Vad är svängningar typer av svängningar. Mekaniska vibrationer. Parametrar för oscillerande rörelse. Fluktuationer. Periodiska fluktuationer

I ett oscillerande system sker en periodisk övergång av en typ av energi till en annan, när potentiell energi (energi beroende på systemets position) omvandlas till kinetisk energi (rörelseenergi) och vice versa.

En visuell representation av den oscillerande processen kan erhållas genom att konstruera en graf över svängningarna för en individuell massa i koordinaterna t(tid och y(rörelse).

Om extern energi kommer in i svängningssystemet kommer svängningarna att öka (Fig. 16.6 a). Om ingen extern energi tillförs ett konservativt system kommer svängningarna att vara odämpade (Fig. 16.6 b). Om systemets energi minskar (till exempel på grund av friktion i ett dissipativt system) kommer svängningarna att dämpas (fig. 16.6 c).

En viktig egenskap hos den oscillerande processen är formen på oscillationerna. Vågform - detta är en kurva som visar läget för svängningssystemets punkter i förhållande till jämviktsläget vid en bestämd tidpunkt. De enklaste formerna av vibrationer kan observeras. Till exempel är vågformerna för en tråd som hänger mellan två poler, eller gitarrsträngar, tydligt synliga.

Oscillationer som uppstår i frånvaro av en extern belastning kallas fria vibrationer . Fria svängningar i ett dissipativt system dämpas eftersom dess totala energi minskar. Energin i ett konservativt system förblir konstant, och dess fria svängningar kommer att vara odämpade. Men konservativa system existerar inte i naturen, så deras svängningar studeras endast teoretiskt. Fria vibrationer av konservativa system kallas egna vibrationer .

Periodiska fluktuationer är vibrationer som uppfyller villkoret y(t)=y(t+T). Här Tär svängningsperioden, dvs. tid för en svängning. Periodiska svängningar har också andra viktiga egenskaper. Till exempel, amplitud a är halva svingen a=(y max – y min )/2 , cirkulär frekvens  är antalet svängningar per 2  sekunder, teknisk frekvens fär antalet vibrationer på en sekund. Både dessa frekvenser och perioden är sammankopplade:

(Hz), (rad/s).

Harmoniska vibrationer är svängningar som ändras enligt lagen eller Här – oscillationsfas ,  – inledande fas .

Forcerade vibrationer uppstår under påverkan av yttre krafter.

Vibration är forcerade svängningar som uppstår med en relativt liten amplitud och inte för låg frekvens.

4. Typer av dynamiska belastningar

Vibrationer i strukturen uppstår från dynamiska belastningar. Till skillnad från statiska laster ändras dynamiska laster över tiden i storlek, riktning eller position. De informerar accelerationssystemets massor, orsakar tröghetskrafter, vilket kan leda till en kraftig ökning av svängningar och som ett resultat till förstörelsen av hela strukturen eller dess delar.

Tänk på huvudtyperna av dynamiska belastningar.

är den belastning som appliceras på konstruktionen efter en viss period. Källorna till periodiska belastningar är olika maskiner och mekanismer: elmotorer, metallbearbetningsmaskiner, fläktar, centrifuger etc. Om deras roterande delar inte är balanserade, orsakar de harmonisk belastning (belastningsförändringar enligt sinus- eller cosinuslagen). En sådan belastning kallas vibrationsbelastning . Kolvkompressorer och pumpar, stämplingsmaskiner, krossar, pålförare, etc. skapar icke-harmonisk belastning .

Impulsbelastningar skapas av en explosion, fallande laster eller delar av kraftverk (hammare, påldragare etc.).

Flytta laster skapas av tåg, motortransporter m.m.

De är mycket farliga icke-deterministiskt (slumpmässig) massor . Dessa är vind-, seismiska, explosiva laster.

1. Svängningar. periodiska fluktuationer. Harmoniska vibrationer.

2. Fria vibrationer. Odämpade och dämpade svängningar.

3. Forcerade vibrationer. Resonans.

4. Jämförelse av oscillerande processer. Energi av odämpade harmoniska svängningar.

5. Självsvängningar.

6. Svängningar av människokroppen och deras registrering.

7. Grundläggande begrepp och formler.

8. Uppgifter.

1.1. Fluktuationer. periodiska fluktuationer.

Harmoniska vibrationer

fluktuationer processer som skiljer sig åt i olika grad av upprepning kallas.

återkommande processer sker kontinuerligt inuti alla levande organismer, till exempel: hjärtsammandragningar, lungfunktion; vi huttrar när vi fryser; vi hör och talar tack vare vibrationerna från trumhinnor och stämband; När vi går gör våra ben oscillerande rörelser. Atomerna som får oss att vibrera. Världen vi lever i är anmärkningsvärt utsatt för fluktuationer.

Beroende på den återkommande processens fysiska karaktär särskiljs svängningar: mekaniska, elektriska etc. Denna föreläsning diskuterar mekaniska vibrationer.

Periodiska fluktuationer

periodisk kallas sådana svängningar där alla rörelsens egenskaper upprepas efter en viss tidsperiod.

För periodiska svängningar används följande egenskaper:

svängningsperiod T, lika med den tid under vilken en fullständig svängning äger rum;

oscillationsfrekvensν, lika med antalet svängningar per sekund (ν = 1/T);

oscillationsamplitud A, lika med den maximala förskjutningen från jämviktspositionen.

Harmoniska vibrationer

En speciell plats bland periodiska fluktuationer upptas av harmonisk fluktuationer. Deras betydelse beror på följande skäl. För det första har svängningar i natur och teknik ofta en karaktär som är mycket nära harmoniska, och för det andra kan periodiska processer av en annan form (med olika tidsberoende) representeras som en överlagring av flera övertonssvängningar.

