matris yöntemi SLAU çözümleri denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına karşılık geldiği denklem sistemlerini çözmek için kullanılır. Yöntem en iyi düşük dereceli sistemleri çözmek için kullanılır. Lineer denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemi, matris çarpımının özelliklerinin uygulanmasına dayanır.

Bu şekilde, başka bir deyişle ters matris yöntemi, buna denir, çünkü çözüm, ters matrisi bulmanız gereken çözüm için normal matris denklemine indirgenir.

matris çözüm yöntemi Determinantı sıfırdan büyük veya sıfırdan küçük olan bir SLAE aşağıdaki gibidir:

Bir SLE (doğrusal denklemler sistemi) olduğunu varsayalım. n bilinmeyen (rasgele bir alan üzerinde):

Bu nedenle, onu bir matris formuna çevirmek kolaydır:

AX=B, nerede A sistemin ana matrisidir, B ve X- sırasıyla sistemin serbest üyeleri ve çözümleri sütunları:

Soldaki bu matris denklemini şu şekilde çarpın: bir -1- matrisin tersi matris A: A -1 (AX)=A -1 B.

Çünkü A -1 A=E, anlamına geliyor, X=A −1B. Denklemin sağ tarafı, ilk sisteme bir çözüm sütunu verir. Matris yönteminin uygulanabilirliğinin koşulu, matrisin dejenere olmamasıdır. A. Bunun için gerekli ve yeterli bir koşul, matrisin determinantının A:

detA≠0.

İçin homojen lineer denklem sistemi, yani eğer vektör B=0, bunun tersi kural geçerlidir: sistem AX=0önemsiz olmayan (yani sıfıra eşit olmayan) bir çözümdür, yalnızca detA=0. Homojen ve homojen olmayan lineer denklem sistemlerinin çözümleri arasındaki bu bağlantıya denir. Fredholm'a alternatif.

Böylece SLAE'nin matris yöntemiyle çözümü formüle göre yapılır. . Veya, SLAE çözümü kullanılarak bulunur. ters matris bir -1.

kare matris olduğu bilinmektedir. ANCAK emir nüzerinde n ters matris var bir -1 sadece determinantı sıfır değilse. Böylece sistem n lineer cebirsel denklemler n bilinmeyenler, yalnızca sistemin ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, matris yöntemiyle çözülür.

Bu yöntemi kullanma olasılığı üzerinde kısıtlamalar olmasına ve katsayıların ve yüksek dereceli sistemlerin büyük değerleri için hesaplama zorlukları olmasına rağmen, yöntem bir bilgisayarda kolayca uygulanabilir.

Homojen olmayan bir SLAE çözme örneği.

İlk olarak, bilinmeyen SLAE'ler için katsayı matrisinin determinantının sıfıra eşit olup olmadığını kontrol edelim.

şimdi buluyoruz ittifak matrisi, devrik ve ters matrisi belirlemek için formülde yerine koy.

Değişkenleri formülde yerine koyarız:

Şimdi ters matrisi ve serbest terimler sütununu çarparak bilinmeyenleri buluyoruz.

Yani, x=2; y=1; z=4.

SLAE'nin olağan biçiminden matris biçimine geçerken, sistem denklemlerindeki bilinmeyen değişkenlerin sırasına dikkat edin. Örneğin:

Şu şekilde YAZMAYIN:

İlk olarak, sistemin her denklemindeki bilinmeyen değişkenleri sıralamak ve ancak bundan sonra matris notasyonuna geçmek gerekir:

Ek olarak, bilinmeyen değişkenlerin atanması yerine dikkatli olmanız gerekir. x 1 , x 2 , …, xn başka harfler olabilir. Örneğin:

matris formunda şunu yazıyoruz:

Matris yöntemini kullanarak, denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısıyla çakıştığı ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfıra eşit olmadığı lineer denklem sistemlerini çözmek daha iyidir. Sistemde 3'ten fazla denklem olduğunda, ters matrisi bulmak daha fazla hesaplama çabası gerektirecektir, bu nedenle, bu durumda, çözmek için Gauss yönteminin kullanılması tavsiye edilir.

Bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi olarak da adlandırılan Gauss yöntemi aşağıdakilerden oluşur. Temel dönüşümler kullanılarak, lineer denklemler sistemi, katsayı matrisinin olduğu bir forma getirilir. yamuk (üçgen veya basamaklı ile aynı) veya yamuğa yakın (o zaman Gauss yönteminin doğrudan seyri, - sadece doğrudan bir hareket). Böyle bir sistemin bir örneği ve çözümü yukarıdaki şekilde gösterilmektedir.

Böyle bir sistemde, son denklem sadece bir değişken içerir ve değeri benzersiz bir şekilde bulunabilir. Daha sonra bu değişkenin değeri önceki denklemde ( Gauss ters , sonra - önceki değişkenin bulunduğu yalnızca bir ters hareket), vb.

Bir yamuk (üçgen) sistemde, gördüğümüz gibi, üçüncü denklem artık değişken içermez. y ve x, ve ikinci denklem - değişken x .

