Իրական աշխարհի քանակական հարաբերությունների գիտությունը։ Մաթեմատիկան՝ որպես իրական աշխարհի քանակական հարաբերությունների և տարածական ձևերի գիտություն։ Փոփոխականների մաթեմատիկայի ժամանակաշրջան

Ուսումնասիրվող օբյեկտների իդեալականացված հատկությունները կա՛մ ձևակերպվում են որպես աքսիոմներ, կա՛մ նշված են համապատասխան մաթեմատիկական օբյեկտների սահմանման մեջ: Այնուհետև, ըստ տրամաբանական եզրակացության խիստ կանոնների, այդ հատկություններից բխում են այլ ճշմարիտ հատկություններ (թեորեմներ): Այս տեսությունը միասին կազմում է ուսումնասիրվող օբյեկտի մաթեմատիկական մոդելը: Այսպիսով, ի սկզբանե ելնելով տարածական և քանակական հարաբերություններից, մաթեմատիկան ձեռք է բերում ավելի վերացական հարաբերություններ, որոնց ուսումնասիրությունը նույնպես ժամանակակից մաթեմատիկայի առարկան է։

Ավանդաբար մաթեմատիկան բաժանվում է տեսականի, որն իրականացնում է ներմաթեմատիկական կառուցվածքների խորը վերլուծություն և կիրառական, որն իր մոդելներն է տրամադրում այլ գիտությունների և ճարտարագիտական ​​առարկաների, իսկ որոշները զբաղեցնում են մաթեմատիկայի սահմանակից դիրք: Մասնավորապես, ֆորմալ տրամաբանությունը կարելի է համարել և՛ որպես փիլիսոփայական գիտությունների, և՛ որպես մաթեմատիկական գիտությունների մաս. մեխանիկա - և՛ ֆիզիկա, և՛ մաթեմատիկա; համակարգչային գիտությունը, համակարգչային տեխնիկան և ալգորիթմը և՛ ինժեներական, և՛ մաթեմատիկական գիտություններ են և այլն: Գրականության մեջ առաջարկվել են մաթեմատիկայի շատ տարբեր սահմանումներ:

Ստուգաբանություն

«Մաթեմատիկա» բառը գալիս է այլ հունարենից: μάθημα, որը նշանակում է ուսումնասիրությունը, գիտելիք, գիտությունըև այլն - հուն. μαθηματικός, սկզբնական իմաստով ընկալունակ, բեղմնավոր, ավելի ուշ ուսումնասիրելի, հետագայում մաթեմատիկայի հետ կապված. Մասնավորապես, μαθηματικὴ τέχνη , լատիներեն ars mathematica, նշանակում է մաթեմատիկայի արվեստ. Այլ հունարեն տերմինը. μᾰθημᾰτικά «մաթեմատիկա» բառի ժամանակակից իմաստով արդեն հանդիպում է Արիստոտելի աշխատություններում (մ.թ.ա. 4-րդ դար): Ըստ Ֆասմերի՝ բառը ռուսաց լեզու է եկել կամ լեհերենի միջոցով։ matematyka, կամ միջոցով լատ. մաթեմատիկա.

Սահմանումներ

Մաթեմատիկա առարկայի առաջին սահմանումներից մեկը տվել է Դեկարտը.

Մաթեմատիկայի ոլորտը ներառում է միայն այն գիտությունները, որոնցում դիտարկվում է կամ կարգը կամ չափումը, և բոլորովին կարևոր չէ, թե դրանք թվեր են, թվեր, աստղեր, հնչյուններ, թե որևէ այլ բան, որտեղ այս չափումը փնտրվում է: Այսպիսով, պետք է լինի ինչ-որ ընդհանուր գիտություն, որը կբացատրի կարգին և չափմանը վերաբերող ամեն ինչ՝ առանց որևէ կոնկրետ առարկայի ուսումնասիրության մեջ մտնելու, և այդ գիտությունը պետք է կոչվի ոչ թե օտար, այլ ընդհանուր մաթեմատիկայի հին, արդեն սովորական անունով:

Մաթեմատիկայի էությունը… այժմ ներկայացվում է որպես առարկաների միջև հարաբերությունների ուսմունք, որի մասին ոչինչ հայտնի չէ, բացառությամբ որոշ հատկությունների, որոնք նկարագրում են դրանք, հենց նրանց, որոնք դրված են որպես աքսիոմներ տեսության հիմքում… վերացական ձևերի մի շարք՝ մաթեմատիկական կառուցվածքներ:

Մաթեմատիկայի ճյուղեր

1. Մաթեմատիկա որպես ակադեմիական կարգապահություն

Նշում

Քանի որ մաթեմատիկան գործ ունի չափազանց բազմազան և բավականին բարդ կառուցվածքների հետ, դրա նշումը նույնպես շատ բարդ է: Բանաձևերի գրման ժամանակակից համակարգը ձևավորվել է եվրոպական հանրահաշվական ավանդույթի, ինչպես նաև մաթեմատիկայի հետագա ճյուղերի կարիքների հիման վրա՝ մաթեմատիկական վերլուծություն, մաթեմատիկական տրամաբանություն, բազմությունների տեսություն և այլն: Երկրաչափությունը անհիշելի ժամանակներից օգտագործել է տեսողական (երկրաչափական ) ներկայացուցչություն. Ժամանակակից մաթեմատիկայի մեջ նույնպես տարածված են բարդ գրաֆիկական նոտագրման համակարգերը (օրինակ՝ կոմուտատիվ դիագրամները), հաճախ օգտագործվում է նաև գրաֆիկների վրա հիմնված նշում։

Պատմվածք

Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն

Նպատակներ և մեթոդներ

Տիեզերք R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), ժամը n > 3 (\displaystyle n>3)մաթեմատիկական գյուտ է։ Այնուամենայնիվ, շատ հնարամիտ գյուտ, որն օգնում է մաթեմատիկորեն հասկանալ բարդ երեւույթները».

Հիմնադրամներ

ինտուիցիոնիզմ

Կառուցողական մաթեմատիկա

հստակեցնել

Հիմնական թեմաները

Քանակ

Հիմնական բաժինը, որը վերաբերում է քանակի վերացականությանը, հանրահաշիվն է: «Թիվ» հասկացությունն ի սկզբանե առաջացել է թվաբանական պատկերացումներից և վերաբերում էր բնական թվերին։ Հետագայում հանրահաշվի օգնությամբ այն աստիճանաբար տարածվեց ամբողջ թվերի, ռացիոնալ, իրական, բարդ և այլ թվերի վրա։

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\ցուցադրման ոճ 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) Ռացիոնալ թվեր 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) Իրական թվեր − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\ցուցադրման ոճ -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\ցուցադրման ոճ 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\կետեր) Կոմպլեքս թվեր Քառյակներ

Փոխակերպումներ

Փոխակերպումների և փոփոխությունների երևույթները վերլուծության միջոցով դիտարկվում են ամենաընդհանուր ձևով։

կառույցները

Տարածական հարաբերություններ

Երկրաչափությունը դիտարկում է տարածական հարաբերությունների հիմունքները։ Եռանկյունաչափությունը դիտարկում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները։ Մաթեմատիկական վերլուծության միջոցով երկրաչափական օբյեկտների ուսումնասիրությունը վերաբերում է դիֆերենցիալ երկրաչափությանը: Տոպոլոգիայի միջոցով ուսումնասիրվում են տարածությունների հատկությունները, որոնք անփոփոխ են մնում շարունակական դեֆորմացիաների ժամանակ և հենց շարունակականության երևույթը։

Դիսկրետ մաթ

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\ցուցադրման ոճ \բոլոր x(P(x)\Աջ սլաք P(x)))

Մաթեմատիկան գոյություն ունի շատ երկար ժամանակ: Մարդը մրգեր էր հավաքում, մրգեր փորում, ձկնորսություն անում և բոլորը պահում ձմռան համար։ Հասկանալու համար, թե որքան սնունդ է պահվում, մարդը հորինել է հաշիվը։ Այսպես սկսվեց մաթեմատիկան։

Հետո տղամարդը սկսեց զբաղվել գյուղատնտեսությամբ։ Հարկավոր էր չափել հողատարածքներ, կառուցել կացարաններ, չափել ժամանակը։

Այսինքն՝ անհրաժեշտություն է առաջացել, որ մարդն օգտագործի իրական աշխարհի քանակական հարաբերակցությունը։ Որոշեք, թե որքան բերք է հավաքվել, որքան է շինհրապարակի չափը կամ որքան մեծ է երկնքի տարածքը որոշակի քանակությամբ պայծառ աստղերով:

Բացի այդ, մարդը սկսեց որոշել ձևերը՝ արևը կլոր է, տուփը՝ քառակուսի, լիճը՝ օվալ, և ինչպես են այդ առարկաները գտնվում տիեզերքում։ Այսինքն՝ մարդուն հետաքրքրում էր իրական աշխարհի տարածական ձևերը։

Այսպիսով, հայեցակարգը Մաթեմատիկակարող է սահմանվել որպես իրական աշխարհի քանակական հարաբերությունների և տարածական ձևերի գիտություն։

Ներկայումս չկա մի մասնագիտություն, որտեղ կարելի է զբաղվել առանց մաթեմատիկայի։ Գերմանացի հայտնի մաթեմատիկոս Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսը, որին անվանում էին «Մաթեմատիկական արքա», մի անգամ ասել է.

«Մաթեմատիկան գիտությունների թագուհին է, թվաբանությունը՝ մաթեմատիկայի թագուհին»։

«Թվաբանություն» բառը գալիս է հունարեն «arithmos» - «թիվ» բառից:

Այսպիսով, թվաբանությունմաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է թվերն ու դրանց վրա կատարվող գործողությունները։

Տարրական դպրոցում առաջին հերթին սովորում են թվաբանություն։

Ինչպես է զարգացել այս գիտությունը, եկեք ուսումնասիրենք այս հարցը:

Մաթեմատիկայի ծննդյան շրջանը

Մաթեմատիկական գիտելիքների կուտակման հիմնական շրջանը համարվում է մ.թ.ա. 5-րդ դարից առաջ։

Առաջինը, ով սկսեց ապացուցել մաթեմատիկական դիրքերը, հին հույն մտածողն էր, ով ապրել է մ.թ.ա 7-րդ դարում, ենթադրաբար 625-545 թթ. Այս փիլիսոփան շրջել է Արևելքի երկրներով։ Ավանդույթն ասում է, որ նա սովորել է եգիպտացի քահանաների և բաբելոնի քաղդեացիների մոտ։

Թալես Միլետացին Եգիպտոսից Հունաստան բերեց տարրական երկրաչափության առաջին հասկացությունները՝ ինչ է տրամագիծը, ինչն է որոշում եռանկյունը և այլն։ Նա կանխատեսել է արևի խավարում, նախագծել ինժեներական կառույցներ։

Այս ընթացքում աստիճանաբար զարգանում է թվաբանությունը, զարգանում է աստղագիտությունը, երկրաչափությունը։ Ծնվում են հանրահաշիվն ու եռանկյունաչափությունը։

Տարրական մաթեմատիկայի շրջան

Այս շրջանը սկսվում է մ.թ.ա VI-ով։ Այժմ մաթեմատիկան առաջանում է որպես գիտություն՝ տեսություններով և ապացույցներով: Հայտնվում է թվերի տեսությունը, մեծությունների, դրանց չափման ուսմունքը։

Այս ժամանակի ամենահայտնի մաթեմատիկոսը Էվկլիդեսն է։ Ապրել է մ.թ.ա III դարում։ Այս մարդը մաթեմատիկայի մասին առաջին տեսական տրակտատի հեղինակն է, որը հասել է մեզ։

Էվկլիդեսի աշխատություններում տրված են, այսպես կոչված, էվկլիդեսյան երկրաչափության հիմքերը՝ սրանք աքսիոմներ են, որոնք հենվում են հիմնական հասկացությունների վրա, ինչպիսիք են.

Տարրական մաթեմատիկայի շրջանում ծնվել է թվերի տեսությունը, ինչպես նաև մեծությունների և դրանց չափման ուսմունքը։ Առաջին անգամ հայտնվում են բացասական և իռացիոնալ թվեր։

Այս շրջանի վերջում նկատվում է հանրահաշվի ստեղծումը՝ որպես բառացի հաշվարկ։ Հենց «հանրահաշվի» գիտությունը արաբների մոտ հանդես է գալիս որպես հավասարումներ լուծելու գիտություն։ «Հանրահաշիվ» բառը արաբերեն նշանակում է «վերականգնում», այսինքն՝ բացասական արժեքների փոխանցում հավասարման մեկ այլ մաս։

Փոփոխականների մաթեմատիկայի ժամանակաշրջան

Այս շրջանի հիմնադիրը Ռենե Դեկարտն է, ով ապրել է մ.թ. 17-րդ դարում։ Իր աշխատություններում Դեկարտն առաջին անգամ ներկայացնում է փոփոխական հասկացությունը։

Դրա շնորհիվ գիտնականները հաստատուն մեծությունների ուսումնասիրությունից անցնում են փոփոխականների փոխհարաբերությունների ուսումնասիրությանը և շարժման մաթեմատիկական նկարագրությանը։

Ֆրիդրիխ Էնգելսն առավել հստակ բնութագրել է այս ժամանակաշրջանը, իր գրվածքներում գրել է.

«Մաթեմատիկայում շրջադարձային կետը դեկարտյան փոփոխականն էր: Դրա շնորհիվ շարժումը և, հետևաբար, դիալեկտիկան մտավ մաթեմատիկա, և դրա շնորհիվ անհապաղ անհրաժեշտություն եղավ դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկը, որը անմիջապես առաջանում է, և որը մեծ հաշվով ավարտվեց, և ոչ թե հորինեցին Նյուտոնը և Լայբնիցը:

Ժամանակակից մաթեմատիկայի ժամանակաշրջան

19-րդ դարի 20-ական թվականներին Նիկոլայ Իվանովիչ Լոբաչևսկին դարձավ այսպես կոչված ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափության հիմնադիրը։

Այս պահից սկսվում է ժամանակակից մաթեմատիկայի կարևորագույն բաժինների զարգացումը։ Ինչպիսիք են հավանականությունների տեսությունը, բազմությունների տեսությունը, մաթեմատիկական վիճակագրությունը և այլն:

Այս բոլոր հայտնագործություններն ու ուսումնասիրությունները լայնորեն կիրառվում են գիտության տարբեր ոլորտներում։

Իսկ ներկայումս մաթեմատիկայի գիտությունը սրընթաց զարգանում է, մաթեմատիկա առարկան ընդլայնվում է՝ ներառելով նոր ձեւեր ու հարաբերություններ, ապացուցվում են նոր թեորեմներ, խորանում են հիմնարար հասկացությունները։

Ուսումնասիրվող օբյեկտների իդեալականացված հատկությունները կա՛մ ձևակերպվում են որպես աքսիոմներ, կա՛մ նշված են համապատասխան մաթեմատիկական օբյեկտների սահմանման մեջ: Այնուհետև, ըստ տրամաբանական եզրակացության խիստ կանոնների, այդ հատկություններից բխում են այլ ճշմարիտ հատկություններ (թեորեմներ): Այս տեսությունը միասին կազմում է ուսումնասիրվող օբյեկտի մաթեմատիկական մոդելը: Այսպիսով, սկզբնական շրջանում, ելնելով տարածական և քանակական հարաբերություններից, մաթեմատիկան ձեռք է բերում ավելի վերացական հարաբերություններ, որոնց ուսումնասիրությունը նույնպես ժամանակակից մաթեմատիկայի առարկան է։

Ավանդաբար մաթեմատիկան բաժանվում է տեսականի, որն իրականացնում է ներմաթեմատիկական կառուցվածքների խորը վերլուծություն և կիրառական, որն իր մոդելներն է տրամադրում այլ գիտությունների և ճարտարագիտական ​​առարկաների, իսկ որոշները զբաղեցնում են մաթեմատիկայի սահմանակից դիրք: Մասնավորապես, ֆորմալ տրամաբանությունը կարելի է համարել և՛ որպես փիլիսոփայական գիտությունների, և՛ որպես մաթեմատիկական գիտությունների մաս. մեխանիկա - և՛ ֆիզիկա, և՛ մաթեմատիկա; համակարգչային գիտությունը, համակարգչային տեխնիկան և ալգորիթմիկան վերաբերում են ինչպես ինժեներական, այնպես էլ մաթեմատիկական գիտություններին և այլն: Գրականության մեջ առաջարկվել են մաթեմատիկայի շատ տարբեր սահմանումներ (տես):

Ստուգաբանություն

«Մաթեմատիկա» բառը գալիս է այլ հունարենից: մաթիմա ( մաթեմատիկա), ինչը նշանակում է ուսումնասիրությունը, գիտելիք, գիտությունըև այլն - հուն. ուսուցողական ( մաթեմատիկոս), սկզբնական նշանակությամբ ընկալունակ, բեղմնավոր, ավելի ուշ ուսումնասիրելի, հետագայում մաթեմատիկայի հետ կապված. Մասնավորապես, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), լատիներեն ars mathematica, նշանակում է մաթեմատիկայի արվեստ.

Սահմանումներ

Մաթեմատիկայի ոլորտը ներառում է միայն այն գիտությունները, որոնցում դիտարկվում է կամ կարգը կամ չափումը, և բոլորովին կարևոր չէ, թե դրանք թվեր են, թվեր, աստղեր, հնչյուններ, թե որևէ այլ բան, որտեղ այս չափումը փնտրվում է: Այսպիսով, պետք է լինի ինչ-որ ընդհանուր գիտություն, որը կբացատրի կարգին և չափմանը վերաբերող ամեն ինչ՝ առանց որևէ կոնկրետ առարկայի ուսումնասիրության մեջ մտնելու, և այդ գիտությունը պետք է կոչվի ոչ թե օտար, այլ ընդհանուր մաթեմատիկայի հին, արդեն սովորական անունով:

Խորհրդային տարիներին Ա.Ն.Կոլմոգորովի կողմից տրված TSB-ի սահմանումը համարվում էր դասական.

