สามเหลี่ยมเฉียบพลัน สามเหลี่ยมเฉียบพลัน วิธีการหาสามเหลี่ยมเฉียบพลันจากด้านข้าง

สามเหลี่ยมมุมฉากที่ด้านทุกด้านยาวไม่เท่ากันมักเรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก อเนกประสงค์.

สามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้านแสดงว่าเป็น หน้าจั่ว. มักจะเรียกว่าด้านที่เหมือนกัน ด้านข้าง, บุคคลที่สาม - พื้นฐานคำจำกัดความต่อไปนี้จะเป็นจริงอย่างเท่าเทียมกัน ฐานสามเหลี่ยมคือด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ไม่เท่ากับอีกสองด้านที่เหลือ

ใน สามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมที่ฐานจะเท่ากัน ส่วนสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐานอยู่ในแนวเดียวกัน

สามเหลี่ยมโดยมีด้านเท่ากันทุกด้านแสดงว่าเป็น ด้านเท่ากันหมดหรือ ถูกต้อง. ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มุมทั้งหมดจะมีขนาด 60° และจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นจารึกและวงกลมที่มีเส้นล้อมรอบจะอยู่ในแนวเดียวกัน

ประเภทของรูปสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของมุม

รูปสามเหลี่ยมซึ่งเรียกเฉพาะมุมที่น้อยกว่า 90 0 (เฉียบพลัน) มุมแหลม.

สามเหลี่ยมที่มีมุม 90 0 เรียกว่า สี่เหลี่ยม. ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมที่ประกอบเป็นมุมฉากมักจะถูกกำหนดไว้ ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก.

เมื่อเรียนคณิตศาสตร์ นักเรียนจะเริ่มคุ้นเคยกับรูปทรงเรขาคณิตประเภทต่างๆ วันนี้เราจะมาพูดถึงสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ

คำนิยาม

รูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยจุดสามจุดที่ไม่อยู่ในเส้นเดียวกันเรียกว่ารูปสามเหลี่ยม

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดต่างๆ เรียกว่าด้าน และจุดต่างๆ เรียกว่าจุดยอด จุดยอดถูกกำหนดด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C

ด้านข้างถูกกำหนดโดยชื่อของจุดสองจุดซึ่งประกอบด้วย - AB, BC, AC ตัดกันด้านข้างทำให้เกิดมุม ด้านล่างถือเป็นฐานของรูป

ข้าว. 1. สามเหลี่ยมเอบีซี

ประเภทของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมแบ่งตามมุมและด้าน สามเหลี่ยมแต่ละประเภทมีคุณสมบัติของตัวเอง

ที่มุมมีสามเหลี่ยมสามประเภท:

• มุมแหลม;
• สี่เหลี่ยม;
• มุมป้าน

ทุกมุม มุมแหลมสามเหลี่ยมเป็นแบบเฉียบพลัน คือ องศาที่วัดได้แต่ละอันไม่เกิน 90 0

สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมมีมุมฉาก อีกสองมุมที่เหลือจะเป็นมุมแหลมเสมอ เพราะไม่เช่นนั้นผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะเกิน 180 องศา ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก และอีกสองด้านเรียกว่าขา ด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดใหญ่กว่าขาเสมอ

ป้านสามเหลี่ยมมีมุมป้าน นั่นคือมุมที่มากกว่า 90 องศา อีกสองมุมในรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวจะเป็นมุมแหลม

ข้าว. 2. ประเภทของรูปสามเหลี่ยมที่มุม

สามเหลี่ยมพีทาโกรัส คือ สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านเป็น 3, 4, 5

ยิ่งกว่านั้น ด้านที่ใหญ่กว่าคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

สามเหลี่ยมดังกล่าวมักใช้เพื่อสร้างปัญหาง่ายๆ ในเรขาคณิต ดังนั้น จำไว้ว่า: หากด้านสองด้านของสามเหลี่ยมเท่ากับ 3 ด้านที่สามจะเป็น 5 แน่นอน ซึ่งจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

ประเภทของรูปสามเหลี่ยมด้านข้าง:

