งานวิจัยทางคณิตศาสตร์ "การแก้ปัญหาเชิงตรรกะ" งานวิจัยเชิงนามธรรมทางคณิตศาสตร์: หัวข้อ: "วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์" - ผลงานของนักเรียนของฉัน สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล
ส่วนนี้ของเว็บไซต์ของเรานำเสนอ หัวข้องานวิจัยเกี่ยวกับตรรกะในรูปแบบของปัญหาตรรกะ ความซับซ้อนและความขัดแย้งในคณิตศาสตร์ เกมที่น่าสนใจเกี่ยวกับตรรกะและการคิดเชิงตรรกะ หัวหน้างานควรแนะนำและช่วยเหลือนักศึกษาในการวิจัยโดยตรง
หัวข้อที่นำเสนอด้านล่างสำหรับงานวิจัยและการออกแบบเกี่ยวกับตรรกะเหมาะสำหรับเด็กที่ชอบคิดอย่างมีตรรกะ แก้ปัญหาและตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน สำรวจความขัดแย้งและปัญหาทางคณิตศาสตร์ และเล่นเกมตรรกะที่ไม่ได้มาตรฐาน
ในรายการด้านล่าง คุณสามารถเลือกหัวข้อโครงการเชิงตรรกะสำหรับระดับชั้นใดก็ได้ในโรงเรียนมัธยมศึกษา ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาจนถึงมัธยมศึกษาตอนปลาย เพื่อช่วยให้คุณออกแบบโครงงานคณิตศาสตร์เกี่ยวกับตรรกะและการคิดเชิงตรรกะได้อย่างถูกต้องคุณสามารถใช้ข้อกำหนดที่พัฒนาขึ้นสำหรับการออกแบบงานได้
หัวข้อต่อไปนี้สำหรับโครงการวิจัยเชิงตรรกะยังไม่ถือเป็นที่สิ้นสุดและอาจได้รับการแก้ไขเนื่องจากข้อกำหนดที่กำหนดไว้ก่อนโครงการ
หัวข้องานวิจัยเกี่ยวกับตรรกะ:
หัวข้อตัวอย่างงานวิจัยด้านตรรกะสำหรับนักศึกษา:
ตรรกะที่น่าสนใจในวิชาคณิตศาสตร์
ตรรกะพีชคณิต
ลอจิกและเรา
ลอจิก กฎแห่งตรรกะ
กล่องลอจิก รวมปัญหาตรรกะเพื่อความบันเทิง
งานตรรกะกับตัวเลข
ปัญหาลอจิก
โจทย์ลอจิก "เลขคณิตตลก"
ปัญหาตรรกะทางคณิตศาสตร์
ปัญหาเชิงตรรกะในการกำหนดจำนวนรูปทรงเรขาคณิต
งานเชิงตรรกะเพื่อการพัฒนาความคิด
ปัญหาตรรกะในบทเรียนคณิตศาสตร์
เกมลอจิก
ความขัดแย้งเชิงตรรกะ
ตรรกะทางคณิตศาสตร์
วิธีการแก้ปัญหาเชิงตรรกะและวิธีการเรียบเรียง
การจำลองปัญหาลอจิก
การนำเสนอทางการศึกษา "พื้นฐานลอจิก"
ปัญหาตรรกะประเภทพื้นฐานและวิธีการแก้ไข
ตามรอยของ Sherlock Holmes หรือวิธีการในการแก้ปัญหาเชิงตรรกะ
การประยุกต์ทฤษฎีกราฟในการแก้ปัญหาเชิงตรรกะ
ปัญหาสี่สี
การแก้ปัญหาเชิงตรรกะ
การแก้ปัญหาเชิงตรรกะโดยใช้วิธีกราฟ
การแก้ปัญหาเชิงตรรกะในรูปแบบต่างๆ
การแก้ปัญหาตรรกะโดยใช้กราฟ
การแก้ปัญหาเชิงตรรกะโดยใช้ไดอะแกรมและตาราง
การแก้ปัญหาเชิงตรรกะ
การอ้างเหตุผล ความขัดแย้งเชิงตรรกะ
หัวข้อโครงการลอจิก
หัวข้อตัวอย่างสำหรับโครงการเชิงตรรกะสำหรับนักเรียน:
ความซับซ้อน
ความซับซ้อนรอบตัวเรา
ความซับซ้อนและความขัดแย้ง
วิธีการเขียนและวิธีการแก้ปัญหาเชิงตรรกะ
เรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาเชิงตรรกะ
พีชคณิตของตรรกะและรากฐานเชิงตรรกะของคอมพิวเตอร์
ประเภทของงานสำหรับการคิดเชิงตรรกะ
สองวิธีในการแก้ปัญหาเชิงตรรกะ
ลอจิกและคณิตศาสตร์
ลอจิกเป็นวิทยาศาสตร์
ปริศนาตรรกะ
นักเรียนให้ความสนใจ! หลักสูตรจะเสร็จสมบูรณ์อย่างอิสระตามหัวข้อที่เลือกอย่างเคร่งครัด ไม่อนุญาตให้มีหัวข้อซ้ำกัน! ขอความกรุณาแจ้งให้อาจารย์ทราบเกี่ยวกับหัวข้อที่เลือกโดยวิธีใดก็ได้ที่สะดวก ไม่ว่าจะเป็นรายบุคคลหรือรายการที่ระบุชื่อนามสกุล หมายเลขกลุ่ม และชื่องานของรายวิชา
ตัวอย่างหัวข้อรายวิชาในสาขาวิชา
“ตรรกะทางคณิตศาสตร์”
1. วิธีการแก้ปัญหาและการประยุกต์ในพีชคณิตเชิงประพจน์และพีชคณิตภาคแสดง
2. ระบบสัจพจน์
3. CNF และ DNF ที่น้อยที่สุดและสั้นที่สุด
4. การประยุกต์วิธีตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ในทฤษฎีภาษาทางการ
5. ไวยากรณ์ทางการเป็นแคลคูลัสเชิงตรรกะ
6. วิธีการแก้ไขปัญหาลอจิกข้อความ
7. ระบบการเขียนโปรแกรมลอจิก
8. เกมลอจิก
9. ความไม่แน่นอนของตรรกะอันดับหนึ่ง
10. แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ได้มาตรฐาน
11. วิธีเส้นทแยงมุมในตรรกะทางคณิตศาสตร์
12. เครื่องจักรทัวริงและวิทยานิพนธ์ของคริสตจักร
13. ความสามารถในการคำนวณของลูกคิดและฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำ
14. การแสดงฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำและผลลัพธ์เชิงลบของตรรกะทางคณิตศาสตร์
15. ความสามารถในการแก้เลขคณิตการบวก
16. ตรรกะอันดับสองและความสามารถในการนิยามทางคณิตศาสตร์
17. วิธีการของอัลตราโปรดักส์ในทฤษฎีแบบจำลอง
18. ทฤษฎีบทของโกเดลเรื่องความไม่สมบูรณ์ของเลขคณิตแบบทางการ
19. ทฤษฎีสัจพจน์ที่แก้ไขได้และตัดสินใจไม่ได้
20. บทแทรกการแก้ไขของเครกและการประยุกต์
21. ตัวแปลงข้อมูลที่ง่ายที่สุด
22. วงจรสวิตชิ่ง
24. โครงสร้างการติดต่อ
25. การใช้ฟังก์ชันบูลีนเพื่อถ่ายทอดวงจรหน้าสัมผัส
26. การประยุกต์ฟังก์ชันบูลีนในทฤษฎีการจดจำรูปแบบ
27. ตรรกะทางคณิตศาสตร์และระบบปัญญาประดิษฐ์
งานหลักสูตรจะต้องประกอบด้วย 2 ส่วนคือเนื้อหาทางทฤษฎีของหัวข้อและชุดปัญหาในหัวข้อ (อย่างน้อย 10) พร้อมแนวทางแก้ไข นอกจากนี้ยังได้รับอนุญาตให้เขียนภาคนิพนธ์ประเภทการวิจัยโดยแทนที่ส่วนที่สอง (การแก้ปัญหา) ด้วยการพัฒนาที่เป็นอิสระ (เช่น อัลกอริธึมการทำงาน โปรแกรม ตัวอย่าง ฯลฯ ) ที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของเนื้อหาทางทฤษฎีที่กล่าวถึง ในส่วนแรกของงาน
1) Barwise J. (ed.) หนังสืออ้างอิงเกี่ยวกับตรรกะทางคณิตศาสตร์ - ม.: เนากา, 2525.
2) พี่น้องแห่งภาษาโปรแกรม - ม.: เนากา, 2518.
3) Boulos J. ความสามารถในการคำนวณและตรรกะ - ม.: มีร์, 1994.
4) ตรรกะ Hindikin ในปัญหา - ม., 2515.
5) ตรรกะปาลูติน - ม.: เนากา, 2522.
6) ความสามารถในการละลายของ Ershov และแบบจำลองเชิงสร้างสรรค์ - อ.: เนากา, 1980.
7) ทฤษฎี Taitslin // Uspekhi Mat. Nauk, 1965, 20, ลำดับ 4, p. 37-108.
8) Igoshin - เวิร์คช็อปเกี่ยวกับตรรกะทางคณิตศาสตร์ - อ.: การศึกษา, 2529.
