Vetenskapen om den verkliga världens kvantitativa relationer. Matematik som en vetenskap om kvantitativa relationer och rumsliga former av den verkliga världen. Period av matematik för variabler
De idealiserade egenskaperna hos objekten som studeras är antingen formulerade som axiom eller listade i definitionen av motsvarande matematiska objekt. Sedan, enligt strikta regler för logisk slutledning, härleds andra sanna egenskaper (satser) från dessa egenskaper. Denna teori bildar tillsammans en matematisk modell av objektet som studeras. Med utgångspunkt från rumsliga och kvantitativa relationer får matematik således mer abstrakta relationer, vars studie också är föremål för modern matematik.
Traditionellt är matematik indelad i teoretisk, som utför en djupgående analys av intra-matematiska strukturer, och tillämpad, som ger sina modeller till andra vetenskaper och ingenjörsdiscipliner, och några av dem intar en position som gränsar till matematik. I synnerhet kan formell logik betraktas både som en del av de filosofiska vetenskaperna och som en del av de matematiska vetenskaperna; mekanik - både fysik och matematik; datavetenskap, datateknik och algoritmer är både ingenjörsvetenskap och matematisk vetenskap etc. Många olika definitioner av matematik har föreslagits i litteraturen.
Etymologi
Ordet "matematik" kommer från andra grekiska. μάθημα, vilket betyder studie av, kunskap, vetenskapen, etc. - grekiska. μαθηματικός, ursprungligen betydelse mottaglig, produktiv, senare studerande, därefter som rör matematik. Särskilt, μαθηματικὴ τέχνη , på latin ars mathematica, betyder att matematikens konst. Termen annan grekisk. μᾰθημᾰτικά i modern mening av ordet "matematik" finns redan i Aristoteles skrifter (300-talet f.Kr.). Enligt Fasmer kom ordet till det ryska språket antingen genom polska. matematyka, eller genom lat. mathematica.
Definitioner
En av de första definitionerna av ämnet matematik gavs av Descartes:
Matematikområdet omfattar endast de vetenskaper där antingen ordning eller mått övervägs, och det spelar ingen roll om det är siffror, siffror, stjärnor, ljud eller något annat där detta mått eftersträvas. Sålunda måste det finnas någon allmän vetenskap som förklarar allt som hör till ordning och mått, utan att gå in på studiet av några speciella ämnen, och denna vetenskap måste inte kallas med det främmande, utan med det gamla, redan vanliga namnet Allmän matematik.
Matematikens väsen ... presenteras nu som en lära om relationer mellan objekt, om vilken ingenting är känt, förutom några egenskaper som beskriver dem - just de som sätts som axiom till grund för teorin ... Matematik är en uppsättning abstrakta former - matematiska strukturer.
Matematikens grenar
1. Matematik som akademisk disciplin
Notation
Eftersom matematiken handlar om extremt olika och ganska komplexa strukturer är dess notation också mycket komplex. Det moderna systemet med skrivformler bildades på grundval av den europeiska algebraiska traditionen, liksom behoven i senare avsnitt av matematiken - matematisk analys, matematisk logik, mängdlära, etc. Geometri har använt en visuell (geometrisk) representation från tiden urminnes tid. I modern matematik är också komplexa grafiska notationssystem (till exempel kommutativa diagram) vanliga, och notation baserad på grafer används också ofta.
Kort historia
Matematikens filosofi
Mål och metoder
Plats R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), kl n > 3 (\displaystyle n>3)är en matematisk uppfinning. Dock en mycket genialisk uppfinning som hjälper till att matematiskt förstå komplexa fenomen».
Grunder
intuitionism
Konstruktiv matematik
klargöra
Huvudämnen
Kvantitet
Huvuddelen som handlar om abstraktion av kvantitet är algebra. Begreppet "tal" härstammar ursprungligen från aritmetiska representationer och hänvisade till naturliga tal. Senare, med hjälp av algebra, utökades det gradvis till heltal, rationella, reella, komplexa och andra tal.
Transformationer
Fenomenen transformationer och förändringar betraktas i den mest allmänna formen genom analys.
strukturer
Rumsliga relationer
Geometri tar hänsyn till grunderna för rumsliga relationer. Trigonometri tar hänsyn till egenskaperna hos trigonometriska funktioner. Studiet av geometriska objekt genom matematisk analys behandlar differentialgeometri. Egenskaperna hos utrymmen som förblir oförändrade under kontinuerliga deformationer och själva fenomenet kontinuitet studeras av topologi.
Diskret matematik
| ∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Högerpil P(x"))) | |||
Matematik har funnits väldigt länge. Man samlade frukter, grävde upp frukter, fiskade och lagrade dem alla för vintern. För att förstå hur mycket mat som lagras uppfann en person kontot. Så här började matematiken.
Sedan började mannen ägna sig åt jordbruk. Det var nödvändigt att mäta tomter, bygga bostäder, mäta tid.
Det vill säga, det blev nödvändigt för en person att använda det kvantitativa förhållandet i den verkliga världen. Bestäm hur mycket grödor som har skördats, vad är storleken på byggplatsen eller hur stor är arean på himlen med ett visst antal ljusa stjärnor.
Dessutom började en person bestämma formerna: solen är rund, lådan är fyrkantig, sjön är oval och hur dessa föremål är ordnade i rymden. Det vill säga, en person blev intresserad av den verkliga världens rumsliga former.
Alltså konceptet matematik kan definieras som vetenskapen om kvantitativa relationer och rumsliga former av den verkliga världen.
I dagsläget finns det inte ett enda yrke där man skulle klara sig utan matematik. Den berömda tyske matematikern Carl Friedrich Gauss, som kallades "matematikens kung", sa en gång:
"Matematik är vetenskapernas drottning, aritmetiken är matematikens drottning."
Ordet "arithmetic" kommer från det grekiska ordet "arithmos" - "antal".
Således, aritmetiskär en gren av matematiken som studerar siffror och operationer på dem.
I grundskolan läser de först och främst aritmetik.
Hur utvecklades denna vetenskap, låt oss utforska denna fråga.
Perioden för matematikens födelse
Den huvudsakliga perioden för ackumulering av matematisk kunskap anses vara tiden före 500-talet f.Kr.
Den första som började bevisa matematiska positioner var en forntida grekisk tänkare som levde på 700-talet f.Kr., förmodligen 625-545. Denne filosof reste genom länderna i öst. Traditionen säger att han studerade med de egyptiska prästerna och de babyloniska kaldeerna.
Thales of Miletus förde från Egypten till Grekland de första begreppen elementär geometri: vad är en diameter, vad bestämmer en triangel, och så vidare. Han förutspådde en solförmörkelse, designade tekniska strukturer.
Under denna period utvecklas aritmetiken gradvis, astronomi och geometri utvecklas. Algebra och trigonometri föds.
Period av elementär matematik
Denna period börjar med VI f.Kr. Nu växer matematiken fram som en vetenskap med teorier och bevis. Talteorin dyker upp, läran om kvantiteter, om deras mätning.
Den här tidens mest kända matematiker är Euklid. Han levde på III-talet f.Kr. Den här mannen är författaren till den första teoretiska avhandlingen om matematik som har kommit till oss.
I Euklids verk ges grunderna för den så kallade euklidiska geometrin – det är axiom som vilar på grundläggande begrepp, som t.ex.
Under den elementära matematikens period föddes teorin om siffror, liksom läran om kvantiteter och deras mätning. För första gången visas negativa och irrationella tal.
I slutet av denna period observeras skapandet av algebra, som en bokstavlig kalkyl. Själva vetenskapen om "algebra" framstår bland araberna som vetenskapen om att lösa ekvationer. Ordet "algebra" på arabiska betyder "återhämtning", det vill säga överföringen av negativa värden till en annan del av ekvationen.
Period av matematik för variabler
Grundaren av denna period är Rene Descartes, som levde på 1600-talet e.Kr. I sina skrifter introducerar Descartes för första gången begreppet variabel.
Tack vare detta går forskare från studiet av konstanta kvantiteter till studiet av relationer mellan variabler och till den matematiska beskrivningen av rörelse.
Friedrich Engels karakteriserade denna period tydligast, i sina skrifter skrev han:
"Vändpunkten i matematik var den kartesiska variabeln. Tack vare detta kom rörelsen och därmed dialektiken in i matematiken, och tack vare detta blev differential- och integralkalkyl genast nödvändig, som omedelbart uppstår och som i stort sett fullbordades och inte uppfanns av Newton och Leibniz.
Period av modern matematik
På 20-talet av 1800-talet blev Nikolai Ivanovich Lobachevsky grundaren av den så kallade icke-euklidiska geometrin.
Från detta ögonblick börjar utvecklingen av de viktigaste delarna av modern matematik. Såsom sannolikhetslära, mängdlära, matematisk statistik och så vidare.
Alla dessa upptäckter och studier används i stor utsträckning inom olika vetenskapsområden.
Och för närvarande utvecklas matematikvetenskapen snabbt, matematikämnet expanderar, inklusive nya former och samband, nya teorem bevisas och de grundläggande begreppen fördjupas.
De idealiserade egenskaperna hos objekten som studeras är antingen formulerade som axiom eller listade i definitionen av motsvarande matematiska objekt. Sedan, enligt strikta regler för logisk slutledning, härleds andra sanna egenskaper (satser) från dessa egenskaper. Denna teori bildar tillsammans en matematisk modell av objektet som studeras. Sålunda, med utgångspunkt från rumsliga och kvantitativa relationer, får matematiken mer abstrakta relationer, vars studie också är föremål för modern matematik.
Traditionellt är matematik indelad i teoretisk, som utför en djupgående analys av intra-matematiska strukturer, och tillämpad, som ger sina modeller till andra vetenskaper och ingenjörsdiscipliner, och några av dem intar en position som gränsar till matematik. I synnerhet kan formell logik betraktas både som en del av de filosofiska vetenskaperna och som en del av de matematiska vetenskaperna; mekanik - både fysik och matematik; datavetenskap, datateknik och algoritmer avser både ingenjörsvetenskap och matematisk vetenskap etc. Många olika definitioner av matematik har föreslagits i litteraturen (se).
Etymologi
Ordet "matematik" kommer från andra grekiska. μάθημα ( matematik), som betyder studie av, kunskap, vetenskapen, etc. - grekiska. μαθηματικός ( matematik), ursprungligen betydelse mottaglig, produktiv, senare studerande, därefter som rör matematik. Särskilt, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), på latin ars mathematica, betyder att matematikens konst.
Definitioner
Matematikområdet omfattar endast de vetenskaper där antingen ordning eller mått övervägs, och det spelar ingen roll om det är siffror, siffror, stjärnor, ljud eller något annat där detta mått eftersträvas. Sålunda måste det finnas någon allmän vetenskap som förklarar allt som hör till ordning och mått, utan att gå in på studiet av några speciella ämnen, och denna vetenskap måste inte kallas med det främmande, utan med det gamla, redan vanliga namnet Allmän matematik.
Under sovjettiden ansågs definitionen från TSB från A. N. Kolmogorov vara klassisk:
Matematik ... vetenskapen om kvantitativa relationer och rumsliga former av den verkliga världen.
Matematikens väsen ... presenteras nu som en lära om relationer mellan objekt, om vilken ingenting är känt, förutom några egenskaper som beskriver dem - just de som sätts som axiom till grund för teorin ... Matematik är en uppsättning abstrakta former - matematiska strukturer.
Här är några mer moderna definitioner.
Modern teoretisk (“ren”) matematik är vetenskapen om matematiska strukturer, matematiska invarianter av olika system och processer.
Matematik är en vetenskap som ger möjlighet att beräkna modeller som kan reduceras till en standard (kanonisk) form. Vetenskapen om att hitta lösningar på analytiska modeller (analys) med hjälp av formella transformationer.
