การคำนวณการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง สูตรการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาพิเศษของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโดยนักเรียนของสถาบันอุดมศึกษาเท่านั้น คุณชอบการคำนวณและสูตรหรือไม่? คุณไม่กลัวโอกาสที่จะได้รู้จักกับการแจกแจงแบบปกติ เอนโทรปีของวงดนตรี ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องหรือไม่? จากนั้นหัวข้อนี้จะเป็นที่สนใจของคุณมาก มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานที่สำคัญที่สุดบางส่วนของวิทยาศาสตร์ส่วนนี้

มาจำพื้นฐานกัน

แม้ว่าคุณจะจำแนวคิดที่ง่ายที่สุดของทฤษฎีความน่าจะเป็นได้ แต่อย่าละเลยย่อหน้าแรกของบทความ ความจริงก็คือหากไม่มีความเข้าใจพื้นฐานที่ชัดเจน คุณจะไม่สามารถทำงานกับสูตรที่กล่าวถึงด้านล่าง

ดังนั้นจึงมีเหตุการณ์สุ่ม การทดลองบางอย่าง จากการกระทำที่ได้กระทำไป เราจะได้รับผลลัพธ์หลายอย่าง - บางส่วนพบได้บ่อยกว่า อื่นๆ พบน้อยกว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่ได้จริงของประเภทหนึ่งต่อจำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมด เมื่อทราบคำจำกัดความคลาสสิกของแนวคิดนี้แล้ว คุณจะสามารถเริ่มศึกษาการคาดหมายทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องได้

เฉลี่ย

ย้อนกลับไปที่โรงเรียน ในบทเรียนคณิตศาสตร์ คุณเริ่มทำงานโดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต แนวคิดนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีความน่าจะเป็น ดังนั้นจึงไม่สามารถละเลยได้ สิ่งสำคัญสำหรับเราในตอนนี้คือเราจะพบมันในสูตรสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

เรามีลำดับของตัวเลขและต้องการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ทั้งหมดที่เราต้องการคือการรวมทุกอย่างที่มีและหารด้วยจำนวนขององค์ประกอบในลำดับ ให้เรามีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ผลรวมขององค์ประกอบจะเป็น 45 และเราจะหารค่านี้ด้วย 9 คำตอบ: - 5.

การกระจายตัว

ในแง่วิทยาศาสตร์ ความแปรปรวนคือกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของค่าคุณลักษณะที่ได้รับจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต หนึ่งเขียนแทนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ D. จำเป็นต้องคำนวณอะไร? สำหรับแต่ละองค์ประกอบของลำดับ เราจะคำนวณความแตกต่างระหว่างจำนวนที่มีอยู่กับค่าเฉลี่ยเลขคณิตและยกกำลังสอง จะมีค่ามากที่สุดเท่าที่จะมีได้สำหรับเหตุการณ์ที่เรากำลังพิจารณา ต่อไป เราจะสรุปทุกอย่างที่ได้รับและหารด้วยจำนวนองค์ประกอบในลำดับ ถ้าเรามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ห้าอย่าง ให้หารด้วยห้า

ความแปรปรวนยังมีคุณสมบัติที่คุณต้องจำไว้เพื่อใช้ในการแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น หากตัวแปรสุ่มเพิ่มขึ้น X เท่า ความแปรปรวนจะเพิ่มขึ้น X คูณกำลังสอง (นั่นคือ X*X) มันไม่น้อยกว่าศูนย์และไม่ขึ้นอยู่กับการเลื่อนค่าด้วยค่าเท่ากันขึ้นหรือลง นอกจากนี้ สำหรับการทดลองอิสระ ความแปรปรวนของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของผลต่าง

ตอนนี้ เราต้องพิจารณาตัวอย่างความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและการคาดหมายทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน

สมมติว่าเราทำการทดลอง 21 ครั้ง และได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน 7 รายการ เราสังเกตแต่ละอันตามลำดับ 1,2,2,3,4,4 และ 5 ครั้ง ความแปรปรวนจะเป็นอย่างไร?

ก่อนอื่น เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต: แน่นอนว่าผลรวมขององค์ประกอบคือ 21 เราหารด้วย 7 ได้ 3 ตอนนี้เราลบ 3 ออกจากตัวเลขแต่ละตัวในลำดับเดิม ยกกำลังสองแต่ละค่า แล้วบวกผลลัพธ์เข้าด้วยกัน . ปรากฎว่า 12 ตอนนี้ยังคงเป็นสำหรับเราที่จะหารจำนวนด้วยจำนวนขององค์ประกอบและดูเหมือนว่านั่นคือทั้งหมด แต่มีการจับ! มาพูดคุยกัน

ขึ้นอยู่กับจำนวนการทดลอง

ปรากฎว่าเมื่อคำนวณความแปรปรวน ตัวส่วนสามารถเป็นหนึ่งในสองจำนวน: N หรือ N-1 โดยที่ N คือจำนวนการทดลองที่ทำหรือจำนวนองค์ประกอบในลำดับ (ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือสิ่งเดียวกัน) มันขึ้นอยู่กับอะไร?

หากจำนวนการทดสอบวัดเป็นร้อย ๆ เราต้องใส่ N เป็นตัวส่วน หากเป็นหน่วย แสดงว่า N-1 นักวิทยาศาสตร์ตัดสินใจที่จะวาดเส้นขอบเป็นสัญลักษณ์: วันนี้มันวิ่งไปตามหมายเลข 30 ถ้าเราทำการทดลองน้อยกว่า 30 ครั้ง เราจะหารจำนวนด้วย N-1 และถ้ามากกว่านั้นโดย N

งาน

กลับไปที่ตัวอย่างการแก้ปัญหาความแปรปรวนและความคาดหวัง เราได้เลขกลางเป็น 12 ซึ่งต้องหารด้วย N หรือ N-1 เนื่องจากเราทำการทดลอง 21 ครั้ง ซึ่งน้อยกว่า 30 ครั้ง เราจะเลือกตัวเลือกที่สอง คำตอบคือ ความแปรปรวนคือ 12 / 2 = 2

มูลค่าที่คาดหวัง

ไปที่แนวคิดที่สองซึ่งเราต้องพิจารณาในบทความนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นผลมาจากการบวกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคูณด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าค่าผลลัพธ์ เช่นเดียวกับผลลัพธ์ของการคำนวณความแปรปรวน จะได้รับเพียงครั้งเดียวสำหรับงานทั้งหมด ไม่ว่าจะพิจารณาผลลัพธ์จำนวนเท่าใด

สูตรการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ค่อนข้างง่าย: เรานำผลลัพธ์ คูณด้วยความน่าจะเป็น บวกเหมือนกันสำหรับผลลัพธ์ที่สอง ที่สาม ฯลฯ ทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้ง่ายต่อการคำนวณ ตัวอย่างเช่น ผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวม เช่นเดียวกับการทำงาน ไม่ใช่ทุกปริมาณในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่อนุญาตให้ดำเนินการอย่างง่ายเช่นนั้นได้ มาทำงานและคำนวณค่าของสองแนวคิดที่เราศึกษาพร้อมกัน นอกจากนี้เรายังฟุ้งซ่านโดยทฤษฎี - ถึงเวลาปฏิบัติ

อีกตัวอย่างหนึ่ง

เราทำการทดลอง 50 ครั้งและได้ผลลัพธ์ 10 ประเภท - ตัวเลข 0 ถึง 9 - ปรากฏในเปอร์เซ็นต์ที่แตกต่างกัน เหล่านี้ตามลำดับ: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. จำไว้ว่าเพื่อให้ได้ความน่าจะเป็น คุณต้องหารค่าเปอร์เซ็นต์ด้วย 100 ดังนั้นเราจึงได้ 0.02; 0.1 เป็นต้น ให้เรานำเสนอตัวอย่างการแก้ปัญหาสำหรับความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มและการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้สูตรที่เราจำได้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษา: 50/10 = 5

ตอนนี้ ให้แปลความน่าจะเป็นเป็นจำนวนผลลัพธ์ "เป็นชิ้น" เพื่อให้สะดวกต่อการนับ เราได้ 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 และ 9 ลบค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากแต่ละค่าที่ได้รับ หลังจากนั้นเราจะยกกำลังสองผลลัพธ์ที่ได้ ดูวิธีการทำสิ่งนี้กับองค์ประกอบแรกเป็นตัวอย่าง: 1 - 5 = (-4) เพิ่มเติม: (-4) * (-4) = 16 สำหรับค่าอื่นๆ ให้ดำเนินการเหล่านี้ด้วยตนเอง หากคุณทำทุกอย่างถูกต้องแล้ว หลังจากบวกทุกอย่างแล้ว คุณจะได้ 90

มาคำนวณความแปรปรวนและค่าเฉลี่ยกันด้วยการหาร 90 ด้วย N กัน ทำไมเราถึงเลือก N ไม่ใช่ N-1? ถูกต้องแล้ว เพราะจำนวนการทดสอบที่ดำเนินการเกิน 30 ครั้ง ดังนั้น: 90/10 = 9 เราได้การกระจายตัว หากคุณได้รับหมายเลขอื่นอย่าสิ้นหวัง เป็นไปได้มากว่าคุณทำผิดพลาดซ้ำซากในการคำนวณ ตรวจสอบสิ่งที่คุณเขียนอีกครั้ง และแน่ใจว่าทุกอย่างจะเข้าที่

สุดท้าย เรามานึกถึงสูตรการคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน เราจะไม่ให้การคำนวณทั้งหมด เราจะเขียนคำตอบที่คุณสามารถตรวจสอบได้หลังจากทำตามขั้นตอนที่จำเป็นทั้งหมดแล้วเท่านั้น ค่าที่คาดหวังจะเป็น 5.48 เราจำได้เพียงวิธีดำเนินการโดยใช้ตัวอย่างขององค์ประกอบแรก: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... เป็นต้น อย่างที่คุณเห็น เราแค่คูณมูลค่าของผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็น

เบี่ยงเบน

แนวคิดอื่นที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการกระจายตัวและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน มันเขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน sd หรือโดย "sigma" ตัวพิมพ์เล็กกรีก แนวคิดนี้แสดงให้เห็นว่าค่าเบี่ยงเบนไปจากจุดศูนย์กลางโดยเฉลี่ย ในการหาค่านั้น คุณต้องคำนวณรากที่สองของความแปรปรวน

หากคุณพลอตการกระจายตัวแบบปกติและต้องการดูค่าเบี่ยงเบนกำลังสองโดยตรง สามารถทำได้หลายขั้นตอน นำภาพครึ่งหนึ่งไปทางซ้ายหรือขวาของโหมด (ค่ากลาง) วาดเส้นตั้งฉากกับแกนนอนเพื่อให้พื้นที่ของตัวเลขผลลัพธ์เท่ากัน ค่าของเซ็กเมนต์ระหว่างกึ่งกลางของการกระจายและการฉายผลลัพธ์บนแกนนอนจะเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ซอฟต์แวร์

ดังที่เห็นได้จากคำอธิบายของสูตรและตัวอย่างที่นำเสนอ การคำนวณความแปรปรวนและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ขั้นตอนที่ง่ายที่สุดจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ เพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลา การใช้โปรแกรมที่ใช้ในการศึกษาระดับอุดมศึกษาจึงเป็นเรื่องสมเหตุผล - เรียกว่า "R" มีฟังก์ชันที่ช่วยให้คุณคำนวณค่าของแนวคิดต่างๆ จากสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็นได้

ตัวอย่างเช่น คุณกำหนดเวกเตอร์ของค่า ทำได้ดังนี้: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

ในที่สุด

การกระจายตัวและการคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นไปไม่ได้เลยที่จะคำนวณอะไรในอนาคต ในหลักสูตรหลักของการบรรยายในมหาวิทยาลัย พวกเขาได้รับการพิจารณาแล้วในเดือนแรกของการเรียนวิชานี้ เป็นเพราะขาดความเข้าใจในแนวคิดง่ายๆ เหล่านี้และไม่สามารถคำนวณได้ ทำให้นักเรียนจำนวนมากเริ่มล้าหลังในโปรแกรมทันที และต่อมาได้รับคะแนนต่ำในช่วงเซสชั่น ซึ่งทำให้ขาดทุนการศึกษา

ฝึกฝนอย่างน้อยหนึ่งสัปดาห์ครึ่งชั่วโมงต่อวัน โดยแก้โจทย์ที่คล้ายกับที่นำเสนอในบทความนี้ จากนั้น ในการทดสอบทฤษฎีความน่าจะเป็น คุณจะรับมือกับตัวอย่างโดยไม่มีคำแนะนำและเอกสารโกงจากภายนอก

ลักษณะของ DSW และคุณสมบัติของมัน การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

