Rastgele değişkenlerin toplamının dağılım yoğunluğu. İki rastgele bağımsız değişkenin toplamının dağılımı. Toplam dağıtım için yaklaşımlar

Tanım. Rastgele değişkenler Х 1 , Х 2 , …, Х n herhangi bir x 1, x 2 , …, x n için olaylar bağımsız ise bağımsız olarak adlandırılır

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

Bağımsız rasgele değişkenler için tanımdan doğrudan çıkar. 1, 2, …, X n dağıtım işlevi n-boyutlu rastgele değişken X = 1, 2, …, X n rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonlarının ürününe eşittir 1, 2, …, X n

F(x 1 , x2, …, x n) = F(x 1)F(x2)…F(x n). (1)

Eşitliğin türevini alalım (1) n kez x 1 , x2, …, x n, alırız

p(x 1 , x2, …, x n) = p(x 1)p(x2)…p(x n). (2)

Rastgele değişkenlerin bağımsızlığının başka bir tanımı verilebilir.

Bir rastgele değişkenin dağılım yasası, diğer rastgele değişkenlerin hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse, bu tür rastgele değişkenlere toplamda bağımsız denir.

Örneğin, farklı sürümlerden iki piyango bileti satın alınır. İzin vermek X– ilk biletin kazanç miktarı, Y– ikinci bilet için kazanç miktarı. rastgele değişkenler X ve Y- bağımsız, çünkü bir biletin kazanılması diğerinin dağıtım yasasını etkilemeyecektir. Ancak biletler aynı sayıdaysa, o zaman X ve Y- bağımlı.

İki rastgele değişken, birinin dağılım yasası, diğer değişkenin aldığı olası değerlere bağlı olarak değişmiyorsa bağımsız olarak adlandırılır.

teorem 1(kıvrımlar) veya "2 rastgele değişkenin toplamının yoğunluğuna ilişkin teorem".

İzin vermek X = (1;2) bağımsız bir sürekli iki boyutlu rastgele değişkendir, Y = 1+ 2. Daha sonra dağıtım yoğunluğu

Kanıt. Gösterilebilir ki, eğer öyleyse

nerede X = (X 1 , X 2 , …, X n). O zaman eğer X = (X 1 , X 2), ardından dağıtım işlevi Y = X 1 + X 2 aşağıdaki gibi tanımlanabilir (Şekil 1) –

Tanıma göre fonksiyon, Y = X 1 + X 2 rasgele değişkeninin dağılım yoğunluğudur, yani.

p (t) = kanıtlanacak olan.

İki bağımsız ayrık rastgele değişkenin toplamının olasılık dağılımını bulmak için bir formül türetelim.

Teorem 2.İzin vermek X 1 , X 2 – bağımsız ayrık rastgele değişkenler,

Kanıt. Bir olay hayal edin bir x = {X 1 +X 2 = x) uyumsuz olayların toplamı olarak

bir x = å( X 1 = x i ; X 2 = x– x ben).

Gibi X 1 , X 2 - o zaman bağımsız P(X 1 = x i ; X 2 = x– x ben) = P(X 1 = x ben) P(X 2 = x-x Ben o zaman

P(bir x) = P(å( X 1 = x i ; X 2 = x - x ben)) = å( P(X 1 = x ben) P(X 2 = x-x ben))

Q.E.D.

örnek 1İzin vermek X 1 , X 2 - parametrelerle normal dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenler N(0;1); X 1 , X 2 ~ N(0;1).

Toplamlarının dağılım yoğunluğunu bulalım (şunu gösteriyoruz: X 1 = x, Y = X 1 +X 2)

İntegranın, parametrelerle normal bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğu olduğunu görmek kolaydır. a= , , yani integrali 1'dir.

İşlev p(t) a = 0, s = parametreleriyle normal dağılımın yoğunluğudur. Böylece, (0,1) parametreleriyle bağımsız normal rastgele değişkenlerin toplamı, (0,) parametreleriyle normal bir dağılıma sahiptir, yani. Y = X 1 + X 2 ~ N(0;).

Örnek 2. Poisson dağılımına sahip iki ayrık bağımsız rastgele değişken verilsin, o zaman

nerede k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

Teorem 2'ye göre:

Örnek 3İzin vermek X 1, X 2 - üstel dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenler. yoğunluğunu bulalım Y= X 1 +X 2 .

belirtmek x = x 1. beri X 1, X 2 bağımsız rasgele değişkendir, o zaman “evrişim teoremini” kullanırız

toplamının ( Х ben parametre l) ile üstel bir dağılıma sahipse, o zaman Y= Erlang dağılımı ( n- 1) sipariş. Bu yasa, kuyruk teorisi üzerine yapılan ilk çalışmalarda telefon santrallerinin işleyişinin modellenmesiyle elde edilmiştir.

Matematiksel istatistiklerde, dağıtım yasaları genellikle bağımsız normal rastgele değişkenlerin fonksiyonları olan rastgele değişkenler için kullanılır. Rastgele fenomenleri modellemede en sık karşılaşılan üç yasayı ele alalım.

Teorem 3. Rastgele değişkenler bağımsız ise X 1, ..., X n, o zaman bu rastgele değişkenlerin fonksiyonları da bağımsızdır Y 1 = f 1 (X 1), ...,Yn = fn(X n).

Pearson dağılımı(2'den -dağıtım). İzin vermek X 1, ..., X n parametrelere sahip bağımsız normal rastgele değişkenlerdir a= 0, s = 1. Rastgele bir değişken oluşturun

Böylece,

x > 0 için yoğunluğun, k n'nin karşılanması gereken koşul için bir katsayı olduğu forma sahip olduğu gösterilebilir. n ® ¥ olarak Pearson dağılımı normal dağılıma eğilimlidir.

Х 1 , Х 2 , …, Хn ~ N(a,s), sonra rastgele değişkenler ~ N(0,1) olsun. Bu nedenle, rastgele değişken, n serbestlik derecesine sahip bir c 2 dağılımına sahiptir.

Pearson dağılımı tablo haline getirilir ve matematiksel istatistiklerin çeşitli uygulamalarında kullanılır (örneğin, dağıtım yasasının tutarlı olduğu hipotezini test ederken).

Karar verici, belirli türdeki rastgele olayların olumsuz mali etkisini azaltmak için sigortayı kullanabilir.

Ancak bu tartışma çok geneldir, çünkü bir karar verici hem mülke, tasarrufa veya gelire verilen zarardan korunma arayan bir birey hem de aynı tür zararlardan korunma arayan bir kuruluş anlamına gelebilir.

Aslında böyle bir kuruluş, bireysel bir müşterisi veya sigorta portföyü ile meydana gelen çok fazla sigortalı olay nedeniyle kendini finansal kayıplardan korumanın yollarını arayan bir sigorta şirketi olabilir. Bu korumaya denir reasürans.

