Öklid'in algoritması - en büyük ortak böleni bulmak. Matematik En büyük ortak böleni hesaplamak için Euclid'in algoritmasını seviyorum

07.07.2020

İlk baskısının önsözünde, In the Realm of Ingenuity (1908), E. I. Ignatiev şöyle yazıyor: Sonuçlar, yalnızca matematiksel bilgi alanına giriş, uygun espri ve eğlence ile seçilmiş nesneler ve gündelik ve gündelik durum örnekleri üzerinde kolay ve hoş bir şekilde yapıldığında güvenilirdir.

“Matematikte Belleğin Rolü”nün 1911 baskısının önsözünde, E.I. Ignatiev, "... matematikte formülleri değil, düşünme sürecini hatırlamanız gerekir" diye yazıyor.

Karekökü çıkarmak için iki basamaklı sayılar için kareler tabloları vardır, sayıyı asal faktörlere ayırabilir ve karekökü üründen çıkarabilirsiniz. Kareler tablosu yeterli değildir, çarpanlara ayırarak kökü çıkarmak zaman alıcı bir iştir ve her zaman istenen sonuca yol açmaz. 209764 sayısının karekökünü çıkarmaya çalışın mı? Asal faktörlere ayrıştırma sonucu 2 * 2 * 52441 bulunur. Deneme yanılma yoluyla, seçim - bu, elbette, bunun bir tamsayı olduğundan eminseniz yapılabilir. Önermek istediğim yol her halükarda karekök almanızı sağlıyor.

Bir zamanlar enstitüde (Perm Devlet Pedagoji Enstitüsü) şimdi bahsetmek istediğim bu yöntemle tanıştık. Bu yöntemin bir kanıtı olup olmadığını hiç düşünmedim, bu yüzden şimdi kendim bazı kanıtlar çıkarmak zorunda kaldım.

Bu yöntemin temeli, = sayısının bileşimidir.

=&, yani &2=596334.

1. Sayıyı (5963364) sağdan sola (5`96`33`64) çiftlere ayırın

2. Soldaki ilk grubun karekökünü çıkarıyoruz ( - sayı 2). Böylece & sayısının ilk basamağını elde ederiz.

3. İlk basamağın karesini bulun (2 2 \u003d 4).

4. Birinci grup ile ilk rakamın karesi (5-4=1) arasındaki farkı bulun.

5. Sonraki iki basamağı yıkıyoruz (196 sayısını aldık).

6. Bulduğumuz ilk rakamı ikiye katlıyoruz, satırın arkasına sola yazıyoruz (2*2=4).

7. Şimdi sayının ikinci hanesini bulmanız gerekiyor &: bulduğumuz iki katına çıkan ilk hane sayının onlarcasının basamağı olur, birim sayısı ile çarpıldığında 196'dan küçük bir sayı almanız gerekir ( bu sayı 4, 44 * 4 \u003d 176). 4, & öğesinin ikinci basamağıdır.

8. Farkı bulun (196-176=20).

9. Bir sonraki grubu yıkıyoruz (2033 sayısını alıyoruz).

10. 24 sayısını ikiye katlayın, 48 elde ederiz.

Bir sayıda 11.48 onlarca, birim sayısı ile çarpıldığında 2033'ten (484 * 4 \u003d 1936) daha az bir sayı almalıyız. Bizim tarafımızdan bulunan birimler basamağı (4), & sayısının üçüncü basamağıdır.

Kanıt, davalar için tarafımdan verilmiştir:

1. Üç basamaklı bir sayının karekökünü çıkarma;

2. Dört basamaklı bir sayının karekökünü çıkarma.

Kare kökü çıkarmak için yaklaşık yöntemler (hesap makinesi kullanmadan).

1. Eski Babilliler, x sayılarının karekökünün yaklaşık değerini bulmak için aşağıdaki yöntemi kullandılar. x sayısını a 2 + b toplamı olarak temsil ettiler, burada a 2, a doğal sayısının (a 2 ? x) tam karesinin x'e en yakın olanıdır ve formülü kullandılar. . (1)

Formül (1)'i kullanarak, örneğin 28 sayısından karekökü çıkarırız:

MK 5.2915026 kullanılarak 28'in kökünün çıkarılmasının sonucu.

Gördüğünüz gibi, Babil yöntemi, kökün tam değerine iyi bir yaklaşıklık verir.

