Yorliq: trigonometrik Furye seriyasi. Murakkabligi ortgan sonli qator Teskari trigonometrik seriyali
Trigonometrik qatorlar ta'rifi. Cheklanmagan D to‘plamda aniqlangan /(x) funksiya, agar har bir x.€ D uchun shart bajariladigan T ↦ 0 soni mavjud bo‘lsa, davriy deyiladi. Bu sonlarning eng kichigi T f(x) funksiyaning davri deyiladi. 1-misol. Intervalda aniqlangan funksiya davriydir, chunki T = 2* f O son mavjud bo'lib, shart hamma x uchun bajariladi. Shunday qilib, sin x funksiyasi T = 2x davriga ega. Xuddi shu narsa 2-misol funktsiyaga ham tegishli. D sonlar to'plamida aniqlangan funksiya davriydir, chunki T f 0 raqami mavjud, ya'ni T = shundayki, x 6 D uchun bizda Ta'rif mavjud. ao shaklidagi funksional qator FOURIER SERIES Trigonometrik qator Trigonometrik tizimning ortogonometrik tizimi Trigonometrik Furye seriyasi). Trigonometrik qatorning (1) qisman yig‘indilari Sn(x) trigonometrik sistema deb ataladigan funksiyalar sistemasidagi funksiyalarning chiziqli birikmasidir. Bu qator a'zolari davriy funksiyalar davri 2n- bo'lganligi sababli, (I) qator yaqinlashganda, uning yig'indisi S(x) davri T = 2m bo'lgan davriy funksiya bo'ladi: Ta'rif. . Davriy T = 2n bo‘lgan f(x) davriy funksiyani trigonometrik qatorga (1) kengaytirish yig‘indisi /(x) funksiyaga teng bo‘lgan konvergent trigonometrik qatorni topishni anglatadi. . Trigonometrik sistemaning ortogonalligi Ta'rif. [a, 6] segmentida uzluksiz f(x) va g(x) funksiyalar, agar shart bajarilsa, bu segmentda ortogonal deyiladi.Masalan, funksiyalar [-1,1] segmentida ortogonal, Ta'rifdan beri. [a, b] oraliqda integrallanadigan chekli yoki cheksiz funksiyalar sistemasi [a, 6) oraliqdagi ortogonal sistema deyiladi, agar shunday raqamlar uchun Umuman olganda, p F O bizda mavjud bo lgan ma lum trigonometriya formulalaridan foydalanish. har qanday natural m va n, m F n uchun quyidagilarni topamiz: Nihoyat, har qanday butun son turi uchun formuladan foydalanib, biz Trigonometrik Furye qatorini olamiz. tenglikning o'ng tomonida [-zr, x] oraliqda bir xilda yaqinlashadi. U holda formulalar o’rinli bo’ladi.(1) qatorning bir xil yaqinlashuvi uzluksizlikni, demak f(x) funksiyaning integrallanishini bildiradi. Shuning uchun tenglik (2) mantiqiydir. Bundan tashqari, (1) qator atama bo'yicha birlashtirilishi mumkin. Biz n = 0 uchun (2) formulalarning birinchisini qaerdan oldik va unga amal qilamiz. Endi (1) tenglikning ikkala qismini cos mi funksiyasiga ko'paytiramiz, bu erda m ixtiyoriy natural sondir: Seriya (3), qator (1) kabi. ), bir xilda yaqinlashadi. Shuning uchun uni had bo’yicha integrallash mumkin.O’ng tarafdagi barcha integrallar, n=m da olingan bittadan tashqari, trigonometrik sistemaning ortogonalligi tufayli nolga teng. Shuning uchun, xuddi shunday, (1) tenglikning ikkala tomonini sinmx ga ko'paytirsak va -r dan m ga integrallashamiz. Uni ba'zi konvergent trigonometrik qatorlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkinmi yoki yo'qmi, oldindan ma'lum emas. Biroq (2) formulalardan an va bn konstantalarini hisoblash mumkin. Ta'rif. Oq, an, bn koeffitsientlari f(x) funksiya orqali FURYER SERIASI Trigonometrik qator Trigonometrik sistemaning ortogonalligi Trigonometrik Furye qatori Funksiyani Furye qatoriga kengaytirish uchun yetarli shart-sharoitlar mavjud boʻlgan trigonometrik qatorlar trigonometrik Furye deyiladi. f(x) funksiyaning qatori va bu formulalar bilan aniqlangan a„ , bnt koeffitsientlari /(x) funksiyaning Furye koeffitsientlari deyiladi. [-m, -k] oraliqda integrallanadigan har bir f(x) funksiya uning Furye qatori bilan bogʻlanishi mumkin, yaʼni. trigonometrik qatorlar, ularning koeffitsientlari formulalar (2) bilan aniqlanadi. Lekin f(x) funksiyadan [--n*, r] oraliqda integrallanishdan boshqa hech narsa talab qilinmasa, oxirgi munosabatdagi moslik belgisini, umuman olganda, tenglik belgisi bilan almashtirib bo‘lmaydi. Izoh. Ko'pincha f(x) funksiyani faqat (-*, n\) segmentida aniqlanadigan trigonometrik qatorga kengaytirish talab etiladi va shuning uchun davriy emas. funksiyalarni ham trigonometrik Furye qator yozish mumkin.Biroq, agar f (x) funksiyani davriy ravishda butun Ox o'qi bo'yicha davom ettiramiz, keyin (-ir, k) oraliqda / (x) ga to'g'ri keladigan 2n davri bilan davriy F (x) funksiyani olamiz: Bu funktsiya. F(x) f(x) funksiyaning davriy kengayishi deyiladi. Bundan tashqari, F(x) funksiya x = ±n, ±3r, ±5r, ... nuqtalarda