada y salida) y procesando sus resultados utilizando métodos estadísticos matemáticos.

Modelos matemáticos deterministas describir el comportamiento de un objeto desde el punto de vista de la certeza completa en el presente y el futuro. Ejemplos de tales modelos: fórmulas de leyes físicas, procesos tecnológicos para procesar piezas, etc.

Modelos matemáticos probabilísticos tener en cuenta la influencia de factores aleatorios en el comportamiento del objeto, es decir, evaluar su futuro en términos de la probabilidad de ciertos eventos.

Modelos Analíticos - modelos matemáticos numéricos que pueden representarse como dependencias explícitas de los parámetros de salida en parámetros internos y externos.

Modelos matemáticos algorítmicos expresar la relación entre los parámetros de salida y los parámetros de entrada e internos en forma de algoritmo.

Modelos matemáticos de simulación- estos son modelos algorítmicos que reflejan el desarrollo del proceso (comportamiento del objeto bajo estudio) en el tiempo al especificar influencias externas en el proceso (objeto). Por ejemplo, estos son modelos de sistemas de colas dados en forma algorítmica.

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1. Un ejemplo de construcción de un modelo de proceso estocástico

En el curso de la operación de un banco, muy a menudo es necesario resolver el problema de elegir un vector de activos, es decir la cartera de inversiones del banco, y los parámetros de incertidumbre que deben tenerse en cuenta en esta tarea están relacionados principalmente con la incertidumbre de los precios de los activos (títulos, inversiones reales, etc.). Como ilustración, podemos dar un ejemplo con la formación de una cartera de obligaciones gubernamentales a corto plazo.

Para problemas de esta clase, el problema fundamental es la construcción de un modelo del proceso estocástico de cambios de precios, ya que el investigador de operaciones, por supuesto, solo tiene una serie finita de observaciones de realizaciones de variables aleatorias: precios. A continuación, se presenta uno de los enfoques para resolver este problema, que se está desarrollando en el Centro de Computación de la Academia de Ciencias de Rusia en relación con la resolución de problemas de control para procesos estocásticos de Markov.

están siendo considerados METRO tipos de valores, i=1,… , METRO, que se negocian en sesiones especiales de intercambio. Los valores se caracterizan por valores, expresados ​​como un porcentaje de los rendimientos durante la sesión actual. Si un papel del tipo al final de la sesión se compra al precio y se vende al final de la sesión al precio, entonces.

Los rendimientos son variables aleatorias formadas de la siguiente manera. Se supone la existencia de rendimientos básicos: variables aleatorias que forman un proceso de Markov y están determinadas por la siguiente fórmula:

Aquí, son constantes y son variables aleatorias distribuidas normalmente estándar (es decir, con expectativa matemática cero y varianza unitaria).

donde es cierto factor de escala igual a (), y es una variable aleatoria que tiene el significado de una desviación del valor base y se determina de manera similar:

donde también son variables aleatorias normalmente distribuidas estándar.

Se supone que algún operador, en lo sucesivo denominado como el operador, gestiona su capital invertido en valores (en cualquier momento en papel de exactamente un tipo) durante algún tiempo, vendiéndolos al final de la sesión actual e inmediatamente comprando otros valores con los ingresos. La gestión, la selección de los valores comprados se realiza de acuerdo con un algoritmo que depende del conocimiento del operador del proceso que forma el rendimiento de los valores. Consideraremos varias hipótesis sobre esta conciencia y, en consecuencia, varios algoritmos de control. Supondremos que el investigador de la operación desarrolla y optimiza el algoritmo de control utilizando la serie disponible de observaciones del proceso, es decir, utilizando información sobre los precios de cierre en las sesiones de cambio, y también, posiblemente, sobre los valores, en un cierto intervalo de tiempo. correspondientes a sesiones con números. El propósito de los experimentos es comparar estimaciones de la eficiencia esperada de varios algoritmos de control con su expectativa matemática teórica en condiciones en las que los algoritmos se ajustan y evalúan en la misma serie de observaciones. Para estimar la expectativa matemática teórica, se utiliza el método de Monte Carlo “barriendo” el control sobre una serie generada suficientemente grande, es decir, por una matriz de dimensiones, donde las columnas corresponden a las realizaciones de valores y por sesiones, y el número está determinado por las capacidades computacionales, pero siempre que los elementos de la matriz sean al menos 10 000. Es necesario que el "polígono" sea la misma en todos los experimentos. La serie de observaciones disponible simula la matriz de dimensiones generada, donde los valores en las celdas tienen el mismo significado que el anterior. El número y los valores en esta matriz variarán en el futuro. Las matrices de ambos tipos se forman mediante un procedimiento para generar números aleatorios, simular la implementación de variables aleatorias y calcular los elementos deseados de las matrices usando estas implementaciones y fórmulas (1) - (3).