2. Isaac Newton, İskenderiyeli Heron'a (MS 100) kadar uzanan bir karekök yöntemi geliştirdi. Bu yöntem (Newton yöntemi olarak bilinir) aşağıdaki gibidir.

İzin vermek 1- bir sayının ilk yaklaşımı (1 olarak, bir doğal sayının karekökünün değerlerini alabilirsiniz - aşmayan tam bir kare X) .

Bir sonraki, daha doğru yaklaşım 2 sayılar formül tarafından bulunan .

boyut: piksel

Sayfadan gösterim başlat:

Transcript

1 DERSİ 2 BÜYÜK ORTAK BÖLÜMÜN HESAPLANMASI Öklid'in algoritması Büyük bileşik sayılarla çalışırken, bunların asal çarpanlara ayrıştırılmaları genellikle bilinmez. Ancak, sayı teorisinin birçok uygulamalı problemi için, bir sayıyı çarpanlara ayırma arayışı önemli, sıklıkla karşılaşılan pratik bir problemdir. Sayı teorisinde, Öklid algoritması olarak adlandırılan iki sayının gcd'sini hesaplamanın nispeten hızlı bir yolu vardır. Algoritma 1. Öklid'in algoritması. Giriş. a, b tamsayıları; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0, Öklid algoritması durur ve ürettiği d sayısı a ve b sayılarının en büyük ortak bölenidir. Kanıt . Kalanlı bölme teoremi ile, herhangi bir i 1 için r i 1 = q i r ben + r i+1, burada 0 r i+1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0 aşağıdan sınırlandırılmıştır. Böyle bir dizi sonsuz olamaz, bu nedenle Öklid'in algoritması durur. Öklid'in İkili Algoritması Öklid'in İkili GCD algoritması, bunu uygularken daha hızlı çıkıyor

Bilgisayarda 2 algoritma, çünkü a ve b sayılarının ikili gösterimini kullanır. İkili Öklid algoritması, en büyük ortak bölenin aşağıdaki özelliklerine dayanmaktadır (0 olduğunu varsayıyoruz:< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b, sonra gcd(a, b) = gcd(a b, b); 4) a = b ise, gcd(a, b) = a. Algoritma 2. İkili Öklid'in algoritması. Giriş. a, b tamsayıları; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >b. O zaman d = ax + by olacak şekilde x ve y tam sayıları vardır. Başka bir deyişle, iki sayının gcd'si şu şekilde temsil edilebilir:

3, bu sayıların tamsayı katsayılarıyla doğrusal bir birleşimi olarak. Algoritma 3. Genişletilmiş Öklid algoritmasının şeması. 1. = 1, = 0, = 0, = 1, α = a, β = b'yi belirleyin. 2. q sayısı a sayısının b sayısına bölümü olsun ve r sayısı bu sayıların bölümünden kalan sayı olsun (yani a = qb + r). a = b; b = r; t = ; //t = x ben-1 ; = tq; // = x i sağ taraf için = x i+1 sağ taraf için; //t = y ben-1 ; = tq; 5. Adıma geri dönün x = x 0, y = y 0, d = αx + βy'yi belirleyin. Genişletilmiş Öklid algoritması Günlüğünün bir çeşidi. a, b tamsayıları; 0< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,

4 algoritma tarafından hesaplanan aşağıdaki teoremi göstermektedir. Teorem 4. Algoritma 3'ün her yinelemesinde, i 0 için eşitlik ekseni i + i = r i sağlanır. İspat. Matematiksel tümevarım yöntemini kullanalım. i = 0 ve i = 1 için, Algoritma 3'ün 1. Adımından dolayı gerekli eşitlik geçerlidir. Bunun i 1 ve i için doğru olduğunu varsayalım. Sonra 3. adımda x i+1 = x ben 1 x i ve y i+1 = y ben 1 y i elde ederiz. Bu nedenle, ax i+1 + by i+1 = a(x ben 1 x i) + b(y ben 1 y ben,) = ax i 1 + by i 1 (ax i + by i) = r ben 1 r ben = r ben+1 . Misal. a = 1769, b = 551 verildiğinde. Genişletilmiş Öklid algoritmasını kullanarak, d = ax + by olacak şekilde x ve y tam sayılarını bulun, burada a ve b sayılarının d gcd'si. Hesaplama dizisinin aşaması. 1. = 1, = 0, = 0, = 1, α = 1769, β = Bölüm q = a / b = 1769/551 = 3 ve bölümün geri kalanını r = 116 belirleyin. a = 551; b = 116; t = =0: = tq = 1 0 = 1 = 0; = tq = 3; aşağıdaki ara değerler

