Etiket: trigonometrik Fourier serisi. Arttırılmış karmaşıklığın sayısal serisi Ters trigonometrik seri
Trigonometrik seri Tanımı. Sınırsız bir D kümesinde tanımlanan /(x) işlevine, koşul her x.€ D için sağlanacak şekilde T ↦ 0 sayısı varsa periyodik olarak adlandırılır. Bu T sayılarından en küçüğüne f(x) fonksiyonunun periyodu denir. Örnek 1. Bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyon periyodiktir, çünkü koşul tüm x için sağlanacak şekilde T = 2* f O sayısı vardır. Böylece, sin x fonksiyonunun bir T = 2x periyodu vardır. Aynısı örnek 2 işlevi için de geçerlidir. D sayı kümesinde tanımlanan işlev periyodiktir, çünkü T f 0 sayısı vardır, yani T = öyle ki x 6 D için Tanımımız olur. FOURIER SERİSİ biçimindeki fonksiyonel seriler Trigonometrik seriler Bir trigonometrik sistemin dikliği Trigonometrik Fourier serisi Bir fonksiyonun Fourier serisine genişletilmesi için yeterli koşullara trigonometrik seri denir ve a0, an, bn (n = 1, 2 sabitleri) , ...) trigonometrik serinin katsayıları olarak adlandırılır (1). Trigonometrik serinin (1) kısmi toplamları Sp(x), trigonometrik sistem adı verilen bir fonksiyonlar sisteminden fonksiyonların lineer kombinasyonlarıdır. Bu dizinin üyeleri periyodu 2n- olan periyodik fonksiyonlar olduğundan, (I) serisinin yakınsaklığı durumunda, S(x) toplamı T = 2m periyodu olan bir periyodik fonksiyon olacaktır: Tanım. Periyodik bir f(x) fonksiyonunu T = 2n periyoduyla bir trigonometrik seriye (1) genişletmek, toplamı /(x) fonksiyonuna eşit olan yakınsak bir trigonometrik seri bulmak anlamına gelir. . Trigonometrik sistemin ortogonalliği Tanım. [a, 6] doğru parçasında sürekli olan f(x) ve g(x) fonksiyonlarına bu parçada ortogonal denir.Örneğin, fonksiyonlar [-1,1] doğru parçasında diktir, Tanımdan beri. [a, b] aralığında integrallenebilen sonlu veya sonsuz bir fonksiyon sistemine, [a, 6) aralığında ortogonal sistem denir. herhangi bir doğal m ve n, m Ф n için şunu buluruz: Son olarak, herhangi bir tamsayı türü için formül sayesinde, Trigonometrik Fourier serisini elde ederiz. eşitliğin sağ tarafında [-zr, x] aralığında düzgün bir şekilde yakınsar. O halde formüller geçerlidir (1) serisinin düzgün yakınsaklığı sürekliliği ve dolayısıyla f(x) fonksiyonunun integrallenebilirliğini ifade eder. Bu nedenle, eşitlikler (2) mantıklıdır. Ayrıca, (1) serisi terim terim entegre edilebilir. n = 0 için formül (2)'nin ilkini nereden buluyoruz ve onu izliyoruz. Şimdi eşitliğin (1) her iki bölümünü de cos mi işleviyle çarpıyoruz, burada m isteğe bağlı bir doğal sayıdır: Seri (3), seri gibi (1 ), düzgün bir şekilde yakınsar. Bu nedenle terim terim entegre edilebilir.n = m'de elde edilen bir hariç sağ taraftaki tüm integraller trigonometrik sistemin dikliği nedeniyle sıfıra eşittir. Bu nedenle, benzer şekilde, (1) eşitliğinin her iki tarafını sinmx ile çarparak ve -r'den m'ye integral alarak, elde ederiz. Bazı yakınsak trigonometrik serilerin toplamı olarak gösterilip gösterilmeyeceği önceden bilinmemektedir. Ancak formül (2), an ve bn sabitlerini hesaplamak için kullanılabilir. Tanım. Katsayıları oq, an, bn olan trigonometrik seriler f(x) fonksiyonu aracılığıyla formüllerle belirlenir. f(x) fonksiyonunun serilerine ve bu formüllerle belirlenen a„ , bnt katsayılarına f(x) fonksiyonunun Fourier katsayıları denir. [-m, -k] aralığında integrallenebilen her f(x) fonksiyonu, Fourier serisi ile ilişkilendirilebilir, yani. katsayıları formül (2) ile belirlenen trigonometrik seriler. Ancak, f(x) fonksiyonu için [--n*, r] aralığındaki integrallenebilirlik dışında hiçbir şey gerekmiyorsa, o zaman son bağıntıdaki uygunluk işareti, genel olarak konuşursak, bir eşittir işaretiyle değiştirilemez. Yorum. Genellikle f(x) fonksiyonunu sadece (-*, n\) segmentinde tanımlanan bir trigonometrik seriye genişletmek gerekir ve bu nedenle periyodik değildir. Fonksiyonlar ayrıca trigonometrik Fourier serileri olarak da yazılabilir. f (x) fonksiyonuna tüm Ox ekseni üzerinde periyodik olarak devam ederiz, sonra (-ir, k) aralığında / (x) ile çakışan, 2n periyodu ile periyodik olan F (x) fonksiyonunu alırız: Bu fonksiyon F(x), f(x)'in periyodik açılımı olarak adlandırılır ve F(x) fonksiyonunun x = ±n, ±3r, ±5r, ... noktalarında benzersiz bir tanımı yoktur. Seri Fourier F(x) fonksiyonu için seri, f(x) fonksiyonu için Fourier serisi ile aynıdır. Ayrıca, f(x) fonksiyonu için Fourier serisi ona yakınsarsa, o zaman periyodik bir fonksiyon olan toplamı, f(x) fonksiyonunun |-jt, n\ segmentinden tüm Ox eksenine periyodik olarak devamı. Bu anlamda (-i-, jt|) segmentinde tanımlanan bir f(x) fonksiyonu için Fourier serisinden bahsetmek, F(x) fonksiyonu için Fourier serisinden bahsetmekle eşdeğerdir. f(x) fonksiyonunu bütüne 4. Bir fonksiyonun bir Fourier serisine genişletilmesi için yeterli koşullar Bir Fourier serisinin yakınsaklığı için yeterli bir kriter sunuyoruz, yani Fourier serileri yakınsar ve nasıl olduğunu bulacağız. Aşağıda verilen parçalı monoton fonksiyonlar sınıfı oldukça geniş olmasına rağmen, Fourier serilerinin yakınsadığı fonksiyonların bu seri tarafından tüketilmediğini vurgulamak önemlidir. [a, 6] segmentinde parçalı monoton olarak adlandırılır, eğer bu segment sonlu sayıda nokta ile her biri üzerinde f(x) monoton olan aralıklara bölünebiliyorsa, yani azalmaz veya artmaz (bkz. ... bir). Örnek 1. İşlev, (-oo, oo) aralığında parçalı monotondur, çünkü bu aralık iki aralığa (-syu, 0) ve (0, + oo) bölünebilir, ilkinde azalır (ve dolayısıyla artmaz), ancak ikincide artar (ve dolayısıyla azalmaz). Örnek 2. [-zg, jt| segmentinde fonksiyon parçalı monotondur, çünkü bu segment ilkinde cos i'nin -I'den +1'e arttığı ve ikincisinde azaldığı iki aralığa bölünebilir. Teorem 3. Parçalı monoton ve (a, b] doğru parçası üzerinde sınırlı bir f(x) fonksiyonu, üzerinde sadece birinci türden süreksizlik noktalarına sahip olabilir.Örneğin, f(x fonksiyonunun bir süreksizlik noktası olsun) O halde, f(x) sınırlılık fonksiyonu ve monotonluk nedeniyle, c noktasının her iki tarafında sonlu tek taraflı limitler vardır. Bu, c noktasının birinci türden bir süreksizlik noktası olduğu anlamına gelir (Şekil 2). [-m, m aralığı ile sınırlıdır), o zaman Fourier serisi bu segmentin her x noktasında yakınsar ve bu serinin toplamı için eşitlikler sağlanır: (-*,*) aralığında eşitlikle (Şekil 3) tanımlanan 2jt periyodunun /(z) fonksiyonu teoremin şartlarını sağlar. Bu nedenle, bir Fourier serisinde genişletilebilir. Bunun için Fourier katsayılarını buluyoruz: Bu fonksiyon için Fourier serisi forma sahiptir Örnek 4. Fonksiyonu aralıkta bir Fourier serisine genişletin (Şekil 4) Bu fonksiyon teoremin koşullarını karşılar. Fourier katsayılarını bulalım. Belirli bir integralin toplamsallık özelliğini kullanarak, FOURIER SERİSİ Trigonometrik seriler Bir trigonometrik sistemin dikliği Trigonometrik Fourier serisi Bir fonksiyonun bir Fourier serisine genişletilmesi için yeterli koşullar Bu nedenle, Fourier serisi aşağıdaki forma sahiptir: segment (-i, ir], yani, yani, birinci türden süreksizlik noktaları olan x = -x ve x = x noktalarında bir açıklamamız olacak. Bulunan Fourier serisine x = 0 koyarsak, nereden geldiğini buluruz.
Hemen hemen her periyodik fonksiyonun, trigonometrik seriler kullanılarak, elemanları basit harmonikler olan bir seri olarak temsil edilebileceğini gösterelim.
Tanım. Bir trigonometrik dizi, formun işlevsel bir dizisidir.
gerçek sayılar nerede a 0 , bir , bn serinin katsayıları denir.
Serinin serbest terimi daha sonra elde edilen formüllerin tekdüzeliği şeklinde yazılır.
İki sorunun ele alınması gerekiyor:
1) İşlev hangi koşullar altında gerçekleşir? f(x) periyot 2π ile bir seri halinde genişletilebilir (5.2.1)?
2) Oranlar nasıl hesaplanır a 0 ,… bir , bn ?
İkinci soruyla başlayalım. fonksiyon olsun f(x) aralıkta süreklidir ve bir periyodu vardır T=2π. Aşağıda ihtiyaç duyacağımız formülleri sunuyoruz.
Herhangi bir tamsayı için, işlev çift olduğundan.
Herhangi bir bütün için.
(m ve n tüm sayılar)
( m ve n(III, IV, V) integrallerinin her biri, (I) veya (II) integrallerinin toplamına dönüştürülür. ise, formül (IV)'te şunu elde ederiz:
Eşitlik (V) benzer şekilde kanıtlanmıştır.
