Keling, ma'lum yoki deterministik deb ataladigan PVni kuzatish natijasini ko'rib chiqaylik Q qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy o'zgaruvchi (CV) sifatida X) turli kuzatishlarda.

SWni tavsiflashning eng universal usuli bu ularning integral yoki differentsial taqsimot funksiyalarini topishdir

Kuzatishlar natijalarini taqsimlashning integral funktsiyasi - ehtimollikning x qiymatiga bog'liqligi. R kuzatishlar natijasi X. kam boʻlishi fakti jc. U quyidagicha yozilgan:

Boshqacha qilib aytganda, tasodifiy miqdorning integral taqsimot funksiyasi X tengsizlikning bajarilishi ehtimoli deyiladi X

integral funktsiya F(x) quyidagi xususiyatlarga ega.

• 1. F(x) - kamaymaydigan funksiya.
• 2. F(x) jc -> +°° kabi birlikka intiladi.
• 3. F(x) x -> -°o sifatida nolga intiladi.
• 4. F(x) - funktsiya uzluksiz, chunki ma'lum oraliqdagi kuzatishlar natijasi har qanday qiymatni olishi mumkin.

Biroq, to'rtinchi xususiyat odatda amalda qo'llanilmaydi. Buning sababi, qo'llaniladigan SI cheklangan ruxsatga ega: ko'rsatgichli asboblar uchun bu shkala bo'linish qiymati (PV kvanti); raqamli asboblar uchun bu eng kichik kod raqamining narxi. Shuning uchun haqiqatda taqsimot funktsiyasi bosqichma-bosqich shaklga ega (4.4-rasm).

Shunga qaramay, metrologik amaliyotda integral taqsimot funktsiyasi ko'pincha uzluksiz deb hisoblanadi, bu tahlilni sezilarli darajada osonlashtiradi.

Tasodifiy xato uchun ham, tasodifiy o'zgaruvchi uchun ham o'zining integral taqsimot funktsiyasi mavjud:

integral funktsiya F(x), ehtimollik kabi o'lchovsiz miqdordir.

Kuzatish natijalarining xossasini differentsial taqsimot funksiyasi yordamida tasvirlash qulayroq va ingl. ehtimollikni taqsimlash zichligi. Shuni ta'kidlash kerakki, kuzatishlar natijalarining differentsial funktsiyalari X va tasodifiy xatolik A o'yin, faqat A uchun grafaning kelib chiqishi nol nuqtada joylashgan:

Differensial taqsimot funksiyasining grafigi yoki taqsimot egri chizig'i ko'pincha nuqtada maksimal bo'lgan simmetrik funktsiyadir Q kuzatishlar natijalari uchun (4.5-rasm). Tasodifiy xatolik uchun taqsimot egri chizig'i ham ko'pincha nosimmetrik funktsiyadir, lekin "O" nuqtasida maksimal bilan (4.6-rasm).

Kuzatuv natijalari uchun

Tasodifiy xato uchun

Shunday qilib, kuzatishlar natijalarining differensial taqsimot funksiyasi yoki tasodifiy xatolik integral taqsimot funksiyasini differensiallash orqali olinadi.

Bundan tashqari, assimetrik taqsimot funktsiyalari mavjud, masalan, Rayleigh funktsiyasi (4.7-rasm), yoki maksimal (bir xil yoki trapezoidal) bo'lmagan funktsiyalar (4.8, 4.9-rasm).

Integral funktsiya differentsial funktsiya bilan quyidagicha bog'lanadi:

chunki, keyin , ya'ni. kvadrat

taqsimot funktsiyasining egri chizig'i ostida bir ga teng. Bu shunday deyiladi normalizatsiya holati.

