แก้ปัญหาด้วยวิธีการของ Cramer ทางออนไลน์ด้วยวิธีแก้ปัญหาแบบละเอียด สมการเชิงเส้น การแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการของแครมเมอร์ ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

เพื่อที่จะเชี่ยวชาญในย่อหน้านี้ คุณจะต้องสามารถเปิดรอบคัดเลือก "สองต่อสอง" และ "สามต่อสาม" ได้ ถ้ารอบคัดเลือกไม่ดี โปรดศึกษาบทเรียน วิธีการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์?

ก่อนอื่นเราพิจารณากฎของแครมเมอร์โดยละเอียดสำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในสองค่าที่ไม่ทราบค่า เพื่ออะไร? “ท้ายที่สุด ระบบที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้โดยวิธีการของโรงเรียน โดยการเพิ่มภาคการศึกษา!

ความจริงก็คือแม้ว่าบางครั้ง แต่ก็มีงานดังกล่าว - เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีสองไม่ทราบค่าโดยใช้สูตรของแครมเมอร์ ประการที่สอง ตัวอย่างที่ง่ายกว่าจะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีใช้กฎของแครมเมอร์สำหรับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น - ระบบสามสมการที่มีสามไม่ทราบค่า

นอกจากนี้ยังมีระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว ซึ่งแนะนำให้แก้ตามกฎของแครมเมอร์!

พิจารณาระบบสมการ

ขั้นแรก เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ เรียกว่า ตัวกำหนดหลักของระบบ.

วิธีเกาส์

ถ้า ระบบมีคำตอบเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อีกสองตัว:
และ

ในทางปฏิบัติ ตัวระบุข้างต้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินได้เช่นกัน

รากของสมการหาได้จากสูตร:
,

ตัวอย่าง 7

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

วิธีการแก้: เราเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการค่อนข้างใหญ่ ทางด้านขวามีเศษส่วนทศนิยมที่มีลูกน้ำ จุลภาคเป็นแขกรับเชิญที่ค่อนข้างหายากในงานเชิงปฏิบัติในวิชาคณิตศาสตร์ ฉันใช้ระบบนี้จากปัญหาทางเศรษฐมิติ

จะแก้ปัญหาระบบดังกล่าวได้อย่างไร? คุณสามารถลองแสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง แต่ในกรณีนี้ คุณจะได้เศษส่วนแฟนซีที่แย่มาก ซึ่งไม่สะดวกอย่างยิ่งที่จะใช้งาน และการออกแบบโซลูชันจะดูแย่มาก คุณสามารถคูณสมการที่สองด้วย 6 และลบเทอมด้วยเทอม แต่เศษส่วนเดียวกันจะปรากฏที่นี่

จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของแครมเมอร์เข้ามาช่วย

;

;

ตอบ: ,

รากทั้งสองมีหางเป็นอนันต์และพบได้โดยประมาณ ซึ่งค่อนข้างเป็นที่ยอมรับ (และเป็นเรื่องธรรมดา) สำหรับปัญหาทางเศรษฐมิติ

ไม่ต้องการความคิดเห็นในที่นี้ เนื่องจากงานได้รับการแก้ไขตามสูตรสำเร็จรูป อย่างไรก็ตาม มีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง เมื่อใช้วิธีนี้ ภาคบังคับส่วนของงานที่มอบหมายเป็นส่วนต่อไปนี้: "ดังนั้นระบบจึงมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร". มิฉะนั้น ผู้ตรวจทานอาจลงโทษคุณไม่เคารพทฤษฎีบทของแครมเมอร์

มันจะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะตรวจสอบซึ่งสะดวกในการดำเนินการกับเครื่องคิดเลข: เราแทนที่ค่าโดยประมาณทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ เป็นผลให้มีข้อผิดพลาดเล็กน้อยควรได้รับตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา

ตัวอย่างที่ 8

แสดงคำตอบของคุณเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมธรรมดา ทำการตรวจสอบ

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ (ตัวอย่างการออกแบบที่ดีและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เราหันไปพิจารณากฎของแครมเมอร์สำหรับระบบสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า:

เราพบดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ:

ถ้า แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายหรือไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ในกรณีนี้ กฎของแครมเมอร์จะไม่ช่วย คุณต้องใช้วิธีเกาส์

ถ้า ระบบมีคำตอบเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อีกสามตัว:
, ,

และสุดท้าย คำตอบจะถูกคำนวณโดยสูตร:

ดังที่คุณเห็นแล้ว กรณี "สามคูณสาม" โดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากกรณี "สองต่อสอง" คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระจะ "เดิน" ตามลำดับจากซ้ายไปขวาตามคอลัมน์ของดีเทอร์มีแนนต์หลัก

ตัวอย่างที่ 9

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์

วิธีการแก้: มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์กัน

ดังนั้นระบบจึงมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร

ตอบ: .

อันที่จริง ไม่มีอะไรพิเศษที่จะแสดงความคิดเห็นที่นี่อีกครั้ง เนื่องจากการตัดสินใจเป็นไปตามสูตรสำเร็จรูป แต่มีข้อสังเกตสองสามข้อ

มันเกิดขึ้นจากการคำนวณจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ "ไม่ดี" ตัวอย่างเช่น:
ฉันแนะนำอัลกอริทึม "การรักษา" ต่อไปนี้ หากไม่มีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ เราทำสิ่งนี้:

1) อาจมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ทันทีที่เจอช็อตที่ "แย่" คุณต้องตรวจสอบทันทีว่า เป็นเงื่อนไขที่เขียนใหม่อย่างถูกต้อง. หากเงื่อนไขถูกเขียนใหม่โดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจะต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ใหม่โดยใช้การขยายในอีกแถวหนึ่ง (คอลัมน์)

2) หากไม่พบข้อผิดพลาดจากการตรวจสอบ เป็นไปได้มากว่าการพิมพ์ผิดในสภาพของงานที่มอบหมาย ในกรณีนี้ให้แก้ปัญหาอย่างใจเย็นและรอบคอบจนจบแล้ว ให้แน่ใจว่าได้ตรวจสอบและวาดขึ้นบนสำเนาที่สะอาดหลังจากการตัดสินใจ แน่นอน การตรวจสอบคำตอบที่เป็นเศษส่วนเป็นงานที่ไม่น่าพอใจ แต่มันจะเป็นข้อโต้แย้งที่ผ่อนคลายสำหรับครูที่ชอบใส่เครื่องหมายลบสำหรับสิ่งเลวร้ายเช่น วิธีจัดการกับเศษส่วนมีรายละเอียดในคำตอบสำหรับตัวอย่างที่ 8

หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีเมื่อเริ่มบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะเป็นประโยชน์มากที่สุด (แม้กระทั่งก่อนเริ่มวิธีแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยอัตโนมัติโดยใช้วิธีเมทริกซ์

