Belirli veya sözde deterministik bir PV'nin gözleminin sonucunu ele alalım. Q değerleri alarak rastgele bir değişken (CV) olarak X )çeşitli gözlemlerde.

SW'yi tanımlamanın en evrensel yolu, onların integral veya diferansiyel dağılım fonksiyonlarını bulmaktır.

Gözlem sonuçlarının dağılımının integral işlevi, olasılığın x değerine bağımlılıktır. R X. gözlemlerinin sonucunun daha az olacağı gerçeği jc. Aşağıdaki gibi yazılmıştır:

Başka bir deyişle, rastgele değişkenin integral dağılım fonksiyonu X eşitsizliğin gerçekleşme olasılığı denir X

integral fonksiyonu F(x) aşağıdaki özelliklere sahiptir.

• 1. F(x) - azalmayan fonksiyon.
• 2. f(x) jc -> +°° olarak birlik olma eğilimindedir.
• 3. f(x) x -> -°o olarak sıfır olma eğilimindedir.
• 4. F(x) - fonksiyon süreklidir, çünkü belirli bir aralıktaki gözlemlerin sonucu herhangi bir değeri alabilir.

Ancak dördüncü özellik genellikle pratikte uygulanmaz. Bunun nedeni, kullanılan SI'nın sonlu bir çözünürlüğe sahip olmasıdır: işaretçi araçlar için bu, ölçek bölme değeridir (PV kuantum); dijital enstrümanlar için bu, en küçük kod basamağının fiyatıdır. Bu nedenle, gerçekte, dağıtım işlevi kademeli bir forma sahiptir (Şekil 4.4).

Buna rağmen, metrolojik uygulamada, integral dağılım fonksiyonunun genellikle sürekli olduğu varsayılır, bu da analizi büyük ölçüde basitleştirir.

Rastgele bir hata için olduğu kadar bir rasgele değişken için de kendi integral dağılım fonksiyonu vardır:

integral fonksiyonu F(x), olasılık gibi boyutsuz bir niceliktir.

olarak adlandırılan bir diferansiyel dağılım fonksiyonu kullanarak gözlem sonuçlarının özelliğini tanımlamak daha uygun ve görseldir. olasılık dağılım yoğunluğu. Gözlem sonuçlarının diferansiyel fonksiyonlarının X ve rastgele hata A eşleşme, sadece A grafiğinin orijini sıfır noktasında bulunur:

Diferansiyel dağılım fonksiyonunun grafiği veya dağıtım eğrisiçoğu zaman noktasında maksimum olan simetrik bir fonksiyondur Q gözlemlerin sonuçları için (Şekil 4.5). Rastgele bir hatanın dağılım eğrisi de çoğunlukla simetrik bir fonksiyondur, ancak “O” noktasında bir maksimuma sahiptir (Şekil 4.6).

Gözlem sonuçları için

Rastgele hata için

Böylece gözlem sonuçlarının diferansiyel dağılım fonksiyonu veya rasgele hata integral dağılım fonksiyonunun türevlenmesiyle elde edilir.

Asimetrik dağıtım işlevleri de vardır, örneğin Rayleigh işlevi (Şekil 4.7) veya maksimumu olmayan işlevler (tek biçimli veya yamuk) (Şekil 4.8, 4.9).

İntegral fonksiyonu, diferansiyel fonksiyonla aşağıdaki gibi ilişkilidir:

çünkü o zaman , yani Meydan

dağılım fonksiyonu eğrisi altında bire eşittir. Bu sözde normalleştirme koşulu.

Olasılık dağılım yoğunluğunun boyutu, ölçülen fiziksel niceliğin boyutuyla terstir, çünkü integral dağılım fonksiyonu boyutsuzdur. Dağılım fonksiyonu kavramını kullanarak, gözlemlerin sonucunun yarı açık aralıklarla [x, x 2 ] veya [A 2]:

Bu ifade, gözlem sonucunun isabet olasılığının olduğunu söylüyor. X veya belirli bir aralıktaki rastgele ölçüm hatası A, bu aralığın belirtilen sınırlarındaki integral dağılım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir.