กฎหมายการจัดจำหน่ายกำหนดลักษณะเฉพาะของตัวแปรสุ่ม อย่างไรก็ตาม เมื่อไม่สามารถหากฎการแจกแจงได้ หรือไม่จำเป็น เราสามารถจำกัดตัวเองให้ค้นหาค่า ซึ่งเรียกว่าคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม ค่าเหล่านี้กำหนดค่าเฉลี่ยบางส่วนซึ่งค่าของตัวแปรสุ่มถูกจัดกลุ่มและระดับของการกระจายรอบค่าเฉลี่ยนี้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของพวกมัน

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะเกิดขึ้นหากอนุกรมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันมาบรรจบกันโดยสิ้นเชิง

จากมุมมองของความน่าจะเป็น เราสามารถพูดได้ว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์มีค่าประมาณเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่ม

ตัวอย่าง. กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเป็นที่รู้จักกัน ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

X
พี	0.2	0.3	0.1	0.4

การตัดสินใจ:

9.2 คุณสมบัติที่คาดหวัง

1. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่นั้นเอง

2. ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวังได้

3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวนั้นเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน

คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับตัวแปรสุ่มจำนวนหนึ่ง

4. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับผลรวมของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข

คุณสมบัตินี้ยังเป็นจริงสำหรับตัวแปรสุ่มจำนวนตามอำเภอใจ

ให้ดำเนินการทดลองอิสระ n ครั้ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ซึ่งเท่ากับ p

ทฤษฎีบท.ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X) ของจำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n ครั้ง เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง

ตัวอย่าง. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y

การตัดสินใจ:

9.3 การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

อย่างไรก็ตาม การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถอธิบายลักษณะเฉพาะของกระบวนการสุ่มได้อย่างเต็มที่ นอกจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์แล้ว ยังต้องแนะนำค่าที่แสดงถึงความเบี่ยงเบนของค่าตัวแปรสุ่มจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์อีกด้วย

ส่วนเบี่ยงเบนนี้เท่ากับผลต่างระหว่างตัวแปรสุ่มกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้ ค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของส่วนเบี่ยงเบนจะเป็นศูนย์ นี่คือคำอธิบายโดยข้อเท็จจริงที่ว่าการเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้บางอย่างเป็นค่าบวก ส่วนอื่นๆ เป็นค่าลบ และผลลัพธ์ของการยกเลิกร่วมกันจะได้ศูนย์

กระจาย (กระเจิง)ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

ในทางปฏิบัติ วิธีการคำนวณความแปรปรวนนี้ไม่สะดวกเพราะ นำไปสู่การคำนวณที่ยุ่งยากสำหรับค่าตัวแปรสุ่มจำนวนมาก

ดังนั้นจึงใช้วิธีอื่น

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนเท่ากับผลต่างระหว่างความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่ม X และกำลังสองของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์.

การพิสูจน์. โดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M (X) และกำลังสองของค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ M 2 (X) เป็นค่าคงที่ เราสามารถเขียนได้ดังนี้

ตัวอย่าง. ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดโดยกฎหมายการแจกจ่าย

X
X2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

การตัดสินใจ: .

9.4 คุณสมบัติการกระจายตัว

1. การกระจายตัวของค่าคงที่คือศูนย์ .

2. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายโดยการยกกำลังสองมัน .

3. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ .

4. ความแปรปรวนของผลต่างของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ .

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนของจำนวนครั้งการเกิดของเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n การทดลอง โดยแต่ละครั้งความน่าจะเป็น p ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์เป็นค่าคงที่ เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นและการไม่เกิดขึ้น ของเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง

9.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวแปรสุ่ม X เรียกว่า รากที่สองของความแปรปรวน

ทฤษฎีบท. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลรวมของจำนวนจำกัดของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันจะเท่ากับสแควร์รูทของผลรวมของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกำลังสองของตัวแปรเหล่านี้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ คำจำกัดความ

เสื่อรอคือหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็น การกำหนดลักษณะการกระจายของค่าหรือ ความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่ม. มักจะแสดงเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ทางเทคนิค การศึกษาอนุกรมจำนวน การศึกษากระบวนการต่อเนื่องและระยะยาว เป็นสิ่งสำคัญในการประเมินความเสี่ยง การทำนายตัวบ่งชี้ราคาเมื่อทำการซื้อขายในตลาดการเงิน และนำไปใช้ในการพัฒนากลยุทธ์และวิธีการของกลวิธีเกมใน ทฤษฎีการพนัน.

รุกฆาตรออยู่- นี้ค่ากลางของตัวแปรสุ่ม การแจกแจง ความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่มถูกพิจารณาในทฤษฎีความน่าจะเป็น

เสื่อรอคือการวัดค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม xหมายถึง เอ็ม(x).

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

เสื่อรอคือ

เสื่อรอคือในทฤษฎีความน่าจะเป็น ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ตัวแปรสุ่มนี้สามารถรับได้

เสื่อรอคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มตามความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

เสื่อรอคือผลประโยชน์เฉลี่ยจากการตัดสินใจเฉพาะ โดยที่การตัดสินใจดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ในกรอบของทฤษฎีจำนวนมากและระยะทางไกล

เสื่อรอคือในทฤษฎีการพนัน จำนวนเงินชนะที่นักเก็งกำไรสามารถรับหรือแพ้โดยเฉลี่ยสำหรับการเดิมพันแต่ละครั้ง ในภาษาของการพนัน นักเก็งกำไรนี้บางครั้งเรียกว่า "ข้อได้เปรียบ นักเก็งกำไร” (หากเป็นบวกสำหรับผู้เก็งกำไร) หรือ “เฮาส์เอจ” (หากเป็นลบสำหรับผู้เก็งกำไร)

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

เสื่อรอคือกำไรต่อการชนะคูณด้วยค่าเฉลี่ย กำไรลบการสูญเสียคูณด้วยการสูญเสียเฉลี่ย

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์

ลักษณะเชิงตัวเลขที่สำคัญอย่างหนึ่งของตัวแปรสุ่มคือความคาดหวัง ให้เราแนะนำแนวคิดของระบบตัวแปรสุ่ม พิจารณาชุดของตัวแปรสุ่มที่เป็นผลลัพธ์ของการทดลองสุ่มชุดเดียวกัน หากเป็นหนึ่งในค่าที่เป็นไปได้ของระบบ เหตุการณ์ก็สอดคล้องกับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของ Kolmogorov ฟังก์ชันที่กำหนดไว้สำหรับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มเรียกว่ากฎการกระจายร่วม ฟังก์ชันนี้ช่วยให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ ได้ โดยเฉพาะข้อต่อ กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มและซึ่งรับค่าจากเซตและกำหนดโดยความน่าจะเป็น

คำว่า "แมท ความคาดหวัง” ได้รับการแนะนำโดย Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) และเกิดขึ้นจากแนวคิดของ "มูลค่าที่คาดหวังของผลตอบแทน" ซึ่งปรากฏครั้งแรกในศตวรรษที่ 17 ในทฤษฎีการพนันในผลงานของ Blaise Pascal และ Christian Huygens อย่างไรก็ตาม Pafnuty Lvovich Chebyshev (กลางศตวรรษที่ 19) ได้ให้ความเข้าใจเชิงทฤษฎีและการประเมินแนวคิดนี้อย่างสมบูรณ์เป็นครั้งแรก

กฎการแจกแจงตัวแปรตัวเลขสุ่ม (ฟังก์ชันการกระจายและอนุกรมการแจกแจงหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) อธิบายพฤติกรรมของตัวแปรสุ่มอย่างครบถ้วน แต่ในปัญหาจำนวนหนึ่ง ก็เพียงพอที่จะทราบลักษณะเชิงตัวเลขของปริมาณที่ศึกษาอยู่ (เช่น ค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้จากปริมาณดังกล่าว) เพื่อตอบคำถามที่ตั้งไว้ คุณสมบัติเชิงตัวเลขหลักของตัวแปรสุ่ม ได้แก่ ความคาดหวัง ความแปรปรวน โหมดและค่ามัธยฐาน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน บางครั้งเสื่อ ความคาดหวังเรียกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเนื่องจากมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มในการทดลองจำนวนมาก จากคำจำกัดความของแผ่นความคาดหวัง ค่าของตัวแปรสุ่มมีค่าไม่น้อยกว่าค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและไม่เกินค่าที่มากที่สุด ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มเป็นตัวแปรที่ไม่สุ่ม (ค่าคงที่)

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์มีความหมายทางกายภาพอย่างง่าย: หากวางมวลหน่วยเป็นเส้นตรง วางมวลไว้ที่จุดใดจุดหนึ่ง (สำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง) หรือ "การละเลง" ด้วยความหนาแน่นที่แน่นอน (สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่องโดยสิ้นเชิง) แล้ว จุดที่ตรงกับความคาดหวังของเสื่อจะเป็นพิกัด "จุดศูนย์ถ่วง" ตรง

ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มคือจำนวนหนึ่ง ซึ่งก็คือ "ตัวแทน" ของตัวแปรนั้น และแทนที่ด้วยการคำนวณโดยประมาณคร่าวๆ เมื่อเราพูดว่า: "เวลาการทำงานของหลอดไฟเฉลี่ยคือ 100 ชั่วโมง" หรือ "จุดกระทบโดยเฉลี่ยจะเลื่อนสัมพันธ์กับเป้าหมายไปทางขวา 2 เมตร" เราระบุลักษณะเฉพาะตัวเลขของตัวแปรสุ่มที่อธิบายสิ่งนี้ ตำแหน่งบนแกนตัวเลข กล่าวคือ คำอธิบายตำแหน่ง

ลักษณะของสถานการณ์ในทฤษฎีความน่าจะเป็น บทบาทที่สำคัญที่สุดคือการคาดหวังตัวแปรสุ่ม ซึ่งบางครั้งเรียกว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

พิจารณาตัวแปรสุ่ม Xซึ่งมีค่าที่เป็นไปได้ x1, x2, …, xnด้วยความน่าจะเป็น p1, p2, …, pn. เราจำเป็นต้องระบุตำแหน่งของค่าตัวแปรสุ่มบนแกน x ด้วยจำนวนหนึ่งด้วย โดยคำนึงถึงว่าค่าเหล่านี้มีความน่าจะเป็นต่างกัน เพื่อจุดประสงค์นี้ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สิ่งที่เรียกว่า "ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก" ของค่าต่างๆ xiและแต่ละค่า xi ในระหว่างการหาค่าเฉลี่ยควรนำมาพิจารณาด้วย "น้ำหนัก" ตามสัดส่วนกับความน่าจะเป็นของค่านี้ ดังนั้น เราจะคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม Xซึ่งเราจะแสดงว่า M|X|:

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักนี้เรียกว่าการคาดคะเนเสื่อของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นเราจึงแนะนำแนวคิดที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็น - แนวคิดของเสื่อ ความคาดหวัง เสื่อ. ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้

เสื่อ. ความคาดหวังของตัวแปรสุ่ม Xเนื่องจากการพึ่งพาอาศัยกันที่แปลกประหลาดกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มที่มีการทดลองจำนวนมาก การพึ่งพาอาศัยกันนี้เป็นประเภทเดียวกับการพึ่งพาอาศัยกันระหว่างความถี่และความน่าจะเป็น กล่าวคือ ด้วยการทดลองจำนวนมาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของแนวทางตัวแปรสุ่ม (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) กับเสื่อ ซึ่งรอคอย. จากการมีอยู่ของความสัมพันธ์ระหว่างความถี่และความน่าจะเป็น เราสามารถอนุมานได้ว่าเป็นผลจากการมีอยู่ของความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ อันที่จริง พิจารณาตัวแปรสุ่ม Xโดดเด่นด้วยชุดของการแจกแจง:

ปล่อยให้มันผลิต นู๋การทดลองอิสระ โดยแต่ละครั้งมีค่า Xใช้ค่าบางอย่าง สมมติค่า x1ปรากฏขึ้น m1ครั้ง ค่า x2ปรากฏขึ้น m2ครั้งความหมายทั่วไป xiปรากฏขึ้นครั้งไมล์ ให้เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของ X ซึ่งตรงกันข้ามกับเสื่อคาด M|X|เราจะแสดงว่า ม*|X|:

ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น นู๋ความถี่ ปี่จะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่ม M|X|ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น มันจะเข้าใกล้ (ความน่าจะเป็นมาบรรจบกัน) กับความคาดหวัง ความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ข้างต้นระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับเสื่อ ความคาดหวังคือเนื้อหาของรูปแบบหนึ่งของกฎหมายจำนวนมาก

เรารู้แล้วว่ากฎจำนวนมากในทุกรูปแบบระบุถึงข้อเท็จจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยบางค่าคงที่ในการทดลองจำนวนมาก เรากำลังพูดถึงความเสถียรของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากการสังเกตชุดค่าเดียวกัน ด้วยการทดลองเพียงเล็กน้อย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลลัพธ์จะเป็นแบบสุ่ม ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้นอย่างเพียงพอก็จะกลายเป็น "เกือบจะไม่สุ่ม" และเมื่อมีเสถียรภาพก็เข้าใกล้ค่าคงที่ - mat ซึ่งรอคอย.