ข้อสังเกตที่สอง ในบางครั้งจะมีระบบในสมการที่ตัวแปรบางตัวหายไป เช่น

ในสมการแรกไม่มีตัวแปร สมการที่สองไม่มีตัวแปร ในกรณีเช่นนี้ การเขียนดีเทอร์มีแนนต์หลักอย่างถูกต้องและระมัดระวังเป็นสิ่งสำคัญมาก:
– เลขศูนย์จะแทนที่ตัวแปรที่หายไป
อย่างไรก็ตาม มันมีเหตุผลที่จะเปิดดีเทอร์มิแนนต์ที่มีศูนย์ในแถว (คอลัมน์) ซึ่งมีศูนย์อยู่ เนื่องจากมีการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่าง 10

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์

นี่คือตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาตนเอง (จบตัวอย่างและตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

ในกรณีของระบบสมการ 4 สมการที่มี 4 ค่าไม่ทราบค่า สูตรของแครมเมอร์จะเขียนตามหลักการที่คล้ายคลึงกัน คุณสามารถดูตัวอย่างจริงได้ในบทเรียนคุณสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ การลดลำดับของดีเทอร์มีแนนต์ - ดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่ 4 ห้าตัวนั้นค่อนข้างจะแก้ได้ แม้ว่างานนี้จะทำให้นึกถึงรองเท้าของศาสตราจารย์บนหน้าอกของนักเรียนที่โชคดี

คำตอบของระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

วิธีเมทริกซ์ผกผันเป็นหลักกรณีพิเศษ สมการเมทริกซ์(ดูตัวอย่างที่ 3 ของบทเรียนที่ระบุ)

เพื่อศึกษาส่วนนี้ คุณต้องสามารถขยายดีเทอร์มีแนนต์ ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน และทำการคูณเมทริกซ์ได้ ลิงก์ที่เกี่ยวข้องจะได้รับเมื่อคำอธิบายดำเนินไป

ตัวอย่าง 11

แก้ระบบด้วยวิธีเมทริกซ์

วิธีการแก้: เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน

โปรดดูระบบสมการและเมทริกซ์ ด้วยหลักการใดที่เราเขียนองค์ประกอบในเมทริกซ์ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจ ความคิดเห็นเดียว: หากตัวแปรบางตัวหายไปในสมการ จะต้องใส่เลขศูนย์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์

เราพบเมทริกซ์ผกผันตามสูตร:
โดยที่เมทริกซ์ย้ายขององค์ประกอบเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อยู่ที่ไหน

อันดับแรก มาจัดการกับดีเทอร์มีแนนต์:

ที่นี่ดีเทอร์มีแนนต์ถูกขยายโดยบรรทัดแรก

ความสนใจ! หากไม่มีเมทริกซ์ผกผันและเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ระบบโดยวิธีเมทริกซ์ ในกรณีนี้ระบบจะได้รับการแก้ไขโดยการกำจัดสิ่งแปลกปลอม (วิธีเกาส์)

ตอนนี้คุณต้องคำนวณผู้เยาว์ 9 คนแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ของผู้เยาว์

อ้างอิง:เป็นประโยชน์ที่จะทราบความหมายของตัวห้อยสองตัวในพีชคณิตเชิงเส้น หลักแรกคือหมายเลขบรรทัดที่องค์ประกอบตั้งอยู่ หลักที่สองคือหมายเลขของคอลัมน์ที่องค์ประกอบตั้งอยู่:

กล่าวคือ ตัวห้อยสองตัวระบุว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม ในขณะที่องค์ประกอบอยู่ในแถวที่ 3 คอลัมน์ที่ 2

ในระหว่างการแก้ปัญหา จะเป็นการดีกว่าที่จะอธิบายการคำนวณของผู้เยาว์โดยละเอียด แม้ว่าจะสามารถปรับให้นับด้วยข้อผิดพลาดด้วยวาจาได้ด้วยประสบการณ์บางอย่างก็ตาม

ในส่วนแรก เราได้พิจารณาเนื้อหาเชิงทฤษฎี วิธีการแทนที่ และวิธีการเติมสมการระบบแบบเทอมต่อเทอม สำหรับทุกคนที่มาที่เว็บไซต์ผ่านหน้านี้ ขอแนะนำให้อ่านส่วนแรก บางทีผู้เยี่ยมชมบางคนอาจพบว่าเนื้อหานั้นง่ายเกินไป แต่ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ฉันได้กล่าวถึงข้อสังเกตและข้อสรุปที่สำคัญหลายประการเกี่ยวกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป

และตอนนี้ เราจะวิเคราะห์กฎของแครมเมอร์ เช่นเดียวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน (วิธีเมทริกซ์) เนื้อหาทั้งหมดถูกนำเสนออย่างเรียบง่าย ในรายละเอียดและชัดเจน ผู้อ่านเกือบทั้งหมดจะสามารถเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการข้างต้น

ก่อนอื่นเราพิจารณากฎของแครมเมอร์โดยละเอียดสำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในสองค่าที่ไม่ทราบค่า เพื่ออะไร? “ท้ายที่สุด ระบบที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้โดยวิธีการของโรงเรียน โดยการเพิ่มภาคการศึกษา!

ความจริงก็คือแม้ว่าบางครั้ง แต่ก็มีงานดังกล่าว - เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีสองไม่ทราบค่าโดยใช้สูตรของแครมเมอร์ ประการที่สอง ตัวอย่างที่ง่ายกว่าจะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีใช้กฎของแครมเมอร์สำหรับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น - ระบบสามสมการที่มีสามไม่ทราบค่า

นอกจากนี้ยังมีระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว ซึ่งแนะนำให้แก้ตามกฎของแครมเมอร์!

พิจารณาระบบสมการ

ขั้นแรก เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ เรียกว่า ตัวกำหนดหลักของระบบ.