Şimdi, fonksiyonun, onun için yakınsak bir Fourier serisine bir açılım bulunacak şekilde ortaya çıktığını varsayalım, yani,
(Toplamın indeksin üzerinde olduğunu unutmayın. n).
Seri yakınsarsa, toplamını belirtin S(x).
Terimsel entegrasyon (serilerin yakınsaması varsayımından dolayı meşru) ile aralığında verir
çünkü birinci hariç tüm terimler sıfıra eşittir (ilişki I, II). Buradan buluyoruz
(5.2.2) ile ( m=1,2,…) ve ile ile aralığındaki terimleri terim terim entegre ederek katsayıyı buluruz. bir.
Eşitliğin sağ tarafında, bir hariç tüm terimler sıfıra eşittir. m=n(ilişki IV, V), Dolayısıyla şunu elde ederiz:
(5.2.2) ile ( m\u003d 1,2, ...) ve ile aralığındaki terimleri terimlerle entegre ederek, benzer şekilde katsayıyı buluruz bn
(5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) formülleriyle belirlenen değerlere Fourier katsayıları denir ve trigonometrik seri (5.2.2), belirli bir fonksiyon için Fourier serisidir. f(x).
Böylece, fonksiyonun ayrışmasını elde ettik. f(x) bir Fourier serisinde
İlk soruya dönelim ve fonksiyonun hangi özelliklere sahip olması gerektiğini bulalım. f(x), böylece oluşturulan Fourier serisi yakınsak olur ve serinin toplamı tam olarak şuna eşit olur: f(x).
Tanım. f(x) fonksiyonuna parçalı sürekli denir sürekli ise veya birinci türden sonlu sayıda süreksizlik noktasına sahipse.
Tanım. f(x) fonksiyonu, segmentte verilen denir parçalı monoton, segment noktalarla her biri fonksiyonun monoton olarak değiştiği (artan veya azalan) sonlu sayıda aralığa bölünebiliyorsa.
Fonksiyonları ele alacağız f(x), adet olmak T=2π. Bu tür işlevlere denir 2π- periyodik.
Bir fonksiyonun bir Fourier serisine genişletilmesi için yeterli bir koşulu temsil eden bir teorem formüle edelim.
Dirichlet teoremi(kanıtsız kabul et) . Eğer bir 2π-periyodik fonksiyon f(x) bir segmentte parçalı sürekli ve parçalı monoton, bu durumda fonksiyona karşılık gelen Fourier serisi bu segmentte yakınsar ve bu durumda:
1. Bir fonksiyonun süreklilik noktalarında, serinin toplamı fonksiyonun kendisiyle çakışır. S(x)=f(x);
2. Her noktada x 0 fonksiyon sonu f(x) serisinin toplamı,
onlar. noktanın solundaki ve sağındaki fonksiyonun sınırlarının aritmetik ortalaması x 0 ;
3. Noktalarda (parçanın sonunda) Fourier serisinin toplamı ,
onlar. argüman aralığın içinden bu noktalara yöneldiğinde, segmentin uçlarındaki fonksiyonun sınır değerlerinin aritmetik ortalaması.
Not: eğer fonksiyon f(x) 2π periyodu ile tüm aralıkta süreklidir ve türevlenebilir ve aralığın sonundaki değerleri eşittir, yani periyodiklik nedeniyle, bu fonksiyon tüm gerçek eksende ve herhangi bir şey için süreklidir. X Fourier serisinin toplamı şuna eşittir: f(x).
Böylece, bir aralıkta integrallenebilen bir fonksiyon varsa f(x) Dirichlet teoreminin koşullarını karşılar, sonra eşitlik aralıkta gerçekleşir (Fourier serisinde genişleme):
Katsayılar (5.2.3) - (5.2.5) formülleriyle hesaplanır.
Dirichlet koşulları, matematikte ve uygulamalarında meydana gelen fonksiyonların çoğu tarafından karşılanır.
Fourier serileri, güç serileri gibi, fonksiyon değerlerinin yaklaşık hesaplanması için kullanılır. fonksiyonun açılımı ise f(x) trigonometrik bir seriye dönüşür, o zaman her zaman yaklaşık eşitliği kullanabilirsiniz, bu işlevi birkaç harmonik toplamı ile değiştirirsiniz, yani. kısmi toplam (2 n+1) Fourier serisinin terimi.
Trigonometrik seriler, elektrik mühendisliğinde yaygın olarak kullanılmaktadır ve yardımlarıyla matematiksel fiziğin birçok problemini çözmektedir.
(-π; π) aralığında verilen, periyodu 2π olan bir fonksiyonu Fourier serisinde genişletin.
Karar. Fourier serisinin katsayılarını bulun:
Fourier serisinde fonksiyonun açılımını aldık
Süreklilik noktalarında Fourier serisinin toplamı fonksiyonun değerine eşittir. f(x)=S(x), noktada x=0 S(x)=1/2, noktalarda x=π,2π,… S(x)=1/2.