La evaluación de la eficiencia de control en una serie de observaciones se realiza de acuerdo con la fórmula

donde es el índice de la última sesión en la serie de observaciones, y es el número de enlaces seleccionados por el algoritmo en el paso, es decir el tipo de bonos en los que, según el algoritmo, se ubicará el capital del operador durante la sesión. Además, también calcularemos la eficiencia mensual. El número 22 corresponde aproximadamente al número de sesiones de negociación por mes.

Experimentos computacionales y análisis de resultados.

Hipótesis

Conocimiento exacto por parte del operador de las rentabilidades futuras.

El índice se elige como. Esta opción brinda una estimación superior para todos los algoritmos de control posibles, incluso si la información adicional (teniendo en cuenta algunos factores adicionales) nos permite refinar el modelo de pronóstico de precios.

Control aleatorio.

El operador no conoce la ley de fijación de precios y realiza operaciones por selección aleatoria. Teóricamente, en este modelo, la expectativa matemática del resultado de las operaciones es la misma que si el operador invirtiera no en un papel, sino por igual en todos. Con expectativas matemáticas de los valores cero, la expectativa matemática del valor es igual a 1. Los cálculos de acuerdo con esta hipótesis son útiles solo en el sentido de que permiten, en cierta medida, controlar la corrección de los programas escritos y la matriz de valores generada. .

Gestión con conocimiento exacto del modelo de rentabilidad, todos sus parámetros y el valor observado .

En este caso, el operador al final de la sesión, sabiendo los valores de ambas sesiones y, en nuestros cálculos, utilizando filas y matrices, calcula mediante fórmulas (1) - (3) los valores matemáticos.

donde, según (2), . (6)

Control con conocimiento de la estructura del modelo de rendimiento y el valor observado , pero coeficientes desconocidos .

Supondremos que el investigador de la operación no solo no conoce los valores de los coeficientes, sino que tampoco conoce la cantidad de valores que influyen en la formación que preceden a los valores de estos parámetros (la profundidad de memoria de procesos de Markov). Tampoco sabe si los coeficientes son iguales o diferentes para diferentes valores. Consideremos diferentes variantes de las acciones del investigador: 4.1, 4.2 y 4.3, donde el segundo índice denota la suposición del investigador sobre la profundidad de la memoria de los procesos (lo mismo para y). Por ejemplo, en el caso 4.3, el investigador asume que se forma de acuerdo con la ecuación

Aquí, en aras de la exhaustividad, se ha añadido un término libre. Sin embargo, este término puede ser excluido ya sea por razones significativas o por métodos estadísticos. Por lo tanto, para simplificar los cálculos, excluimos aún más los términos libres al establecer los parámetros de consideración, y la fórmula (7) toma la forma:

Dependiendo de si el investigador asume los mismos o diferentes coeficientes para diferentes valores, consideraremos los subcasos 4.m. 1 - 4.m. 2, m = 1 - 3. En los casos 4.m. Los coeficientes 1 se ajustarán de acuerdo con los valores observados para todos los valores en conjunto. En los casos 4.m. Se ajustan 2 coeficientes para cada valor por separado, mientras que el investigador trabaja bajo la hipótesis de que los coeficientes son diferentes para diferentes y, por ejemplo, en el caso 4.2.2. los valores están determinados por la fórmula modificada (3)

Primer método de configuración- el método clásico de mínimos cuadrados. Considerémoslo en el ejemplo de establecer los coeficientes en las opciones 4.3.

