พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานหากทราบด้าน ปริมณฑลและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ภารกิจที่ 4

เส้นทแยงมุมหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีความยาว 4√6 ทำมุม 60 องศากับฐาน และเส้นทแยงมุมที่สองทำมุม 45° ด้วยฐานเดียวกัน หาเส้นทแยงมุมที่สอง

การตัดสินใจ.

1. AO = 2√6.

2. ใช้ทฤษฎีบทไซน์กับสามเหลี่ยม AOD

AO/บาป D = OD/บาป A

2√6/บาป 45 o = OD/บาป 60 o

OD = (2√6sin 60 o) / บาป 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6

คำตอบ: 12.

งาน 5.

สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน 5√2 และ 7√2 มุมที่เล็กกว่าระหว่างเส้นทแยงมุมจะเท่ากับมุมที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนาน หาผลรวมของความยาวของเส้นทแยงมุม.

การตัดสินใจ.

ให้ d 1, d 2 เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน และมุมระหว่างเส้นทแยงมุมกับมุมที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็น φ

1. ลองนับสองที่แตกต่างกัน
วิธีการของพื้นที่

S ABCD \u003d AB AD บาป A \u003d 5√2 7√2 บาป f

S ABCD \u003d 1/2 AC BD บาป AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 บาป f

เราได้รับความเท่าเทียมกัน 5√2 7√2 บาป f = 1/2d 1 d 2 บาป f หรือ

2 5√2 7√2 = วัน 1 วัน 2 ;

2. ใช้อัตราส่วนระหว่างด้านและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราเขียนความเท่าเทียมกัน

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

ง 1 2 + ง 2 2 = 296

3. มาสร้างระบบกันเถอะ:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

คูณสมการที่สองของระบบด้วย 2 แล้วบวกเข้ากับสมการแรก

เราได้ (d 1 + d 2) 2 = 576 ดังนั้น Id 1 + d 2 I = 24

ตั้งแต่ d 1, d 2 คือความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้น d 1 + d 2 = 24

คำตอบ: 24.

ภารกิจที่ 6

ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 4 และ 6 มุมแหลมระหว่างเส้นทแยงมุมคือ 45 o หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

การตัดสินใจ.

1. จากรูปสามเหลี่ยม AOB โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ เราเขียนความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานกับเส้นทแยงมุม

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. ในทำนองเดียวกัน เราเขียนความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยม AOD

เราคำนึงว่า<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

เราได้สมการ d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144

3. เรามีระบบ
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

ลบอันแรกออกจากสมการที่สอง เราได้ 2d 1 d 2 √2 = 80 หรือ

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD บาป AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 บาป α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10

บันทึก:ในปัญหานี้และในปัญหาก่อนหน้านี้ ไม่จำเป็นต้องแก้ไขระบบอย่างสมบูรณ์ โดยคาดว่าในปัญหานี้ เราต้องใช้ผลคูณของเส้นทแยงมุมเพื่อคำนวณพื้นที่

คำตอบ: 10.

ภารกิจที่ 7

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 96 และด้านเป็น 8 และ 15 หากำลังสองของเส้นทแยงมุมที่เล็กกว่า

การตัดสินใจ.

1. S ABCD \u003d AB AD บาป VAD ลองทำการแทนที่ในสูตรกัน

เราได้ 96 = 8 15 บาป VAD ดังนั้นบาป VAD = 4/5

2. ค้นหา cos BAD บาป 2 VAD + cos 2 VAD = 1

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25

ตามเงื่อนไขของปัญหา เราจะหาความยาวของเส้นทแยงมุมที่เล็กกว่า เส้นทแยงมุม BD จะเล็กลงถ้ามุม BAD เป็นแบบเฉียบพลัน จากนั้น cos BAD = 3 / 5

3. จากสามเหลี่ยม ABD โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ เราจะหากำลังสองของ BD แนวทแยง

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD เพราะ BAD

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145

คำตอบ: 145.