คุณสมบัติของความเสถียรของค่าเฉลี่ยสำหรับการทดสอบจำนวนมากนั้นง่ายต่อการตรวจสอบในการทดลอง ตัวอย่างเช่น การชั่งน้ำหนักร่างกายใดๆ ในห้องปฏิบัติการด้วยเครื่องชั่งที่แม่นยำ อันเป็นผลมาจากการชั่งน้ำหนัก เราจะได้รับค่าใหม่ทุกครั้ง เพื่อลดข้อผิดพลาดในการสังเกต เราชั่งน้ำหนักร่างกายหลายครั้งและใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่ได้รับ สังเกตได้ง่ายว่าด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น (การชั่งน้ำหนัก) เพิ่มขึ้นไปอีก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะตอบสนองต่อการเพิ่มขึ้นนี้น้อยลงๆ และด้วยการทดลองจำนวนมากพอสมควรแล้ว ในทางปฏิบัติก็จะไม่เปลี่ยนแปลง

ควรสังเกตว่าลักษณะที่สำคัญที่สุดของตำแหน่งของตัวแปรสุ่มคือ mat ความคาดหวัง - ไม่มีอยู่ในตัวแปรสุ่มทั้งหมด เป็นไปได้ที่จะทำตัวอย่างของตัวแปรสุ่มดังกล่าวที่เสื่อ ไม่มีการคาดหวัง เนื่องจากผลรวมหรืออินทิกรัลมีความแตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ กรณีดังกล่าวไม่ได้รับความสนใจอย่างมีนัยสำคัญ โดยปกติ ตัวแปรสุ่มที่เราจัดการจะมีช่วงค่าที่เป็นไปได้ที่จำกัด และแน่นอนว่าต้องมีค่าที่คาดหวัง

นอกเหนือจากคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของตำแหน่งของตัวแปรสุ่ม - ค่าคาดหวัง - บางครั้งใช้ลักษณะอื่นของตำแหน่งในทางปฏิบัติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โหมดและค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม

โหมดของตัวแปรสุ่มคือค่าที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด คำว่า "ค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด" พูดอย่างเคร่งครัด ใช้เฉพาะกับปริมาณที่ไม่ต่อเนื่อง สำหรับปริมาณต่อเนื่อง โหมดคือค่าที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสูงสุด ตัวเลขแสดงโหมดสำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องตามลำดับ

หากรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (เส้นโค้งการกระจาย) มีค่าสูงสุดมากกว่าหนึ่งค่า การแจกแจงจะเรียกว่า "polymodal"

บางครั้งมีการแจกแจงที่อยู่ตรงกลางไม่ใช่ค่าสูงสุด แต่เป็นค่าต่ำสุด การแจกแจงดังกล่าวเรียกว่า "ปฏิกิริยา"

ในกรณีทั่วไป โหมดและความคาดหวังของตัวแปรสุ่มจะไม่ตรงกัน ในกรณีพิเศษเมื่อการกระจายเป็นแบบสมมาตรและเป็นกิริยาช่วย (เช่น มีโหมด) และมีแผ่นรอง ความคาดหวังจากนั้นก็เกิดขึ้นพร้อมกับโหมดและจุดศูนย์กลางสมมาตรของการกระจาย

มักใช้คุณลักษณะอื่นของตำแหน่ง - ค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่มที่เรียกว่า คุณลักษณะนี้มักจะใช้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเท่านั้น แม้ว่าจะสามารถกำหนดอย่างเป็นทางการสำหรับตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องได้เช่นกัน ในเชิงเรขาคณิต ค่ามัธยฐานคือ abscissa ของจุดที่พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งการกระจายถูกแบ่งครึ่ง

ในกรณีของการกระจายแบบโมดอลแบบสมมาตร ค่ามัธยฐานจะตรงกับแผ่นรอง ความคาดหวังและแฟชั่น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นค่าเฉลี่ย ตัวแปรสุ่ม - ลักษณะเชิงตัวเลขของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม โดยทั่วไปแล้ว การคาดคะเนเสื่อของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์(ญ)ถูกกำหนดให้เป็นอินทิกรัล Lebesgue เทียบกับการวัดความน่าจะเป็น Rในพื้นที่ความน่าจะเป็นเดิม:

เสื่อ. ความคาดหวังยังสามารถคำนวณเป็นอินทิกรัล Lebesgue ของ Xโดยการกระจายความน่าจะเป็น pxปริมาณ X:

ในทางธรรมชาติ เราสามารถกำหนดแนวคิดของตัวแปรสุ่มด้วยความคาดหวังที่ไม่สิ้นสุด ตัวอย่างทั่วไปคือเวลาการส่งตัวกลับประเทศในการสุ่มเดิน

ด้วยความช่วยเหลือของเสื่อ ความคาดหวังถูกกำหนดโดยลักษณะเชิงตัวเลขและเชิงฟังก์ชันหลายอย่างของการแจกแจง (เป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันที่สอดคล้องกันของตัวแปรสุ่ม) ตัวอย่างเช่น การสร้างฟังก์ชัน ฟังก์ชันคุณลักษณะ โมเมนต์ของลำดับใดๆ โดยเฉพาะความแปรปรวน ความแปรปรวนร่วม

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นลักษณะของตำแหน่งของค่าของตัวแปรสุ่ม (ค่าเฉลี่ยของการแจกแจง) ในความสามารถนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์การกระจาย "ทั่วไป" และบทบาทของมันก็คล้ายกับบทบาทของโมเมนต์คงที่ - พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของการกระจายมวล - ในกลศาสตร์ จากลักษณะอื่น ๆ ของตำแหน่งด้วยความช่วยเหลือซึ่งอธิบายการแจกแจงไว้ในแง่ทั่วไป - ค่ามัธยฐาน, โหมด, ความคาดหวังแตกต่างกันในค่าที่มากกว่าและลักษณะการกระเจิงที่สอดคล้องกัน - ความแปรปรวน - มีอยู่ในทฤษฎีบทจำกัดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ด้วยความครบถ้วนสมบูรณ์ที่สุด ความหมายของเสื่อคาดหวังจึงถูกเปิดเผยโดยกฎของตัวเลขจำนวนมาก (ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev) และกฎที่เสริมความแข็งแกร่งของตัวเลขจำนวนมาก

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ให้มีตัวแปรสุ่มบางตัวที่สามารถรับค่าตัวเลขได้หลายค่า (เช่น จำนวนจุดในม้วนแม่พิมพ์สามารถเป็น 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6) บ่อยครั้งในทางปฏิบัติสำหรับค่าดังกล่าว คำถามเกิดขึ้น: "โดยเฉลี่ย" ใช้ค่าอะไรกับการทดสอบจำนวนมาก ผลตอบแทน (หรือขาดทุน) โดยเฉลี่ยของเราจากการดำเนินการที่เสี่ยงแต่ละครั้งเป็นอย่างไร?

สมมุติว่ามีลอตเตอรีบางชนิด เราต้องการทำความเข้าใจว่าการเข้าร่วมนั้นมีประโยชน์หรือไม่ (หรือแม้แต่เข้าร่วมซ้ำๆ เป็นประจำ) สมมติว่าทุก ๆ ตั๋วที่สี่ที่ชนะ รางวัลจะเป็น 300 รูเบิล และตั๋วใด ๆ - 100 รูเบิล ด้วยจำนวนผู้เข้าร่วมที่ไม่สิ้นสุด นี่คือสิ่งที่จะเกิดขึ้น ในสามในสี่ของคดี เราจะสูญเสีย ทุกๆ การสูญเสียสามครั้งจะมีราคา 300 รูเบิล ในทุก ๆ กรณีที่สี่ เราจะชนะ 200 rubles (รางวัลลบด้วยต้นทุน) นั่นคือสำหรับการมีส่วนร่วมสี่ครั้งเราเสียค่าเฉลี่ย 100 รูเบิลสำหรับหนึ่ง - เฉลี่ย 25 ​​รูเบิล โดยรวมแล้วอัตราการทำลายเฉลี่ยของเราจะอยู่ที่ 25 รูเบิลต่อตั๋ว

เราโยนลูกเต๋า ถ้ามันไม่โกง (โดยไม่เปลี่ยนจุดศูนย์ถ่วง ฯลฯ) แล้วเราจะมีคะแนนเฉลี่ยครั้งละกี่คะแนน? เนื่องจากแต่ละตัวเลือกมีโอกาสเท่ากัน เราจึงนำค่าเฉลี่ยเลขคณิตโง่ๆ มาคำนวณเป็น 3.5 เนื่องจากนี่คือค่าเฉลี่ย ไม่จำเป็นต้องโกรธที่ไม่มีการโยนพิเศษใดที่จะให้ 3.5 แต้ม - ลูกบาศก์นี้ไม่มีใบหน้าที่มีตัวเลขดังกล่าว!

ตอนนี้ขอสรุปตัวอย่างของเรา:

มาดูภาพด้านบนกันเลยครับ ทางซ้ายมือคือตารางการแจกแจงตัวแปรสุ่ม ค่าของ X สามารถรับค่าใดค่าหนึ่งจาก n ค่าที่เป็นไปได้ (ระบุในแถวบนสุด) ไม่สามารถมีค่าอื่นได้ ภายใต้แต่ละค่าที่เป็นไปได้ ความน่าจะเป็นของมันถูกเซ็นชื่อด้านล่าง ทางด้านขวาคือสูตร โดยที่ M(X) เรียกว่า mat ซึ่งรอคอย. ความหมายของค่านี้คือด้วยการทดลองจำนวนมาก (ด้วยตัวอย่างจำนวนมาก) ค่าเฉลี่ยมักจะเป็นไปตามความคาดหวังอย่างมาก

ลองกลับไปที่การเล่นคิวบ์เดียวกัน เสื่อ. ความคาดหวังของจำนวนคะแนนเมื่อโยนคือ 3.5 (คำนวณตัวเองโดยใช้สูตรหากคุณไม่เชื่อ) สมมุติว่าคุณโยนมันสองครั้ง 4 และ 6 หลุดออกมา โดยเฉลี่ยแล้วกลายเป็น 5 นั่นคือไกลจาก 3.5 พวกเขาโยนมันอีกครั้ง 3 หลุดออกมานั่นคือโดยเฉลี่ย (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... ค่อนข้างไกลจากเสื่อ ความคาดหวัง ตอนนี้ทำการทดลองที่บ้าๆบอ ๆ - หมุนลูกบาศก์ 1,000 ครั้ง! และถ้าค่าเฉลี่ยไม่เท่ากับ 3.5 มันก็ใกล้เคียงกัน

มานับแมทกัน รอการจับสลากที่อธิบายไว้ข้างต้น ตารางจะมีลักษณะดังนี้:

จากนั้นการรุกฆาตที่คาดหวังจะเป็นดังที่เราได้กำหนดไว้ข้างต้น:

อีกอย่างคือมัน "ติดนิ้ว" ด้วย ถ้าไม่มีสูตรคงยากถ้ามีตัวเลือกมากกว่านี้ สมมติว่ามีตั๋วแพ้ 75% ตั๋วที่ชนะ 20% และตั๋วที่ชนะ 5%

ตอนนี้คุณสมบัติบางอย่างของเสื่อคาดหวัง

เสื่อ. การรอเป็นเส้นตรงพิสูจน์ได้ง่ายๆ ดังนี้

อนุญาตให้นำตัวคูณคงที่ออกจากเครื่องหมายรุกฆาต ความคาดหวัง นั่นคือ:

นี่เป็นกรณีพิเศษของคุณสมบัติเชิงเส้นตรงของเสื่อคาดคะเน

ผลสืบเนื่องอีกประการหนึ่งของความเป็นเส้นตรงของเสื่อ ความคาดหวัง:

นั่นคือเสื่อ ความคาดหวังของผลรวมของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

ให้ X, Y เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ, แล้ว:

นอกจากนี้ยังง่ายต่อการพิสูจน์) XYตัวเองเป็นตัวแปรสุ่มในขณะที่ถ้าค่าเริ่มต้นสามารถรับได้ นและ มค่าตามลำดับแล้ว XYสามารถรับค่า nm ได้ แต่ละค่าคำนวณตามข้อเท็จจริงที่ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระนั้นคูณกัน เป็นผลให้เราได้รับสิ่งนี้:

การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่องมีลักษณะเช่นความหนาแน่นของการกระจาย (ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) อันที่จริงแล้ว แสดงลักษณะสถานการณ์ที่ตัวแปรสุ่มใช้ค่าบางค่าจากเซตของจำนวนจริงบ่อยขึ้น บางค่า - น้อยกว่า ตัวอย่างเช่น พิจารณาแผนภูมินี้:

ที่นี่ X- อันที่จริงเป็นตัวแปรสุ่ม เอฟ(x)- ความหนาแน่นของการกระจาย พิจารณาจากกราฟนี้ ระหว่างการทดลอง ค่า Xมักจะเป็นตัวเลขที่ใกล้ศูนย์ โอกาสที่จะเกิน 3 หรือน้อยกว่านั้น -3 ค่อนข้างเชิงทฤษฎี

