ANVÄNDNING i matematik profilnivå

Arbetet består av 19 uppgifter.
Del 1:
8 uppgifter med ett kort svar på den grundläggande komplexitetsnivån.
Del 2:
4 uppgifter med ett kort svar
7 uppgifter med ett detaljerat svar av hög komplexitet.

Körtid - 3 timmar 55 minuter.

Exempel på USE-uppdrag

Lösa USE-uppgifter i matematik.

För en fristående lösning:

1 kilowattimme el kostar 1 rubel 80 kopek.
Elmätaren den 1 november visade 12625 kilowattimmar och den 1 december visade den 12802 kilowattimmar.
Hur mycket behöver du betala för el i november?
Ge ditt svar i rubel.

Problem med lösning:

I en vanlig triangulär pyramid ABCS med en bas ABC är kanterna kända: AB \u003d 5 rötter av 3, SC \u003d 13.
Hitta vinkeln som bildas av basens plan och den räta linjen som går genom mittpunkten av kanterna AS och BC.

Beslut:

1. Eftersom SABC är en vanlig pyramid, är ABC en liksidig triangel, och de återstående ytorna är lika med likbenta trianglar.
Det vill säga, alla sidor av basen är 5 sqrt(3), och alla sidokanter är 13.

2. Låt D vara mittpunkten av BC, E mittpunkten av AS, SH höjden från punkt S till pyramidens bas, EP höjden från punkt E till pyramidens bas.

3. Hitta AD från den högra triangeln CAD med hjälp av Pythagoras sats. Du får 15/2 = 7,5.

4. Eftersom pyramiden är regelbunden är punkt H skärningspunkten för höjder / medianer / bisektrar av triangeln ABC, vilket betyder att den delar AD i förhållandet 2:1 (AH = 2 AD).

5. Hitta SH från rät triangel ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, enligt Pythagoras sats SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Trianglarna AEP och ASH är båda rätvinkliga och har en gemensam vinkel A, därför liknande. Som antagande är AE = AS/2, därav både AP = AH/2 och EP = SH/2.

7. Det återstår att överväga den räta triangelns EDP (vi är bara intresserade av vinkel EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Vinkeltangens EDP = EP/DP = 6/5,
Vinkel EDP = arctg(6/5)

Svar:

ANVÄND 2019 i matematikuppgift 17 med en lösning

Demoversion av Unified State Examination 2019 i matematik

Unified State Examination in Mathematics 2019 i pdf-format Grundnivå | Profilnivå

Uppgifter för att förbereda sig inför tentamen i matematik: grund- och profilnivå med svar och lösningar.

17 uppgiften för profilnivån för Unified State Examination i matematik är en uppgift relaterad till ekonomi, nämligen denna uppgift kan vara för ränta, del av skulder etc. Svårigheten ligger i det faktum att det är nödvändigt att beräkna räntan eller del över en lång period, så denna uppgift är inte direkt analogi med standardproblem med procentsatser. För att inte prata om det allmänna, låt oss gå direkt till analysen av en typisk uppgift.

Analys av typiska alternativ för uppgifter nr 17 ANVÄNDNING i matematik på profilnivå

Den första versionen av uppgiften (demoversion 2018)

Villkoren för dess återlämnande är följande:

• Den 1:a dagen i varje månad ökar skulden med r procent jämfört med slutet av föregående månad, där r är ett heltal;
• från den 2:a till den 14:e i varje månad måste en del av skulden betalas;
• Den 15:e dagen i varje månad ska skulden uppgå till ett visst belopp enligt följande tabell.

Hitta det största värdet av r för vilket det totala betalningsbeloppet kommer att vara mindre än 1,2 miljoner rubel.

Lösningsalgoritm:

1. Vi överväger vad betalningsbeloppet på lånet är månadsvis.
2. Vi bestämmer skulden för varje månad.
3. Hitta önskad procentsats.
4. Vi bestämmer betalningsbeloppet för hela perioden.
5. Vi beräknar procentandelen r av beloppet av skuldbetalningar.
6. Vi skriver ner svaret.

Beslut:

1. Enligt villkoret ska skulden till banken minska månadsvis i följande ordning:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

2. Låt k = 1 + r / 100, då är skulden varje månad:

k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0,1k.