5 parametre: a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Bölmenin geri kalanı r 0 olduğundan, 2. adıma dönüyoruz. Hesaplama dizisinin II. Aşamasına. 1. Parametre değeri: a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Bölüm q = a/b = 551/116 = 4 ve kalan r = 87. a = 116; b = 87; t == 0; =1: = tq = = 4 = 3; = tq = 1 (3) 4 = 13; parametrelerin aşağıdaki ara değerleri: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Bölmenin geri kalanı r 0 olduğundan, 2. adıma dönüyoruz. Hesaplama dizisinin 3. Aşaması . 1. Parametrelerin değeri: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Bölüm q = a/b = 116/87 = 1 ve kalan r = 29.

6a = 87; b = 29; t = = 4: = tq = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = tq = 3 (13) 1 = 16; parametrelerin aşağıdaki ara değerleri: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Bölmenin geri kalanı r 0 olduğundan, 2. adıma dönüyoruz. Hesaplama dizisinin IV. Aşaması . 1. Parametre değeri: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Bölüm q = a/b = 87/29 = 3 ve kalan r = 0. a = 87; b = 29; t == 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = tq = 13 (16) 3 = 61; aşağıdaki ara parametre değerleri: a= 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = Bölmenin geri kalanı r = 0 olduğundan, 6. adımı gerçekleştiririz.

7 6. OBEB'yi d = αx + βy formülünü kullanarak hesaplayın, burada x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, α= 1769, β = 551. Parametrelerin değerini değiştirerek, d = αx elde ederiz. + βy = = = 29 Genişletilmiş Öklid algoritması ikili biçimde de uygulanabilir. Algoritma 4. Genişletilmiş İkili Öklid Algoritması. Giriş. a, b tamsayıları; 0< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.

Denklemlerin tam sayılarda çözümü Lineer denklemler. Doğrudan numaralandırma yöntemi Örnek. Tavşanlar ve sülünler bir kafeste oturuyor. Toplamda 8 bacağı var. Bunlardan ve diğerlerinden kaç tanesinin hücrede olduğunu öğrenin. Tüm çözümleri listeleyin. Karar.

Ders 7 Bir d sayısına, eğer (1) d a ve d b ise ve ayrıca (2) x a'dan tüm x için ve x d'yi takip ediyorsa, a ve b sayılarının en büyük ortak böleni (GCD) denir. Bu durumda d = (a, b) yazarız. Önerme 1. Herhangi bir sayı için

Ders. Temel sayılar teorisi ve uygulamalarının temelleri - Teorik malzeme. Modulo artıkları kümesi, kongrüansların özellikleri. den büyük bir doğal sayı olsun. Tüm sınıfların kümesini Z ile gösteriyoruz

Ugra Fizik ve Matematik Lisesi VP Chuvakov SAYI TEORİSİNİN TEMELLERİ Ders notları (0)(mod) (0)(mod) Doğal sayılar N, - sayma veya numaralandırma için kullanılan doğal sayılar kümesi

Bölüm 2 Tamsayı, rasyonel ve gerçek sayılar 2.. Tam sayılar Sayılar, 2, 3,... doğal olarak adlandırılır. Tüm doğal sayılar kümesi N ile gösterilir, yani. N = (,2,3,...). Sayılar..., 3, 2,0,2,3,...

Devamlı kesirler Sonlu sürekli kesirler Tanım a 0 + a + a + + a m formunun bir ifadesi, burada a 0 Z a a m N a m N/() sürekli kesir olarak adlandırılır ve m, devam eden kesrin uzunluğudur a 0 a a m olacaktır sürekli kesrin katsayıları denir

DERSİ 1 SAYI TEORİSİNİN BAZI ÖĞELERİ

Gorbaçov DEĞİL Tek değişkenli polinomlar Derece denklemlerini çözme Polinom kavramı Polinomlar üzerinde aritmetik işlemler Dep Bir değişkene göre inci dereceden bir polinom (polinom)