Ehtimollar taqsimoti zichligi o'lchami o'lchangan jismoniy miqdorning o'lchamiga teskari bo'ladi, chunki integral taqsimot funktsiyasi o'lchovsizdir. Tarqatish funksiyasi kontseptsiyasidan foydalanib, kuzatishlar natijasi yarim ochiq oraliqlarda [x, x 2 ] yoki ehtimollik ifodasini olish mumkin [A„A 2]:

Bu ifoda kuzatuv natijasiga erishish ehtimolini bildiradi X yoki ma'lum bir oraliqda tasodifiy o'lchash xatosi A bu intervalning ko'rsatilgan chegaralaridagi integral taqsimot funktsiyasi qiymatlari orasidagi farqga teng.

Agar biz bu ehtimolni differentsial taqsimot funktsiyasi yoki ehtimollik taqsimot zichligi bilan ifodalasak, biz quyidagilarga erishamiz:

bular. kuzatuvlar natijasi X yoki tasodifiy xatoga erishish ehtimoli D ma'lum bir oraliq ichida son jihatdan oraliq chegaralari bilan chegaralangan ehtimollik zichligi egri chizig'i ostidagi maydonga teng(4.10-rasm).

Ishlash p x (x) dx chaqirdi ehtimollik elementi. Differensial taqsimot funktsiyasi grafigidan ko'rinib turibdiki, ehtimollik zichligi taqsimot qonuni normal deb ataladigan qonunga yaqin bo'lgan taqdirda, eng katta ehtimol kichik xato qiymatlari. Katta xatolar yuzaga kelish ehtimoli ancha past. Kuzatish natijalari haqiqiy qiymat atrofida markazlashtirilgan o'lchangan PV va siz unga yaqinlashganda, ehtimollik elementlari ortadi. Bu PV ning haqiqiy qiymatini baholash sifatida abscissa o'qi va taqsimlanish zichligi egri chizig'idan hosil bo'lgan figuraning og'irlik markazining abssissasini olishga asos beradi. Tasodifiy o'zgaruvchining bu xarakteristikasi deyiladi matematik kutish (4.11-rasm):

Endi biz tasodifiy va sistematik xatolarning matematik jihatdan qat'iy ta'rifini berishimiz mumkin.

Tizimli xato 0 (4.11-rasm) - kuzatishlar natijalarini matematik kutishning o'lchangan jismoniy miqdorning haqiqiy qiymatidan og'ishi:

tasodifiy xato A - bitta kuzatish natijasi va kuzatish natijalarini matematik kutish o'rtasidagi farq:

Demak, o'lchangan jismoniy miqdorning haqiqiy qiymati tengdir

test savollari

• 1. Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar deganda nima tushuniladi?
• 2. Integral taqsimot funksiyasi va uning xossalari.
• 3. Differensial taqsimot funksiyasi, integral va differensial taqsimot funksiyalari orasidagi bog`lanish.
• 4. Integral taqsimot funksiyasini normallashtirish sharti.
• 5. Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi grafik jihatdan qanday?
• 6. Umumiy xatoning sistematik va tasodifiy komponentlarini fizik-matematik nuqtai nazardan qanday tushunish mumkin?
• 7.Ehtimollik elementi deganda nima tushuniladi?
• 8. X kuzatuvlar natijasi yoki tasodifiy xato D ning oraliq chegaralari bilan chegaralangan ehtimollik taqsimot zichligi grafigiga ega bo‘lgan sonli intervalga tushib qolish ehtimoli qanday aniqlanadi?

Mahalliy Moivre-Laplas formulasi shartlariga ko'ra, muvaffaqiyatlar soni m m 1 va m 2 orasida bo'lish ehtimolini Moivre-Laplasning integral formulasi bilan taxminan topish mumkin.

bu erda x 1 =
, x 2 =
,
Laplas funktsiyasidir.

Ushbu funktsiyalarning qiymatlari ehtimollik nazariyasi bo'yicha darsliklarning ilovalarida keltirilgan.

Tarqatish qonunining grafik belgilanishi shaklda ko'rsatilgan. bitta

Guruch. 1 Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish ko‘pburchagi.

Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishini jadval ko'rinishida, formula ko'rinishida yoki grafik tarzda tavsiflash usuli faqat diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'llaniladi.

1.5. Kumulyativ taqsimot funksiyasi

Integral taqsimot funksiyasi diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorni belgilash imkonini beradi.

Kümülatif taqsimot funktsiyasi (IDF) F(x) funksiya bo'lib, har bir mumkin bo'lgan x qiymati uchun X tasodifiy o'zgaruvchisi x dan kichik qiymatni olish ehtimolini belgilaydi, ya'ni.

Integral taqsimot funktsiyasining geometrik ma'nosi X tasodifiy o'zgaruvchining haqiqiy o'qning x nuqtasining chap tomonida joylashgan qiymatni olish ehtimolidir.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun X, qiymatlarni qabul qilishi mumkin X 1 , X 2 , …,X n, taqsimlash funktsiyasi shaklga ega bu erda yig'indi belgisi ostidagi tengsizlik yig'indi barcha qiymatlarga tegishli ekanligini bildiradi X i, uning qiymati kamroq X. Keling, ushbu formulani funktsiyaning ta'rifiga asoslanib tushuntiramiz F(x). Aytaylik, x argumenti qandaydir aniqlikni oldi, lekin tengsizlik qanoatlantirsin. x i <x≤x i+1. Keyin raqamlar o'qidagi x sonining chap tomonida faqat tasodifiy o'zgaruvchining 1, 2, 3, ... indeksiga ega bo'lgan qiymatlari bo'ladi. i. Shuning uchun tengsizlik X<x qiymat bo'lsa bajariladi X qadriyatlarni qabul qiladi X uchun, qayerda k = 1, 2, …, i. Shunday qilib, voqea X<x hodisalarning qaysi biri bo'lishidan qat'i nazar, mavjud bo'lsa keladi X = X 1 , X=X 2 , X=X 3 , …, X=X i. Bu hodisalar mos kelmasligi sababli, ehtimollik qo'shish teoremasi bo'yicha biz mavjud

Kumulyativ taqsimot funksiyasining xossalari:

1. Integral taqsimot funksiyasining qiymatlari segmentga tegishli

:
.

2. X tasodifiy o'zgaruvchining (a, b) oraliqdagi qiymatni olish ehtimoli bu oraliqdagi integral taqsimot funksiyasining o'sishiga teng.

3. Tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan x qiymatlari (a, b) intervalga tegishli bo'lsa, u holda

, agar

, agar

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining IGF grafigi rasmda ko'rsatilgan. 2

Guruch. 2 Uzluksiz tasodifiy miqdorning IGF grafigi

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining IGF grafigi rasmda ko'rsatilgan. 3

Guruch. 3 Diskret tasodifiy miqdorning IGF grafigi

1.6. Differensial taqsimot funksiyasi

Differensial taqsimot funksiyasi uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimotini tavsiflash uchun ishlatiladi.

Differensial taqsimot funktsiyasi (DDF)(yoki ehtimollik zichligi) integral funksiyaning birinchi hosilasidir.

Kumulyativ taqsimot funksiyasi differensial taqsimot funksiyasi uchun antiderivativ hisoblanadi. Keyin

Uzluksiz tasodifiy X ning (a, b) intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli a dan b gacha olingan differentsial funktsiyaning aniq integraliga teng:

DFR ning geometrik ma'nosi quyidagicha: doimiy tasodifiy o'zgaruvchi X ning (a, b) oralig'iga tegishli qiymatni olish ehtimoli x o'qi bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga, taqsimot egri chizig'iga tengdir. f(x) va x = a va x = b to'g'ri chiziqlar (4-rasm).

Guruch. 4 Differensial taqsimot funksiyasining grafigi odatda taqsimot egri chizig'i deb ataladi.

