คำตอบของตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด กฎในการหาฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ y = cos x

แนวคิดของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นหมวดหมู่หลักของตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ และมีการเชื่อมโยงอย่างแยกไม่ออกกับคำจำกัดความของมุม การครอบครองวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์นี้จำเป็นต้องมีการท่องจำและความเข้าใจในสูตรและทฤษฎีบทตลอดจนการพัฒนาการคิดเชิงพื้นที่ นั่นคือเหตุผลที่การคำนวณตรีโกณมิติมักสร้างปัญหาให้กับเด็กนักเรียนและนักเรียน เพื่อเอาชนะสิ่งเหล่านี้ คุณควรทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและสูตรมากขึ้น

แนวคิดในตรีโกณมิติ

เพื่อให้เข้าใจแนวคิดพื้นฐานของตรีโกณมิติ ก่อนอื่นคุณต้องตัดสินใจว่าสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมในวงกลมคืออะไร และเหตุใดการคำนวณตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดจึงเกี่ยวข้องกับสิ่งเหล่านี้ สามเหลี่ยมที่มีมุมใดมุมหนึ่งเท่ากับ 90 องศา เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในอดีต บุคคลนี้มักใช้ตัวเลขนี้ในด้านสถาปัตยกรรม การนำทาง ศิลปะ ดาราศาสตร์ ดังนั้นจากการศึกษาและวิเคราะห์คุณสมบัติของตัวเลขนี้ผู้คนจึงมาคำนวณอัตราส่วนที่สอดคล้องกันของพารามิเตอร์

หมวดหมู่หลักที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉากและขา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก ขาตามลำดับคืออีกสองข้าง ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ จะเท่ากับ 180 องศาเสมอ

ตรีโกณมิติทรงกลมเป็นส่วนหนึ่งของตรีโกณมิติที่ไม่ได้ศึกษาที่โรงเรียน แต่ในวิทยาศาสตร์ประยุกต์เช่นดาราศาสตร์และมาตร นักวิทยาศาสตร์ใช้ตรีโกณมิติ คุณลักษณะของสามเหลี่ยมในตรีโกณมิติทรงกลมคือมันมีผลรวมของมุมที่มากกว่า 180 องศาเสมอ

มุมของสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมที่ต้องการกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ดังนั้น โคไซน์คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค่าทั้งสองนี้มีค่าน้อยกว่าหนึ่งเสมอ เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากยาวกว่าขาเสมอ

แทนเจนต์ของมุมคือค่าที่เท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกันของมุมที่ต้องการ หรือไซน์ต่อโคไซน์ ในทางกลับกัน โคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันของมุมที่ต้องการต่อกระบองเพชรตรงข้าม โคแทนเจนต์ของมุมสามารถหาได้จากการหารหน่วยด้วยค่าของแทนเจนต์

วงกลมหน่วย

วงกลมหนึ่งหน่วยในเรขาคณิตคือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่ง วงกลมดังกล่าวถูกสร้างขึ้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดยมีจุดศูนย์กลางของวงกลมประจวบกับจุดกำเนิด และตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีถูกกำหนดโดยทิศทางบวกของแกน X (แกน Abscissa) แต่ละจุดของวงกลมมีสองพิกัด: XX และ YY นั่นคือพิกัดของ abscissa และพิกัด เลือกจุดใดก็ได้บนวงกลมในระนาบ XX และปล่อยฉากตั้งฉากจากมันไปยังแกน abscissa เราได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากรัศมีไปยังจุดที่เลือก (ให้เราแทนด้วยตัวอักษร C) ซึ่งตั้งฉากกับ แกน X (จุดตัดแสดงด้วยตัวอักษร G) และส่วนของแกน abscissa ระหว่างจุดกำเนิด (จุดแสดงด้วยตัวอักษร A) และจุดตัด G สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่จารึกไว้ วงกลม โดยที่ AG คือด้านตรงข้ามมุมฉาก และ AC และ GC คือขา มุมระหว่างรัศมีของวงกลม AC และส่วนของแกน abscissa ด้วยการกำหนด AG เรากำหนดเป็น α (อัลฟา) ดังนั้น cos α = AG/AC เนื่องจาก AC เป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย และเท่ากับหนึ่ง จึงกลายเป็นว่า cos α=AG ในทำนองเดียวกัน บาป α=CG

นอกจากนี้ เมื่อทราบข้อมูลเหล่านี้แล้ว ก็สามารถกำหนดพิกัดของจุด C บนวงกลมได้ เนื่องจาก cos α=AG และ sin α=CG ซึ่งหมายความว่าจุด C มีพิกัดที่กำหนด (cos α; sin α) เมื่อรู้ว่าแทนเจนต์เท่ากับอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ เราสามารถระบุได้ว่า tg α \u003d y / x และ ctg α \u003d x / y เมื่อพิจารณามุมในระบบพิกัดเชิงลบ เราสามารถคำนวณได้ว่าค่าไซน์และโคไซน์ของบางมุมสามารถเป็นค่าลบได้

การคำนวณและสูตรพื้นฐาน

ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เมื่อพิจารณาถึงแก่นแท้ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผ่านวงกลมหน่วย เราสามารถหาค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ในบางมุมได้ ค่าต่างๆ แสดงอยู่ในตารางด้านล่าง

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

สมการที่มีค่าไม่ทราบค่าภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติเรียกว่าตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ที่มีค่า sin x = α, k เป็นจำนวนเต็มใดๆ:

1. บาป x = 0, x = πk
2. 2. บาป x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk
3. บาป x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk
4. บาป x = a, |a| > 1 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
5. บาป x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk

เอกลักษณ์ที่มีค่า cos x = a โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk
2. cos x = 1, x = 2πk
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk
4. cos x = a, |a| > 1 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk

เอกลักษณ์ที่มีค่า tg x = a โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk

เอกลักษณ์ที่มีค่า ctg x = a โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk

สูตรหล่อ

สูตรคงที่ในหมวดหมู่นี้แสดงถึงวิธีการที่คุณสามารถเปลี่ยนจากฟังก์ชันตรีโกณมิติของแบบฟอร์มไปเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ นั่นคือ แปลงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมของค่าใดๆ ให้เป็นตัวบ่งชี้ที่สอดคล้องกันของมุมของ ช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศาเพื่อความสะดวกในการคำนวณมากขึ้น

สูตรการลดฟังก์ชันสำหรับไซน์ของมุมมีลักษณะดังนี้:

• บาป(900 - α) = α;
• บาป(900 + α) = cos α;
• บาป(1800 - α) = บาป α;
• บาป(1800 + α) = -บาป α;
• บาป(2700 - α) = -cos α;
• บาป(2700 + α) = -cos α;
• บาป(3600 - α) = -บาป α;
• บาป(3600 + α) = บาป α

สำหรับโคไซน์ของมุม:

• cos(900 - α) = บาป α;
• cos(900 + α) = -บาป α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -บาป α;
• cos(2700 + α) = บาป α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α

การใช้สูตรข้างต้นเป็นไปได้ภายใต้กฎสองข้อ อย่างแรก หากสามารถแสดงมุมเป็นค่า (π/2 ± a) หรือ (3π/2 ± a) ได้ ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป:

• จากบาปเป็นคอส;
• จากคอสถึงบาป
• จาก tg ถึง ctg;
• จาก ctg ถึง tg

ค่าของฟังก์ชันยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหากมุมสามารถแสดงเป็น (π ± a) หรือ (2π ± a)

ประการที่สอง เครื่องหมายของฟังก์ชันรีดิวซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง: หากเป็นค่าบวกในขั้นต้น ค่าจะยังคงเป็นเช่นนั้น เช่นเดียวกับฟังก์ชันเชิงลบ

สูตรเสริม

สูตรเหล่านี้แสดงค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของผลรวมและผลต่างของมุมการหมุนสองมุมในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ มุมมักจะแสดงเป็น α และ β

สูตรมีลักษณะดังนี้:

1. บาป(α ± β) = บาป α * cos β ± cos α * บาป
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ บาป α * บาป
3. ตาล(α ± β) = (แทน α ± tan β) / (1 ∓ แทน α * แทน β)
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β)

สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับมุม α และ β ใดๆ

สูตรมุมคู่และสามเท่า

สูตรตรีโกณมิติของมุมสองเท่าและสามเป็นสูตรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของมุม 2α และ 3α ตามลำดับ กับฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม α มาจากสูตรบวก:

1. sin2α = 2sinα*cosα
2. cos2α = 1 - 2sin^2α
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α)
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α)

เปลี่ยนจากผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์

เมื่อพิจารณาว่า 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) ทำให้สูตรนี้ง่ายขึ้น เราจะได้เอกลักษณ์ sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 ในทำนองเดียวกัน sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * บาป(α − β)/2; tgα + tgβ = บาป(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = บาป(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α)

การเปลี่ยนจากผลิตภัณฑ์เป็นผลรวม

สูตรเหล่านี้ติดตามจากข้อมูลเฉพาะสำหรับการเปลี่ยนผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์:

• บาปα * บาปβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• บาปα * cosβ = 1/2*

สูตรลด

ในอัตลักษณ์เหล่านี้ กำลังสองและกำลังสองของไซน์และโคไซน์สามารถแสดงในรูปของไซน์และโคไซน์ของกำลังแรกของหลายมุม:

• บาป^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• บาป^3 α = (3 * บาปα - บาป3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• บาป^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8

การทดแทนสากล

สูตรการแทนที่ตรีโกณมิติสากลแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของแทนเจนต์ของครึ่งมุม

• บาป x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2) ในขณะที่ x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2) โดยที่ x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2) โดยที่ x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2) ในขณะที่ x \u003d π + 2πn

กรณีพิเศษ

กรณีเฉพาะของสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดแสดงไว้ด้านล่าง (k คือจำนวนเต็มใดๆ)

ส่วนตัวสำหรับไซน์:

บาป x ค่า	ค่า x
0	pk
1	พาย/2 + 2πk
-1	-พาย/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk หรือ 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk หรือ -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk หรือ 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk หรือ -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk หรือ 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk หรือ -2π/3 + 2πk

ผลหารโคไซน์:

cos x ค่า	ค่า x
0	พาย/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

ส่วนตัวสำหรับแทนเจนต์:

tg x ค่า	ค่า x
0	pk
1	พาย/4 + พายก
-1	-พาย/4 + พายก
√3/3	พาย/6 + พายก
-√3/3	-พาย/6 + พายก
√3	พาย/3 + พายก
-√3	-พาย/3 + พายก

ผลหารโคแทนเจนต์:

ctg x ค่า	ค่า x
0	พาย/2 + พายก
1	พาย/4 + พายก
-1	-พาย/4 + พายก
√3	พาย/6 + พายก
-√3	-พาย/3 + พายก
√3/3	พาย/3 + พายก
-√3/3	-พาย/3 + พายก

ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทไซน์

ทฤษฎีบทมีสองเวอร์ชัน - แบบง่ายและแบบขยาย ทฤษฎีบทไซน์อย่างง่าย: a/sin α = b/sin β = c/sin γ ในกรณีนี้ a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม และ α, β, γ เป็นมุมตรงข้ามตามลำดับ

ทฤษฎีบทไซน์ขยายสำหรับสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R ในอัตลักษณ์นี้ R หมายถึงรัศมีของวงกลมที่รูปสามเหลี่ยมที่ระบุถูกจารึกไว้

ทฤษฎีบทโคไซน์

ข้อมูลประจำตัวจะแสดงในลักษณะนี้: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α ในสูตร a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม และ α คือมุมตรงข้ามด้าน a

ทฤษฎีบทแทนเจนต์

สูตรนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์ของมุมสองมุมกับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านที่มีป้ายกำกับ a, b, c และมุมตรงข้ามที่สอดคล้องกันคือ α, β, γ สูตรของทฤษฎีบทแทนเจนต์: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2)