Bu olasılığı diferansiyel dağılım fonksiyonu veya olasılık dağılım yoğunluğu cinsinden ifade edersek, şunu elde ederiz:

onlar. X gözlemlerinin sonucuna veya rastgele bir hataya ulaşma olasılığı D belirli bir aralık içinde, aralığın sınırlarıyla sınırlanan olasılık yoğunluk eğrisinin altındaki alana sayısal olarak eşittir(Şek. 4.10).

Çalışmak px(x)dx isminde olasılık unsuru. Olasılık yoğunluk dağılım yasasının, diferansiyel dağılım fonksiyonunun grafiğinden de görülebileceği gibi, normal yasa olarak adlandırılan yasaya yakın olması durumunda, büyük olasılıkla küçük hata değerleri. Büyük hataların meydana gelme olasılığı çok daha azdır. gözlem sonuçları gerçek değer etrafında ortalanmışölçülen PV ve ona yaklaştıkça olasılık unsurları artar. Bu, apsis ekseni tarafından oluşturulan şeklin ağırlık merkezinin apsisini ve dağılım yoğunluğu eğrisini PV'nin gerçek değerinin bir tahmini olarak almak için zemin sağlar. Rastgele bir değişkenin bu özelliğine denir. matematiksel beklenti (Şekil 4.11):

Şimdi rastgele ve sistematik hatanın matematiksel olarak kesin bir tanımını verebiliriz.

Sistematik hata 0 (Şekil 4.11), gözlem sonuçlarının matematiksel beklentisinin ölçülen fiziksel miktarın gerçek değerinden sapmasıdır:

rastgele hata A, tek bir gözlemin sonucu ile gözlem sonuçlarının matematiksel beklentisi arasındaki farktır:

Bu nedenle, ölçülen fiziksel miktarın gerçek değeri şuna eşittir:

sınav soruları

• 1. Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler ile ne kastedilmektedir?
• 2. İntegral dağılım fonksiyonu ve özellikleri.
• 3. Diferansiyel dağılım fonksiyonu, integral ve diferansiyel dağılım fonksiyonları arasındaki bağlantı.
• 4. İntegral dağılım fonksiyonunun normalleştirilmesi için koşul.
• 5. Rastgele bir değişkenin grafiksel olarak matematiksel beklentisi nedir?
• 6. Fiziksel ve matematiksel açıdan toplam hatanın sistematik ve rastgele bileşenleri nasıl anlaşılır?
• 7. Olasılık unsuru ile ne kastedilmektedir?
• 8. X gözlemlerinin sonucunun veya bir rastgele hata D'nin sayısal olarak belirli bir aralığa düşme olasılığı, aralığın sınırlarıyla sınırlandırılmış olasılık dağılım yoğunluğunun bir grafiğine sahip olarak nasıl belirlenir?

Yerel Moivre-Laplace formülü koşulları altında, m başarılarının sayısının m 1 ile m 2 arasında olma olasılığı Moivre-Laplace integral formülü ile yaklaşık olarak bulunabilir.

nerede x 1 =
, x 2 =
,
Laplace fonksiyonudur.

Bu fonksiyonların değerleri, olasılık teorisi ile ilgili ders kitaplarının eklerindedir.

Dağıtım yasasının grafiksel atamasıŞek. 1

Pirinç. 1 Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım poligonu.

Bir rasgele değişkenin dağılımını bir tablo şeklinde, bir formül şeklinde veya grafiksel olarak tanımlama yöntemi, yalnızca ayrık rasgele değişkenlere uygulanabilir.

1.5. Kümülatif dağılım fonksiyonu

İntegral dağılım işlevi, hem ayrık hem de sürekli bir rastgele değişken belirtmenize olanak tanır.

Kümülatif dağılım fonksiyonu (IDF), her olası x değeri için, bir rasgele değişken X'in x'ten küçük bir değer alma olasılığını belirleyen bir F(x) işlevidir, yani.

İntegral dağılım fonksiyonunun geometrik anlamı, X rastgele değişkeninin gerçek eksende x noktasının solunda bulunan bir değeri alma olasılığıdır.