9) ตรรกะ Igoshin และทฤษฎีอัลกอริทึม - Saratov: สำนักพิมพ์ Sarat มหาวิทยาลัย พ.ศ. 2534
10) ใน Ts. โดยใช้ Turbo Prolog - อ.: มีร์, 1993.
11) ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับอภิคณิตศาสตร์ - ม., 2500.
12) ตรรกะเชิงคณิตศาสตร์ - อ.: มีร์, 2516.
13) ตรรกะในการแก้ปัญหา - ม.: เนากา, 1990.
14) ตรรกะของโคลโมโกรอฟ: หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัย พิเศษ /, - M.: สำนักพิมพ์ URSS, 2547. - 238 หน้า
15) เรื่องราวที่มีปม / แปล จากอังกฤษ - ม., 2516.
16) เกมโอจิก / ทรานส์ จากอังกฤษ - ม., 1991.
17) มักซิมอฟ เรื่องทฤษฎีเซต ตรรกะทางคณิตศาสตร์ และทฤษฎีอัลกอริทึม - ฉบับที่ 4 - ม., 2544.
18) ตรรกะสุกาเชวา หลักสูตรการบรรยาย หนังสือปัญหาเชิงปฏิบัติและแนวทางแก้ไข: คู่มือการศึกษา ฉบับที่ 3, ว. - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก.
19) สำนักพิมพ์ "ลาน", 2551 - 288 หน้า
20) Lyskova ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ / , . - อ.: ห้องปฏิบัติการความรู้พื้นฐาน, 2544. - 160 น.
21) ตรรกะทางคณิตศาสตร์ / อยู่ภายใต้การดูแลของบรรณาธิการทั่วไปและอื่น ๆ - มินสค์: โรงเรียนมัธยมปลาย, 2534
22) ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรรกะทางคณิตศาสตร์ - ม.: เนากา, 2527.
23) Moshchensky เกี่ยวกับตรรกะทางคณิตศาสตร์ - มินสค์, 1973.
24) Nikolskaya ด้วยตรรกะทางคณิตศาสตร์ - อ.: สถาบันจิตวิทยาและสังคมแห่งมอสโก: ฟลินท์, 1998. - 128 หน้า
25) ตรรกะของ Nikolskaya - ม., 2524.
26) ตรรกะทางคณิตศาสตร์ของโนวิคอฟ - ม.: เนากา, 2516.
27) ทฤษฎีราบิน ในหนังสือ : หนังสืออ้างอิง เรื่อง ตรรกศาสตร์คณิต ตอนที่ 3 ทฤษฎีการเรียกซ้ำ - อ.: เนากา, 2525. - หน้า. 77-111.
28) Tey A., Gribomon P. และคณะ วิธีการเชิงตรรกะกับปัญญาประดิษฐ์ ต. 1. - ม.: มีร์, 1990.
29) Tey A., Gribomon P. และคณะ วิธีการเชิงตรรกะกับปัญญาประดิษฐ์ ต. 2. - ม.: มีร์, 1998.
30) Chen Ch., Li R. ตรรกะทางคณิตศาสตร์และการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยอัตโนมัติ - อ.: เนากา, 2526.
31) ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรรกะทางคณิตศาสตร์ - อ.: มีร์, 2503.
32) ตรรกะชาบูนิน ตรรกะเชิงประพจน์และตรรกะภาคแสดง: หนังสือเรียน / ตัวแทน เอ็ด ; รัฐชูวัช มหาวิทยาลัยที่ตั้งชื่อตาม . - Cheboksary: สำนักพิมพ์ Chuvash. มหาวิทยาลัย พ.ศ. 2546 - 56 น.
สถาบันงบประมาณการศึกษาเทศบาล -
โรงเรียนมัธยมศึกษาปีที่ 51
โอเรนเบิร์ก.
โครงการเมื่อ:
ครูคณิตศาสตร์
Egorcheva Victoria Andreevna
2017
สมมติฐาน : หากนำทฤษฎีกราฟเข้าใกล้การปฏิบัติมากขึ้น ก็จะได้ผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์มากที่สุด
เป้า: ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของกราฟและเรียนรู้วิธีนำไปใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ
งาน:
1) ขยายความรู้เกี่ยวกับวิธีการสร้างกราฟ
2) ระบุประเภทของปัญหาที่ต้องแก้โดยใช้ทฤษฎีกราฟ
3) สำรวจการใช้กราฟในวิชาคณิตศาสตร์
“ออยเลอร์คำนวณโดยไม่ต้องพยายามใดๆ ว่าคนๆ หนึ่งหายใจอย่างไร หรือนกอินทรีบินอยู่เหนือพื้นโลกได้อย่างไร”
โดมินิก อาราโก.
ฉัน. การแนะนำ. พี
ครั้งที่สอง . ส่วนสำคัญ.
1. แนวคิดของกราฟ ปัญหาเกี่ยวกับสะพานเคอนิกสเบิร์ก พี
2. คุณสมบัติของกราฟ พี
3. ปัญหาในการใช้ทฤษฎีกราฟ พี
ช.
ความหมายของกราฟ พี
IV. บรรณานุกรม. พี
ฉัน . การแนะนำ
ทฤษฎีกราฟเป็นวิทยาศาสตร์ที่ค่อนข้างใหม่ “Graphs” มีรากมาจากคำภาษากรีก “grapho” ซึ่งแปลว่า “ฉันเขียน” รากเดียวกันอยู่ในคำว่า "กราฟ", "ชีวประวัติ"
ในงานของฉัน ฉันพิจารณาว่าทฤษฎีกราฟถูกนำมาใช้ในด้านต่างๆ ของชีวิตผู้คนอย่างไร ครูคณิตศาสตร์ทุกคนและนักเรียนเกือบทุกคนรู้ดีว่าการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตและคำพีชคณิตนั้นยากเพียงใด หลังจากสำรวจความเป็นไปได้ของการใช้ทฤษฎีกราฟในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนแล้ว ฉันจึงได้ข้อสรุปว่าทฤษฎีนี้ช่วยลดความยุ่งยากในการทำความเข้าใจและการแก้ปัญหาได้อย่างมาก
ครั้งที่สอง . ส่วนสำคัญ.
1. แนวคิดของกราฟ
งานชิ้นแรกเกี่ยวกับทฤษฎีกราฟเป็นของ Leonhard Euler ปรากฏในปี 1736 ในสิ่งพิมพ์ของ St. Petersburg Academy of Sciences และเริ่มพิจารณาปัญหาของสะพานKönigsberg
คุณคงรู้ว่ามีเมืองเช่นคาลินินกราดซึ่งเคยเรียกว่าเคอนิกส์เบิร์ก แม่น้ำพรีโกลยาไหลผ่านเมือง แบ่งออกเป็นสองสาขาและเดินรอบเกาะ ในศตวรรษที่ 17 มีสะพานในเมืองจำนวน 7 สะพาน จัดเรียงตามภาพ
พวกเขาบอกว่าวันหนึ่งชาวเมืองถามเพื่อนของเขาว่าสามารถเดินข้ามสะพานทั้งหมดได้หรือไม่เพื่อไปเยี่ยมแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวแล้วกลับไปยังจุดที่เริ่มเดิน ชาวเมืองจำนวนมากเริ่มสนใจปัญหานี้ แต่ก็ไม่มีใครสามารถแก้ไขปัญหานี้ได้ ปัญหานี้ได้รับความสนใจจากนักวิทยาศาสตร์จากหลายประเทศ นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ สามารถแก้ปัญหานี้ได้ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ชาวบาเซิล เกิดเมื่อวันที่ 15 เมษายน พ.ศ. 2250 ความสำเร็จทางวิทยาศาสตร์ของออยเลอร์นั้นยิ่งใหญ่มาก เขามีอิทธิพลต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์และกลศาสตร์เกือบทุกแขนง ทั้งในด้านการวิจัยพื้นฐานและการประยุกต์ Leonhard Euler ไม่เพียงแต่แก้ปัญหาเฉพาะนี้เท่านั้น แต่ยังคิดวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาเหล่านี้ด้วย ออยเลอร์ทำสิ่งต่อไปนี้: เขา "บีบอัด" พื้นดินเป็นจุดๆ และ "ยืด" สะพานออกเป็นเส้นๆ ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปที่แสดงในรูป
เรียกว่าตัวเลขดังกล่าวซึ่งประกอบด้วยจุดและเส้นที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้นับ. จุด A, B, C, D เรียกว่าจุดยอดของกราฟ และเส้นที่เชื่อมจุดยอดเรียกว่าขอบของกราฟ ในการวาดจุดยอดบี, ซี, ดี ซี่โครง 3 ซี่ออกมาจากด้านบนก - 5 ซี่โครง จุดยอดซึ่งเรียกว่าขอบจำนวนคี่จุดยอดคี่ และจุดยอดซึ่งมีขอบจำนวนคู่โผล่ออกมาสม่ำเสมอ.
