Keling, avvalo ikkita o'zgaruvchili funktsiya holatini ko'rib chiqaylik. $M_0(x_0;y_0)$ nuqtadagi $z=f(x,y)$ funksiyasining shartli ekstremumi bu funktsiyaning ekstremumidir, agar $x$ va $y$ oʻzgaruvchilari quyidagi shartlarda erishiladi. Bu nuqtaga yaqinlik $\ varphi(x,y)=0$ cheklash tenglamasini qanoatlantiradi.

"Shartli" ekstremum nomi o'zgaruvchilarga $\varphi(x,y)=0$ qo'shimcha shart qo'yilganligi bilan bog'liq. Agar bog‘lanish tenglamasidan bir o‘zgaruvchini boshqasi bilan ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda shartli ekstremumni aniqlash masalasi bitta o‘zgaruvchining funksiyasining odatiy ekstremum masalasiga keltiriladi. Masalan, agar $y=\psi(x)$ cheklash tenglamasidan kelib chiqsa, $y=\psi(x)$ ni $z=f(x,y)$ ga almashtirsak, bitta $ oʻzgaruvchisi funksiyasini olamiz. z=f\chap (x,\psi(x)\o‘ng)$. Umuman olganda, bu usul kam qo'llaniladi, shuning uchun yangi algoritm talab qilinadi.

Ikki o'zgaruvchining funktsiyalari uchun Lagranj ko'paytmalari usuli.

Lagranj ko‘paytiruvchilar usuli shundan iboratki, shartli ekstremumni topish uchun Lagranj funksiyasi tuziladi: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametr $\lambda) $ Lagrange multiplikatori deyiladi). Kerakli ekstremal shartlar statsionar nuqtalar aniqlanadigan tenglamalar tizimi bilan beriladi:

$$ \left \( \begin(hizalangan) & \frac(\qisman F)(\qisman x)=0;\\ & \frac(\qisman F)(\qisman y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(hizalangan)\o'ng.$$

$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$ belgisi. Agar statsionar nuqtada $d^2F > 0$ boʻlsa, $z=f(x,y)$ funksiyasi shu nuqtada shartli minimumga ega, lekin $d^2F boʻlsa.< 0$, то условный максимум.

Ekstremumning tabiatini aniqlashning yana bir usuli bor. Cheklov tenglamasidan biz olamiz: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, shuning uchun har qanday statsionar nuqtada bizda:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\o'ng)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \o'ng)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\o'ng)$$

Ikkinchi omil (qavslar ichida joylashgan) ushbu shaklda ifodalanishi mumkin:

$\left| elementlari \begin(massiv) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (massiv) \right|$, bu Lagrange funksiyasining Hessian. Agar $H > 0$ boʻlsa, $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, ya'ni. $z=f(x,y)$ funksiyaning shartli minimumiga egamiz.

$H$ determinantining shakliga e'tibor bering. ko'rsatish / yashirish

$$ H=-\left|\begin(massiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(massiv) \o'ng| $$

Bu holatda yuqorida tuzilgan qoida quyidagicha o'zgaradi: agar $H > 0$ bo'lsa, funktsiya shartli minimumga ega bo'ladi va $H uchun< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Shartli ekstremum uchun ikkita o'zgaruvchili funktsiyani o'rganish algoritmi

1. Lagrange funksiyasini tuzing $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Tizimni yeching $ \left \( \begin(hizalangan) & \frac(\qisman F)(\qisman x)=0;\\ & \frac(\qisman F)(\qisman y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(hizalangan)\right.$
3. Oldingi xatboshida topilgan har bir statsionar nuqtada ekstremumning tabiatini aniqlang. Buning uchun quyidagi usullardan birini qo'llang:
   • $H$ determinantini tuzing va uning ishorasini toping
   • Cheklov tenglamasini hisobga olib, $d^2F$ belgisini hisoblang

n ta o'zgaruvchining funksiyalari uchun Lagrange ko'paytma usuli

Faraz qilaylik, bizda $n$ oʻzgaruvchilar funksiyasi $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ va $m$ cheklash tenglamalari ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Lagrange ko'paytirgichlarini $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ sifatida belgilab, biz Lagrange funksiyasini tuzamiz:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Shartli ekstremum mavjudligi uchun zarur shart-sharoitlar tenglamalar tizimi bilan beriladi, undan statsionar nuqtalarning koordinatalari va Lagrange ko'paytirgichlarining qiymatlari topiladi:

$$\left\(\begin(hizalangan) & \frac(\qisman F)(\qisman x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(hizalangan) \o'ng.$$

$d^2F$ belgisi yordamida topilgan nuqtada funksiyaning shartli minimal yoki shartli maksimalga ega ekanligini aniqlash mumkin. Agar topilgan nuqtada $d^2F > 0$ boʻlsa, funktsiya shartli minimumga ega, lekin agar $d^2F boʻlsa.< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matritsa determinanti $\left| \begin(massiv) (ccccc) \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(1)^(2)) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(1)\qisman x_(2) ) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(1)\qisman x_(3)) &\ldots & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(1)\qisman x_(n)) \\ \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(2)\qisman x_1) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(2)^(2)) & \frac(\qisman^2F) )(\qisman x_(2)\qisman x_(3)) &\ldots & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(2)\qisman x_(n))\\ \frac(\qisman^2F) )(\qisman x_(3) \qisman x_(1)) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(3)\qisman x_(2)) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(3)\qisman x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(n)\qisman x_(1)) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(n)\qisman x_(2)) & \ frac(\qisman^2F)(\qisman x_(n)\qisman x_(3)) &\ldots & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(n)^(2))\\ \end( massiv) $L$ matritsasida qizil rang bilan belgilangan \right|$ Lagrange funksiyasining Hessianidir. Biz quyidagi qoidadan foydalanamiz:

• Agar burchak kichiklarining belgilari $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matritsalari $L$ $(-1)^m$ belgisiga toʻgʻri keladi, u holda oʻrganilayotgan statsionar nuqta $z funksiyaning shartli minimal nuqtasi boʻladi. =f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Agar burchak kichiklarining belgilari $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ almashinadi va minor $H_(2m+1)$ belgisi $(-1)^(m+1) sonining belgisi bilan mos keladi. )$ bo‘lsa, o‘rganilayotgan statsionar nuqta $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ funksiyaning shartli maksimal nuqtasi hisoblanadi.

№1 misol

$x^2+y^2=10$ shartidagi $z(x,y)=x+3y$ funksiyaning shartli ekstremumini toping.

Bu masalaning geometrik talqini quyidagicha: $z=x+3y$ tekislik ilovasining $x^2+y^2 silindr bilan kesishgan nuqtalari uchun eng katta va eng kichik qiymatini topish talab qilinadi. =10$.

Cheklangan tenglamadan bir o‘zgaruvchini boshqasi bilan ifodalash va uni $z(x,y)=x+3y$ funksiyasiga almashtirish biroz qiyin, shuning uchun biz Lagrange usulidan foydalanamiz.

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ belgilab, Lagrange funksiyasini tuzamiz:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\qisman) F)(\qisman x)=1+2\lambda x; \frac(\qisman F)(\qisman y)=3+2\lambda y. $$

Lagranj funksiyasining statsionar nuqtalarini aniqlash uchun tenglamalar tizimini yozamiz:

$$ \left \( \begin(hizalangan) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (tekislangan)\o'ng.$$

Agar $\lambda=0$ deb faraz qilsak, birinchi tenglama quyidagicha bo'ladi: $1=0$. Olingan qarama-qarshilik $\lambda\neq 0$ ekanligini aytadi. $\lambda\neq 0$ shartida, birinchi va ikkinchi tenglamalardan biz quyidagilarga egamiz: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Olingan qiymatlarni uchinchi tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \o'ng)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \o'ng)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(hizalangan) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(hizalangan) \o'ng.\\ \begin(hizalangan) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(hizalangan) $$

Demak, tizimning ikkita yechimi bor: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ va $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Har bir statsionar nuqtada ekstremumning tabiatini aniqlaymiz: $M_1(1;3)$ va $M_2(-1;-3)$. Buning uchun har bir nuqtada $H$ determinantini hisoblaymiz.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(massiv) \o'ng|= \chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(massiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiv) \o'ng| $$

$M_1(1;3)$ nuqtasida biz olamiz: $H=8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(massiv) \right|=40 > 0$, shuning uchun nuqtada $M_1(1;3)$ funksiyasi $z(x,y)=x+3y$ shartli maksimalga ega, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Xuddi shunday, $M_2(-1;-3)$ nuqtada biz topamiz: $H=8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(massiv) \right|=-40$. $H dan beri< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Shuni ta'kidlaymanki, har bir nuqtada $H$ determinantining qiymatini hisoblash o'rniga, uni umumiy tarzda ochish ancha qulayroqdir. Matnni tafsilotlar bilan aralashtirib yubormaslik uchun men ushbu usulni eslatma ostida yashiraman.