วิธีเกาส์

ถ้า ระบบมีคำตอบเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อีกสองตัว:
และ

ในทางปฏิบัติ ตัวระบุข้างต้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินได้เช่นกัน

รากของสมการหาได้จากสูตร:
,

ตัวอย่าง 7

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

วิธีการแก้: เราเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการค่อนข้างใหญ่ ทางด้านขวามีเศษส่วนทศนิยมที่มีลูกน้ำ จุลภาคเป็นแขกรับเชิญที่ค่อนข้างหายากในงานเชิงปฏิบัติในวิชาคณิตศาสตร์ ฉันใช้ระบบนี้จากปัญหาทางเศรษฐมิติ

จะแก้ปัญหาระบบดังกล่าวได้อย่างไร? คุณสามารถลองแสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง แต่ในกรณีนี้ คุณจะได้เศษส่วนแฟนซีที่แย่มาก ซึ่งไม่สะดวกอย่างยิ่งที่จะใช้งาน และการออกแบบโซลูชันจะดูแย่มาก คุณสามารถคูณสมการที่สองด้วย 6 และลบเทอมด้วยเทอม แต่เศษส่วนเดียวกันจะปรากฏที่นี่

จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของแครมเมอร์เข้ามาช่วย

;

;

ตอบ: ,

รากทั้งสองมีหางเป็นอนันต์และพบได้โดยประมาณ ซึ่งค่อนข้างเป็นที่ยอมรับ (และเป็นเรื่องธรรมดา) สำหรับปัญหาทางเศรษฐมิติ

ไม่ต้องการความคิดเห็นในที่นี้ เนื่องจากงานได้รับการแก้ไขตามสูตรสำเร็จรูป อย่างไรก็ตาม มีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง เมื่อใช้วิธีนี้ ภาคบังคับส่วนของงานที่มอบหมายเป็นส่วนต่อไปนี้: "ดังนั้นระบบจึงมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร". มิฉะนั้น ผู้ตรวจทานอาจลงโทษคุณไม่เคารพทฤษฎีบทของแครมเมอร์

มันจะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะตรวจสอบซึ่งสะดวกในการดำเนินการกับเครื่องคิดเลข: เราแทนที่ค่าโดยประมาณทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ เป็นผลให้มีข้อผิดพลาดเล็กน้อยควรได้รับตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา

ตัวอย่างที่ 8

แสดงคำตอบของคุณเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมธรรมดา ทำการตรวจสอบ

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ (ตัวอย่างการออกแบบที่ดีและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เราหันไปพิจารณากฎของแครมเมอร์สำหรับระบบสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า:

เราพบดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ:

ถ้า แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายหรือไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ในกรณีนี้ กฎของแครมเมอร์จะไม่ช่วย คุณต้องใช้วิธีเกาส์

ถ้า ระบบมีคำตอบเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อีกสามตัว:
, ,

และสุดท้าย คำตอบจะถูกคำนวณโดยสูตร:

ดังที่คุณเห็นแล้ว กรณี "สามคูณสาม" โดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากกรณี "สองต่อสอง" คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระจะ "เดิน" ตามลำดับจากซ้ายไปขวาตามคอลัมน์ของดีเทอร์มีแนนต์หลัก

ตัวอย่างที่ 9

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์

วิธีการแก้: มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์กัน

ดังนั้นระบบจึงมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร

ตอบ: .

อันที่จริง ไม่มีอะไรพิเศษที่จะแสดงความคิดเห็นที่นี่อีกครั้ง เนื่องจากการตัดสินใจเป็นไปตามสูตรสำเร็จรูป แต่มีข้อสังเกตสองสามข้อ

มันเกิดขึ้นจากการคำนวณจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ "ไม่ดี" ตัวอย่างเช่น:
ฉันแนะนำอัลกอริทึม "การรักษา" ต่อไปนี้ หากไม่มีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ เราทำสิ่งนี้:

1) อาจมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ทันทีที่เจอช็อตที่ "แย่" คุณต้องตรวจสอบทันทีว่า เป็นเงื่อนไขที่เขียนใหม่อย่างถูกต้อง. หากเงื่อนไขถูกเขียนใหม่โดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจะต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ใหม่โดยใช้การขยายในอีกแถวหนึ่ง (คอลัมน์)

2) หากไม่พบข้อผิดพลาดจากการตรวจสอบ เป็นไปได้มากว่าการพิมพ์ผิดในสภาพของงานที่มอบหมาย ในกรณีนี้ให้แก้ปัญหาอย่างใจเย็นและรอบคอบจนจบแล้ว ให้แน่ใจว่าได้ตรวจสอบและวาดขึ้นบนสำเนาที่สะอาดหลังจากการตัดสินใจ แน่นอน การตรวจสอบคำตอบที่เป็นเศษส่วนเป็นงานที่ไม่น่าพอใจ แต่มันจะเป็นข้อโต้แย้งที่ผ่อนคลายสำหรับครูที่ชอบใส่เครื่องหมายลบสำหรับสิ่งเลวร้ายเช่น วิธีจัดการกับเศษส่วนมีรายละเอียดในคำตอบสำหรับตัวอย่างที่ 8

หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีเมื่อเริ่มบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะเป็นประโยชน์มากที่สุด (แม้กระทั่งก่อนเริ่มวิธีแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยอัตโนมัติโดยใช้วิธีเมทริกซ์

ข้อสังเกตที่สอง ในบางครั้งจะมีระบบในสมการที่ตัวแปรบางตัวหายไป เช่น

ในสมการแรกไม่มีตัวแปร สมการที่สองไม่มีตัวแปร ในกรณีเช่นนี้ การเขียนดีเทอร์มีแนนต์หลักอย่างถูกต้องและระมัดระวังเป็นสิ่งสำคัญมาก:
– เลขศูนย์จะแทนที่ตัวแปรที่หายไป
อย่างไรก็ตาม มันมีเหตุผลที่จะเปิดดีเทอร์มิแนนต์ที่มีศูนย์ในแถว (คอลัมน์) ซึ่งมีศูนย์อยู่ เนื่องจากมีการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่าง 10

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์

นี่คือตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาตนเอง (จบตัวอย่างและตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

ในกรณีของระบบสมการ 4 สมการที่มี 4 ค่าไม่ทราบค่า สูตรของแครมเมอร์จะเขียนตามหลักการที่คล้ายคลึงกัน คุณสามารถดูตัวอย่างจริงได้ในบทเรียนคุณสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ การลดลำดับของดีเทอร์มีแนนต์ - ดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่ 4 ห้าตัวนั้นค่อนข้างจะแก้ได้ แม้ว่างานนี้จะทำให้นึกถึงรองเท้าของศาสตราจารย์บนหน้าอกของนักเรียนที่โชคดี

คำตอบของระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

วิธีเมทริกซ์ผกผันเป็นหลักกรณีพิเศษ สมการเมทริกซ์(ดูตัวอย่างที่ 3 ของบทเรียนที่ระบุ)

เพื่อศึกษาส่วนนี้ คุณต้องสามารถขยายดีเทอร์มีแนนต์ ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน และทำการคูณเมทริกซ์ได้ ลิงก์ที่เกี่ยวข้องจะได้รับเมื่อคำอธิบายดำเนินไป

ตัวอย่าง 11

แก้ระบบด้วยวิธีเมทริกซ์

วิธีการแก้: เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน

โปรดดูระบบสมการและเมทริกซ์ ด้วยหลักการใดที่เราเขียนองค์ประกอบในเมทริกซ์ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจ ความคิดเห็นเดียว: หากตัวแปรบางตัวหายไปในสมการ จะต้องใส่เลขศูนย์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์

