Ինչպես կոտորակից ստորակետով թիվ կազմել: Տասնորդական թվերը կոտորակների վերածելը

Պատահում է, որ հաշվարկների հարմարության համար անհրաժեշտ է սովորական կոտորակը վերածել տասնորդականի և հակառակը։ Ինչպես դա անել, մենք կխոսենք այս հոդվածում: Դիտարկենք սովորական կոտորակները տասնորդականների և հակառակը փոխարկելու կանոնները, ինչպես նաև բերենք օրինակներ։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Մենք կդիտարկենք սովորական կոտորակները տասնորդականների վերածել՝ հետևելով որոշակի հաջորդականությանը: Նախ, եկեք տեսնենք, թե ինչպես են 10-ի բազմապատիկ հայտարար ունեցող սովորական կոտորակները վերածվում տասնորդականների՝ 10, 100, 1000 և այլն: Նման հայտարար ունեցող կոտորակները, ըստ էության, տասնորդական կոտորակների ավելի ծանր նշում են:

Այնուհետև մենք կդիտարկենք, թե ինչպես կարելի է ցանկացած հայտարարով սովորական կոտորակները, այլ ոչ միայն 10-ի բազմապատիկները, վերածել տասնորդական կոտորակների: Նկատի ունեցեք, որ սովորական կոտորակները տասնորդականների վերածելիս ստացվում են ոչ միայն վերջավոր տասնորդականներ, այլև անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակներ։

Եկեք սկսենք!

10, 100, 1000 և այլն հայտարարներով սովորական կոտորակների թարգմանություն։ դեպի տասնորդականներ

Նախ, ասենք, որ որոշ կոտորակներ պահանջում են որոշակի նախապատրաստում նախքան տասնորդական ձևի վերածելը։ Ի՞նչ է դա։ Նախքան համարիչի թիվը պետք է այնքան զրո գումարել, որպեսզի համարիչի թվանշանների թիվը հավասարվի հայտարարի զրոների թվին։ Օրինակ, 3100 կոտորակի համար 0 թիվը պետք է մեկ անգամ ավելացվի համարիչի 3-ից ձախ։ 610 կոտորակը, վերը նշված կանոնի համաձայն, փոփոխության կարիք չունի։

Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ, որից հետո կձևակերպենք մի կանոն, որը հատկապես հարմար է օգտագործել սկզբում, մինչդեռ կոտորակները փոխակերպելու մեծ փորձ չկա։ Այսպիսով, 1610000 կոտորակը համարիչում զրոներ ավելացնելուց հետո նման կլինի 001510000:

Ինչպես փոխարկել ընդհանուր կոտորակը 10, 100, 1000 և այլն հայտարարով: տասնորդական?

Սովորական ճիշտ կոտորակները տասնորդականների վերածելու կանոն

1. Դուրս գրեք 0-ը և դրանից հետո դրեք ստորակետ:
2. Թիվը գրում ենք այն համարիչից, որը ստացվել է զրոներ գումարելուց հետո։

Հիմա անցնենք օրինակներին։

Օրինակ 1. Կոտորակների վերածում տասնորդականների

39100 կոտորակը փոխարկենք տասնորդականի։

Նախ, մենք նայում ենք կոտորակին և տեսնում, որ կարիք չկա որևէ նախապատրաստական ​​գործողություններ իրականացնելու՝ համարիչի թվանշանների թիվը համընկնում է հայտարարի զրոների թվի հետ։

Հետևելով կանոնին՝ գրում ենք 0, դրանից հետո դնում տասնորդական կետ և համարիչից գրում ենք թիվը։ Մենք ստանում ենք տասնորդական կոտորակը 0,39:

Դիտարկենք այս թեմայի մեկ այլ օրինակի լուծումը:

Օրինակ 2. Կոտորակների վերածում տասնորդականների

105 10000000 կոտորակը գրենք որպես տասնորդական։

Զրոների թիվը հայտարարում 7 է, իսկ համարիչն ունի ընդամենը երեք նիշ։ Համարիչի թվից առաջ ավելացնենք ևս 4 զրո.

