Tabela integrala je potpuna i pravila integracije. Integrali transcendentalnih funkcija

Definicija 1

Antiderivat $F(x)$ za funkciju $y=f(x)$ na segmentu $$ je funkcija koja je diferencibilna u svakoj tački ovog segmenta i za njen izvod vrijedi sljedeća jednakost:

Definicija 2

Skup svih antiderivata date funkcije $y=f(x)$ definisanih na nekom segmentu naziva se neodređenim integralom date funkcije $y=f(x)$. Neodređeni integral je označen simbolom $\int f(x)dx $.

Iz tabele izvoda i definicije 2 dobijamo tabelu osnovnih integrala.

Primjer 1

Provjerite valjanost formule 7 iz tabele integrala:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=konst.\]

Razlikujemo desnu stranu: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Primjer 2

Provjerite valjanost formule 8 iz tabele integrala:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=konst.\]

Razlikujte desnu stranu: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Pokazalo se da je derivacija jednaka integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 3

Provjerite valjanost formule 11" iz tabele integrala:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Razlikujte desnu stranu: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Pokazalo se da je derivacija jednaka integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 4

Provjerite valjanost formule 12 iz tabele integrala:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=konst.\]

Razlikujte desnu stranu: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Izvod je jednak integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 5

Provjerite valjanost formule 13 "iz tablice integrala:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Razlikujte desnu stranu: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Pokazalo se da je derivacija jednaka integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 6

Provjerite valjanost formule 14 iz tabele integrala:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=konst.\]

Razlikujte desnu stranu: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Pokazalo se da je derivacija jednaka integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 7

Pronađite integral:

\[\int \levo(\cos (3x+2)+5x\desno) dx.\]

Koristimo teoremu o integralu sume:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\desno) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Koristimo teoremu o uzimanju konstantnog faktora iz predznaka integrala:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Prema tabeli integrala:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Prilikom izračunavanja prvog integrala koristimo pravilo 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

dakle,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\desno) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Koristeći činjenicu da je integracija inverzna diferencijaciji. moguće je dobiti tablicu osnovnih integrala invertiranjem odgovarajućih formula diferencijalnog računa (tabela diferencijala) i korištenjem svojstava neodređenog integrala. na primjer, as

d(grijeh u) = cos u*du, tada će biti dato izvođenje većeg broja tabelarnih formula kada se razmatraju glavne metode integracije.
Integrali u donjoj tabeli se nazivaju tabelarno. Treba ih znati napamet. U integralnom računu ne postoje jednostavna i univerzalna pravila za pronalaženje antiderivata iz elementarnih funkcija, kao u diferencijalnom računu. Metode za pronalaženje antiderivata (tj. integraciju funkcije) svode se na indiciranje metoda koje dovode dati (željeni) integral u tabelarni. Stoga je neophodno poznavati tabelarne integrale i znati ih prepoznati.
Imajte na umu da u tabeli osnovnih integrala varijabla integracije i može označavati i nezavisnu varijablu i funkciju nezavisne varijable (prema svojstvu invarijantnosti formule integracije).
Ispravnost donjih formula može se provjeriti uzimanjem diferencijala na desnoj strani, koji će biti jednak integrandu na lijevoj strani formule.
Dokažimo, na primjer, valjanost formule 2. Funkcija 1/ u definisano i kontinuirano za sve vrijednosti u, osim nule.
Ako a u> 0. onda ln | u| =ln u, onda d ln | u| = d ln u = du/u. Dakle

Tabela osnovnih integrala

Navodimo integrale elementarnih funkcija, koji se ponekad nazivaju tabelarnim:

Bilo koja od gornjih formula može se dokazati uzimanjem derivacije desne strane (kao rezultat će se dobiti integrand).

Metode integracije

Razmotrimo neke osnovne metode integracije. To uključuje:

1. Metoda razlaganja(direktnu integraciju).

Ova metoda se zasniva na direktnoj primjeni tabelarnih integrala, kao i na primjeni svojstava 4 i 5 neodređenog integrala (tj. uzimanja konstantnog faktora iz zagrade i/ili predstavljanja integranda kao sume funkcija - proširenje integranda u pojmove).