2. คุณสมบัติของกราฟ
ในขณะที่แก้ไขปัญหาเกี่ยวกับสะพานเคอนิกสเบิร์ก ออยเลอร์ได้กำหนดคุณสมบัติของกราฟโดยเฉพาะ:
1. หากจุดยอดทั้งหมดของกราฟเท่ากัน คุณสามารถวาดกราฟได้เพียงครั้งเดียว (นั่นคือ โดยไม่ต้องยกดินสอออกจากกระดาษและไม่ต้องวาดสองครั้งในเส้นเดียวกัน) ในกรณีนี้ การเคลื่อนไหวสามารถเริ่มต้นจากจุดยอดใดก็ได้และสิ้นสุดที่จุดยอดเดียวกัน
2. กราฟที่มีจุดยอดคี่สองจุดสามารถวาดได้ด้วยการขีดเส้นเดียว การเคลื่อนไหวจะต้องเริ่มต้นจากจุดยอดคี่ใดๆ และสิ้นสุดที่จุดยอดคี่อีกจุดหนึ่ง
3. กราฟที่มีจุดยอดคี่มากกว่าสองจุดไม่สามารถวาดด้วยจังหวะเดียวได้
4. จำนวนจุดยอดคี่ในกราฟจะเป็นเลขคู่เสมอ
5. หากกราฟมีจุดยอดคี่ จำนวนเส้นขีดที่น้อยที่สุดที่สามารถใช้วาดกราฟได้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนจุดยอดคี่ของกราฟนี้
ตัวอย่างเช่น หากตัวเลขมีเลขคี่สี่ตัว ก็สามารถวาดได้อย่างน้อยสองครั้ง
ในปัญหาของสะพานทั้งเจ็ดแห่งเคอนิกส์แบร์ก จุดยอดทั้งสี่ของกราฟที่สอดคล้องกันนั้นเป็นเลขคี่ นั่นคือ คุณไม่สามารถข้ามสะพานทั้งหมดเพียงครั้งเดียวและสิ้นสุดการเดินทางจากจุดเริ่มต้นได้
3. การแก้ปัญหาโดยใช้กราฟ
1. งานวาดภาพด้วยจังหวะเดียว
การพยายามวาดรูปร่างแต่ละรูปทรงต่อไปนี้ด้วยปากกาเพียงครั้งเดียวจะทำให้เกิดผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน
หากไม่มีจุดแปลกในรูป คุณสามารถวาดด้วยปากกาเพียงขีดเดียวเสมอ ไม่ว่าคุณจะเริ่มวาดจากจุดใด คือภาพที่ 1 และ 5
หากรูปมีจุดคี่เพียงคู่เดียว ก็สามารถวาดรูปดังกล่าวได้ด้วยการลากเส้นเดียว โดยเริ่มวาดที่จุดคี่จุดใดจุดหนึ่ง (ไม่สำคัญว่าจุดใด) มันง่ายที่จะเข้าใจว่าการวาดควรสิ้นสุดที่จุดคี่ที่สอง นี่คือรูปที่ 2, 3, 6 ตัวอย่างเช่นในรูปที่ 6 การวาดภาพจะต้องเริ่มจากจุด A หรือจากจุด B
หากรูปมีจุดคี่มากกว่าหนึ่งคู่ ก็ไม่สามารถวาดด้วยจังหวะเดียวได้เลย นี่คือตัวเลขที่ 4 และ 7 ซึ่งมีจุดคี่สองคู่ สิ่งที่กล่าวมานั้นเพียงพอที่จะระบุได้อย่างแม่นยำว่าตัวเลขใดไม่สามารถวาดได้ในจังหวะเดียว และตัวเลขใดที่สามารถวาดได้ รวมถึงจุดที่ควรเริ่มวาด
ฉันเสนอให้วาดรูปต่อไปนี้ในจังหวะเดียว
2. การแก้ปัญหาเชิงตรรกะ
ภารกิจที่ 1
มีผู้เข้าร่วม 6 คนในการแข่งขันชิงแชมป์เทเบิลเทนนิส: Andrey, Boris, Victor, Galina, Dmitry และ Elena การแข่งขันชิงแชมป์จะจัดขึ้นในระบบ Round Robin ผู้เข้าร่วมแต่ละคนจะแข่งขันกันคนละครั้ง จนถึงปัจจุบันมีการเล่นเกมบางเกมแล้ว: Andrey เล่นกับ Boris, Galina, Elena; บอริส - กับอันเดรย์, กาลินา; วิกเตอร์ - กับ Galina, Dmitry, Elena; Galina - กับ Andrey, Victor และ Boris เล่นไปแล้วกี่เกม และเหลืออีกกี่เกม?
สารละลาย:
เรามาสร้างกราฟตามภาพกันดีกว่า
ลงเล่นไปแล้ว 7 เกม
ในรูปนี้กราฟมี 8 ขอบ เหลืออีก 8 เกมให้เล่น
งาน #2
ในลานบ้านซึ่งล้อมรอบด้วยรั้วสูง มีบ้าน 3 หลัง คือ แดง เหลือง และน้ำเงิน รั้วมีประตูสามบาน: แดง เหลือง และน้ำเงิน จากบ้านสีแดง ให้วาดเส้นทางไปยังประตูสีแดง จากบ้านสีเหลืองไปยังประตูสีเหลือง จากบ้านสีน้ำเงินไปยังประตูสีน้ำเงิน เพื่อให้เส้นทางเหล่านี้ไม่ตัดกัน
สารละลาย:
วิธีแก้ไขปัญหาจะแสดงในรูป
3. การแก้ปัญหาคำศัพท์
ในการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีกราฟ คุณจำเป็นต้องรู้อัลกอริทึมต่อไปนี้:
1. เรากำลังพูดถึงกระบวนการอะไรในปัญหา?2. ปริมาณใดที่บ่งบอกถึงกระบวนการนี้?3. ปริมาณเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันอย่างไร?4. มีกระบวนการกี่กระบวนการที่แตกต่างกันในปัญหา?5. มีความเชื่อมโยงระหว่างองค์ประกอบต่างๆ หรือไม่?
เพื่อตอบคำถามเหล่านี้ เราจะวิเคราะห์สภาพของปัญหาและเขียนลงในแผนผัง
ตัวอย่างเช่น . รถบัสเดินทางเป็นเวลา 2 ชั่วโมงด้วยความเร็ว 45 กม./ชม. และ 3 ชั่วโมงด้วยความเร็ว 60 กม./ชม. รถบัสเดินทางไกลแค่ไหนในช่วง 5 ชั่วโมงนี้?
ส 
¹=90 กม. V ¹=45 กม./ชม. t ¹=2 ชม
ส=วีที
S ²=180 กม. V ²=60 กม./ชม. เสื้อ ²=3 ชม
ส ¹ + ส ² = 90 + 180
สารละลาย:
1)45x 2 = 90 (กม.) - รถบัสเดินทางใน 2 ชั่วโมง
2)60x 3 = 180 (กม.) - รถบัสเดินทางใน 3 ชั่วโมง
3)90 + 180 = 270 (กม.) - รถบัสเดินทางใน 5 ชั่วโมง
คำตอบ: 270 กม.
สาม . บทสรุป.
จากการทำงานในโครงการนี้ ฉันได้เรียนรู้ว่า Leonhard Euler เป็นผู้ก่อตั้งทฤษฎีกราฟและแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีกราฟ ฉันสรุปด้วยตัวเองว่าทฤษฎีกราฟถูกนำมาใช้ในด้านต่างๆ ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่และการประยุกต์ต่างๆ มากมาย ไม่ต้องสงสัยเลยว่าประโยชน์ของการแนะนำนักเรียนให้รู้จักแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีกราฟคืออะไร การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์หลายอย่างจะง่ายขึ้นหากคุณใช้กราฟได้ การนำเสนอข้อมูลวี รูปแบบของกราฟช่วยให้เกิดความชัดเจน การพิสูจน์หลายๆ ข้อยังทำให้ง่ายขึ้นและน่าเชื่อถือมากขึ้นหากคุณใช้กราฟ สิ่งนี้ใช้ได้กับสาขาวิชาคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ เช่น ตรรกะทางคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์เชิงผสม
ดังนั้นการศึกษาหัวข้อนี้จึงมีความสำคัญทางการศึกษาทั่วไป วัฒนธรรมทั่วไป และคณิตศาสตร์ทั่วไปอย่างมาก ในชีวิตประจำวัน ภาพประกอบกราฟิก การแสดงทางเรขาคณิต ตลอดจนเทคนิคและวิธีการมองเห็นอื่นๆ มีการใช้กันมากขึ้น เพื่อจุดประสงค์นี้ จะเป็นประโยชน์ที่จะแนะนำการศึกษาองค์ประกอบของทฤษฎีกราฟในโรงเรียนประถมศึกษาและมัธยมศึกษา อย่างน้อยก็ในกิจกรรมนอกหลักสูตร เนื่องจากหัวข้อนี้ไม่รวมอยู่ในหลักสูตรคณิตศาสตร์
วี . บรรณานุกรม:
2551
ทบทวน.
