En basit trigonometrinin çözümü. Trigonometrik fonksiyonları bulma kuralları: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant. Kosinüs fonksiyonunun grafiği, y = cos x

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kavramları trigonometrinin ana kategorileridir - matematiğin bir dalı ve bir açının tanımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bu matematiksel bilime sahip olmak, formüllerin ve teoremlerin ezberlenmesini ve anlaşılmasını ve ayrıca gelişmiş mekansal düşünmeyi gerektirir. Bu nedenle trigonometrik hesaplamalar genellikle okul çocukları ve öğrenciler için zorluklara neden olur. Bunların üstesinden gelmek için trigonometrik fonksiyonlara ve formüllere daha aşina olmalısınız.

trigonometride kavramlar

Trigonometrinin temel kavramlarını anlamak için önce bir dik üçgenin ve bir çemberdeki açının ne olduğuna ve tüm temel trigonometrik hesaplamaların neden bunlarla ilişkili olduğuna karar vermelisiniz. Açılarından biri 90 derece olan üçgen dik üçgendir. Tarihsel olarak, bu rakam genellikle insanlar tarafından mimari, navigasyon, sanat, astronomide kullanılmıştır. Buna göre, bu rakamın özelliklerini inceleyen ve analiz eden insanlar, parametrelerinin karşılık gelen oranlarının hesaplanmasına geldi.

Dik üçgenlerle ilgili ana kategoriler hipotenüs ve bacaklardır. Hipotenüs, bir üçgenin dik açının karşısındaki kenarıdır. Bacaklar sırasıyla diğer iki taraftır. Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180 derecedir.

Küresel trigonometri, okulda çalışılmayan, ancak astronomi ve jeodezi gibi uygulamalı bilimlerde bilim adamlarının kullandığı bir trigonometri bölümüdür. Küresel trigonometride bir üçgenin bir özelliği, her zaman 180 dereceden daha büyük bir açı toplamına sahip olmasıdır.

Bir üçgenin açıları

Bir dik üçgende, bir açının sinüsü, istenen açının karşısındaki bacağın üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Buna göre kosinüs, bitişik bacak ve hipotenüsün oranıdır. Hipotenüs her zaman bacaktan daha uzun olduğu için bu değerlerin her ikisi de her zaman birden küçük bir değere sahiptir.

Bir açının tanjantı, istenen açının karşı bacağının bitişik bacağına veya sinüsün kosinüs oranına eşit bir değerdir. Kotanjant, sırayla, istenen açının bitişik bacağının zıt kakteye oranıdır. Bir açının kotanjantı, birimin tanjant değerine bölünmesiyle de elde edilebilir.

birim çember

Geometride birim çember, yarıçapı bire eşit olan çemberdir. Böyle bir daire, Kartezyen koordinat sisteminde, dairenin merkezi başlangıç ​​noktası ile çakışacak şekilde oluşturulur ve yarıçap vektörünün ilk konumu, X ekseninin (apsis ekseni) pozitif yönü ile belirlenir. Dairenin her noktasının iki koordinatı vardır: XX ve YY, yani apsis ve ordinat koordinatları. XX düzleminde daire üzerinde herhangi bir noktayı seçip dikini ondan apsis eksenine bırakarak, seçilen noktaya bir yarıçap tarafından oluşturulan bir dik üçgen elde ederiz (bunu C harfi ile gösterelim), bir dik çizilir. X ekseni (kesişim noktası G harfi ile gösterilir) ve orijin (nokta A harfi ile gösterilir) ile kesişme noktası G arasındaki apsis ekseninin bir parçası. Ortaya çıkan üçgen ACG, içinde yazılı bir dik üçgendir. AG'nin hipotenüs ve AC ve GC'nin bacaklar olduğu bir daire. AC çemberinin yarıçapı ile AG adı verilen apsis ekseninin parçası arasındaki açıyı α (alfa) olarak tanımlarız. Yani, cos α = AG/AC. AC'nin birim çemberin yarıçapı olduğu ve bire eşit olduğu göz önüne alındığında, cos α=AG olduğu ortaya çıkıyor. Benzer şekilde, sin α=CG.

Ayrıca bu verileri bilerek, cos α=AG ve sin α=CG olduğundan daire üzerindeki C noktasının koordinatını belirleyebilirsiniz, bu da C noktasının verilen koordinatlara sahip olduğu anlamına gelir (cos α; sin α). Teğetin sinüsün kosinüs oranına eşit olduğunu bilerek, tg α \u003d y / x ve ctg α \u003d x / y olduğunu belirleyebiliriz. Negatif bir koordinat sisteminde açılar dikkate alındığında bazı açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin negatif olabileceği hesaplanabilir.

Hesaplamalar ve temel formüller

Trigonometrik fonksiyonların değerleri

Birim çember üzerinden trigonometrik fonksiyonların özünü göz önüne alarak, bazı açılar için bu fonksiyonların değerlerini türetebiliriz. Değerler aşağıdaki tabloda listelenmiştir.