Harmoniska vibrationer- dessa är svängningar där det observerade värdet ändras i tiden enligt sinus- eller cosinuslagen:

I matematiken kallas funktioner av detta slag harmonisk, därför kallas svängningar som beskrivs av sådana funktioner också harmoniska.

Positionen för en kropp som utför en oscillerande rörelse kännetecknas av förflyttning om jämviktsläget. I det här fallet har kvantiteterna i formel (1.1) följande betydelse:

X- partiskhet kropp vid tidpunkten t;

MEN - amplitud fluktuationer lika med den maximala förskjutningen;

ω - cirkulär frekvens svängningar (antalet svängningar gjorda i 2 π sekunder), relaterad till oscillationsfrekvensen med förhållandet

φ = (ωt +φ 0) - fas fluktuationer (vid tidpunkten t); φ 0 - inledande fas svängningar (vid t = 0).

Ris. 1.1. Plots av offset kontra tid för x(0) = A och x(0) = 0

1.2. Fria vibrationer. Odämpade och dämpade svängningar

fri eller egen kallas sådana svängningar som uppstår i ett system som lämnas åt sig självt, efter att det tagits ur jämvikt.

Ett exempel är svängningen av en kula upphängd i en tråd. För att orsaka vibrationer måste du antingen trycka bollen eller, flytta den åt sidan, släppa den. När den knuffas informeras bollen kinetisk energi, och i händelse av avvikelse - potential.

Fria svängningar utförs på grund av den initiala energireserven.

Fria odämpade vibrationer

Fria svängningar kan endast odämpas i frånvaro av friktionskraft. Annars kommer den initiala energitillförseln att spenderas på att övervinna den, och svängningsområdet kommer att minska.

Som ett exempel, betrakta vibrationerna hos en kropp upphängd i en viktlös fjäder, som uppstår efter att kroppen har böjts nedåt och sedan släppts (fig. 1.2).

Ris. 1.2. Vibrationer av en kropp på en fjäder

Från sidan av den sträckta fjädern verkar kroppen elastisk kraft F proportionell mot mängden förskjutning X:

Konstanten faktor k kallas fjäderhastighet och beror på dess storlek och material. Tecknet "-" indikerar att den elastiska kraften alltid är riktad i motsatt riktning mot förskjutningsriktningen, dvs. till jämviktsläget.

I frånvaro av friktion är den elastiska kraften (1.4) den enda kraft som verkar på kroppen. Enligt Newtons andra lag (ma = F):

Efter att ha överfört alla termer till vänster sida och dividerat med kroppsmassan (m), får vi en differentialekvation för fria svängningar i frånvaro av friktion:

Värdet ω 0 (1,6) visade sig vara lika med den cykliska frekvensen. Denna frekvens kallas egen.

Således är fria vibrationer i frånvaro av friktion harmoniska om, vid avvikelse från jämviktsläget, elastisk kraft(1.4).

Eget cirkulär frekvens är den huvudsakliga egenskapen hos fria övertonssvängningar. Detta värde beror endast på egenskaperna hos det oscillerande systemet (i det aktuella fallet, på kroppens massa och fjäderns styvhet). I det följande kommer symbolen ω 0 alltid att användas för att beteckna egen cirkulär frekvens(dvs frekvensen vid vilken vibrationer skulle inträffa i frånvaro av friktion).

Amplitud av fria vibrationer bestäms av egenskaperna hos det oscillerande systemet (m, k) och den energi som tilldelas det vid det första ögonblicket.

I frånvaro av friktion uppstår fria svängningar nära harmoniska även i andra system: matematiska och fysiska pendlar (teorin för dessa frågor beaktas inte) (Fig. 1.3).

Matematisk pendel- en liten kropp (materialspets) upphängd på en viktlös tråd (Fig. 1.3 a). Om tråden avböjs från jämviktspositionen med en liten (upp till 5°) vinkel α och frigörs, kommer kroppen att svänga med en period som bestäms av formeln

där L är längden på tråden, g är accelerationen för fritt fall.

Ris. 1.3. Matematisk pendel (a), fysisk pendel (b)

fysisk pendel- en stel kropp som svänger under inverkan av gravitationen runt en fast horisontell axel. Figur 1.3 b visar schematiskt en fysisk pendel i form av en kropp med godtycklig form, avvikande från jämviktspositionen med en vinkel α. Svängningsperioden för en fysisk pendel beskrivs av formeln

där J är kroppens tröghetsmoment kring axeln, m är massan, h är avståndet mellan tyngdpunkten (punkt C) och upphängningsaxeln (punkt O).

Tröghetsmomentet är en storhet som beror på kroppens massa, dess dimensioner och position i förhållande till rotationsaxeln. Tröghetsmomentet beräknas med hjälp av speciella formler.

Fria dämpade vibrationer

Friktionskrafter som verkar i verkliga system ändrar markant rörelsens natur: energin i ett oscillerande system minskar ständigt, och svängningar antingen tona ut eller inte förekommer alls.

Motståndskraften är riktad i motsatt riktning mot kroppens rörelse, och vid inte särskilt höga hastigheter är den proportionell mot hastigheten:

En graf över sådana fluktuationer visas i fig. 1.4.

Som kännetecken för graden av dämpning används en dimensionslös storhet, kallad logaritmisk dämpningsminskningλ.

Ris. 1.4. Förskjutning kontra tid för dämpade svängningar

Logaritmisk dämpningsminskningär lika med den naturliga logaritmen för förhållandet mellan amplituden för den föregående svängningen och amplituden för den efterföljande svängningen.

där i är oscillationens ordningsnummer.