Primjer 1 Na primjer, da biste pronašli (dx/x 4) možete direktno koristiti tablični integral za x n dx. Zaista, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Pogledajmo još nekoliko primjera.

Primjer 2 Za pronalaženje koristimo isti integral:

Primjer 3 Da biste pronašli morate uzeti

Primjer 4 Da bismo pronašli, predstavljamo integrand u obliku i koristite tablični integral za eksponencijalnu funkciju:

Razmotrite upotrebu zagrada kao konstantni faktor.

Primjer 5Nađimo npr . S obzirom na to, dobijamo

Primjer 6 Hajde da nađemo. Ukoliko , koristimo integral tablice Get

Također možete koristiti zagrade i integrale tablice u sljedeća dva primjera:

Primjer 7

(koristimo i );

Primjer 8

(koristimo i ).

Pogledajmo složenije primjere koji koriste integral zbira.

Primjer 9 Na primjer, hajde da pronađemo
. Da bismo primijenili metodu proširenja u brojiocu, koristimo formulu zbirne kocke , a zatim podijelimo rezultujući polinomski član po članu sa nazivnikom.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Treba napomenuti da je na kraju rješenja upisana jedna zajednička konstanta C (a ne zasebne pri integraciji svakog člana). Ubuduće se predlaže i izostavljanje konstanti iz integracije pojedinačnih članova u procesu rješavanja sve dok izraz sadrži barem jedan neodređeni integral (jednu konstantu ćemo napisati na kraju rješenja).

Primjer 10 Hajde da nađemo . Da bismo riješili ovaj problem, faktoriziramo brojilac (nakon toga možemo smanjiti nazivnik).

Primjer 11. Hajde da nađemo. Ovdje se mogu koristiti trigonometrijski identiteti.

Ponekad, da biste rastavili izraz na termine, morate koristiti složenije tehnike.

Primjer 12. Hajde da nađemo . U integrandu biramo cijeli broj razlomka . Onda

Primjer 13 Hajde da nađemo

2. Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)

Metoda se zasniva na sljedećoj formuli: f(x)dx=f((t))`(t)dt, gdje je x =(t) funkcija diferencibilna na razmatranom intervalu.

Dokaz. Nađimo izvode u odnosu na varijablu t iz lijevog i desnog dijela formule.

Imajte na umu da se na lijevoj strani nalazi kompleksna funkcija čiji je međuargument x = (t). Stoga, da bismo ga diferencirali s obzirom na t, prvo diferenciramo integral s obzirom na x, a zatim uzimamo izvod srednjeg argumenta u odnosu na t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivat desne strane:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Budući da su ovi izvodnici jednaki, prema posljedicama Lagrangeove teoreme, lijevi i desni dio formule koja se dokazuje razlikuju se za neku konstantu. Pošto su sami neodređeni integrali definisani do neodređenog konstantnog člana, ova konstanta se može izostaviti u konačnoj notaciji. Dokazan.

Uspješna promjena varijable nam omogućava da pojednostavimo originalni integral, au najjednostavnijim slučajevima ga svedemo na tabelarni. U primjeni ove metode razlikuju se metode linearne i nelinearne zamjene.

a) Metoda linearne supstitucije pogledajmo primjer.

Primjer 1
. Neka je tada 1 – 2x

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Treba napomenuti da nova varijabla ne mora biti eksplicitno ispisana. U takvim slučajevima se govori o transformaciji funkcije pod znakom diferencijala, ili o uvođenju konstanti i varijabli pod znakom diferencijala, tj. o implicitna zamjena varijable.

Primjer 2 Na primjer, nađimo cos(3x + 2)dx. Po svojstvima diferencijala dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), tada jecos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

U oba razmatrana primjera, linearna supstitucija t=kx+b(k0) korištena je za pronalaženje integrala.

U općem slučaju vrijedi sljedeća teorema.