En basit trigonometrik kimlikler

Trigonometrik fonksiyonun işaretinin altında değeri bilinmeyen denklemlere trigonometrik denir. sin x = α değerine sahip özdeşlikler, k herhangi bir tam sayıdır:

1. günah x = 0, x = πk.
2. 2. günah x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. günah x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. günah x = a, |a| > 1, çözüm yok.
5. günah x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arksin α + πk.

cos x = a değerine sahip özdeşlikler, burada k herhangi bir tam sayıdır:

1. çünkü x = 0, x = π/2 + πk.
2. çünkü x = 1, x = 2πk.
3. çünkü x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. çünkü x = a, |a| > 1, çözüm yok.
5. çünkü x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

tg x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tam sayıdır:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arktg α + πk.

ctg x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tam sayıdır:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Döküm formülleri

Bu sabit formül kategorisi, formun trigonometrik işlevlerinden argümanın işlevlerine geçebileceğiniz, yani herhangi bir değerin sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını açının ilgili göstergelerine dönüştürebileceğiniz yöntemleri belirtir. Daha fazla hesaplama kolaylığı için 0 ila 90 derece arasındaki aralık.

Bir açının sinüsü için fonksiyonları azaltma formülleri şöyle görünür:

• günah(900 - α) = α;
• günah(900 + α) = cos α;
• günah(1800 - a) = günah a;
• günah(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• günah(3600 + α) = günah α.

Bir açının kosinüsü için:

• cos(900 - α) = günah α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - a) = -cos a;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - a) = -sin a;
• cos(2700 + α) = günah α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Yukarıdaki formüllerin kullanımı iki kurala tabidir. İlk olarak, açı bir değer (π/2 ± a) veya (3π/2 ± a) olarak gösterilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişir:

• günahtan cos'a;
• günahtan günaha;
• tg'den ctg'ye;
• ctg'den tg'ye.

Açı (π ± a) veya (2π ± a) olarak gösterilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişmeden kalır.

İkincisi, indirgenmiş fonksiyonun işareti değişmez: başlangıçta pozitifse, öyle kalır. Aynısı negatif fonksiyonlar için de geçerlidir.

Toplama Formülleri

Bu formüller iki dönme açısının toplamı ve farkının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade eder. Açılar genellikle α ve β olarak gösterilir.

Formüller şöyle görünür:

1. günah(α ± β) = günah α * cos β ± cos α * günah.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ günah α * günah.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Bu formüller herhangi bir α ve β açısı için geçerlidir.

Çift ve üçlü açı formülleri

Bir çift ve üçlü açının trigonometrik formülleri, sırasıyla 2α ve 3α açılarının fonksiyonlarını, α açısının trigonometrik fonksiyonlarıyla ilişkilendiren formüllerdir. Toplama formüllerinden türetilmiştir:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Toplamdan ürüne geçiş

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) olduğunu düşünürsek, bu formülü sadeleştirerek, sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 özdeşliğini elde ederiz. Benzer şekilde, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = günah(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = günah(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Üründen toplama geçiş

Bu formüller, toplamın ürüne geçişi için kimliklerden gelir:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Azaltma Formülleri

Bu özdeşliklerde sinüs ve kosinüsün kare ve kübik kuvvetleri, bir çoklu açının birinci kuvvetinin sinüs ve kosinüsü cinsinden ifade edilebilir:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• günah^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

evrensel ikame

Evrensel trigonometrik ikame formülleri, trigonometrik fonksiyonları yarım açının tanjantı cinsinden ifade eder.

• günah x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), x \u003d π + 2πn;
• çünkü x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), burada x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), burada x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), x \u003d π + 2πn.

Özel durumlar

En basit trigonometrik denklemlerin özel durumları aşağıda verilmiştir (k herhangi bir tamsayıdır).

Sinüs için özel:

günah x değeri	x değeri
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk veya 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk veya -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk veya 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk veya -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk veya 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk veya -2π/3 + 2πk

kosinüs bölümleri:

çünkü x değeri	x değeri
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Teğet için özel:

tg x değeri	x değeri
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotanjant bölümleri:

ctg x değeri	x değeri
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

teoremler

sinüs teoremi

Teoremin iki versiyonu vardır - basit ve genişletilmiş. Basit sinüs teoremi: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Bu durumda a, b, c üçgenin kenarları ve α, β, γ sırasıyla zıt açılardır.