Bazı durumlarda, (C) biçimindeki serilerin katsayılarını inceleyerek veya bu serilerin yakınsadığı (belki de tek tek noktalar hariç) ve toplamları için Fourier serileri olduğu tespit edilebilir (örneğin, önceki n°'ye bakınız). ), ancak tüm bu durumlarda, soru doğal olarak ortaya çıkıyor
bu serilerin toplamlarının nasıl bulunacağı veya daha doğrusu, eğer böyle bir biçimde ifade edilirlerse, temel işlevler açısından son biçimde nasıl ifade edileceği. Euler (ve ayrıca Lagrange) bile, trigonometrik serileri nihai bir biçimde özetlemek için karmaşık bir değişkenin analitik fonksiyonlarını başarıyla kullandı. Euler yönteminin arkasındaki fikir aşağıdaki gibidir.
Belirli bir katsayılar kümesi için (C) serisinin, yalnızca bireysel noktalar hariç, aralıktaki her yerde fonksiyonlara yakınsadığını varsayalım. Şimdi aynı katsayılara sahip, karmaşık bir değişkenin güçlerine göre düzenlenmiş bir güç serisini düşünün.
Birim çemberin çevresinde, yani 'de, bu seri, bireysel noktalar hariç tutularak varsayımla yakınsar:
Bu durumda, kuvvet serilerinin iyi bilinen özelliğine göre, seri (5) kesinlikle yani birim çemberin içinde yakınsar ve orada karmaşık bir değişkenin belirli bir fonksiyonunu tanımlar. Bildiğimiz kullanarak [bkz. Karmaşık bir değişkenin temel fonksiyonlarının açılımının XII.
ve Abel teoremi ile (6) serisi yakınsadığı anda toplamı limit olarak elde edilir.
Genellikle bu limit basitçe eşittir ve bu da fonksiyonu son formda hesaplamamıza izin verir.
Örneğin, dizi olsun
Önceki paragrafta kanıtlanan ifadeler, bu serilerin her ikisinin de yakınsadığı (ilk seri, 0 ve 0 noktaları hariç) sonucuna götürür.
tanımladıkları fonksiyonlar için Fourier serileri olarak hizmet ederler.Fakat bu fonksiyonlar nelerdir? Bu soruyu cevaplamak için bir dizi yapıyoruz.
Logaritmik seriye benzerliği ile toplamı kolayca belirlenir:
buradan,
Şimdi kolay bir hesaplama şunları verir:
yani bu ifadenin modülü , ve argüman .
ve böylece nihayetinde
Bu sonuçlar bize tanıdık geliyor ve hatta bir zamanlar "karmaşık" değerlendirmelerin yardımıyla elde edilmişti; ama ilk durumda, ve işlevlerinden ve ikincisinde - analitik işlevden başladık.Burada, ilk kez, serilerin kendileri bir başlangıç noktası görevi gördü. Okuyucu bir sonraki bölümde bu türden başka örnekler bulacaktır.
Yakınsaklık ve (C) serilerinden önceden emin olunması ve bunların toplamlarını sınırlayıcı eşitlik (7) kullanarak belirleme hakkına sahip olunması gerektiğini bir kez daha vurguluyoruz. Bu eşitliğin sağ tarafında sadece bir limitin bulunması, bahsi geçen serilerin yakınsadığı sonucuna henüz varmamıza izin vermemektedir. Bunu bir örnekle göstermek için, diziyi düşünün
Çoklu yayın kosinüsleri ve sinüsleri ile, yani. bir dizi form
veya karmaşık biçimde
nerede bir k,bk veya sırasıyla, kk isminde T. r'nin katsayıları
İlk kez T. r. L. Euler'de buluşuyor (L. Euler, 1744). Genişletmeler aldı
Tüm R. 18. yüzyıl Bir ipin serbest titreşimi probleminin incelenmesiyle bağlantılı olarak, ipin ilk konumunu karakterize eden fonksiyonu T. r'nin toplamı olarak temsil etme olasılığı sorusu ortaya çıktı. Bu soru, o zamanın en iyi analistleri olan birkaç on yıl süren ateşli bir tartışmaya neden oldu - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler). Fonksiyon kavramının içeriği ile ilgili anlaşmazlıklar. O zaman, işlevler genellikle analitikleriyle ilişkilendirildi. sadece analitik veya parçalı analitik fonksiyonların dikkate alınmasına yol açan atama. Ve burada, grafiği bu işlevi temsil eden bir T.r. oluşturmak için yeterince keyfi olan bir işlev için gerekli hale geldi. Ancak bu anlaşmazlıkların önemi daha büyüktür. Aslında, temel olarak önemli birçok kavram ve matematiğin fikirleriyle ilgili sorularla bağlantılı olarak tartıştılar veya ortaya çıktılar. genel olarak analiz - fonksiyonların Taylor serisi ve analitik ile temsili. fonksiyonların devamı, ıraksak serilerin kullanımı, limitler, sonsuz denklem sistemleri, polinomlarla fonksiyonlar vb.
Ve gelecekte, bu ilkinde olduğu gibi, T. r. matematikte yeni fikirlerin kaynağı olarak hizmet etti. Fourier integrali, hemen hemen periyodik fonksiyonlar, genel dik seriler, soyut. T. nehri üzerinde araştırmalar. küme teorisinin yaratılması için bir başlangıç noktası olarak hizmet etti. T. r. özellikleri temsil etmek ve keşfetmek için güçlü bir araçtır.