Det är lätt att se att den logaritmiska dämpningsminskningen hittas av formeln

Kraftig dämpning. På

om villkoret β ≥ ω 0 är uppfyllt, återgår systemet till jämviktsläget utan att svänga. En sådan rörelse kallas aperiodisk. Figur 1.5 visar två möjliga sätt att återgå till jämviktspositionen under aperiodisk rörelse.

Ris. 1.5. aperiodisk rörelse

1.3. Forcerade vibrationer, resonans

Fria vibrationer i närvaro av friktionskrafter dämpas. Kontinuerliga svängningar kan skapas med hjälp av en periodisk yttre verkan.

Tvingad sådana svängningar kallas, under vilka det oscillerande systemet utsätts för en yttre periodisk kraft (det kallas en drivkraft).

Låt drivkraften förändras enligt den harmoniska lagen

Grafen över forcerade svängningar visas i fig. 1.6.

Ris. 1.6. Plott för förskjutning kontra tid för forcerade vibrationer

Det kan ses att amplituden för forcerade svängningar når ett konstant värde gradvis. De stadiga påtvingade svängningarna är harmoniska och deras frekvens är lika med frekvensen för drivkraften:

Amplituden (A) för stadiga påtvingade svängningar hittas av formeln:

Resonans kallas uppnåendet av den maximala amplituden för forcerade svängningar vid ett visst värde av drivkraftens frekvens.

Om villkoret (1.18) inte är uppfyllt, uppstår inte resonans. I detta fall, när frekvensen av drivkraften ökar, minskar amplituden av forcerade svängningar monotont och tenderar till noll.

Det grafiska beroendet av amplituden A för forcerade svängningar på den cirkulära frekvensen av drivkraften vid olika värden på dämpningskoefficienten (β 1 > β 2 > β 3) visas i fig. 1.7. En sådan uppsättning grafer kallas resonanskurvor.

I vissa fall är en kraftig ökning av amplituden av svängningar vid resonans farlig för systemets styrka. Det finns fall när resonans ledde till förstörelse av strukturer.

Ris. 1.7. Resonanskurvor

1.4. Jämförelse av oscillerande processer. Energi av odämpade harmoniska svängningar

Tabell 1.1 visar egenskaperna hos de övervägda oscillerande processerna.

Tabell 1.1. Egenskaper för fria och forcerade vibrationer

Energi av odämpade harmoniska svängningar

En kropp som utför harmoniska svängningar har två typer av energi: den kinetiska rörelseenergin E k \u003d mv 2/2 och den potentiella energin E p associerad med verkan av en elastisk kraft. Det är känt att under inverkan av elastisk kraft (1.4) bestäms kroppens potentiella energi av formeln E p = kx 2 /2. För odämpade svängningar X= A cos(ωt), och kroppens hastighet bestäms av formeln v= - A ωsin(ωt). Från detta erhålls uttryck för energierna hos en kropp som utför odämpade svängningar:

Den totala energin i systemet där odämpade övertonssvängningar förekommer är summan av dessa energier och förblir oförändrad:

Här är m kroppens massa, ω och A är svängningarnas cirkulära frekvens och amplitud, k är elasticitetskoefficienten.

1.5. Självsvängningar

Det finns system som själva reglerar den periodiska påfyllningen av förlorad energi och därför kan fluktuera under lång tid.

Självsvängningar- odämpade svängningar som stöds av en extern energikälla, vars tillförsel regleras av själva svängningssystemet.

System där sådana svängningar förekommer kallas självsvängande. Amplituden och frekvensen av självsvängningar beror på egenskaperna hos det självsvängande systemet i sig. Det självoscillerande systemet kan representeras av följande schema:

I det här fallet påverkar det oscillerande systemet självt, genom en återkopplingskanal, energiregulatorn och informerar den om systemets tillstånd.

Respons kallas effekten av resultaten av en process på dess förlopp.

Om en sådan påverkan leder till en ökning av intensiteten i processen, kallas återkopplingen positiv. Om påverkan leder till en minskning av processens intensitet kallas återkopplingen negativ.

I ett självoscillerande system kan både positiv och negativ återkoppling förekomma.

Ett exempel på ett självoscillerande system är en klocka där pendeln får stötar på grund av energin från en upphöjd vikt eller en vriden fjäder, och dessa stötar inträffar i de ögonblick då pendeln passerar genom mittläget.

Exempel på biologiska självsvängande system är sådana organ som hjärtat och lungorna.

1.6. Svängningar av människokroppen och deras registrering

Analysen av svängningar som skapas av människokroppen eller dess enskilda delar används i stor utsträckning inom medicinsk praxis.

Människokroppens oscillerande rörelser när man går

Promenader är en komplex periodisk rörelseprocess som är resultatet av den samordnade aktiviteten av skelettmusklerna i bålen och extremiteterna. Analys av gångprocessen ger många diagnostiska funktioner.

Ett karakteristiskt drag för att gå är periodiciteten i stödpositionen med en fot (enkel stödperiod) eller två ben (dubbel stödperiod). Normalt är förhållandet mellan dessa perioder 4:1. Vid gång sker en periodisk förskjutning av masscentrum (CM) längs den vertikala axeln (normalt 5 cm) och avvikelse åt sidan (normalt 2,5 cm). I detta fall rör sig CM längs en kurva, som ungefär kan representeras av en övertonsfunktion (fig. 1.8).

Ris. 1.8. Vertikal förskjutning av människokroppens CM under gång

Komplexa oscillerande rörelser samtidigt som kroppens vertikala position bibehålls.