• ด้านเท่ากันหมด;
• หน้าจั่ว;
• อเนกประสงค์

ด้านเท่ากันหมดสามเหลี่ยมคือสามเหลี่ยมที่ทุกด้านเท่ากัน ทุกมุมของสามเหลี่ยมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ 60 0 นั่นคือมุมแหลมเสมอ

หน้าจั่วสามเหลี่ยม - สามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันเพียงสองด้าน ด้านเหล่านี้เรียกว่าด้านข้าง และด้านที่สามเรียกว่าฐาน นอกจากนี้ มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากันและแหลมเสมอ

อเนกประสงค์หรือรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจคือรูปสามเหลี่ยมที่ความยาวและมุมทั้งหมดไม่เท่ากัน

หากปัญหาไม่มีการชี้แจงใด ๆ เกี่ยวกับรูปนี้ ก็เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าเรากำลังพูดถึงรูปสามเหลี่ยมตามใจชอบ

ข้าว. 3. ประเภทของรูปสามเหลี่ยมด้านข้าง

ผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยม ไม่ว่าจะเป็นมุมใดก็ตาม คือ 1800

ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่กว่าคือด้านที่ใหญ่กว่า และความยาวของด้านใดๆ จะน้อยกว่าผลรวมของด้านอีกสองด้านเสมอ คุณสมบัติเหล่านี้ได้รับการยืนยันโดยทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยม

มีแนวคิดเป็นรูปสามเหลี่ยมทองคำ นี่คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งด้านทั้งสองเป็นสัดส่วนกับฐานและเท่ากับจำนวนหนึ่ง ในรูปดังกล่าว มุมจะเป็นสัดส่วนกับอัตราส่วน 2:2:1

งาน:

มีสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็น 6 ซม., 3 ซม., 4 ซม. หรือไม่?

สารละลาย:

เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องใช้อสมการ a

เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

จากเนื้อหาจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 นี้ เราได้เรียนรู้ว่ารูปสามเหลี่ยมถูกจำแนกตามด้านและขนาดของมุม สามเหลี่ยมมีคุณสมบัติบางอย่างที่สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาได้

วันนี้เราจะไปที่ดินแดนแห่งเรขาคณิตซึ่งเราจะมาทำความรู้จักกับสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ

พิจารณารูปทรงเรขาคณิตและค้นหา "ส่วนเกิน" หนึ่งในนั้น (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ตัวอย่างภาพประกอบ

เราจะเห็นว่าตัวเลขหมายเลข 1, 2, 3, 5 เป็นรูปสี่เหลี่ยม แต่ละคนมีชื่อของตัวเอง (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. รูปสี่เหลี่ยม

ซึ่งหมายความว่ารูป “พิเศษ” เป็นรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 3)

ข้าว. 3. ตัวอย่างภาพประกอบ

รูปสามเหลี่ยมคือรูปที่ประกอบด้วยจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกันและมีสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่กัน

จุดที่เรียกว่า จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเซ็กเมนต์ - ของเขา ฝ่าย. ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม มีมุมสามมุมที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม

ลักษณะสำคัญของรูปสามเหลี่ยมคือ สามด้านและสามมุมตามขนาดของมุม สามเหลี่ยมก็คือ แหลม เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และป้าน

รูปสามเหลี่ยมจะเรียกว่ามุมแหลมถ้ามุมทั้งสามมุมเป็นแบบเฉียบพลัน ซึ่งก็คือ น้อยกว่า 90° (รูปที่ 4)

ข้าว. 4. สามเหลี่ยมเฉียบพลัน

สามเหลี่ยมจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้ามุมหนึ่งของมันคือ 90° (รูปที่ 5)

ข้าว. 5. สามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมจะเรียกว่าป้านหากมุมหนึ่งของมันเป็นป้าน นั่นคือ มากกว่า 90° (รูปที่ 6)

ข้าว. 6. สามเหลี่ยมป้าน

ขึ้นอยู่กับจำนวนของด้านที่เท่ากัน สามเหลี่ยมจะมีด้านเท่ากันหมด หน้าจั่ว และด้านไม่เท่า

สามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านเท่ากัน (รูปที่ 7)

ข้าว. 7. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ด้านเหล่านี้เรียกว่า ด้านข้าง, ด้านที่สาม - พื้นฐาน. ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมฐานจะเท่ากัน

มีสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เฉียบพลันและป้าน(รูปที่ 8) .