Differensial taqsimot funksiyasining xossalari:

1. Differensial taqsimot funktsiyasi manfiy emas, ya'ni.

2. Agar tasodifiy miqdorning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari (a, b) intervalga tegishli bo'lsa, u holda

Differensial taqsimot funksiyasi ko'pincha uzluksiz tasodifiy miqdorlarning ehtimollik taqsimoti qonuni deb ataladi.

Amaliy masalalarni yechishda uzluksiz tasodifiy miqdorlarning ehtimollik taqsimotining turli qonuniyatlariga duch keladi. Ko'pincha topiladi bir xil va normal taqsimot qonunlari.

Tarqatishning differensial va integral qonunlari

Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni ushbu miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarga mos keladigan ularning paydo bo'lish ehtimoli o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadi. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonunini tavsiflashning ikkita shakli mavjud - differensial va integral . Bundan tashqari, metrologiyada asosan differentsial shakl - taqsimot qonuni qo'llaniladi ehtimollik zichligi tasodifiy o'zgaruvchi.
Differensial taqsimot qonuni xarakterlanadi taqsimot zichligi tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi bu holda ehtimollik P dan intervalda tasodifiy o'zgaruvchiga urish x 1 oldin x2 :

Grafik jihatdan bu ehtimollik egri chiziq ostidagi maydonning nisbati f(x) dan oraliqda x 1 oldin x2 butun taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan umumiy maydonga.

Bunday holda, tarqatish davomiy tasodifiy o'zgaruvchi. Ulardan tashqari, bor diskret raqamlanishi mumkin bo'lgan bir qator o'ziga xos qiymatlarni qabul qiladigan tasodifiy o'zgaruvchilar.

Tasodifiy miqdorning integral taqsimot qonuni funksiya hisoblanadi F(x), formula bilan aniqlanadi

Tasodifiy o'zgaruvchining kamroq bo'lish ehtimoli x1 funktsiya qiymati bilan berilgan F(x) da x = x 1:

F(X) kamaymaydigan funksiya va X → ∞ kabi F(X)→1

X → - ∞ bo'lganda F(X)→0

F(x) - funksiya uzluksiz, chunki ma'lum oraliqdagi kuzatishlar natijasi har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin

Biroq, to'rtinchi xususiyat odatda amalda qo'llanilmaydi. Buning sababi, ishlatiladigan SI cheklangan o'lchamga ega: ko'rsatgichli qurilma uchun bu shkala bo'linmasining narxi (kvant FV), raqamli qurilmalar uchun bu eng kichik kod raqamining narxi. Shuning uchun, haqiqatda, xato uchun taqsimlash funktsiyasi bosqichma-bosqich shaklga ega.

Shunga qaramay, metrologik amaliyotda integral funksiya uzluksiz hisoblanadi, bu esa xatolarni qayta ishlashni osonlashtiradi.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning yagona taqsimot qonuni.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi, agar uning mumkin bo'lgan qiymatlari ma'lum bir oraliqda bo'lsa, barcha qiymatlar bir xil ehtimollik, ya'ni ular bir xil ehtimollik zichligiga ega bo'lsa, yagona taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Boshqacha qilib aytganda, tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari tegishli bo'lgan oraliqda differentsial funktsiya doimiy qiymatga ega bo'lsa, ehtimollik taqsimoti bir xil deb ataladi.

Yagona ehtimollik taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar,<<встречаются на практике. Например, при снятии показаний измерительных приборов. Ошибка при округлении отсчёта до ближайшего целого деления шкалы является случайной величиной, которая может с постоянной плотностью вероятности принимать любые значения между двумя соседними делениями. Таким образом, данная случайная величина имеет равномерное распределение.

Tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari deb faraz qilib, yagona taqsimotning differentsial funktsiyasini (zichligini) topamiz. X o'rtasida qulflangan , bunda differentsial funktsiya doimiy bo'lib qoladi, ya'ni.

f(x) = C

Shart bo'yicha X diapazondan tashqari qiymatlarni qabul qilmaydi , Shunung uchun f(x) = 0 Barcha uchun x< a va x< b.