İki modelden birini düşünün (yani bireysel risk modeli) sigorta oranlarının ve rezervlerin belirlenmesinde ve ayrıca reasüransta yaygın olarak kullanılır.

ile belirtmek S risklerinin bir kısmı için sigorta şirketinin kazara kayıplarının miktarı. Bu durumda S olasılık dağılımını belirlememiz gereken rastgele bir değişkendir. Tarihsel olarak, r.v. S iki set postulat vardı. Bireysel risk modeli şunları tanımlar: S Aşağıdaki şekilde:

nerede r.v. numarası ile sigorta nesnesinin neden olduğu kayıplar anlamına gelir. ben, a n sigorta nesnelerinin toplam sayısını belirtir.

Genellikle bağımsız rastgele değişkenler oldukları varsayılır, çünkü bu durumda matematiksel hesaplamalar daha basittir ve aralarındaki ilişkinin doğası hakkında bilgi gerekli değildir. İkinci model, toplu risk modelidir.

Dikkate alınan bireysel risk modeli, zaman içinde paranın değerindeki değişiklikleri yansıtmaz. Bu, modeli basitleştirmek için yapılır, bu nedenle makalenin başlığı kısa bir zaman aralığına atıfta bulunur.

Sadece kapalı modelleri ele alacağız, yani. sigorta sayısının nesneleri olanlar n formül (1.1)'de bilinir ve dikkate alınan zaman aralığının en başında sabitlenir. Sigorta sisteminden veya sistemine göçün varlığına ilişkin varsayımları devreye sokarsak, açık bir model elde ederiz.

Bireysel ödemeleri açıklayan rastgele değişkenler

Öncelikle hayat sigortası ile ilgili ana hükümleri hatırlayalım.

Bir yıl süreyle vefat sigortası yaptırılması halinde, sigortacı bu tutarı ödemeyi taahhüt eder. b, sigortalının sigorta sözleşmesinin yapıldığı tarihten itibaren bir yıl içinde vefat etmesi ve bu yıl yaşaması halinde herhangi bir ödeme yapmamasıdır.

Belirtilen yıl içinde sigortalı bir olayın meydana gelme olasılığı ile gösterilir.

Sigorta ödemelerini tanımlayan rastgele değişken, olasılık fonksiyonu ile belirlenebilen bir dağılıma sahiptir.

(2.1)

veya ilgili dağıtım işlevi

(2.2)

(2.1) formülünden ve momentlerin tanımından şunu elde ederiz:

(2.4)

Bu formüller ayrıca yazılarak da elde edilebilir. X gibi

burada ölüm durumunda ödenen sabit bir değerdir ve ölüm durumunda 1, aksi halde 0 değerini alan rastgele bir değişkendir.

Böylece ve , ve r.v.'nin ortalama değeri ve varyansı. eşittir ve sırasıyla ve r.v'nin ortalama değeri ve varyansı. yukarıdaki formüllerle örtüşen ve eşittir.

Aktüeryal modellerde yaygın olarak (0,1) aralığı olan bir rastgele değişken kullanılmaktadır.

Olasılık teorisi ile ilgili ders kitaplarında buna denir. gösterge, Bernoulli rastgele değer veya binom rastgele değişken tek test tasarımında.

onu arayacağız gösterge kısalık nedenleriyle ve ayrıca söz konusu olayın başlangıcını veya başlangıcını belirtmediği için.

Sigorta ödemesinin değerinin de rastgele bir değişken olduğu ve dikkate alınan zaman aralığında birkaç sigorta olayının meydana gelebileceği daha genel modeller arayışına dönelim.

Sağlık sigortası, otomobil ve diğer mülk sigortası ve sorumluluk sigortası hemen birçok örnek sunar. Formülü (2.5) genelleştirerek, belirledik

dikkate alınan zaman aralığında sigorta ödemelerini tanımlayan rastgele bir değişken nerede, r.v. bu aralıktaki toplam ödeme tutarını belirtir ve r.v. en az bir sigortalı olayın meydana geldiğinin bir göstergesidir.

Böyle bir olayın göstergesi olan r.v. varlığı düzeltir () veya eksikliği () bu zaman aralığında sigortalı olaylar, ancak sigortalı olay sayısı değil.

Olasılık ile gösterilmeye devam edilecektir.

Birkaç örneği tartışalım ve bazı modellerde rastgele değişkenlerin dağılımını belirleyelim.

İlk önce bir yıllık ölüm sigortasını ele alalım, ölüm kaza ise ek bir fayda ile.

Kesinlik için, varsayalım ki, ölüm bir kaza sonucu meydana geldiyse, ödeme tutarı 50.000, ölüm başka nedenlere bağlıysa, ödeme tutarı 25.000 olacaktır.

Belirli bir yaş, sağlık durumu ve meslekteki bir kişinin yıl içinde bir kaza sonucu ölme olasılığı 0,0005, başka sebeplerden ölme olasılığı 0,0020 olduğunu varsayalım. Formül formunda şöyle görünür:

Tüm olası değerleri toplayarak, elde ederiz

,

Koşullu dağılım c. içinde. koşul forma sahiptir

Şimdi, koşulsuz muafiyetli 250 ve azami 2000 ödemeli araba çarpışma sigortasını (arabanın hasar görmesi için araba sahibine ödenen tazminat) ele alalım.

Açıklık sağlamak için, bir birey için dikkate alınan zaman diliminde sigortalı bir olayın meydana gelme olasılığının 0.15 olduğunu ve birden fazla çarpışmanın meydana gelme olasılığının sıfıra eşit olduğunu varsayıyoruz:

, .

r.v. dağılımını basitleştirmek için, bir dönemde birden fazla sigortalı olayın gerçekleşemeyeceğine dair gerçekçi olmayan varsayım yapılmıştır. .

Birkaç sigorta tazminatının toplamının dağılımını inceledikten sonra bu varsayımı bir sonraki bölümde bırakacağız.

Arabaya verilen hasarın değil, sigortacının ödemelerinin değeri olduğundan, iki özelliği dikkate alabiliriz ve.

İlk olarak, olay, hasarın koşulsuz indirilebilir olan 250'den daha az olduğu çarpışmaları içerir.

İkincisi, r.v.'nin dağılımı. 2000'e eşit olan maksimum sigorta ödemesi tutarı noktasında olasılık kütlesinin bir "pıhtısına" sahip olacaktır.

Bu noktada yoğunlaşan olasılıksal kütlenin 0.1 olduğunu varsayın. Ayrıca, 0 ile 2000 aralığındaki sigorta ödemelerinin değerinin, yoğunluk fonksiyonu ile orantılı bir sürekli dağılımla modellenebileceğini varsayalım. (Uygulamada, prim dağılımını temsil etmek için seçilen sürekli eğri, önceki dönemdeki prim çalışmalarının sonucudur.)

r.v.'nin koşullu dağılımı hakkındaki bu varsayımları özetlemek. koşul altında, 0 ila 2000 aralığında pozitif bir yoğunluğa ve 2000 noktasında olasılıksal kütlenin bir miktar "pıhtısına" sahip olan karma tip bir dağılıma ulaşırız. Bu, Şekil 2'deki grafikte gösterilmiştir. 2.2.1.