Aniqlovchi $H$ belgisi umumiy shaklda. ko'rsatish / yashirish

$$ H=8\cdot\left|\begin(massiv)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(massiv)\o'ng| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\o'ng). $$

Printsipial jihatdan $H$ ning qaysi belgisi borligi allaqachon aniq. $M_1$ yoki $M_2$ nuqtalarining hech biri kelib chiqishi bilan mos kelmagani uchun $y^2+x^2>0$. Demak, $H$ belgisi $\lambda$ belgisiga qarama-qarshidir. Shuningdek, siz hisob-kitoblarni bajarishingiz mumkin:

$$ \begin(hizalangan) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\o'ng)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\o'ng)=-40. \end(tekislangan) $$

$M_1(1;3)$ va $M_2(-1;-3)$ statsionar nuqtalaridagi ekstremumning tabiati haqidagi savolni $H$ determinantidan foydalanmasdan yechish mumkin. Har bir statsionar nuqtada $d^2F$ belgisini toping:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \chap( dx^2+dy^2\o‘ng) $$

Shuni ta'kidlaymanki, $ dx ^ 2 $ belgisi ikkinchi darajaga ko'tarilgan aniq $ dx $ ni anglatadi, ya'ni. $\chap(dx\o'ng)^2$. Demak, bizda: $dx^2+dy^2>0$, shuning uchun $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ uchun biz $d^2F olamiz.< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Javob: $(-1;-3)$ nuqtada funksiya shartli minimumga ega, $z_(\min)=-10$. $(1;3)$ nuqtada funksiya shartli maksimalga ega, $z_(\max)=10$

№2 misol

$x+y=0$ shartidagi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ funksiyaning shartli ekstremumini toping.

Birinchi usul (Lagrange multiplikatorlari usuli)

$\varphi(x,y)=x+y$ belgilab, Lagranj funksiyasini tuzamiz: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\qisman F)(\qisman x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\qisman F)(\qisman y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(hizalangan) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(hizalangan)\oʻng.$$

Tizimni yechib, biz quyidagilarga erishamiz: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ va $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9) )$ , $\lambda_2=-10$. Bizda ikkita statsionar nuqta bor: $M_1(0;0)$ va $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. $H$ determinant yordamida har bir statsionar nuqtada ekstremumning tabiatini aniqlaylik.

$$ H=\chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(massiv) \o'ng|= \chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(massiv) \o'ng|=-10-18y $$

Nuqtada $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, shuning uchun bu nuqtada funktsiya shartli maksimalga ega, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Biz har bir nuqtada ekstremum tabiatini $d^2F$ belgisiga asoslanib, boshqa usul bilan tekshiramiz:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

$x+y=0$ cheklov tenglamasidan bizda: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

$ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ ekan, $M_1(0;0)$ $z(x,y)=3y^3+ funksiyaning shartli minimal nuqtasidir. 4x^ 2-xy$. Xuddi shunday, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Ikkinchi yo'l

$x+y=0$ cheklov tenglamasidan quyidagini olamiz: $y=-x$. $y=-x$ ni $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ funksiyasiga almashtirsak, $x$ o‘zgaruvchisining qandaydir funksiyasini olamiz. Bu funksiyani $u(x)$ deb belgilaymiz:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Shunday qilib, biz ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning shartli ekstremumini topish masalasini bitta o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumini aniqlash masalasiga qisqartirdik.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

$M_1(0;0)$ va $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ ball oldi. Keyingi tadqiqotlar bitta o'zgaruvchining funktsiyalarining differentsial hisobi kursidan ma'lum. Har bir statsionar nuqtada $u_(xx)^("")$ belgisini o'rganib yoki topilgan nuqtalarda $u_(x)^(")$ belgisi o'zgarishini tekshirib, biz birinchi nuqtani yechishdagi kabi xulosalarga erishamiz. Masalan, $u_(xx)^("")$ belgisini tekshiring:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

$u_(xx)^("")(M_1)>0$ bo'lgani uchun $M_1$ $u(x)$ funksiyasining minimal nuqtasi bo'lib, $u_(\min)=u(0)=0 $. $u_(xx)^("")(M_2) dan beri<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Berilgan ulanish sharti ostida $u(x)$ funksiyasining qiymatlari $z(x,y)$ funksiyasining qiymatlari bilan mos keladi, yaʼni. $u(x)$ funksiyaning topilgan ekstremallari $z(x,y)$ funksiyaning kerakli shartli ekstremasidir.

Javob: $(0;0)$ nuqtada funksiya shartli minimumga ega, $z_(\min)=0$. $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ nuqtada funktsiya shartli maksimalga ega, $z_(\max)=\frac(500)(243) )$.

Yana bir misolni ko'rib chiqamiz, unda $d^2F$ belgisini aniqlash orqali ekstremumning tabiatini bilib olamiz.

№3 misol

Agar $x$ va $y$ oʻzgaruvchilari ijobiy boʻlsa va $\frac(x^2)(8)+\frac() cheklov tenglamasini qanoatlantirsa, $z=5xy-4$ funksiyasining maksimal va minimal qiymatlarini toping. y^2)(2) -1=0$.

Lagrange funksiyasini tuzing: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Lagranj funksiyasining statsionar nuqtalarini toping:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(hizalangan) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(hizalangan) \oʻng.$$

Barcha keyingi transformatsiyalar $x > 0 hisobga olingan holda amalga oshiriladi; \; y > 0$ (bu muammoning holatida ko'rsatilgan). Ikkinchi tenglamadan $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ni ifodalaymiz va topilgan qiymatni birinchi tenglamaga almashtiramiz: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Uchinchi tenglamaga $x=2y$ o‘rniga qo‘ysak: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

$y=1$ ekan, keyin $x=2$, $\lambda=-10$. $(2;1)$ nuqtadagi ekstremumning xarakteri $d^2F$ belgisidan aniqlanadi.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

$\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ ekan, u holda:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \o'ng)+d\left(\frac(y^2)(2) \o'ng)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Asosan, bu erda siz darhol $x=2$, $y=1$ statsionar nuqtaning koordinatalarini va $\lambda=-10$ parametrini almashtirib, shunday qilib olishingiz mumkin:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \o'ng)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Biroq, shartli ekstremum uchun boshqa muammolarda bir nechta statsionar nuqtalar bo'lishi mumkin. Bunday hollarda $d ^ 2F $ ni umumiy shaklda ifodalash va keyin topilgan har bir statsionar nuqtaning koordinatalarini hosil bo'lgan ifodaga almashtirish yaxshiroqdir:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \o'ng)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \o'ng)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ oʻrniga quyidagini olamiz:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \o'ng)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

$d^2F=-10\cdot dx^2 dan beri< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Javob: $(2;1)$ nuqtada funksiya shartli maksimalga ega, $z_(\max)=6$.

Keyingi qismda biz ko'proq o'zgaruvchilarning funktsiyalari uchun Lagrange usulini qo'llashni ko'rib chiqamiz.

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumi uchun etarli shart

1. Funktsiya nuqtaning qaysidir qo'shnisida uzluksiz differensiallanuvchi bo'lsin va uzluksiz ikkinchi tartibli qisman hosilalari (sof va aralash) bo'lsin.

