23 เป็นเลขคู่หรือคี่? เลขคู่และคี่ในศาสตร์แห่งตัวเลข ประวัติศาสตร์และวัฒนธรรม

จำนวนธรรมชาติทั้งหมดจากมุมมองของการหารด้วย 2 ลงตัวจะแบ่งออกเป็นสองชุด: เซตของเลขคู่และ ชุดของเลขคี่.

สม่ำเสมอตัวเลขหารด้วย 2 และ แปลกเมื่อหารด้วย 2 เศษจะเป็น 1 0 – จำนวนเป็นเลขคู่

เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้คุณสมบัติพาริตี สิ่งสำคัญคือต้องจำและใช้กฎต่อไปนี้:

• ผลรวมและความแตกต่าง สองคี่ตัวเลขคือ สม่ำเสมอตัวเลข
• ผลรวมและความแตกต่าง เลขคู่สองตัวเป็น สม่ำเสมอตัวเลข.
• ผลรวมและผลต่างของตัวเลขสองตัวซึ่ง หนึ่งคู่, ก แปลกอื่น ๆ, เป็น แปลกตัวเลข.
• งาน เลขคี่สองตัวเป็น เลขคี่.
• ผลคูณของตัวเลขสองตัวซึ่งก็คือ หนึ่งคู่, เป็น สม่ำเสมอตัวเลข.

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ภารกิจที่ 1

เป็นไปได้ไหมที่จะแลกเปลี่ยน 25 รูเบิลกับธนบัตร 10 ใบในราคา 1, 3 และ 5 รูเบิล?

สารละลาย.

เป็นสิ่งต้องห้าม และไม่เลยเพราะไม่มีบิลดังกล่าว ผลรวมของเงื่อนไขคี่ที่เป็นจำนวนคู่ไม่สามารถเป็นเลขคี่ได้

คำตอบ: เป็นไปไม่ได้.

ภารกิจที่ 2

ในชุดประกอบด้วยตุ้มน้ำหนัก 23 ตุ้มน้ำหนัก 1 กก. 2 กก. 3 กก. ... 23 กก. เป็นไปได้ไหมที่จะแยกพวกมันออกเป็นสองส่วนของมวลเท่ากันหากน้ำหนัก 21 กิโลกรัมหายไป?

สารละลาย.

มวลของน้ำหนักทั้งหมด S = (1 + 23) + (2 + 22) + … + (11 + 13) + 12 เป็นเลขคู่

ด้วยเหตุนี้ (S – 21) จึงไม่สามารถแยกย่อยออกเป็นสองส่วนที่มีน้ำหนักเท่ากันได้ เนื่องจากจำนวนนี้เป็นเลขคี่

คำตอบ. ตุ้มน้ำหนัก 23 อันที่มีมวลที่กำหนดไม่สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน

ภารกิจที่ 3

ตั๊กแตนกระโดดเป็นเส้นตรงในทิศทางต่าง ๆ กระโดดครั้งแรกคือ 1 ซม. ครั้งที่สองคือ 2 ซม. ที่สามคือ 3 ซม. และอื่น ๆ หลังจากการกระโดดครั้งที่ 25 เขาสามารถกลับไปยังจุดที่เขาเริ่มต้นได้หรือไม่?

สารละลาย.

ให้ตั๊กแตนกระโดดไปตามเส้นจำนวนไปในทิศทางต่างๆ แล้วเริ่มจากจุดที่มีพิกัด 0 หลังจากกระโดดครั้งที่ 25 เขาจะจบลงที่จุดที่มีพิกัดคี่ (ในบรรดาตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 25 – แปลก – เลขคี่) เนื่องจาก 0 เป็นเลขคู่ จึงไม่สามารถกลับไปยังตำแหน่งเดิมได้

คำตอบ. หลังจากการกระโดดครั้งที่ 25 ตั๊กแตนไม่สามารถกลับไปยังจุดเริ่มต้นได้

ภารกิจที่ 4

ต้นฉบับโบราณบรรยายถึงเมืองที่ตั้งอยู่บนเกาะ 8 เกาะ เกาะเหล่านี้เชื่อมต่อถึงกันและเชื่อมต่อกับแผ่นดินใหญ่ด้วยสะพาน มีสะพาน 5 แห่งที่ทอดไปสู่แผ่นดินใหญ่ 4 เกาะมี 4 สะพานแต่ละเกาะ 3 เกาะมี 3 สะพานแต่ละเกาะ และหนึ่งเกาะสามารถเข้าถึงได้ผ่านสะพานเดียวเท่านั้น จะมีการจัดเรียงสะพานเช่นนี้หรือไม่?

สารละลาย.

มาหาจำนวนปลายของสะพานทั้งหมดกัน:

5 + 4 4 + 3 3 + 1 = 31

31 – เป็นเลขคี่

เนื่องจากจำนวนปลายของสะพานทั้งหมดต้องเป็นจำนวนเท่ากัน การจัดเรียงสะพานเช่นนี้จึงไม่สามารถมีอยู่ได้

คำตอบ. ไม่ได้.

ภารกิจที่ 5

บนโต๊ะมีแก้ว 6 ใบ ในจำนวนนี้ แก้ว 5 ใบมีราคาถูกต้องและอีก 1 แก้ว – กลับหัวกลับหาง. คุณได้รับอนุญาตให้พลิกแก้ว 2 อันในคราวเดียว เป็นไปได้ไหมที่จะวางแว่นตาทั้งหมดอย่างถูกต้องในจำนวนครั้งจำกัด?

สารละลาย.

เพื่อแก้ปัญหานี้ เรามาลองกำหนดเงื่อนไขในภาษาของตัวเลขกันดีกว่า ในการดำเนินการนี้ เรานับเหตุการณ์ "กระจกยืนไม่ถูกต้อง" เป็น 1 และเหตุการณ์ "กระจกยืนไม่ถูกต้อง" – 0. จากนั้นแทนที่จะเป็นภาพที่มีแว่นตา ลำดับของห้าอันและหนึ่งศูนย์จะปรากฏขึ้น ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดในลำดับเท่ากับเลขคี่ 5 เมื่อพลิกกระจกในลำดับของเรา 0 จะเปลี่ยนเป็น 1 และในทางกลับกัน - 1 เป็น 0 เป้าหมายของเราคือการได้อนุกรมเพียง 1 เท่านั้น นั่น ควรเป็น 6 อัน และผลรวมควรเท่ากับ 6 ด้วย จำนวนนี้เป็นเลขคู่

แต่จะเกิดอะไรขึ้นกับปริมาณเมื่อพลิกแก้ว 2 ใบพร้อมกัน? 1 สองตัวถูกแทนที่ด้วย 0 หรือ 0 สองตัวถูกแทนที่ด้วยตัว หรือ 1 ตัวหนึ่งถูกแทนที่ด้วย 0 และ 0 หนึ่งตัวถูกแทนที่ด้วย 1 จะเกิดอะไรขึ้นกับผลรวม? ในกรณีแรกและครั้งที่สองจะเปลี่ยนเป็น 2 และในกรณีที่สามจะไม่เปลี่ยนแปลงเลย และนี่หมายความว่า มันจะไม่มีวันเป็นคู่และไม่มีทางเท่ากับ 6 ได้เลย ยังไงก็ตาม 2 หรือ 4 ก็ไม่เหมือนกัน

คำตอบ. เป็นไปไม่ได้.

ภารกิจที่ 6

Petya ซื้อสมุดบันทึกทั่วไปเล่มหนึ่งจำนวน 96 แผ่นและเรียงลำดับหน้าทั้งหมดตามลำดับตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 192 Vasya ฉีกสมุดบันทึกนี้ 25 แผ่นและเพิ่มตัวเลขทั้งหมด 50 ตัวที่เขียนไว้ เขาจะได้หมายเลข 2006 ไหม?

สารละลาย.

มาดูผลรวมของหมายเลขหน้าในแผ่นเดียวกัน เป็นเรื่องแปลกเพราะหน้าหนึ่งตรงกับเลขคี่ และหน้าที่สองของชีตตรงกับเลขคู่ แต่มี 25 แผ่น แล้วผลรวมของจำนวนหน้าที่ฉีกออกมาทั้งหมดเป็นคี่ แล้ววาสยาได้อะไร? ดังนั้นเขาจึงคิดผิด!