ทฤษฎีบทโคแทนเจนต์

เชื่อมโยงรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมกับความยาวของด้าน ถ้า a, b, c เป็นด้านของสามเหลี่ยม และ A, B, C เป็นมุมตรงข้ามกันตามลำดับ r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ และ p คือครึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม ข้อมูลประจำตัวต่อไปนี้ ถือ:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (pb)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

แอปพลิเคชั่น

ตรีโกณมิติไม่ได้เป็นเพียงศาสตร์เชิงทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับสูตรทางคณิตศาสตร์เท่านั้น คุณสมบัติ ทฤษฎีและกฎของมันถูกใช้ในทางปฏิบัติโดยสาขาต่างๆ ของกิจกรรมของมนุษย์ - ดาราศาสตร์, การเดินเรือทางอากาศและทางทะเล, ทฤษฎีดนตรี, มาตร, เคมี, อะคูสติก, ทัศนศาสตร์, อิเล็กทรอนิกส์, สถาปัตยกรรม, เศรษฐศาสตร์, วิศวกรรมเครื่องกล, งานวัด, คอมพิวเตอร์กราฟิก, การทำแผนที่สมุทรศาสตร์และอื่น ๆ อีกมากมาย

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นแนวคิดพื้นฐานของตรีโกณมิติ ซึ่งคุณสามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างมุมและความยาวของด้านในสามเหลี่ยมทางคณิตศาสตร์ และค้นหาปริมาณที่ต้องการผ่านอัตลักษณ์ ทฤษฎีบท และกฎเกณฑ์

สมการตรีโกณมิติไม่ใช่หัวข้อที่ง่ายที่สุด พวกมันมีความหลากหลายอย่างเจ็บปวด) ตัวอย่างเช่น:

sin2x + cos3x = ctg5x

บาป(5x+π/4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

ฯลฯ...

แต่สัตว์ประหลาดตรีโกณมิติเหล่านี้ (และอื่น ๆ ทั้งหมด) มีคุณสมบัติทั่วไปและจำเป็นสองประการ อย่างแรก - คุณจะไม่เชื่อหรอก - มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ในสมการ) ประการที่สอง: นิพจน์ทั้งหมดที่มี x คือ ภายในฟังก์ชันเดียวกันนี้และที่นั่นเท่านั้น! ถ้า x ปรากฏที่ใดที่หนึ่ง ข้างนอก,ตัวอย่างเช่น, บาป2x + 3x = 3,นี่จะเป็นสมการแบบผสม สมการดังกล่าวต้องใช้วิธีการเฉพาะบุคคล ที่นี่เราจะไม่พิจารณาพวกเขา

เราจะไม่แก้สมการชั่วร้ายในบทเรียนนี้เช่นกัน) เราจะจัดการกับ สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดทำไม ใช่เพราะการตัดสินใจ ใดๆสมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก สมการความชั่วร้ายจะลดลงเป็นสมการง่าย ๆ โดยการแปลงแบบต่างๆ ในวินาที - สมการที่ง่ายที่สุดนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว ไม่มีทางอื่น.

ดังนั้นหากคุณมีปัญหาในระยะที่สอง ระยะแรกไม่สมเหตุสมผลเลย)

สมการตรีโกณมิติเบื้องต้นมีลักษณะอย่างไร

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

ที่นี่ เอ ย่อมาจากหมายเลขใด ๆ ใดๆ.

อย่างไรก็ตาม ภายในฟังก์ชันอาจไม่มี x บริสุทธิ์ แต่มีนิพจน์บางอย่าง เช่น:

cos(3x+π/3) = 1/2

ฯลฯ สิ่งนี้ทำให้ชีวิตซับซ้อน แต่ไม่ส่งผลต่อวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

จะแก้สมการตรีโกณมิติได้อย่างไร?

สมการตรีโกณมิติสามารถแก้ไขได้สองวิธี วิธีแรก: การใช้ตรรกะและวงกลมตรีโกณมิติ เราจะสำรวจเส้นทางนี้ที่นี่ วิธีที่สอง - การใช้หน่วยความจำและสูตร - จะได้รับการพิจารณาในบทเรียนถัดไป

วิธีแรกคือชัดเจน เชื่อถือได้ และลืมยาก) เป็นการดีสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ อสมการ และตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐานที่ยุ่งยากทุกประเภท ตรรกะแข็งแกร่งกว่าหน่วยความจำ!

เราแก้สมการโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ

เรารวมตรรกะเบื้องต้นและความสามารถในการใช้วงกลมตรีโกณมิติ ทำไม่ได้!? อย่างไรก็ตาม... วิชาตรีโกณมิติจะยากสำหรับคุณ...) แต่ก็ไม่สำคัญ ดูบทเรียน "วงกลมตรีโกณมิติ ...... มันคืออะไร" และ "การนับมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ" ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น ไม่เหมือนตำรา...)

อ่า รู้ยัง!? และแม้กระทั่งเชี่ยวชาญ "งานจริงกับวงกลมตรีโกณมิติ"!? ยอมรับแสดงความยินดี หัวข้อนี้จะใกล้เคียงและเข้าใจคุณได้) สิ่งที่น่าพอใจเป็นพิเศษคือวงกลมตรีโกณมิติไม่สนใจว่าคุณจะแก้สมการใด ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ - ทุกอย่างเหมือนกันสำหรับเขา หลักการแก้ปัญหาก็เหมือนกัน

ดังนั้นเราจึงใช้สมการตรีโกณมิติมูลฐานใดๆ อย่างน้อยนี้:

cosx = 0.5

ฉันต้องหา X พูดภาษามนุษย์ต้อง หามุม (x) ที่มีโคไซน์เท่ากับ 0.5

ก่อนหน้านี้เราใช้วงกลมอย่างไร? เราวาดมุมบนมัน เป็นองศาหรือเรเดียน และทันที เห็น ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมนี้ ทีนี้ลองทำตรงกันข้ามกัน วาดโคไซน์เท่ากับ 0.5 บนวงกลมแล้วทันที เราจะได้เห็น ฉีด. เหลือเพียงการเขียนคำตอบ) ใช่ใช่!

