Matritsa usuli SLAU yechimlari tenglamalar soni noma'lumlar soniga mos keladigan tenglamalar tizimini yechish uchun ishlatiladi. Usul past tartibli tizimlarni hal qilish uchun eng yaxshi qo'llaniladi. Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning matritsa usuli matritsalarni ko‘paytirish xossalarini qo‘llashga asoslangan.

Bu yo'l, boshqacha qilib aytganda teskari matritsa usuli, shunday deyiladi, chunki yechim odatiy matritsa tenglamasiga tushiriladi, uni hal qilish uchun siz teskari matritsani topishingiz kerak.

Matritsali yechish usuli Determinanti noldan katta yoki kichik bo'lgan SLAE quyidagicha bo'ladi:

bilan SLE (chiziqli tenglamalar tizimi) mavjud deylik n noma'lum (ixtiyoriy maydonda):

Shunday qilib, uni matritsa shakliga tarjima qilish oson:

AX=B, qayerda A tizimning asosiy matritsasi, B va X- mos ravishda tizimning bepul a'zolari ustunlari va echimlari:

Chapdagi ushbu matritsa tenglamasini ko'paytiring A -1- matritsadan matritsaga teskari A: A −1 (AX)=A −1 B.

Chunki A −1 A=E, degani, X=A -1 B. Tenglamaning o'ng tomoni boshlang'ich tizimga yechimlar ustunini beradi. Matritsa usulini qo'llash sharti matritsaning degenerativ emasligidir A. Buning zaruriy va yetarli sharti matritsaning determinantidir A:

deA≠0.

Uchun chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi, ya'ni. vektor bo'lsa B=0, qarama-qarshi qoida amal qiladi: tizim AX=0 faqat qachon bo'lsa, noan'anaviy (ya'ni, nolga teng emas) yechim hisoblanadi detA=0. Bir jinsli va bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemalarining yechimlari orasidagi bunday bog`lanish deyiladi Fredholmga muqobil.

Shunday qilib, SLAE ning matritsa usuli bilan yechimi formula bo'yicha amalga oshiriladi . Yoki SLAE yechimi yordamida topiladi teskari matritsa A -1.

Ma'lumki, kvadrat matritsa LEKIN buyurtma n ustida n teskari matritsa mavjud A -1 faqat uning determinanti nolga teng bo'lmasa. Shunday qilib, tizim n bilan chiziqli algebraik tenglamalar n noma’lumlar sistemaning bosh matritsasining determinanti nolga teng bo‘lmagandagina matritsa usuli bilan yechiladi.

Ushbu usuldan foydalanish imkoniyati bo'yicha cheklovlar mavjudligiga va koeffitsientlarning katta qiymatlari va yuqori tartibli tizimlar uchun hisoblash qiyinchiliklariga qaramay, usulni kompyuterda osongina amalga oshirish mumkin.

Bir hil bo'lmagan SLAEni echishga misol.

Birinchidan, noma'lum SLAE uchun koeffitsientlar matritsasi determinanti nolga teng emasligini tekshirib ko'ramiz.

Endi topamiz ittifoq matritsasi, uni almashtiring va teskari matritsani aniqlash formulasiga almashtiring.

Formuladagi o'zgaruvchilarni almashtiramiz:

Endi biz teskari matritsani va erkin shartlar ustunini ko'paytirish orqali noma'lumlarni topamiz.

Shunday qilib, x=2; y=1; z=4.

SLAE ning odatiy shaklidan matritsa shakliga o'tishda tizim tenglamalarida noma'lum o'zgaruvchilar tartibiga ehtiyot bo'ling. Masalan:

Quyidagi kabi yozmang:

Birinchidan, tizimning har bir tenglamasida noma'lum o'zgaruvchilarni tartiblash kerak va shundan keyingina matritsa yozuviga o'ting:

Bundan tashqari, o'rniga noma'lum o'zgaruvchilarni belgilashda ehtiyot bo'lishingiz kerak x 1, x 2 , …, x n boshqa harflar ham bo'lishi mumkin. Masalan:

matritsa shaklida yozamiz:

Matritsa usulidan foydalanib, tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri keladigan va tizimning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmagan chiziqli tenglamalar tizimini yechish yaxshiroqdir. Tizimda 3 dan ortiq tenglamalar mavjud bo'lganda, teskari matritsani topish uchun ko'proq hisoblash kuchlari kerak bo'ladi, shuning uchun bu holda yechish uchun Gauss usulidan foydalanish tavsiya etiladi.

Noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli deb ham ataladigan Gauss usuli quyidagilardan iborat. Elementar transformatsiyalar yordamida chiziqli tenglamalar tizimi shunday shaklga keltiriladiki, uning koeffitsientlar matritsasi shunday bo'ladi. trapezoidal (uchburchak yoki pog'onali bilan bir xil) yoki trapezoidalga yaqin (Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishi, keyin - faqat to'g'ridan-to'g'ri harakat). Bunday tizimga misol va uning yechimi yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan.

Bunday tizimda oxirgi tenglama faqat bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi va uning qiymatini yagona tarzda topish mumkin. Keyin bu o'zgaruvchining qiymati oldingi tenglamaga almashtiriladi ( Gauss teskari , keyin - faqat teskari harakat), undan oldingi o'zgaruvchi topiladi va hokazo.

Trapezoidal (uchburchak) tizimda, biz ko'rib turganimizdek, uchinchi tenglama endi o'zgaruvchilarni o'z ichiga olmaydi. y va x, va ikkinchi tenglama - o'zgaruvchan x .

Tizim matritsasi trapezoidal shaklga ega bo'lgandan so'ng, tizimning mosligi haqidagi savolni hal qilish, echimlar sonini aniqlash va echimlarni o'zlari topish qiyin emas.