Sistemin matrisi yamuk şeklini aldıktan sonra, sistemin uyumluluğu sorununu çözmek, çözüm sayısını belirlemek ve çözümleri kendileri bulmak artık zor değil.

Yöntemin avantajları:

1. üçten fazla denklemli ve bilinmeyenli lineer denklem sistemlerini çözerken, Gauss yöntemi çözülürken daha az hesaplama gerektiğinden, Gauss yöntemi Cramer yöntemi kadar hantal değildir;
2. Gauss yöntemini kullanarak belirsiz lineer denklem sistemlerini çözebilirsiniz, yani ortak bir çözüme sahip (ve bunları bu derste inceleyeceğiz) ve Cramer yöntemini kullanarak sadece sistemin belirsiz olduğunu belirtebilirsiniz;
3. bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olmadığı lineer denklem sistemlerini çözebilirsiniz (bunları bu derste ayrıca analiz edeceğiz);
4. yöntem, temel (okul) yöntemlerine dayanmaktadır - bilinmeyenlerin yerine koyma yöntemi ve ilgili makalede değindiğimiz denklemleri ekleme yöntemi.

Herkesin yamuk (üçgen, adım) doğrusal denklem sistemlerinin çözüldüğü basitlikle aşılanması için, ters vuruş kullanarak böyle bir sistemin çözümünü sunuyoruz. Bu sisteme hızlı bir çözüm, dersin başında resimde gösterildi.

örnek 1 Ters hareketi kullanarak bir lineer denklem sistemi çözün:

Çözüm. Bu yamuk sistemde, değişken züçüncü denklemden benzersiz bir şekilde bulunur. Değerini ikinci denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız. y:

Artık iki değişkenin değerlerini biliyoruz - z ve y. Bunları ilk denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız. x:

Önceki adımlardan denklem sisteminin çözümünü yazıyoruz:

Çok basit bir şekilde çözdüğümüz böyle bir yamuk doğrusal denklem sistemi elde etmek için, doğrusal denklem sisteminin temel dönüşümleriyle ilişkili doğrudan bir hareket uygulamak gerekir. Ayrıca çok zor değil.

Bir lineer denklem sisteminin temel dönüşümleri

Sistemin denklemlerinin cebirsel olarak eklenmesinin okul yöntemini tekrarlayarak, sistemin denklemlerinden birine sistemin başka bir denkleminin eklenebileceğini ve denklemlerin her birinin bazı sayılarla çarpılabileceğini bulduk. Sonuç olarak, verilene eşdeğer bir lineer denklem sistemi elde ederiz. İçinde, bir denklem zaten yalnızca bir değişken içeriyordu, değerini diğer denklemlerle değiştirerek bir çözüme ulaştık. Bu tür bir ekleme, sistemin temel dönüşüm türlerinden biridir. Gauss yöntemini kullanırken, birkaç tür dönüşüm kullanabiliriz.

Yukarıdaki animasyon, denklem sisteminin kademeli olarak nasıl yamuk biçimine dönüştüğünü göstermektedir. Yani, ilk animasyonda gördüğünüz ve ondan tüm bilinmeyenlerin değerlerini bulmanın kolay olduğundan emin olduğunuz. Böyle bir dönüşümün nasıl gerçekleştirileceği ve elbette örnekler daha fazla tartışılacaktır.

Denklem sisteminde ve sistemin genişletilmiş matrisinde herhangi bir sayıda denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal denklem sistemlerini çözerken Yapabilmek:

1. takas satırları (bu, bu makalenin en başında belirtilmiştir);
2. diğer dönüşümlerin bir sonucu olarak eşit veya orantılı çizgiler ortaya çıkarsa, biri hariç silinebilir;
3. tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu "boş" satırları silin;
4. herhangi bir dizeyi bir sayı ile çarpma veya bölme;
5. herhangi bir satıra bir sayı ile çarpılan başka bir satır ekleyin.

Dönüşümlerin bir sonucu olarak, verilene eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz.

Algoritma ve Gauss yöntemiyle sistemin kare matrisli bir doğrusal denklem sistemi çözme örnekleri

Önce bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olduğu lineer denklem sistemlerinin çözümünü ele alalım. Böyle bir sistemin matrisi karedir, yani içindeki satır sayısı sütun sayısına eşittir.

Örnek 2 Gauss yöntemini kullanarak bir lineer denklem sistemi çözün

Okul yöntemlerini kullanarak lineer denklem sistemlerini çözerek, iki denklemdeki ilk değişkenin katsayıları zıt sayılar olacak şekilde denklemlerden birini terim terimle belirli bir sayı ile çarptık. Denklemler eklenirken bu değişken elimine edilir. Gauss yöntemi de benzer şekilde çalışır.

Çözümün görünümünü basitleştirmek için sistemin artırılmış matrisini oluşturmak:

Bu matriste, bilinmeyenlerin katsayıları dikey çubuktan önce solda ve dikey çubuktan sonra sağda serbest elemanlar bulunur.