Según la fórmula (8),

Se requiere encontrar dichos valores de los coeficientes para minimizar la varianza de la muestra para implementaciones en una serie conocida de observaciones, una matriz, siempre que la expectativa matemática de los valores esté determinada por la fórmula (9).

Aquí y en lo que sigue, el signo "" indica la realización de una variable aleatoria.

El mínimo de la forma cuadrática (10) se alcanza en el único punto donde todas las derivadas parciales son iguales a cero. De aquí obtenemos un sistema de tres ecuaciones lineales algebraicas:

cuya solución da los valores deseados de los coeficientes.

Después de verificar los coeficientes, la elección de los controles se realiza de la misma manera que en el caso 3.

Comentario. Para facilitar el trabajo sobre programas, se acepta redactar el procedimiento de selección de control descrito para la hipótesis 3, centrándose no en la fórmula (5), sino en su versión modificada en la forma

En este caso, en los cálculos para los casos 4.1.m y 4.2.m, m = 1, 2, los coeficientes extra se ponen a cero.

El segundo método de configuración consiste en elegir los valores de los parámetros para maximizar la estimación de la fórmula (4). Esta tarea es analítica y computacionalmente extremadamente difícil. Por lo tanto, aquí solo podemos hablar de métodos de alguna mejora del valor del criterio en relación con el punto de partida. El punto de partida se puede tomar de los valores de mínimos cuadrados y luego calcular alrededor de estos valores en una cuadrícula. En este caso, la secuencia de acciones es la siguiente. Primero, la cuadrícula se calcula sobre los parámetros (cuadrado o cubo) con los parámetros restantes fijos. Entonces para los casos 4.m. 1, la cuadrícula se calcula sobre los parámetros, y para los casos 4.m. 2 en los parámetros con el resto de parámetros fijos. En el caso 4.m. También se optimizan otros 2 parámetros. Cuando todos los parámetros son agotados por este proceso, el proceso se repite. Se realizan repeticiones hasta que el nuevo ciclo da una mejora en los valores de criterio con respecto al anterior. Para que el número de iteraciones no resulte demasiado grande, aplicamos el siguiente truco. Dentro de cada bloque de cálculos en un espacio de parámetros de 2 o 3 dimensiones, primero se toma una cuadrícula bastante gruesa, luego, si el mejor punto está en el borde de la cuadrícula, entonces el cuadrado (cubo) en estudio se desplaza y el se repite el cálculo, pero si el mejor punto es interno, entonces se construye una nueva cuadrícula alrededor de este punto con un paso más pequeño, pero con el mismo número total de puntos, y así sucesivamente, pero un número razonable de veces.

Manejo bajo desapercibido y sin tener en cuenta la dependencia entre los rendimientos de los distintos valores.

Esto significa que el investigador de la operación no se da cuenta de la relación entre los diferentes valores, no sabe nada de la existencia y trata de predecir el comportamiento de cada valor por separado. Considere, como de costumbre, tres casos en los que el investigador modela el proceso de generación de rendimientos como un proceso de Markov con profundidades 1, 2 y 3:

Los coeficientes para predecir el rendimiento esperado no son importantes, y los coeficientes se ajustan de dos maneras, descritas en el párrafo 4. Los controles se eligen de la misma manera que se hizo anteriormente.

Nota: Además de elegir un control, para el método de mínimos cuadrados tiene sentido escribir un solo procedimiento con un número máximo de variables - 3. Si las variables son ajustables, digamos, entonces de la solución de un sistema lineal una fórmula se escribe, que incluye solo constantes, se determina a través de , y a través de y. En los casos en que hay menos de tres variables, los valores de las variables extra se ponen a cero.

Aunque los cálculos en diferentes variantes se realizan de manera similar, el número de variantes es bastante grande. Cuando la preparación de herramientas para los cálculos en todas las opciones anteriores resulta difícil, el problema de reducir su número se considera a nivel experto.

Manejo bajo desapercibido teniendo en cuenta la dependencia entre los rendimientos de diferentes valores.