คำตอบ. มันทำไม่ได้

ภารกิจที่ 7

ตัวเลขทั้ง 10 ตัวเขียนอยู่บนการ์ด เราทำชุดดังกล่าว 2 ชุด เราได้รับไพ่ 20 ใบ โดยแต่ละใบเขียนเลข 0 หรือ 1 หรือ 2 ... หรือ 9 และไพ่ที่มีเลข 2 เท่ากัน พิสูจน์ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะจัดเรียงไพ่เหล่านี้ในแถวเดียว ดังนั้นระหว่างไพ่ที่เหมือนกันกับหมายเลข k จึงมีไพ่ k พอดี (เค = 0, 1, 2, …, 9)

สารละลาย.

สมมติว่าเราจัดเรียงไพ่สำเร็จตามลักษณะที่ระบุ จากนั้นสามารถกำหนดหมายเลขตามลำดับได้อย่างง่ายดายด้วยตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 20 สมมติว่าไพ่ใบแรกแต่ละใบที่พบในแถวที่มีหมายเลข k มีหมายเลข a k และใบสุดท้ายที่มีหมายเลขเดียวกัน k มีหมายเลข b k แล้วก็บีเค – และ k = k + 1 จากนั้น

∑(ข – ก) = ∑b k – ∑a k = (ข 0 – ก 0) + (ข 1 – ก 1) + (ข 2 – ก 2) + (ข 3 – ก 3) + … + (ข 9 – ก 9) = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 10 = 55

แต่ ∑b k + ∑а k = 1 + 2 + 3 + … + 20 = 210 (ผลรวมของเลขไพ่ทั้งหมด)

เราได้ ∑b k – ∑а k = 55 และ ∑b k + ∑а k = 210 เมื่อบวกความเท่าเทียมกันเหล่านี้ เราจะได้ 2∑b k = 265 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ (ในทุกกรณี เครื่องหมาย ∑ หมายถึงผลรวมส่วน k จาก 0 ถึง 9) ตัวเลขทางขวาเป็นเลขคู่ และตัวเลขทางซ้ายเป็นเลขคี่ ข้อขัดแย้งนี้พิสูจน์ว่าสมมติฐานของเราเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการวางไพ่ในลักษณะนี้เป็นสิ่งที่ผิด

คำตอบ. คำกล่าวนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

หากคุณเชี่ยวชาญเนื้อหาในบทความนี้อย่างถี่ถ้วนแล้วการแก้ปัญหาต่อไปนี้ไม่ควรทำให้คุณลำบากมากนัก หากคุณมีปัญหาใด ๆ ให้ลองค้นหาปัญหาที่เกี่ยวข้องจากปัญหาที่แก้ไขแล้ว

1. มีต้นราสเบอร์รี่ 8 ต้นขึ้นตามรั้ว จำนวนผลเบอร์รี่บนพุ่มไม้ใกล้เคียงนั้นแตกต่างกันไป พุ่มไม้ทั้งหมดรวมกันจะมีผลถึง 225 ผลได้หรือ?
2. ราชอาณาจักรมี 1,001 เมือง กษัตริย์ทรงมีพระบรมราชโองการให้สร้างถนนระหว่างเมืองต่างๆ เพื่อให้มีถนนออกจากแต่ละเมืองได้ 7 ถนน ราษฎรจะรับมือพระราชโองการได้หรือไม่?

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้ว่าจะนำคุณสมบัติของเลขคู่และเลขคี่ไปใช้อย่างไร?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

การแนะนำ.แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันมีความสำคัญมากต่อการพัฒนาวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน ตามทฤษฎีแล้ว แนวคิดนี้เรียบง่ายและมักจะไม่ก่อให้เกิดปัญหา ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความเท่าเทียมกันอาจมีตั้งแต่ง่ายมากไปจนถึงซับซ้อนมาก งานเหล่านี้ทำให้สามารถแนะนำนักเรียนให้รู้จักแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายโดยใช้สื่อที่เรียบง่าย

งานเบื้องต้น 1.นิโคไลและลูกชายของเขา และปีเตอร์และลูกชายของเขาไปตกปลา นิโคไลจับปลาได้มากเท่ากับลูกชายของเขาและปีเตอร์ - มากเท่ากับลูกชายของเขา เราจับปลาได้ 27 ตัวด้วยกัน นิโคไลจับปลาได้กี่ตัว?

สารละลาย. ในตอนแรกดูเหมือนว่าปัญหาไม่มีข้อมูล: ไม่ทราบค่า 2 รายการและสมการ 1 รายการ ถ้าอย่างนั้นก็ต้องมีคนตระหนักว่าสภาพของปัญหานั้นขัดแย้งกัน แท้จริงแล้วบิดาจับปลาได้มากเท่ากับบุตรชาย แต่แล้วจำนวนปลาทั้งหมดจะต้องเท่ากัน แต่ตามเงื่อนไขแล้วมันเป็นคี่

ตัวเลือกการใช้เหตุผล: นิโคไลและลูกชายของเขาจับปลาได้เป็นจำนวนคู่กัน เช่นเดียวกับเปโตรและลูกชายของเขา ซึ่งหมายความว่าผลรวมของตัวเลขเหล่านี้เป็นเลขคู่ (หากผู้เรียนไม่เข้าใจข้อควรพิจารณาข้อใดข้อหนึ่งเหล่านี้ด้วยตนเอง ก็ควรให้คำแนะนำเล็กน้อย)

แต่ไม่มีความขัดแย้ง! สิ่งที่นำไปสู่ความขัดแย้งคือการสันนิษฐานโดยปริยายว่ามีคนตกปลาสี่คน แต่อาจมีสามคน (นิโคไลเป็นลูกชายหรือพ่อของเปโตร) จากสภาพตอนนี้เป็นไปตามที่ทุกคนจับปลาได้เท่ากันคือตัวละ 9 ตัว ขอแนะนำให้เด็กนักเรียนทำความคุ้นเคยกับปัญหานี้ (แต่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา) หลายวันก่อนเริ่มบทเรียนแรก

1. การหาจำนวนคู่และเลขคี่

บทเรียนแรกในหัวข้อ “คี่คู่” สามารถเริ่มต้นด้วยคำถามตลกๆ: “ศูนย์เป็นเลขคู่หรือคี่?” หนุ่มๆ กำลังคิดว่า... ถ้าอย่างนั้น เราก็ต้องเริ่มอภิปรายกัน: “ศูนย์หารด้วย 2 ลงตัวหรือเปล่า?” หลังจากนั้นไม่นาน เด็กๆ ก็ตอบว่า “ใช่” จากนั้นฉันก็ถามคำถามเดิมอีกครั้ง: “แล้วเลขคู่หรือเลขคี่เป็นศูนย์ล่ะ?” และที่นี่ทุกอย่างชัดเจนแล้ว: "คู่"!

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของตัวเลขเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณและมักให้ความหมายที่ลึกลับ ดังนั้นในตำนานจีนโบราณ เลขคี่จึงตรงกับหยาง ซึ่งหมายถึงสวรรค์ ความเป็นมงคล และเลขคู่จึงสอดคล้องกับหยิน ดิน ความแปรปรวน และความไม่เอื้ออำนวย ในยุโรปและประเทศทางตะวันออกบางประเทศ เชื่อกันว่าการให้ดอกไม้เป็นจำนวนคู่จะนำมาซึ่งความสุข ในรัสเซีย เป็นเรื่องปกติที่จะนำดอกไม้จำนวนคู่มาในงานศพของผู้ตายเท่านั้น ในกรณีที่ช่อดอกไม้มีจำนวนมาก ความสม่ำเสมอหรือความคี่ของจำนวนจะไม่มีบทบาทอีกต่อไป

ถัดมาเป็นการอภิปรายปัญหาเบื้องต้น ช่วยให้คุณสามารถเริ่มการสนทนาเกี่ยวกับคำจำกัดความและคุณสมบัติของความเท่าเทียมกัน ก่อนอื่นเราใช้ความจริงที่ว่าตัวเลขของแบบฟอร์ม ป + ปเท่ากัน (พ่อจับปลาได้เท่าลูกจึงจับปลาได้คู่กัน)

นี่เป็นอีกปัญหาหนึ่งที่แสดงให้เห็นแนวคิดเดียวกัน

ภารกิจที่ 2ตั๊กแตนกระโดดเป็นเส้นตรงแล้วกลับสู่จุดเริ่มต้น การกระโดดทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน พิสูจน์ว่าเขากระโดดได้เลขคู่

สารละลาย. กระโดดไปทางขวากี่ครั้งก็กระโดดไปทางซ้ายเท่าเดิม (ตั้งแต่กลับมาที่จุดสตาร์ท)... ตามมาด้วยตัวเลขที่เป็นรูป ป + ป = 2ปสม่ำเสมอ? และนี่เป็นเพียงคำจำกัดความ

คำนิยาม. เรียกว่าจำนวนเต็ม สม่ำเสมอถ้าหารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษ และ แปลก, ถ้าหารด้วย 2 ไม่ลงตัว.