เราวาดวงกลมและทำเครื่องหมายโคไซน์เท่ากับ 0.5 บนแกนโคไซน์ แน่นอน แบบนี้:

ทีนี้ลองวาดมุมที่โคไซน์นี้ให้ วางเมาส์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) และ ดูมุมเดียวกันนี้ เอ็กซ์

มุมใดมีโคไซน์เท่ากับ 0.5?

x \u003d π / 3

cos 60°= คอส( พาย /3) = 0,5

บางคนจะบ่นอย่างไม่มั่นใจ ใช่... เขาว่า คุ้มไหมที่จะปิดล้อมวงกลม เมื่อทุกอย่างชัดเจนอยู่แล้ว... คุณสามารถบ่นได้...) แต่ความจริงก็คือนี่เป็นความผิดพลาด คำตอบ. หรือค่อนข้างไม่เพียงพอ ผู้ชื่นชอบวงกลมเข้าใจว่ายังมีมุมอีกจำนวนมากที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5

หากคุณหมุน OA . ด้านที่เคลื่อนที่ได้ เพื่อการพลิกกลับอย่างเต็มที่, จุด A จะกลับสู่ตำแหน่งเดิม ด้วยโคไซน์เท่ากันเท่ากับ 0.5 เหล่านั้น. มุมก็จะเปลี่ยนไป 360° หรือ 2π เรเดียน และ โคไซน์ไม่ได้มุมใหม่ 60° + 360° = 420° จะเป็นคำตอบของสมการด้วยเพราะ

การหมุนเต็มจำนวนนั้นมีจำนวนอนันต์... และมุมใหม่ทั้งหมดเหล่านี้จะเป็นคำตอบของสมการตรีโกณมิติของเรา และพวกเขาทั้งหมดต้องเขียนลงอย่างใด ทั้งหมด.มิฉะนั้นจะไม่ถือว่าการตัดสินใจใช่ ... )

คณิตศาสตร์สามารถทำได้อย่างเรียบง่ายและสวยงาม ในคำตอบสั้นๆ ข้อหนึ่ง ให้จด ชุดอนันต์โซลูชั่น นี่คือสิ่งที่ดูเหมือนสำหรับสมการของเรา:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ฉันจะถอดรหัส ยังคงเขียน อย่างมีความหมายดีกว่าการวาดตัวอักษรลึกลับโง่ ๆ โง่ ๆ ใช่ไหม)

พาย /3 เป็นมุมเดียวกับที่เรา เลื่อยบนวงกลมและ มุ่งมั่นตามตารางโคไซน์

2π คือหนึ่งเทิร์นเต็มเป็นเรเดียน

น - นี่คือจำนวนที่สมบูรณ์เช่น ทั้งหมดการปฏิวัติ เป็นที่ชัดเจนว่า น ได้ 0, ±1, ±2, ±3.... และอื่นๆ ตามที่ระบุไว้โดยรายการสั้น:

น ∈ จ

น เป็นของ ( ∈ ) เป็นเซตของจำนวนเต็ม ( Z ). อีกอย่าง แทนที่จะเป็นตัวอักษร น ใช้อักษรได้ k, m, t ฯลฯ

สัญกรณ์นี้หมายความว่าคุณสามารถใช้จำนวนเต็ม น . อย่างน้อย -3 อย่างน้อย 0, อย่างน้อย +55 คุณต้องการอะไร. หากคุณใส่ตัวเลขนั้นลงในรายการคำตอบ คุณจะได้มุมเฉพาะ ซึ่งแน่นอนว่าจะเป็นคำตอบของสมการที่รุนแรงของเรา)

หรืออีกนัยหนึ่งคือ x \u003d π / 3 เป็นรากเดียวของเซตอนันต์ เพื่อให้ได้รากอื่น ๆ ทั้งหมดก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มจำนวนรอบเต็มเป็น π / 3 ( น ) เป็นเรเดียน เหล่านั้น. 2πn เรเดียน.

ทุกอย่าง? เลขที่ ฉันยืดความสุขโดยเฉพาะ เพื่อให้จำได้ดีขึ้น) เราได้รับเพียงส่วนหนึ่งของคำตอบของสมการของเรา ฉันจะเขียนส่วนแรกของการแก้ปัญหาดังนี้:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ไม่ใช่หนึ่งรูต แต่เป็นชุดของรูตทั้งหมด เขียนในรูปแบบย่อ

แต่มีมุมอื่นที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5 ด้วย!

กลับไปที่ภาพของเราตามที่เราเขียนคำตอบไว้ เธอคือ:

เลื่อนเมาส์ไปที่รูปภาพและ ดูอีกมุมที่ ยังให้โคไซน์ของ 0.5คุณคิดว่ามันเท่ากับอะไร? สามเหลี่ยมเหมือนกัน...ค่ะ! เท่ากับมุม X , วางแผนไปในทางลบเท่านั้น นี่คือมุม -X. แต่เราคำนวณแล้ว x แล้ว π /3 หรือ 60 องศา ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย:

x 2 \u003d - π / 3

และแน่นอน เราเพิ่มมุมทั้งหมดที่ได้รับจากการเลี้ยวเต็ม:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

นั่นคือทั้งหมดที่) ในวงกลมตรีโกณมิติ เรา เลื่อย(ใครเข้าใจ แน่นอน)) ทั้งหมดมุมที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5 และพวกเขาเขียนมุมเหล่านี้ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์สั้นๆ คำตอบคือชุดรากอนันต์สองชุด:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

หวัง, หลักการทั่วไปในการแก้สมการตรีโกณมิติด้วยความช่วยเหลือของวงกลมเป็นที่เข้าใจได้ เราทำเครื่องหมายโคไซน์ (ไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์) จากสมการที่กำหนดบนวงกลม วาดมุมที่สอดคล้องกันแล้วจดคำตอบแน่นอน คุณต้องคิดให้ออกว่าเราอยู่มุมไหน เลื่อยบนวงกลม บางครั้งก็ไม่ชัดเจนนัก อย่างที่ฉันพูดต้องใช้ตรรกะที่นี่)

