Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining taqsimlanish zichligi. Ikki tasodifiy mustaqil o'zgaruvchilar yig'indisining taqsimlanishi. Yig'indini taqsimlash uchun taxminiy ma'lumotlar

Ta'rif. X 1 , X 2 , …, X n tasodifiy oʻzgaruvchilar mustaqil deyiladi, agar har qanday x 1, x 2 , …, x n uchun hodisalar mustaqil boʻlsa.

(ō: X 1 (ō)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadiki, mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar uchun X 1, X 2, …, X n tarqatish funktsiyasi n-o'lchovli tasodifiy miqdor X = X 1, X 2, …, X n tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalarining mahsulotiga teng X 1, X 2, …, X n

F(x 1 , x2, …, x n) = F(x 1)F(x2)…F(x n). (1)

Keling, tenglikni farqlaylik (1) n marta tomonidan x 1 , x2, …, x n, olamiz

p(x 1 , x2, …, x n) = p(x 1)p(x2)…p(x n). (2)

Tasodifiy o'zgaruvchilarning mustaqilligining yana bir ta'rifini berish mumkin.

Agar bitta tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni boshqa tasodifiy o'zgaruvchilar qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa, unda bunday tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisida mustaqil deb ataladi.

Masalan, turli nashrlarning ikkita lotereya chiptalari sotib olinadi. Mayli X- birinchi chipta uchun yutuq miqdori; Y– ikkinchi chipta uchun yutuq miqdori. tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y- mustaqil, chunki bitta chiptani yutib olish ikkinchisining taqsimlanish qonuniga ta'sir qilmaydi. Ammo agar chiptalar bir xil masala bo'lsa, unda X va Y- qaram.

Ikki tasodifiy o'zgaruvchi mustaqil deb ataladi, agar ulardan birining taqsimot qonuni boshqa o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlariga qarab o'zgarmasa.

Teorema 1(konvolyutsiyalar) yoki "2 ta tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining zichligi haqidagi teorema".

Mayli X = (X 1;X 2) mustaqil uzluksiz ikki oʻlchovli tasodifiy miqdor, Y = X 1+ X 2. Keyin tarqatish zichligi

Isbot. Ko'rsatish mumkinki, agar , keyin

qayerda X = (X 1 , X 2 , …, X n). Keyin agar X = (X 1 , X 2), keyin taqsimlash funktsiyasi Y = X 1 + X 2 ni quyidagicha aniqlash mumkin (1-rasm) –

Ta'rifga muvofiq, funktsiya tasodifiy o'zgaruvchan Y = X 1 + X 2 ning taqsimlanish zichligi, ya'ni.

py (t) = isbotlanishi kerak edi.

Ikki mustaqil diskret tasodifiy miqdorlar yig‘indisining ehtimollik taqsimotini topish formulasini chiqaramiz.

Teorema 2. Mayli X 1 , X 2 - mustaqil diskret tasodifiy o'zgaruvchilar,

Isbot. Bir voqeani tasavvur qiling A x = {X 1 +X 2 = x) mos kelmaydigan hodisalar yig'indisi sifatida

A x = å( X 1 = x men; X 2 = x– x i).

Chunki X 1 , X 2 - keyin mustaqil P(X 1 = x men; X 2 = x– x i) = P(X 1 = x i) P(X 2 = x-x i), keyin

P(A x) = P(å( X 1 = x men; X 2 = x – x i)) = å( P(X 1 = x i) P(X 2 = x-x i))

Q.E.D.

1-misol Mayli X 1 , X 2 - parametrlari bilan normal taqsimotga ega bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar N(0;1); X 1 , X 2 ~ N(0;1).

Keling, ularning yig'indisining tarqalish zichligini topamiz (biz belgilaymiz X 1 = x, Y = X 1 +X 2)

Integrand oddiy tasodifiy miqdorning parametrlar bilan taqsimlanish zichligi ekanligini tushunish oson. a= , , ya'ni. integral 1 ga teng.

Funktsiya py(t) a = 0, s = parametrli normal taqsimotning zichligi. Shunday qilib, (0,1) parametrli mustaqil normal tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi parametrlari (0,) bilan normal taqsimotga ega, ya'ni. Y = X 1 + X 2 ~ N(0;).

2-misol. U holda Puasson taqsimotiga ega ikkita diskret mustaqil tasodifiy miqdorlar berilsin

qayerda k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

2-teorema bo'yicha bizda:

3-misol Mayli X 1, X 2 - eksponensial taqsimotga ega mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar. Keling, zichlikni topamiz Y= X 1 +X 2 .

Belgilamoq x = x 1. beri X 1, X 2 - mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar, keyin biz "konvolyutsiya teoremasi" dan foydalanamiz

Ko'rsatish mumkinki, agar summa ( X i l parametrli eksponensial taqsimotga ega bo'lsin), keyin Y= Erlang taqsimoti deb nomlangan taqsimotga ega ( n- 1) buyurtma. Bu qonun navbat nazariyasiga oid dastlabki ishlarda telefon stansiyalarining ishlashini modellashtirish orqali olingan.

Matematik statistikada ko'pincha mustaqil normal tasodifiy o'zgaruvchilar funksiyasi bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimlanish qonunlaridan foydalaniladi. Keling, tasodifiy hodisalarni modellashtirishda eng ko'p uchraydigan uchta qonunni ko'rib chiqaylik.

Teorema 3. Agar tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'lsa X 1, ..., X n, u holda bu tasodifiy o'zgaruvchilarning funktsiyalari ham mustaqildir Y 1 = f 1 (X 1), ...,Y n = f n(X n).

Pearson taqsimoti(2 dan -tarqatish). Mayli X 1, ..., X n parametrli mustaqil normal tasodifiy miqdorlardir a= 0, s = 1. Tasodifiy miqdorni tuzing

Shunday qilib,

X > 0 uchun zichlik ko'rinishga ega ekanligini ko'rsatish mumkin, bu erda k n - bajariladigan shart uchun qandaydir koeffitsientdir. n ® ¥ sifatida, Pearson taqsimoti normal taqsimotga intiladi.

X 1 , X 2 , …, Xn ~ N(a,s), keyin tasodifiy miqdorlar ~ N(0,1) bo'lsin. Shuning uchun tasodifiy miqdor n erkinlik darajasi bilan c 2 taqsimotiga ega.

Pirson taqsimoti jadvalga keltiriladi va matematik statistikaning turli ilovalarida qoʻllaniladi (masalan, taqsimot qonunining izchilligi haqidagi gipotezani tekshirishda).

Qaror qabul qiluvchi tasodifiy hodisalarning ayrim turlarining salbiy moliyaviy ta'sirini yumshatish uchun sug'urtadan foydalanishi mumkin.

Ammo bu munozara juda umumiydir, chunki qaror qabul qiluvchi deganda mulkka, jamg'armaga yoki daromadga zarar yetkazilishidan himoyalanishni so'ragan shaxs ham, bir xil turdagi zarardan himoyalanishga intilayotgan tashkilot ham tushunilishi mumkin.

Aslida, bunday tashkilot shaxsiy mijoz yoki uning sug'urta portfeli bilan sodir bo'lgan juda ko'p sug'urta hodisalari tufayli o'zini moliyaviy yo'qotishlardan himoya qilish yo'llarini izlayotgan sug'urta kompaniyasi bo'lishi mumkin. Ushbu himoya deyiladi qayta sug'urtalash.

Ikki modeldan birini ko'rib chiqing (masalan individual xavf modeli) sug'urta tariflari va rezervlarini aniqlashda hamda qayta sug'urtalashda keng qo'llaniladi.

tomonidan belgilang S sug'urta kompaniyasining xavflarining bir qismi uchun tasodifiy yo'qotishlar miqdori. Ushbu holatda S tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, biz ehtimollik taqsimotini aniqlashimiz kerak. Tarixiy jihatdan, r.v.ni taqsimlash uchun. S postulatlarning ikkita to'plami mavjud edi. Shaxsiy xavf modeli belgilaydi S quyida bayon qilinganidek:

qayerda r.v. raqam bilan sug'urta ob'ekti tomonidan etkazilgan zararlarni anglatadi men, a n sug'urta ob'ektlarining umumiy sonini bildiradi.

