สูตรเหนี่ยวนำคณิตศาสตร์ การพัฒนาระเบียบวิธี "วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์". หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์และการพิสูจน์

วิธีการพิสูจน์ตามสัจพจน์ 4 ของ Peano ใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์และข้อความต่างๆ พื้นฐานสำหรับสิ่งนี้คือทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. หากคำสั่ง แต่(น)ด้วยตัวแปรทางธรรมชาติ นจริงสำหรับ n= 1 และจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นความจริงสำหรับ n=k, เป็นไปตามที่เป็นจริงสำหรับตัวเลขถัดไป n=k,จากนั้นคำสั่ง แต่(น) น.

การพิสูจน์. แสดงโดย เอ็มเซตของจำนวนเหล่านั้นและเฉพาะจำนวนธรรมชาติเหล่านั้นที่คำสั่ง แต่(น)จริง. จากเงื่อนไขของทฤษฎีบท เราได้: 1) 1 เอ็ม; 2) k Mkเอ็ม. ดังนั้น บนพื้นฐานของสัจพจน์ 4 เราจึงสรุปได้ว่า ม =นู๋, เช่น. คำแถลง แต่(น)จริงสำหรับธรรมชาติใดๆ น.

วิธีการพิสูจน์ตามทฤษฎีบทนี้เรียกว่า วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์และสัจพจน์ก็คือสัจพจน์ของการเหนี่ยวนำ หลักฐานนี้มีสองส่วน:

1) พิสูจน์ว่าคำสั่ง แต่(น)จริงสำหรับ n= ก(1);

2) ถือว่าคำสั่ง แต่(น)จริงสำหรับ n=kและเริ่มต้นจากสมมติฐานนี้พิสูจน์ว่าคำสั่ง หนึ่ง)จริงสำหรับ n=k+ 1 คือ ว่าข้อความนั้นเป็นความจริง A(k) A(k + 1).

ถ้า แต่( 1) แต่(k) A(k + 1) เป็นข้อความจริงแล้วจึงสรุปว่าคำกล่าว หนึ่ง)เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ น.

การพิสูจน์โดยอุปนัยทางคณิตศาสตร์สามารถเริ่มต้นได้ไม่เพียงแต่ด้วยการยืนยันความจริงของคำสั่งสำหรับ n= 1 แต่ยังมาจากจำนวนธรรมชาติใด ๆ ม. ในกรณีนี้ คำสั่ง แต่(น)จะได้รับการพิสูจน์สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด นาโนเมตร.

ปัญหา ลองพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ ความเท่าเทียมกัน 1 + 3 + 5 ... + (2 น- 1) = น.

วิธีการแก้.ความเท่าเทียมกัน 1 + 3 + 5 ... + (2 น- 1) = นเป็นสูตรที่สามารถใช้หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติคี่ลำดับแรกได้ ตัวอย่างเช่น 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (ผลรวมมี 4 คำ), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (ผลรวมมี 6 คำ); หากผลรวมนี้มี 20 เงื่อนไขของประเภทที่ระบุก็จะเท่ากับ 20 = 400 เป็นต้น เมื่อพิสูจน์ความจริงของความเท่าเทียมกันนี้แล้ว เราจะสามารถหาผลรวมของพจน์ประเภทที่ระบุจำนวนเท่าใดก็ได้โดยใช้สูตร

1) ตรวจสอบความจริงของความเท่าเทียมกันนี้สำหรับ n= 1. เมื่อไร n= 1 ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันประกอบด้วยหนึ่งเทอมเท่ากับ 1 ด้านขวาเท่ากับ 1= 1 เนื่องจาก 1 = 1 ดังนั้นสำหรับ n= 1 ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริง

2) สมมติว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับ n=k, เช่น. ว่า 1 + 3 + 5 + … + (2 เค- 1) = เคจากสมมติฐานนี้ เราพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงสำหรับ n=k+ 1 คือ 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

พิจารณาด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันสุดท้าย

โดยสันนิษฐาน ผลรวมของครั้งแรก kเงื่อนไขคือ kและดังนั้น 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. การแสดงออก k+ 2k + 1 เท่ากับนิพจน์ ( k + 1).

ดังนั้นความจริงของความเท่าเทียมกันนี้สำหรับ n=k+ 1 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ดังนั้น ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับ n= 1 และจากความจริงของมันสำหรับ n=kปฏิบัติตามความจริงสำหรับ n=k+ 1.

นี่พิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ

โดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ เราสามารถพิสูจน์ความจริงไม่เพียงแต่ความเท่าเทียมกันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความไม่เท่าเทียมกันด้วย

งาน. พิสูจน์ที่ไหน นน.

วิธีการแก้.ให้เราตรวจสอบความจริงของความไม่เท่าเทียมกันสำหรับ n= 1. เรามี - ความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริง

สมมุติว่าอสมการเป็นจริงสำหรับ n=k,เหล่านั้น. - ความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริง ให้เราพิสูจน์ตามสมมติฐานว่าเป็นจริงสำหรับ n=k+ 1 คือ (*).

เราแปลงด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกัน (*) โดยคำนึงถึงว่า: .

แต่นั่นก็หมายความว่า .

ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับ n= 1 และจากข้อเท็จจริงที่ว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้นเป็นจริงสำหรับบางคน n= kเราพบว่ามันก็จริงเช่นกันสำหรับ n= k + 1.

ดังนั้น โดยใช้สัจพจน์ 4 เราได้พิสูจน์แล้วว่าอสมการนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ

การยืนยันอื่น ๆ สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

งาน. พิสูจน์ว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ

วิธีการแก้. ให้เราตรวจสอบความจริงของคำสั่งสำหรับ n= 1: -คำสั่งจริง

สมมุติว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับ n=k: . ให้เราแสดงโดยใช้สิ่งนี้ความจริงของคำสั่งสำหรับ n=k+ 1: .

ลองแปลงนิพจน์: . มาหาความแตกต่างกัน kและ k+สมาชิก 1 คน หากปรากฎว่าผลต่างที่ได้คือผลคูณของ 7 และโดยการสันนิษฐานว่า subtrahend หารด้วย 7 ลงตัวแล้ว minuend ก็เป็นผลคูณของ 7 ด้วย:

ผลลัพธ์ที่ได้คือผลคูณของ 7 ดังนั้น และ

ดังนั้น ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับ n= 1 และจากความจริงของมันสำหรับ n=kปฏิบัติตามความจริงสำหรับ n=k+ 1.

นี่เป็นการพิสูจน์ว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ

งาน. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ น 2 ข้อความ (7-1)24 เป็นจริง

วิธีการแก้. 1) ตรวจสอบความจริงของคำสั่งสำหรับ น= 2: - ข้อความจริง

วิธีการพิสูจน์ ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อนี้ ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ของอนุกรมธรรมชาติอย่างใดอย่างหนึ่ง

สัจพจน์ของการเหนี่ยวนำ ให้ประโยคที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร พีแทนที่จะใช้แทนจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้ แสดงว่า เอ(พี).ให้ประโยคด้วย แต่เป็นจริงสำหรับหมายเลข 1 และจากข้อเท็จจริงที่ว่า แต่จริงสำหรับตัวเลข ถึง, ตามนั้น แต่จริงสำหรับตัวเลข k+ 1. จากนั้นให้ แต่จริงสำหรับค่าธรรมชาติทั้งหมด ป.

สัญกรณ์สัญลักษณ์ของสัจพจน์:

ที่นี่ จุดสูงสุด-ตัวแปรเหนือเซตของจำนวนธรรมชาติ จากสัจพจน์ของการเหนี่ยวนำ จะได้กฎการอนุมานดังต่อไปนี้:

ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ความจริงของโจทย์ แต่,ก่อนอื่นเราสามารถพิสูจน์สองข้อความ: ความจริงของข้อความ แต่( 1) เช่นเดียวกับผลสืบเนื่อง เอ(เค) => A(k+ 1).

เมื่อพิจารณาจากข้างต้น เราจะอธิบายเอนทิตี กระบวนการ

การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ให้ต้องพิสูจน์ว่าประโยค เอ(พี)จริงสำหรับธรรมชาติทั้งหมด ป.การพิสูจน์แบ่งออกเป็นสองขั้นตอน

• ขั้นตอนที่ 1 ฐานของการเหนี่ยวนำเราถือเป็นค่า พีหมายเลข 1 และตรวจสอบว่า แต่( 1) เป็นข้อความจริง
• ขั้นตอนที่ 2 การเปลี่ยนแปลงอุปนัยเราพิสูจน์แล้วว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ ถึงความหมายเป็นจริง: if A(k), แล้ว A(k+ 1).

ข้อความอุปนัยเริ่มต้นด้วยคำว่า: “ใช้จำนวนธรรมชาติโดยพลการ ถึง,ดังนั้น เอ(ค)",หรือ "ปล่อยให้เป็นจำนวนธรรมชาติ ถึงขวา เอ(ค)".แทนที่จะใช้คำว่า "ให้" พวกเขามักจะพูดว่า "สมมุติว่า ... "

หลังจากคำเหล่านี้ตัวอักษร ถึงหมายถึงวัตถุคงที่บางอย่างที่ความสัมพันธ์ถือ เอ(k).มาจาก เอ(เค)เราอนุมานผลที่ตามมา นั่นคือ เราสร้างห่วงโซ่ของประโยค A(k) 9 P, พี่ ..., Rn = A(k+ 1) โดยที่แต่ละประโยค อาร์เป็นข้อความจริงหรือเป็นผลสืบเนื่องมาจากประโยคก่อนหน้า ประโยคสุดท้าย อาร์"ต้องตรงกับ A(k+หนึ่ง). จากนี้เราสรุป: จาก เอ(เค)ควร A(k+).

การดำเนินการของการเปลี่ยนแปลงอุปนัยสามารถแบ่งออกเป็นสองขั้นตอน:

• 1) สมมติฐานอุปนัย ในที่นี้สมมุติว่า แต่ ถึงตัวแปร น.
• 2) จากสมมติฐาน เราพิสูจน์ได้ว่า แต่ขวาสำหรับหมายเลข?+1

ตัวอย่าง 5.5.1มาพิสูจน์เลขกัน p+pแม้จะเป็นธรรมชาติก็ตาม ป.

ที่นี่ เอ(พี) = "น 2 + น- เลขคู่". ต้องพิสูจน์ว่า แต่ -ภาคแสดงจริงเหมือนกัน เราใช้วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ฐานของการเหนี่ยวนำลองเอา l=1 แทนที่ในนิพจน์ พี+// เราได้ น 2 +น= I 2 + 1 = 2 เป็นจำนวนคู่ นั่นคือ /1(1) เป็นข้อความจริง

มากำหนดสูตรกัน สมมติฐานอุปนัย A (k)= "หมายเลข ถึง 2 + ถึง -สม่ำเสมอ." คุณสามารถพูดแบบนี้: "ใช้จำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจ ถึงดังนั้น ถึง 2 + ถึงเป็นเลขคู่

เราอนุมานได้จากข้ออ้างนี้ เอ(kA-)= "หมายเลข (k+ 1) 2 + (? + 1) - คู่

โดยคุณสมบัติของการดำเนินการ เราทำการแปลง:

เทอมแรกของผลรวมเป็นผลคู่โดยการสมมติ เทอมที่สองเป็นเลขคู่ตามนิยาม (เพราะมันมีรูปแบบ 2 ป).ผลรวมจึงเป็นเลขคู่ ประโยค A(k+ 1) พิสูจน์แล้ว

โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ เราสรุป: ประโยค เอ(พี)จริงสำหรับธรรมชาติทั้งหมด ป.

แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องป้อนสัญกรณ์ทุกครั้ง เอ(พี).อย่างไรก็ตาม ยังคงแนะนำให้กำหนดสมมติฐานอุปนัยและสิ่งที่จำเป็นในการอนุมานจากมันในบรรทัดที่แยกต่างหาก

โปรดทราบว่าการยืนยันจากตัวอย่าง 5.5.1 สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะพิจารณาสองกรณี: เมื่อ พีแม้กระทั่งและเมื่อ พีแปลก.

ปัญหาการหารลงตัวหลายอย่างแก้ได้ด้วยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้

ตัวอย่าง 5.5.2ให้เราพิสูจน์ว่าเลข 15 2u_| +1 หารด้วย 8 ลงตัวสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ป.