Değişkenlerin katsayılarını bölme kolaylığı için (bire bölme elde etmek için) sistem matrisinin birinci ve ikinci satırlarını değiştirin. Verilene eşdeğer bir sistem elde ederiz, çünkü lineer denklemler sisteminde denklemler yeniden düzenlenebilir:

Yeni birinci denklemle değişkeni ortadan kaldır x ikinci ve sonraki tüm denklemlerden. Bunu yapmak için, matrisin ikinci satırına (bizim durumumuzda ) ile çarpılan ilk satırı ve üçüncü satıra da (bizim durumumuzda ) ile çarpılan ilk satırı ekleyin.

Bu mümkün çünkü

Sistemimizde üçten fazla denklem varsa, ilk satır, eksi işaretiyle alınan karşılık gelen katsayıların oranıyla çarpılarak sonraki tüm denklemlere eklenmelidir.

Sonuç olarak, ikinciden başlayarak tüm denklemlerin olduğu yeni bir denklem sisteminin verilen sistemine eşdeğer bir matris elde ederiz. değişken içermez x :

Ortaya çıkan sistemin ikinci satırını basitleştirmek için, onu çarparız ve tekrar bu sisteme eşdeğer denklem sisteminin matrisini alırız:

Şimdi, ortaya çıkan sistemin ilk denklemini değiştirmeden, ikinci denklemi kullanarak değişkeni ortadan kaldırırız y sonraki tüm denklemlerden Bunu yapmak için, sistem matrisinin üçüncü satırına (bizim durumumuzda, ) ile çarpılan ikinci satırı ekleyin.

Sistemimizde üçten fazla denklem varsa, ikinci satır, eksi işaretiyle alınan karşılık gelen katsayıların oranıyla çarpılarak sonraki tüm denklemlere eklenmelidir.

Sonuç olarak, verilen lineer denklem sistemine eşdeğer sistemin matrisini tekrar elde ederiz:

Verilene eşdeğer bir yamuk doğrusal denklem sistemi elde ettik:

Denklem ve değişken sayısı örneğimizdekinden büyükse, değişkenlerin sıralı eleme işlemi, demo örneğimizde olduğu gibi sistem matrisi yamuk olana kadar devam eder.

Çözümü "sondan" bulacağız - tersine. Bunun için belirlediğimiz son denklemden z:
.
Bu değeri bir önceki denklemde yerine koyarsak, bulmak y:

İlk denklemden bulmak x:

Cevap: bu denklem sisteminin çözümü - .

: bu durumda sistemin tek çözümü varsa aynı cevap verilecektir. Sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa, o zaman cevap da olacaktır ve bu, bu dersin beşinci bölümünün konusudur.

Gauss yöntemini kullanarak bir lineer denklem sistemini kendiniz çözün ve ardından çözüme bakın.

Önümüzde yine denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu tutarlı ve kesin bir lineer denklem sistemi örneği var. Algoritmadaki demo örneğimizden farkı, halihazırda dört denklem ve dört bilinmeyen olmasıdır.

Örnek 4 Gauss yöntemini kullanarak bir lineer denklem sistemi çözün:

Şimdi, değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Biraz hazırlık çalışması yapalım. Katsayı oranı ile daha uygun hale getirmek için, ikinci satırın ikinci sütununda bir birim almanız gerekir. Bunu yapmak için, üçüncü satırı ikinci satırdan çıkarın ve elde edilen ikinci satırı -1 ile çarpın.

Şimdi üçüncü ve dördüncü denklemlerden değişkenin fiilen yok edilmesini gerçekleştirelim. Bunu yapmak için, üçüncü satıra , ile çarpılan ikinciyi ve dördüncü ile çarpılan ikinciyi , ekleyin.

Şimdi, üçüncü denklemi kullanarak, değişkeni dördüncü denklemden çıkarıyoruz. Bunu yapmak için, dördüncü satıra üçüncüyü ekleyin, çarpı . Yamuk şeklinde genişletilmiş bir matris elde ederiz.

Verilen sisteme eşdeğer bir denklem sistemi elde ettik:

Bu nedenle, elde edilen ve verilen sistemler tutarlı ve kesindir. Nihai çözümü "sondan" buluyoruz. Dördüncü denklemden, "x dördüncü" değişkeninin değerini doğrudan ifade edebiliriz:

Bu değeri sistemin üçüncü denkleminde yerine koyarız ve

,

,

Son olarak, değer ikamesi

İlk denklemde verir

,

"önce x"i bulduğumuz yer:

Cevap: Bu denklem sisteminin benzersiz bir çözümü vardır. .

Sistemin çözümünü Cramer yöntemiyle çözen bir hesap makinesinden de kontrol edebilirsiniz: Bu durumda sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Alaşımlar için bir problem örneği üzerinde uygulanan problemlerin Gauss yöntemi ile çözümü

Fiziksel dünyanın gerçek nesnelerini modellemek için doğrusal denklem sistemleri kullanılır. Bu problemlerden birini çözelim - alaşımlar için. Benzer görevler - karışımlar için görevler, bir mal grubundaki tek tek malların maliyeti veya özgül ağırlığı ve benzerleri.