ตัวอย่างเช่น ลองวิเคราะห์สมการตรีโกณมิติอื่น:

โปรดทราบว่าเลข 0.5 ไม่ใช่ตัวเลขเดียวที่เป็นไปได้ในสมการ!) มันสะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะเขียนมันมากกว่ารูทและเศษส่วน

เราทำงานตามหลักการทั่วไป เราวาดวงกลมทำเครื่องหมาย (บนแกนไซน์แน่นอน!) 0.5 เราวาดทุกมุมที่สอดคล้องกับไซน์นี้ทันที เราได้ภาพนี้:

มาจัดการกับมุมกันก่อน X ในไตรมาสแรก เราจำตารางไซน์และกำหนดค่าของมุมนี้ เรื่องง่าย:

x \u003d π / 6

เราจำได้ว่าผลัดกันเต็มจำนวนและเขียนคำตอบชุดแรกด้วยจิตสำนึกที่ชัดเจน:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

ครึ่งงานเสร็จแล้ว ตอนนี้เราต้องกำหนด มุมที่สอง...มันยากกว่าในโคไซน์ใช่ ... แต่ตรรกะจะช่วยเรา! วิธีการกำหนดมุมที่สอง ผ่าน x? ใช่ง่าย! สามเหลี่ยมในภาพเหมือนกันและมุมสีแดง X เท่ากับมุม X . นับเฉพาะจากมุม π ในทิศทางลบเท่านั้น นั่นเป็นสาเหตุที่มันเป็นสีแดง) และสำหรับคำตอบของเรา เราต้องการมุมที่วัดได้อย่างถูกต้องจากเซมิแกนบวก OX นั่นคือ จากมุม 0 องศา

วางเคอร์เซอร์เหนือรูปภาพและดูทุกอย่าง ฉันลบมุมแรกเพื่อไม่ให้ภาพซับซ้อน มุมที่เราสนใจ (วาดด้วยสีเขียว) จะเท่ากับ:

พาย - x

x เรารู้แล้ว พาย /6 . ดังนั้นมุมที่สองจะเป็น:

π - π /6 = 5π /6

อีกครั้งเราจำการเพิ่มการปฏิวัติเต็มรูปแบบและเขียนคำตอบชุดที่สอง:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

นั่นคือทั้งหมดที่ คำตอบที่สมบูรณ์ประกอบด้วยรากศัพท์สองชุด:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

สมการที่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยใช้หลักการทั่วไปเดียวกันสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ แน่นอน คุณรู้วิธีวาดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ

ในตัวอย่างข้างต้น ฉันใช้ค่าตารางของไซน์และโคไซน์: 0.5 เหล่านั้น. หนึ่งในความหมายที่นักเรียนรู้ ต้อง.ตอนนี้เรามาขยายความสามารถของเราไปที่ ค่าอื่นๆ ทั้งหมดตัดสินใจแล้ว ตัดสินใจ!)

สมมุติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการตรีโกณมิติต่อไปนี้:

ไม่มีค่าโคไซน์ดังกล่าวในตารางสั้น เราเพิกเฉยต่อข้อเท็จจริงที่น่ากลัวนี้อย่างเยือกเย็น เราวาดวงกลม ทำเครื่องหมาย 2/3 บนแกนโคไซน์แล้ววาดมุมที่สอดคล้องกัน เราจะได้ภาพนี้

เราเข้าใจสำหรับการเริ่มต้น ด้วยมุมในไตรมาสแรก หากต้องการทราบว่า x เท่ากับเท่าใด พวกเขาจะเขียนคำตอบทันที! เราไม่รู้... ล้มเหลว!? เงียบสงบ! คณิตศาสตร์ไม่ปล่อยให้ตัวเองมีปัญหา! เธอคิดค้นอาร์คโคไซน์สำหรับกรณีนี้ ไม่ทราบ? เปล่าประโยชน์ หาคำตอบ มันง่ายกว่าที่คุณคิดมาก ตามลิงค์นี้ ไม่มีการสะกดคำที่ยุ่งยากแม้แต่ครั้งเดียวเกี่ยวกับ "ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน" ... ไม่จำเป็นในหัวข้อนี้

หากคุณเป็นผู้รู้ ให้พูดกับตัวเองว่า "X คือมุมที่มีโคไซน์เป็น 2/3" และทันทีตามคำจำกัดความของอาร์คโคไซน์อย่างหมดจด เราสามารถเขียนได้ว่า:

เราจำได้เกี่ยวกับการปฏิวัติเพิ่มเติมและจดรากศัพท์ชุดแรกอย่างใจเย็นของสมการตรีโกณมิติของเรา:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

รากชุดที่สองเขียนเกือบจะอัตโนมัติเช่นกันสำหรับมุมที่สอง ทุกอย่างเหมือนเดิม มีเพียง x (arccos 2/3) เท่านั้นที่มีเครื่องหมายลบ:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

และทุกสิ่ง! นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง ง่ายกว่าด้วยค่าแบบตาราง ไม่ต้องจำอะไรทั้งนั้น) อย่างไรก็ตาม ผู้สนใจมากที่สุดจะสังเกตเห็นว่าภาพนี้แก้ทางผ่านอาร์คโคไซน์ โดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากรูปภาพสำหรับสมการ cosx = 0.5

อย่างแน่นอน! หลักการทั่วไปในเรื่องนั้นและเรื่องทั่วไป! ฉันวาดภาพที่เกือบจะเหมือนกันสองภาพโดยเฉพาะ วงกลมแสดงให้เราเห็นมุม X โดยโคไซน์ของมัน มันเป็นโคไซน์ตารางหรือไม่ - วงกลมไม่รู้ นี่คือมุมแบบไหน π / 3 หรือโคไซน์ส่วนโค้งแบบไหนขึ้นอยู่กับเราที่จะตัดสินใจ

ด้วยไซน์เพลงเดียวกัน ตัวอย่างเช่น:

เราวาดวงกลมอีกครั้งทำเครื่องหมายไซน์เท่ากับ 1/3 วาดมุม ปรากฎว่าภาพนี้:

และอีกครั้งภาพก็เกือบจะเหมือนกับสมการ บาป = 0.5อีกครั้งเราเริ่มต้นจากมุมในไตรมาสแรก x เท่ากับเท่าไหร่ถ้าไซน์ของมันคือ 1/3? ไม่มีปัญหา!