การเหนี่ยวนำ Bachaลองเอา /1=1 เรามี: หมายเลข 15 2|_| +1 = 15+1 = 16 หารด้วย 8 ลงตัว

ซึ่งสำหรับบางคน

ตัวเลขธรรมชาติ ถึงหมายเลข 15 2 * '+1 หารด้วย 8 ลงตัว

มาพิสูจน์กันแล้วเลขอะไร เอ\u003d 15 2 (ZHN +1 หารด้วย 8 ลงตัว

มาแปลงเลขกัน ก:

ตามสมมติฐาน จำนวน 15 2A1 +1 หารด้วย 8 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าเทอมแรกทั้งหมดหารด้วย 8 ลงตัว เทอมที่สอง 224=8-28 หารด้วย 8 ลงตัวเช่นกัน ดังนั้น จำนวน เอเนื่องจากผลต่างของตัวเลขสองตัวที่เป็นทวีคูณของ 8 หารด้วย 8 ลงตัว ขั้นตอนอุปนัยจึงสมเหตุสมผล

จากวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เราสรุปได้ว่าสำหรับธรรมชาติทั้งหมด พีหมายเลข 15 2 "-1 -*-1 หารด้วย 8 ลงตัว

ให้เราทำข้อสังเกตเกี่ยวกับปัญหาที่แก้ไขแล้ว

ข้อความที่พิสูจน์แล้วสามารถกำหนดได้แตกต่างกันเล็กน้อย: "จำนวน 15" "+1 หารด้วย 8 ลงตัวสำหรับเลขคี่ / และ"

ประการที่สอง จากข้อความทั่วไปที่พิสูจน์แล้ว เราสามารถสรุปได้เฉพาะ ซึ่งการพิสูจน์สามารถให้เป็นปัญหาแยกต่างหากได้: หมายเลข 15 2015 +1 หารด้วย 8 ลงตัว ดังนั้นบางครั้งก็มีประโยชน์ในการสรุปปัญหาด้วยการแสดงความหมาย ค่าเฉพาะด้วยตัวอักษรแล้วใช้วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ในความหมายทั่วไป คำว่า "อุปนัย" หมายถึงข้อสรุปทั่วไปบนพื้นฐานของตัวอย่างเฉพาะ ตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาตัวอย่างผลบวกของจำนวนคู่ 2+4=6, 2+8=10, 4+6=10, 8+12=20, 16+22=38 แล้ว เราก็สรุปได้ว่าผลรวมของสองตัวใดๆ เลขคู่เป็นเลขคู่

ในกรณีทั่วไป การเหนี่ยวนำดังกล่าวอาจนำไปสู่ข้อสรุปที่ไม่ถูกต้อง ให้เรายกตัวอย่างการใช้เหตุผลที่ไม่ถูกต้องเช่นนั้น

ตัวอย่าง 5.5.3 พิจารณาตัวเลข เอ= /r+n+41 สำหรับธรรมชาติ /?

มาหาค่ากัน เอสำหรับค่าบางอย่าง ป.

อนุญาต n= I. แล้ว ก = 43 เป็นจำนวนเฉพาะ

ให้ /7=2 แล้ว เอ= 4+2+41 = 47 เป็นจำนวนเฉพาะ

ให้ ล.=3. แล้ว เอ= 9+3+41 = 53 เป็นจำนวนเฉพาะ

ให้ /7=4 แล้ว เอ= 16+4+41 = 61 เป็นจำนวนเฉพาะ

เอาไว้เป็นค่า พีตัวเลขตามหลังสี่เหลี่ยม เช่น 5, 6, 7 และตรวจดูให้แน่ใจว่าตัวเลข เอจะเป็นเรื่องง่าย

เราสรุป: “สำหรับธรรมชาติทั้งหมด /? ตัวเลข เอจะเรียบง่าย"

ผลที่ได้คือข้อความเท็จ นี่คือตัวอย่างที่ขัดแย้ง: /7=41 ตรวจสอบให้แน่ใจด้วยสิ่งนี้ พีตัวเลข เอจะเป็นแบบประกอบ

คำว่า "การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์" มีความหมายที่แคบกว่า เนื่องจากการใช้วิธีนี้ช่วยให้คุณได้ข้อสรุปที่ถูกต้องเสมอ

ตัวอย่าง 5.5.4 จากการใช้เหตุผลเชิงอุปนัย เราได้รับสูตรสำหรับคำศัพท์ทั่วไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จำได้ว่าอาชีพเลขคณิตเป็นลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละคนแตกต่างจากก่อนหน้านี้ด้วยจำนวนเดียวกัน เรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้า คุณต้องระบุสมาชิกคนแรกของอาชีพนั้นเพื่อระบุอาชีพเลขคณิตโดยเฉพาะ เอและความแตกต่าง ง.

ตามคำนิยาม พี+ = n + d,ที่ n> 1.

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนตามกฎแล้วสูตรของคำศัพท์ทั่วไปของวิชาชีพเลขคณิตได้รับการจัดตั้งขึ้นบนพื้นฐานของตัวอย่างเฉพาะนั่นคือโดยการเหนี่ยวนำอย่างแม่นยำ

ถ้า /7=1 แล้ว จาก 7| = ฉัน| แล้วฉันก็เป็น| = tf|+df(ล.-1).

ถ้า /7=2 แล้ว i 2 = a + d,นั่นคือ เอ= ฉัน|+*/(2-1).

ถ้า /7=3 แล้ว i 3 = i 2 + = (a+d)+d = a+2d,เช่น ผม 3 = ผม|+(3-1)

ถ้า /7=4 แล้ว i 4 = i 3 +*/ = ( a+2d)+d\u003d R1 + 3 เป็นต้น

ตัวอย่างเฉพาะที่ให้มาทำให้เราสามารถเสนอสมมติฐานได้: สูตรคำศัพท์ทั่วไปมีรูปแบบ ก" = a+(n-)dสำหรับทุกคน /7>1.

ให้เราพิสูจน์สูตรนี้โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

การเหนี่ยวนำฐานยืนยันในการสนทนาก่อนหน้านี้

อนุญาต ถึง -ตัวเลขดังกล่าวที่ฉัน * - a+(k-)d (สมมติฐานอุปนัย).

มาพิสูจน์กันที่ฉัน**! = a+((k+)-)d,คือ i*+1 = ขวาน+kd.

ตามคำจำกัดความ i*+1 = ab + ง. ถึง= ฉัน | +(k-1 )d, วิธี, ac+\u003d ฉัน ฉัน + (A: -1) ^ / + c / \u003d ฉัน | +(A-1+1 )d= ฉัน ฉัน +kdซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์ (เพื่อพิสูจน์การเปลี่ยนแปลงอุปนัย)

ตอนนี้สูตร i„ = a+(n-)dพิสูจน์แล้วสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ /;.

ให้ลำดับบางอย่าง i b i 2 , i, „ ... (ไม่

จำเป็นต้องมีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือเรขาคณิต) มักมีปัญหาที่ต้องรวมก่อน พีสมาชิกของลำดับนี้ กล่าวคือ ระบุผลรวม R|+i 2 +...+i และสูตรที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาค่าของผลรวมนี้โดยไม่ต้องคำนวณสมาชิกของลำดับ

ตัวอย่าง 5.5.5 ให้เราพิสูจน์ว่าผลรวมของครั้งแรก พีตัวเลขธรรมชาติคือ

/?(/7 + 1)

แสดงถึงผลรวม 1+2+...+/7 โดย ซ.มาหาค่ากัน ส นสำหรับบางคน /7.

โปรดทราบว่าในการหาผลรวม S 4 คุณสามารถใช้ค่า 5 3 ที่คำนวณก่อนหน้านี้ได้ เนื่องจาก 5 4 = 5 3 +4

น(น +1)

หากเราแทนที่ค่าที่พิจารณาแล้ว/? ในระยะ --- บางอย่าง

เราได้รับผลรวมเท่ากัน 1, 3, 6, 10 ข้อสังเกตเหล่านี้

. _ น(n + 1)

แนะนำว่าสูตร ส„=--- สามารถใช้เมื่อ

ใดๆ //. ให้เราพิสูจน์การคาดเดานี้โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

การเหนี่ยวนำฐานตรวจสอบแล้ว มาทำกัน การเปลี่ยนแปลงอุปนัย

สมมติว่าสูตรเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติบางส่วน

, k(k + 1)

k แล้วเน็ตเวิร์กเป็นผลรวมของค่าแรก ถึงตัวเลขธรรมชาติคือ ----.

มาพิสูจน์กันว่าผลรวมของตัวเลขธรรมชาติตัวแรก (?+1) เท่ากับ

• (* + !)(* + 2)

แสดงออกเลยเหรอ*+1 ถึง เอส เค .เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ในผลรวม S*+i เราจัดกลุ่มแรก ถึงเงื่อนไข และเขียนเทอมสุดท้ายแยกกัน:

โดยสมมุติฐานอุปนัย S k =เพื่อที่จะหา

ผลรวมของตัวเลขธรรมชาติตัวแรก (? + 1) เพียงพอสำหรับการคำนวณแล้ว

. „ k(k + 1) _ .. ..

ผลรวมของครั้งแรก ถึงตัวเลขเท่ากับ --- เพิ่มหนึ่งเทอม (k + 1)

การเปลี่ยนแปลงอุปนัยเป็นธรรม ดังนั้นสมมติฐานที่หยิบยกมาในตอนเริ่มต้นจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

เราได้พิสูจน์สูตรแล้ว S n = n ^ n+ วิธี

การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ แน่นอนว่ายังมีหลักฐานอื่นๆ อีกด้วย ตัวอย่างเช่น คุณสามารถเขียนผลรวม เอส,เรียงจากน้อยไปมาก และจากนั้น เรียงจากมากไปหาน้อย:

ผลรวมของเทอมในคอลัมน์หนึ่งมีค่าคงที่ (ในหนึ่งผลรวม แต่ละเทอมถัดไปลดลง 1 และอีกส่วนหนึ่งเพิ่มขึ้น 1) และเท่ากับ (/r + 1) ดังนั้นเมื่อสรุปผลรวมแล้วเราได้ พีเงื่อนไขเท่ากับ (u+1) เพิ่มเป็นสองเท่า ส “เท่ากับ น(n+ 1).

สูตรที่พิสูจน์แล้วสามารถหาได้เป็นกรณีพิเศษของสูตรสำหรับผลรวมของครั้งแรก พีสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ให้เรากลับไปที่วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ โปรดทราบว่าขั้นตอนแรกของวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ (ฐานของการเหนี่ยวนำ) นั้นจำเป็นเสมอ การขาดขั้นตอนนี้อาจนำไปสู่ข้อสรุปที่ไม่ถูกต้อง

ตัวอย่าง 5.5.6 มา "พิสูจน์" ประโยคกัน: "เลข 7" + 1 หารด้วย 3 ลงตัวสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ "

“สมมติให้มีคุณค่าทางธรรมชาติบ้าง ถึงจำนวน 7*+1 หารด้วย 3 ลงตัว ลองพิสูจน์ว่าจำนวน 7 x +1 หารด้วย 3 ลงตัว

เห็นได้ชัดว่าเลข 6 หารด้วย 3 ลงตัว ตัวเลข 1 ถึง +หารด้วย 3 ลงตัวด้วยสมมติฐานอุปนัย ดังนั้นจำนวน 7- (7* + 1) ก็หารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน ดังนั้น ผลต่างของตัวเลขที่หารด้วย 3 ลงตัวก็จะหารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน

ข้อเสนอได้รับการพิสูจน์แล้ว”

การพิสูจน์ข้อเสนอดั้งเดิมนั้นไม่ถูกต้อง แม้ว่าขั้นตอนอุปนัยจะถูกต้องก็ตาม แน่นอนที่ n=ฉันมีหมายเลข 8 กับ n=2 -เลข 50, ..., และเลขเหล่านี้หารด้วย 3 ไม่ลงตัว

ให้เราทำข้อสังเกตที่สำคัญเกี่ยวกับสัญกรณ์ของจำนวนธรรมชาติเมื่อทำการเปลี่ยนแปลงอุปนัย เมื่อจัดทำข้อเสนอ เอ(พี)จดหมาย พีเราแสดงตัวแปรแทนการแทนที่ตัวเลขธรรมชาติใดๆ เมื่อกำหนดสมมติฐานอุปนัย เราแสดงค่าของตัวแปรด้วยตัวอักษร ถึง.อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งมากแทนที่จะเป็นตัวอักษรใหม่ ถึงใช้อักษรตัวเดียวกับตัวแปร สิ่งนี้ไม่ส่งผลต่อโครงสร้างของการให้เหตุผลเมื่อทำการเปลี่ยนแปลงแบบอุปนัย

ลองมาพิจารณาตัวอย่างปัญหาอีกสองสามตัวอย่างที่สามารถประยุกต์ใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ได้

ตัวอย่าง 5.5.7 หาค่าของผลรวม

ตัวแปรในงาน พีไม่ปรากฏ อย่างไรก็ตาม ให้พิจารณาลำดับของเงื่อนไข:

หมายถึง S \u003d a + a 2 + ... + a „มาหากัน ส" สำหรับบางคน ป.ถ้า /1= 1 แล้ว S, = เป็, =-.