2. Ikkinchi tartibli aniqlovchi bilan belgilang

ekstremum o'zgaruvchan ma'ruza funktsiyasi

Teorema

Agar koordinatali nuqta funktsiya uchun statsionar nuqta bo'lsa, u holda:

A) Lokal ekstremum nuqtasi bo’lsa va mahalliy maksimalda - mahalliy minimum;

C) nuqta mahalliy ekstremum nuqta bo'lmaganda;

C) agar, ehtimol ikkalasi ham.

Isbot

Biz funksiya uchun Teylor formulasini ikki a'zo bilan cheklab yozamiz:

Teorema shartiga ko'ra nuqta statsionar bo'lgani uchun ikkinchi tartibli qisman hosilalar nolga teng, ya'ni. va. Keyin

Belgilamoq

Keyin funktsiyaning o'sishi quyidagi shaklni oladi:

Ikkinchi tartibli (sof va aralash) qisman hosilalarning uzluksizligi tufayli teoremaning nuqtadagi shartiga ko‘ra, quyidagicha yozishimiz mumkin:

Qaerda yoki; ,

1. Keling va, ya'ni, yoki.

2. Funksiyaning o‘sish qismini ko‘paytiramiz va ga bo‘lamiz, hosil bo‘ladi:

3. Jingalak qavs ichidagi ifodani yig‘indining to‘liq kvadratiga to‘ldiring:

4. Jingalak qavs ichidagi ifoda manfiy emas, chunki

5. Demak, agar va demak, va, keyin va, demak, ta’rifga ko’ra nuqta mahalliy minimum nuqtadir.

6. Agar va degani, va demak, ta’rifga ko’ra koordinatali nuqta mahalliy maksimal nuqta hisoblanadi.

2. Kvadrat trinomiyani, uning diskriminantini ko'rib chiqaylik.

3. Agar, u holda ko'phadli nuqtalar mavjud

4. I da olingan ifodaga muvofiq nuqtadagi funktsiyaning umumiy o'sishini quyidagi shaklda yozamiz:

5. Ikkinchi tartibli qisman hosilalarning uzluksizligi tufayli teoremaning nuqtadagi sharti bilan shunday yozishimiz mumkin:

demak, nuqtaning shunday qo'shnisi mavjudki, har qanday nuqta uchun kvadrat trinomial noldan katta bo'ladi:

6. Ko'rib chiqaylik - nuqtaning qo'shnisi.

Keling, har qanday qiymatni tanlaylik, shuning uchun nuqta. Faraz qilib, funktsiyani oshirish formulasida

Biz nima olamiz:

7. O'shandan beri.

8. Ildiz uchun ham xuddi shunday bahs yuritsak, nuqtaning har qanday -qo'shnisida nuqta borligini tushunamiz, demak, nuqta qo'shnisida u belgini saqlamaydi, shuning uchun nuqtada ekstremum yo'q.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstremum

Ikki o'zgaruvchining funksiyasining ekstremalini qidirishda ko'pincha shartli ekstremum deb ataladigan muammolar paydo bo'ladi. Bu tushunchani ikkita o'zgaruvchining funksiyasi misolida tushuntirish mumkin.

0xy tekislikda funktsiya va L chiziq berilgan bo'lsin. Vazifa L chiziqda shunday P (x, y) nuqtasini topishdir, bunda funktsiya qiymati L chiziqning yaqinida joylashgan nuqtalarida ushbu funktsiyaning qiymatlariga nisbatan eng katta yoki eng kichik bo'ladi. nuqta P. Bunday P nuqtalar L chiziqdagi shartli ekstremum nuqta funktsiyalari deb ataladi. Odatiy ekstremum nuqtadan farqli o'laroq, shartli ekstremum nuqtadagi funktsiyaning qiymati barcha nuqtalarda emas, balki funksiya qiymatlari bilan taqqoslanadi uning ba'zi mahallalarida, lekin faqat L chizig'ida joylashganlarda.

Aniqki, odatiy ekstremum nuqtasi (ular shartsiz ekstremum deb ham aytishadi) shu nuqtadan o'tadigan har qanday chiziq uchun shartli ekstremum nuqtasidir. Buning aksi, albatta, to'g'ri emas: shartli ekstremum nuqta an'anaviy ekstremum nuqta bo'lmasligi mumkin. Keling, aytilganlarni misol bilan tushuntirib beraylik.

№1 misol. Funktsiyaning grafigi yuqori yarim shardir (2-rasm).

Guruch. 2.

Bu funksiya boshlang'ichda maksimalga ega; u yarim sharning M cho'qqisiga to'g'ri keladi. Agar L to'g'ri chiziq A va B nuqtalaridan (uning tenglamasi) o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'lsa, u holda geometrik jihatdan aniq bo'ladiki, bu chiziqning nuqtalari uchun funktsiyaning maksimal qiymati A va B nuqtalari orasidagi o'rtada joylashgan nuqtada erishiladi. B. Bu chiziqdagi shartli ekstremum (maksimal) nuqta funktsiyalari; u yarim sharning M 1 nuqtasiga to'g'ri keladi va rasmdan ko'rinib turibdiki, bu erda hech qanday oddiy ekstremum haqida gap bo'lishi mumkin emas.

E'tibor bering, yopiq mintaqadagi funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish masalasining yakuniy qismida ushbu mintaqa chegarasida funktsiyaning ekstremal qiymatlarini topish kerak, ya'ni. bir qatorda va shu bilan shartli ekstremum uchun muammoni hal qiling.

Ta'rif 1. Ularning aytishicha, tenglamani qanoatlantiradigan nuqtada shartli yoki nisbiy maksimal (minimum) qayerda bo'lsa: tenglamani qanoatlantiradigan birortasi uchun tengsizlik bo'ladi.

Ta'rif 2. Shakldagi tenglama cheklovchi tenglama deyiladi.

Teorema

Agar va funksiyalari nuqta qo‘shnisida uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lsa va qisman hosila va nuqta funksiyaning cheklovchi tenglamaga nisbatan shartli ekstremum nuqtasi bo‘lsa, ikkinchi tartibli determinant nolga teng bo‘ladi:

Isbot

1. Chunki teorema sharti, qisman hosilasi va funksiya qiymatiga ko‘ra, qandaydir to‘rtburchakda

yashirin funksiya aniqlangan

Bir nuqtada ikkita o'zgaruvchining murakkab funktsiyasi mahalliy ekstremumga ega bo'ladi, shuning uchun yoki.

2. Haqiqatan ham, birinchi tartibli differentsial formulaning o'zgarmaslik xususiyatiga ko'ra

3. Bog'lanish tenglamasi bu shaklda ifodalanishi mumkin, ya'ni

4. (2) tenglamani ga va (3) ga ko'paytiring va ularni qo'shing

Shuning uchun, qachon

o'zboshimchalik bilan. h.t.d.

Natija

Ikki o'zgaruvchining funksiyasining shartli ekstremum nuqtalarini izlash amalda tenglamalar tizimini echish yo'li bilan amalga oshiriladi.

Shunday qilib, yuqoridagi misolda 1-sonli aloqa tenglamasidan bizda mavjud. Bu erdan maksimalga nima yetganini tekshirish oson. Ammo keyin aloqa tenglamasidan. Geometrik tarzda topilgan P nuqtani olamiz.

№2 misol. Cheklanish tenglamasiga nisbatan funksiyaning shartli ekstremum nuqtalarini toping.

Berilgan funksiyaning qisman hosilalari va ulanish tenglamasini topamiz:

Ikkinchi tartibli determinant yasaymiz:

Shartli ekstremum nuqtalarni topish uchun tenglamalar tizimini yozamiz:

demak, funktsiyaning koordinatali to'rtta shartli ekstremum nuqtasi mavjud: .

№3 misol. Funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping.

Qisman hosilalarni nolga tenglashtirsak: , biz bitta statsionar nuqta - koordinatani topamiz. Bu yerda,. Shuning uchun (0, 0) nuqta ham ekstremum nuqta emas. Tenglama giperbolik paraboloidning tenglamasi (3-rasm), rasmda (0, 0) nuqta ekstremum nuqta emasligini ko'rsatadi.

Guruch. 3.