0000105 10000000

Այժմ գրում ենք 0, դրանից հետո դնում տասնորդական կետ և համարիչից գրում ենք թիվը։ Մենք ստանում ենք տասնորդական կոտորակը 0,0000105:

Բոլոր օրինակներում դիտարկված կոտորակները սովորական պատշաճ կոտորակներ են: Բայց ինչպես կարելի է ոչ պատշաճ կոտորակը վերածել տասնորդականի: Միանգամից ասենք, որ նման կոտորակների համար զրոներ ավելացնելով պատրաստվելու կարիք չկա։ Եկեք մի կանոն ձևակերպենք.

Սովորական ոչ պատշաճ կոտորակները տասնորդականների վերածելու կանոն

1. Գրի՛ր այն թիվը, որը գտնվում է համարիչում։
2. Մենք օգտագործում ենք տասնորդական կետ՝ աջ կողմում այնքան թվանշան առանձնացնելու համար, որքան զրոներ կան սկզբնական կոտորակի հայտարարում:

Ստորև բերված է այս կանոնի օգտագործման օրինակ:

Օրինակ 3. Կոտորակների վերածումը տասնորդականների

56888038009 100000 կոտորակը սովորական անկանոն կոտորակից վերածենք տասնորդականի։

Սկզբում համարիչից գրում ենք թիվը.

Այժմ, աջ կողմում, մենք տասնորդական կետով առանձնացնում ենք հինգ թվանշան (զրոների թիվը հայտարարում հինգն է): Մենք ստանում ենք.

Բնականաբար ծագող հաջորդ հարցը հետևյալն է՝ ինչպես խառը թիվը վերածել տասնորդական կոտորակի, եթե դրա կոտորակային մասի հայտարարը 10, 100, 1000 թիվն է և այլն։ Նման թիվը տասնորդական կոտորակի վերածելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ կանոնը.

Խառը թվերը տասնորդականի վերածելու կանոն

1. Անհրաժեշտության դեպքում պատրաստում ենք թվի կոտորակային մասը։
2. Գրում ենք բնօրինակ թվի ամբողջ մասը և դրանից հետո դնում ենք ստորակետ։
3. Թիվը կոտորակային մասի համարիչից գրում ենք ավելացված զրոների հետ միասին։

Դիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ 4. Խառը թվերի վերածում տասնորդականների

23 17 10000 խառը թիվը փոխարկենք տասնորդական կոտորակի։

Կոտորակի մասում ունենք 17 10000 արտահայտությունը։ Պատրաստենք այն և համարիչի ձախ կողմում ավելացնենք ևս երկու զրո։ Մենք ստանում ենք՝ 0017 10000:

Այժմ գրում ենք թվի ամբողջ մասը և դրանից հետո դնում ենք ստորակետ՝ 23, . .

Տասնորդական կետից հետո համարիչից գրի՛ր թիվը զրոների հետ միասին։ Մենք ստանում ենք արդյունքը.

23 17 10000 = 23 , 0017

Սովորական կոտորակների վերածումը վերջավոր և անվերջ պարբերական կոտորակների

Իհարկե, դուք կարող եք վերածել տասնորդականների և սովորական կոտորակների, որոնց հայտարարը հավասար չէ 10, 100, 1000 և այլն:

Հաճախ կոտորակը հեշտությամբ կարող է կրճատվել մինչև նոր հայտարար, այնուհետև օգտագործել սույն հոդվածի առաջին պարբերությունում սահմանված կանոնը: Օրինակ, բավական է 25 կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել 2-ով և ստանում ենք 410 կոտորակը, որը հեշտությամբ վերածվում է 0,4 տասնորդականի։

Այնուամենայնիվ, կոտորակը տասնորդականի վերածելու այս մեթոդը չի կարող միշտ օգտագործվել: Ստորև մենք կքննարկենք, թե ինչ անել, եթե անհնար է կիրառել դիտարկված մեթոդը:

Կոտորակը տասնորդականի վերածելու սկզբունքորեն նոր եղանակ է համարիչը սյունակով բաժանել հայտարարի վրա։ Այս գործողությունը շատ նման է բնական թվերը սյունակով բաժանելուն, բայց ունի իր առանձնահատկությունները։