Matematikens grenar
1. Matematik som akademisk disciplinär uppdelad i Ryska federationen i elementär matematik som studerats i gymnasieskolan och bildas av följande discipliner:
- elementär geometri: planimetri och stereometri
- teori om elementära funktioner och analyselement
4. American Mathematical Society (AMS) har utvecklat en egen standard för klassificering av grenar av matematik. Det heter Matematik Ämnesklassificering. Denna standard uppdateras regelbundet. Den nuvarande versionen är MSC 2010. Den tidigare versionen är MSC 2000.
Notation
På grund av det faktum att matematiken handlar om extremt olika och ganska komplexa strukturer är notationen också mycket komplex. Det moderna systemet med skrivformler bildades på grundval av den europeiska algebraiska traditionen, såväl som matematisk analys (begreppet om en funktion, derivata, etc.). Sedan urminnes tider har geometrin använt en visuell (geometrisk) representation. I modern matematik är också komplexa grafiska notationssystem (till exempel kommutativa diagram) vanliga, och notation baserad på grafer används också ofta.
Kort historia
Matematikens utveckling bygger på skrivning och förmåga att skriva ner siffror. Förmodligen uttryckte forntida människor först kvantitet genom att rita linjer på marken eller skrapa dem på trä. De forntida inkaorna, som inte hade något annat skriftsystem, representerade och lagrade numeriska data med hjälp av ett komplext system av repknutar, den så kallade quipu. Det fanns många olika nummersystem. De första kända uppgifterna om siffror hittades i Ahmes Papyrus, skapad av egyptierna i Mellanriket. Den indiska civilisationen utvecklade det moderna decimaltalsystemet som inkorporerade begreppet noll.
Historiskt sett uppstod de stora matematiska disciplinerna under inflytande av behovet av att utföra beräkningar inom det kommersiella området, vid mätning av marken och för att förutsäga astronomiska fenomen och, senare, för att lösa nya fysiska problem. Vart och ett av dessa områden spelar en stor roll i den breda utvecklingen av matematik, som består i studiet av strukturer, utrymmen och förändringar.
Matematikens filosofi
Mål och metoder
Matematik studerar imaginära, ideala objekt och relationerna mellan dem med hjälp av ett formellt språk. I allmänhet motsvarar matematiska begrepp och teorem inte nödvändigtvis någonting i den fysiska världen. Huvuduppgiften för den tillämpade grenen av matematik är att skapa en matematisk modell som är tillräcklig nog för det verkliga objektet som studeras. Den teoretiska matematikerns uppgift är att tillhandahålla en tillräcklig uppsättning bekväma medel för att uppnå detta mål.
Matematikens innehåll kan definieras som ett system av matematiska modeller och verktyg för att skapa dem. Objektmodellen tar inte hänsyn till alla dess egenskaper, utan bara de mest nödvändiga för studieändamål (idealiserade). Till exempel, när vi studerar de fysiska egenskaperna hos en apelsin, kan vi abstrahera från dess färg och smak och representera den (om än inte helt korrekt) som en boll. Om vi behöver förstå hur många apelsiner vi får om vi lägger till två och tre tillsammans, kan vi abstrahera bort från formen och lämna modellen med bara en egenskap - kvantitet. Abstraktion och upprättande av relationer mellan objekt i den mest allmänna formen är ett av huvudområdena för matematisk kreativitet.
En annan riktning, tillsammans med abstraktion, är generalisering. Till exempel att generalisera begreppet "rymd" till rymden av n-dimensioner. " Utrymmet vid är en matematisk fiktion. Dock en väldigt genialisk uppfinning som hjälper till att matematiskt förstå komplexa fenomen».
Studiet av intramatematiska objekt sker som regel med hjälp av den axiomatiska metoden: först formuleras en lista över grundläggande begrepp och axiom för de föremål som studeras, och sedan erhålls meningsfulla satser från axiomen med hjälp av inferensregler, som tillsammans bildar en matematisk modell.
Grunder
Frågan om matematikens väsen och grunder har diskuterats sedan Platons tid. Sedan 1900-talet har det funnits en jämförande enighet om vad som ska anses vara ett rigoröst matematiskt bevis, men det har inte funnits någon enighet om vad som anses vara sant i matematik. Detta ger upphov till meningsskiljaktigheter både i frågor om axiomatik och sammankopplingen av grenar av matematiken, och i valet av logiska system som bör användas i bevis.
Förutom de skeptiska är följande tillvägagångssätt för denna fråga kända.
Mängdteoretisk ansats
Det föreslås att alla matematiska objekt beaktas inom ramen för mängdläran, oftast med Zermelo-Fraenkels axiomatik (även om det finns många andra som är likvärdiga med det). Detta tillvägagångssätt har ansetts vara dominerande sedan mitten av 1900-talet, men i verkligheten ställer sig de flesta matematiska verk inte till uppgiften att strikt översätta sina uttalanden till mängdlärans språk, utan arbetar med begrepp och fakta etablerade inom vissa områden av matematik. Således, om en motsägelse hittas i mängdteorin, kommer detta inte att innebära att de flesta av resultaten ogiltigförklaras.
logicism
Detta tillvägagångssätt förutsätter strikt typning av matematiska objekt. Många paradoxer som undviks i mängdteorin endast genom speciella knep visar sig i princip vara omöjliga.
Formalism
Detta tillvägagångssätt innefattar studiet av formella system baserade på klassisk logik.
intuitionism
Intuitionismen förutsätter i matematikens grund en intuitionistisk logik som är mer begränsad i bevismedel (men, man tror, också mer tillförlitlig). Intuitionismen förkastar bevis genom motsägelse, många icke-konstruktiva bevis blir omöjliga och många problem med mängdteorin blir meningslösa (icke-formaliserbara).
Konstruktiv matematik
Konstruktiv matematik är en trend inom matematiken nära intuitionismen som studerar konstruktiva konstruktioner [ klargöra] . Enligt kriteriet för byggbarhet - " att existera betyder att byggas". Konstruktivitetskriteriet är ett starkare krav än konsekvenskriteriet.
Huvudämnen
Tal
Begreppet "tal" syftade ursprungligen på naturliga tal. Senare utökades det gradvis till heltal, rationella, reella, komplexa och andra tal.
| Numeriska system | |
|---|---|
| Räkning set |
Naturliga tal () Heltal () Rationaler () Algebraiska () Perioder Beräknbar aritmetik |
| Riktiga nummer och deras förlängningar |
Verkliga () Komplexa () Kvaternioner () Cayley-tal (oktaver, oktonioner) () Sedenioner () Alternioner Cayley-Dixon-procedur Dual Hypercomplex Superreal Hyperreal Surreal-tal ( engelsk) |
| Övrig nummersystem |
Kardinaltal Ordinaltal (transfinita, ordningstal) p-adiska Övernaturliga tal |
| se även | Dubbla tal Irrationella tal Transcendent Talstråle Biquaternion |
Transformationer
Diskret matematik
Koder i kunskapsklassificeringssystem
Online tjänster
Det finns ett stort antal sajter som tillhandahåller tjänster för matematiska beräkningar. De flesta av dem är på engelska. Av de rysktalande kan tjänsten med matematiska frågor från sökmotorn Nigma noteras.
se även
Populariserare av vetenskapAnteckningar
- Encyclopedia Britannica
- Websters onlineordbok
- Kapitel 2. Matematik som vetenskapens språk. Siberian Open University. Arkiverad från originalet den 2 februari 2012. Hämtad 5 oktober 2010.
- Stor antik grekisk ordbok (αω)
- Ordbok för det ryska språket under XI-XVII århundraden. Nummer 9 / Kap. ed. F. P. Filin. - M.: Nauka, 1982. - S. 41.
- Descartes R. Regler för att vägleda sinnet. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
- Se: TSB Matematik
- Marx K., Engels F. Arbetar. 2:a uppl. T. 20. S. 37.
- Bourbaki N. Matematikens arkitektur. Uppsatser om matematikens historia / Översatt av I. G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
- Kaziev V.M. Introduktion till matematik
- Mukhin O.I. Handledning för modelleringssystem. Perm: RCI PSTU.
- Herman Weil // Kline M.. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
- Statlig utbildningsstandard för högre yrkesutbildning. Specialitet 01.01.00. "Matematik". Behörighet - Matematiker. Moskva, 2000 (Sammanställd under ledning av O. B. Lupanov)
- Nomenklaturen för specialiteter för forskare, godkänd av Rysslands utbildnings- och vetenskapsministerium daterad 25 februari 2009 nr 59
- UDC 51 Matematik
- Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Element av linjär algebra och analytisk geometri. M.: Nauka, 1988. S. 44.
- N. I. Kondakov. Logisk ordbok-uppslagsbok. M.: Nauka, 1975. S. 259.
- G. I. Ruzavin. Om matematisk kunskaps natur. M.: 1968.
- http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
- Till exempel: http://mathworld.wolfram.com
Litteratur
uppslagsverk- // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron: I 86 volymer (82 volymer och 4 ytterligare). - St. Petersburg. 1890-1907.
- Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer), 1980-talet. // Allmänna och speciella matematiska referenser på EqWorld
- Kondakov N.I. Logisk ordbok-uppslagsbok. Moskva: Nauka, 1975.
- Encyclopedia of the Mathematical Sciences and their Applications (tyska) 1899-1934 (den största recensionen av 1800-talets litteratur)
- G. Korn, T. Korn. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer M., 1973
- Kline M. Matematik. Förlust av säkerhet. - M.: Mir, 1984.
- Kline M. Matematik. Jakten på sanningen. M.: Mir, 1988.
- Klein F. Elementär matematik ur en högre synvinkel.
- Volym I. Aritmetik. Algebra. Analys M.: Nauka, 1987. 432 sid.
- Volym II. Geometry M.: Nauka, 1987. 416 sid.
- R. Courant, G. Robbins. Vad är matematik? 3:e uppl., rev. och ytterligare - M.: 2001. 568 sid.
- Pisarevsky B. M., Kharin V. T. Om matematik, matematiker och inte bara. - M.: Binom. Kunskapslaboratoriet, 2012. - 302 sid.
- Poincare A. Vetenskap och metod (rus.) (fr.)
Matematik är en av de äldsta vetenskaperna. Det är inte alls lätt att ge en kort definition av matematik, dess innehåll kommer att variera mycket beroende på graden av matematisk utbildning för en person. En grundskoleelev som precis har börjat läsa räkning kommer att säga att matematiken studerar reglerna för att räkna objekt. Och han kommer att ha rätt, för det är med detta han blir bekant till en början. Äldre elever kommer att tillägga till det som har sagts att begreppet matematik omfattar algebra och studiet av geometriska objekt: linjer, deras skärningspunkter, plana figurer, geometriska kroppar, olika typer av transformationer. Gymnasieutexaminerade kommer också att inkludera i definitionen av matematik studiet av funktioner och handlingen att passera till gränsen, såväl som de relaterade begreppen derivat och integral. Utexaminerade från högre tekniska utbildningsinstitutioner eller naturvetenskapliga institutioner vid universitet och pedagogiska institut kommer inte längre att vara nöjda med skoldefinitioner, eftersom de vet att andra discipliner också ingår i matematiken: sannolikhetsteori, matematisk statistik, differentialkalkyl, programmering, beräkningsmetoder, samt tillämpningar av dessa discipliner för modellering av produktionsprocesser, bearbetning av experimentella data, överföring och bearbetning av information. Det som listas uttömmer dock inte innehållet i matematiken. Mängdlära, matematisk logik, optimal styrning, teorin om slumpmässiga processer och mycket mer ingår också i dess sammansättning.
Försök att definiera matematik genom att lista dess beståndsdelar leder oss vilse, eftersom de inte ger en uppfattning om exakt vad matematikstudier och vad dess relation till världen omkring oss är. Om en sådan fråga ställdes till en fysiker, biolog eller astronom, skulle var och en av dem ge ett mycket kort svar, utan att innehålla en lista över de delar som utgör vetenskapen de studerar. Ett sådant svar skulle innehålla en indikation på de naturfenomen som hon undersöker. Till exempel skulle en biolog säga att biologi är studiet av livets olika manifestationer. Även om detta svar inte är helt komplett, eftersom det inte säger vad liv och livsfenomen är, skulle ändå en sådan definition ge en ganska fullständig uppfattning om innehållet i själva biologin och de olika nivåerna av denna vetenskap. . Och denna definition skulle inte förändras med expansionen av vår kunskap om biologi.