Yopiq sohadagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati

1. Funksiya D chegaralangan yopiq sohada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin.

2. Mintaqaning alohida nuqtalaridan tashqari, ushbu mintaqada funksiyaning cheklangan qisman hosilalari bo'lsin.

3. Veyershtras teoremasiga muvofiq, bu sohada funksiya eng katta va eng kichik qiymatlarni qabul qiladigan nuqta mavjud.

4. Agar bu nuqtalar D mintaqasining ichki nuqtalari bo'lsa, ularda maksimal yoki minimal bo'lishi aniq.

5. Bunda bizni qiziqtirgan nuqtalar ekstremumdagi shubhali nuqtalar qatoriga kiradi.

6. Shu bilan birga, funksiya D mintaqasi chegarasida maksimal yoki minimal qiymatni ham qabul qilishi mumkin.

7. D sohada funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini topish uchun ekstremum uchun shubhali barcha ichki nuqtalarni topish, ulardagi funksiya qiymatini hisoblash, so'ngra funktsiya qiymati bilan solishtirish kerak. hududning chegara nuqtalari va barcha topilgan qiymatlarning eng kattasi yopiq mintaqadagi eng kattasi bo'ladi D.

8. Mahalliy maksimal yoki minimalni topish usuli avvalroq 1.2-bo'limda ko'rib chiqilgan. va 1.3.

9. Mintaqaning chegarasida funksiyaning maksimal va minimal qiymatlarini topish usulini ko'rib chiqish qoladi.

10. Ikki o'zgaruvchining funksiyasi bo'lsa, maydon odatda egri chiziq yoki bir nechta egri chiziq bilan chegaralangan bo'lib chiqadi.

11. Bunday egri chiziq (yoki bir nechta egri) bo'ylab o'zgaruvchilar va yo bir-biriga bog'liq yoki ikkalasi bir parametrga bog'liq.

12. Shunday qilib, chegarada funksiya bitta o'zgaruvchiga bog'liq bo'lib chiqadi.

13. Bitta o‘zgaruvchining funksiyasining eng katta qiymatini topish usuli avvalroq muhokama qilingan edi.

14. D viloyatining chegarasi parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin:

U holda bu egri chiziqda ikkita o'zgaruvchining funksiyasi parametrning kompleks funksiyasi bo'ladi: . Bunday funktsiya uchun eng katta va eng kichik qiymat bitta o'zgaruvchining funktsiyasi uchun eng katta va eng kichik qiymatlarni aniqlash usuli bilan aniqlanadi.

Misol

Bu shartda funksiyaning ekstremumini toping X va da nisbat bilan bog'langan: . Geometrik jihatdan muammo quyidagilarni anglatadi: ellipsda
samolyot
.

Bu muammoni quyidagicha yechish mumkin: tenglamadan
toping
X:

sharti bilan
, segment bo'yicha bir o'zgaruvchining funksiyasining ekstremumini topish masalasiga qisqartirildi
.

Geometrik jihatdan muammo quyidagilarni anglatadi: ellipsda tsilindrni kesib o'tish orqali olinadi
samolyot
, arizaning maksimal yoki minimal qiymatini topish talab qilinadi (9-rasm). Bu muammoni quyidagicha yechish mumkin: tenglamadan
toping
. Topilgan y qiymatini tekislik tenglamasiga qo‘yib, bitta o‘zgaruvchining funksiyasini olamiz. X:

Shunday qilib, funksiyaning ekstremumini topish masalasi
sharti bilan
, segmentdagi bir o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumini topish masalasiga keltirildi.

Shunday qilib, shartli ekstremumni topish muammosi maqsad funksiyaning ekstremumini topish masalasidir
, sharti bilan o'zgaruvchilar X va da cheklovga bog'liq
chaqirdi ulanish tenglamasi.

Biz shuni aytamiz nuqta
, cheklash tenglamasini qondirish, mahalliy shartli maksimal nuqta (minimal) agar mahalla mavjud bo'lsa
har qanday nuqta uchun shunday
, kimning koordinatalari cheklash tenglamasini qanoatlantirsa, tengsizlik bajariladi.

Agar aloqa tenglamasidan uchun ifoda topish mumkin bo'lsa da, keyin bu ifodani asl funktsiyaga almashtirib, ikkinchisini bitta o'zgaruvchining murakkab funktsiyasiga aylantiramiz. X.

Shartli ekstremum muammosini hal qilishning umumiy usuli Lagrange multiplikator usuli. Keling, yordamchi funktsiyani yarataylik, bu erda ─ qandaydir raqam. Bu funksiya deyiladi Lagrange funktsiyasi, a ─ Lagranj multiplikatori. Shunday qilib, shartli ekstremumni topish muammosi Lagranj funktsiyasi uchun mahalliy ekstremum nuqtalarini topishga qisqartirildi. Mumkin bo'lgan ekstremum nuqtalarini topish uchun uchta noma'lum bo'lgan 3 ta tenglama tizimini echish kerak. x, y va.

Keyin quyidagi etarli ekstremal holatdan foydalanish kerak.

TEOREMA. Nuqta Lagranj funktsiyasi uchun mumkin bo'lgan ekstremum nuqtasi bo'lsin. Biz nuqta yaqinida deb taxmin qilamiz
funksiyalarning uzluksiz ikkinchi tartibli qisman hosilalari mavjud va . Belgilamoq

Keyin agar
, keyin
─ funksiyaning shartli ekstremum nuqtasi
cheklash tenglamasida
shu bilan birga, agar
, keyin
─ shartli minimal nuqta, agar
, keyin
─ shartli maksimal nuqta.

§sakkiz. Gradient va yo'nalishli hosila

Funktsiyaga ruxsat bering
ba'zi (ochiq) domenda belgilangan. Har qanday nuqtani ko'rib chiqing
bu maydon va har qanday yo'naltirilgan to'g'ri chiziq (o'q) bu nuqtadan o'tish (1-rasm). Bo'lsin
- bu o'qning boshqa nuqtasi,
- orasidagi segment uzunligi
va
, yo'nalish bo'lsa, ortiqcha belgisi bilan olingan
o'qning yo'nalishiga to'g'ri keladi , va agar ularning yo'nalishlari qarama-qarshi bo'lsa, minus belgisi bilan.

Bo'lsin
cheksiz yaqinlashadi
. Cheklash

chaqirdi funksiya hosilasi
tomon (yoki eksa bo'ylab ) va quyidagicha belgilanadi:

.

Bu hosila funktsiyaning nuqtadagi "o'zgarish tezligini" tavsiflaydi
tomon . Xususan, va oddiy qisman hosilalar ,“yo‘nalish bo‘yicha” hosilalar sifatida ham ko‘rib chiqish mumkin.

Faraz qilaylik, endi funksiya
ko'rib chiqilayotgan mintaqada uzluksiz qisman hosilalarga ega. Eksa bo'lsin koordinata o'qlari bilan burchaklar hosil qiladi
va . Qabul qilingan taxminlarga ko'ra, yo'nalish hosilasi mavjud va formula bilan ifodalanadi

.

Agar vektor
uning koordinatalari bilan belgilanadi
, keyin funksiyaning hosilasi
vektor yo'nalishi bo'yicha
formula yordamida hisoblash mumkin:

.

Koordinatali vektor
chaqirdi gradient vektori funktsiyalari
nuqtada
. Gradient vektori berilgan nuqtada funksiyaning eng tez o'sish yo'nalishini ko'rsatadi.

Misol

Berilgan funktsiya , nuqta A(1, 1) va vektor
. Toping: 1) A nuqtada grad z; 2) vektor yo'nalishi bo'yicha A nuqtadagi hosila .

Berilgan funksiyaning nuqtadagi qisman hosilalari
:

;
.

Shu nuqtada funksiyaning gradient vektori:
. Gradient vektorini vektor kengaytmasi yordamida ham yozish mumkin va :

. Funktsiya hosilasi vektor yo'nalishi bo'yicha :

Shunday qilib,
,
.◄

Ta'rif 1: Funktsiya nuqtada mahalliy maksimalga ega deyiladi, agar nuqtaning qo'shnisi mavjud bo'lsa, har qanday nuqta uchun M koordinatalari bilan (x, y) tengsizlik bajariladi: . Bu holda, ya'ni funktsiyaning o'sishi< 0.