เราพบเมทริกซ์ผกผันตามสูตร:
โดยที่เมทริกซ์ย้ายขององค์ประกอบเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อยู่ที่ไหน

อันดับแรก มาจัดการกับดีเทอร์มีแนนต์:

ที่นี่ดีเทอร์มีแนนต์ถูกขยายโดยบรรทัดแรก

ความสนใจ! หากไม่มีเมทริกซ์ผกผันและเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ระบบโดยวิธีเมทริกซ์ ในกรณีนี้ระบบจะได้รับการแก้ไขโดยการกำจัดสิ่งแปลกปลอม (วิธีเกาส์)

ตอนนี้คุณต้องคำนวณผู้เยาว์ 9 คนแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ของผู้เยาว์

อ้างอิง:เป็นประโยชน์ที่จะทราบความหมายของตัวห้อยสองตัวในพีชคณิตเชิงเส้น หลักแรกคือหมายเลขบรรทัดที่องค์ประกอบตั้งอยู่ หลักที่สองคือหมายเลขของคอลัมน์ที่องค์ประกอบตั้งอยู่:

กล่าวคือ ตัวห้อยสองตัวระบุว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม ในขณะที่องค์ประกอบอยู่ในแถวที่ 3 คอลัมน์ที่ 2

Gabriel Kramer - นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส นักเรียนและเพื่อนของ Johann Bernoulli หนึ่งในผู้ก่อตั้งพีชคณิตเชิงเส้น แครมเมอร์พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นจำนวนหนึ่งโดยใช้เมทริกซ์กำลังสอง เขานำเสนอวิธีแก้ปัญหาของระบบในรูปแบบของคอลัมน์เศษส่วนที่มีตัวส่วนร่วม - ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ วิธีการของแครมเมอร์ใช้ดีเทอร์มีแนนต์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ซึ่งสามารถเร่งกระบวนการแก้ปัญหาได้อย่างมีนัยสำคัญ วิธีนี้สามารถนำมาใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้มากเท่าที่ไม่ทราบในแต่ละสมการ สิ่งสำคัญคือดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เท่ากับ "0" ดังนั้นวิธี Cramer สามารถใช้ในโซลูชันได้ หาก "0" - ไม่สามารถใช้วิธีนี้ได้ นอกจากนี้ วิธีนี้ยังสามารถประยุกต์ใช้เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยคำตอบเฉพาะ

ทฤษฎีบทของแครมเมอร์ หากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบของสมการเชิงเส้นจะมีคำตอบเดียว และค่าที่ไม่ทราบจะเท่ากับอัตราส่วนของดีเทอร์มีแนนต์ ตัวส่วนประกอบด้วยดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ และตัวเศษมีดีเทอร์มีแนนต์ที่ได้จากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ โดยการแทนที่สัมประสิทธิ์ด้วยค่าที่ไม่รู้จักด้วยเงื่อนไขอิสระ ทฤษฎีบทนี้ใช้สำหรับระบบสมการเชิงเส้นของลำดับใดๆ

สมมติว่าเราได้รับ SLAE ดังนี้:

\[\left\(\begin(matrix) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matrix)\right.\]

ตามทฤษฎีบทของแครมเมอร์ เราจะได้:

ตอบ: \

ฉันจะแก้สมการด้วยวิธีของแครมเมอร์ด้วยโปรแกรมแก้ปัญหาออนไลน์ได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้ปัญหาออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณแก้สมการออนไลน์ของความซับซ้อนใด ๆ ในไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงแค่ป้อนข้อมูลของคุณลงในโปรแกรมแก้ไข คุณสามารถชมวิดีโอการสอนและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณมีคำถามใดๆ คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม Vkontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีที่จะช่วยเหลือคุณเสมอ

ให้ระบบสมการเชิงเส้นมีสมการมากเท่ากับจำนวนตัวแปรอิสระ กล่าวคือ มีรูปแบบ

ระบบสมการเชิงเส้นดังกล่าวเรียกว่ากำลังสอง ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอิสระของระบบ (1.5) เรียกว่า ดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ เราจะระบุด้วยอักษรกรีก D ดังนั้น

. (1.6)

หากในดีเทอร์มีแนนต์หลักเป็นพลวัต ( เจ th) แทนที่ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระของระบบ (1.5) แล้วเราจะได้มากขึ้น นปัจจัยเสริม:

(เจ = 1, 2, …, น). (1.7)

กฎของแครมเมอร์การแก้ระบบสมการกำลังสองของสมการเชิงเส้นได้ดังนี้ หากดีเทอร์มิแนนต์หลัก D ของระบบ (1.5) ไม่ใช่ศูนย์ แสดงว่าระบบมีคำตอบเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยสูตร:

(1.8)

ตัวอย่าง 1.5.แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีของแครมเมอร์

.

ให้เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบ:

ตั้งแต่ D¹0 ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่สามารถพบได้โดยใช้สูตร (1.8):

ทางนี้,

Matrix Actions

1. การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขการดำเนินการของการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขมีการกำหนดดังนี้

2. ในการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข คุณต้องคูณองค์ประกอบทั้งหมดด้วยตัวเลขนี้ นั่นคือ

. (1.9)

ตัวอย่าง 1.6 .

การเพิ่มเมทริกซ์

การดำเนินการนี้ใช้กับเมทริกซ์ในลำดับเดียวกันเท่านั้น

ในการเพิ่มเมทริกซ์สองตัว จำเป็นต้องเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อื่นเข้ากับองค์ประกอบของเมทริกซ์หนึ่ง:

(1.10)
การดำเนินการของการบวกเมทริกซ์มีคุณสมบัติของการเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยน

ตัวอย่าง 1.7 .

การคูณเมทริกซ์

ถ้าจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ แต่ตรงกับจำนวนแถวเมทริกซ์ ที่ดังนั้นสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว จะมีการแนะนำการดำเนินการของการคูณ:

2

ดังนั้น เมื่อคูณเมทริกซ์ แต่ขนาด ม´ นเป็นเมทริกซ์ ที่ขนาด น´ kเราได้เมทริกซ์ จากขนาด ม´ k. ในกรณีนี้ องค์ประกอบของเมทริกซ์ จากคำนวณตามสูตรต่อไปนี้:

ปัญหา 1.8ถ้าเป็นไปได้ จงหาผลคูณของเมทริกซ์ ABและ BA:

วิธีการแก้. 1) เพื่อหางานทำ ABคุณต้องการแถวเมทริกซ์ อาคูณด้วยคอลัมน์เมทริกซ์ บี:

2) งานศิลปะ BAไม่มีอยู่เพราะจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ บีไม่ตรงกับจำนวนแถวเมทริกซ์ อา.