Ayrık bir rastgele değişken için X değerleri alabilen X 1 , X 2 , …,X n, dağıtım fonksiyonu şu şekildedir: toplam işaretinin altındaki eşitsizliğin, toplamın tüm bu değerlerle ilgili olduğu anlamına geldiği durumlarda X ben değeri daha az olan X. Bu formülü fonksiyonun tanımına göre açıklayalım. F(x). x argümanının belirli bir miktar aldığını, ancak eşitsizliğin sağlanacağını varsayalım. x ben <x≤x ben+1. Ardından, sayı eksenindeki x sayısının solunda, yalnızca 1, 2, 3, ... indeksine sahip rastgele değişkenin değerleri olacaktır. ben. Bu nedenle, eşitsizlik X<x değeri yürütülürse X değerlere sahip olacak X ile, nerede k = 1, 2, …, ben. Böylece olay X<x olaylardan hangisi olursa olsun gelecek X = X 1 , X=X 2 , X=X 3 , …, X=X ben. Bu olaylar uyumsuz olduğundan, olasılık toplama teoremine göre

Kümülatif dağılım fonksiyonunun özellikleri:

1. İntegral dağılım fonksiyonunun değerleri segmente aittir

:
.

2. Rastgele değişken X'in (a, b) aralığında yer alan değeri alma olasılığı, bu aralıktaki integral dağılım fonksiyonunun artışına eşittir.

3. Rastgele bir değişkenin tüm olası x değerleri (a, b) aralığına aitse, o zaman

, Eğer

, Eğer

Sürekli bir rastgele değişkenin IGF'sinin grafiği, Şek. 2

Pirinç. 2 Sürekli bir rastgele değişkenin IGF grafiği

Ayrık bir rastgele değişkenin IGF'sinin grafiği, Şek. 3

Pirinç. 3 Ayrık bir rastgele değişkenin IGF grafiği

1.6. Diferansiyel dağıtım fonksiyonu

Diferansiyel dağılım fonksiyonu, sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımını tanımlamak için kullanılır.

Diferansiyel dağıtım işlevi (DDF)(veya olasılık yoğunluğu), integral fonksiyonunun ilk türevidir.

Kümülatif dağılım işlevi, diferansiyel dağılım işlevinin ters türevidir. Sonra

Sürekli bir rastgele değişken X'in (a, b) aralığına ait bir değer alma olasılığı, a'dan b'ye alınan diferansiyel fonksiyonun belirli integraline eşittir:

DFR'nin geometrik anlamı aşağıdaki gibidir: sürekli bir rastgele değişken X'in (a, b) aralığına ait bir değer alma olasılığı, x ekseni ile sınırlanan eğrisel yamuk alanına eşittir, dağılım eğrisi f(x) ve x = a ve x = b düz çizgileri (Şekil 4).

Pirinç. 4 Diferansiyel dağılım fonksiyonunun grafiğine yaygın olarak dağılım eğrisi denir.

Diferansiyel dağılım fonksiyonunun özellikleri:

1. Diferansiyel dağılım işlevi negatif değildir, yani.

2. Rastgele bir değişkenin tüm olası değerleri (a, b) aralığına aitse, o zaman

Diferansiyel dağılım fonksiyonuna genellikle sürekli rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı yasası denir.

Uygulamalı problemleri çözerken, sürekli rastgele değişkenlerin olasılık dağılımının çeşitli yasalarıyla karşılaşılır. Genellikle bulundu düzgün ve normal dağılım yasaları.

Diferansiyel ve integral dağılım yasaları

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası, bu miktarın olası değerleri ile bu değerlere karşılık gelen oluşma olasılıkları arasında bir bağlantı kurar. Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını tanımlamanın iki biçimi vardır - diferansiyel ve integral . Ayrıca, metrolojide diferansiyel form esas olarak kullanılır - dağıtım yasası olasılık yoğunluğu rastgele değişken.
diferansiyel dağıtım yasası karakterize dağılım yoğunluğu Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu bu durumda olasılık P aralığında rastgele bir değişkene çarpmak x 1önceki x2 :

Grafiksel olarak, bu olasılık eğrinin altındaki alanın oranıdır. f(x) aralığında x 1önceki x2 tüm dağılım eğrisi tarafından sınırlanan toplam alana.