Ta'rif 2: Funktsiya nuqtada mahalliy minimumga ega deyiladi, agar nuqta qo'shnisi mavjud bo'lsa, har qanday nuqta uchun M koordinatalari bilan (x, y) tengsizlik bajariladi: . Bu holda, ya'ni funktsiyaning o'sishi > 0 ga teng.

Ta'rif 3: Mahalliy minimal va maksimal nuqtalar chaqiriladi ekstremal nuqtalar.

Shartli ekstremallar

Ko'p o'zgaruvchilar funksiyasining ekstremallarini qidirishda ko'pincha muammolar deb ataladigan narsa bilan bog'liq muammolar paydo bo'ladi. shartli ekstremal. Bu tushunchani ikkita o'zgaruvchining funksiyasi misolida tushuntirish mumkin.

Funktsiya va chiziq berilgan bo'lsin L yuzada 0xy. Vazifa qatorga chiqishdir L shunday nuqtani toping P(x, y), bunda funktsiyaning qiymati chiziq nuqtalaridagi ushbu funktsiya qiymatlariga nisbatan eng katta yoki eng kichik bo'ladi L nuqtaga yaqin joylashgan P. Bunday nuqtalar P chaqirdi shartli ekstremal nuqtalar qator funktsiyalari L. Odatiy ekstremum nuqtadan farqli o'laroq, shartli ekstremum nuqtadagi funktsiya qiymati uning ba'zi bir qo'shnisining barcha nuqtalarida emas, balki faqat chiziqda yotadigan funktsiya qiymatlari bilan taqqoslanadi. L.

Oddiy ekstremum nuqtasi (ular ham aytadilar shartsiz ekstremum) ham shu nuqtadan oʻtuvchi har qanday chiziq uchun shartli ekstremum nuqtadir. Buning aksi, albatta, to'g'ri emas: shartli ekstremum nuqta an'anaviy ekstremum nuqta bo'lmasligi mumkin. Buni oddiy misol bilan tushuntiraman. Funktsiyaning grafigi yuqori yarim shardir (3-ilova (3-rasm)).

Bu funksiya boshlang'ichda maksimalga ega; tepaga mos keladi M yarim sharlar. Agar chiziq L nuqtalardan o'tuvchi chiziq mavjud LEKIN va DA(uning tenglamasi x+y-1=0), u holda bu chiziqning nuqtalari uchun nuqtalar orasidagi o'rtada yotgan nuqtada funksiyaning maksimal qiymatiga erishilishi geometrik jihatdan aniq bo'ladi. LEKIN va DA. Bu berilgan chiziqdagi funksiyaning shartli ekstremum (maksimal) nuqtasi; u yarim sharning M 1 nuqtasiga to'g'ri keladi va rasmdan ko'rinib turibdiki, bu erda hech qanday oddiy ekstremum haqida gap bo'lishi mumkin emas.

Yopiq mintaqadagi funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish masalasining yakuniy qismida biz ushbu mintaqa chegarasida funktsiyaning ekstremal qiymatlarini topishimiz kerakligini unutmang, ya'ni. bir qatorda va shu bilan shartli ekstremum uchun muammoni hal qiling.

Endi Z= f(x, y) funksiyaning shartli ekstremum nuqtalarini x va y o‘zgaruvchilari (x, y) = 0 tenglama bilan bog‘langan bo‘lsa, amaliy izlashga kirishamiz. cheklash tenglamasi deb ataladi. Agar ulanish tenglamasidan y ni x bilan aniq ifodalash mumkin bo'lsa: y \u003d (x), biz bitta o'zgaruvchan Z \u003d f (x, (x)) \u003d F (x) funktsiyasini olamiz.

Ushbu funktsiya ekstremumga yetadigan x qiymatini topib, so'ngra ulanish tenglamasidan y ning mos keladigan qiymatlarini aniqlab, biz shartli ekstremumning kerakli nuqtalarini olamiz.

Demak, yuqoridagi misolda x+y-1=0 aloqa tenglamasidan y=1-x ga egamiz. Bu yerdan

z ning x = 0,5 da maksimal darajaga yetganini tekshirish oson; lekin keyin ulanish tenglamasidan y = 0,5 va biz geometrik mulohazalardan topilgan P nuqtasini aniq olamiz.

Cheklovchi tenglamani x=x(t), y=y(t) parametrik tenglamalar bilan ifodalash mumkin bo‘lganda ham shartli ekstremum masalasi juda sodda yechiladi. Bu funksiyaga x va y ifodalarini qo‘yib, yana bitta o‘zgaruvchining funksiyasining ekstremumini topish masalasiga kelamiz.

Agar cheklash tenglamasi murakkabroq shaklga ega bo'lsa va biz bir o'zgaruvchini boshqasi bilan aniq ifodalay olmasak, uni parametrik tenglamalar bilan almashtira olmasak, u holda shartli ekstremumni topish muammosi qiyinlashadi. z= f(x, y) funksiyani ifodalashda (x, y) = 0 o‘zgaruvchini qabul qilishni davom ettiramiz. z= f(x, y) funksiyaning to‘liq hosilasi quyidagilarga teng:

Yashirin funksiyani differentsiallash qoidasi bilan topilgan hosila y` qayerda. Shartli ekstremum nuqtalarida topilgan umumiy hosila nolga teng bo'lishi kerak; bu x va y ga tegishli bitta tenglamani beradi. Ular cheklovchi tenglamani ham qondirishi kerakligi sababli, ikkita noma'lumli ikkita tenglamalar tizimini olamiz.

Keling, birinchi tenglamani proporsiya sifatida yozib, yangi yordamchi noma'lumni kiritish orqali ushbu tizimni ancha qulayroq tizimga aylantiramiz:

(qulaylik uchun oldinga minus belgisi qo'yiladi). Ushbu tengliklardan quyidagi tizimga o'tish oson:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

cheklash tenglamasi (x, y) = 0 bilan birgalikda x, y va noma'lumlari bo'lgan uchta tenglamalar tizimini hosil qiladi.

Ushbu tenglamalarni (*) eslab qolish eng oson quyidagi qoidadan foydalanadi: funktsiyaning shartli ekstremum nuqtalari bo'lishi mumkin bo'lgan nuqtalarni topish uchun

Z= f(x, y) cheklov tenglamasi (x, y) = 0 bo‘lsa, yordamchi funksiya hosil qilish kerak.

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Qaysi konstanta qayerda va bu funksiyaning ekstremum nuqtalarini topish uchun tenglamalar yozing.

Belgilangan tenglamalar tizimi, qoida tariqasida, faqat zarur shartlarni beradi, ya'ni. Ushbu tizimni qondiradigan har bir x va y qiymatlari juftligi shartli shartli ekstremum nuqta emas. Men shartli ekstremal nuqtalar uchun etarli shartlarni bermayman; ko'pincha muammoning o'ziga xos mazmuni topilgan nuqta nima ekanligini ko'rsatadi. Shartli ekstremum uchun muammolarni hal qilishning tavsiflangan usuli Lagrange ko'paytmalari usuli deb ataladi.