หากทราบความหนาแน่นของการกระจาย ให้ค้นหาแผ่นความคาดหวังดังนี้:

ตัวอย่างเช่น มีการกระจายแบบสม่ำเสมอ:

มาหาเสื่อกัน ความคาดหวัง:

ซึ่งค่อนข้างสอดคล้องกับความเข้าใจโดยสัญชาตญาณ สมมติว่าถ้าเราได้จำนวนจริงสุ่มจำนวนมากพร้อมการกระจายแบบสม่ำเสมอ แต่ละเซกเมนต์ |0; 1| แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตควรอยู่ที่ประมาณ 0.5

คุณสมบัติของเสื่อความคาดหวัง - ความเป็นเส้นตรง ฯลฯ ใช้ได้กับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ใช้ที่นี่เช่นกัน

ความสัมพันธ์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กับตัวชี้วัดทางสถิติอื่นๆ

ที่ สถิติการวิเคราะห์พร้อมกับการคาดคะเนของเสื่อมีระบบตัวบ่งชี้ที่พึ่งพาอาศัยกันซึ่งสะท้อนถึงความเป็นเนื้อเดียวกันของปรากฏการณ์และความเสถียร กระบวนการ. บ่อยครั้ง ตัวบ่งชี้ความผันแปรไม่มีความหมายอิสระและใช้สำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลเพิ่มเติม ข้อยกเว้นคือค่าสัมประสิทธิ์การแปรผันซึ่งกำหนดลักษณะความเป็นเนื้อเดียวกัน ข้อมูลมีค่าแค่ไหน สถิติลักษณะเฉพาะ

ระดับความแปรปรวนหรือความเสถียร กระบวนการในศาสตร์ทางสถิติสามารถวัดได้โดยใช้ตัวชี้วัดหลายตัว

ตัวบ่งชี้ที่สำคัญที่สุดที่บ่งบอกลักษณะ ความแปรปรวนตัวแปรสุ่ม is การกระจายตัวซึ่งเชื่อมต่อโดยตรงกับเสื่อมากที่สุด ซึ่งรอคอย. พารามิเตอร์นี้ถูกใช้อย่างแข็งขันในการวิเคราะห์ทางสถิติประเภทอื่น (การทดสอบสมมติฐาน การวิเคราะห์ความสัมพันธ์ของเหตุและผล ฯลฯ) เช่นเดียวกับค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ย ความแปรปรวนยังสะท้อนถึงการวัดการแพร่กระจาย ข้อมูลรอบเฉลี่ย

เป็นประโยชน์ในการแปลภาษาของสัญญาณเป็นภาษาของคำ ปรากฎว่าความแปรปรวนคือกำลังสองเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบน นั่นคือ ค่าเฉลี่ยจะถูกคำนวณก่อน จากนั้นจึงนำผลต่างระหว่างค่าดั้งเดิมและค่าเฉลี่ยมา ยกกำลังสอง บวกแล้วหารด้วยจำนวนค่าในประชากรกลุ่มนี้ ความแตกต่างระหว่างค่าเดียวและค่าเฉลี่ยสะท้อนถึงการวัดความเบี่ยงเบน มันถูกยกกำลังสองเพื่อให้แน่ใจว่าการเบี่ยงเบนทั้งหมดกลายเป็นจำนวนบวกโดยเฉพาะและเพื่อหลีกเลี่ยงการยกเลิกค่าเบี่ยงเบนบวกและค่าลบซึ่งกันและกันเมื่อรวมเข้าด้วยกัน จากนั้น จากค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง เราก็คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ย - กำลังสอง - ส่วนเบี่ยงเบน ส่วนเบี่ยงเบนถูกยกกำลังสองและพิจารณาค่าเฉลี่ย คำตอบของคำวิเศษ "การกระจาย" เป็นเพียงสามคำ

อย่างไรก็ตาม ในรูปแบบบริสุทธิ์ เช่น ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือ การกระจายตัวจะไม่ถูกนำมาใช้ เป็นตัวบ่งชี้เสริมและตัวกลางที่ใช้สำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติประเภทอื่น เธอไม่มีแม้แต่หน่วยวัดปกติด้วยซ้ำ เมื่อพิจารณาจากสูตร นี่คือกำลังสองของหน่วยข้อมูลเดิม

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

มาวัดตัวแปรสุ่มกัน นู๋ครั้ง เช่น เราวัดความเร็วลมสิบเท่าและต้องการหาค่าเฉลี่ย ค่ากลางสัมพันธ์กับฟังก์ชันการแจกแจงอย่างไร?

หรือเราจะทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมาก จำนวนคะแนนที่จะหลุดออกจากการขว้างแต่ละครั้งเป็นตัวแปรสุ่มและสามารถรับค่าธรรมชาติใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 นู๋มันมีแนวโน้มที่จะเป็นตัวเลขที่เฉพาะเจาะจงมาก - เสื่อ ความคาดหวัง Mx. ในกรณีนี้ Mx = 3.5

คุณค่านี้เกิดขึ้นได้อย่างไร? ปล่อยให้ใน นู๋การทดลอง n1เมื่อหลุดไป 1 แต้ม n2ครั้ง - 2 คะแนนเป็นต้น จากนั้นจำนวนผลลัพธ์ที่จุดหนึ่งลดลง:

ในทำนองเดียวกันสำหรับผลลัพธ์เมื่อคะแนน 2, 3, 4, 5 และ 6 หลุดออกมา

ให้เราสมมติว่าเรารู้การแจกแจงของตัวแปรสุ่ม x นั่นคือ เรารู้ว่าตัวแปรสุ่ม x สามารถใช้ค่า x1, x2,..., xk ที่มีความน่าจะเป็น p1, p2,... , พีเค

ค่าคาดหมาย Mx ของตัวแปรสุ่ม x คือ:

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ค่าประมาณที่สมเหตุสมผลของตัวแปรสุ่มบางตัวเสมอไป ดังนั้นการประมาณค่าแรงเฉลี่ยจึงสมเหตุสมผลกว่าที่จะใช้แนวคิดของค่ามัธยฐาน กล่าวคือ ค่าดังกล่าวที่จำนวนผู้ได้รับน้อยกว่าค่ามัธยฐาน เงินเดือนและขนาดใหญ่ตรง

ความน่าจะเป็น p1 ที่ตัวแปรสุ่ม x น้อยกว่า x1/2 และความน่าจะเป็น p2 ที่ตัวแปรสุ่ม x มากกว่า x1/2 จะเท่ากันและเท่ากับ 1/2 ค่ามัธยฐานไม่ได้กำหนดไว้เฉพาะสำหรับการแจกแจงทั้งหมด

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในสถิติจะเรียกระดับความเบี่ยงเบนของข้อมูลเชิงสังเกตหรือชุดจากค่า AVERAGE เขียนแทนด้วยตัวอักษร s หรือ s ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานขนาดเล็กบ่งชี้ว่าข้อมูลถูกจัดกลุ่มตามค่าเฉลี่ย และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานขนาดใหญ่บ่งชี้ว่าข้อมูลเริ่มต้นอยู่ไกลจากข้อมูลนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับรากที่สองของปริมาณที่เรียกว่าความแปรปรวน คือค่าเฉลี่ยของผลรวมของผลต่างกำลังสองของข้อมูลเริ่มต้นที่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ย ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มคือรากที่สองของความแปรปรวน:

ตัวอย่าง. ภายใต้เงื่อนไขการทดสอบเมื่อยิงไปที่เป้าหมาย ให้คำนวณความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม:

Variation- ความผันผวนความแปรปรวนของค่าแอตทริบิวต์ในหน่วยของประชากร ค่าตัวเลขที่แยกจากกันของคุณลักษณะที่เกิดขึ้นในกลุ่มประชากรที่ศึกษาเรียกว่าตัวแปรของค่า ความไม่เพียงพอของค่าเฉลี่ยสำหรับการกำหนดลักษณะที่สมบูรณ์ของประชากรทำให้จำเป็นต้องเสริมค่าเฉลี่ยด้วยตัวบ่งชี้ที่ทำให้สามารถประเมินความเป็นมาตรฐานของค่าเฉลี่ยเหล่านี้ได้โดยการวัดความผันผวน (การเปลี่ยนแปลง) ของลักษณะภายใต้การศึกษา ค่าสัมประสิทธิ์การแปรผันคำนวณโดยสูตร:

รูปแบบช่วง(R) คือความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดและต่ำสุดของลักษณะในประชากรที่ศึกษา ตัวบ่งชี้นี้ให้แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับความผันผวนของลักษณะที่ศึกษาดังที่แสดงไว้ ความแตกต่างเฉพาะระหว่างค่าขีดจำกัดของตัวแปร การพึ่งพาค่าสุดขีดของแอตทริบิวต์ทำให้ช่วงของการเปลี่ยนแปลงเป็นอักขระสุ่มที่ไม่เสถียร

ส่วนเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ (โมดูโล) ของค่าทั้งหมดของประชากรที่วิเคราะห์จากค่าเฉลี่ย:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในทฤษฎีการพนัน

เสื่อรอคือจำนวนเงินเฉลี่ยที่นักเก็งกำไรการพนันสามารถชนะหรือแพ้ในการเดิมพันที่กำหนด นี่เป็นแนวคิดที่สำคัญมากสำหรับผู้เก็งกำไร เนื่องจากเป็นพื้นฐานในการประเมินสถานการณ์การเล่นเกมส่วนใหญ่ ความคาดหวังของรุกฆาตเป็นเครื่องมือที่ดีที่สุดสำหรับการวิเคราะห์เลย์เอาต์การ์ดพื้นฐานและสถานการณ์ในเกม

สมมติว่าคุณกำลังเล่นเหรียญกับเพื่อน โดยเดิมพันครั้งละ 1 ดอลลาร์ ไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้น ก้อย - คุณชนะ หัว - คุณแพ้ โอกาสที่มันจะเกิดขึ้นคือ 1 ต่อ 1 และคุณกำลังเดิมพันที่ 1 ดอลลาร์ต่อ 1 ดอลลาร์ ดังนั้นความคาดหวังรุกฆาตของคุณจึงเป็นศูนย์เพราะ ในทางคณิตศาสตร์ คุณไม่สามารถรู้ได้ว่าคุณจะเป็นผู้นำหรือแพ้หลังจากสองทอยหรือหลัง 200

กำไรรายชั่วโมงของคุณเป็นศูนย์ การจ่ายเงินรายชั่วโมงคือจำนวนเงินที่คุณคาดว่าจะได้รับในหนึ่งชั่วโมง คุณสามารถพลิกเหรียญ 500 ครั้งภายในหนึ่งชั่วโมง แต่คุณจะไม่ชนะหรือแพ้เพราะ อัตราต่อรองของคุณไม่เป็นบวกหรือลบ หากมองจากมุมมองของนักเก็งกำไรที่จริงจัง ระบบอัตราดังกล่าวก็ไม่เลว แต่มันเสียเวลาเปล่า

แต่สมมติว่ามีคนต้องการเดิมพัน $2 ต่อ $1 ของคุณในเกมเดียวกัน จากนั้นคุณมีความคาดหวังในเชิงบวก 50 เซ็นต์ทันทีจากการเดิมพันแต่ละครั้ง ทำไมต้อง 50 เซ็นต์? โดยเฉลี่ยแล้ว คุณชนะหนึ่งเดิมพันและแพ้ในครั้งที่สอง เดิมพันครั้งแรกและเสียเงิน 1 เหรียญ เดิมพันที่สองและชนะ 2 เหรียญ คุณเดิมพัน $1 สองครั้งและนำหน้า $1 ดังนั้น การเดิมพันหนึ่งดอลลาร์แต่ละครั้งให้คุณ 50 เซ็นต์.