En person som står vertikalt upplever komplexa svängningar av det gemensamma masscentrumet (MCM) och tryckcentrumet (CP) för fötterna på stödplanet. Baserat på analysen av dessa fluktuationer statokinesimetri- en metod för att bedöma en persons förmåga att upprätthålla en upprätt hållning. Genom att hålla GCM-projektionen inom koordinaterna för stödområdets gräns. Denna metod implementeras med hjälp av en stabilometrisk analysator, vars huvuddel är en stabiloplattform på vilken motivet är i vertikal position. Svängningar som görs av försökspersonens CP med bibehållen vertikal hållning överförs till stabiloplattformen och registreras av speciella töjningsmätare. Töjningsmätarsignalerna överförs till registreringsanordningen. Samtidigt spelas det in statokinesigram - banan för försökspersonens rörelse på ett horisontellt plan i ett tvådimensionellt koordinatsystem. Enligt det harmoniska spektrumet statokinesigram det är möjligt att bedöma egenskaperna hos vertikalisering i normen och med avvikelser från den. Denna metod gör det möjligt att analysera indikatorerna för statokinetisk stabilitet (SCR) hos en person.

Mekaniska vibrationer i hjärtat

Det finns olika metoder för att studera hjärtat, som bygger på mekaniska periodiska processer.

Ballistokardiografi(BCG) - en metod för att studera de mekaniska manifestationerna av hjärtaktivitet, baserad på registrering av pulsmikrorörelser i kroppen, orsakade av utstötning av blod från hjärtats ventriklar in i stora kärl. Detta ger upphov till fenomenet returnerar. Människokroppen placeras på en speciell rörlig plattform som ligger på ett massivt fast bord. Plattformen kommer som ett resultat av rekyl i en komplex oscillerande rörelse. Beroendet av förskjutningen av plattformen med kroppen i tid kallas ett ballistokardiogram (fig. 1.9), vars analys gör att man kan bedöma blodets rörelse och tillståndet för hjärtaktivitet.

Apexkardiografi(AKG) - en metod för grafisk registrering av lågfrekventa svängningar i bröstet i området för apexslaget, orsakade av hjärtats arbete. Registrering av apexkardiogrammet utförs som regel på ett flerkanaligt elektrokardiogram.

Ris. 1.9. Spela in ett ballistokardiogram

graf med hjälp av en piezokristallin sensor, som omvandlar mekaniska vibrationer till elektriska. Före inspelning på bröstets främre vägg bestäms punkten för maximal pulsering (apexslag) genom palpation, där sensorn är fixerad. Baserat på sensorsignalerna byggs automatiskt ett apexkardiogram. En amplitudanalys av ACG utförs - kurvans amplituder jämförs vid olika faser av hjärtats arbete med en maximal avvikelse från nolllinjen - EO-segmentet, taget som 100%. Figur 1.10 visar apexkardiogrammet.

Ris. 1.10. Apexcardiogram inspelning

Kinetokardiografi(KKG) - en metod för att registrera lågfrekventa vibrationer i bröstväggen, orsakade av hjärtaktivitet. Kinetokardiogrammet skiljer sig från apexcardiogrammet: det första registrerar bröstväggens absoluta rörelser i rymden, det andra registrerar fluktuationerna i de interkostala utrymmena i förhållande till revbenen. Denna metod bestämmer förskjutningen (KKG x), rörelsehastigheten (KKG v) samt accelerationen (KKG a) för bröstsvängningar. Figur 1.11 visar en jämförelse av olika kinetokardiogram.

Ris. 1.11. Registrering av kinetokardiogram av förskjutning (x), hastighet (v), acceleration (a)

Dynamokardiografi(DKG) - en metod för att bedöma rörelsen av bröstets tyngdpunkt. Dynamokardiograf låter dig registrera krafterna som verkar från den mänskliga bröstkorgen. För att spela in ett dynamokardiogram placeras patienten på bordet liggande på rygg. Under bröstet finns en uppfattningsanordning, som består av två styva metallplattor som mäter 30x30 cm, mellan vilka det finns elastiska element med töjningsmätare monterade på dem. Periodiskt förändras i storlek och plats för applicering, belastningen som verkar på den mottagande enheten består av tre komponenter: 1) en konstant komponent - bröstets massa; 2) variabel - mekanisk effekt av andningsrörelser; 3) variabel - mekaniska processer som åtföljer hjärtkontraktion.

Registreringen av dynamokardiogrammet utförs med patienten som håller andan i två riktningar: i förhållande till den mottagande enhetens längsgående och tvärgående axlar. Jämförelse av olika dynamokardiogram visas i fig. 1.12.

Seismokardiografiär baserad på registrering av mekaniska vibrationer i människokroppen orsakade av hjärtats arbete. I denna metod, med hjälp av sensorer installerade i området kring basen av xiphoid-processen, registreras en hjärtimpuls på grund av hjärtats mekaniska aktivitet under sammandragningsperioden. Samtidigt inträffar processer förknippade med aktiviteten hos vävnadsmekanoreceptorer i kärlbädden, som aktiveras när volymen av cirkulerande blod minskar. Seismokardiosignalen bildar formen av bröstbensvängningarna.

Ris. 1.12. Registrering av normala longitudinella (a) och tvärgående (b) dynamokardiogram

Vibration

Det utbredda införandet av olika maskiner och mekanismer i mänskligt liv ökar arbetsproduktiviteten. Men arbetet med många mekanismer är förknippat med förekomsten av vibrationer som överförs till en person och har en skadlig effekt på honom.

Vibration- påtvingade svängningar av kroppen, där antingen hela kroppen svänger som en helhet, eller dess separata delar svänger med olika amplituder och frekvenser.