Rastgele bir üçgen için genişletilmiş sinüs teoremi: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Bu özdeşlikte R, verilen üçgenin yazılı olduğu dairenin yarıçapını gösterir.

kosinüs teoremi

Özdeşlik şu şekilde gösterilir: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formülde a, b, c üçgenin kenarlarıdır ve α, a kenarının karşısındaki açıdır.

teğet teoremi

Formül, iki açının tanjantları ile karşı tarafların uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Kenarlar a, b, c olarak etiketlenmiştir ve karşılık gelen karşıt açılar α, β, γ'dir. Tanjant teoreminin formülü: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

kotanjant teoremi

Bir üçgende yazılı bir dairenin yarıçapını, kenarlarının uzunluğuyla ilişkilendirir. a, b, c bir üçgenin kenarları ve sırasıyla A, B, C bunların karşılıklı açıları ise, r yazılı dairenin yarıçapı ve p üçgenin yarım çevresi ise, aşağıdaki özdeşlikler tutmak:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Uygulamalar

Trigonometri, yalnızca matematiksel formüllerle ilişkili teorik bir bilim değildir. Özellikleri, teoremleri ve kuralları pratikte insan faaliyetinin çeşitli dalları tarafından kullanılır - astronomi, hava ve deniz navigasyonu, müzik teorisi, jeodezi, kimya, akustik, optik, elektronik, mimari, ekonomi, makine mühendisliği, ölçüm işleri, bilgisayar grafikleri, haritacılık, oşinografi ve diğerleri.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant, bir üçgende açılar ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade edebileceğiniz ve özdeşlikler, teoremler ve kurallar aracılığıyla istenen miktarları bulabileceğiniz trigonometrinin temel kavramlarıdır.

Trigonometrik denklemler en kolay konu değildir. Acı verici bir şekilde çeşitlidirler.) Örneğin, bunlar:

sin2x + cos3x = ctg5x

günah(5x+π/4) = ctg(2x-π/3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Vb...

Ancak bu (ve diğer tüm) trigonometrik canavarların iki ortak ve zorunlu özelliği vardır. Birincisi - inanamayacaksınız - denklemlerde trigonometrik fonksiyonlar var.) İkincisi: x'li tüm ifadeler bu aynı işlevler içinde. Ve sadece orada! x bir yerde görünürse dışarıda,Örneğin, sin2x + 3x = 3, bu karma tip bir denklem olacaktır. Bu tür denklemler bireysel bir yaklaşım gerektirir. Burada onları dikkate almayacağız.

Bu derste de şeytani denklemleri çözmeyeceğiz.) Burada ele alacağız. en basit trigonometrik denklemler. Niye ya? evet çünkü karar hiç trigonometrik denklemler iki aşamadan oluşur. İlk aşamada şer denklemi çeşitli dönüşümlerle basite indirgenir. İkincisi - bu en basit denklem çözüldü. Başka yol yok.

Yani ikinci aşamada sorun yaşıyorsanız ilk aşama pek mantıklı gelmiyor.)

Temel trigonometrik denklemler neye benziyor?

günah = bir

cosx = bir

tgx = bir

ctgx = bir

Burada a herhangi bir sayıyı temsil eder. Hiç.

Bu arada, fonksiyonun içinde saf bir x değil, bir tür ifade olabilir, örneğin:

cos(3x+π/3) = 1/2

vb. Bu hayatı zorlaştırır, ancak trigonometrik denklemi çözme yöntemini etkilemez.

Trigonometrik denklemler nasıl çözülür?

Trigonometrik denklemler iki şekilde çözülebilir. İlk yol: mantık ve trigonometrik daire kullanmak. Bu yolu burada keşfedeceğiz. İkinci yol - hafıza ve formüllerin kullanılması - bir sonraki derste ele alınacaktır.

İlk yol açık, güvenilir ve unutulması zor.) Trigonometrik denklemleri, eşitsizlikleri ve her türlü zor standart dışı örneği çözmek için iyidir. Mantık hafızadan daha güçlüdür!

Trigonometrik bir daire kullanarak denklemleri çözüyoruz.

Temel mantığı ve trigonometrik bir daire kullanma yeteneğini dahil ediyoruz. Yapamaz mısın!? Ancak... Trigonometride size zor gelecek...) Ama önemli değil. "Trigonometrik daire ...... Nedir?" derslerine bir göz atın. ve "Trigonometrik bir daire üzerinde açıları sayma." Orada her şey basit. Ders kitaplarının aksine...)

Ah, biliyor musun!? Ve hatta "Trigonometrik bir daire ile pratik çalışma" konusunda ustalaştı!? Tebrikleri kabul edin. Bu konu size yakın ve anlaşılır olacaktır.) Özellikle sevindirici olan şey, trigonometrik dairenin hangi denklemi çözdüğünüzü umursamamasıdır. Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant - onun için her şey aynıdır. Çözüm prensibi aynıdır.

Yani herhangi bir temel trigonometrik denklemi alıyoruz. En azından bu:

cosx = 0,5

X'i bulmam gerek. İnsan dilinde konuşmak, ihtiyacınız olan kosinüsü 0,5 olan açıyı (x) bulun.

Daha önce çemberi nasıl kullanıyorduk? Üzerine bir köşe çektik. Derece veya radyan cinsinden. Ve derhal görülen bu açının trigonometrik fonksiyonları. Şimdi tersini yapalım. Çemberin üzerine 0,5'e eşit bir kosinüs çizin ve hemen göreceğiz enjeksiyon. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor.) Evet, evet!