หากเหรียญตกลงมา 500 ครั้งในหนึ่งชั่วโมง กำไรรายชั่วโมงของคุณจะอยู่ที่ $250 เพราะ โดยเฉลี่ยแล้วคุณสูญเสียหนึ่งตัว ดอลลาร์ 250 ครั้ง ชนะ 2 ครั้ง ดอลลาร์ 250 ครั้ง. $500 ลบ $250 เท่ากับ $250 ซึ่งเป็นเงินรางวัลทั้งหมด โปรดทราบว่ามูลค่าที่คาดหวัง ซึ่งเป็นจำนวนเงินที่คุณชนะโดยเฉลี่ยในการเดิมพันครั้งเดียวคือ 50 เซ็นต์ คุณได้รับรางวัล 250 ดอลลาร์จากการเดิมพัน 500 ดอลลาร์ ซึ่งเท่ากับ 50 เซ็นต์ของเงินเดิมพันของคุณ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

เสื่อ. ความคาดหวังไม่เกี่ยวอะไรกับผลลัพธ์ในระยะสั้น คู่ต่อสู้ของคุณที่ตัดสินใจเดิมพัน $2 กับคุณ สามารถเอาชนะคุณได้ในการทอยสิบครั้งแรกติดต่อกัน แต่ด้วยความได้เปรียบในการเดิมพัน 2 ต่อ 1 ที่เหลือทั้งหมดเท่ากัน ให้ 50 เซ็นต์สำหรับการเดิมพัน 1 ดอลลาร์ในทุก ๆ 1 ดอลลาร์ สถานการณ์. ไม่สำคัญหรอกว่าคุณจะชนะหรือแพ้หนึ่งเดิมพันหรือหลายเดิมพัน แต่ต้องอยู่ในเงื่อนไขว่าคุณมีเงินสดเพียงพอที่จะชดเชยค่าใช้จ่ายได้อย่างง่ายดาย หากคุณยังคงเดิมพันในลักษณะเดียวกัน ในช่วงเวลาที่ยาวนาน เงินรางวัลของคุณจะเข้าใกล้ผลรวมของมูลค่าที่คาดหวังในแต่ละม้วน

ทุกครั้งที่คุณวางเดิมพันที่ดีที่สุด (การเดิมพันที่สามารถทำกำไรได้ในระยะยาว) เมื่ออัตราต่อรองอยู่ในความโปรดปรานของคุณ คุณจะต้องชนะบางสิ่งจากมัน ไม่ว่าคุณจะแพ้หรือไม่อยู่ในมือที่กำหนด ในทางกลับกัน หากคุณเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่แย่กว่า (เดิมพันที่ไม่ทำกำไรในระยะยาว) เมื่ออัตราต่อรองไม่อยู่ในความโปรดปรานของคุณ คุณจะสูญเสียบางสิ่งบางอย่าง ไม่ว่าคุณจะชนะหรือแพ้ในมือนี้ก็ตาม

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

คุณเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่ดีที่สุดหากความคาดหวังของคุณเป็นบวก และเป็นบวกหากอัตราต่อรองอยู่ในความโปรดปรานของคุณ การเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่แย่ที่สุด คุณมีความคาดหวังเชิงลบ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่ออัตราต่อรองกับคุณ นักเก็งกำไรที่จริงจังเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่ดีที่สุดเท่านั้น โดยที่แย่ที่สุด - พวกเขาพับ อัตราต่อรองในความโปรดปรานของคุณหมายถึงอะไร? คุณอาจจบลงด้วยการชนะมากกว่าอัตราต่อรองที่เกิดขึ้นจริง อัตราต่อรองที่แท้จริงของการตีหางคือ 1 ต่อ 1 แต่คุณจะได้ 2 ต่อ 1 เนื่องจากอัตราส่วนการเดิมพัน ในกรณีนี้ อัตราต่อรองอยู่ในความโปรดปรานของคุณ คุณจะได้รับผลลัพธ์ที่ดีที่สุดอย่างแน่นอนด้วยความคาดหวังในเชิงบวกที่ 50 เซ็นต์ต่อการเดิมพัน

นี่คือตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ความคาดหวัง เพื่อนจดตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงห้าและเดิมพัน $5 ต่อ $1 ของคุณซึ่งคุณจะไม่เลือกหมายเลขนั้น คุณเห็นด้วยกับการเดิมพันดังกล่าวหรือไม่? อะไรคือความคาดหวังที่นี่?

โดยเฉลี่ยแล้ว คุณจะผิดสี่ครั้ง จากข้อมูลนี้ อัตราต่อรองที่คุณคาดเดาตัวเลขจะเป็น 4 ต่อ 1 โอกาสที่คุณจะเสียเงินหนึ่งดอลลาร์ในความพยายามครั้งเดียว อย่างไรก็ตาม คุณชนะ 5 ต่อ 1 โดยมีความเป็นไปได้ที่จะแพ้ 4 ต่อ 1 ดังนั้น อัตราต่อรองอยู่ในความโปรดปรานของคุณ คุณสามารถเดิมพันและหวังว่าจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด หากคุณเดิมพันนี้ห้าครั้ง โดยเฉลี่ยแล้ว คุณจะเสียเงินสี่ครั้ง $1 และชนะ $5 หนึ่งครั้ง จากสิ่งนี้ สำหรับความพยายามทั้งห้าครั้ง คุณจะได้รับ $1 ด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกที่ 20 เซนต์ต่อการเดิมพัน

นักเก็งกำไรที่จะชนะมากกว่าที่เขาเดิมพัน ดังตัวอย่างด้านบน กำลังจับอัตราต่อรอง ในทางกลับกัน เขาทำลายโอกาสเมื่อเขาคาดว่าจะชนะน้อยกว่าที่เดิมพัน นักเก็งกำไรการพนันสามารถมีความคาดหวังในเชิงบวกหรือเชิงลบขึ้นอยู่กับว่าเขาจับหรือทำลายอัตราต่อรอง

หากคุณเดิมพัน $50 เพื่อชนะ $10 โดยมีโอกาสชนะ 4 ต่อ 1 คุณจะได้รับความคาดหวังเชิงลบที่ $2 เนื่องจาก โดยเฉลี่ยแล้ว คุณจะชนะสี่ครั้ง $10 และเสีย $50 หนึ่งครั้ง ซึ่งแสดงว่าการสูญเสียต่อการเดิมพันจะเท่ากับ $10 แต่ถ้าคุณเดิมพัน $30 เพื่อชนะ $10 โดยมีโอกาสชนะ 4 ต่อ 1 เท่ากัน ในกรณีนี้ คุณคาดหวังในเชิงบวกที่ $2 เพราะ คุณชนะอีกครั้งสี่ครั้ง $10 และเสีย $30 อีกครั้งซึ่งก็คือ กำไรที่ 10 เหรียญ ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเดิมพันครั้งแรกไม่ดีและครั้งที่สองเป็นสิ่งที่ดี

เสื่อ. ความคาดหวังเป็นศูนย์กลางของทุกสถานการณ์ในเกม เมื่อเจ้ามือรับแทงพนันสนับสนุนให้แฟนฟุตบอลเดิมพัน $11 เพื่อชนะ $10 พวกเขาคาดหวังในเชิงบวกที่ 50 เซ็นต์สำหรับทุกๆ 10 ดอลลาร์ หากคาสิโนจ่ายเงินแม้แต่เงินจากพาสไลน์ของ Craps ความคาดหวังในเชิงบวกของบ้านจะอยู่ที่ประมาณ 1.40 ดอลลาร์ต่อทุกๆ 100 ดอลลาร์ เกมนี้มีโครงสร้างเพื่อให้ทุกคนที่เดิมพันในบรรทัดนี้เสีย 50.7% โดยเฉลี่ยและชนะ 49.3% ของเวลาทั้งหมด ไม่ต้องสงสัยเลยว่านี่เป็นความคาดหวังเชิงบวกที่ดูเหมือนว่าจะนำผลกำไรมหาศาลมาสู่เจ้าของคาสิโนทั่วโลก ดังที่ Bob Stupak เจ้าของคาสิโน Vegas World กล่าวว่า “หนึ่งพัน เปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็นเชิงลบในระยะทางที่ยาวพอจะทำให้คนที่ร่ำรวยที่สุดในโลกล้มละลาย

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เมื่อเล่นโปกเกอร์

เกมโป๊กเกอร์เป็นตัวอย่างที่มีภาพประกอบและเป็นตัวอย่างมากที่สุดในแง่ของการใช้ทฤษฎีและคุณสมบัติของเสื่อรอ

เสื่อ. มูลค่าที่คาดหวังในโป๊กเกอร์ - ผลประโยชน์โดยเฉลี่ยจากการตัดสินใจหนึ่งๆ โดยมีเงื่อนไขว่าการตัดสินใจดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ในกรอบของทฤษฎีตัวเลขจำนวนมากและระยะทางไกล โป๊กเกอร์ที่ประสบความสำเร็จเป็นเรื่องเกี่ยวกับการยอมรับการเคลื่อนไหวด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกเสมอ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

ความหมายทางคณิตศาสตร์ ความคาดหวังในการเล่นโปกเกอร์อยู่ที่การที่เรามักพบเจอตัวแปรสุ่มเมื่อตัดสินใจ ซื้อขาย). เราต้องพิจารณาคำตอบแต่ละข้อจากมุมมองของทฤษฎีจำนวนมาก ซึ่งบอกว่าด้วยตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มจะมีแนวโน้มเป็นค่าเฉลี่ย

ในบรรดาสูตรเฉพาะสำหรับการคำนวณค่าคาดหวัง สิ่งต่อไปนี้ใช้ได้กับโป๊กเกอร์มากที่สุด:

เมื่อเล่นไพ่ป๊อกเด้ง ความคาดหวังสามารถคำนวณได้ทั้งการเดิมพันและการโทร ในกรณีแรก ควรพิจารณาส่วนของผู้ถือหุ้น ในกรณีที่สอง อัตราต่อรองของหม้อเอง เมื่อประเมินเสื่อ ความคาดหวังของสิ่งนี้หรือการเคลื่อนไหวนั้น พึงระลึกไว้เสมอว่าการพับนั้นไม่มีความคาดหวังเป็นศูนย์ ดังนั้น การทิ้งไพ่จะเป็นการตัดสินใจที่ทำกำไรได้มากกว่าการเคลื่อนไหวเชิงลบใดๆ เสมอ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

ความคาดหวังบอกคุณถึงสิ่งที่คุณคาดหวัง (หรือสูญเสีย) สำหรับความเสี่ยงแต่ละครั้งที่คุณรับ คาสิโนได้รับ เงินเพราะการรุกฆาตความคาดหวังจากทุกเกมที่ฝึกฝนอยู่ในนั้นคือความโปรดปรานของคาสิโน ด้วยซีรีย์เกมที่ยาวพอสมควร คาดว่าลูกค้าจะเสียของเขา เงินเพราะ "ความน่าจะเป็น" เป็นที่โปรดปรานของคาสิโน อย่างไรก็ตาม นักเก็งกำไรคาสิโนมืออาชีพจำกัดเกมของพวกเขาไว้ในช่วงเวลาสั้น ๆ ซึ่งจะเป็นการเพิ่มโอกาสในความโปรดปรานของพวกเขา เช่นเดียวกับการลงทุน หากความคาดหวังของคุณเป็นไปในเชิงบวก คุณสามารถทำเงินได้มากขึ้นโดยทำการซื้อขายจำนวนมากในระยะเวลาอันสั้น ระยะเวลาเวลา. ความคาดหวังคือเปอร์เซ็นต์ของกำไรต่อการชนะคูณด้วยกำไรเฉลี่ยลบด้วยโอกาสขาดทุนคูณด้วยการสูญเสียเฉลี่ย

โป๊กเกอร์ยังสามารถดูในแง่ของการรุกฆาต คุณสามารถสรุปได้ว่าการเคลื่อนไหวบางอย่างสามารถทำกำไรได้ แต่ในบางกรณีอาจไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุด เนื่องจากการเคลื่อนไหวอื่นให้ผลกำไรมากกว่า สมมติว่าคุณตีไพ่เต็มห้าใบในโป๊กเกอร์ เดิมพันคู่ต่อสู้ของคุณ คุณรู้ว่าถ้าคุณขึ้น ante เขาจะโทร ดังนั้นการเลี้ยงจึงเป็นกลยุทธ์ที่ดีที่สุด แต่ถ้าคุณเพิ่มเดิมพัน นักเก็งกำไรอีกสองคนที่เหลือจะหมอบลงอย่างแน่นอน แต่ถ้าคุณเรียกการเดิมพัน คุณจะแน่ใจโดยสมบูรณ์ว่านักเก็งกำไรอีกสองคนหลังจากที่คุณจะทำแบบเดียวกัน เมื่อคุณเพิ่มเงินเดิมพัน คุณจะได้รับหนึ่งหน่วย และเพียงแค่โทร - สอง ดังนั้นการโทรจึงให้คุณค่าที่คาดหวังในเชิงบวกที่สูงขึ้นและเป็นกลวิธีที่ดีที่สุด

เสื่อ. การรอคอยยังสามารถให้แนวคิดว่ากลยุทธ์ใดในโป๊กเกอร์ที่ทำกำไรได้น้อยกว่าและทำกำไรได้มากกว่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเล่นมือใดมือหนึ่ง และคุณคิดว่าการสูญเสียเฉลี่ยของคุณคือ 75 เซ็นต์รวมแอนตี คุณควรเล่นมือนั้นเพราะ นี้ดีกว่าพับเมื่อ ante คือ $1

