Haqiqiy olamning miqdoriy munosabatlari haqidagi fan. Matematika real olamning miqdoriy munosabatlari va fazoviy shakllari haqidagi fan sifatida. O'zgaruvchilar matematikasi davri

O'rganilayotgan ob'ektlarning ideallashtirilgan xususiyatlari aksioma sifatida shakllantiriladi yoki mos keladigan matematik ob'ektlarning ta'rifida keltirilgan. Keyinchalik, mantiqiy xulosa chiqarishning qat'iy qoidalariga ko'ra, bu xususiyatlardan boshqa haqiqiy xususiyatlar (teoremalar) chiqariladi. Bu nazariya birgalikda o'rganilayotgan ob'ektning matematik modelini tashkil qiladi. Shunday qilib, dastlab fazoviy va miqdoriy munosabatlardan kelib chiqqan holda, matematika ko'proq mavhum munosabatlarga ega bo'lib, ularni o'rganish ham zamonaviy matematikaning predmeti hisoblanadi.

An'anaga ko'ra, matematika ichki matematik tuzilmalarni chuqur tahlil qiladigan nazariy va amaliy bo'lib, boshqa fanlar va muhandislik fanlari uchun o'z modellarini taqdim etadi va ularning ba'zilari matematika bilan chegaradosh pozitsiyani egallaydi. Xususan, formal mantiqni ham falsafiy fanlar tarkibiga, ham matematika fanlari tarkibiga kiritish mumkin; mexanika - ham fizika, ham matematika; informatika, kompyuter texnologiyalari va algoritmika ham muhandislik, ham matematika fanlariga va boshqalarga tegishlidir. Adabiyotlarda matematikaning ko'plab turli ta'riflari taklif qilingan.

Etimologiya

"Matematika" so'zi boshqa yunon tilidan olingan. mthēma, ya'ni o'rganish, bilim, fan va boshqalar - yunoncha. máthēmánės, asli ma'nosi qabul qiluvchi, hosildor, keyinroq o'rganish mumkin, keyinchalik matematikaga tegishli. Ayniqsa, μαθηματικὴ τέχνη , lotin tilida ars matematika, degan ma'noni anglatadi matematika san'ati. Boshqa yunoncha atama. "matematika" so'zining zamonaviy ma'nosida mᾰthēmᾰtĬĬ Aristotel (miloddan avvalgi 4-asr) asarlarida allaqachon uchraydi. Fasmerning so'zlariga ko'ra, bu so'z rus tiliga yoki polyak tili orqali kelgan. matematyka, yoki lat orqali. matematika.

Ta'riflar

Matematika fanining birinchi ta'riflaridan biri Dekart tomonidan berilgan:

Matematika sohasi faqat tartib yoki o'lchov ko'rib chiqiladigan fanlarni o'z ichiga oladi va bu raqamlar, raqamlar, yulduzlar, tovushlar yoki bu o'lchov qidirilayotgan boshqa narsalar bo'ladimi, umuman ahamiyati yo'q. Shunday qilib, biron bir mavzuni o'rganishga kirmasdan, tartib va ​​o'lchovga tegishli hamma narsani tushuntiradigan qandaydir umumiy fan bo'lishi kerak va bu fanni chet ellik emas, balki umumiy matematikaning eski, allaqachon keng tarqalgan nomi bilan chaqirish kerak.

Matematikaning mohiyati ... hozirda ob'ektlar o'rtasidagi munosabatlar to'g'risidagi ta'limot sifatida taqdim etiladi, ular haqida hech narsa ma'lum emas, ularni tavsiflovchi ba'zi xususiyatlardan tashqari - aynan nazariya asosida aksioma sifatida qo'yilgan xususiyatlar ... mavhum shakllar to'plami - matematik tuzilmalar.

Matematika bo'limlari

1. Matematika kabi akademik intizom

Belgilash

Matematika juda xilma-xil va ancha murakkab tuzilmalar bilan shug'ullanganligi sababli, uning belgilanishi ham juda murakkab. Formulalarni yozishning zamonaviy tizimi Yevropa algebraik an’analari, shuningdek, matematikaning keyingi tarmoqlari – matematik tahlil, matematik mantiq, to‘plamlar nazariyasi va boshqalar ehtiyojlari asosida shakllangan. Geometriyada azaldan vizual (geometrik ) vakillik. Zamonaviy matematikada murakkab grafik yozuv tizimlari (masalan, kommutativ diagrammalar) ham keng tarqalgan va grafiklarga asoslangan yozuvlar ham ko'p qo'llaniladi.

Qisqa hikoya

Matematika falsafasi

Maqsad va usullar

Kosmos R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), da n > 3 (\displaystyle n>3) matematik ixtirodir. Biroq, murakkab hodisalarni matematik tushunishga yordam beradigan juda mohir ixtiro».

asoslar

intuitivizm

Konstruktiv matematika

aniqlashtirish

Asosiy mavzular

Miqdori

Miqdorni abstraktsiya qilish bilan shug'ullanadigan asosiy bo'lim algebradir. “Raqam” tushunchasi dastlab arifmetik tasvirlardan kelib chiqqan va natural sonlarga ishora qilgan. Keyinchalik algebra yordamida u asta-sekin butun, ratsional, haqiqiy, kompleks va boshqa sonlarga kengaytirildi.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots) Ratsional sonlar 1 , - 1 , 1 2 , 0 , 12 , p , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots) Haqiqiy raqamlar − 1 , 1 2 , 0 , 12 , p , 3 i + 2 , e i p / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots) 1 , i , j , k , p j - 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\nuqtalar) Kompleks sonlar Kvarternionlar

Transformatsiyalar

O'zgarishlar va o'zgarishlar hodisalari tahlil orqali eng umumiy shaklda ko'rib chiqiladi.

tuzilmalar

Fazoviy munosabatlar

Geometriya fazoviy munosabatlarning asoslarini ko'rib chiqadi. Trigonometriya trigonometrik funksiyalarning xossalarini ko'rib chiqadi. Geometrik jismlarni matematik tahlil orqali o‘rganish differensial geometriya bilan shug‘ullanadi. Uzluksiz deformatsiyalar ostida o'zgarmas bo'lgan fazolarning xossalari va uzluksizlik hodisasining o'zi topologiya tomonidan o'rganiladi.

Diskret matematika

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\O'ng strelka P(x")))

Matematika juda uzoq vaqtdan beri mavjud. Inson mevalarni yig'di, mevalarni qazdi, baliq tutdi va hammasini qish uchun saqladi. Qancha oziq-ovqat saqlanishini tushunish uchun bir kishi hisobni ixtiro qildi. Matematika shunday boshlangan.

Keyin odam qishloq xo'jaligi bilan shug'ullana boshladi. Er uchastkalarini o'lchash, uy-joy qurish, vaqtni o'lchash kerak edi.

Ya'ni, inson uchun real dunyoning miqdoriy nisbatidan foydalanish zarurati paydo bo'ldi. Qancha hosil yig'ilganini, qurilish uchastkasining o'lchamini yoki ma'lum miqdordagi yorqin yulduzlar bilan osmon maydoni qanchalik katta ekanligini aniqlang.

Bundan tashqari, odam shakllarni aniqlay boshladi: quyosh dumaloq, quti kvadrat, ko'l tasvirlar va bu narsalar kosmosda qanday joylashgan. Ya'ni, odam real olamning fazoviy shakllariga qiziqib qoldi.

Shunday qilib, kontseptsiya matematika real olamning miqdoriy munosabatlari va fazoviy shakllari haqidagi fan sifatida belgilanishi mumkin.

Hozirgi vaqtda matematikasiz shug'ullanish mumkin bo'lgan biron bir kasb yo'q. “Matematika qiroli” deb atalgan mashhur nemis matematigi Karl Fridrix Gauss bir paytlar shunday degan edi:

“Matematika – fanlar malikasi, arifmetika – matematika malikasi”.

"Arifmetika" so'zi yunoncha "arithmos" - "son" so'zidan kelib chiqqan.

Shunday qilib, arifmetik matematikaning sonlar va ular ustida amallarni oʻrganuvchi boʻlimidir.

Boshlang'ich maktabda ular birinchi navbatda arifmetikani o'rganadilar.

Bu fan qanday rivojlangan, keling, bu masalani o'rganamiz.

Matematikaning tug'ilish davri

Matematik bilimlarni to'plashning asosiy davri miloddan avvalgi V asrgacha bo'lgan davr hisoblanadi.

Matematik pozitsiyalarni birinchi bo'lib isbotlay boshlagan qadimgi yunon mutafakkiri bo'lib, u miloddan avvalgi 7-asrda, taxminiy 625-545 yillarda yashagan. Bu faylasuf Sharq mamlakatlari boʻylab sayohat qilgan. An'anaga ko'ra, u Misr ruhoniylari va Bobil xaldeylari bilan birga o'qigan.

Miletlik Fales Misrdan Gretsiyaga elementar geometriyaning birinchi tushunchalarini olib keldi: diametr nima, uchburchakni nima aniqlaydi va hokazo. U quyosh tutilishini bashorat qildi, muhandislik inshootlarini loyihalashtirdi.

Bu davrda arifmetika asta-sekin rivojlanadi, astronomiya va geometriya rivojlanadi. Algebra va trigonometriya tug'iladi.

Boshlang'ich matematika davri

Bu davr miloddan avvalgi VI asrdan boshlanadi. Hozir matematika nazariya va dalillarga ega fan sifatida maydonga chiqmoqda. Raqamlar nazariyasi, miqdorlar, ularni o'lchash haqidagi ta'limot paydo bo'ladi.

Bu davrning eng mashhur matematiki Evkliddir. U miloddan avvalgi III asrda yashagan. Bu odam matematikaga oid birinchi nazariy risolaning bizgacha yetib kelgan muallifidir.

Evklidning asarlarida Evklid geometriyasi deb ataladigan asoslar berilgan - bular asosiy tushunchalarga tayanadigan aksiomalardir, masalan.

Boshlang'ich matematika davrida sonlar nazariyasi, shuningdek, miqdorlar va ularni o'lchash haqidagi ta'limot paydo bo'ldi. Birinchi marta manfiy va irratsional sonlar paydo bo'ladi.

Bu davr oxirida harfiy hisob sifatida algebraning yaratilishi kuzatiladi. “Algebra” fanining o‘zi arablar orasida tenglamalarni yechish fani sifatida paydo bo‘ladi. Arabcha "algebra" so'zi "tiklanish", ya'ni manfiy qiymatlarni tenglamaning boshqa qismiga o'tkazish degan ma'noni anglatadi.

O'zgaruvchilar matematikasi davri

Bu davr asoschisi eramizning 17-asrida yashagan Rene Dekartdir. Dekart o'z asarlarida birinchi marta o'zgaruvchi tushunchasini kiritadi.

Buning sharofati bilan olimlar doimiy miqdorlarni o'rganishdan o'zgaruvchilar orasidagi munosabatlarni o'rganishga va harakatning matematik tavsifiga o'tishadi.

Fridrix Engels bu davrni eng aniq tavsiflab, o'z asarlarida shunday yozgan:

“Matematikada burilish nuqtasi Dekart oʻzgaruvchisi boʻldi. Shu tufayli matematikaga harakat va shu tariqa dialektika kirib keldi va shu tufayli darhol paydo bo'ladigan va Nyuton va Leybnits tomonidan ixtiro qilinmagan va umuman tugallangan differensial va integral hisob darhol zarur bo'ldi.

Zamonaviy matematika davri

19-asrning 20-yillarida Nikolay Ivanovich Lobachevskiy Evklid bo'lmagan geometriyaning asoschisi bo'ldi.

Shu paytdan boshlab zamonaviy matematikaning eng muhim bo'limlarini ishlab chiqish boshlanadi. Masalan, ehtimollar nazariyasi, to'plamlar nazariyasi, matematik statistika va boshqalar.

Bu kashfiyotlar va tadqiqotlarning barchasi fanning turli sohalarida keng qo'llaniladi.

Hozirgi vaqtda esa matematika fani jadal rivojlanmoqda, matematikaning predmeti kengayib, yangi shakl va munosabatlarni o‘z ichiga oladi, yangi teoremalar isbotlanib, asosiy tushunchalar chuqurlashmoqda.

O'rganilayotgan ob'ektlarning ideallashtirilgan xususiyatlari aksioma sifatida shakllantiriladi yoki mos keladigan matematik ob'ektlarning ta'rifida keltirilgan. Keyinchalik, mantiqiy xulosa chiqarishning qat'iy qoidalariga ko'ra, bu xususiyatlardan boshqa haqiqiy xususiyatlar (teoremalar) chiqariladi. Bu nazariya birgalikda o'rganilayotgan ob'ektning matematik modelini tashkil qiladi. Shunday qilib, dastlab fazoviy va miqdoriy munosabatlardan kelib chiqqan holda, matematika ko'proq mavhum munosabatlarga ega bo'lib, ularni o'rganish ham zamonaviy matematikaning predmeti hisoblanadi.

An'anaga ko'ra, matematika ichki matematik tuzilmalarni chuqur tahlil qiladigan nazariy va amaliy bo'lib, boshqa fanlar va muhandislik fanlari uchun o'z modellarini taqdim etadi va ularning ba'zilari matematika bilan chegaradosh pozitsiyani egallaydi. Xususan, formal mantiqni ham falsafiy fanlar tarkibiga, ham matematika fanlari tarkibiga kiritish mumkin; mexanika - ham fizika, ham matematika; informatika, kompyuter texnologiyalari va algoritmika ham muhandislik, ham matematika fanlari va boshqalarni nazarda tutadi. Adabiyotlarda matematikaning juda ko'p turli xil ta'riflari taklif qilingan (qarang).

Etimologiya

"Matematika" so'zi boshqa yunon tilidan olingan. mthēma ( matematika), nimani anglatadi o'rganish, bilim, fan va boshqalar - yunoncha. māthēmáĹkos ( matematika), asl ma'nosi qabul qiluvchi, hosildor, keyinroq o'rganish mumkin, keyinchalik matematikaga tegishli. Ayniqsa, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), lotin tilida ars matematika, degan ma'noni anglatadi matematika san'ati.

Ta'riflar

Matematika sohasi faqat tartib yoki o'lchov ko'rib chiqiladigan fanlarni o'z ichiga oladi va bu raqamlar, raqamlar, yulduzlar, tovushlar yoki bu o'lchov qidirilayotgan boshqa narsalar bo'ladimi, umuman ahamiyati yo'q. Shunday qilib, biron bir mavzuni o'rganishga kirmasdan, tartib va ​​o'lchovga tegishli hamma narsani tushuntiradigan qandaydir umumiy fan bo'lishi kerak va bu fanni chet ellik emas, balki umumiy matematikaning eski, allaqachon keng tarqalgan nomi bilan chaqirish kerak.

Sovet davrida A. N. Kolmogorov tomonidan berilgan TSB ta'rifi klassik hisoblangan:

Matematika ... real dunyoning miqdoriy munosabatlari va fazoviy shakllari haqidagi fan.

Matematikaning mohiyati ... hozirda ob'ektlar o'rtasidagi munosabatlar to'g'risidagi ta'limot sifatida taqdim etiladi, ular haqida hech narsa ma'lum emas, ularni tavsiflovchi ba'zi xususiyatlardan tashqari - aynan nazariya asosida aksioma sifatida qo'yilgan xususiyatlar ... mavhum shakllar to'plami - matematik tuzilmalar.

Bu erda bir nechta zamonaviy ta'riflar mavjud.

Zamonaviy nazariy ("sof") matematika - matematik tuzilmalar, turli tizimlar va jarayonlarning matematik invariantlari haqidagi fan.

Matematika standart (kanonik) shaklga keltirilishi mumkin bo'lgan modellarni hisoblash qobiliyatini ta'minlaydigan fandir. Formal transformatsiyalar yordamida analitik modellarga yechim topish (tahlil) haqidagi fan.