Մաթեմատիկա ... իրական աշխարհի քանակական հարաբերությունների և տարածական ձևերի գիտություն:

Մաթեմատիկայի էությունը… այժմ ներկայացվում է որպես առարկաների միջև հարաբերությունների ուսմունք, որի մասին ոչինչ հայտնի չէ, բացառությամբ որոշ հատկությունների, որոնք նկարագրում են դրանք, հենց նրանց, որոնք դրված են որպես աքսիոմներ տեսության հիմքում… վերացական ձևերի մի շարք՝ մաթեմատիկական կառուցվածքներ:

Ահա մի քանի ավելի ժամանակակից սահմանումներ:

Ժամանակակից տեսական («մաքուր») մաթեմատիկան գիտություն է մաթեմատիկական կառուցվածքների, տարբեր համակարգերի և գործընթացների մաթեմատիկական ինվարիանտների մասին։

Մաթեմատիկան գիտություն է, որն ապահովում է մոդելներ հաշվարկելու հնարավորություն, որոնք կարող են վերածվել ստանդարտ (կանոնական) ձևի: Ֆորմալ փոխակերպումների միջոցով վերլուծական մոդելների (վերլուծության) լուծումներ գտնելու գիտությունը։

Մաթեմատիկայի ճյուղեր

1. Մաթեմատիկա որպես ակադեմիական կարգապահությունՌուսաստանի Դաշնությունում ստորաբաժանվում է միջնակարգ դպրոցում սովորած տարրական մաթեմատիկայի և ձևավորվում է հետևյալ առարկաներով.

• տարրական երկրաչափություն՝ պլանաչափություն և ստերեոմետրիա
• տարրական ֆունկցիաների տեսություն և վերլուծության տարրեր

4. Ամերիկյան մաթեմատիկական ընկերությունը (AMS) մշակել է մաթեմատիկայի ճյուղերի դասակարգման իր չափանիշը: Այն կոչվում է մաթեմատիկայի առարկայի դասակարգում: Այս ստանդարտը պարբերաբար թարմացվում է: Ներկայիս տարբերակը MSC 2010 է: Նախորդ տարբերակը MSC 2000 է:

Նշում

Շնորհիվ այն բանի, որ մաթեմատիկան գործ ունի չափազանց բազմազան և բավականին բարդ կառուցվածքների հետ, նշումը նույնպես շատ բարդ է։ Բանաձևերի գրման ժամանակակից համակարգը ձևավորվել է եվրոպական հանրահաշվական ավանդույթի, ինչպես նաև մաթեմատիկական վերլուծության հիման վրա (գործառույթ, ածանցյալ հասկացություն և այլն)։ Հին ժամանակներից երկրաչափությունը օգտագործել է տեսողական (երկրաչափական) պատկեր: Ժամանակակից մաթեմատիկայի մեջ նույնպես տարածված են բարդ գրաֆիկական նոտագրման համակարգերը (օրինակ՝ կոմուտատիվ դիագրամները), հաճախ օգտագործվում է նաև գրաֆիկների վրա հիմնված նշում։

Պատմվածք

Մաթեմատիկայի զարգացումը հիմնված է գրելու և թվեր գրելու կարողության վրա: Հավանաբար, հին մարդիկ առաջին անգամ քանակություն են արտահայտել՝ գետնին գծեր գծելով կամ փայտի վրա քերծելով։ Հին ինկերը, չունենալով այլ գրային համակարգ, թվային տվյալներ էին ներկայացնում և պահում՝ օգտագործելով պարանների հանգույցների բարդ համակարգ, այսպես կոչված, quipu: Կային բազմաթիվ տարբեր թվային համակարգեր: Թվերի մասին առաջին հայտնի գրառումները հայտնաբերվել են Ահմես պապիրուսում, որը ստեղծվել է Միջին Թագավորության եգիպտացիների կողմից: Հնդկական քաղաքակրթությունը մշակել է ժամանակակից տասնորդական թվային համակարգ, որը ներառում է զրոյի հայեցակարգը:

Պատմականորեն մաթեմատիկական հիմնական առարկաները ի հայտ են եկել առևտրային ոլորտում հաշվարկներ իրականացնելու, հողը չափելու և աստղագիտական ​​երևույթների կանխատեսման և, հետագայում, նոր ֆիզիկական խնդիրների լուծման անհրաժեշտության ազդեցության ներքո: Այս ոլորտներից յուրաքանչյուրը մեծ դեր է խաղում մաթեմատիկայի լայն զարգացման մեջ, որը բաղկացած է կառուցվածքների, տարածությունների և փոփոխությունների ուսումնասիրությունից:

Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն

Նպատակներ և մեթոդներ

Մաթեմատիկան ուսումնասիրում է երևակայական, իդեալական առարկաները և նրանց միջև փոխհարաբերությունները՝ օգտագործելով պաշտոնական լեզուն: Ընդհանուր առմամբ, մաթեմատիկական հասկացությունները և թեորեմները պարտադիր չէ, որ համապատասխանեն ֆիզիկական աշխարհում որևէ բանի։ Մաթեմատիկայի կիրառական ճյուղի հիմնական խնդիրը ուսումնասիրվող իրական օբյեկտի համար բավարար մաթեմատիկական մոդելի ստեղծումն է։ Տեսական մաթեմատիկոսի խնդիրն այս նպատակին հասնելու համար հարմար միջոցների բավարար փաթեթ տրամադրելն է։

Մաթեմատիկայի բովանդակությունը կարելի է սահմանել որպես մաթեմատիկական մոդելների և դրանց ստեղծման գործիքների համակարգ։ Օբյեկտի մոդելը հաշվի չի առնում նրա բոլոր հատկանիշները, այլ միայն առավել անհրաժեշտը ուսումնասիրության նպատակների համար (իդեալականացված): Օրինակ, նարնջի ֆիզիկական հատկությունները ուսումնասիրելիս մենք կարող ենք վերացվել նրա գույնից և համից և ներկայացնել այն (թեև ոչ կատարելապես ճշգրիտ) որպես գնդակ: Եթե ​​մենք պետք է հասկանանք, թե քանի նարինջ կստանանք, եթե գումարենք երկու և երեք, ապա մենք կարող ենք վերացական լինել ձևից՝ մոդելին թողնելով միայն մեկ հատկանիշ՝ քանակություն։ Աբստրակցիան և առարկաների միջև հարաբերությունների հաստատումը ամենաընդհանուր ձևով մաթեմատիկական ստեղծագործության հիմնական ոլորտներից մեկն է:

Մեկ այլ ուղղություն, աբստրակցիայի հետ մեկտեղ, ընդհանրացումն է։ Օրինակ՝ ընդհանրացնելով «տարածություն» հասկացությունը n-չափերի տարածությանը։ « Տարածությունը մաթեմատիկական գյուտ է: Այնուամենայնիվ, շատ հնարամիտ գյուտ, որն օգնում է մաթեմատիկորեն հասկանալ բարդ երեւույթները».

Ներմաթեմատիկական օբյեկտների ուսումնասիրությունը, որպես կանոն, տեղի է ունենում աքսիոմատիկ մեթոդով. նախ ուսումնասիրվող առարկաների համար ձևակերպվում է հիմնական հասկացությունների և աքսիոմների ցանկ, այնուհետև աքսիոմներից ստացվում են իմաստալից թեորեմներ՝ օգտագործելով եզրակացության կանոնները, որոնք միասին կազմում են. մաթեմատիկական մոդել։

Հիմնադրամներ

Մաթեմատիկայի էության և հիմունքների հարցը քննարկվել է դեռևս Պլատոնի ժամանակներից։ Սկսած 20-րդ դարից, գոյություն ունի համեմատական ​​համաձայնություն այն մասին, թե ինչը պետք է համարվի խիստ մաթեմատիկական ապացույց, բայց համաձայնություն չկա այն մասին, թե ինչը ճիշտ է համարվում մաթեմատիկայում: Սա տարաձայնությունների տեղիք է տալիս թե՛ աքսիոմատիկայի և թե՛ մաթեմատիկայի ճյուղերի փոխկապակցման հարցերում, թե՛ տրամաբանական համակարգերի ընտրության հարցում, որոնք պետք է օգտագործվեն ապացույցներում։

Բացի թերահավատից, այս հարցում հայտնի են հետևյալ մոտեցումները.

Բազմության տեսական մոտեցում

Առաջարկվում է բոլոր մաթեմատիկական առարկաները դիտարկել բազմությունների տեսության շրջանակներում, առավել հաճախ՝ Զերմելո-Ֆրենկելի աքսիոմատիկայով (չնայած կան շատ ուրիշներ, որոնք համարժեք են դրան)։ Այս մոտեցումը գերակշռող է համարվում 20-րդ դարի կեսերից, սակայն, իրականում, մաթեմատիկական աշխատությունների մեծ մասը խնդիր չի դնում իրենց պնդումները թարգմանել խստորեն բազմությունների տեսության լեզվով, այլ գործում են որոշ ոլորտներում հաստատված հասկացություններով և փաստերով։ մաթեմատիկայի. Այսպիսով, եթե հակասություն հայտնաբերվի բազմությունների տեսության մեջ, դա չի հանգեցնի արդյունքների մեծ մասի անվավերությանը:

տրամաբանություն

Այս մոտեցումը ենթադրում է մաթեմատիկական օբյեկտների խիստ մուտքագրում։ Կոմպլեկտների տեսության մեջ միայն հատուկ հնարքներով խուսափած շատ պարադոքսներ սկզբունքորեն անհնար են դառնում։

Ֆորմալիզմ

Այս մոտեցումը ներառում է դասական տրամաբանության վրա հիմնված ֆորմալ համակարգերի ուսումնասիրություն:

ինտուիցիոնիզմ

Ինտուիցիոնիզմը մաթեմատիկայի հիմքում ենթադրում է ինտուիցիոնիստական ​​տրամաբանություն, որն ապացուցման միջոցներով ավելի սահմանափակ է (բայց, ենթադրվում է, նաև ավելի հուսալի): Ինտուիցիոնիզմը մերժում է ապացույցը հակասության միջոցով, շատ ոչ կառուցողական ապացույցներ դառնում են անհնար, իսկ բազմությունների տեսության շատ խնդիրներ դառնում են անիմաստ (ոչ ֆորմալիզացվող):

Կառուցողական մաթեմատիկա

Կառուցողական մաթեմատիկան ինտուիցիոնիզմին մոտ մաթեմատիկայի միտում է, որն ուսումնասիրում է կառուցողական կոնստրուկցիաները [ հստակեցնել] . Ըստ կառուցողականության չափանիշի - « գոյություն ունենալ նշանակում է կառուցել«. Կառուցողականության չափանիշն ավելի ուժեղ պահանջ է, քան հետևողականության չափանիշը:

Հիմնական թեմաները

Թվեր

«Թիվ» հասկացությունն ի սկզբանե վերաբերում էր բնական թվերին։ Հետագայում այն ​​աստիճանաբար տարածվեց ամբողջ, ռացիոնալ, իրական, բարդ և այլ թվերի վրա։

Ամբողջ թվեր Ռացիոնալ թվեր Իրական թվեր Կոմպլեքս թվեր Քառյակներ

Թվային համակարգեր
Հաշվելով հավաքածուներ	Բնական թվեր () Ամբողջ թվեր () Ռացիոնալներ () Հանրահաշվական () Ժամանակահատվածներ Հաշվարկելի Թվաբանություն
Իրական թվեր և դրանց ընդարձակումները	Իրական () Կոմպլեքս () Քառյակներ () Կեյլի թվեր (օկտավաներ, օկտոնիոններ) () Սեդենիոններ () Այլընտրանքներ Քեյլի-Դիքսոնի պրոցեդուրա Կրկնակի հիպերկոմպլեքս Գուպերիրական հիպերռեալական սյուրռեալիստական ​​թիվ ( Անգլերեն)
Այլ թվային համակարգեր	Կարդինալ թվեր Հերթական թվեր (անցավերջական, շարքային) p-adic Գերբնական թվեր.
տես նաեւ	Կրկնակի թվեր Իռացիոնալ թվեր Տրանսցենդենտ թվի ճառագայթ Բիկվատերնիոն

Փոխակերպումներ

Դիսկրետ մաթ

Կոդերը գիտելիքի դասակարգման համակարգերում

Առցանց ծառայություններ

Կան մեծ թվով կայքեր, որոնք ծառայություններ են մատուցում մաթեմատիկական հաշվարկների համար։ Դրանց մեծ մասը անգլերեն են։ Ռուսալեզուներից կարելի է նշել Nigma որոնողական համակարգի մաթեմատիկական հարցումների ծառայությունը։

տես նաեւ

Գիտության հանրահռչակողներ

Նշումներ

1. Բրիտանական հանրագիտարան
2. Webster's առցանց բառարան
3. Գլուխ 2. Մաթեմատիկան որպես գիտության լեզու. Սիբիրյան բաց համալսարան. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թվականի փետրվարի 2-ին Վերցված է 2010 թվականի հոկտեմբերի 5-ին։
4. Մեծ հին հունարեն բառարան (αω)
5. XI-XVII դարերի ռուսաց լեզվի բառարան. Թողարկում 9 / Գլ. խմբ. F. P. Filin. - M.: Nauka, 1982. - S. 41:
6. Դեկարտ Ռ.Հոգին առաջնորդելու կանոններ. Մ.-Լ.՝ Սոցեկգիզ, 1936։
7. Տես՝ TSB Mathematics
8. Մարքս Կ., Էնգելս Ֆ.Աշխատանքներ. 2-րդ հրատ. T. 20. S. 37։
9. Բուրբակի Ն.Մաթեմատիկայի ճարտարապետությունը. Էսսեներ մաթեմատիկայի պատմության վերաբերյալ / Թարգմանել է Ի. Գ. Բաշմակովան, խմբ. Կ.Ա.Ռիբնիկովա. M.: IL, 1963. S. 32, 258:
10. Կազիև Վ.Մ.Մաթեմատիկայի ներածություն
11. Մուխին Օ.Ի.Մոդելավորման համակարգերի ձեռնարկ. Պերմ՝ RCI PSTU:
12. Հերման Վեյլ // Քլայն Մ.. - Մ.: Միր, 1984. - Ս. 16:
13. Բարձրագույն մասնագիտական ​​կրթության պետական ​​կրթական չափորոշիչ. Մասնագիտություն 01.01.00. "Մաթեմատիկա". Որակավորումը՝ մաթեմատիկոս. Մոսկվա, 2000 (Կազմվել է Օ. Բ. Լուպանովի ղեկավարությամբ)
14. Ռուսաստանի կրթության և գիտության նախարարության 2009 թվականի փետրվարի 25-ի թիվ 59 հրամանով հաստատված գիտաշխատողների մասնագիտությունների անվանացանկը.
15. UDC 51 Մաթեմատիկա
16. Յա.Ս.Բուգրով, Ս.Մ.Նիկոլսկի. Գծային հանրահաշվի և անալիտիկ երկրաչափության տարրեր։ M.: Nauka, 1988. S. 44:
17. Ն.Ի.Կոնդակով. Տրամաբանական բառարան-տեղեկագիրք. M.: Nauka, 1975. S. 259:
18. G. I. Ռուզավին. Մաթեմատիկական գիտելիքների բնույթի մասին. Մ.: 1968 թ.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Օրինակ՝ http://mathworld.wolfram.com

գրականություն

հանրագիտարաններ

• // Բրոքհաուսի և Էֆրոնի հանրագիտարանային բառարան. 86 հատորով (82 հատոր և 4 հավելյալ): - Սանկտ Պետերբուրգ. , 1890-1907 թթ.
• Մաթեմատիկական հանրագիտարան (5 հատորով), 1980-ական թթ. // Ընդհանուր և հատուկ մաթեմատիկական հղումներ EqWorld-ում
• Կոնդակով Ն.Ի.Տրամաբանական բառարան-տեղեկագիրք. Մոսկվա: Նաուկա, 1975 թ.
• Մաթեմատիկական գիտությունների հանրագիտարան և դրանց կիրառությունները (գերմաներեն) 1899-1934 թթ. (19-րդ դարի գրականության ամենամեծ ակնարկը)

Տեղեկատվական գրքեր

• G. Korn, T. Korn.Մաթեմատիկայի ձեռնարկ գիտնականների և ճարտարագետների Մ., 1973 թ

Գրքեր

• Քլայն Մ.Մաթեմատիկա. Վստահության կորուստ. - Մ.: Միր, 1984:
• Քլայն Մ.Մաթեմատիկա. Ճշմարտության որոնում. Մ.: Միր, 1988:
• Քլայն Ֆ.Տարրական մաթեմատիկան ավելի բարձր տեսանկյունից.

• Հատոր I. Թվաբանություն. Հանրահաշիվ. Վերլուծություն M.: Nauka, 1987. 432 p.
• Հատոր II. Երկրաչափություն Մ.: Nauka, 1987. 416 p.

• R. Courant, G. Robbins.Ի՞նչ է մաթեմատիկան: 3-րդ հրատ., rev. և լրացուցիչ - Մ.: 2001. 568 էջ.
• Պիսարևսկի Բ. Մ., Խարին Վ.Տ.Մաթեմատիկայի մասին, մաթեմատիկոսներ և ոչ միայն. - Մ.: Բինոմ: Գիտելիքի լաբորատորիա, 2012. - 302 p.
• Պուանկարե Ա.Գիտություն և մեթոդ (ռուս.) (fr.)

