มีหลายประเภท ความไร้เหตุผล เศษส่วนในตัวส่วน มันเกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของรากพีชคณิตที่มีระดับเดียวกันหรือต่างกัน เพื่อที่จะกำจัด ความไร้เหตุผลจำเป็นต้องดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์

คำแนะนำ

1. ก่อนที่จะกำจัด ความไร้เหตุผล เศษส่วนในตัวส่วนคุณควรกำหนดประเภทของมันและดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไปขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ อันที่จริงความไร้เหตุผลใด ๆ ที่ตามมาจากการมีอยู่ของรากอย่างง่าย การรวมกันและองศาที่แตกต่างกันนั้นถูกสันนิษฐานโดยอัลกอริธึมที่แตกต่างกัน

2. รากที่สองของตัวส่วน นิพจน์ในรูปแบบ a/?bป้อนตัวประกอบเพิ่มเติมเท่ากับ?b เพื่อไม่ให้เศษส่วนเปลี่ยนแปลง จำเป็นต้องคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วน: a/?b ? (a ?b)/b.ตัวอย่าง 1: 10/?3 ? (10?3)/3.

3. การแสดงตนด้านล่างบรรทัด เศษส่วนรากของกำลังเศษส่วนของรูปแบบ m/n และ n>mนิพจน์นี้มีลักษณะดังนี้: a/?(b^m/n)

4. กำจัดสิ่งที่คล้ายกัน ความไร้เหตุผลด้วยการป้อนตัวคูณ คราวนี้ยากขึ้น: b^(n-m)/n เช่น จากเลขชี้กำลังของรูตนั้นจำเป็นต้องลบระดับของนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของมัน จากนั้นตัวส่วนจะเหลือเพียงยกกำลังแรกเท่านั้น: a/(b^m/n) ? a ?(b^(n-m)/n)/b ตัวอย่างที่ 2: 5/(4^3/5) ? 5 ?(4^2/5)/4 = 5 ?(16^1/5)/4

5. ผลรวมของรากที่สองคูณทั้งสององค์ประกอบ เศษส่วนด้วยความแตกต่างที่คล้ายคลึงกัน จากนั้น จากการบวกรากแบบไม่มีเหตุผล ตัวส่วนจะถูกแปลงเป็นผลต่างของนิพจน์/ตัวเลขใต้เครื่องหมายราก: a/(?b + ?c) ? a (?b – ?c)/(b – c).ตัวอย่างที่ 3: 9/(?13 + ?23) ? 9 (?13 – ?23)/(13 – 23) = 9 (?23 – ?13)/10.

6. ผลรวม/ผลต่างของรากที่สามเลือกตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างหากตัวส่วนมีผลรวม และด้วยเหตุนี้ กำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมสำหรับผลต่างของราก: a/(?b ± ?c) ? a (?b? ? ?(b c) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b? ? ?(b c) + ?c?) ?a (?b? ? ?(b c) + ? c?)/(b ± c).ตัวอย่าง 4: 7/(?5 + ?4) ? 7 (?25-?20 +?16)/9.

7. หากปัญหามีทั้งรากที่สองและรากที่สาม ให้แบ่งคำตอบออกเป็นสองขั้นตอน โดยหารากที่สองจากตัวส่วนทีละขั้นตอน จากนั้นจึงหารากที่สาม สิ่งนี้ทำตามวิธีการที่คุณรู้จักอยู่แล้ว: ในการดำเนินการแรกคุณต้องเลือกตัวคูณของผลต่าง/ผลรวมของราก ในการดำเนินการที่สอง - กำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม/ผลต่าง

เคล็ดลับ 2: วิธีกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน

สัญกรณ์ที่ถูกต้องสำหรับจำนวนเศษส่วนไม่มีอยู่ ความไร้เหตุผลวี ตัวส่วน- สัญกรณ์ดังกล่าวง่ายต่อการเข้าใจในลักษณะที่ปรากฏดังนั้นเมื่อใด ความไร้เหตุผลวี ตัวส่วนเป็นการฉลาดที่จะกำจัดมัน ในกรณีนี้ ความไร้เหตุผลอาจกลายเป็นตัวเศษได้

คำแนะนำ

1. ขั้นแรก มาดูตัวอย่างดั้งเดิม - 1/sqrt(2) รากที่สองของ 2 เป็นจำนวนอตรรกยะใน ตัวส่วน.ในกรณีนี้ คุณต้องคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวส่วน ซึ่งจะให้จำนวนที่เหมาะสมค่ะ ตัวส่วน- โดยแท้แล้ว sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2 การคูณรากที่สองที่เหมือนกัน 2 ตัวจะทำให้เกิดค่าที่อยู่ใต้รากทั้งหมด: ในกรณีนี้คือ 2 ผลลัพธ์: 1/sqrt (2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2 อัลกอริธึมนี้ยังเหมาะสำหรับเศษส่วนในหน่วยนิ้วด้วย ตัวส่วนโดยให้รากคูณด้วยจำนวนอันสมควร ตัวเศษและส่วนในกรณีนี้จะต้องคูณด้วยรากที่อยู่ในนั้น ตัวส่วน.ตัวอย่าง: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

2. แน่นอนว่าควรทำสิ่งนี้หาก ตัวส่วนไม่ใช่รากที่สองที่พบ แต่เป็นรากที่สามหรือระดับอื่นใด รูทเข้า ตัวส่วนจำเป็นต้องคูณด้วยรูทเดียวกันทุกประการและตัวเศษก็คูณด้วยรูทเดียวกันด้วย แล้วรากจะเข้าไปอยู่ในตัวเศษ.