เหตุผลสำคัญอีกประการหนึ่งในการทำความเข้าใจสาระสำคัญของเสื่อ ความคาดหวังคือมันทำให้คุณรู้สึกอุ่นใจไม่ว่าคุณจะชนะเดิมพันหรือไม่: หากคุณเดิมพันที่ดีหรือพับเวลา คุณจะรู้ว่าคุณได้ทำหรือประหยัดเงินจำนวนหนึ่งที่นักเก็งกำไรที่อ่อนแอกว่าสามารถทำได้ ไม่บันทึก มันยากกว่ามากที่จะหมอบถ้าคุณผิดหวังที่คู่ต่อสู้ของคุณมีมือที่ดีกว่าในการเสมอ ทั้งหมดนี้ สิ่งที่คุณประหยัดได้จากการไม่เล่น แทนที่จะเดิมพัน จะถูกเพิ่มเข้าไปในเงินรางวัลของคุณต่อคืนหรือต่อเดือน

แค่จำไว้ว่าถ้าคุณเปลี่ยนมือ ฝ่ายตรงข้ามจะโทรหาคุณ และอย่างที่คุณเห็นในบทความ Fundamental Theorem of Poker นี่เป็นเพียงข้อดีของคุณ คุณควรชื่นชมยินดีเมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น คุณยังสามารถเรียนรู้ที่จะเพลิดเพลินไปกับมือที่เสียไป เพราะคุณรู้ว่านักเก็งกำไรคนอื่น ๆ ในตำแหน่งของคุณจะสูญเสียมากกว่านั้นอีกมาก

ดังที่ได้กล่าวไว้ในตัวอย่างเกมเหรียญตอนเริ่มต้น อัตรากำไรรายชั่วโมงนั้นสัมพันธ์กับความคาดหวังของ Mat และแนวคิดนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับนักเก็งกำไรมืออาชีพ เมื่อคุณจะเล่นโป๊กเกอร์ คุณต้องประเมินในใจว่าคุณจะสามารถชนะได้มากแค่ไหนในหนึ่งชั่วโมงของการเล่น ในกรณีส่วนใหญ่ คุณจะต้องพึ่งพาสัญชาตญาณและประสบการณ์ของคุณ แต่คุณสามารถใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์บางอย่างได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังเล่น Draw Lowball และคุณเห็นผู้เล่นสามคนเดิมพัน $10 แล้วจั่วไพ่สองใบ ซึ่งเป็นกลยุทธ์ที่แย่มาก คุณสามารถคำนวณด้วยตัวเองว่าทุกครั้งที่พวกเขาเดิมพัน $10 พวกเขาเสียเงินประมาณ $2 แต่ละคนทำสิ่งนี้แปดครั้งต่อชั่วโมง ซึ่งหมายความว่าทั้งสามสูญเสียประมาณ 48 ดอลลาร์ต่อชั่วโมง คุณเป็นหนึ่งในนักเก็งกำไรสี่รายที่เหลือ ซึ่งมีค่าเท่ากันโดยประมาณ ดังนั้นนักเก็งกำไรสี่คนนี้ (และคุณในหมู่พวกเขา) ต้องแบ่งปัน $48 และแต่ละคนจะทำกำไรได้ $12 ต่อชั่วโมง อัตรารายชั่วโมงของคุณในกรณีนี้เป็นเพียงส่วนแบ่งของจำนวนเงินที่สูญเสียไปโดยนักเก็งกำไรที่ไม่ดีสามคนในหนึ่งชั่วโมง

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

ในช่วงเวลาที่ยาวนาน กำไรรวมของผู้เก็งกำไรคือผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเขาในการแจกแจงรายบุคคล ยิ่งคุณเล่นด้วยความคาดหวังในเชิงบวก ยิ่งคุณชนะ และในทางกลับกัน ยิ่งคุณเล่นด้วยความคาดหวังเชิงลบมากเท่าไร คุณก็ยิ่งสูญเสียมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้น คุณควรจัดลำดับความสำคัญของเกมที่สามารถเพิ่มความคาดหวังในเชิงบวกของคุณหรือลบล้างเกมเชิงลบของคุณเพื่อที่คุณจะได้เพิ่มผลกำไรรายชั่วโมงของคุณให้สูงสุด

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกในกลยุทธ์เกม

หากคุณรู้วิธีนับไพ่ คุณอาจมีข้อได้เปรียบเหนือคาสิโนหากพวกเขาไม่สังเกตและไล่คุณออกไป คาสิโนรักนักเก็งกำไรที่เมาและเกลียดการนับไพ่ ข้อได้เปรียบนี้จะช่วยให้คุณชนะมากกว่าที่คุณแพ้เมื่อเวลาผ่านไป การจัดการเงินที่ดีโดยใช้การคำนวณรุกฆาตสามารถช่วยให้คุณได้รับประโยชน์มากขึ้นและลดการขาดทุน หากไม่มีข้อได้เปรียบ คุณควรมอบเงินเพื่อการกุศล ในเกมในตลาดหลักทรัพย์ความได้เปรียบมาจากระบบของเกมที่สร้างกำไรมากกว่าขาดทุนส่วนต่าง ราคาและค่าคอมมิชชั่น ไม่มี การจัดการเงินทุนจะไม่บันทึกระบบเกมที่ไม่ดี

ความคาดหวังในเชิงบวกถูกกำหนดโดยค่าที่มากกว่าศูนย์ ยิ่งตัวเลขนี้มากเท่าไร ความคาดหวังทางสถิติก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้น หากค่าน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น ความคาดหวังก็จะเป็นลบเช่นกัน ยิ่งโมดูลัสของค่าลบมากเท่าไหร่ สถานการณ์ก็ยิ่งแย่ลงเท่านั้น หากผลลัพธ์เป็นศูนย์ แสดงว่าความคาดหวังนั้นคุ้มทุน คุณสามารถชนะได้ก็ต่อเมื่อคุณมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวก ระบบเกมที่สมเหตุสมผล การเล่นตามสัญชาตญาณนำไปสู่หายนะ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นตัวบ่งชี้ทางสถิติที่มีความต้องการอย่างกว้างขวางและเป็นที่นิยมในการดำเนินการซื้อขายแลกเปลี่ยนในตลาดการเงิน ตลาด. ก่อนอื่น พารามิเตอร์นี้ใช้เพื่อวิเคราะห์ความสำเร็จ ซื้อขาย. ไม่ยากเลยที่จะเดาว่ายิ่งมูลค่านี้มากเท่าไร ก็ยิ่งมีเหตุผลมากขึ้นในการพิจารณาการค้าภายใต้การศึกษาที่ประสบความสำเร็จ แน่นอนการวิเคราะห์ งานผู้ค้าไม่สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือของพารามิเตอร์นี้เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ค่าที่คำนวณร่วมกับวิธีอื่นในการประเมินคุณภาพ งานสามารถปรับปรุงความถูกต้องของการวิเคราะห์ได้อย่างมาก

ความคาดหวังของ Mat มักจะถูกคำนวณในบริการตรวจสอบบัญชีซื้อขาย ซึ่งช่วยให้คุณประเมินงานที่ทำในการฝากเงินได้อย่างรวดเร็ว เป็นข้อยกเว้น เราสามารถอ้างอิงกลยุทธ์ที่ใช้ "อยู่เกินเวลา" ของการสูญเสียการซื้อขาย เทรดเดอร์โชคอาจมากับเขาในบางครั้ง ดังนั้นจึงอาจไม่สูญเสียเลยในงานของเขา ในกรณีนี้จะไม่สามารถนำทางได้ตามความคาดหวังเนื่องจากความเสี่ยงที่ใช้ในงานจะไม่ถูกนำมาพิจารณา

ในการซื้อขายบน ตลาดการคาดการณ์แบบ mat มักใช้เมื่อคาดการณ์ความสามารถในการทำกำไรของกลยุทธ์การซื้อขายหรือเมื่อคาดการณ์รายได้ พ่อค้าตามสถิติที่ผ่านมาของเขา ประมูล.

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

ในความสัมพันธ์กับการจัดการเงิน สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าเมื่อทำการซื้อขายด้วยความคาดหวังเชิงลบ ไม่มีแผน การจัดการเงินซึ่งสามารถทำกำไรได้สูงอย่างแน่นอน หากคุณยังคงเล่น ตลาดหลักทรัพย์ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้โดยไม่คำนึงถึงวิธีการ การจัดการเงิน คุณจะสูญเสียทั้งบัญชีไม่ว่าจะใหญ่แค่ไหนในตอนเริ่มต้น

สัจพจน์นี้ไม่เพียงแต่เป็นความจริงสำหรับเกมหรือการซื้อขายที่คาดหวังเชิงลบเท่านั้น แต่ยังเป็นความจริงสำหรับเกมอัตราต่อรอง ดังนั้น กรณีเดียวที่คุณมีโอกาสที่จะได้รับประโยชน์ในระยะยาวคือเมื่อทำข้อตกลงกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวก

ความแตกต่างระหว่างความคาดหวังเชิงลบและความคาดหวังเชิงบวกคือความแตกต่างระหว่างชีวิตและความตาย ไม่สำคัญว่าความคาดหวังจะเป็นไปในเชิงบวกหรือเชิงลบเพียงใด สิ่งที่สำคัญคือไม่ว่าจะเป็นบวกหรือลบ ดังนั้น ก่อนพิจารณาประเด็นการจัดการ เงินทุนคุณต้องพบกับเกมที่มีความคาดหวังในเชิงบวก

หากคุณไม่มีเกมนั้น การจัดการเงินจำนวนหนึ่งในโลกนี้จะไม่ช่วยคุณได้ ในทางกลับกัน หากคุณมีความคาดหวังในเชิงบวก ก็เป็นไปได้ด้วยการจัดการเงินที่เหมาะสม เพื่อเปลี่ยนให้เป็นฟังก์ชันการเติบโตแบบทวีคูณ ไม่สำคัญว่าความคาดหวังในเชิงบวกจะเล็กน้อยเพียงใด! กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่สำคัญว่าระบบการซื้อขายตามสัญญาหนึ่งสัญญาจะทำกำไรได้มากเพียงใด หากคุณมีระบบที่ชนะ $10 ต่อสัญญาในการซื้อขายครั้งเดียว (หลังค่าคอมมิชชั่นและสลิปเพจ) คุณสามารถใช้เทคนิคการจัดการได้ เงินทุนในลักษณะที่ทำให้มีกำไรมากกว่าระบบที่แสดงกำไรเฉลี่ย $1,000 ต่อการซื้อขาย (หลังค่าธรรมเนียมและ Slippage)

สิ่งที่สำคัญไม่ใช่ว่าระบบมีผลกำไรมากน้อยเพียงใด แต่สามารถพูดได้ว่าระบบจะแสดงผลกำไรขั้นต่ำอย่างน้อยที่สุดในอนาคตได้อย่างไร ดังนั้น การเตรียมการที่สำคัญที่สุดที่สามารถทำได้คือต้องแน่ใจว่าระบบแสดงมูลค่าที่คาดหวังในเชิงบวกในอนาคต

เพื่อให้มีค่าที่คาดหวังในเชิงบวกในอนาคต เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะไม่จำกัดระดับความเป็นอิสระของระบบของคุณ ซึ่งทำได้ไม่เพียงแค่การกำจัดหรือลดจำนวนพารามิเตอร์ที่จะปรับให้เหมาะสมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการลดกฎของระบบให้ได้มากที่สุด ทุกพารามิเตอร์ที่คุณเพิ่ม ทุกกฎที่คุณสร้าง ทุกการเปลี่ยนแปลงเล็กๆ น้อยๆ ที่คุณทำกับระบบจะลดจำนวนองศาอิสระ ตามหลักการแล้ว คุณต้องการสร้างระบบที่ค่อนข้างดั้งเดิมและเรียบง่าย ซึ่งจะสร้างผลกำไรเพียงเล็กน้อยในเกือบทุกตลาดอย่างต่อเนื่อง อีกครั้ง สิ่งสำคัญคือคุณต้องเข้าใจว่าระบบจะทำกำไรได้มากแค่ไหน ตราบใดที่ระบบนั้นทำกำไรได้ ที่คุณได้รับจากการซื้อขายจะได้รับผ่านการจัดการเงินที่มีประสิทธิภาพ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

ระบบการซื้อขายเป็นเพียงเครื่องมือที่ให้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกแก่คุณ เพื่อให้สามารถใช้การจัดการเงินได้ ระบบที่ทำงาน (แสดงผลกำไรขั้นต่ำเป็นอย่างน้อย) ในตลาดหนึ่งหรือสองสามตลาด หรือมีกฎเกณฑ์หรือพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันสำหรับตลาดต่างๆ มักจะไม่ทำงานแบบเรียลไทม์เป็นเวลานาน ปัญหากับผู้ค้าทางเทคนิคส่วนใหญ่คือพวกเขาใช้เวลาและความพยายามมากเกินไปในการปรับกฎและพารามิเตอร์ต่างๆ ของระบบการซื้อขายให้เหมาะสม สิ่งนี้ให้ผลลัพธ์ที่ตรงกันข้ามอย่างสิ้นเชิง แทนที่จะสิ้นเปลืองพลังงานและเวลาคอมพิวเตอร์ในการเพิ่มผลกำไรของระบบการซื้อขาย ให้นำพลังงานของคุณไปที่การเพิ่มระดับความน่าเชื่อถือในการได้รับกำไรขั้นต่ำ