Bu durumda dağıtım sürekli rastgele değişken. Bunlara ek olarak, ayrık numaralandırılabilen bir dizi belirli değeri alan rastgele değişkenler.

Rastgele bir değişkenin integral dağılım yasası bir fonksiyondur F(x), formül tarafından tanımlanan

Rastgele değişkenin daha az olma olasılığı x1 fonksiyon değeri tarafından verilen f(x) de x = x 1:

F(X) azalmayan bir fonksiyondur ve X → ∞ olarak F(X)→1

X → - ∞ olduğunda F(X)→0

F(x) - fonksiyon süreklidir, çünkü belirli bir aralıktaki gözlemlerin sonucu herhangi bir değer alabilir

Ancak dördüncü özellik genellikle pratikte uygulanmaz. Bunun nedeni, kullanılan SI'nin sonlu bir çözünürlüğe sahip olmasıdır: bir işaretçi cihazı için bu, ölçeğin bir bölümünün (kuantum FV) fiyatıdır, dijital cihazlar için bu, en küçük kod basamağının fiyatıdır. Bu nedenle, gerçekte, hatanın dağıtım fonksiyonu kademeli bir forma sahiptir.

Bununla birlikte, metrolojik uygulamada, integral fonksiyonu sürekli olarak kabul edilir ve bu da hataların işlenmesini kolaylaştırır.

Sürekli bir rastgele değişkenin düzgün dağılım yasası.

Sürekli bir rastgele değişken, olası değerleri, tüm değerlerin eşit derecede olası olduğu, yani aynı olasılık yoğunluğuna sahip olduğu belirli bir aralıkta yer alıyorsa, düzgün bir dağılım yasasına uyar. Başka bir deyişle, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ait olduğu aralıkta, diferansiyel fonksiyonun sabit bir değeri varsa, olasılık dağılımına tek tip denir.

Tek tip olasılık dağılımına sahip rastgele değişkenler,<<встречаются на практике. Например, при снятии показаний измерительных приборов. Ошибка при округлении отсчёта до ближайшего целого деления шкалы является случайной величиной, которая может с постоянной плотностью вероятности принимать любые значения между двумя соседними делениями. Таким образом, данная случайная величина имеет равномерное распределение.

Rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin geçerli olduğunu varsayarak, düzgün dağılımın diferansiyel fonksiyonunu (yoğunluğunu) bulalım. X arasında kilitli üzerinde diferansiyel fonksiyonun sabit kaldığı , yani.

f(x) = C

koşula göre X aralığın dışında değerler almaz , Bu yüzden f(x) = 0 hepsi için x< a ve x< b.

Sabitin değerini bulalım İle . Rastgele değişkenin tüm olası değerleri aralığa ait olduğundan , o zaman doğrudur:

Böylece, aralıkta rastgele bir değişkenin düzgün dağılımı yasası (burada a< b ) analitik olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

Şimdi sürekli bir rastgele değişkenin düzgün dağılımının integral fonksiyonunu bulalım. Bunu yapmak için formülü kullanıyoruz

Eğer x< a o zamanlar f(x) = 0 ve dolayısıyla F(x) = 0

Eğer a ≤ x ≤ b o zamanlar ve bu nedenle

Eğer x ˃b o zamanlar

Böylece istenen integral dağılım fonksiyonu analitik olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

x için F(x) = 0< a

a ≤ x ≤ b için

x ˃ b için F(x) = 1

Düzgün sürekli dağılımın özellikleri:

1. İlk an (beklenti)

2. Medyan: M = M(X)

3. Mod - segmentteki herhangi bir sayı (mod - dağılımın en olası değeri);

Rastgele değişken x'in, x'in integral dağılım fonksiyonu olarak adlandırılan bir fonksiyondan daha küçük bir değer alma olasılığı ile gösteriniz. Herhangi bir olasılık ile 1 arasında olması gerektiğinden, o zaman tüm değerler için sahip olduğumuz: Eğer olasılık, olasılıktan büyük veya ona eşit ise, yani. Başka bir deyişle, fonksiyon artan ile azalamaz.