Örnek 5Üç parça alaşımın toplam kütlesi 150 kg'dır. İlk alaşım% 60 bakır, ikincisi -% 30, üçüncü -% 10 içerir. Aynı zamanda birlikte ele alındığında ikinci ve üçüncü alaşımlarda bakır birinci alaşımdan 28.4 kg, üçüncü alaşımda bakır ikinciden 6.2 kg daha azdır. Her bir alaşım parçasının kütlesini bulun.

Çözüm. Bir lineer denklem sistemi oluşturuyoruz:

İkinci ve üçüncü denklemleri 10 ile çarparak, eşdeğer bir lineer denklem sistemi elde ederiz:

Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturuyoruz:

Dikkat, doğrudan hareket. Bir satır ekleyerek (bizim durumumuzda, çıkararak), bir sayı ile çarparak (iki kez uygularız), sistemin genişletilmiş matrisi ile aşağıdaki dönüşümler gerçekleşir:

Düz koşu bitti. Yamuk şeklinde genişletilmiş bir matrisimiz var.

Tersini kullanalım. Sondan bir çözüm buluyoruz. Bunu görüyoruz.

Bulduğumuz ikinci denklemden

Üçüncü denklemden -

Sistemin çözümünü Cramer yöntemiyle çözen bir hesap makinesinden de kontrol edebilirsiniz: Bu durumda sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Gauss yönteminin basitliği, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un onu icat etmek için sadece 15 dakika sürmesi gerçeğiyle kanıtlanmıştır. Adının yöntemine ek olarak, Gauss'un çalışmasından, "Bize inanılmaz ve doğal olmayan şeyleri kesinlikle imkansız olanla karıştırmamalıyız" vecizesi, keşifler yapmak için bir tür kısa talimattır.

Uygulanan birçok problemde üçüncü bir kısıtlama, yani üçüncü bir denklem olmayabilir, o zaman Gauss yöntemiyle üç bilinmeyenli iki denklem sistemini çözmek gerekir veya tam tersine denklemlerden daha az bilinmeyen vardır. Şimdi bu tür denklem sistemlerini çözmeye başlıyoruz.

Gauss yöntemini kullanarak herhangi bir sistemin tutarlı mı yoksa tutarsız mı olduğunu belirleyebilirsiniz. n lineer denklemler n değişkenler.

Gauss yöntemi ve sonsuz sayıda çözüm içeren lineer denklem sistemleri

Sonraki örnek, tutarlı fakat belirsiz bir lineer denklem sistemidir, yani sonsuz sayıda çözümü vardır.

Sistemin genişletilmiş matrisinde dönüşümler gerçekleştirdikten sonra (satırlara izin verme, satırları belirli bir sayı ile çarpma ve bölme, bir satırı diğerine ekleme), formun satırları

Formu olan tüm denklemlerde ise

Serbest üyeler sıfıra eşittir, bu, sistemin belirsiz olduğu, yani sonsuz sayıda çözümü olduğu ve bu tür denklemlerin "gereksiz" olduğu ve sistemden hariç tutulduğu anlamına gelir.

Örnek 6

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturalım. Ardından, ilk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden çıkarırız. Bunu yapmak için, ikinci, üçüncü ve dördüncü satırlara, sırasıyla , ile çarpılan ilk satırı ekleyin:

Şimdi ikinci satırı üçüncü ve dördüncü satıra ekleyelim.

Sonuç olarak, sisteme varıyoruz.

Son iki denklem formun denklemleri haline geldi. Bu denklemler, bilinmeyenlerin herhangi bir değeri için sağlanır ve atılabilir.

İkinci denklemi sağlamak için ve için keyfi değerler seçebiliriz, ardından değeri açık bir şekilde belirlenecektir: . İlk denklemden, değeri de benzersiz bir şekilde bulunur: .

Hem verilen hem de son sistemler uyumludur ancak belirsizdir ve formüller

keyfi için ve bize verilen sistemin tüm çözümlerini verin.

Gauss yöntemi ve çözümü olmayan lineer denklem sistemleri

Aşağıdaki örnek tutarsız bir lineer denklem sistemidir, yani çözümü yoktur. Bu tür sorunların cevabı şu şekilde formüle edilmiştir: sistemin çözümü yoktur.

İlk örnekle bağlantılı olarak zaten belirtildiği gibi, sistemin genişletilmiş matrisinde dönüşümler gerçekleştirdikten sonra, formun satırları

formun bir denklemine karşılık gelen

Aralarında sıfır olmayan serbest terimli en az bir denklem varsa (yani ), bu denklem sistemi tutarsızdır, yani çözümü yoktur ve bu, çözümünü tamamlar.

Örnek 7 Gauss yöntemini kullanarak lineer denklem sistemini çözün:

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturuyoruz. İlk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden çıkarırız. Bunu yapmak için, ilk çarpımı ikinci satıra, ilk çarpımı üçüncü satıra ve ilk çarpımı dördüncü satıra ekleyin.

Şimdi, değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Katsayıların tamsayı oranlarını elde etmek için, sistemin genişletilmiş matrisinin ikinci ve üçüncü satırlarını değiştiririz.