yagona ta’rifga ega emas. qator F(x) funksiya uchun Furye qatori f(x) funksiya uchun Furye qatoriga bir xildir Bundan tashqari, agar f(x) funksiya uchun Furye qatori unga yaqinlashsa, uning yig‘indisi davriy funktsiya bo‘ladi. , f(x) funksiyaning |-jt, n\ segmentidan butun Ox o‘qiga davriy davomini beradi. Shu ma’noda, (-i-, jt|) segmentida aniqlangan f(x) funksiya uchun Furye qatori haqida gapirish F(x) funksiyasi uchun Furye qatori haqida gapirishga teng bo‘lib, u davriy davomi bo‘ladi. f(x) funksiyani butunga 4. Funksiyaning Furye qatoriga kengayishi uchun yetarli shartlar Furye qatorining yaqinlashuvi uchun yetarli mezonni keltiramiz, ya’ni Furye qatori yaqinlashadi va biz buning qandayligini bilib olamiz. Bu qatorning yig‘indisi bu holatda o‘zini tutadi.Shuni ta’kidlash kerakki, quyida keltirilgan bo‘lakli monoton funksiyalar sinfi ancha keng bo‘lsa-da, Furye qatori yaqinlashuvchi funksiyalar u bilan tugamaydi.Ta’rif.f( x) funksiyasi. [a, 6] segmentida parcha-parcha monoton deyiladi, agar bu segmentni chekli nuqtalar bilan intervallarga bo'lish mumkin bo'lsa, ularning har birida f (x) monoton bo'lsa, ya'ni kamaymasa yoki ko'paymasa (1-rasmga qarang). ... bir). 1-misol. Funksiya (-oo, oo) oraliqda parcha-parcha monotondir, chunki bu intervalni ikkita intervalga (-syu, 0) va (0, + oo) bo'lish mumkin, birinchisida u kamayadi (va demak, ko'paymaydi), lekin ikkinchisida ortadi (va shuning uchun kamaymaydi). 2-misol. Funktsiya [-zg, jt| segmentida parcha-parcha monotonikdir, chunki bu segmentni ikkita intervalga bo'lish mumkin, ularning birinchisida cos i -I dan +1 gacha ortadi, ikkinchisida esa u dan kamayadi. Teorema 3. Bo‘lakcha monoton va (a, b] segmentida chegaralangan f(x) funksiya faqat birinchi turdagi uzilish nuqtalariga ega bo‘lishi mumkin.Masalan, f(x) funksiyaning uzilish nuqtasi bo‘lsin. ).Unda f(x) chegaralanganlik funksiyasi va monotonlik tufayli c nuqtaning har ikki tomonida chekli bir tomonlama chegaralar mavjud bo’lib, bu c nuqta birinchi turdagi uzilish nuqtasi ekanligini bildiradi (2-rasm). [-m, m oraliqda chegaralangan bo‘lsa, uning Furye qatori ushbu segmentning har bir x nuqtasida yaqinlashadi va bu qatorlar yig‘indisi uchun tengliklar bajariladi: (-*,*) oraliqda tenglik (3-rasm) bilan aniqlangan 2jt davrining /(z) funksiyasi teorema shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun uni Furye seriyasida kengaytirish mumkin. Buning uchun Furye koeffitsientlarini topamiz: Bu funksiya uchun Furye qatori 4-misol ko'rinishga ega. Funksiyani oraliqda Furye qatoriga kengaytiring (4-rasm) Bu funksiya teorema shartlarini qanoatlantiradi. Furye koeffitsientlarini topamiz. Aniq integralning qo‘shiluvchanlik xususiyatidan foydalanib, biz FURYER SERIASI Trigonometrik qatorga ega bo‘lamiz Trigonometrik tizimning ortogonalligi Trigonometrik Furye qatori Funksiyani Furye qatoriga kengaytirish uchun yetarli shartlar Shuning uchun Furye qatori quyidagi ko‘rinishga ega: segment (-i, ir], ya'ni, ya'ni, birinchi turdagi uzilish nuqtalari bo'lgan x = -x va x = x nuqtalarida biz eslatmaga ega bo'lamiz. Agar topilgan Furye qatoriga x = 0 ni qo'ysak, u holda biz qaerdan olamiz
Deyarli har qanday davriy funktsiyani trigonometrik qator deb ataladigan a'zolari oddiy garmonik bo'lgan qator sifatida ko'rsatish mumkinligini ko'rsatamiz.
Ta'rif. Trigonometrik qator shaklning funksional qatoridir
haqiqiy raqamlar qayerda a 0 , a n , b n qator koeffitsientlari deyiladi.
Seriyaning erkin termini keyinchalik olingan formulalarning bir xilligi uchun shaklda yoziladi.
Ikkita savolga javob berish kerak:
1) Funksiyani qanday sharoitlarda bajaradi f(x) 2p davri bilan ketma-ket (5.2.1) kengaytirilishi mumkinmi?
2) Koeffitsientlarni qanday hisoblash mumkin a 0 ,… a n , b n ?
Ikkinchi savoldan boshlaylik. Funktsiyaga ruxsat bering f(x) intervalda uzluksiz va davri bor T=2p. Bizga quyidagi formulalar kerak bo'ladi.
Har qanday butun son uchun, chunki funktsiya juft bo'ladi.
Har qanday butun uchun.
(m va n butun sonlar)
Da ( m va n butun sonlar) (III, IV, V) integrallarning har biri (I) yoki (II) integrallarning yig'indisiga aylantiriladi. Agar bo'lsa, (IV) formulada biz quyidagilarni olamiz:
Tenglik (V) ham xuddi shunday isbotlangan.
Faraz qilaylik, funksiya shunday bo'ldiki, uning uchun Furyening konvergent qatoriga kengayish topildi, ya'ni,
(E'tibor bering, yig'indi indeksdan yuqori n).