Usulning afzalliklari:

1. uchtadan ortiq tenglama va noma'lum bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimini yechishda Gauss usuli Kramer usuli kabi og'ir emas, chunki Gauss usulini echishda kamroq hisob-kitoblar talab qilinadi;
2. Gauss usulidan foydalanib, siz chiziqli tenglamalarning noaniq tizimlarini, ya'ni umumiy yechimga ega bo'lishingiz mumkin (va biz ularni ushbu darsda tahlil qilamiz) va Kramer usulidan foydalanib, siz faqat tizim noaniq ekanligini aytishingiz mumkin;
3. noma'lumlar soni tenglamalar soniga teng bo'lmagan chiziqli tenglamalar tizimini echishingiz mumkin (bu darsda ularni ham tahlil qilamiz);
4. usul elementar (maktab) usullarga asoslangan - noma'lumlarni almashtirish usuli va biz tegishli maqolada to'xtalib o'tgan tenglamalarni qo'shish usuli.

Har bir inson chiziqli tenglamalarning trapezoidal (uchburchak, qadam) tizimlarini echishning soddaligi bilan singdirilishi uchun biz teskari zarba yordamida bunday tizimning echimini taqdim etamiz. Ushbu tizimning tezkor yechimi dars boshida rasmda ko'rsatilgan.

1-misol Teskari harakat yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Ushbu trapezoidal tizimda o'zgaruvchan z uchinchi tenglamadan yagona topiladi. Biz uning qiymatini ikkinchi tenglamaga almashtiramiz va o'zgaruvchining qiymatini olamiz y:

Endi biz ikkita o'zgaruvchining qiymatlarini bilamiz - z va y. Biz ularni birinchi tenglamaga almashtiramiz va o'zgaruvchining qiymatini olamiz x:

Oldingi bosqichlardan biz tenglamalar tizimining yechimini yozamiz:

Biz juda oddiy hal qilgan bunday trapezoidal chiziqli tenglamalar tizimini olish uchun chiziqli tenglamalar tizimining elementar o'zgarishlari bilan bog'liq to'g'ridan-to'g'ri harakatni qo'llash talab etiladi. Bu ham juda qiyin emas.

Chiziqli tenglamalar sistemasining elementar transformatsiyalari

Tizim tenglamalarini algebraik qo'shishning maktab usulini takrorlab, sistemaning boshqa tenglamasini tizim tenglamalaridan biriga qo'shish va har bir tenglamani qandaydir sonlarga ko'paytirish mumkinligini aniqladik. Natijada berilgan tenglamaga ekvivalent chiziqli tenglamalar tizimini olamiz. Unda bitta tenglamada faqat bitta o'zgaruvchi mavjud bo'lib, uning qiymatini boshqa tenglamalarga almashtirib, biz yechimga kelamiz. Bunday qo'shish tizimni elementar o'zgartirish turlaridan biridir. Gauss usulidan foydalanganda biz bir necha turdagi transformatsiyalardan foydalanishimiz mumkin.

Yuqoridagi animatsiyada tenglamalar tizimi asta-sekin trapezoidalga aylanishi ko'rsatilgan. Ya'ni, siz birinchi animatsiyada ko'rgan va undan barcha noma'lumlarning qiymatlarini topish oson ekanligiga ishonch hosil qilganingiz. Bunday transformatsiyani qanday amalga oshirish kerakligi va, albatta, misollar, bundan keyin ham muhokama qilinadi.

Tenglamalar tizimida va tizimning kengaytirilgan matritsasida istalgan miqdordagi tenglamalar va noma'lumlar bilan chiziqli tenglamalar tizimini echishda mumkin:

1. almashtirish liniyalari (bu maqolaning boshida aytib o'tilgan);
2. agar boshqa o'zgartirishlar natijasida teng yoki proportsional chiziqlar paydo bo'lsa, ular bittadan tashqari o'chirilishi mumkin;
3. barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lgan "null" qatorlarni o'chirish;
4. istalgan qatorni qandaydir songa ko‘paytirish yoki bo‘lish;
5. har qanday qatorga biron bir raqamga ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shing.

O'zgartirishlar natijasida biz berilgan tenglamaga ekvivalent chiziqli tenglamalar tizimini olamiz.

Tizimning kvadrat matritsasi bilan chiziqli tenglamalar tizimini Gauss usuli bilan echish algoritmi va misollari.

Avval noma’lumlar soni tenglamalar soniga teng bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistemalarining yechimini ko‘rib chiqaylik. Bunday tizimning matritsasi kvadrat, ya'ni undagi qatorlar soni ustunlar soniga teng.

2-misol Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching

Chiziqli tenglamalar tizimini maktab usullaridan foydalangan holda yechish, biz tenglamalardan birining hadini qandaydir songa ko'paytirdik, shuning uchun ikkita tenglamadagi birinchi o'zgaruvchining koeffitsientlari qarama-qarshi sonlar edi. Tenglamalarni qo'shganda bu o'zgaruvchi chiqarib tashlanadi. Gauss usuli ham xuddi shunday ishlaydi.

Yechimning ko'rinishini soddalashtirish uchun tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzing:

Bu matritsada noma’lumlar koeffitsientlari vertikal chiziqdan oldin chapda, erkin a’zolar esa vertikal chiziqdan keyin o‘ng tomonda joylashgan.