ดังนั้นชุดรากแรกก็พร้อม:

x 1 = อาร์คซิน 1/3 + 2π n, n ∈ Z

มาดูมุมที่สองกัน ในตัวอย่างที่มีค่าตารางเท่ากับ 0.5 จะเท่ากับ:

พาย - x

ดังนั้นที่นี่จะเหมือนกันทุกประการ! มีเพียง x เท่านั้นที่ต่างกัน, arcsin 1/3 แล้วไง!? คุณสามารถเขียนรูทแพ็คที่สองได้อย่างปลอดภัย:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องสมบูรณ์ แม้จะดูไม่ค่อยคุ้นเคย แต่ก็พอเข้าใจได้นะ)

นี่คือวิธีแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลม เส้นทางนี้ชัดเจนและเข้าใจได้ เขาเป็นคนที่บันทึกในสมการตรีโกณมิติด้วยการเลือกรากในช่วงเวลาที่กำหนดในความไม่เท่าเทียมกันตรีโกณมิติ - โดยทั่วไปจะแก้ไขได้เกือบทุกครั้งในวงกลม กล่าวโดยสรุป ในงานใดๆ ที่ซับซ้อนกว่างานมาตรฐานเล็กน้อย

นำความรู้ไปปฏิบัติ?

แก้สมการตรีโกณมิติ:

ในตอนแรกจะง่ายกว่าในบทเรียนนี้โดยตรง

ตอนนี้มันยากขึ้น

คำแนะนำ: ที่นี่คุณต้องคิดเกี่ยวกับวงกลม ส่วนตัว.)

และตอนนี้ไม่โอ้อวดภายนอก ... พวกเขายังถูกเรียกว่ากรณีพิเศษ

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

คำแนะนำ: ที่นี่คุณต้องคิดออกในวงกลมที่มีคำตอบสองชุดและมีหนึ่งชุด ... และวิธีเขียนคำตอบหนึ่งชุดแทนที่จะเป็นสองชุด ใช่เพื่อไม่ให้รูทเดียวจากจำนวนอนันต์หายไป!)

ค่อนข้างง่าย):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

คำแนะนำ: ที่นี่คุณต้องรู้ว่าอาร์คไซน์คืออะไร อาร์โคไซน์คืออะไร? อาร์คแทนเจนต์, อาร์คแทนเจนต์คืออะไร? คำจำกัดความที่ง่ายที่สุด แต่คุณไม่จำเป็นต้องจำค่าตารางใดๆ ทั้งสิ้น!)

แน่นอน คำตอบอยู่ในความระส่ำระสาย):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x2= π - arcsin0.3 + 2

ทุกอย่างไม่ได้ผล? มันเกิดขึ้น. อ่านบทเรียนอีกครั้ง เท่านั้น อย่างรอบคอบ(มีคำที่ล้าสมัย...) และตามลิงค์ ลิงค์หลักเกี่ยวกับวงกลม หากไม่มีตรีโกณมิติ - วิธีปิดตาข้ามถนน บางครั้งก็ได้ผล)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

สมการตรีโกณมิติ .

สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด .

วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมิติ สมการที่ประกอบด้วย under . ที่ไม่รู้จัก เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติเรียกว่า ตรีโกณมิติ.

สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ การแก้สมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน: การแปลงสมการเพื่อให้ง่ายพิมพ์ (ดูด้านบน) และ การตัดสินใจได้มาง่ายที่สุด สมการตรีโกณมิติมีเจ็ด วิธีการพื้นฐานในการแก้สมการตรีโกณมิติ

1. วิธีพีชคณิต วิธีนี้เป็นที่ทราบกันดีสำหรับเราจากพีชคณิต

(การทดแทนตัวแปรและวิธีการแทนที่)

2. การแยกตัวประกอบ ลองดูวิธีนี้พร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1. แก้สมการ:บาป x+ คอส x = 1 .

สารละลาย. ย้ายพจน์ทั้งหมดของสมการไปทางซ้าย:

บาป x+ คอส x – 1 = 0 ,

ให้เราแปลงและแยกตัวประกอบนิพจน์ใน

ด้านซ้ายของสมการ:

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ: cos 2 x+ บาป x cos x = 1.

โซลูชัน cos 2 x+ บาป x cos x– บาป2 x– คอส 2 x = 0 ,

บาป x cos x– บาป2 x = 0 ,

บาป x(คอส x– บาป x ) = 0 ,

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ: cos 2 x– คอส 8 x+ คอส 6 x = 1.

โซลูชัน cos 2 x+ คอส 6 x= 1 + cos8 x,

2 คอส 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,

คอส 4 x · (คอส2 x– คอส 4 x) = 0 ,

คอส 4 x 2 บาป 3 xบาป x = 0 ,

หนึ่ง). cos 4 x= 0 , 2). บาป 3 x= 0 , 3). บาป x = 0 ,

3.