ดังนั้น “มุมมองทั่วไป” ของเลขคู่ 2 ป, ที่ไหน ปเป็นจำนวนเต็มใดก็ได้ เรากำลังพูดถึงจำนวนเต็มโดยเฉพาะ และไม่ใช่แค่ตัวเลขธรรมชาติ (นั่นคือ จำนวนเต็มบวก) เท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่า 0 ก็เป็นเลขคู่ด้วย

“ลักษณะทั่วไป” ของเลขคี่คืออะไร? 2 n+ 1. อันที่จริง ถ้าคุณลบ 1 ออกจากเลขคี่ มันจะกลายเป็นเลขคู่ นั่นคือเลขคี่จะเท่ากับผลรวมของเลขคู่ 2 ปและหน่วย มักใช้เขียนเลขคี่ในรูปของ 2 ป — 1.

2. คุณสมบัติของเลขคู่และเลขคี่

คุณสมบัติ 1 . จากคำจำกัดความของจำนวนคู่จะเป็นไปตามนั้นทันที ผลคูณของจำนวน (จำนวนเต็ม) ใดๆ และจำนวนคู่เป็นเลขคู่. การพิสูจน์: เค . 2ป = 2(KN).

คุณสมบัติ 2 . มันค่อนข้างยากกว่าที่จะตรวจสอบสิ่งนั้น ผลคูณของเลขคี่สองตัวนั้นเป็นเลขคี่. หลักฐาน: (2 เค+ ลิตร)(2 n + 1) = 2(2เคป + เค + ป) + 1.

คำนิยาม. เรียกจำนวนเต็มสองตัว ตัวเลขที่มีความเท่าเทียมกันถ้าทั้งคู่เป็นคู่หรือทั้งคู่เป็นคี่ เรียกจำนวนเต็มสองตัว จำนวนความเท่าเทียมกันถ้าอันใดอันหนึ่งเป็นคู่และอีกอันเป็นคี่

คุณสมบัติ 3. ผลรวมของเลขคู่ที่ต่างกันสองตัวเป็นผลรวมเป็นเลขคี่

หลักฐาน: 2 เค + 2ป + 1 = 2(เค + ป) + 1 = 2ม+1 ที่ไหน ม = เค + ป- จำนวนเต็ม จำนวนเงินเป็นเลขคี่

คุณสมบัติ 4. ผลรวมของตัวเลขสองตัวที่มีความเท่าเทียมกันเท่ากันคือเลขคู่

หลักฐาน: 2 เค + 2ป = 2(เค + ป) = 2ม, ที่ไหน ม = เค + ป— จำนวนเต็ม ดังนั้นผลรวมจึงเป็นเลขคู่

2เค + 1 + 2ป + 1 = 2(เค + ป + 1) = 2ม, ที่ไหน ม = เค + ป+ 1 เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นผลรวมจึงเป็นเลขคู่

คำสั่งสนทนา. จากนั้นคุณสามารถเชิญเด็ก ๆ ให้กำหนดและพิสูจน์ข้อความที่แปลงเป็นข้อความเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของผลรวม

หากผลรวมของตัวเลขสองตัวเป็นเลขคี่ เงื่อนไขนั้นมีความเท่าเทียมกันต่างกัน การพิสูจน์. อันที่จริงถ้าพวกเขามีความเท่าเทียมกัน ผลรวมก็จะเป็นเลขคู่

หากผลรวมของตัวเลขสองตัวเป็นเลขคู่ แสดงว่าพจน์นั้นมีความเท่าเทียมกัน หลักฐานก็คล้ายกัน

มาดูคุณสมบัติถัดไปของเลขคู่และเลขคี่กันดีกว่า

ปัญหา 3(เตรียมการ). ผลรวมของตัวเลขสามตัวเป็นเลขคี่ มีกี่คำที่เป็นเลขคี่? คำตอบ: หนึ่งหรือสาม

สารละลาย. ยกตัวอย่างได้ไม่ยากว่าเป็นไปได้ทั้งสองกรณี อีกสองกรณีที่เหลือ (มีคำแปลก ๆ สองคำหรือไม่มีเลย) นำไปสู่ความขัดแย้งได้ง่าย ตอนนี้เราสามารถไปยังสูตรทั่วไปที่สุดได้แล้ว

คุณสมบัติ 5. ความเท่าเทียมกันของผลรวมเกิดขึ้นพร้อมกับความเท่าเทียมกันของจำนวนเทอมคี่

การพิสูจน์. 2 1 + 1 + 22 + 1 + … + 2พี + 1 = 2(1 + 2 + … + พี) + ป. ตัวเลขตัวแรกเป็นเลขคู่เนื่องจากเป็นผลิตภัณฑ์ ปัจจัยตัวหนึ่งคือเลข 2 และเลขตัวที่สองเป็นเลขคู่ตามแบบแผน ( n- จำนวนเทอมคู่) ผลรวมของเลขคู่สองตัวเป็นเลขคู่

การให้เหตุผลที่คล้ายกันมีให้สำหรับเงื่อนไขคี่จำนวนคี่ นักเรียนสรุป: ความคี่ของผลรวมเกิดขึ้นพร้อมกับความคี่ของจำนวนเทอมคี่.

3. ปัญหาในการประยุกต์คุณสมบัติของคู่และคี่

ภารกิจที่ 4เจ้าของซื้อสมุดบันทึกทั่วไปเล่มหนึ่งจำนวน 96 แผ่นและเรียงลำดับหน้าทั้งหมดตามลำดับตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 192 ลูกสุนัข Antoshka แทะสมุดบันทึกนี้ 25 แผ่นและเพิ่มตัวเลขทั้งหมด 50 ตัวที่เขียนไว้ เขาสามารถประสบความสำเร็จในปี 1990 ได้หรือไม่?

สารละลาย. ในแต่ละแผ่น ผลรวมของเลขหน้าเป็นเลขคี่ และผลรวมของเลขคี่ 25 ตัวเป็นเลขคี่ ดังนั้น Antoshka จึงไม่สามารถรับหมายเลข 1990 ได้

ภารกิจที่ 5โรงเรียนมีนักเรียน 1,688 คน โดยมีเด็กผู้ชายมากกว่าเด็กผู้หญิง 373 คน พิสูจน์ว่าสิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้

สารละลาย. ถ้า สาวๆ เอ็กซ์แล้วมีนักเรียนทั้งหมด 2 คน เอ็กซ์+ 373 และเลขนี้เป็นเลขคี่เป็นผลรวมของเลขคู่และเลขคี่

ภารกิจที่ 6เลข 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … + 993 เป็นเลขคู่หรือคี่?

สารละลาย. ผลต่าง 1 - 2 มีความเท่าเทียมกันกับผลรวม 1 + 2 ส่วนผลต่าง 3 - 4 มีความเท่าเทียมกันเช่นเดียวกับผลรวม 3 + 4 เป็นต้น ดังนั้นผลรวมนี้จึงมีความเท่าเทียมกันเหมือนกับผลรวม 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + 993 จากเงื่อนไข 993 เทอมของผลรวมสุดท้าย 496 เทอมเป็นคู่ และ 497 เทอมเป็นคี่ ดังนั้นผลรวมจึงเป็นคี่

ภารกิจที่ 7เขียนตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 เรียงกัน เป็นไปได้ไหมที่จะวางเครื่องหมายบวกและลบระหว่างตัวเลขเหล่านั้นเพื่อให้ได้นิพจน์เท่ากับศูนย์?