Agar qator yaqinlashsa, uning yig'indisini belgilang S(x).
dan berish oralig'ida muddatli integratsiya (ketmalarning yaqinlashuvi taxmini tufayli qonuniydir)
chunki birinchisidan tashqari barcha atamalar nolga teng (I, II munosabatlar). Bu erdan topamiz
(5.2.2) ni () ga ko'paytirish m=1,2,…) va dan gacha boʻlgan oraliqda hadlar boʻyicha integrallash koeffitsientini topamiz a n.
Tenglikning o'ng tomonida bittadan tashqari barcha shartlar nolga teng m=n(IV, V munosabatlar), shuning uchun biz olamiz
(5.2.2) ni () ga ko'paytirish m\u003d 1,2, ...) va dan gacha bo'lgan oraliqda atama bo'yicha integrallash biz ham xuddi shunday koeffitsientni topamiz. b n
Qiymatlar - (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) formulalar bilan aniqlanadigan Furye koeffitsientlari deb ataladi va trigonometrik qator (5.2.2) berilgan funktsiya uchun Furye qatoridir. f(x).
Shunday qilib, biz funktsiyaning parchalanishini oldik f(x) Furye seriyasida
Keling, birinchi savolga qaytaylik va funksiya qanday xususiyatlarga ega bo'lishi kerakligini bilib olaylik f(x), shunday qilib qurilgan Furye qatori yaqinlashadi va qatorlar yig'indisi to'liq teng bo'ladi f(x).
Ta'rif. f(x) funksiya bo'lakcha uzluksiz deyiladi, agar u uzluksiz bo'lsa yoki birinchi turdagi uzilish nuqtalarining cheklangan soniga ega bo'lsa.
Ta'rif. f(x) funktsiyasi, intervalda berilgan deb ataladi parcha-parcha monotonik, agar segmentni nuqtalar bo'yicha cheklangan miqdordagi oraliqlarga bo'lish mumkin bo'lsa, ularning har birida funktsiya monoton ravishda o'zgaradi (o'sish yoki kamayish).
Biz funktsiyalarni ko'rib chiqamiz f(x), davrga ega T=2p. Bunday funktsiyalar deyiladi 2p- davriy.
Funksiyaning Furye qatoriga kengayishi uchun yetarli shartni ifodalovchi teoremani tuzamiz.
Dirixlet teoremasi(dalilsiz qabul qiling) . Agar a 2p- davriy funktsiya f(x) segmentda bo'lak-bo'lak uzluksiz va parcha-parcha monotonik bo'lsa, u holda funktsiyaga mos keladigan Furye qatori ushbu segmentda yaqinlashadi va bu holda:
1. Funksiyaning uzluksizlik nuqtalarida qatorlar yig‘indisi funksiyaning o‘zi bilan mos tushadi S(x)=f(x);
2. Har bir nuqtada x 0 funksiya uzilishi f(x) qator yig'indisi,
bular. nuqtaning chap va o'ng tomonidagi funksiya chegaralarining o'rtacha arifmetik qiymati x 0 ;
3. Nuqtalarda (segmentning oxirida) Furye qatorining yig‘indisi ,
bular. argument intervalning ichki qismidan ushbu nuqtalarga moyil bo'lganda, segment oxiridagi funktsiyaning chegara qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati.
Eslatma: agar funktsiya f(x) 2p davri bilan butun intervalda uzluksiz va differentsial bo'ladi va uning oraliq oxiridagi qiymatlari tengdir, ya'ni davriylik tufayli bu funktsiya butun real o'qda va har qanday uchun uzluksizdir. X uning Furye seriyasining yig'indisi bilan bir xil f(x).
Shunday qilib, agar funksiya intervalda integrallansa f(x) Dirixlet teoremasining shartlarini qanoatlantirsa, u holda tenglik oraliqda sodir bo'ladi (Furye qatorida kengayish):
Koeffitsientlar (5.2.3) - (5.2.5) formulalar bo'yicha hisoblanadi.
Dirichlet shartlari matematikada va uning qo'llanilishida uchraydigan ko'pgina funktsiyalar tomonidan qondiriladi.
Funksiya qiymatlarini taxminiy hisoblash uchun Furye seriyalari, quvvat seriyalari kabi ishlatiladi. Funktsiyaning kengayishi bo'lsa f(x) ichiga trigonometrik qator sodir bo'ladi, keyin siz har doim foydalanishingiz mumkin taxminiy tenglik , bu funktsiyani bir nechta harmoniklar yig'indisi bilan almashtiring, ya'ni. qisman summa (2 n+1) Furye seriyasining muddati.
Trigonometrik qatorlar elektrotexnikada keng qo'llaniladi, ularning yordami bilan matematik fizikaning ko'plab masalalarini hal qiladi.
(-p; p) oraliqda berilgan 2p davriga ega funktsiyani Furye qatorida kengaytiring.
Qaror. Furye qatorining koeffitsientlarini toping:
Biz Furye seriyasida funktsiyaning kengayishini oldik
Uzluksizlik nuqtalarida Furye qatorining yig'indisi funksiya qiymatiga teng bo'ladi f(x)=S(x), nuqtada x=0 S(x)=1/2, nuqtalarda x=p,2p,… S(x)=1/2.
Bir qator hollarda, (C) ko'rinishdagi qatorlar koeffitsientlarini o'rganish orqali yoki bu qatorlar yaqinlashishi (ehtimol, alohida nuqtalar bundan mustasno) va ularning yig'indilari uchun Furye qatorlari ekanligi aniqlanishi mumkin (masalan, oldingi n ° ga qarang). ), lekin bu barcha holatlarda savol tug'ilishi tabiiy
bu qatorlarning yig‘indilarini qanday topish yoki aniqrog‘i, agar ular umuman shunday shaklda ifodalangan bo‘lsa, elementar funksiyalar bo‘yicha yakuniy shaklda qanday ifodalash mumkin. Hatto Eyler (shuningdek, Lagrange) ham trigonometrik qatorlarni yakuniy shaklda jamlash uchun murakkab o‘zgaruvchining analitik funksiyalaridan muvaffaqiyatli foydalangan. Eyler usulining g'oyasi quyidagicha.
