Lösning av den enklaste trigonometriska. Regler för att hitta trigonometriska funktioner: sinus, cosinus, tangent och cotangens. Graf över cosinusfunktionen, y = cos x

Begreppen sinus, cosinus, tangent och cotangens är huvudkategorierna för trigonometri - en gren av matematiken, och är oupplösligt förbundna med definitionen av en vinkel. Innehav av denna matematiska vetenskap kräver memorering och förståelse av formler och teorem, samt utvecklat rumsligt tänkande. Det är därför trigonometriska beräkningar ofta orsakar svårigheter för skolbarn och elever. För att övervinna dem bör du bli mer bekant med trigonometriska funktioner och formler.

Begrepp i trigonometri

För att förstå de grundläggande begreppen trigonometri måste du först bestämma vad en rätvinklig triangel och en vinkel i en cirkel är, och varför alla grundläggande trigonometriska beräkningar är förknippade med dem. En triangel där en av vinklarna är 90 grader är en rätvinklig triangel. Historiskt sett användes denna figur ofta av människor inom arkitektur, navigation, konst, astronomi. Följaktligen, genom att studera och analysera egenskaperna hos denna figur, kom människor till beräkningen av motsvarande förhållande mellan dess parametrar.

Huvudkategorierna förknippade med räta trianglar är hypotenusan och benen. Hypotenusan är sidan av en triangel som är motsatt den räta vinkeln. Benen, respektive, är de andra två sidorna. Summan av vinklarna i en triangel är alltid 180 grader.

Sfärisk trigonometri är ett avsnitt av trigonometri som inte studeras i skolan, men inom tillämpade vetenskaper som astronomi och geodesi använder forskare det. En egenskap hos en triangel i sfärisk trigonometri är att den alltid har en summa av vinklar som är större än 180 grader.

Vinklar i en triangel

I en rätvinklig triangel är en vinkels sinus förhållandet mellan benet mitt emot den önskade vinkeln och triangelns hypotenusa. Följaktligen är cosinus förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan. Båda dessa värden har alltid ett värde mindre än ett, eftersom hypotenusan alltid är längre än benet.

Tangensen för en vinkel är ett värde lika med förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande benet för den önskade vinkeln, eller sinus till cosinus. Kotangensen är i sin tur förhållandet mellan det intilliggande benet av den önskade vinkeln och den motsatta kaktetten. Cotangensen för en vinkel kan också erhållas genom att dividera enheten med tangentens värde.

enhetscirkel

En enhetscirkel i geometri är en cirkel vars radie är lika med en. En sådan cirkel är konstruerad i det kartesiska koordinatsystemet, där cirkelns mittpunkt sammanfaller med utgångspunkten, och radievektorns initiala position bestäms av X-axelns positiva riktning (abskissaxeln). Varje punkt i cirkeln har två koordinater: XX och YY, det vill säga koordinaterna för abskissan och ordinaten. Genom att välja valfri punkt på cirkeln i XX-planet och släppa vinkelrät från den till abskissaxeln får vi en rätvinklig triangel som bildas av en radie till den valda punkten (låt oss beteckna den med bokstaven C), en vinkelrät ritad till X-axeln (skärningspunkten betecknas med bokstaven G), och ett segment abskissaxeln mellan origo (punkten betecknas med bokstaven A) och skärningspunkten G. Den resulterande triangeln ACG är en rätvinklig triangel inskriven i en cirkel, där AG är hypotenusan och AC och GC är benen. Vinkeln mellan radien på cirkeln AC och segmentet av abskissaxeln med beteckningen AG, definierar vi som α (alfa). Så, cos α = AG/AC. Med tanke på att AC är radien för enhetscirkeln, och den är lika med ett, visar det sig att cos α=AG. På liknande sätt är sin α=CG.

Genom att känna till dessa data kan du dessutom bestämma koordinaten för punkt C på cirkeln, eftersom cos α=AG, och sin α=CG, vilket betyder att punkt C har de givna koordinaterna (cos α; sin α). Genom att veta att tangenten är lika med förhållandet mellan sinus och cosinus kan vi bestämma att tg α \u003d y / x, och ctg α \u003d x / y. Med tanke på vinklarna i ett negativt koordinatsystem kan man beräkna att sinus- och cosinusvärdena för vissa vinklar kan vara negativa.

Beräkningar och grundläggande formler

Värden av trigonometriska funktioner

Efter att ha övervägt essensen av trigonometriska funktioner genom enhetscirkeln, kan vi härleda värdena för dessa funktioner för vissa vinklar. Värdena listas i tabellen nedan.