3. ในกรณีที่ยากขึ้นใน ตัวส่วนมีผลรวมหรือผลต่างของจำนวนอตรรกยะและจำนวนสมเหตุสมผล หรือจำนวนอตรรกยะ 2 จำนวน ในกรณีของผลรวม (ผลต่าง) ของรากที่สอง 2 ตัวหรือรากที่สองและจำนวนที่สมเหตุสมผล คุณสามารถใช้สูตรที่มีชื่อเสียงได้ (x+y )(x-y) = (x^2 )-(y^2) มันจะช่วยให้คุณกำจัด ความไร้เหตุผลวี ตัวส่วน- ถ้าเข้า. ตัวส่วนความแตกต่างจากนั้นคุณจะต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วยผลรวมของตัวเลขเดียวกันถ้าผลรวม - จากนั้นด้วยผลต่าง ผลรวมหรือส่วนต่างที่คูณนี้จะเรียกว่าคอนจูเกตของนิพจน์นั้น ตัวส่วน. ผลลัพธ์ของโครงร่างนี้มองเห็นได้ชัดเจนในตัวอย่าง: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2 )-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1

4. ถ้าเข้า. ตัวส่วนมีผลรวม (ความแตกต่าง) ซึ่งมีรากในระดับที่ใหญ่กว่าอยู่ แล้วสถานการณ์ก็กลายเป็นเรื่องไม่สำคัญและหลุดพ้นจาก ความไร้เหตุผลวี ตัวส่วนเป็นที่ยอมรับไม่ได้เสมอไป

เคล็ดลับ 3: วิธีปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน

เศษส่วนประกอบด้วยตัวเศษซึ่งอยู่ด้านบนของเส้น และตัวส่วนซึ่งตัวหารจะหารอยู่ด้านล่าง จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงในรูปแบบได้ เศษส่วนโดยมีจำนวนเต็มในตัวเศษและจำนวนธรรมชาติเข้า ตัวส่วน- ตัวเลขดังกล่าวคือรากที่สองของ 2 หรือพาย ตามธรรมเนียมแล้วเมื่อพูดถึงความไร้เหตุผลค่ะ ตัวส่วนรากคือนัยโดยนัย

คำแนะนำ

1. กำจัดความไร้เหตุผลด้วยการคูณด้วยตัวส่วน วิธีนี้ความไร้เหตุผลจะถูกโอนไปยังตัวเศษ เมื่อคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกันจะได้ค่า เศษส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ใช้ตัวเลือกนี้หากตัวส่วนแต่ละตัวเป็นราก

2. คูณตัวเศษและส่วนด้วยตัวส่วนตามจำนวนครั้งที่ต้องการ ขึ้นอยู่กับราก ถ้ารูทเป็นรูปสี่เหลี่ยมก็ให้หนึ่งครั้ง

3. ลองพิจารณาตัวอย่างรากที่สอง หาเศษส่วน (56-y)/√(x+2) มันมีตัวเศษ (56-y) และตัวส่วนไม่ลงตัว √(x+2) ซึ่งก็คือรากที่สอง

4. คูณทั้งเศษและส่วน เศษส่วนถึงตัวส่วน นั่นคือ ถึง √(x+2) ตัวอย่างเดิม (56-y)/√(x+2) จะกลายเป็น ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)) ผลลัพธ์จะเป็น ((56-y)*√(x+2))/(x+2) ตอนนี้รูทอยู่ในตัวเศษ และเข้า ตัวส่วนไม่มีเหตุผล

5. ไม่ใช่ตัวส่วนเสมอไป เศษส่วนแต่ละคนอยู่ใต้ราก กำจัดความไร้เหตุผลโดยใช้สูตร (x+y)*(x-y)=x²-y²

6. ลองพิจารณาตัวอย่างด้วยเศษส่วน (56-y)/(√(x+2)-√y) ตัวหารไม่ลงตัวมีผลต่างของรากที่สอง 2 อัน เติมตัวส่วนให้สมบูรณ์เพื่อสร้าง (x+y)*(x-y)

7. คูณตัวส่วนด้วยผลรวมของราก. คูณตัวเศษด้วยค่าเดียวกันเพื่อให้ได้ค่า เศษส่วนยังไม่เปลี่ยนแปลง เศษส่วนจะอยู่ในรูปแบบ ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).

8. ใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติข้างต้น (x+y)*(x-y)=x²-y² และปลดตัวส่วนออกจากการไร้เหตุผล ผลลัพธ์จะเป็น ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y) ตอนนี้รากอยู่ในตัวเศษ และตัวส่วนได้กำจัดความไม่ลงตัวแล้ว.

9. ในกรณีที่ยาก ให้ทำซ้ำทั้งสองตัวเลือกนี้ โดยใช้เท่าที่จำเป็น โปรดทราบว่าเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะกำจัดความไร้เหตุผลออกไป ตัวส่วน .

เศษส่วนพีชคณิตคือนิพจน์ในรูปแบบ A/B โดยที่ตัวอักษร A และ B หมายถึงนิพจน์ตัวเลขหรือตัวอักษรใดๆ บ่อยครั้งที่ตัวเศษและส่วนในเศษส่วนพีชคณิตมีรูปแบบขนาดใหญ่ แต่การดำเนินการกับเศษส่วนดังกล่าวควรทำตามกฎเดียวกันกับการกระทำกับเศษส่วนสามัญ โดยที่ตัวเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มบวก

คำแนะนำ

1. ถ้าให้ผสม เศษส่วนให้แปลงให้เป็นเศษส่วนไม่ปกติ (เศษส่วนที่ตัวเศษมากกว่าตัวส่วน): คูณตัวส่วนด้วยส่วนทั้งหมดแล้วบวกตัวเศษ เลข 2 1/3 จะกลายเป็น 7/3. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณ 3 ด้วย 2 แล้วบวกหนึ่ง

2. หากคุณต้องการแปลงทศนิยมเป็นเศษส่วนเกิน ให้คิดว่าเป็นการหารตัวเลขโดยไม่มีจุดทศนิยมด้วยหนึ่งตัวโดยมีศูนย์มากเท่ากับจำนวนตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยม สมมติว่า ลองนึกภาพตัวเลข 2.5 เป็น 25/10 (ถ้าคุณย่อให้สั้นลง คุณจะได้ 5/2) และตัวเลข 3.61 เป็น 361/100 การใช้เศษส่วนเกินมักจะง่ายกว่าการใช้เศษส่วนผสมหรือทศนิยม

3. หากเศษส่วนมีตัวส่วนเท่ากันและคุณจำเป็นต้องบวก ก็แค่บวกตัวเศษ ตัวส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