ถ้า n= 2. จากนั้น S, = ก, + ก? = - + - = - = -.

ถ้า /?=3 แล้ว S-, = a,+a 7+ ผม, = - + - + - = - + - = - = -.

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

คำนวณค่าได้เอง ส “ที่ /7 = 4; 5. เกิดขึ้น

เดาโดยธรรมชาติ: ส น= -- สำหรับธรรมชาติ /7 ใดๆ มาพิสูจน์กัน

นี่คือการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

การเหนี่ยวนำฐานตรวจสอบด้านบน

มาทำกัน การเปลี่ยนแปลงอุปนัย, แสดงถึงความพลั้งเผลอ

ค่าตัวแปร พีตัวเดียวกัน นั่นคือ เราพิสูจน์ได้ว่าจากความเท่าเทียมกัน

0 /7 _ /7 +1

ส น=-เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน ส, =-.

/7+1 /7 + 2

สมมติว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริง ส= - ป -.

มาจัดสรรกัน ส +แรก พีเงื่อนไข:

ใช้สมมติฐานอุปนัยเราได้รับ:

ลดเศษส่วนด้วย (/7+1) เราจะมีความเท่าเทียมกัน ส n +1 - , L

การเปลี่ยนแปลงอุปนัยเป็นธรรม

นี่พิสูจน์ว่าผลรวมของครั้งแรก พีเงื่อนไข

• 1 1 1 /7 ^
• - +-+...+- เท่ากับ - เอาล่ะ กลับมาที่เดิมกัน
• 1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

งาน. แก้ให้พอเอามาเป็นค่าได้ พีหมายเลข 99.

แล้วผลรวม -!- + -!- + -!- + ...+ --- จะเท่ากับเลข 0.99

1-2 2-3 3-4 99100

ลองคำนวณจำนวนเงินนี้ด้วยวิธีอื่น

ตัวอย่าง 5.5.8. ให้เราพิสูจน์ว่าอนุพันธ์ของผลบวกของฟังก์ชันอนุพันธ์จำนวนจำกัดใดๆ เท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้

ให้ตัวแปร /? หมายถึงจำนวนของคุณสมบัติที่กำหนด ในกรณีที่ให้ฟังก์ชันเดียวเท่านั้น ฟังก์ชันนี้ถือเป็นผลรวม ดังนั้น ถ้า /7=1 แสดงว่าคำสั่งนั้นเป็นจริงอย่างแน่นอน: /" = /"

สมมติว่าคำสั่งเป็นจริงสำหรับชุดของ พีฟังก์ชั่น (ที่นี่อีกครั้งแทนตัวอักษร ถึงจดหมายที่นำมา ป),นั่นคืออนุพันธ์ของผลรวม พีฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์

มาพิสูจน์กันว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน (n + 1) เท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ นำชุดตามอำเภอใจซึ่งประกอบด้วย n+ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล: /1,/2, . ให้เราแทนผลรวมของฟังก์ชันเหล่านี้

เช่น g+f„+ 1 ที่ไหน g=f +/g + ... +/t-ผลรวม พีฟังก์ชั่น. โดยสมมติฐานอุปนัย อนุพันธ์ของฟังก์ชัน gเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์: ก." = ฟุต + ฟุต + ... +ฟุตดังนั้นห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็น:

การเปลี่ยนแปลงอุปนัยเสร็จสมบูรณ์

ดังนั้น ข้อเสนอดั้งเดิมจึงได้รับการพิสูจน์สำหรับฟังก์ชันจำนวนจำกัด

ในบางกรณีจำเป็นต้องพิสูจน์ความจริงของโจทย์ เอ(พี)สำหรับธรรมชาติ i เริ่มต้นจากค่าบางอย่าง กับ.การพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ในกรณีดังกล่าวจะดำเนินการตามรูปแบบต่อไปนี้

ฐานของการเหนี่ยวนำเราพิสูจน์แล้วว่าข้อเสนอ แต่จริงสำหรับค่า พีเท่ากัน กับ.

การเปลี่ยนแปลงอุปนัย 1) เราถือว่าข้อเสนอ แต่จริงสำหรับค่าบางอย่าง ถึงตัวแปร /? ซึ่งมากกว่าหรือเท่ากับ กับ.

2) เราพิสูจน์ว่าข้อเสนอ แต่จริงสำหรับ /? เท่ากับ

สังเกตอีกครั้งว่าแทนที่จะเป็นตัวอักษร ถึงมักจะทิ้งการกำหนดตัวแปรไว้ ป.ในกรณีนี้ การเปลี่ยนแปลงแบบอุปนัยจะเริ่มต้นด้วยคำว่า “สมมติให้ค่าบางอย่าง n>sขวา เอ(พี).มาพิสูจน์กัน A(n+หนึ่ง)".

ตัวอย่าง 5.5.9 ให้เราพิสูจน์ว่าเป็นธรรมชาติ n> 5 อสมการ 2” > และ 2 เป็นจริง

ฐานของการเหนี่ยวนำอนุญาต n= 5. จากนั้น 2 5 =32, 5 2 =25. อสมการ 32>25 เป็นจริง

การเปลี่ยนแปลงอุปนัย สมมติ, ว่าความไม่เท่าเทียมกัน2 P>n 2สำหรับจำนวนธรรมชาติบางส่วน n> 5. มาพิสูจน์กันซึ่งก็คือ 2" +| > (n+1) 2

โดยคุณสมบัติของอำนาจ 2” +| = 2-2" ตั้งแต่ 2" > n 2 (ตามสมมติฐานอุปนัย) จากนั้น 2-2" > 2n 2 (I)

ให้เราพิสูจน์ว่า2 หน้า 2มากกว่า (i+1) 2 . ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี ก็เพียงพอแล้วที่จะแก้อสมการกำลังสอง 2x 2 >(x+) 2ในชุดของจำนวนจริงและเห็นว่าจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ 5 เป็นคำตอบของมัน

เราจะดำเนินการดังนี้ มาหาความแตกต่างของตัวเลข 2 . กันเถอะ หน้า 2และ (i+1) 2:

ตั้งแต่และ > 5 แล้ว i + 1 > 6 ซึ่งหมายถึง (i + 1) 2 > 36 ดังนั้น ผลต่างจึงมากกว่า 0 ดังนั้น 2i 2 > (i + 1) 2 (2)

โดยคุณสมบัติของความไม่เท่าเทียมกันตามมาจาก (I) และ (2) ว่า 2*2" > (n + 1) 2 ซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์เพื่อพิสูจน์การเปลี่ยนแปลงอุปนัย

จากวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ สรุปได้ว่า ความไม่เท่าเทียมกัน 2" > i 2 เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ i

พิจารณาวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์อีกรูปแบบหนึ่ง ความแตกต่างอยู่ในการเปลี่ยนแปลงอุปนัย ในการนำไปใช้ จำเป็นต้องมีสองขั้นตอน:

• 1) ถือว่าข้อเสนอ เอ(พี)จริงสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปร i น้อยกว่าตัวเลขบางตัว อาร์;
• 2) จากสมมติฐานที่ทำ อนุมานได้ว่าข้อเสนอ เอ(พี)จริงสำหรับตัวเลข ร.

ดังนั้น ขั้นอุปนัยจึงต้องมีหลักฐานพิสูจน์: [(Ui?) A(n)] => A(p).โปรดทราบว่าผลสืบเนื่องสามารถเขียนใหม่เป็น: [(Yn^p) A(n)] => A(p+ 1).

ในสูตรดั้งเดิมของวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์โจทย์ เอ(พี)เราอาศัยเพียงข้อเสนอ "ก่อนหน้า" เท่านั้น A(p-หนึ่ง). สูตรของวิธีการที่ให้ไว้ที่นี่ช่วยให้ได้รับ เอ(พี),สมมติว่าข้อเสนอทั้งหมด หนึ่ง),ฉันอยู่ที่ไหนน้อยลง R,เป็นความจริง.

ตัวอย่าง 5.5.10 มาพิสูจน์ทฤษฎีบทกัน: "ผลรวมของมุมภายในของ i-gon ใดๆ คือ 180°(i-2)"

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมนูน ทฤษฎีบทนั้นง่ายต่อการพิสูจน์ว่ามันถูกหารด้วยเส้นทแยงมุมที่ดึงจากจุดยอดหนึ่งเป็นสามเหลี่ยมหรือไม่ อย่างไรก็ตาม สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูน ขั้นตอนดังกล่าวอาจไม่สามารถทำได้

ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการด้วยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เราคิดว่าการยืนยันต่อไปนี้เป็นที่รู้จัก ซึ่งพูดอย่างเคร่งครัด ต้องมีหลักฐานแยกต่างหาก: "ใน //-gon ใด ๆ มีเส้นทแยงมุมที่อยู่ภายในส่วนภายในทั้งหมด"

แทนที่จะเป็นตัวแปร // คุณสามารถแทนที่จำนวนธรรมชาติใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 สำหรับ n=bทฤษฎีบทนี้เป็นจริงเพราะผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมคือ 180°

เอา /7-gon . บ้าง (p> 4) และสมมติว่าผลรวมของมุมของ //-gon โดยที่ // p เท่ากับ 180°(//-2) ให้เราพิสูจน์ว่าผลรวมของมุมของ //-gon เท่ากับ 180°(//-2)

ลองวาดเส้นทแยงมุม //-gon นอนอยู่ข้างในกัน มันจะแยก //-gon ออกเป็นสองรูปหลายเหลี่ยม ให้หนึ่งในนั้นมี ถึงด้าน อื่น ๆ ถึง2ด้านข้าง แล้ว k + k 2 -2 \u003d pเนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมที่ได้จะมีเส้นทแยงมุมที่วาดด้านร่วมกัน ซึ่งไม่ใช่ด้านของ //-gon ดั้งเดิม

ทั้งสองเบอร์ ถึงและ ถึง2น้อย //. ให้เรานำสมมติฐานอุปนัยมาใช้กับรูปหลายเหลี่ยมที่ได้ ผลรวมของมุมของ A]-gon คือ 180°-(?i-2) และผลรวมของมุม? 2-gon เท่ากับ 180 ° - (Ar 2 -2) จากนั้นผลรวมของมุมของ //-gon จะเท่ากับผลรวมของตัวเลขเหล่านี้:

180 ° * (Ar | -2) -n 180 ° (Ar2-2) \u003d 180 o (Ar, -Ar 2 -2-2) \u003d 180 ° - (//-2)

การเปลี่ยนแปลงอุปนัยเป็นธรรม ตามวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ //-gon (//>3) ใดๆ

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

บทนำ

ส่วนสำคัญ

1. การเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์
2. หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์
3. วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์
4. ตัวอย่างการแก้ปัญหา
5. ความเท่าเทียมกัน
6. การแบ่งจำนวน
7. ความไม่เท่าเทียมกัน

บทสรุป

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

บทนำ

วิธีการนิรนัยและอุปนัยเป็นพื้นฐานของการวิจัยทางคณิตศาสตร์ วิธีการให้เหตุผลแบบนิรนัยคือการให้เหตุผลจากทั่วไปถึงเฉพาะเจาะจง กล่าวคือ เหตุผล จุดเริ่มต้นที่เป็นผลลัพธ์ทั่วไป และจุดสุดท้ายคือผลลัพธ์เฉพาะ การเหนี่ยวนำจะใช้เมื่อส่งผ่านจากผลลัพธ์เฉพาะไปยังผลลัพธ์ทั่วไปเช่น เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับวิธีนิรนัย

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สามารถเปรียบเทียบได้กับความก้าวหน้า เราเริ่มจากต่ำสุด อันเป็นผลมาจากการคิดเชิงตรรกะ เรามาถึงจุดสูงสุด มนุษย์พยายามดิ้นรนเพื่อความก้าวหน้าอยู่เสมอ เพื่อความสามารถในการพัฒนาความคิดของเขาอย่างมีเหตุมีผล ซึ่งหมายความว่าธรรมชาติได้กำหนดให้เขาคิดแบบอุปนัย