İntegral dağılım fonksiyonunun tipik bir şekli, Şekil 2'de gösterilmektedir. 1, yatay eksenin çizildiği ve dikey fonksiyonun

İntegral dağılım fonksiyonunu bilerek, verilen herhangi bir olasılık için, olaylar uyumsuz olduğundan, bu olaylardan herhangi birinin meydana gelme olasılığının, her birinin meydana gelme olasılıklarının toplamına eşit olacağı olasılığını kolayca belirleyebiliriz. olaylar, yani

(bkz: tarama)

Bu iki olaydan herhangi birinin meydana gelme olasılığı veya olayın meydana gelme olasılığı ile çakıştığından, (1.1) bağıntısına göre,

Bu nedenle, olayın meydana gelmesi için istenen olasılık şuna eşit olacaktır:

Bir rasgele değişken x, bir nesne grubundan rasgele seçilen bir cismin bazı özelliklerinin ölçülmesinin sonucu olduğunda, integral dağılım fonksiyonunun basit bir yorumunu vermek mümkündür.Paragraf 1.1.1'de belirtildiği gibi, bu bölümde gözlemlenen x değerinin bir eşitlik veya eşitsizlik (örneğin, veya belirli bir nesne grubundaki bu tür nesnelerin nispi oranına eşit olduğu) olasılığı, x değerinin karşılık gelen eşitliği veya eşitsizliği tatmin etmesi. Olasılıkların bu yorumuyla, (1.2) ilişkisi aşikar hale gelir.Gerçekte, göreli nesne sayısının, artı nesnelerin göreli sayısına eşit olduğunu belirtir. Buna genellikle popülasyon adı verilir. yeni nesne sayısı. Bu tür popülasyonlara sonlu denir.

Belirli bir ilişkinin (eşitlik veya eşitsizlik) sağlandığı bir olayın olasılığının, belirli bir genel popülasyonda x değerinin bu ilişkiyi karşıladığı bu tür öğelerin nispi oranı olarak yorumlanmasının birçok durumda çok yararlı olduğu ortaya çıkıyor. ve sık sık kullanacağız. Bununla birlikte, sonlu popülasyonlarla sınırlı değilsek, olasılıkların böyle bir yorumu her zaman mümkün değildir. Gerçekten de, sonlu bir genel popülasyonla ilişkili integral dağılım fonksiyonunun kendine has özellikleri vardır.

Genel popülasyonun öğelerden oluştuğunu varsayalım. O zaman rasgele değişken x, farklı değerlerden fazlasını alamaz. x değerinin alabileceği farklı değerler olsun ve bu değerler artan sırada düzenlensin, x'in değeri birkaç eleman için aynıysa, o zaman bu kümülatif dağılım fonksiyonu durum, Şekil 2'de gösterilen bir adım eğrisi biçimine sahip olacaktır. 2.

Dağılım fonksiyonu tam olarak sıçramalara sahip olacaktır ve her bir sıçramanın büyüklüğü, Şekil 1'de sürekli eğri ile temsil edilen Kümülatif dağılım fonksiyonu ile çarpılan bir tam sayıya veya bir tam sayıya eşit olacaktır. 1 açıkçası bu türden değil.

Bu nedenle, integral dağılım fonksiyonu sürekli bir eğri ise, olasılıkların sonlu bir genel popülasyonun belirli öğelerinin nispi oranı olarak yorumlanması imkansızdır. Bununla birlikte, herhangi bir sürekli kümülatif dağılım işlevi, sonlu bir popülasyonla ilişkili kademeli bir kümülatif dağılım işleviyle, sonuncudaki öğelerin sayısının yeterince büyük olması koşuluyla, herhangi bir belirli doğrulukla yaklaşıklanabilir. Bu nedenle, herhangi bir sürekli kümülatif dağılım fonksiyonu, sonlu bir popülasyonla ilişkili kümülatif dağılım fonksiyonunun sınırlayıcı formu olarak düşünülebilir. Bu genel durumda eleman sayısındaki sonsuz artışla sınıra ulaşılır.

agregalar. Bu, sonsuz bir popülasyonun (sonsuz sayıda elemana sahip bir popülasyon) varlığına izin verirsek, bu popülasyonla ilişkili herhangi bir olasılığın her zaman popülasyonun karşılık gelen öğelerinin göreli bir oranı olarak yorumlanabileceği anlamına gelir. Elbette, sonsuz nüfus kavramı, yalnızca teoriyi basitleştirmek için tanıtılan yararlı bir soyutlamadır.