4. หากคุณต้องการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ให้ลบตัวเศษของเศษส่วนที่ 2 ออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก ตัวส่วนก็ไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน

5. หากคุณต้องการบวกเศษส่วนหรือลบเศษส่วนหนึ่งจากอีกเศษส่วนหนึ่งและมีตัวส่วนต่างกัน ให้ลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนร่วม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาตัวเลขที่จะเป็นตัวคูณสากลที่น้อยที่สุด (LCM) ของตัวส่วนทั้งสองหรือหลายตัวหากเศษส่วนนั้นมากกว่า 2 LCM คือตัวเลขที่จะหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนดทั้งหมด ตัวอย่างเช่น สำหรับ 2 และ 5 ตัวเลขนี้คือ 10

6. หลังเครื่องหมายเท่ากับ ให้ลากเส้นแนวนอนแล้วเขียนตัวเลขนี้ (NOC) ลงในส่วนของ เพิ่มตัวประกอบเพิ่มเติมให้กับเทอมทั้งหมด - ตัวเลขที่คุณต้องคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนเพื่อให้ได้ LCM คูณตัวเศษทีละขั้นตอนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม โดยคงเครื่องหมายของการบวกหรือการลบไว้

7. คำนวณผลรวม ลดหากจำเป็น หรือเลือกทั้งหมด เช่นจำเป็นต้องพับไหม? และ?. LCM สำหรับเศษส่วนทั้งสองคือ 12 จากนั้นตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแรกคือ 4 สำหรับเศษส่วนที่ 2 - 3 ผลรวม: ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12

8. ถ้าให้ตัวอย่างการคูณ ให้นำตัวเศษมาคูณกัน (ซึ่งก็คือตัวเศษของผลรวม) และตัวส่วน (ซึ่งจะเป็นตัวส่วนของผลรวม) ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องลดให้เป็นตัวส่วนร่วม

9. หากต้องการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องพลิกเศษส่วนที่สองกลับด้านแล้วคูณเศษส่วน นั่นคือ a/b: c/d = a/b · d/c

10. แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วนตามความจำเป็น ตัวอย่างเช่น ย้ายตัวประกอบสากลออกจากวงเล็บหรือขยายตามสูตรการคูณแบบย่อ เพื่อว่าหลังจากนี้คุณสามารถลดตัวเศษและส่วนด้วย GCD ซึ่งเป็นตัวหารสากลขั้นต่ำหากจำเป็น

บันทึก!
บวกตัวเลขกับตัวเลข ตัวอักษรชนิดเดียวกัน กับตัวอักษรชนิดเดียวกัน สมมติว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะบวก 3a และ 4b ซึ่งหมายความว่าผลรวมหรือผลต่างจะยังคงอยู่ในตัวเศษ - 3a±4b

ในชีวิตประจำวัน ตัวเลขปลอมมีมากขึ้น: 1, 2, 3, 4 ฯลฯ (มันฝรั่ง 5 กก.) และเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม (หัวหอม 5.4 กก.) หลายๆอย่างจะถูกนำเสนอใน รูปร่างเศษส่วนทศนิยม แต่แทนเศษส่วนทศนิยมเข้า รูปร่าง เศษส่วนค่อนข้างง่าย

คำแนะนำ

1. สมมติว่าได้รับหมายเลข “0.12” หากคุณไม่ลดเศษส่วนทศนิยมนี้และนำเสนอตามที่เป็นอยู่ มันจะมีลักษณะดังนี้: 12/100 (“สิบสองในร้อย”) ในการที่จะกำจัดร้อยในตัวส่วนออก คุณต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวเลขที่หารมันเป็นจำนวนเต็ม จำนวนนี้คือ 4 จากนั้น เมื่อหารทั้งเศษและส่วน เราจะได้ตัวเลข: 3/25

2. หากเราพิจารณาสถานการณ์ในชีวิตประจำวัน บ่อยครั้งบนป้ายราคาของผลิตภัณฑ์ จะเห็นได้ชัดว่าน้ำหนักของมันอยู่ที่ 0.478 กิโลกรัมหรือมากกว่านั้น ตัวเลขนี้ก็ง่ายต่อการจินตนาการเช่นกัน รูปร่าง เศษส่วน:478/1000 = 239/500 เศษส่วนนี้ค่อนข้างน่าเกลียด และหากมีความน่าจะเป็น เศษส่วนทศนิยมนี้ก็จะถูกลดขนาดลงไปอีก และในลักษณะเดียวกัน: การเลือกจำนวนที่หารทั้งเศษและส่วน จำนวนนี้เรียกว่าตัวประกอบสากลที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ตัวประกอบนี้ชื่อว่า "ใหญ่ที่สุด" เนื่องจากสะดวกกว่ามากในการหารทั้งเศษและส่วนด้วย 4 ทันที (ดังตัวอย่างแรก) แทนที่จะหารสองครั้งด้วย 2

วิดีโอในหัวข้อ

ทศนิยม เศษส่วน- ความหลากหลาย เศษส่วนซึ่งมีเลข “กลม” อยู่ในตัวส่วน เช่น 10, 100, 1,000 เป็นต้น พูดว่า เศษส่วน 5/10 มีจุดทศนิยมเท่ากับ 0.5 จากวิทยานิพนธ์ฉบับนี้ เศษส่วนสามารถแสดงเป็นทศนิยมได้ เศษส่วน .