Tam sayıların bölünebilirliği a sayısı b sayısına bölünür (veya b a'yı böler), eğer a = bc olacak şekilde bir c sayısı varsa, bu durumda, c sayısına a'yı b'ye bölme bölümü denir. Gösterim: a - a b veya ba b ile bölünebilir

DERSİ 12 İKİNCİ DERECE BASİT BİR MODÜLER VE KUADRATİK KALINTILAR ÜZERİNDE KARŞILAŞTIRILMASI İkinci derece modulo p karşılaştırmasının genel biçimi (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p şeklindedir. Karşılaştırma Çözümü Bulma (1)

Talimatlar, çözümler, cevaplar TAM SAYIDA DENKLEMLER. Bir bilinmeyenli denklem Çözüm. Bunu denklemin içine koyalım. (4a b 4) (a b 8) 0 eşitliğini elde ederiz. A ve B'nin tam sayılar olduğu A B 0 eşitliği sağlanır,

Cebirsel polinomlar. 1 K alanı üzerinde n dereceli cebirsel polinomlar Tanım 1.1 Bir sayı alanı K üzerindeki bir z değişkeninde n, n N (0) dereceli bir polinom, şu formun bir ifadesidir: fz = a n z n

Ders İkinci dereceden kalıntılar ve kalıntı olmayanlar Öğretim üyesi: Nyu Zolotykh Kaydeden: E Zamaraeva?? Eylül 00 İçindekiler Kuadratik kalıntılar ve kalıntı olmayanlar Legendre sembolü Legendre sembolünün özellikleri Kuadratik mütekabiliyet yasası

Devlet Eğitim Kurumu Yatılı Okulu "Fikri" doğal sayılar, tamsayı katsayılarıyla doğrusal bir kombinasyon olarak"

Matematiksel analiz Bölüm: Belirsiz integral Konu: Rasyonel kesirlerin integrali Öğretim Üyesi Pakhomova E.G. 0 5. Rasyonel kesirlerin integrali TANIM. Rasyonel kesir denir

4 Sayı teorisi 4 Tamsayılar 7 Tanım Let, b Z O halde b'yi böler öyle bir tamsayı varsa b (b ile gösterilir) 73 Teorem (kalanla bölme) Eğer, b Z ve b ise böyle tamsayılar vardır

Matematiksel analiz Bölüm: Belirsiz integral Konu: Rasyonel kesirlerin integrali Okutman Rozhkova S.V. 0 5. Rasyonel kesirlerin integrali TANIM. Rasyonel kesir denir

009-00 hesabı yıl. 6, 9 hücre. Matematik. Sayı teorisinin unsurları. 4. En büyük ortak bölen ve en küçük ortak katın hesaplanması Paragraftan notasyonu bırakalım. Bir doğal sayı n için, n gösterimi

UYGULAMALI CEBİR. Bölüm I: Sonlu alanlar (Galois alanları). I 1 / 67 Kısım I Sonlu alanlar (Galois alanları). CEBİR UYGULAMASI YAPTIM. Bölüm I: Sonlu alanlar (Galois alanları). I 2 / 67 Artık alanlar modulo prime

5 Denklemleri tam sayılarda çözme Tek bilinmeyenli lineer denklem gibi basit denklemleri bile çözerken, denklemin katsayıları tamsayıysa bazı özellikler vardır ve

Laboratuvar çalışması 8 Öklid algoritmasını kullanarak iki sayı için en büyük ortak bölenin hesaplanması

Bölüm 1. Kriptografinin matematiksel temelleri 1 Alan tanımı Bir sonlu alan GF q (veya bir Galois alanı), aralarında toplama ve çarpma işlemleri belirtilen sonlu bir keyfi eleman kümesidir.

XIX Bölgeler Arası Bölgeler Arası Olimpiyat Matematik ve Kriptografi Görevleri için 11. Sınıf Problem 1 Çözümü İlk olarak, p ve q asal sayılar olmak üzere N = pq ise, doğal sayıların sayısının şundan küçük olduğuna dikkat edelim.