Odatda ular mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar deb taxmin qilinadi, chunki bu holda matematik hisob-kitoblar soddaroq va ular orasidagi munosabatlarning tabiati haqida ma'lumot talab qilinmaydi. Ikkinchi model - jamoaviy xavf modeli.

Ko'rib chiqilgan individual risk modeli vaqt o'tishi bilan pul qiymatining o'zgarishini aks ettirmaydi. Bu modelni soddalashtirish uchun amalga oshiriladi, shuning uchun maqolaning sarlavhasi qisqa vaqt oralig'iga ishora qiladi.

Biz faqat yopiq modellarni ko'rib chiqamiz, ya'ni. sug'urta ob'ektlari soni ko'rsatilganlar n(1.1) formulada ko'rib chiqilgan vaqt oralig'ining boshida ma'lum va belgilangan. Agar sug'urta tizimidan yoki sug'urta tizimiga migratsiya mavjudligi haqida taxminlarni kiritadigan bo'lsak, biz ochiq modelga ega bo'lamiz.

Shaxsiy to'lovlarni tavsiflovchi tasodifiy o'zgaruvchilar

Birinchidan, hayotni sug'urta qilish bo'yicha asosiy qoidalarni eslaylik.

Bir yil muddatga o'lim sug'urtasi bo'lsa, sug'urtalovchi summani to'lash majburiyatini oladi b, agar sug'urta qildiruvchi sug'urta shartnomasi tuzilgan kundan boshlab bir yil ichida vafot etsa va agar sug'urta qildiruvchi bu yil yashasa, hech narsa to'lamasa.

Belgilangan yil davomida sug'urta hodisasining sodir bo'lish ehtimoli bilan belgilanadi.

Sug'urta to'lovlarini tavsiflovchi tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik funktsiyasi bilan aniqlanishi mumkin bo'lgan taqsimotga ega

(2.1)

yoki tegishli taqsimlash funktsiyasi

(2.2)

Formuladan (2.1) va momentlarning ta'rifidan biz olamiz

(2.4)

Bu formulalarni yozish orqali ham olish mumkin X sifatida

bu erda o'lim holatida to'lanadigan doimiy qiymat va tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, o'lim paytida 1, boshqa hollarda esa 0 qiymatini oladi.

Shunday qilib, va , va r.v.ning o'rtacha qiymati va dispersiyasi. teng va mos ravishda, va r.v ning o'rtacha qiymati va dispersiyasi. va ga teng bo'lib, yuqoridagi formulalarga to'g'ri keladi.

(0,1) diapazonli tasodifiy o'zgaruvchi aktuar modellarda keng qo'llaniladi.

Ehtimollar nazariyasi bo'yicha darsliklarda u deyiladi ko'rsatkich, Bernoulli tasodifiy qiymati yoki binomial tasodifiy o'zgaruvchi yagona sinov dizaynida.

Biz unga qo'ng'iroq qilamiz ko'rsatkich qisqalik sabablari, shuningdek, u ko'rib chiqilayotgan hodisaning boshlanishi yoki boshlanmaganligini ko'rsatadi.

Keling, sug'urta to'lovining qiymati ham tasodifiy o'zgarmaydigan va ko'rib chiqilayotgan vaqt oralig'ida bir nechta sug'urta hodisalari sodir bo'lishi mumkin bo'lgan umumiy modellarni qidirishga o'tamiz.

Sog'liqni saqlash sug'urtasi, avtoulov va boshqa mulk sug'urtasi va javobgarlik sug'urtasi darhol ko'plab misollar keltiradi. Formulani (2.5) umumlashtirib, biz o'rnatamiz

bu erda ko'rib chiqilgan vaqt oralig'ida sug'urta to'lovlarini tavsiflovchi tasodifiy o'zgaruvchi, r.v. bu intervaldagi to'lovlarning umumiy miqdorini bildiradi va r.v. kamida bitta sug'urta hodisasi sodir bo'lgan hodisaning ko'rsatkichidir.

Bunday hodisaning ko'rsatkichi bo'lib, r.v. mavjudligini aniqlaydi () yoki etishmasligi () bu vaqt oralig'idagi sug'urta hodisalari, lekin undagi sug'urta hodisalari soni emas.

Ehtimollik bilan belgilanishi davom etadi.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz va tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimlanishini aniqlaymiz va ba'zi modellarda.

Keling, birinchi navbatda, agar o'lim baxtsiz hodisa bo'lsa, qo'shimcha foyda bilan bir yil davomida o'lim sug'urtasini ko'rib chiqaylik.

Aniqlik uchun, faraz qilaylik, agar baxtsiz hodisa natijasida vafot etgan bo'lsa, u holda to'lov miqdori 50 000, boshqa sabablarga ko'ra o'lim bo'lsa, to'lov miqdori 25 000 bo'ladi.

Faraz qilaylik, ma'lum bir yoshga, sog'lig'iga va kasbiga ega bo'lgan shaxs uchun yil davomida baxtsiz hodisa natijasida o'lish ehtimoli 0,0005, boshqa sabablarga ko'ra o'lish ehtimoli esa 0,0020 ga teng. Formula shaklida u quyidagicha ko'rinadi:

ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini yig'ib, biz olamiz

,

Shartli taqsimot c. ichida. holat shaklga ega

Keling, avtomobil to'qnashuvi sug'urtasini (avtomobil egasiga uning mashinasiga etkazilgan zarar uchun to'lanadigan tovon) so'zsiz chegirib tashlash 250 va maksimal to'lov 2000 ni ko'rib chiqaylik.

Aniqlik uchun, jismoniy shaxs uchun ko'rib chiqilayotgan vaqt ichida bitta sug'urta hodisasining yuzaga kelish ehtimoli 0,15 ga, bir nechta to'qnashuvlarning yuzaga kelish ehtimoli esa nolga teng deb faraz qilamiz:

, .

R.v.ni taqsimlashni soddalashtirish maqsadida bir davr mobaynida bir nechta sug‘urta hodisasi sodir bo‘lishi mumkin emasligi haqidagi haqiqatga to‘g‘ri kelmaydigan taxmin qilingan. .

Bir nechta sug'urta da'volari yig'indisini taqsimlashni ko'rib chiqqanimizdan so'ng, keyingi bo'limda bu taxminni to'xtatamiz.

Avtomobilga etkazilgan zarar emas, balki sug'urtalovchining to'lovlarining qiymati bo'lgani uchun biz ikkita xususiyatni ko'rib chiqishimiz mumkin va.

Birinchidan, hodisa 250 ga teng bo'lgan shartsiz chegirib tashlashdan kamroq bo'lgan to'qnashuvlarni o'z ichiga oladi.

Ikkinchidan, r.v.ni taqsimlash. 2000 ga teng bo'lgan sug'urta to'lovlarining maksimal miqdori nuqtasida ehtimollik massasining "laxtasi" bo'ladi.

Faraz qilaylik, bu nuqtada konsentrlangan ehtimollik massasi 0,1 ga teng. Bundan tashqari, 0 dan 2000 gacha bo'lgan oraliqdagi sug'urta to'lovlarining qiymatini zichlik funktsiyasiga mutanosib bo'lgan uzluksiz taqsimlash orqali modellashtirish mumkin, deylik. (Amalda, mukofotlarning taqsimlanishini ifodalash uchun tanlangan uzluksiz egri chiziq oldingi davrdagi mukofotlarni o'rganish natijasidir.)