En person upplever ständigt olika typer av vibrationseffekter i transport, på jobbet, i hemmet. Vibrationer som har uppstått var som helst i kroppen (till exempel handen på en arbetare som håller i en hammare) fortplantar sig i hela kroppen i form av elastiska vågor. Dessa vågor orsakar olika deformationer av olika slag i kroppens vävnader (kompression, spänning, skjuvning, böjning). Effekten av vibrationer på en person beror på många faktorer som kännetecknar vibrationer: frekvens (frekvensspektrum, grundläggande frekvens), amplitud, hastighet och acceleration av en oscillerande punkt, energi av oscillerande processer.

Långvarig exponering för vibrationer orsakar ihållande störningar i normala fysiologiska funktioner i kroppen. "Vibrationssjuka" kan förekomma. Denna sjukdom leder till ett antal allvarliga störningar i människokroppen.

Det inflytande som vibrationer har på kroppen beror på vibrationernas intensitet, frekvens, varaktighet, platsen för deras applicering och riktning i förhållande till kroppen, hållning, såväl som på personens tillstånd och hans individuella egenskaper.

Fluktuationer med en frekvens på 3-5 Hz orsakar reaktioner av den vestibulära apparaten, vaskulära störningar. Vid frekvenser på 3-15 Hz observeras störningar associerade med resonansvibrationer av enskilda organ (lever, mage, huvud) och kroppen som helhet. Fluktuationer med frekvenser på 11-45 Hz orsakar dimsyn, illamående och kräkningar. Vid frekvenser över 45 Hz uppstår skador på hjärnans kärl, försämrad blodcirkulation etc. Figur 1.13 visar de vibrationsfrekvensområden som har en skadlig effekt på en person och dennes organsystem.

Ris. 1.13. Frekvensintervallen för vibrationernas skadliga effekter på människor

Samtidigt används i vissa fall vibrationer inom medicinen. Till exempel, med hjälp av en speciell vibrator, förbereder tandläkaren ett amalgam. Användningen av högfrekventa vibrationsanordningar gör det möjligt att borra ett hål med komplex form i tanden.

Vibration används också vid massage. Med manuell massage förs de masserade vävnaderna i oscillerande rörelse med hjälp av massageterapeutens händer. Med hårdvarumassage används vibratorer, där tips av olika former används för att överföra oscillerande rörelser till kroppen. Vibrationsanordningar är indelade i anordningar för allmän vibration, som orsakar skakning av hela kroppen (vibrerande "stol", "säng", "plattform", etc.), och anordningar för lokal vibrationspåverkan på enskilda delar av kroppen.

Mekanoterapi

I fysioterapiövningar (LFK) används simulatorer, på vilka oscillerande rörelser av olika delar av människokroppen utförs. De används i mekanoterapi - form av träningsterapi, vars en av uppgifterna är genomförandet av doserade, rytmiskt upprepade fysiska övningar i syfte att träna eller återställa rörligheten i lederna på anordningar av pendeltyp. Grunden för dessa enheter är balansering (från fr. balanserare- svänga, balansera) en pendel, som är en tvåarmad spak som utför oscillerande (gungande) rörelser runt en fast axel.

1.7. Grundläggande begrepp och formler

Tabellfortsättning

Tabellfortsättning

Slut på bordet

1.8. Uppgifter

1. Ge exempel på oscillerande system hos människor.

2. Hos en vuxen gör hjärtat 70 sammandragningar per minut. Bestäm: a) frekvensen av sammandragningar; b) antalet nedskärningar under 50 år

Svar: a) 1,17 Hz; b) 1,84x109.

3. Vilken längd måste en matematisk pendel ha för att dess svängningsperiod ska vara lika med 1 sekund?

4. En tunn rak homogen stång 1 m lång är upphängd i sin ände på en axel. Bestäm: a) vad är perioden för dess svängningar (små)? b) hur lång är en matematisk pendel med samma svängningsperiod?

5. En kropp med en massa på 1 kg svänger enligt lagen x = 0,42 cos (7,40t), där t mäts i sekunder, och x mäts i meter. Hitta: a) amplitud; b) frekvens; c) total energi; d) kinetiska och potentiella energier vid x = 0,16 m.

6. Uppskatta hastigheten med vilken en person går med en steglängd l= 0,65 m. Benlängd L = 0,8 m; tyngdpunkten ligger på ett avstånd H = 0,5 m från foten. För benets tröghetsmoment i förhållande till höftleden, använd formeln I = 0,2mL 2 .

7. Hur kan du bestämma massan av en liten kropp ombord på en rymdstation om du har en klocka, en fjäder och en uppsättning vikter till ditt förfogande?

8. Amplituden för dämpade svängningar minskar i 10 svängningar med 1/10 av dess ursprungliga värde. Svängningsperiod T = 0,4 s. Bestäm den logaritmiska minskningen och dämpningsfaktorn.

- 131,04 Kb

Introduktion………………………………………………………………..

1. Typer och egenskaper hos vibrationer.

1. Mekaniska vibrationer………………………………………………………….

1. Elektromagnetiska oscillationer………………………..

Litteratur……………………………………………………………………..

Introduktion.

Vibrationer är en av de vanligaste processerna inom natur och teknik. Höghus och högspänningsledningar svänger under inverkan av vinden, pendeln från en sårad klocka och en bil på fjädrar under rörelse, flodens nivå under året och temperaturen i människokroppen under sjukdom.

Ljud är fluktuationer i luftens densitet och tryck, radiovågor är periodiska förändringar i styrkan hos elektriska och magnetiska fält, synligt ljus är också elektromagnetiska svängningar, bara med lite olika våglängder och frekvenser. Jordbävningar - jordvibrationer, tidvatten - förändringar i nivån på haven och haven, orsakade av månens attraktion och når 18 meter i vissa områden, pulsslag - periodiska sammandragningar av den mänskliga hjärtmuskeln, etc. Förändring av vakenhet och sömn, arbete och vila, vinter och sommar...