Sonsuz bir genel popülasyon örneği olarak, belirli bir çubuğun uzunluğunu ölçmekten oluşan bir deneyi düşünün. Her ölçümün sonucu, bir integral dağılım fonksiyonu ile karakterize edilen rastgele bir değişken olarak düşünülebilir.O zaman sonsuz bir genel popülasyon, çubuğun uzunluğunun sonsuz bir tekrarlanan ölçümleri dizisi olacaktır, böylece gerçekten yapılan her ölçüm bir eleman olarak kabul edilebilir. bu nüfusun. Bazen genel popülasyon sonludur, ancak bu popülasyonun öğelerinin sayısı o kadar fazladır ki, bu popülasyonla ilgili sorunları sonsuzmuş gibi, yani genel popülasyon sonsuzmuş gibi düşünmek daha uygun olur. . Örneğin, Amerika Birleşik Devletleri'nde yaşayan 20 yaş ve üzerindeki tüm kadınların boylarının dağılımıyla ilgilendiğimizi varsayalım. Bu tür bireylerin sayısının o kadar fazla olduğu açıktır ki, bu tür bireylerin genel popülasyonunun sonsuz olduğunu düşünürsek, önemli matematiksel basitleştirmelere güvenebiliriz.

Rastgele bir değişkenin integral olasılık dağılım fonksiyonu

TZR-3. İntegral olasılık dağılım fonksiyonu CB

Dağıtım yasasını belirlemenin en evrensel yolu budur. Hem ayrık hem de sürekli SW için kullanılabilir. Çoğu zaman, bu yöntem hakkında konuşurken, "integral" ve "olasılıklar" kelimeleri atılır ve ʼʼ terimi kullanılır. dağıtım işlevi SVʼʼ.

Kümülatif olasılık dağılımı işlevi, bazı rastgele değişken X'in mevcut x'ten daha düşük bir değer alma olasılığıdır:

F(x) = P(X< х) (20)

Örneğin, güç hattındaki akım gibi bir SW için, dağıtım fonksiyonu F (90) = 0,3 ise, bu, güç hattındaki akımın 90 A'dan küçük bir değer alma olasılığının 0,3 olduğu anlamına gelir.

Ağdaki voltaj için dağıtım fonksiyonu F (215) = 0,4 ise, 0,4 ağdaki voltajın 215 V'tan az olma olasılığıdır.

Olasılık dağılım fonksiyonu analitik, tablo veya grafiksel olarak belirtilmelidir.

Örnek 27

Sınavdaki öğrenci notlarının belirli bir dağılımına göre (Tablo 8, satır 1 ve 2), integral dağılım fonksiyonunu (Tablo 8, satır 3) yazın ve grafiğini oluşturun.

Tablo 8. Sınav notlarının dağılımının seri ve integral fonksiyonu

Dağılım fonksiyonunun değerlerini bulmak için tanımını kullanmanın son derece önemli olduğunu söylemeye değer (20):

· için X = 2 F(2)= P(X< 2) = 0, sınavda 2'den az puan olmadığı için;

· için X= 3 F(3)= P(X< 3) \u003d P (X \u003d 2) \u003d 0.1, çünkü 3'ten az sadece puan 2'dir;

· için X = 4 F(4)= P(X< 4) = P( X= 2) + R(X= 3) = 0.1 + 0.5 = 0.6, çünkü 4'ten az iki derece vardır - 2 veya 3 (4'ten az not almak, not almaya eşdeğerdir. veya 2. sınıflar veya 3 puan ve bulmak için F(4) uyumsuz olayların olasılıklarını eklemek için formülü kullanabilirsiniz);

· için X = 5 F(5)= P(X< 5) = R(X< 4) + R(X= 4) = 0.6 + 0.3 = 0.9, yani F(4) puanın 4 olma olasılığı eklenir.