เมทริกซ์ผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเมทริกซ์

เมทริกซ์ เอ- 1 เรียกว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม แต่หากความเท่าเทียมกันถือ:

ผ่านที่ไหน ฉันหมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ แต่:

.

เพื่อให้เมทริกซ์กำลังสองมีค่าผกผัน จำเป็นและเพียงพอที่ดีเทอร์มีแนนต์ของมันไม่ใช่ศูนย์ เมทริกซ์ผกผันถูกพบโดยสูตร:

, (1.13)

ที่ไหน อา อิจ- การเพิ่มพีชคณิตให้กับองค์ประกอบ ไอจเมทริกซ์ แต่(โปรดทราบว่าการเพิ่มพีชคณิตในแถวของเมทริกซ์ แต่ถูกจัดเรียงในเมทริกซ์ผกผันในรูปแบบของคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน)

ตัวอย่าง 1.9ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เอ- 1 ถึงเมทริกซ์

.

เราหาเมทริกซ์ผกผันตามสูตร (1.13) ซึ่งสำหรับกรณี น= 3 ดูเหมือนว่า:

.

มาหาเดตกัน อา = | อา| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมแตกต่างจากศูนย์ จึงมีเมทริกซ์ผกผัน

1) ค้นหาเพิ่มเติมเกี่ยวกับพีชคณิต อา อิจ:

เพื่อความสะดวกในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เราเพิ่มการบวกพีชคณิตลงในแถวของเมทริกซ์ดั้งเดิมในคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง

จากการบวกพีชคณิตที่ได้รับ เราเขียนเมทริกซ์ใหม่และหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์เดต อา. ดังนั้นเราจะได้เมทริกซ์ผกผัน:

ระบบสมการกำลังสองของสมการเชิงเส้นที่มีดีเทอร์มีแนนต์หลักไม่เป็นศูนย์สามารถแก้ไขได้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน สำหรับสิ่งนี้ ระบบ (1.5) ถูกเขียนในรูปแบบเมทริกซ์:

ที่ไหน

คูณความเสมอภาคทั้งสองข้าง (1.14) ทางซ้ายด้วย เอ- 1 เราได้รับวิธีแก้ปัญหาของระบบ:

, ที่ไหน

ดังนั้น ในการหาคำตอบของระบบกำลังสอง คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์หลักของระบบ แล้วคูณมันทางขวาด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

ปัญหา 1.10.แก้ระบบสมการเชิงเส้น

โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

วิธีการแก้.เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์: ,

ที่ไหน เป็นเมทริกซ์หลักของระบบ เป็นคอลัมน์ของสิ่งแปลกปลอม และเป็นคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ เนื่องจากตัวกำหนดหลักของระบบ จากนั้นเมทริกซ์หลักของระบบ แต่มีเมทริกซ์ผกผัน แต่-หนึ่ง . การหาเมทริกซ์ผกผัน แต่-1 คำนวณการเติมเต็มเกี่ยวกับพีชคณิตให้กับองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ แต่:

จากจำนวนที่ได้รับ เราสร้างเมทริกซ์ (นอกจากนี้ การเพิ่มพีชคณิตในแถวของเมทริกซ์ แต่เขียนในคอลัมน์ที่เหมาะสม) และหารด้วยดีเทอร์มีแนนต์ D ดังนั้น เราจึงพบเมทริกซ์ผกผัน:

เราพบคำตอบของระบบตามสูตร (1.15):

ทางนี้,

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยข้อยกเว้นจอร์แดนธรรมดา

ให้ระบบสมการเชิงเส้น (ไม่จำเป็นต้องยกกำลังสอง) ตามอำเภอใจ:

(1.16)

จำเป็นต้องหาแนวทางแก้ไขให้กับระบบ กล่าวคือ ชุดของตัวแปรดังกล่าวที่ตอบสนองความเท่าเทียมกันทั้งหมดของระบบ (1.16) ในกรณีทั่วไป ระบบ (1.16) ไม่เพียงมีโซลูชันเดียวเท่านั้น แต่ยังมีโซลูชันจำนวนอนันต์อีกด้วย มันอาจจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลยก็ได้

ในการแก้ปัญหาดังกล่าว จะใช้วิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในหลักสูตรของโรงเรียน ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าวิธีการคัดออกแบบธรรมดาของจอร์แดน สาระสำคัญของวิธีนี้อยู่ที่ความจริงที่ว่าในสมการของระบบ (1.16) ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งแสดงในรูปของตัวแปรอื่น จากนั้นตัวแปรนี้จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่นของระบบ ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบที่มีหนึ่งสมการและตัวแปรน้อยกว่าระบบเดิม 1 ตัว จำสมการที่แสดงตัวแปรได้

กระบวนการนี้ทำซ้ำจนกระทั่งสมการสุดท้ายยังคงอยู่ในระบบ ในกระบวนการกำจัดสิ่งแปลกปลอมออกไป สมการบางตัวสามารถเปลี่ยนเป็นตัวตนที่แท้จริงได้ เป็นต้น สมการดังกล่าวไม่รวมอยู่ในระบบเนื่องจากใช้ได้กับค่าตัวแปรใด ๆ และไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาของระบบ หากในกระบวนการกำจัดสิ่งแปลกปลอม อย่างน้อยหนึ่งสมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่สามารถทำได้สำหรับค่าตัวแปรใด ๆ (เช่น ) เราก็สรุปได้ว่าระบบไม่มีคำตอบ

หากไม่เกิดขึ้นในระหว่างการแก้สมการที่ไม่สอดคล้องกัน จะพบตัวแปรตัวหนึ่งที่เหลืออยู่ในสมการนั้นจากสมการสุดท้าย หากตัวแปรเดียวยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย แสดงว่าตัวแปรนั้นแสดงเป็นตัวเลข หากตัวแปรอื่นๆ ยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย ก็จะถือว่าเป็นพารามิเตอร์ และตัวแปรที่แสดงผ่านตัวแปรเหล่านั้นจะเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์เหล่านี้ จากนั้นสิ่งที่เรียกว่า ตัวแปรที่พบจะถูกแทนที่ในสมการที่จำได้สุดท้ายและพบตัวแปรที่สอง จากนั้น ตัวแปรที่พบทั้งสองจะถูกแทนที่ลงในสมการที่จดจำไว้สุดท้าย และพบตัวแปรที่สาม และต่อไปเรื่อยๆ จนถึงสมการที่จำได้อันแรก

เป็นผลให้เราได้รับการแก้ปัญหาของระบบ โซลูชันนี้จะเป็นคำตอบเดียวหากตัวแปรที่พบเป็นตัวเลข หากตัวแปรแรกพบ และตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ระบบจะมีโซลูชันจำนวนไม่จำกัด (พารามิเตอร์แต่ละชุดสอดคล้องกับโซลูชันใหม่) สูตรที่ช่วยให้ค้นหาวิธีแก้ปัญหาของระบบขึ้นอยู่กับชุดของพารามิเตอร์ที่เรียกว่าโซลูชันทั่วไปของระบบ

ตัวอย่าง 1.11

x

หลังจากจำสมการแรกได้ และนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมาไว้ในสมการที่สองและสาม เราก็มาถึงระบบ:

ด่วน yจากสมการที่สองและแทนที่ลงในสมการแรก:

จำสมการที่สอง และจากสมการแรกที่เราพบ z:

การย้อนกลับเราพบอย่างต่อเนื่อง yและ z. ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นเราแทนที่สมการที่จำได้สุดท้าย ที่เราพบ y:

.