แคสติ้งไปที่ สมการสม่ำเสมอ สมการ เรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันจาก ค่อนข้าง บาปและ cos , ถ้า ทั้งหมดของมัน เงื่อนไขในระดับเดียวกันกับ บาปและ cosมุมเดียวกัน. ในการแก้สมการเอกพันธ์ คุณต้อง: เอ) ย้ายสมาชิกทั้งหมดไปทางด้านซ้าย ข) นำปัจจัยทั่วไปทั้งหมดออกจากวงเล็บ ใน) ให้ปัจจัยและวงเล็บทั้งหมดเท่ากับศูนย์ จี) วงเล็บตั้งเป็นศูนย์ให้ สมการเอกพันธ์ของดีกรีน้อยกว่าซึ่งควรหารด้วย cos(หรือ บาป) ในระดับอาวุโส; d) แก้สมการพีชคณิตผลลัพธ์เทียบกับตาล . ตัวอย่าง แก้สมการ: 3บาป 2 x+ 4 บาป x cos x+ 5 คอส 2 x = 2. วิธีแก้ปัญหา: 3sin 2 x+ 4 บาป x cos x+ 5 คอส 2 x= 2 บาป 2 x+ 2 คอส 2 x , บาป2 x+ 4 บาป x cos x+ 3 คอส 2 x = 0 , ตาล2 x+ 4tan x + 3 = 0 , จากที่นี่ y 2 + 4y +3 = 0 , รากของสมการนี้คือ:y 1 = - 1, y 2 = - 3 ดังนั้น 1) แทน x= –1, 2) แทน x = –3,

4. เปลี่ยนเป็นครึ่งมุม ลองดูวิธีนี้ด้วยตัวอย่าง:

ตัวอย่าง แก้สมการ: 3บาป x– 5cos x = 7.

วิธีแก้ปัญหา: 6 บาป ( x/ 2) cos( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 บาป² ( x/ 2) =

7 บาป² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 บาป² ( x/ 2) – 6 บาป ( x/ 2) cos( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

แทน²( x/ 2) – 3 แทน ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. การแนะนำมุมเสริม พิจารณาสมการของรูปแบบ:

เอบาป x + ข cos x = ค ,

ที่ไหน เอ, ข, ค– ค่าสัมประสิทธิ์;x- ไม่ทราบ

ตอนนี้สัมประสิทธิ์ของสมการมีคุณสมบัติของไซน์และโคไซน์ คือ: โมดูล (ค่าสัมบูรณ์) ของแต่ละ

สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดคือสมการ

Cos(x)=a, บาป(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

สมการ cos(x) = a

คำอธิบายและเหตุผล

1. รากของสมการ cosx = a เมื่อ | a | > 1 สมการไม่มีรากเพราะ | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 หรือที่< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

ให้ | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x ในช่วงเวลา ฟังก์ชัน y = cos x ลดลงจาก 1 เป็น -1 แต่ฟังก์ชันการลดลงใช้ค่าแต่ละค่าที่จุดหนึ่งของโดเมนนิยามเท่านั้น ดังนั้นสมการ cos x \u003d a มีเพียงหนึ่งรูทในช่วงเวลานี้ ซึ่งตามคำจำกัดความของอาร์คโคไซน์ คือ: x 1 \u003d arccos a (และสำหรับรูทนี้ cos x \u003d a)

โคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ ดังนั้นในช่วงเวลา [-n; 0] สมการ cos x = และยังมีรากเดียว - ตัวเลขตรงข้ามกับ x 1 นั่นคือ

x 2 = -อาร์คคอส ก.

ดังนั้นในช่วง [-n; n] (ความยาว 2n) สมการ cos x = a สำหรับ | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

ฟังก์ชัน y = cos x เป็นคาบที่มีคาบ 2n ดังนั้นรูตอื่นๆ ทั้งหมดจึงแตกต่างจาก 2np ที่พบ (n € Z) เราได้สูตรต่อไปนี้สำหรับรากของสมการ cos x = a เมื่อ

x = ± arccos a + 2n, n £ Z

1. กรณีพิเศษของการแก้สมการ cosx = a

เป็นประโยชน์ที่จะจำสัญลักษณ์พิเศษสำหรับรากของสมการ cos x = a when

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1 ซึ่งสามารถหาได้ง่ายโดยใช้หน่วยวงกลมเป็นแนวทาง

เนื่องจากโคไซน์เท่ากับ abscissa ของจุดที่สอดคล้องกันบนวงกลมหนึ่งหน่วย เราจะได้ cos x = 0 ถ้าหากจุดที่สอดคล้องกันบนวงกลมหนึ่งหน่วยคือจุด A หรือจุด B

ในทำนองเดียวกัน cos x = 1 ก็ต่อเมื่อจุดที่สอดคล้องกันของวงกลมหนึ่งหน่วยคือจุด C ดังนั้น

x = 2πp, k € Z.

cos x \u003d -1 ก็เช่นกัน ถ้าจุดที่สอดคล้องกันของวงกลมหนึ่งหน่วยคือจุด D ดังนั้น x \u003d n + 2n

สมการบาป (x) = a

คำอธิบายและเหตุผล

1. รากของสมการ sinx = a เมื่อ | a | > 1 สมการไม่มีรากเพราะ | บาป |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 หรือที่< -1 не пересекает график функции y = sinx).

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

คู่มือและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 10 จาก 1C
เราแก้ปัญหาในเรขาคณิต งานเชิงโต้ตอบสำหรับการสร้างในอวกาศ
สภาพแวดล้อมซอฟต์แวร์ "1C: ตัวสร้างทางคณิตศาสตร์ 6.1"

เราจะเรียนอะไร:
1. สมการตรีโกณมิติคืออะไร?

3. สองวิธีหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติ
4. สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน
5. ตัวอย่าง

สมการตรีโกณมิติคืออะไร?

พวกเราได้ศึกษาอาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์คแทนเจนต์ และอาร์คโคแทนเจนต์แล้ว ทีนี้มาดูสมการตรีโกณมิติโดยทั่วไปกัน

สมการตรีโกณมิติ - สมการที่ตัวแปรอยู่ภายใต้สัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เราทำซ้ำรูปแบบการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด:

1) ถ้า |a|≤ 1 แล้วสมการ cos(x) = a มีคำตอบ:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) ถ้า |а|≤ 1 แล้วสมการ sin(x) = a มีคำตอบ:

3) ถ้า |a| > 1 แล้วสมการ sin(x) = a และ cos(x) = a ไม่มีคำตอบ 4) สมการ tg(x)=a มีคำตอบ: x=arctg(a)+ πk

5) สมการ ctg(x)=a มีคำตอบ: x=arcctg(a)+ πk

สำหรับทุกสูตร k เป็นจำนวนเต็ม

สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบดังนี้ Т(kx+m)=a, T- ฟังก์ชันตรีโกณมิติใดๆ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ: ก) บาป(3x)= √3/2