De enklaste trigonometriska identiteterna

Ekvationer där det finns ett okänt värde under tecknet för den trigonometriska funktionen kallas trigonometriska. Identiteter med värdet sin x = α, k är vilket heltal som helst:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, inga lösningar.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * båge a + πk.

Identiteter med värdet cos x = a, där k är vilket heltal som helst:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, inga lösningar.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identiteter med värdet tg x = a, där k är vilket heltal som helst:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identiteter med värdet ctg x = a, där k är vilket heltal som helst:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Cast formler

Denna kategori av konstantformler betecknar metoder med vilka du kan gå från trigonometriska funktioner i formen till funktioner i argumentet, det vill säga konvertera sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel av vilket värde som helst till motsvarande indikatorer för vinkeln på intervallet från 0 till 90 grader för större bekvämlighet vid beräkningar.

Formlerna för att reducera funktioner för sinus för en vinkel ser ut så här:

• sin(900 - a) = a;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

För cosinus av en vinkel:

• cos(900 - a) = sin a;
• cos(900 + a) = -sin a;
• cos(1800 - a) = -cos a;
• cos(1800 + a) = -cos a;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - a) = cos a;
• cos(3600 + α) = cos α.

Användningen av ovanstående formler är möjlig med förbehåll för två regler. För det första, om vinkeln kan representeras som ett värde (π/2 ± a) eller (3π/2 ± a), ändras värdet på funktionen:

• från synd till cos;
• från cos till synd;
• från tg till ctg;
• från ctg till tg.

Funktionens värde förblir oförändrat om vinkeln kan representeras som (π ± a) eller (2π ± a).

För det andra ändras inte tecknet på den reducerade funktionen: om det från början var positivt förblir det så. Samma sak gäller för negativa funktioner.

Tilläggsformler

Dessa formler uttrycker värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens av summan och skillnaden av två rotationsvinklar i termer av deras trigonometriska funktioner. Vinklar betecknas vanligtvis som α och β.

Formlerna ser ut så här:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(a ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Dessa formler är giltiga för alla vinklar α och β.

Dubbel- och trippelvinkelformler

De trigonometriska formlerna för en dubbel- och trippelvinkel är formler som relaterar funktionerna för vinklarna 2a respektive 3α till de trigonometriska funktionerna för vinkeln α. Härledd från additionsformler:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Övergång från summa till produkt

Med tanke på att 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), för att förenkla denna formel, får vi identiteten sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. På liknande sätt är sina - sinp = 2sin(a - p)/2 * cos(a + p)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tga + tgp = sin(a + p) / cosa * cosp; tga - tgp = sin(a - p) / cosa * cosp; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Övergång från produkt till summa

Dessa formler följer av identiteterna för övergången av summan till produkten:

• sina * sinp = 1/2*;
• cosa * cosp = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Reduktionsformler

I dessa identiteter kan kvadrat- och kubikpotenserna för sinus och cosinus uttryckas i termer av sinus och cosinus för första potensen av en multipel vinkel:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universell substitution

De universella trigonometriska substitutionsformlerna uttrycker trigonometriska funktioner i termer av tangenten för en halv vinkel.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), medan x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), där x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), där x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), medan x \u003d π + 2πn.

Speciella fall

Särskilda fall av de enklaste trigonometriska ekvationerna ges nedan (k är vilket heltal som helst).

Privat för sinus:

sin x-värde	x-värde
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk eller 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk eller -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk eller 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk eller -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk eller 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk eller -2π/3 + 2πk

Cosinuskvoter:

cos x värde	x-värde
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privat för tangent:

tg x värde	x-värde
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangenskvoter:

ctg x-värde	x-värde
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Satser

Sinussats

Det finns två versioner av satsen - enkel och utökad. Enkel sinussats: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. I detta fall är a, b, c triangelns sidor och α, β, γ är de motsatta vinklarna.

Utökad sinussats för en godtycklig triangel: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. I denna identitet betecknar R radien för cirkeln i vilken den givna triangeln är inskriven.

Cosinussatsen

Identiteten visas på detta sätt: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. I formeln är a, b, c triangelns sidor och α är vinkeln på motsatt sida a.