Konstantaning qiymatini topamiz Bilan . Tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari intervalga tegishli bo'lgani uchun , unda bu haqiqat:

Demak, tasodifiy miqdorning intervalda bir xil taqsimlanish qonuni (Bu yerga a< b ) ni analitik tarzda quyidagicha yozish mumkin:

Endi uzluksiz tasodifiy miqdorning bir xil taqsimlanishining integral funksiyasini topamiz. Buning uchun biz formuladan foydalanamiz

agar x< a keyin f(x) = 0 va shuning uchun F(x) = 0

agar a ≤ x ≤ b keyin va shuning uchun

agar x ˃b keyin

Demak, kerakli integral taqsimot funksiyasini analitik tarzda quyidagicha yozish mumkin:

X uchun F(x) = 0< a

a ≤ x ≤ b uchun

x ˃ b uchun F(x) = 1

Yagona uzluksiz taqsimlanish xususiyatlari:

1. Birinchi daqiqa (kutish)

2. Median: M = M(X)

3. Rejim - segmentdagi istalgan raqam (rejim - taqsimotning eng ehtimoliy qiymati);

Tasodifiy o'zgaruvchining x ning integral taqsimot funksiyasi deb ataladigan funksiyadan kichik qiymatni olish ehtimoli bilan belgilang. Har qanday ehtimollik va 1 orasida bo'lishi kerakligi sababli, barcha qiymatlar uchun bizda mavjud: Agar shunday bo'lsa, ehtimollik ehtimoldan katta yoki unga teng bo'lsa, ya'ni, boshqacha qilib aytganda, funktsiya ortishi bilan kamayishi mumkin emas.

Integral taqsimot funktsiyasining tipik shakli rasmda ko'rsatilgan. 1, bu erda gorizontal o'q chizilgan va vertikal funktsiya

Integral taqsimot funktsiyasini bilgan holda, biz har qanday berilgan ehtimollik uchun osongina aniqlashimiz mumkin Haqiqatan ham, hodisalar bir-biriga mos kelmaydigan bo'lganligi sababli, ushbu hodisalardan birortasining paydo bo'lish ehtimoli har birining paydo bo'lish ehtimoli yig'indisiga teng bo'ladi. voqealar, ya'ni.

(qarang skanerlash)

Ushbu ikki hodisaning birortasining yuzaga kelish ehtimoli yoki hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bilan mos kelganligi sababli, (1.1) munosabatga muvofiq, biz

Shuning uchun hodisaning yuzaga kelishining istalgan ehtimoli teng bo'ladi

Agar tasodifiy o'zgarmaydigan x ob'ektlar guruhidan tasodifiy tanlangan ob'ektning qandaydir xarakteristikasi o'lchash natijasi bo'lsa, integral taqsimot funktsiyasining oddiy talqinini berish mumkin.1.1.1-bandda ko'rsatilganidek, bunda kuzatilgan x qiymatining qandaydir tenglik yoki tengsizlik (aytaylik, yoki nisbiy nisbatiga (ma'lum bir ob'ektlar guruhidagi) teng bo'lishi) ehtimoli, x qiymati mos keladigan tenglik yoki tengsizlikni qondiradi. Ehtimollarning bunday talqini bilan (1.2 ) munosabat aniq bo'ladigan ob'ektlarning nisbiy nisbati, aslida aytilishicha, ob'ektlarning nisbiy soni ular uchun ob'ektlarning nisbiy soniga, shuningdek, ob'ektlarning nisbiy soniga tengdir. Ob'ektlar guruhi ko'pincha populyatsiya deb ataladi.Biz hozirgacha faqat chegaralangan populyatsiyalarni ko'rib chiqdik ob'ektlarning yangi soni. Bunday populyatsiyalar cheklangan deb ataladi.