Մաթեմատիկան ամենահին գիտություններից է։ Մաթեմատիկայի հակիրճ սահմանում տալն ամենևին էլ հեշտ չէ, դրա բովանդակությունը մեծապես կտարբերվի՝ կախված մարդու մաթեմատիկական կրթության մակարդակից։ Տարրական դպրոցի աշակերտը, ով նոր է սկսել թվաբանություն սովորել, կասի, որ մաթեմատիկան ուսումնասիրում է առարկաները հաշվելու կանոնները։ Եվ նա ճիշտ կլինի, քանի որ հենց սրա հետ է սկզբում ծանոթանում։ Ավագ աշակերտները ասվածին կավելացնեն, որ մաթեմատիկայի հայեցակարգը ներառում է հանրահաշիվ և երկրաչափական առարկաների ուսումնասիրություն՝ ուղիղներ, դրանց խաչմերուկներ, հարթ պատկերներ, երկրաչափական մարմիններ, տարբեր տեսակի փոխակերպումներ: Ավագ դպրոցի շրջանավարտները մաթեմատիկայի սահմանման մեջ կներառեն նաև ֆունկցիաների և սահմանին անցնելու գործողությունների ուսումնասիրությունը, ինչպես նաև հարակից ածանցյալ և ինտեգրալ հասկացությունները։ Բարձրագույն տեխնիկական ուսումնական հաստատությունների կամ բուհերի և մանկավարժական ինստիտուտների բնագիտական ​​բաժինների շրջանավարտներն այլևս չեն բավարարվի դպրոցի սահմանումներով, քանի որ նրանք գիտեն, որ մաթեմատիկայի մաս են կազմում նաև այլ առարկաներ. հավանականությունների տեսություն, մաթեմատիկական վիճակագրություն, դիֆերենցիալ հաշվարկ, ծրագրավորում, հաշվողական մեթոդներ, ինչպես նաև այս առարկաների կիրառությունները արտադրական գործընթացների մոդելավորման, փորձարարական տվյալների մշակման, տեղեկատվության փոխանցման և մշակման համար: Սակայն թվարկվածը չի սպառում մաթեմատիկայի բովանդակությունը։ Բազմությունների տեսությունը, մաթեմատիկական տրամաբանությունը, օպտիմալ կառավարումը, պատահական գործընթացների տեսությունը և շատ ավելին ներառված են նաև դրա կազմի մեջ։

Մաթեմատիկան սահմանելու փորձերը՝ թվարկելով դրա բաղկացուցիչ ճյուղերը, մեզ մոլորեցնում են, քանի որ դրանք գաղափար չեն տալիս, թե կոնկրետ ինչ է ուսումնասիրում մաթեմատիկան և ինչպիսին է դրա առնչությունը մեզ շրջապատող աշխարհի հետ: Եթե ​​նմանատիպ հարց տրվեր ֆիզիկոսին, կենսաբանին կամ աստղագետին, ապա նրանցից յուրաքանչյուրը կտա շատ կարճ պատասխան՝ չպարունակելով այն մասերի ցանկը, որոնք կազմում են իրենց ուսումնասիրած գիտությունը: Նման պատասխանը ցույց կտա բնության երևույթները, որոնք նա ուսումնասիրում է: Օրինակ, կենսաբանը կասեր, որ կենսաբանությունը կյանքի տարբեր դրսեւորումների ուսումնասիրությունն է: Թեև այս պատասխանը լիովին ամբողջական չէ, քանի որ այն չի ասում, թե ինչ են կյանքի և կյանքի երևույթները, այնուամենայնիվ, նման սահմանումը բավականին ամբողջական պատկերացում կտա բուն կենսաբանության գիտության բովանդակության և այս գիտության տարբեր մակարդակների մասին: . Եվ այս սահմանումը չէր փոխվի կենսաբանության մասին մեր գիտելիքների ընդլայնմամբ:

Չկան բնության, տեխնիկական կամ սոցիալական գործընթացների այնպիսի երևույթներ, որոնք լինեին մաթեմատիկայի ուսումնասիրության առարկա, բայց կապված չլինեին ֆիզիկական, կենսաբանական, քիմիական, ինժեներական կամ սոցիալական երևույթների հետ։ Յուրաքանչյուր բնագիտական ​​առարկա՝ կենսաբանություն և ֆիզիկա, քիմիա և հոգեբանություն, որոշվում է իր առարկայի նյութական առանձնահատկություններով, իրական աշխարհի այն տարածքի առանձնահատկություններով, որոնք նա ուսումնասիրում է: Օբյեկտը կամ երևույթն ինքնին կարելի է ուսումնասիրել տարբեր մեթոդներով, ներառյալ մաթեմատիկական, բայց մեթոդները փոխելով մենք դեռ մնում ենք այս գիտության սահմաններում, քանի որ այս գիտության բովանդակությունը իրական առարկան է, այլ ոչ թե հետազոտության մեթոդը: Մաթեմատիկայի համար հետազոտության նյութական առարկան որոշիչ նշանակություն չունի, կարևոր է կիրառական մեթոդը։ Օրինակ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կարող են օգտագործվել ինչպես տատանողական շարժումը ուսումնասիրելու, այնպես էլ անհասանելի առարկայի բարձրությունը որոշելու համար։ Իսկ իրական աշխարհի ո՞ր երևույթները կարելի է ուսումնասիրել մաթեմատիկական մեթոդով։ Այս երևույթները որոշվում են ոչ թե իրենց նյութական բնույթով, այլ բացառապես ձևական կառուցվածքային հատկություններով, և առաջին հերթին այն քանակական հարաբերություններով և տարածական ձևերով, որոնցում նրանք գոյություն ունեն:

Այսպիսով, մաթեմատիկան ուսումնասիրում է ոչ թե նյութական առարկաները, այլ հետազոտության մեթոդները և ուսումնասիրության օբյեկտի կառուցվածքային հատկությունները, որոնք թույլ են տալիս դրա նկատմամբ կիրառել որոշակի գործողություններ (գումարում, տարբերակում և այլն): Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկական խնդիրների, հասկացությունների և տեսությունների զգալի մասը որպես հիմնական աղբյուր ունի իրական երևույթներն ու գործընթացները։ Օրինակ՝ թվաբանությունը և թվերի տեսությունը առաջացել են առարկաների հաշվման առաջնային գործնական առաջադրանքից։ Տարրական երկրաչափությունն ուներ որպես սկզբնաղբյուր խնդիրներ՝ կապված հեռավորությունների համեմատության, հարթ պատկերների մակերեսների կամ տարածական մարմինների ծավալների հաշվարկի հետ։ Այս ամենը պետք էր գտնել, քանի որ անհրաժեշտ էր հողը վերաբաշխել օգտագործողների միջև, հաշվարկել ամբարների չափերը կամ հողային աշխատանքների ծավալը պաշտպանական կառույցների կառուցման ժամանակ։

Մաթեմատիկական արդյունքն ունի այն հատկությունը, որ այն կարող է օգտագործվել ոչ միայն որոշակի երևույթի կամ գործընթացի ուսումնասիրության մեջ, այլև օգտագործել այլ երևույթներ ուսումնասիրելու համար, որոնց ֆիզիկական բնույթը սկզբունքորեն տարբերվում է նախկինում դիտարկվածներից: Այսպիսով, թվաբանության կանոնները կիրառելի են և՛ տնտեսական, և՛ տեխնիկական, և՛ գյուղատնտեսության խնդիրների լուծման, և՛ գիտահետազոտական ​​հարցերում։ Թվաբանության կանոնները մշակվել են հազարամյակներ առաջ, սակայն դրանք ընդմիշտ պահպանել են իրենց գործնական արժեքը։ Թվաբանությունը մաթեմատիկայի անբաժանելի մասն է, նրա ավանդական մասն այլևս ենթակա չէ ստեղծագործական զարգացման մաթեմատիկայի շրջանակներում, սակայն այն գտնում է և կգտնի բազմաթիվ նոր կիրառություններ։ Այս հավելվածները կարող են մեծ նշանակություն ունենալ մարդկության համար, բայց դրանք այլևս չեն նպաստի պատշաճ մաթեմատիկային:

Մաթեմատիկան, որպես ստեղծագործական ուժ, նպատակ ունի մշակել ընդհանուր կանոններ, որոնք պետք է օգտագործվեն բազմաթիվ հատուկ դեպքերում: Նա, ով ստեղծում է այս կանոնները, ստեղծում է նոր բան, ստեղծում է: Նա, ով կիրառում է պատրաստի կանոններ, այլևս չի ստեղծագործում հենց մաթեմատիկայում, այլ, հնարավոր է, մաթեմատիկական կանոնների օգնությամբ նոր արժեքներ է ստեղծում գիտելիքի այլ ոլորտներում: Օրինակ, այսօր արբանյակային պատկերների մեկնաբանությունից ստացված տվյալները, ինչպես նաև ապարների կազմության և տարիքի, երկրաքիմիական և երկրաֆիզիկական անոմալիաների մասին տեղեկությունները մշակվում են համակարգիչների միջոցով: Անկասկած, երկրաբանական հետազոտություններում համակարգչի օգտագործումը այս հետազոտությունը թողնում է երկրաբանական: Համակարգիչների և դրանց ծրագրային ապահովման շահագործման սկզբունքները մշակվել են առանց հաշվի առնելու դրանց կիրառման հնարավորությունը՝ ի շահ երկրաբանական գիտության։ Այս հնարավորությունն ինքնին որոշվում է նրանով, որ երկրաբանական տվյալների կառուցվածքային հատկությունները համապատասխանում են որոշակի համակարգչային ծրագրերի տրամաբանությանը:

Տարածված են դարձել մաթեմատիկայի երկու սահմանումներ. Դրանցից առաջինը տրվել է Ֆ. Էնգելսի կողմից Anti-Dühring-ում, մյուսը ֆրանսիացի մաթեմատիկոսների խմբի կողմից, որը հայտնի է որպես Նիկոլա Բուրբակի «Մաթեմատիկայի ճարտարապետությունը» հոդվածում (1948):

«Մաքուր մաթեմատիկան իր առարկան ունի իրական աշխարհի տարածական ձևերն ու քանակական հարաբերությունները»։ Այս սահմանումը ոչ միայն նկարագրում է մաթեմատիկայի ուսումնասիրության առարկան, այլև նշում է դրա ծագումը` իրական աշխարհը: Այնուամենայնիվ, Ֆ.Էնգելսի այս սահմանումը մեծապես արտացոլում է մաթեմատիկայի վիճակը 19-րդ դարի երկրորդ կեսին։ և հաշվի չի առնում իր նոր տարածքները, որոնք ուղղակիորեն կապված չեն ոչ քանակական հարաբերությունների, ոչ էլ երկրաչափական ձևերի հետ։ Սա առաջին հերթին մաթեմատիկական տրամաբանություն է և ծրագրավորման հետ կապված առարկաներ։ Հետևաբար, այս սահմանումը որոշակի պարզաբանման կարիք ունի: Թերևս պետք է ասել, որ մաթեմատիկան ուսումնասիրության առարկա ունի տարածական ձևերը, քանակական հարաբերությունները, տրամաբանական կառուցվածքները։

Բուրբակին պնդում է, որ «միակ մաթեմատիկական առարկաները, ճիշտ ասած, մաթեմատիկական կառուցվածքներն են»: Այսինքն՝ մաթեմատիկան պետք է սահմանել որպես մաթեմատիկական կառուցվածքների գիտություն։ Այս սահմանումը, ըստ էության, տավտոլոգիա է, քանի որ այն ասում է միայն մեկ բան. մաթեմատիկան վերաբերում է իր ուսումնասիրած առարկաներին: Այս սահմանման մեկ այլ թերություն այն է, որ այն չի պարզաբանում մաթեմատիկայի կապը մեզ շրջապատող աշխարհի հետ: Ավելին, Բուրբակին ընդգծում է, որ մաթեմատիկական կառույցները ստեղծվում են իրական աշխարհից և դրա երևույթներից անկախ։ Այդ իսկ պատճառով Բուրբակին ստիպված էր հայտարարել, որ «հիմնական խնդիրը փորձարարական աշխարհի և մաթեմատիկական աշխարհի հարաբերություններն են։ Այն, որ փորձարարական երևույթների և մաթեմատիկական կառուցվածքների միջև սերտ կապ կա, թվում է, թե բոլորովին անսպասելի կերպով հաստատվել է ժամանակակից ֆիզիկայի բացահայտումներով, բայց մենք բացարձակապես անտեղյակ ենք դրա խորը պատճառներից… և, հավանաբար, երբեք չենք իմանա դրանք: .

Նման հիասթափեցնող եզրակացություն չի կարող ծագել Ֆ.Էնգելսի սահմանումից, քանի որ այն արդեն պարունակում է այն պնդումը, որ մաթեմատիկական հասկացությունները վերացումներ են իրական աշխարհի որոշակի հարաբերություններից և ձևերից: Այս հասկացությունները վերցված են իրական աշխարհից և կապված են դրա հետ: Ըստ էության, սա բացատրում է մաթեմատիկայի արդյունքների զարմանալի կիրառելիությունը մեզ շրջապատող աշխարհի երևույթների նկատմամբ, և միևնույն ժամանակ գիտելիքի մաթեմատիկացման գործընթացի հաջողությունը։

Մաթեմատիկան բացառություն չէ գիտելիքի բոլոր ոլորտներից. այն նաև ձևավորում է հասկացություններ, որոնք առաջանում են գործնական իրավիճակներից և հետագա վերացականություններից. այն թույլ է տալիս մոտավոր ուսումնասիրել իրականությունը։ Բայց միևնույն ժամանակ պետք է նկատի ունենալ, որ մաթեմատիկան ուսումնասիրում է ոչ թե իրական աշխարհի իրերը, այլ վերացական հասկացությունները, և որ նրա տրամաբանական եզրակացությունները բացարձակապես խիստ և ճշգրիտ են։ Նրա մոտիկությունն իր բնույթով ներքին չէ, այլ կապված է երեւույթի մաթեմատիկական մոդելի կազմման հետ։ Մենք նաև նշում ենք, որ մաթեմատիկայի կանոնները բացարձակ կիրառելիություն չունեն, դրանք ունեն նաև կիրառման սահմանափակ տարածք, որտեղ գերակայում են։ Արտահայտված միտքը բացատրենք օրինակով՝ պարզվում է, որ երկուսը և երկուսը միշտ չէ, որ հավասար են չորսի։ Հայտնի է, որ 2 լիտր սպիրտ եւ 2 լիտր ջուր խառնելիս ստացվում է 4 լիտրից պակաս խառնուրդ։ Այս խառնուրդում մոլեկուլները դասավորված են ավելի կոմպակտ, իսկ խառնուրդի ծավալը փոքր է բաղկացուցիչ բաղադրիչների ծավալների գումարից։ Թվաբանության գումարման կանոնը խախտված է. Կարելի է բերել նաև օրինակներ, որոնցում թվաբանության այլ ճշմարտություններ են խախտվում, օրինակ՝ որոշ առարկաներ գումարելիս պարզվում է, որ գումարը կախված է գումարման կարգից։

Շատ մաթեմատիկոսներ մաթեմատիկական հասկացությունները համարում են ոչ թե որպես մաքուր բանականության ստեղծագործություն, այլ որպես իրականում գոյություն ունեցող իրերից, երևույթներից, գործընթացներից կամ վերացականումներ արդեն հաստատված վերացականություններից (ավելի բարձր կարգերի վերացականումներ): Բնության դիալեկտիկայում Ֆ. Էնգելսը գրել է, որ «...բոլոր, այսպես կոչված, մաքուր մաթեմատիկան զբաղված է աբստրակցիաներով... նրա բոլոր քանակությունները, խստորեն ասած, երևակայական մեծություններ են…»: Այս խոսքերը միանգամայն հստակ արտացոլում են կարծիքը մարքսիստական ​​փիլիսոփայության հիմնադիրներից մեկը մաթեմատիկայում աբստրակցիաների դերի մասին։ Ավելացնենք միայն, որ այս բոլոր «երևակայական մեծությունները» վերցված են իրականությունից և չեն կառուցվում կամայականորեն՝ մտքի ազատ թռիչքով։ Այսպես ընդհանուր կիրառության մեջ մտավ թիվ հասկացությունը։ Սկզբում դրանք թվեր էին միավորների մեջ, և, առավել ևս, միայն դրական ամբողջ թվեր: Հետո փորձն ինձ ստիպեց ընդլայնել թվերի զինանոցը տասնյակների և հարյուրավորների։ Մի շարք ամբողջ թվերի անսահմանափակության հայեցակարգը ծնվել է արդեն մեզ պատմականորեն մոտ դարաշրջանում. Արքիմեդը «Psammit» («Ավազի հատիկների հաշվարկ») գրքում ցույց տվեց, թե ինչպես կարելի է կառուցել նույնիսկ ավելի մեծ թվեր, քան տրվածները: . Միևնույն ժամանակ, կոտորակային թվերի հասկացությունը ծնվել է գործնական կարիքներից։ Ամենապարզ երկրաչափական պատկերների հետ կապված հաշվարկները մարդկությանը հանգեցրել են նոր թվերի՝ իռացիոնալ թվերի։ Այսպիսով, աստիճանաբար ձևավորվեց բոլոր իրական թվերի բազմության գաղափարը:

Նույն ուղին կարելի է հետևել մաթեմատիկայի ցանկացած այլ հասկացության համար: Դրանք բոլորն առաջացել են գործնական կարիքներից և աստիճանաբար վերածվել վերացական հասկացությունների։ Կարելի է կրկին հիշել Ֆ. Էնգելսի խոսքերը. «...մաքուր մաթեմատիկան յուրաքանչյուր անհատի հատուկ փորձից անկախ նշանակություն ունի... Բայց բոլորովին սխալ է, որ մաքուր մաթեմատիկայի մեջ միտքը գործ ունի միայն իր արտադրանքի հետ։ ստեղծագործականություն և երևակայություն: Թիվ և գործիչ հասկացությունները ոչ մի տեղից չեն վերցված, այլ միայն իրական աշխարհից։ Տասը մատները, որոնց վրա մարդիկ սովորեցին հաշվել, այսինքն՝ կատարել առաջին թվաբանական գործողությունը, ամեն ինչ են, քան մտքի ազատ ստեղծագործության արդյունքը: Հաշվելու համար անհրաժեշտ է ունենալ ոչ միայն հաշվվող առարկաներ, այլ նաև շեղվելու կարողություն ունենալ՝ հաշվի առնելով այդ առարկաները բոլոր մյուս հատկություններից, բացի թվից, և այդ ունակությունը երկար պատմական զարգացման արդյունք է, որը հիմնված է. փորձը։ Ե՛վ թվի, և՛ գործչի հասկացությունը փոխառված են բացառապես արտաքին աշխարհից և գլխում չեն առաջացել մաքուր մտածողությունից։ Պետք է լինեին բաներ, որոնք ունենային որոշակի ձև, և այդ ձևերը պետք է համեմատվեին, նախքան գործչի հասկացությանը հասնելը:

Եկեք դիտարկենք, թե արդյոք գիտության մեջ կան հասկացություններ, որոնք ստեղծվում են առանց գիտության անցյալի առաջընթացի և պրակտիկայի ներկայիս առաջընթացի հետ կապ ունենալու։ Մենք շատ լավ գիտենք, որ գիտամաթեմատիկական ստեղծագործությանը նախորդում է բազմաթիվ առարկաների ուսումնասիրությունը դպրոցում, համալսարանում, գրքեր կարդալը, հոդվածները, զրույցները մասնագետների հետ ինչպես իրենց, այնպես էլ գիտելիքի այլ ոլորտներում։ Մաթեմատիկոսն ապրում է հասարակության մեջ, և գրքերից, ռադիոյից, այլ աղբյուրներից նա իմանում է գիտության, ճարտարագիտության և սոցիալական կյանքում ծագող խնդիրների մասին։ Բացի այդ, հետազոտողի մտածողության վրա ազդում է գիտական ​​մտքի ողջ նախորդ էվոլյուցիան: Ուստի ստացվում է, որ պատրաստ է գիտության առաջընթացին անհրաժեշտ որոշակի խնդիրների լուծմանը։ Այդ իսկ պատճառով գիտնականը չի կարող իր կամքով, քմահաճույքով խնդիրներ առաջադրել, այլ պետք է ստեղծի մաթեմատիկական հասկացություններ և տեսություններ, որոնք արժեքավոր կլինեն գիտության, այլ հետազոտողների, մարդկության համար։ Բայց մաթեմատիկական տեսությունները պահպանում են իրենց նշանակությունը տարբեր սոցիալական կազմավորումների և պատմական դարաշրջանների պայմաններում։ Բացի այդ, հաճախ նույն գաղափարները ծագում են գիտնականներից, որոնք ոչ մի կերպ կապված չեն: Սա լրացուցիչ փաստարկ է նրանց դեմ, ովքեր հավատարիմ են մաթեմատիկական հասկացությունների ազատ ստեղծման հայեցակարգին։