คุณมีคำถามใด ๆ หรือไม่? ไม่รู้ว่าจะแก้ปัญหาเรขาคณิตอย่างไรดี?
เพื่อรับความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน
บทเรียนแรก ฟรี!

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

สี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน งานหลักที่โรงเรียนในหัวข้อนี้คือการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน, ปริมณฑล, ความสูง, เส้นทแยงมุม ปริมาณและสูตรเหล่านี้สำหรับการคำนวณจะได้รับด้านล่าง

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมตรงข้ามมีค่าเท่ากัน:
AB=ซีดี, BC=โฆษณา ,

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่จุดตัดแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน:

AO=OC, OB=OD.

มุมที่อยู่ติดกับด้านใดด้านหนึ่ง (มุมที่อยู่ติดกัน) รวมกันได้ 180 องศา

เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นของสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากันและขนาดทางเรขาคณิต

คุณสมบัติเด่นอีกประการหนึ่งที่มักใช้ในการแก้ปัญหาคือ ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากับผลรวมของกำลังสองของทุกด้าน:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

คุณสมบัติหลักของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

1. รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
2. รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามเท่ากันคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน
3. รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านตรงข้ามเท่ากันและขนานกันคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน
4. ถ้าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมที่จุดตัดแบ่งครึ่ง นี่จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
5. รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมตรงข้ามกันเป็นคู่คือสี่เหลี่ยมด้านขนาน

แบ่งครึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

แบ่งครึ่งของมุมตรงข้ามในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถขนานหรือคู่กันได้

แบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกัน (ติดกับด้านใดด้านหนึ่ง) ตัดกันที่มุมฉาก (ตั้งฉาก)

ความสูงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ความสูงสี่เหลี่ยมด้านขนาน- นี่คือส่วนที่ดึงจากมุมตั้งฉากกับฐาน จากนี้ไปสามารถดึงความสูงได้สองระดับจากแต่ละมุม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านหนึ่งและความสูงที่ลากเข้าไป สูตรพื้นที่มีดังนี้

สูตรที่สองไม่ได้รับความนิยมน้อยในการคำนวณและถูกกำหนดดังนี้: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านประชิดโดยไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา

จากสูตรข้างต้น คุณจะทราบวิธีการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สูตรคำนวณเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ

นั่นคือปริมณฑลเป็นสองเท่าของผลบวกของด้าน งานบนสี่เหลี่ยมด้านขนานจะได้รับการพิจารณาในวัสดุใกล้เคียง แต่สำหรับตอนนี้ ศึกษาสูตร งานส่วนใหญ่ในการคำนวณด้านซึ่งเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นค่อนข้างง่ายและลงมาเพื่อรู้ทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทพีทาโกรัส

บันทึก. นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนเกี่ยวกับปัญหาทางเรขาคณิต (ส่วนสี่เหลี่ยมด้านขนาน) หากคุณต้องการแก้ปัญหาในเรขาคณิต ซึ่งไม่ได้อยู่ที่นี่ - เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในฟอรัม เพื่อแสดงการกระทำของการแตกรากที่สองในการแก้ปัญหา จะใช้สัญลักษณ์ √ หรือ sqrt () และนิพจน์รากจะระบุในวงเล็บ

วัสดุทางทฤษฎี

คำอธิบายสูตรการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

1. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านใดด้านหนึ่งและความสูงด้านนั้น
2. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านประชิดทั้งสองข้างและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
3. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุมและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

ปัญหาการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การตัดสินใจ.
ให้แทนความสูงที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ซึ่งลดลงจากจุด B ไปยัง AD ฐานที่ใหญ่กว่าเป็น BK
จงหาค่าของขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABK ที่เกิดจากความสูงที่น้อยกว่า ด้านที่เล็กกว่า และส่วนหนึ่งของฐานที่ใหญ่กว่า ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + อ. 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