O'zgaruvchilar koeffitsientlarini bo'lish qulayligi uchun (birga bo'linish uchun) tizim matritsasining birinchi va ikkinchi qatorlarini almashtiring. Biz berilgan tizimga ekvivalent tizimni olamiz, chunki chiziqli tenglamalar tizimida tenglamalarni qayta tartibga solish mumkin:

Yangi birinchi tenglama bilan o'zgaruvchini yo'q qiling x ikkinchi va keyingi barcha tenglamalardan. Buni amalga oshirish uchun matritsaning ikkinchi qatoriga (bizning holatda ) ko'paytiriladigan birinchi qatorni va uchinchi qatorga (bizning holatda ) ko'paytiriladigan birinchi qatorni qo'shing.

Bu mumkin, chunki

Agar tizimimizda uchtadan ortiq tenglama mavjud bo'lsa, unda birinchi qatorni barcha keyingi tenglamalarga qo'shib, minus belgisi bilan olingan tegishli koeffitsientlar nisbatiga ko'paytirish kerak.

Natijada, biz yangi tenglamalar tizimining berilgan tizimiga ekvivalent matritsani olamiz, unda barcha tenglamalar ikkinchidan boshlab. o'zgaruvchini o'z ichiga olmaydi x :

Olingan tizimning ikkinchi qatorini soddalashtirish uchun biz uni qayta-qayta ko'paytiramiz, bu tizimga ekvivalent tenglamalar tizimining matritsasini olamiz:

Endi, hosil bo'lgan tizimning birinchi tenglamasini o'zgarmagan holda, ikkinchi tenglamadan foydalanib, biz o'zgaruvchini yo'q qilamiz y barcha keyingi tenglamalardan. Buning uchun tizim matritsasining uchinchi qatoriga (bizning holimizda ) ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing.

Agar bizning tizimimizda uchtadan ortiq tenglama mavjud bo'lsa, ikkinchi qatorni barcha keyingi tenglamalarga qo'shib, minus belgisi bilan olingan tegishli koeffitsientlar nisbatiga ko'paytirish kerak.

Natijada, biz yana berilgan chiziqli tenglamalar tizimiga ekvivalent tizim matritsasini olamiz:

Biz berilgan tenglamaga ekvivalent trapezoidal chiziqli tenglamalar tizimini oldik:

Agar tenglamalar va o'zgaruvchilar soni bizning misolimizdagidan ko'p bo'lsa, u holda o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish jarayoni bizning namoyish misolimizdagi kabi tizim matritsasi trapezoidal holga kelguncha davom etadi.

Biz yechimni "oxiridan" topamiz - teskari. Buning uchun oxirgi tenglamadan aniqlaymiz z:
.
Bu qiymatni oldingi tenglamaga almashtirib, toping y:

Birinchi tenglamadan toping x:

Javob: bu tenglamalar tizimining yechimi - .

: bu holda, agar tizimda yagona yechim mavjud bo'lsa, xuddi shunday javob beriladi. Agar tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lsa, javob ham shunday bo'ladi va bu darsning beshinchi qismining mavzusi.

Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini o'zingiz yeching va keyin yechimga qarang

Bizning oldimizda yana izchil va aniq chiziqli tenglamalar tizimining namunasi mavjud bo'lib, unda tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng. Bizning demo misolimizdan algoritmdan farqi shundaki, allaqachon to'rtta tenglama va to'rtta noma'lum mavjud.

4-misol Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Endi siz o'zgaruvchini keyingi tenglamalardan chiqarib tashlash uchun ikkinchi tenglamadan foydalanishingiz kerak. Keling, tayyorgarlik ishlarini bajaraylik. Koeffitsientlar nisbati bilan qulayroq qilish uchun siz ikkinchi qatorning ikkinchi ustunida birlikni olishingiz kerak. Buning uchun ikkinchi qatordan uchinchi qatorni ayirib, hosil bo'lgan ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytiring.

Keling, uchinchi va to'rtinchi tenglamalardan o'zgaruvchini haqiqiy yo'q qilishni amalga oshiramiz. Buni amalga oshirish uchun uchinchi qatorga , ga ko'paytirilgan ikkinchisini va to'rtinchi qatorga ko'paytiriladigan ikkinchisini qo'shing.

Endi uchinchi tenglamadan foydalanib, o'zgaruvchini to'rtinchi tenglamadan chiqarib tashlaymiz. Buni amalga oshirish uchun to'rtinchi qatorga uchinchisini ko'paytiring. Biz trapezoidal shaklning kengaytirilgan matritsasini olamiz.

Biz berilgan tizimga ekvivalent bo'lgan tenglamalar tizimini oldik:

Demak, olingan va berilgan tizimlar izchil va aniqdir. Biz yakuniy yechimni "oxiridan" topamiz. To'rtinchi tenglamadan biz "x fourth" o'zgaruvchisining qiymatini to'g'ridan-to'g'ri ifodalashimiz mumkin:

Ushbu qiymatni tizimning uchinchi tenglamasiga almashtiramiz va olamiz

,

,

Nihoyat, qiymatni almashtirish

Birinchi tenglamada berilgan

,

Bu erda biz "x" ni topamiz:

Javob: Bu tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega. .

Tizimning yechimini Kramer usulida yechiydigan kalkulyatorda ham tekshirish mumkin: bu holda tizimda yagona yechim mavjud bo‘lsa, xuddi shunday javob beriladi.

Qotishmalar uchun masala misolida amaliy masalalarni Gauss usulida yechish

Chiziqli tenglamalar tizimlari jismoniy dunyoning haqiqiy ob'ektlarini modellashtirish uchun ishlatiladi. Keling, ushbu muammolardan birini hal qilaylik - qotishmalar uchun. Shu kabi vazifalar - aralashmalar uchun vazifalar, tovarlar guruhidagi alohida tovarlarning narxi yoki solishtirma og'irligi va boshqalar.