Polinomlar ve kökleri 2018 Gushchina Elena Nikolaevna Tanım: n n N dereceli bir polinom, şu formun herhangi bir ifadesidir: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., burada a & , a &+, a, a. R, bir&

Ders 4. STANDART AES. RIJNDAEL ALGORİTMASI. AES (Gelişmiş Şifreleme Stndrd), DES standardının yerini alan yeni bir tek anahtarlı şifreleme standardıdır. Rjndel algoritması (ren-dal)

Polinomlar ve kökleri Tanım: n (n N) dereceli bir polinom, şu formun herhangi bir ifadesidir: P n (z) = an n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, burada a n, an n 1, a 1, a 0 R, a n öncü katsayısı, a

1 Öklid'in algoritması ve karmaşıklığı Tanım 1. a ve b sayılarının ortak böleni, c a ve c b olacak şekilde bir c sayısıdır. Tanım 2. a ve b sayılarının en büyük ortak böleni onların ortak bölenidir,

DERS 14 Modülo bileşik kareköklerinin hesaplanması Yukarıdaki teoriden, eğer =, nerede ve asal sayılar ise, Z grubu Z Z uzayına göre izomorfiktir. İzomorfizm özellikleri koruduğu için

DERSİ 3 KARE KÖKLERİN MODÜLER HESAPLAMASI Basit bir modül durumu x a mod p, () karşılaştırmasını düşünün, burada p sayısı asaldır ve a tamsayısı p ile bölünemez Bu denklemin x çözümünün hesaplanması

Ayrık Matematik Kolokyumu Programı (ana akış) Kolokyumun başında, üç soru içeren bir bilet alacaksınız: bir tanım sorusu, bir görev ve bir ispat sorusu.

Shor'un algoritması Yu. 1 Aralık 005 Ders taslağı 1. Hazırlık (a) Faktoring sayıları (b) Kuantum hesaplama (c) Klasik hesaplama öykünmesi. Simon'ın algoritması (a) Kuantum paralelliği

Matematik tarihinden Aritmetiğin geometriden bağımsız olarak sunulduğu oldukça hacimli ilk kitap, Nicomachus'un Aritmetik'e Giriş (okne) kitabıydı.

İlk Sayı Teorisinin Başlangıcına Kısa Bir Giriş Denis Kirienko Bilgisayar Yaz Okulu, 1 Ocak 2009 Tamsayılı bölme İki a ve b, b 0 tamsayıları verilsin.

Konu 1-9: Polinomlar. Bir polinom halkasının inşası. Bölünebilirlik Teorisi. Türev A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal Üniversitesi Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Enstitüsü Cebir ve Ayrık Bölümü

Cebirsel denklemlerin tanımı. Cebirsel, 0, P () 0, bazı gerçek sayılar biçiminde bir denklemdir. 0 0 Bu durumda değişkene bilinmeyen, 0 sayılarına ise bilinmeyen denir.

Anlatım 6 Sayı teorisinin öğeleri 1 Problem. Sayı dizisine devam et 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 Tam Sayı Aritmetik Tam sayıları kullanır: Z = (, -2 , -1, 0,

Polinomlar n dereceli bir x değişkeni olan bir polinom, polinomun katsayıları olarak adlandırılan herhangi bir sayının bulunduğu formun bir ifadesidir ve polinomun önde gelen katsayısı, değişken yerine If olarak adlandırılır.

1 2 İçindekiler. 1. Giriş. 4-6 1.1. Özet...4 1.2. Sorun 4 1.3. İşin amacı 5 1.4. Hipotez..5 1.5. Araştırma konusu... 5 1.6. Çalışmanın amacı. 5 1.7. Yenilik... 5-6 1.8. Araştırma yöntemleri...6

8.3, 8.4.2 sınıfı, Matematik (Makarychev ders kitabı) 2018-2019 akademik yılı “Tamsayılar. Sayıların bölünebilirliği. Tamsayı göstergeli derece ”Teorik ve pratik kısımlar testte kontrol edilir. KONU Bilin

Anlatım RASYONEL KESİRLERİN ENTEGRASYONU Rasyonel kesirler Basit rasyonel kesirlerin integrali Rasyonel bir kesrin basit kesirlere ayrıştırılması Rasyonel kesirlerin integrali Rasyonel

Www.cryptolymp.ru XIX Bölgeler Arası Matematik ve Kriptografi Okul Çocukları Olimpiyatı (11.Sınıf) Problem 1'in Çözümü İlk önce, p ve q asal sayılar olmak üzere N pq ise, o zaman doğal sayıların sayısı,

Bölüm Tamsayılar Bölünebilirlik teorisi Tam sayılara sayılar denir, -3, -, -, 0, 3, bu doğal sayılar, 3, 4, ayrıca sıfır ve negatif sayılar -, -, -3, -4, Tüm tam sayıların kümesi ile gösterilir