คำแนะนำ

1. เป็นไปได้ ต้องแสดงเป็นทศนิยม เศษส่วน 18/25 ขั้นแรก คุณต้องแน่ใจว่าตัวเลข “กลม” ตัวใดตัวหนึ่งปรากฏในตัวส่วน: 100, 1,000 เป็นต้น ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องคูณตัวส่วนด้วย 4 แต่คุณจะต้องคูณทั้งตัวเศษและส่วนด้วย 4

2. การคูณทั้งเศษและส่วน เศษส่วน 18/25 คูณ 4 ได้ 72/100. สิ่งนี้ถูกบันทึกไว้ เศษส่วนในรูปแบบทศนิยม: 0.72

เมื่อหารเศษส่วนทศนิยม 2 ตัว เมื่อไม่มีเครื่องคิดเลข หลายคนประสบปัญหา ไม่มีอะไรยากจริงๆที่นี่ ทศนิยม เศษส่วนจะถูกเรียกเช่นนี้ถ้าตัวส่วนมีจำนวนที่เป็นจำนวนเท่าของ 10 ตามปกติแล้ว จำนวนดังกล่าวจะเขียนอยู่ในบรรทัดเดียวและมีเครื่องหมายจุลภาคเพื่อแยกส่วนที่เป็นเศษส่วนออกจากส่วนทั้งหมด เห็นได้ชัดว่าเนื่องจากการมีส่วนที่เป็นเศษส่วนซึ่งแตกต่างกันในจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมจึงไม่ชัดเจนสำหรับหลาย ๆ คนว่าจะดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวเลขดังกล่าวโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขได้อย่างไร

คุณจะต้องการ

• แผ่นกระดาษดินสอ

คำแนะนำ

1. ปรากฎว่าในการหารเศษส่วนทศนิยมหนึ่งด้วยอีกเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องดูตัวเลขทั้งสองและพิจารณาว่าตัวเลขใดมีหลักหลังจุดทศนิยมมากกว่า เราคูณตัวเลขทั้งสองด้วยตัวเลขที่เป็นพหุคูณของ 10 นั่นคือ 10, 1,000 หรือ 100,000 คือจำนวนศูนย์ซึ่งเท่ากับจำนวนหลักที่มากกว่าหลังจุดทศนิยมของหนึ่งใน 2 ตัวเลขเริ่มต้นของเรา ตอนนี้ทั้งสองเป็นทศนิยม เศษส่วนกลายเป็นจำนวนเต็มธรรมดา หยิบกระดาษด้วยดินสอแล้วแยกตัวเลขผลลัพธ์ทั้งสองด้วย "มุม" เราได้รับผลลัพธ์

2. สมมติว่าเราต้องหารจำนวน 7.456 ด้วย 0.43 ตัวเลขแรกมีทศนิยมมากกว่า (ทศนิยม 3 ตำแหน่ง) ดังนั้นเราจึงคูณตัวเลขทั้งสองที่ไม่ใช่ด้วย 1,000 และได้จำนวนเต็มพื้นฐานสองตัว: 7456 และ 430 ตอนนี้เราหาร 7456 ด้วย 430 ด้วย "มุม" และเราจะได้ว่าหากหาร 7.456 เมื่อเวลา 0.43 จะออกมาประมาณ 17.3

3. มีวิธีการแบ่งแบบอื่น การเขียนทศนิยม เศษส่วนในรูปเศษส่วนดั้งเดิมที่มีทั้งเศษและส่วนในกรณีของเราคือ 7456/1000 และ 43/100 ต่อมา เราเขียนนิพจน์สำหรับการหารเศษส่วนดั้งเดิม 2 ตัว: 7456*100/1000*43 หลังจากนั้นเราลดหลักสิบลง เราได้: 7456/10*43 = 7456/430 ในผลลัพธ์สุดท้าย เราจะได้การหารอีกครั้ง เลขดั้งเดิม 2 ตัว 7456 และ 430 ซึ่งผลิตได้ด้วย "มุม"

วิดีโอในหัวข้อ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
ดังนั้น วิธีการหารเศษส่วนทศนิยมคือการลดเศษส่วนให้เป็นจำนวนเต็ม โดยต้องคูณเศษส่วนแต่ละเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน การดำเนินการกับจำนวนเต็มตามปกติไม่ทำให้ใครลำบาก

วิดีโอในหัวข้อ

ในหัวข้อนี้ เราจะพิจารณาขีดจำกัดทั้งสามกลุ่มด้วยความไร้เหตุผลตามรายการข้างต้น เริ่มจากขีดจำกัดที่มีความไม่แน่นอนของรูปแบบ $\frac(0)(0)$

การเปิดเผยความไม่แน่นอน $\frac(0)(0)$

วิธีแก้ไขตัวอย่างมาตรฐานประเภทนี้มักประกอบด้วยสองขั้นตอน:

• เรากำจัดความไม่มีเหตุผลที่ทำให้เกิดความไม่แน่นอนโดยการคูณด้วยสำนวนที่เรียกว่า "คอนจูเกต"
• หากจำเป็น ให้แยกตัวประกอบนิพจน์เป็นตัวเศษหรือตัวส่วน (หรือทั้งสองอย่าง)
• เราลดปัจจัยที่นำไปสู่ความไม่แน่นอนและคำนวณค่าขีดจำกัดที่ต้องการ

คำว่า "การแสดงออกแบบคอนจูเกต" ที่ใช้ข้างต้นจะถูกอธิบายโดยละเอียดในตัวอย่าง ในตอนนี้ไม่มีเหตุผลที่จะกล่าวถึงรายละเอียดนี้อีกต่อไป โดยทั่วไป คุณสามารถไปทางอื่นได้โดยไม่ต้องใช้นิพจน์คอนจูเกต บางครั้งการทดแทนที่เลือกสรรมาอย่างดีสามารถขจัดความไร้เหตุผลได้ ตัวอย่างดังกล่าวหาได้ยากในการทดสอบมาตรฐาน ดังนั้นเราจะพิจารณาเพียงตัวอย่างที่ 6 เพียงตัวอย่างเดียวสำหรับการใช้ทดแทน (ดูส่วนที่สองของหัวข้อนี้)

เราจะต้องมีหลายสูตร ซึ่งฉันจะเขียนไว้ด้านล่าง:

\begin(สมการ) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(สมการ) \begin(สมการ) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(สมการ) \begin(สมการ) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(สมการ) \begin (สมการ) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(สมการ)

นอกจากนี้เรายังถือว่าผู้อ่านรู้สูตรการแก้สมการกำลังสอง หาก $x_1$ และ $x_2$ เป็นรากของตรีโกณมิติกำลังสอง $ax^2+bx+c$ ก็สามารถแยกตัวประกอบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

\begin(สมการ) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(สมการ)