3. Så, betalningar från den 2:a till den 14:e månaden är:

k - 0,6; 0,6k - 0,4; 0,4k - 0,3; 0,3k - 0,2; 0,2k - 0,1; 0,1k

4. Det totala betalningsbeloppet är lika med:

Enligt villkor är hela betalningsbeloppet mindre än 1,2 miljoner rubel, därför,

Den största heltalslösningen av den resulterande ojämlikheten är 7. Då är det den nödvändiga - 7.

Det andra alternativet (från Yaschenko, nr 1)

I juli 2020 är det planerat att ta ett lån från en bank till ett belopp av 300 000 rubel. Villkoren för dess återlämnande är följande:

• varje januari ökar skulden med r % jämfört med slutet av föregående år;
• Från februari till juni varje år ska en del av skulden betalas i en betalning.

Hitta r om det är känt att lånet kommer att återbetalas helt om två år, och under det första året kommer 160 000 rubel att betalas, och under det andra året - 240 000 rubel.

Algoritm för att lösa problemet:

1. Bestäm skuldbeloppet.
2. Vi beräknar skuldbeloppet efter den första avbetalningen.
3. Att hitta skuldbeloppet efter den andra avbetalningen
4. Hitta önskad procentsats.
5. Vi skriver ner svaret.

Beslut:

1. 300 000 rubel lånades. Enligt villkoret ökar skuldbeloppet som ska återbetalas med r%, vilket innebär tider. För att betala av skulden måste du ge banken 300 000∙k.

2. Efter att ha gjort en betalning motsvarande 160 000 rubel. Återstoden av skulden är

Idag kommer vi att avvika lite från standardlogaritmer, integraler, trigonometri etc., och tillsammans kommer vi att överväga en viktigare uppgift från Unified State Examination i matematik, som är direkt relaterad till vår efterblivna ryska resursbaserade ekonomi. Och för att vara exakt kommer vi att överväga problemet med insättningar, räntor och lån. För det är uppgifterna med procentsatser som nyligen har lagts till den andra delen av enhetsprovet i matematik. Jag reserverar genast att enligt USE-specifikationerna erbjuds tre primära poäng samtidigt för att lösa detta problem, det vill säga att examinatorerna anser att denna uppgift är en av de svåraste.

Samtidigt, för att lösa någon av dessa uppgifter från Unified State Examination i matematik, behöver du bara känna till två formler, som var och en är ganska tillgänglig för alla akademiker, men av skäl som jag inte förstår är dessa formler helt ignorerat av både skollärare och sammanställare av olika uppgifter för förberedelser inför tentamen. Därför kommer jag idag inte bara att berätta för dig vad dessa formler är och hur man tillämpar dem, utan jag kommer att härleda var och en av dessa formler bokstavligen framför dina ögon, med uppgifter från den öppna USE-banken i matematik som grund.

Därför visade sig lektionen vara ganska omfattande, ganska meningsfull, så gör dig bekväm och vi börjar.

Lägger pengar på banken

Först och främst skulle jag vilja göra en liten lyrisk utvikning relaterad till finans, banker, lån och insättningar, på grundval av vilken vi kommer att få formlerna som vi kommer att använda för att lösa detta problem. Så låt oss avvika lite från proven, från de kommande skolproblemen och se in i framtiden.

Låt oss säga att du har blivit vuxen och ska köpa en lägenhet. Låt oss säga att du inte kommer att köpa någon dålig lägenhet i utkanten, utan en lägenhet av god kvalitet för 20 miljoner rubel. Samtidigt, låt oss också anta att du fick ett mer eller mindre normalt jobb och tjänar 300 tusen rubel i månaden. I det här fallet kan du spara cirka tre miljoner rubel för året. Naturligtvis tjäna 300 tusen rubel i månaden, för året kommer du att få ett något större belopp - 3 600 000 - men låt dessa 600 000 spenderas på mat, kläder och andra dagliga hushållsglädje. Den totala indata är som följer: det är nödvändigt att tjäna tjugo miljoner rubel, medan vi bara har tre miljoner rubel per år till vårt förfogande. En naturlig fråga uppstår: hur många år behöver vi avsätta tre miljoner för att få ut samma tjugo miljoner. Det anses vara elementärt:

\[\frac(20)(3)=6,....\till 7\]