วิธีแก้ไข: ไม่ คุณไม่สามารถทำได้ ความเท่าเทียมกันของนิพจน์ผลลัพธ์ เสมอจะตรงกับความเท่าเทียมกัน จำนวนเงิน 1 + 2 + ... + 10 = 55 จำนวนนี้ จะแปลกเสมอและ 0 เป็นเลขคู่

ภารกิจที่ 8เป็นไปได้ไหมที่จะแลกเปลี่ยน 100 รูเบิลเป็น 25 เหรียญ 1 และ 5 รูเบิล?

สารละลาย. ไม่ เพราะ. ผลรวมของจำนวนคี่ของเทอมคี่จะเป็นเลขคี่ .

ปัญหาที่ 9. ในอาคารห้าชั้นที่มีทางเข้าสี่ทาง เรานับจำนวนผู้อยู่อาศัยในแต่ละชั้นและนอกจากนี้ในแต่ละทางเข้าด้วย ตัวเลขทั้ง 9 ตัวที่ได้มาเป็นเลขคี่ได้หรือไม่?

สารละลาย. ให้เราแสดงจำนวนผู้อยู่อาศัยบนพื้นตามลำดับโดย 1 , 2 , 3 , 4 , 5จำนวนผู้อยู่อาศัยในทางเข้าตามลำดับผ่าน ข 1, ข 2,ข 3, ข 4. จากนั้นสามารถคำนวณจำนวนผู้อยู่อาศัยในบ้านได้สองวิธี - ตามชั้นและทางเข้า:

1 + 2 + 3 + 4 + 5= ข 1+ ข 2 +ข 3 + ข 4. หากตัวเลขทั้ง 9 ตัวนี้เป็นเลขคี่ ผลรวมทางด้านซ้ายของสมการที่เขียนจะเป็นคี่ และผลรวมทางด้านขวาจะเป็นเลขคู่ ดังนั้นนี่จึงเป็นไปไม่ได้

ปัญหาที่ 10.ความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่: 1 2 + 2 3 + 3 4 + … + 99 100 = 20002007?

สารละลาย. ผลคูณของเลขคู่และเลขคี่นั้นเป็นเลขคู่ และผลรวมของเลขคู่จะเป็นเลขคู่เสมอ

ปัญหาที่ 11.ผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 17 เป็นเลขคู่หรือคี่?

สารละลาย. จากจำนวนธรรมชาติ 17 ตัว มี 8 ตัวที่เป็นเลขคู่ ได้แก่ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 และอีก 9 ตัวที่เหลือเป็นเลขคี่ ผลรวมของเลขคู่เหล่านี้เป็นเลขคู่ และผลรวมของเลขคี่เก้าตัวถือเป็นเลขคี่ แล้วผลรวมของเลขทั้ง 17 ตัวจะเป็นเลขคี่เป็นผลรวมของเลขคู่และเลขคี่

ปัญหาที่ 12.ตั๊กแตนกระโดดเป็นเส้นตรง: ครั้งแรก 1 ซม. ครั้งที่สอง 2 ซม. เป็นต้น เขาสามารถกลับไปยังจุดเดิมหลังจากกระโดด 25 ครั้งได้หรือไม่?

สารละลาย. หากต้องการกลับที่เก่า จำนวนเซนติเมตรทั้งหมดต้องเป็นเลขคู่ และผลรวมของ 1 + 2 + 3 + ... + 25 ต้องเป็นเลขคี่ ดังนั้นตั๊กแตนจะไม่สามารถกลับไปยังที่เดิมได้

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

ปัญหาที่ 13.เป็นไปได้ไหมที่จะแลกเปลี่ยน 25 รูเบิลกับสิบเหรียญในสกุลเงิน 1, 3 และ 5 รูเบิล?

สารละลาย. ถ้าเราบวกเลขคู่ของจำนวนเต็มใดๆ เราจะได้เลขคู่ และ 25 ก็เป็นเลขคี่ ดังนั้นให้แลกเปลี่ยน 25 รูเบิล วิธีนี้มันเป็นไปไม่ได้

ปัญหาที่ 14.มีการนำของเล่นใหม่มาที่ร้าน "ทุกอย่างสำหรับสุนัขและแมว" ของเล่นสิบชิ้นราคา 3, 5 หรือ 7 รูเบิลสามารถมีราคารวม 53 รูเบิลได้หรือไม่?

สารละลาย. ผลรวมของเลขคู่ของเลขคี่เป็นเลขคู่ เรามีตัวเลข 10 ตัว (ราคาของเล่น 1 ชิ้น) ทุกตัวเป็นเลขคี่ ซึ่งหมายความว่าผลรวมต้องเป็นเลขคู่ แต่ 53 เป็นเลขคี่ จึงไม่สามารถหาผลรวมของเลขคี่ 10 ตัวได้

ปัญหาที่ 15.แอนตันมีช็อกโกแลต 5 แท่ง แอนตันแบ่งแต่ละแท่งออกเป็น 9, 15 หรือ 25 ชิ้น จะได้ช็อกโกแลตทั้งหมด 100 ชิ้นได้หรือไม่

สารละลาย. ไม่ เพราะ. หากคุณบวกเลขคี่ 5 ตัว คุณจะได้ผลคี่ และเลข 100 ก็คือเลขคู่

ปัญหาที่ 16.นีน่ามีช็อกโกแลตแท่ง 11 แท่งจากโรงงาน Kraskon นีน่าแบ่งแต่ละแท่งออกเป็น 7, 13 หรือ 21 ชิ้น จะได้ช็อกโกแลตทั้งหมด 100 ชิ้นได้หรือไม่

สารละลาย. ไม่ เพราะ. หากคุณบวกเลขคี่ 11 ตัว คุณจะได้ผลลัพธ์เป็นเลขคี่ และ 100 จะเป็นเลขคู่

ปัญหาที่ 17.พิสูจน์ว่าด้วยความเท่าเทียมกัน 1 ? 2? 3? 4 ? 5 ? 6? 7? 8 ? 9 =20, "?" - สิ่งเหล่านี้คือเครื่องหมายบวกหรือลบ มีข้อผิดพลาดเกิดขึ้น

สารละลาย. มีจำนวนคี่ของจำนวนคี่ในนิพจน์ คำตอบต้องเป็นเลขคี่

4. ปัญหาแทรกแซง

คุณสมบัติการสลับ:

1. หากในวัตถุลูกโซ่ปิดบางประเภทสลับกันก็จะมีจำนวนคู่ (และจำนวนเท่ากันของแต่ละประเภท)
2. หากในวัตถุลูกโซ่ปิดบางประเภทมีสองประเภทสลับกัน:

• จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของห่วงโซ่ประเภทต่าง ๆ จากนั้นจะมีวัตถุจำนวนคู่
• จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของประเภทเดียวกันตามด้วยเลขคี่

3. ในทางกลับกัน: ด้วยความเท่าเทียมกันของความยาวของห่วงโซ่สลับ คุณจะพบว่าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของห่วงโซ่เป็นแบบเดียวกันหรือต่างกัน

ปัญหาที่ 18.ระบบ 7 เกียร์สามารถหมุนได้หรือไม่ ถ้าเกียร์แรกเข้าเกียร์สอง เกียร์สองเข้าเกียร์สาม ฯลฯ และเกียร์เจ็ดเข้าเกียร์แรก?

สารละลาย. เลขที่ ถ้าอันแรกหมุนตามเข็มนาฬิกา เกียร์เลขคี่ทั้งหมดจะต้องหมุนตามเข็มนาฬิกา แต่อันแรกและอันที่เจ็ดไม่สามารถหมุนตามเข็มนาฬิกาพร้อมกันได้ .

ปัญหาที่ 19.อัศวินสามารถย้ายจากจัตุรัส a1 ไปยังจัตุรัส h8 โดยไปที่จัตุรัสอื่นๆ เพียงครั้งเดียวตลอดทางได้หรือไม่?

สารละลาย. ไม่เขาไม่สามารถ. เนื่องจากอัศวินจะต้องเคลื่อนไหว 63 ครั้ง การเคลื่อนไหวครั้งสุดท้าย (คี่) จะอยู่บนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความเท่าเทียมกันที่แตกต่างจาก a1 แต่ h8 มีสีเดียวกัน

ปัญหาที่ 20.โดมิโนทั้งหมดถูกจัดวาง (ตามกฎของเกม) ไว้ในห่วงโซ่ยาวเส้นเดียว ที่ปลายด้านหนึ่งของห่วงโซ่นี้มี 5 จุด ปลายอีกด้านของห่วงโซ่มีได้กี่จุด?