Bu koşullu dağılımın dağıtım işlevi şöyle görünür:

Şekil 2.1. r.v.'nin dağıtım fonksiyonu B koşulu altında I = 1

Ele alınan örnekteki matematiksel beklenti ve varyansı kasko ile iki şekilde hesaplıyoruz.

İlk önce, r.v.'nin dağılımını yazıyoruz. ve hesaplamak için kullanın ve . R.v.'nin dağıtım fonksiyonu aracılığıyla ifade edilmesi. , sahibiz

İçin x<0

Bu karma bir dağıtımdır. Şekilde gösterildiği gibi. 2.2'ye göre, hem kesikli (2000 noktasında olasılıksal kütlenin "kümesi") hem de sürekli bir parçası vardır. Böyle bir dağılım fonksiyonu, olasılık fonksiyonunun bir kombinasyonuna karşılık gelir.

Pirinç. 2.2. r.v.'nin dağıtım fonksiyonu X=IB

ve yoğunluk fonksiyonları

Özellikle ve . Böyle .

Rastgele değişkenlerin anlarını koşullu matematiksel beklentilerle ilişkilendiren bir dizi formül vardır. Matematiksel beklenti ve varyans için bu formüller şu şekildedir:

(2.10)

(2.11)

Bu eşitliklerin sol taraflarındaki ifadelerin doğrudan r.v. dağılımından hesaplandığı varsayılmaktadır. . Sağ taraftaki ifadeler hesaplanırken, yani ve , r.v.'nin koşullu dağılımı kullanılır. sabit bir r.v. değerinde .

Dolayısıyla bu ifadeler, r.v.'nin işlevleridir. ve r.v dağılımını kullanarak anlarını hesaplayabiliriz. .

Birçok aktüeryal modelde koşullu dağılımlar kullanılmaktadır ve bu da yukarıdaki formüllerin doğrudan uygulanmasına olanak sağlamaktadır. Bizim modelimizde. R.v. olarak ve r.v. olarak, alırız

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

ve koşullu matematiksel beklentileri göz önünde bulundurun

(2.16)

(2.17)

Formüller (2.16) ve (2.17), r.v.'nin bir fonksiyonu olarak tanımlanır. , aşağıdaki formül olarak yazılabilir:

'den beri, o zaman (2.21)

Çünkü sahip olduğumuz ve (2.22)

(2.21) ve (2.22) formülleri birleştirilebilir: (2.23)

Böylece, (2.24)

(2.21), (2.20) ve (2.24)'ü (2.12) ve (2.13)'e koyarsak,

Hesaplama için ve bir otomobil sigortası örneğinde alınan formülleri uygulayalım (şek. 2.2). r.v.'nin yoğunluk fonksiyonundan beri. Koşulda formül ile ifade edilir

ve P(B=2000|I=1)= 0.1, elimizde

Son olarak, varsayarsak q= 0.15, (2.25) ve (2.26) formüllerinden aşağıdaki eşitlikleri elde ederiz:

Başka bir sigorta durumunu açıklamak için, r.v. için başka modeller sunabiliriz. .

Örnek: havacılık kazalarından kaynaklanan ölüm sayısı modeli

Örnek olarak, bir havayolu işletmesinin bir yıllık periyodunda havacılık kazalarından kaynaklanan ölümlerin sayısı için bir model düşünün.

Bir uçuş için ölüm sayısını tanımlayan rastgele bir değişkenle başlayabilir ve ardından bu rastgele değişkenleri bir yıldaki tüm uçuşlar üzerinden toplayabiliriz.

Bir uçuş için, olay bir hava kazasının başlangıcını gösterecektir. Bu felaketin neden olduğu ölümlerin sayısı, iki rastgele değişkenin çarpımı ile temsil edilecektir ve , uçak yük faktörü, yani kaza anında uçaktaki insan sayısı nerededir ve uçaktaki insanlar arasındaki ölümlerin oranıdır. yazı tahtası.

Ölüm sayısı bu şekilde sunulmuştur, çünkü ayrı istatistikler r.v. için istatistiklerden daha erişilebilirdir. . Bu nedenle, gemideki kişiler arasındaki ölüm oranı ile gemideki kişi sayısı muhtemelen ilişkili olsa da, ilk tahmin olarak r.v. ve bağımsız.

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamları

Bireysel risk modelinde, bir sigorta şirketinin yaptığı sigorta ödemeleri, birçok kişiye yapılan ödemelerin toplamı olarak sunulmaktadır.

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının dağılımını belirlemek için iki yöntemi hatırlayın. İlk önce, örnek uzayı Şekil 1'de gösterilen iki rastgele değişkenin toplamını düşünün. 3.1.

Pirinç. 2.3.1. Etkinlik

Çizgi ve bu çizginin altındaki alan bir olayı temsil eder. Bu nedenle, r.v.'nin dağıtım fonksiyonu. S(3.1) formuna sahiptir

Negatif olmayan iki ayrık rastgele değişken için toplam olasılık formülünü kullanabilir ve (3.1)'i şu şekilde yazabiliriz:

Eğer bir X ve Y bağımsızdır, son toplam olarak yeniden yazılabilir

(3.3)

Bu dağılım fonksiyonuna karşılık gelen olasılık fonksiyonu formül ile bulunabilir.

(3.4)

Sürekli negatif olmayan rastgele değişkenler için, formül (3.2), (3.3) ve (3.4)'e karşılık gelen formüller şu şekildedir:

Rastgele değişkenlerden biri veya ikisi birden X ve Y(bireysel risk modelleri için tipik olan) karma bir dağılıma sahipse, formüller benzerdir, ancak daha hantaldır. Negatif değerler de alabilen rastgele değişkenler için yukarıdaki formüllerdeki toplamlar ve integraller y'nin tüm değerleri üzerinden alınır.

Olasılık teorisinde, formül (3.3) ve (3.6)'daki işleme iki dağılım fonksiyonunun evrişimi denir ve ile gösterilir. Evrişim işlemi, formüller (3.4) ve (3.7) kullanılarak bir çift olasılık veya yoğunluk fonksiyonu için de tanımlanabilir.

İkiden fazla rastgele değişkenin toplamının dağılımını belirlemek için evrişim sürecinin yinelemelerini kullanabiliriz. İçin , burada bağımsız rastgele değişkenler, r.v.'nin dağıtım fonksiyonunu belirtir ve r.v.'nin dağıtım fonksiyonudur. , alacağız

Örnek 3.1, bu prosedürü üç ayrı rastgele değişken için göstermektedir.

Örnek 3.1. Rastgele değişkenler ve bağımsızdır ve aşağıdaki tablonun (1), (2) ve (3) sütunlarında tanımlanan dağılımlara sahiptir.

r.v'nin olasılık fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu yazalım.

Karar. Tablo, örnekten önce tanıtılan gösterimi kullanır:

Sütunlar (1)-(3) mevcut bilgileri içerir.

Sütun (4), (3.4) kullanılarak sütun (1) ve (2)'den elde edilir.