Teorema linearne zamjene. Neka je F(x) neki antiderivat za funkciju f(x). Tadaf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, gdje su k i b neke konstante,k0.

Dokaz.

Po definiciji integrala f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Izvodimo konstantni faktor k za predznak integrala: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Sada možemo podijeliti lijevi i desni dio jednakosti sa k i dobiti tvrdnju koju treba dokazati do notacije konstantnog člana.

Ova teorema kaže da ako se izraz (kx+b) zameni u definiciji integrala f(x)dx= F(x) + C, onda će to dovesti do pojave dodatnog faktora 1/k ispred antiderivata.

Koristeći dokazanu teoremu rješavamo sljedeće primjere.

Primjer 3

Hajde da nađemo . Ovdje je kx+b= 3 –x, tj. k= -1,b= 3. Tada

Primjer 4

Hajde da nađemo. Ovdje je kx+b= 4x+ 3, tj. k= 4,b= 3. Tada je

Primjer 5

Hajde da nađemo . Ovdje je kx+b= -2x+ 7, tj. k= -2,b= 7. Tada

.

Primjer 6 Hajde da nađemo
. Ovdje je kx+b= 2x+ 0, tj. k= 2,b= 0.

.

Uporedimo dobijeni rezultat sa primjerom 8, koji je riješen metodom dekompozicije. Rešavajući isti problem drugom metodom, dobili smo odgovor
. Uporedimo rezultate: Dakle, ovi izrazi se međusobno razlikuju po konstantnom pojmu , tj. dobijeni odgovori nisu u suprotnosti.

Primjer 7 Hajde da nađemo
. Biramo pun kvadrat u nazivniku.

U nekim slučajevima, promjena varijable ne svodi integral direktno na tabelarni, ali može pojednostaviti rješenje tako što omogućava primjenu metode dekompozicije u sljedećem koraku.

Primjer 8 Na primjer, hajde da pronađemo . Zamijenite t=x+ 2, zatim dt=d(x+ 2) =dx. Onda

,

gdje je C \u003d C 1 - 6 (kada umjesto t zamijenimo izraz (x + 2), umjesto prva dva člana, dobijamo ½x 2 -2x - 6).

Primjer 9 Hajde da nađemo
. Neka je t= 2x+ 1, tada je dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Umjesto t zamjenjujemo izraz (2x + 1), otvaramo zagrade i dajemo slične.

Imajte na umu da smo u procesu transformacija prešli na još jedan konstantni pojam, jer grupa stalnih pojmova u procesu transformacija mogla bi se izostaviti.

b) Metoda nelinearne supstitucije pogledajmo primjer.

Primjer 1
. Neka je t= -x 2 . Dalje, moglo bi se izraziti x u terminima t, zatim pronaći izraz za dx i implementirati promjenu varijable u traženi integral. Ali u ovom slučaju je lakše učiniti drugačije. Naći dt=d(-x 2) = -2xdx. Imajte na umu da je izraz xdx faktor integranda traženog integrala. Izražavamo ga iz rezultirajuće jednakosti xdx= - ½dt. Onda

Integracija je jedna od osnovnih operacija u matematičkoj analizi. Tabele poznatih antiderivata mogu biti korisne, ali sada, nakon pojave sistema kompjuterske algebre, gube svoj značaj. Ispod je lista najčešćih antiderivata.

Tabela osnovnih integrala

Još jedna kompaktna verzija

Tablica integrala iz trigonometrijskih funkcija

Od racionalnih funkcija

Od iracionalnih funkcija

Integrali transcendentalnih funkcija

"C" je proizvoljna integraciona konstanta, koja se određuje ako je poznata vrijednost integrala u nekoj tački. Svaka funkcija ima beskonačan broj antiderivata.

Većina školaraca i studenata ima problema sa računanjem integrala. Ova stranica sadrži tablice integrala od trigonometrijskih, racionalnih, iracionalnih i transcendentalnih funkcija koje će pomoći u rješavanju. Tabela derivata će vam također pomoći.

Video - kako pronaći integrale