สารละลาย. หากมีโดมิโน ∗ − 5 อยู่ที่ไหนสักแห่ง ถัดจากนั้นจะมีโดมิโน 5 − ∗ - จะมีการแบ่งออกเป็นคู่ มีโดมิโนที่มีห้าโดมิโน่ทั้งหมดกี่ตัว? พวกเขาทั้งหมดมีส่วนร่วมในการจับคู่นี้หรือไม่?

ปัญหาการจับคู่

คุณสมบัติ:หากวัตถุสามารถแบ่งออกเป็นคู่ได้ จำนวนของมันจะเป็นเลขคู่

ปัญหาที่ 21.เป็นไปได้ไหมที่จะวาดโพลีไลน์แบบปิด 9 ลิงก์ โดยแต่ละลิงก์จะตัดกับลิงก์อื่นเพียงลิงก์เดียว

สารละลาย. หากเป็นไปได้ การเชื่อมโยงทั้งหมดของเส้นขาดจะถูกแบ่งออกเป็นคู่ที่ตัดกัน อย่างไรก็ตาม จำนวนลิงก์จะต้องเท่ากัน

ปัญหาที่ 22. Seven Thirteen-Arms จากดาว Thirteen-Arms ตัดสินใจจัดการแข่งขันมวยปล้ำแขน พวกเขาจะสามารถดวลกันด้วยมือทั้งหมดพร้อมกันได้หรือไม่ เพื่อให้ทุกมือมีส่วนร่วม และมีสองมือมาบรรจบกันในการดวลแต่ละครั้งหรือไม่?

สารละลาย. ผู้เล่นที่มีอาวุธทั้ง 13 มือจะไม่สามารถต่อสู้สำหรับทุกมือในเวลาเดียวกันได้ เนื่องจากมือทั้งสองมีส่วนร่วมในการต่อสู้แต่ละครั้ง และมีทั้งหมด 13 · 7 = 91 มือ

ปัญหาที่ 23.ในหน่วยประชาชนมี 100 คน และทุกเย็นสามคนจะเข้าปฏิบัติหน้าที่ เป็นไปได้ไหมว่าหลังจากผ่านไประยะหนึ่งปรากฎว่าทุกคนทำหน้าที่กับทุกคนเพียงครั้งเดียว?

สารละลาย. เนื่องจากในแต่ละหน้าที่ที่บุคคลนี้เข้าร่วมก็ทำหน้าที่ร่วมกับอีกสองคน คนอื่นๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นคู่ๆ ได้ อย่างไรก็ตาม 99 เป็นเลขคี่

ฉันจะเริ่มเรื่องของฉันด้วยเลขคู่ เลขไหนเป็นเลขคู่? จำนวนเต็มใดๆ ที่สามารถหารด้วยสองโดยไม่มีเศษเหลือจะถือเป็นเลขคู่ นอกจากนี้ ตัวเลขคู่จะลงท้ายด้วยหนึ่งในหลักที่กำหนด: 0, 2, 4, 6 หรือ 8

ตัวอย่างเช่น: -24, 0, 6, 38 เป็นเลขคู่ทั้งหมด

m = 2k เป็นสูตรทั่วไปสำหรับการเขียนเลขคู่ โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม สูตรนี้อาจจำเป็นต้องใช้ในการแก้ปัญหาหรือสมการหลายอย่างในระดับประถมศึกษา

มีตัวเลขอีกประเภทหนึ่งในอาณาจักรคณิตศาสตร์อันกว้างใหญ่ - เลขคี่ จำนวนใดๆ ที่ไม่สามารถหารด้วย 2 ได้โดยไม่มีเศษ และเมื่อหารด้วย 2 แล้วเศษจะเป็น 1 มักจะเรียกว่าคี่ รายการใดรายการหนึ่งลงท้ายด้วยหมายเลขใดหมายเลขหนึ่งต่อไปนี้: 1, 3, 5, 7 หรือ 9

ตัวอย่างเลขคี่: 3, 1, 7 และ 35

n = 2k + 1 เป็นสูตรที่ใช้เขียนเลขคี่ใดๆ โดยที่ k คือจำนวนเต็ม

การบวกและการลบเลขคู่และเลขคี่

มีรูปแบบบางอย่างในการบวก (หรือการลบ) ของเลขคู่และเลขคี่ เราได้นำเสนอโดยใช้ตารางด้านล่างเพื่อให้คุณเข้าใจและจดจำเนื้อหาได้ง่ายขึ้น

การดำเนินการ	ผลลัพธ์	ตัวอย่าง
คู่ + คู่
คู่ + คี่	แปลก
คี่ + คี่

เลขคู่และเลขคี่จะทำงานในลักษณะเดียวกันหากคุณลบออกแทนที่จะบวกกัน

การคูณเลขคู่และเลขคี่

เมื่อคูณจำนวนคู่และคี่จะทำงานตามธรรมชาติ คุณจะรู้ล่วงหน้าว่าผลลัพธ์จะเป็นคู่หรือคี่ ตารางด้านล่างแสดงตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อการดูดซึมข้อมูลที่ดีขึ้น

การดำเนินการ	ผลลัพธ์	ตัวอย่าง
แม้แต่ * แม้แต่
แม้แต่คี่
คี่ * คี่	แปลก

ทีนี้มาดูตัวเลขเศษส่วนกัน

สัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลข

ทศนิยมคือตัวเลขที่มีตัวส่วนเป็น 10, 100, 1,000 และอื่นๆ ซึ่งเขียนโดยไม่มีตัวส่วน ส่วนจำนวนเต็มจะถูกแยกออกจากส่วนที่เป็นเศษส่วนโดยใช้เครื่องหมายจุลภาค

ตัวอย่างเช่น: 3.14; 5.1; 6,789หมดครับ

คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้หลากหลายโดยใช้ทศนิยม เช่น การเปรียบเทียบ การบวก การลบ การคูณ และการหาร

หากคุณต้องการเปรียบเทียบเศษส่วนสองส่วน ขั้นแรกให้ปรับจำนวนตำแหน่งทศนิยมให้เท่ากันโดยการเพิ่มศูนย์เข้าไปในหนึ่งในนั้น จากนั้นลดจุดทศนิยมลง แล้วเปรียบเทียบเป็นจำนวนเต็ม ลองดูตัวอย่างนี้ ลองเปรียบเทียบ 5.15 และ 5.1 กัน ก่อนอื่น มาทำให้เศษส่วนเท่ากัน: 5.15 และ 5.10 ทีนี้ลองเขียนเป็นจำนวนเต็ม: 515 และ 510 ดังนั้น จำนวนแรกมากกว่าจำนวนที่สอง ซึ่งหมายความว่า 5.15 มากกว่า 5.1

หากคุณต้องการบวกเศษส่วน 2 ตัว ให้ทำตามกฎง่ายๆ นี้: เริ่มที่ส่วนท้ายของเศษส่วนแล้วบวก (ตัวอย่าง) ส่วนในร้อยก่อน ตามด้วยส่วนสิบ ตามด้วยส่วนทั้งหมด กฎนี้ทำให้ง่ายต่อการลบและคูณทศนิยม

แต่คุณต้องหารเศษส่วนเหมือนจำนวนเต็ม โดยนับตรงจุดที่คุณต้องใส่ลูกน้ำต่อท้าย นั่นคือแบ่งส่วนทั้งหมดก่อนแล้วจึงแบ่งส่วนที่เป็นเศษส่วน

เศษส่วนทศนิยมควรถูกปัดเศษด้วย ในการดำเนินการนี้ ให้เลือกหลักที่คุณต้องการปัดเศษเศษส่วนและแทนที่จำนวนหลักที่สอดคล้องกันด้วยศูนย์ โปรดทราบว่าหากตัวเลขที่อยู่ถัดจากตัวเลขนี้อยู่ในช่วงตั้งแต่ 5 ถึง 9 แล้ว ตัวเลขสุดท้ายที่เหลืออยู่จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก หากตัวเลขที่อยู่ถัดจากตัวเลขนี้อยู่ในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 4 ตัวเลขสุดท้ายที่เหลือจะไม่เปลี่ยนแปลง

• เลขคี่- จำนวนเต็มนั้น ไม่ได้แชร์โดยไม่มีเศษ: …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

ถ้า มเป็นคู่ จึงสามารถแสดงในรูปได้ $ม.\; =\; 2k$และถ้าเป็นเลขคี่ก็ให้อยู่ในรูปแบบ $ม.\; =\; 2\; เค\; +\; 1$, ที่ไหน $k\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z$.