แม้ว่าสาขาวิชาการประยุกต์ใช้วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์จะเติบโตขึ้น แต่ใช้เวลาเพียงเล็กน้อยในหลักสูตรของโรงเรียน สมมุติว่าบทเรียนสองหรือสามบทนั้นจะนำบุคคลที่มีประโยชน์มาใช้ ซึ่งเขาได้ยินคำศัพท์ห้าคำของทฤษฎี แก้ปัญหาเบื้องต้นห้าข้อ และผลที่ได้คือได้ห้าเพราะไม่รู้อะไรเลย

แต่สิ่งนี้สำคัญมาก - เพื่อให้สามารถคิดอย่างอุปนัยได้

ส่วนสำคัญ

ในความหมายดั้งเดิม คำว่า "อุปนัย" ใช้กับการให้เหตุผลโดยได้ข้อสรุปทั่วไปตามข้อความเฉพาะจำนวนหนึ่ง วิธีที่ง่ายที่สุดในการให้เหตุผลประเภทนี้คือการเหนี่ยวนำโดยสมบูรณ์ นี่คือตัวอย่างของการให้เหตุผลดังกล่าว

กำหนดให้ต้องกำหนดให้ทุกจำนวนคู่ธรรมชาติ n ภายใน 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ความเท่าเทียมกันทั้งเก้านี้แสดงให้เห็นว่าจำนวนที่เราสนใจแต่ละจำนวนนั้นแสดงเป็นผลรวมของพจน์สำคัญสองพจน์

ดังนั้น การปฐมนิเทศที่สมบูรณ์คือการที่ข้อความทั่วไปได้รับการพิสูจน์แยกกันในแต่ละกรณีที่เป็นไปได้ในจำนวนที่จำกัด

บางครั้งผลลัพธ์ทั่วไปสามารถคาดการณ์ได้หลังจากพิจารณาไม่ใช่ทั้งหมด แต่มีกรณีพิเศษจำนวนมาก (ที่เรียกว่าการเหนี่ยวนำที่ไม่สมบูรณ์)

ผลที่ได้รับจากการอุปนัยที่ไม่สมบูรณ์ยังคงเป็นเพียงสมมติฐานจนกว่าจะได้รับการพิสูจน์โดยใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนซึ่งครอบคลุมกรณีพิเศษทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่ง การปฐมนิเทศที่ไม่สมบูรณ์ในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ถือเป็นวิธีการพิสูจน์ที่เข้มงวด แต่เป็นวิธีที่ทรงพลังในการค้นหาความจริงใหม่

ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องหาผลรวมของเลขคี่ n ตัวแรกที่เรียงต่อกัน พิจารณากรณีพิเศษ:

1+3+5+7+9=25=5 2

หลังจากพิจารณากรณีพิเศษสองสามกรณีนี้แล้ว ข้อสรุปทั่วไปต่อไปนี้แนะนำตัวเอง:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

เหล่านั้น. ผลรวมของเลขคี่ n ตัวแรกติดต่อกันคือ n 2

แน่นอน การสังเกตที่ทำขึ้นยังไม่สามารถใช้เป็นเครื่องพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรข้างต้นได้

การเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์มีแอปพลิเคชั่นที่ จำกัด ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น ประโยคทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจมากมายครอบคลุมกรณีพิเศษจำนวนไม่จำกัด และเราไม่สามารถทดสอบกรณีพิเศษจำนวนไม่จำกัดได้ การเหนี่ยวนำที่ไม่สมบูรณ์มักจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ผิดพลาด

ในหลายกรณี ทางออกจากความยากลำบากประเภทนี้คือการใช้วิธีการให้เหตุผลพิเศษ เรียกว่าวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ มันเป็นดังนี้

ให้จำเป็นต้องพิสูจน์ความถูกต้องของคำสั่งบางอย่างสำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ n (ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าผลรวมของ n ตัวเลขคี่แรกมีค่าเท่ากับ n 2) การตรวจสอบข้อความนี้โดยตรงสำหรับแต่ละค่าของ n เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากเซตของจำนวนธรรมชาตินั้นไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อพิสูจน์ข้อความนี้ ก่อนอื่นให้ตรวจสอบความถูกต้องของ n=1 จากนั้นจะพิสูจน์ว่าสำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ k ความถูกต้องของข้อความที่อยู่ภายใต้การพิจารณาของ n=k แสดงถึงความถูกต้องของ n=k+1 เช่นกัน

จากนั้นการยืนยันก็ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ n ทั้งหมด อันที่จริง คำสั่งนี้เป็นจริงสำหรับ n=1 แต่ก็ใช้ได้สำหรับตัวเลขถัดไป n=1+1=2 ความถูกต้องของการยืนยันสำหรับ n=2 หมายถึงความถูกต้องสำหรับ n=2+

1=3. นี่แสดงถึงความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n=4 และอื่นๆ เป็นที่แน่ชัดว่าในท้ายที่สุด เราจะไปถึงจำนวนธรรมชาติใดๆ n ดังนั้น ข้อความนี้จึงเป็นจริงสำหรับ n ใดๆ

โดยสรุปสิ่งที่ได้กล่าวไปแล้ว เรากำหนดหลักการทั่วไปดังต่อไปนี้

หลักการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ถ้าประโยค A(n) ซึ่งขึ้นอยู่กับจำนวนธรรมชาติ n เป็นจริงสำหรับ n=1 และจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นจริงสำหรับ n=k (โดยที่ k เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ) ก็จะตามมาด้วย จริงสำหรับจำนวนถัดไป n=k +1 ดังนั้นสมมติฐาน A(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

ในหลายกรณี อาจจำเป็นต้องพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความบางประโยค ไม่ใช่สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด แต่สำหรับ n>p เท่านั้น โดยที่ p เป็นจำนวนธรรมชาติคงที่ ในกรณีนี้ หลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์มีการกำหนดดังนี้

หากข้อเสนอ A(n) เป็นจริงสำหรับ n=p และหาก A(k)ÞA(k+1) สำหรับ k>p ใดๆ ดังนั้นข้อเสนอ A(n) จะเป็นจริงสำหรับ n>p ใดๆ

พิสูจน์โดยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ได้ดำเนินการดังนี้ ขั้นแรก การยืนยันที่จะพิสูจน์ได้รับการตรวจสอบสำหรับ n=1 นั่นคือ ความจริงของข้อความ A(1) ได้รับการจัดตั้งขึ้น ส่วนนี้ของหลักฐานเรียกว่าพื้นฐานการเหนี่ยวนำ ตามด้วยส่วนหนึ่งของหลักฐานที่เรียกว่าขั้นตอนการเหนี่ยวนำ ในส่วนนี้ ความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n=k+1 ได้รับการพิสูจน์ภายใต้สมมติฐานว่าคำสั่งนั้นเป็นจริงสำหรับ n=k (สมมติฐานอุปนัย) เช่น พิสูจน์ว่า A(k)ÞA(k+1)

พิสูจน์ว่า 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

วิธีแก้ปัญหา: 1) เรามี n=1=1 2 . เพราะเหตุนี้,

คำสั่งนี้เป็นจริงสำหรับ n=1 นั่นคือ A(1) เป็นจริง

2) ให้เราพิสูจน์ว่า A(k)ÞA(k+1)

ให้ k เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ และให้คำสั่งเป็นจริงสำหรับ n=k นั่นคือ

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

ให้เราพิสูจน์ว่าการยืนยันนั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติถัดไป n=k+1 นั่นคือ อะไร

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

อย่างแท้จริง,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

ดังนั้น A(k)ÞA(k+1) ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เราสรุปได้ว่า สมมติฐาน A(n) เป็นจริงสำหรับ nON ใดๆ

พิสูจน์สิ

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1) โดยที่ x¹1

วิธีแก้ปัญหา: 1) สำหรับ n=1 เราได้

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

ดังนั้น สำหรับ n=1 สูตรนี้จึงเป็นจริง A(1) เป็นจริง

2) ให้ k เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ และให้สูตรเป็นจริงสำหรับ n=k นั่นคือ

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1)

ให้เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

อย่างแท้จริง

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

ดังนั้น A(k)ÞA(k+1) ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เราสรุปได้ว่าสูตรเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใดๆ

พิสูจน์ว่าจำนวนเส้นทแยงมุมของส่วนนูน n-gon คือ n(n-3)/2

วิธีแก้ปัญหา: 1) สำหรับ n=3 คำสั่งเป็นจริง

และ 3 ถูกต้องเพราะในรูปสามเหลี่ยม

 A 3 =3(3-3)/2=0 เส้นทแยงมุม;

A 2 A(3) เป็นจริง

2) สมมติว่าในใดๆ

นูน k-gon มี-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 เส้นทแยงมุม

ก ให้เราพิสูจน์ว่าในนูน

(k+1)-เลขกอน

เส้นทแยงมุม A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

ให้ А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -นูน (k+1)-มุม ลองวาดเส้นทแยงมุม A 1 A k ลงไป ในการนับจำนวนเส้นทแยงมุมทั้งหมดของ (k + 1)-gon คุณต้องนับจำนวนเส้นทแยงมุมใน k-gon A 1 A 2 ...A k เพิ่ม k-2 ให้กับจำนวนผลลัพธ์เช่น จำนวนเส้นทแยงมุมของ (k+1)-กอนที่มาจากจุดยอด A k+1 และนอกจากนี้ ควรพิจารณาเส้นทแยงมุม A 1 A k ด้วย

ทางนี้,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

ดังนั้น A(k)ÞA(k+1) เนื่องจากหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ข้อความจึงเป็นจริงสำหรับ n-gon นูนใดๆ

พิสูจน์ว่าสำหรับ n ข้อความใด ๆ ที่เป็นจริง:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

วิธีแก้ปัญหา: 1) ให้ n=1 แล้ว

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

ดังนั้น สำหรับ n=1 คำสั่งจึงเป็นจริง

2) สมมติว่า n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6

3) พิจารณาข้อความนี้สำหรับ n=k+1

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

เราได้พิสูจน์ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันสำหรับ n=k+1 ดังนั้น โดยอาศัยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ข้อความจึงเป็นจริงสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ

พิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันโดยธรรมชาติใดๆ เป็นจริง:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

วิธีแก้ปัญหา: 1) ให้ n=1

จากนั้น X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1

เราจะเห็นว่าสำหรับ n=1 คำสั่งนั้นเป็นจริง

2) สมมติว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ n=k

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4

3) ให้เราพิสูจน์ความจริงของข้อความนี้สำหรับ n=k+1 นั่นคือ

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

จากหลักฐานข้างต้น เป็นที่ชัดเจนว่าข้อความสั่งเป็นจริงสำหรับ n=k+1 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริงสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ

พิสูจน์สิ

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1) โดยที่ n>2

วิธีแก้ปัญหา: 1) สำหรับ n=2 เอกลักษณ์ดูเหมือนว่า: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

เหล่านั้น. ถูกต้อง.

2) สมมติว่านิพจน์เป็นจริงสำหรับ n=k

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) เราจะพิสูจน์ความถูกต้องของนิพจน์สำหรับ n=k+1

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((k 3 +1)/(k 3 -1)))´(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

เราได้พิสูจน์ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันสำหรับ n=k+1 ดังนั้น เนื่องจากวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ข้อความจึงเป็นจริงสำหรับ n>2 ใดๆ

พิสูจน์สิ

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

สำหรับธรรมชาติ n.

วิธีแก้ปัญหา: 1) ให้ n=1 แล้ว

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) สมมติว่า n=k แล้ว

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) มาพิสูจน์ความจริงของข้อความนี้สำหรับ n=k+1

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันสำหรับ n=k+1 ได้รับการพิสูจน์แล้ว ดังนั้นข้อความจึงเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

พิสูจน์ความถูกต้องของตัวตน

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

สำหรับธรรมชาติ n.

1) สำหรับ n=1 เอกลักษณ์เป็นจริง 1 2 /1´3=1(1+)/2(2+1)

2) สมมติว่าสำหรับ n=k

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)

3) ให้เราพิสูจน์ว่าตัวตนนั้นเป็นจริงสำหรับ n=k+1

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).

สามารถเห็นได้จากหลักฐานข้างต้นว่าคำยืนยันเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใดๆ

พิสูจน์ว่า (11 n+2 +12 2n+1) หารด้วย 133 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ.

วิธีแก้ปัญหา: 1) ให้ n=1 แล้ว

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23´133.