จากนั้นเราแทนที่และลงในสมการที่จำได้ครั้งแรก จากที่เราพบ x:

ปัญหา 1.12.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบ:

. (1.17)

วิธีการแก้.ให้เราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่ลงในสมการที่สองและสาม:

.

จำสมการแรก

ในระบบนี้ สมการที่หนึ่งและสองจะขัดแย้งกัน อันที่จริงการแสดง y เราได้ 14 = 17 ความเท่าเทียมกันนี้ไม่เป็นที่พอใจสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร x, y, และ z. ดังนั้น ระบบ (1.17) จึงไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ผู้อ่านจะได้รับเชิญให้ตรวจสอบโดยอิสระว่าดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบเดิม (1.17) มีค่าเท่ากับศูนย์

พิจารณาระบบที่แตกต่างจากระบบ (1.17) โดยไม่มีเงื่อนไขเพียงคำเดียว

ปัญหา 1.13แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบ:

. (1.18)

วิธีการแก้.ก่อนหน้านี้เราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่ลงในสมการที่สองและสาม:

.

จำสมการแรก และเรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในสมการที่สองและสาม เรามาถึงระบบ:

แสดงออก yจากสมการแรกมาแทนเป็นสมการที่สอง เราได้รับข้อมูลประจำตัว 14 = 14 ซึ่งไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาของระบบ จึงสามารถแยกออกจากระบบได้

ในความเท่าเทียมกันที่จำได้ครั้งสุดท้าย ตัวแปร zจะถือเป็นพารามิเตอร์ พวกเราเชื่อว่า . แล้ว

ทดแทน yและ zเข้าสู่ความเสมอภาคที่จำได้ครั้งแรกและพบว่า x:

.

ดังนั้น ระบบ (1.18) จึงมีชุดของคำตอบเป็นอนันต์ และสามารถหาคำตอบได้จากสูตร (1.19) โดยเลือกค่าพารามิเตอร์ตามอำเภอใจ t:

(1.19)
ตัวอย่างเช่น คำตอบของระบบ คือชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (1; 2; 0), (2; 26; 14) เป็นต้น สูตร (1.19) แสดงคำตอบทั่วไป (ใดๆ) ของระบบ (1.18) ).

ในกรณีที่ระบบเดิม (1.16) มีสมการและค่าไม่ทราบจำนวนมากเพียงพอ วิธีการที่ระบุของการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดาจะดูยุ่งยาก อย่างไรก็ตามมันไม่ใช่ เพียงพอที่จะหาอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบใหม่ในขั้นตอนเดียวในรูปแบบทั่วไปและกำหนดวิธีการแก้ปัญหาในรูปแบบของตารางพิเศษของจอร์แดน

ให้ระบบของรูปแบบเชิงเส้น (สมการ) ได้รับ:

, (1.20)
ที่ไหน x j- ตัวแปรอิสระ (ที่ต้องการ) ไอจ- ค่าสัมประสิทธิ์คงที่
(ผม = 1, 2,…, ม; เจ = 1, 2,…, น). ส่วนขวาของระบบ ฉัน (ผม = 1, 2,…, ม) สามารถเป็นได้ทั้งตัวแปร (ขึ้นอยู่กับ) และค่าคงที่ จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ไขสำหรับระบบนี้โดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก

ให้เราพิจารณาการดำเนินการต่อไปนี้ ซึ่งต่อไปนี้จะเรียกว่า "ขั้นตอนหนึ่งของข้อยกเว้นจอร์แดนทั่วไป" จากพล ( r th) ความเท่าเทียมกัน เราแสดงตัวแปรตามอำเภอใจ ( x s) และแทนที่ด้วยความเท่าเทียมกันอื่น ๆ ทั้งหมด แน่นอน เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ อาร์เอส¹ 0. สัมประสิทธิ์ อาร์เอสเรียกว่าการแก้ไข (บางครั้งชี้นำหรือองค์ประกอบหลัก)

เราจะได้ระบบดังนี้

. (1.21)

จาก สความเท่าเทียมกันของระบบ (1.21) ต่อไปเราจะหาตัวแปร x s(หลังจากพบตัวแปรอื่นแล้ว) สบรรทัดที่ ถูกจดจำและแยกออกจากระบบในภายหลัง ระบบที่เหลือจะมีหนึ่งสมการและหนึ่งตัวแปรอิสระน้อยกว่าระบบเดิม

ให้เราคำนวณสัมประสิทธิ์ของระบบผลลัพธ์ (1.21) ในแง่ของสัมประสิทธิ์ของระบบเดิม (1.20) มาเริ่มกันที่ rสมการที่ซึ่งหลังจากแสดงตัวแปรแล้ว x sผ่านตัวแปรที่เหลือจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นสัมประสิทธิ์ใหม่ rสมการ th คำนวณโดยสูตรต่อไปนี้:

(1.23)
ให้เราคำนวณสัมประสิทธิ์ใหม่ บีอิจ(ผม¹ r) ของสมการโดยพลการ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแทนที่ตัวแปรที่แสดงใน (1.22) x sใน ผมสมการของระบบ (1.20):

หลังจากนำเงื่อนไขที่เหมือนกันมา เราได้รับ:

(1.24)
จากความเท่าเทียมกัน (1.24) เราได้รับสูตรโดยคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ระบบที่เหลืออยู่ (1.21) (ยกเว้น rสมการที่):

(1.25)
การแปลงระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีการคัดออกธรรมดาของจอร์แดนแสดงในรูปของตาราง (เมทริกซ์) ตารางเหล่านี้เรียกว่า "ตารางจอร์แดน"

ดังนั้น ปัญหา (1.20) เกี่ยวข้องกับตารางจอร์แดนต่อไปนี้:

ตาราง 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x น
y 1 =	เอ 11	เอ 12		เอ 1เจ		เอ 1ส		เอ 1น
…………………………………………………………………..
ฉัน=	ฉัน 1	ฉัน 2		ไอจ		เป็น		ใน
…………………………………………………………………..
y r=	r 1	r 2		rj		อาร์เอส		rn
………………………………………………………………….
y n=	เป็น 1	เป็น 2		mj		ms		amn