R.v.ning shartli taqsimlanishi haqidagi bu taxminlarni umumlashtirib. shartga ko'ra, biz 0 dan 2000 gacha bo'lgan oraliqda musbat zichlikka va 2000 nuqtasida ehtimollik massasining ma'lum bir "to'plamiga" ega bo'lgan aralash turdagi taqsimotga erishamiz. Bu rasmdagi grafikda ko'rsatilgan. 2.2.1.

Ushbu shartli taqsimotning taqsimlash funktsiyasi quyidagicha ko'rinadi:

2.1-rasm. R.v.ning taqsimlanish funksiyasi. B sharti ostida I = 1

Ko'rib chiqilayotgan misoldagi matematik kutish va dispersiyani avtomobil sug'urtasi bilan ikki usulda hisoblaymiz.

Birinchidan, biz r.v.ning taqsimlanishini yozamiz. va hisoblash uchun foydalaning va . r.v.ning taqsimlash funksiyasi orqali belgilovchi. , bizda ... bor

Uchun x<0

Bu aralash taqsimot. Shaklda ko'rsatilganidek. 2.2, u ham diskret (2000-nuqtadagi ehtimollik massasining yig'indisi) va uzluksiz qismga ega. Bunday taqsimot funksiyasi ehtimollik funksiyasining kombinatsiyasiga mos keladi

Guruch. 2.2. R.v.ning taqsimlanish funksiyasi. X=IB

va zichlik funktsiyalari

Xususan, va . Shunung uchun .

Tasodifiy o'zgaruvchilar momentlarini shartli matematik taxminlar bilan bog'laydigan bir qator formulalar mavjud. Matematik kutish va dispersiya uchun bu formulalar shaklga ega

(2.10)

(2.11)

Bu tengliklarning chap tomonidagi ifodalar to'g'ridan-to'g'ri r.v.ning taqsimlanishidan hisoblangan deb taxmin qilinadi. . O'ng tomondagi ifodalarni hisoblashda, ya'ni, va r.v.ning shartli taqsimlanishi qo'llaniladi. r.v ning belgilangan qiymatida. .

Demak, bu iboralar r.v.ning vazifalari. , va biz r.v ning taqsimlanishi yordamida ularning momentlarini hisoblashimiz mumkin. .

Shartli taqsimotlar ko'plab aktuar modellarda qo'llaniladi va bu yuqoridagi formulalarni to'g'ridan-to'g'ri qo'llash imkonini beradi. Bizning modelimizda. r.v.ni hisobga olgan holda. kabi va r.v. kabi, olamiz

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

va shartli matematik taxminlarni ko'rib chiqing

(2.16)

(2.17)

(2.16) va (2.17) formulalar r.v.ning funksiyasi sifatida aniqlanadi. , uni quyidagi formula sifatida yozish mumkin:

dan boshlab, keyin (2.21)

Chunki bizda va (2.22)

(2.21) va (2.22) formulalar birlashtirilishi mumkin: (2.23)

Shunday qilib, (2.24)

(2.21), (2.20) va (2.24) ni (2.12) va (2.13) ga almashtirsak, biz hosil bo'lamiz.

Qabul qilingan formulalarni hisoblash uchun va avtomobil sug'urtasi misolida qo'llaymiz (2.2-rasm). R.v.ning zichlik funksiyasidan beri. Vaziyatda formula bilan ifodalanadi

va P(B=2000|I=1)= 0,1, bizda bor

Nihoyat, taxmin qilish q= 0.15, (2.25) va (2.26) formulalardan biz quyidagi tenglikni olamiz:

Boshqa sug'urta holatini tavsiflash uchun biz r.v. uchun boshqa modellarni taklif qilishimiz mumkin. .

Misol: aviatsiya hodisalari tufayli vafot etganlar sonining modeli

Misol tariqasida, aviakompaniya faoliyatining bir yillik davrida aviatsiya hodisalari oqibatida halok bo'lganlar soni modelini ko'rib chiqing.

Biz bir parvoz uchun o'lim sonini tavsiflovchi tasodifiy o'zgaruvchidan boshlashimiz mumkin va keyin bu tasodifiy o'zgaruvchilarni bir yil davomida barcha parvozlar bo'yicha yig'ishimiz mumkin.

Bir parvoz uchun hodisa havo halokatining boshlanishini ko'rsatadi. Ushbu falokatga olib kelgan o'limlar soni ikkita tasodifiy o'zgaruvchining ko'paytmasi bilan ifodalanadi va bu erda samolyot yuk koeffitsienti, ya'ni halokat paytida bortdagi odamlar soni va odamlar o'rtasidagi o'lim nisbati. doska.

O'limlar soni shu tarzda taqdim etiladi, chunki r.v uchun statistik ma'lumotlardan ko'ra alohida statistik ma'lumotlar va ulardan foydalanish qulayroqdir. . Shunday qilib, bortdagi odamlar o'rtasidagi o'limlar nisbati va bortdagi odamlar soni, ehtimol, bir-biriga bog'liq bo'lsa-da, birinchi taxmin sifatida, r.v. va mustaqil.

Mustaqil tasodifiy miqdorlar yig'indisi

Individual risk modelida sug'urta kompaniyasi tomonidan amalga oshirilgan sug'urta to'lovlari ko'plab jismoniy shaxslarga to'lovlar yig'indisi sifatida taqdim etiladi.

Mustaqil tasodifiy miqdorlar yig'indisining taqsimlanishini aniqlashning ikkita usulini eslang. Birinchidan, ikkita tasodifiy o'zgaruvchining yig'indisini ko'rib chiqing, ularning namunaviy maydoni rasmda ko'rsatilgan. 3.1.

Guruch. 2.3.1. Tadbir

Chiziq va bu chiziq ostidagi maydon hodisani ifodalaydi. Shuning uchun r.v ning taqsimlash funksiyasi. S(3.1) shaklga ega

Ikki diskret manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun biz umumiy ehtimollik formulasidan foydalanamiz va (3.1) ni quyidagicha yozishimiz mumkin.

Agar a X va Y mustaqil bo'lsa, oxirgi yig'indi sifatida qayta yozilishi mumkin

(3.3)

Bu taqsimot funksiyasiga mos keladigan ehtimollik funksiyasini formula orqali topish mumkin

(3.4)

Uzluksiz manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun (3.2), (3.3) va (3.4) formulalarga mos keladigan formulalar shaklga ega.

Bir yoki ikkala tasodifiy o'zgaruvchi bo'lganda X va Y aralash turdagi taqsimotga ega (bu individual xavf modellari uchun xosdir), formulalar o'xshash, ammo og'irroq. Salbiy qiymatlarni ham qabul qilishi mumkin bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun yuqoridagi formulalardagi yig'indilar va integrallar y ning barcha qiymatlari ustidan olinadi.

Ehtimollar nazariyasida (3.3) va (3.6) formulalardagi amal ikkita taqsimot funksiyasining konvolyutsiyasi deb ataladi va bilan belgilanadi. Konvolyutsiya operatsiyasini (3.4) va (3.7) formulalar yordamida ehtimollik yoki zichlik funksiyalari juftligi uchun ham aniqlash mumkin.

Ikkitadan ortiq tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining taqsimlanishini aniqlash uchun biz konvolyutsiya jarayonining iteratsiyasidan foydalanishimiz mumkin. Uchun , bu yerda mustaqil tasodifiy miqdorlar, r.v.ning taqsimlanish funksiyasini bildiradi va r.v.ning taqsimot funksiyasi. , olamiz

3.1-misol uchta diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ushbu protsedurani ko'rsatadi.

3.1-misol. Tasodifiy o'zgaruvchilar , va mustaqil bo'lib, quyidagi jadvalning (1), (2) va (3) ustunlari bilan belgilangan taqsimotlarga ega.

r.v ning ehtimollik funksiyasi va taqsimot funksiyasini yozamiz.