ให้เราขยายฐานบนของสี่เหลี่ยมด้านขนาน BC และลดความสูง AN จากฐานล่างของมัน AN = BK เท่ากับด้านของสี่เหลี่ยม ANBK ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เป็นผลลัพธ์ ANC เราจะพบขา NC
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

ทีนี้ลองหา BC ฐานที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD
BC=NC-NB
เราพิจารณาว่า NB = AK เป็นด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า แล้ว
BC=12 - 1=11

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของฐานและความสูงของฐานนี้
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

ตอบ: 99 ซม.2.

งาน

การตัดสินใจ.
ให้เราวาง DK ตั้งฉากอีกตัวหนึ่งลงบน AC ในแนวทแยง
ดังนั้น สามเหลี่ยม AOB และ DKC, COB และ AKD จึงคอนกรูเอนต์คู่กัน ด้านหนึ่งเป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมหนึ่งเป็นมุมขวา เนื่องจากมันตั้งฉากกับเส้นทแยงมุม และมุมที่เหลืออีกมุมหนึ่งคือกากบาทภายในสำหรับด้านขนานของสี่เหลี่ยมด้านขนานและเส้นแบ่ง ของเส้นทแยงมุม

ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานจึงเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ระบุ เช่น
Sparall = 2S AOB +2S BOC

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา ที่ไหน
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 ซม. 2
ตอบ: 56 ซม2.

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" รวมหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จ 60-65 คะแนน งานทั้งหมด 1-13 ของ Profile USE ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการใช้งานพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ อยากสอบผ่าน 90-100 คะแนน ต้องแก้ภาค 1 ใน 30 นาที และไม่มีพลาด!

คอร์สเตรียมสอบ ป.10-11 รวมทั้งครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหาที่ 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่เป็นคะแนนมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียนร้อยคะแนนและนักมนุษยศาสตร์ไม่สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีแก้ปัญหา กับดัก และความลับของข้อสอบอย่างรวดเร็ว งานที่เกี่ยวข้องทั้งหมดของส่วนที่ 1 จากงาน Bank of FIPI ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ USE-2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรนี้มี 5 หัวข้อใหญ่ๆ ละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อมีให้ตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบนับร้อย ปัญหาข้อความและทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่ง่ายและจำง่าย เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งาน USE ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี กลเม็ดเคล็ดลับในการแก้, เอกสารโกงที่มีประโยชน์, การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้น - ถึงภารกิจที่ 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายภาพแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก ยกกำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ ฐานการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของข้อสอบส่วนที่ 2

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด จุดและเส้นเป็นองค์ประกอบหลักของทฤษฎีระนาบ ดังนั้น สี่เหลี่ยมด้านขนานจึงเป็นหนึ่งในตัวเลขสำคัญของรูปสี่เหลี่ยมนูน แนวคิดของ "สี่เหลี่ยมผืนผ้า" "สี่เหลี่ยมจัตุรัส" "รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน" และปริมาณทางเรขาคณิตอื่นๆ ก็เหมือนกับเส้นด้ายจากลูกบอล

ติดต่อกับ

คำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมนูน,ประกอบด้วยส่วนต่างๆ ซึ่งแต่ละคู่ขนานกัน เป็นที่รู้จักในเรขาคณิตว่าสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สี่เหลี่ยมด้านขนานแบบคลาสสิกที่ดูเหมือนเป็นรูปสี่เหลี่ยม ABCD ด้านข้างเรียกว่าฐาน (AB, BC, CD และ AD) เส้นตั้งฉากจากจุดยอดใด ๆ ไปยังด้านตรงข้ามของจุดยอดนี้เรียกว่าความสูง (BE และ BF) เส้น AC และ BD เป็นเส้นทแยงมุม

ความสนใจ!สี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ด้านและมุม: คุณสมบัติอัตราส่วน