Tangentsats

Formeln uttrycker förhållandet mellan tangenterna för två vinklar och längden på sidorna mitt emot dem. Sidorna är märkta a, b, c, och motsvarande motstående vinklar är α, β, γ. Tangentsatsens formel: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Cotangenssats

Associerar radien för en cirkel inskriven i en triangel med längden på dess sidor. Om a, b, c är sidorna i en triangel och A, B, C respektive är deras motsatta vinklar, r är radien för den inskrivna cirkeln och p är triangelns halva omkrets, kommer följande identiteter håll:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Ansökningar

Trigonometri är inte bara en teoretisk vetenskap förknippad med matematiska formler. Dess egenskaper, satser och regler används i praktiken av olika grenar av mänsklig verksamhet - astronomi, flyg- och sjönavigering, musikteori, geodesi, kemi, akustik, optik, elektronik, arkitektur, ekonomi, maskinteknik, mätarbete, datorgrafik, kartografi, oceanografi och många andra.

Sinus, cosinus, tangens och cotangens är trigonometrins grundläggande begrepp, med vilka man matematiskt kan uttrycka sambandet mellan vinklar och längder på sidor i en triangel, och hitta önskade storheter genom identiteter, satser och regler.

Trigonometriska ekvationer är inte det lättaste ämnet. Smärtsamt är de olika.) Till exempel dessa:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Men dessa (och alla andra) trigonometriska monster har två gemensamma och obligatoriska egenskaper. För det första - du kommer inte att tro det - det finns trigonometriska funktioner i ekvationerna.) För det andra: alla uttryck med x är inom samma funktioner. Och bara där! Om x dyker upp någonstans utanför, Till exempel, sin2x + 3x = 3, detta kommer att vara en ekvation av blandad typ. Sådana ekvationer kräver ett individuellt förhållningssätt. Här kommer vi inte att överväga dem.

Vi kommer inte att lösa onda ekvationer i den här lektionen heller.) Här ska vi ta itu med de enklaste trigonometriska ekvationerna. Varför? Ja, eftersom beslutet några trigonometriska ekvationer består av två steg. I det första steget reduceras den onda ekvationen till en enkel genom olika transformationer. På den andra - denna enklaste ekvation är löst. Inget annat sätt.

Så om du har problem i det andra steget, är det första steget inte mycket meningsfullt.)

Hur ser elementära trigonometriska ekvationer ut?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Här a står för vilket nummer som helst. Några.

Förresten, inuti funktionen kanske det inte finns ett rent x, utan något slags uttryck, som:

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Detta komplicerar livet, men påverkar inte metoden för att lösa den trigonometriska ekvationen.

Hur löser man trigonometriska ekvationer?

Trigonometriska ekvationer kan lösas på två sätt. Det första sättet: att använda logik och en trigonometrisk cirkel. Vi kommer att utforska denna väg här. Det andra sättet - att använda minne och formler - kommer att övervägas i nästa lektion.

Det första sättet är tydligt, pålitligt och svårt att glömma.) Det är bra för att lösa trigonometriska ekvationer, ojämlikheter och alla möjliga knepiga icke-standardiserade exempel. Logik är starkare än minne!

Vi löser ekvationer med hjälp av en trigonometrisk cirkel.

Vi inkluderar elementär logik och förmågan att använda en trigonometrisk cirkel. Kan du inte!? Men... Det blir svårt för dig i trigonometri...) Men det spelar ingen roll. Ta en titt på lektionerna "Trigonometrisk cirkel ...... Vad är det?" och "Räkna vinklar på en trigonometrisk cirkel." Allt är enkelt där. Till skillnad från läroböcker...)

Ah, du vet!? Och till och med bemästrat "Praktiskt arbete med en trigonometrisk cirkel"!? Acceptera grattis. Detta ämne kommer att vara nära och förståeligt för dig.) Det som är särskilt glädjande är att den trigonometriska cirkeln inte bryr sig om vilken ekvation du löser. Sinus, cosinus, tangent, cotangens - allt är sig likt för honom. Lösningsprincipen är densamma.

Så vi tar vilken elementär trigonometrisk ekvation som helst. Åtminstone detta:

cosx = 0,5

Jag måste hitta X. Att tala på mänskligt språk, du behöver hitta vinkeln (x) vars cosinus är 0,5.

Hur använde vi cirkeln innan? Vi ritade ett hörn på den. I grader eller radianer. Och omedelbart sett trigonometriska funktioner för denna vinkel. Låt oss nu göra tvärtom. Rita en cosinus lika med 0,5 på cirkeln och omedelbart vi får se injektion. Det återstår bara att skriva ner svaret.) Ja, ja!

Vi ritar en cirkel och markerar cosinus lika med 0,5. På cosinusaxeln förstås. Så här:

Låt oss nu rita vinkeln som denna cosinus ger oss. Håll musen över bilden (eller tryck på bilden på en surfplatta), och ser samma hörn X.