รู้ว่า การจัดการเงินทุน- นี่เป็นเพียงเกมตัวเลขที่ต้องใช้ความคาดหวังในเชิงบวก ผู้ค้าสามารถหยุดมองหา "จอกศักดิ์สิทธิ์" ของการซื้อขายแลกเปลี่ยน แต่เขาสามารถเริ่มทดสอบวิธีการซื้อขายของเขา หาว่าวิธีนี้มีเหตุผลอย่างไร ไม่ว่าจะให้ความคาดหวังในเชิงบวกหรือไม่ วิธีการจัดการเงินที่เหมาะสมซึ่งนำไปใช้กับวิธีการซื้อขายใดๆ ก็ตาม แม้แต่วิธีการซื้อขายที่ธรรมดามาก จะทำส่วนที่เหลือได้

เพื่อให้ผู้ค้ารายใดประสบความสำเร็จในงานของเขา เขาต้องแก้ไขสามงานที่สำคัญที่สุด: เพื่อให้แน่ใจว่าจำนวนธุรกรรมที่ประสบความสำเร็จเกินข้อผิดพลาดและการคำนวณผิดพลาดที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ ตั้งค่าระบบการซื้อขายของคุณเพื่อให้โอกาสในการสร้างรายได้ได้บ่อยที่สุด บรรลุผลในเชิงบวกที่มั่นคงจากการดำเนินงานของคุณ

และที่นี่ สำหรับเรา เทรดเดอร์ที่ทำงานอยู่ รุกฆาตสามารถช่วยได้ ความคาดหวัง. เทอมนี้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นหนึ่งในกุญแจสำคัญ ด้วยค่านี้ คุณสามารถให้ค่าประมาณการเฉลี่ยของค่าสุ่มได้ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนั้นคล้ายกับจุดศูนย์ถ่วง หากเราจินตนาการว่าความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นจุดที่มีมวลต่างกัน

ในความสัมพันธ์กับกลยุทธ์การซื้อขาย เพื่อประเมินประสิทธิผล มักใช้ความคาดหวังของกำไร (หรือขาดทุน) พารามิเตอร์นี้ถูกกำหนดเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของระดับกำไรขาดทุนที่กำหนด และความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น กลยุทธ์การซื้อขายที่พัฒนาแล้วถือว่า 37% ของการดำเนินการทั้งหมดจะสร้างกำไร และส่วนที่เหลือ - 63% - จะไม่ทำกำไร ในขณะเดียวกัน ค่าเฉลี่ย รายได้จากการทำธุรกรรมที่ประสบความสำเร็จจะเป็น 7 ดอลลาร์ และการสูญเสียเฉลี่ยจะเท่ากับ 1.4 ดอลลาร์ มาคำนวณเสื่อกัน ความคาดหวังของการซื้อขายในระบบดังกล่าว:

ตัวเลขนี้หมายความว่าอย่างไร มันบอกว่าตามกฎของระบบนี้ โดยเฉลี่ยแล้ว เราจะได้รับ 1.708 ดอลลาร์จากแต่ละธุรกรรมที่ปิด เนื่องจากคะแนนประสิทธิภาพที่ได้มีค่ามากกว่าศูนย์ ระบบดังกล่าวจึงสามารถนำไปใช้งานจริงได้ หากผลจากการคำนวณของเสื่อ ความคาดหวังกลายเป็นลบ ก็แสดงว่ามีการสูญเสียโดยเฉลี่ยแล้ว และสิ่งนี้จะนำไปสู่ความพินาศ

จำนวนกำไรต่อการค้าสามารถแสดงเป็นค่าสัมพัทธ์ในรูปแบบของ % ตัวอย่างเช่น:

เปอร์เซ็นต์ของรายได้ต่อ 1 รายการ - 5%;

เปอร์เซ็นต์ของการดำเนินการซื้อขายที่ประสบความสำเร็จ - 62%;

เปอร์เซ็นต์ของการสูญเสียต่อ 1 การค้า - 3%;

เปอร์เซ็นต์ของการทำธุรกรรมที่ไม่สำเร็จ - 38%;

ในกรณีนี้เสื่อ ความคาดหวังจะเป็น:

นั่นคือการทำธุรกรรมเฉลี่ยจะนำมา 1.96%

เป็นไปได้ที่จะพัฒนาระบบที่แม้จะขาดทุนจากการเทรดเป็นหลัก แต่ก็ให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก เนื่องจาก MO>0

อย่างไรก็ตาม การรอคนเดียวไม่เพียงพอ เป็นการยากที่จะทำเงินหากระบบให้สัญญาณการซื้อขายน้อยมาก ในกรณีนี้จะเปรียบได้กับดอกเบี้ยธนาคาร ให้แต่ละการดำเนินการนำมาเพียง 0.5 ดอลลาร์โดยเฉลี่ย แต่ถ้าระบบถือว่า 1,000 ธุรกรรมต่อปี? นี้จะเป็นจำนวนเงินที่ร้ายแรงมากในเวลาอันสั้น ตามหลักเหตุผลจากสิ่งนี้ เครื่องหมายการค้าที่ดีอีกประการหนึ่งของระบบการซื้อขายที่ดีถือได้ว่าเป็นช่วงเวลาสั้น ๆ

ที่มาและลิงค์

dic.academic.ru - พจนานุกรมออนไลน์ทางวิชาการ

math.ru - เว็บไซต์การศึกษาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์

nsu.ru - เว็บไซต์การศึกษาของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐโนโวซีบีสค์

webmath.ru - พอร์ทัลการศึกษาสำหรับนักเรียน ผู้สมัคร และเด็กนักเรียน

exponenta.ru เว็บไซต์คณิตศาสตร์เพื่อการศึกษา

ru.tradimo.com - โรงเรียนซื้อขายออนไลน์ฟรี

crypto.hut2.ru - แหล่งข้อมูลสหสาขาวิชาชีพ

poker-wiki.ru - สารานุกรมฟรีของโป๊กเกอร์

sernam.ru - ห้องสมุดวิทยาศาสตร์ของสิ่งพิมพ์วิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่เลือก

reshim.su - เว็บไซต์

unfx.ru - Forex ที่ UNFX: การฝึกอบรม สัญญาณการซื้อขาย การจัดการความน่าเชื่อถือ

- - การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ หนึ่งในคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม ซึ่งมักเรียกว่าค่าเฉลี่ยตามทฤษฎี สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ทางคณิตศาสตร์ ... ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

มูลค่าที่คาดหวัง- (ค่าที่คาดหวัง) มูลค่าเฉลี่ยของการกระจายตัวของตัวแปรทางเศรษฐกิจที่สามารถรับได้ ถ้า pt คือราคาของสินค้า ณ เวลา t การคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะแสดงด้วย Ept เพื่อระบุจุดในเวลาที่ ... ... พจนานุกรมเศรษฐกิจ

มูลค่าที่คาดหวัง- ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การคาดหมายทางคณิตศาสตร์เป็นค่าที่กำหนด ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการทำให้เกิดตัวแปรสุ่มคือค่าประมาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เฉลี่ย… … คำศัพท์ที่เป็นทางการคือ (ค่ากลาง) ของตัวแปรสุ่มซึ่งเป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม หากตัวแปรสุ่มกำหนดบนช่องว่างความน่าจะเป็น (ดู ทฤษฎีความน่าจะเป็น) แสดงว่าค่า M. o. MX (หรือ EX) ถูกกำหนดให้เป็นอินทิกรัล Lebesgue: โดยที่... สารานุกรมทางกายภาพ

มูลค่าที่คาดหวัง- ตัวแปรสุ่มคือคุณลักษณะเชิงตัวเลข หากตัวแปรสุ่ม X มีฟังก์ชันการกระจาย F(x) แสดงว่า M o ของตัวแปรนั้น จะ: . หากการกระจายของ X นั้นไม่ต่อเนื่อง М.о.: โดยที่ x1, x2, ... เป็นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X; หน้า1 ... สารานุกรมธรณีวิทยา

มูลค่าที่คาดหวัง- ภาษาอังกฤษ. มูลค่าที่คาดหวัง เยอรมัน Erwartung คณิตศาสตร์. ค่าเฉลี่ยสุ่มหรือศูนย์กลางการกระจายของตัวแปรสุ่ม อันตินาซี สารานุกรมสังคมวิทยา 2552 ... สารานุกรมสังคมวิทยา

มูลค่าที่คาดหวัง- ดูเพิ่มเติม: ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไข การคาดหมายทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มถูกพิจารณาในทฤษฎีความน่าจะเป็น ในวรรณคดีอังกฤษและคณิตศาสตร์ ... ... Wikipedia

มูลค่าที่คาดหวัง- 1.14 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ E (X) โดยที่ค่า xi ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง p = P (X = xi); f(x) คือความหนาแน่นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง * หากนิพจน์นี้มีอยู่ในความหมายของการบรรจบกันแบบสัมบูรณ์ แหล่ง ... หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมของเงื่อนไขของเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค

หนังสือ

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer เว็บไซต์ Wenn Sie Diese เว็บไซต์ weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. ตกลง

- จำนวนเด็กชายในทารกแรกเกิด 10 คน

เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลขนี้ไม่เป็นที่รู้จักล่วงหน้า และในเด็กสิบคนที่จะเกิดต่อไปอาจมี:

หรือเด็กผู้ชาย - หนึ่งเดียวเท่านั้นของตัวเลือกที่ระบุไว้

และเพื่อให้มีรูปร่างที่ดี พลศึกษาเล็กน้อย:

- กระโดดไกล (ในบางหน่วย).

แม้แต่เจ้าแห่งกีฬาก็คาดเดาไม่ได้ :)

อย่างไรก็ตาม สมมติฐานของคุณคืออะไร?

2) ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง - ใช้ ทั้งหมดค่าตัวเลขจากบางช่วงจำกัดหรืออนันต์

บันทึก : อักษรย่อ DSV และ NSV เป็นที่นิยมในวรรณคดีเพื่อการศึกษา

ก่อนอื่น มาวิเคราะห์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องกัน จากนั้น - ต่อเนื่อง.

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

- นี้ ความสอดคล้องระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณนี้กับความน่าจะเป็น กฎหมายมักเขียนไว้ในตาราง:

คำนี้ค่อนข้างธรรมดา แถว การกระจายแต่ในบางสถานการณ์อาจฟังดูคลุมเครือ ดังนั้นฉันจะปฏิบัติตาม "กฎหมาย"

และตอนนี้ จุดสำคัญมาก: ตั้งแต่ตัวแปรสุ่ม อย่างจำเป็นจะยอมรับ หนึ่งในค่านิยมแล้วเหตุการณ์ที่สอดคล้องกันแบบฟอร์ม เต็มกลุ่มและผลรวมของความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเท่ากับหนึ่ง:

หรือถ้าเขียนพับ:

ตัวอย่างเช่น กฎของการแจกแจงความน่าจะเป็นของแต้มบนลูกเต๋ามีรูปแบบดังนี้:

ไม่มีความคิดเห็น.

คุณอาจรู้สึกว่าตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องสามารถรับได้เฉพาะค่าจำนวนเต็ม "ดี" เท่านั้น มาปัดเป่าภาพลวงตากันเถอะ - มันสามารถเป็นอะไรก็ได้:

ตัวอย่างที่ 1

เกมบางเกมมีกฎหมายการกระจายผลตอบแทนดังต่อไปนี้:

…บางทีคุณคงฝันเกี่ยวกับงานดังกล่าวมานานแล้ว :) ให้ฉันบอกความลับกับคุณ - ฉันด้วย โดยเฉพาะหลังเลิกงาน ทฤษฎีสนาม.

การตัดสินใจ: เนื่องจากตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าได้เพียงหนึ่งในสามค่า เหตุการณ์ที่สอดคล้องกันจึงกลายเป็น เต็มกลุ่มซึ่งหมายความว่าผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง:

เราเปิดเผย "พรรคพวก":

– ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะหน่วยทั่วไปคือ 0.4

การควบคุม: สิ่งที่คุณต้องการเพื่อให้แน่ใจว่า

ตอบ:

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่กฎหมายการจำหน่ายสินค้าจะต้องมีการรวบรวมอย่างอิสระ สำหรับการใช้งานนี้ ความหมายคลาสสิกของความน่าจะเป็น, ทฤษฎีการคูณ/การบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และชิปอื่นๆ tervera:

ตัวอย่าง 2

ในกล่องมีลอตเตอรี 50 ใบ โดย 12 ใบเป็นผู้ชนะ และ 2 ในนั้นถูกรางวัลละ 1,000 rubles และที่เหลือ - แต่ละ 100 rubles ร่างกฎการแจกแจงตัวแปรสุ่ม - ขนาดของเงินรางวัล หากสุ่มจับสลากหนึ่งใบจากกล่อง

การตัดสินใจ: ตามที่คุณสังเกตเห็น มันเป็นธรรมเนียมที่จะใส่ค่าของตัวแปรสุ่มลงใน ลำดับจากน้อยไปมาก. ดังนั้นเราจึงเริ่มต้นด้วยเงินรางวัลที่น้อยที่สุดคือรูเบิล

รวมแล้วมี 50 - 12 = 38 ใบ และตาม ความหมายคลาสสิก:
คือความน่าจะเป็นที่สลากแบบสุ่มจะไม่ชนะ

กรณีที่เหลือนั้นเรียบง่าย ความน่าจะเป็นที่จะชนะรูเบิลคือ:

กำลังตรวจสอบ: - และนี่เป็นช่วงเวลาที่น่ายินดีอย่างยิ่งของงานดังกล่าว!