ข้าว. 8. สามเหลี่ยมหน้าจั่วเฉียบพลันและป้าน

สามเหลี่ยมด้านเท่าคือสามเหลี่ยมที่ด้านทั้งสามเท่ากัน (รูปที่ 9)

ข้าว. 9. สามเหลี่ยมด้านเท่า

ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ทุกมุมเท่ากัน. สามเหลี่ยมด้านเท่าเสมอ มุมแหลม

สามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากันคือด้านที่ทั้งสามด้านมีความยาวต่างกัน (รูปที่ 10)

ข้าว. 10. สามเหลี่ยมสเกลลีน

ทำงานให้เสร็จ กระจายสามเหลี่ยมเหล่านี้ออกเป็นสามกลุ่ม (รูปที่ 11)

ข้าว. 11. ภาพประกอบสำหรับงาน

ก่อนอื่น เรามากระจายตามขนาดของมุมกันก่อน

สามเหลี่ยมเฉียบพลัน: หมายเลข 1, หมายเลข 3

สามเหลี่ยมมุมฉาก: หมายเลข 2, หมายเลข 6

สามเหลี่ยมป้าน: หมายเลข 4, หมายเลข 5

เราจะกระจายสามเหลี่ยมเดียวกันออกเป็นกลุ่มๆ ตามจำนวนด้านที่เท่ากัน

สามเหลี่ยมมาตราส่วน: หมายเลข 4, หมายเลข 6

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว: หมายเลข 2, หมายเลข 3, หมายเลข 5

สามเหลี่ยมด้านเท่า: หมายเลข 1

ดูที่ภาพ.

ลองนึกดูว่าสามเหลี่ยมแต่ละอันทำจากลวดชนิดใด (รูปที่ 12)

ข้าว. 12. ภาพประกอบสำหรับงาน

คุณสามารถคิดแบบนี้ได้

เส้นลวดชิ้นแรกแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน คุณจึงสามารถสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ เขาแสดงที่สามในภาพ

ลวดชิ้นที่สองแบ่งออกเป็นสามส่วนที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงสามารถนำมาใช้ทำรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าได้ มันถูกแสดงเป็นอันดับแรกในภาพ

ลวดชิ้นที่สามแบ่งออกเป็นสามส่วน โดยที่ทั้งสองส่วนมีความยาวเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสามารถสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ ในภาพเขาแสดงให้เห็นที่สอง

วันนี้ในชั้นเรียนเราเรียนรู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ

บรรณานุกรม

1. มิ.ย. โมโร, MA บันโตวา และคณะ คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3: มี 2 ส่วน ตอนที่ 1 - อ.: “การตรัสรู้”, 2555
2. มิ.ย. โมโร, MA บันโตวา และคณะ คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3: ใน 2 ส่วน ตอนที่ 2 - อ.: “การตรัสรู้”, 2555
3. มิ.ย. โมโร บทเรียนคณิตศาสตร์: คำแนะนำด้านระเบียบวิธีสำหรับครู ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2555.
4. เอกสารกำกับดูแล การติดตามและประเมินผลการเรียนรู้ - อ.: “การตรัสรู้”, 2554.
5. “ School of Russia”: โปรแกรมสำหรับโรงเรียนประถมศึกษา - อ.: “การตรัสรู้”, 2554.
6. เอสไอ โวลโควา คณิตศาสตร์: เอกสารทดสอบ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2555.
7. วี.เอ็น. รุดนิทสกายา. การทดสอบ - อ.: “สอบ”, 2555.

1. Nsportal.ru ()
2. Prosv.ru ()
3. Do.gendocs.ru ()

การบ้าน

1. เติมวลีให้สมบูรณ์

ก) รูปสามเหลี่ยมคือรูปที่ประกอบด้วย ... ซึ่งไม่อยู่ในเส้นเดียวกัน และ ... ที่เชื่อมจุดเหล่านี้เป็นคู่กัน

b) แต้มถูกเรียก … เซ็กเมนต์ - ของเขา … . ด้านของรูปสามเหลี่ยมก่อตัวที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ….

c) ตามขนาดของมุม รูปสามเหลี่ยมคือ ... , ... , ... .

d) ขึ้นอยู่กับจำนวนด้านที่เท่ากัน รูปสามเหลี่ยมคือ ... , ... , ... .