Matematika bo'limlari

1. Matematika kabi akademik intizom Rossiya Federatsiyasida o'rta maktabda o'rganiladigan va quyidagi fanlar bo'yicha shakllanadigan boshlang'ich matematikaga bo'linadi:

• elementar geometriya: planimetriya va stereometriya
• elementar funksiyalar nazariyasi va tahlil elementlari

4. Amerika matematika jamiyati (AMS) matematika sohalarini tasniflash uchun o'z standartini ishlab chiqdi. Bu matematika fanlari tasnifi deb ataladi. Ushbu standart vaqti-vaqti bilan yangilanadi. Joriy versiya MSC 2010. Oldingi versiya MSC 2000.

Belgilash

Matematika juda xilma-xil va ancha murakkab tuzilmalar bilan shug'ullanganligi sababli, yozuv ham juda murakkab. Formulalarni yozishning zamonaviy tizimi Evropa algebraik an'analari, shuningdek, matematik tahlil (funksiya tushunchasi, hosila va boshqalar) asosida shakllangan. Qadim zamonlardan beri geometriya vizual (geometrik) tasvirdan foydalangan. Zamonaviy matematikada murakkab grafik yozuv tizimlari (masalan, kommutativ diagrammalar) ham keng tarqalgan va grafiklarga asoslangan yozuvlar ham ko'p qo'llaniladi.

Qisqa hikoya

Matematikaning rivojlanishi yozish va raqamlarni yozish qobiliyatiga tayanadi. Ehtimol, qadimgi odamlar miqdorni birinchi marta erga chiziqlar chizish yoki yog'ochga chizish orqali ifodalagan. Qadimgi inklar boshqa yozuv tizimiga ega bo'lmagan holda, raqamli ma'lumotlarni arqon tugunlarining murakkab tizimi, ya'ni "quipu" yordamida taqdim etgan va saqlagan. Turli xil sanoq tizimlari mavjud edi. Raqamlarning birinchi ma'lum bo'lgan yozuvlari O'rta Qirollikdagi misrliklar tomonidan yaratilgan Ahmes papirusida topilgan. Hindiston sivilizatsiyasi nol tushunchasini o'zida mujassam etgan zamonaviy o'nlik sanoq tizimini ishlab chiqdi.

Tarixiy jihatdan asosiy matematik fanlar tijorat sohasida hisob-kitoblarni amalga oshirish, erni o'lchash va astronomik hodisalarni bashorat qilish va keyinchalik yangi fizik muammolarni hal qilish zarurati ta'siri ostida paydo bo'lgan. Ushbu sohalarning har biri tuzilmalar, bo'shliqlar va o'zgarishlarni o'rganishdan iborat bo'lgan matematikaning keng rivojlanishida katta rol o'ynaydi.

Matematika falsafasi

Maqsad va usullar

Matematika xayoliy, ideal ob'ektlar va ular o'rtasidagi munosabatlarni rasmiy til yordamida o'rganadi. Umuman olganda, matematik tushunchalar va teoremalar fizik dunyodagi hech narsaga mos kelishi shart emas. Matematikaning amaliy bo'limining asosiy vazifasi o'rganilayotgan real ob'ektga yetarli darajada adekvat bo'lgan matematik modelni yaratishdir. Nazariy matematikning vazifasi bu maqsadga erishish uchun etarli darajada qulay vositalar to'plamini taqdim etishdan iborat.

Matematikaning mazmunini matematik modellar tizimi va ularni yaratish vositalari sifatida belgilash mumkin. Ob'ekt modeli uning barcha xususiyatlarini hisobga olmaydi, faqat o'rganish maqsadlari uchun eng zarur (ideallashtirilgan). Misol uchun, apelsinning jismoniy xususiyatlarini o'rganayotganda, biz uning rangi va ta'midan mavhum bo'lishimiz va uni (to'liq aniq bo'lmasa ham) to'p sifatida tasvirlashimiz mumkin. Agar biz ikkita va uchtani qo'shsak, qancha apelsin olishimizni tushunishimiz kerak bo'lsa, unda biz modelni faqat bitta xususiyat - miqdor bilan qoldirib, shakldan mavhumlasha olamiz. Abstraktsiya va ob'ektlar o'rtasidagi munosabatlarni eng umumiy shaklda o'rnatish matematik ijodkorlikning asosiy yo'nalishlaridan biridir.

Abstraksiya bilan bir qatorda yana bir yo'nalish - umumlashtirish. Masalan, "fazo" tushunchasini n-o'lchovli fazoga umumlashtirish. " Bo'sh joy - bu matematik ixtiro. Biroq, murakkab hodisalarni matematik tushunishga yordam beradigan juda mohir ixtiro».

Intramatematik ob'ektlarni o'rganish, qoida tariqasida, aksiomatik usul yordamida amalga oshiriladi: birinchi navbatda, o'rganilayotgan ob'ektlar uchun asosiy tushunchalar va aksiomalar ro'yxati shakllantiriladi, so'ngra aksiomalardan xulosa qilish qoidalaridan foydalangan holda mazmunli teoremalar olinadi, ular birgalikda hosil qiladi. matematik model.

asoslar

Matematikaning mohiyati va asoslari haqidagi masala Platon davridan beri muhokama qilinib kelinmoqda. 20-asrdan boshlab, qat'iy matematik dalil deb hisoblanishi kerak bo'lgan narsa bo'yicha qiyosiy kelishuv mavjud edi, ammo matematikada to'g'ri deb hisoblangan narsa haqida hech qanday kelishuv mavjud emas. Bu axiomatika masalalarida ham, matematika bo'limlarining o'zaro bog'liqligida ham, isbotlashda qo'llanilishi kerak bo'lgan mantiqiy tizimlarni tanlashda ham kelishmovchiliklarni keltirib chiqaradi.

Skeptiklarga qo'shimcha ravishda, bu masala bo'yicha quyidagi yondashuvlar ma'lum.

To‘plam-nazariy yondashuv

Barcha matematik ob'ektlarni to'plamlar nazariyasi doirasida, ko'pincha Zermelo-Fraenkel aksiomatikasi bilan ko'rib chiqish taklif etiladi (garchi unga ekvivalent bo'lgan ko'plab boshqalar mavjud). Bu yondashuv 20-asrning oʻrtalaridan boshlab ustunlik qilib kelinmoqda, biroq, aslida, koʻpgina matematika ishlari oʻzlariga oʻz bayonotlarini toʻplamlar nazariyasi tiliga qatʼiy tarjima qilish vazifasini qoʻymaydi, balki baʼzi sohalarda oʻrnatilgan tushunchalar va faktlar bilan ishlaydi. matematikadan. Shunday qilib, agar to'plam nazariyasida qarama-qarshilik topilsa, bu natijalarning ko'pchiligini bekor qilishga olib kelmaydi.

mantiqiylik

Ushbu yondashuv matematik ob'ektlarni qat'iy ravishda yozishni nazarda tutadi. To'plam nazariyasida faqat maxsus hiyla-nayranglar bilan chetlab o'tilgan ko'plab paradokslar printsipial jihatdan imkonsiz bo'lib chiqadi.

Formalizm

Ushbu yondashuv klassik mantiqqa asoslangan rasmiy tizimlarni o'rganishni o'z ichiga oladi.

intuitivizm

Intuitivizm matematikaning asosi sifatida isbotlash vositalarida ko'proq cheklangan intuitivistik mantiqni nazarda tutadi (lekin ishoniladi, bundan tashqari ishonchliroq). Intuitivizm qarama-qarshilik bilan isbotni rad etadi, ko'plab konstruktiv bo'lmagan dalillar imkonsiz bo'lib qoladi va to'plamlar nazariyasining ko'plab muammolari ma'nosiz bo'lib qoladi (rasmiylashtirilmaydi).

Konstruktiv matematika

Konstruktiv matematika - bu konstruktiv konstruksiyalarni oʻrganuvchi intuitivizmga yaqin boʻlgan matematika yoʻnalishi. aniqlashtirish]. Konstruktivlik mezoniga ko'ra - " mavjud bo'lmoq, qurilmoq degan ma'noni anglatadi". Konstruktivlik mezoni izchillik mezoniga qaraganda kuchliroq talabdir.

Asosiy mavzular

Raqamlar

"Raqam" tushunchasi dastlab natural sonlarni nazarda tutgan. Keyinchalik u asta-sekin butun, ratsional, haqiqiy, kompleks va boshqa sonlarga kengaytirildi.

Butun sonlar Ratsional sonlar Haqiqiy raqamlar Kompleks sonlar Kvarternionlar

Raqamli tizimlar
Hisoblash to'plamlar	Natural sonlar () Butun sonlar () Ratsionallar () Algebraik () Davrlar Hisoblanadigan arifmetika
Haqiqiy raqamlar va ularning kengaytmalari	Haqiqiy () Kompleks () Kvarternionlar () Keyley raqamlari (oktavalar, oktonionlar) () Sedenionlar () Alternionlar Keyley-Dixon protsedurasi Ikkilik giperkompleks Superreal giperreal syurreal son () Ingliz)
Boshqa sanoq tizimlari	Kardinal sonlar Tartib sonlar (transfinit, tartib) p-adik G'ayritabiiy sonlar
Shuningdek qarang	Juft sonlar Irratsional sonlar Transsendent son nurlari Biquaternion

Transformatsiyalar

Diskret matematika

Bilimlarni tasniflash tizimlaridagi kodlar

Onlayn xizmatlar

Matematik hisob-kitoblar bo'yicha xizmatlar ko'rsatadigan juda ko'p saytlar mavjud. Ularning aksariyati ingliz tilida. Rusiyzabonlardan Nigma qidiruv tizimining matematik so'rovlar xizmatini ta'kidlash mumkin.

Shuningdek qarang

Ilm-fanni ommalashtiruvchilar

Eslatmalar

1. Britannica entsiklopediyasi
2. Webster onlayn lug'ati
3. 2-bob. Matematika fan tili sifatida. Sibir ochiq universiteti. 2012-yil 2-fevralda asl nusxadan arxivlangan. Olingan 2010-yil 5-oktabr.
4. Qadimgi yunoncha katta lug'at (až)
5. XI-XVII asrlar rus tilining lug'ati. 9-son / Ch. ed. F. P. Filin. - M.: Nauka, 1982. - S. 41.
6. Dekart R. Aqlni boshqaradigan qoidalar. M.-L.: Sotsekgiz, 1936 yil.
7. Qarang: TSB Matematika
8. Marks K., Engels F. Ishlar. 2-nashr. T. 20. S. 37.
9. Burbaki N. Matematika arxitekturasi. Matematika tarixiga oid insholar / I. G. Bashmakova tarjimasi, tahrir. K. A. Ribnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
10. Kaziyev V.M. Matematikaga kirish
11. Muxin O.I. Modellashtirish tizimlari bo'yicha qo'llanma. Perm: RCI PSTU.
12. Herman Vayl // Kline M.. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
13. Oliy kasbiy ta'limning davlat ta'lim standarti. Mutaxassislik 01.01.00. "Matematika". Malakasi - matematik. Moskva, 2000 (O. B. Lupanov rahbarligida tuzilgan)
14. Rossiya Ta'lim va fan vazirligining 2009 yil 25 fevraldagi 59-son buyrug'i bilan tasdiqlangan ilmiy xodimlarning mutaxassisliklari nomenklaturasi.
15. UDC 51 Matematika
16. Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolskiy. Chiziqli algebra va analitik geometriya elementlari. M.: Nauka, 1988. S. 44.
17. N. I. Kondakov. Mantiqiy lug'at-ma'lumotnoma. M.: Nauka, 1975. S. 259.
18. G. I. Ruzavin. Matematik bilimlarning tabiati haqida. M.: 1968 yil.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Masalan: http://mathworld.wolfram.com

Adabiyot

ensiklopediyalar

• // Brokxauz va Efronning entsiklopedik lug'ati: 86 jildda (82 jild va 4 ta qo'shimcha). - Sankt-Peterburg. , 1890-1907.
• Matematik ensiklopediya (5 jildda), 1980-yillar. // EqWorld bo'yicha umumiy va maxsus matematik havolalar
• Kondakov N.I. Mantiqiy lug'at-ma'lumotnoma. Moskva: Nauka, 1975 yil.
• Matematik fanlar entsiklopediyasi va ularning ilovalari (nemis) 1899-1934 (19-asr adabiyotining eng katta sharhi)

Ma'lumotnomalar

• G. Korn, T. Korn. Olimlar va muhandislar uchun matematika bo'yicha qo'llanma M., 1973 yil

Kitoblar

• Kline M. Matematika. Ishonchni yo'qotish. - M.: Mir, 1984 yil.
• Kline M. Matematika. Haqiqat izlash. M.: Mir, 1988 yil.
• Klein F. Yuqori nuqtai nazardan boshlang'ich matematika.

• I jild. Arifmetika. Algebra. Tahlil M.: Nauka, 1987. 432 b.
• II jild. Geometriya M.: Nauka, 1987. 416 b.

• R. Courant, G. Robbins. Matematika nima? 3-nashr, rev. va qo'shimcha - M.: 2001. 568 b.
• Pisarevskiy B. M., Xarin V. T. Matematika, matematiklar va nafaqat haqida. - M .: Binom. Bilimlar laboratoriyasi, 2012. - 302 b.
• Puankare A. Fan va usul (rus.) (fr.)

Matematika eng qadimgi fanlardan biridir. Matematikaga qisqacha ta'rif berish unchalik oson emas, uning mazmuni insonning matematik ta'lim darajasiga qarab juda katta farq qiladi. Arifmetikani endigina o‘rgana boshlagan boshlang‘ich sinf o‘quvchisi, matematika ob’ektlarni sanash qoidalarini o‘rganadi, deydi. Va u to'g'ri bo'ladi, chunki u dastlab shu bilan tanishadi. Katta yoshdagi talabalar matematika tushunchasi algebra va geometrik ob'ektlarni o'rganishni o'z ichiga oladi, deb aytilganlarga qo'shimcha qiladilar: chiziqlar, ularning kesishishlari, tekislik figuralari, geometrik jismlar, turli xil o'zgarishlar. O'rta maktab bitiruvchilari matematikaning ta'rifiga funktsiyalarni o'rganish va chegaraga o'tish harakatlarini, shuningdek, hosila va integral tushunchalarini o'z ichiga oladi. Oliy texnika o‘quv yurtlari yoki universitet va pedagogika institutlarining tabiatshunoslik bo‘limlari bitiruvchilari endi maktab ta’riflari bilan qanoatlanmaydi, chunki ular boshqa fanlar ham matematikaning bir qismi ekanligini bilishadi: ehtimollar nazariyasi, matematik statistika, differentsial hisoblar, dasturlash, hisoblash usullari, shuningdek, ishlab chiqarish jarayonlarini modellashtirish, eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlash, axborotni uzatish va qayta ishlash uchun ushbu fanlarning qo'llanilishi. Biroq, sanab o'tilgan narsalar matematikaning mazmunini tugatmaydi. Uning tarkibiga to'plamlar nazariyasi, matematik mantiq, optimal boshqarish, tasodifiy jarayonlar nazariyasi va boshqalar kiradi.

Matematikani uning tarkibiy qismlarini sanab o'tish orqali aniqlashga urinishlar bizni yo'ldan ozdiradi, chunki ular matematika aniq nimani o'rganishi va uning atrofimizdagi dunyoga qanday aloqasi borligi haqida tasavvurga ega emas. Agar fizik, biolog yoki astronomga shunga o'xshash savol berilsa, ularning har biri o'zlari o'rganadigan fanni tashkil etuvchi qismlar ro'yxatini o'z ichiga olmasdan, juda qisqa javob beradilar. Bunday javobda u o'rganayotgan tabiat hodisalariga ishora bo'lishi mumkin. Misol uchun, biolog biologiya hayotning turli ko'rinishlarini o'rganadigan fan deb aytadi. Garchi bu javob to'liq bo'lmasa-da, chunki u hayot va hayot hodisalari nima ekanligini aytmaydi, shunga qaramay, bunday ta'rif biologiya fanining o'zi va ushbu fanning turli darajalari haqida to'liq tasavvur beradi. . Va bu ta'rif biologiya haqidagi bilimlarimizni kengaytirish bilan o'zgarmaydi.