Sütun (5), (3.4) kullanılarak sütun (3) ve (4)'ten elde edilir.

Sütun (5)'in tanımı, r.v. için olasılık fonksiyonunun belirlenmesini tamamlar. . Sütun (8)'deki dağılım fonksiyonu, sütun (5)'in yukarıdan başlayarak kısmi toplamlarının kümesidir.

Anlaşılır olması için, sütun (6), sütun (1), sütun (7) için dağılım fonksiyonunu ekledik ve bu fonksiyon (2.3.3) kullanılarak doğrudan sütun (1) ve (6)'dan ve sütun (8)'den elde edilebilir. ) sütun (3) ve (7) için benzer şekilde belirlenir. Sütun (5), sütun (8)'den ardışık çıkarma ile belirlenebilir.

Sürekli rasgele değişkenlerle iki örneğin değerlendirmesine dönelim.

Örnek 3.2. hadi r.v. (0,2) aralığında düzgün bir dağılıma sahiptir ve r.v. r.v.'ye bağlı değildir. ve (0,3) aralığında düzgün bir dağılıma sahiptir. rv'nin dağıtım fonksiyonunu tanımlayalım.

Karar. r.v.'nin dağıtımlarından beri. ve sürekli, formül (3.6) kullanıyoruz:

Sonra

r.v.'nin örnek uzayı ve Şekil 'de gösterilmektedir. 3.2. Dikdörtgen alan, çiftin tüm olası değerlerini içerir ve . Bizi ilgilendiren olay, , beş değer için şekilde gösterilmiştir. s.

Her değer için çizgi ekseni keser Y noktada s ve bir noktada bir çizgi. Bu beş durum için fonksiyon değerleri aşağıdaki formülle açıklanmıştır:

Pirinç. 3.2. İki düzgün dağılımın evrişimi

Örnek 3.3.Üç bağımsız r.v. düşünelim. . rv için üstel bir dağılıma sahiptir ve . r.v.'nin yoğunluk fonksiyonunu bulalım. evrişim işlemini uygulayarak.

Karar. Sahibiz

(3.7) formülünü üç kez kullanarak,

Bağımsız rasgele değişkenlerin toplamının dağılımını belirlemek için başka bir yöntem, moment üreten fonksiyonun benzersizliğine dayanır; r.v. oran tarafından belirlenir .

Bu matematiksel beklenti herkes için sonlu ise t orijini içeren bir açık aralıktan, o zaman r.v.'nin dağıtım momentlerinin tek üretici işlevidir. r.v.'nin dağıtım momentlerinin üretici işlevi olacak olan dışında başka bir işlev olmadığı anlamında. .

Bu benzersizlik şu şekilde kullanılabilir: toplam için

Bağımsızlarsa, formül (3.8)'deki ürünün beklentisi eşittir. ..., böyle

Momentlerin (3.9) üretme fonksiyonuna karşılık gelen tek dağılım için açık bir ifade bulmak, r.v. dağılımının bulunmasını tamamlayacaktır. . Açıkça belirtmek mümkün değilse, sayısal yöntemlerle aranabilir.

Örnek 3.4. Örnek 3.3'teki rastgele değişkenleri düşünün. r.v.'nin yoğunluk fonksiyonunu tanımlayalım. , r.v.'nin momentlerinin üretim fonksiyonunu kullanarak. .

Karar. Eşitliğe göre (3.9), olarak yazılabilir basit kesirlere ayırma yöntemini kullanarak. Çözüm şudur . Ancak parametre ile üstel dağılımın momentlerinin üretici fonksiyonudur, öyle ki r.v.'nin yoğunluk fonksiyonu. forma sahip

Örnek 3.5. Rastgele süreçlerin çalışmasında, ters Gauss dağılımı tanıtıldı. r.v. dağılımı olarak kullanılır. AT, sigorta ödemelerinin tutarı. Ters Gauss dağılımının momentlerinin yoğunluk fonksiyonu ve üretici fonksiyonu formüllerle verilmiştir.

r.v dağılımını bulalım. , nerede r.v. bağımsızdır ve aynı ters Gauss dağılımlarına sahiptir.

Karar.(3.9) formülünü kullanarak, r.v. momentlerinin üretme fonksiyonu için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz. :

Momentlerin üretici fonksiyonu benzersiz bir dağılıma karşılık gelir ve parametreleri ile ters bir Gauss dağılımına sahip olduğu görülebilir.

Toplam dağıtım için yaklaşımlar

Merkezi limit teoremi, bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının dağılımı için sayısal değerleri bulmak için bir yöntem verir. Genellikle bu teorem, bağımsız ve aynı şekilde dağılmış rastgele değişkenlerin toplamı için formüle edilir, burada .

Herhangi bir n için, r.v.'nin dağılımı. nerede = , matematiksel beklenti 0 ve varyans 1'e sahiptir. Bilindiği gibi, bu tür dağılımların sırası (için n= 1, 2, ...) standart normal dağılıma eğilimlidir. Ne zaman n büyükse, bu teorem, r.v. dağılımını tahmin etmek için uygulanır. ortalama ile normal dağılım μ ve dispersiyon. Benzer şekilde, toplamın dağılımı n rasgele değişkenler, ortalama ve varyanslı normal bir dağılımla yaklaştırılır.

Böyle bir yaklaşımın etkinliği sadece terim sayısına değil, aynı zamanda terim dağılımının normale yakınlığına da bağlıdır. Birçok temel istatistik dersi, yaklaşımın makul olması için n'nin en az 30 olması gerektiğini belirtir.

Bununla birlikte, simülasyon modellemede kullanılan normal dağılımlı rastgele değişkenler üretmeye yönelik programlardan biri, normal bir rastgele değişkeni, (0,1) aralığına eşit olarak dağıtılmış 12 bağımsız rastgele değişkenin ortalaması olarak uygular.

Birçok bireysel risk modelinde, toplamlara dahil edilen rastgele değişkenler eşit olarak dağıtılmaz. Bu, bir sonraki bölümde örneklerle açıklanacaktır.

Merkezi limit teoremi, eşit olmayan şekilde dağıtılmış rastgele değişkenlerin dizilerine de uzanır.

Bireysel risk modelinin bazı uygulamalarını göstermek için, sayısal çözümler elde etmek için bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının dağılımının normal bir yaklaşımını kullanacağız. Eğer bir , o zamanlar

ve dahası, eğer r.v. bağımsız, daha sonra

Söz konusu uygulama için yalnızca şunlara ihtiyacımız var:

• bireysel kayıpları simüle eden rastgele değişkenlerin ortalamalarını ve varyanslarını bulmak,
• bir bütün olarak sigorta şirketinin zararlarının ortalamasını ve varyansını elde etmek için bunları toplayın,
• normal yaklaşımı kullanın.

Aşağıda bu eylem dizisini gösteriyoruz.

Sigorta başvuruları

Bu bölüm, dört örnekle normal yaklaşımın kullanımını göstermektedir.

