Eng oddiy trigonometrik yechim. Trigonometrik funksiyalarni topish qoidalari: sinus, kosinus, tangens va kotangens. Kosinus funksiyasining grafigi, y = cos x

Sinus, kosinus, tangens va kotangens tushunchalari trigonometriyaning asosiy kategoriyalari – matematikaning bir bo‘limi bo‘lib, burchak ta’rifi bilan uzviy bog‘liqdir. Ushbu matematik fanga ega bo'lish formulalar va teoremalarni yodlash va tushunishni, shuningdek, rivojlangan fazoviy fikrlashni talab qiladi. Shuning uchun trigonometrik hisoblar ko'pincha maktab o'quvchilari va talabalar uchun qiyinchilik tug'diradi. Ularni engish uchun trigonometrik funktsiyalar va formulalar bilan ko'proq tanishishingiz kerak.

Trigonometriyadagi tushunchalar

Trigonometriyaning asosiy tushunchalarini tushunish uchun, avvalo, to'g'ri uchburchak va aylanadagi burchak nima ekanligini va nima uchun barcha asosiy trigonometrik hisoblar ular bilan bog'liqligini hal qilishingiz kerak. Burchaklaridan biri 90 gradus bo'lgan uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakdir. Tarixiy jihatdan bu raqam ko'pincha arxitektura, navigatsiya, san'at, astronomiyadagi odamlar tomonidan ishlatilgan. Shunga ko'ra, ushbu raqamning xususiyatlarini o'rganish va tahlil qilish, odamlar uning parametrlarining tegishli nisbatlarini hisoblashga kelishdi.

To'g'ri uchburchaklar bilan bog'liq bo'lgan asosiy toifalar gipotenuza va oyoqlardir. Gipotenuza - uchburchakning to'g'ri burchakka qarama-qarshi bo'lgan tomoni. Oyoqlar, o'z navbatida, boshqa ikki tomondir. Har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi har doim 180 darajaga teng.

Sferik trigonometriya - trigonometriyaning maktabda o'rganilmaydigan bo'limi, ammo astronomiya va geodeziya kabi amaliy fanlarda olimlar undan foydalanadilar. Sferik trigonometriyada uchburchakning o'ziga xos xususiyati shundaki, u har doim 180 darajadan katta burchaklar yig'indisiga ega.

Uchburchakning burchaklari

To'g'ri burchakli uchburchakda burchakning sinusi - kerakli burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoqning uchburchakning gipotenuzasiga nisbati. Shunga ko'ra, kosinus - qo'shni oyoq va gipotenuzaning nisbati. Ushbu ikkala qiymat har doim birdan kichik qiymatga ega, chunki gipotenuza har doim oyoqdan uzunroqdir.

Burchakning tangensi - bu qarama-qarshi oyoqning kerakli burchakning qo'shni oyog'iga yoki sinusning kosinusga nisbatiga teng qiymat. Kotangent, o'z navbatida, kerakli burchakning qo'shni oyog'ining qarama-qarshi kaktetga nisbati. Burchakning kotangensini birlikni tangens qiymatiga bo'lish orqali ham olish mumkin.

birlik doirasi

Geometriyada birlik doira radiusi birga teng bo'lgan doiradir. Bunday aylana Dekart koordinata tizimida quriladi, aylananing markazi boshlang'ich nuqtasiga to'g'ri keladi va radius vektorining boshlang'ich holati X o'qining musbat yo'nalishi (abtsissa o'qi) bilan belgilanadi. Doiraning har bir nuqtasi ikkita koordinataga ega: XX va YY, ya'ni abscissa va ordinataning koordinatalari. XX tekislikdagi aylananing istalgan nuqtasini tanlab, undan abscissa o'qiga perpendikulyarni tushirib, tanlangan nuqtaga radiusdan hosil bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz (uni C harfi bilan belgilaymiz), unga perpendikulyar chizilgan. X o'qi (kesish nuqtasi G harfi bilan belgilanadi) va segment bosh (nuqta A harfi bilan belgilanadi) va kesishish nuqtasi G o'rtasidagi abscissa o'qi. Olingan uchburchak ACG to'g'ri burchakli uchburchakdir. aylana, bu yerda AG gipotenuza, AC va GC esa oyoqdir. AC aylana radiusi va abscissa o'qining AG belgisi bilan segmenti orasidagi burchakni a (alfa) deb belgilaymiz. Demak, cos a = AG/AC. AC birlik aylanasining radiusi va u birga teng ekanligini hisobga olsak, cos a=AG bo‘lib chiqadi. Xuddi shunday, sin a=CG.

Bundan tashqari, ushbu ma'lumotlarni bilib, aylanadagi S nuqtaning koordinatasini aniqlash mumkin, chunki cos a=AG, va sin a=CG, ya'ni S nuqta berilgan koordinatalarga (cos a; sin a) ega. Tangens sinusning kosinusga nisbatiga teng ekanligini bilib, biz tg a \u003d y / x va ctg a \u003d x / y ekanligini aniqlashimiz mumkin. Salbiy koordinatalar tizimidagi burchaklarni hisobga olgan holda, ba'zi burchaklarning sinus va kosinus qiymatlari manfiy bo'lishi mumkinligini hisoblash mumkin.

Hisoblash va asosiy formulalar

Trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari

Birlik doirasi orqali trigonometrik funktsiyalarning mohiyatini ko'rib chiqsak, biz ba'zi burchaklar uchun ushbu funktsiyalarning qiymatlarini olishimiz mumkin. Qiymatlar quyidagi jadvalda keltirilgan.

Eng oddiy trigonometrik identifikatsiyalar

Trigonometrik funktsiya belgisi ostida noma'lum qiymat bo'lgan tenglamalar trigonometrik deyiladi. sin x = a qiymatiga ega bo'lgan identifikatsiyalar, k har qanday butun son:

1. sin x = 0, x = p k.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d p / 2 + 2pk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -p / 2 + 2pk.
4. sin x = a, |a| > 1, yechim yo'q.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin a + pk.

cos x = a qiymatiga ega identifikatsiyalar, bu erda k har qanday butun son:

1. cos x = 0, x = p/2 + p k.
2. cos x = 1, x = 2pk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d p + 2pk.
4. cos x = a, |a| > 1, yechim yo'q.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos a + 2pk.

tg x = a qiymatiga ega identifikatsiyalar, bu erda k har qanday butun son:

1. tg x = 0, x = p/2 + p k.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg a + pk.

ctg x = a qiymatiga ega identifikatsiyalar, bu erda k har qanday butun son:

1. ctg x = 0, x = p/2 + pk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg a + pk.