z - f(x, y) funksiya qandaydir D sohada aniqlansin va Mo(xo, y0) bu sohaning ichki nuqtasi bo'lsin. Ta'rif. Agar shunday son mavjud bo'lsa, tengsizlik barcha shartlarni qanoatlantiradigan bo'lsa, u holda Mo(xo, yo) nuqta f(x, y) funksiyaning mahalliy maksimal nuqtasi deyiladi; agar, ammo, barcha Dx uchun, Du shartlarini qondirish | u holda Mo(x0, y0) nuqta nozik mahalliy minimum deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, M0(x0, y0) nuqta f(x, y) funksiyaning maksimal yoki minimal nuqtasidir, agar A/o(x0, y0) nuqtaning 6 ta qo‘shnisi mavjud bo‘lsa, unda umuman bu qo'shnilikning M(x, y) nuqtalari, funksiyaning o'sishi ishorani saqlaydi. Misollar. 1. Funksiya uchun nuqta minimal nuqtadir (17-rasm). 2. Funksiya uchun 0(0,0) nuqta maksimal nuqta hisoblanadi (18-rasm). 3. Funksiya uchun 0(0,0) nuqta mahalliy maksimal nuqta hisoblanadi. 4 Darhaqiqat, 0(0, 0) nuqtaning qo'shnisi bor, masalan, j radiusli doira (19-rasmga qarang), uning istalgan nuqtasida 0(0, 0) nuqtadan farqli ravishda, f(x, y) funksiyaning qiymati 1 dan kichik = Biz faqat qat'iy maksimal va minimal funktsiyalar nuqtalarini ko'rib chiqamiz, agar qat'iy tengsizlik yoki qat'iy tengsizlik M(x) y) ning ba'zi bir teshilgan 6-qo'shnisidan barcha nuqtalar uchun amal qiladi. nuqta Mq. Funksiyaning maksimal nuqtadagi qiymati maksimal, minimal nuqtadagi funksiyaning qiymati esa bu funksiyaning minimali deyiladi. Funksiyaning maksimal va minimal nuqtalari funksiyaning ekstremum nuqtalari, funksiyaning maksimal va minimal nuqtalari esa uning ekstremum nuqtalari deyiladi. 11-teorema (ekstremum uchun zaruriy shart). If funktsiya bir necha o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumi Bir necha o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumi haqida tushuncha. Ekstremum uchun zarur va etarli shartlar Shartli ekstremum Uzluksiz funksiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlari nuqtada ekstremumga ega bo'lib, bu nuqtada har bir qisman hosila va u yo'q bo'lib ketadi yoki mavjud emas. z = f(x) y) funksiya M0(x0, y0) nuqtada ekstremumga ega bo‘lsin. y o‘zgaruvchisiga yo qiymatini beraylik. U holda z = /(x, y) funksiya bitta o'zgaruvchining funksiyasi bo'ladi x\ X = xo da u ekstremumga ega bo'lgani uchun (maksimal yoki minimal, 20-rasm), keyin uning x = “o ga nisbatan hosilasi, | (*o,l>)" Nolga teng yoki mavjud emas. Xuddi shunday, biz buni tekshiramiz) yoki nolga teng yoki yo'q. = 0 va u = 0 yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar deyiladi. z = Dx, y funktsiyaning kritik nuqtalari).$£ = u = 0 bo'lgan nuqtalar funksiyaning statsionar nuqtalari deb ham ataladi.11-teorema ekstremum uchun faqat zarur shartlarni ifodalaydi, ular yetarli emas. 18 Fig.20 da yo'q bo'lgan immt hosilalari. Lekin bu funksiya imvat “straumum”da ancha nozik. Haqiqatan ham, funksiya 0(0, 0) nuqtada nolga teng va M(x, y) nuqtalarni, 0(0, 0) nuqtaga xohlagancha yaqin, kkk musbat va manfiy qiymatlarni qabul qiladi. Buning uchun, shuning uchun ixtiyoriy kichik nuqtalar uchun nuqtalarda (0, y) nuqtalarda, bu turdagi 0(0, 0) nuqta mini-maks nuqta deb ataladi (21-rasm). Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumining etarli shartlari quyidagi teorema bilan ifodalanadi. 12-teorema (loyqa o'zgaruvchilarning ekstremumi uchun etarli shartlar). Mo(xo, y0) nuqta f(x, y) funksiyaning statsionar nuqtasi bo‘lsin va nuqtaning ba’zi qo‘shnilarida / Mo nuqtaning o‘zi bilan birga f(r, y) funksiya yuqoriga uzluksiz qisman hosilalarga ega bo‘lsin. ikkinchi darajaga, shu jumladan. U holda «1) Mq(xq, V0) nuqtada f(x, y) funksiya maksimalga ega, agar determinant shu nuqtada bo’lsa 2) Mo(x0, V0) nuqtada f(x, y) funksiya bo’ladi. Agar Mo(xo, yo) nuqtada f(x, y) funksiya ekstremumga ega bo‘lmasa, agar D(xo, yo) bo‘lsa, minimumga ega.< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) f(x, y) funksiyaning ekstremumi bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Bunday holda, qo'shimcha tadqiqotlar talab qilinadi. Biz teoremaning 1) va 2) tasdiqlarini isbotlash bilan cheklanamiz. /(i, y) funksiyasi uchun ikkinchi tartibli Teylor formulasini yozamiz: bu yerda. Taxminga ko'ra, bu erdan D/ o'sish belgisi (1) ning o'ng tomonidagi trinomial belgisi, ya'ni d2f ikkinchi differentsial belgisi bilan aniqlanishi aniq. Keling, qisqalik uchun belgilaymiz. U holda (l) tenglikni quyidagicha yozish mumkin: MQ(demak, y0) nuqtada M0(s0,yo) nuqtaga qo'shni bo'lsin. Agar shart (A/0 nuqtada) bajarilsa va uzluksizligi tufayli hosila /,z(s, y) Af0 nuqtaning qaysidir qo'shnisida o'z belgisini saqlab qoladi.A ∆ 0 bo'lgan mintaqada, M0(x0) y0 nuqtaning ba'zi qo'shnilarida 0 ga egamiz), u holda AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 trinomining belgisi C nuqtadagi A belgisi bilan mos keladi, turli belgilarga ega bo'lishi mumkin emas). Nuqtadagi AAs2 + 2BAxAy + CAy2 yig'indisining belgisi (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) ayirma belgisini aniqlaganligi uchun quyidagi xulosaga kelamiz: agar f(s, y) funksiyasi statsionar nuqta (s0, yo) shartni qanoatlantiradi, keyin yetarlicha kichik || uchun tengsizlik saqlanib qoladi. Shunday qilib, (kv, y0) nuqtada /(s, y) funksiya maksimalga ega. Lekin agar shart statsionar nuqtada (s0, yo) qanoatlansa, u holda hamma uchun yetarlicha kichik |Ar| va |Do| tengsizlik rost, demak /(s, y) funksiya nuqtada (so, yo) minimumga ega. Misollar. 1. Ekstremum uchun 4-funktsiyani o'rganing Ekstremum uchun zarur shartlardan foydalanib, funktsiyaning statsionar nuqtalarini qidiramiz. Buning uchun u qisman hosilalarni topamiz va ularni nolga tenglaymiz. Biz tenglamalar tizimini qaerdan - statsionar nuqtadan olamiz. Endi 12 teoremadan foydalanamiz. Demak, Ml nuqtada ekstremum mavjud. Chunki bu minimal. Agar g funktsiyani shaklga aylantirsak, bu funktsiyaning mutlaq minimumi bo'lganda o'ng tomoni (")" minimal bo'lishini tushunish oson. 2. Ekstremum uchun funksiyani o‘rganing.Funksiyaning statsionar nuqtalarini topamiz, ular uchun nuqta statsionar bo‘lishi uchun bu yerdan tenglamalar sistemasini tuzamiz. Chunki 12-teoremaga ko‘ra M nuqtada ekstremum yo‘q. * 3. Ekstremum uchun funktsiyani o'rganing Funktsiyaning statsionar nuqtalarini toping. Tenglamalar sistemasidan shuni olamizki, nuqta statsionar bo'ladi. Bundan tashqari, 12-teorema ekstremumning mavjudligi yoki yo'qligi haqidagi savolga javob bermasligi uchun bizda bor. Keling, buni shunday qilaylik. Nuqtadan boshqa barcha nuqtalar haqida funktsiya uchun, ta'rifiga ko'ra, A/o(0,0) nuqtada r funktsiyasi mutlaq