คุณสมบัติที่สำคัญโดยรวมแล้ว กำหนดไว้ล่วงหน้าโดยการกำหนดเอง, พวกเขาได้รับการพิสูจน์โดยทฤษฎีบท ลักษณะเหล่านี้มีดังนี้:

1. ด้านที่ตรงข้ามกันเป็นคู่เหมือนกัน
2. มุมที่อยู่ตรงข้ามกันจะมีค่าเท่ากัน

พิสูจน์: พิจารณา ∆ABC และ ∆ADC ซึ่งได้จากการหาร ABCD สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยเส้น AC ∠BCA=∠CAD และ ∠BAC=∠ACD เนื่องจาก AC เป็นเรื่องปกติสำหรับพวกเขา (มุมแนวตั้งสำหรับ BC||AD และ AB||CD ตามลำดับ) จากนี้ไป: ∆ABC = ∆ADC (เกณฑ์ที่สองสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม)

เซ็กเมนต์ AB และ BC ใน ∆ABC สอดคล้องกันเป็นคู่กับบรรทัด CD และ AD ใน ∆ADC ซึ่งหมายความว่าเหมือนกันทุกประการ: AB = CD, BC = AD ดังนั้น ∠B จึงสอดคล้องกับ ∠D และมีค่าเท่ากัน เนื่องจาก ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD ซึ่งเหมือนกันเป็นคู่ ดังนั้น ∠A = ∠C คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

ลักษณะของเส้นทแยงมุมของร่าง

คุณสมบัติหลักเส้นสี่เหลี่ยมด้านขนานเหล่านี้: จุดตัดแบ่งครึ่งพวกมัน

พิสูจน์: ให้ m. E เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม AC และ BD ของรูป ABCD พวกมันสร้างสามเหลี่ยมสมมูลสองรูป - ∆ABE และ ∆CDE

AB=CD เนื่องจากอยู่ตรงข้าม ตามเส้นและเส้นแบ่ง ∠ABE = ∠CDE และ ∠BAE = ∠DCE

จากเครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกัน ∆ABE = ∆CDE ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบ ∆ABE และ ∆CDE คือ: AE = CE, BE = DE และยิ่งไปกว่านั้น ยังเป็นส่วนที่เทียบเท่าของ AC และ BD คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

คุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกัน

ที่ด้านที่อยู่ติดกัน ผลรวมของมุมคือ 180°เนื่องจากพวกมันนอนอยู่บนด้านเดียวกันของเส้นคู่ขนานและเซแคนต์ สำหรับรูปสี่เหลี่ยม ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

คุณสมบัติ Bisector:

1. หล่นไปด้านหนึ่งตั้งฉาก;
2. จุดยอดตรงข้ามมีเส้นแบ่งครึ่งคู่ขนานกัน
3. สามเหลี่ยมที่ได้จากการวาดเส้นแบ่งครึ่งจะเป็นหน้าจั่ว

การกำหนดคุณลักษณะเฉพาะของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยทฤษฎีบท

คุณสมบัติของรูปนี้ติดตามจากทฤษฎีบทหลักซึ่งอ่านได้ดังนี้: รูปสี่เหลี่ยมถือเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานในกรณีที่เส้นทแยงมุมตัดกัน และจุดนี้แบ่งออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน

พิสูจน์: ให้เส้น AC และ BD ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ตัดกันใน t. E. เนื่องจาก ∠AED = ∠BEC และ AE+CE=AC BE+DE=BD ดังนั้น ∆AED = ∆BEC (โดยเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม) นั่นคือ ∠EAD = ∠ECB นอกจากนี้ยังเป็นมุมตัดขวางภายในของซีแคนต์ AC สำหรับเส้น AD และ BC ดังนั้น โดยนิยามของการขนานกัน - AD || ปีก่อนคริสตกาล คุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันของบรรทัด BC และ CD ก็ได้มาเช่นกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