Men som vi redan har noterat tjänar du 300 tusen rubel i månaden, vilket betyder att du är smarta människor och kommer inte att spara pengar "under kudden", utan ta dem till banken. Och därför kommer ränta att debiteras årligen på de insättningar som du tar till banken. Låt oss säga att du väljer en pålitlig, men samtidigt mer eller mindre lönsam bank, och därför kommer dina insättningar att växa med 15% per år årligen. Med andra ord kan vi säga att beloppet på dina konton kommer att öka med 1,15 gånger varje år. Låt mig påminna dig om formeln:

Låt oss räkna ut hur mycket pengar som kommer att finnas på dina konton efter varje år:

Under det första året, när du bara börjar spara pengar, kommer ingen ränta att ackumuleras, det vill säga i slutet av året kommer du att spara tre miljoner rubel:

I slutet av det andra året kommer ränta redan att ackumuleras på de tre miljoner rubel som finns kvar från det första året, d.v.s. vi måste multiplicera med 1,15. Men under det andra året rapporterade du också ytterligare tre miljoner rubel. Naturligtvis hade dessa tre miljoner ännu inte löpt på ränta, för i slutet av det andra året hade dessa tre miljoner bara dykt upp på kontot:

Tredje året alltså. I slutet av det tredje året kommer ränta att löpa på detta belopp, det vill säga det är nödvändigt att multiplicera hela beloppet med 1,15. Och återigen, under hela året har du arbetat hårt och lagt undan tre miljoner rubel:

\[\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

Låt oss räkna ut ytterligare ett fjärde år. Återigen, hela summan som vi hade i slutet av tredje året multipliceras med 1,15, d.v.s. Ränta debiteras på hela beloppet. Detta inkluderar ränta på ränta. Och ytterligare tre miljoner läggs till detta belopp, för under det fjärde året arbetade du också och sparade pengar:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

Och låt oss nu öppna parenteserna och se vilket belopp vi kommer att ha i slutet av det fjärde året för att spara pengar:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1) ,15)^(2))+1,15+1 \höger)= \\& =3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \right) \\\end(align)\]

Som du kan se har vi inom parentes element av en geometrisk progression, det vill säga vi har summan av elementen i en geometrisk progression.

Låt mig påminna dig om att om den geometriska progressionen ges av elementet $((b)_(1))$, såväl som nämnaren $q$, så kommer summan av elementen att beräknas med följande formel:

Denna formel måste vara känd och tydligt tillämpad.

Observera: formeln n elementet låter så här:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

På grund av denna examen är många studenter förvirrade. Totalt har vi precis n för summan n- element och n-th element har graden $n-1$. Med andra ord, om vi nu försöker beräkna summan av en geometrisk progression, måste vi överväga följande:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Låt oss beräkna täljaren separat:

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right ))^(2))=1,74900625\ungefär 1,75\]

Totalt, om vi återgår till summan av den geometriska progressionen, får vi:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Som ett resultat får vi att på fyra års sparande kommer vårt initiala belopp inte att öka fyra gånger, som om vi inte hade satt in pengar på banken, utan fem gånger, det vill säga femton miljoner. Låt oss skriva det separat:

4 år → 5 gånger

När vi blickar framåt kommer jag att säga att om vi hade sparat inte i fyra år, utan i fem år, så skulle vårt sparande till följd av detta ha ökat med 6,7 gånger:

5 år → 6,7 gånger

Med andra ord, i slutet av det femte året skulle vi ha följande belopp på kontot:

Det vill säga, i slutet av det femte året av besparingar, med hänsyn till ränta på insättningen, skulle vi redan ha fått över tjugo miljoner rubel. Därmed skulle det totala sparkontot från bankräntor minska från nästan sju år till fem år, det vill säga med nästan två år.

Så även trots att banken tar ut en ganska låg ränta på våra inlåning (15%), ger dessa samma 15% efter fem år en ökning som avsevärt överstiger vår årsinkomst. Samtidigt inträffar den huvudsakliga multiplikatoreffekten under de senaste åren och till och med snarare under det sista sparåret.