2. วาด

ก) สามเหลี่ยมมุมฉาก;

b) สามเหลี่ยมเฉียบพลัน;

c) สามเหลี่ยมป้าน;

d) สามเหลี่ยมด้านเท่า;

e) สามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากัน;

e) สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

3. สร้างงานมอบหมายในหัวข้อบทเรียนให้เพื่อนของคุณ

รูปสามเหลี่ยมคือรูปที่ประกอบด้วยจุดสามจุดเชื่อมต่อถึงกัน รูปสามเหลี่ยมสามารถเป็นได้ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับมุม:

• สี่เหลี่ยมถ้ามุมใดมุมหนึ่งเป็น 90 องศา
• ป้านถ้ามุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมป้าน เช่น มากกว่า 90 องศา;
• มุมแหลมถ้าทุกมุมของสามเหลี่ยมเป็นมุมแหลม

ในการแก้ปัญหาสามเหลี่ยมเฉียบพลัน คุณมักจะต้องใช้ทฤษฎีบทไซน์หรือโคไซน์

แม้แต่ในสมัยกรีกโบราณ นักคณิตศาสตร์ยังศึกษาสามเหลี่ยมอีกด้วย ชาวกรีกเป็นผู้พัฒนารากฐานของเรขาคณิตสมัยใหม่ซึ่งรวมถึงทฤษฎีบทมากมายเกี่ยวกับสามเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น ผู้เขียนทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาจากกรีกโบราณ

ลักษณะเฉพาะ

ในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน แต่ละมุมจะน้อยกว่า 90 องศา แต่ผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับ 180 เสมอ ในรูปใดๆ จุดยอดจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่

องค์ประกอบหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมพร้อมกับด้านข้างและมุมคือมุมภายนอก มุมภายนอกคือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมใดๆ มีมุมภายนอก 6 มุม โดยมุมภายในแต่ละมุมมี 2 มุม มุมภายนอกของสามเหลี่ยมมุมแหลมจะเป็นมุมป้านเสมอ

เส้นของสามเหลี่ยมเฉียบพลัน

สามเหลี่ยมเฉียบพลันมีคุณสมบัติหลายประการ

ค่ามัธยฐานจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวด้านข้างของรูปทรงเรขาคณิตที่ลดระดับลง ยิ่งไปกว่านั้น ส่วนนี้สามารถดึงมาจากจุดยอดใดก็ได้

ข้าว. 1. ค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม

เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าคุณวาดระดับความสูงสามจุดในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม พวกมันจะตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ ส่วนเหล่านี้จะลดลงที่มุมขวาไปยังด้านตรงข้าม ระดับความสูงในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลันจะแบ่งรูปนี้ออกเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ข้าว. 2. ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม

เส้นแบ่งครึ่งในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลันไม่เพียงแต่แบ่งครึ่งมุมเท่านั้น ส่วนเหล่านี้ตัดกันที่จุดที่เป็นศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

นอกจากนี้ เส้นแบ่งครึ่งยังแบ่งด้านข้างของสามเหลี่ยมเฉียบพลันออกเป็นสองส่วน ซึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านที่ตรงกัน ต้องจำคำสั่งนี้เพื่อแก้ไขปัญหาบางอย่าง

ข้าว. 3. เส้นแบ่งครึ่งในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน

คุณสมบัติ

หากเรารวมค่าตัวเลขของสองด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมเฉียบพลัน เราจะได้ตัวเลขที่มากกว่าส่วนที่สามของรูปทรงเรขาคณิตนี้อย่างแน่นอน

เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของรูปนี้ และเท่ากับครึ่งหนึ่งของครึ่งหนึ่ง

เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

ในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน แต่ละมุมจะน้อยกว่า 90 องศา ผลรวมของมุมตรงนี้คือ 180 องศาเช่นกัน เราต้องไม่ลืมเกี่ยวกับเส้นลักษณะของรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะคำนวณด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดหรือจุดศูนย์กลางของวงกลมบางวง และหากมีการระบุมุมในเงื่อนไขของปัญหาเรขาคณิต คุณสามารถใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติได้