Esta serie de experimentos imita las manipulaciones que se realizaron en el problema GKO. Suponemos que el investigador no sabe prácticamente nada sobre el mecanismo de formación de los rendimientos. Sólo tiene una serie de observaciones, una matriz. A partir de consideraciones sustantivas, hace un supuesto sobre la interdependencia de los rendimientos actuales de diferentes valores, agrupados en torno a un cierto rendimiento básico, determinado por el estado del mercado en su conjunto. Considerando las gráficas de rendimiento de los títulos de sesión a sesión, supone que en cada momento del tiempo los puntos cuyas coordenadas son el número de títulos y los rendimientos (en realidad, eran los vencimientos de los títulos y sus precios) se agrupan cerca de un cierta curva (en el caso de GKO - parábolas).

Aquí - el punto de intersección de la línea teórica con el eje y (retorno base) y - su pendiente (que debe ser igual a 0.05).

Al construir las líneas teóricas de esta manera, el investigador de la operación puede calcular los valores, las desviaciones de los valores de sus valores teóricos.

(Tenga en cuenta que aquí tienen un significado ligeramente diferente que en la fórmula (2). No hay coeficiente dimensional, y las desviaciones no se consideran del valor base, sino de la línea recta teórica).

La siguiente tarea es predecir los valores a partir de los valores actualmente conocidos, . En la medida en

para predecir los valores, el investigador necesita introducir una hipótesis sobre la formación de los valores, y. Usando la matriz, el investigador puede establecer una correlación significativa entre los valores de y. Puede aceptar la hipótesis de una relación lineal entre las cantidades de: . A partir de consideraciones significativas, se asume inmediatamente que el coeficiente es igual a cero, y se busca el método de mínimos cuadrados en la forma:

Además, como arriba, y se modelan mediante un proceso de Markov y se describen mediante fórmulas similares a (1) y (3) con un número diferente de variables dependiendo de la profundidad de memoria del proceso de Markov en la versión considerada. (aquí no está determinado por la fórmula (2), sino por la fórmula (16))

Finalmente, al igual que antes, se implementan dos formas de ajustar los parámetros por el método de mínimos cuadrados, y se realizan estimaciones maximizando directamente el criterio.

Experimentos

Para todas las opciones descritas, las puntuaciones de los criterios se calcularon para diferentes matrices. (se implementaron matrices con el número de filas 1003, 503, 103 y alrededor de cien matrices para cada opción de dimensión). De acuerdo con los resultados de los cálculos para cada dimensión, se estimó la expectativa matemática y la dispersión de los valores, y su desviación de los valores, para cada una de las opciones preparadas.

Como se muestra en la primera serie de experimentos computacionales con un pequeño número de parámetros ajustables (alrededor de 4), la elección del método de ajuste no afecta significativamente el valor del criterio en el problema.

2. Clasificación de las herramientas de modelado

algoritmo de banco de simulación estocástica

La clasificación de los métodos de modelado y de los modelos se puede realizar según el grado de detalle de los modelos, según la naturaleza de las características, según el ámbito de aplicación, etc.

Considere una de las clasificaciones más comunes de modelos por medio de modelado, este aspecto es el más importante en el análisis de varios fenómenos y sistemas.

material en el caso de que el estudio se realice sobre modelos, cuya conexión con el objeto de estudio exista objetivamente, sea de carácter material. Los modelos en este caso son construidos por el investigador o seleccionados por él del mundo circundante.

Por medio del modelado, los métodos de modelado se dividen en dos grupos: métodos de modelado de materiales y métodos de modelado ideal. material en el caso de que el estudio se realice sobre modelos, cuya conexión con el objeto de estudio exista objetivamente, sea de carácter material. Los modelos en este caso son construidos por el investigador o seleccionados por él del mundo circundante. A su vez, en el modelado de materiales, se puede distinguir: modelado espacial, físico y analógico.

En modelado espacial se utilizan modelos que están diseñados para reproducir o mostrar las propiedades espaciales del objeto en estudio. Los modelos en este caso son geométricamente similares a los objetos de estudio (cualquier diseño).