Üçüncü ve dördüncü denklemlerden hariç tutmak için, , ile çarpılan ikinciyi üçüncü satıra ve ikinci ile çarpılan , dördüncü satırına ekleyin.

Şimdi, üçüncü denklemi kullanarak, değişkeni dördüncü denklemden çıkarıyoruz. Bunu yapmak için, dördüncü satıra üçüncüyü ekleyin, çarpı .

Verilen sistem bu nedenle aşağıdakine eşdeğerdir:

Ortaya çıkan sistem tutarsızdır, çünkü son denklemi bilinmeyenlerin herhangi bir değeri ile karşılanamaz. Bu nedenle, bu sistemin çözümü yoktur.

nerede x* - homojen olmayan sistemin (2) çözümlerinden biri (örneğin (4)), (E−A + A) matrisin çekirdeğini (sıfır alanı) oluşturur A.

Matrisin iskeletsel bir ayrışmasını yapalım (E−A + A):

E−A + A=Q S

nerede Q n×n−r- sıra matrisi (Q)=n−r, S n−r×n-sıra matrisi (S)=n−r.

O halde (13) aşağıdaki biçimde yazılabilir:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

nerede k=Sz.

Yani, genel çözüm prosedürü sözde ters matris kullanan doğrusal denklem sistemleri aşağıdaki biçimde temsil edilebilir:

1. Sözde ters matrisi hesaplayın A + .
2. Homojen olmayan lineer denklem sisteminin belirli bir çözümünü hesaplıyoruz (2): x*=A + b.
3. Sistemin uyumluluğunu kontrol ediyoruz. Bunun için hesaplıyoruz AA + b. Eğer bir AA + b≠b, o zaman sistem tutarsız. Aksi takdirde işleme devam ederiz.
4. vyssylyaem E-A+A.
5. İskelet ayrıştırma yapmak E−A + A=Q·S.
6. Çözüm Oluşturma

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

Bir lineer denklem sistemini çevrimiçi çözme

Çevrimiçi hesap makinesi, ayrıntılı açıklamalarla bir doğrusal denklem sisteminin genel çözümünü bulmanızı sağlar.

Talimat

Yerine koyma veya ardışık eleme yöntemi Yer değiştirme, az sayıda bilinmeyenli bir sistemde kullanılır. Bu basit için en basit çözüm yöntemidir. İlk olarak, ilk denklemden bilinmeyeni diğerleri aracılığıyla ifade ediyoruz ve bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyuyoruz. Dönüştürülen ikinci denklemden ikinci bilinmeyeni ifade ederiz, elde edilen sonucu üçüncü denklemle değiştiririz, vb. son bilinmeyeni hesaplayana kadar. Sonra değerini önceki denklemde yerine koyarız ve sondan bir önceki bilinmeyeni buluruz, vb. Bilinmeyenlerle birlikte düşünün.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
İlk x denkleminden ifade edin: x = 3 - y. İkinci denklemde ikame: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3 - 3y = 0
y=1
İlk denklemde yerine sistemler(veya x için aynı olan bir ifadeye): x + 1 - 3 = 0. x = 2'yi elde ederiz.

Dönem dönem çıkarma (veya toplama) Bu yöntem genellikle çözümleri kısaltır sistemler ve hesaplamaları basitleştirin. Denklemleri toplayacak (veya çıkaracak) şekilde bilinmeyenleri analiz etmekten ibarettir. sistemler denklemden bilinmeyenlerin bir kısmını ortadan kaldırmak için Bir örnek düşünün, ilk yöntemdekiyle aynı sistemi alın.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
y'de katsayıların mutlak değerde aynı olduğunu, ancak bir işareti olduğunu görmek kolaydır, bu nedenle terim terim iki denklem eklersek, y y'yi hariç tutabilir. Ekleyelim: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 veya 3x - 6 = 0. Böylece, x = 2. Bu değeri herhangi bir denklemde yerine koyarsak y'yi buluruz.
Alternatif olarak, x hariç tutulabilir. x'deki katsayılar aynı işarete sahiptir, bu yüzden bir denklemi diğerinden çıkaracağız. Ama birinci denklemde, x'deki katsayı 1 ve ikincide 2'dir, yani x'i basitçe ortadan kaldıramazsınız. İlk denklemi 2 ile çarparak aşağıdaki sistemi elde ederiz:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Şimdi, terim terim, birinci denklemden ikinciyi çıkarın: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 veya benzerlerini vererek 3y - 3 = 0. Böylece, y = 1. Herhangi bir denklemde yerine koyarsak x'i buluruz.

İlgili videolar

İpucu 2: Bir lineer denklem sisteminin uyumluluğu nasıl kanıtlanır?

Yüksek matematiğin görevlerinden biri, bir lineer denklem sisteminin uyumluluğunun kanıtıdır. Kanıt, ana matrisinin sıralaması genişletilmiş matrisin sıralamasına eşitse, sistemin tutarlı olduğu Kronker-Capelli teoremine göre yapılmalıdır.