Այսպիսով, մենք պատմեցինք, թե ինչ է ներառված «մաթեմատիկա» հասկացության մեջ։ Բայց կա նաև կիրառական մաթեմատիկա: Այն հասկացվում է որպես բոլոր մաթեմատիկական մեթոդների և առարկաների ամբողջություն, որոնք կիրառություն են գտնում մաթեմատիկայից դուրս: Հին ժամանակներում երկրաչափությունն ու թվաբանությունը ներկայացնում էին ամբողջ մաթեմատիկան, և քանի որ երկուսն էլ բազմաթիվ կիրառություններ էին գտնում առևտրային փոխանակումների, տարածքների և ծավալների չափման, ինչպես նաև նավիգացիայի հարցերում, ամբողջ մաթեմատիկան ոչ միայն տեսական էր, այլև կիրառական: Հետագայում Հին Հունաստանում տեղի ունեցավ բաժանում մաթեմատիկայի և կիրառական մաթեմատիկայի: Սակայն բոլոր ականավոր մաթեմատիկոսները զբաղվում էին նաև կիրառական աշխատանքներով, և ոչ միայն զուտ տեսական հետազոտություններով։

Մաթեմատիկայի հետագա զարգացումը շարունակաբար կապված էր բնագիտության և տեխնիկայի առաջընթացի, սոցիալական նոր կարիքների առաջացման հետ։ XVIII դարի վերջում։ անհրաժեշտություն կար (առաջին հերթին նավագնացության և հրետանու խնդիրների հետ կապված) ստեղծելու շարժման մաթեմատիկական տեսություն։ Դա իրենց աշխատություններում արել են Գ.Վ.Լայբնիցը և Ի.Նյուտոնը։ Կիրառական մաթեմատիկան համալրվել է հետազոտության նոր շատ հզոր մեթոդով՝ մաթեմատիկական վերլուծությամբ։ Գրեթե միաժամանակ ժողովրդագրության և ապահովագրության կարիքները հանգեցրին հավանականությունների տեսության սկզբնավորման ձևավորմանը (տես Հավանականության տեսություն)։ 18-րդ և 19-րդ դդ ընդլայնել է կիրառական մաթեմատիկայի բովանդակությունը՝ դրան ավելացնելով սովորական և մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների տեսությունը, մաթեմատիկական ֆիզիկայի հավասարումները, մաթեմատիկական վիճակագրության տարրերը, դիֆերենցիալ երկրաչափությունը։ 20 րդ դար բերեց գործնական խնդիրների մաթեմատիկական հետազոտության նոր մեթոդներ՝ պատահական գործընթացների տեսություն, գրաֆիկների տեսություն, ֆունկցիոնալ վերլուծություն, օպտիմալ կառավարում, գծային և ոչ գծային ծրագրավորում։ Ավելին, պարզվեց, որ թվերի տեսությունը և վերացական հանրահաշիվը անսպասելի կիրառություն են գտել ֆիզիկայի խնդիրներում։ Արդյունքում սկսեց ձևավորվել այն համոզմունքը, որ կիրառական մաթեմատիկան որպես առանձին առարկա գոյություն չունի, և որ բոլոր մաթեմատիկան կարելի է համարել կիրառական։ Թերևս պետք է ասել, որ մաթեմատիկան կիրառական է և տեսական, այլ մաթեմատիկոսները բաժանվում են կիրառականի և տեսաբանների։ Ոմանց համար մաթեմատիկան շրջապատող աշխարհի և նրանում տեղի ունեցող երևույթների ճանաչման մեթոդ է, հենց այդ նպատակով է գիտնականը զարգացնում և ընդլայնում մաթեմատիկական գիտելիքները։ Մյուսների համար մաթեմատիկան ինքնին ներկայացնում է ուսումնասիրության և զարգացման արժանի մի ամբողջ աշխարհ: Գիտության առաջընթացի համար անհրաժեշտ են երկու տեսակի գիտնականներ։

Մաթ. Մոդելը ստիպում է հետազոտողին ընտրել այն մաթեմատիկական գործիքները, որոնք թույլ կտան ադեկվատ կերպով փոխանցել ուսումնասիրվող երեւույթի առանձնահատկությունները և դրա էվոլյուցիան։ Որպես օրինակ՝ վերցնենք մոլորակային համակարգի մոդելը. Արևը և մոլորակները համարվում են նյութական կետեր՝ համապատասխան զանգվածներով։ Յուրաքանչյուր երկու կետի փոխազդեցությունը որոշվում է նրանց միջև ներգրավման ուժով

որտեղ m 1 և m 2 փոխազդող կետերի զանգվածներն են, r-ը նրանց միջև հեռավորությունն է, իսկ f-ը գրավիտացիոն հաստատունն է: Չնայած այս մոդելի պարզությանը, վերջին երեք հարյուր տարիների ընթացքում այն ​​մեծ ճշգրտությամբ փոխանցում է Արեգակնային համակարգի մոլորակների շարժման առանձնահատկությունները։

Իհարկե, յուրաքանչյուր մոդել կոպտացնում է իրականությունը, և հետազոտողի խնդիրն է, առաջին հերթին, առաջարկել այնպիսի մոդել, որը, մի կողմից, առավելագույնս կհաղորդի հարցի փաստացի կողմը (ինչպես ասում են՝ դրա ֆիզիկական առանձնահատկությունները). իսկ մյուս կողմից էական մոտարկում է տալիս իրականությանը։ Իհարկե, նույն երեւույթի համար կարելի է առաջարկել մի քանի մաթեմատիկական մոդելներ։ Նրանք բոլորն իրավունք ունեն գոյություն ունենալ այնքան ժամանակ, քանի դեռ մոդելի և իրականության միջև զգալի անհամապատասխանությունը չի սկսել ազդել։

Մաթեմատիկա 1. Որտեղի՞ց է առաջացել մաթեմատիկա բառը 2. Ո՞վ է հորինել մաթեմատիկան: 3. Հիմնական թեմաներ. 4. Սահմանում 5. Ստուգաբանություն Վերջին սլայդում:

Որտեղի՞ց է առաջացել բառը (գնալ նախորդ սլայդին) Մաթեմատիկա հունարենից - ուսումնասիրություն, գիտություն) - գիտություն կառուցվածքների, կարգի և հարաբերությունների մասին, որը պատմականորեն հիմնված է հաշվելու, չափելու և առարկաների ձևը նկարագրելու գործողությունների վրա: Մաթեմատիկական առարկաները ստեղծվում են իրական կամ այլ մաթեմատիկական առարկաների հատկությունները իդեալականացնելու և այդ հատկությունները ֆորմալ լեզվով գրելու միջոցով:

Ո՞վ է հորինել մաթեմատիկան (գնալ մենյու) Առաջին մաթեմատիկոսը սովորաբար կոչվում է Թալես Միլետացին, ով ապրել է VI դարում: մ.թ.ա ե. Հունաստանի, այսպես կոչված, յոթ իմաստուններից մեկը։ Ինչ էլ որ լինի, նա էր, ով առաջինն էր, ով կառուցեց ամբողջ գիտելիքների բազան այս թեմայի վերաբերյալ, որը վաղուց ձևավորվել էր իրեն հայտնի աշխարհում: Այնուամենայնիվ, մեզ հասած մաթեմատիկայի մասին առաջին տրակտատի հեղինակը Էվկլիդեսն էր (Ք.ա. III դ.): Նա նույնպես արժանիորեն համարվում է այս գիտության հայրը։

Հիմնական թեմաները (գնալ մենյու) Մաթեմատիկայի ոլորտը ներառում է միայն այն գիտությունները, որոնցում դիտարկվում է կամ կարգը կամ չափումը, և բոլորովին կարևոր չէ, թե դրանք թվեր են, թվեր, աստղեր, հնչյուններ կամ որևէ այլ բան, որում այս չափումը հայտնաբերվել է. Այսպիսով, պետք է լինի ինչ-որ ընդհանուր գիտություն, որը կբացատրի կարգին և չափմանը վերաբերող ամեն ինչ՝ առանց որևէ կոնկրետ առարկայի ուսումնասիրության մեջ մտնելու, և այդ գիտությունը պետք է կոչվի ոչ թե օտար, այլ ընդհանուր մաթեմատիկայի հին, արդեն սովորական անունով:

Սահմանում (գնալ մենյու) Ժամանակակից վերլուծությունը հիմնված է դասական մաթեմատիկական վերլուծության վրա, որը համարվում է մաթեմատիկայի երեք հիմնական ոլորտներից մեկը (հանրահաշվի և երկրաչափության հետ մեկտեղ): Միևնույն ժամանակ, դասական իմաստով «մաթեմատիկական վերլուծություն» տերմինը հիմնականում օգտագործվում է ուսումնական ծրագրերում և նյութերում։ Անգլո-ամերիկյան ավանդույթի համաձայն դասական մաթեմատիկական վերլուծությունը համապատասխանում է «calculus» անվանմամբ կուրսային ծրագրերին.

Ստուգաբանություն (գնալ դեպի մենյու) «Մաթեմատիկա» բառը գալիս է այլ հունարենից: , որը նշանակում է ուսումնասիրություն, գիտելիք, գիտություն և այլն: -Հունարեն, սկզբնապես նշանակում է ընկալունակ, հաջողակ, հետագայում՝ կապված ուսումնասիրության հետ, հետագայում՝ կապված մաթեմատիկայի հետ։ Կոնկրետ լատիներեն նշանակում է մաթեմատիկայի արվեստ։ Տերմինն այլ է՝ հունարեն։ Այս բառի ժամանակակից իմաստով «մաթեմատիկա» արդեն հանդիպում է Արիստոտելի աշխատություններում (մ.թ.ա. 4-րդ դար), «Ընտրվածների գրքում համառոտ ինը մուսաների և յոթ ազատ արվեստների մասին» (1672 թ.)

Մաթեմատիկան գիտություն է իրական աշխարհի քանակական հարաբերությունների և տարածական ձևերի մասին։ Գիտության և տեխնիկայի պահանջների հետ սերտորեն կապված, մաթեմատիկայի կողմից ուսումնասիրված քանակական հարաբերությունների և տարածական ձևերի պաշարն անընդհատ ընդլայնվում է, այնպես որ վերը նշված սահմանումը պետք է հասկանալ ամենաընդհանուր իմաստով:

Մաթեմատիկա ուսումնասիրելու նպատակն է բարձրացնել ընդհանուր հայացքը, մտածողության մշակույթը, գիտական ​​աշխարհայացքի ձևավորումը։

Մաթեմատիկայի՝ որպես հատուկ գիտության անկախ դիրքի ըմբռնումը հնարավոր դարձավ բավականաչափ մեծ քանակությամբ փաստական ​​նյութի կուտակումից հետո և առաջին անգամ առաջացավ Հին Հունաստանում մ.թ.ա. 6-5-րդ դարերում: Սա տարրական մաթեմատիկայի շրջանի սկիզբն էր։

Այս ժամանակահատվածում մաթեմատիկական հետազոտությունները վերաբերում էին միայն հիմնական հասկացությունների բավականին սահմանափակ պաշարին, որոնք առաջացել էին տնտեսական կյանքի ամենապարզ պահանջներից: Միաժամանակ արդեն տեղի է ունենում մաթեմատիկայի՝ որպես գիտության որակական բարելավում։

Ժամանակակից մաթեմատիկան հաճախ համեմատվում է մեծ քաղաքի հետ: Սա հիանալի համեմատություն է, քանի որ մաթեմատիկայում, ինչպես մեծ քաղաքում, աճի և կատարելագործման շարունակական գործընթաց է: Մաթեմատիկայում նոր ոլորտներ են առաջանում, կառուցվում են էլեգանտ և խորը նոր տեսություններ, ինչպես նոր թաղամասերի և շենքերի կառուցումը: Բայց մաթեմատիկայի առաջընթացը չի սահմանափակվում նորի կառուցման շնորհիվ քաղաքի դեմքը փոխելով։ Մենք պետք է փոխենք հինը. Հին տեսությունները ներառված են նոր, ավելի ընդհանուր տեսությունների մեջ. անհրաժեշտություն կա ամրացնել հին շենքերի հիմքերը։ Մաթեմատիկական քաղաքի հեռավոր թաղամասերի միջև կապեր հաստատելու համար պետք է նոր փողոցներ կառուցվեն։ Բայց դա բավարար չէ. ճարտարապետական ​​ձևավորումը զգալի ջանք է պահանջում, քանի որ մաթեմատիկայի տարբեր ոլորտների բազմազանությունը ոչ միայն փչացնում է գիտության ընդհանուր տպավորությունը, այլև խանգարում է գիտության ըմբռնմանը որպես ամբողջություն՝ կապեր հաստատելով դրա տարբեր մասերի միջև:

Հաճախ օգտագործվում է մեկ այլ համեմատություն՝ մաթեմատիկան նմանեցվում է մեծ ճյուղավորված ծառի, որը համակարգված կերպով նոր ընձյուղներ է տալիս։ Ծառի յուրաքանչյուր ճյուղ մաթեմատիկայի այս կամ այն ​​ոլորտն է: Ճյուղերի թիվն անփոփոխ չի մնում, քանի որ աճում են նոր ճյուղեր, աճում են միասին՝ սկզբում առանձին աճելով, ճյուղերի մի մասը չորանում է՝ զրկվելով սնուցող հյութերից։ Երկու համեմատություններն էլ հաջողված են և շատ լավ փոխանցում են գործերի իրական վիճակը։

Անկասկած, գեղեցկության պահանջարկը կարևոր դեր է խաղում մաթեմատիկական տեսությունների կառուցման գործում։ Անշուշտ կարելի է ասել, որ գեղեցկության ընկալումը շատ սուբյեկտիվ է, և այս մասին հաճախ բավականին տգեղ պատկերացումներ կան։ Եվ այնուամենայնիվ, պետք է զարմանալ այն միաձայնության վրա, որը մաթեմատիկոսները դրել են «գեղեցկություն» հասկացության մեջ. արդյունքը համարվում է գեղեցիկ, եթե փոքր թվով պայմաններից հնարավոր է ստանալ ընդհանուր եզրակացություն՝ կապված օբյեկտների լայն շրջանակի հետ։ Մաթեմատիկական ածանցումը համարվում է գեղեցիկ, եթե պարզ և կարճ պատճառաբանությամբ հնարավոր է դրանում ապացուցել նշանակալի մաթեմատիկական փաստ։ Մաթեմատիկոսի հասունությունը, նրա տաղանդը կռահվում է նրանով, թե որքան զարգացած է նրա գեղեցկության զգացումը։ Էսթետիկորեն ամբողջական և մաթեմատիկորեն կատարյալ արդյունքներն ավելի հեշտ են հասկանալ, հիշել և օգտագործել. ավելի հեշտ է բացահայտել նրանց հարաբերությունները գիտելիքի այլ ոլորտների հետ:

Մաթեմատիկան մեր ժամանակներում դարձել է գիտական ​​առարկա՝ հետազոտությունների բազմաթիվ ոլորտներով, հսկայական քանակությամբ արդյունքներով և մեթոդներով: Մաթեմատիկան հիմա այնքան մեծ է, որ հնարավոր չէ, որ մեկ մարդ ծածկի այն իր բոլոր մասերով, չկա դրա ունիվերսալ մասնագետ լինելու հնարավորություն։ Նրա առանձին ուղղությունների միջև կապերի կորուստն անշուշտ այս գիտության բուռն զարգացման բացասական հետևանքն է։ Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկայի բոլոր ճյուղերի զարգացման հիմքում կա մի ընդհանուր բան՝ զարգացման ակունքները, մաթեմատիկայի ծառի արմատները։

Էվկլիդեսի երկրաչափությունը՝ որպես բնագիտական ​​առաջին տեսություն

• 3-րդ դարում Ալեքսանդրիայում հայտնվեց Էվկլիդեսի համանուն գիրքը՝ «Սկիզբների» ռուսերեն թարգմանությամբ։ Լատինական «Սկիզբներ» անունից առաջացել է «տարրական երկրաչափություն» տերմինը։ Թեև Էվկլիդեսի նախորդների գրվածքները մեզ չեն հասել, այս գրվածքների մասին մենք կարող ենք որոշ կարծիք կազմել Էվկլիդեսի տարրերից։ «Սկիզբներում» կան բաժիններ, որոնք տրամաբանորեն շատ քիչ են կապված այլ բաժինների հետ։ Նրանց տեսքը բացատրվում է միայն նրանով, որ դրանք ներկայացվել են ավանդույթի համաձայն և կրկնօրինակում են Էվկլիդեսի նախորդների «Սկիզբները»։

  Էվկլիդեսի տարրերը բաղկացած է 13 գրքից։ 1 - 6 գրքերը նվիրված են պլանաչափությանը, 7 - 10 գրքերը թվաբանական և անհամեմատելի մեծությունների մասին են, որոնք կարելի է կառուցել կողմնացույցի և ուղղության միջոցով: 11-ից 13-րդ գրքերը նվիրված էին ստերեոմետրիային:

  «Սկիզբները» սկսվում են 23 սահմանումների և 10 աքսիոմների ներկայացմամբ: Առաջին հինգ աքսիոմները «ընդհանուր հասկացություններ» են, մնացածը կոչվում են «պոստուլատներ»։ Առաջին երկու պոստուլատները գործողությունները որոշում են իդեալական քանոնի օգնությամբ, երրորդը՝ իդեալական կողմնացույցի օգնությամբ։ Չորրորդը՝ «բոլոր ուղիղ անկյունները հավասար են միմյանց», ավելորդ է, քանի որ այն կարելի է եզրակացնել մնացած աքսիոմներից։ Վերջին՝ հինգերորդ պոստուլատում ասվում էր. «Եթե ուղիղ գիծն ընկնում է երկու ուղիղների վրա և ձևավորում ներքին միակողմանի անկյուններ երկու ուղիղների գումարով, ապա այս երկու ուղիղների անսահմանափակ շարունակությամբ դրանք կհատվեն. այն կողմը, որտեղ անկյունները պակաս են երկու ուղիղ գծից»:

  Էվկլիդեսի հինգ «ընդհանուր հասկացությունները» երկարությունների, անկյունների, մակերեսների, ծավալների չափման սկզբունքներն են. «եթե հավասարները հանվում են հավասարներից, ապա մնացորդները միմյանց միջև հավասար են», «միմյանց հետ համակցվելով հավասար են միմյանց», «ամբողջը մեծ է մասից»։

  Հետո եկավ Էվկլիդեսի երկրաչափության քննադատությունը։ Էվկլիդեսին քննադատում էին երեք պատճառով. այն բանի համար, որ նա հաշվի էր առել միայն այնպիսի երկրաչափական մեծություններ, որոնք կարելի է կառուցել կողմնացույցի և ուղղության միջոցով. երկրաչափությունն ու թվաբանությունը բաժանելու և ամբողջ թվերի համար ապացուցելու այն, ինչ նա արդեն ապացուցել էր երկրաչափական մեծությունների համար, և, վերջապես, Էվկլիդեսի աքսիոմների համար։ Հինգերորդ պոստուլատը՝ Էվկլիդեսի ամենադժվար պոստուլատը, ամենաուժեղ քննադատությանն է արժանացել։ Շատերը դա համարում էին ավելորդ, և որ այն կարելի է և պետք է հանգել այլ աքսիոմներից։ Մյուսները կարծում էին, որ այն պետք է փոխարինվի ավելի պարզ և ավելի պատկերազարդով, որը համարժեք է դրան.