5-misol Uch dona qotishma umumiy massasi 150 kg ni tashkil qiladi. Birinchi qotishma tarkibida 60% mis, ikkinchisida - 30%, uchinchisida - 10% mavjud. Shu bilan birga, birgalikda olingan ikkinchi va uchinchi qotishmalarda mis birinchi qotishmaga qaraganda 28,4 kg, uchinchi qotishmada esa ikkinchisiga qaraganda 6,2 kg kamroq. Har bir qotishma bo'lagining massasini toping.

Yechim. Biz chiziqli tenglamalar tizimini tuzamiz:

Ikkinchi va uchinchi tenglamalarni 10 ga ko'paytirib, chiziqli tenglamalarning ekvivalent tizimini olamiz:

Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz:

Diqqat, to'g'ridan-to'g'ri harakat. Bir qatorni qo'shish (bizning holatda, ayirish), raqamga ko'paytirilishi (biz uni ikki marta qo'llaymiz), tizimning kengaytirilgan matritsasi bilan quyidagi o'zgarishlar sodir bo'ladi:

To'g'ri yugurish tugadi. Biz trapezoidal shaklning kengaytirilgan matritsasini oldik.

Keling, teskarisini ishlataylik. Biz oxirigacha yechim topamiz. Biz buni ko'ramiz.

Ikkinchi tenglamadan biz topamiz

Uchinchi tenglamadan -

Tizimning yechimini Kramer usulida yechiydigan kalkulyatorda ham tekshirish mumkin: bu holda tizimda yagona yechim mavjud bo‘lsa, xuddi shunday javob beriladi.

Gauss usulining soddaligi nemis matematigi Karl Fridrix Gauss ixtiro qilish uchun bor-yo‘g‘i 15 daqiqa vaqt sarflaganligidan dalolat beradi. Gaussning "Bizga aql bovar qilmaydigan va g'ayritabiiy tuyulgan narsani mutlaqo mumkin bo'lmagan narsa bilan aralashtirib yubormaslik kerak" degan gapi uning nomining uslubiga qo'shimcha ravishda, kashfiyotlar qilish uchun o'ziga xos qisqacha ko'rsatmadir.

Ko'pgina amaliy masalalarda uchinchi cheklash, ya'ni uchinchi tenglama bo'lmasligi mumkin, keyin uchta noma'lumli ikkita tenglamalar tizimini Gauss usuli bilan yechish kerak yoki aksincha, tenglamalarga qaraganda kamroq noma'lumlar mavjud. Endi biz bunday tenglamalar sistemasini yechishni boshlaymiz.

Gauss usulidan foydalanib, har qanday tizim izchil yoki mos kelmasligini aniqlashingiz mumkin n bilan chiziqli tenglamalar n o'zgaruvchilar.

Gauss usuli va yechimlari cheksiz sonli chiziqli tenglamalar sistemalari

Keyingi misol - izchil, lekin noaniq chiziqli tenglamalar tizimi, ya'ni uning cheksiz ko'p echimlari mavjud.

Tizimning kengaytirilgan matritsasida transformatsiyalarni amalga oshirgandan so'ng (satrlarni almashtirish, qatorlarni ma'lum songa ko'paytirish va bo'lish, bir qatorni boshqasiga qo'shish) shakl qatorlari

Agar barcha tenglamalarda shaklga ega bo'lsa

Erkin a'zolar nolga teng, bu sistemaning noaniq ekanligini, ya'ni uning cheksiz sonli yechimlari borligini bildiradi va bu turdagi tenglamalar "ortiqcha" va tizimdan chiqarib tashlanadi.

6-misol

Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz. Keyin, birinchi tenglamadan foydalanib, biz keyingi tenglamalardan o'zgaruvchini yo'q qilamiz. Buning uchun ikkinchi, uchinchi va toʻrtinchi qatorlarga mos ravishda koʻpaytirilgan birinchi qatorni qoʻshing:

Endi uchinchi va to'rtinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shamiz.

Natijada biz tizimga kelamiz

Oxirgi ikki tenglama shakldagi tenglamaga aylandi. Ushbu tenglamalar noma'lumlarning har qanday qiymatlari uchun qondiriladi va ularni bekor qilish mumkin.

Ikkinchi tenglamani qondirish uchun biz va uchun ixtiyoriy qiymatlarni tanlashimiz mumkin, keyin uchun qiymat bir xil tarzda aniqlanadi: . Birinchi tenglamadan qiymati ham yagona topiladi: .

Berilgan va oxirgi tizimlar ham mos keladi, lekin noaniq va formulalar

ixtiyoriy uchun va bizga berilgan tizimning barcha yechimlarini bering.

Gauss usuli va yechimi bo'lmagan chiziqli tenglamalar tizimlari

Quyidagi misol chiziqli tenglamalarning mos kelmaydigan tizimi, ya'ni uning yechimlari yo'q. Bunday muammolarga javob quyidagicha tuzilgan: tizimda yechim yo'q.

Birinchi misolda aytib o'tilganidek, tizimning kengaytirilgan matritsasida o'zgarishlarni amalga oshirgandan so'ng, shakl chiziqlari

shakldagi tenglamaga mos keladi

Agar ular orasida nolga teng bo'lmagan erkin hadli (ya'ni ) kamida bitta tenglama bo'lsa, unda bu tenglamalar tizimi mos kelmaydi, ya'ni uning yechimlari yo'q va bu uning yechimini tugatadi.

7-misol Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz. Birinchi tenglamadan foydalanib, biz o'zgaruvchini keyingi tenglamalardan chiqaramiz. Buning uchun ikkinchi qatorga birinchi ko'paytiriladi, birinchi uchinchi qatorga ko'paytiriladi va birinchi to'rtinchi qatorga ko'paytiriladi.