Det finns inga sådana naturfenomen, tekniska eller sociala processer som skulle vara föremål för studier av matematik, men som inte skulle vara relaterade till fysikaliska, biologiska, kemiska, ingenjörsmässiga eller sociala fenomen. Varje naturvetenskaplig disciplin: biologi och fysik, kemi och psykologi - bestäms av ämnets materiella egenskaper, de specifika egenskaperna hos det område i den verkliga världen som den studerar. Objektet eller fenomenet i sig kan studeras med olika metoder, inklusive matematiska, men genom att ändra metoderna förblir vi fortfarande inom gränserna för denna disciplin, eftersom innehållet i denna vetenskap är det verkliga ämnet, och inte forskningsmetoden. För matematik är det materiella forskningsämnet inte av avgörande betydelse, den tillämpade metoden är viktig. Trigonometriska funktioner kan till exempel användas både för att studera oscillerande rörelser och för att bestämma höjden på ett otillgängligt föremål. Och vilka fenomen i den verkliga världen kan undersökas med den matematiska metoden? Dessa fenomen bestäms inte av sin materiella natur, utan uteslutande av formella strukturella egenskaper, och framför allt av de kvantitativa förhållanden och rumsliga former i vilka de existerar.
Så matematik studerar inte materiella objekt, utan forskningsmetoder och strukturella egenskaper hos studieobjektet, som gör det möjligt att tillämpa vissa operationer på det (summering, differentiering, etc.). En betydande del av matematiska problem, begrepp och teorier har dock som sin primära källa verkliga fenomen och processer. Till exempel, aritmetik och talteori uppstod från den primära praktiska uppgiften att räkna objekt. Elementär geometri hade som källa problem förknippade med att jämföra avstånd, beräkna arean av plana figurer eller volymen av rumsliga kroppar. Allt detta behövde hittas, eftersom det var nödvändigt att omfördela mark mellan användare, beräkna storleken på spannmålsmagasin eller volymen av markarbeten under byggandet av försvarsstrukturer.
Ett matematiskt resultat har egenskapen att det inte bara kan användas för att studera ett visst fenomen eller en viss process, utan också användas för att studera andra fenomen, vars fysiska natur är fundamentalt annorlunda än de som tidigare ansetts. Så, aritmetiska regler är tillämpliga i ekonomiska problem och i tekniska frågor och för att lösa problem inom jordbruket och i vetenskaplig forskning. Reglerna för aritmetik utvecklades för årtusenden sedan, men de behöll sitt praktiska värde för alltid. Aritmetik är en integrerad del av matematiken, dess traditionella del är inte längre föremål för kreativ utveckling inom matematikens ram, men den hittar och kommer att fortsätta hitta många nya tillämpningar. Dessa tillämpningar kan vara av stor betydelse för mänskligheten, men de kommer inte längre att bidra till den egentliga matematiken.
Matematik, som en skapande kraft, har som mål att utveckla allmänna regler som bör användas i många specialfall. Den som skapar dessa regler, skapar något nytt, skapar. Den som tillämpar färdiga regler skapar inte längre i matematiken själv, utan skapar, mycket möjligt, nya värden inom andra kunskapsområden med hjälp av matematiska regler. Till exempel bearbetas idag data från tolkningen av satellitbilder, liksom information om sammansättningen och åldern av stenar, geokemiska och geofysiska anomalier med hjälp av datorer. Utan tvekan lämnar användningen av en dator i geologisk forskning denna forskning geologisk. Funktionsprinciperna för datorer och deras programvara utvecklades utan att ta hänsyn till möjligheten att använda dem i geologisk vetenskaps intresse. Denna möjlighet i sig bestäms av det faktum att de strukturella egenskaperna hos geologiska data är i enlighet med logiken hos vissa datorprogram.
Två definitioner av matematik har blivit utbredda. Den första av dessa gavs av F. Engels i Anti-Dühring, den andra av en grupp franska matematiker känd som Nicolas Bourbaki i artikeln The Architecture of Mathematics (1948).
"Ren matematik har som föremål den verkliga världens rumsliga former och kvantitativa relationer." Denna definition beskriver inte bara ämnet för studier av matematik, utan indikerar också dess ursprung - den verkliga världen. Denna definition av F. Engels återspeglar dock till stor del matematikens tillstånd under andra hälften av 1800-talet. och tar inte hänsyn till de av dess nya områden som inte är direkt relaterade till vare sig kvantitativa relationer eller geometriska former. Detta är först och främst matematisk logik och discipliner relaterade till programmering. Därför behöver denna definition förtydligas. Man kanske ska säga att matematiken har som föremål att studera rumsliga former, kvantitativa relationer och logiska konstruktioner.
Bourbaki hävdar att "de enda matematiska objekten är, korrekt uttryckt, matematiska strukturer." Matematik bör med andra ord definieras som vetenskapen om matematiska strukturer. Denna definition är i huvudsak en tautologi, eftersom den bara säger en sak: matematik handlar om de föremål den studerar. En annan brist i denna definition är att den inte klargör matematikens relation till världen omkring oss. Dessutom betonar Bourbaki att matematiska strukturer skapas oberoende av den verkliga världen och dess fenomen. Det var därför Bourbaki tvingades deklarera att ”huvudproblemet är förhållandet mellan experimentvärlden och den matematiska världen. Att det finns ett nära samband mellan experimentella fenomen och matematiska strukturer verkar ha bekräftats på ett helt oväntat sätt av den moderna fysikens upptäckter, men vi är helt omedvetna om de djupa orsakerna till detta ... och kanske kommer vi aldrig att få veta dem .
En sådan nedslående slutsats kan inte komma från definitionen av F. Engels, eftersom den redan innehåller påståendet att matematiska begrepp är abstraktioner från vissa relationer och former av den verkliga världen. Dessa begrepp är hämtade från den verkliga världen och förknippas med den. I huvudsak förklarar detta den fantastiska tillämpbarheten av matematikens resultat på fenomenen i världen omkring oss, och samtidigt framgången för processen för matematisering av kunskap.
Matematik är inte ett undantag från alla kunskapsområden – den bildar också begrepp som uppstår från praktiska situationer och efterföljande abstraktioner; det tillåter en att studera verkligheten också ungefär. Men samtidigt bör man komma ihåg att matematiken inte studerar saker från den verkliga världen, utan abstrakta begrepp, och att dess logiska slutsatser är absolut strikta och exakta. Dess närhet är inte intern till sin natur, utan är förknippad med sammanställningen av en matematisk modell av fenomenet. Vi noterar också att matematikens regler inte har absolut tillämplighet, de har också ett begränsat tillämpningsområde, där de regerar. Låt oss förklara den uttryckta idén med ett exempel: det visar sig att två och två inte alltid är lika med fyra. Det är känt att när man blandar 2 liter alkohol och 2 liter vatten erhålls mindre än 4 liter av blandningen. I denna blandning är molekylerna mer kompakta och blandningens volym är mindre än summan av volymerna av de ingående komponenterna. Aritmetikens additionsregel bryts. Du kan också ge exempel där andra aritmetiska sanningar kränks, till exempel när man lägger till några objekt visar det sig att summan beror på summeringsordningen.
Många matematiker betraktar matematiska begrepp inte som skapandet av rent förnuft, utan som abstraktioner från verkligt existerande saker, fenomen, processer eller abstraktioner från redan etablerade abstraktioner (abstraktioner av högre ordning). I Naturens dialektik skrev F. Engels att "... all så kallad ren matematik är engagerad i abstraktioner ... alla dess kvantiteter är strängt taget imaginära storheter ..." Dessa ord återspeglar ganska tydligt uppfattningen om en av grundarna av den marxistiska filosofin om abstraktionernas roll i matematiken. Vi ska bara tillägga att alla dessa "imaginära storheter" är hämtade från verkligheten, och inte konstrueras godtyckligt, av en fri tankeflykt. Så kom begreppet tal till allmän användning. Till en början var det tal inom enheter, och dessutom bara positiva heltal. Sedan tvingade upplevelsen mig att utöka arsenalen av siffror till tiotals och hundra. Konceptet med obegränsningen av en serie heltal föddes redan i en era historiskt nära oss: Arkimedes i boken "Psammit" ("Beräkning av sandkorn") visade hur det är möjligt att konstruera tal som är ännu större än givna. . Samtidigt föddes begreppet bråktal ur praktiska behov. Beräkningar relaterade till de enklaste geometriska figurerna har lett mänskligheten till nya siffror - irrationella. Således bildades gradvis idén om uppsättningen av alla reella tal.
Samma väg kan följas för alla andra begrepp inom matematik. Alla uppstod ur praktiska behov och formade sig gradvis till abstrakta begrepp. Man kan återigen minnas F. Engels ord: "... ren matematik har en betydelse oberoende av varje individs speciella erfarenhet ... Men det är helt fel att i ren matematik sysslar sinnet endast med sina egna produkter. kreativitet och fantasi. Begreppen antal och figur är inte hämtade från någonstans, utan bara från den verkliga världen. De tio fingrar på vilka människor lärde sig att räkna, det vill säga att utföra den första aritmetiska operationen, är allt annat än produkten av sinnets fria kreativitet. För att räkna är det nödvändigt att inte bara ha objekt som ska räknas, utan också ha förmågan att bli distraherad när man betraktar dessa objekt från alla andra egenskaper utom antal, och denna förmåga är resultatet av en lång historisk utveckling baserad på erfarenhet. Både begreppet ett tal och begreppet en figur är uteslutande lånade från omvärlden, och uppstod inte i huvudet från rent tänkande. Det måste finnas saker som hade en viss form, och dessa former måste jämföras innan man kunde komma till begreppet figur.
Låt oss överväga om det finns begrepp inom vetenskapen som skapas utan samband med vetenskapens tidigare framsteg och den nuvarande praktiken. Vi vet mycket väl att vetenskaplig matematisk kreativitet föregås av studier av många ämnen i skolan, universitetet, läsning av böcker, artiklar, samtal med specialister både inom det egna området och inom andra kunskapsområden. En matematiker lever i ett samhälle, och från böcker, på radio, från andra källor lär han sig om de problem som uppstår inom vetenskap, teknik och samhällsliv. Dessutom påverkas forskarens tänkande av hela den tidigare utvecklingen av det vetenskapliga tänkandet. Därför visar det sig vara förberedd för lösningen av vissa problem som är nödvändiga för vetenskapens framsteg. Det är därför en vetenskapsman inte kan lägga fram problem efter behag, på ett infall, utan måste skapa matematiska begrepp och teorier som skulle vara värdefulla för vetenskapen, för andra forskare, för mänskligheten. Men matematiska teorier behåller sin betydelse i förhållandena för olika samhällsformationer och historiska epoker. Dessutom uppstår ofta samma idéer från forskare som inte är sammankopplade på något sätt. Detta är ytterligare ett argument mot dem som håller fast vid begreppet fritt skapande av matematiska begrepp.
Så, vi berättade vad som ingår i begreppet "matematik". Men det finns också något sådant som tillämpad matematik. Det förstås som helheten av alla matematiska metoder och discipliner som hittar tillämpningar utanför matematiken. I forntida tider representerade geometri och aritmetik all matematik, och eftersom båda hittade talrika tillämpningar i handelsutbyten, mätning av ytor och volymer och i frågor om navigering, var all matematik inte bara teoretisk, utan också tillämpad. Senare, i antikens Grekland, skedde en uppdelning i matematik och tillämpad matematik. Men alla framstående matematiker sysslade också med tillämpningar, och inte bara med rent teoretisk forskning.