Shakllangan formulalar

Doimiy formulalarning ushbu toifasi trigonometrik funktsiyadan argument funktsiyalariga o'tish, ya'ni har qanday qiymatdagi burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangensini burchakning tegishli ko'rsatkichlariga aylantirish usullarini bildiradi. hisob-kitoblarning qulayligi uchun 0 dan 90 darajagacha bo'lgan oraliq.

Burchak sinusi uchun funksiyalarni kamaytirish formulalari quyidagicha ko'rinadi:

• sin(900 - a) = a;
• sin(900 + a) = cos a;
• sin(1800 - a) = sin a;
• sin(1800 + a) = -sin a;
• sin(2700 - a) = -cos a;
• sin(2700 + a) = -cos a;
• sin(3600 - a) = -sin a;
• sin(3600 + a) = sin a.

Burchakning kosinusu uchun:

• cos(900 - a) = sin a;
• cos(900 + a) = -sin a;
• cos(1800 - a) = -cos a;
• cos(1800 + a) = -cos a;
• cos(2700 - a) = -sin a;
• cos(2700 + a) = sin a;
• cos(3600 - a) = cos a;
• cos(3600 + a) = cos a.

Yuqoridagi formulalardan foydalanish ikkita qoidaga rioya qilgan holda mumkin. Birinchidan, agar burchakni qiymat (p/2 ± a) yoki (3p/2 ± a) sifatida ifodalash mumkin bo'lsa, funktsiyaning qiymati o'zgaradi:

• gunohdan cosga;
• cosdan gunohga;
• tg dan ctg gacha;
• ctg dan tg gacha.

Agar burchakni (p ± a) yoki (2p ± a) ko'rsatish mumkin bo'lsa, funktsiyaning qiymati o'zgarishsiz qoladi.

Ikkinchidan, qisqartirilgan funktsiyaning belgisi o'zgarmaydi: agar u dastlab ijobiy bo'lsa, shunday bo'lib qoladi. Xuddi shu narsa salbiy funktsiyalar uchun ham amal qiladi.

Qo'shimcha formulalar

Ushbu formulalar sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlarini trigonometrik funktsiyalari bo'yicha ikki aylanish burchagi yig'indisi va farqini ifodalaydi. Burchaklar odatda a va b sifatida belgilanadi.

Formulalar quyidagicha ko'rinadi:

1. sin(a ± b) = sin a * cos b ± cos a * sin.
2. cos(a ± b) = cos a * cos b ∓ sin a * sin.
3. tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a * tan b).
4. ctg(a ± b) = (-1 ± ctg a * ctg b) / (ctg a ± ctg b).

Bu formulalar har qanday a va b burchaklar uchun amal qiladi.

Ikki va uch burchak formulalari

Ikki va uch burchakning trigonometrik formulalari mos ravishda 2a va 3a burchaklarning funktsiyalarini a burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan bog'laydigan formulalardir. Qo'shish formulalaridan kelib chiqadi:

1. sin2a = 2sina*kosa.
2. cos2a = 1 - 2sin^2a.
3. tg2a = 2tga / (1 - tg^2 a).
4. sin3a = 3sina - 4sin^3a.
5. cos3a = 4cos^3a - 3cosa.
6. tg3a = (3tga - tg^3 a) / (1-tg^2 a).

Yig'indidan mahsulotga o'tish

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) ekanligini hisobga olib, bu formulani soddalashtirib, sina + sinb = 2sin(a + b)/2 * cos(a - b)/2 o'ziga xosligini olamiz. Xuddi shunday, sina - sinb = 2sin(a - b)/2 * cos(a + b)/2; cosa + cosb = 2cos(a + b)/2 * cos(a - b)/2; cosa - cosb = 2sin(a + b)/2 * sin(a - b)/2; tga + tgb = sin(a + b) / cosa * cosb; tga - tgb = sin(a - b) / cosa * cosb; cosa + sina = √2sin(p/4 ∓ a) = √2cos(p/4 ± a).

Mahsulotdan summaga o'tish

Ushbu formulalar yig'indini mahsulotga o'tkazish uchun identifikatsiyalardan kelib chiqadi:

• sina * sinb = 1/2*;
• cosa * cosb = 1/2*;
• sina * cosb = 1/2*.

Qisqartirish formulalari

Ushbu o'ziga xosliklarda sinus va kosinusning kvadrat va kub darajalari ko'p burchakning birinchi darajasining sinusi va kosinasi bilan ifodalanishi mumkin:

• sin^2 a = (1 - cos2a)/2;
• cos^2a = (1 + cos2a)/2;
• sin^3 a = (3 * sina - sin3a)/4;
• cos^3 a = (3 * cosa + cos3a)/4;
• sin^4 a = (3 - 4cos2a + cos4a)/8;
• cos^4 a = (3 + 4cos2a + cos4a)/8.

Universal almashtirish

Universal trigonometrik almashtirish formulalari trigonometrik funktsiyalarni yarim burchakning tangensi bilan ifodalaydi.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), x \u003d p + 2pn esa;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), bu erda x = p + 2pn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), bu erda x \u003d p + 2pn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), x \u003d p + 2pn esa.

Maxsus holatlar

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarning alohida holatlari quyida keltirilgan (k har qanday butun son).