Yechim. Jadvalda misoldan oldin kiritilgan belgidan foydalaniladi:

(1)-(3) ustunlar mavjud ma'lumotlarni o'z ichiga oladi.

(4) ustun (1) va (2) ustunlardan (3.4) yordamida olinadi.

(5) ustun (3) va (4) ustunlardan (3.4) yordamida olinadi.

(5) ustunning ta'rifi r.v uchun ehtimollik funksiyasini aniqlashni yakunlaydi. . Uning (8) ustunidagi taqsimlash funktsiyasi yuqoridan boshlab (5) ustunning qisman yig'indilari to'plamidir.

Aniqlik uchun biz (6) ustunni, (1) va (6) ustunlardan (2.3.3) va (8) yordamida to'g'ridan-to'g'ri olinishi mumkin bo'lgan ustun (1) ustunini (7) taqsimlash funksiyasini kiritdik. ) (3) va (7) ustunlar uchun xuddi shunday tarzda aniqlanadi. (5) ustunni (8) ustundan ketma-ket ayirish yo'li bilan aniqlash mumkin.

Keling, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarga ega ikkita misolni ko'rib chiqaylik.

3.2-misol. r.v. (0,2) oraliqda bir xil taqsimotga ega va r.v. r.v ga bog'liq emas. va (0,3) oraliqda bir xil taqsimotga ega. r.v ning taqsimot funksiyasini aniqlaylik.

Yechim. r.v.ning taqsimlanishidan beri. va uzluksiz, biz (3.6) formuladan foydalanamiz:

Keyin

r.v.ning namunaviy maydoni. va rasmda tasvirlangan. 3.2. To'rtburchaklar maydon juftlikning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini o'z ichiga oladi va . Bizni qiziqtirgan hodisa, , besh qiymat uchun rasmda tasvirlangan s.

Har bir qiymat uchun chiziq o'qni kesib o'tadi Y nuqtada s va nuqtadagi chiziq. Ushbu besh holat uchun funktsiya qiymatlari quyidagi formula bilan tavsiflanadi:

Guruch. 3.2. Ikkita bir xil taqsimotning konvolyutsiyasi

3.3-misol. Keling, uchta mustaqil r.v.ni ko'rib chiqaylik. . R.v uchun. eksponensial taqsimotga ega va . r.v.ning zichlik funksiyasi topilsin. konvolyutsiya operatsiyasini qo'llash orqali.

Yechim. Bizda ... bor

Formuladan (3.7) uch marta foydalanib, biz olamiz

Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining taqsimlanishini aniqlashning yana bir usuli moment hosil qiluvchi funktsiyaning o'ziga xosligiga asoslanadi, bu r.v. munosabati bilan belgilanadi .

Agar bu matematik kutish hamma uchun chekli bo'lsa t kelib chiqishini o'z ichiga olgan ba'zi ochiq intervaldan, keyin r.v ning taqsimlanish momentlarining yagona hosil qiluvchi funktsiyasidir. dan boshqa funksiya yoʻq degan maʼnoda, r.v.ning taqsimlanish momentlarini hosil qiluvchi funksiya boʻlardi. .

Bu o'ziga xoslik quyidagicha ishlatilishi mumkin: summa uchun

Agar ular mustaqil bo'lsa, u holda (3.8) formuladagi mahsulotning kutilishi teng bo'ladi ..., shunday qilib

Momentlarning hosil qiluvchi funksiyasiga (3.9) mos keladigan yagona taqsimotning aniq ifodasini topish r.v.ning taqsimlanishini topishni yakunlaydi. . Agar uni aniq ko'rsatishning iloji bo'lmasa, uni raqamli usullar bilan qidirish mumkin.

3.4-misol. 3.3-misoldagi tasodifiy o'zgaruvchilarni ko'rib chiqing. R.v.ning zichlik funksiyasini aniqlaymiz. , r.v.ning momentlarini hosil qiluvchi funksiyadan foydalangan holda. .

Yechim. Tenglikka ko'ra (3.9), deb yozilishi mumkin oddiy kasrlarga ajratish usuli yordamida. Yechim shunday . Lekin parametr bilan ko'rsatkichli taqsimot momentlarining hosil qiluvchi funktsiyasi, shuning uchun r.v.ning zichlik funktsiyasi. shaklga ega

3.5-misol. Tasodifiy jarayonlarni o'rganishda teskari Gauss taqsimoti kiritildi. U r.v ni taqsimlash sifatida ishlatiladi. DA, sug'urta to'lovlari miqdori. Teskari Gauss taqsimoti momentlarining zichlik funksiyasi va hosil qiluvchi funksiyasi formulalar bilan berilgan.

r.v ning taqsimlanishi topilsin. , bu yerda r.v. mustaqil va bir xil teskari Gauss taqsimotiga ega.

Yechim.(3.9) formuladan foydalanib, r.v. momentlarning hosil qiluvchi funksiyasi uchun quyidagi ifodani olamiz. :

Momentlarning hosil qiluvchi funksiyasi yagona taqsimotga mos keladi va u va parametrlari bilan teskari Gauss taqsimotiga ega ekanligini ko'rish mumkin.

Yig'indini taqsimlash uchun taxminiy ma'lumotlar

Markaziy chegara teoremasi mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisini taqsimlash uchun raqamli qiymatlarni topish usulini beradi. Odatda bu teorema mustaqil va bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi uchun tuziladi, bu erda .

Har qanday n uchun r.v ning taqsimlanishi. qaerda = , matematik kutish 0 va dispersiyaga ega 1. Ma'lumki, bunday taqsimotlar ketma-ketligi (uchun) n= 1, 2, ...) standart normal taqsimotga intiladi. Qachon n katta, bu teorema r.v ning taqsimlanishini taxminiy hisoblash uchun qo'llaniladi. o'rtacha bilan normal taqsimot μ va dispersiya. Xuddi shunday, summaning taqsimlanishi n tasodifiy o'zgaruvchilar o'rtacha va dispersiyaga ega normal taqsimot bilan yaqinlashadi.

Bunday yaqinlashishning samaradorligi nafaqat atamalar soniga, balki atamalar taqsimotining normalga yaqinligiga ham bog'liq. Ko'pgina boshlang'ich statistika kurslari taxminiy bo'lishi uchun n kamida 30 bo'lishi kerakligini ta'kidlaydi.

Shu bilan birga, simulyatsiya modellashtirishda qo'llaniladigan normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarni yaratish dasturlaridan biri (0,1) oraliqda bir xil taqsimlangan o'rtacha 12 ta mustaqil tasodifiy o'zgaruvchi sifatida normal tasodifiy o'zgaruvchini amalga oshiradi.

Ko'pgina individual xavf modellarida yig'indiga kiritilgan tasodifiy o'zgaruvchilar teng taqsimlanmagan. Bu keyingi bo'limda misollar bilan tasvirlanadi.

Markaziy chegara teoremasi teng bo'lmagan taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligiga ham taalluqlidir.

Individual risk modelining ba'zi qo'llanilishini ko'rsatish uchun biz raqamli echimlarni olish uchun mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining taqsimlanishining normal yaqinlashuvidan foydalanamiz. Agar a , keyin

va bundan keyin, agar r.v. mustaqil, keyin

Ko'rib chiqilayotgan dastur uchun bizga faqat kerak:

• individual yo'qotishlarni simulyatsiya qiluvchi tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha va dispersiyalarini toping;
• umuman sug'urta kompaniyasining yo'qotishlarining o'rtacha va farqini olish uchun ularni jamlash;
• oddiy yaqinlashuvdan foydalaning.

Quyida biz ushbu harakatlar ketma-ketligini tasvirlaymiz.

Sug'urta uchun arizalar

Ushbu bo'lim to'rtta misol bilan oddiy yaqinlashuvdan foydalanishni ko'rsatadi.