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Ural Devlet Ekonomi Üniversitesi Yu. 4., devir. ve ek e-posta: [e-posta korumalı],

(trigonometrik seri trigonometrik sistem örnekleri - keyfi periyot fonksiyonları için [ -l; l ] aralığında genişleme - sinüs ve kosinüslerde çift ve tek sürekliliklerde eksik seri genişletme)

Teorik bilgisayar bilimi II Ders 5. Tamsayı algoritmaları: genişletilmiş Öklid algoritması, ters eleman modulo, üs modulo. Açık anahtar kriptografisi, RSA protokolü. olasılıksal

5. Bose-Chaudhury-Hokvingham kodları Döngüsel kodların düzeltici özellikleri iki teorem temelinde belirlenebilir. Teorem 1. Herhangi bir m ve t için, n = 2 m 1 uzunluğunda, çokluklu bir döngüsel kod vardır.

MODÜLER ARİTMETİK Bazı uygulamalarda, modüler gösterimde verilen tamsayılar üzerinde aritmetik işlemler yapmak uygundur.

MATEMATİK KULLANIMI 00 Koryanov A.G. Bryansk'tan Ödevler Yorum ve önerilerinizi şu adrese gönderin: [e-posta korumalı] TAM SAYILARDA DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER (eğitim problemlerinden olimpiyat problemlerine) Lineer

2.22. Ortak çarpanı (n bir doğal sayıdır) parantezlerden çıkarın: 1) x n + 3 + x n ; 3) z3n-zn; 2) yn + 2 - yn - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23. Her numara atandı

DERS 15 ASAL SAYILAR Birden büyük bir p doğal sayısına, yalnızca 1'e ve kendisine bölünebiliyorsa asal sayı denir. Teorem (Öklid). Asal sayılar kümesi sonsuzdur. π(x) ile göster

Konu 3. Cebirsel ve analitik sayı teorisinin unsurları Teorik malzeme 1. Devam eden kesirler. Son sürekli kesir a +, (1) ifadesidir, burada a bir tam sayıdır, a, i > 0, doğal sayılardır,

Http://vk.ucoz.et/ k a k polinomları üzerinde işlemler k dereceli bir polinom (polinom), a formunun bir fonksiyonudur, burada değişken, a sayısal katsayılardır (=,.k) ve. Sıfır olmayan herhangi bir sayı kabul edilebilir

Penza Devlet Pedagoji Üniversitesi, V. G. Belinsky M. V. Glebov V. F. Timerbulatova'nın adını aldı

Tam sayıların kalanla bölünebilme m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olsun

Avdoshin S.M., Savelieva A.A. Kalıntı halkalarında lineer denklem sistemlerini çözmek için bir algoritma Kalıntı halkalarında lineer denklem sistemlerini çözmek için karmaşıklık bakımından eşdeğer olan etkili bir algoritma geliştirilmiştir.

UYGULAMALI CEBİR. Kısım I: Sonlu alanlar (Galois alanları) I 1 / 88 Kısım I Sonlu alanlar (Galois alanları) I UYGULAMALI CEBİR. Bölüm I: Sonlu alanlar (Galois alanları) I 2 / 88 Artık alanlar bir asal sayı modulo

5 Cebirsel yapılar 6 Tanım Bir S kümesindeki ikili işlem, S S'nin S'ye eşlenmesidir

/E Sayı teorisinin elemanları ve. Rochev 28 Ağustos 2018 ..... 1 1.2 En büyük ortak bölen ..................................

Bölüm Tamsayı, rasyonel ve gerçek sayılar. Kalanla bölme. ±23, ±4 sayılarının her birini, kalanı ±5 sayıların her birine bölün. 2. 42'nin tüm pozitif bölenlerini bulun. 3. Şu anda saat 3.

Diferansiyel denklemler ders 4 Toplam diferansiyellerde denklemler. İntegrasyon faktörü Öğretim Üyesi Anna Igorevna Sherstneva 9. Toplam diferansiyellerde denklemler Denklem d + d = 14 denklemi denir

Ders. Temel sayılar teorisi ve uygulamaları. İlkel kökler, indeksler. Teorik malzeme a, m doğal asal sayılar olsun ve m, o zaman Euler teoremine göre a m)

Matematik ve Enformatik Bölümü Yüksek Matematiğin Unsurları Uzaktan teknolojiler kullanarak eğitim gören orta mesleki eğitim öğrencileri için eğitim ve metodolojik kompleks Modül Limit Teorisi Derleyen: Doç.