Endi siz o'zgaruvchini keyingi tenglamalardan chiqarib tashlash uchun ikkinchi tenglamadan foydalanishingiz kerak. Koeffitsientlarning butun son nisbatlarini olish uchun biz tizimning kengaytirilgan matritsasining ikkinchi va uchinchi qatorlarini almashtiramiz.

Uchinchi va to‘rtinchi tenglamalardan chiqarib tashlash uchun uchinchi qatorga , ga ko‘paytirilgan ikkinchisini va to‘rtinchiga ko‘paytirilgan ikkinchi tenglamani qo‘shing.

Endi uchinchi tenglamadan foydalanib, o'zgaruvchini to'rtinchi tenglamadan chiqarib tashlaymiz. Buni amalga oshirish uchun to'rtinchi qatorga uchinchisini ko'paytiring.

Shunday qilib, berilgan tizim quyidagilarga ekvivalentdir:

Olingan tizim nomuvofiqdir, chunki uning oxirgi tenglamasini noma'lumlarning hech qanday qiymatlari bilan qondirib bo'lmaydi. Shuning uchun bu tizim hech qanday yechimga ega emas.

qayerda x* - bir hil bo'lmagan tizimning yechimlaridan biri (2) (masalan, (4)), (E−A + A) matritsaning yadrosini (nol maydoni) hosil qiladi A.

Matritsaning skelet parchalanishini tuzamiz (E−A + A):

E−A + A=Q S

qayerda Q n×n−r- daraja matritsasi (Q)=n−r, S n−r×n-darajali matritsasi (S)=n−r.

Keyin (13) quyidagi shaklda yozilishi mumkin:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

qayerda k=Sz.

Shunday qilib, umumiy yechim tartibi Psevdoteskari matritsadan foydalangan holda chiziqli tenglamalar tizimini quyidagi shaklda ifodalash mumkin:

1. Psevdoteskari matritsani hisoblang A + .
2. Bir hil bo'lmagan chiziqli tenglamalar tizimining ma'lum bir yechimini hisoblaymiz (2): x*=A + b.
3. Biz tizimning mosligini tekshiramiz. Buning uchun biz hisoblaymiz AA + b. Agar a AA + b≠b, keyin tizim mos kelmaydi. Aks holda, biz protsedurani davom ettiramiz.
4. vyssylyaem E−A+A.
5. Skeletning parchalanishini amalga oshirish E−A + A=Q·S.
6. Yechim yaratish

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

Chiziqli tenglamalar tizimini onlayn yechish

Onlayn kalkulyator sizga batafsil tushuntirishlar bilan chiziqli tenglamalar tizimining umumiy yechimini topish imkonini beradi.

Ko'rsatma

Almashtirish yoki ketma-ket yo'q qilish usuli.O'zgartirish noma'lumlar soni kam bo'lgan tizimda qo'llaniladi. Bu oddiy uchun eng oddiy yechim usuli. Birinchidan, birinchi tenglamadan biz bir noma'lumni qolganlari bilan ifodalaymiz va bu ifodani ikkinchi tenglamaga almashtiramiz. O'zgartirilgan ikkinchi tenglamadan ikkinchi noma'lumni ifodalaymiz, olingan natijani uchinchi tenglamaga almashtiramiz va hokazo. oxirgi noma'lumni hisoblamagunimizcha. Keyin biz uning qiymatini oldingi tenglamaga almashtiramiz va oxirgi noma'lumni topamiz va hokazo. Noma'lumlar bilan ko'rib chiqing.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Birinchi x tenglamadan ifodalang: x = 3 - y. Ikkinchi tenglamada almashtiring: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3 - 3y = 0
y=1
Birinchi tenglamada almashtiring tizimlari(yoki bir xil bo'lgan x uchun ifodaga): x + 1 - 3 = 0. Biz x = 2 ni olamiz.

Davr bo‘yicha ayirish (yoki qo‘shish).Bu usul ko‘pincha yechimlarni qisqartiradi tizimlari va hisob-kitoblarni soddalashtirish. Bu tenglamalarni qo'shish (yoki ayirish) uchun noma'lumlarni tahlil qilishdan iborat tizimlari tenglamadan ba'zi noma'lumlarni yo'q qilish. Misolni ko'rib chiqing, birinchi usuldagi kabi tizimni oling.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Ko'rinib turibdiki, y da koeffitsientlar mutlaq qiymat bo'yicha bir xil, ammo belgisi bilan, shuning uchun ikkita tenglamani had bo'yicha qo'shsak, u holda y ni chiqarib tashlash mumkin bo'ladi. Qo'shamiz: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 yoki 3x - 6 = 0. Shunday qilib, x = 2. Bu qiymatni istalgan tenglamada o'rniga qo'yib, y ni topamiz.
Shu bilan bir qatorda, x ni chiqarib tashlash mumkin. X dagi koeffitsientlar bir xil belgiga ega, shuning uchun biz bir tenglamani boshqasidan ayiramiz. Ammo birinchi tenglamada x dagi koeffitsient 1 ga, ikkinchisida esa 2 ga teng, shuning uchun siz x ni yo'q qila olmaysiz. Birinchi tenglamani 2 ga ko'paytirsak, biz quyidagi tizimni olamiz:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Endi birinchi tenglama hadidan ikkinchi tenglamani had bo'yicha ayiramiz: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 yoki shunga o'xshashlarni berib, 3y - 3 = 0. Shunday qilib, y = 1. Har qanday tenglamani almashtirib, biz x ni topamiz.