Faraz qilaylik, ma'lum bir koeffitsientlar to'plami uchun (C) qator va faqat alohida nuqtalarni hisobga olmaganda, intervalning hamma joyida funktsiyalarga yaqinlashadi. Endi murakkab o'zgaruvchining darajalarida joylashgan bir xil koeffitsientlarga ega bo'lgan kuch seriyasini ko'rib chiqing
Birlik doirasining aylanasi bo'yicha, ya'ni da, bu qator alohida nuqtalarni hisobga olmaganda, faraz bilan yaqinlashadi:
Bunda daraja qatorlarining ma'lum xususiyatiga ko'ra (5) qator albatta, ya'ni birlik doirasi ichida yaqinlashadi va u erda kompleks o'zgaruvchining ma'lum bir funktsiyasini belgilaydi. Bizga ma'lum bo'lgan foydalanish [qarang. Kompleks o'zgaruvchining elementar funksiyalarini kengaytirishning XII bobning 5-§ ], ko'pincha ularga funktsiyani qisqartirish mumkin.U holda bizda:
va Abel teoremasi bo'yicha, (6) qator yaqinlashishi bilanoq, uning yig'indisi chegara sifatida olinadi.
Odatda bu chegara oddiygina teng bo'lib, bu bizga yakuniy shaklda funktsiyani hisoblash imkonini beradi
Misol uchun, seriya
Oldingi paragrafda isbotlangan bayonotlar ikkala qator bir-biriga yaqinlashadi degan xulosaga olib keladi (birinchi, 0 va punktlardan tashqari)
Ular belgilagan funksiyalar uchun Furye qatori bo‘lib xizmat qiladi, ammo bu funksiyalar nima? Bu savolga javob berish uchun biz bir qator yaratamiz
Logarifmik qatorga o'xshashligi tufayli uning yig'indisi osongina aniqlanadi:
shuning uchun,
Endi oson hisoblash quyidagilarni beradi:
shuning uchun bu ifodaning moduli, argumenti esa.
va nihoyat
Bu natijalar bizga tanish va hatto bir marta "murakkab" mulohazalar yordamida olingan; lekin birinchi holatda biz va funksiyalaridan, ikkinchisida esa analitik funktsiyadan boshladik.Bu erda birinchi marta qatorlarning o'zi boshlang'ich nuqta bo'lib xizmat qildi. O'quvchi keyingi bo'limda shunga o'xshash boshqa misollarni topadi.
Yana bir bor ta'kidlaymizki, konvergentsiya va qatorlar (C) ga oldindan ishonch hosil qilish kerak va ularning yig'indilarini cheklovchi tenglik (7) yordamida aniqlash huquqiga ega bo'lish uchun. Ushbu tenglikning o'ng tomonida chegaraning mavjudligi, yuqorida ko'rsatilgan qatorlar yaqinlashadi degan xulosaga kelishimizga hali imkon bermaydi. Buni misol bilan ko'rsatish uchun seriyani ko'rib chiqing
Bir nechta yoylarning kosinuslari va sinuslari bo'yicha, ya'ni shaklning bir qatori
yoki murakkab shaklda
qayerda a k,b k yoki mos ravishda c k chaqirdi T. r koeffitsientlari.
Birinchi marta T. r. L. Eulerda uchrashish (L. Euler, 1744). U kengaytmalarni oldi
Hamma R. 18-asr Satrning erkin tebranishi muammosini oʻrganish bilan bogʻliq holda satrning boshlangʻich holatini tavsiflovchi funksiyani T. r yigʻindisi sifatida ifodalash imkoniyati masalasi paydo boʻldi. Bu savol bir necha o'n yillar davom etgan qizg'in bahs-munozaralarga sabab bo'ldi, o'sha davrning eng yaxshi tahlilchilari - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler). Funksiya tushunchasining mazmuni bilan bog'liq bahslar. O'sha paytda funktsiyalar odatda ularning tahlillari bilan bog'liq edi. tayinlash, bu faqat analitik yoki bo'lak-bo'lak analitik funktsiyalarni ko'rib chiqishga olib keldi. Va bu erda ushbu funktsiyani ifodalovchi T. r.ni qurish uchun grafigi etarlicha ixtiyoriy bo'lgan funksiya uchun zarur bo'ldi. Ammo bu bahslarning ahamiyati kattaroqdir. Aslida, ular matematikaning ko'plab fundamental muhim tushunchalari va g'oyalari bilan bog'liq savollar bilan bog'liq holda muhokama qilishgan yoki paydo bo'lgan. umumiy tahlil - funksiyalarni Teylor qatori va analitik bilan ifodalash. funksiyalarning davomi, divergent qatorlardan, chegaralardan, cheksiz tenglamalar sistemalaridan, ko‘phadlar orqali funksiyalardan foydalanish va hokazo.
Va kelajakda, xuddi shu boshlang'ichda bo'lgani kabi, T. r nazariyasi. matematikada yangi g‘oyalar manbai bo‘lib xizmat qilgan. Furye integrali, deyarli davriy funksiyalar, umumiy ortogonal qatorlar, abstrakt . T. daryosida olib borilgan tadqiqotlar. to'plamlar nazariyasini yaratish uchun boshlang'ich nuqta bo'lib xizmat qildi. T. r. xususiyatlarni ifodalash va o‘rganish uchun kuchli vositadir.