Bölüm 2. Kriptografide sayısal yöntemler Bağımsız çalışma için atama Kriptografide yaygın olarak kullanılan algoritmaları incelemek. Sayı teorisinin unsurları: genişletilmiş Öklid algoritması;

Tematik plan, "Cebir 8" ders kitabına göre 206-207 akademik yılının program materyaline dayanmaktadır, ed. AG Mordkovich, önerilen zorunlu asgari eğitim içeriğini dikkate alarak Konu

Anlatım 2. Binom katsayılarının özellikleri. Toplama ve fonksiyon üretme yöntemi (son durum). Polinom katsayıları. Binom ve polinom katsayıları için tahminler. Tutar tahminleri

Bu algoritmayı bir örnekle ele alalım. Bulalım

1. adım. Kökün altındaki sayıyı iki haneye böleriz (sağdan sola):

2. adım. İlk yüzden karekökünü çıkarıyoruz yani 65 rakamından 8 rakamını alıyoruz. İlk yüzün altına 8 rakamının karesini yazıp çıkarıyoruz. İkinci yüzü (59) kalanına bağlarız:

(159 sayısı ilk kalandır).

3. adım. Bulunan kökü ikiye katlıyoruz ve sonucu sola yazıyoruz:

4. adım. Kalanı (159) sağda bir rakamı ayırıyoruz, solda onlarca sayı alıyoruz (15'e eşittir). Sonra 15'i kökün iki katına çıkan ilk basamağıyla, yani 16'ya böleriz, çünkü 15, 16'ya bölünemez, sonra bölümde, kökün ikinci basamağı olarak yazdığımız sıfır alırız. Böylece, bölümde tekrar ikiye katladığımız ve bir sonraki yüzü yıktığımız 80 sayısını elde ettik.

(15901 sayısı ikinci kalandır).

5. adım. İkinci kalanda bir basamağı sağdan ayırıyoruz ve çıkan 1590 sayısını 160'a bölüyoruz. Sonuç (9 sayısı) kökün üçüncü basamağı olarak yazılır ve 160 sayısına atanır. Ortaya çıkan 1609 sayısı 9 ile çarpılır. ve aşağıdaki kalanı (1420) buluruz:

Algoritmada belirtilen sırayla diğer eylemler gerçekleştirilir (kök, gerekli doğruluk derecesi ile çıkarılabilir).

Yorum. Kök ifadesi ondalık bir kesir ise, tamsayı kısmı sağdan sola iki haneye bölünür, kesirli kısım soldan sağa iki haneye bölünür ve belirtilen algoritmaya göre kök çıkarılır.

DİDAKTİK MALZEME

1. Sayının karekökünü alın: a) 32; b) 32.45; c) 249.5; d) 0.9511.

Merhaba okuyucular ve sitemizin ziyaretçileri!. Bu bölümde, çeşitli algoritmaları ve bunların Pascal'daki uygulamalarını analiz edeceğiz.

Bugünün dersinin materyalinde ustalaşmak için bilgiye ihtiyacınız olacak ve.

Bugün, ikisi doğrudan Öklid adıyla ilişkili olan iki tamsayının en büyük ortak bölenini bulmak için üç algoritmayı (beşten) ele alacağız. Bir sonraki bölümde iki tane daha bakacağız.
a ve b sayılarının en büyük ortak böleni (gcd), ikisini de bölen en büyük tam sayıdır.
Örnek: gcd(25, 5) = 5; gcd(12, 18) = 6.

Arama algoritması

İle başlayalım d- iki sayıdan en küçüğü Bu onların en büyük ortak bölenleri için ilk açık adaydır. Ve sonra, d her iki sayıyı da bölene kadar onu bir azaltıyoruz. Böyle bir bölünme sağlanır sağlanmaz, d'deki azalmayı durdururuz.

Var a, b, d: tamsayı; write("İki sayı giriniz: "); readln(a, b); Eğer bir< b then d:= a + 1 else d:= b + 1; {так как мы используем цикл с постусловием, необходимо минимальное значение увеличить на один, иначе цикл repeat, в силу своих конструктивных особенностей, не учтет это минимальное число и не сделает его кандидатом в НОД. Например, 5 и 25.} repeat d:= d - 1 until (a mod d = 0) and (b mod d = 0); write("NOD = ", d) end.