โครงการในหัวข้อ "กราฟรอบตัวเรา" เสร็จสมบูรณ์โดย Nikita Zaytsev นักเรียนชั้น 7 "A" ที่สถาบันการศึกษาเทศบาลหมายเลข 3 Krasny Kut
คุณลักษณะที่โดดเด่นของงานของ Nikita Zaitsev คือความเกี่ยวข้อง การวางแนวเชิงปฏิบัติ ความลึกของความครอบคลุมของหัวข้อ และความเป็นไปได้ในการใช้งานในอนาคต
ผลงานมีความสร้างสรรค์ในรูปแบบของโครงการข้อมูล นักเรียนเลือกหัวข้อนี้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีกราฟกับการปฏิบัติโดยใช้ตัวอย่างเส้นทางรถโรงเรียน เพื่อแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีกราฟถูกนำมาใช้ในด้านต่างๆ ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่และการประยุกต์ต่างๆ มากมาย โดยเฉพาะในด้านเศรษฐศาสตร์ ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ และคณิตศาสตร์เชิงผสม . เขาแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาจะง่ายขึ้นอย่างมากหากสามารถใช้กราฟได้ การนำเสนอข้อมูลในรูปแบบกราฟช่วยให้เกิดความชัดเจน การพิสูจน์หลายๆ ข้อยังทำให้ง่ายขึ้นและน่าเชื่อถืออีกด้วย
งานนี้เน้นประเด็นต่างๆ เช่น:
1. แนวคิดของกราฟ ปัญหาเกี่ยวกับสะพานเคอนิกสเบิร์ก
2. คุณสมบัติของกราฟ
3. ปัญหาในการใช้ทฤษฎีกราฟ
4. ความหมายของกราฟ
5. ตัวเลือกเส้นทางรถโรงเรียน
เมื่อทำงานของเขา N. Zaitsev ใช้:
1. Alkhova Z.N., Makeeva A.V. "งานนอกหลักสูตรทางคณิตศาสตร์"
2. นิตยสาร “คณิตศาสตร์ในโรงเรียน”. ภาคผนวก “วันที่ 1 กันยายน” หมายเลข 13
2551
3. Ya.I.Perelman “ งานบันเทิงและการทดลอง” - มอสโก: การศึกษา, 2000
งานเสร็จสิ้นอย่างมีประสิทธิภาพ วัสดุตรงตามข้อกำหนดของหัวข้อนี้ และแนบภาพวาดที่เกี่ยวข้อง
การแนะนำ. 3
1. ตรรกะทางคณิตศาสตร์ (ตรรกะไร้ความหมาย) และตรรกะ "สามัญสำนึก" 4
2. การตัดสินและการอนุมานทางคณิตศาสตร์ 6
3. ตรรกะทางคณิตศาสตร์และ “สามัญสำนึก” ในศตวรรษที่ 21 สิบเอ็ด
4. ตรรกะที่ไม่เป็นธรรมชาติในรากฐานของคณิตศาสตร์ 12
บทสรุป. 17
อ้างอิง… 18
การขยายขอบเขตความสนใจเชิงตรรกะมีความสัมพันธ์กับแนวโน้มทั่วไปในการพัฒนาความรู้ทางวิทยาศาสตร์ ดังนั้น การเกิดขึ้นของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 เป็นผลมาจากแรงบันดาลใจที่มีมาหลายศตวรรษของนักคณิตศาสตร์และนักตรรกศาสตร์ในการสร้างภาษาสัญลักษณ์สากล ปราศจาก "ข้อบกพร่อง" ของภาษาธรรมชาติ (โดยหลักแล้วคือ polysemy คือ polysemy) .
การพัฒนาตรรกะเพิ่มเติมเกี่ยวข้องกับการใช้ตรรกะคลาสสิกและคณิตศาสตร์ร่วมกันในสาขาที่ประยุกต์ ตรรกะที่ไม่ใช่คลาสสิก (ตรรกะแบบ deontic เกี่ยวข้อง กฎหมาย ตรรกะในการตัดสินใจ ฯลฯ) มักจะจัดการกับความไม่แน่นอนและความคลุมเครือของวัตถุที่กำลังศึกษาอยู่ โดยธรรมชาติของการพัฒนาแบบไม่เชิงเส้น ดังนั้นเมื่อวิเคราะห์ปัญหาที่ค่อนข้างซับซ้อนในระบบปัญญาประดิษฐ์ปัญหาของการทำงานร่วมกันระหว่างการให้เหตุผลประเภทต่าง ๆ เมื่อแก้ไขปัญหาเดียวกันจึงเกิดขึ้น อนาคตในการพัฒนาตรรกะให้สอดคล้องกับวิทยาการคอมพิวเตอร์มีความเกี่ยวข้องกับการสร้างลำดับชั้นของแบบจำลองการให้เหตุผลที่เป็นไปได้ รวมถึงการให้เหตุผลในภาษาธรรมชาติ การให้เหตุผลที่เป็นไปได้ และข้อสรุปแบบนิรนัยอย่างเป็นทางการ สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้ตรรกะคลาสสิก คณิตศาสตร์ และไม่ใช่คลาสสิก ดังนั้นเราจึงไม่ได้พูดถึง "ตรรกะ" ที่แตกต่างกัน แต่เกี่ยวกับระดับการคิดที่เป็นทางการที่แตกต่างกันและ "มิติ" ของความหมายเชิงตรรกะ (ตรรกะสองค่า หลายค่า ฯลฯ)
การระบุทิศทางหลักของตรรกะสมัยใหม่:
1. ตรรกะทั่วไปหรือคลาสสิก
2. ตรรกะเชิงสัญลักษณ์หรือคณิตศาสตร์
3. ตรรกะที่ไม่คลาสสิก
ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่ค่อนข้างคลุมเครือ เนื่องจากมีตรรกะทางคณิตศาสตร์มากมายนับไม่ถ้วนเช่นกัน ในที่นี้เราจะพูดถึงบางเรื่องโดยยกย่องประเพณีมากกว่าสามัญสำนึก เพราะค่อนข้างเป็นไปได้ นี่คือสามัญสำนึก... ตรรกะเหรอ?
ตรรกะทางคณิตศาสตร์สอนให้คุณใช้เหตุผลเชิงตรรกะไม่มากไปกว่าสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่า "ตรรกะ" ของการให้เหตุผลในตรรกะนั้นถูกกำหนดโดยตรรกะเองและสามารถใช้ได้อย่างถูกต้องในตรรกะเท่านั้น ในชีวิต เมื่อคิดอย่างมีเหตุมีผลตามกฎแล้ว เราใช้ตรรกะและวิธีการให้เหตุผลเชิงตรรกะที่แตกต่างกัน ผสมผสานการหักล้างกับการอุปนัยอย่างไร้ยางอาย... ยิ่งไปกว่านั้น ในชีวิตเราสร้างการให้เหตุผลโดยอาศัยสถานที่ที่ขัดแย้งกัน เช่น “ดอน อย่าผัดผ่อนจนถึงวันพรุ่งนี้สิ่งที่ทำได้ในวันนี้" และ "คุณจะทำให้คนหัวเราะอย่างเร่งรีบ" มันมักจะเกิดขึ้นที่ข้อสรุปเชิงตรรกะที่เราไม่ชอบจะนำไปสู่การแก้ไขสถานที่เริ่มต้น (สัจพจน์)
บางทีถึงเวลาแล้วที่จะพูดเกี่ยวกับตรรกะ บางทีสิ่งที่สำคัญที่สุด: ตรรกะคลาสสิกไม่ได้เกี่ยวข้องกับความหมาย ไม่ดีต่อสุขภาพหรืออย่างอื่น! เพื่อศึกษาสามัญสำนึก ยังไงก็ต้องมีจิตเวช แต่ในด้านจิตเวชศาสตร์ ตรรกะค่อนข้างเป็นอันตราย
แน่นอนว่า เมื่อเราแยกตรรกะออกจากความรู้สึก ก่อนอื่นเราหมายถึงตรรกะคลาสสิกและความเข้าใจในชีวิตประจำวันเกี่ยวกับสามัญสำนึก คณิตศาสตร์ไม่มีทิศทางที่ต้องห้าม ดังนั้น การศึกษาความหมายด้วยตรรกะ และในทางกลับกัน ในรูปแบบต่างๆ จึงมีอยู่ในสาขาวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะสมัยใหม่จำนวนหนึ่ง
(ประโยคสุดท้ายได้ผลดี แม้ว่าฉันจะไม่พยายามนิยามคำว่า "วิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ" แม้แต่โดยประมาณก็ตาม) ความหมายหรือความหมาย หากคุณต้องการ จะถูกจัดการโดยทฤษฎีแบบจำลอง และโดยทั่วไป คำว่าความหมายมักจะถูกแทนที่ด้วยคำว่าการตีความ และถ้าเราเห็นด้วยกับนักปรัชญาว่าการตีความ (แสดง!) ของวัตถุนั้นเป็นความเข้าใจของมันในบางแง่มุม วงกลมเขตแดนของคณิตศาสตร์ซึ่งสามารถใช้เพื่อโจมตีความหมายในตรรกะก็จะไม่สามารถเข้าใจได้!
ในทางปฏิบัติ การเขียนโปรแกรมเชิงทฤษฎีถูกบังคับให้สนใจในความหมาย และในนั้นนอกเหนือจากความหมายเท่านั้น ยังมีการดำเนินการและ denotational และขั้นตอน ฯลฯ และอื่น ๆ ความหมาย...