Matematikani o'rganish predmeti bo'ladigan, lekin fizik, biologik, kimyoviy, muhandislik yoki ijtimoiy hodisalar bilan bog'liq bo'lmagan tabiat hodisalari, texnik yoki ijtimoiy jarayonlar mavjud emas. Har bir tabiiy fan: biologiya va fizika, kimyo va psixologiya - o'z predmetining moddiy xususiyatlari, u o'rganadigan real dunyo sohasining o'ziga xos xususiyatlari bilan belgilanadi. Ob'ekt yoki hodisaning o'zini turli xil usullar, shu jumladan matematik usullar bilan o'rganish mumkin, ammo usullarni o'zgartirish orqali biz hali ham ushbu fanning chegaralarida qolamiz, chunki bu fanning mazmuni tadqiqot usuli emas, balki haqiqiy mavzudir. Matematika uchun tadqiqotning moddiy predmeti hal qiluvchi ahamiyatga ega emas, qo'llaniladigan usul muhim ahamiyatga ega. Masalan, trigonometrik funksiyalardan tebranish harakatini o‘rganishda ham, yetib bo‘lmaydigan jismning balandligini aniqlashda ham foydalanish mumkin. Va haqiqiy dunyoning qanday hodisalarini matematik usul yordamida tekshirish mumkin? Bu hodisalar ularning moddiy tabiati bilan emas, balki faqat rasmiy tuzilish xususiyatlari va birinchi navbatda ular mavjud bo'lgan miqdoriy munosabatlar va fazoviy shakllar bilan belgilanadi.

Demak, matematika moddiy ob'ektlarni emas, balki unga ma'lum operatsiyalarni (yig'inish, farqlash va boshqalar) qo'llash imkonini beradigan tadqiqot usullari va o'rganilayotgan ob'ektning strukturaviy xususiyatlarini o'rganadi. Biroq, matematik muammolar, tushunchalar va nazariyalarning muhim qismi o'zining asosiy manbai sifatida real hodisa va jarayonlarga ega. Masalan, arifmetika va sonlar nazariyasi ob'ektlarni sanashning birlamchi amaliy vazifasidan kelib chiqqan. Elementar geometriya o'zining manbasi sifatida masofalarni taqqoslash, tekis figuralarning maydonlarini yoki fazoviy jismlarning hajmlarini hisoblash bilan bog'liq edi. Bularning barchasini topish kerak edi, chunki mudofaa inshootlarini qurishda erlarni foydalanuvchilar o'rtasida qayta taqsimlash, don omborlari hajmini yoki tuproq ishlari hajmini hisoblash kerak edi.

Matematik natija shunday xususiyatga egaki, u nafaqat ma'lum bir hodisa yoki jarayonni o'rganishda, balki fizik tabiati ilgari ko'rib chiqilganlardan tubdan farq qiladigan boshqa hodisalarni ham o'rganish uchun ishlatilishi mumkin. Demak, arifmetika qoidalari iqtisodiy masalalarda ham, texnik masalalarda ham, qishloq xo‘jaligi masalalarini hal qilishda ham, ilmiy tadqiqotlarda ham qo‘llaniladi. Arifmetika qoidalari ming yillar oldin ishlab chiqilgan, ammo ular amaliy ahamiyatini abadiy saqlab qolgan. Arifmetika matematikaning ajralmas qismi bo'lib, uning an'anaviy qismi endi matematika doirasida ijodiy rivojlanishga tobe emas, lekin u ko'plab yangi ilovalarni topadi va topishda davom etadi. Ushbu ilovalar insoniyat uchun katta ahamiyatga ega bo'lishi mumkin, ammo ular endi matematikaga to'g'ri hissa qo'shmaydi.

Matematika ijodiy kuch sifatida ko'plab maxsus holatlarda qo'llanilishi kerak bo'lgan umumiy qoidalarni ishlab chiqishni o'z oldiga maqsad qilib qo'ygan. Bu qoidalarni yaratgan, yangi narsalarni yaratadigan, yaratadi. Tayyor qoidalarni qo'llagan kishi endi matematikaning o'zida yaratmaydi, balki matematik qoidalar yordamida bilimning boshqa sohalarida yangi qadriyatlarni yaratishi mumkin. Masalan, bugungi kunda sun’iy yo‘ldosh tasvirlarini talqin qilish ma’lumotlari, shuningdek, jinslarning tarkibi va yoshi, geokimyoviy va geofizik anomaliyalar haqidagi ma’lumotlar kompyuterlar yordamida qayta ishlanadi. Shubhasiz, geologik tadqiqotlarda kompyuterdan foydalanish bu tadqiqotni geologik qoldiradi. EHM va ularning dasturiy ta’minotining ishlash tamoyillari ulardan geologiya fani manfaatlarida foydalanish imkoniyatlari hisobga olinmagan holda ishlab chiqilgan. Bu imkoniyatning o'zi geologik ma'lumotlarning strukturaviy xususiyatlari ma'lum kompyuter dasturlari mantig'iga mos kelishi bilan belgilanadi.

Matematikaning ikkita ta'rifi keng tarqaldi. Ulardan birinchisini F. Engels “Anti-Dyuring”da, ikkinchisini “Matematikaning arxitekturasi” (1948) maqolasida Nikolay Burbaki nomi bilan mashhur fransuz matematiklari guruhi bergan.

"Sof matematika o'zining ob'ekti sifatida haqiqiy dunyoning fazoviy shakllari va miqdoriy munosabatlariga ega." Bu ta'rif nafaqat matematikaning o'rganish ob'ektini tavsiflaydi, balki uning kelib chiqishi - real dunyoni ham ko'rsatadi. Biroq, F. Engels tomonidan berilgan bu ta'rif asosan 19-asrning ikkinchi yarmidagi matematikaning holatini aks ettiradi. va na miqdoriy munosabatlarga, na geometrik shakllarga bevosita bog'liq bo'lmagan yangi sohalarini hisobga olmaydi. Bu, birinchi navbatda, matematik mantiq va dasturlash bilan bog'liq fanlar. Shuning uchun bu ta'rifga biroz tushuntirish kerak. Balki shuni aytish kerakki, matematika fazoviy shakllar, miqdoriy munosabatlar va mantiqiy konstruktsiyalarni o'rganish ob'ektiga ega.

Bourbaki ta'kidlashicha, "yagona matematik ob'ektlar, to'g'ri aytganda, matematik tuzilmalardir". Boshqacha qilib aytganda, matematika matematik tuzilmalar haqidagi fan sifatida belgilanishi kerak. Bu ta'rif mohiyatan tavtologiyadir, chunki u faqat bitta narsani aytadi: matematika o'rganadigan ob'ektlar bilan bog'liq. Bu ta'rifning yana bir kamchiligi shundaki, u matematikaning bizni o'rab turgan dunyoga munosabatini aniqlab bermaydi. Bundan tashqari, Burbaki matematik tuzilmalar real dunyo va uning hodisalaridan mustaqil ravishda yaratilganligini ta'kidlaydi. Shuning uchun ham Burbaki “asosiy muammo eksperimental dunyo va matematik dunyo o'rtasidagi munosabatlardir, deb e'lon qilishga majbur bo'ldi. Eksperimental hodisalar va matematik tuzilmalar o'rtasida yaqin munosabatlar mavjudligi zamonaviy fizikaning kashfiyotlari bilan mutlaqo kutilmagan tarzda tasdiqlanganga o'xshaydi, ammo biz buning chuqur sabablaridan mutlaqo bexabarmiz ... va ehtimol biz ularni hech qachon bilmaymiz. .

F. Engels ta'rifidan bunday umidsizlikka uchragan xulosa kelib chiqishi mumkin emas, chunki unda matematik tushunchalar real olamning muayyan munosabatlari va shakllaridan abstraktsiyalar ekanligi haqidagi ta'kid allaqachon mavjud. Bu tushunchalar real dunyodan olingan va u bilan bog'langan. Mohiyatan, bu matematika natijalarining bizni o'rab turgan dunyo hodisalariga hayratlanarli darajada qo'llanilishini va shu bilan birga bilimlarni matematiklashtirish jarayonining muvaffaqiyatini tushuntiradi.

Matematika bilimning barcha sohalaridan istisno emas - u amaliy vaziyatlardan va keyingi abstraksiyalardan kelib chiqadigan tushunchalarni ham shakllantiradi; voqelikni ham taxminan o'rganish imkonini beradi. Lekin shu bilan birga shuni ham yodda tutish kerakki, matematika real olamdagi narsalarni emas, balki mavhum tushunchalarni o‘rganadi va uning mantiqiy xulosalari mutlaqo qat’iy va aniqdir. Uning yaqinligi ichki xususiyatga ega emas, balki hodisaning matematik modelini tuzish bilan bog'liq. Shuni ham ta'kidlaymizki, matematika qoidalari mutlaq qo'llanilishi mumkin emas, ular cheklangan qo'llanish sohasiga ega, ular hukmronlik qiladi. Keling, aytilgan fikrni misol bilan tushuntiramiz: ikkita va ikkita har doim ham to'rtga teng emasligi ma'lum bo'ldi. Ma'lumki, 2 litr spirt va 2 litr suv aralashtirilganda 4 litrdan kam aralashma olinadi. Bu aralashmada molekulalar ixchamroq joylashtirilgan va aralashmaning hajmi tarkibiy qismlarning hajmlari yig'indisidan kamroq bo'ladi. Arifmetikaning qo'shish qoidasi buziladi. Arifmetikaning boshqa haqiqatlari buzilgan misollarni ham keltirishingiz mumkin, masalan, ba'zi ob'ektlarni qo'shganda, yig'indi yig'ish tartibiga bog'liq bo'lib chiqadi.

Ko'pgina matematiklar matematik tushunchalarni sof aqlning yaratilishi sifatida emas, balki haqiqatda mavjud narsalar, hodisalar, jarayonlardan abstraktsiyalar yoki allaqachon o'rnatilgan abstraktsiyalardan (yuqori tartibli abstraktsiyalar) abstraktsiyalar deb hisoblashadi. F. Engels “Tabiat dialektikasi” asarida “... barcha sof matematika deb atalmish mavhumlik bilan shug‘ullanadi... uning barcha miqdorlari, qat’iy aytganda, xayoliy miqdorlardir...” deb yozgan edi. matematikada abstraksiyalarning roli haqida marksistik falsafaning asoschilaridan biri. Shuni qo'shimcha qilishimiz kerakki, bu barcha "xayoliy miqdorlar" haqiqatdan olingan va o'zboshimchalik bilan, fikrning erkin parvozi bilan tuzilgan emas. Shunday qilib, son tushunchasi umumiy foydalanishga kirdi. Dastlab, bu birliklar ichidagi raqamlar va bundan tashqari, faqat musbat sonlar edi. Keyin tajriba meni raqamlar arsenalini o'nlab va yuzlabgacha kengaytirishga majbur qildi. Butun sonlar qatorining cheksizligi kontseptsiyasi bizga tarixan yaqin bo'lgan davrda allaqachon paydo bo'lgan: Arximed "Psammit" kitobida ("Qum donalarini hisoblash") berilgan raqamlardan ham kattaroq raqamlarni qanday qilib qurish mumkinligini ko'rsatgan. . Ayni paytda kasr sonlar tushunchasi amaliy ehtiyojlardan kelib chiqqan. Eng oddiy geometrik raqamlar bilan bog'liq hisob-kitoblar insoniyatni yangi raqamlarga - mantiqsiz raqamlarga olib keldi. Shunday qilib, barcha haqiqiy sonlar to'plami g'oyasi asta-sekin shakllandi.

Xuddi shu yo'lni matematikaning boshqa har qanday tushunchalari uchun kuzatish mumkin. Ularning barchasi amaliy ehtiyojlardan kelib chiqib, asta-sekin mavhum tushunchalarga aylangan. F.Engelsning quyidagi so‘zlarini yana bir bor eslash mumkin: “...sof matematika har bir individning maxsus tajribasidan mustaqil ma’noga ega... Lekin sof matematikada ong faqat o‘z mahsuloti bilan shug‘ullanishi mutlaqo noto‘g‘ri. ijodkorlik va tasavvur. Raqam va raqam tushunchalari hech qayerdan olinmaydi, faqat real dunyodan olingan. Odamlar hisoblashni, ya'ni birinchi arifmetik amalni bajarishni o'rgangan o'n barmoqlar aqlning erkin ijodi mahsulidan boshqa narsa emas. Hisoblash uchun nafaqat sanash kerak bo'lgan narsalar, balki ushbu ob'ektlarni ko'rib chiqishda sonidan tashqari barcha boshqa xususiyatlardan chalg'itish qobiliyatiga ega bo'lish kerak va bu qobiliyat uzoq tarixiy rivojlanish natijasidir. tajriba. Raqam tushunchasi ham, figura tushunchasi ham faqat tashqi dunyodan olingan bo'lib, boshda sof fikrlashdan kelib chiqmagan. Muayyan shaklga ega bo'lgan narsalar bo'lishi kerak edi va figura tushunchasiga kelishdan oldin bu shakllarni solishtirish kerak edi.

Keling, fanda fanning o'tmishdagi taraqqiyoti va amaliyotning hozirgi taraqqiyoti bilan bog'lanmagan holda yaratilgan tushunchalar bor yoki yo'qligini ko'rib chiqaylik. Biz yaxshi bilamizki, ilmiy matematik ijodkorlikdan avval maktabda, oliy o‘quv yurtida ko‘plab fanlarni o‘rganish, kitoblar, maqolalar o‘qish, ham o‘z sohasi, ham bilimning boshqa sohalari mutaxassislari bilan suhbatlar bo‘ladi. Matematik jamiyatda yashaydi va kitoblardan, radiodan, boshqa manbalardan fan, muhandislik va ijtimoiy hayotda yuzaga keladigan muammolarni bilib oladi. Bundan tashqari, tadqiqotchining tafakkuriga ilmiy fikrning avvalgi butun evolyutsiyasi ta'sir qiladi. Shuning uchun u fan taraqqiyoti uchun zarur bo'lgan muayyan muammolarni hal qilishga tayyor bo'lib chiqadi. Shuning uchun ham olim o‘z xohishiga ko‘ra, o‘z xohishiga ko‘ra muammo qo‘ya olmaydi, balki fan, boshqa tadqiqotchilar, insoniyat uchun qimmatli bo‘lgan matematik tushuncha va nazariyalarni yaratishi kerak. Ammo matematik nazariyalar turli ijtimoiy shakllanishlar va tarixiy davrlar sharoitida o'z ahamiyatini saqlab qoladi. Bundan tashqari, ko'pincha bir xil g'oyalar hech qanday aloqasi bo'lmagan olimlardan kelib chiqadi. Bu matematik tushunchalarni erkin yaratish kontseptsiyasiga amal qilganlarga qarshi qo'shimcha dalildir.

Shunday qilib, biz "matematika" tushunchasiga nimalar kiritilganligini aytdik. Ammo amaliy matematika kabi narsa ham bor. U matematikadan tashqari ilovalarni topadigan barcha matematik usullar va fanlarning yig'indisi sifatida tushuniladi. Qadim zamonlarda geometriya va arifmetika barcha matematikani ifodalagan va ikkalasi ham savdo ayirboshlashda, maydonlar va hajmlarni o'lchashda va navigatsiya masalalarida ko'plab ilovalarni topganligi sababli, barcha matematika nafaqat nazariy, balki amaliy ham edi. Keyinchalik, qadimgi Yunonistonda matematika va amaliy matematikaga bo'linish mavjud. Biroq, barcha taniqli matematiklar nafaqat nazariy tadqiqotlar bilan, balki amaliy dasturlar bilan ham shug'ullanishgan.