minimumga ega bo'ladi. Shunga o'xshash quritish orqali biz funktsiya nuqtada maksimalga ega ekanligini aniqlaymiz, lekin funktsiya nuqtada ekstremumga ega emas. ē mustaqil o'zgaruvchilar funksiyasi nuqtada differensiallanuvchi bo'lsin.Mo nuqta funktsiyaning statsionar nuqtasi deyiladi, agar 13-teorema (ekstremum uchun yetarli shartlar). Funksiya aniqlansin va nozik chiziqning ba'zi qo'shnilarida ikkinchi tartibli uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsin Mc(xi..., bu statsionar nozik funktsiya, agar kvadrat shaklda (f funktsiyaning nozikdagi ikkinchi differentsial) nuqta musbat-aniq (salbiy-aniq), f funktsiyaning minimal nuqtasi (mos ravishda, nozik maksimal) yaxshi Agar kvadrat shakl (4) belgisi o'zgaruvchan bo'lsa, u holda jarima LG0 da ekstremum yo'q.15.2 Shartli. ekstremum Hozirgacha biz funktsiya argumentlari hech qanday qo'shimcha shartlar bilan bog'lanmagan bo'lsa, uning ta'rifining butun hududida funktsiyaning mahalliy ekstremallarini topish bilan shug'ullangan edik. z \u003d / (x, y) funksiya D mintaqasida aniqlansin. Faraz qilaylik, L egri chiziq bu mintaqada berilgan va faqat f (x> y) funktsiyaning ekstremalini topish kerak. uning qiymatlari orasida L egri chizig'ining nuqtalariga to'g'ri keladiganlari orasida. Xuddi shu ekstrema L egri chizig'idagi z = f(x) y) funktsiyaning shartli ekstremallari deyiladi. Ta'rif Bir nuqtada yotganligi aytiladi. L egri chizig'ida f(x, y) funksiya M0 (x0,) nuqtaning qandaydir qo'shnisiga tegishli bo'lgan barcha M (s, y) egri L nuqtalarida mos ravishda tengsizlik bajarilsa, shartli maksimal (minimal) ga ega bo'ladi. Yo) va M0 nuqtadan farqli (Agar L egri chiziq tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda egri chiziq bo'yicha r - f (x, y) funktsiyaning shartli ekstremumini topish masalasi! quyidagicha shakllantirish mumkin: D mintaqasidagi x = /(z, y) funksiyaning ekstremalini toping, bu shart bilan z = y funksiyaning shartli ekstremalini topishda zn argumentlarini endi ko'rib chiqish mumkin emas. mustaqil o'zgaruvchilar sifatida: ular o'zaro y ) = 0 munosabati bilan bog'lanadi, bu cheklash tenglamasi deb ataladi. Shartsiz va shartli ekstremum sifatida m «* D y o'rtasidagi farqni aniqlashtirish uchun boshqa misolni, funksiyaning so'zsiz maksimalini ko'rib chiqaylik (2-rasm). 23) birga teng va (0,0) nuqtada erishiladi. U aynan M - pvvboloidning cho'qqisiga to'g'ri keladi y = j cheklash tenglamasini qo'shamiz. Shunda shartli maksimal teng bo'lishi aniq bo'ladi.U (o, |) nuqtada erishiladi va u pvvboloidning y = j tekislik bilan kesishish chizig'i bo'lgan pvvboloidning Afj cho'qqisiga mos keladi. Shartsiz minimum s bo'lsa, biz sirtning barcha eksplikatlari orasida eng kichik ilovaga egamiz * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv shartli - faqat vllkvt nuqtalari orasida pvrboloidv, xOy tekislikning emas y = j to'g'ri chiziqning * nuqtasiga to'g'ri keladi. Funksiyaning mavjudligi va bog‘lanishdagi shartli ekstremumini topish usullaridan biri quyidagicha. y)-0 bog‘lanish tenglamasi y ni x argumentining bir qiymatli differentsiallanuvchi funksiyasi sifatida aniqlasin: Funksiyaga y o‘rniga funktsiyani qo‘yib, ulanish sharti allaqachon hisobga olingan bitta argument funksiyasini olamiz. . Funksiyaning (shartsiz) ekstremumi kerakli shartli ekstremumdir. Misol. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremum sharti ostidagi funktsiyaning ekstremumini toping. Ekstremum uchun zarur va etarli shartlar Shartli ekstremum Uzluksiz funktsiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlari A \u003d 1 - kritik nuqta;, shuning uchun r funktsiyasining shartli minimumini beradi (24-rasm) Yechishning boshqa usulini ko'rsatamiz. Lagranj ko‘paytma usuli deb ataladigan shartli ekstremum masalasi.. bog‘lanish mavjud bo‘lganda funksiyaning shartli ekstremum nuqtasi bo‘lsin.Faraz qilaylik, bog‘lanish tenglamasi nuqtaning qaysidir qo‘shnisida yagona uzluksiz differensiallanuvchi funksiyani belgilaydi, deb faraz qilaylik. xi.Faraz qilsak, xq nuqtadagi /(r, ip(x)) funksiyaning x ga nisbatan hosilasi nolga teng yoki bunga ekvivalent f (x, y) ning differensialiga teng bo‘lishi kerak. ) nuqtada Mo "O) Ulanish tenglamasidan bizda (5) Keyin dx ning ixtiyoriyligi tufayli (6) va (7) tengliklarni Lagranj funksiyasi deb ataladigan funksiya nuqtasida shartsiz ekstremum uchun zarur shartlarni ifodalaymiz. Shunday qilib, / (x, y) funktsiyasining shartli ekstremum nuqtasi, agar, albatta, Lagrange funktsiyasining statsionar nuqtasi bo'lsa, bu erda A qandaydir sonli koeffitsientdir. Bu yerdan shartli ekstremumlarni topish qoidasini olamiz: bog‘lanish mavjud bo‘lganda funksiyaning absolyut ekstremum nuqtalari bo‘lishi mumkin bo‘lgan nuqtalarni topish uchun 1) Lagranj funksiyasini tuzamiz, 2) bu funksiyaning hosilalari va W ni tenglashtiramiz. nolga tenglashtirib, hosil bo'lgan tenglamalarga ulanish tenglamasini qo'shib, biz uchta tenglamalar tizimini olamiz, ulardan A qiymatlarini va mumkin bo'lgan ekstremum nuqtalarning x, y koordinatalarini topamiz. Shartli ekstremumning mavjudligi va tabiati to'g'risidagi masala, shart ostida (8) dan olingan x0, Yo, A qiymatlar tizimi uchun Lagrange funktsiyasining ikkinchi differentsial belgisini o'rganish asosida hal qilinadi. Agar (x0, Yo) nuqtada f(x, y ) funksiya shartli maksimalga ega bo'lsa; agar d2F > 0 - u holda shartli minimum. Xususan, agar statsionar nuqtada (xo, J/o) F(x, y) funksiyaning D determinanti musbat bo‘lsa, (®o, V0) nuqtada /() funksiyaning shartli maksimali mavjud bo‘ladi. x, y) if, va /(x, y) funksiyaning shartli minimumi, agar Misol. Oldingi misol shartlariga yana murojaat qilamiz: x + y = 1 bo'lishi sharti bilan funksiyaning ekstremumini topamiz. Lagranj ko'paytma usuli yordamida masalani yechamiz. Bu holda Lagranj funksiyasi shaklga ega bo'ladi Statsionar nuqtalarni topish uchun biz tizim tuzamiz. Tizimning dastlabki ikkita tenglamasidan biz x = y ni olamiz. Keyin tizimning uchinchi tenglamasidan (birlashma tenglamasi) biz x - y = j - mumkin bo'lgan ekstremum nuqtasining koordinatalarini topamiz. Bu holda (A \u003d -1 ekanligi ko'rsatilgan. Shunday qilib, Lagrange funktsiyasi. Lagranj funktsiyasi uchun shartsiz ekstremum bo'lmagan holda * \u003d x2 + y2 funktsiyasining shartli minimal nuqtasidir. P ( x, y) bog‘lanish ishtirokida /(x, y) funksiya uchun shartli ekstremum yo‘qligini hali anglatmaydi Misol: y 4 shartdagi funksiyaning ekstremumini toping Lagranj funksiyasini tuzamiz va uni yozamiz. A va mumkin bo'lgan ekstremum nuqtalarining koordinatalarini aniqlash tizimi: Birinchi ikkita tenglamadan biz x + y = 0 ni olamiz va y = A = 0 tizimiga kelamiz. Shunday qilib, mos keladigan Lagrange funktsiyasi nuqtada (0) ko'rinishga ega. , 0), F(x, y; 0) funktsiyasi shartsiz ekstremumga ega emas, balki r = xy funksiyaning shartli ekstremumiga ega. y = x bo'lganda, "Haqiqatan ham, bu holda r = x2. dan. bu yerda (0,0) nuqtada shartli minimum borligi aniq ko‘rinib turibdi.