18. yüzyılda matematikçiler arasında tartışmaya yol açan soru, 1807'de T. r'nin katsayılarını hesaplamak için formülleri belirten J. Fourier tarafından çözüldü. (1) gerekir. f(x) fonksiyonunda temsil edin:
ve bunları ısı iletim problemlerinin çözümünde uygulamıştır. Formüllere (2) Fourier formülleri denir, ancak daha önce A. Clairaut (1754) tarafından karşılaşılmış ve L. Euler (1777) onlara terim terim entegrasyon kullanarak gelmiştir. T. r. (1), katsayıları formüllerle belirlenen (2), denir. Fourier fonksiyonu f'nin yanında ve sayılar bir k, b k- Fourier katsayıları.
Elde edilen sonuçların doğası, bir fonksiyonun temsilinin bir dizi olarak nasıl anlaşıldığına, formül (2)'deki integralin nasıl anlaşıldığına bağlıdır. T. nehrinin modern teorisi. Lebesgue integralinin ortaya çıkmasından sonra elde edilir.
T. r. teorisi şartlı olarak iki büyük bölüme ayrılabilir - teori Fourier serisi,(1) serisinin belirli bir fonksiyonun Fourier serisi olduğu varsayılır ve böyle bir varsayımın yapılmadığı genel T. R. teorisi. Aşağıda genel T. r teorisinde elde edilen ana sonuçlar bulunmaktadır. (bu durumda, kümeler ve fonksiyonların ölçülebilirliği Lebesgue'e göre anlaşılır).
İlk sistematik Bu serilerin Fourier serileri olduğu varsayılmadığı araştırma T. r., V. Riemann'ın teziydi (V. Riemann, 1853). Bu nedenle, genel T. r. teorisi. isminde bazen Riemann'ın termodinamik teorisi.
Keyfi T. r.'nin özelliklerini incelemek. (1) sıfıra eğilimli katsayılarla B. Riemann sürekli F(x) fonksiyonunu dikkate aldı ,
düzgün yakınsak bir serinin toplamı olan
(1) serisinin terim terim iki kat entegrasyonundan sonra elde edilir. Eğer (1) serisi x noktasında bir s sayısına yakınsarsa, bu noktada ikinci simetrik vardır ve s'ye eşittir. F fonksiyonları:
daha sonra bu, faktörler tarafından üretilen (1) serisinin toplamına yol açar. 
isminde Riemann toplama yöntemi ile. F fonksiyonunu kullanarak, (1) serisinin x noktasındaki davranışının sadece F fonksiyonunun bu noktanın keyfi olarak küçük bir komşuluğundaki davranışına bağlı olduğu Riemann yerelleştirme ilkesi formüle edilir.
Eğer T.r. bir pozitif ölçü kümesine yakınsar, sonra katsayıları sıfıra meyleder (Cantor-Lebesgue). Sıfır katsayılarına eğilim T. r. aynı zamanda ikinci kategorinin bir dizisindeki yakınsamasından da kaynaklanmaktadır (W. Young, W. Young, 1909).
Genel termodinamik teorisinin temel problemlerinden biri keyfi bir T. r fonksiyonunu temsil etme sorunudur. N. N. Luzin'in (1915) T. R. fonksiyonlarının Abel-Poisson ve Riemann toplanabilir yöntemleriyle temsil edilmesine ilişkin sonuçlarını güçlendiren D. E. Men'shov, f fonksiyonunun temsili olduğunda en önemli duruma atıfta bulunan aşağıdaki teoremi (1940) kanıtladı. T. r olarak anlaşılır. ile f(x) hemen hemen her yerde. Hemen hemen her yerde her ölçülebilir ve sonlu f fonksiyonu için, hemen hemen her yerde ona yaklaşan bir T. R. vardır (Men'shov teoremi). Şunu belirtmek gerekir ki f integrallenebilir olsa bile, genel olarak konuşursak, f fonksiyonunun Fourier serisi böyle bir seri olarak alınamaz, çünkü her yerde birbirinden ayrılan Fourier serileri vardır.
Yukarıdaki Men'shov teoremi şu iyileştirmeyi kabul eder: eğer bir f fonksiyonu ölçülebilir ve hemen hemen her yerde sonluysa, o zaman öyle bir şey vardır ki: 
hemen hemen her yerde ve j fonksiyonunun terim terim farklılaştırılmış Fourier serisi hemen hemen her yerde f(x)'e yakınsar (N.K. Bari, 1952).
Men'shov teoreminde f fonksiyonu için sonluluk koşulunu hemen hemen her yerde çıkarmanın mümkün olup olmadığı bilinmemektedir (1984). Özellikle, T. r.'nin olup olmadığı bilinmemektedir (1984). neredeyse her yerde birleş
Bu nedenle, bir dizi pozitif ölçü üzerinde sonsuz değerler alabilen fonksiyonları temsil etme sorunu, daha zayıf gereksinim ile değiştirildiğinde - . Sonsuz değerler alabilen fonksiyonlara ölçü olarak yakınsama şu şekilde tanımlanır: T. p'nin kısmi toplamları. s n(x) f(x) fonksiyonuna ölçü olarak yakınsar .
eğer nerede fn(x) hemen hemen her yerde / (x)'e yakınsar ve dizi ölçü olarak sıfıra yakınsar. Bu ortamda, fonksiyonların temsili sorunu sonuna kadar çözülmüştür: Her ölçülebilir fonksiyon için, ölçü olarak ona yaklaşan bir T. R. vardır (D. E. Men'shov, 1948).
