I. EKONOMISK TEORI

10. Produktionsfunktion. Lagen om avtagande avkastning. skaleffekt

produktionsfunktion är förhållandet mellan en uppsättning produktionsfaktorer och den maximala möjliga volymen av produkt som produceras med denna uppsättning faktorer.

Produktionsfunktionen är alltid konkret, d.v.s. avsedd för denna teknik. Ny teknik - ny produktiv funktion.

Produktionsfunktionen bestämmer den minsta mängd insats som behövs för att producera en given mängd produkt.

Produktionsfunktioner, oavsett vilken typ av produktion de uttrycker, har följande allmänna egenskaper:

1) En ökning av produktionen på grund av ökade kostnader för endast en resurs har en gräns (man kan inte anställa många arbetare i ett rum - alla kommer inte att ha platser).

2) Produktionsfaktorer kan vara komplementära (arbetare och verktyg) och utbytbara (produktionsautomation).

I sin mest allmänna form ser produktionsfunktionen ut så här:

var är volymen av output;
K- kapital (utrustning);
M - råvaror, material;
T - teknik;
N - entreprenöriella förmågor.

Den enklaste är tvåfaktorsmodellen av Cobb-Douglas produktionsfunktion, som avslöjar sambandet mellan arbete (L) och kapital (K). Dessa faktorer är utbytbara och kompletterar varandra.

,

där A är en produktionskoefficient som visar proportionaliteten av alla funktioner och förändringar när grundtekniken förändras (om 30-40 år);

K, L- kapital och arbete;

Elasticitetskoefficienter för produktion för kapital och arbetsinsatser.

Om = 0,25, så ökar en ökning med 1 % av kapitalkostnaderna produktionen med 0,25 %.

Baserat på analysen av elasticitetskoefficienterna i Cobb-Douglas produktionsfunktion kan vi särskilja:
1) en proportionellt ökande produktionsfunktion, när ( ).
2) oproportionerligt - ökande);
3) minskande.

Låt oss betrakta en kort period av ett företags verksamhet, där arbete är variabeln av två faktorer. I en sådan situation kan företaget öka produktionen genom att använda mer arbetskraft. Grafen för Cobb-Douglas produktionsfunktion med en variabel visas i fig. 10,1 (kurva TP n).

På kort sikt gäller lagen om minskande marginalproduktivitet.

Lagen om minskande marginalproduktivitet verkar på kort sikt när en produktionsfaktor förblir oförändrad. Lagens funktion förutsätter ett oförändrat tillstånd av teknik och produktionsteknik, om de senaste uppfinningarna och andra tekniska förbättringar tillämpas i produktionsprocessen, kan en ökning av produktionen uppnås med samma produktionsfaktorer. Det vill säga att tekniska framsteg kan förändra lagens gränser.

Om kapital är en fast faktor och arbete är en variabel faktor, kan företaget öka produktionen genom att anställa mer arbetskraft. Men på lagen om minskande marginalproduktivitet, en konsekvent ökning av en variabel resurs, medan de andra förblir oförändrade, leder till minskande avkastning av denna faktor, det vill säga till en minskning av marginalprodukten eller marginalproduktiviteten för arbetet. Om anställningen av arbetare fortsätter, kommer de i slutändan att störa varandra (marginalproduktiviteten blir negativ) och produktionen kommer att minska.

Arbetskraftens marginalproduktivitet (arbetsmarginalprodukt - MP L) är ökningen av produktionen från varje efterföljande arbetsenhet

de där. produktivitetsökning till total produkt (TP L)

Marginalkapitalprodukten MP K definieras på liknande sätt.

Utifrån lagen om minskad produktivitet, låt oss analysera sambandet mellan total (TP L), genomsnittlig (AP L) och marginalprodukter (MP L) (Fig. 10.1).

Det finns tre stadier i rörelsen av den totala produktkurvan (TP). I steg 1 stiger den i accelererande takt, eftersom marginalprodukten (MP) ökar (varje ny arbetare ger mer produktion än den tidigare) och når ett maximum vid punkt A, det vill säga funktionens tillväxthastighet är maximal . Efter punkt A (steg 2), på grund av lagen om minskande avkastning, faller MP-kurvan, det vill säga att varje anställd arbetare ger en mindre ökning av den totala produkten jämfört med den föregående, så tillväxttakten för TP efter TS saktar ner ner. Men så länge MP är positiv kommer TP fortfarande att öka och toppa vid MP=0.

Ris. 10.1. Dynamik och relation mellan totala medel och marginalprodukter

I steg 3, när antalet arbetare blir överflödiga i förhållande till fast kapital (maskiner), blir MR negativ, så TP börjar minska.

Konfigurationen av medelproduktkurvan AR bestäms också av MP-kurvans dynamik. I steg 1 växer båda kurvorna tills ökningen av produktionen från nyanställda arbetare är större än den genomsnittliga produktiviteten (AP L) för tidigare anställda. Men efter punkt A (max MP), när den fjärde arbetaren lägger till mindre till den totala produkten (TP) än den tredje, minskar MP, så den genomsnittliga produktionen för fyra arbetare minskar också.

skaleffekt

1. Manifesteras i en förändring av långsiktiga genomsnittliga produktionskostnader (LATC).

2. LATC-kurvan är envelopen för företagets lägsta kortsiktiga genomsnittliga kostnad per produktionsenhet (Figur 10.2).

3. Den långsiktiga perioden i företagets verksamhet kännetecknas av en förändring av antalet använda produktionsfaktorer.

Ris. 10.2. Kurva för företagets långsiktiga och genomsnittliga kostnader

LATC:s reaktion på en förändring av parametrarna (skalan) för ett företag kan vara olika (fig. 10.3).

Ris. 10.3. Dynamik för långsiktiga genomsnittliga kostnader

Steg I: positiv effekt av skalan	En ökning av produktionen åtföljs av en minskning av LATC, vilket förklaras av effekten av besparingar (till exempel på grund av fördjupningen av specialiseringen av arbetskraft, användningen av ny teknik, effektiv användning av avfall).
Steg II: ständig återgång till skalan	När volymen förändras förblir kostnaderna oförändrade, det vill säga en ökning av mängden resursanvändning med 10% orsakade en ökning av produktionsvolymerna också med 10%.
Steg III: negativ skaleffekt	En ökning av produktionen (till exempel med 7%) orsakar en ökning av LATC (med 10%). Orsaken till skadorna från skalan kan vara tekniska faktorer (omotiverad gigantisk storlek på företaget), organisatoriska skäl (tillväxt och oflexibilitet i administrations- och ledningsapparaten).

Varje företag, som producerar en viss produkt, strävar efter att uppnå maximal vinst. Problemen i samband med produktion av produkter kan delas in i tre nivåer:

1. En företagare kan ställas inför frågan om hur man producerar en given mängd produkter i ett visst företag. Dessa problem hänför sig till frågorna om kortsiktig minimering av produktionskostnader;
2. företagaren kan besluta om produktionen av det optimala, d.v.s. ger mer vinst, antalet produkter på ett visst företag. Dessa frågor handlar om långsiktig vinstmaximering;
3. entreprenören kan ställas inför uppgiften att ta reda på den mest optimala storleken på företaget. Liknande frågor gäller långsiktig vinstmaximering.

Du kan hitta den optimala lösningen utifrån en analys av sambandet mellan kostnader och produktionsvolym (output). Vinsten bestäms trots allt av skillnaden mellan intäkterna från försäljningen av produkter och alla kostnader. Både intäkter och kostnader beror på produktionsvolymen. Ekonomisk teori använder produktionsfunktionen som ett verktyg för att analysera detta beroende.

Produktionsfunktionen bestämmer den maximala mängden produktion för varje given mängd resurser. Den här funktionen beskriver förhållandet mellan resursinmatning och -utdata, vilket gör att du kan bestämma maximalt möjlig utdata för varje given mängd resurser, eller minsta möjliga mängd resurser för att ge en given utdata. Produktionsfunktionen sammanfattar endast tekniskt effektiva metoder för att kombinera resurser för att säkerställa maximal produktion. Varje förbättring av produktionstekniken som bidrar till en ökning av arbetsproduktiviteten leder till en ny produktionsfunktion.

PRODUKTIONSFUNKTION - en funktion som visar förhållandet mellan den maximala volymen av den producerade produkten och den fysiska volymen av produktionsfaktorer vid en given teknisk kunskapsnivå.

Eftersom produktionsvolymen beror på mängden resurser som används, kan förhållandet mellan dem uttryckas som följande funktionella notation:

Q = f(L,K,M),

där Q är den maximala volymen av produkter som produceras med en given teknik och vissa produktionsfaktorer;
L - arbete; K - kapital; M - material; f är en funktion.

Produktionsfunktionen med denna teknik har egenskaper som bestämmer sambandet mellan produktionsvolymen och antalet faktorer som används. För olika typer av produktion är dock produktionsfunktionerna olika? de har alla gemensamma egenskaper. Två huvudegenskaper kan urskiljas.