18-asrda matematiklar oʻrtasida tortishuvlarga sabab boʻlgan savol 1807 yilda J. Furye tomonidan hal qilindi va u T. r koeffitsientlarini hisoblash formulalarini koʻrsatdi. (1), bu kerak. f(x) funksiyada ifodalanadi:
va ularni issiqlik o'tkazuvchanligi masalalarini hal qilishda qo'llagan. Formulalar (2) Furye formulalari deb ataladi, garchi ular bilan avvalroq A. Klerro (1754) duch kelgan bo'lsa-da, L. Eyler (1777) ularga atama bo'yicha integratsiyadan foydalangan holda kelgan. T. r. (1), koeffitsientlari formulalar (2) bilan aniqlanadi, deyiladi. Furye funktsiyasi f yaqinida va raqamlar a k, b k- Furye koeffitsientlari.
Olingan natijalarning tabiati funktsiyani qator sifatida tasvirlash qanday tushunilishiga, (2) formulalardagi integral qanday tushunilishiga bog'liq. T. daryosining zamonaviy nazariyasi. Lebeg integrali paydo bo'lgandan keyin olingan.
T. r nazariyasi. shartli ravishda ikkita katta bo'limga - nazariyaga bo'linishi mumkin Furye seriyasi, unda (1) qator ma'lum funktsiyaning Furye qatori deb faraz qilinadi va umumiy T. R. nazariyasi, bunda bunday taxmin qilinmaydi. Quyida umumiy T. r nazariyasida olingan asosiy natijalar keltirilgan. (bu holda to'plamlar va funktsiyalarning o'lchanishi Lebegga ko'ra tushuniladi).
Birinchi tizimli tadqiqot T. r., unda bu turkumlar Furye seriyalari ekanligi taxmin qilinmagan, V. Riemann (V. Riemann, 1853) dissertatsiyasi edi. Shuning uchun umumiy T. r nazariyasi. chaqirdi ba'zan termodinamikaning Riman nazariyasi.
Ixtiyoriy T. r.ning xossalarini oʻrganish. (1) koeffitsientlar nolga moyil bo'lgan B. Riman F(x) uzluksiz funksiyasini ko'rib chiqdi. ,
bu bir xil yaqinlashuvchi qator yig'indisidir
(1) qatorlarning ikki marta muddatli integratsiyasidan keyin olingan. Agar (1) qator x nuqtada s soniga yaqinlashsa, bu nuqtada ikkinchi simmetrik mavjud va s ga teng. F funktsiyalari:
keyin bu omillar tomonidan yaratilgan qator (1) yig'indisiga olib keladi 
chaqirdi Riemann yig'ish usuli bilan. F funktsiyasidan foydalanib, Riemanning lokalizatsiya printsipi ishlab chiqilgan bo'lib, unga ko'ra (1) qatorning x nuqtadagi xatti-harakati faqat ushbu nuqtaning o'zboshimchalik bilan kichik qo'shnisidagi F funktsiyasining xatti-harakatiga bog'liq.
Agar T. r. musbat o'lchovlar to'plamiga yaqinlashadi, keyin uning koeffitsientlari nolga intiladi (Kantor-Lebesg). Nol koeffitsientlarga moyillik T. r. ikkinchi toifadagi to'plamga yaqinlashishidan ham kelib chiqadi (V.Yang, V.Yang, 1909).
Umumiy termodinamika nazariyasining markaziy muammolaridan biri ixtiyoriy funksiyani ifodalash masalasidir T. r. N. N. Luzinning (1915) T. R. funksiyalarini Abel-Puason va Riman yigʻindisi usullari bilan tasvirlash boʻyicha natijalarini mustahkamlab, D. E. Men'shov (1940) f funksiyani ifodalashda eng muhim holatga tegishli boʻlgan quyidagi teoremani isbotladi. T. r deb tushuniladi. uchun f(x) deyarli hamma joyda. Har bir oʻlchanadigan va deyarli hamma joyda cheklangan f funksiya uchun deyarli hamma joyda unga yaqinlashuvchi T. R. mavjud (Men'shov teoremasi). Shuni ta'kidlash kerakki, agar f integral bo'lsa ham, umuman olganda, f funktsiyasining Furye qatorini bunday qator sifatida qabul qilish mumkin emas, chunki hamma joyda ajralib turadigan Furye qatorlari mavjud.
Yuqoridagi Men'shov teoremasi quyidagi takomillashtirishni tan oladi: agar f funktsiyasi deyarli hamma joyda o'lchanadigan va cheklangan bo'lsa, unda shunday mavjud bo'ladi: 
deyarli hamma joyda va j funksiyaning muddat bo‘yicha differensiallangan Furye qatori deyarli hamma joyda f(x) ga yaqinlashadi (N. K. Bari, 1952).
Men'shov teoremasining deyarli hamma joyida f funktsiyasi uchun cheklilik shartini o'tkazib yuborish mumkinmi yoki yo'qmi, ma'lum emas (1984). Xususan, ma'lum emas (1984) T. r. deyarli hamma joyda birlashadi
Shuning uchun, ijobiy o'lchovlar to'plamida cheksiz qiymatlarni olishi mumkin bo'lgan funktsiyalarni ifodalash muammosi, agar u zaifroq talab bilan almashtirilgan bo'lsa, ko'rib chiqildi - . Cheksiz qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan funktsiyalarga o'lchov bo'yicha yaqinlashuv quyidagicha aniqlanadi: T. p ning qisman yig'indilari. s n(x) f(x) funksiyaga o‘lchov jihatidan yaqinlashadi. .
agar qayerda f n(x) deyarli hamma joyda / (x) ga yaqinlashadi va ketma-ketlik nolga yaqinlashadi. Bu sharoitda funksiyalarni ifodalash muammosi oxirigacha hal qilindi: har bir oʻlchanadigan funksiya uchun oʻlchov boʻyicha unga yaqinlashuvchi T. R. mavjud (D. E. Men'shov, 1948).