ประวัติศาสตร์และวัฒนธรรม

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของตัวเลขเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณและมักให้ความหมายที่ลึกลับ ในจักรวาลวิทยาและปรัชญาธรรมชาติของจีน ตัวเลขคู่สอดคล้องกับแนวคิดของ "หยิน" และเลขคี่สอดคล้องกับ "หยาง"

ในประเทศต่างๆ มีประเพณีเกี่ยวกับจำนวนดอกไม้ที่มอบให้ ตัวอย่างเช่น ในสหรัฐอเมริกา ยุโรป และประเทศทางตะวันออกบางประเทศ เชื่อกันว่าการให้ดอกไม้เป็นจำนวนคู่จะนำพาความสุขมาให้ ในรัสเซียและกลุ่มประเทศ CIS เป็นเรื่องปกติที่จะนำดอกไม้จำนวนคู่มาในงานศพของผู้ตายเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ช่อดอกไม้มีจำนวนมาก (โดยปกติจะมีมากกว่านั้น) ความสม่ำเสมอหรือความคี่ของจำนวนดอกไม้จะไม่มีบทบาทอีกต่อไป ตัวอย่างเช่นเป็นที่ยอมรับได้ที่จะมอบช่อดอกไม้จำนวน 12, 14, 16 และอื่น ๆ ให้กับผู้หญิง ดอกไม้หรือส่วนของดอกไม้พุ่มที่มีดอกตูมจำนวนมากซึ่งโดยหลักการแล้วไม่สามารถนับได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับดอกไม้ (ตัด) จำนวนมากที่มอบให้ในโอกาสอื่น

ฝึกฝน

ในสถาบันอุดมศึกษาที่มีตารางขั้นตอนการศึกษาที่ซับซ้อน จะใช้สัปดาห์คู่และคี่ ภายในสัปดาห์เหล่านี้ ตารางการฝึกอบรมและในบางกรณี เวลาเริ่มต้นและสิ้นสุดอาจแตกต่างกัน แนวปฏิบัตินี้ใช้เพื่อกระจายภาระงานอย่างเท่าเทียมกันในห้องเรียน อาคารเรียน และเพื่อให้แน่ใจว่าชั้นเรียนในสาขาวิชาที่มีภาระงานในห้องเรียนต่ำ (หนึ่งครั้งทุกๆ 2 สัปดาห์)

ตารางรถไฟใช้เลขคู่และเลขคี่ ขึ้นอยู่กับทิศทางการเดินทาง (ทางตรงหรือทางกลับ) ดังนั้น คู่/คี่ จึงหมายถึงทิศทางที่รถไฟวิ่งผ่านแต่ละสถานี

วันคู่และวันคี่ของเดือนบางครั้งอาจเกี่ยวข้องกับตารางรถไฟที่จัดวันเว้นวัน

เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "เลขคู่และเลขคี่"

หมายเหตุ

ลิงค์

• ลำดับ A005408 ใน OEIS: เลขคี่
• ลำดับ A005843 ใน OEIS: ตัวเลขคู่
• ลำดับ A179082 ใน OEIS: ตัวเลขคู่ที่มีผลรวมของตัวเลขเลขคู่ในรูปแบบทศนิยม

ข้อความที่ตัดตอนมาอธิบายเลขคู่และเลขคี่

“ เอาล่ะ” เจ้าชาย Andrei กล่าวแล้วหันไปหา Alpatych“ บอกฉันทุกอย่างตามที่ฉันบอกคุณแล้ว” - และโดยไม่ตอบอะไรกับเบิร์กที่เงียบอยู่ข้างๆ เขาเขาก็แตะม้าของเขาแล้วขี่ม้าเข้าไปในตรอก