Tegishli videolar

Maslahat 2: Chiziqli tenglamalar tizimining mosligini qanday isbotlash mumkin

Oliy matematikaning vazifalaridan biri chiziqli tenglamalar tizimining mosligini isbotlashdir. Isbot Kronker-Kapelli teoremasi bo'yicha amalga oshirilishi kerak, unga ko'ra, agar uning asosiy matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng bo'lsa, tizim izchil bo'ladi.

Ko'rsatma

Tizimning asosiy matritsasini yozing. Buning uchun tenglamalarni standart shaklga keltiring (ya'ni barcha koeffitsientlarni bir xil tartibda qo'ying, agar ulardan birontasi etishmayotgan bo'lsa, ularni oddiygina "0" raqamli koeffitsienti bilan yozing). Barcha koeffitsientlarni jadval shaklida yozing, uni qavs ichiga kiriting (o'ng tomonga o'tkazilgan bepul shartlarni hisobga olmang).

Xuddi shu tarzda, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozing, faqat bu holda, o'ng tomonga vertikal chiziq qo'ying va bo'sh a'zolar ustunini yozing.

Asosiy matritsaning darajasini hisoblang, bu nolga teng bo'lmagan eng katta minordir. Birinchi darajali minor matritsaning istalgan raqami bo'lib, u nolga teng emasligi aniq. Ikkinchi darajali minorni hisoblash uchun har qanday ikkita satr va ikkita ustunni oling (siz to'rtta raqam olasiz). Determinantni hisoblang, yuqori chap raqamni pastki o'ngga ko'paytiring, natijada olingan sondan pastki chap va o'ng tomonning mahsulotini ayiring. Sizda ikkinchi darajali voyaga etmaganingiz bor.

Uchinchi tartibdagi minorni hisoblash qiyinroq. Buni amalga oshirish uchun har qanday uchta qator va uchta ustunni oling, siz to'qqiz raqamdan iborat jadvalni olasiz. Formuladan foydalanib determinantni hisoblang: ∆ \u003d a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13-a31a22a13-a12a21a33-a11a23a32 (koeffitsientning birinchi raqami - satr raqami, ikkinchisi - ustun raqami). Siz uchinchi darajali voyaga etmagan bolani oldingiz.

Xuddi shunday, kengaytirilgan matritsaning darajasini toping. E'tibor bering, agar tizimingizdagi tenglamalar soni darajaga to'g'ri kelsa (masalan, uchta tenglama va daraja 3 bo'lsa), kengaytirilgan matritsaning darajasini hisoblashning ma'nosi yo'q - aniqki, u ham bu raqamga teng bo'ladi. . Bunday holda, chiziqli tenglamalar tizimi izchil ekanligi haqida ishonch bilan xulosa qilishimiz mumkin.

Tegishli videolar

Berilgan savol butun "Chiziqli algebra" kursining asosiy maqsadini to'liq qamrab oladi. Shuning uchun javob faqat siqilgan shaklda, batafsil hisob-kitoblar va tushuntirishlarsiz berilishi mumkin. Umuman olganda, chiziqli tenglamalar qiziqarli, chunki ularni sof algoritmik usullar bilan yechish mumkin.

Ko'rsatma

n ta noma'lumli m chiziqli algebraik tenglamalar tizimi shaklga ega (1-rasmga qarang).
Unda aij - sistema koeffitsientlari, xj - noma'lumlar, bi - erkin a'zolar (i=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... , p). Bunday sistema uning tenglamalari soni noma'lumlar sonidan oshmasa, ya'ni m≤n bo'lganda amaliy ma'noga ega bo'ladi. Haqiqat shundaki, aks holda "qo'shimcha" tenglamalar qolganlarning chiziqli birikmasi bo'lishi kerak. Ular shunchaki takrorlaydilar. Agar yo'q bo'lsa, unda yechim mavjud emas (tizim izchil emas).

Bunday sistemani AX=B matritsa shaklida ixcham yozish mumkin. Bu yerda A - sistemaning koeffitsientlari, X - noma'lumlar matritsa-ustunlari, B - erkin hadlar matritsa-ustunlari (2-rasmga qarang). Agar m=n bo'lsa, ya'ni. noma'lumlar soni va tenglamalar soni bir xil bo'lsa, A matritsa kvadrat bo'ladi. Shuning uchun u uchun ∆=|A| matritsaning determinanti tushunchasi aniqlanadi. |A|≠0 uchun A⁻¹ teskari matritsa mavjud. U AA⁻¹= A⁻¹A=E tengligiga asoslanadi (E - identifikatsiya matritsasi). Hisoblash formulasi 2-rasmda ham mavjud. Faqat shuni qo'shimcha qilish kerakki, A matritsaning aij elementlarining algebraik to'ldiruvchisi deb ataladigan Aij G elementlari quyidagicha hisoblanadi. |A| determinantini oling va undan aij elementi bo'lgan qator va ustunni o'chiring. Qolgan koeffitsientlarni determinant sifatida yozing, agar i+j juft bo'lmasa, ularni (-1) ga ko'paytirasiz. Tegishli raqam - Aij. Algebraik qo'shimchalar bog'langan matritsaning ustunlari ustiga yoziladi.

Sistemaning yechimini matritsali usulda toping. Buning uchun AX=B sistemaning ikkala qismini chap tomondagi A⁻¹ ga ko'paytiring. (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B yoki X=A⁻¹B ni oling. Barcha tafsilotlar rasmda ko'rsatilgan. 3. Xuddi shu rasmda ko'rsatilgan

Ushbu darsda chiziqli tenglamalar tizimini yechish usullarini ko'rib chiqamiz. Oliy matematika kursida chiziqli tenglamalar tizimlarini alohida topshiriqlar shaklida ham, masalan, “Tizimni Kramer formulalari yordamida yechish” va boshqa masalalarni yechish jarayonida yechish talab etiladi. Oliy matematikaning deyarli barcha sohalarida chiziqli tenglamalar tizimlari bilan shug'ullanish kerak.