1. Det finns en gräns för den produktionsökning som kan uppnås genom att höja kostnaderna för en resurs, allt annat lika. Så i ett företag med ett fast antal maskiner och produktionsanläggningar finns det en gräns för ökningen av produktionen genom att öka antalet anställda, eftersom arbetaren inte kommer att förses med maskiner för arbete.
2. Det finns en viss komplementaritet (fullständighet) av produktionsfaktorer, men utan en minskning av produktionsvolymen är en viss utbytbarhet mellan dessa produktionsfaktorer också trolig. Således kan olika kombinationer av resurser användas för att producera en vara; det är möjligt att producera denna vara genom att använda mindre kapital och mer arbetskraft, och vice versa. I det första fallet anses produktionen vara tekniskt effektiv i jämförelse med det andra fallet. Det finns dock en gräns för hur mycket arbetskraft som kan ersättas av mer kapital utan att minska produktionen. Å andra sidan finns det en gräns för användningen av manuellt arbete utan användning av maskiner.

I grafisk form kan varje typ av produktion representeras av en punkt, vars koordinater kännetecknar de minimiresurser som krävs för produktion av en given produktionsvolym, och produktionsfunktionen kan representeras av en isokvant linje.

Efter att ha övervägt företagets produktionsfunktion, låt oss gå vidare till att karakterisera följande tre viktiga begrepp: total (kumulativ), genomsnittlig och marginalprodukt.

Ris. a) Kurva för den totala produkten (TR); b) kurva för medelprodukt (AP) och marginalprodukt (MP)

På fig. visas kurvan för den totala produkten (TP), som varierar beroende på värdet på den variabla faktorn X. Tre punkter är markerade på TP-kurvan: B är vändpunkten, C är den punkt som hör till tangenten som sammanfaller med linjen som förbinder denna punkt med origo, D – punkt för maximalt TP-värde. Punkt A rör sig längs TP-kurvan. Förbinder vi punkt A med origo, får vi linjen OA. Om vi ​​släpper vinkelrät från punkt A till abskissaxeln får vi triangeln OAM, där tg a är förhållandet mellan sidan AM och OM, d.v.s. uttrycket för medelprodukten (AP).

Genom att dra en tangent genom punkt A får vi vinkeln P, vars tangent kommer att uttrycka marginalprodukten MP. Vid jämförelse av trianglarna LAM och OAM finner vi att upp till en viss punkt är tangenten P större än tg a. Marginalprodukten (MP) är alltså större än genomsnittsprodukten (AR). I det fall då punkt A sammanfaller med punkt B får tangenten P ett maximalt värde och därför når marginalprodukten (MP) den största volymen. Om punkt A sammanfaller med punkt C, så är värdet av medel- och marginalprodukten lika. Marginalprodukten (MP), som har nått sitt maximala värde vid punkt B (fig. 22, b), börjar sjunka och vid punkt C skär den grafen för medelprodukten (AP), som vid denna punkt når sitt maximum värde. Då minskar både marginalprodukten och medelprodukten, men marginalprodukten minskar i snabbare takt. Vid punkten för maximal totalprodukt (TP), marginalprodukt MP = 0.

Vi ser att den mest effektiva förändringen av den variabla faktorn X observeras i segmentet från punkt B till punkt C. Här börjar marginalprodukten (MP), efter att ha nått sitt maximala värde, minska, medelprodukten (AR) fortfarande ökar, får totalprodukten (TR) den största tillväxten.

Produktionsfunktionen är alltså en funktion som låter dig bestämma maximalt möjliga resultat för olika kombinationer och kvantiteter av resurser.

I produktionsteorin används traditionellt en tvåfaktorsproduktionsfunktion, där produktionsvolymen är en funktion av användningen av arbetskraft och kapitalresurser:

Q = f(L, K).

Det kan presenteras som en graf eller kurva. I teorin om producenters beteende, under vissa antaganden, finns det en unik kombination av resurser som minimerar kostnaden för resurser för en given produktionsvolym.

Beräkning av företagets produktionsfunktion är ett sökande efter det optimala, bland många alternativ som involverar olika kombinationer av produktionsfaktorer, en som ger maximalt möjliga resultat. Inför stigande priser och kontantkostnader kan företaget, dvs. kostnaden för att förvärva produktionsfaktorer, är beräkningen av produktionsfunktionen fokuserad på att hitta ett sådant alternativ som skulle maximera vinsten till lägsta kostnad.

Beräkningen av företagets produktionsfunktion, som försöker uppnå en jämvikt mellan marginalkostnad och marginalinkomst, kommer att fokusera på att hitta en sådan variant som ger den erforderliga produktionen till lägsta produktionskostnader. Minimikostnaderna bestäms vid beräkningen av produktionsfunktionen genom substitutionsmetoden, förskjutningen av dyra eller ökade produktionsfaktorer med alternativa, billigare. Substitution utförs med hjälp av en jämförande ekonomisk analys av utbytbara och komplementära produktionsfaktorer till deras marknadspriser. Ett tillfredsställande alternativ skulle vara ett där kombinationen av produktionsfaktorer och en given produktionsvolym uppfyller kriteriet om de lägsta produktionskostnaderna.

Det finns flera typer av produktionsfunktioner. De viktigaste är:

1. Icke-linjär PF;
2. linjär PF;
3. Multiplikativ PF;
4. PF "ingång-utgång".

Produktionsfunktion och val av optimal produktionsstorlek

En produktionsfunktion är förhållandet mellan en uppsättning produktionsfaktorer och den maximala möjliga mängden produkt som produceras av denna uppsättning faktorer.

Produktionsfunktionen är alltid konkret, d.v.s. avsedd för denna teknik. Ny teknik - ny produktiv funktion.

Produktionsfunktionen bestämmer den minsta mängd insats som behövs för att producera en given mängd produkt.

Produktionsfunktioner, oavsett vilken typ av produktion de uttrycker, har följande allmänna egenskaper:

1. En ökning av produktionen på grund av ökade kostnader för endast en resurs har en gräns (du kan inte anställa många arbetare i ett rum - alla kommer inte att ha platser).
2. Produktionsfaktorer kan vara komplementära (arbetare och verktyg) och utbytbara (produktionsautomation).

I sin mest allmänna form ser produktionsfunktionen ut så här:

Q = f(K,L,M,T,N),

där L är volymen av output;
K - kapital (utrustning);
M - råvaror, material;
T - teknik;
N - entreprenöriella förmågor.

Den enklaste är tvåfaktorsmodellen av Cobb-Douglas produktionsfunktion, som avslöjar sambandet mellan arbete (L) och kapital (K). Dessa faktorer är utbytbara och kompletterar varandra.

Q = AK α * L β ,

där A är en produktionskoefficient som visar proportionaliteten av alla funktioner och förändringar när grundtekniken förändras (om 30-40 år);
K, L - kapital och arbete;
α, β är elasticitetskoefficienterna för produktionsvolymen i termer av kapital och arbetskostnader.

Om = 0,25, så ökar en 1% ökning av kapitalkostnaderna produktionen med 0,25%.

Baserat på analysen av elasticitetskoefficienter i Cobb-Douglas produktionsfunktion kan vi särskilja:

1. en proportionellt ökande produktionsfunktion när α + β = 1 (Q = K 0,5 * L 0,2).
2. oproportionerligt - ökande α + β > 1 (Q = K 0,9 * L 0,8);
3. minskande α + β< 1 (Q = K 0,4 * L 0,2).

Den optimala storleken på företag är inte absolut till sin natur och kan därför inte etableras utanför tiden och utanför platsen, eftersom de är olika för olika perioder och ekonomiska regioner.

Den optimala storleken på det planerade företaget bör ge ett minimum av kostnader eller ett maximum av vinst, beräknat med formlerna:

Ts + S + Tp + K * En_ - minimum, P - maximum,

där Tc - kostnaden för leverans av råvaror och material;
C - produktionskostnader, d.v.s. produktionskostnad;
Tp - kostnaden för att leverera färdiga produkter till konsumenterna;
K - kapitalkostnader;
En är den normativa effektivitetskoefficienten;
P är företagets vinst.

Med andra ord, de optimala storlekarna på företag förstås som de som ger målen för planen för produktion och ökning av produktionskapaciteten minus de minskade kostnaderna (med hänsyn tagen till kapitalinvesteringar i relaterade industrier) och maximal möjlig ekonomisk effektivitet.

Problemet med att optimera produktionen och följaktligen svara på frågan om vad som borde vara den optimala storleken på företaget, med all dess skärpa, konfronterade också västerländska entreprenörer, VD för företag och företag.

De som misslyckades med att uppnå den nödvändiga skalan befann sig i den föga avundsvärda positionen som högkostnadsproducenter, dömda att existera på randen av ruin och slutligen konkurs.