Vilken vinkel har en cosinus på 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Vissa människor kommer att grymta skeptiskt, ja... De säger, var det värt det att inhägna cirkeln, när allt är klart ändå... Man kan ju grymta...) Men faktum är att detta är en felaktig svar. Eller rättare sagt, otillräcklig. Cirkelkännare förstår att det fortfarande finns en hel drös med vinklar som också ger en cosinus lika med 0,5.

Om du vrider den rörliga sidan OA för en hel tur, kommer punkt A att återgå till sin ursprungliga position. Med samma cosinus lika med 0,5. De där. vinkeln kommer att ändras 360° eller 2π radianer, och cosinus är det inte. Den nya vinkeln 60° + 360° = 420° kommer också att vara en lösning på vår ekvation, eftersom

Det finns ett oändligt antal sådana fulla rotationer... Och alla dessa nya vinklar kommer att vara lösningar på vår trigonometriska ekvation. Och de måste alla skrivas ner på något sätt. Allt. Annars beaktas inte beslutet, ja...)

Matematik kan göra detta enkelt och elegant. Skriv ner i ett kort svar oändlig uppsättning lösningar. Så här ser det ut för vår ekvation:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Jag ska dechiffrera. Skriver fortfarande meningsfullt trevligare än att dumt rita några mystiska bokstäver, eller hur?)

π /3 är samma vinkel som vi fick syn på på cirkeln och identifieras enligt cosinustabellen.

2π är ett helt varv i radianer.

n - detta är antalet kompletta, dvs. hela revolutioner. Det är tydligt att n kan vara 0, ±1, ±2, ±3.... och så vidare. Som framgår av den korta posten:

n ∈ Z

n tillhör ( ∈ ) till mängden heltal ( Z ). Förresten, istället för brevet n bokstäver kan användas k, m, t etc.

Denna notation betyder att du kan ta vilket heltal som helst n . Minst -3, minst 0, minst +55. Vad vill du. Om du kopplar in den siffran i ditt svar får du en specifik vinkel, vilket säkerligen kommer att vara lösningen på vår hårda ekvation.)

Eller med andra ord, x \u003d π / 3 är den enda roten till en oändlig mängd. För att få alla andra rötter räcker det att lägga till valfritt antal hela varv till π / 3 ( n ) i radianer. De där. 2πn radian.

Allt? Nej. Jag sträcker specifikt nöjet. För att komma ihåg bättre.) Vi fick bara en del av svaren på vår ekvation. Jag kommer att skriva denna första del av lösningen så här:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - inte en rot, det är en hel rad rötter, skrivna i kort form.

Men det finns andra vinklar som också ger en cosinus lika med 0,5!

Låt oss återgå till vår bild, enligt vilken vi skrev ner svaret. Här är hon:

Flytta musen över bilden och ser ett annat hörn som ger också en cosinus på 0,5. Vad tycker du att det motsvarar? Trianglarna är samma... Ja! Det är lika med vinkeln X , endast ritad i negativ riktning. Det här är hörnet -X. Men vi har redan räknat ut x. π /3 eller 60°. Därför kan vi lugnt skriva:

x 2 \u003d - π / 3

Och, naturligtvis, lägger vi till alla vinklar som erhålls genom hela varv:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Det är allt nu.) I en trigonometrisk cirkel, vi fick syn på(vem förstår förstås)) Allt vinklar som ger en cosinus lika med 0,5. Och de skrev ner dessa vinklar i en kort matematisk form. Svaret är två oändliga serier av rötter:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Detta är det korrekta svaret.

Hoppas, allmän princip för att lösa trigonometriska ekvationer med hjälp av en cirkel är förståeligt. Vi markerar cosinus (sinus, tangent, cotangens) från den givna ekvationen på cirkeln, ritar motsvarande vinklar och skriver ner svaret. Naturligtvis måste du ta reda på vilken typ av hörn vi är fick syn på på cirkeln. Ibland är det inte så självklart. Tja, som jag sa, logik krävs här.)

Låt oss till exempel analysera en annan trigonometrisk ekvation:

Observera att talet 0,5 inte är det enda möjliga talet i ekvationerna!) Det är bara bekvämare för mig att skriva det än rötter och bråk.