Matematikaning keyingi rivojlanishi tabiiy fanlar va texnika taraqqiyoti, yangi ijtimoiy ehtiyojlarning paydo bo'lishi bilan uzluksiz bog'liq edi. XVIII asr oxiriga kelib. (birinchi navbatda navigatsiya va artilleriya muammolari bilan bog'liq holda) harakatning matematik nazariyasini yaratish zarurati paydo bo'ldi. Buni G. V. Leybnits va I. Nyutonlar asarlarida amalga oshirgan. Amaliy matematika yangi juda kuchli tadqiqot usuli - matematik tahlil bilan to'ldirildi. Deyarli bir vaqtda demografiya va sugʻurta ehtiyojlari ehtimollar nazariyasining boshlanishiga olib keldi (qarang. Ehtimollar nazariyasi). 18-19-asrlar amaliy matematikaning mazmunini kengaytirib, unga oddiy va qisman differensial tenglamalar nazariyasini, matematik fizika tenglamalarini, matematik statistika elementlarini, differensial geometriyani kiritdi. 20-asr amaliy masalalarni matematik tadqiq qilishning yangi usullarini olib keldi: tasodifiy jarayonlar nazariyasi, grafiklar nazariyasi, funksional tahlil, optimal boshqarish, chiziqli va chiziqli boʻlmagan dasturlash. Bundan tashqari, ma'lum bo'ldiki, raqamlar nazariyasi va mavhum algebra fizika muammolariga kutilmagan ilovalarni topdi. Natijada amaliy matematika alohida fan sifatida mavjud emas va barcha matematikani amaliy deb hisoblash mumkin, degan ishonch shakllana boshladi. Balki, matematika amaliy va nazariy ekanligini emas, balki matematiklar amaliy va nazariyotchilarga bo'linganligini aytish kerak. Ba'zilar uchun matematika - tevarak-atrofdagi olam va unda sodir bo'layotgan hodisalarni bilish usuli bo'lib, olim aynan shu maqsadda matematik bilimlarni rivojlantiradi va kengaytiradi. Boshqalar uchun matematikaning o'zi o'rganish va rivojlantirishga loyiq butun dunyoni ifodalaydi. Ilm-fan taraqqiyoti uchun har ikki turdagi olimlar kerak.

Matematika har qanday hodisani o'z usullari bilan o'rganishdan oldin uning matematik modelini yaratadi, ya'ni hodisaning hisobga olinadigan barcha xususiyatlarini sanab o'tadi. Model tadqiqotchini o'rganilayotgan hodisaning xususiyatlarini va uning evolyutsiyasini etarli darajada etkazishga imkon beradigan matematik vositalarni tanlashga majbur qiladi. Misol tariqasida, sayyoralar sistemasi modelini olaylik: Quyosh va sayyoralar mos keladigan massaga ega bo'lgan moddiy nuqtalar sifatida qaraladi. Har ikki nuqtaning o'zaro ta'siri ular orasidagi tortishish kuchi bilan belgilanadi

bu erda m 1 va m 2 - o'zaro ta'sir qiluvchi nuqtalarning massalari, r - ular orasidagi masofa, f - tortishish doimiysi. Ushbu modelning soddaligiga qaramay, so'nggi uch yuz yil davomida u quyosh tizimi sayyoralari harakatining xususiyatlarini juda aniqlik bilan uzatmoqda.

Albatta, har bir model haqiqatni qo'pollashtiradi va tadqiqotchining vazifasi, birinchi navbatda, bir tomondan, masalaning faktik tomonini (ular aytganidek, uning jismoniy xususiyatlarini) to'liq aks ettiradigan modelni taklif qilishdir. va boshqa tomondan, haqiqatga sezilarli darajada yaqinlik beradi. Albatta, bir xil hodisa uchun bir nechta matematik modellarni taklif qilish mumkin. Ularning barchasi model va haqiqat o'rtasidagi sezilarli tafovut ta'sir qila boshlamaguncha mavjud bo'lish huquqiga ega.

Matematika 1. Matematika so`zi qayerdan olingan 2. Matematikani kim ixtiro qilgan? 3. Asosiy mavzular. 4. Ta'rif 5. Etimologiya Oxirgi slaydda.

Bu so'z qayerdan paydo bo'lgan (oldingi slaydga o'ting) Yunon tilidan matematika - o'rganish, fan) - tarixiy jihatdan sanash, o'lchash va ob'ektlar shaklini tavsiflash operatsiyalariga asoslangan tuzilmalar, tartib va ​​munosabatlar haqidagi fan. Matematik ob'ektlar haqiqiy yoki boshqa matematik ob'ektlarning xususiyatlarini ideallashtirish va bu xususiyatlarni rasmiy tilda yozish orqali yaratiladi.

Matematikani kim ixtiro qilgan (menyuga o'ting) Birinchi matematik odatda VI asrda yashagan Miletlik Thales deb ataladi. Miloddan avvalgi e. , Gretsiyaning yetti donishmandlaridan biri. Qanday bo'lmasin, u birinchi bo'lib unga ma'lum bo'lgan dunyoda uzoq vaqtdan beri shakllangan ushbu mavzu bo'yicha butun bilim bazasini tuzgan. Vaholanki, matematikaga oid bizgacha yetib kelgan birinchi risolaning muallifi Evkliddir (miloddan avvalgi III asr). U ham bu fanning otasi deyishga munosibdir.

Asosiy mavzular (menyuga o'ting) Matematika sohasi faqat tartib yoki o'lchov ko'rib chiqiladigan fanlarni o'z ichiga oladi va bu raqamlar, raqamlar, yulduzlar, tovushlar yoki bu o'lchov bo'lgan boshqa narsa bo'lishi muhim emas. topiladi. Shunday qilib, biron bir mavzuni o'rganishga kirmasdan, tartib va ​​o'lchovga tegishli hamma narsani tushuntiradigan qandaydir umumiy fan bo'lishi kerak va bu fanni chet ellik emas, balki umumiy matematikaning eski, allaqachon keng tarqalgan nomi bilan chaqirish kerak.

Ta'rif (menyuga o'ting) Zamonaviy tahlil klassik matematik tahlilga asoslangan bo'lib, u matematikaning uchta asosiy yo'nalishidan biri (algebra va geometriya bilan birga) hisoblanadi. Shu bilan birga, klassik ma’nodagi “matematik tahlil” atamasi asosan o‘quv dasturlari va materiallarda qo‘llaniladi. Anglo-Amerika an'analarida klassik matematik tahlil "hisoblash" nomi bilan kurs dasturlariga mos keladi.

Etimologiya (menyuga o'ting) "Matematika" so'zi boshqa yunon tilidan olingan. , ya'ni o'rganish, bilish, fan kabi ma'nolarni bildiradi -yunoncha, dastlab qabul qiluvchi, muvaffaqiyatli, keyinroq o'rganish bilan bog'liq, keyinroq matematika bilan bog'liq. Xususan, lotin tilida matematika sanʼati degan maʼnoni bildiradi. Bu atama boshqa - yunoncha. "matematika" so'zining zamonaviy ma'nosida Aristotelning (miloddan avvalgi 4-asr) "To'qqizta muza va ettita erkin san'at to'g'risida qisqacha tanlangan kitob" (1672) asarlarida mavjud.

Matematika - real olamning miqdoriy munosabatlari va fazoviy shakllari haqidagi fan. Fan va texnika talablari bilan chambarchas bog'liq holda, matematika tomonidan o'rganiladigan miqdoriy munosabatlar va fazoviy shakllar fondi doimiy ravishda kengayib bormoqda, shuning uchun yuqoridagi ta'rifni eng umumiy ma'noda tushunish kerak.

Matematikani o`rganishdan maqsad umumiy dunyoqarashni, fikrlash madaniyatini oshirish, ilmiy dunyoqarashni shakllantirishdan iborat.

Matematikaning mustaqil mavqeini maxsus fan sifatida tushunish juda katta miqdordagi faktik materiallar to'planganidan keyin mumkin bo'ldi va birinchi marta Qadimgi Yunonistonda miloddan avvalgi 6-5 asrlarda paydo bo'ldi. Bu elementar matematika davrining boshlanishi edi.

Bu davrda matematik tadqiqotlar faqat iqtisodiy hayotning eng oddiy talablari bilan yuzaga kelgan asosiy tushunchalarning ancha cheklangan zaxirasi bilan shug'ullandi. Shu bilan birga, matematikaning fan sifatida sifat jihatidan takomillashuvi allaqachon amalga oshirilmoqda.

Zamonaviy matematika ko'pincha katta shaharga qiyoslanadi. Bu ajoyib taqqoslash, chunki matematikada, xuddi katta shaharda bo'lgani kabi, doimiy o'sish va takomillashtirish jarayoni mavjud. Matematikada yangi yo‘nalishlar paydo bo‘lmoqda, yangi mahallalar va binolar qurilishi kabi nafis va chuqur yangi nazariyalar qurilmoqda. Ammo matematikaning taraqqiyoti faqat yangi shahar qurilishi tufayli shahar qiyofasini o'zgartirish bilan cheklanmaydi. Biz eskisini o'zgartirishimiz kerak. Eski nazariyalar yangi, umumiyroq nazariyalarga kiritilgan; eski binolarning poydevorini mustahkamlash zarurati mavjud. Matematik shaharning olis kvartallari o'rtasida aloqa o'rnatish uchun yangi ko'chalar yotqizilishi kerak. Ammo bu etarli emas - me'moriy dizayn katta kuch talab qiladi, chunki matematikaning turli sohalarining xilma-xilligi nafaqat fanning umumiy taassurotini buzadi, balki butun fanni tushunishga xalaqit beradi, uning turli qismlari o'rtasida aloqalarni o'rnatadi.

Yana bir taqqoslash ko'pincha qo'llaniladi: matematika tizimli ravishda yangi kurtaklar beradigan katta shoxli daraxtga o'xshaydi. Daraxtning har bir novdasi matematikaning u yoki bu sohasidir. Filiallar soni o'zgarishsiz qolmaydi, chunki yangi novdalar o'sib boradi, birinchi navbatda alohida o'sadi, ba'zi filiallar quriydi, oziqlantiruvchi sharbatlardan mahrum bo'ladi. Ikkala taqqoslash ham muvaffaqiyatli va ishlarning haqiqiy holatini juda yaxshi ko'rsatadi.

Matematik nazariyalarni qurishda, shubhasiz, go'zallikka bo'lgan talab muhim rol o'ynaydi. O'z-o'zidan ma'lumki, go'zallikni idrok etish juda sub'ektivdir va ko'pincha bu haqda juda xunuk fikrlar mavjud. Va shunga qaramay, matematiklarning "go'zallik" tushunchasiga qo'ygan yakdilligiga hayron bo'lish kerak: agar kam sonli shartlardan ob'ektlarning keng doirasiga taalluqli umumiy xulosaga kelish mumkin bo'lsa, natija chiroyli hisoblanadi. Agar oddiy va qisqa mulohaza yuritish orqali undagi muhim matematik faktni isbotlash mumkin bo'lsa, matematik hosila chiroyli hisoblanadi. Matematikning etukligi, uning iste'dodi go'zallik hissi qanchalik rivojlanganligi bilan aniqlanadi. Estetik jihatdan to'liq va matematik jihatdan mukammal natijalarni tushunish, eslash va ishlatish osonroq; ularning boshqa bilim sohalari bilan aloqasini aniqlash osonroq.

Bizning davrimizda matematika ko'plab tadqiqot yo'nalishlari, juda ko'p natijalar va usullarga ega bo'lgan ilmiy fanga aylandi. Hozir matematika shu qadar buyukki, uni hamma qismlarida bir kishi qamrab olishi mumkin emas, unda universal mutaxassis bo'lish imkoni yo'q. Uning alohida yo‘nalishlari o‘rtasidagi aloqalarning yo‘qolishi, albatta, bu fanning jadal rivojlanishining salbiy oqibatidir. Biroq, matematikaning barcha bo'limlari rivojlanishining negizida umumiy narsa - rivojlanishning kelib chiqishi, matematika daraxtining ildizlari mavjud.

Evklid geometriyasi birinchi tabiatshunoslik nazariyasi sifatida

• Miloddan avvalgi 3-asrda Iskandariyada "Boshlanishlar" ning ruscha tarjimasida Evklidning shu nomdagi kitobi paydo bo'ldi. Lotincha "Boshlanishlar" nomidan "elementar geometriya" atamasi paydo bo'ldi. Evklidning oʻtmishdoshlarining asarlari bizgacha yetib kelmagan boʻlsa-da, Evklid elementlaridan bu yozuvlar haqida bir oz fikr bildirishimiz mumkin. "Boshlanishlar"da boshqa bo'limlar bilan mantiqan juda kam bog'langan bo'limlar mavjud. Ularning paydo bo'lishi faqat an'anaga ko'ra kiritilganligi va Evklidning o'tmishdoshlarining "Boshlanishlari" dan nusxa ko'chirilganligi bilan izohlanadi.

  Evklidning elementlari 13 kitobdan iborat. 1 - 6 kitoblar planimetriyaga bag'ishlangan, 7 - 10 kitoblar kompas va to'g'ri chiziq yordamida qurish mumkin bo'lgan arifmetik va o'lchovsiz kattaliklar haqida. 11 dan 13 gacha bo'lgan kitoblar stereometriyaga bag'ishlangan.

  "Boshlanishlar" 23 ta ta'rif va 10 ta aksioma taqdimoti bilan boshlanadi. Birinchi besh aksioma "umumiy tushunchalar", qolganlari "postulatlar" deb ataladi. Birinchi ikkita postulat harakatlarni ideal o'lchagich yordamida, uchinchisi - ideal kompas yordamida aniqlaydi. To'rtinchisi, "barcha to'g'ri burchaklar bir-biriga teng", ortiqcha, chunki uni qolgan aksiomalardan chiqarish mumkin. Oxirgi, beshinchi postulat shunday deyilgan: "Agar to'g'ri chiziq ikkita to'g'ri chiziqqa tushsa va ikkitadan kichik to'g'ri chiziq yig'indisida ichki bir tomonlama burchaklarni hosil qilsa, bu ikki to'g'ri chiziqning cheksiz davomi bilan ular kesishadi. burchaklari ikkita toʻgʻri chiziqdan kichik boʻlgan tomon”.

  Evklidning beshta "umumiy tushunchasi" uzunlik, burchak, maydon, hajmni o'lchash tamoyillari: "bir xillar bir-biriga teng", "tenglarga tenglar qo'shilsa, yig'indilar bir-biriga teng", "agar tenglardan tenglar ayirilsa, qoldiqlar o'zaro teng", "bir-biri bilan qo'shilish bir-biriga teng", "butun qismdan katta".

  Keyin Evklid geometriyasini tanqid qilish boshlandi. Evklid uchta sababga ko'ra tanqid qilindi: u faqat kompas va to'g'ri chiziq yordamida yasaladigan geometrik miqdorlarni hisobga olganligi uchun; geometriya va arifmetikani parchalash va geometrik kattaliklar uchun isbotlagan narsalarini butun sonlar uchun isbotlash va nihoyat, Evklid aksiomalari uchun. Beshinchi postulat, Evklidning eng qiyin postulati eng qattiq tanqid qilindi. Ko'pchilik buni ortiqcha deb hisobladi va uni boshqa aksiomalardan chiqarish mumkin va kerak. Boshqalar esa, uni oddiyroq va illyustrativ, unga ekvivalenti bilan almashtirish kerak, deb hisoblashgan: “Toʻgʻri chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali ularning tekisligida bu toʻgʻri chiziqni kesib oʻtmaydigan bittadan ortiq toʻgʻri chiziq oʻtkazib boʻlmaydi”.