Idag vinner dock de amerikanska företag som fortfarande strävar efter att konkurrera genom att spara på koncentrationen snarare än att förlora. Under moderna förhållanden leder detta tillvägagångssätt initialt till en minskning inte bara i flexibilitet utan också i produktionseffektivitet.

Dessutom kommer entreprenörer ihåg att småföretag innebär mindre investeringar och därför mindre ekonomisk risk. När det gäller den rent administrativa sidan av problemet, konstaterar amerikanska forskare att företag med mer än 500 anställda blir dåligt styrda, klumpiga och dåligt lyhörda för nya problem.

Därför gick ett antal amerikanska företag på 60-talet till att minska sina filialer och företag för att avsevärt minska storleken på primärproduktionslänkarna.

Förutom den enkla mekaniska uppdelningen av företag genomför produktionsorganisatörerna en radikal omorganisation inom företagen och bildar lednings- och brigadorganisation. strukturer istället för linjärt-funktionella.

När företagen bestämmer den optimala storleken på företaget använder de konceptet med minsta effektiva storlek. Det är helt enkelt den lägsta produktionsnivån där ett företag kan minimera sin genomsnittliga kostnad på lång sikt.

Produktionsfunktion och val av optimal produktionsstorlek.

Produktion kallas varje mänsklig omvandling av begränsade resurser - material, arbetskraft, naturliga - till färdiga produkter. Produktionsfunktionen kännetecknar förhållandet mellan mängden resurser som används (produktionsfaktorer) och maximalt möjliga resultat som kan uppnås, förutsatt att alla tillgängliga resurser används på det mest rationella sättet.

Produktionsfunktionen har följande egenskaper:

1. Det finns en gräns för ökningen av produktionen som kan uppnås genom att öka en resurs och hålla andra resurser konstanta. Om till exempel mängden arbetskraft inom jordbruket ökar med konstanta mängder kapital och mark, så kommer det förr eller senare en punkt då produktionen slutar växa.
2. Resurser kompletterar varandra, men inom vissa gränser är deras utbytbarhet också möjlig utan att minska produktionen. Manuellt arbete kan till exempel ersättas med användning av fler maskiner och vice versa.
3. Ju längre tidsperiod, desto fler resurser kan ses över. I detta avseende finns det omedelbara, korta och långa perioder. Instant period - perioden då alla resurser är fixerade. En kort period är en period då minst en resurs är fixerad. Den långa perioden är den period då alla resurser är variabla.

Vanligtvis inom mikroekonomi analyseras en tvåfaktorsproduktionsfunktion, vilket återspeglar beroendet av produktion (q) på mängden arbetskraft som används ( L) och kapital ( K). Kom ihåg att kapital avser produktionsmedlen, dvs. antalet maskiner och utrustning som används i produktionen, mätt i maskintimmar. I sin tur mäts arbetsmängden i mantimmar.

Som regel ser den övervägda produktionsfunktionen ut så här:

q = AK aLp

A, α, β - givna parametrar. Parameter A är koefficienten för produktionsfaktorernas totala produktivitet. Det återspeglar inverkan av tekniska framsteg på produktionen: om tillverkaren introducerar avancerad teknik ökar värdet av A, dvs produktionen ökar med samma mängd arbete och kapital. Parametrarna α och β är elasticitetskoefficienterna för produktionen med avseende på kapital respektive arbete. De visar med andra ord den procentuella förändringen av produktionen när kapitalet (arbetskraften) förändras med en procent. Dessa koefficienter är positiva, men mindre än enhet. Det senare innebär att med tillväxten av arbete med konstant kapital (eller kapital med konstant arbete) med en procent ökar produktionen i mindre utsträckning.

Att bygga en isokvant

Ovanstående produktionsfunktion säger att producenten kan ersätta arbete med kapital och kapital med arbete, och lämna produktionen oförändrad. Till exempel inom jordbruket i utvecklade länder är arbetskraften starkt mekaniserad, d.v.s. det finns många maskiner (kapital) för en arbetare. Tvärtom, i utvecklingsländer uppnås samma produktion genom en stor mängd arbetskraft med lite kapital. Detta gör att du kan bygga en isokvant (Fig. 8.1).

Isokvanten (linje av lika produkt) speglar alla kombinationer av två produktionsfaktorer (arbete och kapital) där produktionen förblir oförändrad. På fig. 8.1 bredvid isokvanten är frisättningen som motsvarar den. Ja, släpp q 1, uppnåeligt med hjälp av L1 arbetskraft och K1 kapital eller använda L 2 arbetskraft och K 2 huvudstad.

Ris. 8.1. isokvant

Andra kombinationer av mängden arbetskraft och kapital som krävs för att uppnå en given produktion är också möjliga.

Alla kombinationer av resurser som motsvarar denna isokvant återspeglar tekniskt effektiva produktionsmetoder. Produktionsmetod A är tekniskt effektiv jämfört med metod B om den kräver användning av minst en resurs i mindre mängd, och alla andra inte i stora mängder jämfört med metod B. Följaktligen är metod B tekniskt ineffektiv jämfört med A. Tekniskt sett ineffektiva produktionssätt används inte av rationella entreprenörer och tillhör inte produktionsfunktionen.

Det följer av ovanstående att en isokvant inte kan ha en positiv lutning, som visas i fig. 8.2.

Segmentet markerat med en prickad linje återspeglar alla tekniskt ineffektiva produktionsmetoder. I synnerhet, i jämförelse med metod A, metod B för att säkerställa samma resultat ( q 1) kräver samma mängd kapital men mer arbetskraft. Det är därför uppenbart att sättet B inte är rationellt och inte kan tas i beaktande.

Baserat på isokvanten är det möjligt att bestämma marginalgraden för teknisk ersättning.

Marginalgraden för teknisk ersättning av faktor Y med faktor X (MRTS XY) är storleken på faktorn Y(till exempel kapital), som kan överges genom att öka faktorn X(till exempel arbetskraft) med 1 enhet så att produktionen inte ändras (vi förblir på samma isokvant).

Ris. 8.2. Tekniskt effektiv och ineffektiv produktion

Följaktligen beräknas den marginala satsen för teknisk ersättning av kapital med arbete med formeln
För oändligt små förändringar i L och K är det
Sålunda är marginalhastigheten för teknisk ersättning derivatan av den isokvanta funktionen vid en given punkt. Geometriskt är det isokvantens lutning (Fig. 8.3).

Ris. 8.3. Marginalgraden för tekniskt utbyte

När man rör sig från topp till botten längs isokvanten, minskar den marginella hastigheten för teknisk ersättning hela tiden, vilket framgår av den minskande lutningen på isokvanten.

Om producenten ökar både arbete och kapital, så tillåter detta honom att uppnå en högre produktion, d.v.s. flytta till en högre isokvant (q2). En isokvant placerad till höger och ovanför den föregående motsvarar en större utdata. Uppsättningen av isokvanter bildar en isokvantkarta (Fig. 8.4).

Ris. 8.4. Isoquant karta

Specialfall av isokvanter

Kom ihåg att de givna isokvanterna motsvarar en produktionsfunktion av formen q = AK aLp. Men det finns andra produktionsfunktioner. Låt oss överväga fallet när det finns en perfekt substitution av produktionsfaktorer. Låt oss till exempel anta att duktiga och okvalificerade lastare kan användas i lagerarbete, och produktiviteten för en skicklig lastare är N gånger högre än för en okvalificerad. Det innebär att vi kan byta ut hur många duktiga flyttare som helst med okvalificerade flyttare N till en. Omvänt kan man ersätta N okvalificerade lastare med en kvalificerad.

Produktionsfunktionen ser då ut så här: q = axe + by, var x- antalet kvalificerade arbetstagare, y- antalet okvalificerade arbetare, a och b- Konstanta parametrar som återspeglar produktiviteten hos en utbildad respektive en okvalificerad arbetare. Förhållandet mellan koefficienterna a och b är den marginella graden av teknisk ersättning av okvalificerade flyttare med kvalificerade. Den är konstant och lika med N: MRTSxy=a/b=N.

Låt till exempel en kvalificerad lastare kunna bearbeta 3 ton last per tidsenhet (detta kommer att vara koefficienten a i produktionsfunktionen), och en outbildad - endast 1 ton (koefficient b). Detta innebär att arbetsgivaren kan vägra tre okvalificerade lastare, och dessutom anlita en kvalificerad lastare, så att effekten (den totala vikten av den hanterade lasten) förblir densamma.

Isokvanten är i detta fall linjär (Fig. 8.5).

Ris. 8.5. Isokvant under perfekt substitution av faktorer

Tangensen för isokvantens lutning är lika med marginalgraden för teknisk ersättning av okvalificerade flyttare med kvalificerade.