แต่ (23´133) หารด้วย 133 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้นสำหรับ n=1 คำสั่งจึงเป็นจริง A(1) เป็นจริง

2) สมมติว่า (11 k+2 +12 2k+1) หารด้วย 133 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

3) ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้

(11 k+3 +12 2k+3) หารด้วย 133 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ แน่นอน 11 k+3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

ผลรวมที่ได้นั้นหารด้วย 133 โดยไม่มีเศษเหลือ เนื่องจากเทอมแรกหารด้วย 133 โดยไม่เหลือเศษสมมติ และตัวประกอบที่สองคือ 133 ดังนั้น А(k)ÞА(k+1) โดยอาศัยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ การยืนยันได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ว่าสำหรับ n 7 n -1 ใดๆ หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ.

วิธีแก้ปัญหา: 1) ให้ n=1 แล้ว X 1 =7 1 -1=6 หารด้วย 6 โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้นสำหรับ n=1 คำสั่งจึงเป็นจริง

2) สมมติว่าสำหรับ n=k

7 k -1 หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

3) ให้เราพิสูจน์ว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ n=k+1

X k+1 =7 k+1 -1=7´7 k -7+6=7(7 k -1)+6

เทอมแรกหารด้วย 6 ลงตัว เนื่องจาก 7 k -1 หารด้วย 6 ลงตัวด้วยสมมติฐาน และเทอมที่สองคือ 6 ดังนั้น 7 n -1 จึงเป็นผลคูณของ 6 สำหรับ n ธรรมดาใดๆ โดยอาศัยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ การยืนยันได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ว่า 3 3n-1 +2 4n-3 สำหรับ n ตามธรรมชาติโดยพลการหารด้วย 11 ลงตัว
วิธีแก้ปัญหา: 1) ให้ n=1 แล้ว

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 หารด้วย 11 โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น สำหรับ n=1 คำสั่งจึงเป็นจริง

2) สมมติว่าสำหรับ n=k

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 หารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

3) ให้เราพิสูจน์ว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ n=k+1

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .

เทอมแรกหารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ เนื่องจาก 3 3k-1 +2 4k-3 หารด้วย 11 ลงตัวด้วยสมมติฐาน ตัวที่สองหารด้วย 11 ลงตัว เนื่องจากตัวประกอบตัวหนึ่งคือเลข 11 ดังนั้นผลรวมคือ ยังหารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ โดยอาศัยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ การยืนยันได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ว่า 11 2n -1 สำหรับจำนวนเต็มบวกตามอำเภอใจ n หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

วิธีแก้ปัญหา: 1) ให้ n=1 แล้ว 11 2 -1=120 หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้นสำหรับ n=1 คำสั่งจึงเป็นจริง

2) สมมติว่าสำหรับ n=k

11 2k -1 หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1)

ทั้งสองเทอมหารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ: เทอมแรกมีจำนวนทวีคูณของ 6 จำนวน 120 และอันที่สองหารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือจากการสันนิษฐาน ผลรวมจึงหารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ. โดยอาศัยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ การยืนยันได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ว่า 3 3n+3 -26n-27 สำหรับจำนวนเต็มบวกตามอำเภอใจ n หารด้วย 26 2 (676) ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

วิธีแก้ไข: ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์ว่า 3 3n+3 -1 หารด้วย 26 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

1. สำหรับ n=0

3 3 -1=26 หารด้วย 26 . ลงตัว

2. สมมติว่าสำหรับ n=k

3 3k+3 -1 หารด้วย 26 . ลงตัว

3. ให้เราพิสูจน์ว่าคำสั่ง

จริงสำหรับ n=k+1

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3k+3 +(3 3k+3 -1) – หารด้วย 26

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์การยืนยันที่กำหนดในเงื่อนไขของปัญหา

1) เห็นได้ชัดว่าสำหรับ n=1 คำสั่งเป็นจริง

3 3+3 -26-27=676

2) สมมติว่าสำหรับ n=k

นิพจน์ 3 3k+3 -26k-27 หารด้วย 26 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

3) มาพิสูจน์ว่าข้อความสั่งเป็นจริงสำหรับ n=k+1

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

ทั้งสองคำนี้หารด้วย 26 2 ลงตัว ; อันแรกหารด้วย 26 2 ลงตัวเพราะเราได้พิสูจน์แล้วว่านิพจน์ในวงเล็บหารด้วย 26 ลงตัว และอันที่สองหารด้วยสมมติฐานอุปนัย โดยอาศัยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ การยืนยันได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ว่าถ้า n>2 และ x>0 แล้วอสมการ

(1+x) n >1+n´x.

วิธีแก้ไข: 1) สำหรับ n=2 อสมการเป็นจริง เนื่องจาก

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

ดังนั้น A(2) จึงเป็นจริง

2) ให้เราพิสูจน์ว่า A(k)ÞA(k+1) ถ้า k> 2. สมมติว่า A(k) เป็นจริง นั่นคือ ความไม่เท่าเทียมกัน

(1+x) k >1+k´x. (3)

ให้เราพิสูจน์ว่า A(k+1) เป็นจริงด้วย นั่นคือ ความไม่เท่าเทียมกัน

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

อันที่จริง การคูณอสมการทั้งสองด้าน (3) ด้วยจำนวนบวก 1+x เราจะได้

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

พิจารณาด้านขวาของความไม่เท่ากันสุดท้าย

สตวา; เรามี

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

เป็นผลให้เราได้รับสิ่งนั้น

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

ดังนั้น A(k)ÞA(k+1) ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าอสมการของเบอร์นูลลีใช้ได้กับสิ่งใดๆ

พิสูจน์ว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นความจริง

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 สำหรับ a> 0

วิธีแก้ปัญหา: 1) สำหรับ m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 ทั้งสองส่วนเท่ากัน

2) สมมติว่าสำหรับ m=k

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m=k+1 ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .

เราได้พิสูจน์ความถูกต้องของอสมการสำหรับ m=k+1 แล้ว ดังนั้น โดยอาศัยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ อสมการจึงเป็นจริงสำหรับ m ธรรมชาติใดๆ

พิสูจน์ว่าสำหรับ n>6 ความไม่เท่าเทียมกัน

3 n >n´2 n+1 .

วิธีแก้ไข: ลองเขียนความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ

1. สำหรับ n=7 เรามี

3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7

ความไม่เท่าเทียมกันเป็นความจริง

2. สมมติว่าสำหรับ n=k

3) ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกันสำหรับ n=k+1

3k+1 /2k+1 =(3k /2k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1)

ตั้งแต่ k>7 ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายก็ชัดเจน

โดยอาศัยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ความไม่เท่าเทียมกันใช้ได้กับ n ตามธรรมชาติใดๆ

พิสูจน์ว่าสำหรับ n>2 ความไม่เท่าเทียมกัน

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).

วิธีแก้ไข: 1) สำหรับ n=3 อสมการเป็นจริง

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

1. สมมติว่าสำหรับ n=k

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).

3) เราจะพิสูจน์ความถูกต้องของการไม่

ความเท่าเทียมกันสำหรับ n=k+1

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

ให้เราพิสูจน์ว่า 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û

w(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

อย่างหลังก็เห็นได้ชัด ดังนั้น

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1).

โดยอาศัยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน

บทสรุป

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อได้ศึกษาวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์แล้ว ฉันได้เพิ่มความรู้ในด้านคณิตศาสตร์นี้ และยังได้เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาที่แต่ก่อนเกินกำลังของฉัน

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งเหล่านี้เป็นงานที่สมเหตุสมผลและสนุกสนาน กล่าวคือ เฉพาะผู้ที่เพิ่มความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์เองในฐานะวิทยาศาสตร์ การแก้ปัญหาดังกล่าวกลายเป็นกิจกรรมที่สนุกสนานและสามารถดึงดูดผู้คนที่อยากรู้อยากเห็นเข้าสู่เขาวงกตทางคณิตศาสตร์มากขึ้นเรื่อยๆ ในความคิดของฉัน นี่คือพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ใดๆ

จากการศึกษาวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ต่อไป ฉันจะพยายามเรียนรู้วิธีการประยุกต์ใช้ไม่เพียงแต่ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงในการแก้ปัญหาในสาขาฟิสิกส์ เคมี และชีวิตด้วย

คณิตศาสตร์:

การบรรยาย งาน แนวทางแก้ไข

ตำรา / V. G. Boltyansky, Yu. V. Sidorov, M. I. Shabunin Potpourri LLC 1996.

พีชคณิตและหลักการวิเคราะห์

ตำรา / I.T. Demidov, A.N. Kolmogorov, S.I. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov, พ.ศ. Veits "การตรัสรู้" 2518

ในหลาย ๆ ด้านของคณิตศาสตร์ เราต้องพิสูจน์ความจริงของข้อความที่ขึ้นอยู่กับ เช่น ความจริงของข้อเสนอ พี(n)สำหรับ " น nn (สำหรับใครก็ได้ นบน พี(n)ขวา).

สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้บ่อยครั้ง วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

วิธีนี้ใช้หลักการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ มันมักจะถูกเลือกให้เป็นหนึ่งในสัจพจน์ของเลขคณิต และด้วยเหตุนี้จึงยอมรับโดยไม่มีการพิสูจน์ ตามหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ประโยค พี(n)ถือว่าเป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติทั้งหมดของตัวแปรหากตรงตามเงื่อนไขสองประการ:

1. ข้อเสนอ พี(n)จริงสำหรับ น= 1.

2. จากประโยคที่ว่า พี(n)จริงสำหรับ น =k (เค -จำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจ) เป็นไปตามที่เป็นจริงสำหรับ น =k+ 1.

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นวิธีการพิสูจน์ดังต่อไปนี้

1. ตรวจสอบความจริงของคำสั่งสำหรับ น= 1 เป็นฐานของการเหนี่ยวนำ

2. สมมติว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ n = k -สมมติฐานอุปนัย

3. พิสูจน์ว่าเป็นจริงสำหรับ น =k+ 1 การเปลี่ยนแปลงอุปนัย

บางครั้งข้อเสนอแนะ พี(n)กลับกลายเป็นว่าไม่เป็นธรรมชาติเลย นและเริ่มต้นจากบางส่วนสำหรับ น = น 0. ในกรณีนี้ ความจริงจะถูกตรวจสอบในฐานเหนี่ยวนำ พี(n)ที่ น = น 0.

ตัวอย่าง 1อนุญาต . พิสูจน์สิ

1. ฐานเหนี่ยวนำ: เมื่อ น= 1 ตามคำจำกัดความ ส 1 = 1 และโดยสูตรเราได้ผลลัพธ์เดียว คำกล่าวนั้นถูกต้อง

n=kและ .

n=k+1 ให้เราพิสูจน์ว่า

แท้จริงแล้ว โดยสมมุติฐานอุปนัย

มาเปลี่ยนนิพจน์นี้กันเถอะ

การเปลี่ยนแปลงอุปนัยได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความคิดเห็นการเขียนสิ่งที่ให้มานั้นมีประโยชน์ (ข้อสันนิษฐานเชิงอุปนัย) และสิ่งที่ต้องพิสูจน์!

ตัวอย่าง 2พิสูจน์

1. ฐานการเหนี่ยวนำ ที่ น= 1 การยืนยันเป็นจริงอย่างชัดเจน

2. สมมติฐานอุปนัย อนุญาต n=kและ

3. การเปลี่ยนแปลงอุปนัย อนุญาต n=k+ 1. ให้เราพิสูจน์:

ที่จริง ลองยกกำลังสองด้านขวาเป็นผลรวมของตัวเลขสองตัว:

โดยใช้สมมติฐานอุปนัยและสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 3พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน

1. พื้นฐานของการปฐมนิเทศในกรณีนี้คือการตรวจสอบความจริงของคำสั่งสำหรับ i.e. ต้องตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะยกกำลังสองความไม่เท่าเทียมกัน: หรือ 63< 64 – неравенство верно.

2. ปล่อยให้ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ เช่น

3. ให้ พิสูจน์:

เราใช้สมมติฐานการเหนี่ยวนำ

เมื่อรู้ว่าด้านขวาควรเป็นอย่างไรในการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันเราจึงเลือกส่วนนี้

ยังคงต้องพิสูจน์ว่าปัจจัยพิเศษไม่เกินความสามัคคี จริงๆ,

ตัวอย่างที่ 4พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ ที่ลงท้ายด้วยหลัก

1. จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่ข้อความนั้นเป็นจริง เท่ากับ . .

2. ให้ตัวเลขลงท้ายด้วย . ซึ่งหมายความว่าตัวเลขนี้สามารถเขียนเป็น โดยที่ เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้ว .