Sinus uchun shaxsiy:

sin x qiymati	x qiymati
0	pk
1	p/2 + 2k
-1	-p/2 + 2k
1/2	p/6 + 2pk yoki 5p/6 + 2pk
-1/2	-p/6 + 2pk yoki -5p/6 + 2pk
√2/2	p/4 + 2pk yoki 3p/4 + 2pk
-√2/2	-p/4 + 2pk yoki -3p/4 + 2pk
√3/2	p/3 + 2pk yoki 2p/3 + 2pk
-√3/2	-p/3 + 2pk yoki -2p/3 + 2pk

Kosinus koeffitsientlari:

cos x qiymati	x qiymati
0	p/2 + 2k
1	2k
-1	2 + 2k
1/2	±p/3 + 2k
-1/2	±2p/3 + 2pk
√2/2	±p/4 + 2k
-√2/2	±3p/4 + 2p
√3/2	±p/6 + 2k
-√3/2	±5p/6 + 2p

Tangens uchun shaxsiy:

tg x qiymati	x qiymati
0	pk
1	p/4 + pk
-1	-p/4 + pk
√3/3	p/6 + pk
-√3/3	-p/6 + pk
√3	p/3 + pk
-√3	-p/3 + pk

Kotangent koeffitsientlari:

ctg x qiymati	x qiymati
0	p/2 + pk
1	p/4 + pk
-1	-p/4 + pk
√3	p/6 + pk
-√3	-p/3 + pk
√3/3	p/3 + pk
-√3/3	-p/3 + pk

Teoremalar

Sinus teoremasi

Teoremaning ikkita versiyasi mavjud - oddiy va kengaytirilgan. Oddiy sinus teoremasi: a/sin a = b/sin b = c/sin g. Bunda a, b, c uchburchakning tomonlari, a, b, g esa mos ravishda qarama-qarshi burchaklardir.

Ixtiyoriy uchburchak uchun kengaytirilgan sinus teoremasi: a/sin a = b/sin b = c/sin g = 2R. Bu o'ziga xoslikda R berilgan uchburchak chizilgan aylananing radiusini bildiradi.

Kosinus teoremasi

Identifikatsiya shu tarzda ko'rsatiladi: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos a. Formulada a, b, c uchburchakning tomonlari, a esa a tomoniga qarama-qarshi burchakdir.

Tangens teoremasi

Formula ikki burchakning tangenslari va ularga qarama-qarshi tomonlarning uzunligi o'rtasidagi munosabatni ifodalaydi. Yon tomonlari a, b, c deb belgilangan va mos keladigan qarama-qarshi burchaklar a, b, g. Tangens teoremasining formulasi: (a - b) / (a+b) = tg((a - b)/2) / tg((a + b)/2).

Kotangens teoremasi

Uchburchak ichiga chizilgan aylana radiusini uning tomonlari uzunligi bilan bog‘laydi. Agar a, b, c uchburchakning tomonlari va mos ravishda A, B, C ularning qarama-qarshi burchaklari, r - chizilgan aylananing radiusi va p - uchburchakning yarim perimetri bo'lsa, quyidagi o'ziga xosliklar mavjud. tutmoq:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Ilovalar

Trigonometriya faqat matematik formulalar bilan bog'liq bo'lgan nazariy fan emas. Её свойствами, теоремами и правилами пользуются на практике разные отрасли человеческой деятельности — астрономия, воздушная и морская навигация, теория музыки, геодезия, химия, акустика, оптика, электроника, архитектура, экономика, машиностроение, измерительные работы, компьютерная графика, картография, океанография, va boshqalar.

Sinus, kosinus, tangens va kotangens trigonometriyaning asosiy tushunchalari boʻlib, ular yordamida uchburchakda tomonlarning burchaklari va uzunliklari oʻrtasidagi munosabatni matematik tarzda ifodalash, oʻziga xosliklar, teorema va qoidalar orqali kerakli miqdorlarni topish mumkin.

Trigonometrik tenglamalar eng oson mavzu emas. Ular juda xilma-xildir.) Masalan, bular:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+p /4) = ctg(2x-p /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Va hokazo...

Ammo bu (va boshqa barcha) trigonometrik yirtqich hayvonlar ikkita umumiy va majburiy xususiyatga ega. Birinchidan - ishonmaysiz - tenglamalarda trigonometrik funktsiyalar mavjud.) Ikkinchidan: x bilan barcha ifodalar xuddi shu funktsiyalar doirasida. Va faqat u erda! Agar biror joyda x paydo bo'lsa tashqarida, Misol uchun, sin2x + 3x = 3, bu aralash turdagi tenglama bo'ladi. Bunday tenglamalar individual yondashuvni talab qiladi. Bu erda biz ularni ko'rib chiqmaymiz.

Biz bu darsda ham yomon tenglamalarni yechmaymiz.) Bu erda biz bilan shug'ullanamiz eng oddiy trigonometrik tenglamalar. Nega? Ha, chunki qaror har qanday trigonometrik tenglamalar ikki bosqichdan iborat. Birinchi bosqichda yomon tenglama turli xil o'zgarishlar bilan oddiy tenglamaga tushiriladi. Ikkinchisida - bu eng oddiy tenglama hal qilinadi. Boshqa yo'l yo'q.

Shunday qilib, agar siz ikkinchi bosqichda muammolarga duch kelsangiz, birinchi bosqich juda mantiqiy emas.)

Elementar trigonometrik tenglamalar qanday ko'rinishga ega?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Bu yerda a har qanday raqamni bildiradi. Har qanday.

Aytgancha, funktsiya ichida sof x emas, balki qandaydir ifoda bo'lishi mumkin, masalan:

cos(3x+p /3) = 1/2

va hokazo. Bu hayotni murakkablashtiradi, lekin trigonometrik tenglamani yechish usuliga ta'sir qilmaydi.

Trigonometrik tenglamalarni qanday yechish mumkin?

Trigonometrik tenglamalarni ikki usulda yechish mumkin. Birinchi usul: mantiq va trigonometrik doiradan foydalanish. Biz bu yo'lni shu erda o'rganamiz. Ikkinchi usul - xotira va formulalardan foydalanish - keyingi darsda ko'rib chiqiladi.

Birinchi usul aniq, ishonchli va unutish qiyin.) Bu trigonometrik tenglamalar, tengsizliklar va har xil nostandart misollarni echish uchun yaxshi. Mantiq xotiradan kuchliroq!

Tenglamalarni trigonometrik doira yordamida yechamiz.