  Երկրաչափության և թվաբանության միջև բացը քննադատելը հանգեցրեց թվի հասկացության ընդլայնմանը իրական թվի վրա: Հինգերորդ պոստուլատի մասին վեճերը հանգեցրին նրան, որ 19-րդ դարի սկզբին Ն.Ի.Լոբաչևսկին, Ջ.Բոլայը և Կ.Ֆ. Այն փոխարինվել է հակառակ հայտարարությամբ՝ «Ուղղից դուրս գտնվող կետով անցնող հարթությունում կարող են գծվել մեկից ավելի ուղիղներ, որոնք չեն հատում տրվածը»։ Այս երկրաչափությունը նույնքան համահունչ էր, որքան Էվկլիդեսի երկրաչափությունը։

  Էվկլիդեսյան հարթության վրա Լոբաչևսկու պլանաչափության մոդելը կառուցվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Անրի Պուանկարեի կողմից 1882 թվականին։

  Հորիզոնական գիծ գծե՛ք Էվկլիդեսյան հարթության վրա։ Այս ուղիղը կոչվում է բացարձակ (x): Բացարձակից վեր ընկած Էվկլիդեսյան հարթության կետերը Լոբաչևսկու հարթության կետերն են։ Լոբաչևսկու ինքնաթիռը բաց կիսահեծան է, որը գտնվում է բացարձակից վեր։ Պուանկարեի մոդելի ոչ էվկլիդեսյան հատվածները շրջանագծերի աղեղներ են, որոնք կենտրոնացած են բացարձակին ուղղահայաց բացարձակ կամ ուղիղ հատվածների վրա (AB, CD): Լոբաչևսկու հարթության վրա գտնվող պատկերը բաց կիսահավասարի պատկերն է, որը գտնվում է բացարձակից (F) վերևում։ Ոչ էվկլիդյան շարժումը վերջավոր թվով ինվերսիաների բաղադրություն է՝ կենտրոնացած բացարձակ և առանցքային սիմետրիաների վրա, որոնց առանցքներն ուղղահայաց են բացարձակին։ Երկու ոչ էվկլիդեսյան հատվածները հավասար են, եթե դրանցից մեկը կարող է թարգմանվել մյուսի մեջ ոչ էվկլիդյան շարժումով։ Սրանք Լոբաչևսկու պլանաչափության աքսիոմատիկայի հիմնական հասկացություններն են։

  Լոբաչևսկու պլանաչափության բոլոր աքսիոմները համահունչ են։ «Ոչ էվկլիդեսյան ուղիղը կիսաշրջան է, որի ծայրերը բացարձակի վրա են, կամ բացարձակի վրա ծագում ունեցող ճառագայթը և բացարձակին ուղղահայաց»: Այսպիսով, Լոբաչևսկու զուգահեռության աքսիոմի պնդումը գործում է ոչ միայն այս ուղիղի վրա չգտնվող a և A կետի համար, այլ նաև ցանկացած a և դրա վրա չգտնվող ցանկացած կետի համար:

  Լոբաչևսկու երկրաչափության հետևում առաջացան այլ հետևողական երկրաչափություններ. Էվկլիդյանից անջատված պրոյեկտիվ երկրաչափություն, զարգացավ բազմաչափ էվկլիդյան երկրաչափություն, առաջացավ Ռիմանյան երկրաչափություն (տարածությունների ընդհանուր տեսություն՝ երկարությունների չափման կամայական օրենքով) և այլն։ Էվկլիդյան տարածությունը, երկրաչափությունը 40 - 50 տարիների ընթացքում վերածվել է տարբեր տեսությունների մի շարքի, որոնք միայն փոքր-ինչ նման են իր նախահայրին՝ Էվկլիդեսի երկրաչափությանը:

  Ժամանակակից մաթեմատիկայի ձևավորման հիմնական փուլերը. Ժամանակակից մաթեմատիկայի կառուցվածքը

• Ակադեմիկոս Ա.Ն.Կոլմոգորովը առանձնացնում է մաթեմատիկայի զարգացման չորս ժամանակաշրջան Կոլմոգորով Ա.Ն. - Մաթեմատիկա, Մաթեմատիկական հանրագիտարանային բառարան, Մոսկվա, Սովետական ​​հանրագիտարան, 1988. մաթեմատիկայի ծնունդ, տարրական մաթեմատիկա, փոփոխականների մաթեմատիկա, ժամանակակից մաթեմատիկա:

  Տարրական մաթեմատիկայի զարգացման ընթացքում թվերի տեսությունը աստիճանաբար դուրս է գալիս թվաբանությունից։ Հանրահաշիվը ստեղծվում է որպես բառացի հաշվարկ: Եվ հին հույների կողմից ստեղծված տարրական երկրաչափության ներկայացման համակարգը՝ Էվկլիդեսի երկրաչափությունը, երկու հազարամյակ առաջ դարձավ մաթեմատիկական տեսության դեդուկտիվ կառուցման մոդել։

  17-րդ դարում բնական գիտությունների և տեխնիկայի պահանջները հանգեցրին մեթոդների ստեղծմանը, որոնք թույլ են տալիս մաթեմատիկական ուսումնասիրել շարժումները, մեծությունների փոփոխման գործընթացները և երկրաչափական պատկերների փոխակերպումը։ Անալիտիկ երկրաչափության մեջ փոփոխականների կիրառմամբ և դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկների ստեղծմամբ սկսվում է փոփոխականների մաթեմատիկայի շրջանը։ 17-րդ դարի մեծ հայտնագործություններն են Նյուտոնի և Լայբնիցի կողմից ներմուծված անվերջ փոքր մեծության հայեցակարգը, անսահման փոքր մեծությունների վերլուծության հիմքերի ստեղծումը (մաթեմատիկական վերլուծություն)։

  Առաջին պլան է գալիս ֆունկցիա հասկացությունը։ Ֆունկցիան դառնում է ուսումնասիրության հիմնական առարկա: Ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը տանում է դեպի մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացությունները՝ սահման, ածանցյալ, դիֆերենցիալ, ինտեգրալ։

  Այս ժամանակին է պատկանում նաև Ռ.Դեկարտի փայլուն գաղափարի ի հայտ գալը կոորդինատների մեթոդի վերաբերյալ։ Ստեղծվում է անալիտիկ երկրաչափություն, որը թույլ է տալիս ուսումնասիրել երկրաչափական առարկաները հանրահաշվի և վերլուծության մեթոդներով։ Մյուս կողմից, կոորդինատային մեթոդը բացեց հանրահաշվական և վերլուծական փաստերի երկրաչափական մեկնաբանության հնարավորությունը:

  Մաթեմատիկայի հետագա զարգացումը հանգեցրեց 19-րդ դարի սկզբին քանակական հարաբերությունների և տարածական ձևերի հնարավոր տեսակների ուսումնասիրության խնդրի ձևակերպմանը բավականին ընդհանուր տեսանկյունից։

  Մաթեմատիկայի և բնագիտության միջև կապը գնալով ավելի բարդ է դառնում։ Նոր տեսություններ են առաջանում և դրանք առաջանում են ոչ միայն բնագիտության և տեխնիկայի պահանջների, այլ նաև մաթեմատիկայի ներքին կարիքի հետևանքով։ Նման տեսության ուշագրավ օրինակ է Ն.Ի.Լոբաչևսկու երևակայական երկրաչափությունը։ Մաթեմատիկայի զարգացումը 19-20-րդ դարերում թույլ է տալիս այն վերագրել ժամանակակից մաթեմատիկայի ժամանակաշրջանին։ Ինքը՝ մաթեմատիկայի զարգացումը, գիտության տարբեր բնագավառների մաթեմատիկացումը, մաթեմատիկական մեթոդների ներթափանցումը գործնական գործունեության շատ ոլորտներ, համակարգչային տեխնիկայի առաջընթացը հանգեցրել են մաթեմատիկական նոր առարկաների առաջացմանը, օրինակ՝ գործառնությունների հետազոտություն, խաղերի տեսություն, մաթեմատիկական տնտեսագիտություն և այլն։

  Մաթեմատիկական հետազոտության հիմնական մեթոդները մաթեմատիկական ապացույցներն են՝ խիստ տրամաբանական հիմնավորումը։ Մաթեմատիկական մտածողությունը չի սահմանափակվում տրամաբանական դատողություններով: Մաթեմատիկական ինտուիցիան անհրաժեշտ է խնդրի ճիշտ ձևակերպման, դրա լուծման մեթոդի ընտրությունը գնահատելու համար։

  Մաթեմատիկայում ուսումնասիրվում են առարկաների մաթեմատիկական մոդելները։ Նույն մաթեմատիկական մոդելը կարող է նկարագրել իրական երևույթների հատկությունները, որոնք հեռու են միմյանցից։ Այսպիսով, նույն դիֆերենցիալ հավասարումը կարող է նկարագրել բնակչության աճի և ռադիոակտիվ նյութի քայքայման գործընթացները: Մաթեմատիկոսի համար կարևոր է ոչ թե դիտարկվող առարկաների բնույթը, այլ նրանց միջև գոյություն ունեցող հարաբերությունները:

  Մաթեմատիկայում կա հիմնավորման երկու տեսակ՝ դեդուկցիա և ինդուկցիա։

  Ինդուկցիան հետազոտական ​​մեթոդ է, որի դեպքում ընդհանուր եզրակացությունը կառուցվում է որոշակի պայմանների հիման վրա:

  Դեդուկցիան պատճառաբանման մեթոդ է, որի միջոցով ընդհանուր նախադրյալներից բխում է որոշակի բնույթի եզրակացություն:

  Մաթեմատիկան կարևոր դեր է խաղում բնագիտության, ճարտարագիտության և հումանիտար գիտությունների բնագավառում: Գիտելիքների տարբեր ճյուղեր մաթեմատիկայի ներթափանցման պատճառն այն է, որ այն առաջարկում է շրջակա իրականության ուսումնասիրության շատ հստակ մոդելներ՝ ի տարբերություն այլ գիտությունների կողմից առաջարկվող ավելի քիչ ընդհանուր և անորոշ մոդելների: Առանց ժամանակակից մաթեմատիկայի, իր զարգացած տրամաբանական և հաշվողական ապարատի առկայությամբ, մարդկային գործունեության տարբեր ոլորտներում առաջընթացն անհնար կլիներ:

  Մաթեմատիկան ոչ միայն կիրառական խնդիրների լուծման հզոր գործիք է և գիտության համընդհանուր լեզու, այլև ընդհանուր մշակույթի տարր:

  Մաթեմատիկական մտածողության հիմնական առանձնահատկությունները

• Այս հարցում առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում Ա.Յա.Խինչինի կողմից տրված մաթեմատիկական մտածողության հատկանիշը, ավելի ճիշտ՝ դրա կոնկրետ պատմական ձևը՝ մաթեմատիկական մտածողության ոճը։ Բացահայտելով մաթեմատիկական մտածողության ոճի էությունը՝ նա առանձնացնում է բոլոր դարաշրջաններին բնորոշ չորս հատկանիշ, որոնք նկատելիորեն տարբերում են այս ոճը այլ գիտությունների մտածողության ոճերից։

  Նախ՝ մաթեմատիկոսին բնորոշ է սահմանագծին հասցված տրամաբանական սխեմայի գերակայությունը։ Մաթեմատիկոսը, ով կորցնում է տեսադաշտը այս սխեմայի մասին, գոնե ժամանակավորապես, ընդհանրապես կորցնում է գիտականորեն մտածելու ունակությունը: Մաթեմատիկական մտածողության ոճի այս յուրօրինակ առանձնահատկությունն ինքնին մեծ արժեք ունի։ Ակնհայտ է, որ առավելագույն չափով դա թույլ է տալիս վերահսկել մտքի հոսքի ճիշտությունը և երաշխավորում է սխալներից. մյուս կողմից, դա ստիպում է մտածողին աչքի առաջ ունենալ վերլուծության ընթացքում առկա հնարավորությունների ամբողջությունը և պարտավորեցնում է հաշվի առնել դրանցից յուրաքանչյուրը՝ առանց որևէ մեկը բաց թողնելու (նման բացթողումներ միանգամայն հնարավոր են և, ըստ էության, հաճախ են նկատվում. մտածողության այլ ոճերում):

  Երկրորդ, հակիրճությունը, այսինքն. միշտ դեպի տվյալ նպատակ տանող ամենակարճ տրամաբանական ուղին գտնելու գիտակցված ցանկություն, անողոք մերժում այն ​​ամենից, ինչը բացարձակապես անհրաժեշտ է փաստարկի անբասիր վավերականության համար։ Լավ ոճի մաթեմատիկական շարադրություն, չի հանդուրժում ոչ մի «ջուր», ոչ զարդարում, թուլացնում է բամբասանքի տրամաբանական լարվածությունը, կողքից շեղելը. ծայրահեղ ժլատությունը, մտքի խիստ խստությունը և դրա ներկայացումը մաթեմատիկական մտածողության բաղկացուցիչ հատկանիշն են։ Այս հատկանիշը մեծ արժեք ունի ոչ միայն մաթեմատիկական, այլեւ ցանկացած այլ լուրջ պատճառաբանության համար։ Լաքոնիզմը, ավելորդ ոչինչ թույլ չտալու ցանկությունը, օգնում է և՛ մտածողին, և՛ նրա ընթերցողին կամ ունկնդրին ամբողջությամբ կենտրոնանալ մտքի տվյալ գնացքի վրա՝ չշեղվելով երկրորդական գաղափարներից և առանց կորցնելու անմիջական կապը հիմնավորման հիմնական գծի հետ։

  Գիտության լուսատուները, որպես կանոն, լակոնիկ են մտածում և արտահայտվում գիտելիքի բոլոր բնագավառներում, նույնիսկ այն ժամանակ, երբ նրանց միտքը հիմնովին նոր գաղափարներ է ստեղծում և առաջադրում։ Ի՜նչ հոյակապ տպավորություն է, օրինակ, ֆիզիկայի մեծագույն ստեղծողների՝ Նյուտոնի, Էյնշտեյնի, Նիլս Բորի մտքի ու խոսքի վեհ ժլատությունը։ Թերևս դժվար է գտնել ավելի ցայտուն օրինակ, թե ինչ խորը ազդեցություն կարող է ունենալ դրա ստեղծողների մտածելակերպը գիտության զարգացման վրա։

  Մաթեմատիկայի համար մտքի հակիրճությունն անվիճելի օրենք է, որը կանոնականացվել է դարերով։ Ներկայացումը ոչ պարտադիր (նույնիսկ ունկնդիրների համար հաճելի և հետաքրքրաշարժ) նկարներով ծանրաբեռնելու ցանկացած փորձ նախօրոք դրվում է օրինական կասկածի տակ և ինքնաբերաբար առաջացնում է քննադատական ​​զգոնություն:

  Երրորդ՝ տրամաբանության ընթացքի հստակ տարրալուծում։ Եթե, օրինակ, դրույթն ապացուցելիս պետք է դիտարկենք չորս հնարավոր դեպք, որոնցից յուրաքանչյուրը կարելի է բաժանել այս կամ այն ​​թվով ենթադեպերի, ապա պատճառաբանության յուրաքանչյուր պահին մաթեմատիկոսը պետք է հստակ հիշի, թե որ դեպքում և ենթապատկերի իր. այժմ միտք է ձեռք բերվում, և որ դեպքերն ու ենթապատկերները դեռ պետք է քննարկի։ Ցանկացած տեսակի ճյուղավորված թվարկումների դեպքում մաթեմատիկոսը պետք է ամեն պահի տեղյակ լինի, թե որ ընդհանուր հայեցակարգի համար է թվարկում այն ​​տեսակների հասկացությունները, որոնք կազմում են այն: Առօրյա, ոչ գիտական ​​մտածողության մեջ մենք շատ հաճախ նման դեպքերում նկատում ենք շփոթություն և ցատկեր, ինչը հանգեցնում է տարակուսանքի և տրամաբանության սխալների: Հաճախ պատահում է, որ մարդը սկսում է թվարկել մի սեռի տեսակները, այնուհետև, ունկնդիրների (և հաճախ ինքն իրեն) աննկատելիորեն, օգտագործելով պատճառաբանության անբավարար տրամաբանական հստակությունը, ցատկել է մեկ այլ սեռի մեջ և ավարտում է այն պնդումը, որ երկու սեռերն էլ. այժմ դասակարգված են; և ունկնդիրները կամ ընթերցողները չգիտեն, թե որտեղ է գտնվում սահմանը առաջին և երկրորդ տեսակի տեսակների միջև:

  Նման շփոթություններն ու թռիչքները անհնարին դարձնելու համար մաթեմատիկոսները երկար ժամանակ լայնորեն օգտագործում են հասկացությունների և դատողությունների համարակալման պարզ արտաքին մեթոդներ, որոնք երբեմն (բայց շատ ավելի քիչ հաճախ) օգտագործվում են այլ գիտություններում: Այն հնարավոր դեպքերը կամ այն ​​ընդհանուր հասկացությունները, որոնք պետք է դիտարկվեն այս պատճառաբանության մեջ, նախապես վերահամարակալված են. Յուրաքանչյուր նման դեպքի շրջանակներում այն ​​ենթապատկերները, որոնք պետք է համարել, որ այն պարունակում է, նույնպես վերահամարակալվում են (երբեմն, տարբերակման համար՝ օգտագործելով այլ համարակալման համակարգ): Յուրաքանչյուր պարբերությունից առաջ, որտեղ սկսվում է նոր ենթապատկերի քննարկումը, դրվում է այս ենթապատկերի համար ընդունված նշանակումը (օրինակ՝ II 3 - սա նշանակում է, որ երկրորդ դեպքի երրորդ ենթապատկերի քննարկումն սկսվում է այստեղ, կամ երրորդի նկարագրությունը. երկրորդ տեսակի տեսակ, եթե խոսքը դասակարգման մասին է): Եվ ընթերցողը գիտի, որ քանի դեռ նոր թվային վերնագիր չի հանդիպել, նշված ամեն ինչ վերաբերում է միայն այս դեպքին և ենթապատկերին։ Հարկ է նշել, որ նման համարակալումը միայն արտաքին սարք է, շատ օգտակար, բայց ոչ մի դեպքում պարտադիր, և որ հարցի էությունը դրա մեջ չէ, այլ փաստարկների կամ դասակարգման այդ հստակ բաժանման մեջ, որը և՛ խթանում է, և՛ նշում։ ինքն իրեն.