การคำนวณพื้นที่ของรูป

พื้นที่ของรูปนี้ พบได้หลายวิธีวิธีที่ง่ายที่สุดคือการคูณความสูงและฐานที่วาด

การพิสูจน์: วาดเส้นตั้งฉาก BE และ CF จากจุดยอด B และ C ∆ABE และ ∆DCF เท่ากันเนื่องจาก AB = CD และ BE = CF ABCD เท่ากับสี่เหลี่ยม EBCF เนื่องจากพวกมันประกอบด้วยตัวเลขตามสัดส่วน: S ABE และ S EBCD เช่นเดียวกับ S DCF และ S EBCD ตามมาด้วยว่าพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตนี้เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

ในการกำหนดสูตรทั่วไปสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราแสดงความสูงเป็น HBและด้านข้าง ข. ตามลำดับ:

วิธีอื่นในการหาพื้นที่

การคำนวณพื้นที่ ผ่านด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมซึ่งเป็นวิธีที่สองที่รู้จัก

,

Spr-ma - พื้นที่;

a และ b คือด้านของมัน

α - มุมระหว่างส่วน a และ b

วิธีนี้ใช้วิธีการแรกในทางปฏิบัติ แต่ในกรณีที่ไม่ทราบ ตัดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากออกเสมอซึ่งพบพารามิเตอร์โดยอัตลักษณ์ตรีโกณมิติเช่น . แปลงอัตราส่วนเราจะได้ ในสมการของวิธีแรก เราแทนที่ความสูงด้วยผลิตภัณฑ์นี้และรับการพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรนี้

ผ่านเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมที่พวกมันสร้างขึ้นเมื่อพวกมันตัดกัน คุณยังสามารถหาพื้นที่ได้

หลักฐาน: AC และ BD ตัดกันเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่รูป: ABE, BEC, CDE และ AED ผลรวมของมันเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้

พื้นที่ของแต่ละ ∆ สามารถพบได้จากนิพจน์ โดยที่ a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB ตั้งแต่ จะใช้ค่าไซน์เดียวในการคำนวณ เช่น . เนื่องจาก AE+CE=AC= d 1 และ BE+DE=BD= d 2 สูตรพื้นที่จึงลดลงเป็น:

.

การประยุกต์ใช้ในพีชคณิตเวกเตอร์

คุณลักษณะของส่วนประกอบต่างๆ ของรูปสี่เหลี่ยมนี้พบการประยุกต์ใช้ในพีชคณิตเวกเตอร์ กล่าวคือ การบวกเวกเตอร์สองเวกเตอร์ กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานระบุว่า ถ้าให้เวกเตอร์และไม่เป็นคอลลิเนียร์ แล้วผลรวมจะเท่ากับเส้นทแยงมุมของรูปนี้ ซึ่งฐานสอดคล้องกับเวกเตอร์เหล่านี้

หลักฐาน: จากจุดเริ่มต้นที่เลือกโดยพลการ - นั่นคือ - เราสร้างเวกเตอร์และ . ต่อไป เราสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน OASV โดยที่เซ็กเมนต์ OA และ OB เป็นด้าน ดังนั้น OS จะอยู่บนเวกเตอร์หรือผลรวม

สูตรคำนวณพารามิเตอร์ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ข้อมูลประจำตัวจะได้รับภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:

1. a และ b, α - ด้านและมุมระหว่างพวกมัน
2. d 1 และ d 2 , γ - เส้นทแยงมุมและที่จุดตัดของพวกเขา
3. ชั่วโมง a และ h b - ความสูงลดลงเหลือด้าน a และ b;

พารามิเตอร์	สูตร
หาด้าน
ตามเส้นทแยงมุมและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
แนวทแยงมุมและด้านข้าง
ผ่านความสูงและจุดยอดตรงข้าม
การหาความยาวของเส้นทแยงมุม
ที่ด้านข้างและขนาดของด้านบนระหว่างพวกเขา