Բաժանելիս համարիչը ներկայացվում է որպես տասնորդական կոտորակ՝ համարիչի վերջին թվի աջ կողմում դրվում է ստորակետ և ավելացվում են զրոներ։ Ստացված գործակիցում տասնորդական կետ է տեղադրվում, երբ ավարտվում է համարիչի ամբողջ մասի բաժանումը։ Թե կոնկրետ ինչպես է աշխատում այս մեթոդը, պարզ կդառնա օրինակները դիտելուց հետո:

Օրինակ 5. Կոտորակների վերածումը տասնորդականների

621 4 ընդհանուր կոտորակը փոխարկենք տասնորդականի։

Ներկայացնենք 621 թիվը համարիչից որպես տասնորդական կոտորակ՝ տասնորդական կետից հետո ավելացնելով մի քանի զրո։ 621 = 621,00

Այժմ եկեք 621.00-ը բաժանենք 4-ի` օգտագործելով սյունակը: Բաժանման առաջին երեք քայլերը կլինեն նույնը, ինչ բնական թվերը բաժանելիս, և մենք կստանանք.

Երբ հասնում ենք դիվիդենտի տասնորդական կետին, իսկ մնացորդը տարբերվում է զրոյից, մենք տասնորդական կետ ենք դնում քանորդի մեջ և շարունակում ենք բաժանել՝ այլևս ուշադրություն չդարձնելով դիվիդենտի ստորակետին:

Արդյունքում ստանում ենք տասնորդական կոտորակը 155, 25, որը 621 4 ընդհանուր կոտորակի հետ շրջելու արդյունքն է։

621 4 = 155 , 25

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ՝ նյութն ամրապնդելու համար:

Օրինակ 6. Կոտորակների վերածումը տասնորդականների

Եկեք հակադարձենք 21 800 ընդհանուր կոտորակը:

Դա անելու համար 21000 կոտորակը բաժանեք սյունակի 800-ի: Ամբողջ մասի բաժանումը կավարտվի առաջին քայլում, ուստի դրանից անմիջապես հետո մենք տասնորդական կետ ենք դնում քանորդի մեջ և շարունակում բաժանումը, ուշադրություն չդարձնելով դիվիդենտի ստորակետին, մինչև չստանանք զրոյի հավասար մնացորդ։

Արդյունքում ստացանք՝ 21,800 = 0,02625:

Բայց եթե բաժանելիս մենք դեռ 0-ի մնացորդ չստանանք: Նման դեպքերում բաժանումը կարելի է անվերջ շարունակել: Սակայն որոշակի քայլից սկսած մնացորդները պարբերաբար կրկնվելու են։ Համապատասխանաբար, գործակիցի թվերը կկրկնվեն։ Սա նշանակում է, որ սովորական կոտորակը վերածվում է տասնորդական անվերջ պարբերական կոտորակի։ Եկեք սա բացատրենք օրինակով։

Օրինակ 7. Կոտորակների վերածումը տասնորդականների

19 44 ընդհանուր կոտորակը փոխարկենք տասնորդականի։ Դա անելու համար մենք կատարում ենք բաժանում ըստ սյունակի:

Մենք տեսնում ենք, որ բաժանման ժամանակ կրկնվում են 8 և 36 մնացորդները։ Այս դեպքում 1 և 8 թվերը կրկնվում են քանորդում։ Սա տասնորդական կոտորակի ժամանակաշրջանն է: Ձայնագրելիս այս թվերը տեղադրվում են փակագծերում։

Այսպիսով, սկզբնական սովորական կոտորակը վերածվում է անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակի։

19 44 = 0 , 43 (18) .

Եկեք ունենանք անկրճատելի սովորական կոտորակ: Ինչպիսի՞ ձև կլինի այն: Ո՞ր սովորական կոտորակներն են վերածվում վերջավոր տասնորդականների, իսկ որո՞նք են անվերջ պարբերականների:

Նախ ասենք, որ եթե կոտորակը կարող է կրճատվել մինչև 10, 100, 1000... հայտարարներից մեկին, ապա այն կունենա վերջնական տասնորդական կոտորակի ձև։ Որպեսզի կոտորակը կրճատվի այս հայտարարներից մեկին, նրա հայտարարը պետք է լինի 10, 100, 1000 և այլն թվերից առնվազն մեկի բաժանարարը։ Թվերը պարզ գործոնների վերածելու կանոններից հետևում է, որ թվերի բաժանարարն է 10, 100, 1000 և այլն։ պարզ գործակիցների մեջ հաշվի առնելիս պետք է պարունակի միայն 2 և 5 թվերը:

Ամփոփենք ասվածը.