5.1-misol. Hayotni sug'urtalash kompaniyasi o'lim ehtimoli 0,02 yoki 0,01 bo'lgan shaxslarga 1 va 2 birlik to'lovlar bilan bir yillik o'lim sug'urtasi shartnomasini taklif qiladi. Quyidagi jadvalda odamlar soni ko'rsatilgan nk to'lovga muvofiq shakllangan to'rtta sinfning har birida b k va sug'urta hodisasi ehtimoli qk:

k	q k	b k	nk
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

Sug'urta kompaniyasi 1800 nafar jismoniy shaxslardan iborat ushbu guruhdan ushbu guruh bo'yicha jami sug'urta to'lovlari taqsimotining 95 foiziga teng miqdorni undirmoqchi. Bundan tashqari, u har bir kishining ushbu summadagi ulushi shaxsning kutilgan sug'urta to'loviga mutanosib bo'lishini xohlaydi.

O'rtacha to'lovi teng bo'lgan raqamga ega bo'lgan shaxsning ulushi bo'lishi kerak. 95 foizlik talabdan kelib chiqadiki. Ortiqcha qiymat, , risk mukofoti bo'lib, nisbiy risk mukofoti deb ataladi. Keling, hisoblaylik.

Yechim. Qiymat nisbati bilan belgilanadi = 0,95, bu erda S = X 1 + X 2 + ... + X 1800. Ushbu ehtimollik bayonoti quyidagilarga ekvivalentdir:

Sek.dagi markaziy chegara teoremasi haqida aytilganlarga muvofiq. 4, biz r.v ning taqsimlanishini taxminiy qilamiz. standart normal taqsimot va uning 95-persentilidan foydalaning, shundan biz quyidagilarni olamiz:

Sug'urtalovchilar bo'lingan to'rtta sinf uchun biz quyidagi natijalarga erishamiz:

k	q k	b k	O'rtacha b k q k	Dispersiya b 2 k q k (1-q k)	nk
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

Shunday qilib,

Shuning uchun, nisbiy risk mukofoti hisoblanadi

5.2-misol. Avtomobil sug'urta kompaniyasining mijozlari ikki toifaga bo'lingan:

Sinf	Sinfdagi raqam	Voqea ehtimoli sug'urta hodisasi	Sug'urta to'lovlarini taqsimlash, kesilgan eksponensial parametrlar tarqatish
k				L
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

Kesilgan eksponensial taqsimot taqsimot funksiyasi bilan aniqlanadi

Bu zichlik funktsiyasi bilan aralash turdagi taqsimot , va bir nuqtada ehtimollik massasining "to'plami" L. Bu taqsimot funksiyasining grafigi 5.1-rasmda keltirilgan.

Guruch. 5.1. Kesilgan eksponensial taqsimot

Avvalgidek, sug'urta to'lovlarining umumiy summasi sug'urtalovchilardan undiriladigan summadan oshib ketish ehtimoli 0,05 ga teng bo'lishi kerak. Biz nisbiy risk mukofoti ko'rib chiqilayotgan ikkita sinfning har birida bir xil bo'lishi kerak deb taxmin qilamiz. Keling, hisoblaylik.

Yechim. Ushbu misol avvalgisiga juda o'xshash. Yagona farq shundaki, sug'urta to'lovlarining qiymatlari endi tasodifiy o'zgaruvchilardir.

Birinchidan, kesilgan eksponensial taqsimot momentlari uchun ifodalarni olamiz. Bu (2.25) va (2.26) formulalarni qo'llash uchun tayyorgarlik bosqichi bo'ladi:

Shartda berilgan parametr qiymatlaridan foydalanib va ​​(2.25) va (2.26) formulalarini qo'llash orqali biz quyidagi natijalarga erishamiz:

k	q k	mk	s 2 k	Oʻrtacha q k m k	Dispersiya m 2 k q k (1-q k)+s 2 k q k	nk
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

Shunday qilib, S, sug'urta to'lovlarining umumiy miqdori, lahzalarga ega

Ta'riflash sharti 5.1-misoldagi kabi qoladi, ya'ni:

Yana normal taqsimotning yaqinlashuvidan foydalanib, biz olamiz

5.3-misol. Sug'urta kompaniyasining portfeli quyidagi jadvalga muvofiq bir yil muddatga 16 000 ta o'lim sug'urtasi shartnomalarini o'z ichiga oladi:

16000 mijozning har biri uchun sug'urta hodisasi sodir bo'lish ehtimoli q (bu hodisalar o'zaro mustaqil deb hisoblanadi) 0,02 ga teng. Kompaniya o'z stavkasini o'rnatmoqchi. Har bir sug'urtalovchi uchun o'zini ushlab turish darajasi - bu kompaniya (tayinlovchi kompaniya) mustaqil ravishda to'lovlarni amalga oshiradigan qiymatdir va bundan ortiq to'lovlar boshqa kompaniya (qayta sug'urtalovchi) tomonidan qayta sug'urta qilish shartnomasi bo'yicha qoplanadi.

Misol uchun, agar o'zini ushlab turish stavkasi 200 000 bo'lsa, u holda kompaniya har bir sug'urtalanuvchi uchun 20 000 gacha sug'urta qoplamasini saqlab qoladi va sug'urta mukofotlari 20 000 dan ortiq bo'lgan 4500 nafar sug'urtalovchining har biri uchun sug'urta mukofoti va 20 000 miqdori o'rtasidagi farqni qoplash uchun qayta sug'urtalashni sotib oladi.

Kompaniya qaror mezoni sifatida sug'urta da'volarining o'z chegirmalarida qoldirilgan, qayta sug'urtalash uchun to'langan summaning 8 250 000 dan oshib ketishi ehtimolini minimallashtirishni tanlaydi.Qayta sug'urtalash har bir qoplama birligiga 0,025 (ya'ni qiymatning 125%). birlik uchun sug'urta to'lovlari 0,02).

Biz ko'rib chiqilayotgan portfel yopiq deb hisoblaymiz: joriy yil davomida tuzilgan yangi sug'urta shartnomalari tavsiflangan qarorlarni qabul qilish jarayonida hisobga olinmaydi.

Qisman yechim. Keling, avval barcha hisob-kitoblarni bajaramiz, to'lov birligi sifatida 10 000 ni tanlaymiz. ichida. S o'z chegirmalarida qolgan to'lovlar summasi bo'lib, quyidagi shaklga ega:

O'zingizning chegirmangizda qolgan ushbu sug'urta to'lovlariga S, qayta sug'urta mukofotlari miqdori qo'shiladi. Umuman olganda, ushbu sxema bo'yicha qamrovning umumiy miqdori

O'z chegirmalarida qolgan summa teng

Shunday qilib, umumiy qayta sug'urtalangan qiymat 35 000-24 000 = 11 000 va qayta sug'urtalash qiymati

Shunday qilib, 2 ga teng bo'lgan o'z ushlab turish darajasida, o'z ushlab qolish uchun qolgan sug'urta to'lovlari va qayta sug'urtalash qiymati . Qaror mezoni bu jami 825 dan oshishi ehtimoliga asoslanadi,

Oddiy taqsimotdan foydalanib, bu qiymat taxminan 0,0062 ga teng ekanligini bilib olamiz.

Qayta sug'urtalash turlaridan biri sifatida ortiqcha sug'urta yo'qotilgan taqdirda sug'urta to'lovlarining o'rtacha qiymatlarini umumiy sug'urta to'lovlarini taqsimlash sifatida normal taqsimlashdan foydalangan holda taxmin qilish mumkin.