กองทหารยังคงล่าถอยจาก Smolensk ศัตรูติดตามพวกเขาไป เมื่อวันที่ 10 สิงหาคม กองทหารซึ่งได้รับคำสั่งจากเจ้าชายอังเดร ผ่านไปตามถนนสูง ผ่านถนนที่ทอดไปสู่เทือกเขาหัวโล้น ความร้อนและความแห้งแล้งกินเวลานานกว่าสามสัปดาห์ ทุกๆ วัน เมฆหยิกเคลื่อนผ่านท้องฟ้า บางครั้งบังดวงอาทิตย์ แต่เมื่อตกเย็นก็สว่างขึ้นอีกครั้ง และดวงอาทิตย์ก็ตกเป็นหมอกควันสีน้ำตาลแดง มีเพียงน้ำค้างที่ตกหนักในเวลากลางคืนเท่านั้นที่ทำให้โลกสดชื่น ขนมปังที่ติดรากก็ไหม้และหกออกมา หนองน้ำก็แห้ง วัวร้องคำรามด้วยความหิวโหย ไม่พบอาหารในทุ่งหญ้าที่ถูกแดดเผา เฉพาะในเวลากลางคืนและในป่ายังมีน้ำค้างและความเย็น แต่ตามถนนตามถนนสูงที่กองทหารเดินไปมาแม้ในเวลากลางคืนแม้ผ่านป่าไม้ก็ไม่มีความเย็นสบายเช่นนี้ น้ำค้างไม่ปรากฏให้เห็นบนฝุ่นทรายบนถนนซึ่งถูกผลักขึ้นไปมากกว่าหนึ่งในสี่ของอาร์ชิน ทันทีที่รุ่งสาง การเคลื่อนไหวก็เริ่มขึ้น ขบวนรถและปืนใหญ่เดินอย่างเงียบๆ ไปตามดุมล้อ และทหารราบอยู่ลึกถึงข้อเท้าด้วยฝุ่นร้อนที่นุ่มอบอ้าวซึ่งไม่เย็นลงในชั่วข้ามคืน ฝุ่นทรายส่วนหนึ่งถูกนวดด้วยเท้าและล้อ อีกส่วนหนึ่งลุกขึ้นยืนราวกับเมฆเหนือกองทัพ ติดเข้าไปในตา ผม หู จมูก และที่สำคัญที่สุดคือเข้าไปในปอดของคนและสัตว์ที่เคลื่อนตัวไปตามนี้ ถนน. ยิ่งดวงอาทิตย์ขึ้นสูง เมฆฝุ่นก็จะยิ่งสูงขึ้น และผ่านฝุ่นร้อนบางๆ นี้ เราจึงสามารถมองดูดวงอาทิตย์ที่ไม่มีเมฆปกคลุมได้ด้วยตาธรรมดา ดวงอาทิตย์ปรากฏเป็นลูกบอลสีแดงเข้มขนาดใหญ่ ไม่มีลมและผู้คนก็หายใจไม่ออกในบรรยากาศอันเงียบสงบนี้ ผู้คนเดินโดยมีผ้าพันคอผูกรอบจมูกและปาก เมื่อมาถึงหมู่บ้าน ทุกคนก็รีบไปที่บ่อน้ำ พวกเขาต่อสู้เพื่อน้ำและดื่มจนสกปรก
เจ้าชายอังเดรสั่งกองทหารและโครงสร้างของกองทหาร, สวัสดิภาพของประชาชน, ความจำเป็นในการรับและออกคำสั่งครอบครองเขา ไฟแห่ง Smolensk และการละทิ้งมันเป็นยุคของเจ้าชาย Andrei ความรู้สึกขมขื่นครั้งใหม่ต่อศัตรูทำให้เขาลืมความเศร้าโศก เขาทุ่มเทอย่างเต็มที่ให้กับกิจการของกองทหารของเขา เขาดูแลประชาชนและเจ้าหน้าที่ของเขา และแสดงความรักต่อพวกเขา ในกองทหารพวกเขาเรียกเขาว่าเจ้าชายของเรา พวกเขาภูมิใจในตัวเขาและรักเขา แต่เขาใจดีและอ่อนโยนเฉพาะกับทหารกองร้อยกับทิโมคิน ฯลฯ กับผู้คนใหม่ ๆ และในสภาพแวดล้อมที่ต่างประเทศกับคนที่ไม่สามารถรู้และเข้าใจอดีตของเขาได้ แต่ทันทีที่เขาเจอหนึ่งในอดีตของเขา จากไม้เท้า เขาก็กลับโกรธอีกครั้งทันที เขาโกรธเยาะเย้ยและดูถูกเหยียดหยาม ทุกสิ่งที่เชื่อมโยงความทรงจำของเขากับอดีตทำให้เขารังเกียจดังนั้นเขาจึงพยายามในความสัมพันธ์ของโลกอดีตนี้เท่านั้นที่จะไม่ยุติธรรมและทำหน้าที่ของเขาให้สำเร็จ
จริงอยู่ ทุกอย่างดูเหมือนกับเจ้าชาย Andrei ในแสงที่มืดมน - โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลังจากที่พวกเขาออกจาก Smolensk (ซึ่งตามแนวคิดของเขาสามารถและควรได้รับการปกป้อง) ในวันที่ 6 สิงหาคมและหลังจากที่พ่อของเขาป่วยต้องหนีไปมอสโคว์ และโยนภูเขาโล้นอันเป็นที่รักซึ่งสร้างและอาศัยอยู่โดยเขาเพื่อปล้น แต่อย่างไรก็ตาม ต้องขอบคุณกองทหาร เจ้าชาย Andrei จึงสามารถคิดถึงเรื่องอื่นได้อย่างสมบูรณ์โดยไม่ขึ้นอยู่กับประเด็นทั่วไป - เกี่ยวกับกองทหารของเขา เมื่อวันที่ 10 สิงหาคม คอลัมน์ที่กองทหารของเขาตั้งอยู่ถึงเทือกเขาหัวโล้น เจ้าชายอันเดรย์ได้รับข่าวเมื่อสองวันก่อนว่าพ่อ ลูกชาย และน้องสาวของเขาเดินทางไปมอสโคว์ แม้ว่าเจ้าชาย Andrei ไม่มีอะไรทำใน Bald Mountains แต่ด้วยความปรารถนาอันเป็นลักษณะเฉพาะของเขาที่จะบรรเทาความเศร้าโศกของเขา จึงตัดสินใจว่าควรแวะที่ Bald Mountains
เขาสั่งให้ขี่ม้าและจากการเปลี่ยนผ่านขี่ม้าไปยังหมู่บ้านของบิดาซึ่งเขาเกิดและใช้ชีวิตในวัยเด็ก เมื่อขับรถผ่านสระน้ำซึ่งมีผู้หญิงหลายสิบคนพูดคุยกันอยู่เสมอ ตีลูกกลิ้งและซักผ้า เจ้าชาย Andrei สังเกตเห็นว่าไม่มีใครอยู่ในสระน้ำ และแพฉีกขาดซึ่งเต็มไปด้วยน้ำครึ่งหนึ่งลอยไปด้านข้างตรงกลาง บ่อน้ำ. เจ้าชายอังเดรขับรถไปที่ประตูเมือง ไม่มีใครอยู่ที่ประตูทางเข้าหินและประตูก็ปลดล็อคแล้ว ทางเดินในสวนรกไปแล้ว และลูกวัวและม้าก็เดินไปรอบๆ สวนอังกฤษ เจ้าชายอังเดรขับรถขึ้นไปที่เรือนกระจก กระจกแตก ต้นไม้บางต้นในอ่างก็ล้มลง บางต้นก็เหี่ยวเฉา เขาเรียกคนสวนทาราส ไม่มีใครตอบกลับ เมื่อเดินไปรอบๆ เรือนกระจกเพื่อชมนิทรรศการ เขาเห็นว่ารั้วไม้แกะสลักพังไปหมด และผลบ๊วยก็ถูกฉีกออกจากกิ่ง ชายชราคนหนึ่ง (เจ้าชาย Andrei เห็นเขาที่ประตูเมื่อตอนเป็นเด็ก) นั่งและทอรองเท้าบาสบนม้านั่งสีเขียว
เขาหูหนวกและไม่ได้ยินเสียงทางเข้าของเจ้าชายอังเดร เขานั่งอยู่บนม้านั่งที่เจ้าชายเฒ่าชอบนั่ง และมีกิ่งไม้แมกโนเลียที่หักและแห้งแขวนอยู่ใกล้เขา
เจ้าชายอังเดรขับรถไปที่บ้าน ต้นไม้ดอกเหลืองหลายต้นในสวนเก่าถูกตัดลง มีม้าลายตัวหนึ่งกับลูกเดินไปหน้าบ้านระหว่างต้นกุหลาบ บ้านถูกปิดด้วยบานประตูหน้าต่าง หน้าต่างชั้นล่างบานหนึ่งเปิดอยู่ เด็กสนามเห็นเจ้าชายอังเดรจึงวิ่งเข้าไปในบ้าน
Alpatych หลังจากส่งครอบครัวของเขาออกไปแล้วยังคงอยู่คนเดียวในเทือกเขาบอลด์ เขานั่งอยู่ที่บ้านและอ่านชีวิต เมื่อได้เรียนรู้เกี่ยวกับการมาถึงของเจ้าชาย Andrey เขาสวมแว่นตาที่จมูกติดกระดุมออกจากบ้านรีบเข้าไปหาเจ้าชายและเริ่มร้องไห้โดยไม่พูดอะไรจูบเจ้าชาย Andrey ที่เข่า

การพิจารณาความเท่าเทียมกัน (ความคี่) มักใช้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (ทั้งระดับประถมศึกษาและ "ขั้นสูง") บทความนี้กล่าวถึงแนวทางในการแก้ไขปัญหาดังกล่าว

เราจะเริ่มต้นด้วยตัวอย่างที่ง่ายที่สุด และในส่วนสุดท้ายเราจะพิจารณางาน "โอลิมปิก" หลายประการ ซึ่งการพิจารณาเรื่องความเท่าเทียมกันจะช่วยเรา

เลขคู่และเลขคี่ ข้อมูลเบื้องต้น

ในบทความนี้เราจะพิจารณาตัวเลขธรรมชาติหรือจำนวนเต็มเป็นหลัก ฉันขอเตือนคุณว่ามีการเรียกตัวเลขแม้ว่าจะหารด้วย 2 ลงตัวก็ตาม กล่าวอีกนัยหนึ่ง เลขคู่ใดๆ n สามารถแสดงเป็น n = 2k โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม และเลขคี่ใดๆ สามารถแทนด้วย n = 2k + 1 (หรือ n = 2k - 1) แน่นอนว่าศูนย์จะถือเป็นเลขคู่

ตัวอย่างที่ 1. แสดงตัวเลข 34 และ 171 เป็น 2k หรือ 2k + 1 โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

34 = 2 17 (34 เป็นเลขคู่); 171 = 2 85 + 1 (171 เป็นเลขคี่)

แบบฝึกหัดที่ 1. เขียนตัวเลข 68, 133, -2246 และ -8977 เป็น 2k หรือ 2k+1 โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

ภารกิจที่ 2. ลองนึกภาพเลข 18 เป็น: ก) ผลรวมของเลขคู่สองตัว ข) ผลรวมของเลขคี่สองตัว เป็นไปได้ไหมที่จะได้ 18 ด้วยการบวกเลขคู่และเลขคี่?

ภารกิจที่ 3. ลองนึกภาพเลข 24 เป็น: ก) ผลคูณของเลขคู่สองตัว b) ผลคูณของเลขคู่และเลขคี่ เป็นไปได้ไหมที่จะได้ 24 โดยการคูณเลขคี่สองตัว?