Biz elementar mantiqni va trigonometrik doiradan foydalanish qobiliyatini o'z ichiga olamiz. Olmaysizmi!? Biroq... Trigonometriyada sizga qiyin bo'ladi...) Lekin bu muhim emas. Darslarni ko'ring "Trigonometrik doira ...... Bu nima?" va "Trigonometrik doiradagi burchaklarni sanash". U erda hamma narsa oddiy. Darsliklardan farqli o'laroq...)

Oh, bilasizmi!? Va hatto "Trigonometrik doira bilan amaliy ish" ni o'zlashtirdi!? Tabriklarni qabul qiling. Bu mavzu sizga yaqin va tushunarli bo'ladi.) Ayniqsa, quvonarlisi shundaki, trigonometrik doira qaysi tenglamani yechishingizga ahamiyat bermaydi. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - uning uchun hamma narsa bir xil. Yechim printsipi bir xil.

Shunday qilib, biz har qanday elementar trigonometrik tenglamani olamiz. Hech bo'lmaganda bu:

cosx = 0,5

Men X ni topishim kerak. Inson tilida gapirganda, sizga kerak kosinasi 0,5 bo'lgan burchakni (x) toping.

Ilgari biz aylanadan qanday foydalanganmiz? Biz uning ustiga burchak chizdik. Darajalar yoki radyanlarda. Va darhol ko'rgan Bu burchakning trigonometrik funktsiyalari. Endi teskarisini qilaylik. Doira va darhol 0,5 ga teng kosinusni chizing Biz ko'ramiz in'ektsiya. Javobni yozishgina qoladi.) Ha, ha!

Biz doira chizamiz va kosinusni 0,5 ga teng belgilaymiz. Albatta, kosinus o'qida. Mana bunday:

Endi bu kosinus bizga beradigan burchakni chizamiz. Sichqonchani rasm ustiga olib boring (yoki planshetdagi rasmga teging) va qarang xuddi shu burchak X.

Qaysi burchakning kosinasi 0,5 ga teng?

x \u003d p / 3

cos 60°= cos( p /3) = 0,5

Ba'zilar shubhalanib xirillashadi, ha... Aytishadi, baribir hamma narsa aniq bo'lganda, aylanani to'sib qo'yish arziydimi? javob bering. To'g'rirog'i, etarli emas. Doirani biluvchilar hali ham 0,5 ga teng kosinusni beradigan bir qator burchaklar mavjudligini tushunishadi.

Agar harakatlanuvchi tomonni OA aylantirsangiz to'liq burilish uchun, A nuqtasi asl holatiga qaytadi. Xuddi shu kosinus bilan 0,5 ga teng. Bular. burchak o'zgaradi 360° yoki 2p radian, va kosinus emas. Yangi burchak 60° + 360° = 420° ham tenglamamizning yechimi boʻladi, chunki

Bunday to'liq aylanishlarning cheksiz soni bor... Va bu barcha yangi burchaklar trigonometrik tenglamamizning yechimi bo'ladi. Va ularning barchasi qandaydir tarzda yozilishi kerak. Hammasi. Aks holda, qaror ko'rib chiqilmaydi, ha ...)

Matematika buni sodda va nafis bajarishi mumkin. Bitta qisqa javobda yozing cheksiz to'plam yechimlar. Bu bizning tenglamamiz uchun qanday ko'rinadi:

x = p /3 + 2p n, n ∈ Z

Men hal qilaman. Hali ham yozing mazmunli Sirli harflarni ahmoqona chizishdan ko'ra yoqimliroq, shunday emasmi?)

p /3 biz bilan bir xil burchakdir ko'rgan doira ustida va aniqlangan kosinuslar jadvaliga muvofiq.

2p radianda bitta to'liq burilish.

n - bu to'liqlarning soni, ya'ni. butun inqiloblar. Bu aniq n 0, ±1, ±2, ±3.... va hokazo bo'lishi mumkin. Qisqa yozuvda ko'rsatilganidek:

n ∈ Z

n tegishli ( ∈ ) butun sonlar to‘plamiga ( Z ). Aytgancha, xat o'rniga n harflardan foydalanish mumkin k, m, t va hokazo.

Bu belgi siz har qanday butun sonni olishingiz mumkinligini bildiradi n . Kamida -3, kamida 0, kamida +55. Nima xohlaysiz. Agar siz ushbu raqamni javobingizga kiritsangiz, siz aniq burchakka ega bo'lasiz, bu bizning qattiq tenglamamizning yechimi bo'lishi aniq.)

Yoki boshqacha aytganda, x \u003d p / 3 cheksiz to‘plamning yagona ildizidir. Boshqa barcha ildizlarni olish uchun p / 3 ga to'liq burilishlarning istalgan sonini qo'shish kifoya. n ) radianlarda. Bular. 2p radian.

Hammasimi? Yo'q. Men ayniqsa zavqni oshiraman. Yaxshi eslab qolish uchun.) Biz tenglamamizga javoblarning faqat bir qismini oldik. Men yechimning birinchi qismini quyidagicha yozaman:

x 1 = p /3 + 2p n, n ∈ Z

x 1 - bitta ildiz emas, bu qisqa shaklda yozilgan ildizlarning butun turkumidir.

Ammo 0,5 ga teng kosinusni beradigan boshqa burchaklar ham bor!

Keling, rasmimizga qaytaylik, unga ko'ra biz javobni yozdik. Mana u:

Sichqonchani tasvir ustiga olib boring va qarang bu boshqa burchak 0,5 kosinusni ham beradi. Sizningcha, bu nimaga teng? Uchburchaklar bir xil... Ha! Bu burchakka teng X , faqat salbiy yo'nalishda chizilgan. Bu burchak -X. Ammo biz allaqachon x ni hisoblab chiqdik. p /3 yoki 60°. Shunday qilib, biz ishonch bilan yozishimiz mumkin:

x 2 \u003d - p / 3

Va, albatta, biz to'liq burilishlar orqali olingan barcha burchaklarni qo'shamiz:

x 2 = - p /3 + 2p n, n ∈ Z

Hozir hammasi shu.) Trigonometrik doirada biz ko'rgan(kim tushunadi, albatta)) hammasi 0,5 ga teng kosinus beradigan burchaklar. Va ular bu burchaklarni qisqa matematik shaklda yozdilar. Javob ikkita cheksiz ildiz qatoridir:

x 1 = p /3 + 2p n, n ∈ Z

x 2 = - p /3 + 2p n, n ∈ Z

Bu to'g'ri javob.