3. ให้ . มาพิสูจน์กันว่ามันลงท้ายด้วย . โดยใช้การแทนค่าผลลัพธ์ เราจะได้

ตัวเลขสุดท้ายมีตัวตรงทั้งหมด

แอปพลิเคชัน

1.4. วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ดังที่คุณทราบ ข้อความทางคณิตศาสตร์ (ทฤษฎีบท) จะต้องได้รับการพิสูจน์และพิสูจน์ ตอนนี้เราจะทำความคุ้นเคยกับวิธีการพิสูจน์วิธีหนึ่ง - วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ในแง่กว้าง การปฐมนิเทศเป็นวิธีการให้เหตุผลที่ทำให้คุณสามารถย้ายจากข้อความเฉพาะไปเป็นข้อความทั่วไปได้ การเปลี่ยนแปลงย้อนกลับจากข้อความทั่วไปเป็นข้อความเฉพาะเรียกว่าการหักเงิน

การหักเงินจะนำไปสู่ข้อสรุปที่ถูกต้องเสมอ ตัวอย่างเช่น เราทราบผลลัพธ์ทั่วไป: จำนวนเต็มที่ลงท้ายด้วยศูนย์ทั้งหมดหารด้วย 5 ลงตัว จากนี้ไป เราสามารถสรุปได้ว่าจำนวนเฉพาะใดๆ ที่ลงท้ายด้วย 0 เช่น 180 หารด้วย 5 ลงตัว

ในขณะเดียวกัน การเหนี่ยวนำอาจนำไปสู่ข้อสรุปที่ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น เมื่อสังเกตว่าตัวเลข 60 หารด้วยตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 ลงตัว เราไม่มีสิทธิ์สรุปว่า 60 หารด้วยตัวเลขใดๆ ได้เลย

วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ทำให้ในหลายกรณีสามารถพิสูจน์ความถูกต้องของคำยืนยันทั่วไป P(n) ได้อย่างจริงจัง ซึ่งสูตรดังกล่าวได้รวมจำนวนธรรมชาติ n ไว้ด้วย

การประยุกต์ใช้วิธีการประกอบด้วย 3 ขั้นตอน

1) ฐานของการเหนี่ยวนำ: เราตรวจสอบความถูกต้องของคำสั่ง P(n) สำหรับ n = 1 (หรือสำหรับค่าอื่น ค่าส่วนตัวของ n ซึ่งเริ่มต้นจากความถูกต้องของ P(n))

2) สมมติฐานของการเหนี่ยวนำ: เราถือว่า P(n) เป็นจริงสำหรับ n = k

3) ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ: โดยใช้สมมติฐาน เราพิสูจน์ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับ n = k + 1

เป็นผลให้เราสามารถสรุปได้ว่า P(n) ใช้ได้กับ n ∈ N ใดๆ อันที่จริง สำหรับ n = 1 การยืนยันนั้นเป็นจริง (ฐานของการเหนี่ยวนำ) ดังนั้นจึงเป็นจริงสำหรับ n = 2 เนื่องจากการเปลี่ยนจาก n = 1 เป็น n = 2 นั้นสมเหตุสมผลแล้ว (ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ) ใช้ขั้นตอนการเหนี่ยวนำซ้ำแล้วซ้ำอีกเราได้รับความถูกต้องของ P(n) สำหรับ n = 3, 4, 5, . . คือความถูกต้องของ P(n) สำหรับ n ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 14 ผลรวมของ n ตัวเลขธรรมชาติคี่แรกคือ n2: 1 + 3 + 5 + ...

+ (2n - 1) = n2

การพิสูจน์จะดำเนินการโดยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

1) ฐาน: สำหรับ n=1 มีเพียงเทอมเดียวทางซ้าย เราได้: 1 = 1

คำกล่าวนั้นถูกต้อง

2) สมมติฐาน: เราคิดว่าสำหรับบาง k ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2

การแก้ปัญหาความน่าจะเป็นของการยิงระหว่างช็อต

ข้อความทั่วไปของปัญหามีดังนี้:

ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวเท่ากับ $p$ $n$ ถูกยิง ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะโดน $k$ ครั้ง (จะมี $k$ hits)

เราใช้สูตร Bernoulli และรับ:

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^(n-k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k)

ที่นี่ $C_n^k$ คือจำนวนชุดค่าผสมตั้งแต่ $n$ ถึง $k$

หากปัญหาเกี่ยวข้องกับลูกศรหลายตัวด้วย ความน่าจะเป็นที่แตกต่างกันคุณสามารถค้นหาเป้าหมาย ทฤษฎี ตัวอย่างโซลูชัน และเครื่องคิดเลขได้ที่นี่

วิดีโอสอนและเทมเพลต Excel

ชมวิดีโอของเราเกี่ยวกับการแก้ปัญหาด้วยภาพเบอร์นูลลี เรียนรู้วิธีใช้ Excel เพื่อแก้ปัญหาทั่วไป

ไฟล์การคำนวณ Excel จากวิดีโอสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีและใช้เพื่อแก้ปัญหาของคุณ

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการตีเป้าหมายเป็นชุดๆ

ลองดูตัวอย่างทั่วไปสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1ยิงไป 7 นัด ความน่าจะเป็นที่จะตีด้วยนัดเดียวคือ 0.705 หาความน่าจะเป็นที่จะตีได้ 5 ครั้งพอดี

เราพบว่าปัญหาอยู่ที่การทดสอบอิสระซ้ำๆ (การยิงที่เป้าหมาย) $n=7$ นัดทั้งหมด ความน่าจะเป็นที่จะตีด้วยแต่ละ $p=0.705$ ความน่าจะเป็นที่จะพลาด $q=1-p =1-0.705=0.295 ดอลลาร์

เราจำเป็นต้องค้นหาว่าจะมีการเข้าชม $k=5$ อย่างแน่นอน เราแทนที่ทุกอย่างลงในสูตร (1) และรับ: $$ P_7(5)=C_(7)^5 \cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2 = 21\cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2= 0.318 $$

ตัวอย่าง 2ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.4

การยิงอิสระสี่นัดไปที่เป้าหมาย ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

เราศึกษาปัญหาและจดพารามิเตอร์: $n=4$ (ช็อต), $p=0.4$ (ความน่าจะเป็นในการกด), $k \ge 1$ (จะมีอย่างน้อยหนึ่งครั้ง)

เราใช้สูตรสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม (ไม่มีการตี):

$$ P_4(k \ge 1) = 1-P_4(k \lt 1) = 1-P_4(0)= $$ $$ =1-C_(4)^0 \cdot 0.4^0 \cdot 0 ,6 ^4 =1- 0.6^4=1- 0.13=0.87. $$

ความน่าจะเป็นที่จะตีอย่างน้อยหนึ่งครั้งในสี่คือ 0.87 หรือ 87%

ตัวอย่างที่ 3ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายโดยมือปืนคือ 0.3

จงหาความน่าจะเป็นที่ยิง 6 นัด เป้าหมายจะถูกยิง 3-6 ครั้ง

ต่างจากปัญหาก่อนหน้านี้ คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่จำนวน Hit จะอยู่ในช่วงใดช่วงเวลาหนึ่ง (และไม่เท่ากับจำนวนที่แน่นอน) แต่สูตรก็เหมือนกัน

ลองหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะถูกโจมตีจากสามถึงหกครั้ง นั่นคือ จะมีการตี 3 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6 ครั้ง

ความน่าจะเป็นเหล่านี้คำนวณโดยสูตร (1):

$$ P_6(3)=C_(6)^3 \cdot 0.3^3\cdot 0.7^3 = 0.185 $$ $$ P_6(4)=C_(6)^4 \cdot 0.3^4\cdot 0.7^2 = 0.06 $$ $$ P_6(5)=C_(6)^5 \cdot 0.3^5\cdot 0.7^1 = 0.01 $$ $$ P_6(6)=C_(6)^6 \cdot 0.3^6\cdot 0.7^0 = 0.001

เนื่องจากเหตุการณ์เข้ากันไม่ได้ ความน่าจะเป็นที่ต้องการสามารถพบได้โดยใช้สูตรบวกความน่าจะเป็น: $$ P_6(3 \le k \le 6)=P_6(3)+P_6(4)+P_6(5)+P_6(6) =$$ $$ = 0.185+0.06+0.01+0.001=0.256.$$

ตัวอย่างที่ 4ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งครั้งด้วยการยิงสี่นัดคือ 0.9984 ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียว

ให้เราแสดงถึงความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียว มาเข้าร่วมกิจกรรมกันเถอะ:
$A = $ (จากสี่นัด อย่างน้อยหนึ่งคนจะโดนเป้าหมาย)
เช่นเดียวกับเหตุการณ์ตรงกันข้ามซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้:
$\overline(A) = $ (ทั้ง 4 นัดจะพลาดเป้า ไม่โดน)

ให้เราเขียนสูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$

มาเขียนค่าที่ทราบกัน: $n=4$, $P(A)=0.9984$ แทนที่ในสูตร (1) และรับ:

$$ P(A)=1-P(\overline(A))=1-P_4(0)=1-C_(4)^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^4=1- (1-p)^4=0.9984.

เราแก้สมการผลลัพธ์:

$$ 1-(1-p)^4=0.9984,\\ (1-p)^4=0.0016,\\ 1-p=0.2,\\ p=0.8. $$

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8

ขอบคุณที่อ่านและแบ่งปันกับผู้อื่น

ลิงค์ที่มีประโยชน์

ค้นหางานสำเร็จรูปในโซลูชัน:

การคำนวณออนไลน์โดยใช้สูตรเบอร์นูลลี

การแก้อสมการด้วยเครื่องคิดเลข

อสมการทางคณิตศาสตร์ใช้กับสมการทั้งหมดที่ "=" ถูกแทนที่ด้วยอักขระใดๆ ต่อไปนี้: \ [> \] \ [\geq \] \ [

* เชิงเส้น;

* สี่เหลี่ยม;

* เศษส่วน;

* บ่งชี้;

* ตรีโกณมิติ;

* ลอการิทึม

ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ ความไม่เท่าเทียมกันเรียกว่าเชิงเส้น บางส่วน ฯลฯ

คุณควรระวังสัญญาณเหล่านี้:

* ความไม่เท่าเทียมกันที่มากกว่า (>) หรือน้อยกว่า (

* ความไม่เท่าเทียมกันกับไอคอนที่มากกว่าหรือเท่ากับ \[\geq\] น้อยกว่าหรือเท่ากับ [\leq\] เรียกว่าไม่เป็นมืออาชีพ

* ไอคอนไม่เหมือนกัน \[\ne\] เพียงอย่างเดียว แต่กรณีที่มีไอคอนนี้จำเป็นต้องได้รับการแก้ไขตลอดเวลา

ความเหลื่อมล้ำดังกล่าวแก้ไขได้ด้วยการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์

อ่านบทความของเรา "แก้โซลูชันที่สมบูรณ์สำหรับสมการออนไลน์"

ให้เราถือว่าอสมการต่อไปนี้ถือ:

เราแก้มันด้วยวิธีเดียวกับสมการเชิงเส้น แต่เราควรสังเกตเครื่องหมายอสมการอย่างระมัดระวัง

ขั้นแรก เราย้ายเงื่อนไขจากที่ไม่รู้จักไปทางซ้าย จากที่รู้จักไปทางขวา โดยกลับสัญลักษณ์:

จากนั้นเราหารทั้งสองข้างด้วย -4 และกลับเครื่องหมายอสมการ:

นี่คือคำตอบของสมการนี้

ฉันจะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันบนอินเทอร์เน็ตได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา pocketteacher.ru

เครื่องคำนวณอสมการเบอร์นูลลี

ในไม่กี่วินาที โซลูชันการช่วยเหลือออนไลน์ฟรีจะแก้สมการออนไลน์ของความซับซ้อนใดๆ สิ่งที่คุณต้องทำคือใส่รายละเอียดของคุณในการช่วยเหลือ คุณยังสามารถชมวิดีโอคำแนะนำและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา

และหากคุณมีคำถาม คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม Vkontakte: pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีที่จะช่วยเหลือคุณ

วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์แบบเต็ม

การแก้สมการ / สมการเชิงอนุพันธ์

© การทดสอบ RU - เครื่องคิดเลขออนไลน์

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ป้อนความแตกต่าง

สมการ:

ด้วยเครื่องคิดเลข คุณสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีความซับซ้อนต่างกันได้

ตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์ที่แก้ไขแล้ว

MBOU Lyceum "เทคนิคและเศรษฐกิจ"

วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

หมายเหตุอธิบาย

การพัฒนาระเบียบวิธี "วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์" ได้รับการรวบรวมสำหรับนักเรียนเกรด 10 ของโปรไฟล์ทางคณิตศาสตร์

เป้าหมายเบื้องต้น : เพื่อให้นักเรียนรู้จักวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์และสอนวิธีประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ

ในการพัฒนาระเบียบวิธีพิจารณาคำถามของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา: ปัญหาการหาร, การพิสูจน์ตัวตน, การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน, ปัญหาระดับความซับซ้อนที่แตกต่างกันได้รับการเสนอรวมถึงปัญหาที่นำเสนอในโอลิมปิก

บทบาทของการอนุมานอุปนัยในวิทยาศาสตร์ทดลองนั้นยอดเยี่ยมมาก พวกเขาให้บทบัญญัติเหล่านั้นจากนั้นจึงทำการสรุปเพิ่มเติมโดยการหักเงิน ชื่อ วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์หลอกลวง - อันที่จริงวิธีนี้เป็นการอนุมานและให้การพิสูจน์อย่างเข้มงวดของข้อความที่คาดเดาโดยการอุปนัย วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์มีส่วนช่วยในการระบุการเชื่อมต่อระหว่างส่วนต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ช่วยในการพัฒนาวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน

ความหมายของวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ การเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์ หลักฐานของความไม่เท่าเทียมกัน การพิสูจน์ตัวตน การแก้ปัญหาความแตกแยก การแก้ปัญหาต่าง ๆ ในหัวข้อ "วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์".