Jami sug'urta to'lovlari X o'rtacha va dispersiya bilan normal taqsimotga ega bo'lsin

5.4-misol. Keling, 5.3-misoldagi kabi sug'urta portfelini ko'rib chiqaylik. Sug'urta shartnomasi bo'yicha sug'urta to'lovlari miqdorining rentabellikdan oshib ketganligi uchun matematik kutilmasini topamiz, agar

(a) shaxsiy qayta sug'urtalash yo'q va shartsiz chegirib tashlash 7,500,000 miqdorida belgilanadi

(b) shaxsiy sug'urta shartnomalari bo'yicha 20 000 shaxsiy ushlab qolish belgilanadi va portfel uchun shartsiz chegirib tashlash 5 300 000 ni tashkil qiladi.

Yechim.

(a) individual qayta sug'urtalash bo'lmaganda va valyuta sifatida 10 000 ga o'tishda

formulani qo'llash (5.2) beradi

Bu asl birliklarda 43 770 ga teng.

(b) 5.3-rasmda biz chegirib tashlanadigan 20 000 kishi uchun jami sug'urta mukofotlarining o'rtacha va dispersiyasini 10 000 birlik sifatida ishlatgan holda mos ravishda 480 va 784 ni olamiz. Shunday qilib, = 28.

formulani qo'llash (5.2) beradi

bu asl birliklarda 4140 ning yig'indisi.

Amalda ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi uchun taqsimot qonunini topish kerak bo'ladi.

Tizim bo'lsin (X b X 2) ikkita uzluksiz s. ichida. va ularning yig'indisi

Tarqatish zichligi c topilsin. ichida. U. Oldingi bandning umumiy yechimiga muvofiq, qayerda tekislikning viloyatini topamiz x + x 2 (9.4.1-rasm):

Bu ifodani y ga nisbatan farqlab, ap ni olamiz. tasodifiy o'zgaruvchi Y \u003d X + X 2:

ph (x b x 2) = Xj + x 2 funksiya o‘z argumentlariga nisbatan simmetrik bo‘lgani uchun

Agar bilan. ichida. X va X 2 mustaqil bo'lsa, (9.4.2) va (9.4.3) formulalar quyidagi shaklni oladi:

Mustaqil bo'lgan hollarda c. ichida. x x va X 2, taqsimot qonunlarining tarkibi haqida gapiring. Mahsulot tarkibi ikkita taqsimot qonuni - bu ikkita mustaqil c yig'indisi uchun taqsimot qonunini topishni anglatadi. c., ushbu qonunlarga muvofiq taqsimlanadi. Ramziy belgilar taqsimot qonunlari tarkibini belgilash uchun ishlatiladi

mohiyatan (9.4.4) yoki (9.4.5) formulalar bilan belgilanadi.

Misol 1. Ikkita texnik qurilmaning (TD) ishi ko'rib chiqiladi. Birinchidan, TU uning ishlamay qolishi (qobiliyati) TU 2 ning ishlashiga kiritilganidan keyin ishlaydi. Ish vaqti TU TU TU 2 - x x va X 2 - mustaqildir va A,1 va parametrlari bilan eksponensial qonunlarga muvofiq taqsimlanadi X 2. Shuning uchun, vaqt Y TU dan iborat TUning muammosiz ishlashi! va TU 2 formula bilan aniqlanadi

P.r.ni topish talab qilinadi. tasodifiy o'zgaruvchi Y, ya'ni parametrlari bilan ikkita eksponensial qonunning tarkibi va X 2.

Yechim. (9.4.4) formula bo'yicha biz (y > 0) ni olamiz.

Agar parametrlari bir xil bo'lgan ikkita eksponensial qonunlar tarkibi mavjud bo'lsa (?c = X 2 = Y), keyin (9.4.8) ifodada 0/0 tipidagi noaniqlik olinadi, uni kengaytirib, biz olamiz:

Ushbu ifodani (6.4.8) ifoda bilan solishtirsak, ikkita bir xil eksponensial qonunlar tarkibiga (?c =) ishonch hosil qilamiz. X 2 = x) ikkinchi tartibli Erlang qonuni (9.4.9). Turli parametrlarga ega bo'lgan ikkita eksponensial qonunni tuzishda x x va A-2 olish ikkinchi tartibli umumlashgan Erlang qonuni (9.4.8). ?

Masala 1. Ikki s ayirmasining taqsimlanish qonuni. ichida. Bilan tizim. ichida. (X va X 2) qo'shma r.p./(x x x 2) mavjud. P.r toping. ularning farqlari Y=X - X 2.

Yechim. Bilan tizimi uchun ichida. (X b - X 2) va boshqalar. bo'ladi / (x b - x 2), ya'ni farqni yig'indiga almashtirdik. Shuning uchun, a.r. U tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi shaklga ega bo'ladi (9.4.2), (9.4.3) ga qarang):

Agar a Bilan. ichida. X x iX 2 mustaqil, keyin

2-misol. F.r.ni toping. ikkita mustaqil eksponensial taqsimlangan s ning ayirmasi. ichida. parametrlari bilan x x va X 2.

Yechim. (9.4.11) formula bo'yicha biz olamiz

Guruch. 9.4.2 Guruch. 9.4.3

9.4.2-rasmda p. g(y). Agar ikkita mustaqil eksponensial taqsimlangan s ning farqini ko'rib chiqsak. ichida. bir xil sozlamalar bilan (A-i= X 2 = LEKIN,), keyin g(y) \u003d / 2 - allaqachon tanish

Laplas qonuni (9.4.3-rasm). ?

3-misol. Ikki mustaqil c yigindisi uchun taqsimot qonunini toping. ichida. X va X 2, parametrlari bilan Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi a x va a 2 .

Yechim. Hodisa ehtimolini toping (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Shuning uchun, s. ichida. Y= X x + X 2 parametr bilan Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi a x2) - a x + a 2. ?

4-misol. Ikki mustaqil c yigindisi uchun taqsimot qonunini toping. ichida. x x va X 2, parametrlari bilan binomial qonunlarga muvofiq taqsimlanadi p x ri p 2, p mos ravishda.

Yechim. bilan tasavvur qiling. ichida. x x sifatida:

qayerda X 1) - hodisa ko'rsatkichi LEKIN tajriba:

Tarqatish diapazoni bilan. ichida. X,- shakliga ega

Biz s uchun shunga o'xshash tasvirni qilamiz. ichida. X 2: bu erda X] 2) - hodisa ko'rsatkichi LEKIN y"-chi tajribada:

Binobarin,

X qayerda? 1)+(2) hodisa indikatori bo'lsa LEKIN:

Shunday qilib, biz buni ko'rsatdik ichida. Qaynota miqdori (u + n 2) hodisa ko'rsatkichlari LEKIN, bu erdan s kelib chiqadi. ichida. ^ parametrlari bilan binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi ( n x + n 2), p.

E'tibor bering, agar ehtimolliklar R eksperimentlarning turli seriyalarida har xil, keyin ikkita mustaqil s qo'shilishi natijasida. c., binomial qonunlar bo'yicha taqsimlanadi, c chiqadi. v., binomial qonunga muvofiq taqsimlanmagan. ?

3 va 4-misollar ixtiyoriy sonli atamalarga oson umumlashtiriladi. Parametrlar bilan Puasson qonunlarini tuzishda a b a 2, ..., da Parametr bilan yana Puasson qonuni olinadi a (t) \u003d a x + a 2 + ... + va t.

Parametrlar bilan binom qonunlarini tuzishda (n r); (i 2, R) , (n t, p) parametrlari bilan yana binomial qonunni olamiz (“(“), R), qayerda n (t) \u003d u + n 2 + ... + va boshqalar.

Biz Puasson qonuni va binomial qonunning muhim xususiyatlarini isbotladik: "barqarorlik xususiyati". Tarqatish qonuni deyiladi barqaror, agar bir xil turdagi ikkita qonunning tarkibi bir xil turdagi qonunni keltirib chiqarsa (faqat ushbu qonunning parametrlari farqlanadi). 9.7-kichik bo'limda biz oddiy qonun bir xil barqarorlik xususiyatiga ega ekanligini ko'rsatamiz.