Muayyan munosabat qanoatlanadigan hodisa (tenglik yoki tengsizlik) ehtimolini x qiymati bu munosabatni qanoatlantiradigan elementlarning ma'lum umumiy populyatsiyadagi nisbiy nisbati sifatida talqin qilish ko'p hollarda juda foydali bo'lib chiqadi. , va biz undan tez-tez foydalanamiz. Biroq, agar biz cheklangan populyatsiyalar bilan cheklanmasak, ehtimolliklarning bunday talqini har doim ham mumkin emas. Darhaqiqat, cheklangan umumiy populyatsiya bilan bog'liq bo'lgan integral taqsimot funktsiyasi o'ziga xos xususiyatlarga ega.

Faraz qilaylik, umumiy populyatsiya elementlardan iborat. U holda x tasodifiy o'zgaruvchisi har xil qiymatlardan ko'p bo'lmasligi mumkin. X ning qiymati olishi mumkin bo'lgan turli qiymatlar bo'lsin va bu qiymatlar o'sish tartibida joylashtirilsin, Agar x ning qiymati bir nechta elementlar uchun bir xil bo'lsa, unda Kumulyativ taqsimot funktsiyasi holat rasmda ko'rsatilgan qadam egri shakliga ega bo'ladi. 2.

Tarqatish funktsiyasi aniq sakrashlarga ega bo'ladi va har bir sakrashning kattaligi rasmdagi uzluksiz egri chiziq bilan ifodalangan Kumulyativ taqsimot funktsiyasi bilan ko'paytirilgan yoki butun songa teng bo'ladi. 1 bu turdagi emasligi aniq.

Shunday qilib, agar integral taqsimot funktsiyasi uzluksiz egri chiziq bo'lsa, u holda ehtimolliklarni cheklangan umumiy populyatsiyaning ayrim elementlarining nisbiy nisbati sifatida talqin qilish mumkin emas. Shu bilan birga, har qanday uzluksiz kümülatif taqsimot funksiyasi, oxirgisidagi elementlar soni etarlicha katta bo'lgan taqdirda, cheklangan populyatsiya bilan bog'liq bo'lgan bosqichma-bosqich kümülatif taqsimot funksiyasi bilan har qanday aniqlik bilan yaqinlashishi mumkin. Shunday qilib, har qanday uzluksiz kümülatif taqsimot funktsiyasini cheklangan populyatsiya bilan bog'liq bo'lgan yig'indisi taqsimot funktsiyasining cheklovchi shakli deb hisoblash mumkin. Ushbu umumiy elementlar sonining cheksiz ko'payishi bilan chegaraga erishiladi

agregatlar. Bu shuni anglatadiki, agar biz cheksiz populyatsiya (cheksiz sonli elementlarga ega bo'lgan populyatsiya) mavjudligiga yo'l qo'ysak, unda bu populyatsiya bilan bog'liq har qanday ehtimollik har doim populyatsiyaning mos keladigan elementlarining nisbiy nisbati sifatida talqin qilinishi mumkin. Albatta, cheksiz populyatsiya tushunchasi faqat nazariyani soddalashtirish uchun kiritilgan foydali mavhumlikdir.

Cheksiz umumiy populyatsiyaga misol sifatida ma'lum bir novda uzunligini o'lchashdan iborat bo'lgan tajribani ko'rib chiqing. Har bir o'lchov natijasini integral taqsimot funktsiyasi bilan tavsiflangan tasodifiy o'zgaruvchi deb hisoblash mumkin.U holda cheksiz umumiy populyatsiya novda uzunligini takroriy o'lchovlarning cheksiz ketma-ketligi bo'ladi, shuning uchun har bir o'lchov haqiqatda bajarilgan element sifatida qaralishi mumkin. bu aholining. Ba'zan umumiy populyatsiya cheklangan, lekin bu populyatsiyaning elementlari soni shunchalik ko'pki, bu populyatsiya bilan bog'liq muammolarni cheksiz, ya'ni umumiy populyatsiya cheksiz kabi ko'rib chiqish qulayroq bo'lib chiqadi. . Misol uchun, biz AQShda yashovchi 20 va undan katta yoshdagi barcha ayollarning bo'yi taqsimotiga qiziqamiz. Ko'rinib turibdiki, bunday shaxslarning soni shunchalik ko'pki, agar bunday shaxslarning umumiy populyatsiyasini cheksiz deb hisoblasak, muhim matematik soddalashtirishlarga ishonish mumkin.