En annan produktionsfunktion är Leontief-funktionen. Det förutsätter en stel komplementaritet av produktionsfaktorer. Detta innebär att faktorerna endast kan användas i en strikt definierad proportion, vars kränkning är tekniskt omöjlig. Till exempel kan en flygflygning utföras normalt med minst ett flygplan och fem besättningsmedlemmar. Samtidigt är det omöjligt att öka antalet flygtimmar (kapitalet) samtidigt som man minskar antalet mantimmar (arbete) och vice versa, och att hålla produktionen oförändrad. Isokvanter har i detta fall formen av räta vinklar, d.v.s. marginalnivåerna för teknisk ersättning är noll (fig. 8.6). Samtidigt är det möjligt att öka produktionen (antalet flygningar) genom att öka både arbetskraft och kapital i samma proportion. Grafiskt innebär detta att man flyttar till en högre isokvant.

Ris. 8.6. Isokvanter vid stel komplementaritet mellan produktionsfaktorer

Analytiskt har en sådan produktionsfunktion formen: q = min (aK; bL), där a och b är konstanta koefficienter som speglar produktiviteten hos kapital respektive arbete. Förhållandet mellan dessa koefficienter bestämmer andelen kapital- och arbetskraftsanvändning.

I vårt flygexempel ser produktionsfunktionen ut så här: q = min(1K; 0,2L). Faktum är att kapitalets produktivitet här är en flygning för ett flygplan, och arbetsproduktiviteten är en flygning för fem personer, eller 0,2 flygningar för en person. Om ett flygbolag har en flotta på 10 flygplan och 40 flygpersonal, kommer dess maximala produktion att vara: q = min( 1 x 8; 0,2 x 40) = 8 flygningar. Samtidigt kommer två flygplan att stå stilla på marken på grund av personalbrist.

Låt oss slutligen titta på produktionsfunktionen, som antar att det finns ett begränsat antal produktionsteknologier för produktion av en given mängd produktion. Var och en av dem motsvarar ett visst tillstånd av arbete och kapital. Som ett resultat har vi ett antal referenspunkter i "arbetskapital"-utrymmet, som förbinder vilka vi får en bruten isokvant (Fig. 8.7).

Ris. 8.7. Brutna isokvanter i närvaro av ett begränsat antal produktionsmetoder

Figuren visar att produktionen av q1 kan erhållas med fyra kombinationer av arbete och kapital, motsvarande punkterna A, B, C och D. Mellanliggande kombinationer är också möjliga, möjliga i de fall där två teknologier används tillsammans för att få en viss summa utgång. Som alltid, genom att öka mängden arbete och kapital, går vi till en högre isokvant.

produktionsfunktioner kallas ekonomisk-matematiska modeller som kopplar samman rörliga kostnader med outputvärden. Begreppen "kostnader" och "output" är som regel relaterade till produktionsprocessen; detta förklarar ursprunget till namnet på denna typ av modeller. Om ekonomin i en region eller ett land som helhet beaktas, utvecklas aggregerade produktionsfunktioner, där produktionen är en indikator på den totala sociala produkten. Särskilda fall av produktionsfunktioner är släpp funktioner (produktionsvolymens beroende av tillgången eller förbrukningen av resurser), kostnadsfunktioner (förhållandet mellan produktionsvolymen och produktionskostnaderna), kapitalkostnadsfunktioner (kapitalinvesteringars beroende av produktionskapaciteten hos de företag som skapas) etc.

Multiplikativa former av representation av produktionsfunktioner används i stor utsträckning. I sin mest allmänna form skrivs den multiplikativa produktionsfunktionen på följande sätt:

Här koefficienten MEN bestämmer storleken på kvantiteter och beror på de valda måttenheterna för kostnader och produktion. Faktorer X i representerar påverkande faktorer och kan ha olika ekonomiskt innehåll beroende på vilka faktorer som påverkar produktionen R. Effektparametrarna α, β, ..., γ visar andelen i tillväxten av slutprodukten som var och en av faktorerna bidrar med; de kallas prodmed avseende på kostnader av motsvarande resurs och visa med hur många procent produktionen ökar med en ökning av kostnaden för denna resurs med en procent.

Summan av elasticitetskoefficienter är viktig för att karakterisera produktionsfunktionens egenskaper. Antag att kostnaderna för alla typer av resurser ökar k en gång. Då blir värdet på utgången i enlighet med (7.16).

Därför, om , då med en ökning av kostnaderna i till gånger utgången ökar också in k en gång; produktionsfunktionen i detta fall är linjärt homogen. På E > 1 samma kostnadsökning kommer att leda till en ökning av produktionen med mer än till tider och kl E < 1 – менее чем в till gånger (den så kallade skaleffekten).

Ett exempel på multiplikativa produktionsfunktioner är den välkända Cobb-Douglas produktionsfunktionen:

N - nationalinkomst;

MEN – Dimensionskoefficient.

L, K - volymen av tillämpad arbetskraft respektive fast kapital;

α och β är elasticitetskoefficienter för nationalinkomsten mot arbete L och kapital TILL.

Denna funktion användes av amerikanska forskare i analysen av utvecklingen av den amerikanska ekonomin på 30-talet av förra seklet.

Effektiviteten i resursanvändningen kännetecknas av två huvudindikatorer: medel (absolut ) effektivitet resurs

och marginell effektivitet resurs

Den ekonomiska innebörden av μi är uppenbar; beroende på typ av resurs karaktäriserar den sådana indikatorer som arbetsproduktivitet, kapitalproduktivitet etc. Värdet v i visar den marginella ökningen av produktproduktionen med en ökning av kostnaden för den i:te resursen med en "liten enhet" (med 1 rubel, med 1 standardtimme, etc.).

Många poäng n -dimensionellt utrymme för produktionsfaktorer (resurser) som uppfyller villkoret för produktionskonstans R (X ) = C, kallad isokvant. De viktigaste egenskaperna hos isokvanter är följande: isokvanter skär inte varandra; ett större utdatavärde motsvarar en isokvant som är mer avlägsen från koordinaternas ursprung; om alla resurser är absolut nödvändiga för produktion, så har isokvanter inga gemensamma punkter med koordinathyperplan och koordinataxlar.

Inom materialproduktion är begreppet utbytbarhet av resurser. I teorin om produktionsfunktioner kännetecknar möjligheterna till substitution av resurser produktionsfunktionen i termer av olika kombinationer av insatser av resurser som leder till samma produktionsnivå. Låt oss förklara detta med ett hypotetiskt exempel. Låt produktionen av en viss mängd jordbruksprodukter kräva 10 arbetare och 2 ton gödselmedel, och om bara 1 ton gödsel tillförs jorden, kommer det att krävas 12 arbetare för att få samma skörd. Här ersätts 1 ton gödselmedel (den första resursen) med två arbetares arbete (den andra resursen).

Förutsättningarna för likvärdig utbytbarhet av resurser någon gång följer av jämlikheten dP = 0:

Härifrån marginell substitutionsgrad (motsvarande utbytbarhet) av två valfria resurser k och l ges av formeln

(7.20)

Den marginala substitutionsgraden som en indikator på produktionsfunktionen kännetecknar den relativa effektiviteten av utbytbara produktionsfaktorer när de rör sig längs isokvanten. Till exempel, för Cobb-Douglas-funktionen, är marginalgraden för ersättning av arbetskostnader med kapitalkostnader, dvs. produktionstillgångar har formen

(7.21)

Minustecknet i de högra delarna av formlerna (7.20) och (7.21) betyder att vid en fast produktionsvolym motsvarar en ökning av en av de utbytbara resurserna en minskning av den andra.

Exempel 7.1. Betrakta ett exempel på Cobb-Douglas produktionsfunktion, för vilken koefficienterna för produktionselasticitet för arbete och kapital är kända: α = 0,3; β = 0,7, samt arbets- och kapitalkostnader: L = 30 tusen människor; Till = 490 miljoner rubel. Under dessa förhållanden är marginalen för ersättning av produktionstillgångar med arbetskostnader lika med

Således, i detta villkorade exempel, vid de punkter i det tvådimensionella rummet ( L, K ), där arbetskraft och kapitalresurser är utbytbara, en minskning av produktionstillgångarna med 7 tusen rubel. kan kompenseras av en ökning av arbetskostnaderna per person och vice versa.

Relaterat till begreppet marginalsubstitution är begreppet resurssubstitutions elasticitet. Substitutionens elasticitetskoefficient kännetecknar förhållandet mellan den relativa förändringen i förhållandet mellan resurskostnaderna k och l till en relativ förändring i marginalsubstitutionsgraden för dessa resurser:

Denna koefficient visar med vilken procentandel förhållandet mellan utbytbara resurser måste ändras för att marginalersättningsgraden för dessa resurser ska ändras med 1 %. Ju högre elasticitet resurssubstitution har, desto mer allmänt kan de ersätta varandra. Med oändlig elasticitet () finns det inga gränser för utbytbarheten av resurser. Med noll elasticitet för substitution () finns det ingen möjlighet till ersättning; i detta fall kompletterar resurserna varandra och måste användas i ett visst förhållande.

Tänk, förutom Cobb-Douglas-funktionen, några andra produktionsfunktioner som ofta används som ekonometriska modeller. Linjär produktionsfunktion har formen

är modellens uppskattade parametrar;

, - produktionsfaktorer, ömsesidigt utbytbara i alla proportioner (substitutionens elasticitet).