T. r.'nin benzersizliği sorununa çok fazla araştırma yapılmıştır: İki farklı T. aynı işleve ayrılabilir mi? farklı bir formülasyonda: eğer T. r. sıfıra yakınsar, serinin tüm katsayılarının sıfıra eşit olduğu sonucu mu çıkar? Burada tüm noktalarda veya belirli bir kümenin dışındaki tüm noktalarda yakınsama anlamına gelebilir. Bu soruların cevabı, esasen, dışında yakınsamanın varsayılmadığı kümenin özelliklerine bağlıdır.
Aşağıdaki terminoloji oluşturulmuştur. Birçok isim. benzersizlik seti veya U- T. r'nin yakınsamasından ise ayarlayın. belki de kümenin noktaları hariç her yerde sıfıra E, bu serinin tüm katsayılarının sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar. Aksi takdirde Enaz. M-set.
G. Cantor'un (1872) gösterdiği gibi, herhangi bir sonlu U-kümesidir. Bir keyfi de bir U-kümesidir (W. Jung, 1909). Öte yandan, her pozitif ölçü seti bir M-kümesidir.
M-kümelerinin varlığı, bu özelliklerle mükemmel bir kümenin ilk örneğini oluşturan D. E. Men'shov (1916) tarafından kurulmuştur. Bu sonuç, teklik probleminde temel öneme sahiptir. Sıfır ölçülü M-kümelerinin varlığından, hemen hemen her yerde yakınsayan T.R. fonksiyonlarının temsilinde bu serilerin her zaman belirsiz bir şekilde tanımlandığı sonucu çıkar.
Mükemmel kümeler aynı zamanda U kümeleri de olabilir (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Sıfır ölçü setlerinin çok ince özellikleri, benzersizlik probleminde önemli bir rol oynar. Sıfır ölçü setlerinin sınıflandırılmasıyla ilgili genel soru M- ve U-kümeleri (1984) açık kalır. Mükemmel kümeler için bile çözülmez.
Aşağıdaki sorun benzersizlik sorunuyla ilgilidir. Eğer T.r. fonksiyona yakınsar 
o zaman bu serinin / fonksiyonunun Fourier serisi olması gerekip gerekmediği. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877), eğer f Riemann anlamında integrallenebilir ise ve seri f(x)'e her noktada yakınsıyorsa bu soruya olumlu yanıt vermiştir. Sonuçlardan III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912), seri sayılabilir bir noktalar kümesi dışında her yerde yakınsasa ve toplamı sonlu olsa bile cevabın pozitif olduğunu ima eder.
Eğer bir T. p, x 0 noktasında kesinlikle yakınsarsa, o zaman bu dizinin yakınsaklık noktaları ve mutlak yakınsaklık noktaları, x 0 noktasına göre simetrik olarak yerleştirilir.
(P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Buna göre Denjoy - Luzin teoremi T. r.'nin mutlak yakınsamasından. (1) bir dizi pozitif ölçü üzerinde seri yakınsar 
ve sonuç olarak, (1) serisinin herkes için mutlak yakınsaklığı X. Bu özellik, aynı zamanda, ikinci kategorinin kümelerinin yanı sıra belirli sıfır ölçü kümelerinde de bulunur.
Bu anket sadece tek boyutlu T. r. (1). Genel T. p. ile ilgili ayrı sonuçlar vardır. birkaç değişkenden. Burada birçok durumda hala doğal problem ifadeleri bulmak gereklidir.
Aydınlatılmış.: Bari N.K., Trigonometrik seriler, M., 1961; Sigmund A., Trigonometrik seriler, çev. İngilizce'den, cilt 1-2, M., 1965; Luzin N.N., İntegral ve trigonometrik seriler, M.-L., 1951; Riemann B., Works, çev. Almancadan, M.-L., 1948, s. 225-61.
S.A. Telyakovsky.
Matematiksel ansiklopedi. - M.: Sovyet Ansiklopedisi. I.M. Vinogradov. 1977-1985.
Gerçek analizde bir trigonometrik dizinin, çoklu yayın kosinüs ve sinüslerinde bir dizi olduğunu hatırlayın, yani. formun satırı
Biraz tarih. Bu tür serilerin teorisinin ilk dönemi, dizilerin toplamı olarak istenen fonksiyonun arandığı sicim titreşimleri sorunuyla bağlantılı olarak 18. yüzyılın ortalarına atfedilir (14.1). Böyle bir temsilin olasılığı sorusu, matematikçiler arasında birkaç on yıl süren hararetli tartışmalara neden oldu. Fonksiyon kavramının içeriği ile ilgili anlaşmazlıklar. O zaman, fonksiyonlar genellikle analitik atamalarıyla ilişkilendirildi, ancak burada (14.1) grafiği oldukça keyfi bir eğri olan bir fonksiyonun yanında sunulması gerekli hale geldi. Ancak bu anlaşmazlıkların önemi daha büyüktür. Aslında, matematiksel analizin temel olarak önemli birçok fikriyle ilgili soruları gündeme getirdiler.