F(x) değerlerini bulma sırasını analiz ederek, CV'nin en küçük değerinin olasılığının önce ikinci değerin olasılığına, sonra üçüncüsünün vb. eklendiğini görüyoruz. Yani, olasılıklar birikiyor gibi görünüyor. Bu nedenle integral dağılım fonksiyonu da denir. ʼʼkümülatif olasılıkların fonksiyonuʼʼ.

İstatistik literatüründe, kümülatif olasılıkların işlevi oldukça sık olarak adlandırılır. Kümülatif.

Veri tablosuna göre. 8 integral fonksiyonunun grafiği çizilmelidir ayrık rastgele değişken (Şekil 29). Bu özellik süreksiz. Zıplama ayrı ayrık değerler X, bir yüksekliklerʼʼadımlarʼʼ - uygun olasılıklar. Mola yerlerinde, fonksiyon (Şekil 29) noktalarla gösterilen değerleri alır, ᴛ.ᴇ. sol sürekli. Genel anlamda, ayrık bir SW için şunu yazabiliriz: F(x) = P(X< х) = . (21)

Sürekli SW için integral dağılım fonksiyonunun grafiğinin nasıl görüneceğini anlamak için aşağıdaki akıl yürütmeye başvurabilirsiniz. Kesikli SW değerlerinin sayısının arttığını hayal edersek, o zaman daha fazla boşluk olacak ve adımların yüksekliği azalacaktır. Limitte, olası değerlerin sayısı sonsuz hale geldiğinde (ve bu sürekli bir CB'dir), adım grafiği sürekli olana dönüşecektir (Şekil 30).

kadarıyla integral olasılık dağılım fonksiyonu CBçok önemlidir, daha ayrıntılı olarak ele alalım özellikleri:

Mülk 1. Dağıtım yasasını belirlemenin bu yolu evrensel, çünkü hem ayrık hem de sürekli SW'lerin dağıtım yasasını belirlemek için uygundur.

Mülk 2 . İntegral dağılım fonksiyonu ϶ᴛᴏ olasılık olduğundan, değerleri 0'dan 1'e kadar olan segmentte yer alır.

Mülk 3 . Dağıtım işlevi boyutsuz, hem de herhangi bir olasılık.

Mülk 4 . dağıtım işlevi azalmayan fonksiyon, yani bağımsız değişkenin daha büyük değeri, işlevin aynı veya daha büyük değerine karşılık gelir: ne zaman x 2 > x 1 F(x 2) ≥ F(x 1).

Bu özellik, daha büyük bir parçaya (-∞'den x 2'ye) isabet etme olasılığının, hiçbir şekilde daha küçük bir parçaya (-∞'den x 1'e) isabet etme olasılığından daha az olmaması gerektiği gerçeğinden (Şekil 31) çıkar.

Bölgede olması durumunda x 2önceki x 1(Şek. 32) olası SW değerleri yoktur (bu, ayrı SW için mümkündür), o zaman F(x 2) = F(x 1).

Sürekli SW'nin dağıtım fonksiyonu için (Şekil 33) F(x 2) her zaman daha fazla F(x 1).

Özellik 4'ün iki sonucu vardır.

sonuç 1

AT X değerinin (x 1; x 2) aralığında bir değer alma olasılığı, aralığın sınırlarındaki integral fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir:

P(x 1 ≤ X< х 2) = F(х 2) – F(х 1). (15)

Bu sonuç şu şekilde açıklanabilir (Şekil 31):

F (x 2) \u003d P (X< х 2) –

SW'nin noktanın solundaki değerleri alma olasılığı x 2 .

F (x 1) \u003d P (X< х 1) SW'nin noktanın solundaki değerleri alma olasılığıdır x 1.

Bu nedenle fark

P(X< х 2) - Р(Х < х 1) SW değerlerinin bölgede yer alma olasılığı vardır. x 1 önceki x 2 (şek.34) .

Rastgele bir değişkenin integral olasılık dağılım fonksiyonu - kavram ve türleri. "Rastgele bir değişkenin olasılık dağılımının integral fonksiyonu" kategorisinin sınıflandırılması ve özellikleri 2017, 2018.