Varför skrev jag allt detta? Naturligtvis inte för att uppröra dig att bära pengar till banken. För om du verkligen vill öka dina besparingar, måste du investera dem inte i en bank, utan i ett riktigt företag, där samma procentsatser, dvs lönsamheten under den ryska ekonomins förhållanden, sällan sjunker under 30%, dvs två gånger lika mycket bankinlåning.

Men det som verkligen är användbart i allt detta resonemang är en formel som gör att vi kan hitta det slutliga beloppet för insättningen genom mängden årliga betalningar, såväl som genom räntan som banken tar ut. Så låt oss skriva:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

I sig själv beräknas % med följande formel:

Denna formel måste också vara känd, liksom den grundläggande formeln för bidragsbeloppet. Och i sin tur kan huvudformeln minska beräkningarna avsevärt i de problem med procentsatser där det krävs för att beräkna bidraget.

Varför använda formler istället för tabeller?

Många kommer säkert att ha en fråga, varför alla dessa svårigheter överhuvudtaget, är det möjligt att helt enkelt skriva varje år på en surfplatta, som de gör i många läroböcker, beräkna varje år för sig och sedan räkna ut det totala bidragsbeloppet? Naturligtvis kan du i allmänhet glömma summan av en geometrisk progression och räkna allt med klassiska surfplattor - detta görs i de flesta samlingar för att förbereda dig för tentamen. För det första ökar dock volymen av beräkningar kraftigt, och för det andra ökar sannolikheten att göra ett fel som ett resultat.

Och i allmänhet är att använda tabeller istället för denna underbara formel detsamma som att gräva diken med händerna på en byggarbetsplats istället för att använda en grävmaskin som står i närheten och fungerar fullt ut.

Tja, eller samma sak som att multiplicera fem med tio utan att använda multiplikationstabellen, utan att lägga till fem till sig själv tio gånger i rad. Men jag har redan avvikit, så jag kommer att upprepa den viktigaste idén en gång till: om det finns något sätt att förenkla och förkorta beräkningar, så är detta sättet att använda.

Ränta på lån

Vi räknade ut insättningarna, så vi går vidare till nästa ämne, nämligen till ränta på lån.

Så medan du sparar pengar, noggrant planerar din budget, tänker på din framtida lägenhet, beslutade din klasskamrat, och nu en enkel arbetslös person, att leva för idag och tog bara ett lån. Samtidigt kommer han fortfarande att reta och skratta åt dig, säger de, han har en kredittelefon och en begagnad bil, på kredit, och du åker fortfarande tunnelbana och använder en gammal tryckknappstelefon. Naturligtvis kommer din tidigare klasskamrat att få betala dyrt för alla dessa billiga "show-offs". Hur dyrt - det här är vad vi kommer att beräkna just nu.

Först en kort introduktion. Låt oss säga att din tidigare klasskamrat tog två miljoner rubel på kredit. Samtidigt måste han enligt kontraktet betala x rubel per månad. Låt oss säga att han tog ett lån till en ränta på 20% per år, vilket under de nuvarande förhållandena ser ganska anständigt ut. Antag också att lånetiden bara är tre månader. Låt oss försöka koppla alla dessa kvantiteter i en formel.

Så i början, så fort din tidigare klasskamrat lämnade banken, har han två miljoner i fickan, och det här är hans skuld. Samtidigt har inte ett år gått och inte en månad, men det här är bara början:

Sedan, efter en månad, kommer ränta på det skyldiga beloppet. Som vi redan vet, för att beräkna ränta räcker det att multiplicera den ursprungliga skulden med en koefficient, som beräknas med följande formel:

I vårt fall talar vi om en ränta på 20% per år, det vill säga vi kan skriva:

Detta är förhållandet mellan det belopp som kommer att debiteras per år. Vår klasskamrat är dock inte särskilt smart och han läste inte kontraktet, och i själva verket fick han ett lån inte på 20 % per år, utan till 20 % per månad. Och i slutet av den första månaden kommer ränta att ackumuleras på detta belopp, och det kommer att öka med 1,2 gånger. Omedelbart efter det kommer personen att behöva betala det överenskomna beloppet, det vill säga x rubel per månad:

\[\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

Och återigen, vår pojke gör en betalning på $x$ rubel.