Bir daire çiziyoruz ve kosinüsü 0,5'e eşit olarak işaretliyoruz. Tabii ki kosinüs ekseninde. Bunun gibi:

Şimdi bu kosinüsün bize verdiği açıyı çizelim. Farenizi resmin üzerine getirin (veya bir tablette resme dokunun) ve görmek bu aynı köşe X.

Hangi açının kosinüsü 0,5'tir?

x \u003d π / 3

çünkü 60°= çünkü( π/3) = 0,5

Bazıları şüpheyle homurdanacak, evet... Her şey ortadayken, çemberi çitle çevirmeye değdi mi derler... Elbette homurdanabilirsin...) Ama gerçek şu ki bu yanlış bir şey. Cevap. Daha doğrusu yetersiz. Çemberin uzmanları, hala 0,5'e eşit bir kosinüs veren bir sürü açı olduğunu anlıyorlar.

Hareketli tarafı OA'yı çevirirseniz tam bir dönüş için, A noktası orijinal konumuna geri dönecektir. Aynı kosinüs 0,5'e eşit. Onlar. açı değişecek 360° veya 2π radyan ve kosinüs değildir. 60° + 360° = 420° yeni açı da denklemimizin bir çözümü olacaktır, çünkü

Sonsuz sayıda böyle tam dönüş var... Ve tüm bu yeni açılar trigonometrik denklemimizin çözümleri olacak. Ve hepsinin bir şekilde yazılması gerekiyor. Herşey. Aksi halde karar dikkate alınmaz, evet...)

Matematik bunu basit ve zarif bir şekilde yapabilir. Kısa bir cevapta, yazın sonsuz kümeçözümler. Denklemimiz için şöyle görünüyor:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

deşifre edeceğim. Hala yaz anlamlı bir şekilde bazı gizemli harfleri aptalca çizmekten daha güzel, değil mi?)

π/3 bizim açımızla aynı açı testereçember üzerinde ve belirlenen kosinüs tablosuna göre.

2π radyan cinsinden bir tam dönüştür.

n - bu, tamamlanmış sayıdır, yani. tüm devrimler. Açıktır ki n 0, ±1, ±2, ±3.... ve benzeri olabilir. Kısa girişte belirtildiği gibi:

n ∈ Z

n ait ( ∈ ) tamsayılar kümesine ( Z ). Bu arada, mektup yerine n harfler kullanılabilir k, m, t vb.

Bu gösterim, herhangi bir tamsayı alabileceğiniz anlamına gelir. n . En az -3, en az 0, en az +55. Ne istiyorsun. Bu sayıyı cevabınıza eklerseniz, zorlu denklemimizin çözümü olacağı kesin olan belirli bir açı elde edersiniz.)

Veya başka bir deyişle, x \u003d π / 3 sonsuz bir kümenin tek köküdür. Diğer tüm kökleri elde etmek için, π / 3'e herhangi bir sayıda tam dönüş eklemek yeterlidir ( n ) radyan cinsinden. Onlar. 2πn radyan.

Her şey? Numara. Özellikle zevki uzatırım. Daha iyi hatırlamak için.) Denklemimize verilen cevapların sadece bir kısmını aldık. Çözümün bu ilk bölümünü aşağıdaki gibi yazacağım:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - tek bir kök değil, kısa biçimde yazılmış bir dizi köktür.

Ancak kosinüs değeri 0,5'e eşit olan başka açılar da vardır!

Cevabı yazdığımıza göre resmimize dönelim. İşte burada:

Fareyi görüntünün üzerine getirin ve görmek başka bir köşe ayrıca 0,5 kosinüs verir. Sizce neye eşittir? Üçgenler aynı... Evet! açıya eşittir X , sadece negatif yönde çizilir. bu köşe -X. Ama biz zaten x'i hesapladık. π/3 veya 60°. Bu nedenle, güvenle yazabiliriz:

x 2 \u003d - π / 3

Ve elbette, tam dönüşlerle elde edilen tüm açıları ekliyoruz:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Şimdi hepsi bu.) Trigonometrik bir daire içinde, biz testere(kim anlar elbette)) Tümü 0,5'e eşit bir kosinüs veren açılar. Ve bu açıları kısa bir matematiksel formda yazdılar. Cevap iki sonsuz kök dizisidir:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Bu doğru cevap.

Ümit etmek, trigonometrik denklemleri çözmek için genel prensip bir daire yardımıyla anlaşılabilir. Verilen denklemden kosinüsü (sinüs, tanjant, kotanjant) daire üzerinde işaretliyoruz, karşılık gelen açıları çiziyoruz ve cevabı yazıyoruz. Tabii bizim ne tür köşeler olduğumuzu anlamanız gerekiyor. testere daire üzerinde. Bazen o kadar açık değildir. Eh, dediğim gibi, burada mantık gereklidir.)

Örneğin, başka bir trigonometrik denklemi analiz edelim:

Lütfen denklemlerde 0,5 sayısının tek olası sayı olmadığını unutmayın!) Bunu yazmak benim için kökler ve kesirlerden daha uygun.