สูตร (1)-(5) เพียงพอสำหรับการแก้ปัญหามาตรฐาน ซึ่งเราจะพูดถึงต่อไป

ตัวอย่างหมายเลข 1

หา $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$

เนื่องจาก $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ และ $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$ จากนั้นในขีดจำกัดที่กำหนด เรามีความไม่แน่นอนในรูปแบบ $\frac(0)(0)$ ความแตกต่าง $\sqrt(7-x)-2$ ทำให้เราไม่สามารถเปิดเผยความไม่แน่นอนนี้ได้ เพื่อกำจัดความไร้เหตุผลดังกล่าว จึงมีการใช้การคูณด้วยสิ่งที่เรียกว่า "นิพจน์คอนจูเกต" ตอนนี้เรามาดูกันว่าการคูณดังกล่าวทำงานอย่างไร คูณ $\sqrt(7-x)-2$ ด้วย $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

หากต้องการเปิดวงเล็บ ให้ใช้ โดยแทนที่ $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ ไปทางด้านขวาของสูตรที่กล่าวถึง:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

อย่างที่คุณเห็น หากคุณคูณตัวเศษด้วย $\sqrt(7-x)+2$ ราก (นั่นคือ การไม่มีเหตุผล) ในตัวเศษจะหายไป นิพจน์นี้ $\sqrt(7-x)+2$ จะเป็น ผันไปยังนิพจน์ $\sqrt(7-x)-2$ อย่างไรก็ตาม เราไม่สามารถคูณตัวเศษด้วย $\sqrt(7-x)+2$ ได้ เพราะสิ่งนี้จะเปลี่ยนเศษส่วน $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ ซึ่งก็คือ ภายใต้ขีดจำกัด คุณต้องคูณทั้งเศษและส่วนในเวลาเดียวกัน:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

ตอนนี้ จำไว้ว่า $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ แล้วเปิดวงเล็บออก และหลังจากเปิดวงเล็บและการแปลงเล็กน้อย $3-x=-(x-3)$ เราจะลดเศษส่วนลง $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\ถึง 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\ถึง 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\ถึง 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

ความไม่แน่นอน $\frac(0)(0)$ ได้หายไปแล้ว ตอนนี้คุณสามารถรับคำตอบของตัวอย่างนี้ได้อย่างง่ายดาย:

$$ \lim_(x\ถึง 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

ฉันสังเกตว่านิพจน์คอนจูเกตสามารถเปลี่ยนโครงสร้างของมันได้ ขึ้นอยู่กับว่าควรลบความไม่มีเหตุผลแบบใด ในตัวอย่างหมายเลข 4 และหมายเลข 5 (ดูส่วนที่สองของหัวข้อนี้) จะใช้นิพจน์คอนจูเกตประเภทอื่น

คำตอบ: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

ตัวอย่างหมายเลข 2

หา $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$

เนื่องจาก $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ และ $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$ แล้วเรา กำลังเผชิญกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ $\frac(0)(0)$ กำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วนของเศษส่วนนี้ออกไป. ในการทำเช่นนี้ เราบวกทั้งเศษและส่วนของเศษส่วน $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ ไปยัง นิพจน์ $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ ผันเข้ากับตัวส่วน:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

เช่นเดียวกับตัวอย่างที่ 1 คุณต้องใช้วงเล็บเพื่อขยาย เมื่อแทน $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ ไปทางด้านขวาของสูตรที่กล่าวถึง เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้สำหรับตัวส่วน:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ ขวา)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

กลับไปสู่ขีดจำกัดของเรา:

$$ \lim_(x\ถึง 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\ถึง 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

ในตัวอย่างที่ 1 เกือบจะทันทีหลังจากการคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกต เศษส่วนก็ลดลง ที่นี่ ก่อนการลดลง คุณจะต้องแยกตัวประกอบนิพจน์ $3x^2-5x-2$ และ $x^2-4$ แล้วจึงดำเนินการลดต่อเท่านั้น หากต้องการแยกตัวประกอบนิพจน์ $3x^2-5x-2$ คุณต้องใช้ . ก่อนอื่น มาแก้สมการกำลังสอง $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(ชิด) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(ชิด) $$

แทน $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ เข้าไป เราจะได้:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2) -

ตอนนี้ถึงเวลาแยกตัวประกอบนิพจน์ $x^2-4$ แล้ว ลองใช้ แทนที่ $a=x$, $b=2$ ลงไป:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

ลองใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ เนื่องจาก $x^2-4=(x-2)(x+2)$ และ $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$ ดังนั้น:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\ถึง 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

ลดด้วยวงเล็บ $x-2$ เราจะได้:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2) -

ทั้งหมด! ความไม่แน่นอนก็หายไป อีกขั้นตอนหนึ่งเราก็ได้คำตอบ:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4) -

คำตอบ: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

ในตัวอย่างถัดไป ให้พิจารณากรณีที่ความไม่ลงตัวจะปรากฏทั้งตัวเศษและส่วนของเศษส่วน

ตัวอย่างหมายเลข 3

หา $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

เนื่องจาก $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ และ $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$ แล้วเราจะมีความไม่แน่นอนของรูปแบบ $ \frac (0)(0)$. เนื่องจากในกรณีนี้รากมีอยู่ทั้งตัวส่วนและตัวเศษ เพื่อกำจัดความไม่แน่นอน คุณจะต้องคูณด้วยสองวงเล็บในคราวเดียว ขั้นแรก ไปยังนิพจน์ $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ ผันไปยังตัวเศษ และประการที่สอง ในนิพจน์ $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ ผันเข้ากับตัวส่วน

$$ \lim_(x\ถึง 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\ซ้าย|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\ถึง 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(ชิด) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(ชิด) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4) -

สำหรับนิพจน์ $x^2-8x+15$ เราจะได้:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(ชิด) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(จัดแนว)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5) -

การแทนที่ส่วนขยายผลลัพธ์ $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ และ $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ เข้าไปในขีดจำกัด อยู่ระหว่างการพิจารณาจะมี:

$$ \lim_(x\ถึง 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\ถึง 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\ถึง 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6 -