Vi arbetar enligt den allmänna principen. Vi ritar en cirkel, markerar (på sinusaxeln, förstås!) 0,5. Vi ritar på en gång alla vinklar som motsvarar denna sinus. Vi får denna bild:

Låt oss ta itu med vinkeln först. X under första kvartalet. Vi återkallar sinustabellen och bestämmer värdet på denna vinkel. Saken är enkel:

x \u003d π / 6

Vi minns fulla varv och med gott samvete skriver vi ner den första serien med svar:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Halva jobbet är gjort. Nu måste vi definiera andra hörnet... Det här är knepigare än i cosinus, ja ... Men logiken räddar oss! Hur man bestämmer den andra vinkeln genom x? Ja lätt! Trianglarna på bilden är desamma, och det röda hörnet X lika med vinkeln X . Endast det räknas från vinkeln π i negativ riktning. Det är därför det är rött.) Och för svaret behöver vi en vinkel mätt korrekt från den positiva halvaxeln OX, dvs. från en vinkel på 0 grader.

Håll muspekaren över bilden och se allt. Jag tog bort det första hörnet för att inte komplicera bilden. Vinkeln av intresse för oss (ritad i grönt) kommer att vara lika med:

π - x

x vi vet det π /6 . Så den andra vinkeln blir:

π - π /6 = 5π /6

Återigen minns vi tillägget av hela varv och skriver ner den andra serien av svar:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Det är allt. Ett komplett svar består av två serier av rötter:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ekvationer med tangent och cotangens kan enkelt lösas med samma allmänna princip för att lösa trigonometriska ekvationer. Såvida du förstås inte vet hur man ritar tangenten och kotangensen på en trigonometrisk cirkel.

I exemplen ovan använde jag tabellvärdet för sinus och cosinus: 0,5. De där. en av de betydelser som eleven känner till måste. Låt oss nu utöka våra möjligheter till alla andra värden. Bestäm, så bestäm!)

Så låt oss säga att vi måste lösa följande trigonometriska ekvation:

Det finns inget sådant värde av cosinus i de korta tabellerna. Vi ignorerar kallt detta fruktansvärda faktum. Vi ritar en cirkel, markerar 2/3 på cosinusaxeln och ritar motsvarande vinklar. Vi får den här bilden.

Vi förstår, till att börja med, med en vinkel i den första kvarten. För att veta vad x är lika med skulle de genast skriva ner svaret! Vi vet inte... Misslyckande!? Lugna! Matematik lämnar inte sina egna i trubbel! Hon uppfann bågkosinus för detta fall. Vet inte? Förgäves. Ta reda på det. Det är mycket enklare än du tror. Enligt denna länk finns det inte en enda knepig besvärjelse om "inversa trigonometriska funktioner" ... Det är överflödigt i detta ämne.

Om du är insatt, säg bara till dig själv, "X är en vinkel vars cosinus är 2/3." Och omedelbart, rent per definition av arccosine, kan vi skriva:

Vi kommer ihåg ytterligare varv och skriver lugnt ner den första serien av rötter i vår trigonometriska ekvation:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Den andra serien av rötter skrivs också nästan automatiskt, för den andra vinkeln. Allt är sig likt, bara x (arccos 2/3) kommer att ha ett minus:

x 2 = - bågar 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Och alla saker! Detta är det korrekta svaret. Ännu enklare än med tabellvärden. Du behöver inte komma ihåg någonting.) Förresten, den mest uppmärksamma kommer att märka att den här bilden med lösningen genom bågen cosinus skiljer sig väsentligen inte från bilden för ekvationen cosx = 0,5.

Exakt! Den allmänna principen om det och det allmänna! Jag ritade specifikt två nästan identiska bilder. Cirkeln visar oss vinkeln X genom sin cosinus. Det är en tabellformad cosinus, eller inte - cirkeln vet inte. Vilken typ av vinkel är detta, π / 3, eller vilken typ av bågcosinus är upp till oss att bestämma.

Med en sinus samma låt. Till exempel:

Återigen ritar vi en cirkel, markerar sinus lika med 1/3, ritar hörnen. Det visar sig denna bild:

Och återigen är bilden nästan densamma som för ekvationen sinx = 0,5.Återigen börjar vi från hörnet i första kvarten. Vad är x lika med om dess sinus är 1/3? Inga problem!

Så det första paketet med rötter är klart:

x 1 = båge 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Låt oss ta en titt på den andra vinkeln. I exemplet med ett tabellvärde på 0,5 var det lika med:

π - x

Så här blir det precis likadant! Endast x är annorlunda, arcsin 1/3. Än sen då!? Du kan säkert skriva det andra paketet med rötter:

x 2 = π - båge 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Detta är ett helt korrekt svar. Även om det inte ser särskilt bekant ut. Men det är förståeligt, hoppas jag.)