ทดสอบในหัวข้อ

การให้คะแนนบทความ

คะแนนเฉลี่ย: 4.5. คะแนนรวมที่ได้รับ: 114

สามเหลี่ยม . สามเหลี่ยมเฉียบพลัน ป้าน และสามเหลี่ยมมุมฉาก

ขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก หน้าจั่วและสามเหลี่ยมด้านเท่า

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

เส้นและจุดที่โดดเด่นในรูปสามเหลี่ยม: ความสูง, ค่ามัธยฐาน,

เส้นแบ่งครึ่ง, ค่ามัธยฐานจ ตั้งฉาก,

จุดศูนย์ถ่วง, จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขต, ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดไว้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส อัตราส่วนภาพในรูปสามเหลี่ยมใดๆ

สามเหลี่ยม คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน (หรือสามมุม) ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมักระบุด้วยตัวอักษรตัวเล็กที่ตรงกับตัวพิมพ์ใหญ่ที่แสดงถึงจุดยอดตรงข้าม

หากมุมทั้งสามเป็นแบบเฉียบพลัน (รูปที่ 20) แสดงว่าเป็นเช่นนั้น สามเหลี่ยมเฉียบพลัน . หากมุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง(C, รูปที่ 21), นั่นคือ สามเหลี่ยมมุมฉาก; ด้านข้างก, ขเรียกว่าสร้างเป็นมุมฉาก ขา; ด้านข้างคตรงข้ามมุมขวาเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก. ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่งมุมป้าน (B, รูปที่ 22), นั่นคือ สามเหลี่ยมป้าน


สามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 23) - หน้าจั่ว, ถ้า สองด้านของมันเท่ากัน (ก= ค); ด้านที่เท่ากันเหล่านี้เรียกว่า ด้านข้างบุคคลที่สามเรียกว่า พื้นฐานสามเหลี่ยม. สามเหลี่ยมเอบีซี (รูปที่ 24) – ด้านเท่ากันหมด, ถ้า ทั้งหมดด้านของมันเท่ากัน (ก = ข = ค). โดยทั่วไป ( ก ≠ ข ≠ ค) เรามี ย้วยสามเหลี่ยม .

คุณสมบัติพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยม ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ:

1. ตรงข้ามกับด้านที่ใหญ่กว่าคือมุมที่ใหญ่กว่า และในทางกลับกัน

2. มุมที่เท่ากันอยู่ตรงข้ามกับด้านที่เท่ากัน และในทางกลับกัน

โดยเฉพาะทุกมุมใน ด้านเท่ากันหมดสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากัน

3. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 º .

จากคุณสมบัติสองประการสุดท้ายจะตามมาว่าทุกมุมในด้านเท่ากันหมด

สามเหลี่ยมคือ 60 º.

4. ดำเนินการต่อด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม (AC, รูปที่ 25) เราได้รับ ภายนอก

มุมบีซีดี . มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายใน

ไม่ได้อยู่ติดกับมัน : บีซีดี = เอ + บี

5. ใดๆ ด้านของรูปสามเหลี่ยมน้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้านและมากกว่า

ความแตกต่างของพวกเขา (ก < ข + ค, ก > ข – ค;ข < ก + ค, ข > ก – ค;ค < ก + ข,ค > ก – ข).

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมจะเท่ากันทุกประการหากเท่ากันตามลำดับ:

ก ) สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา

ข ) สองมุมและด้านที่อยู่ติดกัน

c) สามด้าน

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สอง สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมจะเท่ากันหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

1) ขาของพวกเขาเท่ากัน

2) ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง

3) ด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง

4) ขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง

5) ขาและมุมแหลมตรงข้ามของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับขาและ มุมแหลมตรงข้ามของอีกมุมหนึ่ง