Matematikens vidareutveckling var kontinuerligt kopplad till naturvetenskapens och teknikens framsteg, med uppkomsten av nya sociala behov. I slutet av XVIII-talet. det fanns ett behov (främst i samband med problemen med navigering och artilleri) att skapa en matematisk rörelseteori. Detta gjordes i deras verk av G. V. Leibniz och I. Newton. Tillämpad matematik har fyllts på med en ny mycket kraftfull forskningsmetod - matematisk analys. Nästan samtidigt ledde behoven av demografi och försäkring till bildandet av sannolikhetsteorins början (se Sannolikhetsteorin). 1700- och 1800-talen utökade innehållet i tillämpad matematik och lade till teorin om vanliga och partiella differentialekvationer, ekvationer för matematisk fysik, element i matematisk statistik, differentialgeometri. 1900-talet medfört nya metoder för matematisk forskning av praktiska problem: teorin om slumpmässiga processer, grafteori, funktionsanalys, optimal kontroll, linjär och icke-linjär programmering. Dessutom visade det sig att talteori och abstrakt algebra hittade oväntade tillämpningar på fysikens problem. Som ett resultat av detta började övertygelsen ta form att tillämpad matematik som en separat disciplin inte existerar och att all matematik kan anses tillämpad. Kanske är det nödvändigt att inte säga att matematik är tillämpad och teoretisk, utan att matematiker är uppdelade i tillämpad och teoretiker. För vissa är matematik en metod för kognition av omvärlden och de fenomen som förekommer i den, det är för detta ändamål som vetenskapsmannen utvecklar och utökar matematisk kunskap. För andra representerar matematiken i sig en hel värld värd att studera och utvecklas. För vetenskapens framsteg behövs forskare av båda typerna.
Matematik, innan man studerar något fenomen med sina egna metoder, skapar sin matematiska modell, det vill säga listar alla de egenskaper hos fenomenet som kommer att beaktas. Modellen tvingar forskaren att välja de matematiska verktyg som gör det möjligt att på ett adekvat sätt förmedla egenskaperna hos det fenomen som studeras och dess utveckling. Som ett exempel, låt oss ta en planetsystemmodell: Solen och planeterna betraktas som materiella punkter med motsvarande massor. Interaktionen mellan varje två punkter bestäms av attraktionskraften mellan dem
där m 1 och m 2 är massorna av de samverkande punkterna, r är avståndet mellan dem och f är gravitationskonstanten. Trots enkelheten hos denna modell har den under de senaste trehundra åren sänt med stor noggrannhet funktionerna i rörelsen hos solsystemets planeter.
Naturligtvis förgrovar varje modell verkligheten, och forskarens uppgift är först och främst att föreslå en modell som å ena sidan mest fullständigt förmedlar den faktiska sidan av saken (som man säger, dess fysiska egenskaper), och ger å andra sidan en betydande approximation till verkligheten. Naturligtvis kan flera matematiska modeller föreslås för samma fenomen. Alla har de rätt att existera tills en betydande diskrepans mellan modellen och verkligheten börjar påverka.
Matematik 1. Var kom ordet matematik ifrån 2. Vem uppfann matematiken? 3. Huvudteman. 4. Definition 5. Etymologi På sista bilden.
Var kom ordet ifrån (gå till föregående bild) Matematik från grekiska - studie, vetenskap) är vetenskapen om strukturer, ordning och samband, historiskt baserad på operationerna för att räkna, mäta och beskriva formen på föremål. Matematiska objekt skapas genom att idealisera egenskaperna hos verkliga eller andra matematiska objekt och skriva dessa egenskaper på ett formellt språk.
Vem uppfann matematiken (gå till menyn) Den första matematikern brukar kallas Thales of Miletus, som levde på VI-talet. före Kristus e. , en av de så kallade sju vise männen i Grekland. Hur som helst, det var han som var den första att strukturera hela kunskapsbasen om detta ämne, som sedan länge har formats inom den för honom kända värld. Men författaren till den första avhandlingen om matematik som har kommit till oss var Euklid (300-talet f.Kr.). Också han anses välförtjänt vara denna vetenskaps fader.
Huvudämnen (gå till menyn) Matematikområdet omfattar endast de vetenskaper där antingen ordning eller mått övervägs, och det spelar ingen roll om det är siffror, siffror, stjärnor, ljud eller något annat där detta mått finns. Sålunda måste det finnas någon allmän vetenskap som förklarar allt som hör till ordning och mått, utan att gå in på studiet av några speciella ämnen, och denna vetenskap måste inte kallas med det främmande, utan med det gamla, redan vanliga namnet Allmän matematik.
Definition (gå till menyn) Modern analys bygger på klassisk matematisk analys, som anses vara ett av matematikens tre huvudområden (tillsammans med algebra och geometri). Samtidigt används begreppet "matematisk analys" i klassisk mening främst i läroplaner och material. I den angloamerikanska traditionen motsvarar klassisk matematisk analys kursprogrammen med namnet "calculus"
Etymologi (gå till menyn) Ordet "matematik" kommer från andra grekiska. , som betyder studie, kunskap, vetenskap, etc. -Grekiska, betyder ursprungligen receptiv, framgångsrik, senare relaterad till studier, senare relaterad till matematik. Närmare bestämt betyder det på latin matematikens konst. Termen är annan -grekisk. i den moderna betydelsen av detta ord finns "matematik" redan i Aristoteles verk (300-talet f.Kr.). i "The Book of Selected Briely on the Nine Muses and on the Seven Free Arts" (1672)
På 300-talet f.Kr. dök en bok av Euklid med samma namn upp i Alexandria, i den ryska översättningen av "Beginings". Från det latinska namnet "Beginings" kom termen "elementär geometri". Även om skrifterna från Euklids föregångare inte har kommit till oss, kan vi bilda oss en uppfattning om dessa skrifter från Euklids element. I "Början" finns det avsnitt som logiskt sett är väldigt lite kopplade till andra avsnitt. Deras utseende förklaras endast av det faktum att de introducerades enligt traditionen och kopierar "början" av Euklids föregångare.
Euklids element består av 13 böcker. Böckerna 1 - 6 ägnas åt planimetri, böckerna 7 - 10 handlar om aritmetiska och injämförbara storheter som kan byggas med hjälp av kompass och rätlina. Böckerna 11 till 13 ägnades åt stereometri.
"Början" börjar med en presentation av 23 definitioner och 10 axiom. De första fem axiomen är "allmänna begrepp", resten kallas "postulat". De två första postulaten bestämmer handlingar med hjälp av en ideal linjal, den tredje - med hjälp av en ideal kompass. Den fjärde, "alla räta vinklar är lika med varandra", är överflödig, eftersom den kan härledas från resten av axiomen. Det sista, femte postulatet löd: "Om en rät linje faller på två räta linjer och bildar inre ensidiga vinklar i summan av mindre än två räta linjer, så kommer de, med en obegränsad fortsättning av dessa två räta linjer, att skära varandra på sidan där vinklarna är mindre än två räta linjer."
Euklids fem "allmänna begrepp" är principerna för att mäta längder, vinklar, ytor, volymer: "lika med samma är lika med varandra", "om lika läggs till lika är summorna lika med varandra", "om lika är subtraherade från lika är resten lika sinsemellan", "kombination med varandra är lika med varandra", "helheten är större än delen".
Sedan kom kritiken mot Euklids geometri. Euklid kritiserades av tre skäl: för det faktum att han endast beaktade sådana geometriska storheter som kan byggas med hjälp av en kompass och rätlina; för att bryta upp geometri och aritmetik och bevisa för heltal vad han redan hade bevisat för geometriska storheter, och slutligen för Euklids axiom. Det femte postulatet, Euklids svåraste postulat, har kritiserats hårdast. Många ansåg det överflödigt, och att det kan och bör härledas från andra axiom. Andra menade att den borde ersättas med en enklare och mer illustrativ, motsvarande den: "Genom en punkt utanför en rät linje kan inte mer än en rät linje dras i deras plan som inte skär denna räta linje."
Kritik mot gapet mellan geometri och aritmetik ledde till att begreppet tal utvidgades till ett reellt tal. Tvister om det femte postulatet ledde till att N.I. Lobachevsky, J. Bolyai och K.F. Gauss i början av 1800-talet byggde en ny geometri där alla axiomen för Euklids geometri var uppfyllda, med undantag för det femte postulatet. Det ersattes av det motsatta påståendet: "I ett plan genom en punkt utanför en linje kan mer än en linje dras som inte skär den givna." Denna geometri var lika konsekvent som Euklids geometri.
Lobachevsky-planimetrimodellen på det euklidiska planet byggdes av den franske matematikern Henri Poincaré 1882.
Rita en horisontell linje på det euklidiska planet. Denna linje kallas det absoluta (x). Punkterna på det euklidiska planet som ligger ovanför det absoluta är punkterna på Lobatjovskijplanet. Lobachevsky-planet är ett öppet halvplan som ligger över det absoluta. Icke-euklidiska segment i Poincaré-modellen är cirkelbågar centrerade på de absoluta eller linjesegmenten vinkelräta mot det absoluta (AB, CD). Figuren på Lobachevsky-planet är figuren av ett öppet halvplan som ligger ovanför det absoluta (F). Icke-euklidisk rörelse är en sammansättning av ett ändligt antal inversioner centrerade på de absoluta och axiella symmetrierna vars axlar är vinkelräta mot det absoluta. Två icke-euklidiska segment är lika om ett av dem kan översättas till det andra genom en icke-euklidisk rörelse. Dessa är de grundläggande begreppen i axiomatiken i Lobatsjovskijs planimetri.
Alla axiom i Lobatsjovskijs planimetri är konsekventa. "En icke-euklidisk linje är en halvcirkel med ändar på det absoluta, eller en stråle med ursprung på det absoluta och vinkelrätt mot det absoluta." Sålunda gäller påståendet om Lobatjovskijs parallellismaxiom inte bara för någon linje a och en punkt A som inte ligger på denna linje, utan också för vilken linje a som helst och vilken punkt A som helst som inte ligger på den.
Bakom Lobatjovskijs geometri uppstod andra konsekventa geometrier: projektiv geometri skild från euklidisk, flerdimensionell euklidisk geometri utvecklades, riemannsk geometri uppstod (en allmän teori om rymden med en godtycklig lag för att mäta längder), etc. Från vetenskapen om figurer i en tredimensionell Euklidiska rymden, geometri för 40 - 50 år har förvandlats till en uppsättning olika teorier, bara något liknande dess stamfader - Euklids geometri.
Huvudstadierna i bildandet av modern matematik. Modern matematiks struktur
Akademiker A.N. Kolmogorov identifierar fyra perioder i utvecklingen av matematiken Kolmogorov A.N. - Matematik, Mathematical Encyclopedic Dictionary, Moskva, Soviet Encyclopedia, 1988: födelsen av matematik, elementär matematik, matematik av variabler, modern matematik.
Under utvecklingen av den elementära matematiken växer talteorin gradvis ur aritmetiken. Algebra skapas som en bokstavlig kalkyl. Och systemet för presentation av elementär geometri skapat av de gamla grekerna - Euklids geometri - för två årtusenden framåt blev en modell för den deduktiva konstruktionen av matematisk teori.
På 1600-talet ledde naturvetenskapens och teknikens krav till skapandet av metoder som möjliggör matematiska studier av rörelse, processerna för att förändra kvantiteter och omvandlingen av geometriska figurer. Med användning av variabler i analytisk geometri och skapandet av differential- och integralkalkyler börjar perioden för variablers matematik. 1600-talets stora upptäckter är konceptet om en oändlig storhet som introducerades av Newton och Leibniz, skapandet av grunderna för analysen av oändliga kvantiteter (matematisk analys).
Begreppet funktion kommer i förgrunden. Funktion blir huvudämnet för studier. Studiet av en funktion leder till de grundläggande begreppen för matematisk analys: gräns, derivata, differential, integral.
Utseendet på den briljanta idén om R. Descartes om koordinatmetoden tillhör också denna tid. Analytisk geometri skapas, vilket gör det möjligt att studera geometriska objekt med metoder för algebra och analys. Å andra sidan öppnade koordinatmetoden för möjligheten till en geometrisk tolkning av algebraiska och analytiska fakta.