T. r.ning oʻziga xosligi muammosiga koʻp tadqiqotlar bagʻishlangan: Ikki xil T. bir xil funktsiyaga ajralishi mumkinmi? boshqa formulada: agar T. r. nolga yaqinlashadi, shundan kelib chiqadiki, qatorning barcha koeffitsientlari nolga teng. Bu erda ma'lum bir to'plamdan tashqari barcha nuqtalarda yoki barcha nuqtalarda konvergentsiyani anglatishi mumkin. Bu savollarga javob asosan to'plamning xususiyatlariga bog'liq bo'lib, undan tashqarida konvergentsiya qabul qilinmaydi.
Quyidagi terminologiya o'rnatildi. Ko'p ismlar. o'ziga xoslik to'plami yoki U- o'rnating, agar, T. r yaqinlashuvidan. hamma joyda nolga, to'plamning nuqtalaridan tashqari E, shundan kelib chiqadiki, bu qatorning barcha koeffitsientlari nolga teng. Aks holda Enaz. M-to'plam.
G. Kantor (1872) ko'rsatganidek, har qanday chekli ham U-to'plamlardir. O'zboshimchalik ham U to'plamidir (V. Jung, 1909). Boshqa tomondan, har bir ijobiy o'lchov to'plami M to'plamidir.
M-o'lchovlar to'plamining mavjudligini D. E. Men'shov (1916) o'rnatgan, u ushbu xususiyatlarga ega mukammal to'plamning birinchi namunasini tuzgan. Bu natija o'ziga xoslik muammosida fundamental ahamiyatga ega. M nol oʻlchov toʻplamlari mavjudligidan kelib chiqadiki, T. R.ning deyarli hamma joyda yaqinlashuvchi funksiyalarini ifodalashda bu qatorlar oʻzgarmas ravishda noaniq tarzda aniqlanadi.
Mukammal to'plamlar U-to'plamlar ham bo'lishi mumkin (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Nol o'lchovlar to'plamining juda nozik xarakteristikalari noyoblik muammosida muhim rol o'ynaydi. Nol bo'yicha o'lchovlar to'plamining tasnifi haqida umumiy savol M- va U-setlar (1984) ochiq qoladi. Bu hatto mukammal to'plamlar uchun ham hal etilmaydi.
Quyidagi muammo o'ziga xoslik muammosi bilan bog'liq. Agar T. r. funksiyaga yaqinlashadi 
u holda bu qator funktsiyaning Furye qatori bo'lishi kerakmi /. Bu savolga P.Dyubois-Reymond (P.Dyu Bois-Reymond, 1877) ijobiy javob berdi, agar f Riman ma'nosida integrallansa va qator barcha nuqtalarda f(x) ga yaqinlashsa. Natijalardan III. J. Valli Pussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) agar qatorlar hamma joyda yaqinlashsa ham, sanab o'tiladigan nuqtalar to'plamidan tashqari va uning yig'indisi chekli bo'lsa ham, javob ijobiy bo'lishini nazarda tutadi.
Agar T. p qaysidir x 0 nuqtada mutlaq yaqinlashsa, u holda bu qatorning yaqinlashuv nuqtalari, shuningdek, uning mutlaq yaqinlashish nuqtalari x 0 nuqtaga nisbatan simmetrik joylashadi.
(P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Ga binoan Denjoy - Luzin teoremasi T. r.ning mutlaq yaqinlashuvidan. (1) musbat o'lchov to'plamida qator yaqinlashadi 
va demak, hamma uchun (1) qatorlarning mutlaq yaqinlashuvi X. Bu xususiyatga ikkinchi toifadagi to'plamlar, shuningdek, nol o'lchovlarning ma'lum to'plamlari ham ega.
Bu soʻrov faqat bir oʻlchovli T. r.ni qamrab oladi. (bitta). Umumiy T. p bilan bog'liq alohida natijalar mavjud. bir nechta o'zgaruvchilardan. Bu erda ko'p hollarda hali ham tabiiy muammo bayonotlarini topish kerak.
Lit.: Bari N. K., Trigonometrik seriyalar, M., 1961; Zigmund A., Trigonometrik qator, trans. Ingliz tilidan, 1-2-jild, M., 1965; Luzin N. N., Integral va trigonometrik seriyalar, M.-L., 1951; Riemann B., Asarlar, trans. nemis tilidan, M.-L., 1948, p. 225-61.
S. A. Telyakovskiy.
Matematik ensiklopediya. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. I. M. Vinogradov. 1977-1985 yillar.
Eslatib o'tamiz, real tahlilda trigonometrik qator bir nechta yoylarning kosinuslari va sinuslaridagi qatordir, ya'ni. shakl qatori
Biroz tarix. Bunday qatorlar nazariyasining boshlang'ich davri 18-asrning o'rtalariga torli tebranish muammosi bilan bog'liq bo'lib, kerakli funktsiya qatorlar yig'indisi sifatida qidirilgan (14.1). Bunday vakillik imkoniyati haqidagi savol matematiklar orasida bir necha o'n yillar davom etgan qizg'in munozaralarga sabab bo'ldi. Funksiya tushunchasining mazmuni bilan bog'liq bahslar. O'sha paytda funktsiyalar odatda ularning analitik tayinlanishi bilan bog'liq edi, ammo bu erda (14.1) yonidagi funktsiyani ko'rsatish kerak bo'ldi, uning grafigi juda ixtiyoriy egri chiziqdir. Ammo bu bahslarning ahamiyati kattaroqdir. Aslida, ular matematik tahlilning ko'plab fundamental muhim g'oyalari bilan bog'liq savollarni ko'tardilar.