Birinchidan, bir oz nazariya. Bu holatda "chiziqli" matematik so'zi nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, tizim tenglamalarida hammasi o'zgaruvchilar kiritilgan birinchi darajada: kabi ajoyib narsalar yo'q va hokazo, ulardan faqat matematika olimpiadalari ishtirokchilari xursand bo'lishadi.

Oliy matematikada o'zgaruvchilarni belgilash uchun nafaqat bolalikdan tanish bo'lgan harflar qo'llaniladi.
Juda mashhur variant - indeksli o'zgaruvchilar: .
Yoki lotin alifbosining kichik va katta bosh harflari:
Yunoncha harflarni topish juda kam uchraydi: - ko'pchilik "alfa, beta, gamma" larga yaxshi ma'lum. Shuningdek, indeksli to'plam, aytaylik, "mu" harfi bilan:

Harflarning u yoki bu to'plamidan foydalanish biz chiziqli tenglamalar tizimiga duch kelgan oliy matematikaning bo'limiga bog'liq. Masalan, integrallarni, differensial tenglamalarni echishda uchraydigan chiziqli tenglamalar sistemalarida yozuvdan foydalanish odatiy holdir.

Ammo o'zgaruvchilar qanday belgilanishidan qat'i nazar, chiziqli tenglamalar tizimini echish tamoyillari, usullari va usullari bundan o'zgarmaydi. Shunday qilib, agar siz dahshatli narsaga duch kelsangiz, qo'rquv bilan muammo daftarini yopishga shoshilmang, uning o'rniga siz quyoshni chizishingiz mumkin, buning o'rniga - qush va uning o'rniga - yuz (o'qituvchi). Va g'alati, bu belgilar bilan chiziqli tenglamalar tizimini ham echish mumkin.

Menda shunday bir narsa borki, maqola juda uzun bo'lib chiqadi, shuning uchun kichik jadval. Shunday qilib, ketma-ket "debriefing" quyidagicha bo'ladi:

– Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechish (“maktab usuli”);
– tizim tenglamalarini muddat bo‘yicha qo‘shish (ayirish) usuli bilan tizimni yechish.;
– Tizimni Kramer formulalari bo'yicha yechish;
– Teskari matritsa yordamida tizimni yechish;
– sistemani Gauss usulida yechish.

Chiziqli tenglamalar tizimlari bilan hamma maktab matematika kursidan tanish. Aslida, biz takrorlashdan boshlaymiz.

Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli bilan yechish

Bu usulni “maktab usuli” yoki noma’lumlarni bartaraf etish usuli deb ham atash mumkin. Majoziy ma'noda uni "yarim tayyor Gauss usuli" deb ham atash mumkin.

1-misol

Bu erda ikkita noma'lumli ikkita tenglamalar tizimi mavjud. E'tibor bering, erkin shartlar (5 va 7 raqamlari) tenglamaning chap tomonida joylashgan. Umuman olganda, ular qaerda, chapda yoki o'ngda bo'lishi muhim emas, faqat oliy matematikadagi masalalarda ular ko'pincha shunday joylashadi. Va bunday yozuv chalkash bo'lmasligi kerak, agar kerak bo'lsa, tizim har doim "odatdagidek" yozilishi mumkin:. Shuni unutmangki, atamani qismdan qismga o'tkazishda siz uning belgisini o'zgartirishingiz kerak.

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish nimani anglatadi? Tenglamalar sistemasini yechish deganda uning yechimlari to‘plamini topish tushuniladi. Tizimning yechimi - bu unga kiritilgan barcha o'zgaruvchilarning qiymatlari to'plami, bu tizimning HAR bir tenglamasini haqiqiy tenglikka aylantiradi. Bundan tashqari, tizim bo'lishi mumkin mos kelmaydigan (hech qanday yechim yo'q).Uyalmang, bu umumiy ta'rif =) Biz bilan har bir tenglamani qanoatlantiradigan "x" ning faqat bitta qiymati va "y" ning bitta qiymati bo'ladi.

Tizimni echishning grafik usuli mavjud, uni darsda topish mumkin. To'g'ri chiziq bilan eng oddiy muammolar. U erda men gaplashdim geometrik ma'no ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimi. Ammo hozir hovlida algebra davri, va raqamlar - raqamlar, harakatlar - harakatlar.

Biz qaror qilamiz: birinchi tenglamadan biz ifodalaymiz:
Olingan ifodani ikkinchi tenglamaga almashtiramiz:

Qavslarni ochamiz, o'xshash shartlarni beramiz va qiymatni topamiz:

Keyin ular nimadan raqsga tushganini eslaymiz:
Biz allaqachon qiymatni bilamiz, topish uchun qoladi:

Javob:

HAR QANDAY tenglamalar tizimi HAR QANDAY tarzda echilgandan so'ng, men tekshirishni tavsiya qilaman (og'zaki, qoralama yoki kalkulyatorda). Yaxshiyamki, bu tez va oson amalga oshiriladi.

1) Topilgan javobni birinchi tenglamaga almashtiring:

- to'g'ri tenglik olinadi.

2) Topilgan javobni ikkinchi tenglamaga almashtiramiz:

- to'g'ri tenglik olinadi.