Matematikens fortsatta utveckling ledde i början av 1800-talet till formuleringen av problemet med att studera möjliga typer av kvantitativa relationer och rumsliga former ur en ganska allmän synvinkel.
Kopplingen mellan matematik och naturvetenskap blir mer och mer komplex. Nya teorier uppstår och de uppstår inte bara som ett resultat av naturvetenskapens och teknikens krav, utan också som ett resultat av matematikens inre behov. Ett anmärkningsvärt exempel på en sådan teori är N.I. Lobachevskys imaginära geometri. Matematikens utveckling under 1800- och 1900-talen gör att vi kan hänföra den till den moderna matematikens period. Utvecklingen av själva matematiken, matematiseringen av olika vetenskapsområden, inträngningen av matematiska metoder i många praktiska verksamhetsområden, framstegen inom datorteknik har lett till uppkomsten av nya matematiska discipliner, till exempel operationsforskning, spelteori, matematisk ekonomi och andra.
De huvudsakliga metoderna inom matematisk forskning är matematiska bevis – rigorösa logiska resonemang. Matematiskt tänkande är inte begränsat till logiska resonemang. Matematisk intuition är nödvändig för korrekt formulering av problemet, för att utvärdera valet av metod för att lösa det.
I matematik studeras matematiska modeller av objekt. Samma matematiska modell kan beskriva egenskaperna hos verkliga fenomen som ligger långt ifrån varandra. Så samma differentialekvation kan beskriva processerna för befolkningstillväxt och sönderfallet av radioaktivt material. För en matematiker är det inte arten av föremålen som är av betydelse, utan relationerna mellan dem.
Det finns två typer av resonemang i matematik: deduktion och induktion.
Induktion är en forskningsmetod där en generell slutsats byggs utifrån särskilda premisser.
Deduktion är en resonemangsmetod med hjälp av vilken en slutsats av viss karaktär följer av allmänna premisser.
Matematik spelar en viktig roll inom naturvetenskaplig, ingenjörsvetenskap och humanistisk forskning. Anledningen till matematikens inträngning i olika kunskapsgrenar är att den erbjuder mycket tydliga modeller för att studera den omgivande verkligheten, i motsats till de mindre generella och mer vaga modellerna som erbjuds av andra vetenskaper. Utan modern matematik, med dess utvecklade logiska och beräkningsapparat, skulle framsteg inom olika områden av mänsklig aktivitet vara omöjliga.
Matematik är inte bara ett kraftfullt verktyg för att lösa tillämpade problem och ett universellt vetenskapsspråk, utan också en del av en gemensam kultur.
Grundläggande drag i matematiskt tänkande
I denna fråga är av särskilt intresse kännetecknet för matematiskt tänkande som ges av A.Ya Khinchin, eller snarare dess specifika historiska form - stilen för matematiskt tänkande. Han avslöjar essensen av stilen för matematiskt tänkande och pekar ut fyra drag som är gemensamma för alla epoker som märkbart skiljer denna stil från tankestilarna inom andra vetenskaper.
För det första kännetecknas matematikern av dominansen av det logiska resonemangsschemat som bringas till gränsen. En matematiker som förlorar detta schema ur sikte, åtminstone tillfälligt, förlorar förmågan att tänka vetenskapligt helt och hållet. Denna speciella egenskap hos stilen för matematiskt tänkande har mycket värde i sig. Uppenbarligen låter det dig i största möjliga utsträckning övervaka riktigheten av tankeflödet och garanterar mot fel; å andra sidan tvingar den tänkaren att ha alla tillgängliga möjligheter framför sina ögon under analysen och tvingar honom att ta hänsyn till var och en av dem utan att missa en enda (sådana utelämnanden är mycket möjliga och i själva verket observeras ofta i andra sätt att tänka).
För det andra, kortfattadhet, dvs. den medvetna önskan att alltid hitta den kortaste logiska vägen som leder till ett givet mål, det skoningslösa förkastandet av allt som är absolut nödvändigt för argumentets oklanderliga giltighet. En matematisk uppsats av bra stil, tolererar inte något "vatten", ingen utsmyckning, försvagar den logiska spänningen av tjat, distraktion åt sidan; extrem snålhet, allvarlig stränghet i tanken och dess presentation är en integrerad del av matematiskt tänkande. Denna funktion är av stort värde inte bara för matematiska, utan också för alla andra seriösa resonemang. Lakonismen, önskan att inte tillåta något överflödigt, hjälper både tänkaren och hans läsare eller lyssnare att helt koncentrera sig på en given tankegång, utan att distraheras av sekundära idéer och utan att tappa direktkontakten med huvudresonemanget.
Vetenskapens armaturer tänker och uttrycker sig som regel kortfattat inom alla kunskapsområden, även när deras tanke skapar och lägger fram fundamentalt nya idéer. Vilket majestätiskt intryck, till exempel den ädla snålheten i tankar och tal hos fysikens största skapare: Newton, Einstein, Niels Bohr! Kanske är det svårt att hitta ett mer slående exempel på vilken djupgående inverkan den tankestil som skaparna har på vetenskapens utveckling.
För matematiken är tankens koncisthet en obestridlig lag, kanoniserad i århundraden. Varje försök att belasta presentationen med inte nödvändigtvis nödvändiga (även om det är trevliga och fascinerande för lyssnarna) bilder, distraktioner, oratorier ställs under berättigad misstanke i förväg och orsakar automatiskt kritisk vakenhet.
För det tredje en tydlig dissektion av resonemangets gång. Om vi till exempel, när vi bevisar en proposition, måste överväga fyra möjliga fall, som vart och ett kan delas upp i ett eller annat antal delfall, så måste matematikern vid varje resonemangsögonblick tydligt komma ihåg i vilket fall och delfall hans tankar nu förvärvas och vilka fall och delfall han fortfarande har att överväga. Med någon form av förgrenade uppräkningar måste matematikern i varje ögonblick vara medveten om vilket generiskt begrepp han räknar upp de artbegrepp som utgör det. I vardagligt, icke-vetenskapligt tänkande, observerar vi mycket ofta förvirring och hopp i sådana fall, vilket leder till förvirring och fel i resonemang. Det händer ofta att en person börjar räkna upp arterna av ett släkte och sedan, omärkligt för lyssnarna (och ofta för sig själv), med hjälp av resonemangets otillräckliga logiska distinktion, hoppade in i ett annat släkte och slutar med påståendet att båda släktena är nu sekretessbelagda; och lyssnare eller läsare vet inte var gränsen går mellan arter av första och andra slaget.
För att göra sådana förvirringar och hopp omöjliga har matematiker länge använt enkla externa metoder för numrering av begrepp och bedömningar, ibland (men mycket mindre ofta) som används inom andra vetenskaper. De möjliga fallen eller de generiska begreppen som bör beaktas i detta resonemang numreras om i förväg; I varje sådant fall numreras även de underfall som ska anses som den innehåller (ibland, för att särskilja sig, med något annat numreringssystem). Före varje stycke, där behandlingen av ett nytt undermål börjar, sätts beteckningen som accepterats för detta undermål (till exempel: II 3 - detta betyder att behandlingen av det tredje underfallet i det andra fallet börjar här, eller beskrivningen av det tredje fallet typ av den andra typen, om vi talar om klassificering). Och läsaren vet att så länge han inte stöter på en ny sifferrubrik, så gäller allt som anges endast detta fall och delfall. Det säger sig självt att en sådan numrering endast är en extern anordning, mycket användbar, men inte på något sätt obligatorisk, och att sakens väsen inte ligger i den, utan i den distinkta uppdelningen av argumentation eller klassificering, som den både stimulerar och markerar. av sig själv.
För det fjärde, noggrann noggrannhet av symboler, formler, ekvationer. Det vill säga, "varje matematisk symbol har en strikt definierad betydelse: att ersätta den med en annan symbol eller ordna om den till en annan plats, innebär som regel en förvrängning och ibland fullständig förstörelse av innebörden av detta uttalande."
Efter att ha pekat ut huvuddragen i den matematiska tankestilen, noterar A.Ya Khinchin att matematik (särskilt variablernas matematik) till sin natur har en dialektisk karaktär och därför bidrar till utvecklingen av dialektiskt tänkande. I det matematiska tänkandet finns det faktiskt en interaktion mellan visuellt (konkret) och konceptuellt (abstrakt). "Vi kan inte tänka på linjer", skrev Kant, "utan att rita det mentalt, kan vi inte tänka på tre dimensioner för oss själva utan att dra tre linjer vinkelräta mot varandra från en punkt."
Samspelet mellan konkret och abstrakt "ledde" matematiskt tänkande till utvecklingen av nya och nya begrepp och filosofiska kategorier. I den antika matematiken (konstanters matematik) var dessa "tal" och "rymd", som ursprungligen återspeglades i aritmetisk och euklidisk geometri, och senare i algebra och olika geometriska system. Variablernas matematik var "baserad" på begrepp som återspeglade materiens rörelse - "ändlig", "oändlig", "kontinuitet", "diskret", "oändligt liten", "derivata", etc.
Om vi talar om det nuvarande historiska stadiet i utvecklingen av matematisk kunskap, så går det i linje med den fortsatta utvecklingen av filosofiska kategorier: sannolikhetsteorin "mästar" kategorierna för det möjliga och det slumpmässiga; topologi - kategorier av relation och kontinuitet; katastrofteori - hoppkategori; gruppteori - kategorier av symmetri och harmoni, etc.
I matematiskt tänkande uttrycks de huvudsakliga mönstren för att konstruera logiska samband med liknande form. Med dess hjälp genomförs övergången från singularisen (säg från vissa matematiska metoder - axiomatiska, algoritmiska, konstruktiva, mängdteoretiska och andra) till de speciella och allmänna, till generaliserade deduktiva konstruktioner. Enheten mellan metoderna och ämnet matematik bestämmer det matematiska tänkandets särdrag, gör att vi kan tala om ett speciellt matematiskt språk som inte bara speglar verkligheten, utan också syntetiserar, generaliserar och förutsäger vetenskaplig kunskap. Det matematiska tänkandets kraft och skönhet ligger i den yttersta klarheten i dess logik, konstruktionernas elegans och den skickliga konstruktionen av abstraktioner.
I grunden nya möjligheter för mental aktivitet öppnades med uppfinningen av datorn, med skapandet av maskinmatematik. Betydande förändringar har skett i matematikens språk. Om språket i den klassiska beräkningsmatematiken bestod av formler för algebra, geometri och analys, fokuserade på beskrivningen av naturens kontinuerliga processer, studerade främst inom mekanik, astronomi, fysik, så är dess moderna språk språket för algoritmer och program, bl.a. det gamla formspråket som ett särskilt fall.
Språket i modern beräkningsmatematik blir mer och mer universellt, kapabelt att beskriva komplexa (multiparameter) system. Samtidigt vill jag betona att hur perfekt det matematiska språket än är, förstärkt av elektronisk datorteknik, bryter det inte banden med det mångfaldiga "levande", naturliga språket. Dessutom är talat språk grunden för ett konstgjort språk. I detta avseende är den senaste upptäckten av forskare av intresse. Poängen är att Aymaraindianernas antika språk, som talas av cirka 2,5 miljoner människor i Bolivia och Peru, visade sig vara extremt praktiskt för datorteknik. Redan 1610 noterade den italienske jesuitmissionären Ludovico Bertoni, som sammanställde den första Aymara-ordboken, genialiteten hos dess skapare, som uppnådde hög logisk renhet. I Aymara finns det till exempel inga oregelbundna verb och inga undantag från de få tydliga grammatiska reglerna. Dessa egenskaper hos Aymara-språket gjorde det möjligt för den bolivianske matematikern Ivan Guzman de Rojas att skapa ett system för simultan datoröversättning från något av de fem europeiska språken som ingår i programmet, "bron" mellan vilken är Aymara-språket. Datorn "Aymara", skapad av en boliviansk forskare, var mycket uppskattad av specialister. För att sammanfatta denna del av frågan om essensen av den matematiska tankestilen, bör det noteras att dess huvudinnehåll är förståelsen av naturen.