Så här löser man trigonometriska ekvationer med hjälp av en cirkel. Denna väg är tydlig och begriplig. Det är han som sparar i trigonometriska ekvationer med urvalet av rötter på ett givet intervall, i trigonometriska ojämlikheter - de löses i allmänhet nästan alltid i en cirkel. Kort sagt, i alla uppgifter som är lite mer komplicerade än vanliga.

Omsätta kunskap i praktiken?

Lös trigonometriska ekvationer:

Till en början är det enklare, direkt på den här lektionen.

Nu är det svårare.

Tips: här måste du tänka på cirkeln. Personligen.)

Och nu utåt opretentiös ... De kallas också specialfall.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tips: här måste du räkna ut i en cirkel var det finns två serier av svar, och var det finns en ... Och hur man skriver ner en istället för två serier av svar. Ja, så att inte en enda rot från ett oändligt antal går förlorad!)

Tja, ganska enkelt):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tips: här måste du veta vad är arcsine, arccosine? Vad är bågtangens, bågtangens? De enklaste definitionerna. Men du behöver inte komma ihåg några tabellvärden!)

Svaren är naturligtvis i oordning):

x 1= båge0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - båge0,3 + 2

Allt löser sig inte? Det händer. Läs lektionen igen. Endast eftertänksamt(det finns ett sådant förlegat ord...) Och följ länkarna. Huvudlänkarna handlar om cirkeln. Utan det i trigonometri - hur man korsar vägen med ögonbindel. Ibland fungerar det.)

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Trigonometriska ekvationer .

De enklaste trigonometriska ekvationerna .

Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

Trigonometriska ekvationer. En ekvation som innehåller en okänd under tecknet för den trigonometriska funktionen kallas trigonometrisk.

De enklaste trigonometriska ekvationerna.

Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer. Lösningen av den trigonometriska ekvationen består av två steg: ekvationstransformation för att få det enkelt typ (se ovan) och beslutfås enklast trigonometrisk ekvation. Det finns sju grundläggande metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

1. Algebraisk metod. Denna metod är välkänd för oss från algebra

(variabel substitution och substitutionsmetod).

2. Faktorisering. Låt oss titta på denna metod med exempel.

EXEMPEL 1. Lös ekvationen: synd x+ cos x = 1 .

Lösning. Flytta alla termer i ekvationen åt vänster:

Synd x+ cos x – 1 = 0 ,

Låt oss transformera och faktorisera uttrycket i

Vänster sida av ekvationen:

Exempel 2. Lös ekvationen: cos 2 x+ synd x cos x = 1.

LÖSNING cos 2 x+ synd x cos x– synd 2 x– för 2 x = 0 ,

Synd x cos x– synd 2 x = 0 ,

Synd x(cos x– synd x ) = 0 ,

Exempel 3. Lös ekvationen: cos 2 x– för 8 x+ cos 6 x = 1.

LÖSNING cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos8 x,

2 för 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (kostar 2 x– för 4 x) = 0 ,

Cos 4 x 2 synd 3 x synd x = 0 ,

ett). för 4 x= 0, 2). synd 3 x= 0, 3). synd x = 0 ,

3.

Casting till enhetlig ekvation. Ekvationen kallad homogen från relativt synd och cos , om allt av det termer av samma grad med avseende på synd och cos samma vinkel. För att lösa en homogen ekvation behöver du: a) flytta alla dess medlemmar till vänster sida; b) placera alla vanliga faktorer utanför parentes; i) likställ alla faktorer och parenteser till noll; G) parentes satt till noll ger homogen ekvation av mindre grad, som bör divideras med cos(eller synd) i högre grad; d) lösa den resulterande algebraiska ekvationen med avseende påsolbränna . EXEMPEL Lös ekvation: 3 synd 2 x+ 4 synd x cos x+ 5 cos 2 x = 2. Lösning: 3sin 2 x+ 4 synd x cos x+ 5 cos 2 x= 2 synd 2 x+ 2 cos 2 x , Synd 2 x+ 4 synd x cos x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4tan x + 3 = 0 , härifrån y 2 + 4y +3 = 0 , Rötterna till denna ekvation är:y 1 = - 1, y 2 = -3, alltså 1) solbränna x= –1, 2) brun x = –3,

4. Övergång till halvhörna. Låt oss titta på den här metoden med ett exempel:

EXEMPEL Lös ekvation: 3 synd x– 5 cos x = 7.