Örnek 5.1. Bir hayat sigortası şirketi, ölüm olasılığı 0,02 veya 0,01 olan kişilere 1 ve 2 birim ödemeli bir yıllık ölüm sigortası sözleşmesi sunmaktadır. Aşağıdaki tablo kişi sayısını göstermektedir. nködemeye göre oluşturulan dört sınıfın her birinde bk ve sigortalı bir olayın olasılığı qk:

k	q k	bk	nk
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

Sigorta şirketi 1800 kişilik bu gruptan, bu grup için toplam sigorta ödemelerinin dağılımının 95. yüzdelik dilimine eşit bir meblağ tahsil etmek istemektedir. Ayrıca, her bir kişinin bu miktardaki payının, kişinin beklenen sigorta ödemesiyle orantılı olmasını istiyor.

Ortalama ödemesi eşit olan kişinin sayıya düşen payı olmalıdır. 95. yüzdelik şartından çıkar ki . Fazla değer, , risk primidir ve nispi risk primi olarak adlandırılır. Hesaplayalım.

Karar. Değer oran tarafından belirlenir = 0.95, burada S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 . Bu olasılık ifadesi aşağıdakine eşdeğerdir:

Sec'deki merkezi limit teoremi hakkında söylenenlere göre. 4, r.v. dağılımını yaklaşık olarak hesaplıyoruz. standart normal dağılım ve elde ettiğimiz 95. yüzdelik dilimini kullanın:

Poliçe sahiplerinin bölündüğü dört sınıf için aşağıdaki sonuçları elde ederiz:

k	q k	bk	Ortalama b k q k	Varyans b 2 k q k (1-q k)	nk
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

Böylece,

Bu nedenle, göreceli risk primi

Örnek 5.2. Bir araba sigortası şirketinin müşterileri iki sınıfa ayrılır:

Sınıf	sınıftaki numara	Oluşma olasılığı sigortalı olay	Sigorta ödemelerinin dağıtımı, kesilmiş üstel parametreler dağıtım
k				L
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

Kesilmiş üstel dağılım, dağıtım işlevi tarafından tanımlanır

Bu, yoğunluk işlevine sahip karma tip bir dağılımdır. ve bir noktada olasılıksal kütlenin bir "kümesi" L. Bu dağılım fonksiyonunun grafiği Şekil 5.1'de gösterilmiştir.

Pirinç. 5.1. Kesilmiş üstel dağılım

Daha önce olduğu gibi, sigorta ödemelerinin toplam tutarının sigortalılardan tahsil edilen tutarı aşma olasılığı 0,05'e eşit olmalıdır. Göreceli risk priminin, söz konusu iki sınıfın her birinde aynı olması gerektiğini varsayacağız. Hesaplayalım.

Karar. Bu örnek öncekine çok benzer. Tek fark, sigorta ödemelerinin değerlerinin artık rastgele değişkenler olmasıdır.

İlk olarak, kesik üstel dağılımın anları için ifadeler elde edeceğiz. Bu, (2.25) ve (2.26) formüllerini uygulamak için bir hazırlık adımı olacaktır:

Koşulda verilen parametre değerlerini kullanarak ve (2.25) ve (2.26) formüllerini uygulayarak aşağıdaki sonuçları elde ederiz:

k	q k	µk	2k	Ortalama q k μ k	Dağılım μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	nk
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

Böyle, S, sigorta ödemelerinin toplam tutarı, anları vardır

Tanımın koşulu, Örnek 5.1'deki ile aynı kalır, yani,

Normal dağılım yaklaşımını tekrar kullanarak,

Örnek 5.3. Sigorta şirketinin portföyü, aşağıdaki tabloya göre bir yıl süreyle 16.000 ölüm sigortası sözleşmesi içermektedir:

16.000 müşterinin her biri için sigortalı bir olayın q olasılığı (bu olayların karşılıklı olarak bağımsız olduğu varsayılır) 0,02'dir. Şirket kendi tutma oranını belirlemek istiyor. Her bir poliçe sahibi için, kendi alıkoyma düzeyi, bu şirketin (temsil eden şirketin) bağımsız olarak ödeme yaptığı değerin altındaki değerdir ve bu değeri aşan ödemeler başka bir şirket (reasürör) tarafından reasürans sözleşmesi kapsamında karşılanır.

Örneğin, kendi alıkoyma oranı 200.000 ise, şirket her sigortalı için 20.000'e kadar teminat ayırır ve sigorta primi 20.000'i aşan 4.500 sigortalının her biri için prim ile 20.000 arasındaki farkı kapatmak için reasürans satın alır.

Şirket, karar kriteri olarak, kendi kesintisiyle kalan sigorta tazminatlarının artı reasürans için ödenen tutarın 8.250.000'i aşma olasılığının en aza indirilmesini seçmektedir. birim başına sigorta ödemelerinin değeri 0.02).

Söz konusu portföyün kapalı olduğuna inanıyoruz: Cari yıl içinde girilen yeni sigorta sözleşmeleri açıklanan karar verme sürecinde dikkate alınmayacaktır.

Kısmi çözüm. Önce ödeme birimi olarak 10.000'i seçerek tüm hesaplamaları yapalım.Bir örnek olarak, c'yi varsayalım. içinde. S kendi kesintisine bırakılan ödemelerin miktarıdır, aşağıdaki forma sahiptir:

Kendi kesintinize bırakılan bu sigorta ödemelerine S, reasürans prim tutarı eklenir. Toplamda, bu şemaya göre toplam teminat miktarı

Kendi kesintisinde kalan miktar eşittir

Böylece toplam reasürans değeri 35.000-24.000=11.000 ve reasürans bedeli

Dolayısıyla, 2'ye eşit kendi alıkoyma düzeyinde, kendi alıkoymada kalan sigorta ödemeleri artı reasürans maliyetidir. Karar kriteri, bu toplamın 825'i geçme olasılığına dayanmaktadır,

Normal dağılımı kullanarak, bu değerin yaklaşık olarak 0,0062'ye eşit olduğunu elde ederiz.

Reasürans türlerinden biri olan hasar fazlası sigortası durumunda sigorta ödemelerinin ortalama değerleri, toplam sigorta ödemelerinin dağılımı olarak normal dağılım kullanılarak yaklaşık olarak hesaplanabilir.

Toplam sigorta ödemeleri X'in ortalama ve varyans ile normal bir dağılıma sahip olmasına izin verin.

Örnek 5.4.Örnek 5.3'teki gibi bir sigorta portföyünü ele alalım. Sigorta sözleşmesi kapsamındaki sigorta ödemelerinin tutarının kârsızlık fazlası için matematiksel beklentisini, eğer varsa, bulalım.

(a) Bireysel reasürans yoktur ve koşulsuz muafiyet 7.500.000 olarak belirlenmiştir

(b) Bireysel sigorta sözleşmelerinde 20.000'lik bir şahsi stopaj kurulmuş ve portföy için koşulsuz indirilebilir tutar 5.300.000'dir.

Karar.