  Geometriya va arifmetika o'rtasidagi bo'shliqni tanqid qilish son tushunchasining haqiqiy songacha kengayishiga olib keldi. Beshinchi postulat haqidagi bahslar 19-asr boshlarida N.I.Lobachevskiy, J.Bolyai va K.F.Gausslar beshinchi postulatdan tashqari Evklid geometriyasining barcha aksiomalari bajarilgan yangi geometriyani qurishlariga olib keldi. Uning o'rniga qarama-qarshi gap qo'yilgan: "tekislikda to'g'ridan-to'g'ri chiziqdan tashqaridagi nuqtadan o'tayotganda, berilgan chiziqni kesib o'tmaydigan bir nechta chiziq chizish mumkin". Bu geometriya Evklid geometriyasi kabi izchil edi.

  Evklid tekisligidagi Lobachevskiy planimetriya modeli 1882 yilda frantsuz matematigi Anri Puankare tomonidan qurilgan.

  Evklid tekisligiga gorizontal chiziq chizing. Bu chiziq absolyut (x) deyiladi. Evklid tekisligining absolyutdan yuqorida joylashgan nuqtalari Lobachevskiy tekisligining nuqtalari hisoblanadi. Lobachevskiy tekisligi mutlaqdan yuqorida joylashgan ochiq yarim tekislikdir. Puankare modelidagi evklid bo'lmagan segmentlar - bu mutlaq (AB, CD) ga perpendikulyar bo'lgan mutlaq yoki chiziqli segmentlarda markazlashtirilgan doiralar yoylari. Lobachevskiy tekisligidagi rasm mutlaq (F) dan yuqorida joylashgan ochiq yarim tekislik figurasidir. Evklid bo'lmagan harakat - o'qlari mutlaqga perpendikulyar bo'lgan mutlaq va eksenel simmetriyalarga markazlashtirilgan chekli sonli inversiyalarning tarkibi. Evklid bo'lmagan ikkita segment, agar ulardan biri boshqasiga Evklid bo'lmagan harakat orqali tarjima qilinsa, tengdir. Bular Lobachevskiy planimetriyasi aksiomatikasining asosiy tushunchalaridir.

  Lobachevskiy planimetriyasining barcha aksiomalari mos keladi. "Yevklid bo'lmagan chiziq - uchlari mutlaqda bo'lgan yarim doira yoki mutlaqda kelib chiqadigan va mutlaqga perpendikulyar nurlar." Shunday qilib, Lobachevskiyning parallellik aksiomasining tasdig'i faqat qandaydir a to'g'ri va bu to'g'rida yotmagan A nuqta uchun, balki har qanday a to'g'ri va unda yotmagan har qanday A nuqta uchun ham o'rinlidir.

  Lobachevskiy geometriyasi ortida boshqa izchil geometriyalar paydo boʻldi: evkliddan ajratilgan proyektiv geometriya, koʻp oʻlchovli evklid geometriyasi rivojlandi, Riman geometriyasi paydo boʻldi (uzunliklarni oʻlchashning ixtiyoriy qonuniga ega boʻlgan fazolarning umumiy nazariyasi) va hokazo. Uch oʻlchovli figuralar fanidan. Evklid fazosi, geometriya 40-50 yil davomida turli xil nazariyalar to'plamiga aylandi, faqat uning avlodi - Evklid geometriyasiga bir oz o'xshash.

  Zamonaviy matematika shakllanishining asosiy bosqichlari. Zamonaviy matematikaning tuzilishi

• Akademik A.N.Kolmogorov matematika rivojining to‘rtta davrini aniqlaydi Kolmogorov A.N. - Matematika, Matematik ensiklopedik lug'at, Moskva, Sovet Entsiklopediyasi, 1988 yil: matematikaning tug'ilishi, elementar matematika, o'zgaruvchilar matematikasi, zamonaviy matematika.

  Elementar matematikaning rivojlanishi davomida sonlar nazariyasi asta-sekin arifmetikadan chiqib ketadi. Algebra literal hisob sifatida yaratilgan. Qadimgi yunonlar tomonidan yaratilgan elementar geometriyani taqdim etish tizimi - Evklid geometriyasi - ikki ming yil oldin matematik nazariyaning deduktiv qurilishi modeliga aylandi.

  17-asrda tabiatshunoslik va texnikaning talablari harakatni, miqdorlarni oʻzgartirish jarayonlarini, geometrik figuralarni oʻzgartirishni matematik jihatdan oʻrganish imkonini beruvchi usullarning yaratilishiga olib keldi. Analitik geometriyada o'zgaruvchilardan foydalanish va differentsial va integral hisoblarni yaratish bilan o'zgaruvchilar matematikasi davri boshlanadi. 17-asrning buyuk kashfiyoti Nyuton va Leybnits tomonidan kiritilgan cheksiz kichik miqdor tushunchasi, cheksiz kichik miqdorlarni tahlil qilish (matematik tahlil) uchun asoslarning yaratilishidir.

  Funksiya tushunchasi oldinga chiqadi. Funktsiya asosiy o'rganish predmetiga aylanadi. Funktsiyani o'rganish matematik tahlilning asosiy tushunchalarini keltirib chiqaradi: limit, hosila, differentsial, integral.

  R.Dekartning koordinatalar usuli haqidagi yorqin g'oyasining paydo bo'lishi ham shu davrga tegishli. Analitik geometriya yaratildi, bu geometrik ob'ektlarni algebra va tahlil usullari bilan o'rganish imkonini beradi. Boshqa tomondan, koordinata usuli algebraik va analitik faktlarni geometrik talqin qilish imkoniyatini ochdi.

  Matematikaning keyingi rivojlanishi 19-asr boshlarida miqdoriy munosabatlarning mumkin bo'lgan turlari va fazoviy shakllarni juda umumiy nuqtai nazardan o'rganish muammosini shakllantirishga olib keldi.

  Matematika va tabiatshunoslik o‘rtasidagi bog‘liqlik tobora murakkablashib bormoqda. Yangi nazariyalar vujudga keladi va ular nafaqat tabiiy fan va texnika talablari natijasida, balki matematikaning ichki ehtiyoji natijasida ham vujudga keladi. Bunday nazariyaning ajoyib namunasi N.I.Lobachevskiyning xayoliy geometriyasidir. 19-20-asrlarda matematikaning rivojlanishi uni zamonaviy matematika davriga bogʻlash imkonini beradi. Matematikaning o‘zi rivojlanishi, fanning turli sohalarini matematiklashtirish, matematik usullarning amaliy faoliyatning ko‘plab sohalariga kirib borishi, kompyuter texnikasining rivojlanishi yangi matematik fanlarning paydo bo‘lishiga olib keldi, masalan, operatsiyalarni tadqiq qilish, o‘yin nazariyasi, matematik iqtisodiyot va boshqalar.

  Matematik tadqiqotning asosiy usullari matematik dalillar - qat'iy mantiqiy fikrlashdir. Matematik fikrlash faqat mantiqiy fikrlash bilan chegaralanmaydi. Matematik sezgi muammoni to'g'ri shakllantirish, uni hal qilish usulini tanlashni baholash uchun zarurdir.

  Matematikada ob'ektlarning matematik modellari o'rganiladi. Xuddi shu matematik model real hodisalarning bir-biridan uzoqda joylashgan xususiyatlarini tasvirlashi mumkin. Shunday qilib, xuddi shu differensial tenglama aholining ko'payishi va radioaktiv moddalarning parchalanishi jarayonlarini tavsiflashi mumkin. Matematik uchun ko'rib chiqilayotgan ob'ektlarning tabiati emas, balki ular o'rtasidagi mavjud munosabatlar muhim ahamiyatga ega.

  Matematikada fikrlashning ikki turi mavjud: deduksiya va induksiya.

  Induksiya - tadqiqot usuli bo'lib, unda ma'lum binolar asosida umumiy xulosa tuziladi.

  Deduksiya - bu fikrlash usuli bo'lib, uning yordamida umumiy asoslardan ma'lum bir xarakterdagi xulosa chiqariladi.

  Matematika tabiiy fanlar, muhandislik va gumanitar tadqiqotlarda muhim rol o'ynaydi. Matematikaning turli bilim sohalariga kirib borishining sababi shundaki, u boshqa fanlar taklif qilayotgan kamroq umumiy va noaniq modellardan farqli o'laroq, atrofdagi voqelikni o'rganish uchun juda aniq modellarni taklif etadi. Zamonaviy matematika, rivojlangan mantiqiy va hisoblash apparatisiz inson faoliyatining turli sohalarida taraqqiyotni amalga oshirish mumkin emas edi.

  Matematika nafaqat amaliy masalalarni yechishning kuchli quroli va universal fan tili, balki umumiy madaniyat elementi hamdir.

  Matematik tafakkurning asosiy xususiyatlari

• Bu masalada A.Ya.Xinchin tomonidan berilgan matematik tafakkurning o'ziga xos xususiyati, to'g'rirog'i, uning o'ziga xos tarixiy shakli - matematik tafakkur uslubi alohida qiziqish uyg'otadi. Matematik tafakkur uslubining mohiyatini ochib berar ekan, u barcha davrlarga xos bo'lgan to'rtta xususiyatni ajratib ko'rsatadiki, bu uslubni boshqa fanlardagi fikrlash uslublaridan sezilarli darajada ajratib turadi.

  Birinchidan, matematik fikrlashning mantiqiy sxemasining chegaraga olib kelgan hukmronligi bilan tavsiflanadi. Ushbu sxemani ko'zdan kechirgan matematik, hech bo'lmaganda vaqtinchalik, ilmiy fikrlash qobiliyatini butunlay yo'qotadi. Matematik fikrlash uslubining bu o'ziga xos xususiyati o'z-o'zidan katta ahamiyatga ega. Shubhasiz, bu maksimal darajada fikr oqimining to'g'riligini kuzatish imkonini beradi va xatolardan kafolat beradi; boshqa tomondan, u mutafakkirni tahlil qilish jarayonida mavjud imkoniyatlarning jamini ko'z o'ngida bo'lishga majbur qiladi va uni ularning har birini bittasini ham o'tkazib yubormasdan hisobga olishga majbur qiladi (bunday kamchiliklar juda mumkin va aslida tez-tez kuzatiladi). boshqa fikrlash uslublarida).

  Ikkinchidan, ixchamlik, ya'ni. har doim berilgan maqsadga olib boradigan eng qisqa mantiqiy yo'lni topishga ongli intilish, dalilning benuqson asosliligi uchun mutlaqo zarur bo'lgan hamma narsani shafqatsiz rad etish. Yaxshi uslubdagi matematik insho, hech qanday "suv" ga toqat qilmaydi, hech qanday zeb-ziynat, rantingning mantiqiy tarangligini zaiflashtiradi, chetga chalg'itadi; o'ta ziqnalik, fikrning qattiq qat'iyligi va uni taqdim etish matematik tafakkurning ajralmas xususiyatidir. Bu xususiyat nafaqat matematik, balki boshqa har qanday jiddiy fikrlash uchun ham katta ahamiyatga ega. Lakonizm, ortiqcha narsaga yo'l qo'ymaslik istagi mutafakkirga ham, uning o'quvchisi yoki tinglovchisiga ham ikkinchi darajali g'oyalar bilan chalg'imasdan va fikrlashning asosiy yo'nalishi bilan to'g'ridan-to'g'ri aloqani yo'qotmasdan ma'lum bir fikr poezdiga to'liq e'tiborni jamlashga yordam beradi.

  Ilm-fan nuroniylari, qoida tariqasida, bilimning barcha sohalarida, hattoki o‘z tafakkuri prinsipial yangi g‘oyalarni yaratgan va bayon qilganda ham o‘z fikrlarini lo‘nda qilib, lo‘nda ifodalaydi. Masalan, fizikaning eng buyuk ijodkorlari: Nyuton, Eynshteyn, Nils Borning fikrlash va nutqidagi olijanob ziqnalik naqadar ulug'vor taassurot! Balki uni yaratuvchilarning fikrlash uslubi ilm-fan rivojiga qanday chuqur ta'sir ko'rsatishi haqida yorqinroq misol topish qiyin.

  Matematika uchun fikrning ixchamligi asrlar davomida kanonizatsiya qilingan shubhasiz qonundir. Taqdimotni majburiy bo'lmagan (tinglovchilar uchun yoqimli va jozibali bo'lsa ham) rasmlar, chalg'ituvchi narsalar, notiqlik bilan yuklashga har qanday urinish oldindan qonuniy shubha ostiga olinadi va avtomatik ravishda tanqidiy hushyorlikni keltirib chiqaradi.

  Uchinchidan, fikr yuritish jarayonini aniq ajratish. Agar, masalan, taklifni isbotlayotganda, biz to'rtta mumkin bo'lgan holatni ko'rib chiqishimiz kerak bo'lsa, ularning har biri u yoki bu kichik kichik harflarga bo'linishi mumkin bo'lsa, u holda har bir fikrlash momentida matematik qaysi holatda va kichik harfda ekanligini aniq eslab qolishi kerak. Endi fikr orttirilmoqda va u hali ham qaysi holatlar va kichik ishlarni ko'rib chiqishi kerak. Matematik har qanday tarmoqlangan sanab o'tilganda, har lahzada uning tarkibiy turlari tushunchalarini sanab o'tadigan umumiy tushunchadan xabardor bo'lishi kerak. Oddiy, ilmiy bo'lmagan fikrlashda biz bunday holatlarda chalkashlik va sakrashlarni juda tez-tez kuzatamiz, bu esa chalkashlik va fikrlashda xatolarga olib keladi. Ko'pincha shunday bo'ladiki, odam bir turning turlarini sanashni boshlaydi, so'ngra tinglovchilarga (va ko'pincha o'ziga) sezilmas tarzda, fikrlashning etarli darajada mantiqiy aniqlanmaganligidan foydalanib, boshqa turga o'tib ketadi va ikkala avlod ham shunday degan bayonot bilan tugaydi. endi tasniflanadi; va tinglovchilar yoki o'quvchilar birinchi va ikkinchi turdagi turlar orasidagi chegara qayerda joylashganligini bilishmaydi.

  Bunday chalkashliklar va sakrashlarni imkonsiz qilish uchun matematiklar uzoq vaqtdan beri tushunchalar va mulohazalarni raqamlashning oddiy tashqi usullaridan keng foydalanishgan, ba'zida (lekin kamroq) boshqa fanlarda qo'llaniladi. Ushbu mulohazada ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan mumkin bo'lgan holatlar yoki umumiy tushunchalar oldindan sanab o'tilgan; Har bir bunday holatda, u o'z ichiga olgan deb hisoblanishi kerak bo'lgan kichik harflar ham qayta raqamlanadi (ba'zan, farqlash uchun, boshqa raqamlash tizimidan foydalangan holda). Har bir xatboshidan oldin, yangi kichik kichik harfni ko'rib chiqish boshlanadigan joyda, ushbu kichik kichik harf uchun qabul qilingan belgi qo'yiladi (masalan: II 3 - bu ikkinchi ishning uchinchi kichik kichik qismini ko'rib chiqish shu erda boshlanadi yoki uchinchi qismning tavsifi degan ma'noni anglatadi. ikkinchi turdagi turi, agar biz tasniflash haqida gapiradigan bo'lsak). Va o'quvchi biladiki, u yangi raqamli rubrikaga duch kelmaguncha, taqdim etilgan hamma narsa faqat ushbu holat va kichik harf uchun amal qiladi. O'z-o'zidan ma'lumki, bunday raqamlash faqat tashqi qurilma, juda foydali, lekin hech qanday holatda majburiy emas va masalaning mohiyati unda emas, balki u rag'batlantiradigan va belgilaydigan argumentatsiya yoki tasnifning aniq bo'linishidadir. o'z-o'zidan.

  To'rtinchidan, belgilar, formulalar, tenglamalarning aniq aniqligi. Ya'ni, "har bir matematik belgi qat'iy belgilangan ma'noga ega: uni boshqa belgi bilan almashtirish yoki uni boshqa joyga o'zgartirish, qoida tariqasida, bu bayonotning ma'nosini buzishga va ba'zan butunlay yo'q qilishga olib keladi."