คำตอบ: $\lim_(x\ถึง 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

ในส่วนถัดไป (ที่สอง) เราจะพิจารณาตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างที่นิพจน์คอนจูเกตจะมีรูปแบบที่แตกต่างจากปัญหาก่อนหน้านี้ สิ่งสำคัญที่ต้องจำก็คือจุดประสงค์ของการใช้นิพจน์คอนจูเกตคือเพื่อกำจัดความไม่มีเหตุผลที่ทำให้เกิดความไม่แน่นอน

เมื่อศึกษาการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว คำถามที่สำคัญมากคือจะกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนได้อย่างไร วัตถุประสงค์ของบทความนี้คือการอธิบายการดำเนินการนี้โดยใช้ปัญหาตัวอย่างเฉพาะ ในย่อหน้าแรกเราจะดูกฎพื้นฐานของการเปลี่ยนแปลงนี้และในตัวอย่างที่สอง - ตัวอย่างทั่วไปพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

แนวคิดของการปลดปล่อยจากความไร้เหตุผลในตัวส่วน

เริ่มต้นด้วยการอธิบายว่าการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมีความหมายว่าอย่างไร เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดจำข้อกำหนดต่อไปนี้

เราสามารถพูดถึงความไม่ลงตัวในตัวส่วนของเศษส่วนได้หากมีรากหรือที่เรียกว่าสัญลักษณ์ของราก ตัวเลขที่เขียนโดยใช้เครื่องหมายนี้มักจะไม่มีเหตุผล ตัวอย่างคือ 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5 เศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่ลงตัวยังรวมถึงเศษส่วนที่มีเครื่องหมายรากขององศาต่างๆ (สี่เหลี่ยมจัตุรัสลูกบาศก์ ฯลฯ ) เช่น 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y คุณควรกำจัดความไร้เหตุผลเพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและอำนวยความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติม มากำหนดคำจำกัดความพื้นฐาน:

คำจำกัดความ 1

ปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน- หมายถึง การแปลงโดยแทนที่ด้วยเศษส่วนที่เท่ากัน ซึ่งตัวส่วนไม่มีรากหรือกำลัง

การกระทำดังกล่าวอาจเรียกว่าการปลดปล่อยหรือการขจัดความไร้เหตุผล แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นการเปลี่ยนจาก 1 2 เป็น 2 2 เช่น เป็นเศษส่วนที่มีค่าเท่ากันโดยไม่มีเครื่องหมายรูตในตัวส่วนและจะเป็นการกระทำที่เราต้องการ ลองอีกตัวอย่างหนึ่ง: เรามีเศษส่วน x x - y ให้เราดำเนินการแปลงที่จำเป็นและรับเศษส่วนที่เท่ากัน x · x + y x - y ปลดปล่อยตัวเองจากความไม่ลงตัวในตัวส่วน

หลังจากกำหนดคำจำกัดความแล้ว เราสามารถดำเนินการศึกษาลำดับของการกระทำที่ต้องดำเนินการสำหรับการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวได้โดยตรง

ขั้นตอนพื้นฐานในการกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วนของเศษส่วน

ในการกำจัดราก คุณต้องทำการแปลงเศษส่วนสองครั้งติดต่อกัน: คูณทั้งสองส่วนของเศษส่วนด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ จากนั้นจึงแปลงนิพจน์ที่ได้รับในตัวส่วน ลองพิจารณากรณีหลัก ๆ

ในกรณีที่ง่ายที่สุด คุณสามารถแก้ได้โดยการแปลงตัวส่วน ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากับรากของ 9 เมื่อคำนวณ 9 แล้ว เราก็เขียน 3 ในตัวส่วนและกำจัดความไร้เหตุผลออกไป

อย่างไรก็ตามบ่อยครั้งที่จำเป็นต้องคูณตัวเศษและส่วนด้วยตัวเลขซึ่งจะทำให้ตัวส่วนถูกนำไปยังรูปแบบที่ต้องการ (โดยไม่ต้องรูท) ดังนั้น หากเราคูณ 1 x + 1 ด้วย x + 1 เราจะได้เศษส่วน x + 1 x + 1 x + 1 และสามารถแทนที่นิพจน์ในตัวส่วนด้วย x + 1 ได้ เราก็แปลง 1 x + 1 เป็น x + 1 x + 1 โดยกำจัดความไร้เหตุผลไป

บางครั้งการเปลี่ยนแปลงที่คุณต้องดำเนินการค่อนข้างเฉพาะเจาะจง ลองดูตัวอย่างประกอบบางส่วน

วิธีแปลงนิพจน์เป็นตัวส่วนของเศษส่วน

อย่างที่เราบอกไป วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแปลงตัวส่วน

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:ปลดปล่อยเศษส่วน 1 2 · 18 + 50 ออกจากความไม่ลงตัวในตัวส่วน

สารละลาย

ก่อนอื่น ให้เปิดวงเล็บแล้วได้นิพจน์ 1 2 18 + 2 50 เมื่อใช้คุณสมบัติพื้นฐานของราก เราจะไปยังนิพจน์ 1 2 18 + 2 50 เราคำนวณค่าของทั้งสองนิพจน์ใต้รากและรับ 1 36 + 100 ที่นี่คุณสามารถแยกรากได้แล้ว ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วน 1 6 + 10 เท่ากับ 1 16 การเปลี่ยนแปลงสามารถทำได้ที่นี่

มาเขียนความคืบหน้าของโซลูชันทั้งหมดโดยไม่ต้องแสดงความคิดเห็น:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

คำตอบ: 1 2 18 + 50 = 1 16.

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:ให้เศษส่วน 7 - x (x + 1) 2. กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน

สารละลาย

ก่อนหน้านี้ในบทความเกี่ยวกับการแปลงนิพจน์ที่ไม่ลงตัวโดยใช้คุณสมบัติของราก เราได้กล่าวไว้ว่าสำหรับ A และแม้แต่ n ใดๆ เราสามารถแทนที่นิพจน์ A n n ด้วย | ก | ตลอดช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปรทั้งหมด ดังนั้น ในกรณีของเรา เราสามารถเขียนได้ดังนี้: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 ด้วยวิธีนี้เราจึงหลุดพ้นจากความไร้เหตุผลในตัวส่วน

คำตอบ: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 .