Sedan, i slutet av den tredje månaden, ökar hans skuldbelopp igen med 20 %:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

Och enligt villkoret för tre månader måste han betala i sin helhet, det vill säga efter att ha gjort den sista tredje betalningen, ska hans skuldbelopp vara lika med noll. Vi kan skriva denna ekvation:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Låt oss bestämma:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2) )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(align)\]

Framför oss ligger återigen en geometrisk progression, eller snarare summan av de tre elementen i en geometrisk progression. Låt oss skriva om det i stigande ordning av element:

Nu måste vi hitta summan av de tre elementen i en geometrisk progression. Låt oss skriva:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(align)\]

Låt oss nu hitta summan av den geometriska progressionen:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Det bör komma ihåg att summan av en geometrisk progression med sådana parametrar $\left(((b)_(1));q \right)$ beräknas med formeln:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Det här är formeln vi precis använde. Ersätt denna formel i vårt uttryck:

För ytterligare beräkningar måste vi ta reda på vad $((1,2)^(3))$ är lika med. Tyvärr kan vi i det här fallet inte längre måla som förra gången i form av en dubbel kvadrat, men vi kan räkna ut så här:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Vi skriver om vårt uttryck:

Detta är ett klassiskt linjärt uttryck. Låt oss gå tillbaka till nästa formel:

Faktum är att om vi generaliserar det kommer vi att få en formel som kopplar samman räntor, lån, betalningar och villkor. Formeln ser ut så här:

Här är den, den viktigaste formeln för dagens videolektion, med hjälp av vilken minst 80% av alla ekonomiska uppgifter från Unified State Exam i matematik i den andra delen beaktas.

Oftast, i verkliga uppgifter, kommer du att bli tillfrågad om en betalning, eller lite mindre ofta för ett lån, det vill säga det totala beloppet av skuld som vår klasskamrat hade i början av betalningarna. I mer komplexa uppgifter kommer du att bli ombedd att hitta en procentsats, men för mycket komplexa sådana, som vi kommer att analysera i en separat videolektion, kommer du att bli ombedd att hitta den tidsram under vilken, med de givna låne- och betalningsparametrarna, vår arbetslösa klasskamrat kommer att kunna betala av banken fullt ut.

Kanske kommer någon nu att tycka att jag är en hård motståndare till lån, finans och banksystemet i stort. Alltså inget sånt! Tvärtom tror jag att kreditinstrument är mycket användbara och väsentliga för vår ekonomi, men bara under förutsättning att lånet tas för affärsutveckling. I extrema fall kan du ta ett lån för att köpa en bostad, det vill säga ett bolån eller för akut medicinsk behandling – det är det, det finns helt enkelt inga andra skäl att ta ett lån. Och alla möjliga arbetslösa som tar lån för att köpa "show-offs" och samtidigt inte alls tänker på konsekvenserna i slutändan och blir orsaken till kriser och problem i vår ekonomi.

För att återgå till ämnet för dagens lektion, skulle jag vilja notera att det också är nödvändigt att känna till denna formel som förbinder lån, betalningar och räntor, såväl som mängden av en geometrisk progression. Det är med hjälp av dessa formler som verkliga ekonomiska problem från Unified State Examination i matematik löses. Nåväl, nu när du vet allt detta mycket väl, när du förstår vad ett lån är och varför du inte bör ta det, låt oss gå vidare till att lösa verkliga ekonomiska problem från Unified State Examination i matematik.

Vi löser riktiga problem från tentan i matematik

Exempel #1

Så den första uppgiften är:

Den 31 december 2014 tog Alexei ett lån på 9 282 000 rubel från banken till 10% per år. Låneåterbetalningssystemet är som följer: den 31 december varje nästa år samlar banken på sig ränta på det återstående skuldbeloppet (det vill säga ökar skulden med 10%), sedan överför Alexey X rubel till banken. Vad bör beloppet X vara för att Alexey ska betala av skulden i fyra lika stora betalningar (dvs under fyra år)?