Även vår vardagliga gå till jobbet och hemresan faller under definitionen av fluktuationer, som tolkas som processer som upprepas exakt eller ungefär med jämna mellanrum.

Vibrationer är mekaniska, elektromagnetiska, kemiska, termodynamiska och olika andra. Trots denna mångfald har de alla mycket gemensamt och beskrivs därför med samma differentialekvationer. En speciell gren av fysiken - teorin om oscillationer - behandlar studiet av dessa fenomens lagar. Skeppsbyggare och flygplansbyggare, industri- och transportspecialister, skapare av radioteknik och akustisk utrustning behöver känna till dem.

Eventuella fluktuationer kännetecknas av amplitud - den största avvikelsen av ett visst värde från dess nollvärde, period ( T) eller frekvens ( v). De två sista storheterna är sammankopplade med ett omvänt proportionellt förhållande: T= 1/v. Svängningsfrekvensen uttrycks i hertz (Hz). Måttenheten är uppkallad efter den berömde tyske fysikern Heinrich Hertz (1857-1894). 1 Hz är en svängning per sekund. Detta är den takt med vilken det mänskliga hjärtat slår. Ordet "hertz" på tyska betyder "hjärta". Om så önskas kan detta sammanträffande ses som ett slags symboliskt samband.

De första forskarna som studerade svängningar var Galileo Galilei (1564...1642) och Christian Huygens (1629...1692). Galileo etablerade isokronism (periodens oberoende från amplituden) av små svängningar, tittade på ljuskronans svängning i katedralen och mätte tiden med pulsslagen på hans hand. Huygens uppfann den första pendelklockan (1657) och undersökte i den andra upplagan av sin monografi "Pendelur" (1673) ett antal problem som är förknippade med pendelns rörelse, i synnerhet hittade han centrum för svängning av en fysisk pendel.

Ett stort bidrag till studiet av svängningar gjordes av många forskare: engelska - W. Thomson (Lord Kelvin) ochJ. Rayleigh , ryssar - A.S. Popov och P.N. Lebedev, Sovjet - A.N. Krylov, L.I. Mandelstam, N.D. Papaleksi, N.N. Bogolyubov, A.A. Andronov och andra.

1. Typer av svängningar och deras egenskaper.

oscillerande processer (svängningar) kallas rörelser eller förändringar i tillstånd, som har en eller annan grad av upprepning i tiden.

Oscillationer kallas periodiska om värdena för fysiska storheter som förändras i svängningsprocessen upprepas med jämna mellanrum T, kallad period.

Beroende på den fysiska naturen och mekanismen för excitation av oscillationer finns det:

- mekaniska vibrationer (svängningar av pendlar, strängar, balkar, delar av maskiner och mekanismer, rullning av fartyg, havets vågor, tryckfluktuationer under fortplantningen av ljud i en gas, vätska, fast, etc.);

- elektromagnetiska svängningar (växelström, fluktuationer i ström, laddning, vektorer E och H i oscillerande kretsar, etc.);

- elektromekaniska vibrationer(svängningar av telefonmembran, diffusorer av elektrodynamiska högtalare, etc.).

Oscillerande rörelser skiljer sig från andra typer av rörelser. De kännetecknas av några gemensamma drag. I oscillationsteorins språk försvinner skillnaderna mellan en kropps oscillerande rörelse och processerna i oscillerande elektromagnetiska kretsar om vi närmar oss dem utifrån allmänna principer. Detta tillvägagångssätt kallas elektromekaniska analogier.

Ett system som svänger kallas för ett oscillerande system.

Svängningar som uppstår som ett resultat av varje initial avvikelse av systemet från dess stabila jämvikt kallas naturliga svängningar.

Svängningar som uppstår i systemet under påverkan av en variabel yttre påverkan kallas forcerade svängningar.

Allmänna egenskaper och begrepp som är gemensamma för olika oscillerande system är följande:

• differentialekvation (dess form är densamma för alla oscillerande system);
• oscillationsekvation;
• amplitud;
• frekvens eller period av oscillation;
• fas;
• inledande fas.

Låt oss överväga fluktuationer i mekaniska och elektromagnetiska system och belysa exakt de funktioner som anges ovan.

1.1 Mekaniska vibrationer.

Beroende på arten av påverkan på ett oscillerande system särskiljs fria svängningar, forcerade svängningar, självsvängningar och parametriska svängningar.

Fria vibrationer är de som uppstår i ett system som lämnats åt sig självt efter att det har getts en push eller det har tagits ur jämvikt. Ett exempel är svängningen av en kula upphängd i en tråd (pendel). För att orsaka vibrationer kan du antingen trycka bollen eller ta den åt sidan och släppa den.

Forcerade svängningar kallas sådana svängningar, under vilka det oscillerande systemet utsätts för en yttre periodiskt växlande kraft. Ett exempel är vibrationerna från en bro som uppstår när personer som går i steg passerar över den.

Självsvängningar, såväl som påtvingade svängningar, åtföljs av påverkan av yttre krafter på det oscillerande systemet, men tidpunkterna när dessa påverkan utförs ställs in av det oscillerande systemet självt - systemet själv styr den yttre påverkan . Ett exempel på ett självoscillerande system är en klocka där pendeln tar emot stötar på grund av energin från en upphöjd vikt eller en vriden fjäder, och dessa stötar inträffar i de ögonblick då pendeln passerar genom mittläget. Med parametriska svängningar, på grund av yttre påverkan, inträffar en periodisk förändring av någon parameter i systemet, till exempel längden på tråden som kulan är upphängd i, vilket gör svängningar.