Modelos utilizados en modelado físico diseñado para reproducir la dinámica de los procesos que ocurren en el objeto bajo estudio. Además, la similitud de los procesos en el objeto de estudio y el modelo se basa en la similitud de su naturaleza física. Este método de modelado se usa ampliamente en ingeniería cuando se diseñan sistemas técnicos de varios tipos. Por ejemplo, el estudio de aeronaves basado en experimentos en un túnel de viento.

cosa análoga el modelado está asociado con el uso de modelos materiales que tienen una naturaleza física diferente, pero se describen mediante las mismas relaciones matemáticas que el objeto en estudio. Se basa en la analogía en la descripción matemática del modelo y el objeto (el estudio de las vibraciones mecánicas con la ayuda de un sistema eléctrico descrito por las mismas ecuaciones diferenciales, pero más conveniente para los experimentos).

En todos los casos de modelado material, el modelo es un reflejo material del objeto original, y el estudio consiste en el impacto material sobre el modelo, es decir, en el experimento con el modelo. El modelado de materiales por su naturaleza es un método experimental y no se utiliza en la investigación económica.

Es fundamentalmente diferente del modelado de materiales. modelado perfecto, basado en una conexión ideal y concebible entre el objeto y el modelo. Los métodos de modelado ideal son ampliamente utilizados en la investigación económica. Se pueden dividir condicionalmente en dos grupos: formalizado y no formalizado.

EN formalizado En el modelado, los sistemas de signos o imágenes sirven como modelo, junto con los cuales se establecen las reglas para su transformación e interpretación. Si los sistemas de signos se utilizan como modelos, entonces el modelado se llama icónico(dibujos, gráficos, diagramas, fórmulas).

Un tipo importante de modelado de signos es modelo matematico, basado en el hecho de que varios objetos y fenómenos estudiados pueden tener la misma descripción matemática en forma de un conjunto de fórmulas, ecuaciones, cuya transformación se lleva a cabo sobre la base de las reglas de la lógica y las matemáticas.

Otra forma de modelado formalizado es figurativo, en el que se construyen modelos a partir de elementos visuales (pelotas elásticas, flujos de fluidos, trayectorias de cuerpos). El análisis de los modelos figurativos se lleva a cabo mentalmente, por lo que pueden atribuirse a un modelado formalizado, cuando las reglas para la interacción de los objetos utilizados en el modelo están claramente fijadas (por ejemplo, en un gas ideal, se considera una colisión de dos moléculas como una colisión de bolas, y el resultado de una colisión es considerado por todos de la misma manera). Los modelos de este tipo son ampliamente utilizados en física, se denominan "experimentos mentales".

Modelado no formalizado. Puede incluir tal análisis de problemas de varios tipos, cuando el modelo no está formado, pero en su lugar, se utiliza una representación mental de la realidad no fija, que sirve como base para el razonamiento y la toma de decisiones. Así, todo razonamiento que no utilice un modelo formal puede ser considerado modelado no formalizado, cuando un individuo pensante tiene alguna imagen del objeto de estudio, que puede interpretarse como un modelo no formalizado de la realidad.

El estudio de los objetos económicos durante mucho tiempo se llevó a cabo solo sobre la base de tales ideas inciertas. En la actualidad, el análisis de modelos no formalizados sigue siendo el medio más común de modelización económica, es decir, toda persona que toma una decisión económica sin el uso de modelos matemáticos se ve obligada a guiarse por una u otra descripción de la situación basada en la experiencia. e intuición

La principal desventaja de este enfoque es que las soluciones pueden resultar ineficaces o erróneas. Durante mucho tiempo, aparentemente, estos métodos seguirán siendo el principal medio de toma de decisiones, no solo en la mayoría de las situaciones cotidianas, sino también en la toma de decisiones en la economía.

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Principales etapas de la modelación matemática, clasificación de modelos. Modelado de procesos económicos, las principales etapas de su estudio. Prerrequisitos sistémicos para la formación de un modelo del sistema de gestión para las actividades de marketing de una empresa de servicios.

resumen, añadido el 21/06/2010


Esquema general del proceso de diseño. Formalización de la construcción de un modelo matemático durante la optimización. Ejemplos del uso de métodos de búsqueda unidimensionales. Métodos de optimización multidimensional de orden cero. Algoritmos genéticos y naturales.