Tasodifiy miqdorning integral ehtimollik taqsimoti funksiyasi

TZR-3. Integral ehtimollik taqsimoti funksiyasi CB

Bu tarqatish qonunini o'rnatishning eng universal usuli. U diskret va uzluksiz SW uchun ishlatilishi mumkin. Ko‘pincha bu usul haqida gapirganda ʼʼintegralʼʼ va ʼʼehtimolʼʼ soʻzlari oʻchirib tashlanadi va ʼʼ atamasi ishlatiladi. SVʼʼ taqsimot funksiyasi.

Kümülatif ehtimollik taqsimoti funksiyasi X tasodifiy o'zgaruvchining joriy x dan kichikroq qiymatga ega bo'lish ehtimolidir:

F(x) = P(X< х) (20)

Misol uchun, agar elektr tarmog'idagi oqim kabi SW uchun taqsimlash funktsiyasi F (90) = 0,3 bo'lsa, bu elektr uzatish liniyasidagi oqimning 90 A dan kam qiymatga ega bo'lish ehtimoli 0,3 ga teng degan ma'noni anglatadi.

Agar tarmoqdagi kuchlanish uchun tarqatish funktsiyasi F (215) = 0,4 bo'lsa, u holda 0,4 tarmoqdagi kuchlanish 215 V dan kam bo'lishi ehtimoli.

Ehtimollar taqsimoti funksiyasi analitik, jadval yoki grafik ko'rinishda ko'rsatilishi kerak.

27-misol

Imtihondagi talabalar baholarini taqsimlashning berilgan qatoriga ko‘ra (8-jadval, 1 va 2-qatorlar) integral taqsimot funksiyasini yozing (8-jadval, 3-qator) va uning grafigini tuzing.

Jadval 8. Imtihondagi ballarni taqsimlash seriyasi va integral funktsiyasi

Aytish joizki, taqsimot funktsiyasining qiymatlarini topish uchun uning ta'rifidan foydalanish juda muhim (20):

· uchun X = 2 F(2)= P(X< 2) = 0, chunki imtihonda 2 dan kam ball yo'q;

· uchun X= 3 F(3)= P(X< 3) \u003d P (X \u003d 2) \u003d 0,1, chunki 3 dan kam - bu faqat 2 ball;

· uchun X = 4 F(4)= P(X< 4) = P( X= 2) + R(X= 3) = 0,1 + 0,5 = 0,6, chunki 4 dan kam ikkita baho mavjud - 2 yoki 3 (4 dan kam ball olish olish bilan tengdir yoki sinflar 2 yoki 3 ball va topish uchun F(4) mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo'shish uchun formuladan foydalanishingiz mumkin);

· uchun X = 5 F(5)= P(X< 5) = R(X< 4) + R(X= 4) = 0,6 + 0,3 = 0,9, ya'ni to F(4) ballning 4 bo'lish ehtimoli qo'shiladi.

F(x) qiymatlarini topish tartibini tahlil qilib, biz CV ning eng kichik qiymatining ehtimolligi birinchi navbatda ikkinchi qiymat ehtimoliga, keyin uchinchi va hokazo qo'shilishini ko'ramiz. Ya'ni, ehtimollar to'planganga o'xshaydi. Shu sababli integral taqsimot funksiyasi ham deyiladi ʼʼkumulyativ ehtimollar funksiyasiʼʼ.