เส้นและจุดมหัศจรรย์ในรูปสามเหลี่ยม

ความสูง สามเหลี่ยมคือตั้งฉาก,ลดลงจากจุดยอดใดๆ ไปยังด้านตรงข้าม ( หรือความต่อเนื่องของมัน). ด้านนี้เรียกว่าฐานของรูปสามเหลี่ยม . ระดับความสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมจะตัดกันเสมอณ จุดหนึ่ง, เรียกว่า ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์สามเหลี่ยม. ศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของสามเหลี่ยมมุมแหลม (จุดที่โอ , รูปที่ 26) ตั้งอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม และศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของสามเหลี่ยมป้าน (จุดที่โอ , รูปที่ 27) – ข้างนอก; จุดออร์โธเซนเตอร์ของสามเหลี่ยมมุมฉากเกิดขึ้นพร้อมกับจุดยอดของมุมขวา

ค่ามัธยฐาน - นี้ ส่วนของเส้น เป็นการต่อจุดยอดใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมเข้ากับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ค่ามัธยฐานสามค่าของรูปสามเหลี่ยม (โฆษณา พ.ศ. CF รูปที่ 28) ตัดกันที่จุดหนึ่ง โอ นอนอยู่ในสามเหลี่ยมเสมอและเป็นของเขา จุดศูนย์ถ่วง. จุดนี้แบ่งค่ามัธยฐานแต่ละค่าในอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากจุดยอด

แบ่งครึ่ง - นี้ ส่วนเส้นแบ่งครึ่งมุมจากจุดยอดถึงจุด ทางแยกกับฝั่งตรงข้าม เส้นแบ่งครึ่งสามอันของสามเหลี่ยม (โฆษณา พ.ศ. CF รูปที่ 29) ตัดกันที่จุดหนึ่ง โอ้ มักจะนอนอยู่ในสามเหลี่ยมเสมอและ สิ่งมีชีวิต ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้(ดูหัวข้อ “จารึกไว้และรูปหลายเหลี่ยมที่จำกัดขอบเขต")

เส้นแบ่งครึ่งแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นส่วนๆ ตามสัดส่วนของด้านที่อยู่ติดกัน ; ตัวอย่างเช่นในรูปที่ 29 TH: CE = AB: ก่อนคริสต์ศักราช

ค่ามัธยฐานตั้งฉาก เป็นเส้นตั้งฉากจากตรงกลางจุดแบ่งส่วน (ด้านข้าง) เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสามเส้นของสามเหลี่ยม ABC(KO, MO, NO, รูปที่ 30 ) ตัดกันที่จุดหนึ่ง O ซึ่งก็คือ ศูนย์ วงกลมที่ล้อมรอบ (คะแนน K, M, N – จุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเอบีซี)

ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม จุดนี้อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม ป้าน - ภายนอก; เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า - ตรงกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก ออร์โธเซ็นเตอร์ จุดศูนย์ถ่วง ศูนย์กลางเส้นรอบวง และวงกลมที่จารึกไว้ ตรงกันเฉพาะในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้น

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หมายถึง กำลังสองของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นไปตามอย่างชัดเจนจากรูปที่ 31 พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากเอบีซีมีขา ก, ขและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

มาสร้างสี่เหลี่ยมกันเถอะเอเคบี โดยใช้ด้านตรงข้ามมุมฉากเอบี เป็นด้านข้าง แล้วดำเนินการต่อด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากเอบีซี เพื่อให้ได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสซีดีอีเอฟ ซึ่งมีด้านเท่ากันก + ข .ตอนนี้ก็ชัดเจนว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส CDEF เท่ากับ ( ก+ข) 2 . ในทางกลับกันนี้ พื้นที่เท่ากับผลรวมพื้นที่ สามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันและจตุรัส AKMB นั่นคือ

ค 2 + 4 (เกี่ยวกับ / 2) = ค 2 + 2 เกี่ยวกับ

จากที่นี่,

ค 2 + 2 เกี่ยวกับ= (ก+ข) 2 ,

และในที่สุดเราก็มี:

ค 2 =ก 2 +ข 2 .

อัตราส่วนภาพในรูปสามเหลี่ยมใดๆ

ในกรณีทั่วไป (สำหรับรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ) เรามี:

ค 2 =ก 2 +ข 2 – 2เกี่ยวกับ· เพราะ ค,

ที่ไหน C – มุมระหว่างด้านกและ ข .