Kelajakda, xuddi shu dastlabki davrda bo'lgani kabi, trigonometrik qatorlar nazariyasi yangi g'oyalar manbai bo'lib xizmat qildi. Aynan ular bilan bog'liq holda, masalan, to'plam nazariyasi va haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi paydo bo'ldi.
Ushbu yakuniy bobda biz yana bir bor haqiqiy va murakkab tahlilni bog'laydigan, ammo TFCT bo'yicha darsliklarda kam aks ettirilgan materialni ko'rib chiqamiz. Tahlil jarayonida ular oldindan belgilangan funktsiyadan kelib chiqib, uni trigonometrik Furye qatoriga kengaytirdilar. Bu erda biz teskari masalani ko'rib chiqamiz: berilgan trigonometrik qator uchun uning yaqinlashuvi va yig'indisini belgilang. Buning uchun Eyler va Lagrange analitik funktsiyalardan muvaffaqiyatli foydalanganlar. Ko'rinishidan, Eyler birinchi marta (1744) tenglikni qo'lga kiritdi
Quyida biz Eylerning izidan boramiz, o'zimizni faqat seriyalarning maxsus holatlari (14.1), ya'ni trigonometrik qatorlar bilan cheklaymiz.
Izoh. Quyidagi fakt asosan qo'llaniladi: agar ijobiy koeffitsientlar ketma-ketligi bo'lsa a p monotonik ravishda nolga intiladi, keyin bu qatorlar shaklning nuqtalari bo'lmagan har qanday yopiq oraliqda bir xilda yaqinlashadi. 2lx (gZ ga). Xususan, (0,2n -) oraliqda nuqtali yaqinlashuv bo'ladi. Bu haqda ishda qarang, 429-430-betlar.
Eylerning (14.4), (14.5) qatorlarini yig'ish g'oyasi shundan iboratki, z = almashtirishdan foydalangan holda. e a quvvat seriyasiga o'ting
Agar birlik doira ichida uning yig'indisini aniq topish mumkin bo'lsa, u holda muammo odatda undan haqiqiy va xayoliy qismlarni ajratish yo'li bilan hal qilinadi. Biz Eyler usulidan foydalanib, (14.4), (14.5) qatorlarning yaqinligini tekshirish kerakligini ta'kidlaymiz.
Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik. Ko'p hollarda geometrik qator foydali bo'ladi
shuningdek, undan atama bo'yicha differensiallash yoki integratsiya yo'li bilan olingan qatorlar. Misol uchun,
14.1-misol. Ketma-ket yig‘indisini toping
Qaror. Biz kosinuslar bilan o'xshash qatorni kiritamiz
Ikkala seriya ham hamma joyda birlashadi, chunki geometrik qator 1 + tomonidan kattalashtirilgan r + r 2+.... Taxmin qilib z = e"x, olamiz
Bu erda kasr shaklga keltiriladi
muammoning savoliga javobni qaerdan olamiz:
Yo'lda biz tenglikni o'rnatdik (14.2): 14.2-misol. Yig'indi qatorlar
Qaror. Yuqoridagi izohga ko'ra, ikkala qator ham belgilangan oraliqda yaqinlashadi va ular belgilaydigan funktsiyalar uchun Furye qatori bo'lib xizmat qiladi. f(x) 9 g(x). Bu qanday funktsiyalar? Savolga javob berish uchun Eyler usuliga muvofiq koeffitsientli (14.6) qator tuzamiz. a p= -. rozilik -
lekin tenglikni (14.7) olamiz
Tafsilotlarni o'tkazib yuborgan holda (o'quvchi ularni takrorlashi kerak), biz logarifm belgisi ostidagi ifodani quyidagicha ifodalash mumkinligini ta'kidlaymiz.
Ushbu ifodaning moduli - ga teng va argument (aniqrog'i, uning asosiy qiymati
- 2sin-
qiymat) teng Shuning uchun In ^ = -ln(2sin
14.3-misol. Da -qatorlarni jamladim
Qaror. Ikkala qator ham hamma joyda yaqinlashadi, chunki ularda konvergent ustunlik qiladi
umumiy a'zoning yonida -! . Qator (14,6)
n (n +1)
bevosita
J_ _\_ __1_
/?(/? +1) P /1 + 1
ns ma'lum miqdorni beradi. Buning asosida biz uni shaklda ifodalaymiz
tenglik
Bu yerda qavs ichidagi ifoda ln(l + z) va kvadrat qavs ichidagi ifoda ^ ^ + ** ^--. Demak,
= (1 + -)ln(1 + z). Hozir bu yerga qo'yish kerak z = eLX va oldingi misoldagi kabi amallarni bajaring. Tafsilotlarni e'tiborsiz qoldirib, biz buni ta'kidlaymiz Qavslarni ochish va javobni yozish qoladi. Buni o‘quvchi ixtiyoriga qoldiramiz. 14-bob uchun vazifalar Quyidagi qatorlar yig‘indisini hisoblang. 3.1.a) Agar w=u + iv, keyin va= -r- -v = -^-^.Demak l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d:) 2 Koordinatalarning kelib chiqishi bu doiradan chiqarib tashlanishi kerak, chunki (m, v) 9* (0; 0) V* e R, ohang va= lim v = 0. x-yx>.v->oo a = 1, a = 2. z "=-! + -> z,=-l - ular w = 2x; hech qayerda golomorf emas; Sent St "t" o'zgaruvchisiga bog'liq. Koshi-Riman shartlari bu funksiyalarning y dan ham mustaqil ekanligini bildiradi. 4.5. Masalan, Re ishini ko'rib chiqaylik f(z) = i(x, y) = const. Bilan Koshi-Riman shartlaridan foydalanib, bundan Im/(z) = degan xulosaga keling v(x 9y) = const. hosilaning argumenti nolga teng, u holda uning tasavvur qismi nolga teng, haqiqiy qismi esa musbat. Bu erdan javobni oling: to'g'ridan-to'g'ri da = -X-1 (X * 0). b) aylana z + i=j2. qavs ichidagi ifoda bir xil ma'noni oldi, keyin ular bo'lar edi bu irratsionallikka ziddir a . da= 0, -1 x 1 bizda mavjud va =--e [-1,1]" v = 0. Chegaraning ikkinchi segmentini - yarim doirani ko'rib chiqing. z=EI,tg. Ushbu bo'limda ifoda shaklga aylantiriladi w=u=-- ,/* -. Orasida. (8.6) ga binoan kerakli integral ga teng