(a) Bireysel reasürans yokluğunda ve para birimi olarak 10.000'e geçişte

(5.2) formülü uygulamak verir

bu, orijinal birimlerde 43.770'in toplamıdır.

(b) Ek 5.3'te, 10.000'i bir birim olarak kullanarak, 20.000'den düşülebilir bir birey için toplam primlerin ortalamasını ve varyansını sırasıyla 480 ve 784 olarak alıyoruz. Böylece, =28.

(5.2) formülü uygulamak verir

orijinal birimlerde 4140 toplamıdır.

Uygulamada, genellikle rastgele değişkenlerin toplamı için dağılım yasasını bulmak gerekli hale gelir.

Bir sistem olsun (XbX2) iki sürekli s içinde. ve bunların toplamı

c dağılım yoğunluğunu bulalım. içinde. U. Bir önceki paragrafın genel çözümüne göre, düzlemin bulunduğu bölgeyi buluyoruz. x + x 2 (Şekil 9.4.1):

Bu ifadeyi y'ye göre farklılaştırarak bir ap elde ederiz. rastgele değişken Y \u003d X + X 2:

φ (x b x 2) = Xj + x 2 işlevi argümanlarına göre simetrik olduğundan, o zaman

Eğer ile. içinde. X ve X 2 bağımsızdır, bu durumda formüller (9.4.2) ve (9.4.3) şu şekli alır:

Bağımsız olduğu durumda c. içinde. x x ve 2, dağıtım yasalarının bileşimi hakkında konuşun. Üretmek kompozisyon iki dağıtım yasası - bu, iki bağımsız c'nin toplamı için dağıtım yasasını bulmak anlamına gelir. c., bu yasalara göre dağıtılır. Sembolik gösterim, dağıtım yasalarının bileşimini belirtmek için kullanılır.

esasen formül (9.4.4) veya (9.4.5) ile gösterilir.

Örnek 1. İki teknik cihazın (TD) çalışması ele alınmıştır. İlk olarak, TU, arızası (arızası) TU 2'nin çalışmasına dahil edildikten sonra çalışır. Çalışma süresi TU TU TU 2 - x x ve X 2 - bağımsızdır ve A,1 parametreleriyle üstel yasalara göre dağıtılır ve 2 . Bu nedenle, zaman Y TU'dan oluşan TU'nun sorunsuz çalışması! ve TU 2 formül tarafından belirlenecektir

Bir p.r. bulmak için gereklidir. rastgele değişken Y, yani, parametrelerle iki üstel yasanın bileşimi ve 2 .

Karar. Formül (9.4.4) ile (y > 0) elde ederiz

Aynı parametrelere sahip iki üstel yasanın bir bileşimi varsa (?c = X 2 = Y), daha sonra (9.4.8) ifadesinde 0/0 tipinde bir belirsizlik elde edilir, genişler ve şunu elde ederiz:

Bu ifadeyi (6.4.8) ifadesiyle karşılaştırdığımızda, iki özdeş üstel yasanın bileşiminin (?c = X 2 = x) ikinci dereceden Erlang yasasıdır (9.4.9). Farklı parametrelerle iki üstel yasa oluştururken x x ve A-2 olsun ikinci dereceden genelleştirilmiş Erlang yasası (9.4.8). ?

Problem 1. İki s farkının dağılım yasası. içinde. ile sistem. içinde. (X ve X 2) ortak r.p./(x x x 2) vardır. Bir p.r. bul onların farklılıkları Y=X - 2 .

Karar. ile sistem için içinde. (X b - X 2) vb. / (x b - olacak x 2), yani farkı toplamla değiştirdik. Bu nedenle, a.r. rasgele değişken U şu şekilde olacaktır (bkz. (9.4.2), (9.4.3)):

Eğer bir ile. içinde. X x iX 2 bağımsız, daha sonra

Örnek 2. Bir f.r. bulun. iki bağımsız üstel dağılmış s'nin farkı. içinde. parametrelerle x x ve 2 .

Karar. (9.4.11) formülüne göre şunu elde ederiz:

Pirinç. 9.4.2 Pirinç. 9.4.3

Şekil 9.4.2 bir p'yi gösterir. g(y). İki bağımsız üstel olarak dağıtılmış s'nin farkını düşünürsek. içinde. aynı ayarlarla (A-i= X 2 = ANCAK,), o zamanlar g(y) \u003d / 2 - zaten tanıdık

Laplace yasası (Şekil 9.4.3). ?

Örnek 3. İki bağımsız c'nin toplamı için dağılım yasasını bulun. içinde. X ve 2, parametrelerle Poisson yasasına göre dağıtılır bir x ve 2 .

Karar. Bir olayın olasılığını bulun (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Bu nedenle, sn. içinde. Y=Xx + X 2 parametresi ile Poisson yasasına göre dağıtılır bir x2) - bir x + bir 2. ?

Örnek 4. İki bağımsız c'nin toplamı için dağılım yasasını bulun. içinde. x x ve 2, parametrelerle binom yasalarına göre dağıtılmış p x ri p 2 , p sırasıyla.

Karar. ile hayal edin. içinde. x x gibi:

nerede X 1) - olay göstergesi ANCAK wu "deneyimi:

İle dağıtım aralığı. içinde. X,- formuna sahiptir

s için benzer bir gösterim yapacağız. içinde. X 2: nerede X] 2) - olay göstergesi ANCAK y"-inci deneyimde:

Buradan,

X nerede? 1)+(2) olay göstergesi ise ANCAK:

Böylece gösterdik ki içinde. Kayınpeder miktarı (u + n 2) olay göstergeleri ANCAK, buradan s. içinde. ^parametrelerle binom yasasına göre dağıtılır ( nx + n 2), s.

Dikkat edin, eğer olasılıklar R farklı deney serilerinde farklıdır, daha sonra iki bağımsız s eklenmesi sonucunda. c., binom yasalarına göre dağıtılmış, c çıkıyor. c., binom yasasına göre dağıtılmamış. ?

Örnek 3 ve 4, keyfi sayıda terime kolayca genelleştirilebilir. Poisson yasalarını parametrelerle oluştururken bir b bir 2 , ..., bir t Poisson yasası yine parametre ile elde edilir. bir (t) \u003d bir x + bir 2 + ... + ve t.

Parametrelerle binom yasaları oluştururken (n r); (ben 2 , R) , (n t, p) yine parametrelerle (“(“), binom yasasını elde ederiz. R), nerede n (t) \u003d u + n 2 + ... + vb.

Poisson yasasının ve binom yasasının önemli özelliklerini kanıtladık: "kararlılık özelliği". Dağıtım yasası denir sürdürülebilir, aynı türden iki yasanın bileşimi aynı türden bir yasayla sonuçlanırsa (yalnızca bu yasanın parametreleri farklıdır). Altbölüm 9.7'de normal yasanın aynı kararlılık özelliğine sahip olduğunu göstereceğiz.