Isokvanterna för denna produktionsfunktion bildar en familj av parallella hyperplan i en icke-negativ orthant n -dimensionellt utrymme av faktorer.

Många studier använder produktionen fungerar med konstant substitutionselasticitet.

(7.23)

Produktionsfunktionen (7.23) är en homogen funktion av graden P. Alla elasticiteter för substitution av resurser är lika med varandra:

Därför kallas denna funktion funktion med konstant substitutionselasticitet (CES funktion ). Om , substitutionselasticiteten är mindre än en; om , värdet är större än ett; när , omvandlas CES-funktionen till en multiplikativ kraftproduktionsfunktion (7.16).

Tvåfaktorsfunktion CES har formen

På n = 1 och p = 0, omvandlas denna funktion till en funktion av typen av Cobb-Douglas-funktionen (7.17).

Förutom produktionsfunktioner med konstanta elasticitetskoefficienter för produktion från resurser och konstant elasticitet för resurssubstitution, används också mer generella funktioner i ekonomisk analys och prognoser. Ett exempel är funktionen

Denna funktion skiljer sig från Cobb-Douglas-funktionen genom faktorn , där z = K/L- kapital-arbetsförhållande (kapital-arbetsförhållande) för arbete, och i det får substitutionselasticiteten olika värden beroende på nivån på kapital-arbetsförhållandet. I detta avseende tillhör denna funktion typen produktionsfunktioner med variabel substitutionselasticitet (VES-funktioner ).

Låt oss övergå till övervägandet av ett antal frågor om den praktiska användningen av produktionsfunktioner i ekonomin.

kemisk analys. Makroekonomiska produktionsfunktioner används som ett verktyg för att prognostisera volymen av bruttoproduktion, slutprodukt och nationalinkomst, för att analysera produktionsfaktorernas jämförande effektivitet. En viktig förutsättning för tillväxten av produktion och arbetsproduktivitet är således en ökning av arbetskraftens kapital-arbetsförhållande. Om för Cobb-Douglas-funktionen

ställ in villkoret för linjär homogenitet, sedan från förhållandet mellan arbetsproduktivitet ( P/L ) och kapital-arbetsgrad ( K/L )

(7.24)

det följer att arbetsproduktiviteten växer långsammare än kapital-arbetskvoten, eftersom . Denna slutsats, liksom många andra resultat av analys baserade på produktionsfunktioner, är alltid giltig för statiska produktionsfunktioner som inte tar hänsyn till förbättringen av tekniska arbetsmedel och de kvalitativa egenskaperna hos de använda resurserna, d.v.s. oavsett tekniska framsteg. För att uppskatta parametrarna för modellen (7.24) linjäriseras den genom att ta en logaritm:

Tillsammans med en kvantitativ ökning av mängden resurser som används (arbetsresurser, produktionstillgångar, etc.) är den viktigaste faktorn för tillväxten av produktionen vetenskapliga och tekniska framsteg, som består i att förbättra tekniska medel och teknik, förbättra kompetensen hos arbetare och förbättra organisationen av produktionsledning. Statiska ekonometriska modeller, inklusive statiska produktionsfunktioner, tar inte hänsyn till faktorn för tekniska framsteg; därför används dynamiska makroekonomiska produktionsfunktioner, vars parametrar bestäms av bearbetningstidsserier. Tekniska framsteg återspeglas vanligtvis i produktionsfunktioner i form av en tidsberoende trend i produktionens utveckling.

Till exempel tar Cobb-Douglas-funktionen, med hänsyn till den tekniska framstegsfaktorn, följande form:

I modell (7.25) speglar faktorn trenden i produktionsutvecklingen i samband med vetenskapliga och tekniska framsteg. I denna multiplikator t - tid, och λ - tillväxttakten för produktionen på grund av tekniska framsteg. I den praktiska användningen av modellen (7.25), för att uppskatta dess parametrar, utförs linearisering genom att ta logaritmer, på samma sätt som modellen (7.24):

Det bör särskilt noteras att när man konstruerar produktionsfunktioner, som för alla multifaktoriella ekonometriska modeller, är en mycket viktig punkt det korrekta valet av påverkande faktorer. I synnerhet är det nödvändigt att bli av med fenomenen med multikollinearitet av faktorer och fenomenen autokorrelation inom var och en av dem. Denna fråga beskrivs i detalj i avsnitt 7.1 i detta kapitel. Vid uppskattning av parametrarna för produktionsfunktioner baserat på statistiska observationer, inklusive tidsserier, är huvudmetoden minsta kvadratmetoden.

Överväg tillämpningen av produktionsfunktioner för ekonomisk analys och prognoser på ett villkorat exempel från arbetsekonomins område.

Exempel 7.2. Låt industrins produktion kännetecknas av en produktionsfunktion av typen Cobb-Douglas:

R - volymen av produktionen (miljoner rubel);

T - antalet anställda i branschen (tusen personer);

F - den genomsnittliga årliga kostnaden för fasta produktionstillgångar (miljoner rubel).

Antag att parametrarna för denna produktionsfunktion är kända och lika: a = 0,3; p = 0,7; dimensionsfaktor A = = 0,6 (tusen rubel/person) 0,3. Värdet av den genomsnittliga årliga kostnaden för fasta produktionstillgångar är också känt F = 900 miljoner rubel. Dessa villkor kräver:

• 1) bestämma antalet industrianställda som krävs för att producera produkter till ett belopp av 300 miljoner rubel;
• 2) ta reda på hur produktionen kommer att förändras med en ökning av antalet anställda med 1 % och samma volymer av produktionstillgångar;
• 3) utvärdera utbytbarheten av materiella och arbetskraftsresurser.

För att svara på frågan om den första uppgiften lineariserar vi denna produktionsfunktion genom att ta logaritmen i naturlig bas;

varifrån följer det

Genom att ersätta de ursprungliga uppgifterna får vi

Därför (tusen människor).

Låt oss överväga den andra uppgiften. Eftersom denna produktionsfunktion är linjärt homogen; i enlighet med detta är AIR-koefficienterna koefficienterna för outputelasticitet för arbete respektive fonder. En ökning av antalet anställda i branschen med 1 % med en konstant volym av produktionstillgångar kommer följaktligen att leda till en ökning av produktionen med 0,3 %, d.v.s. emissionen kommer att uppgå till 300,9 miljoner rubel.

När vi vänder oss till den tredje uppgiften, beräknar vi marginalen för ersättning av produktionstillgångar med arbetskraftsresurser. Enligt formel (7.21)

Sålunda, med förbehåll för utbytbarheten av resurser för att säkerställa produktionens konstanthet (dvs. när man rör sig längs isokvanten), en minskning av industrins produktionstillgångar med 3,08 tusen rubel. kan kompenseras genom en ökning av arbetskraftsresurserna med 1 person och vice versa.

Den kännetecknar förhållandet mellan mängden resurser som används () och maximalt möjliga resultat som kan uppnås förutsatt att alla tillgängliga resurser används på det mest rationella sättet.

Produktionsfunktionen har följande egenskaper:

1. Det finns en gräns för ökningen av produktionen som kan uppnås genom att öka en resurs och hålla andra resurser konstanta. Om till exempel mängden arbetskraft inom jordbruket ökar med konstanta mängder kapital och mark, så kommer det förr eller senare en punkt då produktionen slutar växa.

2. Resurser kompletterar varandra, men inom vissa gränser är deras utbytbarhet också möjlig utan att minska produktionen. Manuellt arbete kan till exempel ersättas med användning av fler maskiner och vice versa.

3. Ju längre tidsperiod, desto fler resurser kan ses över. I detta avseende finns det omedelbara, korta och långa perioder. Omedelbar period - den period då alla resurser är fixerade. kort period— Den period då minst en resurs är fastställd. En lång period - period då alla resurser är variabla.

Vanligtvis inom mikroekonomi analyseras en tvåfaktorsproduktionsfunktion, vilket återspeglar beroendet av produktion (q) på mängden arbetskraft () och kapital () som används. Kom ihåg att kapital avser produktionsmedlen, dvs. antalet maskiner och utrustning som används i produktionen och mätt i maskintimmar (ämne 2, avsnitt 2.2). I sin tur mäts arbetsmängden i mantimmar.

Som regel ser den övervägda produktionsfunktionen ut så här:

A, α, β är givna parametrar. Parameter MENär koefficienten för total faktorproduktivitet. Det återspeglar effekten av tekniska framsteg på produktionen: om tillverkaren introducerar avancerad teknik, värdet MENökar, d.v.s. produktionen ökar med samma mängd arbete och kapital. alternativ α och β är elasticitetskoefficienterna för produktionen med avseende på kapital respektive arbete. De visar med andra ord den procentuella förändringen av produktionen när kapitalet (arbetskraften) förändras med en procent. Dessa koefficienter är positiva, men mindre än enhet. Det senare innebär att med tillväxten av arbete med konstant kapital (eller kapital med konstant arbete) med en procent ökar produktionen i mindre utsträckning.