  A.Ya.Xinchin tafakkurning matematik uslubining asosiy belgilarini ajratib ko‘rsatib, matematika (ayniqsa, o‘zgaruvchilar matematikasi) o‘z tabiatiga ko‘ra dialektik xususiyatga ega ekanligini, shuning uchun ham dialektik tafakkurning rivojlanishiga hissa qo‘shishini qayd etadi. Darhaqiqat, matematik fikrlash jarayonida vizual (konkret) va kontseptual (mavhum) o'rtasida o'zaro ta'sir mavjud. "Biz chiziqlar haqida o'ylay olmaymiz, - deb yozgan edi Kant, - uni aqliy chizmasdan, biz bir nuqtadan bir-biriga perpendikulyar uchta chiziq chizmasdan turib, o'zimiz uchun uch o'lchov haqida o'ylay olmaymiz".

  Aniq va mavhum matematik fikrlashning o'zaro ta'siri yangi va yangi tushunchalar va falsafiy kategoriyalarni ishlab chiqishga olib keldi. Qadimgi matematikada (konstantalar matematikasi) bular dastlab arifmetik va Evklid geometriyasida, keyinchalik algebra va turli geometrik tizimlarda aks etgan “son” va “fazo” edi. O'zgaruvchilar matematikasi materiyaning harakatini aks ettiruvchi tushunchalarga "asoslangan" - "cheklangan", "cheksiz", "uzluksizlik", "diskret", "cheksiz kichik", "hosil" va boshqalar.

  Agar matematik bilimlar rivojlanishining hozirgi tarixiy bosqichi haqida gapiradigan bo'lsak, u falsafiy kategoriyalarning keyingi rivojlanishiga mos keladi: ehtimollik nazariyasi mumkin va tasodifiy toifalarni "o'zlashtiradi"; topologiya - munosabat va uzluksizlik kategoriyalari; falokat nazariyasi - sakrash kategoriyasi; guruh nazariyasi - simmetriya va garmoniya kategoriyalari va boshqalar.

  Matematik tafakkurda shakl jihatdan o'xshash mantiqiy bog'lanishlarni qurishning asosiy qonuniyatlari ifodalanadi. Uning yordami bilan birlikdan (aytaylik, ma'lum matematik usullardan - aksiomatik, algoritmik, konstruktiv, to'plam-nazariy va boshqalar) maxsus va umumiy, umumlashtirilgan deduktiv tuzilmalarga o'tish amalga oshiriladi. Metodlar va matematika predmetining birligi matematik tafakkurning o‘ziga xos xususiyatlarini belgilaydi, nafaqat voqelikni aks ettiruvchi, balki ilmiy bilimlarni sintezlovchi, umumlashtiruvchi va bashorat qiluvchi maxsus matematik til haqida gapirishga imkon beradi. Matematik tafakkurning qudrati va go‘zalligi uning mantiqiyligining nihoyatda ravshanligida, konstruksiyalarning nafisligida va abstraksiyalarni mohirona qurishdadir.

  Kompyuterning ixtiro qilinishi, mashina matematikasining yaratilishi bilan aqliy faoliyatning tubdan yangi imkoniyatlari ochildi. Matematika tilida sezilarli o'zgarishlar ro'y berdi. Agar klassik hisoblash matematikasi tili tabiatning uzluksiz jarayonlarini tavsiflashga qaratilgan algebra, geometriya va analiz formulalaridan iborat bo‘lsa, birinchi navbatda mexanika, astronomiya, fizika fanlarida o‘rganilgan bo‘lsa, uning zamonaviy tili algoritmlar va dasturlar tilidir, shu jumladan. muayyan holat sifatida formulalarning eski tili.

  Zamonaviy hisoblash matematikasining tili murakkab (ko'p parametrli) tizimlarni tavsiflashga qodir bo'lgan universal bo'lib bormoqda. Shu bilan birga, shuni ta'kidlashni istardimki, elektron hisoblash texnologiyasi yordamida takomillashtirilgan matematik til qanchalik mukammal bo'lmasin, u xilma-xil "jonli", tabiiy til bilan aloqani buzmaydi. Qolaversa, so‘zlashuv tili sun’iy tilning asosidir. Shu nuqtai nazardan, olimlarning so'nggi kashfiyoti qiziqish uyg'otadi. Gap shundaki, Boliviya va Peruda 2,5 millionga yaqin aholi so‘zlashadigan aymara hindularining qadimiy tili kompyuter texnologiyalari uchun nihoyatda qulay bo‘lib chiqdi. 1610-yildayoq birinchi Aymara lug‘atini tuzgan italyan iyezuit missioneri Lyudoviko Bertoni uni yaratuvchilarning yuksak mantiqiy poklikka erishgan daholigini qayd etgan edi. Aymarada, masalan, tartibsiz fe'llar va bir nechta aniq grammatik qoidalardan istisnolar yo'q. Aymara tilining bu xususiyatlari boliviyalik matematik Ivan Guzman de Rojasga dasturga kiritilgan beshta Yevropa tillaridan istalgan biridan simultane kompyuter tarjimasi tizimini yaratishga imkon berdi, ular orasidagi "ko'prik" Aymara tilidir. Boliviyalik olim tomonidan yaratilgan Aymara kompyuteri mutaxassislar tomonidan yuqori baholandi. Matematik tafakkur uslubining mohiyati haqidagi savolning ushbu qismini umumlashtirib, shuni ta'kidlash kerakki, uning asosiy mazmuni tabiatni tushunishdir.

  Aksiomatik usul

• Aksiomatika antik davrdan hozirgi kungacha nazariyani yaratishning asosiy usuli bo'lib, uning universalligi va barcha qo'llanilishini tasdiqlaydi.

  Matematik nazariyani qurish aksiomatik usulga asoslanadi. Ilmiy nazariya aksiomalar deb ataladigan ba'zi bir boshlang'ich qoidalarga asoslanadi va nazariyaning boshqa barcha qoidalari aksiomalarning mantiqiy natijalari sifatida olinadi.

  Aksiomatik usul Qadimgi Yunonistonda paydo bo'lgan va hozirda deyarli barcha nazariy fanlarda va birinchi navbatda matematikada qo'llaniladi.

  Ma'lum ma'noda uchta to'ldiruvchi geometriyani: Evklid (parabolik), Lobachevskiy (giperbolik) va Riman (elliptik) geometriyalarini solishtirsak, shuni ta'kidlash kerakki, ba'zi o'xshashliklar bilan bir qatorda, sferik geometriya o'rtasida bitta katta farq bor. qo'l, va Evklid va Lobachevskiyning geometriyalari - ikkinchisida.

  Zamonaviy geometriyaning asosiy farqi shundaki, u endi cheksiz ko'p turli xil xayoliy bo'shliqlarning "geometriyalari" ni o'z ichiga oladi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, bu geometriyalarning barchasi Evklid geometriyasining talqini bo'lib, Evklid tomonidan birinchi marta qo'llanilgan aksiomatik usulga asoslangan.

  Tadqiqotlar asosida aksiomatik usul ishlab chiqilgan va keng qo'llanilgan. Ushbu usulni qo'llashning alohida holati sifatida stereometriyadagi izlar usuli ko'p yuzli kesmalarni qurish va boshqa ba'zi pozitsion masalalarni hal qilishga imkon beradi.

  Dastlab geometriyada ishlab chiqilgan aksiomatik usul hozirda matematika, fizika va mexanikaning boshqa sohalarida muhim o‘rganish quroliga aylandi. Hozirgi vaqtda nazariyani qurishning aksiomatik usulini takomillashtirish va chuqurroq o'rganish bo'yicha ishlar olib borilmoqda.

  Ilmiy nazariyani qurishning aksiomatik usuli asosiy tushunchalarni ajratib ko'rsatishdan, nazariyalar aksiomalarini shakllantirishdan iborat bo'lib, boshqa barcha mulohazalar ularga tayangan holda mantiqiy yo'l bilan olinadi. Ma'lumki, bir tushunchani boshqalar yordamida tushuntirish kerak, bu esa, o'z navbatida, ayrim taniqli tushunchalar yordamida ham ta'riflanadi. Shunday qilib, biz boshqalar nuqtai nazaridan aniqlab bo'lmaydigan elementar tushunchalarga erishamiz. Bu tushunchalar asosiy deb ataladi.

  Biz bayonotni, teoremani isbotlaganimizda, biz allaqachon isbotlangan deb hisoblangan binolarga tayanamiz. Ammo bu binolar ham isbotlangan, ular asoslanishi kerak edi. Oxir-oqibat, biz isbotlab bo'lmaydigan gaplarga kelamiz va ularni isbotsiz qabul qilamiz. Bu gaplar aksiomalar deyiladi. Aksiomalar to'plami shunday bo'lishi kerakki, unga tayanib, keyingi bayonotlarni isbotlash mumkin.

  Asosiy tushunchalarni ajratib, aksiomalarni shakllantirgandan so'ng, biz mantiqiy ravishda teorema va boshqa tushunchalarni olamiz. Bu geometriyaning mantiqiy tuzilishi. Aksiomalar va asosiy tushunchalar planimetriyaning asoslarini tashkil qiladi.

  Barcha geometriyalar uchun asosiy tushunchalarning yagona ta'rifini berish mumkin emasligi sababli, geometriyaning asosiy tushunchalari ushbu geometriyaning aksiomalarini qanoatlantiradigan har qanday tabiatdagi ob'ektlar sifatida belgilanishi kerak. Shunday qilib, geometrik tizimni aksiomatik qurishda biz aksiomalarning ma'lum bir tizimidan yoki aksiomatikadan boshlaymiz. Bu aksiomalar geometrik sistemaning asosiy tushunchalarining xossalarini tavsiflaydi va biz asosiy tushunchalarni aksiomalarda ko'rsatilgan xususiyatlarga ega bo'lgan har qanday tabiatdagi ob'ektlar shaklida ifodalashimiz mumkin.

  Birinchi geometrik mulohazalarni shakllantirish va isbotlagandan so'ng, ba'zi bir bayonotlarni (teoremalarni) boshqalar yordamida isbotlash mumkin bo'ladi. Ko'pgina teoremalarning isbotlari Pifagor va Demokritga tegishli.

  Xioslik Gippokrat ta'riflar va aksiomalarga asoslangan geometriyaning birinchi tizimli kursini tuzgan. Ushbu kurs va uning keyingi qayta ishlashlari "Elementlar" deb nomlangan.

  Ilmiy nazariyani qurishning aksiomatik usuli

• Fanni qurishning deduktiv yoki aksiomatik usulini yaratish matematik tafakkurning eng katta yutuqlaridan biridir. Bu ko'plab olimlar avlodlarining mehnatini talab qildi.

  Taqdimotning deduktiv tizimining ajoyib xususiyati bu qurilishning soddaligi bo'lib, uni bir necha so'z bilan ta'riflashga imkon beradi.

  Taqdimotning deduktiv tizimi quyidagilarga qisqartiriladi:

  1) asosiy tushunchalar ro'yxatiga,

  2) ta'riflarni taqdim etish uchun;

  3) aksiomalarni taqdim etish;

  4) teoremalarni taqdim etish;

  5) bu teoremalarning isbotiga.

  Aksioma isbotsiz qabul qilingan bayonotdir.

  Teorema - bu aksiomalardan kelib chiqadigan bayonot.

  Isbot deduktiv tizimning ajralmas qismi boʻlib, bu fikrning haqiqati oldingi teorema yoki aksiomalarning haqiqatidan mantiqiy kelib chiqishini koʻrsatadigan fikrlashdir.

  Deduktiv tizim doirasida ikkita savolni hal qilib bo'lmaydi: 1) asosiy tushunchalarning ma'nosi haqida, 2) aksiomalarning haqiqati. Ammo bu bu savollar umuman hal qilib bo'lmaydi degani emas.

  Tabiatshunoslik tarixi shuni ko'rsatadiki, ma'lum bir fanni aksiomatik qurish imkoniyati faqat ushbu fan rivojlanishining juda yuqori darajasida, katta miqdordagi faktik materiallar asosida paydo bo'ladi, bu esa asosiy fanni aniq aniqlash imkonini beradi. ushbu fan tomonidan o'rganilayotgan ob'ektlar o'rtasida mavjud bo'lgan aloqalar va munosabatlar.

  Matematika fanining aksiomatik qurilishiga misol sifatida elementar geometriyani keltirish mumkin. Geometriya aksiomalari tizimini Evklid (miloddan avvalgi 300-yillar) "Boshlanishlar" asarida o'z ahamiyatiga ko'ra beqiyos tushuntirib bergan. Bu tizim asosan bugungi kungacha saqlanib qolgan.

  Tayanch tushunchalar: nuqta, chiziq, tekislik asosiy tasvirlar; o‘rtasida yotish, tegishli bo‘lish, ko‘chirish.

  Elementar geometriya 13 ta aksiomadan iborat bo'lib, ular beshta guruhga bo'lingan. Beshinchi guruhda parallellar haqida bitta aksioma (Evklidning V postulati) mavjud: tekislikdagi nuqta orqali bu toʻgʻri chiziqni kesib oʻtmaydigan faqat bitta toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin. Bu dalilga bo'lgan ehtiyojni keltirib chiqaradigan yagona aksiomadir. Beshinchi postulatni isbotlashga urinishlar matematiklarni 2 ming yildan ko'proq vaqt davomida, 19-asrning birinchi yarmigacha, ya'ni. Nikolay Ivanovich Lobachevskiy o'z asarlarida bu urinishlarning to'liq umidsizligini isbotlagan paytgacha. Hozirgi vaqtda beshinchi postulatning isbotlanmaganligi qat'iy isbotlangan matematik faktdir.

  Parallel N.I. haqidagi aksioma. Lobachevskiy aksiomani almashtirdi: Berilgan tekislikda to'g'ri chiziq va to'g'ri chiziqdan tashqarida yotgan nuqta berilgan bo'lsin. Bu nuqta orqali berilgan chiziqqa kamida ikkita parallel chiziq o'tkazish mumkin.

  Yangi aksiomalar tizimidan N.I. Lobachevskiy benuqson mantiqiy qat'iylik bilan Evklid bo'lmagan geometriyaning mazmunini tashkil etuvchi teoremalarning izchil tizimini chiqardi. Evklid va Lobachevskiyning ikkala geometriyasi ham mantiqiy tizimlar kabi tengdir.

  19-asrda uchta buyuk matematik deyarli bir vaqtning o'zida, bir-biridan mustaqil ravishda, beshinchi postulatning isbotlanmaganligi va Evklid bo'lmagan geometriyani yaratishning bir xil natijalariga kelishdi.

  Nikolay Ivanovich Lobachevskiy (1792-1856)

  Karl Fridrix Gauss (1777-1855)

  Yanos Bolyai (1802-1860)

  Matematik isbot

• Matematik tadqiqotning asosiy usuli - bu matematik isbotlash - qat'iy mantiqiy fikrlash. Ob'ektiv zarurat tufayli, Rossiya Fanlar akademiyasining muxbir a'zosi L.D.Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Zamonaviy matematika va uni o'rgatish, Moskva, Nauka, 1985 yil, mantiqiy fikrlash (bu o'z tabiatiga ko'ra, agar to'g'ri bo'lsa, u ham qat'iydir) matematikaning usulidir, matematikani ularsiz tasavvur qilib bo'lmaydi. Shuni ta'kidlash kerakki, matematik fikrlash faqat mantiqiy fikrlash bilan cheklanmaydi. Muammoni to'g'ri shakllantirish, uning ma'lumotlarini baholash, ulardan muhimlarini tanlash va uni hal qilish usulini tanlash uchun matematik sezgi ham zarur, bu esa kerakli natijani oldindan ko'rishga imkon beradi. asosli mulohazalar yordamida tadqiqot yo‘lini belgilab olish uchun olinadi. Ammo ko'rib chiqilayotgan faktning to'g'riligi uni bir qancha misollar bo'yicha tekshirish, bir qator tajribalar o'tkazish bilan emas (bu o'z-o'zidan matematik tadqiqotlarda katta rol o'ynaydi), balki sof mantiqiy yo'l bilan isbotlanadi. formal mantiq qonunlari.