TEMA 3
	dağıtım fonksiyonu kavramı
	matematiksel beklenti ve varyans
	düzgün (dikdörtgen) dağılım
	normal (Gauss) dağılım
	Dağıtım
	t- Öğrenci dağılımı
	F- dağıtım
	iki rastgele bağımsız değişkenin toplamının dağılımı
	örnek: iki bağımsız sayının toplamının dağılımı düzgün dağılmış miktarlar
	rastgele değişken dönüşümü
	örnek: harmonik dalganın dağılımı rastgele fazlı
	Merkezi Limit Teoremi
	rastgele bir değişkenin anları ve özellikleri
DÖNGÜSÜN AMACI DERSLER:		EN ÖNEMLİ DAĞITIM FONKSİYONLARI VE ÖZELLİKLERİ HAKKINDA İLK BİLGİLERİ RAPORUN

DAĞITIM FONKSİYONLARI

İzin vermek x(k) bazı rasgele değişkendir. Sonra herhangi bir sabit değer x için rastgele bir olay x(k) x tüm olası sonuçların kümesi olarak tanımlanır köyle ki x(k) x. Örnek uzayda verilen orijinal olasılık ölçüsü açısından, dağıtım işleviP(x) bir dizi noktaya atanan olasılık olarak tanımlanır k x(k) x. noktaların kümesine dikkat edin. k eşitsizliği tatmin etmek x(k) x, eşitsizliği sağlayan noktalar kümesinin bir alt kümesidir. x(k) . resmen

bariz ki

Rastgele değişkenin değer aralığı, aşağıda kabul edilen sürekli ise, o zaman olasılık yoğunluğu(tek boyutlu) p(x) diferansiyel ilişki tarafından belirlenir

(4)

Buradan,

(6)

Kesikli durumları dikkate alabilmek için, olasılık yoğunluğunun bileşiminde delta fonksiyonlarının varlığını kabul etmek gerekir.

BEKLENEN DEĞER

Rastgele değişken olsun x(k)-  ile +  aralığındaki değerleri alır. Anlamına gelmek(aksi durumda, beklenen değer veya beklenen değer) x(k) değerlerin ürünlerinin toplamında sınıra karşılık gelen geçiş kullanılarak hesaplanır x(k) Bu olayların meydana gelme olasılığı hakkında:

(8)

nerede E- dizine göre köşeli parantez içindeki ifadenin matematiksel beklentisi k. Gerçek bir tek değerli sürekli fonksiyonun matematiksel beklentisi benzer şekilde tanımlanır. g(x) rastgele bir değişkenden x(k)

(9)

nerede p(x)- rastgele bir değişkenin olasılık yoğunluğu x(k).Özellikle, alarak g(x)=x, alırız ortalama kare x(k) :

(10)

Dağılımx(k) farkın ortalama karesi olarak tanımlanır x(k) ve ortalama değeri,

yani bu durumda g(x)= ve

A-manastırı, standart sapma rastgele değişken x(k), belirtilen , varyansın karekökünün pozitif değeridir. Standart sapma, ortalama ile aynı birimlerde ölçülür.

EN ÖNEMLİ DAĞITIM FONKSİYONLARI

ÜNİFORM (DİKDÖRTGEN) DAĞILIM.

Deneyin aralıktan rastgele bir nokta seçiminden oluştuğunu varsayalım. a,b] , uç noktaları dahil. Bu örnekte, rastgele bir değişkenin değeri olarak x(k) seçilen noktanın sayısal değerini alabilirsiniz. Karşılık gelen dağıtım işlevi şu şekildedir:

Bu nedenle, olasılık yoğunluğu formülle verilir.

Bu örnekte, formül (9) ve (11) kullanılarak ortalama ve varyansın hesaplanması,

NORMAL (GAUSSİ) DAĞILIM

, - aritmetik ortalama, - RMS.

P(z)=1- olasılığına karşılık gelen z değeri, yani.

Çİ - KARE DAĞILIMI

İzin vermek - Her biri sıfır ortalama ve birim varyanslı normal dağılıma sahip n bağımsız rastgele değişken.

n serbestlik dereceli ki-kare rastgele değişken.

olasılık yoğunluğu.

DF: 100 - yüzde puanları - dağılımlar ile gösterilir, yani.

ortalama ve varyans eşittir

t - ÖĞRENCİ DAĞILIMI

y, z bağımsız rastgele değişkenlerdir; y - dağılıma sahiptir, z - sıfır ortalama ve birim varyansla normal olarak dağıtılır.

değer - var t- Öğrencinin n serbestlik dereceli dağılımı

DF: 100 - yüzde noktası t - dağılım belirtilir

Ortalama ve varyans eşittir

F - DAĞITIM

Bağımsız rastgele değişkenler; sahiptir - serbestlik dereceleriyle dağıtım; serbestlik dereceli dağılım. Rastgele değer:

,

F, ve serbestlik derecesine sahip dağıtılmış bir rastgele değişkendir.

,

DF: 100 - yüzde noktası:

Ortalama ve varyans eşittir:

MİKTAR DAĞILIMI

İKİ RASTGELE DEĞİŞKEN

İzin vermek x(k) ve y(k) ortak olasılık yoğunluğuna sahip rastgele değişkenlerdir p(x,y). Rastgele değişkenlerin toplamının olasılık yoğunluğunu bulun

sabit x sahibiz y=z–x. Böyle

sabit z değerler x– ile + arasındaki aralığı çalıştırın. Böyle

(37)

Buradan, toplamın istenen yoğunluğunu hesaplamak için, orijinal birleşik olasılık yoğunluğunun bilinmesi gerektiği görülebilir. Eğer bir x(k) ve y(k) yoğunlukları olan bağımsız rastgele değişkenlerdir ve sırasıyla ve

(38)

MİSAL:İKİ BAĞIMSIZ, EŞİT OLARAK DAĞITILAN rasgele DEĞİŞKENİN TOPLAMI.

İki rastgele bağımsız değişkenin form yoğunluklarına sahip olmasına izin verin

diğer durumlarda Toplamlarının z= x+ y olasılık yoğunluğunu p(z) bulalım.

Olasılık Yoğunluk için yani Buradan, x daha az z. Ek olarak, formül (38) için sıfıra eşit değildir, şunu buluruz:

İllüstrasyon:

İki bağımsız, düzgün dağılmış rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluğu.

RASTGELE DÖNÜŞÜM

DEĞERLER

İzin vermek x(t)- olasılık yoğunluğuna sahip rastgele değişken p(x), bırak gitsin g(x) tek değerli gerçek sürekli bir fonksiyonudur x. İlk önce ters fonksiyonun olduğu durumu düşünün. x(g) aynı zamanda tek değerli sürekli bir fonksiyonudur g. Olasılık Yoğunluk p(g), rastgele bir değişkene karşılık gelen g(x(k)) = g(k), olasılık yoğunluğundan belirlenebilir p(x) rastgele değişken x(k) ve türev g/dx türevin var olduğu ve sıfırdan farklı olduğu varsayımı altında, yani:

(12)

Bu nedenle limitte g/dx#0

(13)

Bu formülü kullanarak, bir değişken yerine sağ tarafında izler x uygun değeri değiştirin g.