Talimat

Sistemin ana matrisini yazınız. Bunu yapmak için, denklemleri standart forma getirin (yani, tüm katsayıları aynı sıraya koyun, herhangi biri eksikse, basitçe "0" sayısal katsayısıyla yazın). Tüm katsayıları bir tablo şeklinde yazın, parantez içine alın (sağ tarafa aktarılan serbest terimleri dikkate almayın).

Aynı şekilde, sistemin genişletilmiş matrisini yazın, sadece bu durumda, sağa dikey bir çubuk koyun ve serbest üyelerin sütununu yazın.

Ana matrisin sırasını hesaplayın, bu en büyük sıfır olmayan minördür. Birinci dereceden bir minör, matrisin herhangi bir basamağıdır, sıfıra eşit olmadığı açıktır. İkinci dereceden küçük olanı hesaplamak için herhangi iki satır ve herhangi iki sütun alın (dört basamak elde edeceksiniz). Determinantı hesaplayın, sol üstteki sayıyı sağ alt ile çarpın, elde edilen sayıdan sol alt ve sağ üst çarpımını çıkarın. Elinizde ikinci dereceden bir reşit olmayan var.

Üçüncü derecenin minörünü hesaplamak daha zordur. Bunu yapmak için, herhangi bir üç satır ve üç sütun alın, dokuz sayıdan oluşan bir tablo alacaksınız. Determinantı aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayın: ∆=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a12a21a33-a11a23a32 (katsayının ilk basamağı satır numarası, ikinci basamak sütun numarasıdır). Üçüncü dereceden bir reşit olmayanı aldınız.

Benzer şekilde, artırılmış matrisin sırasını bulun. Sisteminizdeki denklemlerin sayısı sıralamayla eşleşiyorsa (örneğin, üç denklem ve sıralama 3'tür), artırılmış matrisin sıralamasını hesaplamanın bir anlamı yoktur - açıkçası, bu sayıya da eşit olacaktır. . Bu durumda, lineer denklem sisteminin tutarlı olduğu sonucuna güvenle varabiliriz.

İlgili videolar

Sorulan soru, "Lineer Cebir" dersinin tamamının ana hedefini tamamen kapsar. Bu nedenle, ayrıntılı hesaplamalar ve açıklamalar olmadan cevap ancak sıkıştırılmış bir biçimde verilebilir. Genel olarak lineer denklemler ilgi çekicidir çünkü tamamen algoritmik yöntemlerle çözülebilirler.

Talimat

n bilinmeyenli m lineer cebirsel denklem sistemi şu şekildedir (bkz. Şekil 1).
İçinde aij sistem katsayılarıdır, xj bilinmeyenlerdir, bi serbest üyelerdir (i=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... , p). Böyle bir sistemin, denklemlerinin sayısının bilinmeyenlerin sayısını geçmediği, yani m≤n olduğu durumda pratik anlamı vardır. Gerçek şu ki, aksi takdirde "ekstra" denklemler diğerlerinin lineer bir birleşimi olmalıdır. Sadece onları tekrar etmeleridir. Değilse, çözüm mevcut değildir (sistem tutarlı değildir).

Böyle bir sistem, AX=B matris biçiminde kompakt bir şekilde yazılabilir. Burada A sistemin katsayılarıdır, X bilinmeyenlerin sütun matrisidir, B serbest elemanların sütun matrisidir (bkz. Şekil 2). m=n ise, yani bilinmeyenlerin sayısı ve denklemlerin sayısı aynıysa, A matrisi karedir. Bu nedenle, ∆=|A| matrisinin determinantı kavramı onun için tanımlanmıştır. |A|≠0 için ters bir A⁻¹ matrisi vardır. AA⁻¹= A⁻¹A=E eşitliğine dayanır (E, birim matrisidir). Hesaplama formülü de Şekil 2'de sunulmuştur. Yalnızca A matrisinin aij öğelerinin cebirsel tümleyenleri olarak adlandırılan Aij Г öğelerinin aşağıdaki gibi hesaplandığı eklenmelidir. |A| determinantını alın ve aij öğesini içeren satır ve sütunu silin. Kalan katsayıları, i+j çift değilse (-1) ile çarpacağınız bir determinant olarak yazın. Karşılık gelen sayı Aij'dir. Cebirsel eklemeler, ilgili matrisin sütunları üzerine yazılır.

Sistemin çözümünü matris yöntemiyle bulunuz. Bunu yapmak için, AX=B sisteminin her iki parçasını soldaki A⁻¹ ile çarpın. (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B veya X=A⁻¹B alın. Tüm detaylar Şekil 2'de gösterilmektedir. 3. Aynı şekil gösterir

Bu derste, bir lineer denklem sistemini çözme yöntemlerini ele alacağız. Yüksek matematik dersinde, lineer denklem sistemlerinin hem ayrı görevler şeklinde, örneğin "Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözme" şeklinde hem de diğer problemleri çözme sürecinde çözülmesi gerekir. Yüksek matematiğin hemen hemen tüm dallarında lineer denklem sistemleriyle uğraşmak gerekir.

İlk olarak, küçük bir teori. Bu durumda matematiksel "doğrusal" kelimesi ne anlama geliyor? Bu, sistemin denklemlerinde tüm değişkenler dahil birinci derecede: gibi süslü şeyler yok vb. sadece matematik olimpiyatlarının katılımcılarının memnun olduğu.