Yoki oddiyroq qilib aytganda, "hamma narsa birlashdi"

Ko'rib chiqilgan yechim usuli yagona emas, birinchi tenglamadan uni ifodalash mumkin edi, lekin yo'q.
Aksincha, siz ikkinchi tenglamadan biror narsani ifodalashingiz va uni birinchi tenglamaga almashtirishingiz mumkin. Aytgancha, to'rtta usulning eng noqulayi ikkinchi tenglamadan ifodalash ekanligini unutmang:

Kasrlar olinadi, lekin nima uchun? Yana oqilona yechim bor.

Biroq, ba'zi hollarda, fraktsiyalar hali ham ajralmasdir. Shu munosabat bilan e'tiboringizni ifodani QANDAY yozganimga qaratmoqchiman. Bunday emas: va hech qanday holatda: .

Agar oliy matematikada siz kasr raqamlari bilan shug'ullanayotgan bo'lsangiz, unda barcha hisob-kitoblarni oddiy noto'g'ri kasrlarda bajarishga harakat qiling.

Aniqrog'i, yo'q yoki!

Vergul faqat vaqti-vaqti bilan ishlatilishi mumkin, xususan, agar - bu ba'zi bir muammoning yakuniy javobi bo'lsa va bu raqam bilan boshqa harakatlarni bajarish shart emas.

Ko'pgina o'quvchilar, ehtimol, "nega bunday batafsil tushuntirish, tuzatish sinfiga kelsak va hamma narsa aniq" deb o'ylashgan. Shunga o'xshash narsa yo'q, bu juda oddiy maktab misoli bo'lib tuyuladi, lekin juda ko'p JUDA muhim xulosalar! Mana yana biri:

Har qanday vazifani eng oqilona tarzda bajarishga harakat qilish kerak.. Faqat vaqt va asablarni tejaganligi uchun, shuningdek, xato qilish ehtimolini kamaytiradi.

Agar oliy matematikadagi topshiriqda siz ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimiga duch kelsangiz, har doim almashtirish usulidan foydalanishingiz mumkin (agar tizimni boshqa usul bilan echish kerakligi ko'rsatilmagan bo'lsa) ".
Bundan tashqari, ba'zi hollarda almashtirish usulini ko'proq o'zgaruvchilar bilan ishlatish tavsiya etiladi.

2-misol

Uchta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Shunga o'xshash tenglamalar tizimi ko'pincha noaniq koeffitsientlar deb ataladigan usuldan foydalanganda, ratsional kasr funksiyasining integralini topganda paydo bo'ladi. Ko'rib chiqilayotgan tizim men tomonidan o'sha erdan olingan.

Integralni topishda - maqsad tez koeffitsientlarning qiymatlarini toping va Kramer formulalari, teskari matritsa usuli va boshqalar bilan murakkablashmang. Shuning uchun, bu holda, almashtirish usuli mos keladi.

Har qanday tenglamalar tizimi berilganda, birinchi navbatda, buni bilib olish maqsadga muvofiqdir, lekin uni qandaydir tarzda DAVOLA soddalashtirish mumkinmi? Tizim tenglamalarini tahlil qilib, biz tizimning ikkinchi tenglamasini 2 ga bo'lish mumkinligini ko'ramiz, biz buni qilamiz:

Malumot: Matematik belgi "bundan kelib chiqadi" degan ma'noni anglatadi, u ko'pincha muammolarni hal qilishda ishlatiladi.

Endi biz tenglamalarni tahlil qilamiz, qolganlari orqali ba'zi o'zgaruvchilarni ifodalashimiz kerak. Qaysi tenglamani tanlash kerak? Ehtimol, buning uchun eng oson yo'li tizimning birinchi tenglamasini olish ekanligini allaqachon taxmin qilgansiz:

Bu erda qaysi o'zgaruvchini ifodalash muhim emas, yoki ni ifodalash ham mumkin.

Keyinchalik, sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalariga ifodani almashtiramiz:

Qavslarni oching va shunga o'xshash shartlarni qo'shing:

Uchinchi tenglamani 2 ga bo'lamiz:

Ikkinchi tenglamadan biz ifodalaymiz va uchinchi tenglamaga almashtiramiz:

Deyarli hamma narsa tayyor, uchinchi tenglamadan biz topamiz:
Ikkinchi tenglamadan:
Birinchi tenglamadan:

Tekshiring: tizimning har bir tenglamasining chap tomonidagi o'zgaruvchilarning topilgan qiymatlarini almashtiring:

1)
2)
3)

Tenglamalarning mos keladigan o'ng tomonlari olinadi, shuning uchun yechim to'g'ri topiladi.

3-misol

4 ta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob).

Tizim tenglamalarini davr bo‘yicha qo‘shish (ayirish) yo‘li bilan tizimni yechish

Chiziqli tenglamalar tizimlarini echish jarayonida "maktab usuli" dan emas, balki tizim tenglamalarini muddatlar bo'yicha qo'shish (ayirish) usulidan foydalanishga harakat qilish kerak. Nega? Bu vaqtni tejaydi va hisob-kitoblarni soddalashtiradi, ammo endi bu aniqroq bo'ladi.

4-misol

Chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Men birinchi misol bilan bir xil tizimni oldim.
Tenglamalar tizimini tahlil qilib, o'zgaruvchining koeffitsientlari mutlaq qiymati bo'yicha bir xil va ishorasi bo'yicha qarama-qarshi (-1 va 1) ekanligini ko'ramiz. Bunday holda, tenglamalarni har bir muddat qo'shish mumkin:

Qizil rangda aylana chizilgan harakatlar MENTAL bajariladi.
Ko'rib turganingizdek, terminlarni qo'shish natijasida biz o'zgaruvchini yo'qotdik. Bu, aslida usulning mohiyati o'zgaruvchilardan biridan xalos bo'lishdir.