De enklaste är harmoniska svängningar, d.v.s. sådana svängningar där det oscillerande värdet (till exempel pendelns avvikelse) förändras med tiden enligt sinus- eller cosinuslagen. Denna typ av svängning är särskilt viktig av följande skäl: för det första har svängningar i natur och teknik ofta en karaktär som är mycket nära harmonisk, och för det andra kan periodiska processer av en annan form (med ett annat tidsberoende) representeras som en överlagring flera harmoniska vibrationer.

Som ett mekaniskt oscillerande system, på det exempel som vi kommer att överväga oscillationer på, väljer vi fjäderpendel: en liten kropp (materialspets) med massan m är upphängd på en fjäder med styvhet k (Figur 2).

Den obelastade fjädern hade en längd l 0 . När kroppen var upphängd förlängdes fjädern med ∆l. Den resulterande elastiska kraften balanserade tyngdkraften. Detta förhållande låter oss bestämma jämviktsläge för en fjäderpendel. Om nu kroppen är förskjuten i förhållande till jämviktspositionen med ett avstånd x, så kommer den elastiska kraften och tyngdkraften att verka på kroppen.

Resultatet av dessa krafter är:

Minustecknet betyder att riktningen för kraften F ex. och förskjutningsriktningen x är motsatta. F ex. - den elastiska kraft som uppstår när kroppen förskjuts i förhållande till jämviktspositionen på grund av kompression eller spänning av fjädern (beroende på vilken sida kroppen avböjs från jämviktspositionen). Kvalitativt visar figur 1.1 resultatet av verkan av den elastiska kraften (ju större förskjutning, desto större F-kontroll).

Figur 1.1 - Fjäderpendelns läge under en svängningsperiod.

Om systemet oscillerar under inverkan av krafter som utvecklas i själva oscillerande systemet utan yttre påverkan och utan att ta hänsyn till motståndskrafterna, så kallas svängningarna odämpade naturliga svängningar.

Frånvaron av svängningsdämpning är karakteristisk för ett idealiskt oscillerande system, vilket är fysisk modell verkliga fysiska processer.

Differentialekvation, motsvarande svängningarna hos en fjäderpendel, kan erhållas från lagen för dess rörelse, som är Newtons andra lag ma = F.

Med tanke på att accelerationen är andraderivatan av förskjutningen med avseende på tid
,
och kraften som verkar på kroppen är den elastiska kraften, bestämd för små förskjutningar av kroppen från jämviktspositionen enligt Hookes lag, som vi får

eller
.

Detta är andra ordningens differentialekvation för odämpade svängningar. Dess huvudsakliga utmärkande särdrag är det faktum att den andra derivatan av förskjutningen med avseende på tid (dvs acceleration) är proportionell mot förskjutningen. En differentialekvation där värdet av x ingår i noll eller första potens kallas linjär differentialekvation. I det följande kommer vi att visa att ekvationer av detta slag är karakteristiska för odämpade svängningar i vilket som helst idealt oscillerande system.

Vi överför alla termer i ekvationen till vänster sida och för differentialekvationen till formen:

Värde, beteckna det, vi får

Lösningen av en differentialekvation av detta slag är ekvationerna:

Eller

Dessa lösningar kallas oscillationsekvationer, de gör det möjligt att beräkna förskjutningen x för en fjäderpendel vid varje given tidpunkt.

Svängningar där de fysiska storheter som kännetecknar dem förändras enligt sinus- eller cosinuslagen kallas harmonisk.

Skillnaden mellan argumenten för sinus- och cosinusfunktionerna är, d.v.s. .
I det följande kommer vi oftast att använda lösningen av en differentialekvation i formen

I oscillationsekvationen:

MEN - förskjutningsamplitudär pendelns maximala avvikelse från jämviktspositionen;

X - partiskhet pendel, dvs. svängningspunktens (kroppens) avvikelse från jämviktspositionen vid tidpunkten t;

– oscillationsfas- värdet som bestämmer positionen för den oscillerande punkten vid någon tidpunkt t;

α – inledande fas bestämmer pendelns position vid den initiala tiden (t = 0).

Period T är det kortaste tidsintervall som systemet återgår till sin ursprungliga position. Under svängningsperioden slutför systemet en komplett svängning.

Frekvens periodiska svängningar kallas ett värde lika med antalet svängningar per tidsenhet.

Cyklisk eller cirkulär frekvens periodiska svängningar kallas ett värde lika med antalet svängningar som utförs per tidsenhet.

För en fjäderpendel har frekvensen och perioden för naturliga svängningar, beroende på systemets parametrar, formen:

, .

Genom att känna till förskjutningsekvationen för en fjäderpendel får vi liknande ekvationer för andra fysiska storheter. Låt oss hitta hastigheten, accelerationen, vibrationsenergin, om fjäderpendelns förskjutningsekvation ges i formen.

Hastighet pendelsvängningar är den första tidsderivatan av förskjutningen:

Kort beskrivning

Vibrationer är en av de vanligaste processerna inom natur och teknik. Höghus och högspänningsledningar svänger under inverkan av vinden, pendeln från en sårad klocka och en bil på fjädrar under rörelse, flodens nivå under året och temperaturen i människokroppen under sjukdom.

Mekaniska vibrationer………………………………………………………….

Elektromagnetiska oscillationer………………………..

Litteratur…………………………………………………………………..

fluktuationer– Det är rörelser eller processer som upprepas exakt eller ungefär med vissa tidsintervall.

Mekaniska svängningar - fluktuationer i mekaniska storheter (deplacement, hastighet, acceleration, tryck, etc.).

Mekaniska vibrationer (beroende på krafternas karaktär) är:

fri;

tvingade;

självsvängningar.

fri kallas vibrationer som uppstår när en enda verkan av en yttre kraft (det initiala budskapet om energi) och i frånvaro av yttre påverkan på det oscillerande systemet.