Så det här är ett problem med ett lån, så vi skriver omedelbart ner vår formel:

Vi känner till lånet - 9 282 000 rubel.

Vi kommer att ta itu med procentsatser nu. Vi pratar om 10% av problemet. Därför kan vi översätta dem:

Vi kan göra en ekvation:

Vi har erhållit en vanlig linjär ekvation med avseende på $x$, dock med ganska formidabla koefficienter. Låt oss försöka lösa det. Låt oss först hitta uttrycket $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left((((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Låt oss nu skriva om ekvationen:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Det är allt, vårt problem med procentsatser är löst.

Naturligtvis var detta bara den enklaste uppgiften med procentsatser från Unified State Examination i matematik. I en riktig tenta kommer det med största sannolikhet inte att finnas en sådan uppgift. Och om det gör det, betrakta dig själv som väldigt lycklig. Tja, för de som gillar att räkna och inte gillar att ta risker, låt oss gå vidare till nästa svårare uppgifter.

Exempel #2

Den 31 december 2014 lånade Stepan 4 004 000 rubel från en bank till 20% per år. Återbetalningssystemet för lån är som följer: den 31 december varje nästa år, samlar banken på sig ränta på det återstående beloppet av skulden (dvs. ökar skulden med 20%), sedan gör Stepan en betalning till banken. Stepan betalade av hela skulden i 3 lika stora betalningar. Hur många rubel mindre skulle han ge till banken om han kunde betala av skulden i två lika stora betalningar.

Före oss är ett problem om lån, så vi skriver ner vår formel:

\[\]\

Vad vet vi? Först vet vi den totala krediten. Vi känner också till procentsatserna. Låt oss hitta förhållandet:

När det gäller $n$ måste du noggrant läsa tillståndet för problemet. Det vill säga, först måste vi beräkna hur mycket han betalade för tre år, det vill säga $n=3$, och sedan utföra samma steg igen men beräkna betalningar för två år. Låt oss skriva en ekvation för fallet där betalningen betalas i tre år:

Låt oss lösa denna ekvation. Men först, låt oss hitta uttrycket $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Vi skriver om vårt uttryck:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728) )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

Totalt kommer vår betalning att vara 1900800 rubel. Var dock uppmärksam: i uppgiften var vi tvungna att hitta inte en månatlig betalning, utan hur mycket Stepan skulle betala totalt för tre lika stora betalningar, det vill säga för hela låneperioden. Därför måste det resulterande värdet multipliceras med tre igen. Låt oss räkna:

Totalt kommer Stepan att betala 5 702 400 rubel för tre lika betalningar. Så mycket kommer det att kosta honom att använda lånet i tre år.

Tänk nu på den andra situationen, när Stepan tog sig samman, gjorde sig redo och betalade av hela lånet inte i tre, utan i två lika stora betalningar. Vi skriver ner samma formel:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Men det är inte allt, för nu har vi bara beräknat en av de två betalningarna, så totalt kommer Stepan att betala exakt dubbelt så mycket:

Bra, nu är vi nära det slutgiltiga svaret. Men var uppmärksam: i inget fall har vi ännu fått ett slutgiltigt svar, för för tre års betalningar kommer Stepan att betala 5 702 400 rubel, och för två års betalningar kommer han att betala 5 241 600 rubel, det vill säga lite mindre. Hur mycket mindre? För att ta reda på det måste du dra av det andra betalningsbeloppet från det första betalningsbeloppet:

Det totala slutliga svaret är 460 800 rubel. Exakt hur mycket Stepan kommer att spara om han inte betalar tre år, utan två.

Som du kan se förenklar formeln som länkar ränta, villkor och betalningar kraftigt beräkningar jämfört med klassiska tabeller och tyvärr, av okända anledningar, använder de flesta problemsamlingarna fortfarande tabeller.