Örneğin 30 ve 18 sayılarıyla bu programa dönelim. Sonra cevaba giderken (6 numara) sayılardan geçmesi gerekecek: 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12 , 11, 10, 9, 8, 7 .6.

Öklid'in "çıkarma ile" algoritması

a ve b tamsayılar olsun, bu durumda aşağıdaki ifadeler doğrudur:

a ve b ikilisinin tüm ortak bölenleri aynı zamanda a - b, b ikilisinin de ortak bölenleridir;
Tersine, a - b ve b ikilisinin tüm ortak bölenleri aynı zamanda a ve b ikilisinin de ortak bölenleridir;
gcd(A, B) = gcd(A - B, B) eğer A > B ise;
gcd(A, 0) = A.

Kanıt:

t, a ve b'nin rastgele bir ortak böleni ise, a - b farkını da böler. Gerçekten de, a = t * u ve b = t * v'den a - b = t * u - t * v = t * (u - v) çıkar. Yani t aynı zamanda a - b ve b'nin ortak bölenidir.
Tersine, eğer t keyfi bir bölen, a - b ve b'nin ortak böleni ise, o zaman toplamlarını da a - b + b = a'ya böler. Bu, öncekine benzer şekilde kanıtlanabilir. Bu nedenle t aynı zamanda a ve b'nin ortak bölenidir.
a ve b ortak bölenleri kümesinin a - b ve b bölenleri kümesiyle çakıştığı sonucuna varıyoruz. Özellikle bu çiftlerin en büyük ortak bölenleri de çakışmaktadır.
a sayısını bölen en büyük tam sayı, a sayısının kendisidir. 0 sayısı herhangi bir sayıya tam bölünür. Dolayısıyla a ve 0'ın en büyük ortak böleni a'dır.

Kanıtlanmış formül (3), bir çiftin en büyük böleninin hesaplanmasını, sayıların zaten daha küçük olduğu başka bir çiftin en büyük ortak böleninin hesaplanmasına indirgememizi sağlar. Açık formül (4), ne zaman duracağımızı bilmemizi sağlar.

Kısaca Öklid'in "çıkarma ile" algoritması aşağıdaki gibi olacaktır. Büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarırız ve sayılardan biri sıfır olana kadar büyük olanı aradaki farkla değiştiririz. O halde kalan sıfır olmayan sayı en büyük ortak bölendir.

Misal. a = 82 ve b = 60 olsun. OBEB(82, 60) = OBEB(22, 60) = OBEB(22, 38) = OBEB(22, 16) = OBEB(6, 16) = OBEB(6, 10) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(2, 2) = gcd(2, 0) = 2.

Algoritmanın sondan bir önceki adımında, 0'ın ortaya çıkmasından önce, her iki sayı da eşittir, aksi takdirde 0 ortaya çıkmazdı.Bu nedenle, tam bu anda OBEB'yi çıkaracağız.

Öklid'in "çıkarma ile" algoritmasının blok şeması

programı

var a, b: tamsayı; write("a = "); readln(a); yaz("b = "); readln(b); bir süre<>b eğer a > b ise a:= a - b başka b:= b - a; writeln("NOD = ",a); son.

"bölme" ile Öklid'in algoritması

a ve b tamsayılar olsun ve a'yı b'ye bölmenin kalanı r olsun. Sonra gcd(a, b) = gcd(b, r).

Bu formül aynı zamanda bir sayı çiftinin en büyük ortak böleninin hesaplanmasını başka bir sayı çiftinin en büyük ortak böleninin hesaplanmasına indirgemenizi sağlar.

Misal. gcd(82, 60) = gcd(22, 60) = gcd(22, 16) = gcd(6, 16) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(0, 2) = 2 .

Var a, b: tamsayı; write("a = "); readln(a); yaz("b = "); readln(b); süre (bir<>0) ve (b<>0) a >= b ise a:= a mod b başka b:= b mod a; (a + b) sonu yaz.

Hepsi bugün için! Öklid algoritmasında birkaç değişiklik daha ve sonraki derslerde GCD'yi bulmanın yollarını öğreneceksiniz.