“Lagranj ko‘paytiruvchilari usuli har qanday sonli argumentli funksiyalar holiga o‘tkaziladi/ Funksiyaning ekstremumi mavjud bo‘lganda izlansin. ulanish tenglamalari Sostaalyaem Lagrange funktsiyasi bu erda A|, Az,..., A„, - emas muayyan doimiy omillar. F funksiyaning birinchi tartibli barcha qisman hosilalarini nolga tenglashtirib, olingan tenglamalarga (9) bog‘lanish tenglamalarini qo‘shib, n+m tenglamalar sistemasini olamiz, undan Ab A3|..., Am va ni aniqlaymiz. koordinatalari x\) x2) . » xn shartli ekstremumning mumkin bo'lgan nuqtalari. Lagranj usulida topilgan nuqtalar haqiqatan ham shartli ekstremum nuqtalarmi degan savol ko'pincha fizik yoki geometrik tabiatning mulohazalari asosida hal qilinishi mumkin. 15.3. Uzluksiz funksiyalarning maksimal va minimal qiymatlari Ba'zi kengaytirilgan chegaralangan D sohasida uzluksiz z = /(x, y) funksiyaning maksimal (eng kichik) qiymatini topish talab qilinsin. 3-teoremaga ko'ra, bu mintaqada funktsiya eng katta (eng kichik) qiymatni qabul qiladigan nuqta (xo, V0) mavjud. Agar (xo, y0) nuqta D sohasi ichida joylashgan bo'lsa, u holda / funksiyasi unda maksimal (minimal) ga ega bo'ladi, shuning uchun bu holda bizni qiziqtiradigan nuqta funktsiyaning /(x) kritik nuqtalari orasida joylashgan bo'ladi. , y). Biroq, /(x, y) funksiya ham mintaqa chegarasida o'zining maksimal (eng kichik) qiymatiga erishishi mumkin. Demak, z = /(x, y) funksiyaning chegaralangan yopiq sohada 2 qabul qilgan eng katta (eng kichik) qiymatini topish uchun ushbu soha ichida erishilgan funksiyaning barcha maksimal (minimal)larini topish kerak. , shuningdek, ushbu maydon chegarasidagi funksiyaning eng katta (eng kichik) qiymati. Bu barcha sonlarning eng kattasi (eng kichigi) z = /(x, y) funksiyaning 27 mintaqadagi kerakli maksimal (eng kichik) qiymati bo'ladi. Differensiallanuvchi funktsiya holatida bu qanday bajarilishini ko'rsatamiz. Prmmr. 4-maydon funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.D maydoni ichida funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz. Buning uchun tenglamalar sistemasini tuzamiz.Bu yerdan x \u003d y \u003e 0 ni olamiz. , shuning uchun 0 (0,0) nuqta x funksiyaning kritik nuqtasi bo'lsin. Endi D mintaqasining G chegarasida funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topamiz. Chegaraning qismida y \u003d 0 kritik nuqta bo'lishi kerak, va \u003d shundan beri bu erda. z \u003d 1 + y2 funksiyasining minimal qiymati birga teng. G segmentining uchlarida ", nuqtalarda (, bizda mavjud. Simmetriyani hisobga olgan holda, biz chegaraning boshqa qismlari uchun bir xil natijalarga erishamiz. Nihoyat, biz olamiz: z \u003d x2 + y2 funktsiyasining eng kichik qiymati "B" mintaqasi nolga teng va u 0( 0, 0) maydonning ichki nuqtasida erishiladi va bu funktsiyaning ikkitaga teng bo'lgan maksimal qiymati chegaraning to'rt nuqtasida erishiladi (25-rasm). 25-rasm Funksiyalarni mashq qilish: Funksiyalarning qisman hosilalari va ularning to‘liq differentsiallarini toping: Kompleks funksiyalarning hosilalarini toping: 3 J. Bir necha o‘zgaruvchili funktsiyaning ekstremumini toping. ekstremum Shartli ekstremum Uzluksiz funksiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlari 34. Murakkab funksiya hosilasi formulasidan foydalanib, ikkita o‘zgaruvchini toping va funksiyalarni toping: 35. Murakkab funksiya hosilasi formulasidan foydalanish. ikkita o‘zgaruvchida |J va funksiyalarni toping: jj noaniq funksiyalarni toping: 40. X = 3 to‘g‘ri chiziq bilan kesishgan nuqtadagi tangens egri chizig‘ining qiyaligini toping. 41. X egri chiziqning tangensi x o'qiga parallel bo'lgan nuqtalarni toping. . Quyidagi topshiriqlarda Z ni toping: Tangens tekislik va sirtning normal tenglamalarini yozing: 49. X + tekisligiga parallel bo'lgan x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21 sirtning tangens tekisliklari tenglamalarini yozing. 4y + 6z \u003d 0. Teylor formulasidan foydalanib kengayishning dastlabki uch-to'rtta hadini toping : 50. y nuqta qo'shnisida (0, 0). Funksiya ekstremumining ta'rifidan foydalanib, ekstremum uchun quyidagi funktsiyalarni o'rganing:). Ikki o‘zgaruvchili funktsiyaning ekstremumiga yetarli shartlardan foydalanib, funksiyaning ekstremumini o‘rganing: 84. Yopiq doira ichida z \u003d x2 - y2 funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini toping 85. Eng katta va eng kichikni toping. x \u003d 0, y = 0, x + y = b chiziqlari bilan chegaralangan uchburchakdagi * \u003d x2y (4-x-y) funktsiyasining qiymatlari. 88. Hajmi V ga teng bo‘lishi sharti bilan eng kichik sirtli to‘g‘ri burchakli ochiq hovuzning o‘lchamlarini aniqlang. 87. Berilgan umumiy yuzasi 5 maksimal hajmli to‘g‘ri burchakli parallelepipedning o‘lchamlarini toping. Javoblar 1. va | X chiziq segmentlari bilan hosil qilingan kvadrat, uning tomonlarini o'z ichiga oladi. 3. Konsentrik halqalar turkumi 2= 0,1,2,... .4. y to'g'ri chiziqlar nuqtalaridan tashqari butun tekislik. Samolyotning parabola ustida joylashgan qismi y \u003d -x?. 8. Aylana nuqtalari x. To'g'ri chiziqlardan tashqari butun tekislik x Radikal ifoda ikki holatda j * ^ yoki j x ^ ^ holda manfiy emas, bu esa mos ravishda cheksiz tengsizliklar qatoriga ekvivalentdir.Tanriflash sohasi soyali kvadratlardir (26-rasm). ; l cheksiz qatorga ekvivalent. Funktsiya nuqtalarda aniqlanadi. a) x to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan chiziqlar b) koordinata boshida joylashgan konsentrik doiralar. 10. a) parabola y) parabola y a) parabola b) giperbola | .Samolyotlar xc. 13.Prim - Oz o'qi atrofida aylanishning bir bo'shliqli giperboloidlari; Oz o'qi atrofida aylanishning ikki varaqli giperboloidlari uchun va bo'ladi, sirtlarning ikkala oilasi ham konus bilan ajratilgan; Chek yo'q, b) 0. 18. y = kxt keyin z lim z = -2 bo'lsin, toki (0,0) nuqtada berilgan funksiya chegaraga ega bo'lmaydi. 19. a) nuqta (0,0); b) nuqta (0,0). 20. a) uzilish chizig'i - aylana x2 + y2 = 1; b) uzilish chizig'i y \u003d x to'g'ri chiziqdir. 21. a) Uzilish chiziqlari - Ox va Oy koordinata o'qlari; b) 0 (bo'sh to'plam). 22. Barcha nuqtalar (m, n), bu yerda va n butun sonlar