Separat vill jag uppmärksamma dig på den löptid för vilken lånet togs och mängden månatliga betalningar. Faktum är att denna koppling inte är direkt synlig från formlerna som vi skrev ner, men dess förståelse är nödvändig för en snabb och effektiv lösning av verkliga problem i provet. Faktum är att detta förhållande är väldigt enkelt: ju längre lånet tas, desto mindre blir beloppet i månatliga betalningar, men desto större belopp kommer att ackumuleras under hela låneperioden. Och vice versa: ju kortare löptid, desto högre månatlig betalning, men ju lägre slutlig överbetalning och desto lägre totalkostnad för lånet.

Naturligtvis kommer alla dessa uttalanden att vara lika endast under förutsättning att lånebeloppet och räntan i båda fallen är densamma. I allmänhet, för nu, kom bara ihåg detta faktum - det kommer att användas för att lösa de svåraste problemen i detta ämne, men för nu kommer vi att analysera ett enklare problem, där du bara behöver hitta det totala beloppet för det ursprungliga lånet.

Exempel #3

Så, ytterligare en uppgift för ett lån och, i kombination, den sista uppgiften i dagens videohandledning.

Den 31 december 2014 tog Vasily ut ett visst belopp från banken på kredit till 13% per år. Återbetalningssystemet för lånet är som följer: den 31 december varje nästa år samlar banken på sig ränta på det återstående beloppet av skulden (det vill säga det ökar skulden med 13%), sedan överför Vasily 5 107 600 rubel till banken. Vilket belopp lånade Vasily från banken om han betalade tillbaka skulden i två lika stora avbetalningar (i två år)?

Så först och främst handlar det här problemet återigen om lån, så vi skriver ner vår underbara formel:

Låt oss se vad vi vet från problemets tillstånd. Först, betalningen - det är lika med 5 107 600 rubel per år. För det andra, procentsatser, så att vi kan hitta förhållandet:

Dessutom, enligt problemets tillstånd, tog Vasily ett lån från banken i två år, d.v.s. betalas i två lika delar, därav $n=2$. Låt oss ersätta allt och även notera att lånet är okänt för oss, d.v.s. beloppet han tog, och låt oss beteckna det som $x$. Vi får:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Låt oss skriva om vår ekvation med detta faktum i åtanke:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000) )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)\12769 \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

Det är allt, det här är det sista svaret. Det var detta belopp som Vasily tog på kredit i början.

Nu är det klart varför vi i det här problemet blir ombedda att ta ett lån på bara två år, eftersom tvåsiffriga räntor visas här, nämligen 13%, vilket i kvadrat redan ger ett ganska "brutalt" tal. Men detta är inte gränsen - i nästa separata lektion kommer vi att överväga mer komplexa uppgifter, där det kommer att krävas för att hitta lånetiden, och räntan kommer att vara en, två eller tre procent.

Lär dig i allmänhet lösa problem för insättningar och lån, förbered dig för tentor och klara dem "utmärkt". Och om något inte är klart i materialet för dagens videolektion, tveka inte - skriv, ring, så ska jag försöka hjälpa dig.

finansiell matematik

För korrekt utförd uppgift utan fel får du 3 poäng.

Ungefär 35 minuter.

För att lösa uppgift 17 i matematik på en profilnivå behöver du veta:

1. Uppgiften är uppdelad i flera typer:
   • uppgifter relaterade till banker, inlåning och lån;
   • uppgifter för det optimala valet.
2. Formeln för att beräkna månadsbetalningen: S kredit = S/12t
3. Formel för beräkning av enkel ränta: S=α (1 + tp/m)
4. Formel för beräkning av sammansatt ränta: C \u003d x (1 + a%)n

Procent -är en hundradels värde.

• x*(1 + p/100) - värde x höjdes med sid%
• x*(1 - k/100) - värde x minskat med k%
• x*(1 + p/100) k - värde x höjdes med sid% k en gång
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – värde X först ökat med sid%, och minskade sedan med k%

Uppgifter för att återbetala lånet i lika delar:

Lånebeloppet tas som X. Bankränta - a. Låneåterbetalning - S.

Ett år efter periodisering av ränta och betalning av beloppet S skuld - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• Skuld efter 2 år: (xp-S)p-S
• Skuld efter 3 år: ((xp - S)p - S)p - S
• Mängden av skulden genom når: xp n - S(p n-1 + ... + p 3 + p 2 + p + 1)