MAVZU 3
	taqsimot funksiyasi tushunchasi
	matematik kutish va dispersiya
	bir xil (to'rtburchak) taqsimot
	normal (Gauss) taqsimoti
	Tarqatish
	t- talabalar taqsimoti
	F- tarqatish
	ikkita tasodifiy mustaqil o'zgaruvchilar yig'indisining taqsimlanishi
	misol: ikkita mustaqil yig'indini taqsimlash bir xil taqsimlangan miqdorlar
	tasodifiy o'zgaruvchan transformatsiya
	misol: garmonik to'lqinning tarqalishi tasodifiy faza bilan
	markaziy chegara teoremasi
	tasodifiy miqdor momentlari va ularning xossalari
Tsiklning MAQSADI MA'RUZALAR:		ENG MUHIM TARQATISH FUNKSIYALARI VA ULARNING XUSUSIYATLARI HAQIDA BIRINCHI MA'LUMOTLAR HAQIDA HESABAT.

TARQATISH FUNKSIYALARI

Mayli x(k) tasodifiy o'zgaruvchidir. Keyin har qanday sobit qiymat uchun x tasodifiy hodisa x(k) x barcha mumkin bo'lgan natijalar to'plami sifatida aniqlanadi k shu kabi x(k) x. Namuna maydonida berilgan dastlabki ehtimollik o'lchovi nuqtai nazaridan, tarqatish funktsiyasiP(x) nuqtalar to'plamiga tayinlangan ehtimollik sifatida aniqlanadi k x(k) x. E'tibor bering, nuqtalar to'plami k tengsizlikni qondirish x(k) x, tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalar to'plamining kichik to'plamidir x(k) . Rasmiy ravishda

Bu aniq

Agar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari diapazoni doimiy bo'lsa, quyida qabul qilinadi ehtimollik zichligi(bir o'lchovli) p(x) differensial munosabat bilan aniqlanadi

(4)

Binobarin,

(6)

Diskret holatlarni ko'rib chiqa olish uchun ehtimollik zichligi tarkibida delta funksiyalar mavjudligini tan olish kerak.

KUTILGAN QIYMAT

Tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin x(k)-  dan +  gacha bo'lgan qiymatlarni oladi. O'rtacha qiymati(aks holda, kutilgan qiymat yoki kutilgan qiymat) x(k) qiymatlar mahsuloti yig'indisida chegaraga mos keladigan o'tish yordamida hisoblanadi x(k) Ushbu hodisalarning sodir bo'lish ehtimoli bo'yicha:

(8)

qayerda E- kvadrat qavs ichidagi ifodaning indeks bo'yicha matematik kutilishi k. Haqiqiy bir qiymatli uzluksiz funktsiyaning matematik kutilishi ham xuddi shunday aniqlanadi g(x) tasodifiy o'zgaruvchidan x(k)

(9)

qayerda p(x)- tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi x(k). Xususan, olish g(x)=x, olamiz oʻrtacha kvadrat x(k) :

(10)

Dispersiyax(k) farqning o'rtacha kvadrati sifatida aniqlanadi x(k) va uning o'rtacha qiymati,

ya'ni bu holatda g(x)= va

Ta'rifiga ko'ra, standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchi x(k), belgilangan , dispersiyaning kvadrat ildizining musbat qiymati. Standart og'ish o'rtacha bilan bir xil birliklarda o'lchanadi.

ENG MUHIM TARQATISH FUNKSIYALARI

BIR FORM (TO'RT burchakli) TARQATISH.

Tajriba nuqtani [ intervaldan tasodifiy tanlashdan iborat deb faraz qilaylik. a,b] , shu jumladan uning oxirgi nuqtalari. Ushbu misolda, tasodifiy o'zgaruvchining qiymati sifatida x(k) tanlangan nuqtaning raqamli qiymatini olishingiz mumkin. Tegishli taqsimlash funktsiyasi shaklga ega

Shuning uchun ehtimollik zichligi formula bilan berilgan

Ushbu misolda (9) va (11) formulalar yordamida o'rtacha va dispersiyani hisoblash

NORMAL (GAUSS) TARQATISH

, - o'rtacha arifmetik, - RMS.

P(z)=1- ehtimolligiga mos keladigan z qiymati, ya'ni.

CHI - Kvadrat taqsimoti

Mayli - n ta mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar, ularning har biri nolga teng o'rtacha va birlik dispersiyasi bilan normal taqsimotga ega.

n erkinlik darajasiga ega Chi-kvadrat tasodifiy o'zgaruvchisi.

ehtimollik zichligi.

DF: 100 - foiz punktlari - taqsimotlar bilan belgilanadi, ya'ni.

o'rtacha va dispersiya tengdir

t - TALABALARNING TARQIMISHI

y, z - mustaqil tasodifiy miqdorlar; y - bor - taqsimot, z - nol o'rtacha va birlik dispersiyasi bilan normal taqsimlangan.

qiymat - ega t- n erkinlik darajasi bilan talaba taqsimoti

DF: 100 - foiz punkti t - taqsimot ko'rsatilgan

O'rtacha va dispersiya tengdir

F - TARQATISH

Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar; ega - erkinlik darajalari bilan taqsimlash; erkinlik darajalari bilan taqsimlash. Tasodifiy qiymat:

,

F - erkinlik darajasi va taqsimlangan tasodifiy miqdor.

,

DF: 100 - foiz punkti:

O'rtacha va dispersiya teng:

MUQIMMNI TARQATISH

IKKITA TASOSODIY O'ZGARCHILAR

Mayli x(k) va y(k) qo'shma ehtimollik zichligiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar p(x,y). Tasodifiy miqdorlar yig‘indisining ehtimollik zichligini toping

Belgilangan vaqtda x bizda ... bor y=z–x. Shunung uchun

Belgilangan vaqtda z qiymatlar x intervalni – dan + gacha bajaring. Shunung uchun

(37)

shundan ko'rinib turibdiki, yig'indining kerakli zichligini hisoblash uchun dastlabki qo'shma ehtimollik zichligini bilish kerak. Agar a x(k) va y(k) zichlikka ega bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar va mos ravishda keyin va

(38)

Misol: IKKI MUSTAQIL, BIR TARQALANGAN TASOSODIY OʻZGARCHANLAR YIGʻINDI.

Ikki tasodifiy mustaqil o'zgaruvchilar shakldagi zichlikka ega bo'lsin

Boshqa hollarda Ularning z= x+ y yig‘indisining p(z) ehtimollik zichligi topilsin.

Ehtimollik zichligi uchun ya'ni uchun Binobarin, x kamroq z. Bundan tashqari, (38) formula bo'yicha nolga teng emas, biz buni topamiz

Tasvir:

Ikki mustaqil, bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar yig'indisining ehtimollik zichligi.

Tasodifiy konvertatsiya

QIYMATLAR

Mayli x(t)- ehtimollik zichligi bilan tasodifiy o'zgaruvchi p(x), qo'yib yubor g(x) ning bir qiymatli haqiqiy uzluksiz funksiyasi x. Avval teskari funktsiyani ko'rib chiqing x(g) ning bir qiymatli uzluksiz funksiyasi hamdir g. Ehtimollik zichligi p(g), tasodifiy o'zgaruvchiga mos keladi g(x(k)) = g(k), ehtimollik zichligidan aniqlash mumkin p(x) tasodifiy o'zgaruvchi x(k) va hosila dg/dx hosila mavjud va noldan farq qiladi degan faraz ostida, xususan:

(12)

Shuning uchun, chegarada dg/dx#0

(13)

Ushbu formuladan foydalanib, o'zgaruvchining o'rniga uning o'ng tomonini kuzatib boring x tegishli qiymatni almashtiring g.