Umid, trigonometrik tenglamalarni yechishning umumiy tamoyili doira yordamida tushunish mumkin. Berilgan tenglamadan kosinusni (sinus, tangens, kotangens) aylanaga belgilab, tegishli burchaklarni chizamiz va javobni yozamiz. Albatta, biz qanday burchaklar ekanligimizni aniqlab olishingiz kerak ko'rgan doira ustida. Ba'zida bu unchalik aniq emas. Aytganimdek, bu erda mantiq kerak.)

Masalan, boshqa trigonometrik tenglamani tahlil qilaylik:

E'tibor bering, 0,5 raqami tenglamalardagi yagona mumkin bo'lgan raqam emas!) Men uchun uni ildiz va kasrlardan ko'ra yozish qulayroq.

Biz umumiy printsip asosida ishlaymiz. Biz doira chizamiz, belgilaymiz (sinus o'qi bo'yicha, albatta!) 0,5. Biz bir vaqtning o'zida ushbu sinusga mos keladigan barcha burchaklarni chizamiz. Biz ushbu rasmni olamiz:

Avval burchak bilan shug'ullanamiz. X birinchi chorakda. Biz sinuslar jadvalini eslaymiz va bu burchakning qiymatini aniqlaymiz. Masala oddiy:

x \u003d p / 6

Biz to'liq burilishlarni eslaymiz va toza vijdon bilan javoblarning birinchi seriyasini yozamiz:

x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z

Ishning yarmi tugadi. Endi biz aniqlashimiz kerak ikkinchi burchak ... Bu kosinuslardan ko'ra qiyinroq, ha ... Lekin bizni mantiq qutqaradi! Ikkinchi burchakni qanday aniqlash mumkin x orqali? Ha oson! Rasmdagi uchburchaklar bir xil va qizil burchak X burchakka teng X . Faqat u p burchakdan manfiy yo'nalishda hisoblanadi. Shuning uchun u qizil.) Va javob uchun OX musbat yarim o'qidan to'g'ri o'lchangan burchak kerak, ya'ni. 0 daraja burchak ostida.

Kursorni rasm ustiga olib boring va hamma narsani ko'ring. Rasmni murakkablashtirmaslik uchun birinchi burchakni olib tashladim. Bizni qiziqtiradigan burchak (yashil rangda chizilgan) quyidagilarga teng bo'ladi:

p - x

x buni bilamiz p /6 . Shunday qilib, ikkinchi burchak quyidagicha bo'ladi:

p - p /6 = 5p /6

Shunga qaramay, biz to'liq inqiloblarni qo'shishni eslaymiz va javoblarning ikkinchi seriyasini yozamiz:

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z

Hammasi shu. To'liq javob ikki qator ildizlardan iborat:

x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z

Tangens va kotangensli tenglamalar trigonometrik tenglamalarni yechishning bir xil umumiy printsipi yordamida osonlikcha echilishi mumkin. Agar trigonometrik doirada tangens va kotangensni chizishni bilmasangiz, albatta.

Yuqoridagi misollarda men sinus va kosinusning jadval qiymatidan foydalandim: 0,5. Bular. talaba biladigan ma'nolardan biri kerak. Endi imkoniyatlarimizni kengaytiramiz boshqa barcha qadriyatlar. Qaror qiling, qaror qiling!)

Deylik, quyidagi trigonometrik tenglamani yechishimiz kerak:

Qisqa jadvallarda kosinusning bunday qiymati yo'q. Biz bu dahshatli haqiqatni sovuqqonlik bilan e'tiborsiz qoldiramiz. Biz doira chizamiz, kosinus o'qiga 2/3 ni belgilaymiz va mos keladigan burchaklarni chizamiz. Biz bu rasmni olamiz.

Biz birinchi chorakda burchak bilan boshlanuvchilar uchun tushunamiz. X ga teng ekanligini bilish uchun ular darhol javobni yozishadi! Biz bilmaymiz... Muvaffaqiyatsizlik!? Sokin! Matematika o'zini qiyinchilikda qoldirmaydi! U bu holat uchun yoy kosinuslarini ixtiro qildi. Bilmayman? Bekordan bekorga. Bu siz o'ylagandan ham osonroq. Ushbu havolaga ko'ra, "teskari trigonometrik funktsiyalar" haqida biron bir qiyin afsun yo'q ... Bu mavzuda ortiqcha.

Agar siz bilsangiz, shunchaki o'zingizga ayting: "X - kosinasi 2/3 bo'lgan burchak." Va darhol, faqat arkkosin ta'rifi bo'yicha, biz yozishimiz mumkin:

Biz qo'shimcha inqiloblarni eslaymiz va trigonometrik tenglamamizning birinchi qator ildizlarini xotirjamlik bilan yozamiz:

x 1 = arccos 2/3 + 2p n, n ∈ Z

Ildizlarning ikkinchi seriyasi ham ikkinchi burchak uchun deyarli avtomatik ravishda yoziladi. Hammasi bir xil, faqat x (arccos 2/3) minus bilan bo'ladi:

x 2 = - arccos 2/3 + 2p n, n ∈ Z

Va hamma narsa! Bu to'g'ri javob. Jadvaldagi qiymatlardan ham osonroq. Hech narsani eslab qolishning hojati yo'q.) Aytgancha, eng diqqatli odamlar bu rasmni yoy kosinasi orqali hal qilishini payqashadi. mohiyatan cosx = 0,5 tenglama uchun rasmdan farq qilmaydi.

Aynan shunday! Bu boradagi umumiy tamoyil va umumiy! Men ikkita deyarli bir xil rasm chizdim. Doira bizga burchakni ko'rsatadi X uning kosinusu bilan. Bu jadvalli kosinus yoki yo'q - aylana bilmaydi. Bu qanday burchak, p / 3 yoki qanday turdagi yoy kosinusu bizni hal qilishimiz kerak.