Gratis (eller egen)- dessa är svängningar i systemet under inverkan av inre krafter, efter att systemet har tagits ur jämvikt (i verkliga förhållanden dämpas alltid fria svängningar).

Förutsättningar för förekomsten av fria svängningar

1. Det oscillerande systemet måste ha en stabil jämviktsposition.

2. När systemet tas bort från jämviktsläget måste en resulterande kraft uppstå som återför systemet till dess ursprungliga position

3. Friktionskrafterna (motståndet) är mycket små.

Forcerade vibrationer- fluktuationer som uppstår under påverkan av yttre krafter som förändras över tiden.

Självsvängningar- odämpade svängningar i systemet, stödda av interna energikällor i frånvaro av en extern variabel kraft.

Frekvensen och amplituden av självsvängningar bestäms av egenskaperna hos själva oscillerande systemet.

Självsvängningar skiljer sig från fria svängningar genom att amplituden är oberoende av tiden och från den initiala verkan som excellerar svängningsprocessen.

Självsvängande system består av: oscillerande system; energikälla; återkopplingsanordning som reglerar energiflödet från en intern energikälla till ett oscillerande system.

Energin som kommer från källan under en period är lika med energin som förloras av det oscillerande systemet under samma tid.

Mekaniska vibrationer är indelade i:

fading;

odämpad.

dämpade vibrationer- fluktuationer, vars energi minskar med tiden.

Egenskaper för den oscillerande rörelsen:

permanent:

amplitud (A)

period (T)

frekvens()

Den största (i absoluta värde) avvikelsen för en oscillerande kropp från jämviktspositionen kallas vibrationsamplitud. Typiskt betecknas amplituden med bokstaven A.

Tidsintervallet under vilket kroppen fullbordar en fullständig svängning kallas period av svängning.

Svängningsperioden betecknas vanligtvis med bokstaven T och i SI mäts i sekunder (s).

Antalet svängningar per tidsenhet kallas oscillationsfrekvens.

Frekvensen betecknas med bokstaven v ("nu"). Enheten för frekvens är en svängning per sekund. Denna enhet heter hertz (Hz) för att hedra den tyske vetenskapsmannen Heinrich Hertz.

svängningsperioden T och svängningsfrekvensen v är relaterade av följande samband:

T=1/ eller =1/T.

Cyklisk (cirkulär) frekvens ωär antalet svängningar i 2π sekunder

Harmoniska vibrationer- mekaniska vibrationer som uppstår under inverkan av en kraft som är proportionell mot förskjutningen och riktad mot den. Harmoniska vibrationer är gjorda enligt lagen om sinus eller cosinus.

Låt materialpunkten utföra harmoniska svängningar.

Ekvationen för harmoniska svängningar har formen:

a - acceleration V - hastighet q - laddning A - amplitud t - tid

(eller naturliga vibrationer) är vibrationer i ett oscillerande system, utförda endast på grund av den initialt rapporterade energin (potentiell eller kinetisk) i frånvaro av yttre påverkan.

Potentiell eller kinetisk energi kan kommuniceras till exempel i mekaniska system genom en initial förskjutning eller en initial hastighet.

Fritt oscillerande kroppar samverkar alltid med andra kroppar och bildar tillsammans med dem ett system av kroppar som kallas oscillerande system.

Till exempel ingår en fjäder, en kula och en vertikal stolpe till vilken fjäderns övre ände är fäst (se figur nedan) i ett oscillerande system. Här glider kulan fritt längs strängen (friktionskrafterna är försumbara). Om du tar bollen till höger och lämnar den för sig själv kommer den att svänga fritt runt jämviktspositionen (punkt O) på grund av verkan av fjäderns elastiska kraft riktad mot jämviktsläget.

Ett annat klassiskt exempel på ett mekaniskt oscillerande system är den matematiska pendeln (se figuren nedan). I det här fallet utför bollen fria svängningar under inverkan av två krafter: gravitation och trådens elastiska kraft (Jorden går också in i det oscillerande systemet). Deras resultant riktas till jämviktspositionen.

De krafter som verkar mellan kropparna i ett oscillerande system kallas inre krafter. Utomstående krafter kallas de krafter som verkar på systemet från de kroppar som inte ingår i det. Ur denna synvinkel kan fria svängningar definieras som svängningar i systemet under inverkan av inre krafter efter att systemet tagits ur jämvikt.

Villkoren för förekomsten av fria svängningar är:

1) uppkomsten av en kraft i dem som återför systemet till en position med stabil jämvikt efter att det har tagits ur detta tillstånd;

2) ingen friktion i systemet.

Dynamik av fria svängningar.

Vibrationer av en kropp under inverkan av elastiska krafter. Ekvationen för en kropps oscillerande rörelse under inverkan av en elastisk kraft F() kan erhållas med hänsyn till Newtons andra lag ( F = ma) och Hookes lag ( F-kontroll = -kx), var mär bollens massa och är den acceleration som bollen förvärvar under inverkan av den elastiska kraften, k- fjäderstyvhetskoefficient, Xär kroppens förskjutning från jämviktspositionen (båda ekvationerna är skrivna i projektion på den horisontella axeln Åh). Att likställa de högra sidorna av dessa ekvationer och ta hänsyn till att accelerationen aär andraderivatan av koordinaten X(offset), vi får:

.

Likaså uttrycket för acceleration a vi får genom att skilja ( v = -v m sin ω 0 t = -v m x m cos (ω 0 t + π/2)):

a \u003d -a m cos ω 0 t,

var a m = ω 2 0 x mär accelerationsamplituden. Således är amplituden för hastigheten för harmoniska svängningar proportionell mot frekvensen, och accelerationsamplituden är proportionell mot kvadraten på svängningsfrekvensen.