b). Pastki yarim doira tenglamasi shaklga ega z(t) = e“,t e[l, 2n). Formula (8.8) bo'yicha integral ga teng z = t + i,te. Javob: - + - i. .1 .t+2/r e 2, e 2. Masalaning shartlaridan kelib chiqadiki, biz ildizning asosiy qiymati haqida gapiramiz: Vz, ya'ni. ulardan birinchisi haqida. Keyin integral bo'ladi 8.3. Muammoni hal qilishda chizma ataylab berilmaydi, lekin o'quvchi uni to'ldirishi kerak. Berilgan ikkita i, /> e C nuqtalarini bog‘lovchi to‘g‘ri chiziqli segment tenglamasi qo‘llaniladi (a - Boshlash, b - end): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Keling, kerakli integralni to'rtga ajratamiz: I = I AB + I BC + I CD +1
D.A. Segmentda AB bizda ... bor z- (1 -1)
? 1 +1
/, shuning uchun (8.8) ga ko'ra ushbu segmentdagi integral ga teng Shunga o'xshash tarzda davom etsak, biz topamiz o'z ichiga G va ns o'z ichiga olgan D maydoni a. /),/] ga qo'llaniladigan integral teorema bo'yicha kerakli integral nolga teng. Geometrik qator 1 + q + q2 (|| /(z) = /(-^z) shaklida ifodalaydi. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz buni taxmin qilishimiz mumkin 0 nuqtada markazlashtirilgan funksiyaning Teylor qatorining yaqinlashish radiusi birdan katta. Bizda ... bor: Funktsiyaning qiymatlari konvergentsiya doirasiga tegishli chegara nuqtasi bo'lgan diskret to'plamda bir xil bo'ladi. Yagonalik teoremasi bo'yicha /(z) = const. 11.3. Istalgan analitik funksiya /(z) mavjud deb faraz qilaylik. Keling, uning qiymatlarini funktsiya bilan taqqoslaylik (z) = z2 to'plamda E, nuqtalardan iborat z n = - (n = 2,3,...). Ularning ma'nolari bir xil va shundan beri E berilgan aylanaga tegishli chegara nuqtasiga ega, keyin yagonalik teoremasi bo'yicha /(z) = z 2 berilgan aylananing barcha argumentlari uchun. Lekin bu /(1) = 0 shartiga ziddir. Javob: ns mavjud emas. 12.2. a). Funksiyani shaklda ifodalang va qavslarni kengaytiring. oddiy qutblar 1,-1,/. Ulardagi qoldiqlar yig'indisi -- ga, integral esa teng ichida). Qutblar orasida 2 Trki(kGZ) integralning faqat ikkitasi berilgan aylana ichida yotadi. Bu 0 va 2 I ikkalasi ham oddiy, ulardagi qoldiqlar teng 1. Javob: 4z7. uni 2/r/ ga ko'paytiring. Tafsilotlarni qoldirib, biz javobni ko'rsatamiz: / = -i . 13.2. a). Keling, e" = z ni qo'yamiz e"idt =dz
, dt= - .
Xo e" - e~" z-z~ x sin / =-=-, intefal shaklga tushiriladi Bu yerda maxraj faktorlarga ajratiladi (z-z,)(z-z 2), bu yerda z, = 3 - 2 V2 / aylana ichida yotadi. da
, a z,=3 + 2V2 / yuqorida yotadi. Oddiy z qutbga nisbatan qoldiqni (13.2) va formuladan foydalanib topish qoladi. b) . Yuqoridagi kabi faraz qilsak, e" = z
, biz intefalni shaklga qisqartiramiz Subintefal funktsiya uchta oddiy qutbga ega (qaysi biri?). Ulardagi qoldiqlarni hisoblash uchun o'quvchini qoldirib, biz javobni ko'rsatamiz: I=
. teng 2(^-1- h-dt).
Qavs ichidagi integralni / bilan belgilang. Cos "/ = - (1 + cos2f) tengligini qo'llasak, / = [- cit
. a), b) hollarga o‘xshatish bo‘yicha o‘zgartirish kiriting e 2, t
= z, integralni shaklga keltiring bu erda integratsiya egri chizig'i bir xil birlik doirasi. Keyingi argumentlar a) holidagi kabi. Javob: original, qidirilayotgan integral /r(2-n/2) ga teng. 13.3. a). Yordamchi kompleks integralni ko'rib chiqing /(/?)=f f(z)dz, qayerda f(z) = - p-, G (I) - dan tuzilgan kontur yarim doiralar y (R): | z |= R> 1, Imz > 0 va barcha diametrlar (chizma qiling). Keling, bu integralni ikki qismga ajratamiz - interval bo'yicha [-/?,/?] va bo'yicha. y (R). Ya. Sxema ichida faqat oddiy qutblar yotadi z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (186-rasm). Ularning qoldiqlariga nisbatan biz quyidagilarni topamiz: Bu integral tugaganligini tekshirish uchun qoladi y(R) sifatida nolga intiladi R. Tengsizlikdan |g + A|>||i|-|/>|| va uchun integralni baholashdan z e y(R) shundan kelib chiqadi