  Matematik dalil yakuniy haqiqatdir, deb ishoniladi. Sof mantiqqa asoslangan qaror noto'g'ri bo'lishi mumkin emas. Ammo ilm-fan rivojlanishi bilan matematiklar oldiga qo'yiladigan vazifalar tobora murakkablashib bormoqda.

  “Biz matematik apparat shu qadar murakkab va mashaqqatli bo‘lib qolgan davrga kirdikki, bir qarashda duch kelgan muammoning to‘g‘ri yoki noto‘g‘riligini aytishning iloji yo‘q”, deb hisoblaydi Stenford universiteti (Kaliforniya, AQSh) Keyt Devlin. U misol tariqasida 1980 yilda shakllantirilgan "oddiy chekli guruhlar tasnifini" keltiradi, ammo to'liq aniq isbot hali berilmagan. Ehtimol, teorema to'g'ri, ammo bu haqda aniq aytish mumkin emas.

  Kompyuter yechimini ham aniq deb atash mumkin emas, chunki bunday hisob-kitoblar har doim xatolikka ega. 1998 yilda Xeyls 1611 yilda tuzilgan Kepler teoremasining kompyuter yordamida yechimini taklif qildi. Bu teorema kosmosdagi to'plarning eng zich joylashishini tavsiflaydi. Dalil 300 sahifada taqdim etilgan va 40 000 qator mashina kodini o'z ichiga olgan. 12 ta sharhlovchi bir yil davomida yechimni tekshirdi, ammo ular hech qachon dalilning to'g'riligiga 100% ishonchga erisha olmadilar va tadqiqot qayta ko'rib chiqish uchun yuborildi. Natijada, u faqat to'rt yildan keyin va sharhlovchilarning to'liq sertifikatisiz nashr etildi.

  Amaliy masalalar bo'yicha barcha so'nggi hisob-kitoblar kompyuterda amalga oshiriladi, ammo olimlar ishonchliligi yuqori bo'lishi uchun matematik hisoblar xatosiz taqdim etilishi kerak deb hisoblashadi.

  Dalillash nazariyasi mantiqda ishlab chiqilgan bo'lib, uchta tarkibiy komponentni o'z ichiga oladi: tezis (isbotlanishi kerak bo'lgan narsa), dalillar (tegishli fanning faktlar to'plami, umumiy qabul qilingan tushunchalar, qonunlar va boshqalar) va ko'rsatish (tasdiqlash tartibi). dalillarni joylashtirish; n-chi xulosa n+1-chi xulosaning asoslaridan biriga aylanganda izchil xulosalar zanjiri). Isbotlash qoidalari ajratilgan, mumkin bo'lgan mantiqiy xatolar ko'rsatilgan.

  Matematik isbot rasmiy mantiq tomonidan o'rnatilgan tamoyillar bilan juda ko'p umumiylikka ega. Bundan tashqari, mantiqda isbotlash protsedurasini ishlab chiqishda asoslardan biri bo'lgan mantiqiy fikrlash va operatsiyalarning matematik qoidalari. Jumladan, formal mantiqning shakllanish tarixini o`rganuvchilarning fikricha, o`z vaqtida Arastu mantiq qonunlari va qoidalarini yaratish yo`lida ilk qadamlarni qo`yganida u matematikaga, yuridik faoliyat amaliyotiga murojaat qilgan. Ushbu manbalarda u o'ylab topilgan nazariyaning mantiqiy konstruktsiyalari uchun material topdi.

  20-asrda isbot tushunchasi oʻzining qatʼiy maʼnosini yoʻqotdi, bu toʻplamlar nazariyasida yashiringan mantiqiy paradokslarning ochilishi va ayniqsa, K.Gödelning rasmiylashtirishning toʻliq emasligi haqidagi teoremalari keltirgan natijalar bilan bogʻliq holda sodir boʻldi.

  Bu, birinchi navbatda, matematikaning o'ziga ta'sir qildi, shuning uchun "isbot" atamasi aniq ta'rifga ega emas deb hisoblangan. Ammo bunday fikr (bugungi kunda ham mavjud) matematikaning o'ziga ta'sir etsa, ular isbotni mantiqiy-matematik emas, balki psixologik ma'noda qabul qilish kerak degan xulosaga kelishadi. Bundan tashqari, shunga o'xshash nuqtai nazar Aristotelning o'zida ham mavjud bo'lib, u isbotlash bizni shunchalik ishontiradigan fikr yuritishni anglatadiki, undan foydalanib, biz boshqalarni biror narsaning to'g'riligiga ishontiramiz. Biz A.E.Yesenin-Volpinda psixologik yondashuvning ma'lum bir soyasini topamiz. U haqiqatni dalilsiz qabul qilishga keskin qarshi chiqib, uni iymon amali bilan bog‘laydi va yana shunday yozadi: “Men hukmni isbotlashni bu hukmni inkor etib bo‘lmaydigan holga keltiradigan halol usul deb atayman”. Yesenin-Volpinning xabar berishicha, uning ta'rifi hali ham aniqlanishi kerak. Shu bilan birga, dalillarni "halol usul" sifatida tavsiflashning o'zi axloqiy-psixologik baholashga murojaat qilmaydimi?

  Shu bilan birga, to'plam nazariy paradokslarining ochilishi va Godel teoremalarining paydo bo'lishi intuitivistlar, ayniqsa konstruktivistik yo'nalish va D. Gilbert tomonidan amalga oshirilgan matematik isbotlash nazariyasining rivojlanishiga yordam berdi.

  Ba'zan matematik isbot universaldir va ilmiy isbotning ideal versiyasini ifodalaydi, deb ishoniladi. Biroq, bu yagona usul emas; dalillarga asoslangan protseduralar va operatsiyalarning boshqa usullari mavjud. Matematik isbotning tabiatshunoslikda amalga oshirilgan rasmiy mantiqiy dalil bilan umumiy jihatlari ko‘pligi va matematik isbotning ma’lum o‘ziga xosliklari, shuningdek, texnika-operatsiyalar majmuasi borligi haqiqatdir. Bu erda biz uni boshqa dalillar shakllari bilan bog'laydigan umumiy narsani qoldirib, ya'ni algoritmni, qoidalarni, xatolarni va hokazolarni barcha bosqichlarda (hatto asosiylari) kengaytirmasdan to'xtatamiz. isbotlash jarayoni.

  Matematik isbot - bu fikrning haqiqatini (albatta, matematikada, ya'ni xulosa chiqarish, ma'noda) asoslash vazifasini o'z ichiga olgan mulohaza.

  Isbotlashda foydalaniladigan qoidalar majmui matematika nazariyasining aksiomatik konstruktsiyalarining paydo bo'lishi bilan birga shakllangan. Bu Evklid geometriyasida eng aniq va to'liq amalga oshirildi. Uning "Prinsiplari" matematik bilimlarni aksiomatik tashkil etishning o'ziga xos namunaviy standartiga aylandi va uzoq vaqt davomida matematiklar uchun shunday bo'lib qoldi.

  Muayyan ketma-ketlik shaklida taqdim etilgan bayonotlar mantiqiy ishlash qoidalariga rioya qilgan holda isbotlangan deb hisoblangan xulosani kafolatlashi kerak. Shuni ta'kidlash kerakki, ma'lum bir fikrlash faqat qandaydir aksiomatik tizimga nisbatan dalildir.

  Matematik isbotni tavsiflashda ikkita asosiy xususiyat ajralib turadi. Birinchidan, matematik dalil empirik dalillarga havolani istisno qiladi. Xulosa haqiqatini asoslashning butun tartibi qabul qilingan aksiomatika doirasida amalga oshiriladi. Bu borada akademik A.D. Aleksandrov alohida ta’kidlaydi. Siz uchburchakning burchaklarini minglab marta o'lchashingiz va ularning 2d ga teng ekanligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin. Ammo matematika hech narsani isbotlamaydi. Yuqoridagi gapni aksiomalardan xulosa qilsangiz, unga buni isbotlaysiz. Keling, takrorlaymiz. Bu erda matematika sxolastika usullariga yaqin bo'lib, u ham eksperimental ravishda berilgan faktlar bilan argumentatsiyani tubdan rad etadi.

  Masalan, segmentlarning nomutanosibligi aniqlanganda, bu teoremani isbotlashda fizik eksperimentga murojaat chiqarib tashlandi, chunki, birinchidan, "nomutanosiblik" tushunchasining o'zi jismoniy ma'noga ega emas, ikkinchidan, matematiklar buni qila olmadilar. abstraksiya bilan shug'ullanganda, sensorli-vizual qurilma bilan o'lchanadigan moddiy-beton kengaytmalarni yordamga keltirish. Kvadratning yon tomoni va diagonalining nomutanosibligi gipotenuzaning kvadrati (mos ravishda diagonali) kvadratlari yig'indisiga tengligi haqidagi Pifagor teoremasidan foydalangan holda butun sonlar xossasi asosida isbotlangan. oyoqlar (to'g'ri burchakli uchburchakning ikki tomoni). Yoki Lobachevskiy astronomik kuzatishlar natijalariga tayanib, geometriyasini tasdiqlashni izlayotganida, bu tasdiqlash u tomonidan sof spekulyativ tabiat orqali amalga oshirilgan. Kayli-Klayn va Beltramining Evklid bo'lmagan geometriyasini talqin qilishlari ham jismoniy ob'ektlardan ko'ra odatda matematik xususiyatga ega edi.

  Matematik isbotning ikkinchi xususiyati uning eng yuqori mavhumligi bo‘lib, u boshqa fanlardagi isbotlash protseduralaridan farq qiladi. Va yana, matematik ob'ekt kontseptsiyasida bo'lgani kabi, bu nafaqat mavhumlik darajasi, balki uning tabiati haqida. Gap shundaki, isbot boshqa bir qator fanlarda, masalan, fizikada, kosmologiyada va, albatta, falsafada yuqori mavhumlik darajasiga etadi, chunki borliq va tafakkurning yakuniy muammolari ikkinchisining predmetiga aylanadi. Boshqa tomondan, matematika bu erda o'zgaruvchilarning ishlashi bilan ajralib turadi, ularning ma'nosi har qanday o'ziga xos xususiyatlardan mavhumlikda bo'ladi. Eslatib o'tamiz, ta'rifga ko'ra, o'zgaruvchilar o'zlarida hech qanday ma'noga ega bo'lmagan va ikkinchisiga faqat ma'lum ob'ektlarning nomlari almashtirilganda (alohida o'zgaruvchilar) yoki o'ziga xos xususiyatlar va munosabatlar ko'rsatilganda (predikativ o'zgaruvchilar) yoki, nihoyat, ega bo'lgan belgilar. , o'zgaruvchini ma'noli bayonot bilan almashtirish holatlarida (taklif o'zgaruvchisi).

  Qayd etilgan xususiyat matematik isbotlashda qo'llaniladigan belgilarning, shuningdek, o'zgaruvchilarning tuzilishiga kiritilishi tufayli bayonotlarga aylanadigan bayonotlarning o'ta mavhumligining xarakterini belgilaydi.

  Mantiqda ko'rsatish sifatida belgilangan isbotlash protsedurasining o'zi xulosa chiqarish qoidalari asosida davom etadi, buning asosida bir isbotlangan bayonotdan ikkinchisiga o'tish amalga oshiriladi va izchil xulosalar zanjirini tashkil qiladi. Eng keng tarqalganlari ikkita qoida (almashtirish va xulosalar chiqarish) va deduksiya teoremasi.

  almashtirish qoidasi. Matematikada almashtirish ma’lum to‘plamning har bir a elementini xuddi shu to‘plamdagi boshqa F(a) element bilan almashtirish deb ta’riflanadi. Matematik mantiqda almashtirish qoidasi quyidagicha tuzilgan. Agar takliflar hisobidagi haqiqiy M formulasi A harfini o'z ichiga olsa, deylik, uni ixtiyoriy D harfi bilan almashtirib, biz asl formula sifatida ham to'g'ri bo'lgan formulani olamiz. Bu mumkin va joizdir, chunki takliflarni hisoblashda takliflar (formulalar) ma'nosidan abstraktatsiya qilinadi ... Faqat "to'g'ri" yoki "noto'g'ri" qiymatlari hisobga olinadi. Masalan, M: A--> (BUA) formulasida A o rniga (AUB) ifodani qo yamiz, natijada yangi (AUB) -->[(BU(AUB) ] formulasini olamiz.

  Xulosa chiqarish qoidasi formal mantiqda shartli kategorik sillogizm moduli ponens (tasdiqlash tartibi) tuzilishiga mos keladi. Bu shunday ko'rinadi:

  a .

  Taklif berilgan (a-> b) va a ham berilgan. Undan keyin b.

  Masalan: Yomg‘ir yog‘ayotgan bo‘lsa, yulka ho‘l, yomg‘ir yog‘yapti (a), demak, yo‘lak ho‘l (b). Matematik mantiqda bu sillogizm quyidagicha yoziladi (a-> b) a-> b.

  Xulosa, qoida tariqasida, implikatsiya uchun ajratish yo'li bilan aniqlanadi. Agar implikatsiya (a-> b) va uning oldingi (a) i berilgan bo'lsa, biz fikrlash (isbot) ga ushbu implikatsiyaning (b) natijasini ham qo'shishga haqlimiz. Sillogizm majburiy bo'lib, deduktiv isbotlash vositalarining arsenalini tashkil etadi, ya'ni matematik fikrlash talablariga mutlaqo javob beradi.

  Matematik isbotlashda muhim rolni deduksiya teoremasi o'ynaydi - bir qator teoremalarning umumiy nomi, ularning amal qilish tartibi implikatsiyaning isbotlanishini aniqlashga imkon beradi: A-> B, mantiqiy hosila bo'lganda. A formuladan B formulasi. Takliflar hisobining eng keng tarqalgan variantida (klassik, intuitiv va boshqa matematika turlarida) deduksiya teoremasi quyidagilarni bildiradi. Agar qoidalarga ko'ra, B G, A B (- hosilalanish belgisi) xulosa chiqarish mumkin bo'lgan G binolar tizimi va A asos berilgan bo'lsa, u holda faqat G ning binolaridan A jumlasini olish mumkin bo'ladi. -> B.

  Biz to'g'ridan-to'g'ri dalil bo'lgan turni ko'rib chiqdik. Shu bilan birga, mantiqda bilvosita deb ataladigan dalillar ham qo'llaniladi, to'g'ridan-to'g'ri bo'lmagan dalillar mavjud bo'lib, ular quyidagi sxema bo'yicha joylashtiriladi. Bir qator sabablarga ko'ra (o'rganilayotgan ob'ektning mavjud emasligi, uning mavjudligi haqiqatining yo'qolishi va boshqalar) har qanday bayonot, tezisning haqiqatini to'g'ridan-to'g'ri isbotlash imkoniyatiga ega bo'lmasdan, ular antiteza quradilar. Ular antiteza qarama-qarshiliklarga olib kelishiga va shuning uchun yolg'on ekanligiga ishonch hosil qilishadi. Keyin antitezaning yolg'onligi faktidan - chiqarib tashlangan o'rta (a v) qonuni asosida - tezisning haqiqati to'g'risida xulosa chiqariladi.

  Matematikada bilvosita isbotlash shakllaridan biri - ziddiyat bilan isbotlash keng qo'llaniladi. Bu matematikaning fundamental tushunchalari va qoidalarini, masalan, boshqa yo'l bilan kiritib bo'lmaydigan haqiqiy cheksizlik tushunchasini qabul qilishda ayniqsa qimmatli va aslida ajralmasdir.