Sinus bilan bir xil qo'shiq. Misol uchun:

Yana biz aylana chizamiz, sinusni 1/3 ga teng belgilaymiz, burchaklarni chizamiz. Bu rasm chiqadi:

Va yana rasm tenglama bilan deyarli bir xil sinx = 0,5. Yana birinchi chorakda burchakdan boshlaymiz. Agar uning sinusi 1/3 bo'lsa, x nimaga teng? Hammasi joyida!

Shunday qilib, ildizlarning birinchi to'plami tayyor:

x 1 = arksin 1/3 + 2p n, n ∈ Z

Keling, ikkinchi burchakni ko'rib chiqaylik. Jadval qiymati 0,5 bo'lgan misolda u quyidagilarga teng edi:

p - x

Demak, bu erda ham xuddi shunday bo'ladi! Faqat x farq qiladi, arcsin 1/3. Nima bo'libdi!? Siz ikkinchi ildiz to'plamini xavfsiz yozishingiz mumkin:

x 2 = p - yoy 1/3 + 2p n, n ∈ Z

Bu mutlaqo to'g'ri javob. Garchi u juda tanish ko'rinmasa ham. Lekin bu tushunarli, umid qilamanki.)

Aylana yordamida trigonometrik tenglamalar shunday yechiladi. Bu yo'l aniq va tushunarli. Aynan u trigonometrik tenglamalarda ildizlarni ma'lum oraliqda tanlagan holda, trigonometrik tengsizliklarda saqlaydi - ular odatda deyarli har doim aylanada hal qilinadi. Muxtasar qilib aytganda, standart narsalarga qaraganda biroz murakkabroq bo'lgan har qanday vazifalarda.

Bilimlarni amalda qo'llashmi?

Trigonometrik tenglamalarni yechish:

Avvaliga bu oddiyroq, to'g'ridan-to'g'ri ushbu darsda.

Endi qiyinroq.

Maslahat: bu erda siz doira haqida o'ylashingiz kerak. Shaxsan.)

Va endi tashqi ko'rinishda oddiy ... Ular maxsus holatlar deb ham ataladi.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Maslahat: bu erda siz aylana ichida ikkita javob seriyasi borligini va qaerda bitta javob borligini aniqlashingiz kerak ... Va ikkita javob seriyasi o'rniga bittasini qanday yozish kerak. Ha, cheksiz sondan birorta ham ildiz yo'qolmasligi uchun!)

Xo'sh, juda oddiy):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Maslahat: bu erda siz arksinus, arkkosin nima ekanligini bilishingiz kerakmi? Yoy tangensi, yoy tangensi nima? Eng oddiy ta'riflar. Lekin siz hech qanday jadval qiymatlarini eslab qolishingiz shart emas!)

Javoblar, albatta, tartibsiz):

x 1= arcsin0,3 + 2pn, n ∈ Z
x 2= p - arcsin0,3 + 2

Hammasi yaxshi emasmi? Bo'lib turadi. Darsni yana o'qing. Faqat o'ylab(bunday eskirgan so'z bor...) Va havolalarni kuzatib boring. Asosiy havolalar doira haqida. Busiz trigonometriyada - yo'lni qanday qilib ko'r bilan kesib o'tish kerak. Ba'zan ishlaydi.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Trigonometrik tenglamalar .

Eng oddiy trigonometrik tenglamalar .

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari.

Trigonometrik tenglamalar. Noma'lumni o'z ichiga olgan tenglama trigonometrik funksiyaning belgisi deyiladi trigonometrik.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalar.

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari. Trigonometrik tenglamani yechish ikki bosqichdan iborat: tenglama transformatsiyasi oddiy olish uchun yozing (yuqoriga qarang) va qaroreng oddiy olingan trigonometrik tenglama. Yetti bor trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.

1. Algebraik usul. Bu usul bizga algebradan yaxshi ma'lum

(o'zgaruvchan almashtirish va almashtirish usuli).

2. Faktorizatsiya. Keling, ushbu usulni misollar bilan ko'rib chiqaylik.

O'RNAK 1. Tenglamani yeching: gunoh x+ cos x = 1 .

Yechish.Tenglamaning barcha shartlarini chapga siljiting:

Gunoh x+ cos x – 1 = 0 ,

Keling, ifodani o'zgartiramiz va faktorlarga ajratamiz

Tenglamaning chap tomoni:

2-misol. Tenglamani yeching: cos 2 x+ gunoh x cos x = 1.

SOLUTION cos 2 x+ gunoh x cos x– gunoh 2 x- chunki 2 x = 0 ,

Gunoh x cos x– gunoh 2 x = 0 ,

Gunoh x(chunki x– gunoh x ) = 0 ,

Misol 3. Tenglamani yeching: chunki 2 x- cos 8 x+ cos 6 x = 1.

SOLUTION cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos8 x,

2 chunki 4 x chunki 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x- cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x 2 gunoh 3 x gunoh x = 0 ,

biri). cos 4 x= 0 , 2). gunoh 3 x= 0 , 3). gunoh x = 0 ,

3.

Kimga translatsiya qilish yagona tenglama. Tenglama chaqirdi dan bir hil nisbatan gunoh va cos , agar hammasi nisbatan bir xil darajadagi shartlar gunoh va cos bir xil burchak. Bir hil tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi: a) barcha a'zolarini chap tomonga siljitish; b) barcha umumiy omillarni qavs ichidan chiqaring; ichida) barcha omillar va qavslarni nolga tenglashtiring; G) nolga o'rnatilgan qavslar beradi ga bo'linishi kerak bo'lgan kichik darajadagi bir hil tenglama cos(yoki gunoh) oliy o‘quv yurtlarida; d) ga nisbatan olingan algebraik tenglamani yechishsarg'ish . MISOL Tenglamani yeching: 3 gunoh 2 x+ 4 gunoh x cos x+ 5 cos 2 x = 2. Yechim: 3sin 2 x+ 4 gunoh x cos x+ 5 chunki 2 x= 2 gunoh 2 x+ 2 chunki 2 x , Gunoh 2 x+ 4 gunoh x cos x+ 3 chunki 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4tan x + 3 = 0 , bu yerdan y 2 + 4y +3 = 0 , Bu tenglamaning ildizlari:y 1 = - 1, y 2 = - 3, shuning uchun 1) sarg'ish x= –1, 2) sarg'ish x = –3,

4. Yarim burchakka o'tish. Keling, ushbu usulni misol bilan ko'rib chiqaylik:

MISOL Tenglamani yeching: 3 gunoh x- 5cos x = 7.