Att bygga en isokvant

Den givna produktionsfunktionen säger att producenten kan ersätta arbete med kapten och kapital med arbete, och lämna produktionen oförändrad. Till exempel inom jordbruket i utvecklade länder är arbetskraften starkt mekaniserad, d.v.s. det finns många maskiner (kapital) för en arbetare. Tvärtom, i utvecklingsländer uppnås samma produktion genom en stor mängd arbetskraft med lite kapital. Detta gör att du kan bygga en isokvant (Fig. 8.1).

isokvant(linje av lika produkt) speglar alla kombinationer av två produktionsfaktorer (arbete och kapital), där produktionen förblir oförändrad. På fig. 8.1 bredvid isokvanten är frisättningen som motsvarar den. Sålunda kan produktionen uppnås med hjälp av arbete och kapital, eller med hjälp av arbete och kapten.

Ris. 8.1. isokvant

Andra kombinationer av mängden arbetskraft och kapital som krävs för att uppnå en given produktion är också möjliga.

Alla kombinationer av resurser som motsvarar en given isokvant reflekterar tekniskt effektiv produktionsmetoder. Produktionssätt Aär tekniskt effektiv i jämförelse med metoden PÅ, om det kräver användning av minst en resurs i en mindre mängd, och alla andra inte i stora mängder i jämförelse med metoden PÅ. Följaktligen, metoden PÅär tekniskt ineffektivt jämfört med MEN. Tekniskt ineffektiva produktionssätt används inte av rationella entreprenörer och tillhör inte produktionsfunktionen.

Det följer av ovanstående att en isokvant inte kan ha en positiv lutning, som visas i fig. 8.2.

Segmentet markerat med en prickad linje återspeglar alla tekniskt ineffektiva produktionsmetoder. I synnerhet i jämförelse med metoden MEN sätt PÅ för att säkerställa samma produktion () krävs samma mängd kapital, men mer arbetskraft. Det är därför uppenbart att vägen Bär inte rationellt och kan inte beaktas.

Baserat på isokvanten är det möjligt att bestämma marginalgraden för teknisk ersättning.

Marginalfrekvens för tekniskt utbyte av faktor Y med faktor X (MRTS XY)- detta är mängden av en faktor (till exempel kapital), som kan överges när faktorn (till exempel arbete) ökas med 1 enhet, så att produktionen inte ändras (vi förblir på samma isokvant).

Ris. 8.2. Tekniskt effektiv och ineffektiv produktion

Följaktligen beräknas den marginala satsen för teknisk ersättning av kapital med arbete med formeln

Med oändliga förändringar L och K hon är

Sålunda är marginalhastigheten för teknisk ersättning derivatan av den isokvanta funktionen vid en given punkt. Geometriskt är det isokvantens lutning (Fig. 8.3).

Ris. 8.3. Marginalgraden för tekniskt utbyte

När man rör sig från topp till botten längs isokvanten, minskar den marginella hastigheten för teknisk ersättning hela tiden, vilket framgår av den minskande lutningen på isokvanten.

Om producenten ökar både arbete och kapital, så tillåter detta honom att uppnå en högre produktion, d.v.s. flytta till en högre isokvant (q 2). En isokvant placerad till höger och ovanför den föregående motsvarar en större utdata. Uppsättningen av isokvanter bildas isokvant karta(Fig. 8.4).

Ris. 8.4. Isoquant karta

Specialfall av isokvanter

Kom ihåg att de givna motsvarar en produktionsfunktion av formen. Men det finns andra produktionsfunktioner. Låt oss överväga fallet när det finns en perfekt substitution av produktionsfaktorer. Låt oss till exempel anta att skickliga och okvalificerade lastare kan användas i lagerarbete, och produktiviteten hos en skicklig lastare i N gånger högre än de okvalificerade. Det innebär att vi kan ersätta valfritt antal kvalificerade flyttare med okvalificerade i förhållandet N till en. Omvänt kan man ersätta N okvalificerade lastare med en kvalificerad.

Produktionsfunktionen i detta fall har formen: var är antalet kvalificerade arbetare, är antalet okvalificerade arbetare, a och b- Konstanta parametrar som återspeglar produktiviteten hos en utbildad respektive en okvalificerad arbetare. Koefficientförhållande a och b- Den marginella andelen tekniska ersättningar av okvalificerade flyttare med kvalificerade. Den är konstant och lika N: MRTSxy= a/b = N.

Låt till exempel en kvalificerad lastare kunna bearbeta 3 ton last per tidsenhet (detta kommer att vara koefficienten a i produktionsfunktionen), och en outbildad - endast 1 ton (koefficient b). Detta innebär att arbetsgivaren kan vägra tre okvalificerade lastare, och dessutom anlita en kvalificerad lastare, så att effekten (den totala vikten av den hanterade lasten) förblir densamma.

Isokvanten är i detta fall linjär (Fig. 8.5).

Ris. 8.5. Isokvant under perfekt substitution av faktorer

Tangensen för isokvantens lutning är lika med marginalgraden för teknisk ersättning av okvalificerade flyttare med kvalificerade.

En annan produktionsfunktion är Leontief-funktionen. Det förutsätter en stel komplementaritet av produktionsfaktorer. Detta innebär att faktorerna endast kan användas i en strikt definierad proportion, vars kränkning är tekniskt omöjlig. Till exempel kan en flygflygning utföras normalt med minst ett flygplan och fem besättningsmedlemmar. Samtidigt är det omöjligt att öka antalet flygtimmar (kapitalet) samtidigt som man minskar antalet mantimmar (arbete) och vice versa, och att hålla produktionen oförändrad. Isokvanter har i detta fall formen av räta vinklar, d.v.s. marginalnivåerna för teknisk ersättning är noll (fig. 8.6). Samtidigt är det möjligt att öka produktionen (antalet flygningar) genom att öka både arbetskraft och kapital i samma proportion. Grafiskt innebär detta att man flyttar till en högre isokvant.

Ris. 8.6. Isokvanter vid stel komplementaritet mellan produktionsfaktorer

Analytiskt har en sådan produktionsfunktion formen: q =min (aK; bL), var a och bär konstanta koefficienter som återspeglar produktiviteten hos kapital respektive arbete. Förhållandet mellan dessa koefficienter bestämmer andelen kapital- och arbetskraftsanvändning.

I vårt flygexempel ser produktionsfunktionen ut så här: q = min(1K; 0,2L). Faktum är att kapitalets produktivitet här är en flygning för ett plan, och arbetsproduktiviteten är en flygning för fem personer, eller 0,2 flygningar för en person. Om ett flygbolag har en flotta på 10 flygplan och 40 flygpersonal, kommer dess maximala produktion att vara: q = min( 1 x 8; 0,2 x 40) = 8 flygningar. Samtidigt kommer två flygplan att stå stilla på marken på grund av personalbrist.

Låt oss slutligen titta på produktionsfunktionen, som antar att det finns ett begränsat antal produktionsteknologier för produktion av en given mängd produktion. Var och en av dem motsvarar ett visst tillstånd av arbete och kapital. Som ett resultat har vi ett antal referenspunkter i "arbetskapital"-utrymmet, som förbinder vilka vi får en bruten isokvant (Fig. 8.7).

Ris. 8.7. Brutna isokvanter i närvaro av ett begränsat antal produktionsmetoder

Figuren visar att utgången i volymen q 1 kan erhållas med fyra kombinationer av arbete och kapital som motsvarar poängen A, B, C och D. Mellanliggande kombinationer är också möjliga, möjliga när ett företag använder två teknologier tillsammans för att erhålla en viss aggregerad produktion. Som alltid, genom att öka mängden arbete och kapital, går vi till en högre isokvant.

Tillverkning kan inte skapa produkter ur ingenting. Produktionsprocessen är förknippad med förbrukningen av olika resurser. Antalet resurser inkluderar allt som är nödvändigt för produktionsverksamheten - råvaror, energi, arbetskraft, utrustning och utrymme. För att beskriva ett företags beteende är det nödvändigt att veta hur mycket av en produkt den kan producera med resurser i olika volymer. Vi kommer att utgå från antagandet att företaget producerar en homogen produkt, vars mängd mäts i naturliga enheter - ton, bitar, meter etc. Beroendet av mängden produkt som ett företag kan producera på volymen av resurskostnader kallas produktionsfunktion.

Övervägandet av begreppet "produktionsfunktion" kommer att börja med det enklaste fallet, när produktionen endast beror på en faktor. I detta fall produktionsfunktionen - detta är en funktion, vars oberoende variabel tar värdena för den använda resursen (produktionsfaktor), och den beroende variabeln - värdena för volymen av output y=f(x).

I denna formel är y en funktion av en variabel x. I detta avseende kallas produktionsfunktionen (PF) enresurs eller enfaktor. Dess definitionsdomän är uppsättningen av icke-negativa reella tal. Symbolen f är en egenskap hos produktionssystemet som omvandlar en resurs till en produktion.