  Չորրորդ՝ խորհրդանիշների, բանաձևերի, հավասարումների բծախնդիր ճշգրտություն։ Այսինքն՝ «յուրաքանչյուր մաթեմատիկական խորհրդանիշ ունի խիստ սահմանված նշանակություն՝ այն մեկ այլ խորհրդանիշով փոխարինելը կամ այն ​​այլ տեղ վերադասավորելը, որպես կանոն, հանգեցնում է այս հայտարարության իմաստի խեղաթյուրմանը, իսկ երբեմն էլ՝ լիակատար ոչնչացմանը»։

  Ա.Յա Խինչինը, առանձնացնելով մաթեմատիկական մտածելակերպի հիմնական առանձնահատկությունները, նշում է, որ մաթեմատիկան (հատկապես փոփոխականների մաթեմատիկան) իր բնույթով ունի դիալեկտիկական բնույթ, հետևաբար նպաստում է դիալեկտիկական մտածողության զարգացմանը։ Իրոք, մաթեմատիկական մտածողության գործընթացում առկա է փոխազդեցություն տեսողական (կոնկրետ) և կոնցեպտուալ (վերացական) միջև: «Մենք չենք կարող մտածել գծերի մասին,- գրում է Կանտը,- առանց այն մտովի գծելու, մենք չենք կարող մտածել երեք հարթության մասին՝ առանց մեկ կետից միմյանց ուղղահայաց երեք գծեր գծելու»:

  Կոնկրետ և վերացական մաթեմատիկական մտածողության փոխազդեցությունը «հանգեցրեց» նոր և նոր հասկացությունների և փիլիսոփայական կատեգորիաների զարգացմանը: Հին մաթեմատիկայում (հաստատունների մաթեմատիկա) դրանք «թիվ» և «տարածություն» են, որոնք սկզբնապես արտացոլվել են թվաբանության և էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ, իսկ ավելի ուշ հանրահաշիվում և տարբեր երկրաչափական համակարգերում։ Փոփոխականների մաթեմատիկան «հիմնված էր» հասկացությունների վրա, որոնք արտացոլում էին նյութի շարժումը՝ «վերջավոր», «անսահման», «շարունակականություն», «դիսկրետ», «անսահման փոքր», «ածանցյալ» և այլն։

  Եթե ​​խոսենք մաթեմատիկական գիտելիքների զարգացման ներկա պատմական փուլի մասին, ապա այն համահունչ է փիլիսոփայական կատեգորիաների հետագա զարգացմանը. հավանականության տեսությունը «տիրապետում է» հնարավորի և պատահականի կատեգորիաներին. տոպոլոգիա - հարաբերությունների և շարունակականության կատեգորիաներ; աղետի տեսություն - թռիչքի կատեգորիա; խմբի տեսություն - համաչափության և ներդաշնակության կատեգորիաներ և այլն:

  Մաթեմատիկական մտածողության մեջ արտահայտված են ձևով նման տրամաբանական կապերի կառուցման հիմնական օրինաչափությունները։ Նրա օգնությամբ եզակիից (ասենք՝ մաթեմատիկական որոշակի մեթոդներից՝ աքսիոմատիկ, ալգորիթմական, կառուցողական, բազմատեսական և այլ) անցում է կատարվում հատուկին և ընդհանուրին, ընդհանրացված դեդուկտիվ կոնստրուկցիաներին։ Մեթոդների և մաթեմատիկայի առարկայի միասնությունը որոշում է մաթեմատիկական մտածողության առանձնահատկությունները, թույլ է տալիս խոսել հատուկ մաթեմատիկական լեզվի մասին, որը ոչ միայն արտացոլում է իրականությունը, այլև սինթեզում, ընդհանրացնում և կանխատեսում է գիտական ​​գիտելիքները: Մաթեմատիկական մտքի ուժն ու գեղեցկությունը նրա տրամաբանության առավելագույն հստակության, շինությունների նրբագեղության և աբստրակցիաների հմուտ կառուցման մեջ է:

  Մտավոր գործունեության սկզբունքորեն նոր հնարավորություններ բացվեցին համակարգչի գյուտով, մեքենայական մաթեմատիկայի ստեղծմամբ: Էական փոփոխություններ են տեղի ունեցել մաթեմատիկայի լեզվում։ Եթե ​​դասական հաշվողական մաթեմատիկայի լեզուն բաղկացած է հանրահաշվի, երկրաչափության և վերլուծության բանաձևերից, որոնք կենտրոնացած են բնության շարունակական գործընթացների նկարագրության վրա, ուսումնասիրվում են հիմնականում մեխանիկայի, աստղագիտության, ֆիզիկայի, ապա նրա ժամանակակից լեզուն ալգորիթմների և ծրագրերի լեզուն է, ներառյալ. բանաձևերի հին լեզուն որպես կոնկրետ դեպք:

  Ժամանակակից հաշվողական մաթեմատիկայի լեզուն գնալով ավելի ունիվերսալ է դառնում՝ ունակ նկարագրելու բարդ (բազմապարամետրային) համակարգեր։ Միևնույն ժամանակ, ես կցանկանայի ընդգծել, որ որքան էլ կատարյալ լինի մաթեմատիկական լեզուն՝ ուժեղացված էլեկտրոնային հաշվողական տեխնոլոգիայով, այն չի խզում կապերը բազմազան «կենդանի», բնական լեզվի հետ: Ավելին, խոսակցական լեզուն արհեստական ​​լեզվի հիմքն է։ Այս առումով հետաքրքիր է գիտնականների վերջին հայտնագործությունը։ Բանն այն է, որ այմարա հնդկացիների հնագույն լեզուն, որով խոսում է Բոլիվիայում և Պերուում մոտ 2,5 միլիոն մարդ, պարզվել է, որ չափազանց հարմար է համակարգչային տեխնիկայի համար։ Արդեն 1610 թվականին իտալացի ճիզվիտ միսիոներ Լյուդովիկո Բերտոնին, ով կազմել է առաջին այմարա բառարանը, նշել է դրա ստեղծողների հանճարեղությունը, որոնք հասել են բարձր տրամաբանական մաքրության։ Այմարայում, օրինակ, չկան անկանոն բայեր և բացառություններ մի քանի հստակ քերականական կանոններից: Այմարա լեզվի այս առանձնահատկությունները թույլ են տվել բոլիվացի մաթեմատիկոս Իվան Գուզման դե Ռոխասին ստեղծել համակարգչային միաժամանակյա թարգմանության համակարգ ծրագրում ընդգրկված հինգ եվրոպական լեզուներից որևէ մեկից, որի «կամուրջը» այմարա լեզուն է: Բոլիվացի գիտնականի ստեղծած «Այմարա» համակարգիչը արժանացել է մասնագետների բարձր գնահատականին։ Ամփոփելով մաթեմատիկական մտածելակերպի էության մասին հարցի այս հատվածը՝ պետք է նշել, որ դրա հիմնական բովանդակությունը բնության ըմբռնումն է։

  Աքսիոմատիկ մեթոդ

• Աքսիոմատիկան տեսության կառուցման հիմնական միջոցն է՝ հնությունից մինչև մեր օրերը, հաստատելով դրա համընդհանուրությունն ու բոլոր կիրառելիությունը։

  Մաթեմատիկական տեսության կառուցումը հիմնված է աքսիոմատիկ մեթոդի վրա։ Գիտական ​​տեսությունը հիմնված է որոշ սկզբնական դրույթների վրա, որոնք կոչվում են աքսիոմներ, իսկ տեսության մյուս բոլոր դրույթները ստացվում են որպես աքսիոմների տրամաբանական հետևանքներ։

  Աքսիոմատիկ մեթոդը հայտնվել է Հին Հունաստանում և ներկայումս կիրառվում է գրեթե բոլոր տեսական գիտություններում և, առաջին հերթին, մաթեմատիկայում:

  Համեմատելով երեք, որոշակի առումով, փոխլրացնող երկրաչափություններ՝ Էվկլիդեսյան (պարաբոլիկ), Լոբաչևսկի (հիպերբոլիկ) և Ռիմանյան (էլիպս), հարկ է նշել, որ որոշ նմանությունների հետ մեկտեղ մեծ տարբերություն կա գնդաձև երկրաչափության միջև, մեկում. ձեռքը, իսկ Էվկլիդեսի և Լոբաչևսկու երկրաչափությունները՝ մյուս կողմից։

  Ժամանակակից երկրաչափության հիմնարար տարբերությունն այն է, որ այն այժմ ներառում է անսահման թվով տարբեր երևակայական տարածությունների «երկրաչափությունները»: Այնուամենայնիվ, պետք է նշել, որ այս բոլոր երկրաչափությունները էվկլիդեսյան երկրաչափության մեկնաբանություններ են և հիմնված են աքսիոմատիկ մեթոդի վրա, որն առաջին անգամ կիրառեց Էվկլիդեսը։

  Հետազոտությունների հիման վրա մշակվել և լայնորեն կիրառվում է աքսիոմատիկ մեթոդը։ Այս մեթոդի կիրառման առանձնահատուկ դեպք է ստերեոմետրիայում հետքերի մեթոդը, որը թույլ է տալիս լուծել պոլիէդրներում հատվածների կառուցման և որոշ այլ դիրքային խնդիրներ:

  Աքսիոմատիկ մեթոդը, որն առաջին անգամ մշակվել է երկրաչափության մեջ, այժմ դարձել է մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի և մեխանիկայի այլ ճյուղերի ուսումնասիրության կարևոր գործիք։ Ներկայումս աշխատանքներ են տարվում տեսության կառուցման աքսիոմատիկ մեթոդի կատարելագործման և ավելի խորը ուսումնասիրության ուղղությամբ։

  Գիտական ​​տեսության կառուցման աքսիոմատիկ մեթոդը բաղկացած է հիմնական հասկացությունների ընդգծումից, տեսությունների աքսիոմների ձևակերպումից, իսկ մնացած բոլոր պնդումները բխում են տրամաբանական ձևով՝ դրանց հիման վրա։ Հայտնի է, որ մի հասկացությունը պետք է բացատրել մյուսների օգնությամբ, որոնք, իրենց հերթին, նույնպես սահմանվում են որոշ հայտնի հասկացությունների օգնությամբ։ Այսպիսով, մենք հասնում ենք տարրական հասկացությունների, որոնք չեն կարող սահմանվել մյուսների տեսանկյունից: Այս հասկացությունները կոչվում են հիմնական:

  Երբ մենք ապացուցում ենք մի պնդում, թեորեմ, մենք հիմնվում ենք այն նախադրյալների վրա, որոնք համարվում են արդեն ապացուցված: Բայց այս նախադրյալներն էլ ապացուցվեցին, պետք էր հիմնավորվեին։ Ի վերջո, գալիս ենք անապացուցելի հայտարարությունների և ընդունում դրանք առանց ապացույցների։ Այս պնդումները կոչվում են աքսիոմներ: Աքսիոմների ամբողջությունը պետք է լինի այնպիսին, որ հենվելով դրա վրա՝ կարելի է ապացուցել հետագա պնդումները։

  Առանձնացնելով հիմնական հասկացությունները և ձևակերպելով աքսիոմները, այնուհետև տրամաբանորեն դուրս ենք բերում թեորեմներ և այլ հասկացություններ։ Սա երկրաչափության տրամաբանական կառուցվածքն է։ Աքսիոմները և հիմնական հասկացությունները կազմում են պլանաչափության հիմքերը:

  Քանի որ անհնար է բոլոր երկրաչափությունների հիմնական հասկացությունների մեկ սահմանում տալ, երկրաչափության հիմնական հասկացությունները պետք է սահմանվեն որպես ցանկացած բնույթի օբյեկտներ, որոնք բավարարում են այս երկրաչափության աքսիոմները: Այսպիսով, երկրաչափական համակարգի աքսիոմատիկ կառուցման մեջ մենք սկսում ենք աքսիոմների որոշակի համակարգից կամ աքսիոմատիկայից։ Այս աքսիոմները նկարագրում են երկրաչափական համակարգի հիմնական հասկացությունների հատկությունները, և մենք կարող ենք հիմնական հասկացությունները ներկայացնել ցանկացած բնույթի առարկաների տեսքով, որոնք ունեն աքսիոմներում նշված հատկությունները:

  Առաջին երկրաչափական պնդումները ձևակերպելուց և ապացուցելուց հետո հնարավոր է դառնում որոշ պնդումներ (թեորեմներ) ապացուցել մյուսների օգնությամբ։ Շատ թեորեմների ապացույցները վերագրվում են Պյութագորասին և Դեմոկրիտին։

  Հիպոկրատ Քիոսցուն վերագրվում է սահմանումների և աքսիոմների վրա հիմնված երկրաչափության առաջին համակարգված դասընթացի կազմումը։ Այս դասընթացը և դրա հետագա մշակումները կոչվում էին «Էլեմենտներ»:

  Գիտական ​​տեսության կառուցման աքսիոմատիկ մեթոդ

• Գիտության կառուցման դեդուկտիվ կամ աքսիոմատիկ մեթոդի ստեղծումը մաթեմատիկական մտքի մեծագույն ձեռքբերումներից է։ Այն պահանջում էր գիտնականների բազմաթիվ սերունդների աշխատանք։

  Ներկայացման դեդուկտիվ համակարգի ուշագրավ առանձնահատկությունն այս կառուցման պարզությունն է, ինչը հնարավորություն է տալիս այն նկարագրել մի քանի բառով։

  Ներկայացման դեդուկտիվ համակարգը կրճատվում է հետևյալի.

  1) հիմնական հասկացությունների ցանկին.

  2) սահմանումների ներկայացմանը.

  3) աքսիոմների ներկայացմանը.

  4) թեորեմների ներկայացմանը.

  5) այս թեորեմների ապացուցմանը.

  Աքսիոմն առանց ապացույցի ընդունված հայտարարություն է։

  Թեորեմը պնդում է, որը բխում է աքսիոմներից:

  Ապացույցը դեդուկտիվ համակարգի անբաժանելի մասն է, դա դատողությունն է, որը ցույց է տալիս, որ պնդումների ճշմարտացիությունը տրամաբանորեն բխում է նախորդ թեորեմների կամ աքսիոմների ճշմարտությունից:

  Դեդուկտիվ համակարգի շրջանակներում երկու հարց չի կարող լուծվել՝ 1) հիմնական հասկացությունների նշանակության մասին, 2) աքսիոմների ճշմարտացիության մասին։ Բայց դա չի նշանակում, որ այս հարցերն ընդհանրապես անլուծելի են։

  Բնական գիտության պատմությունը ցույց է տալիս, որ որոշակի գիտության աքսիոմատիկ կառուցման հնարավորությունը ի հայտ է գալիս միայն այս գիտության զարգացման բավականին բարձր մակարդակի վրա՝ մեծ քանակությամբ փաստացի նյութերի հիման վրա, ինչը հնարավորություն է տալիս հստակ բացահայտել հիմնականը. կապեր և հարաբերություններ, որոնք գոյություն ունեն այս գիտության կողմից ուսումնասիրված առարկաների միջև:

  Մաթեմատիկական գիտության աքսիոմատիկ կառուցման օրինակ է տարրական երկրաչափությունը։ Երկրաչափության աքսիոմների համակարգը բացատրել է Էվկլիդեսը (մ.թ.ա. մոտ 300 թ.) իր նշանակությամբ անգերազանցելի «Սկիզբներ» աշխատության մեջ։ Այս համակարգը հիմնականում գոյատևել է մինչ օրս:

  Հիմնական հասկացություններ՝ կետ, գիծ, ​​հարթություն հիմնական պատկերներ; պառկել, պատկանել, շարժվել:

  Տարրական երկրաչափությունն ունի 13 աքսիոմա, որոնք բաժանված են հինգ խմբի։ Հինգերորդ խմբում կա մեկ աքսիոմա զուգահեռների վերաբերյալ (Էվկլիդեսի V պոստուլատ)՝ հարթության կետի միջով կարող է գծվել միայն մեկ ուղիղ, որը չի հատում այս ուղիղը։ Սա միակ աքսիոմն է, որն ապացուցման անհրաժեշտություն առաջացրեց։ Հինգերորդ պոստուլատի ապացուցման փորձերը մաթեմատիկոսներին զբաղեցրել են ավելի քան 2 հազարամյակ՝ ընդհուպ մինչև 19-րդ դարի առաջին կեսը, այսինքն. մինչև այն պահը, երբ Նիկոլայ Իվանովիչ Լոբաչևսկին իր աշխատություններում ապացուցեց այդ փորձերի կատարյալ անհույս լինելը։ Ներկայումս հինգերորդ պոստուլատի անապացուցելիությունը խիստ ապացուցված մաթեմատիկական փաստ է։

  Աքսիոմ զուգահեռ N.I. Լոբաչևսկին փոխարինեց աքսիոմը. Թող տրված հարթությունում տրվեն ուղիղ գիծ և ուղիղ գծից դուրս գտնվող կետ: Այս կետի միջով առնվազն երկու զուգահեռ ուղիղ կարելի է գծել տվյալ գծին։

  Աքսիոմների նոր համակարգից N.I. Լոբաչևսկին, անբասիր տրամաբանական խստությամբ, եզրակացրեց թեորեմների համահունչ համակարգ, որը կազմում է ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափության բովանդակությունը: Էվկլիդեսի և Լոբաչևսկու երկու երկրաչափությունները հավասար են որպես տրամաբանական համակարգեր։

  Երեք մեծ մաթեմատիկոսներ 19-րդ դարում գրեթե միաժամանակ, միմյանցից անկախ, եկան հինգերորդ պոստուլատի անապացուցելիության և ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափության ստեղծման նույն արդյունքներին։

  Նիկոլայ Իվանովիչ Լոբաչևսկի (1792-1856)

  Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուս (1777-1855)

  Յանոշ Բոլայ (1802-1860)

  Մաթեմատիկական ապացույց

• Մաթեմատիկական հետազոտության հիմնական մեթոդը մաթեմատիկական ապացույցն է՝ խիստ տրամաբանական հիմնավորումը: Օբյեկտիվ անհրաժեշտության ուժով, նշում է Ռուսաստանի գիտությունների ակադեմիայի թղթակից անդամ Լ.Դ.Կուդրյավցև Կուդրյավցև Լ.Դ. - Ժամանակակից մաթեմատիկան և նրա ուսուցումը, Մոսկվա, Նաուկա, 1985, տրամաբանական դատողությունը (որն իր բնույթով, եթե ճիշտ է, նաև խիստ է) մաթեմատիկայի մեթոդ է, մաթեմատիկան առանց դրանց անհնար է պատկերացնել: Պետք է նշել, որ մաթեմատիկական մտածողությունը չի սահմանափակվում միայն տրամաբանական դատողություններով։ Խնդրի ճիշտ ձևակերպման, դրա տվյալների գնահատման, դրանցից նշանակալիների ընտրության և դրա լուծման մեթոդի ընտրության համար անհրաժեշտ է նաև մաթեմատիկական ինտուիցիա, որը հնարավորություն է տալիս նախապես կանխատեսել ցանկալի արդյունքը. ստացվում է, հիմնավոր պատճառաբանության օգնությամբ ուրվագծել հետազոտության ուղին։ Բայց քննարկվող փաստի վավերականությունն ապացուցվում է ոչ թե այն ստուգելով մի շարք օրինակներով, ոչ թե մի շարք փորձեր կատարելով (ինչն ինքնին մեծ դեր է խաղում մաթեմատիկական հետազոտության մեջ), այլ զուտ տրամաբանական ճանապարհով, համաձայն ֆորմալ տրամաբանության օրենքները.