Axiomatisk metod
Axiomatik är det huvudsakliga sättet att konstruera en teori, från antiken till våra dagar, som bekräftar dess universalitet och all tillämpbarhet.
Konstruktionen av en matematisk teori bygger på den axiomatiska metoden. Den vetenskapliga teorin bygger på några initiala bestämmelser, kallade axiom, och alla andra bestämmelser i teorin erhålls som logiska konsekvenser av axiomen.
Den axiomatiska metoden dök upp i antikens Grekland och används för närvarande i nästan alla teoretiska vetenskaper, och framför allt i matematik.
När man jämför tre, i ett visst avseende, komplementära geometrier: euklidisk (parabolisk), Lobachevsky (hyperbolisk) och Riemannisk (elliptisk), bör det noteras att det, tillsammans med vissa likheter, finns en stor skillnad mellan sfärisk geometri, på den ena sidan och Euklids och Lobatsjovskijs geometrier - å andra sidan.
Den grundläggande skillnaden mellan modern geometri är att den nu omfattar "geometrierna" för ett oändligt antal olika imaginära rum. Det bör dock noteras att alla dessa geometrier är tolkningar av euklidisk geometri och är baserade på den axiomatiska metoden som först användes av Euklid.
På basis av forskning har den axiomatiska metoden utvecklats och använts i stor utsträckning. Som ett specialfall för att tillämpa denna metod är metoden för spår i stereometri, som gör det möjligt att lösa problem med konstruktionen av sektioner i polyedrar och några andra positionsproblem.
Den axiomatiska metoden, som först utvecklades inom geometri, har nu blivit ett viktigt verktyg för studier inom andra grenar av matematik, fysik och mekanik. För närvarande pågår ett arbete med att förbättra och studera den axiomatiska metoden att konstruera en teori mer på djupet.
Den axiomatiska metoden för att konstruera en vetenskaplig teori består i att lyfta fram de grundläggande begreppen, formulera teoriernas axiom och alla andra påståenden härleds på ett logiskt sätt, baserat på dem. Det är känt att ett begrepp måste förklaras med hjälp av andra, som i sin tur också definieras med hjälp av några välkända begrepp. Därmed kommer vi fram till elementära begrepp som inte kan definieras i termer av andra. Dessa begrepp kallas grundläggande.
När vi bevisar ett påstående, ett teorem, förlitar vi oss på premisser som anses redan bevisade. Men även dessa premisser var bevisade, de måste styrkas. I slutändan kommer vi till obevisbara påståenden och accepterar dem utan bevis. Dessa påståenden kallas axiom. Uppsättningen av axiom måste vara sådan att man, genom att förlita sig på den, kan bevisa ytterligare påståenden.
Efter att ha pekat ut huvudbegreppen och formulerat axiomen, härleder vi satser och andra begrepp på ett logiskt sätt. Detta är geometrins logiska struktur. Axiom och grundläggande begrepp utgör grunden för planimetri.
Eftersom det är omöjligt att ge en enda definition av de grundläggande begreppen för alla geometrier, bör de grundläggande begreppen geometri definieras som objekt av vilken karaktär som helst som uppfyller denna geometris axiom. I den axiomatiska konstruktionen av ett geometriskt system utgår vi alltså från ett visst system av axiom, eller axiomatik. Dessa axiom beskriver egenskaperna hos de grundläggande begreppen i ett geometriskt system, och vi kan representera de grundläggande begreppen i form av objekt av vilken karaktär som helst som har de egenskaper som anges i axiomen.
Efter att ha formulerat och bevisat de första geometriska påståendena blir det möjligt att bevisa vissa påståenden (satser) med hjälp av andra. Bevisen för många satser tillskrivs Pythagoras och Demokritos.
Hippokrates från Chios är krediterad för att ha sammanställt den första systematiska kursen i geometri baserat på definitioner och axiom. Denna kurs och dess efterföljande bearbetningar kallades "Element".
Axiomatisk metod för att konstruera en vetenskaplig teori
Skapandet av en deduktiv eller axiomatisk metod för att konstruera vetenskap är en av de största prestationerna inom matematisk tanke. Det krävde arbete från många generationer av vetenskapsmän.
En anmärkningsvärd egenskap hos det deduktiva presentationssystemet är enkelheten i denna konstruktion, vilket gör det möjligt att beskriva det med några få ord.
Det deduktiva presentationssystemet reduceras till:
1) till listan över grundläggande begrepp,
2) till presentationen av definitioner,
3) till presentationen av axiomen,
4) till presentationen av satser,
5) till beviset för dessa satser.
Ett axiom är ett påstående som accepteras utan bevis.
Ett teorem är ett påstående som följer av axiom.
Bevis är en integrerad del av det deduktiva systemet, det är resonemang som visar att sanningen i ett påstående logiskt följer av sanningen i tidigare satser eller axiom.
Inom ett deduktivt system kan två frågor inte lösas: 1) om betydelsen av de grundläggande begreppen, 2) om axiomens sanning. Men detta betyder inte att dessa frågor i allmänhet är olösliga.
Naturvetenskapens historia visar att möjligheten till en axiomatisk konstruktion av en viss vetenskap endast uppträder på en ganska hög utvecklingsnivå av denna vetenskap, på grundval av en stor mängd faktamaterial, vilket gör det möjligt att tydligt identifiera de viktigaste samband och relationer som finns mellan de föremål som studeras av denna vetenskap.
Ett exempel på den axiomatiska konstruktionen av matematisk vetenskap är elementär geometri. Systemet av geometrins axiom förklarades av Euklid (cirka 300 f.Kr.) i verket "Beginings" oöverträffad i sin betydelse. Detta system har i stort sett överlevt till denna dag.
Grundläggande begrepp: punkt, linje, plan grundbilder; ligga emellan, tillhöra, röra sig.
Elementär geometri har 13 axiom, som är indelade i fem grupper. I den femte gruppen finns ett axiom om paralleller (Euklids V-postulat): genom en punkt på ett plan kan endast en rät linje dras som inte skär denna räta linje. Detta är det enda axiom som orsakade behovet av bevis. Försök att bevisa det femte postulatet sysselsatte matematiker i mer än 2 årtusenden, fram till första hälften av 1800-talet, d.v.s. tills det ögonblick då Nikolai Ivanovitj Lobatsjovskij i sina skrifter bevisade den fullständiga hopplösheten i dessa försök. För närvarande är det femte postulatet omöjligt att bevisa ett strängt bevisat matematiskt faktum.
Axiom om parallell N.I. Lobatsjovskij ersatte axiomet: Låt en rät linje och en punkt som ligger utanför den räta linjen ges i ett givet plan. Genom denna punkt kan åtminstone två parallella linjer dras till den givna linjen.
Från det nya axiomsystemet N.I. Lobatsjovskij, med oklanderlig logisk rigor, härledde ett sammanhängande system av satser som utgör innehållet i icke-euklidisk geometri. Euklids och Lobatjovskijs båda geometrier är lika som logiska system.
Tre stora matematiker under 1800-talet, nästan samtidigt, oberoende av varandra, kom fram till samma resultat av det femte postulatets obevisbarhet och till skapandet av icke-euklidisk geometri.
Nikolai Ivanovich Lobatsjovskij (1792-1856)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Janos Bolyai (1802-1860)
Matematiskt bevis
Den huvudsakliga metoden inom matematisk forskning är matematiskt bevis – rigorösa logiska resonemang. I kraft av objektiv nödvändighet, påpekar Korrespondent Medlem av Ryska Vetenskapsakademin L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Modern matematik och dess undervisning, Moskva, Nauka, 1985, logiskt resonemang (som till sin natur, om det är korrekt, också är rigoröst) är en metod för matematik, matematik är otänkbart utan dem. Det bör noteras att matematiskt tänkande inte är begränsat till logiska resonemang. För korrekt formulering av problemet, för utvärdering av dess data, för val av betydande från dem och för val av en metod för att lösa det, är matematisk intuition också nödvändig, vilket gör det möjligt att förutse det önskade resultatet innan det erhålls, för att med hjälp av rimliga resonemang skissera forskningens väg. Men giltigheten av det aktuella faktumet bevisas inte genom att kontrollera det på ett antal exempel, inte genom att utföra ett antal experiment (som i sig spelar en stor roll i matematisk forskning), utan på ett rent logiskt sätt, enligt formell logiks lagar.
Man tror att matematiska bevis är den ultimata sanningen. Ett beslut som bygger på ren logik kan helt enkelt inte vara fel. Men med utvecklingen av vetenskapen och uppgifterna framför matematiker blir allt mer komplexa.
"Vi har gått in i en era då den matematiska apparaten har blivit så komplex och krånglig att det vid första anblicken inte längre är möjligt att säga om problemet som uppstått är sant eller inte", tror Keith Devlin från Stanford University, Kalifornien, USA. Han nämner som ett exempel "klassificeringen av enkla ändliga grupper", som formulerades redan 1980, men ett fullständigt exakt bevis har ännu inte lämnats. Troligtvis är satsen sann, men det är omöjligt att säga säkert om detta.
En datorlösning kan inte heller kallas exakt, eftersom sådana beräkningar alltid har ett fel. 1998 föreslog Hales en datorstödd lösning på Keplers teorem, formulerad redan 1611. Detta teorem beskriver den tätaste packningen av bollar i rymden. Beviset presenterades på 300 sidor och innehöll 40 000 rader maskinkod. 12 granskare kontrollerade lösningen under ett år, men de uppnådde aldrig 100 % förtroende för korrektheten av beviset, och studien skickades för revision. Som ett resultat publicerades den först efter fyra år och utan fullständig certifiering av granskarna.
Alla de senaste beräkningarna för tillämpade problem görs på en dator, men forskare anser att för större tillförlitlighet bör matematiska beräkningar presenteras utan fel.
Bevisteorin är utvecklad i logik och inkluderar tre strukturella komponenter: tes (vad som ska bevisas), argument (en uppsättning fakta, allmänt accepterade begrepp, lagar etc. för den relevanta vetenskapen) och demonstration (förfarandet för använda bevis själv, en konsekvent kedja av slutledningar när den n:e slutledningen blir en av premisserna för den n+1:e slutledningen). Bevisreglerna skiljer sig åt, möjliga logiska fel anges.
Matematiska bevis har mycket gemensamt med de principer som fastställts av formell logik. Dessutom tjänade de matematiska reglerna för resonemang och operationer uppenbarligen som en av grunderna i utvecklingen av bevisförfarandet inom logiken. I synnerhet tror forskare av historien om bildandet av formell logik att en gång, när Aristoteles tog de första stegen för att skapa lagar och logiska regler, vände han sig till matematik och till utövandet av juridisk verksamhet. I dessa källor fann han material för de logiska konstruktionerna av den tänkta teorin.
På 1900-talet förlorade begreppet bevis sin strikta innebörd, vilket skedde i samband med upptäckten av logiska paradoxer som lurade i mängdläran och särskilt i samband med de resultat som K. Gödels satser om formaliseringens ofullständighet förde med sig.
Först och främst påverkade detta matematiken i sig, i samband med vilken man trodde att termen "bevis" inte har en exakt definition. Men om en sådan åsikt (som fortfarande gäller idag) påverkar matematiken själv, så kommer de till slutsatsen att beviset inte bör accepteras i logisk-matematisk, utan i psykologisk mening. Dessutom finns en liknande uppfattning hos Aristoteles själv, som trodde att att bevisa innebär att föra ett resonemang som skulle övertyga oss i en sådan utsträckning att vi genom att använda det övertygar andra om riktigheten av något. Vi finner en viss nyans av det psykologiska tillvägagångssättet i A.E. Yesenin-Volpin. Han motsätter sig skarpt acceptansen av sanning utan bevis, kopplar den till en troshandling och skriver vidare: "Jag kallar beviset för en dom för en ärlig metod som gör denna bedömning obestridlig." Yesenin-Volpin rapporterar att hans definition fortfarande behöver förtydligas. Förråder inte själva karaktäriseringen av bevis som en "ärlig metod" samtidigt en vädjan till en moralpsykologisk bedömning?