Yechimi: 6 gunoh ( x/ 2) chunki ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 gunoh² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 gunoh² ( x/ 2) - 6 gunoh ( x/ 2) chunki ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan²( x/ 2) – 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Yordamchi burchakning kiritilishi. Shaklning tenglamasini ko'rib chiqing:

a gunoh x + b cos x = c ,

Qayerda a, b, c- koeffitsientlar;x- noma'lum.

Endi tenglamaning koeffitsientlari sinus va kosinus xossalariga ega, aynan: har birining moduli (mutlaq qiymat).

Eng oddiy trigonometrik tenglamalar tenglamalardir

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

cos(x) = a tenglama

Tushuntirish va asoslash

1. cosx = a tenglamaning ildizlari. Qachon | a | > 1 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 yoki a da< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Keling | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Intervalda y = cos x funksiya 1 dan -1 gacha kamayadi. Ammo kamayuvchi funktsiya o'zining har bir qiymatini faqat ta'rif sohasining bir nuqtasida oladi, shuning uchun cos x \u003d a tenglamasi bu oraliqda faqat bitta ildizga ega, u yoy kosinusining ta'rifiga ko'ra: x 1 \u003d arccos a (va bu ildiz uchun cos x \u003d a).

Kosinus juft funksiya, shuning uchun [-p oraliqda; 0] tenglama cos x = va faqat bitta ildizga ega - x 1 ga qarama-qarshi son, ya'ni

x 2 = -arccos a.

Shunday qilib, [-n oraliqda; n] (uzunligi 2n) | uchun cos x = a tenglama a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

y = cos x funktsiyasi 2n davri bilan davriydir, shuning uchun boshqa barcha ildizlar 2np (n € Z) bilan topilganlardan farq qiladi. cos x = a qachon tenglamaning ildizlari uchun quyidagi formulani olamiz

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. cosx = a tenglamani yechishning alohida holatlari.

Cos x = a qachon tenglamaning ildizlari uchun maxsus belgini eslab qolish foydalidir

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, ularni qo'llanma sifatida birlik doirasi yordamida osongina olish mumkin.

Kosinus birlik aylanadagi mos nuqtaning abssissasiga teng bo‘lganligi sababli, birlik aylanadagi mos nuqta A nuqta yoki B nuqta bo‘lsagina cos x = 0 ni olamiz.

Xuddi shunday, cos x = 1, agar birlik doiraning tegishli nuqtasi C nuqtasi bo'lsa, demak,

x = 2pp, k € Z.

Shuningdek, cos x \u003d -1, agar birlik doirasining mos keladigan nuqtasi D nuqtasi bo'lsa, shuning uchun x \u003d n + 2n,

tenglama sin(x) = a

Tushuntirish va asoslash

1. sinx = a tenglamaning ildizlari. Qachon | a | > 1 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 yoki a da< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni echish"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.

1C dan 10-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konidagi qo'llanmalar va simulyatorlar
Biz geometriyadan muammolarni hal qilamiz. Kosmosda qurish uchun interaktiv vazifalar
Dasturiy ta'minot muhiti "1C: Matematik konstruktor 6.1"

Biz nimani o'rganamiz:
1. Trigonometrik tenglamalar nima?

3. Trigonometrik tenglamalarni yechishning ikkita asosiy usuli.
4. Bir jinsli trigonometrik tenglamalar.
5. Misollar.

Trigonometrik tenglamalar nima?

Bolalar, biz arksinus, arkkosinus, arktangens va arkkotangensni allaqachon o'rganib chiqdik. Endi trigonometrik tenglamalarni umumiy ko‘rib chiqamiz.

Trigonometrik tenglamalar - o'zgaruvchi trigonometrik funktsiya belgisi ostida joylashgan tenglamalar.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish shaklini takrorlaymiz:

1) Agar |a|≤ 1 boʻlsa, cos(x) = a tenglama yechimga ega boʻladi:

X= ± arccos(a) + 2p

2) Agar |a|≤ 1 boʻlsa, sin(x) = a tenglama yechimga ega boʻladi:

3) Agar |a| > 1 bo‘lsa, sin(x) = a va cos(x) = a tenglamaning yechimlari yo‘q 4) tg(x)=a tenglamaning yechimi bor: x=arctg(a)+ pk.

5) ctg(x)=a tenglamaning yechimi bor: x=arcctg(a)+ pk

Barcha formulalar uchun k butun sondir

Eng oddiy trigonometrik tenglamalar quyidagi ko rinishga ega: T(kx+m)=a, T- har qanday trigonometrik funksiya.

Misol.

Tenglamalarni yeching: a) sin(3x)= √3/2

Qaror:

A) 3x=t ni belgilaymiz, keyin tenglamamizni quyidagi ko‘rinishda qayta yozamiz:

Bu tenglamaning yechimi quyidagicha bo'ladi: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ pn.

Qiymatlar jadvalidan biz olamiz: t=((-1)^n)×p/3+ pn.

O'zgaruvchimizga qaytaylik: 3x =((-1)^n)×p/3+ pn,

Keyin x= ((-1)^n)×p/9+ pn/3

Javob: x= ((-1)^n)×p/9+ pn/3, bu yerda n butun son. (-1)^n - n kuchiga minus bir.

Trigonometrik tenglamalarga ko'proq misollar.

Tenglamalarni yeching: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- p/3)= √3

Qaror:

A) Bu safar biz darhol tenglamaning ildizlarini hisoblashga o'tamiz:

X/5= ± arccos(1) + 2p. Keyin x/5= pk => x=5pk

Javob: x=5pk, bu yerda k butun son.

B) Quyidagi shaklda yozamiz: 3x- p/3=arctg(√3)+ pk. Biz buni bilamiz: arctg(√3)= p/3

3x- p/3= p/3+ pk => 3x=2p/3 + pk => x=2p/9 + pk/3

Javob: x=2p/9 + pk/3, bu yerda k butun son.