  Համարվում է, որ մաթեմատիկական ապացույցը վերջնական ճշմարտությունն է: Մաքուր տրամաբանության վրա հիմնված որոշումը պարզապես չի կարող սխալ լինել։ Սակայն գիտության զարգացման հետ մեկտեղ մաթեմատիկոսների առջեւ դրված խնդիրները ավելի ու ավելի բարդ են դառնում:

  «Մենք մտել ենք մի դարաշրջան, երբ մաթեմատիկական ապարատը դարձել է այնքան բարդ և ծանր, որ առաջին հայացքից այլևս հնարավոր չէ ասել՝ հանդիպած խնդիրը ճշմարիտ է, թե ոչ», - կարծում է Քեյթ Դևլինը Սթենֆորդի համալսարանից, Կալիֆորնիա, ԱՄՆ: Նա որպես օրինակ է բերում «պարզ վերջավոր խմբերի դասակարգումը», որը ձևակերպվել է դեռևս 1980 թվականին, սակայն ամբողջական ճշգրիտ ապացույցը դեռևս չի տրվել։ Ամենայն հավանականությամբ, թեորեմը ճիշտ է, բայց այս մասին հստակ ասել հնարավոր չէ։

  Համակարգչային լուծումը նույնպես ճշգրիտ չի կարելի անվանել, քանի որ նման հաշվարկները միշտ ունեն սխալ: 1998 թվականին Հեյլսն առաջարկեց Կեպլերի թեորեմի համակարգչային օգնությամբ լուծումը, որը ձևակերպվել էր դեռևս 1611 թվականին։ Այս թեորեմը նկարագրում է գնդակների ամենախիտ փաթեթավորումը տիեզերքում: Ապացույցը ներկայացված էր 300 էջով և պարունակում էր 40000 տող մեքենայի կոդ։ 12 վերանայողներ ստուգել են լուծումը մեկ տարի, բայց նրանք երբեք չեն հասել 100% վստահության ապացույցի ճշտության մեջ, և ուսումնասիրությունն ուղարկվել է վերանայման: Արդյունքում, այն տպագրվեց միայն չորս տարի անց և առանց գրախոսների ամբողջական հավաստագրման։

  Կիրառական խնդիրների բոլոր վերջին հաշվարկները կատարվում են համակարգչով, սակայն գիտնականները կարծում են, որ ավելի մեծ հուսալիության համար մաթեմատիկական հաշվարկները պետք է ներկայացվեն առանց սխալների։

  Ապացույցի տեսությունը մշակված է տրամաբանության մեջ և ներառում է երեք կառուցվածքային բաղադրիչ՝ թեզ (ինչը պետք է ապացուցվի), փաստարկներ (փաստերի մի շարք, համապատասխան գիտության ընդհանուր ընդունված հասկացություններ, օրենքներ և այլն) և ցուցադրություն (ընթացակարգի համար). Ինքնին ապացույցների տեղակայում; եզրակացությունների հետևողական շղթա, երբ n-րդ եզրակացությունը դառնում է n+1-րդ եզրակացության նախադրյալներից մեկը): Առանձնացվում են ապացուցման կանոնները, նշվում են հնարավոր տրամաբանական սխալները։

  Մաթեմատիկական ապացույցը շատ ընդհանրություններ ունի ֆորմալ տրամաբանությամբ հաստատված սկզբունքների հետ։ Ավելին, հիմնավորումների և գործողությունների մաթեմատիկական կանոններն ակնհայտորեն ծառայել են որպես տրամաբանության ապացույցների ընթացակարգի մշակման հիմքերից մեկը։ Մասնավորապես, ֆորմալ տրամաբանության ձևավորման պատմության հետազոտողները կարծում են, որ մի ժամանակ, երբ Արիստոտելը առաջին քայլերն արեց օրենքների և տրամաբանության կանոնների ստեղծման համար, նա դիմեց մաթեմատիկայի և օրինական գործունեության պրակտիկային: Այս աղբյուրներում նա նյութ է գտել բեղմնավորված տեսության տրամաբանական կառուցումների համար։

  20-րդ դարում ապացույց հասկացությունը կորցրեց իր խիստ իմաստը, ինչը տեղի ունեցավ բազմությունների տեսության մեջ թաքնված տրամաբանական պարադոքսների հայտնաբերման և հատկապես այն արդյունքների հետ կապված, որոնք բերեցին Կ.

  Սա առաջին հերթին ազդեց հենց մաթեմատիկայի վրա, ինչի կապակցությամբ ենթադրվում էր, որ «ապացույց» տերմինը ճշգրիտ սահմանում չունի։ Բայց եթե նման կարծիքը (որ մնում է այսօր) ազդում է բուն մաթեմատիկայի վրա, ապա նրանք գալիս են այն եզրակացության, որ ապացույցը պետք է ընդունել ոչ թե տրամաբանական-մաթեմատիկական, այլ հոգեբանական իմաստով։ Ավելին, նմանատիպ տեսակետ կա հենց Արիստոտելի մոտ, ով կարծում էր, որ ապացուցել նշանակում է վարել այնպիսի դատողություն, որը մեզ այնքան կհամոզի, որ օգտագործելով այն՝ մենք ուրիշներին համոզում ենք ինչ-որ բանի ճիշտության մեջ: Մենք գտնում ենք հոգեբանական մոտեցման որոշակի երանգ Ա.Է. Եսենին-Վոլպինում: Նա կտրուկ դեմ է ճշմարտության ընդունմանը առանց ապացույցների՝ կապելով այն հավատքի ակտի հետ և հետագայում գրում է. Եսենին-Վոլպինը հայտնում է, որ նրա սահմանումը դեռ պետք է հստակեցվի։ Միևնույն ժամանակ, ապացույցները որպես «ազնիվ մեթոդ» որակելը չի՞ դավաճանում բարոյահոգեբանական գնահատականի դիմելուն։

  Միևնույն ժամանակ, բազմությունների տեսական պարադոքսների հայտնաբերումը և Գոդելի թեորեմների ի հայտ գալը պարզապես նպաստեցին ինտուիցիոնիստների, հատկապես կոնստրուկտիվիստական ​​ուղղության և Դ. Հիլբերտի կողմից ձեռնարկված մաթեմատիկական ապացույցների տեսության զարգացմանը:

  Երբեմն կարծում են, որ մաթեմատիկական ապացույցը ունիվերսալ է և ներկայացնում է գիտական ​​ապացույցի իդեալական տարբերակ: Այնուամենայնիվ, դա միակ մեթոդը չէ, կան ապացույցների վրա հիմնված ընթացակարգերի և գործողությունների այլ մեթոդներ: Ճիշտ է միայն, որ մաթեմատիկական ապացույցը շատ ընդհանրություններ ունի բնագիտության մեջ իրականացվող ֆորմալ տրամաբանականի հետ, և որ մաթեմատիկական ապացույցն ունի որոշակի առանձնահատկություններ, ինչպես նաև տեխնիկա-գործողությունների ամբողջություն։ Այստեղ մենք կանգ կառնենք՝ բաց թողնելով այն ընդհանուրը, որն այն կապում է ապացույցների այլ ձևերի հետ, այսինքն՝ առանց ընդլայնելու ալգորիթմը, կանոնները, սխալները և այլն բոլոր քայլերում (նույնիսկ հիմնական): ապացուցման գործընթաց:

  Մաթեմատիկական ապացույցը պատճառաբանություն է, որը խնդիր ունի հիմնավորելու պնդման ճշմարտությունը (իհարկե, մաթեմատիկական, այսինքն՝ որպես դեդուկտիվություն, իմաստով):

  Ապացույցում օգտագործված կանոնների ամբողջությունը ձևավորվել է մաթեմատիկական տեսության աքսիոմատիկ կառուցվածքների հայտնվելուն զուգահեռ։ Սա ամենից պարզ և ամբողջությամբ հասկացվեց Էվկլիդեսի երկրաչափության մեջ: Նրա «Սկզբունքները» դարձան մաթեմատիկական գիտելիքների աքսիոմատիկ կազմակերպման մի տեսակ մոդելային չափանիշ և երկար ժամանակ մնաց այդպիսին մաթեմատիկոսների համար։

  Որոշակի հաջորդականության տեսքով ներկայացված հայտարարությունները պետք է երաշխավորեն եզրակացություն, որը, հաշվի առնելով տրամաբանական գործողության կանոնները, համարվում է ապացուցված։ Պետք է ընդգծել, որ որոշակի պատճառաբանություն ապացույց է միայն որոշ աքսիոմատիկ համակարգի առնչությամբ։

  Մաթեմատիկական ապացույցը բնութագրելիս առանձնանում են երկու հիմնական հատկանիշ. Առաջին հերթին այն փաստը, որ մաթեմատիկական ապացույցը բացառում է ցանկացած հղում էմպիրիկ ապացույցներին: Եզրակացության ճշմարտացիության հիմնավորման ողջ ընթացակարգն իրականացվում է ընդունված աքսիոմատիկայի շրջանակներում։ Ակադեմիկոս Ա.Դ.Ալեքսանդրովն այս կապակցությամբ ընդգծում է. Դուք կարող եք հազարավոր անգամ չափել եռանկյան անկյունները և համոզվել, որ դրանք հավասար են 2d-ի: Բայց մաթեմատիկան ոչինչ չի ապացուցում։ Դուք դա կապացուցեք նրան, եթե աքսիոմներից դուրս բերեք վերը նշված պնդումը։ Կրկնենք. Այստեղ մաթեմատիկան մոտ է սխոլաստիկայի մեթոդներին, որը նույնպես հիմնովին մերժում է փորձարարական տրված փաստերի փաստարկները։

  Օրինակ, երբ հայտնաբերվեց հատվածների անհամեմատելիությունը, այս թեորեմն ապացուցելիս բացառվեց ֆիզիկական փորձի դիմելը, քանի որ, նախ, «անհամեմատելիության» բուն հասկացությունը զուրկ է ֆիզիկական իմաստից, և, երկրորդ, մաթեմատիկոսները չէին կարող. երբ գործ ունենք աբստրակցիայի հետ, օգնության հասցնեն նյութա-բետոնե ընդարձակումները՝ չափելի զգայական-տեսողական սարքով։ Քառակուսու կողմի և անկյունագծի անհամեմատելիությունը, մասնավորապես, ապացուցված է ամբողջ թվերի հատկության հիման վրա՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը հիպոթենուսի քառակուսու հավասարության (համապատասխանաբար՝ շեղանկյունի) քառակուսիների գումարին։ ոտքեր (ուղղանկյուն եռանկյունու երկու կողմ): Կամ երբ Լոբաչևսկին հաստատում էր փնտրում իր երկրաչափության համար՝ հղում անելով աստղագիտական ​​դիտարկումների արդյունքներին, ապա այդ հաստատումը նրա կողմից իրականացվեց զուտ սպեկուլյատիվ բնույթի միջոցով։ Քեյլի-Քլայնի և Բելտրամիի ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափության մեկնաբանությունները նույնպես բնորոշում էին մաթեմատիկական, այլ ոչ թե ֆիզիկական առարկաներ:

  Մաթեմատիկական ապացույցի երկրորդ հատկանիշը նրա ամենաբարձր վերացականությունն է, որով այն տարբերվում է այլ գիտությունների ապացուցման ընթացակարգերից։ Եվ կրկին, ինչպես մաթեմատիկական օբյեկտ հասկացության դեպքում, խոսքը միայն վերացականության աստիճանի մասին չէ, այլ դրա բնույթի: Փաստն այն է, որ ապացուցումը հասնում է վերացականության բարձր մակարդակի մի շարք այլ գիտությունների, օրինակ՝ ֆիզիկայի, տիեզերագիտության և, իհարկե, փիլիսոփայության մեջ, քանի որ վերջինիս առարկան են դառնում լինելու և մտածելու վերջնական խնդիրները։ Մաթեմատիկան, մյուս կողմից, առանձնանում է նրանով, որ այստեղ գործում են փոփոխականներ, որոնց իմաստը ցանկացած կոնկրետ հատկանիշից աբստրակցիա է։ Հիշենք, որ ըստ սահմանման փոփոխականները նշաններ են, որոնք ինքնին իմաստ չունեն և վերջիններս ձեռք են բերում միայն այն ժամանակ, երբ դրանց փոխարինում են որոշակի առարկաների անուններ (առանձին փոփոխականներ) կամ երբ նշվում են հատուկ հատկություններ և հարաբերություններ (նախադրյալ փոփոխականներ), կամ, վերջապես, , փոփոխականը իմաստալից հայտարարությամբ (առաջարկային փոփոխական) փոխարինելու դեպքերում։

  Նշված հատկանիշը որոշում է մաթեմատիկական ապացուցման մեջ օգտագործվող նշանների, ինչպես նաև հայտարարությունների ծայրահեղ վերացականության բնույթը, որոնք իրենց կառուցվածքում փոփոխականների ընդգրկման պատճառով վերածվում են հայտարարությունների։

  Հենց ապացուցման ընթացակարգը, որը տրամաբանության մեջ սահմանվում է որպես ցուցադրություն, ընթանում է եզրակացության կանոնների հիման վրա, որոնց հիման վրա կատարվում է անցում մեկ ապացուցված պնդումից մյուսին՝ կազմելով եզրակացությունների հետևողական շղթա։ Առավել տարածված են երկու կանոնները (եզրակացությունների փոխարինում և ածանցում) և դեդուկցիայի թեորեմը։

  փոխարինման կանոն. Մաթեմատիկայում փոխարինումը սահմանվում է որպես տվյալ բազմության a տարրերից յուրաքանչյուրի փոխարինում նույն բազմության F(a) այլ տարրով։ Մաթեմատիկական տրամաբանության մեջ փոխարինման կանոնը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. Եթե ​​առաջարկական հաշվարկում M-ի իրական բանաձևը պարունակում է տառ, ասենք A, ապա այն փոխարինելով այն ցանկացած վայրում, որտեղ այն տեղի է ունենում կամայական D տառով, մենք ստանում ենք մի բանաձև, որը նույնպես ճիշտ է, ինչպես սկզբնականը: Սա հնարավոր է և ընդունելի հենց այն պատճառով, որ առաջարկությունների հաշվարկում վերցվում է դրույթների (բանաձևերի) իմաստից... Հաշվի են առնվում միայն «ճշմարիտ» կամ «կեղծ» արժեքները։ Օրինակ, M բանաձեւում՝ A--> (BUA) A-ի փոխարեն փոխարինում ենք (AUB) արտահայտությունը, արդյունքում ստանում ենք նոր բանաձեւ (AUB) -->[(BU(AUB) ]:

  Եզրակացություններ անելու կանոնը համապատասխանում է ֆորմալ տրամաբանության պայմանականորեն կատեգորիկ սիլլոգիզմի մոդուս պոնենսի (հաստատական ​​եղանակի) կառուցվածքին։ Այն կարծես այսպիսին է.

  ա .

  Տրվում է առաջարկ (a-> b) և տրվում է նաև a. Հետևում է բ.

  Օրինակ՝ եթե անձրև է գալիս, ուրեմն մայթը թաց է, անձրև է գալիս (ա), հետևաբար՝ մայթը թաց է (բ): Մաթեմատիկական տրամաբանության մեջ այս սիլլոգիզմը գրվում է հետևյալ կերպ (a-> b) a-> b.

  Եզրակացությունը որոշվում է, որպես կանոն, ենթադրության համար առանձնացնելով: Եթե ​​տրված են ենթատեքստ (a-> b) և դրա նախորդը (a), ապա մենք իրավունք ունենք պատճառաբանությանը (ապացույցին) ավելացնել նաև այս (b) ենթատեքստի հետևանքը։ Սիլլոգիզմը հարկադրական է, որը կազմում է ապացույցների դեդուկտիվ միջոցների զինանոց, այսինքն՝ բացարձակապես բավարարում է մաթեմատիկական դատողության պահանջները։

  Մաթեմատիկական ապացուցման մեջ կարևոր դեր է խաղում դեդուկցիոն թեորեմը` մի շարք թեորեմների ընդհանուր անվանումը, որի ընթացակարգը հնարավորություն է տալիս հաստատել ենթատեքստի ապացուցելիությունը. A-> B, երբ կա տրամաբանական ծագում. B բանաձևը A բանաձևից: Առաջարկային հաշվարկի ամենատարածված տարբերակում (դասական, ինտուիցիոնիստական ​​և մաթեմատիկայի այլ տեսակներում) դեդուկցիայի թեորեմը նշում է հետևյալը. Եթե ​​տրված է G և նախադրյալ A նախադրյալների համակարգ, որից, ըստ կանոնների, կարելի է եզրակացնել B G, A B (- ածանցելիության նշան), ապա հետևում է, որ միայն G-ի տարածքներից կարելի է ստանալ A նախադասությունը. --> Բ.

  Մենք դիտարկել ենք տեսակը, որն ուղղակի ապացույց է։ Միևնույն ժամանակ, այսպես կոչված անուղղակի ապացույցները նույնպես օգտագործվում են տրամաբանության մեջ, կան ոչ ուղղակի ապացույցներ, որոնք տեղակայվում են հետևյալ սխեմայի համաձայն. Մի շարք պատճառներով (ուսումնասիրության օբյեկտի անհասանելիություն, նրա գոյության իրականության կորուստ և այլն) հնարավորություն չունենալով ուղղակիորեն ապացուցել որևէ պնդման, թեզի ճշմարտացիությունը, նրանք հակաթեզ են կառուցում։ Նրանք համոզված են, որ հակասությունը հանգեցնում է հակասությունների, հետևաբար՝ կեղծ։ Այնուհետև հակաթեզի կեղծ լինելու փաստից կարելի է եզրակացություն անել թեզի ճշմարտացիության մասին.