Samtidigt bidrog upptäckten av mängdteoretiska paradoxer och uppkomsten av Godels satser bara till utvecklingen av teorin om matematiska bevis som genomfördes av intuitionister, särskilt den konstruktivistiska riktningen, och D. Hilbert.
Ibland tror man att matematiska bevis är universella och representerar en idealisk version av vetenskapliga bevis. Det är dock inte den enda metoden, det finns andra metoder för evidensbaserade procedurer och operationer. Det är bara sant att det matematiska beviset har mycket gemensamt med det formella logiska som implementeras inom naturvetenskap, och att det matematiska beviset har vissa särdrag, såväl som uppsättningen av tekniker-operationer. Det är här vi kommer att sluta och utelämna det generella som gör det relaterat till andra former av bevis, det vill säga utan att implementera algoritmen, reglerna, felen etc. i alla steg (även de viktigaste). bevisprocess.
Ett matematiskt bevis är ett resonemang som har till uppgift att underbygga sanningen (naturligtvis i den matematiska, det vill säga som deducerbarhet, mening) i ett påstående.
Den uppsättning regler som användes i beviset bildades tillsammans med tillkomsten av axiomatiska konstruktioner av matematisk teori. Detta insågs tydligast och fullständigt i Euklids geometri. Hans "Principer" blev ett slags modellstandard för den axiomatiska organisationen av matematisk kunskap, och förblev länge sådan för matematiker.
Uttalanden som presenteras i form av en viss sekvens måste garantera en slutsats, som, med förbehåll för reglerna för logisk drift, anses bevisad. Det måste understrykas att ett visst resonemang är ett bevis endast med avseende på något axiomatiskt system.
Vid karakterisering av ett matematiskt bevis urskiljs två huvuddrag. Först och främst det faktum att matematiska bevis utesluter all hänvisning till empiriska bevis. Hela proceduren för att belägga sanningen i slutsatsen utförs inom ramen för den accepterade axiomatiken. Akademikern A.D. Aleksandrov betonar i detta avseende. Du kan mäta vinklarna i en triangel tusentals gånger och se till att de är lika med 2d. Men matematiken bevisar ingenting. Du kommer att bevisa det för honom om du härleder ovanstående påstående från axiomen. Låt oss upprepa. Här ligger matematiken nära skolastikens metoder, som också i grunden förkastar argumentation genom experimentellt givna fakta.
Till exempel, när segmentens inkommensurabilitet upptäcktes, när man bevisade detta teorem, uteslöts en vädjan till ett fysiskt experiment, eftersom för det första själva begreppet "inkommensurabilitet" saknar fysisk betydelse, och för det andra, matematiker kunde inte, när man sysslar med abstraktion, för att hjälpa material-konkreta förlängningar, mätbara med en sensorisk-visuell anordning. Inkommensurabiliteten, i synnerhet, för en kvadrats sida och diagonal, bevisas baserat på egenskapen hos heltal genom att använda Pythagoras sats om likheten mellan hypotenusans kvadrat (respektive diagonalen) och summan av kvadraterna på ben (två sidor av en rätvinklig triangel). Eller när Lobatsjovskij letade efter bekräftelse för sin geometri, med hänvisning till resultaten av astronomiska observationer, då utfördes denna bekräftelse av honom med hjälp av en rent spekulativ natur. Cayley-Klein och Beltramis tolkningar av icke-euklidisk geometri innehöll också typiskt matematiska snarare än fysiska föremål.
Den andra egenskapen hos matematiska bevis är dess högsta abstrakthet, där den skiljer sig från bevisförfaranden inom andra vetenskaper. Och återigen, som i fallet med begreppet ett matematiskt objekt, handlar det inte bara om graden av abstraktion, utan om dess natur. Faktum är att bevis når en hög abstraktionsnivå inom en rad andra vetenskaper, till exempel inom fysik, kosmologi och naturligtvis i filosofi, eftersom de yttersta problemen med att vara och tänka blir föremål för det senare. Matematik, å andra sidan, kännetecknas av det faktum att variabler fungerar här, vars betydelse är i abstraktion från några specifika egenskaper. Kom ihåg att variabler per definition är tecken som i sig inte har någon betydelse och förvärvar den senare endast när namnen på vissa objekt ersätts med dem (individuella variabler) eller när specifika egenskaper och relationer anges (predikatvariabler), eller slutligen , i fall av att ersätta en variabel med ett meningsfullt uttalande (propositionsvariabel).
Det noterade särdraget bestämmer arten av den extrema abstraktheten hos tecknen som används i det matematiska beviset, såväl som påståenden, som, på grund av inkluderingen av variabler i deras struktur, blir till påståenden.
Själva bevisförfarandet, definierat i logiken som en demonstration, fortsätter på grundval av slutledningsreglerna, baserade på vilka övergången från ett bevisat uttalande till ett annat utförs, och bildar en konsekvent kedja av slutsatser. De vanligaste är de två reglerna (substitution och härledning av slutsatser) och deduktionssatsen.
substitutionsregel. I matematik definieras substitution som att vart och ett av elementen a i en given mängd ersätts med något annat element F(a) från samma mängd. Inom matematisk logik är substitutionsregeln formulerad enligt följande. Om en sann formel M i propositionskalkylen innehåller en bokstav, säg A, så får vi genom att ersätta den varhelst den förekommer med en godtycklig bokstav D en formel som också är sann som den ursprungliga. Detta är möjligt, och tillåtet, just därför att man i propositionskalkylen abstraherar från betydelsen av propositioner (formler)... Endast värdena "sant" eller "falskt" beaktas. Till exempel, i formeln M: A--> (BUA) ersätter vi uttrycket (AUB) i stället för A, som ett resultat får vi en ny formel (AUB) -->[(BU(AUB) ].
Regeln för att dra slutsatser motsvarar strukturen av den villkorligt kategoriska syllogismen modus ponens (det bekräftande läget) i formell logik. Det ser ut så här:
a .
Givet en proposition (a-> b) och även given a. Det följer b.
Till exempel: Om det regnar, då är trottoaren våt, det regnar (a), därför är trottoaren blöt (b). I matematisk logik skrivs denna syllogism på följande sätt (a-> b) a-> b.
Slutsatsen bestäms, som regel, genom att separera för implikation. Om en implikation (a-> b) och dess antecedent (a) ges, så har vi rätt att lägga till resonemanget (beviset) även följden av denna implikation (b). Syllogism är tvång, utgör en arsenal av deduktiva bevismedel, det vill säga uppfyller absolut kraven på matematiska resonemang.
En viktig roll i matematiska bevis spelas av deduktionssatsen - det allmänna namnet för ett antal satser, vars procedur gör det möjligt att fastställa bevisbarheten av implikationen: A-> B, när det finns en logisk härledning av formel B från formeln A. I den vanligaste versionen av propositionskalkylen (i den klassiska, intuitionistiska och andra typerna av matematik) anger deduktionssatsen följande. Om ett system av premisser G och en premiss A anges, av vilka enligt reglerna B G, A B (- tecken på härledning) kan härledas, så följer att endast från premisserna för G kan man få meningen A --> B.
Vi har övervägt typen, vilket är ett direkt bevis. Samtidigt används de så kallade indirekta bevisen också i logiken, det finns icke-direkta bevis som utvecklas enligt följande schema. Att inte ha, på grund av ett antal skäl (otillgänglighet av studieobjektet, förlusten av verkligheten av dess existens, etc.) möjligheten att genomföra ett direkt bevis på sanningen av något uttalande, tes, de bygger en antites. De är övertygade om att antitesen leder till motsägelser och därför är falsk. Sedan, utifrån faktumet om antitesens falskhet, drar man - på grundval av den uteslutna mittens lag (a v) - en slutsats om tesens sanning.
Inom matematiken används en av formerna för indirekt bevis flitigt - bevis genom motsägelse. Det är särskilt värdefullt och faktiskt oumbärligt för att acceptera grundläggande begrepp och bestämmelser i matematik, till exempel begreppet faktisk oändlighet, som inte kan introduceras på något annat sätt.
Bevisets funktion genom motsägelse representeras i matematisk logik enligt följande. Givet en sekvens av formler G och negationen av A (G , A). Om detta innebär B och dess negation (G , A B, icke-B), så kan vi dra slutsatsen att sanningen i A följer av sekvensen av formler G. Med andra ord, sanningen i tesen följer av falskheten i antitesen .
Referenser:
1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Higher Mathematics for Economists, lärobok, Moskva, 2002;
2. L.D. Kudryavtsev, Modern matematik och dess undervisning, Moscow, Nauka, 1985;
3. O. I. Larichev, Objektiva modeller och subjektiva beslut, Moskva, Nauka, 1987;
4. A.Ya.Halamizer, "Matematik? – Det är roligt!”, Författarens upplaga, 1989;
5. P.K. Rashevsky, Riemannsk geometri och tensoranalys, Moskva, 3:e upplagan, 1967;
6. V.E. Gmurman, Sannolikhetsteori och matematisk statistik, Moskva, Högre skola, 1977;
7. Världsomspännande nätverk Internet.
Matematik är vetenskapen om kvantitativa relationer och rumsliga former av den verkliga världen. I nära anslutning till vetenskapens och teknikens krav växer beståndet av kvantitativa relationer och rumsliga former som studeras av matematiken ständigt, så att ovanstående definition måste förstås i den mest allmänna meningen.
Syftet med att studera matematik är att öka den allmänna synen, tänkandets kultur, bildandet av en vetenskaplig världsbild.
Att förstå matematikens oberoende ställning som en speciell vetenskap blev möjligt efter ackumuleringen av en tillräckligt stor mängd faktamaterial och uppstod för första gången i antikens Grekland på 600-500-talen f.Kr. Detta var början på den elementära matematikens period.
Under denna period behandlade den matematiska forskningen endast ett ganska begränsat lager av grundläggande begrepp som uppkom med det ekonomiska livets enklaste krav. Samtidigt pågår redan en kvalitativ förbättring av matematiken som vetenskap.
Modern matematik jämförs ofta med en storstad. Detta är en utmärkt jämförelse, för i matematik, som i en storstad, sker en kontinuerlig process av tillväxt och förbättring. Nya områden växer fram inom matematiken, eleganta och djupa nya teorier byggs upp, som att bygga nya stadsdelar och byggnader. Men matematikens framsteg är inte begränsad till att förändra stadens ansikte på grund av byggandet av en ny. Vi måste förändra det gamla. Gamla teorier ingår i nya, mer allmänna; det finns ett behov av att stärka grunden i gamla byggnader. Nya gator måste anläggas för att skapa förbindelser mellan de avlägsna kvarteren i den matematiska staden. Men detta räcker inte - den arkitektoniska utformningen kräver avsevärd ansträngning, eftersom mångfalden av olika områden inom matematiken inte bara förstör helhetsintrycket av vetenskapen, utan också stör förståelsen av vetenskapen som helhet och upprättar kopplingar mellan dess olika delar.
En annan jämförelse används ofta: matematik liknas vid ett stort grenat träd, som systematiskt ger nya skott. Varje gren av trädet är ett eller annat område inom matematiken. Antalet grenar förblir inte oförändrat, eftersom nya grenar växer, växer ihop till en början separat, några av grenarna torkar upp, berövas närande safter. Båda jämförelserna är framgångsrika och förmedlar mycket väl det faktiska läget.
Utan tvekan spelar efterfrågan på skönhet en viktig roll i konstruktionen av matematiska teorier. Det säger sig självt att uppfattningen om skönhet är väldigt subjektiv och det finns ofta ganska fula idéer om detta. Och ändå måste man bli förvånad över den enighet som matematiker lägger i begreppet "skönhet": resultatet anses vackert om det från ett litet antal förhållanden är möjligt att få en allmän slutsats som rör ett brett spektrum av föremål. En matematisk härledning anses vacker om det är möjligt att bevisa ett betydande matematiskt faktum i den genom enkla och korta resonemang. En matematikers mognad, hans talang gissas av hur utvecklad hans skönhetskänsla är. Estetiskt kompletta och matematiskt perfekta resultat är lättare att förstå, komma ihåg och använda; det är lättare att identifiera deras relation till andra kunskapsområden.