ให้เราพูดถึงการกล่าวโทษ - ทฤษฎีของหมวดหมู่ซึ่งนำความหมายมาสู่รูปแบบที่เป็นทางการและคลุมเครือซึ่งความหมายนั้นง่ายมาก - วางบนชั้นวางซึ่งเป็นไปไม่ได้เลยที่มนุษย์ธรรมดาจะไปถึงจุดต่ำสุดของมันได้ ... นี่สำหรับชนชั้นสูง
แล้วตรรกะทำอะไร? อย่างน้อยก็ในส่วนที่คลาสสิกที่สุด? ลอจิกทำเฉพาะสิ่งที่ทำเท่านั้น (และเธอให้คำนิยามนี้อย่างเคร่งครัดอย่างยิ่ง) สิ่งสำคัญในตรรกะคือการกำหนดมันอย่างเคร่งครัด! กำหนดสัจพจน์ จากนั้นข้อสรุปเชิงตรรกะควรเป็น (!) โดยอัตโนมัติเป็นส่วนใหญ่...
การใช้เหตุผลเกี่ยวกับข้อสรุปเหล่านี้เป็นอีกเรื่องหนึ่ง! แต่ข้อโต้แย้งเหล่านี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของตรรกะแล้ว! ดังนั้นพวกเขาจึงต้องมีความรู้สึกทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด!
อาจดูเหมือนเป็นการกระทำที่สมดุลทางวาจาง่ายๆ เลขที่! เป็นตัวอย่างของระบบตรรกะ (จริง) บางอย่าง เรามาเล่นเกมที่รู้จักกันดี 15 มาตั้งค่า (ผสม) การจัดเรียงเริ่มต้นของชิปสี่เหลี่ยมกัน จากนั้นเกม (ข้อสรุปเชิงตรรกะ!) และโดยเฉพาะการเคลื่อนไหวของชิปไปยังพื้นที่ว่างสามารถจัดการได้ด้วยอุปกรณ์กลไกบางอย่างและคุณสามารถรับชมและชื่นชมยินดีอย่างอดทนเมื่อลำดับจาก 1 ถึง 15 อันเป็นผลมาจากการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ ถูกสร้างขึ้นในกล่องแต่ไม่มีใครห้ามควบคุมอุปกรณ์กลไกและแจ้งเตือนตามสามัญสำนึกด้วยการเคลื่อนไหวที่ถูกต้องของชิปเพื่อเร่งกระบวนการให้เร็วขึ้น หรืออาจจะพิสูจน์โดยใช้เหตุผลเชิงตรรกะเช่นสาขาคณิตศาสตร์เช่น COMBINATORICS ว่าด้วยการจัดเรียงชิปเริ่มต้นที่กำหนดจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะได้รับชุดค่าผสมสุดท้ายที่ต้องการเลย!
ไม่มีสามัญสำนึกในส่วนของตรรกะที่เรียกว่าพีชคณิตเชิงตรรกะอีกต่อไป ที่นี่มีการแนะนำการดำเนินการทางลอจิคัลและคุณสมบัติต่างๆ ถูกกำหนดไว้ ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ ในบางกรณี กฎของพีชคณิตนี้อาจสอดคล้องกับตรรกศาสตร์แห่งชีวิต แต่ในบางกรณีกฎของพีชคณิตไม่สอดคล้องกับตรรกะของชีวิต เนื่องจากความไม่แน่นอนดังกล่าว กฎแห่งตรรกะจึงไม่สามารถถือเป็นกฎเกณฑ์จากมุมมองของการปฏิบัติแห่งชีวิตได้ ความรู้และการใช้กลไกของพวกเขาไม่เพียงช่วยได้ แต่ยังเป็นอันตรายอีกด้วย โดยเฉพาะนักจิตวิทยาและทนายความ สถานการณ์มีความซับซ้อนเนื่องจากความจริงที่ว่า พร้อมด้วยกฎของพีชคณิตแห่งตรรกะ ซึ่งบางครั้งสอดคล้องหรือไม่สอดคล้องกับการให้เหตุผลในชีวิต ยังมีกฎเชิงตรรกะที่นักตรรกศาสตร์บางคนไม่รู้จักอย่างเด็ดขาด สิ่งนี้ใช้กับสิ่งที่เรียกว่ากฎหมายของ EXCLUSIVE THIRD และ CONTRADICTION เป็นหลัก
2. การตัดสินและการอนุมานทางคณิตศาสตร์
ในการคิด แนวความคิดจะไม่ปรากฏแยกจากกัน แต่เชื่อมโยงถึงกันในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง รูปแบบของการเชื่อมโยงแนวคิดระหว่างกันคือการตัดสิน ในการตัดสินแต่ละครั้ง จะมีการสร้างความเชื่อมโยงหรือความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างแนวคิด และด้วยเหตุนี้จึงเป็นการยืนยันการมีอยู่ของความเชื่อมโยงหรือความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุที่ครอบคลุมโดยแนวคิดที่เกี่ยวข้อง หากการตัดสินสะท้อนถึงการพึ่งพาระหว่างสิ่งต่าง ๆ ที่มีอยู่อย่างเป็นกลางอย่างถูกต้อง เราจะเรียกการตัดสินดังกล่าวว่าเป็นจริง ไม่เช่นนั้นการตัดสินจะเป็นเท็จ ตัวอย่างเช่น ประพจน์ "รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทุกรูปเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน" ถือเป็นข้อเสนอที่แท้จริง ประพจน์ “สี่เหลี่ยมด้านขนานทุกอันเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน” ถือเป็นข้อเสนอที่ผิด
ดังนั้นการตัดสินจึงเป็นรูปแบบหนึ่งของความคิดที่สะท้อนถึงการมีอยู่หรือไม่มีของวัตถุ (การมีอยู่หรือไม่มีคุณลักษณะและความเชื่อมโยงใด ๆ ของมัน).
การคิดหมายถึงการตัดสิน ด้วยความช่วยเหลือของการตัดสิน ความคิดและแนวความคิดได้รับการพัฒนาเพิ่มเติม
เนื่องจากทุกแนวคิดสะท้อนถึงประเภทของวัตถุ ปรากฏการณ์ หรือความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านั้น การตัดสินใดๆ จึงสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการรวมหรือไม่รวม (บางส่วนหรือทั้งหมด) ของแนวคิดหนึ่งในระดับของแนวคิดอื่น ตัวอย่างเช่น ข้อเสนอ "ทุกสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน" บ่งชี้ว่าแนวคิด "สี่เหลี่ยมจัตุรัส" รวมอยู่ในแนวคิด "สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน" ข้อเสนอ “เส้นที่ตัดกันไม่ขนานกัน” บ่งชี้ว่าเส้นที่ตัดกันไม่อยู่ในชุดของเส้นที่เรียกว่าขนาน
การตัดสินมีเปลือกทางภาษาของตัวเอง - ประโยค แต่ไม่ใช่ทุกประโยคที่จะตัดสิน
ลักษณะเฉพาะของการตัดสินคือการมีอยู่ของความจริงหรือความเท็จในประโยคที่แสดงออกมา
ตัวอย่างเช่น ประโยค “สามเหลี่ยม ABC คือหน้าจั่ว” เป็นการแสดงออกถึงการตัดสินบางประการ ประโยค “ABC จะเป็นหน้าจั่วหรือเปล่า?” ไม่แสดงการตัดสิน
วิทยาศาสตร์แต่ละอย่างแสดงถึงระบบการตัดสินบางอย่างเกี่ยวกับวัตถุที่เป็นหัวข้อของการศึกษาโดยพื้นฐานแล้ว การตัดสินแต่ละครั้งมีการทำอย่างเป็นทางการในรูปแบบของข้อเสนอบางอย่างซึ่งแสดงเป็นคำศัพท์และสัญลักษณ์ที่มีอยู่ในวิทยาศาสตร์นี้ คณิตศาสตร์ยังแสดงถึงระบบการตัดสินบางอย่างที่แสดงในประโยคทางคณิตศาสตร์ผ่านเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์หรือตรรกะหรือสัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้อง คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ (หรือสัญลักษณ์) แสดงถึงแนวคิดที่ประกอบขึ้นเป็นเนื้อหาของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ คำศัพท์เชิงตรรกะ (หรือสัญลักษณ์) แสดงถึงการดำเนินการเชิงตรรกะด้วยความช่วยเหลือจากข้อเสนอทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่ถูกสร้างขึ้นจากข้อเสนอทางคณิตศาสตร์บางข้อ จากการตัดสินบางอย่าง การตัดสินอื่นๆ จะเกิดขึ้น ซึ่งทั้งหมดนี้ถือว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์