Yüksek matematikte, değişkenleri belirtmek için yalnızca çocukluktan tanıdık harfler kullanılmaz.
Oldukça popüler bir seçenek, endeksli değişkenlerdir: .
Veya Latin alfabesinin küçük ve büyük ilk harfleri:
Yunan harflerini bulmak çok nadir değildir: - birçok "alfa, beta, gama" tarafından iyi bilinir. Ve ayrıca "mu" harfiyle indeksli bir set:

Bir veya daha fazla harf grubunun kullanımı, bir lineer denklem sistemi ile karşı karşıya olduğumuz yüksek matematiğin dalına bağlıdır. Bu nedenle, örneğin, integrallerin, diferansiyel denklemlerin çözümünde karşılaşılan lineer denklem sistemlerinde, gösterimi kullanmak geleneksel olarak gelenekseldir.

Ancak değişkenler nasıl belirlenirse belirlensin, bir lineer denklem sistemini çözmenin ilkeleri, yöntemleri ve yöntemleri bundan değişmez. Bu nedenle, korkunç bir şeyle karşılaşırsanız, sorunlu kitabı korkuyla kapatmak için acele etmeyin, sonuçta, bunun yerine güneşi çizebilirsiniz - bir kuş ve bunun yerine - bir yüz (bir öğretmenin). Ve garip bir şekilde, bu notasyonlarla bir lineer denklem sistemi de çözülebilir.

Öyle bir önseziye sahibim ki, makale oldukça uzun olacak, yani küçük bir içindekiler tablosu. Dolayısıyla, sıralı "bilgilendirme" aşağıdaki gibi olacaktır:

– Bir lineer denklem sistemini ikame yöntemiyle çözme (“okul yöntemi”);
– Sistem denklemlerinin terim terim toplama (çıkarma) yöntemiyle sistemin çözümü;
– Sistemin Cramer formülleriyle çözümü;
– Ters matris kullanarak sistemin çözümü;
– Sistemin Gauss yöntemi ile çözümü.

Herkes okul matematik dersinden lineer denklem sistemlerine aşinadır. Aslında, tekrarla başlıyoruz.

Bir lineer denklem sistemini ikame yöntemiyle çözme

Bu yönteme “okul yöntemi” veya bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi de denilebilir. Mecazi olarak konuşursak, "yarı bitmiş Gauss yöntemi" olarak da adlandırılabilir.

örnek 1

Burada iki bilinmeyenli iki denklem sistemimiz var. Serbest terimlerin (5 ve 7 sayıları) denklemin sol tarafında yer aldığına dikkat edin. Genel olarak konuşursak, nerede oldukları önemli değil, solda veya sağda, sadece yüksek matematikteki problemlerde genellikle bu şekilde yer alıyorlar. Ve böyle bir kayıt kafa karıştırıcı olmamalıdır, gerekirse sistem her zaman "her zamanki gibi" yazılabilir:. Bir terimi parçadan parçaya aktarırken işaretini değiştirmeniz gerektiğini unutmayın.

Bir lineer denklem sistemini çözmek ne anlama gelir? Bir denklem sistemini çözmek, çözüm kümesini bulmak anlamına gelir. Sistemin çözümü, içinde yer alan tüm değişkenlerin bir değerler kümesidir, bu da sistemin HER denklemini gerçek bir eşitliğe dönüştürür. Ek olarak, sistem olabilir uyumsuz (çözüm yok).Utangaç olmayın, bu genel bir tanımdır =) Her bir -we denklemini sağlayan sadece bir "x" değerine ve bir "y" değerine sahip olacağız.

Sistemi çözmek için derste bulunabilecek grafiksel bir yöntem var. Düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler. orada bahsettim geometrik anlamda iki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemleri. Ama şimdi avluda cebir ve sayılar-sayılar, eylemler-eylemler çağı.

biz karar veririz: ifade ettiğimiz ilk denklemden:
Ortaya çıkan ifadeyi ikinci denklemde değiştiririz:

Parantezleri açıyoruz, benzer terimler veriyoruz ve değeri buluyoruz:

Sonra, neyden dans ettiklerini hatırlıyoruz:
Değeri zaten biliyoruz, bulmak için kalır:

Cevap:

HERHANGİ BİR denklem sistemi HERHANGİ bir şekilde çözüldükten sonra, kontrol etmenizi şiddetle tavsiye ederim. (sözlü olarak, taslakta veya hesap makinesinde). Neyse ki, bu hızlı ve kolay bir şekilde yapılır.

1) Bulunan cevabı ilk denklemde yerine koyun:

- doğru eşitlik elde edilir.

2) Bulunan cevabı ikinci denklemde yerine koyarız:

- doğru eşitlik elde edilir.