กำจัดความไร้เหตุผลด้วยการคูณราก

หากตัวส่วนของเศษส่วนมีนิพจน์อยู่ในรูปแบบ A และนิพจน์ A เองไม่มีสัญญาณของการเป็นราก เราก็สามารถหลุดพ้นจากการไร้เหตุผลได้โดยการคูณทั้งสองข้างของเศษส่วนดั้งเดิมด้วย A ความเป็นไปได้ของการดำเนินการนี้พิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่า A จะไม่เปลี่ยนเป็น 0 ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ หลังจากการคูณ ตัวส่วนจะมีนิพจน์ในรูปแบบ A · A ซึ่งง่ายต่อการกำจัดราก: A · A = A 2 = A เรามาดูวิธีการใช้วิธีนี้อย่างถูกต้องในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:ให้เศษส่วน x 3 และ - 1 x 2 + y - 4 กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนออกไป

สารละลาย

ลองคูณเศษส่วนแรกด้วยรากที่สองของ 3 เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

ในกรณีที่สอง เราต้องคูณด้วย x 2 + y - 4 และแปลงนิพจน์ผลลัพธ์ในตัวส่วน:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + ปี - 4

คำตอบ: x 3 = x · 3 3 และ - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

หากตัวหารของเศษส่วนดั้งเดิมมีนิพจน์ในรูปแบบ A n m หรือ A m n (ขึ้นอยู่กับธรรมชาติ m และ n) เราต้องเลือกปัจจัยเพื่อให้สามารถแปลงนิพจน์ผลลัพธ์เป็น A n n k หรือ A n k n (ขึ้นอยู่กับธรรมชาติ ฏ) หลังจากนี้ก็จะกำจัดความไร้เหตุผลได้ง่าย ลองดูตัวอย่างนี้

ตัวอย่างที่ 4

เงื่อนไข:ให้เศษส่วน 7 6 3 5 และ x x 2 + 1 4 15 กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน

สารละลาย

เราจำเป็นต้องหาจำนวนธรรมชาติที่หารด้วย 5 ได้ และต้องมากกว่า 3 เพื่อให้เลขชี้กำลัง 6 เท่ากับ 5 เราต้องคูณด้วย 6 2 5 ดังนั้น เราจะต้องคูณทั้งสองส่วนของเศษส่วนเดิมด้วย 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

ในกรณีที่สอง เราต้องการจำนวนมากกว่า 15 ซึ่งสามารถหารด้วย 4 ได้โดยไม่มีเศษ เรารับ 16. หากต้องการได้เลขยกกำลังในตัวส่วน เราจำเป็นต้องนำ x 2 + 1 4 เป็นตัวประกอบ ให้เราชี้แจงว่าค่าของนิพจน์นี้จะไม่เป็น 0 ไม่ว่าในกรณีใด เราคำนวณ:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

คำตอบ: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 และ x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

กำจัดความไร้เหตุผลด้วยการคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกต

วิธีการต่อไปนี้เหมาะสำหรับกรณีที่ตัวส่วนของเศษส่วนดั้งเดิมมีนิพจน์ a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b ในกรณีเช่นนี้ เราจำเป็นต้องนำนิพจน์คอนจูเกตมาเป็นปัจจัย ให้เราอธิบายความหมายของแนวคิดนี้

สำหรับนิพจน์แรก a + b คอนจูเกตจะเป็น a - b สำหรับนิพจน์ที่สอง a - b – a + b สำหรับ a + b – a - b สำหรับ a - b – a + b สำหรับ a + b – a - b และสำหรับ a - b – a + b กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิพจน์คอนจูเกตคือนิพจน์ที่เทอมที่สองนำหน้าด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

เรามาดูกันว่าวิธีนี้คืออะไร สมมุติว่าเรามีผลคูณอยู่ในรูป a - b · a + b มันสามารถถูกแทนที่ด้วยผลต่างของกำลังสอง a - b · a + b = a 2 - b 2 หลังจากนั้นเราไปยังนิพจน์ a - b ไร้ราก ดังนั้นเราจึงปลดปล่อยตัวเองจากความไม่ลงตัวในตัวส่วนของเศษส่วนด้วยการคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกต ลองยกตัวอย่างภาพประกอบสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 5

เงื่อนไข:กำจัดความไร้เหตุผลในนิพจน์ 3 7 - 3 และ x - 5 - 2

สารละลาย

ในกรณีแรก เราใช้นิพจน์คอนจูเกตเท่ากับ 7 + 3 ตอนนี้เราคูณทั้งสองส่วนของเศษส่วนดั้งเดิมด้วย:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

ในกรณีที่สอง เราต้องการนิพจน์ - 5 + 2 ซึ่งเป็นสังยุคของนิพจน์ - 5 - 2 คูณทั้งเศษและส่วนด้วยมันแล้วได้:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะทำการแปลงก่อนที่จะคูณ: หากเราลบเครื่องหมายลบออกจากตัวส่วนก่อนจะคำนวณได้สะดวกกว่า:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

คำตอบ: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 และ x - 5 - 2 = x 2 - 5 3

สิ่งสำคัญคือต้องใส่ใจกับความจริงที่ว่านิพจน์ที่ได้รับจากการคูณจะไม่เปลี่ยนเป็น 0 สำหรับตัวแปรใด ๆ ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับนิพจน์นี้

ตัวอย่างที่ 6

เงื่อนไข:ให้เศษส่วน x x + 4 แปลงมันเพื่อไม่ให้นิพจน์ที่ไม่ลงตัวในตัวส่วน.