Tenglamalarni yeching: cos(4x)= √2/2. Va segmentdagi barcha ildizlarni toping.

Qaror:

Tenglamamizni umumiy shaklda yechamiz: 4x= ± arccos(√2/2) + 2p

4x= ± p/4 + 2p;

X= ± p/16+ pk/2;

Keling, bizning segmentimizga qanday ildizlar tushishini ko'rib chiqaylik. k uchun k=0, x= p/16 uchun biz berilgan segmentdamiz.
k=1, x= p/16+ p/2=9p/16 bilan ular yana urishadi.
k=2 uchun, x= p/16+ p=17p/16, lekin bu yerda biz urmaganmiz, demak, biz katta k uchun ham urmaymiz.

Javob: x= p/16, x= 9p/16

Ikkita asosiy yechim usullari.

Biz eng oddiy trigonometrik tenglamalarni ko'rib chiqdik, ammo murakkabroqlari ham bor. Ularni yechish uchun yangi o'zgaruvchini kiritish usuli va faktorizatsiya usuli qo'llaniladi. Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

Keling, tenglamani yechamiz:

Qaror:
Tenglamamizni yechish uchun t=tg(x) bilan belgilanadigan yangi o‘zgaruvchini kiritish usulidan foydalanamiz.

O'zgartirish natijasida biz olamiz: t 2 + 2t -1 = 0

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping: t=-1 va t=1/3

Keyin tg(x)=-1 va tg(x)=1/3, eng oddiy trigonometrik tenglamani oldik, uning ildizlarini topamiz.

X=arctg(-1) +pk= -p/4+pk; x=arctg(1/3) + pk.

Javob: x= -p/4+pk; x=arctg(1/3) + pk.

Tenglamani yechishga misol

Tenglamalarni yeching: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Qaror:

Identifikatsiyadan foydalanamiz: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Bizning tenglamamiz quyidagicha bo'ladi: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) almashtirishni kiritamiz: 2t 2 -3t - 2 = 0

Kvadrat tenglamamizning yechimi ildizlari: t=2 va t=-1/2

U holda cos(x)=2 va cos(x)=-1/2.

Chunki kosinus birdan katta qiymatlarni qabul qila olmaydi, u holda cos(x)=2 ning ildizlari yo'q.

cos(x)=-1/2 uchun: x= ± arccos(-1/2) + 2pk; x= ±2p/3 + 2pk

Javob: x= ±2p/3 + 2p

Bir jinsli trigonometrik tenglamalar.

Ta'rif: a sin(x)+b cos(x) ko'rinishdagi tenglama birinchi darajali bir jinsli trigonometrik tenglamalar deyiladi.

Shaklning tenglamalari

ikkinchi darajali bir jinsli trigonometrik tenglamalar.

Birinchi darajali bir jinsli trigonometrik tenglamani yechish uchun uni cos(x) ga ajratamiz: Agar u nolga teng bo'lsa, uni kosinusga bo'lish mumkin emas, keling, bunday emasligiga ishonch hosil qilaylik:
cos(x)=0 bo'lsin, keyin asin(x)+0=0 => sin(x)=0, lekin sinus va kosinus bir vaqtning o'zida nolga teng emas, biz ziddiyatga ega bo'ldik, shuning uchun biz xavfsiz bo'lamiz. nolga.

Tenglamani yeching:
Misol: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Qaror:

Umumiy omilni chiqaring: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Keyin ikkita tenglamani yechishimiz kerak:

cos(x)=0 va cos(x)+sin(x)=0

x= p/2 + p k uchun Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 tenglamasini ko‘rib chiqaylik tenglamamizni cos(x) ga bo‘ling:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +pk= -p/4+p

Javob: x= p/2 + pk va x= -p/4+pk

Ikkinchi darajali bir jinsli trigonometrik tenglamalar qanday yechiladi?
Bolalar, har doim ushbu qoidalarga rioya qiling!

1. A koeffitsienti nimaga teng ekanligini ko'ring, agar a \u003d 0 bo'lsa, bizning tenglamamiz cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) ko'rinishini oladi, uning yechimi oldingi misolda keltirilgan. slayd

2. Agar a≠0 bo'lsa, tenglamaning ikkala qismini kvadrat kosinusga bo'lish kerak bo'lsa, biz quyidagilarga erishamiz:

t=tg(x) o‘zgaruvchisini o‘zgartiramiz, biz tenglamani olamiz:

№ 3 misolni yeching

Tenglamani yeching:
Qaror:

Tenglamaning ikkala tomonini kosinus kvadratiga ajrating:

t=tg(x) o‘zgaruvchisini o‘zgartiramiz: t 2 + 2 t - 3 = 0

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping: t=-3 va t=1

Keyin: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + pk=-arctg(3) + pk

Tg(x)=1 => x= p/4+ pk

Javob: x=-arctg(3) + pk va x= p/4+ pk

№: 4-misolni yeching

Tenglamani yeching:

Qaror:
Keling, ifodamizni o'zgartiraylik:

Bunday tenglamalarni yechishimiz mumkin: x= - p/4 + 2pk va x=5p/4 + 2pk

Javob: x= - p/4 + 2pk va x=5p/4 + 2p

№5 misolni yeching

Tenglamani yeching:

Qaror:
Keling, ifodamizni o'zgartiraylik:

Biz tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 almashtirishni kiritamiz.

Kvadrat tenglamamizning yechimi ildizlar bo'ladi: t=-2 va t=1/2

Keyin biz quyidagilarga erishamiz: tg(2x)=-2 va tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ pk => x=-arctg(2)/2 + pk/2

2x= arctg(1/2) + pk => x=arctg(1/2)/2+ pk/2

Javob: x=-arctg(2)/2 + pk/2 va x=arctg(1/2)/2+ pk/2

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

1) Tenglamani yeching

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Tenglamalarni yeching: sin(3x)= √3/2. Va segmentdagi barcha ildizlarni toping [p/2; p].

3) Tenglamani yeching: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Tenglamani yeching: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Tenglamani yeching: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Tenglamani yeching: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)