Statistikaga oid adabiyotlarda kümülatif ehtimollar funktsiyasi juda tez-tez ataladi kümülatif.

Ma'lumotlar jadvali asosida. 8 integral funksiyaning grafigini tuzish kerak diskret tasodifiy miqdor (29-rasm). Bu xususiyat uzluksiz. Sakrash moslamasi alohida diskret qiymatlar X, a balandliklarʼʼqadamlarʼʼ - mos ehtimolliklar. Tanaffus joylarida funktsiya (29-rasm) nuqta bilan ko'rsatilgan qiymatlarni oladi, ᴛ.ᴇ. doimiy chap. Umuman olganda, diskret SW uchun biz quyidagilarni yozishimiz mumkin: F(x) = P(X< х) = . (21)

Uzluksiz SW uchun integral taqsimot funksiyasining grafigi qanday ko'rinishini tushunish uchun siz quyidagi fikrga murojaat qilishingiz mumkin. Agar biz diskret SW qiymatlari soni ortib borayotganini tasavvur qilsak, unda bo'shliqlar ko'proq bo'ladi va qadamlarning balandligi pasayadi. Chekda, mumkin bo'lgan qiymatlar soni cheksiz bo'lganda (va bu uzluksiz CV), qadam grafigi uzluksizga aylanadi (30-rasm).

Shu darajada integral ehtimollik taqsimoti funksiyasi CB muhim ahamiyatga ega, keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik xususiyatlari:

Mulk 1. Tarqatish qonunini belgilashning bu usuli universal, chunki u diskret va uzluksiz SWlarning taqsimot qonunini belgilash uchun mos keladi.

Mulk 2 . Integral taqsimot funktsiyasi sᴛᴏ ehtimollik bo'lgani uchun, demak uning qiymatlari 0 dan 1 gacha bo'lgan segmentda yotadi.

Mulk 3 . Tarqatish funksiyasi o'lchamsiz, shuningdek, har qanday ehtimollik.

Mulk 4 . Tarqatish funksiyasi kamaymaydigan funksiya, ya'ni argumentning katta qiymati funksiyaning bir xil yoki katta qiymatiga mos keladi: qachon x 2 > x 1 F(x 2) ≥ F(x 1).

Bu xususiyat haqiqatdan (31-rasm) kelib chiqadiki, kattaroq segmentga (-∞ dan x 2 gacha) urilish ehtimoli hech qanday holatda kichikroq segmentga (-∞ dan x 1 gacha) urilish ehtimolidan kam bo'lmasligi kerak.

dan hududda bo'lgan taqdirda x 2 oldin x 1(32-rasm) hech qanday SW qiymatlari mavjud emas (bu diskret SW uchun mumkin), keyin F(x 2) = F(x 1).

Uzluksiz SWni taqsimlash funksiyasi uchun (33-rasm) F(x 2) har doim ko'proq F(x 1).

4-mulkning ikkita natijasi bor.

Xulosa 1

DA X qiymatining (x 1; x 2) oraliqda qiymat olish ehtimoli interval chegaralaridagi integral funktsiya qiymatlari orasidagi farqga teng:

P(x 1 ≤ X< х 2) = F(х 2) – F(х 1). (15)

Bu oqibatni quyidagicha izohlash mumkin (31-rasm):

F (x 2) \u003d P (X< х 2) –

SW nuqtaning chap tomonidagi qiymatlarni olish ehtimoli x 2 .

F (x 1) \u003d P (X< х 1) SW nuqtaning chap tomonidagi qiymatlarni olish ehtimoli x 1.

Shuning uchun farq

P(X< х 2) - Р(Х < х 1) dan hududda SW qiymatlari joylashganligi ehtimoli mavjud x 1 oldin x 2 (34-rasm) .

Tasodifiy miqdorning integral ehtimollik taqsimoti funksiyasi - tushunchasi va turlari. "Tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimotining integral funktsiyasi" toifasining tasnifi va xususiyatlari 2017, 2018 yil.