Ve gelecekte, bu ilk dönemde olduğu gibi, trigonometrik seriler teorisi yeni fikirlerin kaynağı olarak hizmet etti. Örneğin, küme teorisi ve gerçek bir değişkenin fonksiyonları teorisi ortaya çıktı.
Bu sonuç bölümünde, bir kez daha gerçek ve karmaşık analizi birbirine bağlayan, ancak TFCT ile ilgili ders kitaplarında çok az yansıtılan materyali ele alacağız. Analiz sırasında, önceden belirlenmiş bir fonksiyondan yola çıktılar ve onu trigonometrik bir Fourier serisine genişlettiler. Burada ters problemi ele alıyoruz: belirli bir trigonometrik seri için yakınsamasını ve toplamını belirleyin. Bunun için Euler ve Lagrange analitik fonksiyonları başarıyla kullanmışlardır. Görünüşe göre, Euler ilk kez (1744) eşitlikleri elde etti.
Aşağıda Euler'in ayak izlerini takip ediyoruz ve kendimizi sadece serilerin (14.1) özel durumları, yani trigonometrik serilerle sınırlandırıyoruz.
Yorum. Aşağıdaki gerçek esas olarak kullanılacaktır: eğer pozitif katsayılar dizisi bir p monoton olarak sıfıra eğilim gösterir, o zaman bu seriler, formda hiçbir nokta içermeyen herhangi bir kapalı aralıkta düzgün bir şekilde yakınsar. 2lx (gZ'ye).Özellikle (0.2n -) aralığında noktasal yakınsama olacaktır. Bu konuda bkz. çalışma, s. 429-430.
Euler'in (14.4), (14.5) dizisini toplama fikri, z = ikamesini kullanmaktır. e bir güç serisine git
Birim çemberin içinde toplamı açıkça bulunabiliyorsa, problem genellikle reel ve sanal kısımlar ondan ayrılarak çözülür. Euler yöntemini kullanarak (14.4), (14.5) serilerinin yakınsaklığının kontrol edilmesi gerektiğini vurguluyoruz.
Bazı örneklere bakalım. Çoğu durumda geometrik seri faydalı olacaktır.
terim terim farklılaşma veya entegrasyon yoluyla ondan elde edilen serilerin yanı sıra. Örneğin,
Örnek 14.1. Serinin toplamını bulun
Karar. Kosinüslerle benzer bir dizi tanıtıyoruz
Her iki seri de her yerde yakınsamaktadır, çünkü geometrik seri ile majörleştirilmiş 1 + r + r2+.... Varsayalım z = eski, alırız
Burada kesir forma indirgenir
sorunun cevabını nereden alıyoruz:
Yol boyunca eşitliği sağladık (14.2): Örnek 14.2. toplam satır
Karar. Yukarıdaki açıklamaya göre, her iki seri de belirtilen aralıkta yakınsar ve tanımladıkları fonksiyonlar için Fourier serisi olarak hizmet eder. f(x) 9 g(x). Bu fonksiyonlar nelerdir? Soruyu cevaplamak için Euler yöntemine göre katsayılı (14.6) serileri oluşturuyoruz. bir p= -. Katılıyorum-
ama eşitlik (14.7) elde ederiz
Ayrıntıları atlayarak (okuyucu bunları yeniden üretmelidir), logaritma işaretinin altındaki ifadenin şu şekilde gösterilebileceğini belirtiyoruz.
Bu ifadenin modülü - eşittir ve argüman (daha doğrusu, ana değeri
- 2sin-
değer) eşittir Bu nedenle ^ = -ln(2sin
Örnek 14.3. saat -l toplam satır
Karar. Her iki seri de yakınsak olanın hakimiyetinde olduğundan her yerde yakınsar.
ortak üyenin yanında -! . Sıra (14.6)
n(n +1)
direkt olarak
J_ _\_ __1_
/?(/? +1) P /1 + 1
ns bilinen bir miktar verecektir. Temelde, onu formda temsil ediyoruz
eşitlik
Burada parantez içindeki ifade ln(l + z) ve köşeli parantez içindeki ifade ^ ^ + ** ^--. Buradan,
= (1 + -)ln(1 + z). Şimdi buraya konulmalı z = eLX ve önceki örnektekiyle aynı adımları gerçekleştirin. Ayrıntıları atlayarak belirtiyoruz ki Parantezleri açmak ve cevabı yazmak için kalır. Bunu okuyucuya bırakıyoruz. 14. bölüm için görevler Aşağıdaki satırların toplamlarını hesaplayın. 3.1.a) Eğer w=u + iv, o zamanlar ve= -r- -v = -^-^ Dolayısıyla l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d :) 2 (m, v) 9* (0; 0) V* e olduğundan, koordinatların orijini bu çemberden çıkarılmalıdır. R, ton ve= lim v = 0. x-yx>.v->oo a = 1, a = 2. z "=-! + -> z,=-l - onlara w = 2 kere; hiçbir yerde holomorfik değildir; Aziz Aziz "t" değişkenine bağlıdır. Cauchy-Riemann koşulları, bu fonksiyonların da y'den bağımsız olduğunu ima eder. 4.5. Örneğin, Re durumunu düşünün. f(z) = ben(x,y) = const. İle Cauchy-Riemann koşullarını kullanarak, bundan Im/(z) = çıkarsa v(x 9 y) = const. türevin argümanı sıfıra eşittir, o zaman sanal kısmı sıfırdır ve gerçek kısım pozitiftir. Buradan cevabı türet: düz de = -X-1 (X * 0). b) daire z + i=j2. parantez içindeki ifade aynı anlamı aldı, o zaman mantıksızlığa aykırı a . de= 0, -1 x 1 elimizde ve =--e [-1,1]" v = 0. Sınırın ikinci bölümünü - yarım daireyi düşünün z=ABtg. Bu bölümde ifade forma dönüştürülür w=u=-- ,/* -. Arasında. (8.6)'ya göre, istenen integral şuna eşittir:
b). Alt yarım daire denklemi şu şekildedir: z(t) = e“,t e[l, 2n). Formül (8.8) ile, integral şuna eşittir: z = t + ben,te. Cevap: - + - ben. .1 .t+2/r e 2, e 2. Sorunun koşullarından, kökün ana değerinden bahsettiğimiz anlaşılıyor: Vz, yani. Bunlardan ilki hakkında. O zaman integral 8.3. Problemin çözümünde çizim kasıtlı olarak verilmemiştir, ancak okuyucu onu tamamlamalıdır. Verilen iki noktayı birbirine bağlayan düz bir doğru parçasının denklemi kullanılır i, /> e C (a - Başlangıç, b - bitiş): z = (l - /)fl+ /?,/€ . İstenen integrali dörde bölelim: I = I AB + I BC + I CD +1
D.A. segmentte AB sahibiz z- (1 -1)
? 1 +1
/, bu nedenle (8.8)'e göre bu segmentteki integral şuna eşittir: Benzer şekilde ilerlersek, buluruz. Г içeren D alanı ve ns içeren a. /),/]'ye uygulanan integral teoremi ile istenen integral sıfıra eşittir. geometrik seri 1 + q + q2 (|| /(z) = /(-^z) biçiminde temsil edin. Genelliği kaybetmeden, şunu varsayabiliriz: 0 noktasında merkezli fonksiyonun Taylor serisinin yakınsaklık yarıçapı birden büyüktür. Sahibiz: Fonksiyonun değerleri, yakınsama çemberine ait bir sınır noktası olan ayrık bir kümede aynıdır. Teklik teoremi ile /(z) = const. 11.3. İstenen analitik fonksiyonun /(z) olduğunu varsayalım. Değerlerini fonksiyonla karşılaştıralım (z) = z2 sette E, noktalardan oluşan z n = - (n = 2,3,...). Anlamları aynıdır ve bu nedenle E verilen daireye ait bir sınır noktasına sahiptir, ardından verilen dairenin tüm argümanları için benzersizlik teoremi /(z) = z 2 ile. Ancak bu, /(1) = 0 koşuluyla çelişir. Cevap: ns yoktur. 12.2. a). Fonksiyonu formda temsil edin ve parantezleri genişletin. basit kutuplar 1,-1,/. İçlerindeki kalıntıların toplamı -- ve integral eşittir içinde). kutuplar arasında 2 Türkiye(kGZ) integralin, verilen dairenin içinde sadece ikisi bulunur. 0 ve 2 İ ikisi de basit, içlerindeki kalıntılar 1'de eşittir. Cevap: 4z7. 2/r/ ile çarpın. Ayrıntıları atlayarak, cevabı belirtiyoruz: / = -i . 13.2. a). e"=z koyalım, o zaman e"id =dz
, dt= - .
Ho e" - e~" z-z~ x sin / =-=-, intefal forma indirgenecek Burada payda çarpanlara ayrılır (z-z,)(z-z 2), burada z, = 3 - 2 V2 / dairenin içindedir de
, a z,=3 + 2V2 / üstte yer alır. Geriye, formülü (13.2) kullanarak basit z kutbuna göre kalıntıyı bulmak kalır ve b) . Yukarıdaki gibi varsayarsak, e" = z
, intefal'i forma indiriyoruz Subintefal fonksiyonunun üç basit kutbu vardır (hangileri?). Okuyucuyu içlerindeki kalıntıları hesaplamaya bırakarak cevabı belirtiyoruz: ben=
. eşittir 2(^-1- h-dt).
İntegrali / ile parantez içinde belirtin. cos "/ = - (1 + cos2f) eşitliğini uygulayarak / = [- alıntı
. a), b) durumlarına benzeterek bir ikame yapın e2,t
= z, integrali forma indirge burada entegrasyon eğrisi aynı birim çemberdir. Diğer argümanlar a) durumundaki ile aynıdır. Cevap: orijinal, aranan integral /r(2-n/2)'ye eşittir. 13.3. a). Yardımcı karmaşık integrali düşünün /(/?)=f f(z)dz, nerede f(z) = - p-, G (I) - oluşan bir kontur yarım daire y(R): | z |= R> 1, Imz > 0 ve tüm çaplarda (çizim yapın). Bu integrali [-/?,/?] aralığına göre ve y(R). için. Devrenin içinde sadece basit kutuplar bulunur z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (Şek. 186). Kalıntılarına göre şunları buluyoruz: Geriye integralin üzerinde olduğunu doğrulamak kalır. y(R) olarak sıfıra eğilimlidir R. Eşitsizliğinden |g + A|>||i|-|/>|| ve integralin tahmininden z ve y(R) bunu takip ediyor