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับตัวแปร x มันถูกกำหนดโดยเงื่อนไข x ≥ 0 และ x + 4 ≠ 0 จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ที่ต้องการคือเซต x ≥ 0

สังยุคของตัวส่วนคือ x - 4 . เมื่อไหร่เราจะคูณมันได้? เฉพาะในกรณีที่ x - 4 ≠ 0 ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ จะเท่ากับเงื่อนไข x≠16 เป็นผลให้เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

ถ้า x เท่ากับ 16 เราจะได้:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

ดังนั้น x x + 4 = x · x - 4 x - 16 สำหรับค่าทั้งหมดของ x ที่อยู่ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ยกเว้น 16 ที่ x = 16 เราจะได้ x x + 4 = 2

คำตอบ: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

การแปลงเศษส่วนด้วยความไร้เหตุผลในตัวส่วนโดยใช้ผลรวมและผลต่างของสูตรกำลังสาม

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกตเพื่อใช้สูตรหาผลต่างของกำลังสอง บางครั้ง เพื่อกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วน จะเป็นประโยชน์ถ้าใช้สูตรการคูณแบบย่ออื่นๆ เช่น ผลต่างของลูกบาศก์ a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)- สูตรนี้สะดวกในการใช้งานหากตัวส่วนของเศษส่วนดั้งเดิมมีนิพจน์ที่มีรากระดับที่สามของรูปแบบ A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 ฯลฯ หากต้องการใช้ เราต้องคูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยกำลังสองบางส่วนของผลรวม A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 หรือผลต่าง A 3 - B 3 สูตรผลรวมก็ใช้วิธีเดียวกันได้ a 3 + b 3 = (a) (a 2 − a b + b 2).

ตัวอย่างที่ 7

เงื่อนไข:แปลงเศษส่วน 1 7 3 - 2 3 และ 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 เพื่อกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วน

สารละลาย

สำหรับเศษส่วนแรก เราจำเป็นต้องใช้วิธีการคูณทั้งสองส่วนด้วยกำลังสองบางส่วนของผลรวม 7 3 และ 2 3 เนื่องจากเราสามารถแปลงโดยใช้สูตรผลต่างของลูกบาศก์ได้:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

ในเศษส่วนที่สอง เราแทนตัวส่วนเป็น 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 นิพจน์นี้แสดงกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่าง 2 และ x 3 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถคูณเศษส่วนทั้งสองส่วนด้วยผลรวม 2 + x 3 และใช้สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์ ในการทำเช่นนี้จะต้องตรงตามเงื่อนไข 2 + x 3 ≠ 0 ซึ่งเทียบเท่ากับ x 3 ≠ - 2 และ x ≠ − 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

ลองแทน 8 เป็นเศษส่วนแล้วค้นหาค่า:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

มาสรุปกัน สำหรับ x ทั้งหมดที่รวมอยู่ในช่วงของค่าของเศษส่วนดั้งเดิม (ชุด R) ยกเว้น - 8 เราจะได้ 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x ถ้า x = 8 ดังนั้น 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4

คำตอบ: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8

การประยุกต์ใช้วิธีการแปลงต่างๆ อย่างสม่ำเสมอ

บ่อยครั้งในทางปฏิบัติมีตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าเมื่อเราไม่สามารถหลุดพ้นจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนโดยใช้เพียงวิธีเดียวได้ สำหรับพวกเขา คุณต้องทำการเปลี่ยนแปลงหลายครั้งอย่างสม่ำเสมอหรือเลือกโซลูชันที่ไม่ได้มาตรฐาน ลองใช้ปัญหาดังกล่าวกัน

ตัวอย่าง N

เงื่อนไข:แปลง 5 7 4 - 2 4 เพื่อกำจัดเครื่องหมายของรากในตัวส่วน

สารละลาย

ลองคูณทั้งสองด้านของเศษส่วนเดิมด้วยนิพจน์คอนจูเกต 7 4 + 2 4 ด้วยค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

ตอนนี้ลองใช้วิธีเดิมอีกครั้ง:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

คำตอบ: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เมื่อแปลงนิพจน์พีชคณิตเศษส่วนซึ่งมีตัวส่วนประกอบด้วยนิพจน์ที่ไม่ลงตัว เรามักจะพยายามแสดงเศษส่วนเพื่อให้ตัวส่วนมีเหตุผล หาก A,B,C,D,... เป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต คุณสามารถระบุกฎได้โดยกำจัดเครื่องหมายกรณฑ์ในตัวส่วนของนิพจน์ในรูปแบบ

ในกรณีทั้งหมดเหล่านี้ การหลุดพ้นจากความไร้เหตุผลทำได้โดยการคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบที่เลือก เพื่อให้ผลคูณของตัวส่วนของเศษส่วนนั้นมีเหตุผล

1) เพื่อกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนของแบบฟอร์ม . ในการคูณทั้งเศษและส่วนด้วย

ตัวอย่างที่ 1. .

2) ในกรณีเศษส่วนของแบบฟอร์ม คูณทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบที่ไม่ลงตัว

ตามลำดับ นั่นคือ การแสดงออกที่ไม่ลงตัวของคอนจูเกต

ความหมายของการกระทำสุดท้ายคือในตัวส่วนผลคูณของผลรวมและผลต่างจะถูกแปลงเป็นผลต่างของกำลังสองซึ่งจะเป็นนิพจน์ที่มีเหตุผลอยู่แล้ว

ตัวอย่างที่ 2 ปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนของนิพจน์:

วิธีแก้ไข ก) คูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยนิพจน์ เราได้รับ (โดยมีเงื่อนไขว่า)

3) ในกรณีของสำนวนเช่น

ตัวส่วนจะถือเป็นผลรวม (ผลต่าง) และคูณด้วยกำลังสองบางส่วนของผลต่าง (ผลรวม) เพื่อให้ได้ผลรวม (ผลต่าง) ของลูกบาศก์ ((20.11), (20.12)) ตัวเศษก็คูณด้วยตัวประกอบเดียวกันเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 3 ปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนของนิพจน์:

วิธีแก้ปัญหา ก) เมื่อพิจารณาตัวส่วนของเศษส่วนนี้เป็นผลรวมของตัวเลขและ 1 ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสองบางส่วนของผลต่างของตัวเลขเหล่านี้:

หรือสุดท้าย:

ในบางกรณี จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงในลักษณะตรงกันข้าม: เพื่อปลดปล่อยเศษส่วนจากการไร้เหตุผลในตัวเศษ มันดำเนินการในลักษณะเดียวกันทุกประการ

ตัวอย่างที่ 4 ปลดปล่อยตัวเองจากความไม่ลงตัวในตัวเศษของเศษส่วน