Şimdi ters fonksiyonun olduğu durumu düşünün. x(g) geçerli n-değerli işlevi g, nerede n bir tamsayıdır ve tüm n değerleri eşit derecede olasıdır. Sonra

(14)

MİSAL:

HARMONİK FONKSİYONUN DAĞILIMI.

Sabit genlikli harmonik fonksiyon X ve frekans f ilk faz açısı ise rastgele bir değişken olacaktır.  =  (k)- rastgele değer. Özellikle, izin ver t sabit ve eşit t Ö ve harmonik rastgele değişkenin forma sahip olmasına izin verin

farz edelim ki  (k) düzgün bir olasılık yoğunluğuna sahiptir p( ) tür

Olasılık yoğunluğunu bulun p(x) rastgele değişken x(k).

Bu örnekte, doğrudan işlev x( ) açık bir şekilde ve ters fonksiyon  (x) belirsiz.

Bir sorunu çözmek için yukarıdaki genel yöntemi kullanalım, yani iki rastgele değişkenin toplamı için dağılım yasasını bulmak için. Dağılım yoğunluğu f(x,y) olan iki rastgele değişkenli (X,Y) bir sistem vardır. X ve Y rastgele değişkenlerinin toplamını düşünün: ve Z değerinin dağılım yasasını bulun. Bunu yapmak için, xOy düzleminde denklemi olan bir çizgi oluşturuyoruz (Şekil 7). Bu, eksenlerde z'ye eşit parçaları kesen düz bir çizgidir. Düz çizgi, xy düzlemini iki parçaya böler; sağında ve üstünde; sol ve alt.

Bu durumda D bölgesi, Şekil 2'de gölgelenen xOy düzleminin sol alt kısmıdır. 7. Formül (16)'ya göre:

Bu ifadeyi, iç integralin üst sınırında yer alan z değişkenine göre farklılaştırarak şunu elde ederiz:

Bu, iki rastgele değişkenin toplamının dağılım yoğunluğu için genel formüldür.

Problemin X ve Y'ye göre simetrisi nedeniyle, aynı formülün başka bir versiyonunu yazabiliriz:

birincisine eşdeğerdir ve bunun yerine kullanılabilir.

Normal yasaların bileşimine bir örnek. Normal yasalara tabi iki bağımsız rasgele değişken X ve Y düşünün:

Bu yasaların bir bileşimini üretmek, yani miktarın dağılım yasasını bulmak gerekir: .

Dağıtım yasalarının bileşimi için genel formülü uygularız:

İntegrandın üssünde parantezleri açar ve benzer terimleri getirirsek, şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri daha önce karşılaştığımız formülde yerine koymak

dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz:

ve bu, bir dağılım merkezi olan normal bir yasadan başka bir şey değildir.

ve standart sapma

Aşağıdaki nitel akıl yürütmenin yardımıyla aynı sonuca çok daha kolay ulaşılabilir.

Köşeli parantezleri açmadan ve integralde (17) dönüşümler yapmadan, hemen üssün formun x'e göre kare bir trinom olduğu sonucuna varırız.

z'nin değeri A katsayısına hiç dahil edilmediğinde, B katsayısı birinci dereceye dahil edilir ve C katsayısının karesi alınır. Bunu akılda tutarak ve (18) formülünü uygulayarak, g(z)'nin, üssü z'ye ve dağılım yoğunluğuna göre bir kare trinom olan üstel bir fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz; bu tür normal yasaya tekabül eder. Böylece biz; tamamen niteliksel bir sonuca varıyoruz: z'nin dağılım yasası normal olmalıdır. Bu yasanın parametrelerini bulmak için - ve - matematiksel beklentilerin toplanması teoremini ve varyansların toplanması teoremini kullanırız. Matematiksel beklentilerin toplama teoremi ile. Dağılım ekleme teoremi veya buradan formül (20) gelir.

Kök-ortalama-kare sapmalarından, bunlarla orantılı olası sapmalara geçerken, şunları alacağız: .

Böylece şu kurala geldik: normal yasalar oluşturulduğunda, tekrar normal bir yasa elde edilir ve matematiksel beklentiler ve varyanslar (veya kare olası sapmalar) toplanır.

Normal yasalar için bileşim kuralı, keyfi sayıda bağımsız rastgele değişken olması durumunda genelleştirilebilir.

n bağımsız rastgele değişken varsa: saçılma merkezleri ve standart sapmalar ile normal yasalara tabi, o zaman değer de parametrelerle normal yasalara tabidir.

Formül (22) yerine eşdeğer bir formül kullanılabilir:

Rastgele değişkenler sistemi (X, Y) normal yasaya göre dağıtılırsa, ancak X, Y miktarları bağımlıysa, genel formüle (6.3.1) dayanarak, daha önce olduğu gibi kanıtlamak kolaydır, miktarın dağılım yasası da normal bir yasadır. Saçılma merkezleri hala cebirsel olarak eklenir, ancak standart sapmalar için kural daha karmaşık hale gelir: burada r, X ve Y değerlerinin korelasyon katsayısıdır.

Toplamları normal yasaya uyan birkaç bağımlı rasgele değişken eklendiğinde, toplamın dağılım yasası da parametrelerle normal olur.

veya olası sapmalar

X i , X j niceliklerinin korelasyon katsayısı nerededir ve toplam, tüm farklı ikili nicelik kombinasyonlarına uzanır.

Normal yasanın çok önemli bir özelliğini gördük: Normal yasalar birleştiğinde, yine normal bir yasa elde edilir. Bu sözde "istikrar özelliği". Bu türden iki yasa oluşturularak aynı türden bir yasa tekrar elde edilirse, bir dağıtım yasasının kararlı olduğu söylenir. Normal yasanın kararlı olduğunu yukarıda gösterdik. Çok az dağıtım yasası istikrar özelliğine sahiptir. Tekdüze yoğunluk yasası kararsızdır: 0'dan 1'e kadar olan bölümlerde iki tekdüze yoğunluk yasasını oluştururken Simpson yasasını elde ettik.

Normal bir yasanın istikrarı, pratikte geniş uygulama alanı için temel koşullardan biridir. Ancak, normal olana ek olarak kararlılık özelliği, diğer bazı dağıtım yasalarında da bulunur. Normal yasanın bir özelliği, yeterince fazla sayıda pratik olarak keyfi dağıtım yasası oluşturulduğunda, terimlerin dağılım yasalarının ne olduğuna bakılmaksızın toplam yasanın keyfi olarak normal yasaya yakın olduğu ortaya çıkmasıdır. Bu, örneğin, 0'dan 1'e kadar olan bölümlerde tekdüze yoğunluktaki üç yasanın bileşimini bir araya getirerek gösterilebilir. Ortaya çıkan dağılım yasası g(z) Şekil l'de gösterilmektedir. 8. Çizimden de anlaşılacağı gibi g(z) fonksiyonunun grafiği normal yasanın grafiğine çok benzer.