El modelo estocástico describe la situación cuando hay incertidumbre. En otras palabras, el proceso se caracteriza por cierto grado de aleatoriedad. El adjetivo "estocástico" en sí mismo proviene de la palabra griega "adivinar". Dado que la incertidumbre es una característica clave de la vida cotidiana, dicho modelo puede describir cualquier cosa.

Sin embargo, cada vez que lo apliquemos, el resultado será diferente. Por lo tanto, los modelos deterministas se utilizan con mayor frecuencia. Aunque no se acercan lo más posible al estado real de las cosas, siempre dan el mismo resultado y facilitan la comprensión de la situación, simplificándola introduciendo un conjunto de ecuaciones matemáticas.

Principales características

Un modelo estocástico siempre incluye una o más variables aleatorias. Ella busca reflejar la vida real en todas sus manifestaciones. A diferencia del estocástico, no pretende simplificar todo y reducirlo a valores conocidos. Por lo tanto, la incertidumbre es su característica clave. Los modelos estocásticos son adecuados para describir cualquier cosa, pero todos tienen las siguientes características comunes:

• Cualquier modelo estocástico refleja todos los aspectos del problema para el que fue creado.
• El resultado de cada uno de los fenómenos es incierto. Por lo tanto, el modelo incluye probabilidades. La exactitud de los resultados generales depende de la precisión de su cálculo.
• Estas probabilidades se pueden utilizar para predecir o describir los procesos mismos.

Modelos deterministas y estocásticos

Para unos, la vida parece ser una sucesión, para otros, procesos en los que la causa determina el efecto. De hecho, se caracteriza por la incertidumbre, pero no siempre y no en todo. Por lo tanto, a veces es difícil encontrar diferencias claras entre los modelos estocásticos y deterministas. Las probabilidades son bastante subjetivas.

Por ejemplo, considere una situación de lanzamiento de una moneda. A primera vista, parece que hay un 50 % de posibilidades de obtener cruz. Por lo tanto, se debe utilizar un modelo determinista. Sin embargo, en realidad, resulta que mucho depende de la destreza de las manos de los jugadores y de la perfección del equilibrio de la moneda. Esto significa que se debe utilizar un modelo estocástico. Siempre hay parámetros que no conocemos. En la vida real, la causa siempre determina el efecto, pero también existe un cierto grado de incertidumbre. La elección entre usar modelos deterministas y estocásticos depende de lo que estemos dispuestos a renunciar: la simplicidad del análisis o el realismo.

En la teoría del caos

Recientemente, el concepto de qué modelo se llama estocástico se ha vuelto aún más borroso. Esto se debe al desarrollo de la llamada teoría del caos. Describe modelos deterministas que pueden dar resultados diferentes con un ligero cambio en los parámetros iniciales. Esto es como una introducción al cálculo de la incertidumbre. Muchos científicos incluso han admitido que este ya es un modelo estocástico.

Lothar Breuer explicó todo con elegancia con la ayuda de imágenes poéticas. Él escribió: “Un arroyo de montaña, un corazón que late, una epidemia de viruela, una columna de humo que se eleva: todo esto es un ejemplo de un fenómeno dinámico que, al parecer, a veces se caracteriza por el azar. En realidad, tales procesos siempre están sujetos a un cierto orden, que los científicos e ingenieros apenas comienzan a comprender. Este es el llamado caos determinista”. La nueva teoría suena muy plausible, razón por la cual muchos científicos modernos la apoyan. Sin embargo, aún permanece poco desarrollado y es bastante difícil aplicarlo en cálculos estadísticos. Por lo tanto, a menudo se utilizan modelos estocásticos o deterministas.

Edificio

El estocástico comienza con la elección del espacio de resultados elementales. Así en estadística llaman a la lista de posibles resultados del proceso o evento que se está estudiando. Luego, el investigador determina la probabilidad de cada uno de los resultados elementales. Por lo general, esto se hace sobre la base de una determinada técnica.