วรรณกรรมสำหรับครู

1. ม.ล. กาลิทสกี้ การศึกษาเชิงลึกของหลักสูตรพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม. ตรัสรู้. 2529.

2. แอล.ไอ. ซวาวิช พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ วัสดุการสอน เอ็ม. ดรอฟา. 2544.

3. N.Ya. Vilenkin. พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ M ตรัสรู้. 1995.

4. Yu.V. Mikheev วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ มช. 1995

วรรณกรรมสำหรับนักเรียน

1. N.Ya. Vilenkin. พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ M ตรัสรู้. 1995.

2. Yu.V. Mikheev วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ มช. 1995

คีย์เวิร์ด

การเหนี่ยวนำ สัจพจน์ หลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ การเหนี่ยวนำสมบูรณ์ การเหนี่ยวนำที่ไม่สมบูรณ์ การยืนยัน เอกลักษณ์ ความไม่เท่าเทียมกัน การหาร

ภาคผนวกการสอนหัวข้อ

"วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์".

บทที่ 1

ความหมายของวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในวิธีการที่มีประสิทธิภาพสูงในการหาผลลัพธ์ใหม่และพิสูจน์ความจริงของข้อสมมติที่หยิบยกมา แม้ว่าวิธีนี้จะไม่ใช่เรื่องใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์ แต่ความสนใจในวิธีนี้ไม่ได้ลดลง เป็นครั้งแรกในการนำเสนอที่ชัดเจน วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในศตวรรษที่ 17 โดย Blaise Pascal นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้โดดเด่นในการพิสูจน์คุณสมบัติของสามเหลี่ยมจำนวนหนึ่ง ซึ่งนับแต่นั้นมาก็ได้ตั้งชื่อตามเขา อย่างไรก็ตามแนวคิดเรื่องการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เป็นที่รู้จักของชาวกรีกโบราณ วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับหลักการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นที่ยอมรับว่าเป็นสัจพจน์ เราจะพิจารณาแนวคิดของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์พร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่าง # 1

สี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกแบ่งตามส่วนออกเป็นสองส่วน จากนั้นส่วนผลลัพธ์ส่วนหนึ่งจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน เป็นต้น กำหนดว่าสี่เหลี่ยมแบ่งออกเป็นกี่ส่วน พีขั้นตอน?

วิธีการแก้.

หลังจากขั้นตอนแรกเราได้รับ 2 ส่วนตามเงื่อนไข ในขั้นตอนที่สอง เราปล่อยให้ส่วนหนึ่งไม่เปลี่ยนแปลง และแบ่งส่วนที่สองออกเป็น 2 ส่วน และได้ 3 ส่วน ในขั้นตอนที่สาม เราปล่อยให้ 2 ส่วนไม่เปลี่ยนแปลง และแบ่งส่วนที่สามออกเป็นสองส่วน แล้วได้ 4 ส่วน ในขั้นตอนที่สี่ เราปล่อยให้ 3 ส่วนไม่เปลี่ยนแปลง และแบ่งส่วนสุดท้ายออกเป็นสองส่วน แล้วได้ 5 ส่วน ในขั้นตอนที่ห้าเราจะได้ 6 ส่วน ข้อเสนอแนะทำผ่าน พีขั้นตอนที่เราได้รับ (n+1)ส่วนหนึ่ง. แต่ข้อเสนอนี้ต้องได้รับการพิสูจน์ สมมุติว่าผ่าน ถึงขั้นตอนที่สี่เหลี่ยมแบ่งออกเป็น (k+1)ส่วนหนึ่ง. แล้วต่อ (k+1)ขั้นตอนที่เรา ถึงส่วนต่างๆ จะไม่เปลี่ยนแปลง และ (k+1)แบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนและรับ (k+2)ชิ้นส่วน คุณสังเกตเห็นว่าคุณสามารถโต้แย้งแบบนี้ได้นานเท่าที่คุณต้องการ ad infinitum นั่นคือสมมติฐานของเราคือ พีตารางขั้นตอนจะแบ่งออกเป็น (n+1)ส่วนหนึ่งได้รับการพิสูจน์

ตัวอย่าง # 2

คุณยายของฉันมีหลานสาวที่ชอบกินแยมมาก และโดยเฉพาะแยมในขวดโหล แต่คุณยายไม่อนุญาตให้เขาสัมผัส และหลานสาวก็ตัดสินใจหลอกลวงคุณยาย เขาตัดสินใจที่จะกินทุกวัน 1/10 ลิตรจากขวดนี้แล้วเติมด้วยน้ำ คนให้เข้ากัน อีกกี่วันคุณยายจะค้นพบการหลอกลวงหากแยมยังคงเหมือนเดิมเมื่อเจือจางด้วยน้ำครึ่งหนึ่ง?

วิธีการแก้.

ค้นหาว่าแยมบริสุทธิ์จะเหลืออยู่ในโถมากแค่ไหนหลังจาก พีวัน หลังจากวันแรก ส่วนผสมจะยังคงอยู่ในโถ ซึ่งประกอบด้วย 9/10 แยมและน้ำ 1/10 หลังจากสองวัน 1 ใน 10 ของส่วนผสมของน้ำและแยมจะหายไปจากโถและยังคงอยู่ (ส่วนผสม 1 ลิตรมีแยม 9/10 ลิตรส่วนผสม 1/10 ลิตรบรรจุแยม 9/100 ลิตร)

9/10 - 9/100=81/100=(9/10) แยม 2 ลิตร ในวันที่สาม ส่วนผสม 1/10 ลิตรประกอบด้วยแยม 81/100 และน้ำ 19/100 จะหายไปจากโถ ในส่วนผสม 1 ลิตรมีแยม 81/100 ลิตรในส่วนผสม 1/10 ลิตร 81/1000 ลิตรของแยม 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) แยมจะเหลือ 3 ลิตรหลังจาก 3 วัน ส่วนที่เหลือจะถูกดูดด้วยน้ำ รูปแบบปรากฏขึ้น ผ่าน พีวันที่เหลืออยู่ในธนาคาร (9/10) พีฉันแยม แต่อีกครั้ง นี่เป็นเพียงการคาดเดาของเรา

อนุญาต ถึงเป็นจำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจ สมมุติว่าผ่าน ถึงวันในธนาคารจะยังคงอยู่ (9/10) ถึง l ติดขัด มาดูกันว่าอีกวันในธนาคารจะเป็นอย่างไร นั่นก็คือ ใน (k+1)วัน. จะหายไปจากธนาคาร 1/10lส่วนผสมของ (9/10) ถึง lแยมและน้ำ ที่ 1lส่วนผสมคือ (9/10) ถึง lแยมใน 1/10lส่วนผสม (9/10) k+1 lแยม. ตอนนี้พูดได้เลยว่าผ่าน พีวันที่เหลืออยู่ในธนาคาร (9/10) พี lแยม. อีก 6 วัน ธนาคารจะได้ 531444/100000lติดขัดหลังจาก 7 วัน - 4782969/10000000lแยมนั่นคือน้อยกว่าครึ่งหนึ่ง

ตอบ:หลังจาก 7 วัน คุณยายจะค้นพบการหลอกลวง

ให้เราลองแยกแยะพื้นฐานที่สุดในการแก้ปัญหาที่พิจารณา เราเริ่มแก้ปัญหาแต่ละข้อโดยพิจารณาแยกกันหรืออย่างที่พวกเขาพูดว่าเป็นกรณีพิเศษ จากนั้น จากการสังเกตของเรา เราได้ตั้งสมมติฐานบางอย่าง พี(น), ขึ้นอยู่กับธรรมชาติ ป.

การยืนยันถูกตรวจสอบ นั่นคือ พิสูจน์แล้ว P(1), P(2), P(3);

แนะนำว่า พี(น)ใช้ได้สำหรับ n=kและอนุมานได้ว่ามันจะใช้ได้ในครั้งต่อไป น, น=k+1

แล้วพวกเขาก็โต้เถียงกันอย่างนี้: ป(1)ขวา, ป(2)ขวา, พี(3)ขวา, พี(4)ครับ...ถูกต้องครับ พี(น).

หลักการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

คำแถลง พี(น), ขึ้นอยู่กับธรรมชาติ พี,ถูกต้องสำหรับธรรมชาติทั้งหมด พี, ถ้า

1) ความถูกต้องของการยืนยันสำหรับ n=1;

2) จากสมมติฐานความถูกต้องของข้อความ พี(น)ที่ n=kควร

ความยุติธรรม พี(น)ที่ น=k+1

ในวิชาคณิตศาสตร์ หลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ถูกเลือกเป็นกฎ ให้เป็นหนึ่งในสัจพจน์ที่กำหนดชุดตัวเลขตามธรรมชาติ ดังนั้นจึงเป็นที่ยอมรับโดยไม่มีการพิสูจน์ วิธีการพิสูจน์โดยหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกว่าวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ โปรดทราบว่าวิธีนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการพิสูจน์ทฤษฎีบท อัตลักษณ์ ความไม่เท่าเทียมกันในการแก้ปัญหาการหารลงตัว และปัญหาอื่นๆ อีกมากมาย

บทเรียน #2

การเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

ในกรณีที่ข้อความทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับวัตถุจำนวนจำกัด สามารถพิสูจน์ได้โดยการตรวจสอบแต่ละวัตถุ เช่น คำสั่ง "ทุกเลขคู่สองหลักเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัว" วิธีการพิสูจน์ที่เราทดสอบคำสั่งสำหรับกรณีจำนวนจำกัดเรียกว่าการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์ วิธีนี้ใช้ค่อนข้างน้อย เนื่องจากประโยคส่วนใหญ่มักถูกพิจารณาในชุดอนันต์ ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบท "จำนวนคู่ใดๆ เท่ากับผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัว" ยังไม่ได้รับการพิสูจน์หรือถูกหักล้างมาก่อน แม้ว่าเราจะทดสอบทฤษฎีบทนี้สำหรับพันล้านแรก มันจะไม่ทำให้เราเข้าใกล้การพิสูจน์อีกก้าวเดียว

ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติใช้การเหนี่ยวนำที่ไม่สมบูรณ์ทำการทดสอบการทดลองหลายครั้งโดยส่งผลลัพธ์ไปยังทุกกรณี

ตัวอย่าง #3

เดาโดยใช้สูตรการเหนี่ยวนำที่ไม่สมบูรณ์สำหรับผลรวมของลูกบาศก์ของจำนวนธรรมชาติ

วิธีการแก้.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; …; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

การพิสูจน์.

ปล่อยให้มันเป็นจริงสำหรับ น=เค

มาพิสูจน์กันว่าเป็นจริงสำหรับ น=k+1

สรุป: สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์ของจำนวนธรรมชาติเป็นจริงสำหรับธรรมชาติใดๆ ป.

ตัวอย่าง #4

พิจารณาความเท่าเทียมกันและคาดเดาว่าตัวอย่างเหล่านี้นำไปสู่กฎทั่วไปใด

วิธีการแก้.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

ตัวอย่าง #5

เขียนนิพจน์ต่อไปนี้เป็นผลรวม:

1)
2)
3)
; 4)
.

ตัวอักษรกรีก "ซิกม่า"

ตัวอย่าง #6.