Genel prensibe göre çalışıyoruz. Bir daire çiziyoruz, işaretleyin (elbette sinüs ekseninde!) 0,5. Bu sinüse karşılık gelen tüm açıları bir kerede çiziyoruz. Bu resmi alıyoruz:

Önce açıyla ilgilenelim. X ilk çeyrekte. Sinüs tablosunu hatırlıyoruz ve bu açının değerini belirliyoruz. Konu basit:

x \u003d π / 6

Tüm dönüşleri hatırlıyoruz ve net bir vicdanla ilk cevap dizisini yazıyoruz:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

İşin yarısı yapılır. Şimdi tanımlamamız gerekiyor ikinci köşe... Bu kosinüslerden daha zor, evet ... Ama mantık bizi kurtaracak! İkinci açı nasıl belirlenir x aracılığıyla? Evet Kolay! Resimdeki üçgenler aynı ve kırmızı köşe X açıya eşit X . Sadece π açısından negatif yönde sayılır. Bu yüzden kırmızı.) Ve cevap için, pozitif yarım eksen OX'den doğru olarak ölçülen bir açıya ihtiyacımız var, yani. 0 derecelik bir açıyla.

İmleci resmin üzerine getirin ve her şeyi görün. Resmi karmaşıklaştırmamak için ilk köşeyi kaldırdım. Bizi ilgilendiren açı (yeşille çizilmiş) şuna eşit olacaktır:

π - x

x onu biliyoruz π/6 . Yani ikinci açı olacak:

π - π /6 = 5π /6

Yine, tam devirlerin eklenmesini hatırlıyoruz ve ikinci dizi cevapları yazıyoruz:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Bu kadar. Tam bir cevap iki dizi kökten oluşur:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tanjant ve kotanjantlı denklemler, trigonometrik denklemleri çözmek için aynı genel ilke kullanılarak kolayca çözülebilir. Tabii ki, trigonometrik bir daire üzerinde tanjant ve kotanjantı nasıl çizeceğinizi bilmiyorsanız.

Yukarıdaki örneklerde sinüs ve kosinüsün tablo değerini kullandım: 0,5. Onlar. öğrencinin bildiği anlamlardan biri mutlak.Şimdi yeteneklerimizi genişletelim diğer tüm değerler. Karar verin, karar verin!)

Diyelim ki aşağıdaki trigonometrik denklemi çözmemiz gerekiyor:

Kısa tablolarda kosinüsün böyle bir değeri yoktur. Bu korkunç gerçeği soğukkanlılıkla görmezden geliyoruz. Bir daire çiziyoruz, kosinüs ekseninde 2/3'ü işaretliyoruz ve karşılık gelen açıları çiziyoruz. Bu resmi alıyoruz.

Yeni başlayanlar için ilk çeyrekte bir açıyla anlıyoruz. x'in neye eşit olduğunu bilmek için hemen cevabı yazarlardı! Bilmiyoruz... Başarısızlık!? Sakinlik! Matematik kendi başını belada bırakmaz! Bu durum için ark kosinüslerini icat etti. Bilmemek? Boşuna. Öğrenin. Düşündüğünüzden çok daha kolay. Bu bağlantıya göre, "ters trigonometrik fonksiyonlar" hakkında tek bir hileli büyü yok... Bu konuda gereksiz.

Bilginiz varsa, kendinize "X, kosinüsü 2/3 olan bir açıdır" deyin. Ve hemen, tamamen arkkozin tanımına göre şunu yazabiliriz:

Ek devirleri hatırlıyoruz ve trigonometrik denklemimizin ilk kök dizisini sakince yazıyoruz:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

İkinci kök dizisi de ikinci açı için neredeyse otomatik olarak yazılır. Her şey aynı, sadece x (arccos 2/3) eksi ile olacak:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ve her şey! Bu doğru cevap. Tablo değerlerinden bile daha kolay. Hiçbir şey hatırlamanıza gerek yok.) Bu arada, en dikkatli olanlar, ark kosinüsünden geçen bu resmin çözümünü fark edecektir. esasen cosx = 0,5 denklemi için resimden farklı değildir.

Aynen öyle! Bu konuda genel ilke ve genel! Özellikle hemen hemen aynı iki resim çizdim. Daire bize açıyı gösterir X kosinüsüne göre. Bu tablosal bir kosinüs veya değil - daire bilmiyor. Bu ne tür bir açı, π/3 veya ne tür bir ark kosinüsü olduğuna karar vermek bize kalmış.

Sinüs ile aynı şarkı indir. Örneğin:

Yine bir daire çiziyoruz, sinüsü 1/3 olarak işaretliyoruz, köşeleri çiziyoruz. Bu resim ortaya çıkıyor:

Ve yine resim denklemdekiyle hemen hemen aynı sinx = 0,5.İlk çeyreğe yine kornerden başlıyoruz. Sinüsü 1/3 ise x neye eşittir? Sorun yok!