Lösning: 6 synd ( x/ 2) cos( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) – 6 synd ( x/ 2) cos( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan²( x/ 2) – 3 bruna ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Införande av en hjälpvinkel. Betrakta en formekvation:

a synd x + b cos x = c ,

Var a, b, c– koefficienter.x- okänd.

Nu har ekvationens koefficienter egenskaperna sinus och cosinus, nämligen: modul (absolut värde) av varje

De enklaste trigonometriska ekvationerna är ekvationerna

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

Ekvation cos(x) = a

Förklaring och motivering

1. Rötterna till ekvationen cosx = a. När | en | > 1 har ekvationen inga rötter eftersom | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 eller vid a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Låt | en |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. På intervallet minskar funktionen y = cos x från 1 till -1. Men en minskande funktion tar vart och ett av dess värden endast vid en punkt i dess definitionsdomän, därför har ekvationen cos x \u003d a bara en rot på detta intervall, som per definition av bågcosinus är: x 1 \u003d arccos a (och för denna rot cos x \u003d a).

Cosinus är en jämn funktion, så på intervallet [-p; 0] ekvationen cos x = och har också bara en rot - talet motsatt x 1, dvs.

x 2 = -arccos a.

Således, på intervallet [-n; n] (längd 2n) ekvationen cos x = a för | en |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funktionen y = cos x är periodisk med en period på 2n, så alla andra rötter skiljer sig från de som hittas av 2np (n € Z). Vi får följande formel för rötterna till ekvationen cos x = a när

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. Särskilda fall av att lösa ekvationen cosx = a.

Det är användbart att komma ihåg den speciella notationen för rötterna till ekvationen cos x = a när

en \u003d 0, en \u003d -1, en \u003d 1, som enkelt kan erhållas med hjälp av enhetscirkeln som en guide.

Eftersom cosinus är lika med abskissan för motsvarande punkt på enhetscirkeln får vi att cos x = 0 om och bara om motsvarande punkt på enhetscirkeln är punkt A eller punkt B.

På liknande sätt är cos x = 1 om och endast om motsvarande punkt i enhetscirkeln är punkten C, därför,

x = 2πp, k € Z.

Även cos x \u003d -1 om och endast om motsvarande punkt i enhetscirkeln är punkten D, alltså x \u003d n + 2n,

Ekvation sin(x) = a

Förklaring och motivering

1. Rötterna till ekvationen sinx = a. När | en | > 1 har ekvationen inga rötter eftersom | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 eller vid a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Lektion och presentation om ämnet: "Lösning av de enklaste trigonometriska ekvationerna"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, feedback, förslag! Allt material kontrolleras av ett antivirusprogram.

Manualer och simulatorer i onlinebutiken "Integral" för årskurs 10 från 1C
Vi löser problem inom geometri. Interaktiva uppgifter för att bygga i rymden
Programvarumiljö "1C: Mathematical constructor 6.1"

Vad ska vi studera:
1. Vad är trigonometriska ekvationer?

3. Två huvudmetoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
4. Homogena trigonometriska ekvationer.
5. Exempel.

Vad är trigonometriska ekvationer?

Killar, vi har redan studerat arcsine, arccosine, arctangent och arccotangent. Låt oss nu titta på trigonometriska ekvationer i allmänhet.

Trigonometriska ekvationer - ekvationer där variabeln finns under den trigonometriska funktionens tecken.

Vi upprepar formen för att lösa de enklaste trigonometriska ekvationerna:

1) Om |а|≤ 1, så har ekvationen cos(x) = a en lösning:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Om |а|≤ 1, så har ekvationen sin(x) = a en lösning:

3) Om |a| > 1, då har ekvationen sin(x) = a och cos(x) = a inga lösningar 4) Ekvationen tg(x)=a har en lösning: x=arctg(a)+ πk

5) Ekvationen ctg(x)=a har en lösning: x=arcctg(a)+ πk

För alla formler är k ett heltal

De enklaste trigonometriska ekvationerna har formen: Т(kx+m)=a, T- valfri trigonometrisk funktion.

Exempel.

Lös ekvationer: a) sin(3x)= √3/2

Beslut:

A) Låt oss beteckna 3x=t, då kommer vi att skriva om vår ekvation i formen:

Lösningen på denna ekvation blir: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Från värdetabellen får vi: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Låt oss gå tillbaka till vår variabel: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Då x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Svar: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, där n är ett heltal. (-1)^n - minus ett till n.

Fler exempel på trigonometriska ekvationer.

Lös ekvationerna: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Beslut:

A) Den här gången går vi direkt till beräkningen av ekvationens rötter:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Då x/5= πk => x=5πk

Svar: x=5πk, där k är ett heltal.