เขียนผลรวมต่อไปนี้โดยใช้เครื่องหมาย
:

2)

ตัวอย่าง #7

เขียนนิพจน์ต่อไปนี้เป็นผลิตภัณฑ์:

1)

3)
4)

ตัวอย่าง #8

เขียนงานต่อไปนี้โดยใช้เครื่องหมาย

(อักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่ "pi")

1)
2)

ตัวอย่าง #9

การคำนวณค่าของพหุนาม ฉ ( น )= น 2 + น +11 , ที่ n=1,2,3,4.5,6,7 สามารถสันนิษฐานได้ว่าสำหรับธรรมชาติใด ๆพีตัวเลข ฉ ( น ) เรียบง่าย.

สมมติฐานนี้ถูกต้องหรือไม่?

วิธีการแก้.

ถ้าผลรวมแต่ละผลหารด้วยตัวเลขได้ ผลรวมนั้นหารด้วยตัวเลขนั้นลงตัว
ไม่ใช่จำนวนเฉพาะของจำนวนธรรมชาติใดๆป.

การวิเคราะห์กรณีจำนวนจำกัดมีบทบาทสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์: โดยไม่ต้องให้การพิสูจน์หนึ่งหรืออีกคำสั่งหนึ่งจะช่วยให้คาดเดาสูตรที่ถูกต้องของข้อความนี้หากยังไม่ทราบ นี่คือวิธีที่โกลด์บัค สมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก สันนิษฐานว่าจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่เริ่มต้นจากสอง คือผลรวมของจำนวนเฉพาะไม่เกินสามจำนวน

บทเรียน #3

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ช่วยให้เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ต่างๆ

ตัวอย่าง #10.ให้เราได้พิสูจน์กันทุกคน พีตัวตน

วิธีการแก้.

มาใส่กัน

เราต้องพิสูจน์ว่า

ให้เราพิสูจน์ว่า แล้วจากความจริงของตัวตน

ความจริงของตัวตนดังต่อไปนี้

โดยหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ความจริงของตัวตนของทุกคน พี.

ตัวอย่าง #11

มาพิสูจน์ตัวตนกัน

การพิสูจน์.

ความเท่าเทียมกันระยะโดยระยะ

;
. ตัวตนนี้จึงเป็นจริงสำหรับทุกคนพี .

บทเรียนที่ 4

พิสูจน์เอกลักษณ์ด้วยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่าง #12 มาพิสูจน์ตัวตนกัน

การพิสูจน์.

ด้วยการใช้หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ เราพิสูจน์แล้วว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับทุกคน พี.

ตัวอย่าง #13 มาพิสูจน์ตัวตนกัน

การพิสูจน์.

ด้วยการใช้หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ เราได้พิสูจน์ว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับธรรมชาติใดๆ พี.

ตัวอย่าง #14 มาพิสูจน์ตัวตนกัน

การพิสูจน์.

ตัวอย่าง #15 มาพิสูจน์ตัวตนกัน

1) n=1;

2) สำหรับ n=k ความเท่าเทียมกัน

3) พิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันถือสำหรับ n=k+1:

สรุป: ตัวตนที่ถูกต้องสำหรับธรรมชาติใด ๆ ป.

ตัวอย่าง #16มาพิสูจน์ตัวตนกัน

การพิสูจน์.

ถ้า n=1 , แล้ว

ให้ตัวตนคงอยู่เพื่อ น=เค

ให้เราพิสูจน์ว่าตัวตนมีไว้เพื่อ น=k+1

แล้วอัตลักษณ์ก็ใช้ได้ตามธรรมชาติ พี.

บทเรียนที่ 5

พิสูจน์เอกลักษณ์ด้วยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่าง #17มาพิสูจน์ตัวตนกัน

การพิสูจน์.

ถ้า n=2 แล้วเราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:

ให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับn=k:

ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของการยืนยันสำหรับ น=k+1

ตามหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง #18 มาพิสูจน์ตัวตนกัน
สำหรับn≥2

ที่ n=2 อัตลักษณ์นี้สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบที่เรียบง่าย

และเห็นได้ชัดว่าเป็นความจริง

ให้ที่ n=kจริงๆ

.

ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของการยืนยันสำหรับn=k+1, นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ: .

เราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าตัวตนที่แท้จริงนั้นมีอยู่จริงทุกประการ n≥2

ตัวอย่าง #19 มาพิสูจน์ตัวตนกัน

ที่ n=1 เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:

สมมติว่าที่ n=kเรายังได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:

ให้เราพิสูจน์ว่ามีการสังเกตความถูกต้องของความเท่าเทียมกันสำหรับ n=k+1:

แล้วอัตลักษณ์ก็ใช้ได้ตามธรรมชาติ พี.

บทเรียนที่ 6

การแก้ปัญหาความแตกแยก

ตัวอย่าง #20พิสูจน์โดยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ว่า

แบ่งโดย 6 ไร้ร่องรอย

การพิสูจน์.

ที่ n=1 แบ่งเป็น6 ไร้ร่องรอย
.

ให้ที่ n=k การแสดงออก
หลายรายการ6.

ให้เราพิสูจน์ว่าเมื่อไร n=k+1 การแสดงออก
หลายรายการ6 .

แต่ละเทอมเป็นพหุคูณ 6 ดังนั้นผลรวมจึงเป็นผลคูณของ 6 .

ตัวอย่างหมายเลข 21
บน5 ไร้ร่องรอย

การพิสูจน์.

ที่ n=1 นิพจน์แบ่งออกได้
.

ให้ที่ n=k การแสดงออก
ยังแบ่งออกเป็น5 ไร้ร่องรอย

ที่ n=k+1แบ่งโดย 5 .

ตัวอย่าง #22 พิสูจน์การหารของนิพจน์
บน16.

การพิสูจน์.

ที่ n=1หลายรายการ 16 .

ให้ที่ n=k
หลายรายการ16.

ที่ n=k+1

คำศัพท์ทั้งหมดหารด้วย 16: อันแรกเป็นข้อที่สองอย่างเห็นได้ชัดโดยสมมติฐาน และอันที่สามมีเลขคู่ในวงเล็บ

ตัวอย่าง #23 พิสูจน์ความแตกแยก
บน676.

การพิสูจน์.

มาพิสูจน์กันก่อนว่า
แบ่งโดย
.

ที่ n=0
.

ให้ที่ n=k
แบ่งโดย26 .

แล้วที่ n=k+1แบ่งโดย 26 .

ให้เราพิสูจน์การยืนยันที่กำหนดในเงื่อนไขของปัญหา

ที่ n=1แบ่งโดย 676.

ที่ n=k มันเป็นความจริงที่
แบ่งโดย26 2 .

ที่ n=k+1 .

ทั้งสองคำนี้หารด้วย 676 ; ประการแรกเป็นเพราะเราได้พิสูจน์ความแตกแยกโดย 26 นิพจน์ในวงเล็บ และข้อที่สองหารด้วยสมมติฐานอุปนัย

บทเรียนที่ 7

การแก้ปัญหาความแตกแยก

ตัวอย่างหมายเลข 24

พิสูจน์สิ
แบ่งโดย5 ไร้ร่องรอย

การพิสูจน์.

ที่ n=1
แบ่งโดย5.

ที่ n=k
แบ่งโดย5 ไร้ร่องรอย

ที่ n=k+1 แต่ละเทอมหารด้วย5 ไร้ร่องรอย

ตัวอย่าง #25

พิสูจน์สิ
แบ่งโดย6 ไร้ร่องรอย

การพิสูจน์.

ที่ n=1
แบ่งโดย6 ไร้ร่องรอย

ให้ที่ n=k
แบ่งโดย6 ไร้ร่องรอย

ที่ n=k+1แบ่งโดย 6 ไม่มีเศษเหลือ เนื่องจากแต่ละเทอมหารด้วย6 ไม่มีเศษ: เทอมแรกเป็นสมมติฐานอุปนัย ที่สองชัดเจน ที่สามเป็นเพราะ
เลขคู่.

ตัวอย่าง #26

พิสูจน์สิ
เมื่อหารด้วย9 ให้ส่วนที่เหลือ 1 .

การพิสูจน์.

มาพิสูจน์กัน
แบ่งโดย9 .

ที่ n=1
แบ่งโดย 9 . ให้ที่ n=k
แบ่งโดย9 .

ที่ n=k+1แบ่งโดย 9 .

ตัวอย่างหมายเลข 27

พิสูจน์ว่าหารด้วย15 ไร้ร่องรอย

การพิสูจน์.

ที่ n=1แบ่งโดย 15 .

ให้ที่ n=kแบ่งโดย 15 ไร้ร่องรอย

ที่ n=k+1

เทอมแรกเป็นทวีคูณ15 โดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำ เทอมที่สองเป็นผลคูณของ15 – แน่นอน เทอมที่สามเป็นผลคูณของ15 , เพราะ
หลายรายการ5 (พิสูจน์ในตัวอย่างที่ 21) เทอมที่สี่และห้าก็คูณด้วย5 ซึ่งเห็นได้ชัดเจนว่าผลรวมเป็นทวีคูณของ15 .

บทเรียนที่ 8-9

หลักฐานความไม่เท่าเทียมกันโดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่าง #28
.

ที่ n=1เรามี
- ขวา.

ให้ที่ n=k
คือความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริง

ที่ n=k+1

ถ้าอย่างนั้นความไม่เท่าเทียมกันก็ใช้ได้กับธรรมชาติใด ๆ พี.

ตัวอย่าง #29พิสูจน์ว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นความจริง
สำหรับใดๆ พี.

ที่ n=1เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ถูกต้อง 4 >1.

ให้ที่ n=kความไม่เท่าเทียมกัน
.

ให้เราพิสูจน์ว่าเมื่อไร n=k+1ความไม่เท่าเทียมกัน

เพื่อความเป็นธรรมชาติ ถึงมีการสังเกตความไม่เท่าเทียมกัน

ถ้า
ที่
แล้ว

ตัวอย่าง #30.

เพื่อความเป็นธรรมชาติ พีและอื่นๆ

อนุญาต n=1
, ขวา.

สมมุติว่าอสมการถือไว้สำหรับ n=k:
.

ที่ n=k+1

ตัวอย่างหมายเลข 31พิสูจน์ความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกัน

เพื่อความเป็นธรรมชาติ พี.

ให้เราพิสูจน์ก่อนว่าสำหรับธรรมชาติใด ๆ tความไม่เท่าเทียมกัน

คูณอสมการทั้งสองข้างด้วย
. เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันหรือ
;
; - ความไม่เท่าเทียมกันนี้ถือเป็นธรรมชาติ t.

ที่ n=1ความไม่เท่าเทียมกันเดิมเป็นความจริง
;
;
.

ปล่อยให้ความไม่เท่าเทียมกันถือไว้สำหรับ n=k:
.

ที่ n=k+1

บทเรียนที่ 10

การแก้ปัญหาในหัวข้อ

วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่าง #32พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของ Bernoulli

ถ้า
แล้วสำหรับค่าธรรมชาติทั้งหมดพี ความไม่เท่าเทียมกัน

การพิสูจน์.

ที่ n=1 ความไม่เท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์แล้วอยู่ในรูปแบบ
และเห็นได้ชัดว่าถูกต้อง สมมุติว่าเป็นจริงสำหรับn=k , นั่นคือ อะไร
.

เนื่องจากตามเงื่อนไข
, แล้ว
ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันจึงไม่เปลี่ยนความหมายเมื่อนำทั้งสองส่วนมาคูณกัน
:

เพราะ
แล้วเราจะได้สิ่งนั้น

.

ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ n=1และจากความจริงที่ n=kก็เป็นไปตามนั้นจริงและ น=k+1ดังนั้นโดยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์จึงถือได้ว่าเป็นไปตามธรรมชาติ ป.

ตัวอย่างเช่น,

ตัวอย่างหมายเลข 33 ค้นหาคุณค่าธรรมชาติทั้งหมดพี ซึ่งความไม่เท่าเทียมกัน

วิธีการแก้.

ที่ n=1ความไม่เท่าเทียมกันนั้นถูกต้อง ที่ n=2ความไม่เท่าเทียมกันก็เป็นความจริงเช่นกัน

ที่ n=3ความไม่เท่าเทียมกันไม่เป็นที่พอใจอีกต่อไป เฉพาะเมื่อ n=6ความไม่เท่าเทียมกันถือไว้เพื่อที่สำหรับพื้นฐานการเหนี่ยวนำเราสามารถใช้ น=6.

สมมติว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับธรรมชาติบางอย่าง ถึง:

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกัน

ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายถือ if
ทดสอบงานในหัวข้อ n=1 ได้รับซ้ำ: n≥5 โดยที่ พี- -จำนวนธรรมชาติ