ตารางจอร์แดน 1.1 ประกอบด้วยคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้ายซึ่งมีการเขียนส่วนด้านขวาของระบบ (1.20) และบรรทัดแรกบนสุดซึ่งมีการเขียนตัวแปรอิสระ

องค์ประกอบที่เหลือของตารางเป็นเมทริกซ์หลักของสัมประสิทธิ์ของระบบ (1.20) ถ้าเราคูณเมทริกซ์ แต่ไปยังเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวส่วนหัวบน จากนั้นเราจะได้เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย โดยพื้นฐานแล้วตารางจอร์แดนคือรูปแบบเมทริกซ์ของการเขียนระบบสมการเชิงเส้น: ในกรณีนี้ ตาราง Jordan ต่อไปนี้สอดคล้องกับระบบ (1.21):

ตาราง 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x น
y 1 =	ข 11	ข 12		ข 1 เจ		ข 1 ส		ข 1 น
…………………………………………………………………..
ฉัน =	ข ฉัน 1	ข ฉัน 2		บีอิจ		ข คือ		ขใน
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		ข rn
………………………………………………………………….
y n =	ข m 1	ข m 2		bmj		ข ms		bmn

องค์ประกอบที่อนุญาต อาร์เอส เราจะเน้นเป็นตัวหนา จำไว้ว่าเพื่อใช้ขั้นตอนหนึ่งของข้อยกเว้นของจอร์แดน องค์ประกอบการแก้ไขจะต้องไม่เป็นศูนย์ แถวตารางที่มีองค์ประกอบอนุญาตเรียกว่าแถวที่อนุญาต คอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเปิดใช้งานเรียกว่าคอลัมน์เปิดใช้งาน เมื่อย้ายจากตารางที่กำหนดไปยังตารางถัดไป ตัวแปรหนึ่งตัว ( x s) จากแถวส่วนหัวบนสุดของตารางจะถูกย้ายไปยังคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย และในทางกลับกัน หนึ่งในสมาชิกอิสระของระบบ ( y r) ถูกย้ายจากคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้ายของตารางไปยังแถวส่วนหัวด้านบน

ให้เราอธิบายอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ในการส่งผ่านจากตารางจอร์แดน (1.1) ไปยังตาราง (1.2) ซึ่งตามมาจากสูตร (1.23) และ (1.25)

1. องค์ประกอบที่เปิดใช้งานจะถูกแทนที่ด้วยจำนวนผกผัน:

2. องค์ประกอบที่เหลือของเส้นอนุญาตจะถูกแบ่งโดยองค์ประกอบที่อนุญาตและเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม:

3. องค์ประกอบที่เหลือของคอลัมน์การเปิดใช้งานจะถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบที่เปิดใช้งาน:

4. องค์ประกอบที่ไม่รวมอยู่ในแถวการแก้ไขและคอลัมน์การแก้ไข จะถูกคำนวณใหม่ตามสูตร:

สูตรสุดท้ายจำง่ายถ้าคุณสังเกตว่าองค์ประกอบที่ประกอบเป็นเศษส่วน ,อยู่ที่สี่แยก ผม-โอ้และ r-เส้นที่และ เจ th และ ส- คอลัมน์ที่ (การแก้ไขแถว การแก้ไขคอลัมน์ และแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดขององค์ประกอบที่จะคำนวณใหม่) แม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อจำสูตร คุณสามารถใช้แผนภูมิต่อไปนี้:

-21 -26 -13 -37

ดำเนินการขั้นตอนแรกของข้อยกเว้นจอร์แดน องค์ประกอบใด ๆ ของตาราง 1.3 ที่อยู่ในคอลัมน์ x 1 ,…, x 5 (องค์ประกอบที่ระบุทั้งหมดไม่เท่ากับศูนย์) คุณไม่ควรเลือกเฉพาะองค์ประกอบที่เปิดใช้งานในคอลัมน์สุดท้ายเพราะ ต้องหาตัวแปรอิสระ x 1 ,…, x 5 . เราเลือกตัวอย่างเช่นสัมประสิทธิ์ 1 ด้วยตัวแปร x 3 ในแถวที่สามของตาราง 1.3 (องค์ประกอบเปิดใช้งานจะแสดงเป็นตัวหนา) เมื่อย้ายไปที่ตาราง 1.4 ตัวแปร x 3 จากแถวส่วนหัวด้านบนจะถูกสลับกับค่าคงที่ 0 ของคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย (แถวที่สาม) ในขณะเดียวกันตัวแปร x 3 แสดงในรูปของตัวแปรที่เหลือ

สตริง x 3 (ตารางที่ 1.4) สามารถแยกออกจากตารางที่ 1.4 เมื่อจำได้ก่อนหน้านี้ ตารางที่ 1.4 ยังไม่รวมคอลัมน์ที่สามที่มีศูนย์ในบรรทัดส่วนหัวด้านบน ประเด็นคือไม่ว่าสัมประสิทธิ์ของคอลัมน์นี้จะเป็นอย่างไรก็ตาม ข ฉัน 3 เงื่อนไขทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการแต่ละสมการ 0 ข ฉัน 3 ระบบจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ได้ กำจัดตัวแปรหนึ่งตัว x 3 และเมื่อจำสมการใดสมการหนึ่ง เราก็มาถึงระบบที่สอดคล้องกับตารางที่ 1.4 (โดยที่ขีดเส้นไว้ x 3). การเลือกในตาราง 1.4 เป็นองค์ประกอบการแก้ไข ข 14 = -5 ไปที่ตาราง 1.5 ในตารางที่ 1.5 เราจำแถวแรกและแยกออกจากตารางพร้อมกับคอลัมน์ที่สี่ (โดยศูนย์อยู่ที่ด้านบน)

ตารางที่ 1.5 ตาราง 1.6

จากตารางสุดท้าย 1.7 เราพบว่า: x 1 = - 3 + 2x 5 .