Exempel 1. Ta produktionsfunktionen f i formen f(x)=ax b , där x är värdet av den förbrukade resursen (till exempel arbetstimmar), f(x) är volymen av produktionen (till exempel antalet kylskåp redo för leverans). Värdena a och b är parametrar för produktionsfunktionen f. Här är a och b positiva tal och talet b1, parametervektorn är en tvådimensionell vektor (a,b). Produktionsfunktionen y=ax b är en typisk representant för en bred klass av enfaktors PF.

Ris. ett.

Grafen visar att med ökningen av värdet på den förbrukade resursen växer y. Men samtidigt ger varje ytterligare enhet av resursen en allt mindre ökning av volymen y av output. Den noterade omständigheten (en ökning av volymen av y och en minskning av ökningen av volymen av y med en ökning av värdet av x) återspeglar den grundläggande positionen för ekonomisk teori (väl bekräftad av praktiken), kallad lagen om avtagande effektivitet (minskande produktivitet eller minskad avkastning).

PF kan ha olika användningsområden. Input-output-principen kan implementeras både på mikro- och makroekonomisk nivå. Låt oss fokusera på den mikroekonomiska nivån först. PF y=ax b, diskuterad ovan, kan användas för att beskriva förhållandet mellan värdet av den använda eller använda resursen x under året i ett separat företag (företag) och den årliga produktionen för detta företag (företag). Produktionssystemets roll här spelas av ett separat företag (företag) - vi har en mikroekonomisk PF (MIPF). På mikroekonomisk nivå kan en industri, ett intersektoriellt produktionskomplex, också fungera som ett produktionssystem. MIPF byggs och används främst för att lösa problem med analys och planering, samt prognostiseringsproblem.

PF kan användas för att beskriva förhållandet mellan de årliga arbetskostnaderna för en region eller ett land som helhet och den årliga slutliga produktionen (eller inkomsten) för regionen eller landet som helhet. Här fungerar en region eller ett land som helhet som ett produktionssystem – vi har en makroekonomisk nivå och en makroekonomisk PF (MAPF). MAFF byggs och används aktivt för att lösa alla tre typer av problem (analys, planering och prognoser).

Vi övergår nu till övervägandet av produktionsfunktioner för flera variabler.

Produktionsfunktion av flera variablerär en funktion vars oberoende variabler tar värdena för volymerna av resurser som spenderas eller används (antalet variabler n är lika med antalet resurser), och värdet av funktionen har betydelsen av utdatavärdena volymer:

y=f(x)=f(x 1,…,х n).

I formeln är y (y0) en skalär, och x är en vektorkvantitet, x 1 ,...,x n är koordinaterna för vektorn x, det vill säga f(x 1 ,...,x n) är en numerisk funktion av flera variabler x 1 ,...,x n. I detta avseende kallas PF f(x 1 ,…,х n) multiresurs eller multifaktoriell. Mer korrekt är en sådan symbolik f(x 1 ,…, x n ,a), där a är vektorn för PF-parametrar.

Enligt ekonomisk mening är alla variabler för denna funktion icke-negativa, därför är definitionsdomänen för den multifaktoriella PF uppsättningen av n-dimensionella vektorer x, varav alla koordinater x 1 ,..., x n är icke-negativa tal.

En graf av en funktion av två variabler kan inte ritas i ett plan. Produktionsfunktionen för flera variabler kan representeras i ett tredimensionellt kartesiskt utrymme, varav två koordinater (x1 och x2) är plottade på de horisontella axlarna och motsvarar resurskostnader, och den tredje (q) är plottad på den vertikala axeln och motsvarar produktens uteffekt (fig. 2). Grafen för produktionsfunktionen är ytan på "kullen", som stiger med tillväxten av var och en av koordinaterna x1 och x2.

För ett separat företag (företag) som producerar en homogen produkt, kan PF f(x 1 ,…,х n) koppla samman produktionsvolymen med kostnaden för arbetstid för olika typer av arbetsverksamhet, olika typer av råvaror, komponenter , energi, fast kapital. PF av denna typ kännetecknar företagets (företagets) nuvarande teknik.

När man konstruerar PF för en region eller ett land som helhet, tas den sammanlagda produkten (inkomsten) för regionen eller landet, vanligtvis beräknad till konstanta snarare än löpande priser, ofta som värdet av den årliga produktionen Y, fast kapital anses vara resurser (x 1 (= K) - volymen fast kapital som används under året) och levande arbetskraft (x 2 (= L) - antalet enheter av levande arbetskraft som förbrukats under året), vanligtvis beräknat i värdetermer. Således byggs en tvåfaktors PF Y=f(K,L). Från tvåfaktor PF går över till trefaktor. Dessutom, om PF är konstruerad från tidsseriedata, kan tekniska framsteg inkluderas som en speciell faktor i produktionstillväxt.

PF y=f(x 1 ,x 2) anropas statisk, om dess parametrar och dess karakteristika f inte beror på tid t, även om volymen av resurser och volymen av output kan bero på tid t, det vill säga de kan representeras i form av tidsserier: x 1 (0) x 1 (1), ..., x 1 (T); x 2 (0), x 2 (1), ..., x 2 (T); y(0), y(1),...,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Här är t årets nummer, t=0,1,…,Т; t= 0 - basår för tidsintervallet som täcker åren 1,2,...,T.

Exempel 2. För att modellera en viss region eller ett land som helhet (det vill säga för att lösa problem på såväl makroekonomisk som mikroekonomisk nivå) används ofta PF för formen y=, där a 0 , a 1 , och 2 är parametrarna för PF. Dessa är positiva konstanter (ofta är a 1 och a 2 sådana att a 1 + a 2 =1). PF för den nyss angivna formen kallas Cobb-Douglas PF (CPKD) efter de två amerikanska ekonomer som föreslog att den skulle användas 1929.

PPCD används aktivt för att lösa olika teoretiska och tillämpade problem på grund av dess strukturella enkelhet. PFKD tillhör klassen av så kallade multiplikativa PF (MPF). I applikationer är PFKD x 1 = K lika med volymen av det fasta kapitalet som används (volymen av anläggningstillgångar som används - i inhemsk terminologi), - levnadskostnaderna för arbetskraft, sedan tar PFKD den form som ofta används i litteraturen:

Exempel 3. Linjär PF (LPF) har formen: (tvåfaktor) och (multifaktor). PSF tillhör klassen av så kallad additiv PF (APF). Övergången från den multiplikativa PF till den additiva utförs med hjälp av logaritmoperationen. För en tvåfaktors multiplikativ PF

denna övergång ser ut så här: . Genom att införa lämplig substitution får vi en tillsats PF.

För tillverkning av en viss produkt krävs en kombination av olika faktorer. Trots detta delar olika produktionsfunktioner ett antal gemensamma egenskaper.

För tydlighetens skull begränsar vi oss till produktionsfunktioner av två variabler. Först och främst bör det noteras att en sådan produktionsfunktion definieras i en icke-negativ ortant av det tvådimensionella planet, det vill säga vid. PF uppfyller följande uppsättning egenskaper:

• 1) det finns ingen produktion utan resurser, dvs. f(0,0,a)=0;
• 2) i frånvaro av minst en av resurserna finns det ingen utgång, dvs. ;
• 3) med en ökning av kostnaden för minst en resurs ökar volymen av produktionen;

4) med en ökning av kostnaden för en resurs med en konstant mängd av en annan resurs, ökar produktionsvolymen, d.v.s. om x>0, då;

5) med en ökning av kostnaden för en resurs med en konstant mängd av en annan resurs, ökar inte värdet av ökningen av produktionen för varje ytterligare enhet av den i-te resursen (lagen om minskande effektivitet), d.v.s. om då;

• 6) med tillväxten av en resurs ökar marginaleffektiviteten för en annan resurs, d.v.s. om x>0, då;
• 7) PF är en homogen funktion, dvs. ; vid p>1 har vi en ökning av produktionseffektiviteten på grund av ökningen av produktionens omfattning; vid sid

Produktionsfunktioner tillåter oss att kvantitativt analysera de viktigaste ekonomiska beroenden inom produktionssfären. De gör det möjligt att uppskatta medel- och marginaleffektiviteten för olika produktionsresurser, produktionselasticiteten för olika resurser, marginalsubstitutionsgraden för resurser, effekten av produktionsskala och mycket mer.

Uppgift 1. Låt en produktionsfunktion ges som relaterar ett företags produktionsvolym med antalet arbetare, produktionstillgångar och volymen av använda maskintimmar

Det är nödvändigt att bestämma den maximala produktionen under restriktioner

Lösning. För att lösa problemet komponerar vi Lagrange-funktionen

vi differentierar det med avseende på variabler och likställer de resulterande uttrycken med noll:

Det följer av de första och tredje ekvationerna att därför,

varifrån vi får en lösning där y=2. Eftersom till exempel punkten (0,2,0) tillhör den tillåtna regionen och y=0 i den, drar vi slutsatsen att punkten (1,1,1) är den globala maximipunkten. De ekonomiska konsekvenserna av den resulterande lösningen är uppenbara.