  Qarama-qarshilik bilan isbotlash amali matematik mantiqda quyidagicha ifodalanadi. G formulalar ketma-ketligi va A ning inkori (G , A) berilgan. Agar bu B ni va uning inkorini bildirsa (G , A B, B bo'lmagan), unda A ning haqiqati G formulalar ketma-ketligidan kelib chiqadi, degan xulosaga kelishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, tezisning haqiqati antitezaning noto'g'riligidan kelib chiqadi. .

  Adabiyotlar:

• 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, iqtisodchilar uchun oliy matematika, darslik, Moskva, 2002;

  2. L.D.Kudryavtsev, Zamonaviy matematika va uni o'qitish, Moskva, Nauka, 1985;

  3. O. I. Larichev, Ob'ektiv modellar va sub'ektiv qarorlar, Moskva, Nauka, 1987;

  4. A.Ya.Halamizer, “Matematika? - Bu kulgili! ”, Muallif nashri, 1989;

  5. P.K.Rashevskiy, Riman geometriyasi va tenzor tahlili, Moskva, 3-nashr, 1967;

  6. V.E.Gmurman, ehtimollar nazariyasi va matematik statistika, Moskva, Oliy maktab, 1977;

  7. Butunjahon tarmog'i Enternet.

Matematika miqdor munosabatlari va voqelikning fazoviy shakllari haqidagi fan sifatida bizni o‘rab turgan olamni, tabiiy va ijtimoiy hodisalarni o‘rganadi. Ammo boshqa fanlardan farqli o'laroq, matematika boshqalardan mavhumlashtirib, ularning maxsus xususiyatlarini o'rganadi. Demak, geometriya jismlarning shakli va hajmini ularning boshqa xususiyatlarini: rangi, massasi, qattiqligi va boshqalarni hisobga olmasdan o‘rganadi. Umuman olganda, matematik ob'ektlar (geometrik shakl, son, qiymat) inson ongi tomonidan yaratilgan va faqat inson tafakkurida, matematik tilni tashkil etuvchi belgi va belgilarda mavjud.

Matematikaning mavhumligi uni turli sohalarda qo'llash imkonini beradi, u tabiatni tushunish uchun kuchli vositadir.

Bilim shakllari ikki guruhga bo'linadi.

birinchi guruh turli sezgi a'zolari: ko'rish, eshitish, hidlash, teginish, ta'm bilish yordamida amalga oshiriladigan hissiy bilish shakllarini tashkil etadi.

Co. ikkinchi guruh mavhum fikrlash shakllarini, birinchi navbatda tushunchalarni, bayonotlarni va xulosalarni o'z ichiga oladi.

Hissiy bilish shakllari quyidagilardir His, idrok va vakillik.

Har bir ob'ekt bir emas, balki ko'p xususiyatga ega va biz ularni sezgilar yordamida bilamiz.

Hissiyot- bu bizning his-tuyg'ularimizga bevosita (ya'ni, hozir) ta'sir qiladigan moddiy dunyo ob'ektlari yoki hodisalarining individual xususiyatlarining aksidir. Bular qizil, issiq, yumaloq, yashil, shirin, silliq va boshqa ob'ektlarning individual xususiyatlarini his qilishdir [Getmanova, p. 7].

Shaxsiy sezgilardan butun ob'ektni idrok etish shakllanadi. Masalan, olma idroki shunday hislardan iborat: sharsimon, qizil, shirin va nordon, xushbo'y va boshqalar.

Idrok bizning hislarimizga bevosita ta'sir qiladigan tashqi moddiy ob'ektning yaxlit aksidir [Getmanova, p. sakkiz]. Masalan, tovoq, piyola, qoshiq, boshqa idishlar tasviri; daryoning tasviri, agar biz hozir u bo'ylab suzib ketayotgan bo'lsak yoki uning qirg'og'ida bo'lsak; o'rmon tasviri, agar biz hozir o'rmonga kelgan bo'lsak va hokazo.

Sezgilar, garchi ular bizning ongimizdagi voqelikning hissiy in'ikosi bo'lsa ham, ko'p jihatdan inson tajribasiga bog'liq. Misol uchun, biolog o'tloqni bir tarzda idrok qiladi (u o'simliklarning har xil turlarini ko'radi), lekin turist yoki rassom uni butunlay boshqacha idrok qiladi.

Ishlash- bu hozirda biz tomonidan idrok etilmagan, lekin ilgari u yoki bu shaklda biz tomonidan idrok etilgan ob'ektning shahvoniy tasviri [Getmanova, s. o'n]. Masalan, biz tanishlarimizning yuzlarini, uydagi xonamizni, qayin daraxtini yoki qo'ziqorinni vizual tarzda tasavvur qilishimiz mumkin. Bular misollar ko'paytirish tasvirlar, biz ushbu ob'ektlarni ko'rganimizdek.

Taqdimot bo'lishi mumkin ijodiy, shu jumladan fantastik. Biz go'zal malika oqqush yoki Tsar Saltan yoki Oltin xo'rozni va A.S.ning ertaklaridagi boshqa ko'plab qahramonlarni taqdim etamiz. Biz hech qachon ko'rmagan va ko'rmaydigan Pushkin. Bular og'zaki tavsifdan ko'ra ijodiy taqdimotga misollar. Shuningdek, biz Qorqiz, Santa Klaus, suv parisi va boshqalarni tasavvur qilamiz.

Demak, hissiy bilim shakllari sezgilar, hislar va tasavvurlardir. Ularning yordami bilan biz ob'ektning tashqi tomonlarini (uning xususiyatlarini, shu jumladan xususiyatlarini) o'rganamiz.

Mavhum fikrlash shakllari tushunchalar, bayonotlar va xulosalardir.

Tushunchalar. Tushunchalar doirasi va mazmuni

"Tushuncha" atamasi odatda ma'lum bir xarakterli (o'ziga xos, muhim) xususiyatga yoki bunday xususiyatlarning butun majmuasiga ega bo'lgan o'zboshimchalik bilan bog'liq ob'ektlarning butun sinfiga nisbatan qo'llaniladi, ya'ni. o'sha sinf a'zolariga xos bo'lgan xususiyatlar.

Mantiq nuqtai nazaridan tushuncha tafakkurning alohida shakli bo`lib, u quyidagilar bilan tavsiflanadi: 1) tushuncha yuqori darajada tashkil etilgan materiyaning mahsuli; 2) tushuncha moddiy olamni aks ettiradi; 3) tushuncha umumlashtirish vositasi sifatida ongda namoyon bo‘ladi; 4) tushuncha aniq inson faoliyatini anglatadi; 5) shaxs ongida tushunchaning shakllanishi uning nutq, yozuv yoki belgi orqali ifodalanishidan ajralmasdir.

Har qanday voqelik ob'ekti tushunchasi bizning ongimizda qanday paydo bo'ladi?

Muayyan kontseptsiyani shakllantirish jarayoni bir necha ketma-ket bosqichlarni ko'rish mumkin bo'lgan bosqichma-bosqich jarayondir. Ushbu jarayonni eng oddiy misol yordamida ko'rib chiqing - bolalarda 3 raqami tushunchasini shakllantirish.

1. Idrokning birinchi bosqichida bolalar mavzuli rasmlardan foydalangan holda va uchta elementdan (uchta olma, uchta kitob, uchta qalam va boshqalar) turli xil to'plamlarni ko'rsatadigan turli xil aniq to'plamlar bilan tanishadilar. Bolalar nafaqat ushbu to'plamlarning har birini ko'rishadi, balki ular ushbu to'plamlarni tashkil etuvchi narsalarga ham tegishi (tegishi) mumkin. Bu "ko'rish" jarayoni bola ongida voqelikni aks ettirishning maxsus shaklini yaratadi, bu deyiladi. idrok (hissiyot).

2. Keling, har bir to'plamni tashkil etuvchi ob'ektlarni (ob'ektlarni) olib tashlaymiz va bolalarni har bir to'plamni tavsiflovchi umumiy narsa bor yoki yo'qligini aniqlashga taklif qilamiz. Har bir to'plamdagi narsalar soni bolalarning ongiga muhrlanishi kerak edi, hamma joyda "uch" bor edi. Agar shunday bo'lsa, bolalar ongida yangi shakl yaratilgan - uchinchi raqam haqida fikr.

3. Keyingi bosqichda, fikrlash tajribasi asosida bolalar "uch" so'zida ifodalangan xususiyat shaklning turli xil elementlarining har qanday to'plamini tavsiflashini ko'rishlari kerak (a; b; c). Shunday qilib, bunday to'plamlarning muhim umumiy xususiyati ajratib ko'rsatiladi: "uch elementga ega bo'lish". Endi aytishimiz mumkinki, bolalar ongida shakllangan 3-raqam tushunchasi.

tushuncha- bu ob'ektlar yoki o'rganish ob'ektlarining muhim (o'ziga xos) xususiyatlarini aks ettiruvchi fikrlashning maxsus shakli.

Tushunchaning lingvistik shakli so‘z yoki so‘z turkumidir. Masalan, "uchburchak", "uchinchi raqam", "nuqta", "to'g'ri chiziq", "izoselli uchburchak", "o'simlik", "ignabargli daraxt", "Yenisey daryosi", "stol" va boshqalar.

Matematik tushunchalar bir qator xususiyatlarga ega. Asosiysi, kontseptsiyani shakllantirish zarur bo'lgan matematik ob'ektlar haqiqatda mavjud emas. Matematik ob'ektlar inson ongi tomonidan yaratilgan. Bular haqiqiy ob'ektlar yoki hodisalarni aks ettiruvchi ideal ob'ektlardir. Masalan, geometriyada jismlarning shakli va o'lchamlari ularning boshqa xususiyatlarini: rangi, massasi, qattiqligi va boshqalarni hisobga olmasdan o'rganiladi. Bularning barchasidan ular chalg'itadi, mavhumlashadi. Shuning uchun geometriyada "ob'ekt" so'zi o'rniga "geometrik shakl" deyishadi. Abstraksiya natijasi “son” va “qiymat” kabi matematik tushunchalar hamdir.

Asosiy xususiyatlar har qanday tushunchalardir quyidagilar: 1) hajmi; 2) mazmuni; 3) tushunchalar orasidagi munosabatlar.

Matematik tushuncha haqida gapirganda, ular odatda bir atama (so'z yoki so'zlar guruhi) bilan belgilangan ob'ektlarning butun majmuasini (to'plamini) anglatadi. Shunday qilib, kvadrat haqida gapirganda, ular kvadrat bo'lgan barcha geometrik shakllarni anglatadi. Barcha kvadratlar to'plami "kvadrat" tushunchasining doirasi ekanligiga ishoniladi.

Kontseptsiya doirasi ushbu tushuncha qo'llanilishi mumkin bo'lgan ob'ektlar yoki ob'ektlar to'plami deyiladi.

Masalan, 1) "paralelogramma" tushunchasining doirasi - parallelogramm to'g'ri, romb, to'rtburchak va kvadrat kabi to'rtburchaklar to'plami; 2) "bir xonali natural son" tushunchasining doirasi - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) to'plam bo'ladi.

Har qanday matematik ob'ekt ma'lum xususiyatlarga ega. Masalan, kvadratning to'rt tomoni bor, to'rtta to'g'ri burchak diagonallarga teng, diagonallar kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'lingan. Siz uning boshqa xususiyatlarini belgilashingiz mumkin, lekin ob'ektning xususiyatlari orasida bor muhim (o'ziga xos) va muhim bo'lmagan.

Mulk deyiladi muhim ob'ekt uchun (o'ziga xos), agar u ushbu ob'ektga xos bo'lsa va usiz mavjud bo'lolmaydi; mulk deyiladi ahamiyatsiz ob'ekt uchun, agar u holda mavjud bo'lishi mumkin bo'lsa.

Misol uchun, kvadrat uchun yuqorida sanab o'tilgan barcha xususiyatlar muhim ahamiyatga ega. ABCD kvadrati uchun "AD tomoni gorizontal" xususiyati ahamiyatsiz bo'ladi (1-rasm). Agar bu kvadrat aylantirilsa, AD tomoni vertikal bo'ladi.

Vizual materialdan foydalangan holda maktabgacha yoshdagi bolalar uchun misolni ko'rib chiqing (2-rasm):

Shaklni tasvirlab bering.

Kichik qora uchburchak. Guruch. 2

Katta oq uchburchak.

Raqamlar qanday o'xshash?

Raqamlar qanday farq qiladi?

Rangi, o'lchami.

Uchburchakda nima bor?

3 tomon, 3 burchak.

Shunday qilib, bolalar "uchburchak" tushunchasining muhim va muhim bo'lmagan xususiyatlarini aniqlaydilar. Muhim xususiyatlar - "uch tomon va uch burchakka ega", muhim bo'lmagan xususiyatlar - rang va o'lcham.

Ushbu tushunchada aks ettirilgan ob'ekt yoki ob'ektning barcha muhim (o'ziga xos) xususiyatlarining yig'indisi deyiladi kontseptsiyaning mazmuni .

Masalan, “paralelogramma” tushunchasi uchun mazmuni xossalar to‘plamidir: uning to‘rt tomoni bor, to‘rtta burchagi bor, qarama-qarshi tomonlari juft parallel, qarama-qarshi tomonlari teng, qarama-qarshi burchaklar teng, kesishgan diagonallar. ballar yarmiga bo'linadi.

Tushunchaning hajmi bilan uning mazmuni o‘rtasida bog‘liqlik mavjud: tushunchaning hajmi oshsa, mazmuni kamayadi va aksincha. Demak, masalan, “teng yonli uchburchak” tushunchasining qamrovi “uchburchak” tushunchasi doirasiga kiradi va “uchburchak” tushunchasining mazmuni “uchburchak” tushunchasining mazmuniga qaraganda koʻproq xususiyatlarni oʻz ichiga oladi, chunki. teng yonli uchburchak nafaqat uchburchakning barcha xususiyatlariga, balki faqat teng yonli uchburchaklarga xos bo'lgan boshqa xususiyatlarga ham ega ("ikki tomon teng", "ikki burchak teng", "ikki mediana teng" va boshqalar).

Tushunchalar bo'linadi yagona, umumiy va toifalar.

Hajmi 1 ga teng bo'lgan tushuncha deyiladi yagona tushuncha .

Masalan, tushunchalar: "Yenisey daryosi", "Tuva Respublikasi", "Moskva shahri".

Hajmi 1 dan katta bo'lgan tushunchalar deyiladi umumiy .

Masalan: “shahar”, “daryo”, “to`rtburchak”, “son”, “ko`pburchak”, “tenglama” tushunchalari.

Har qanday fanning asoslarini o'rganish jarayonida bolalarda umumiy tushunchalar shakllanadi. Masalan, boshlang‘ich sinflarda o‘quvchilar “son”, “son”, “bir xonali sonlar”, “ikki xonali sonlar”, “ko‘p xonali sonlar”, “kasr”, “ulush” kabi tushunchalar bilan tanishadilar. ”, “qo‘shish”, “ter” , “yig‘indi”, “ayirish”, “ayirish”, “kamaytirish”, “farq”, “ko‘paytirish”, “ko‘paytiruvchi”, “ko‘paytma”, “bo‘lish”, “bo‘linish”, "bo'luvchi", "bo'linuvchi", "to'p, silindr, konus, kub, parallelepiped, piramida, burchak, uchburchak, to'rtburchak, kvadrat, to'rtburchak, ko'pburchak, doira , "aylana", "egri chiziq", "poliline", "segment" , "segment uzunligi", "nur", "to'g'ri chiziq", "nuqta", "uzunlik", "kenglik", "balandlik", "perimetr", "figura maydoni", "hajm", "vaqt", " tezlik, "massa", "narx", "narx" va boshqalar. Bu tushunchalarning barchasi umumiy tushunchalardir.