Endi teskari funktsiyani ko'rib chiqing x(g) amal qiladi n-qiymatli funktsiyasi g, qayerda n butun son va barcha n ta qiymatlar bir xil ehtimolga ega. Keyin

(14)

Misol:

GARMONIK FUNKSIYANING TARQATISHI.

Ruxsat etilgan amplitudali garmonik funksiya X va chastota f agar uning dastlabki faza burchagi bo'lsa, tasodifiy o'zgaruvchi bo'ladi  =  (k)- tasodifiy qiymat. Xususan, ruxsat bering t sobit va teng t o, va garmonik tasodifiy o'zgaruvchi shaklga ega bo'lsin

Keling, shunday da'vo qilaylik  (k) bir xil ehtimollik zichligiga ega p( ) mehribon

Ehtimollik zichligini toping p(x) tasodifiy o'zgaruvchi x(k).

Ushbu misolda to'g'ridan-to'g'ri funktsiya x( ) aniq va teskari funktsiya  (x) noaniq.

Bitta masalani yechish, ya’ni ikkita tasodifiy miqdor yig‘indisining taqsimot qonunini topish uchun yuqoridagi umumiy usuldan foydalanamiz. Tarqatish zichligi f(x,y) bo'lgan ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar (X,Y) tizimi mavjud. X va Y tasodifiy miqdorlarning yig'indisini ko'rib chiqamiz: va Z qiymatning taqsimlanish qonunini topamiz. Buning uchun xOy tekisligida tenglamasi bo'lgan chiziq quramiz (7-rasm). Bu o'qlarda z ga teng segmentlarni kesib tashlaydigan to'g'ri chiziq. To'g'ri chiziq xy tekislikni ikki qismga ajratadi; o'ngga va uning ustiga; chap va pastda.

Bu holda D hududi xOy tekisligining pastki chap qismi bo'lib, rasmda soyalangan. 7. Formula (16) bo'yicha bizda:

Ushbu ifodani ichki integralning yuqori chegarasiga kiritilgan z o'zgaruvchisiga nisbatan farqlab, biz quyidagilarni olamiz:

Bu ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining taqsimlanish zichligi uchun umumiy formuladir.

Muammoning X va Y ga nisbatan simmetriya sabablariga ko'ra, xuddi shu formulaning boshqa versiyasini yozishimiz mumkin:

birinchisiga teng va uning o'rniga ishlatilishi mumkin.

Oddiy qonunlar tarkibiga misol. Oddiy qonunlarga rioya qilgan holda ikkita mustaqil X va Y tasodifiy o'zgaruvchilarni ko'rib chiqing:

Bu qonuniyatlarning tarkibini hosil qilish, ya'ni miqdorning taqsimot qonunini topish talab qilinadi: .

Biz taqsimot qonunlari tarkibining umumiy formulasini qo'llaymiz:

Agar biz integrand ko'rsatkichidagi qavslarni ochib, o'xshash shartlarni keltirsak, biz quyidagilarga erishamiz:

Ushbu iboralarni biz allaqachon duch kelgan formulaga almashtirish

transformatsiyalardan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

va bu dispersiya markaziga ega bo'lgan oddiy qonundan boshqa narsa emas

va standart og'ish

Xuddi shu xulosaga quyidagi sifat mulohazalari yordamida osonroq erishish mumkin.

Qavslarni ochmasdan va integrada (17) o'zgartirishlar kiritmasdan, biz darhol xulosaga kelamiz: ko'rsatkich shaklning x ga nisbatan kvadrat trinomialdir.

bunda z ning qiymati A koeffitsientiga umuman kiritilmagan bo'lsa, B koeffitsienti birinchi darajaga kiradi va C koeffitsienti kvadratga aylanadi. Buni hisobga olgan holda va (18) formulani qo‘llagan holda, g(z) ko‘rsatkichi z ga nisbatan kvadrat trinomial bo‘lgan ko‘rsatkichli funksiya va taqsimot zichligi; bu turdagi normal qonunga mos keladi. Shunday qilib, biz; sof sifatli xulosaga kelamiz: z ning taqsimlanish qonuni normal bo'lishi kerak. Ushbu qonunning parametrlarini topish uchun - va - biz matematik kutilmalarni qo'shish teoremasi va dispersiyalarni qo'shish teoremasidan foydalanamiz. Matematik kutishlarning qo'shilish teoremasi bo'yicha. Dispersiyani qo'shish teoremasi bo'yicha yoki undan (20) formula kelib chiqadi.

Ildiz o'rtacha kvadrat og'ishlardan ularga proporsional ehtimolli og'ishlarga o'tsak, biz quyidagilarni olamiz: .

Shunday qilib, biz quyidagi qoidaga keldik: normal qonunlar tuzilganda, yana normal qonun olinadi va matematik taxminlar va dispersiyalar (yoki kvadratik ehtimol og'ishlar) jamlanadi.

Oddiy qonunlar uchun kompozitsiya qoidasi mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarning ixtiyoriy soniga umumlashtirilishi mumkin.

Agar n ta mustaqil tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa: tarqalish markazlari va standart og'ishlar bilan normal qonunlarga bo'ysunadigan bo'lsa, u holda qiymat ham parametrli normal qonunga bo'ysunadi.

Formula (22) o'rniga ekvivalent formuladan foydalanish mumkin:

Agar tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi (X, Y) normal qonun bo'yicha taqsimlangan bo'lsa-da, lekin X, Y kattaliklar bog'liq bo'lsa, u holda, xuddi oldingi kabi, umumiy formula (6.3.1) asosida isbotlash oson, miqdorning taqsimot qonuni ham normal qonun ekanligini. Tarqalish markazlari hali ham algebraik tarzda qo'shiladi, ammo standart og'ishlar uchun qoida yanada murakkablashadi: , bu erda, r - X va Y qiymatlarining korrelyatsiya koeffitsienti.

Umumiyligida normal qonunga bo'ysunadigan bir nechta bog'liq tasodifiy o'zgaruvchilar qo'shilganda yig'indining taqsimot qonuni parametrlar bilan ham normal bo'lib chiqadi.

yoki ehtimoliy og'ishlar

bu yerda X i, X j miqdorlarning korrelyatsiya koeffitsienti va yig'indisi miqdorlarning barcha turli juft birikmalariga tarqaladi.

Biz normal qonunning juda muhim xususiyatini ko'rdik: normal qonunlar birlashtirilganda yana normal qonun olinadi. Bu "barqarorlik xususiyati" deb ataladi. Taqsimot qonuni barqaror deyiladi, agar shu turdagi ikkita qonunni tuzib, yana bir xil turdagi qonun olinadi. Biz yuqorida normal qonun barqaror ekanligini ko'rsatdik. Juda oz taqsimot qonunlari barqarorlik xususiyatiga ega. Bir xil zichlik qonuni beqaror: 0 dan 1 gacha bo'lgan kesimlarda bir xil zichlikning ikkita qonunini tuzishda biz Simpson qonunini oldik.

Oddiy qonunning barqarorligi uning amaliyotda keng qo'llanilishining muhim shartlaridan biridir. Biroq, barqarorlik xususiyatiga odatdagidan tashqari, ba'zi boshqa taqsimot qonunlari ham ega. Oddiy qonunning o'ziga xos xususiyati shundaki, amalda o'zboshimchalik bilan taqsimlash qonunlarining etarlicha ko'pligi tuzilganda, atamalarning taqsimlanish qonunlari qanday bo'lishidan qat'i nazar, umumiy qonun o'zboshimchalik bilan normalga yaqin bo'lib chiqadi. Buni, masalan, 0 dan 1 gacha bo'lgan kesimlarda bir xil zichlikning uchta qonuni tarkibini tuzish orqali ko'rsatish mumkin. Natijada g (z) taqsimot qonuni rasmda ko'rsatilgan. 8. Chizmadan ko'rinib turibdiki, g (z) funksiyaning grafigi normal qonun grafigiga juda o'xshash.