ผลรวม ผลคูณ ผลหารของเลขคู่ (คี่)

คำชี้แจง 1. ผลรวมของเลขคู่สองตัวเป็นเลขคู่

การพิสูจน์. ให้ตัวเลข m และ n เป็นเลขคู่ ให้เราพิสูจน์ว่าจำนวน r = m + n ก็เป็นเลขคู่เช่นกัน m=2k, n=2p โดยที่ k และ p เป็นจำนวนเต็ม จากนั้น r = m + n = 2k + 2p = 2(k + p) = 2s ถ้าตัวเลข k และ p เป็นจำนวนเต็ม ผลรวมของ s จะเป็นจำนวนเต็มด้วย เราได้พิสูจน์แล้วว่าจำนวน r สามารถแสดงเป็นผลคูณของสองและจำนวนเต็มได้ หลักฐานเสร็จสมบูรณ์

คำชี้แจง 2. ผลรวมของเลขคี่สองตัวเป็นเลขคู่ พิสูจน์ด้วยตัวคุณเอง

คำชี้แจง 3. ผลรวมของเลขคู่และเลขคี่จะเป็นเลขคี่ พิสูจน์ด้วยตัวคุณเอง

คำชี้แจง 4. ผลคูณของเลขคี่สองตัวคือเลขคี่

การพิสูจน์. ให้ตัวเลข m และ n เป็นเลขคี่ ให้เราพิสูจน์ว่าตัวเลข r = m n ก็เป็นเลขคี่เช่นกัน
m = 2k + 1, n = 2p + 1 โดยที่ k และ p เป็นจำนวนเต็ม
จากนั้น r = m n = (2k+1) (2p+1) = 4kp + 2k + 2p + 1 = 2(2kp + k + p) + 1 = 2s + 1

ถ้าตัวเลข k และ p เป็นจำนวนเต็ม แล้วตัวเลข s = 2kp + k + p ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน
เราได้พิสูจน์แล้วว่าจำนวน r สามารถแสดงเป็น r = 2s + 1 ดังนั้นจึงเป็นเลขคี่ ฯลฯ

คำชี้แจงที่ 5. ผลคูณของเลขคู่สองตัวคือเลขคู่ พิสูจน์ด้วยตัวคุณเอง

คำชี้แจง 6. ผลคูณของเลขคู่และเลขคี่คือเลขคู่ พิสูจน์ด้วยตัวคุณเอง

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราหารจำนวนคู่ด้วยจำนวนคู่ (ไม่เท่ากับศูนย์)? เราได้อะไร: คู่หรือคี่? แน่นอนว่าไม่สามารถให้คำตอบที่ชัดเจนได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อหาร 12 ด้วย 4 เราจะได้ผลลัพธ์เป็นคี่ และเมื่อหาร 32 ด้วย 4 เราจะได้ผลลัพธ์เป็นคู่

หากคุณเบื่อแล้วไปที่ตอนที่ 2 ของบทความ จากนั้นคุณสามารถกลับมาได้ตลอดเวลา หากโครงสร้างทางทฤษฎีเหล่านี้ไม่ทำให้คุณเบื่อเกินไป เรามาทำต่อกันดีกว่า

เพราะเหตุใดเราจึงพิจารณาเพียงตัวเลขสองตัวเท่านั้น? มาคิดให้ใหญ่ขึ้นกันเถอะ!

คำชี้แจงที่ 7. ผลรวมของจำนวนคู่ใดๆ จะเป็นเลขคู่

การพิสูจน์. ให้ตัวเลข M 1, M 2, ..., M N เป็นเลขคู่ จากนั้นจึงสามารถแสดงเป็น 2K 1, 2K 2, ..., 2K N โดยที่ K 1, K 2, ..., K N เป็นจำนวนเต็ม .

จากนั้น: M 1 + M 2 + ... + M N = 2K 1 + 2K 2 + ... + 2K N = 2(K 1 + K 2 + ... + K N) = 2S โดยที่ S เป็นจำนวนเต็ม ความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำชี้แจงที่ 8. ผลรวมของเลขคู่ของเลขคี่เป็นเลขคู่ ผลบวกของเลขคี่ของเลขคี่เป็นเลขคี่ พิสูจน์ด้วยตัวคุณเอง

คำชี้แจงที่ 9. สินค้าจะเป็นเลขคี่ได้ก็ต่อเมื่อตัวประกอบทั้งหมดเป็นเลขคี่ พิสูจน์ด้วยตัวคุณเอง

ดังนั้น ผลรวม 2+4+6+...+1022+1024 จึงเป็นเลขคู่ เนื่องจากทุกพจน์เป็นเลขคู่ ผลรวม 1+3+5+7+9 เป็นเลขคี่เพราะมีพจน์คี่ 5 พจน์ ผลคูณ 2*3*4*...*1001*1002 เป็นค่าคู่หากเพียงเหตุผลที่ปัจจัยแรกเป็นเลขคู่เท่านั้น

ภารกิจที่ 4. นิพจน์ต่อไปนี้จะเป็นเลขคู่หรือคี่: a) 2+12+22+...+1002+1012+1022, b) 1+11+111+...+111111+1111111, c) 3*13*23 *. ..*10003*10013*10023, ง) 2*3*4*...*12357891 ?

ภารกิจที่ 5. พิสูจน์ว่าผลคูณของจำนวนเฉพาะทุกตัวไม่เกิน 1,000,000 เป็นเลขคู่ พิสูจน์ว่าผลคูณของจำนวนเฉพาะใดๆ ซึ่งแต่ละตัวมีค่ามากกว่า 100 เป็นจำนวนคี่ ฉันขอเตือนคุณว่าจำนวนธรรมชาติเรียกว่าจำนวนเฉพาะหากหารด้วยตัวมันเองและ 1 ลงตัวเท่านั้น

และอีกครั้งเกี่ยวกับผลรวมและผลิตภัณฑ์

ตัวอย่างที่ 2. Petya นักคณิตศาสตร์หนุ่มบวกผลรวมของจำนวนเต็มสองตัวกับผลคูณของมัน เขาอ้างว่าเขาได้หมายเลข 56792 เป็นไปได้ไหมถ้ารู้ว่าตัวเลขเดิมอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นเลขคี่?

สารละลาย. สมมติว่าตัวเลขเริ่มต้นเป็น A และ B แน่นอนว่ามี 4 ตัวเลือกที่เป็นไปได้:

• A และ B เป็นเลขคู่ (แต่กรณีนี้ไม่ถือเป็นปัญหา)
• A และ B เป็นเลขคี่
• A เป็นเลขคู่ และ B เป็นเลขคี่
• A เป็นเลขคี่ B เป็นเลขคู่

โดยหลักการแล้ว สองกรณีหลังอาจรวมกันได้อย่างไม่ลำบาก แต่สำหรับเราแล้ว เรื่องนี้ไม่สำคัญแล้ว ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราพบทุกอย่างเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของผลรวมและผลิตภัณฑ์ ตอนนี้เรามาทำตารางกันดีกว่า ในสองคอลัมน์แรกเราระบุความเท่าเทียมกันของตัวเลข A และ B ในคอลัมน์ที่ 3 - ความเท่าเทียมกันของผลรวมในคอลัมน์ที่ 4 ความเท่าเทียมกันของผลิตภัณฑ์ในวันที่ 5 - ความเท่าเทียมกันของตัวเลขสุดท้าย

ก	บี	เอ+บี	เอบี	(เอ+บี) + เอบี
ชม	ชม	ชม	ชม	ชม
เอ็น	เอ็น	ชม	เอ็น	เอ็น
ชม	เอ็น	เอ็น	ชม	เอ็น
เอ็น	ชม	เอ็น	ชม	เอ็น

ในทุกกรณี (ยกเว้นกรณีแรก) ที่เราได้รับ แปลกผลลัพธ์!

อย่างไรก็ตาม Petya เพื่อนสาวของเราอ้างว่าเขาได้เลขคู่ เราได้พิสูจน์แล้วว่าสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ เพ็ญญ่าคิดผิด

ภารกิจที่ 6. Masha นักคณิตศาสตร์หนุ่มคูณผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวด้วยผลรวม เธออ้างว่าหมายเลขกลายเป็น 89999719 Masha ใช่ไหม?

ภารกิจที่ 7. Petya นักคณิตศาสตร์หนุ่มอ้างว่าเมื่อบวกจำนวนเต็มสองตัวเขาได้ 927 และเมื่อคูณ - 6321 เป็นไปได้ไหม? อธิบายคำตอบของคุณ.

ฉันรู้ว่าส่วนแรกของบทความอาจดูค่อนข้างน่าเบื่อและน่าเบื่อสำหรับผู้อ่าน น่าเสียดายที่เป็นไปไม่ได้หากไม่มีแนวคิดพื้นฐานที่ "น่าเบื่อ" เหล่านี้ ฉันสัญญาว่าต่อไปจะน่าสนใจกว่านี้มาก