การตัดสินใจ:

A) แสดงว่า 3x=t จากนั้นเราจะเขียนสมการของเราใหม่ในรูปแบบ:

คำตอบของสมการนี้คือ: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn

จากตารางค่าที่เราได้รับ: t=((-1)^n)×π/3+ πn

กลับไปที่ตัวแปรของเรากัน: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

จากนั้น x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

คำตอบ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม (-1)^n - ลบหนึ่งยกกำลังของ n

ตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการตรีโกณมิติ

แก้สมการ: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

การตัดสินใจ:

A) คราวนี้เราจะไปที่การคำนวณรากของสมการทันที:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. จากนั้น x/5= πk => x=5πk

คำตอบ: x=5πk โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

B) เราเขียนในรูปแบบ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. เรารู้ว่า: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

คำตอบ: x=2π/9 + πk/3 โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

แก้สมการ: cos(4x)= √2/2. และค้นหารากทั้งหมดในส่วนนั้น

การตัดสินใจ:

ลองแก้สมการของเราในรูปแบบทั่วไป: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

ตอนนี้เรามาดูกันว่ารากใดที่ตกลงบนส่วนของเรา สำหรับ k สำหรับ k=0, x= π/16 เราอยู่ในส่วนที่กำหนด
ด้วย k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 พวกเขาตีอีกครั้ง
สำหรับ k=2, x= π/16+ π=17π/16 แต่ที่นี่เราไม่ได้ตี ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่ตีสำหรับ k มากเช่นกัน

คำตอบ: x= π/16, x= 9π/16

วิธีการแก้ปัญหาหลักสองวิธี

เราได้พิจารณาสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดแล้ว แต่ก็ยังมีสมการที่ซับซ้อนกว่านั้นอยู่ เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้จะใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่และวิธีการแยกตัวประกอบ มาดูตัวอย่างกัน

มาแก้สมการกัน:

การตัดสินใจ:
ในการแก้สมการ เราใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งแสดงแทน: t=tg(x)

จากการแทนที่เราได้รับ: t 2 + 2t -1 = 0

หารากของสมการกำลังสอง: t=-1 และ t=1/3

จากนั้น tg(x)=-1 และ tg(x)=1/3 เราได้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด ลองหารากของมันกัน

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

คำตอบ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

ตัวอย่างของการแก้สมการ

แก้สมการ: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

การตัดสินใจ:

มาใช้เอกลักษณ์กันเถอะ: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

สมการของเรากลายเป็น: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

มาแนะนำการแทนที่ t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

คำตอบของสมการกำลังสองคือราก: t=2 และ t=-1/2

จากนั้น cos(x)=2 และ cos(x)=-1/2

เพราะ โคไซน์ไม่สามารถรับค่ามากกว่าหนึ่งได้ ดังนั้น cos(x)=2 จึงไม่มีราก

สำหรับ cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

คำตอบ: x= ±2π/3 + 2πk

สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน

คำนิยาม: สมการของรูปแบบ sin(x)+b cos(x) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกันของดีกรีหนึ่ง

สมการของแบบฟอร์ม

สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง

ในการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีหนึ่ง ให้หารด้วย cos(x): เป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยโคไซน์ถ้ามันเท่ากับศูนย์ ให้แน่ใจก่อนว่าไม่เป็นเช่นนั้น:
ให้ cos(x)=0 แล้ว asin(x)+0=0 => sin(x)=0 แต่ไซน์และโคไซน์ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน เราจึงได้ข้อขัดแย้งจึงแบ่งได้อย่างปลอดภัย โดยศูนย์

แก้สมการ:
ตัวอย่าง: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

การตัดสินใจ:

นำตัวประกอบร่วมออก: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

จากนั้นเราต้องแก้สมการสองสมการ:

cos(x)=0 และ cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 สำหรับ x= π/2 + πk;

พิจารณาสมการ cos(x)+sin(x)=0 หารสมการของเราด้วย cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

คำตอบ: x= π/2 + πk และ x= -π/4+πk

จะแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีที่สองได้อย่างไร?
พวกปฏิบัติตามกฎเหล่านี้เสมอ!

1. ดูว่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับเท่าใด ถ้า a \u003d 0 สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) ตัวอย่างของการแก้ปัญหาซึ่งอยู่ในรูปแบบก่อนหน้า สไลด์

2. ถ้า a≠0 คุณต้องหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยโคไซน์กำลังสอง เราจะได้:

เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร t=tg(x) เราได้สมการ:

แก้ตัวอย่าง #:3

แก้สมการ:
การตัดสินใจ:

หารทั้งสองข้างของสมการด้วยโคไซน์กำลังสอง:

เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

หารากของสมการกำลังสอง: t=-3 และ t=1

จากนั้น: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

คำตอบ: x=-arctg(3) + πk และ x= π/4+ πk

แก้ตัวอย่าง #:4

แก้สมการ:

การตัดสินใจ:
มาเปลี่ยนนิพจน์ของเรา:

เราสามารถแก้สมการดังกล่าวได้: x= - π/4 + 2πk และ x=5π/4 + 2πk

คำตอบ: x= - π/4 + 2πk และ x=5π/4 + 2πk

แก้ตัวอย่าง #:5

แก้สมการ:

การตัดสินใจ:
มาเปลี่ยนนิพจน์ของเรา:

เราแนะนำการแทนที่ tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

คำตอบของสมการกำลังสองคือราก: t=-2 และ t=1/2

จากนั้นเราได้รับ: tg(2x)=-2 และ tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

คำตอบ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 และ x=arctg(1/2)/2+ πk/2

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

1) แก้สมการ

A) บาป(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) แก้สมการ: บาป(3x)= √3/2 และหารากทั้งหมดในส่วน [π/2; พาย].

3) แก้สมการ: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) แก้สมการ: 3 บาป 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) แก้สมการ: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) แก้สมการ: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)