Böylece ilk kök paketi hazır:

x 1 = arksin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

İkinci açıya bir göz atalım. 0,5 tablo değerine sahip örnekte, şuna eşitti:

π - x

Yani burada tamamen aynı olacak! Sadece x farklıdır, arcsin 1/3. Ne olmuş!? İkinci kök paketini güvenle yazabilirsiniz:

x 2 = π - arksin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Bu tamamen doğru bir cevap. Çok tanıdık gelmese de. Ama anlaşılmıştır umarım.)

Trigonometrik denklemler bir daire kullanılarak bu şekilde çözülür. Bu yol açık ve anlaşılırdır. Belirli bir aralıkta, trigonometrik eşitsizliklerde köklerin seçimi ile trigonometrik denklemlerde tasarruf eden kişidir - genellikle neredeyse her zaman bir daire içinde çözülürler. Kısacası, standart olanlardan biraz daha karmaşık olan herhangi bir görevde.

Bilgiyi uygulamaya koymak mı?

Trigonometrik denklemleri çözün:

İlk başta, doğrudan bu derste daha basittir.

Şimdi daha zor.

İpucu: burada daire hakkında düşünmeniz gerekiyor. Şahsen.)

Ve şimdi görünüşte iddiasız ... Bunlara özel durumlar da denir.

günah = 0

günah = 1

cosx = 0

cosx = -1

İpucu: burada iki dizi cevabın olduğu ve nerede olduğu bir daire içinde bulmanız gerekiyor ... Ve iki dizi cevap yerine bir tane nasıl yazılacağını. Evet, böylece sonsuz sayıdan tek bir kök kaybolmaz!)

Eh, oldukça basit):

günah = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

İpucu: burada arksinüs, arkkozin nedir bilmeniz gerekiyor? Ark tanjantı, ark tanjantı nedir? En basit tanımlar. Ancak herhangi bir tablo değerini hatırlamanıza gerek yok!)

Cevaplar, elbette, kargaşa içinde):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Dersi tekrar okuyun. Bir tek düşünceli(O kadar eski bir kelime var ki...) Ve linkleri takip edin. Ana bağlantılar daire ile ilgilidir. Trigonometride onsuz - gözü kapalı yoldan nasıl geçilir. Bazen işe yarar.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

trigonometrik denklemler .

En basit trigonometrik denklemler .

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri.

Trigonometrik denklemler. altında bilinmeyen içeren bir denklem trigonometrik fonksiyonun işareti denir trigonometrik.

En basit trigonometrik denklemler.

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri. Trigonometrik denklemin çözümü iki aşamadan oluşur: denklem dönüşümü basitleştirmek için yazın (yukarıya bakın) ve kararelde edilen en basit trigonometrik denklem. Yedi tane var trigonometrik denklemleri çözmek için temel yöntemler.

1. Cebirsel yöntem. Bu yöntem bizim için cebirden iyi bilinmektedir.

(değişken ikame ve ikame yöntemi).

2. Faktoring. Bu yöntemi örneklerle inceleyelim.

ÖRNEK 1. Denklemi çözün: günah x+ çünkü x = 1 .

Çözüm Denklemin tüm terimlerini sola taşıyın:

Günah x+ çünkü x – 1 = 0 ,

ifadesini dönüştürelim ve çarpanlarına ayıralım.

Denklemin sol tarafı:

Örnek 2. Denklemi çözün:çünkü 2 x+ günah xçünkü x = 1.

ÇÖZÜM çünkü 2 x+ günah xçünkü x– günah 2 x– çünkü 2 x = 0 ,

Günah xçünkü x– günah 2 x = 0 ,

Günah x(çünkü x– günah x ) = 0 ,

Örnek 3. Denklemi çözün:çünkü 2 x– çünkü 8 x+ çünkü 6 x = 1.

ÇÖZÜM çünkü 2 x+ çünkü 6 x= 1 + cos8 x,

2 çünkü 4 xçünkü 2 x= 2 çünkü² 4 x ,

çünkü 4 x · (çünkü 2 x- çünkü 4 x) = 0 ,

çünkü 4 x 2 günah 3 x günah x = 0 ,

1). çünkü 4 x= 0 , 2). günah 3 x= 0 , 3). günah x = 0 ,

3.

Döküm tek tip denklem. denklem isminde homojen Nispeten günah ve çünkü , Eğer hepsini açısından aynı derecede günah ve çünkü aynı açı. Homojen bir denklemi çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır: a) tüm üyelerini sol tarafa hareket ettirin; b) tüm ortak faktörleri parantezlerin dışında bırakın; içinde) tüm faktörleri ve parantezleri sıfıra eşitleyin; G) parantezler sıfıra ayarlanmış ile bölünmesi gereken daha az derecede homojen denklem çünkü(veya günah) kıdemli derecede; d) göre elde edilen cebirsel denklemi çözmekbronzluk . MİSAL Denklemi Çöz: 3 günah 2 x+ 4 günah xçünkü x+ 5 çünkü 2 x = 2. Çözüm: 3 gün 2 x+ 4 günah xçünkü x+ 5 çünkü 2 x= 2 günah 2 x+ 2 çünkü 2 x , günah 2 x+ 4 günah xçünkü x+ 3 çünkü 2 x = 0 , ten rengi 2 x+ 4tan x + 3 = 0 , buradan y 2 + 4y +3 = 0 , Bu denklemin kökleri:y 1 = - 1, y 2 = - 3, dolayısıyla 1) bronzluk x= –1, 2) bronz x = –3,

4. Yarım köşeye geçiş. Bu yöntemi bir örnekle inceleyelim:

MİSAL Denklemi Çöz: 3 günah x– 5cos x = 7.

Çözüm: 6 günah ( x/ 2) çünkü ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 günah² ( x/ 2) =

7 günah² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 günah² ( x/ 2) – 6 günah ( x/ 2) çünkü ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan²( x/ 2) – 3 ten rengi ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Yardımcı açının tanıtılması. Formun bir denklemini düşünün:

a günah x + bçünkü x = c ,

Neresi a, b, c– katsayılar;x- Bilinmeyen.

Şimdi denklemin katsayıları sinüs ve kosinüs özelliklerine sahip, yani: her birinin modülü (mutlak değer)

En basit trigonometrik denklemler denklemlerdir.

Cos(x)=a, günah(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

Denklem cos(x) = a

Açıklama ve gerekçe

1. cosx = a denkleminin kökleri. Ne zaman | bir | > 1 denklemin kökü yoktur çünkü | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 veya bir< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

izin | bir |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = çünkü x. Aralıkta, y = cos x işlevi 1'den -1'e düşer. Ancak azalan bir fonksiyon, değerlerinin her birini tanım alanının yalnızca bir noktasında alır, bu nedenle cos x \u003d a denkleminin bu aralıkta ark kosinüs tanımına göre yalnızca bir kökü vardır: x 1 \u003d arccos a (ve bu kök için cos x \u003d a).

Kosinüs çift bir fonksiyondur, dolayısıyla [-n; 0] denklemi cos x = ve ayrıca yalnızca bir kökü vardır - x 1'in karşısındaki sayı, yani

x 2 = -arcos a.

Böylece [-n aralığında; n] (uzunluk 2n) denklemi cos x = a için | bir |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

y = cos x fonksiyonu 2n periyodu ile periyodiktir, bu nedenle diğer tüm kökler 2np (n € Z) ile bulunanlardan farklıdır. cos x = a denkleminin kökleri için aşağıdaki formülü elde ederiz.

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. Cosx = a denklemini çözmenin özel durumları.

cos x = a denkleminin kökleri için özel gösterimi hatırlamak yararlıdır.

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, birim daire kılavuz olarak kullanılarak kolayca elde edilebilir.

Kosinüs, birim çemberdeki karşılık gelen noktanın apsisine eşit olduğundan, ancak ve ancak birim çember üzerindeki karşılık gelen nokta A noktası veya B noktasıysa cos x = 0 elde ederiz.

Benzer şekilde, cos x = 1, ancak ve ancak birim çemberin karşılık gelen noktası C noktasıysa, bu nedenle,

x = 2πp, k € Z.

Ayrıca cos x \u003d -1 eğer ve sadece birim dairenin karşılık gelen noktası D noktası ise, dolayısıyla x \u003d n + 2n,

Denklem sin(x) = a

Açıklama ve gerekçe

1. sinx = a denkleminin kökleri. Ne zaman | bir | > 1 denklemin kökü yoktur çünkü | günah |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 veya bir< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Konuyla ilgili ders ve sunum: "En basit trigonometrik denklemlerin çözümü"

Ilave malzemeler
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

1C'den 10. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometrideki problemleri çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel yapıcı 6.1"

Ne öğreneceğiz:
1. Trigonometrik denklemler nelerdir?

3. Trigonometrik denklemleri çözmek için iki ana yöntem.
4. Homojen trigonometrik denklemler.
5. Örnekler.

Trigonometrik denklemler nelerdir?

Arkadaşlar, arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjantı zaten inceledik. Şimdi genel olarak trigonometrik denklemlere bakalım.

Trigonometrik denklemler - değişkenin trigonometrik fonksiyonun işareti altında bulunduğu denklemler.

En basit trigonometrik denklemleri çözme şeklini tekrarlıyoruz:

1) |а|≤ 1 ise, o zaman cos(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) |а|≤ 1 ise, sin(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

3) Eğer |a| > 1, o zaman sin(x) = a ve cos(x) = a denkleminin çözümü yoktur 4) tg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arcctg(a)+ πk

Tüm formüller için k bir tamsayıdır

En basit trigonometrik denklemler şu şekildedir: Т(kx+m)=a, T- herhangi bir trigonometrik fonksiyon.

Misal.

Denklemleri çözün: a) sin(3x)= √3/2

Karar:

A) 3x=t'yi gösterelim, sonra denklemimizi şu şekilde yeniden yazacağız:

Bu denklemin çözümü şöyle olacaktır: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Değer tablosundan şunu elde ederiz: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Değişkenimize geri dönelim: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Sonra x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cevap: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n bir tamsayıdır. (-1)^n - eksi bir üzeri n.