โดยทั่วไปแล้ว การตัดสินจะเกิดขึ้นในการคิดในสองวิธีหลัก: ทางตรงและทางอ้อม ในกรณีแรก ผลลัพธ์ของการรับรู้จะแสดงออกมาโดยใช้การตัดสิน เช่น “รูปนี้คือวงกลม” ในกรณีที่สอง การตัดสินเกิดขึ้นจากกิจกรรมทางจิตพิเศษที่เรียกว่าการอนุมาน ตัวอย่างเช่น “เซตของคะแนนที่กำหนดบนระนาบนั้นมีระยะห่างจากจุดหนึ่งเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ารูปนี้เป็นวงกลม”
ในกระบวนการของกิจกรรมทางจิตนี้ มักจะมีการเปลี่ยนแปลงจากการตัดสินที่เชื่อมโยงถึงกันหนึ่งรายการขึ้นไปเป็นการตัดสินใหม่ ซึ่งมีความรู้ใหม่เกี่ยวกับวัตถุประสงค์ของการศึกษา การเปลี่ยนแปลงนี้ถือเป็นการอนุมาน ซึ่งแสดงถึงรูปแบบการคิดสูงสุด
ดังนั้น การอนุมานจึงเป็นกระบวนการเพื่อให้ได้ข้อสรุปใหม่จากการตัดสินที่กำหนดตั้งแต่หนึ่งข้อขึ้นไป ตัวอย่างเช่น เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ (ข้อเสนอแรก)
ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมคือ 2d (ข้อเสนอที่สอง)
ผลรวมของมุมภายในของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ 4d (ข้อสรุปใหม่)
คุณค่าทางปัญญาของการอนุมานทางคณิตศาสตร์นั้นยิ่งใหญ่มาก พวกเขาขยายขอบเขตความรู้ของเราเกี่ยวกับวัตถุและปรากฏการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริง เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าข้อเสนอทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เป็นข้อสรุปจากการตัดสินพื้นฐานจำนวนค่อนข้างน้อย ซึ่งได้รับตามกฎผ่านประสบการณ์โดยตรงและสะท้อนถึงเรา ความรู้ที่ง่ายและทั่วไปที่สุดเกี่ยวกับวัตถุของมัน
การอนุมานแตกต่าง (เป็นรูปแบบหนึ่งของการคิด) จากแนวคิดและการตัดสินตรงที่เป็นการดำเนินการเชิงตรรกะกับความคิดของแต่ละบุคคล
ไม่ใช่ทุกการรวมกันของการตัดสินระหว่างกันจะถือเป็นข้อสรุป: จะต้องมีความเชื่อมโยงเชิงตรรกะบางอย่างระหว่างการตัดสิน ซึ่งสะท้อนถึงความเชื่อมโยงเชิงวัตถุประสงค์ที่มีอยู่ในความเป็นจริง
ตัวอย่างเช่น ไม่มีใครสามารถสรุปได้จากประพจน์ "ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมคือ 2d" และ "2*2=4"
เป็นที่ชัดเจนว่าความสามารถในการสร้างประโยคทางคณิตศาสตร์ต่างๆอย่างถูกต้องหรือสรุปในกระบวนการให้เหตุผลมีความสำคัญเพียงใดในระบบความรู้ทางคณิตศาสตร์ของเรา ภาษาพูดไม่เหมาะกับการใช้วิจารณญาณบางอย่าง ไม่เหมาะกับการระบุโครงสร้างเหตุผลของการให้เหตุผลมากนัก ดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จำเป็นต้องปรับปรุงภาษาที่ใช้ในกระบวนการให้เหตุผล ภาษาทางคณิตศาสตร์ (หรือเชิงสัญลักษณ์) กลายเป็นภาษาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสิ่งนี้ สาขาวิทยาศาสตร์พิเศษที่เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 ตรรกะทางคณิตศาสตร์ไม่เพียงแก้ปัญหาการสร้างทฤษฎีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้อย่างสมบูรณ์ แต่ยังมีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์โดยรวมอีกด้วย
ตรรกะที่เป็นทางการ (ซึ่งเกิดขึ้นในสมัยโบราณในผลงานของอริสโตเติล) ไม่ได้ระบุด้วยตรรกะทางคณิตศาสตร์ (ซึ่งเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 ในผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ J. Boole) เรื่องของตรรกะที่เป็นทางการคือการศึกษากฎแห่งความสัมพันธ์ของการตัดสินและแนวคิดในการอนุมานและกฎเกณฑ์ของหลักฐาน ตรรกะทางคณิตศาสตร์แตกต่างจากตรรกะที่เป็นทางการตรงที่ตามกฎพื้นฐานของตรรกศาสตร์ที่เป็นทางการ สำรวจรูปแบบของกระบวนการเชิงตรรกะที่อยู่บนพื้นฐานของการใช้วิธีทางคณิตศาสตร์: “การเชื่อมโยงเชิงตรรกะที่มีอยู่ระหว่างการตัดสิน แนวคิด ฯลฯ ถูกแสดงออกมาใน สูตรการตีความที่ปราศจากความคลุมเครือที่อาจเกิดขึ้นได้ง่ายจากการแสดงออกทางวาจา ดังนั้นตรรกะทางคณิตศาสตร์จึงมีลักษณะเฉพาะด้วยการดำเนินการเชิงตรรกะอย่างเป็นทางการซึ่งเป็นนามธรรมที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นจากเนื้อหาเฉพาะของประโยค (แสดงการตัดสินใด ๆ )
ให้เราอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างเดียว พิจารณาอนุมานต่อไปนี้: “ถ้าต้นไม้ทั้งหมดเป็นสีแดง และสุนัขทั้งหมดเป็นพืช สุนัขทุกตัวก็เป็นสีแดง”
คำตัดสินแต่ละข้อที่ใช้ในที่นี้และการตัดสินที่เราได้รับอันเป็นผลมาจากการอนุมานแบบจำกัด ดูเหมือนจะเป็นเรื่องไร้สาระในสิทธิบัตร อย่างไรก็ตาม จากมุมมองของตรรกะทางคณิตศาสตร์ เรากำลังเผชิญกับประโยคจริงที่นี่ เนื่องจากในตรรกะทางคณิตศาสตร์ ความจริงหรือความเท็จของข้อสรุปขึ้นอยู่กับความจริงหรือความเท็จของสถานที่ที่เป็นส่วนประกอบเท่านั้น และไม่ใช่เนื้อหาเฉพาะของมัน ดังนั้น หากแนวคิดพื้นฐานของตรรกะที่เป็นทางการประการหนึ่งคือการตัดสิน แนวคิดที่คล้ายคลึงกันของตรรกะทางคณิตศาสตร์ก็คือแนวคิดของคำสั่ง-คำสั่ง ซึ่งเหมาะสมที่จะบอกว่าเป็นจริงหรือเท็จเท่านั้น เราไม่ควรคิดว่าทุกข้อความมีลักษณะขาด "สามัญสำนึก" ในเนื้อหา เพียงแต่ว่าส่วนที่มีความหมายของประโยคที่ประกอบขึ้นเป็นประโยคนี้หรือข้อความนั้นหายไปในพื้นหลังของตรรกะทางคณิตศาสตร์ และไม่สำคัญสำหรับการสร้างเชิงตรรกะหรือการวิเคราะห์ข้อสรุปนี้หรือนั้น (แม้ว่าแน่นอนว่า การทำความเข้าใจเนื้อหาของสิ่งที่กำลังอภิปรายเมื่อพิจารณาประเด็นนี้ถือเป็นสิ่งสำคัญ)
เห็นได้ชัดว่าในทางคณิตศาสตร์นั้นถือว่าข้อความที่มีความหมายนั้นเอง ด้วยการสร้างการเชื่อมโยงและความสัมพันธ์ต่างๆ ระหว่างแนวคิด การตัดสินทางคณิตศาสตร์ยืนยันหรือปฏิเสธความสัมพันธ์ใดๆ ระหว่างวัตถุกับปรากฏการณ์ของความเป็นจริง
3. ตรรกะทางคณิตศาสตร์และ “สามัญสำนึก” ในศตวรรษที่ 21
ลอจิกไม่ได้เป็นเพียงคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังเป็นวิทยาศาสตร์เชิงปรัชญาด้วย ในศตวรรษที่ 20 ตรรกะทั้งสองที่เชื่อมโยงถึงกันนี้ถูกแยกออกจากกันในทิศทางที่ต่างกัน ในอีกด้านหนึ่ง ตรรกะถูกเข้าใจว่าเป็นศาสตร์แห่งกฎแห่งการคิดที่ถูกต้อง และในทางกลับกัน มันถูกนำเสนอเป็นกลุ่มของภาษาประดิษฐ์ที่เชื่อมต่อกันอย่างหลวมๆ ซึ่งเรียกว่าระบบตรรกะที่เป็นทางการ