  Մաթեմատիկայի մեջ լայնորեն կիրառվում է անուղղակի ապացույցի ձևերից մեկը՝ ապացույցը հակասության միջոցով։ Այն հատկապես արժեքավոր և, ըստ էության, անփոխարինելի է մաթեմատիկայի հիմնարար հասկացությունների և դրույթների ընդունման մեջ, օրինակ՝ փաստացի անսահմանություն հասկացությունը, որն այլ կերպ հնարավոր չէ ներմուծել։

  Հակասության միջոցով ապացուցման գործողությունը մաթեմատիկական տրամաբանության մեջ ներկայացված է հետևյալ կերպ. Տրվում է G բանաձևերի հաջորդականությունը և A-ի ժխտումը (G, A): Եթե ​​սա ենթադրում է B-ն և դրա ժխտումը (G, A B, ոչ-B), ապա կարող ենք եզրակացնել, որ A-ի ճշմարտացիությունը բխում է G բանաձևերի հաջորդականությունից: Այլ կերպ ասած, թեզի ճշմարտացիությունը բխում է հակաթեզի կեղծությունից: .

  Հղումներ:

• 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Բարձրագույն մաթեմատիկա տնտեսագետների համար, դասագիրք, Մոսկվա, 2002;

  2. Լ.Դ.Կուդրյավցև, Ժամանակակից մաթեմատիկան և դրա ուսուցումը, Մոսկվա, Նաուկա, 1985;

  3. O. I. Larichev, Օբյեկտիվ մոդելներ և սուբյեկտիվ որոշումներ, Մոսկվա, Նաուկա, 1987 թ.

  4. A.Ya.Halamizer, «Մաթեմատիկա՞. - Ծիծաղելի է », Հեղինակային հրատարակություն, 1989;

  5. Պ.Կ. Ռաշևսկի, Ռիմանյան երկրաչափություն և տենզորի վերլուծություն, Մոսկվա, 3-րդ հրատարակություն, 1967 թ.

  6. V.E.Gmurman, Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն, Մոսկվա, Բարձրագույն դպրոց, 1977 թ.

  7. Համաշխարհային ցանց Enternet:

Մաթեմատիկան որպես քանակական հարաբերությունների և իրականության տարածական ձևերի գիտություն ուսումնասիրում է մեզ շրջապատող աշխարհը, բնական և սոցիալական երևույթները։ Բայց ի տարբերություն այլ գիտությունների, մաթեմատիկան ուսումնասիրում է նրանց հատուկ հատկությունները՝ վերացական լինելով ուրիշներից։ Այսպիսով, երկրաչափությունն ուսումնասիրում է առարկաների ձևն ու չափը՝ առանց հաշվի առնելու դրանց մյուս հատկությունները՝ գույն, զանգված, կարծրություն և այլն։ Ընդհանրապես, մաթեմատիկական առարկաները (երկրաչափական պատկեր, թիվ, արժեք) ստեղծվում են մարդու մտքի կողմից և գոյություն ունեն միայն մարդու մտածողության մեջ՝ մաթեմատիկական լեզուն կազմող նշաններով և խորհրդանիշներով։

Մաթեմատիկայի վերացականությունը թույլ է տալիս այն կիրառել տարբեր ոլորտներում, այն հզոր գործիք է բնությունը հասկանալու համար։

Գիտելիքի ձևերը բաժանվում են երկու խմբի.

առաջին խումբԶգայական ճանաչողության ձևեր են, որոնք իրականացվում են տարբեր զգայական օրգանների օգնությամբ՝ տեսողություն, լսողություն, հոտ, հպում, համ։

Ընկ. երկրորդ խումբներառում են վերացական մտածողության ձևեր, հիմնականում հասկացություններ, հայտարարություններ և եզրակացություններ:

Զգայական ճանաչողության ձևերն են Զգալ, ընկալումև ներկայացուցչություն.

Յուրաքանչյուր առարկա ունի ոչ թե մեկ, այլ բազմաթիվ հատկություններ, և մենք դրանք ճանաչում ենք սենսացիաների օգնությամբ։

Զգացմունք- սա նյութական աշխարհի առարկաների կամ երևույթների անհատական ​​հատկությունների արտացոլումն է, որոնք ուղղակիորեն (այսինքն այժմ, տվյալ պահին) ազդում են մեր զգայարանների վրա: Սրանք առարկաների կարմիր, տաք, կլոր, կանաչ, քաղցր, հարթ և այլ անհատական ​​հատկությունների սենսացիաներ են [Getmanova, p. 7]։

Անհատական ​​սենսացիաներից ձևավորվում է ողջ առարկայի ընկալումը։ Օրինակ, խնձորի ընկալումը կազմված է նման սենսացիաներից՝ գնդաձեւ, կարմիր, քաղցր-թթու, բուրավետ եւ այլն:

Ընկալումարտաքին նյութական առարկայի ամբողջական արտացոլումն է, որն ուղղակիորեն ազդում է մեր զգայարանների վրա [Getmanova, p. ութ]. Օրինակ՝ ափսեի, բաժակի, գդալի, այլ պարագաների պատկերը; գետի պատկերը, եթե մենք այժմ նավարկում ենք նրա երկայնքով կամ գտնվում ենք նրա ափերին. անտառի պատկերը, եթե հիմա եկել ենք անտառ և այլն։

Ընկալումները, թեև դրանք իրականության զգայական արտացոլումն են մեր մտքում, մեծապես կախված են մարդկային փորձից: Օրինակ՝ կենսաբանը մարգագետինը կընկալի մի կերպ (տեսնելու է տարբեր տեսակի բույսեր), բայց զբոսաշրջիկը կամ նկարիչը այն բոլորովին այլ կերպ կընկալի։

Կատարում- սա մի առարկայի զգայական պատկեր է, որը ներկայումս չի ընկալվում մեր կողմից, բայց որը նախկինում ընկալվում էր մեր կողմից այս կամ այն ​​ձևով [Getmanova, p. տասը]։ Օրինակ՝ տեսողականորեն կարող ենք պատկերացնել ծանոթների դեմքերը, տան մեր սենյակը, կեչի կամ սունկը։ Սրանք օրինակներ են վերարտադրողներկայացումներ, ինչպես մենք տեսանք այս օբյեկտները:

Ներկայացումը կարող է լինել ստեղծագործական, այդ թվում ֆանտաստիկ. Ներկայացնում ենք գեղեցկուհի Արքայադուստր Կարապին, կամ ցար Սալթանին, կամ Ոսկե աքլորին և շատ այլ կերպարների հեքիաթների Ա.Ս. Պուշկինին, որին մենք երբեք չենք տեսել և չենք էլ տեսնի։ Սրանք ստեղծագործական ներկայացման օրինակներ են բանավոր նկարագրության վրա: Պատկերացնում ենք նաև Ձյունանուշին, Ձմեռ պապին, ջրահարսին և այլն։

Այսպիսով, զգայական գիտելիքների ձևերն են սենսացիաները, ընկալումները և ներկայացումները: Նրանց օգնությամբ մենք սովորում ենք օբյեկտի արտաքին կողմերը (նրա առանձնահատկությունները, ներառյալ հատկությունները):

Վերացական մտածողության ձևերն են հասկացությունները, հայտարարությունները և եզրակացությունները:

Հայեցակարգեր. Հասկացությունների շրջանակը և բովանդակությունը

«Հայեցակարգ» տերմինը սովորաբար օգտագործվում է կամայական բնույթի օբյեկտների մի ամբողջ դասի համար, որոնք ունեն որոշակի բնորոշ (տարբերակիչ, էական) հատկություն կամ նման հատկությունների մի ամբողջություն, այսինքն. հատկություններ, որոնք եզակի են այդ դասի անդամների համար:

Տրամաբանության տեսանկյունից հայեցակարգը մտածողության հատուկ ձև է, որը բնութագրվում է հետևյալով. 1) հայեցակարգը բարձր կազմակերպված նյութի արդյունք է. 2) հայեցակարգն արտացոլում է նյութական աշխարհը. 3) հասկացությունը գիտակցության մեջ հայտնվում է որպես ընդհանրացման միջոց. 4) հասկացությունը նշանակում է կոնկրետ մարդու գործունեություն. 5) մարդու մտքում հայեցակարգի ձևավորումն անբաժանելի է դրա արտահայտումից խոսքի, գրի կամ խորհրդանիշի միջոցով:

Ինչպե՞ս է մեր մտքում առաջանում իրականության ցանկացած օբյեկտ հասկացությունը:

Որոշակի հայեցակարգի ձևավորման գործընթացը աստիճանական գործընթաց է, որտեղ կարելի է տեսնել մի քանի հաջորդական փուլեր։ Դիտարկենք այս գործընթացը՝ օգտագործելով ամենապարզ օրինակը՝ երեխաների մոտ 3 թվի հայեցակարգի ձևավորումը:

1. Երեխաները ճանաչողության առաջին փուլում ծանոթանում են տարբեր կոնկրետ հավաքածուների՝ օգտագործելով առարկայական նկարներ և ցույց տալով երեք տարրերից բաղկացած տարբեր հավաքածուներ (երեք խնձոր, երեք գիրք, երեք մատիտ և այլն): Երեխաները ոչ միայն տեսնում են այս հավաքածուներից յուրաքանչյուրը, այլև կարող են դիպչել (դիպչել) այդ հավաքածուները կազմող առարկաներին: «Տեսնելու» այս գործընթացը երեխայի մտքում ստեղծում է իրականության արտացոլման հատուկ ձև, որը կոչվում է. ընկալում (զգացողություն).

2. Եկեք հանենք առարկաները (առարկաները), որոնք կազմում են յուրաքանչյուր հավաքածու, և հրավիրենք երեխաներին որոշելու, թե արդյոք կա որևէ ընդհանուր բան, որը բնութագրում է յուրաքանչյուր հավաքածու: Յուրաքանչյուր հավաքածուի առարկաների թիվը պետք է տպագրվեր երեխաների մտքում, որ ամենուր «երեք» է: Եթե ​​դա այդպես է, ապա երեխաների գիտակցության մեջ նոր ձև է ստեղծվել. Երեք թվի գաղափարը.

3. Հաջորդ փուլում, մտածողության փորձի հիման վրա երեխաները պետք է տեսնեն, որ «երեք» բառում արտահայտված հատկությունը բնութագրում է ձևի տարբեր տարրերի ցանկացած հավաքածու (ա; բ; գ): Այսպիսով, կառանձնացվի նման հավաքածուների էական ընդհանուր հատկանիշը. «երեք տարր ունենալ».Այժմ մենք կարող ենք ասել, որ մտքում երեխաների ձեւավորվել 3 թվի հայեցակարգը.

հայեցակարգ- սա մտածողության հատուկ ձև է, որն արտացոլում է առարկաների կամ ուսումնասիրության առարկաների էական (տարբերակիչ) հատկությունները:

Հայեցակարգի լեզվական ձևը բառ է կամ բառերի խումբ: Օրինակ՝ «եռանկյուն», «թիվ երեք», «կետ», «ուղիղ», «հավասարաչափ եռանկյուն», «բույս», «փշատերև ծառ», «Ենիսեյ գետ», «սեղան» և այլն։

Մաթեմատիկական հասկացություններն ունեն մի շարք առանձնահատկություններ. Գլխավորն այն է, որ իրականում գոյություն չունեն այն մաթեմատիկական օբյեկտները, որոնց մասին անհրաժեշտ է հայեցակարգ կազմել։ Մաթեմատիկական առարկաները ստեղծվում են մարդու մտքի կողմից: Սրանք իդեալական առարկաներ են, որոնք արտացոլում են իրական առարկաներ կամ երևույթներ: Օրինակ՝ երկրաչափության մեջ ուսումնասիրվում են առարկաների ձևն ու չափը՝ առանց հաշվի առնելու դրանց մյուս հատկությունները՝ գույն, զանգված, կարծրություն և այլն։ Այս ամենից նրանք շեղված են, վերացարկված։ Ուստի երկրաչափության մեջ «օբյեկտ» բառի փոխարեն ասում են «երկրաչափական պատկեր»։ Աբստրակցիայի արդյունք են նաև այնպիսի մաթեմատիկական հասկացություններ, ինչպիսիք են «թիվը» և «արժեքը»։

Հիմնական հատկանիշներըցանկացած հասկացություններն ենհետևյալը՝ 1) ծավալը; 2) բովանդակությունը; 3) հասկացությունների միջև փոխհարաբերությունները.

Երբ նրանք խոսում են մաթեմատիկական հայեցակարգի մասին, նրանք սովորաբար նկատի ունեն մեկ տերմինով (բառ կամ բառերի խումբ) նշված առարկաների ամբողջությունը (ամբողջությունը): Այսպիսով, խոսելով քառակուսի մասին, նրանք նկատի ունեն բոլոր երկրաչափական ձևերը, որոնք քառակուսի են: Ենթադրվում է, որ բոլոր քառակուսիների բազմությունը «քառակուսի» հասկացության շրջանակն է:

Հայեցակարգի շրջանակըկոչվում է օբյեկտների կամ առարկաների ամբողջությունը, որոնց նկատմամբ կիրառելի է այս հասկացությունը:

Օրինակ, 1) «Զուգահեռագիծ» հասկացության շրջանակը քառանկյունների բազմությունն է, ինչպիսիք են ճիշտ զուգահեռագծերը, ռոմբուսները, ուղղանկյունները և քառակուսիները. 2) «Միանիշ բնական թիվ» հասկացության շրջանակը լինելու է բազմությունը՝ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Ցանկացած մաթեմատիկական օբյեկտ ունի որոշակի հատկություններ: Օրինակ, քառակուսին ունի չորս կողմ, չորս ուղղանկյուն, որը հավասար է անկյունագծերին, անկյունագծերը հատվում են հատման կետով: Դուք կարող եք նշել դրա մյուս հատկությունները, բայց օբյեկտի հատկությունների թվում կան էական (տարբերակիչ)և ոչ էական.

Գույքը կոչվում է էական (տարբերակիչ) օբյեկտի համար, եթե այն բնորոշ է այս օբյեկտին և առանց դրա այն չի կարող գոյություն ունենալ. գույքը կոչվում է աննշան օբյեկտի համար, եթե այն կարող է գոյություն ունենալ առանց դրա:

Օրինակ, քառակուսու համար վերը թվարկված բոլոր հատկությունները կարևոր են: «AD կողմը հորիզոնական է» հատկությունը անտեղի կլինի ABCD քառակուսու համար (նկ. 1): Եթե ​​այս քառակուսին պտտվում է, ապա AD կողմը կլինի ուղղահայաց:

Դիտարկենք նախադպրոցական տարիքի երեխաների օրինակ՝ օգտագործելով տեսողական նյութ (նկ. 2):

Նկարագրեք նկարը:

Փոքր սև եռանկյունի. Բրինձ. 2

Մեծ սպիտակ եռանկյունի.

Ինչպե՞ս են թվերը նման:

Ինչպե՞ս են տարբերվում թվերը:

Գույն, չափս.

Ի՞նչ ունի եռանկյունը:

3 կողմ, 3 անկյուն։

Այսպիսով, երեխաները պարզում են «եռանկյունի» հասկացության էական և ոչ էական հատկությունները: Էական հատկություններ՝ «ունեն երեք կողմ և երեք անկյուն», ոչ էական հատկություններ՝ գույն և չափ։

Այս հասկացության մեջ արտացոլված առարկայի կամ առարկայի բոլոր էական (տարբերակիչ) հատկությունների ամբողջությունը կոչվում է հայեցակարգի բովանդակությունը .

Օրինակ, «զուգահեռագիծ» հասկացության համար բովանդակությունը հատկությունների մի շարք է. այն ունի չորս կողմ, ունի չորս անկյուն, հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են, հակառակ կողմերը հավասար են, հակառակ անկյունները հավասար են, խաչմերուկներում գտնվող անկյունագծերը՝ կիսով չափ բաժանված.

Հայեցակարգի ծավալի և բովանդակության միջև կապ կա՝ եթե հայեցակարգի ծավալը մեծանում է, ապա նրա բովանդակությունը նվազում է և հակառակը։ Այսպես, օրինակ, «հավասարաչափ եռանկյունի» հասկացության շրջանակը «եռանկյունի» հասկացության շրջանակի մի մասն է, իսկ «հավասարասրուն եռանկյունի» հասկացության բովանդակությունը ներառում է ավելի շատ հատկություններ, քան «եռանկյունի» հասկացության բովանդակությունը. հավասարաչափ եռանկյունին ունի ոչ միայն եռանկյունու բոլոր հատկությունները, այլև մյուսները, որոնք բնորոշ են միայն հավասարաչափ եռանկյուններին («երկու կողմերը հավասար են», «երկու անկյունները հավասար են», «երկու միջնագիծը հավասար է» և այլն):

Հայեցակարգերը բաժանվում են միայնակ, ընդհանուրև կատեգորիաներ.

Այն հասկացությունը, որի ծավալը հավասար է 1-ի, կոչվում է մեկ հայեցակարգ .

Օրինակ՝ հասկացությունները՝ «Ենիսեյ գետ», «Տուվա Հանրապետություն», «Մոսկվա քաղաք»։

Կոչվում են այն հասկացությունները, որոնց ծավալը 1-ից մեծ է ընդհանուր .

Օրինակ՝ «քաղաք», «գետ», «քառանկյուն», «թիվ», «բազմանկյուն», «հավասարում» հասկացությունները։

Ցանկացած գիտության հիմքերի ուսումնասիրման գործընթացում երեխաները հիմնականում կազմում են ընդհանուր հասկացություններ։ Օրինակ՝ տարրական դասարաններում սովորողները ծանոթանում են այնպիսի հասկացություններին, ինչպիսիք են՝ «թիվ», «թիվ», «միանիշ թվեր», «երկանիշ թվեր», «բազմանիշ թվեր», «կոտորակ», «բաժին» հասկացություններին։ », «գումարում», «տերմին», «գումար», «հանում», «հանված», «նվազեցված», «տարբերություն», «բազմապատկում», «բազմապատկիչ», «արտադրյալ», «բաժանում», «բաժանելի», «բաժանարար», «քանակ», «գնդիկ, գլան, կոն, խորանարդ, զուգահեռ գագաթ, բուրգ, անկյուն, եռանկյուն, քառանկյուն, քառակուսի, ուղղանկյուն, բազմանկյուն, շրջան, «շրջան», «կոր», «բազմագիծ», «հատված» , «հատվածի երկարություն», «ճառագայթ», «ուղիղ», «կետ», «երկարություն», «լայնություն», «բարձրություն», «շրջագիծ», «նկարի տարածք», «ծավալ», «ժամանակ», « արագություն», «զանգված», «գին», «արժեք» և շատ ուրիշներ: Այս բոլոր հասկացությունները ընդհանուր հասկացություններ են։