Matematik har i vår tid blivit en vetenskaplig disciplin med många forskningsområden, ett stort antal resultat och metoder. Matematik är nu så bra att det inte är möjligt för en person att täcka det i alla dess delar, det finns ingen möjlighet att vara en universell specialist på det. Förlusten av kopplingar mellan dess separata riktningar är verkligen en negativ konsekvens av den snabba utvecklingen av denna vetenskap. Men på grundval av utvecklingen av alla grenar av matematiken finns det en gemensam sak - utvecklingens ursprung, rötterna till matematikens träd.
Euklids geometri som den första naturvetenskapliga teorin
Matematik som vetenskap om kvantitativa relationer och rumsliga former av verklighet studerar världen omkring oss, natur- och sociala fenomen. Men till skillnad från andra vetenskaper studerar matematiken deras speciella egenskaper och abstraherar från andra. Så, geometri studerar formen och storleken på föremål, utan att ta hänsyn till deras andra egenskaper: färg, massa, hårdhet, etc. I allmänhet skapas matematiska objekt (geometrisk figur, antal, värde) av det mänskliga sinnet och existerar endast i mänskligt tänkande, i tecken och symboler som bildar det matematiska språket.
Matematikens abstrakthet gör att den kan tillämpas på en mängd olika områden, den är ett kraftfullt verktyg för att förstå naturen.
Kunskapsformer delas in i två grupper.
första gruppen utgöra former av sensorisk kognition, utförd med hjälp av olika sinnesorgan: syn, hörsel, lukt, känsel, smak.
Co. andra gruppen innefatta former av abstrakt tänkande, i första hand begrepp, påståenden och slutsatser.
Formerna för sensorisk kognition är Känna, uppfattning och representation.
Varje föremål har inte en, utan många egenskaper, och vi känner dem med hjälp av förnimmelser.
Känsla- detta är en återspegling av de individuella egenskaperna hos objekt eller fenomen i den materiella världen, som direkt (dvs nu, för tillfället) påverkar våra sinnen. Dessa är förnimmelser av röda, varma, runda, gröna, söta, släta och andra individuella egenskaper hos föremål [Getmanova, sid. 7].
Från individuella förnimmelser bildas uppfattningen av hela objektet. Till exempel består uppfattningen av ett äpple av sådana förnimmelser: sfärisk, röd, söt och sur, doftande, etc.
Uppfattningär en holistisk reflektion av ett yttre materiellt föremål som direkt påverkar våra sinnen [Getmanova, sid. åtta]. Till exempel bilden av en tallrik, kopp, sked, andra redskap; bilden av floden, om vi nu seglar längs den eller är på dess strand; bilden av skogen, om vi nu kommit till skogen osv.
Perceptioner, även om de är en sensorisk återspegling av verkligheten i våra sinnen, är till stor del beroende av mänsklig erfarenhet. Till exempel kommer en biolog att uppfatta en äng på ett sätt (han kommer att se olika typer av växter), men en turist eller en konstnär kommer att uppfatta den på ett helt annat sätt.
Prestanda- det här är en sensuell bild av ett objekt som för närvarande inte uppfattas av oss, men som tidigare uppfattats av oss i en eller annan form [Getmanova, sid. tio]. Till exempel kan vi visuellt föreställa oss bekantas ansikten, vårt rum i huset, en björk eller en svamp. Det här är exempel reproducera representationer, som vi har sett dessa objekt.
Presentationen kan vara kreativ, Inklusive fantastisk. Vi presenterar den vackra prinsessan Swan, eller Tsar Saltan, eller Golden Cockerel, och många andra karaktärer från sagorna om A.S. Pushkin, som vi aldrig har sett och aldrig kommer att se. Dessa är exempel på kreativ presentation framför verbal beskrivning. Vi föreställer oss också snöjungfrun, jultomten, en sjöjungfru, etc.
Så formerna för sensorisk kunskap är förnimmelser, uppfattningar och representationer. Med deras hjälp lär vi oss de yttre aspekterna av objektet (dess funktioner, inklusive egenskaper).
Former för abstrakt tänkande är begrepp, påståenden och slutsatser.
Begrepp. Begreppens omfattning och innehåll
Termen "koncept" används vanligtvis för att hänvisa till en hel klass av föremål av godtycklig natur som har en viss karakteristisk (särskiljande, väsentlig) egenskap eller en hel uppsättning sådana egenskaper, d.v.s. egenskaper som är unika för medlemmar i den klassen.
Ur logisk synvinkel är begreppet en speciell form av tänkande, som kännetecknas av följande: 1) begreppet är en produkt av högt organiserad materia; 2) konceptet speglar den materiella världen; 3) begreppet framträder i medvetandet som ett medel för generalisering; 4) begreppet betyder specifikt mänsklig aktivitet; 5) bildandet av ett koncept i en persons sinne är oskiljaktigt från dess uttryck genom tal, skrift eller symbol.
Hur uppstår begreppet något verklighetsobjekt i våra sinnen?
Processen att bilda ett visst koncept är en gradvis process där flera successiva steg kan ses. Överväg denna process med det enklaste exemplet - bildandet av begreppet numret 3 hos barn.
1. I det första steget av kognition bekantar barn sig med olika specifika uppsättningar, använder motivbilder och visar olika uppsättningar av tre element (tre äpplen, tre böcker, tre pennor, etc.). Barn ser inte bara var och en av dessa uppsättningar, utan de kan också röra vid (röra) föremålen som utgör dessa uppsättningar. Denna process att "se" skapar i barnets sinne en speciell form av reflektion av verkligheten, som kallas perception (känsla).
2. Låt oss ta bort föremålen (objekten) som utgör varje uppsättning och bjud barnen att avgöra om det fanns något gemensamt som kännetecknar varje uppsättning. Antalet föremål i varje set skulle inpräntas i barnens medvetande, att det fanns "tre" överallt. Om det är så, har en ny form skapats i barnens medvetande - idén om siffran tre.
3. I nästa steg, på grundval av ett tankeexperiment, bör barn se att egenskapen som uttrycks i ordet "tre" kännetecknar vilken som helst uppsättning av olika element i formen (a; b; c). Således kommer ett väsentligt gemensamt drag för sådana uppsättningar att pekas ut: "att ha tre element". Nu kan vi säga att i medvetandet hos barn bildas begreppet nummer 3.
begrepp- detta är en speciell form av tänkande, som återspeglar de väsentliga (särskiljande) egenskaperna hos föremål eller studieobjekt.
Den språkliga formen av ett begrepp är ett ord eller en grupp av ord. Till exempel "triangel", "nummer tre", "punkt", "rak linje", "likbent triangel", "växt", "barrträd", "Jeniseifloden", "bord" etc.
Matematiska begrepp har ett antal funktioner. Det viktigaste är att de matematiska objekt som det är nödvändigt att bilda sig ett begrepp om inte existerar i verkligheten. Matematiska objekt skapas av det mänskliga sinnet. Dessa är idealiska föremål som speglar verkliga föremål eller fenomen. Till exempel, i geometri, studeras formen och storleken på föremål, utan att ta hänsyn till deras andra egenskaper: färg, massa, hårdhet, etc. Från allt detta är de distraherade, abstraherade. Därför, i geometri, istället för ordet "objekt" säger de "geometrisk figur". Resultatet av abstraktion är också sådana matematiska begrepp som "antal" och "värde".
Huvuddrag några begrepp är följande: 1) volym; 2) innehåll; 3) relationer mellan begrepp.
När de talar om ett matematiskt begrepp menar de vanligtvis hela uppsättningen (uppsättningen) av objekt som betecknas med en term (ord eller grupp av ord). Så, på tal om en kvadrat, menar de alla geometriska former som är kvadrater. Man tror att uppsättningen av alla rutor är omfattningen av begreppet "fyrkant".
Begreppets omfattning den uppsättning objekt eller objekt som detta koncept är tillämpligt på kallas.
Till exempel, 1) omfattningen av begreppet "parallelogram" är uppsättningen av sådana fyrkanter som egentliga parallellogram, romber, rektanglar och kvadrater; 2) omfattningen av begreppet "ensiffrigt naturligt tal" kommer att vara uppsättningen - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Varje matematiskt objekt har vissa egenskaper. Till exempel har en kvadrat fyra sidor, fyra räta vinklar lika med diagonalerna, diagonalerna delas av skärningspunkten. Du kan ange dess andra egenskaper, men bland egenskaperna för ett objekt finns det väsentlig (utmärkande) och mindre viktiga.
Fastigheten kallas grundläggande (särskiljande) för ett objekt om det är inneboende i detta objekt och utan det inte kan existera; egendom kallas obetydlig för ett föremål om det kan existera utan det.
Till exempel, för en kvadrat, är alla egenskaper som anges ovan väsentliga. Egenskapen "sidan AD är horisontell" kommer att vara irrelevant för kvadraten ABCD (Fig. 1). Om denna kvadrat roteras kommer sidan AD att vara vertikal.
Tänk på ett exempel för förskolebarn som använder visuellt material (Fig. 2):
Beskriv figuren.
Liten svart triangel. Ris. 2
Stor vit triangel.
Hur är siffrorna lika?
Hur skiljer sig siffrorna?
Färg, storlek.
Vad har en triangel?
3 sidor, 3 hörn.
Således får barn reda på de väsentliga och icke-väsentliga egenskaperna hos begreppet "triangel". Väsentliga egenskaper - "har tre sidor och tre vinklar", icke väsentliga egenskaper - färg och storlek.
Helheten av alla väsentliga (särskiljande) egenskaper hos ett objekt eller objekt som återspeglas i detta koncept kallas innehållet i konceptet .
Till exempel, för begreppet "parallelogram" är innehållet en uppsättning egenskaper: det har fyra sidor, det har fyra hörn, motsatta sidor är parvis parallella, motsatta sidor är lika, motsatta vinklar är lika, diagonalerna vid skärningspunkten poäng delas på hälften.
Det finns ett samband mellan volymen av ett begrepp och dess innehåll: om volymen av ett begrepp ökar, så minskar dess innehåll, och vice versa. Så till exempel är omfattningen av begreppet "likbent triangel" en del av omfattningen av begreppet "triangel", och innehållet i begreppet "likbent triangel" inkluderar fler egenskaper än innehållet i begreppet "triangel", eftersom en likbent triangel har inte bara alla egenskaper hos en triangel, utan även andra som är inneboende bara i likbenta trianglar ("två sidor är lika", "två vinklar är lika", "två medianer är lika", etc.).
Begrepp är uppdelade i singel, vanlig och kategorier.
Ett begrepp vars volym är lika med 1 kallas enda koncept .
Till exempel begreppen: "Yenisei River", "Republic of Tuva", "Moskva stad".
Begrepp vars volym är större än 1 anropas allmänning .
Till exempel begreppen: "stad", "flod", "fyrhörning", "tal", "polygon", "ekvation".
I processen att studera grunderna för någon vetenskap bildar barn i allmänhet allmänna begrepp. Till exempel i lågstadiet bekantar sig eleverna med begrepp som "tal", "antal", "ensiffriga tal", "tvåsiffriga tal", "flersiffriga tal", "bråkdel", "andel". ”, ”addition”, ”term” , ”summa”, ”subtraktion”, ”subtraherad”, ”reducerad”, ”skillnad”, ”multiplikation”, ”multiplikator”, ”produkt”, ”division”, ”delbar”, "divisor", "kvot", "kula, cylinder, kon, kub, parallellepiped, pyramid, vinkel, triangel, fyrhörning, kvadrat, rektangel, polygon, cirkel, "cirkel", "kurva", "polylinje", "segment" , "segmentets längd", "stråle", "rät linje", "punkt", "längd", "bredd", "höjd", "omkrets", "figurarea", "volym", "tid", " hastighet", "massa", "pris", "kostnad" och många andra. Alla dessa begrepp är allmänna begrepp.