Ya da daha basit bir ifadeyle, "her şey bir araya geldi"

Düşünülen çözüm yöntemi tek yöntem değil; ilk denklemden ifade etmek mümkündü, ancak değil.
Tam tersi - ikinci denklemden bir şey ifade edebilir ve onu ilk denklemin yerine koyabilirsiniz. Bu arada, dört yoldan en dezavantajlısının ikinci denklemden ifade etmek olduğuna dikkat edin:

Kesirler elde edilir, ama neden? Daha mantıklı bir çözüm var.

Bununla birlikte, bazı durumlarda, kesirler hala vazgeçilmezdir. Bu bağlamda ifadeyi NASIL yazdığıma dikkatinizi çekerim. Böyle değil: ve hiçbir şekilde böyle değil: .

Yüksek matematikte kesirli sayılarla uğraşıyorsanız, tüm hesaplamaları sıradan uygun olmayan kesirlerde yapmaya çalışın.

Kesinlikle, değil veya!

Virgül yalnızca ara sıra kullanılabilir, özellikle de - bu bir sorunun son yanıtıysa ve bu numarayla başka bir işlem yapılması gerekmiyorsa.

Pek çok okuyucu muhtemelen “neden bir düzeltme sınıfı için bu kadar ayrıntılı bir açıklama ve her şey açık” diye düşündü. Öyle bir şey yok, çok basit bir okul örneği gibi görünüyor, ama kaç tane ÇOK önemli sonuç! İşte burada bir başkası:

Herhangi bir görev en akılcı şekilde tamamlanmaya çalışılmalıdır.. Sadece zamandan ve sinirlerden tasarruf sağladığı ve ayrıca hata yapma olasılığını azalttığı için.

Yüksek matematikteki bir görevde, iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemiyle karşılaşırsanız, her zaman ikame yöntemini kullanabilirsiniz (sistemin farklı bir yöntemle çözülmesi gerektiği belirtilmedikçe) ".
Ayrıca, bazı durumlarda ikame yönteminin daha fazla sayıda değişkenle kullanılması tavsiye edilir.

Örnek 2

Üç bilinmeyenli bir lineer denklem sistemini çözün

Benzer bir denklem sistemi, rasyonel bir kesirli fonksiyonun integralini bulduğumuzda belirsiz katsayılar yöntemini kullanırken sıklıkla ortaya çıkar. Söz konusu sistem tarafımdan oradan alınmıştır.

İntegrali bulurken - amaç hızlı katsayıların değerlerini bulun ve Cramer formülleri, ters matris yöntemi vb. ile karmaşık olmayın. Bu nedenle, bu durumda ikame yöntemi uygundur.

Herhangi bir denklem sistemi verildiğinde, öncelikle bulunması arzu edilir, ancak bunu HEMEN bir şekilde basitleştirmek mümkün müdür? Sistemin denklemlerini analiz ederken, sistemin ikinci denkleminin 2'ye bölünebileceğini fark ediyoruz, ki bunu yapıyoruz:

Referans: matematiksel bir sembol "bundan bunu takip eder" anlamına gelir, genellikle problem çözme sürecinde kullanılır.

Şimdi denklemleri analiz edeceğiz, bazı değişkenleri geri kalanıyla ifade etmemiz gerekiyor. Hangi denklem seçilir? Muhtemelen bu amaç için en kolay yolun sistemin ilk denklemini almak olduğunu tahmin etmişsinizdir:

Burada, hangi değişkenin ifade edileceği önemli değil, ya da ifade edilebilir.

Ardından, ifadeyi sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinde yerine koyarız:

Köşeli parantezleri açın ve benzer terimleri ekleyin:

Üçüncü denklemi 2'ye böleriz:

İkinci denklemden, üçüncü denklemi ifade eder ve yerine koyarız:

Bulduğumuz üçüncü denklemden hemen hemen her şey hazır:
İkinci denklemden:
İlk denklemden:

Kontrol edin: Sistemin her denkleminin sol tarafındaki değişkenlerin bulunan değerlerini değiştirin:

1)
2)
3)

Denklemlerin karşılık gelen sağ tarafları elde edilir, böylece çözüm doğru bulunur.

Örnek 3

4 bilinmeyenli bir lineer denklem sistemini çözün

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (cevap dersin sonunda).

Sistemin denklemlerinin terim terim eklenmesi (çıkarılması) ile sistemin çözümü

Doğrusal denklem sistemlerini çözme sürecinde, “okul yöntemi” değil, sistem denklemlerinin dönem dönem toplama (çıkarma) yöntemini kullanmaya çalışılmalıdır. Neden? Niye? Bu zaman kazandırır ve hesaplamaları basitleştirir, ancak şimdi daha net hale gelecektir.

Örnek 4

Lineer denklem sistemini çözün:

İlk örnekle aynı sistemi aldım.
Denklem sistemini analiz ederken, değişkenin katsayılarının mutlak değerde aynı ve işarette (-1 ve 1) zıt olduğunu fark ederiz. Bu durumda, denklemler terim terim eklenebilir:

Kırmızı daire içine alınmış eylemler ZİHİNSEL OLARAK gerçekleştirilir.
Görüldüğü gibi terimsel toplama işlemi sonucunda değişkeni kaybettik. Bu, aslında yöntemin özü, değişkenlerden birinden kurtulmaktır..