ตอบ: กฎหมายการจ่ายผลตอบแทนที่กำหนด:

งานต่อไปนี้สำหรับการตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 3

ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะโดนเป้าหมายคือ สร้างกฎการแจกจ่ายสำหรับตัวแปรสุ่ม - จำนวนครั้งที่ยิงหลังจาก 2 นัด

... ฉันรู้ว่าเธอคิดถึง :) เราจำได้ ทฤษฎีการคูณและการบวก. คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

กฎหมายการกระจายอธิบายตัวแปรสุ่มอย่างสมบูรณ์ แต่ในทางปฏิบัติจะมีประโยชน์ (และบางครั้งก็มีประโยชน์มากกว่า) ที่จะรู้เพียงบางส่วนเท่านั้น ลักษณะเชิงตัวเลข .

การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

พูดง่ายๆ นี่ ค่าเฉลี่ยที่คาดหวังด้วยการทดสอบซ้ำๆ ให้ตัวแปรสุ่มรับค่าที่มีความน่าจะเป็น ตามลำดับ แล้วการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนี้จะเท่ากับ ผลรวมของผลิตภัณฑ์ค่าทั้งหมดตามความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:

หรือในรูปแบบพับ:

มาคำนวณกัน ตัวอย่างเช่น การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม - จำนวนแต้มที่ตกบนลูกเต๋า:

ตอนนี้ขอจำเกมสมมุติของเรา:

คำถามเกิดขึ้น: การเล่นเกมนี้มีกำไรหรือไม่? ...ใครมีความประทับใจบ้าง? ดังนั้นคุณไม่สามารถพูดว่า "มือเปล่า"! แต่คำถามนี้สามารถตอบได้ง่ายๆ ด้วยการคำนวณการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ โดยพื้นฐานแล้ว - ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นในการชนะ:

ดังนั้นการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของเกมนี้ แพ้.

อย่าไว้ใจการแสดงผล - เชื่อตัวเลข!

ใช่ ที่นี่คุณสามารถชนะได้ 10 หรือ 20-30 ครั้งติดต่อกัน แต่ในระยะยาว เราจะถูกทำลายอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ และฉันจะไม่แนะนำให้คุณเล่นเกมดังกล่าว :) อาจจะเท่านั้น เพื่อความสนุก.

จากทั้งหมดข้างต้น เป็นไปตามที่การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ค่าสุ่ม

งานสร้างสรรค์สำหรับการวิจัยอิสระ:

ตัวอย่างที่ 4

Mr X เล่นรูเล็ตยุโรปตามระบบต่อไปนี้: เขาเดิมพัน 100 rubles กับสีแดงอย่างต่อเนื่อง เขียนกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม - ผลตอบแทนของมัน คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการชนะและปัดเศษขึ้นเป็น kopecks เท่าไร เฉลี่ยผู้เล่นเสียทุกร้อยเดิมพันหรือไม่?

อ้างอิง : รูเล็ตยุโรปประกอบด้วย 18 แดง 18 ดำและ 1 ภาคสีเขียว ("ศูนย์") ในกรณีที่ "สีแดง" หลุดออกมา ผู้เล่นจะได้รับเงินเดิมพันสองเท่า มิฉะนั้น จะเข้าสู่รายได้ของคาสิโน

มีระบบรูเล็ตอื่น ๆ อีกมากมายที่คุณสามารถสร้างตารางความน่าจะเป็นของคุณเองได้ แต่กรณีนี้เป็นกรณีที่เราไม่ต้องการกฎหมายและตารางการแจกแจงใดๆ เนื่องจากมีการกำหนดไว้แล้วว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผู้เล่นจะเหมือนกันทุกประการ เฉพาะการเปลี่ยนแปลงจากระบบเป็นระบบ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็นของพวกมัน

ให้ตัวแปรสุ่มรับได้เฉพาะความน่าจะเป็นที่เท่ากันตามลำดับ จากนั้น การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มจะถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน

หากตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องใช้ชุดค่าที่เป็นไปได้ที่นับได้ ดังนั้น

นอกจากนี้ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ยังมีอยู่หากอนุกรมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันมาบรรจบกันโดยสิ้นเชิง

ความคิดเห็น จากคำจำกัดความว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเป็นตัวแปรแบบไม่สุ่ม (ค่าคงที่)

นิยามของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในกรณีทั่วไป

ให้เรากำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มซึ่งการแจกแจงไม่จำเป็นต้องแยกกัน เริ่มจากกรณีของตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบ แนวคิดจะเป็นการประมาณตัวแปรสุ่มดังกล่าวด้วยความช่วยเหลือของตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งมีการกำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แล้ว และตั้งค่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ให้เท่ากับขีดจำกัดของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่ใกล้เคียงกัน อย่างไรก็ตาม นี่เป็นแนวคิดทั่วไปที่มีประโยชน์มาก ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าคุณลักษณะบางอย่างถูกกำหนดไว้ก่อนสำหรับออบเจกต์ธรรมดา จากนั้นสำหรับออบเจกต์ที่ซับซ้อนมากขึ้น จะถูกกำหนดโดยการประมาณพวกมันด้วยสิ่งที่ง่ายกว่า

บทแทรก 1. ปล่อยให้มีตัวแปรสุ่มที่ไม่ใช่ค่าลบตามอำเภอใจ จากนั้นจะมีลำดับของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องกันเช่นว่า

การพิสูจน์. ให้เราแบ่งเซมิแกนออกเป็นส่วนเท่า ๆ กันของความยาวและกำหนด

จากนั้นคุณสมบัติ 1 และ 2 ก็ตามมาอย่างง่ายดายจากคำจำกัดความของตัวแปรสุ่มและ

บทแทรก 2 อนุญาต เป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบและสองลำดับของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีคุณสมบัติ 1-3 จากเล็มมา 1 จากนั้น

การพิสูจน์. โปรดทราบว่าสำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ใช่ค่าลบ เราอนุญาต

โดยคุณสมบัติ 3 จะเห็นได้ง่ายว่ามีลำดับของจำนวนบวกเช่นนั้น

ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น

โดยใช้คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เราได้รับ

ผ่านไปยังขีดจำกัดในขณะที่เราได้รับการยืนยันของเล็มมา 2

คำจำกัดความ 1 อนุญาต เป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบ เป็นลำดับของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีคุณสมบัติ 1-3 จากเล็มมา 1 การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือตัวเลข

เล็มมา 2 รับประกันว่าจะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกลำดับการประมาณ

ให้ตอนนี้เป็นตัวแปรสุ่มตามอำเภอใจ มากำหนดกัน

จากความหมายและก็เข้าใจได้ง่ายๆ ว่า

คำจำกัดความที่ 2 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มตามอำเภอใจคือตัวเลข

ถ้าอย่างน้อยหนึ่งตัวเลขทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้มีขอบเขต

คุณสมบัติความคาดหวัง

คุณสมบัติ 1 การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่เอง:

การพิสูจน์. เราจะพิจารณาค่าคงที่เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งมีค่าที่เป็นไปได้หนึ่งค่าและนำมาพิจารณาด้วยความน่าจะเป็น ดังนั้น

หมายเหตุ 1 เรากำหนดผลคูณของค่าคงที่โดยตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งค่าที่เป็นไปได้เท่ากับผลคูณของค่าคงที่โดยค่าที่เป็นไปได้ ความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้เท่ากับความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น หากความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้เท่ากัน

คุณสมบัติ 2 ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวัง:

การพิสูจน์. ให้ตัวแปรสุ่มกำหนดโดยกฎการแจกแจงความน่าจะเป็น:

จากข้อสังเกต 1 เราเขียนกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

หมายเหตุ 2 ก่อนดำเนินการไปยังคุณสมบัติถัดไป เราระบุว่าตัวแปรสุ่มสองตัวนั้นเรียกว่าอิสระ หากกฎการแจกแจงของหนึ่งในนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรอื่น มิฉะนั้น ตัวแปรสุ่มจะขึ้นอยู่กับ ตัวแปรสุ่มหลายตัวเรียกว่าเป็นอิสระร่วมกันหากกฎการกระจายของจำนวนใด ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรอื่น ๆ

หมายเหตุ 3 เรากำหนดผลคูณของตัวแปรสุ่มอิสระและเป็นตัวแปรสุ่มค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเท่ากับผลคูณของแต่ละค่าที่เป็นไปได้โดยแต่ละค่าที่เป็นไปได้ของความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ของผลิตภัณฑ์จะเท่ากัน ผลคูณของความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ของปัจจัย ตัวอย่างเช่น ถ้าความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้คือ ความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ ความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้คือ

คุณสมบัติ 3 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

การพิสูจน์. ให้ตัวแปรสุ่มอิสระและกำหนดโดยกฎการแจกแจงความน่าจะเป็นของพวกมัน:

มารวมกันเป็นค่าทั้งหมดที่ตัวแปรสุ่มสามารถรับได้ ในการทำเช่นนี้ เราคูณค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดด้วยค่าที่เป็นไปได้แต่ละค่า เป็นผลให้เราได้รับและโดยคำนึงถึงหมายเหตุ 3 เราเขียนกฎหมายการจัดจำหน่ายโดยสมมติเพื่อให้ง่ายว่าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของผลิตภัณฑ์นั้นแตกต่างกัน (หากไม่ใช่กรณีนี้การพิสูจน์จะดำเนินการในทำนองเดียวกัน):

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น:

ผลที่ตามมา ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มหลายตัวที่ไม่ขึ้นต่อกันมีค่าเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน

คุณสมบัติ 4 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข:

การพิสูจน์. ให้ตัวแปรสุ่มและกำหนดโดยกฎการกระจายต่อไปนี้:

เขียนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของปริมาณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มแต่ละค่าที่เป็นไปได้ให้กับแต่ละค่าที่เป็นไปได้ เราได้รับ สมมติว่าสำหรับความเรียบง่ายว่าค่าที่เป็นไปได้เหล่านี้แตกต่างกัน (หากไม่ใช่กรณีนี้การพิสูจน์จะดำเนินการในลักษณะที่คล้ายกัน) และเราแสดงถึงความน่าจะเป็นตามลำดับ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าหนึ่งเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ตามความน่าจะเป็น:

ให้เราพิสูจน์ว่าเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการรับค่า (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เท่ากัน) ทำให้เกิดเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการรับค่าหรือ (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เท่ากับโดยทฤษฎีบทการบวก) และในทางกลับกัน จึงเกิดความเท่าเทียมกันว่า

แทนที่ส่วนที่ถูกต้องของความเท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นความสัมพันธ์ (*) เราได้รับ

หรือสุดท้าย

การกระจายตัวและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ในทางปฏิบัติ มักจำเป็นต้องประมาณการกระจายของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มรอบๆ ค่ากลาง ตัวอย่างเช่น ในปืนใหญ่ สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่ากระสุนจะตกใกล้กับเป้าหมายที่ควรโดนมากแค่ไหน

เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนว่าวิธีที่ง่ายที่สุดในการประเมินการกระเจิงคือการคำนวณค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม แล้วหาค่าเฉลี่ยของพวกมัน อย่างไรก็ตาม เส้นทางนี้จะไม่ให้อะไรเลย เนื่องจากค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนคือ สำหรับตัวแปรสุ่มใดๆ จะเป็นศูนย์ คุณสมบัตินี้อธิบายโดยข้อเท็จจริงที่ว่าการเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้บางอย่างเป็นค่าบวก ในขณะที่ส่วนอื่นๆ เป็นค่าลบ อันเป็นผลมาจากการยกเลิกร่วมกัน ค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนจะเป็นศูนย์ ข้อควรพิจารณาเหล่านี้บ่งบอกถึงความได้เปรียบในการแทนที่ค่าเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้ด้วยค่าสัมบูรณ์หรือกำลังสอง นั่นคือวิธีที่พวกเขาทำในทางปฏิบัติ จริง ในกรณีที่ความเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้ถูกแทนที่ด้วยค่าสัมบูรณ์ เราต้องดำเนินการด้วยค่าสัมบูรณ์ ซึ่งบางครั้งนำไปสู่ปัญหาร้ายแรง ดังนั้นส่วนใหญ่มักจะไปทางอื่นเช่น คำนวณค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสองซึ่งเรียกว่าความแปรปรวน