Daha fazla trigonometrik denklem örneği.

Denklemleri çözün: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Karar:

A) Bu sefer doğrudan denklemin köklerinin hesaplanmasına gideceğiz:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. O zaman x/5= πk => x=5πk

Cevap: x=5πk, burada k bir tamsayıdır.

B) 3x- π/3=arctg(√3)+ πk şeklinde yazıyoruz. Bunu biliyoruz: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cevap: x=2π/9 + πk/3, burada k bir tamsayıdır.

Denklemleri çözün: cos(4x)= √2/2. Ve segmentteki tüm kökleri bulun.

Karar:

Denklemimizi genel olarak çözelim: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Şimdi segmentimize hangi köklerin düştüğünü görelim. k için k=0, x= π/16 için verilen segment içindeyiz.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ile tekrar vururlar.
k=2 için x= π/16+ π=17π/16, ama burada çarpmadık, yani büyük k için de vurmayacağız.

Cevap: x= π/16, x= 9π/16

İki ana çözüm yöntemi.

En basit trigonometrik denklemleri düşündük, ancak daha karmaşık olanları var. Bunları çözmek için yeni bir değişken tanıtma yöntemi ve çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır. Örneklere bakalım.

Denklemi çözelim:

Karar:
Denklemimizi çözmek için, t=tg(x) ile gösterilen yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanıyoruz.

Değiştirme sonucunda şunu elde ederiz: t 2 + 2t -1 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulun: t=-1 ve t=1/3

Sonra tg(x)=-1 ve tg(x)=1/3, en basit trigonometrik denklemi elde ettik, köklerini bulalım.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Cevap: x= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Bir denklem çözme örneği

Denklemleri çözün: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Karar:

Kimliği kullanalım: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Denklemimiz şöyle olur: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) ikamesini tanıtalım: 2t 2 -3t - 2 = 0

İkinci dereceden denklemimizin çözümü köklerdir: t=2 ve t=-1/2

Sonra cos(x)=2 ve cos(x)=-1/2.

Çünkü kosinüs birden büyük değerler alamaz, bu durumda cos(x)=2'nin kökü yoktur.

cos(x)=-1/2 için: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cevap: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen trigonometrik denklemler.

Tanım: a sin(x)+b cos(x) biçimindeki denklemlere birinci dereceden homojen trigonometrik denklemler denir.

formun denklemleri

ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler.

Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için onu cos(x)'e böleriz: Sıfıra eşitse kosinüs ile bölmek imkansızdır, bunun böyle olmadığından emin olalım:
cos(x)=0, sonra asin(x)+0=0 => sin(x)=0 olsun, ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit değil, bir çelişki elde ettik, böylece güvenle bölebiliriz sıfır tarafından.

Denklemi çözün:
Örnek: cos 2 (x) + günah(x) cos(x) = 0

Karar:

Ortak çarpanı çıkarın: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

O zaman iki denklemi çözmemiz gerekiyor:

cos(x)=0 ve cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk için Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 denklemini düşünün, denklemimizi cos(x)'e bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cevap: x= π/2 + πk ve x= -π/4+πk

İkinci dereceden homojen trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Beyler, her zaman bu kurallara uyun!

1. A katsayısının neye eşit olduğunu görün, eğer a \u003d 0 ise, denklemimiz cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) şeklini alacaktır, bunun bir örneği önceki çözümdedir. kaymak

2. Eğer a≠0 ise, denklemin her iki kısmını da kare kosinüs ile bölmeniz gerekir, şunu elde ederiz:

t=tg(x) değişkenini değiştirirsek şu denklemi elde ederiz:

Örnek #:3'ü çözün

Denklemi çözün:
Karar:

Denklemin her iki tarafını kosinüs karesine bölün:

t=tg(x) değişkeninde değişiklik yapıyoruz: t 2 + 2 t - 3 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulun: t=-3 ve t=1

O halde: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cevap: x=-arctg(3) + πk ve x= π/4+ πk

Çöz Örnek #:4

Denklemi çözün:

Karar:
İfademizi dönüştürelim:

Şu denklemleri çözebiliriz: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Cevap: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Çöz Örnek #:5

Denklemi çözün:

Karar:
İfademizi dönüştürelim:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 değiştirmeyi tanıtıyoruz

İkinci dereceden denklemimizin çözümü kökleri olacaktır: t=-2 ve t=1/2

Sonra şunu elde ederiz: tg(2x)=-2 ve tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= yaytg(1/2) + πk => x=yay(1/2)/2+ πk/2

Cevap: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ve x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Bağımsız çözüm için görevler.

1) Denklemi çözün

A) günah(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Denklemleri çözün: sin(3x)= √3/2. Ve [π/2; π].

3) Denklemi çözün: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Denklemi çözün: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Denklemi çözün: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Denklemi çözün: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)