สำหรับหลายๆ คน เห็นได้ชัดว่าการคิดเป็นกระบวนการที่ซับซ้อนด้วยความช่วยเหลือ ซึ่งปัญหาในชีวิตประจำวัน ทางวิทยาศาสตร์หรือปรัชญาจะได้รับการแก้ไข และเกิดแนวคิดที่ยอดเยี่ยมหรืออาการหลงผิดร้ายแรง หลายคนเข้าใจภาษาได้ง่าย ๆ ว่าเป็นวิธีการที่สามารถถ่ายทอดผลลัพธ์ของการคิดไปยังคนรุ่นเดียวกันหรือปล่อยทิ้งไว้ให้ลูกหลานได้ แต่เมื่อเชื่อมโยงการคิดอย่างมีสติเข้ากับแนวคิดเรื่อง "กระบวนการ" และภาษากับแนวคิดเรื่อง "วิธีการ" แล้ว เราก็หยุดสังเกตเห็นข้อเท็จจริงที่ไม่เปลี่ยนรูปว่าในกรณีนี้ "วิธีการ" ไม่ได้อยู่ใต้บังคับบัญชาของ "กระบวนการ" โดยสิ้นเชิง แต่ขึ้นอยู่กับการเลือกโดยตั้งใจหรือโดยไม่รู้ตัวของเราเกี่ยวกับถ้อยคำที่ซ้ำซากจำเจหรือทางวาจามีอิทธิพลอย่างมากต่อเส้นทางและผลลัพธ์ของ "กระบวนการ" นั้นเอง ยิ่งไปกว่านั้น มีหลายกรณีที่ "อิทธิพลย้อนกลับ" ดังกล่าวไม่เพียงแต่เป็นอุปสรรคต่อการแก้ไขความคิดเท่านั้น แต่บางครั้งก็ถึงกับเป็นผู้ทำลายมันด้วยซ้ำ
จากมุมมองเชิงปรัชญา งานที่วางไว้ภายในกรอบความคิดเชิงบวกเชิงตรรกะนั้นไม่เคยเสร็จสิ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาในภายหลังของเขา หนึ่งในผู้ก่อตั้งเทรนด์นี้ ลุดวิก วิตเกนสไตน์ ได้ข้อสรุปว่าภาษาธรรมชาติไม่สามารถปฏิรูปได้ตามโปรแกรมที่พัฒนาโดยนักปฏินิยมนิยม แม้แต่ภาษาของคณิตศาสตร์โดยรวมก็ยังต้านทานแรงกดดันอันทรงพลังของ "ลัทธิตรรกะนิยม" ได้ แม้ว่าคำศัพท์และโครงสร้างของภาษาที่เสนอโดยนักคิดบวกจะเข้าสู่บางส่วนของคณิตศาสตร์แยกส่วนและเสริมพวกมันอย่างมีนัยสำคัญ ความนิยมของการมองในแง่ดีเชิงตรรกะในฐานะแนวโน้มทางปรัชญาในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 ลดลงอย่างเห็นได้ชัด - นักปรัชญาหลายคนสรุปว่าการปฏิเสธ "ความไร้เหตุผล" มากมายของภาษาธรรมชาติความพยายามที่จะบีบมันเข้าไปในกรอบของหลักการพื้นฐาน ของการมองในแง่ดีเชิงตรรกะนั้นนำมาซึ่งการลดทอนความเป็นมนุษย์ของกระบวนการรับรู้ และในเวลาเดียวกันก็รวมถึงการลดทอนความเป็นมนุษย์ของวัฒนธรรมมนุษย์โดยรวมด้วย
วิธีการให้เหตุผลหลายวิธีที่ใช้ในภาษาธรรมชาติมักเป็นเรื่องยากมากที่จะจับคู่ภาษาตรรกะทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไม่คลุมเครือ ในบางกรณี การทำแผนที่ดังกล่าวนำไปสู่การบิดเบือนสาระสำคัญของการใช้เหตุผลตามธรรมชาติอย่างมีนัยสำคัญ และมีเหตุผลที่เชื่อได้ว่าปัญหาเหล่านี้เป็นผลมาจากตำแหน่งระเบียบวิธีเริ่มต้นของปรัชญาการวิเคราะห์และทัศนคติเชิงบวกเกี่ยวกับความไร้เหตุผลของภาษาธรรมชาติและความจำเป็นในการปฏิรูปที่รุนแรง การตั้งค่าระเบียบวิธีดั้งเดิมของการมองโลกในแง่ดีก็ไม่สามารถยืนหยัดต่อการวิพากษ์วิจารณ์ได้ การกล่าวหาภาษาพูดว่าไร้เหตุผลนั้นเป็นเรื่องไร้สาระ ในความเป็นจริงความไร้เหตุผลไม่ได้เป็นลักษณะของภาษา แต่ผู้ใช้ภาษานี้หลายคนที่ไม่รู้หรือไม่ต้องการใช้ตรรกะและชดเชยข้อบกพร่องนี้ด้วยเทคนิคทางจิตวิทยาหรือวาทศิลป์ที่มีอิทธิพลต่อสาธารณะหรือในเหตุผลที่พวกเขาใช้ ตรรกะคือระบบที่เรียกว่าตรรกะโดยความเข้าใจผิดเท่านั้น ในเวลาเดียวกัน มีคนจำนวนมากที่คำพูดโดดเด่นด้วยความชัดเจนและตรรกะ และคุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดโดยความรู้หรือความไม่รู้ของรากฐานของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์
ในการให้เหตุผลของผู้ที่สามารถจัดเป็นผู้บัญญัติกฎหมายหรือผู้ติดตามภาษาทางการของตรรกะทางคณิตศาสตร์นั้น มักจะเปิดเผย "การตาบอด" ที่เกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดเชิงตรรกะเบื้องต้น Henri Poincaré นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนหนึ่งได้ดึงความสนใจไปที่ความตาบอดนี้ในงานพื้นฐานของ G. Cantor, D. Hilbert, B. Russell, J. Peano และคนอื่นๆ ในช่วงต้นศตวรรษของเรา
ตัวอย่างหนึ่งของการใช้เหตุผลอย่างไร้เหตุผลคือการกำหนดแนวคิดรัสเซลล์พาราด็อกซ์อันโด่งดัง ซึ่งแนวคิด "องค์ประกอบ" และ "ชุด" ที่ต่างกันโดยสิ้นเชิงสองแนวคิดทำให้เกิดความสับสนอย่างไม่มีเหตุผล ในงานสมัยใหม่หลายชิ้นเกี่ยวกับตรรกะและคณิตศาสตร์ซึ่งอิทธิพลของโปรแกรมของฮิลเบิร์ตเป็นที่สังเกตได้ชัดเจน คำพูดมากมายที่ไร้สาระอย่างชัดเจนจากมุมมองของตรรกะธรรมชาติไม่ได้อธิบายไว้ ความสัมพันธ์ระหว่าง "องค์ประกอบ" และ "ชุด" เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดในประเภทนี้ ผลงานหลายชิ้นในทิศทางนี้อ้างว่าเซตหนึ่ง (เรียกว่า A) สามารถเป็นองค์ประกอบของอีกเซตหนึ่งได้ (เรียกว่า B)
ตัวอย่างเช่น ในคู่มือเกี่ยวกับตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง เราจะพบวลีต่อไปนี้: “เซตเองก็สามารถเป็นองค์ประกอบของเซตได้ ตัวอย่างเช่น เซตของเซตจำนวนเต็มทั้งหมดก็กำหนดให้เซตนั้นเป็นองค์ประกอบของเซต” โปรดทราบว่าข้อความนี้ไม่ได้เป็นเพียงการปฏิเสธความรับผิดชอบเท่านั้น มันมีอยู่ในสัจพจน์ที่ "ซ่อนเร้น" ในทฤษฎีเซตที่เป็นทางการ ซึ่งผู้เชี่ยวชาญหลายคนพิจารณาถึงรากฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ รวมถึงในระบบที่เป็นทางการที่นักคณิตศาสตร์ K. Gödel สร้างขึ้นเมื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของเขาเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ของระบบที่เป็นทางการ ทฤษฎีบทนี้อ้างอิงถึงระบบที่เป็นทางการในระดับที่ค่อนข้างแคบ (รวมถึงทฤษฎีเซตที่เป็นทางการและเลขคณิตที่เป็นทางการ) โครงสร้างเชิงตรรกะที่ไม่สอดคล้องกับโครงสร้างเชิงตรรกะของการใช้เหตุผลและเหตุผลตามธรรมชาติอย่างชัดเจน
อย่างไรก็ตาม เป็นเวลากว่าครึ่งศตวรรษแล้วที่เรื่องนี้กลายเป็นประเด็นถกเถียงกันอย่างเผ็ดร้อนระหว่างนักตรรกวิทยาและนักปรัชญาในบริบทของทฤษฎีความรู้ทั่วไป ด้วยลักษณะทั่วไปที่กว้างขวางของทฤษฎีบทนี้ ปรากฎว่ามีแนวคิดเบื้องต้นหลายประการโดยพื้นฐานแล้วไม่สามารถเข้าใจได้ แต่ด้วยแนวทางที่เงียบขรึมมากขึ้น ปรากฎว่าทฤษฎีบทของเกอเดลแสดงให้เห็นเพียงความไม่สอดคล้องกันของโปรแกรมการให้เหตุผลอย่างเป็นทางการของคณิตศาสตร์ที่เสนอโดยดี. ฮิลแบร์ต และได้รับการสนับสนุนโดยนักคณิตศาสตร์ นักตรรกวิทยา และนักปรัชญาหลายคน ลักษณะระเบียบวิธีที่กว้างขึ้นของทฤษฎีบทของโกเดลแทบจะไม่สามารถยอมรับได้จนกว่าจะตอบคำถามต่อไปนี้: โปรแกรมของฮิลแบร์ตสำหรับการพิสูจน์เหตุผลทางคณิตศาสตร์เป็นโปรแกรมเดียวที่เป็นไปได้หรือไม่ เพื่อให้เข้าใจถึงความคลุมเครือของข้อความที่ว่า “เซต A เป็นองค์ประกอบของเซต B” ก็เพียงพอแล้วที่จะถามคำถามง่ายๆ: “เซต B เกิดขึ้นจากองค์ประกอบใดในกรณีนี้” จากมุมมองของตรรกะทางธรรมชาติ มีเพียงสองคำอธิบายที่แยกจากกันเท่านั้นที่เป็นไปได้ คำอธิบายที่หนึ่ง องค์ประกอบของเซต B คือชื่อของบางเซต และโดยเฉพาะชื่อหรือการกำหนดชื่อของเซต A ตัวอย่างเช่น เซตของเลขคู่ทั้งหมดจะบรรจุเป็นองค์ประกอบหนึ่งในเซตของชื่อทั้งหมด (หรือการกำหนดชื่อ) ของเซตที่มีลักษณะเฉพาะบางประการจากเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด เพื่อให้ตัวอย่างที่ชัดเจนยิ่งขึ้น: ชุดของยีราฟทั้งหมดถูกบรรจุไว้เป็นองค์ประกอบในชุดของสัตว์ทุกสายพันธุ์ที่รู้จัก ในบริบทที่กว้างขึ้น เซต B สามารถเกิดขึ้นได้จากคำจำกัดความเชิงแนวคิดของเซตหรือการอ้างอิงถึงเซต คำอธิบายที่สอง องค์ประกอบของเซต B คือองค์ประกอบของเซตอื่นบางเซต และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง องค์ประกอบทั้งหมดของเซต A ตัวอย่างเช่น เลขคู่ทุกตัวเป็นองค์ประกอบของเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด หรือยีราฟทุกตัวเป็นองค์ประกอบของเซต B ชุดของสัตว์ทั้งหมด แต่ปรากฎว่าในทั้งสองกรณี นิพจน์ "เซต A เป็นองค์ประกอบของเซต B" ไม่สมเหตุสมผล ในกรณีแรก ปรากฎว่าองค์ประกอบของเซต B ไม่ใช่เซต A แต่เป็นชื่อ (หรือชื่อ หรือการอ้างอิง) ในกรณีนี้ ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันถูกสร้างขึ้นโดยปริยายระหว่างเซตและการกำหนด ซึ่งเป็นที่ยอมรับไม่ได้ทั้งจากมุมมองของสามัญสำนึกธรรมดา หรือจากมุมมองของสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเข้ากันไม่ได้กับพิธีการที่มากเกินไป ในกรณีที่สอง ปรากฎว่าเซต A รวมอยู่ในเซต B นั่นคือ เป็นส่วนย่อยของมัน แต่ไม่ใช่องค์ประกอบ ในที่นี้ มีการทดแทนแนวคิดอย่างเห็นได้ชัด เนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างการรวมเซตและความสัมพันธ์ของการเป็นสมาชิก (ซึ่งเป็นองค์ประกอบของเซต) ในคณิตศาสตร์มีความหมายที่แตกต่างกันโดยพื้นฐาน ความขัดแย้งอันโด่งดังของรัสเซลล์ ซึ่งบ่อนทำลายความเชื่อมั่นของนักตรรกศาสตร์ต่อแนวคิดเรื่องเซตหนึ่ง มีพื้นฐานมาจากความไร้สาระนี้ ความขัดแย้งนั้นมีพื้นฐานอยู่บนสมมติฐานที่ไม่ชัดเจนที่ว่าเซตหนึ่งสามารถเป็นองค์ประกอบของเซตอื่นได้
คำอธิบายที่เป็นไปได้อีกอย่างหนึ่งเป็นไปได้ ให้เซต A ถูกกำหนดโดยการแจกแจงองค์ประกอบอย่างง่าย เช่น A = (a, b) ในทางกลับกัน เซต B จะถูกระบุโดยการแจกแจงบางเซต เช่น B = ((a, b), (a, c)) ในกรณีนี้ ดูเหมือนว่าองค์ประกอบของ B ไม่ใช่ชื่อของเซต A แต่เป็นชื่อของเซต A เอง แต่ถึงแม้ในกรณีนี้ องค์ประกอบของเซต A ก็ไม่ใช่องค์ประกอบของเซต B และเซตก็เช่นกัน A ถือเป็นคอลเลกชันที่แยกกันไม่ออก ซึ่งสามารถถูกแทนที่ด้วยชื่อของมันได้ แต่ถ้าเราถือว่าองค์ประกอบทั้งหมดของเซตที่อยู่ในนั้นเป็นองค์ประกอบของ B ดังนั้นในกรณีนี้ เซต B จะเท่ากับเซต (a, b, c) และเซต A ในกรณีนี้จะไม่ใช่ องค์ประกอบของ B แต่เป็นสับเซตของมัน ดังนั้นปรากฎว่าคำอธิบายเวอร์ชันนี้ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของเรา ขึ้นอยู่กับตัวเลือกที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ และหากไม่มีการเสนอทางเลือก ก็จะส่งผลให้เกิดความคลุมเครือเบื้องต้น ซึ่งมักจะนำไปสู่ความขัดแย้งที่ "อธิบายไม่ได้"
คงเป็นไปไม่ได้ที่จะไม่ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับความแตกต่างทางคำศัพท์เหล่านี้หากไม่ใช่เพียงกรณีเดียว ปรากฎว่าความขัดแย้งและความไม่สอดคล้องกันหลายประการของตรรกะสมัยใหม่และคณิตศาสตร์ที่ไม่ต่อเนื่องเป็นผลโดยตรงหรือการเลียนแบบของความคลุมเครือนี้
ตัวอย่างเช่น ในการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แนวคิดเรื่อง "การนำไปใช้ได้เอง" มักจะถูกนำมาใช้ ซึ่งเป็นรากฐานของความขัดแย้งของรัสเซลล์ ในการกำหนดความขัดแย้งนี้ การนำไปใช้ได้เองนั้นบ่งบอกถึงการมีอยู่ของฉากที่เป็นองค์ประกอบของตัวมันเอง ข้อความนี้นำไปสู่ความขัดแย้งทันที หากเราพิจารณาชุดของชุดที่ "ไม่สามารถใช้งานได้ในตัวเอง" ทั้งหมด ปรากฎว่าเป็นทั้งชุดที่ "ใช้งานได้ในตัวเอง" และ "ไม่สามารถใช้งานได้ในตัวเอง"
ตรรกะทางคณิตศาสตร์มีส่วนอย่างมากต่อการพัฒนาอย่างรวดเร็วของเทคโนโลยีสารสนเทศในศตวรรษที่ 20 แต่แนวคิดของ "การตัดสิน" ซึ่งปรากฏในตรรกะในสมัยของอริสโตเติลและเป็นรากฐานของภาษาธรรมชาติ หลุดออกจากขอบเขตการมองเห็น การละเลยดังกล่าวไม่ได้มีส่วนช่วยในการพัฒนาวัฒนธรรมเชิงตรรกะในสังคมเลย และยังก่อให้เกิดภาพลวงตาในหมู่คนจำนวนมากว่าคอมพิวเตอร์มีความสามารถในการคิดไม่เลวร้ายไปกว่ามนุษย์เอง หลายคนไม่รู้สึกเขินอายด้วยซ้ำว่าเมื่อเทียบกับฉากหลังของการใช้คอมพิวเตอร์ทั่วไปในช่วงก่อนสหัสวรรษที่สาม ความไร้สาระเชิงตรรกะภายในวิทยาศาสตร์เอง (ไม่ต้องพูดถึงการเมือง การออกกฎหมาย และวิทยาศาสตร์เทียม) เป็นเรื่องปกติมากกว่าในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 . และเพื่อที่จะเข้าใจแก่นแท้ของความไร้สาระเหล่านี้ ไม่จำเป็นต้องหันไปใช้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนที่มีความสัมพันธ์แบบหลายตำแหน่งและฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำที่ใช้ในตรรกะทางคณิตศาสตร์ ปรากฎว่าการทำความเข้าใจและวิเคราะห์ความไร้สาระเหล่านี้ก็เพียงพอที่จะใช้โครงสร้างการตัดสินทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายกว่ามากซึ่งไม่เพียง แต่ไม่ขัดแย้งกับรากฐานทางคณิตศาสตร์ของตรรกะสมัยใหม่เท่านั้น แต่ยังช่วยเสริมและขยายออกไปในทางใดทางหนึ่ง
บรรณานุกรม
1. Vasiliev N. A. ตรรกะเชิงจินตภาพ ผลงานที่คัดสรร - ม.: วิทยาศาสตร์. 1989; - หน้า 94-123.
2. คูลิก ปริญญาตรี หลักการพื้นฐานของปรัชญาสามัญสำนึก (ด้านความรู้ความเข้าใจ) // ข่าวปัญญาประดิษฐ์, 1996, ฉบับที่ 3, น. 7-92.
3. คูลิก ปริญญาตรี รากฐานเชิงตรรกะของสามัญสำนึก / เรียบเรียงโดย D.A. โพสเปลอฟ - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก, โพลีเทคนิค, 1997. 131 น.
4. คูลิก ปริญญาตรี ตรรกะของสามัญสำนึก - สามัญสำนึก, 1997, ฉบับที่ 1(5), หน้า. 44 - 48.
5. Styazhkin N.I. การก่อตัวของตรรกะทางคณิตศาสตร์ อ.: เนากา, 2510.
6. Soloviev A. คณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องโดยไม่มีสูตร 2544//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html