B) Vi skriver i formen: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vi vet att: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Svar: x=2π/9 + πk/3, där k är ett heltal.

Lös ekvationer: cos(4x)= √2/2. Och hitta alla rötter på segmentet.

Beslut:

Låt oss lösa vår ekvation i allmän form: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Låt oss nu se vilka rötter som faller på vårt segment. För k För k=0, x= π/16 är vi i det givna segmentet .
Med k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 träffar de igen.
För k=2, x= π/16+ π=17π/16, men här träffade vi inte, vilket betyder att vi inte träffar för stort k heller.

Svar: x= π/16, x= 9π/16

Två huvudsakliga lösningsmetoder.

Vi har övervägt de enklaste trigonometriska ekvationerna, men det finns mer komplexa. För att lösa dem används metoden för att introducera en ny variabel och faktoriseringsmetoden. Låt oss titta på exempel.

Låt oss lösa ekvationen:

Beslut:
För att lösa vår ekvation använder vi metoden för att introducera en ny variabel, betecknad: t=tg(x).

Som ett resultat av ersättningen får vi: t 2 + 2t -1 = 0

Hitta rötterna till andragradsekvationen: t=-1 och t=1/3

Sedan tg(x)=-1 och tg(x)=1/3, vi fick den enklaste trigonometriska ekvationen, låt oss hitta dess rötter.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Svar: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ett exempel på att lösa en ekvation

Lös ekvationer: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Beslut:

Låt oss använda identiteten: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Vår ekvation blir: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Låt oss introducera ersättningen t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Lösningen till vår andragradsekvation är rötterna: t=2 och t=-1/2

Sedan cos(x)=2 och cos(x)=-1/2.

Därför att cosinus kan inte ta värden större än ett, då har cos(x)=2 inga rötter.

För cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Svar: x= ±2π/3 + 2πk

Homogena trigonometriska ekvationer.

Definition: En ekvation av formen a sin(x)+b cos(x) kallas homogena trigonometriska ekvationer av första graden.

Formens ekvationer

homogena trigonometriska ekvationer av andra graden.

För att lösa en homogen trigonometrisk ekvation av första graden dividerar vi den med cos(x): Det är omöjligt att dividera med cosinus om det är lika med noll, låt oss se till att det inte är så:
Låt cos(x)=0, då asin(x)+0=0 => sin(x)=0, men sinus och cosinus är inte lika med noll samtidigt, vi fick en motsägelse, så vi kan säkert dividera med noll.

Lös ekvationen:
Exempel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Beslut:

Ta ut den gemensamma faktorn: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Sedan måste vi lösa två ekvationer:

cos(x)=0 och cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 för x= π/2 + πk;

Betrakta ekvationen cos(x)+sin(x)=0 Dividera vår ekvation med cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Svar: x= π/2 + πk och x= -π/4+πk

Hur löser man homogena trigonometriska ekvationer av andra graden?
Killar, håll dig alltid till dessa regler!

1. Se vad koefficienten a är lika med, om a \u003d 0 kommer vår ekvation att ha formen cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), ett exempel på lösningen som finns på föregående glida

2. Om a≠0, då du måste dividera båda delarna av ekvationen med kvadratisk cosinus, får vi:

Vi gör ändringen av variabeln t=tg(x) vi får ekvationen:

Lös exempel #:3

Lös ekvationen:
Beslut:

Dividera båda sidor av ekvationen med cosinuskvadrat:

Vi gör en förändring av variabeln t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Hitta rötterna till andragradsekvationen: t=-3 och t=1

Sedan: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Svar: x=-arctg(3) + πk och x= π/4+ πk

Lös exempel #:4

Lös ekvationen:

Beslut:
Låt oss förvandla vårt uttryck:

Vi kan lösa sådana ekvationer: x= - π/4 + 2πk och x=5π/4 + 2πk

Svar: x= - π/4 + 2πk och x=5π/4 + 2πk

Lös exempel #:5

Lös ekvationen:

Beslut:
Låt oss förvandla vårt uttryck:

Vi introducerar ersättningen tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Lösningen på vår andragradsekvation blir rötterna: t=-2 och t=1/2

Då får vi: tg(2x)=-2 och tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Svar: x=-arctg(2)/2 + πk/2 och x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Uppgifter för självständig lösning.

1) Lös ekvationen

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Lös ekvationer: sin(3x)= √3/2. Och hitta alla rötter på segmentet [π/2; π].

3) Lös ekvationen: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Lös ekvationen: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lös ekvationen: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lös ekvationen: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)