แทนที่ตัวแปรที่พบแล้วลงในบรรทัดที่จดจำตามลำดับ เราจะพบตัวแปรที่เหลือ:

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหามากมาย ตัวแปร x 5 คุณสามารถกำหนดค่าโดยพลการ ตัวแปรนี้ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ x 5 = ต. เราพิสูจน์ความเข้ากันได้ของระบบและพบวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไป:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

ให้ค่าพารามิเตอร์ tค่าต่าง ๆ เราได้รับโซลูชั่นจำนวนอนันต์สำหรับระบบเดิม ตัวอย่างเช่น คำตอบของระบบคือชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (- 3; - 1; - 2; 4; 0)

วิธีของแครมเมอร์ใช้ดีเทอร์มีแนนต์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีนี้ช่วยเร่งกระบวนการแก้ปัญหาได้อย่างมาก

วิธีของแครมเมอร์สามารถใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นได้มากเท่าที่ไม่ทราบในแต่ละสมการ หากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เท่ากับศูนย์ ก็สามารถใช้เมธอดของแครมเมอร์ในการแก้ปัญหาได้ หากเท่ากับศูนย์ แสดงว่าเมธอดของแครมเมอร์ไม่สามารถทำได้ นอกจากนี้ วิธีของแครมเมอร์ยังสามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเฉพาะ

คำนิยาม. ดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของนิรนามเรียกว่าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบและแสดงด้วย (เดลต้า)

ตัวกำหนด

ได้มาจากการแทนที่สัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่าที่เกี่ยวข้องด้วยเงื่อนไขอิสระ:

;

.

ทฤษฎีบทของแครมเมอร์. หากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบของสมการเชิงเส้นจะมีคำตอบเดียว และค่าที่ไม่ทราบจะเท่ากับอัตราส่วนของดีเทอร์มีแนนต์ ตัวส่วนประกอบด้วยดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ และตัวเศษมีดีเทอร์มีแนนต์ที่ได้จากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ โดยการแทนที่สัมประสิทธิ์ด้วยค่าที่ไม่รู้จักด้วยเงื่อนไขอิสระ ทฤษฎีบทนี้ใช้สำหรับระบบสมการเชิงเส้นของลำดับใดๆ

ตัวอย่างที่ 1แก้ระบบสมการเชิงเส้น:

ตาม ทฤษฎีบทของแครมเมอร์เรามี:

ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาของระบบ (2):

เครื่องคิดเลขออนไลน์ วิธีการแก้ปัญหาของแครมเมอร์

สามกรณีในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ตามที่ปรากฏจาก ทฤษฎีบทของแครมเมอร์เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น อาจเกิดขึ้นได้สามกรณี:

กรณีแรก: ระบบสมการเชิงเส้นมีคำตอบเฉพาะ

(ระบบมีความสม่ำเสมอและแน่นอน)

กรณีที่สอง: ระบบสมการเชิงเส้นมีคำตอบเป็นอนันต์

(ระบบมีความสม่ำเสมอและไม่แน่นอน)

** ,

เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์ของนิรนามและพจน์อิสระนั้นเป็นสัดส่วนกัน

กรณีที่สาม: ระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ

(ระบบไม่สอดคล้องกัน)

ดังนั้นระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย นตัวแปรเรียกว่า เข้ากันไม่ได้หากไม่มีวิธีแก้ปัญหาและ ข้อต่อหากมีอย่างน้อยหนึ่งวิธีแก้ไข ระบบสมการร่วมที่มีคำตอบเดียวเรียกว่า แน่ใจและมากกว่าหนึ่ง ไม่แน่นอน.

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์

ให้ระบบ

.

ตามทฤษฎีบทของแครมเมอร์

………….
,

ที่ไหน
-

ตัวระบุระบบ ดีเทอร์มิแนนต์ที่เหลือหาได้จากการแทนที่คอลัมน์ด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง (ไม่ทราบ) ด้วยสมาชิกอิสระ:

ตัวอย่าง 2

ดังนั้นระบบจึงมีความแน่นอน เพื่อหาคำตอบ เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์

ตามสูตรของ Cramer เราพบว่า:

ดังนั้น (1; 0; -1) จึงเป็นทางออกเดียวสำหรับระบบ

ในการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ วิธีแก้สมการของแครมเมอร์

หากไม่มีตัวแปรในระบบของสมการเชิงเส้นในสมการตั้งแต่หนึ่งสมการขึ้นไป ในดีเทอร์มีแนนต์ องค์ประกอบที่สอดคล้องกับพวกมันจะเท่ากับศูนย์! นี่คือตัวอย่างต่อไป

ตัวอย่างที่ 3แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีของแครมเมอร์:

.

วิธีการแก้. เราพบดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ:

พิจารณาระบบสมการและดีเทอร์มีแนนต์ของระบบอย่างละเอียดถี่ถ้วน แล้วทวนคำตอบของคำถามซึ่งในกรณีนี้ องค์ประกอบของดีเทอร์มีแนนต์หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ดีเทอร์มีแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงแน่นอน เพื่อหาทางแก้ไข เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์สำหรับค่านิรนาม

ตามสูตรของ Cramer เราพบว่า:

ดังนั้น คำตอบของระบบคือ (2; -1; 1)

ในการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ วิธีแก้สมการของแครมเมอร์

ด้านบนของหน้า

เรายังคงแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธี Cramer ร่วมกัน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบเท่ากับศูนย์ และดีเทอร์มีแนนต์สำหรับค่านิรนามไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ มันไม่มีวิธีแก้ไข มาอธิบายด้วยตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 6แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีของแครมเมอร์:

วิธีการแก้. เราพบดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ:

ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นจึงไม่สอดคล้องกันและแน่นอน หรือ ไม่สอดคล้องกัน นั่นคือ ไม่มีคำตอบ เพื่อความกระจ่าง เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์สำหรับไม่ทราบค่า

ดีเทอร์มิแนนต์สำหรับค่านิรนามไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ มันไม่มีวิธีแก้ไข

ในการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ วิธีแก้สมการของแครมเมอร์

ในปัญหาของระบบสมการเชิงเส้น ยังมีตัวอักษรอื่นๆ ที่นอกเหนือไปจากตัวอักษรที่แสดงถึงตัวแปรอีกด้วย ตัวอักษรเหล่านี้ใช้แทนตัวเลขบางตัว ส่วนใหญ่มักเป็นตัวเลขจริง ในทางปฏิบัติ สมการและระบบสมการดังกล่าวนำไปสู่ปัญหาในการหาคุณสมบัติทั่วไปของปรากฏการณ์และวัตถุใดๆ นั่นคือ คุณได้คิดค้นวัสดุหรืออุปกรณ์ใหม่ และเพื่ออธิบายคุณสมบัติของวัสดุ ซึ่งเป็นเรื่องปกติโดยไม่คำนึงถึงขนาดหรือจำนวนสำเนา คุณต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยที่แทนที่จะใช้สัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรจะมีตัวอักษร คุณไม่ต้องไปหาตัวอย่างไกล

ตัวอย่างต่อไปคือสำหรับปัญหาที่คล้ายกัน เฉพาะจำนวนสมการ ตัวแปร และตัวอักษรที่แสดงจำนวนจริงบางตัวเท่านั้นที่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างที่ 8แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีของแครมเมอร์:

วิธีการแก้. เราพบดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ:

การหาดีเทอร์มิแนนต์ของสิ่งที่ไม่รู้