Sin embargo, las probabilidades siguen siendo un parámetro bastante subjetivo. Luego, el investigador determina qué eventos son más interesantes para resolver el problema. Después de eso, simplemente determina su probabilidad.

Ejemplo

Considere el proceso de construcción del modelo estocástico más simple. Supongamos que tiramos un dado. Si cae "seis" o "uno", nuestras ganancias serán de diez dólares. El proceso de construcción de un modelo estocástico en este caso se verá así:

• Definamos el espacio de los resultados elementales. El dado tiene seis lados, por lo que pueden salir uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis.
• La probabilidad de cada uno de los resultados será igual a 1/6, por mucho que tiremos el dado.
• Ahora necesitamos determinar los resultados que nos interesan. Esta es la pérdida de una cara con el número "seis" o "uno".
• Finalmente, podemos determinar la probabilidad del evento que nos interesa. es 1/3 Sumamos las probabilidades de los dos eventos elementales que nos interesan: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Concepto y resultado

La simulación estocástica se usa a menudo en los juegos de azar. Pero también es indispensable en la previsión económica, ya que te permite entender la situación más profundamente que las deterministas. Los modelos estocásticos en economía se utilizan a menudo para tomar decisiones de inversión. Le permiten hacer suposiciones sobre la rentabilidad de las inversiones en ciertos activos o sus grupos.

El modelado hace que la planificación financiera sea más eficiente. Con su ayuda, los inversores y comerciantes optimizan la distribución de sus activos. El uso de modelos estocásticos siempre tiene ventajas a largo plazo. En algunas industrias, la negativa o la imposibilidad de aplicarlo puede incluso conducir a la quiebra de la empresa. Esto se debe a que en la vida real aparecen diariamente nuevos parámetros importantes, y si no lo son, puede tener consecuencias desastrosas.

En los últimos capítulos de este libro, los procesos estocásticos casi siempre se representan utilizando sistemas diferenciales lineales excitados por ruido blanco. Esta representación del proceso estocástico usualmente toma la siguiente forma. pretendamos que

a es ruido blanco. Al elegir tal representación del proceso estocástico V, se puede simular. El uso de tales modelos puede justificarse de la siguiente manera.

a) En la naturaleza, a menudo se encuentran fenómenos estocásticos, asociados con la acción de fluctuaciones rápidamente cambiantes en un sistema diferencial inercial. Un ejemplo típico de ruido blanco que actúa sobre un sistema diferencial es el ruido térmico en un circuito electrónico.

b) Como se verá a continuación, en la teoría del control lineal casi siempre sólo se considera el valor medio de u. covarianza del proceso estocástico. Para un modelo lineal, siempre es posible aproximar cualquier característica obtenida experimentalmente del valor medio y la matriz de covarianza con precisión arbitraria.

c) A veces surge el problema de modelar un proceso estocástico estacionario con una densidad de energía espectral conocida. En este caso, siempre es posible generar un proceso estocástico como proceso a la salida de un sistema diferencial lineal; en este caso, la matriz de densidades de anergia espectral se aproxima con precisión arbitraria a la matriz de densidades de energía espectral del proceso estocástico inicial.

Los ejemplos 1.36 y 1.37, así como el problema 1.11, ilustran el método de modelado.

Ejemplo 1.36. Sistema diferencial de primer orden

Suponga que la función de covarianza medida de un proceso escalar estocástico que se sabe que es estacionario se describe mediante la función exponencial

Este proceso se puede modelar como un estado de un sistema diferencial de primer orden (ver ejemplo 1.35)

donde es la intensidad del ruido blanco, una cantidad estocástica con media cero y varianza.

Ejemplo 1.37. tanque de mezclado

Considere el tanque mezclador del ejemplo 1.31 (sección 1.10.3) y calcule la matriz de varianza de la variable de salida para el ruido. Ahora agreguemos las ecuaciones de modelos de procesos estocásticos a la ecuación diferencial del tanque de mezcla.

Aquí, es la intensidad del ruido blanco escalar a

para obtener la varianza del proceso igual a aceptar Para el proceso, usamos un modelo similar. Así, obtenemos un sistema de ecuaciones