Det bör också noteras att produktionsfunktionen beskriver en uppsättning tekniskt effektiva produktionsmetoder (teknologier). Varje teknologi kännetecknas av en viss kombination av resurser som krävs för att erhålla en enhet av output. Även om produktionsfunktionerna är olika för olika typer av produktion, har de alla gemensamma egenskaper:

• 1. Det finns en gräns för den produktionsökning som kan uppnås genom att höja kostnaden för en resurs, allt annat lika. Det betyder att det i ett företag med ett givet antal maskiner och produktionsanläggningar finns en gräns för att öka produktionen genom att attrahera fler arbetare. Ökningen av produktionen med en ökning av antalet sysselsatta närmar sig noll.
• 2. Det finns en viss komplementaritet (komplementaritet) av produktionsfaktorer, men utan en minskning av produktionsvolymer är ett visst samband mellan dessa faktorer också möjligt. Till exempel är arbetarnas arbete effektivt om de förses med alla nödvändiga verktyg. I avsaknad av sådana verktyg kan volymen minskas eller ökas med en ökning av antalet anställda. I det här fallet ersätts en resurs av en annan.
• 3. Produktionsmetod MEN anses tekniskt effektivare än B, om det innebär användning av minst en resurs i mindre, och alla andra - inte i mer än metoden B. Tekniskt ineffektiva metoder används inte av rationella producenter.
• 4. Om sätt MEN innebär användning av vissa resurser i mer, och andra - i en mindre mängd än metoden B, dessa metoder är ojämförliga när det gäller teknisk effektivitet. I detta fall anses båda metoderna vara tekniskt effektiva och ingår i produktionsfunktionen. Vilken man ska välja beror på prisförhållandet mellan de resurser som används. Detta val baseras på kostnadseffektivitetskriterier. Därför är teknisk effektivitet inte identisk med ekonomisk effektivitet.

Teknisk effektivitet är den högsta möjliga produktionsvolymen som uppnås som ett resultat av användningen av tillgängliga resurser. Ekonomisk effektivitet är produktionen av en given volym produktion till lägsta kostnad. I produktionsteorin används traditionellt en tvåfaktorsproduktionsfunktion, där produktionsvolymen är en funktion av användningen av arbetskraft och kapitalresurser:

Grafiskt kan varje produktionssätt (teknik) representeras av en punkt som kännetecknar den minsta nödvändiga uppsättningen av två faktorer som behövs för att producera en given volym av produktion (Fig. 3).

Figuren visar olika produktionsmetoder (teknologi): T 1 , T 2 , T 3 , kännetecknad av olika förhållanden i användningen av arbete och kapital: T 1 = L 1 K 1 ; T2 = L2K2; T3 = L3K3. strålens lutning visar storleken på användningen av olika resurser. Ju högre lutningsvinkel strålen har, desto högre blir kapitalkostnaden och desto lägre blir arbetskostnaden. Teknik T 1 är mer kapitalintensiv än teknologi T 2 .

Ris. 3.

Om man kopplar ihop olika teknologier med en linje får man en bild av produktionsfunktionen (line of equal output), som kallas isokvanter. Figuren visar att produktionsvolymen Q kan uppnås med olika kombinationer av produktionsfaktorer (T 1, T 2, T 3, etc.). Den övre delen av isokvanten speglar kapitalintensiva teknologier, medan den nedre delen avspeglar arbetsintensiva teknologier.

En isokvantkarta är en uppsättning isokvanter som återspeglar den maximalt uppnåeliga produktionsnivån för en given uppsättning produktionsfaktorer. Ju längre isokvanten är från origo, desto större uteffekt. Isokvanter kan passera vilken punkt som helst i rymden där det finns två produktionsfaktorer. Betydelsen av isokvantkartan liknar innebörden av indifferenskurvans kartan för konsumenter.

Fig.4.

Isokvanter har följande egenskaper:

• 1. Isokvanter skär inte varandra.
• 2. Det större avståndet mellan isokvanten och origo motsvarar en högre utmatningsnivå.
• 3. Isokvanter - fallande kurvor, har en negativ lutning.

Isokvanter liknar likgiltighetskurvor med den enda skillnaden att de återspeglar situationen inte i konsumtionssfären utan i produktionssfären.

Den negativa lutningen för isokvanterna förklaras av det faktum att en ökning av användningen av en faktor vid en viss volym av produktionen av produkten alltid kommer att åtföljas av en minskning av mängden av en annan faktor.

Tänk på möjliga isokvanta kartor

På fig. Figur 5 visar några isokvanta kartor som kännetecknar olika situationer som uppstår när två resurser förbrukas i produktionen. Ris. 5a motsvarar det absoluta ömsesidiga utbytet av resurser. I det fall som visas i fig. 5b, kan den första resursen helt ersättas av den andra: de isokvanta punkterna på x2-axeln visar mängden av den andra resursen, vilket gör det möjligt att erhålla en eller annan utmatning av produkten utan att använda den första resursen. Användningen av den första resursen minskar kostnaden för den andra, men det är omöjligt att helt ersätta den andra resursen med den första. Ris. 5c skildrar en situation där båda resurserna behövs och ingen av dem helt kan ersättas av den andra. Slutligen, fallet som visas i fig. 5d kännetecknas av absolut komplementaritet av resurser.

Ris. 5. Exempel på isokvanta kartor

För att förklara produktionsfunktionen introduceras begreppet kostnader.

I den mest allmänna formen kan kostnader definieras som en uppsättning kostnader som en tillverkare ådrar sig när de producerar en viss volym av produktion.

Det finns deras klassificering efter tidsperioder under vilka företaget fattar ett visst produktionsbeslut. För att ändra produktionsvolymen måste företaget justera mängden och sammansättningen av sina kostnader. Vissa kostnader kan ändras ganska snabbt, medan andra kräver en viss tid.

Den kortsiktiga perioden är ett tidsintervall som är otillräckligt för modernisering eller driftsättning av företagets nya produktionskapacitet. Men under denna period kan företaget öka produktionen genom att öka intensiteten i användningen av befintlig produktionskapacitet (till exempel anställa ytterligare arbetare, köpa mer råvaror, öka skiftförhållandet för utrustningsunderhåll, etc.). Av detta följer att kostnaderna på kort sikt kan vara antingen fasta eller rörliga.

Fasta kostnader (TFC) är summan av kostnader som inte beror på förändringar i produktionsvolymen. Fasta kostnader är förknippade med företagets existens och måste betalas även om företaget inte producerar något. De inkluderar avskrivningar på byggnader och utrustning; fastighetsskatt; försäkringsbetalningar; reparations- och underhållskostnader; obligationsbetalningar; löner till ledande befattningshavare m.m.

Variabel kostnad (TVC) är kostnaden för resurser som används direkt för att producera en given produktion. Delar av rörliga kostnader är kostnaderna för råvaror, bränsle, energi; betalning för transporttjänster; betalning för större delen av arbetsresurserna (löner). Till skillnad från fasta kostnader beror rörliga kostnader på produktionsvolymen. Det bör dock noteras att ökningen av mängden rörliga kostnader i samband med en ökning av produktionen med 1 enhet inte är konstant.

I början av processen att öka produktionen kommer de rörliga kostnaderna att öka under en tid i en minskande takt; och så kommer det att fortsätta tills ett specifikt värde av produktionsvolymen. Då kommer de rörliga kostnaderna att börja öka i ökande takt för varje efterföljande produktionsenhet. Detta beteende hos rörliga kostnader bestäms av lagen om minskande avkastning. En ökning av marginalprodukten över tiden kommer att orsaka mindre och mindre ökningar av variabla resurser för att producera varje ytterligare produktionsenhet.

Och eftersom alla enheter av rörliga resurser köps till samma pris, betyder det att summan av rörliga kostnader kommer att öka i en minskande takt. Men när marginalproduktiviteten börjar sjunka i enlighet med lagen om minskande avkastning, kommer fler och fler ytterligare variabla resurser att behöva användas för att producera varje successiv produktionsenhet. Summan av rörliga kostnader kommer därmed att öka i allt snabbare takt.

Summan av fasta och rörliga kostnader förknippade med produktionen av en viss mängd produktion kallas totalkostnad (TC). Därmed får vi följande jämställdhet:

TC - TFC + TVC.

Sammanfattningsvis noterar vi att produktionsfunktioner kan användas för att extrapolera den ekonomiska effekten av produktionen under en given period i framtiden. Liksom i fallet med konventionella ekonometriska modeller börjar en ekonomisk prognos med en bedömning av de förutsagda värdena av produktionsfaktorer. I detta fall kan den metod för ekonomisk prognostisering som är mest lämplig i varje enskilt fall användas.