1. Ընդհանուր կոտորակը կարող է կրճատվել մինչև վերջնական տասնորդական, եթե նրա հայտարարը կարող է գործոնավորվել 2 և 5 պարզ գործակիցների մեջ:
2. Եթե ​​հայտարարի ընդլայնման մեջ բացի 2 և 5 թվերից, կան նաև այլ պարզ թվեր, ապա կոտորակը վերածվում է անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակի ձևի։

Օրինակ բերենք.

Օրինակ 8. Կոտորակների վերածումը տասնորդականների

Այս 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 կոտորակներից որն է վերածվում վերջնական տասնորդական կոտորակի, իսկ որը՝ միայն պարբերականի: Եկեք պատասխանենք այս հարցին՝ առանց ուղղակիորեն կոտորակը տասնորդականի վերածելու:

47 20 կոտորակը, ինչպես հեշտ է տեսնել, համարիչն ու հայտարարը 5-ով բազմապատկելով՝ կրճատվում է նոր հայտարարի 100-ի։

47 20 = 235 100։ Դրանից մենք եզրակացնում ենք, որ այս կոտորակը վերածվում է վերջնական տասնորդական կոտորակի:

7 12 կոտորակի հայտարարի գործոնավորումը տալիս է 12 = 2 · 2 · 3: Քանի որ պարզ գործակից 3-ը տարբերվում է 2-ից և 5-ից, այս կոտորակը չի կարող ներկայացվել որպես վերջավոր տասնորդական կոտորակ, այլ կունենա անվերջ պարբերական կոտորակի ձև:

21 56 կոտորակը նախ պետք է կրճատել։ 7-ով կրճատելուց հետո մենք ստանում ենք 3 8 անկրճատելի կոտորակը, որի հայտարարը գործոնացված է և տալիս է 8 = 2 · 2 · 2: Հետևաբար, այն վերջնական տասնորդական կոտորակ է:

31 17 կոտորակի դեպքում հայտարարի գործակցումը հենց 17 պարզ թիվն է։ Համապատասխանաբար, այս կոտորակը կարող է վերածվել անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակի։

Սովորական կոտորակը չի կարող վերածվել անվերջ և ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակի

Վերևում խոսեցինք միայն վերջավոր և անվերջ պարբերական կոտորակների մասին։ Բայց կարելի՞ է ցանկացած սովորական կոտորակ վերածել անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի։

Պատասխանում ենք՝ ոչ։

Կարևոր!

Անսահման կոտորակը տասնորդականի վերածելիս արդյունքը կա՛մ վերջավոր տասնորդական է, կա՛մ անվերջ պարբերական տասնորդական:

Բաժանման մնացորդը միշտ փոքր է բաժանարարից: Այսինքն, ըստ բաժանելիության թեորեմի, եթե ինչ-որ բնական թիվ բաժանենք q թվի վրա, ապա բաժանման մնացորդը ցանկացած դեպքում չի կարող մեծ լինել q-1-ից։ Բաժանման ավարտից հետո հնարավոր է հետևյալ իրավիճակներից մեկը.

1. Մենք ստանում ենք 0-ի մնացորդ, և այստեղ ավարտվում է բաժանումը:
2. Մենք ստանում ենք մնացորդ, որը կրկնվում է հաջորդ բաժանման ժամանակ, որի արդյունքում ստացվում է անվերջ պարբերական կոտորակ:

Կոտորակը տասնորդականի փոխարկելիս այլ տարբերակներ չեն կարող լինել: Ասենք նաև, որ անվերջ պարբերական կոտորակի ժամանակաշրջանի երկարությունը (նիշերի թիվը) միշտ փոքր է համապատասխան սովորական կոտորակի հայտարարի թվանշանների թվից։

Տասնորդական թվերը կոտորակների վերածելը

Այժմ ժամանակն է նայելու տասնորդական կոտորակը սովորական կոտորակի վերածելու հակառակ գործընթացին: Եկեք ձևակերպենք թարգմանության կանոն, որը ներառում է երեք փուլ. Ինչպե՞ս տասնորդական կոտորակը վերածել ընդհանուր կոտորակի:

Տասնորդական կոտորակները սովորական կոտորակների վերածելու կանոն

1. Համարիչում մենք գրում ենք թիվը սկզբնական տասնորդական կոտորակից՝ հեռացնելով ստորակետը և ձախ կողմում գտնվող բոլոր զրոները, եթե այդպիսիք կան:
2. Հայտարարի մեջ գրում ենք մեկը, որին հաջորդում են այնքան զրո, որքան թվանշաններ կան սկզբնական տասնորդական կոտորակի տասնորդական կետից հետո:
3. Անհրաժեշտության դեպքում կրճատեք ստացված սովորական ֆրակցիան։

Դիտարկենք այս կանոնի կիրառումը օրինակներով:

Օրինակ 8. Տասնորդական կոտորակների վերածում սովորական կոտորակների

Պատկերացնենք 3.025 թիվը որպես սովորական կոտորակ։

1. Մենք ինքնին տասնորդական կոտորակը գրում ենք համարիչի մեջ՝ հանելով ստորակետը՝ 3025:
2. Հայտարարի մեջ մենք գրում ենք մեկը, իսկ դրանից հետո երեք զրո - սա հենց այն է, թե քանի թվանշան է պարունակվում սկզբնական կոտորակի մեջ տասնորդական կետից հետո՝ 3025 1000:
3. Ստացված 3025 1000 կոտորակը կարող է կրճատվել 25-ով, արդյունքում՝ 3025 1000 = 121 40:

Օրինակ 9. Տասնորդական կոտորակների վերածում սովորական կոտորակների

0,0017 կոտորակը տասնորդականից վերածենք սովորականի։

1. Համարիչում գրում ենք 0, 0017 կոտորակը, ձախից հանելով ստորակետերն ու զրոները։ Կստացվի 17։
2. Հայտարարի մեջ գրում ենք մեկը, իսկ դրանից հետո չորս զրո՝ 17 10000։ Այս մասնաբաժինը անկրճատելի է։

Եթե ​​տասնորդական կոտորակն ունի ամբողջ թվային մաս, ապա այդպիսի կոտորակը կարող է անմիջապես վերածվել խառը թվի։ Ինչպե՞ս դա անել:

Ձևակերպենք ևս մեկ կանոն.

Տասնորդական թվերը խառը թվերի փոխարկելու կանոն.

1. Կոտորակի տասնորդական կետից առաջ թիվը գրվում է որպես խառը թվի ամբողջական մաս։
2. Համարիչում թիվը գրում ենք կոտորակի տասնորդական կետից հետո՝ ձախ կողմի զրոները, եթե այդպիսիք կան։
3. Կոտորակային մասի հայտարարում ավելացնում ենք մեկ և այնքան զրո, որքան թվանշան կա կոտորակային մասի տասնորդական կետից հետո։

Օրինակ բերենք

Օրինակ 10. Տասնորդականը խառը թվի վերածելը

Պատկերացնենք 155, 06005 կոտորակը որպես խառը թիվ։

1. 155 թիվը գրում ենք որպես ամբողջական մաս։
2. Համարիչում թվերը գրում ենք տասնորդական կետից հետո՝ զրոյից հանելով։
3. Հայտարարի մեջ գրում ենք մեկ և հինգ զրո

Սովորենք խառը թիվ՝ 155 6005 100000

Կոտորակի մասը կարելի է կրճատել 5-ով։ Մենք կրճատում ենք այն և ստանում վերջնական արդյունքը.

155 , 06005 = 155 1201 20000

Անվերջ պարբերական տասնորդականների վերածում կոտորակների

Դիտարկենք օրինակներ, թե ինչպես կարելի է պարբերական տասնորդական կոտորակները վերածել սովորական կոտորակների: Նախքան սկսելը, եկեք պարզաբանենք. ցանկացած պարբերական տասնորդական կոտորակ կարող է վերածվել սովորական կոտորակի:

Ամենապարզ դեպքն այն է, երբ կոտորակի պարբերությունը զրո է: Զրոյական պարբերությամբ պարբերական կոտորակը փոխարինվում է վերջնական տասնորդական կոտորակով, և նման կոտորակի հակադարձման գործընթացը կրճատվում է մինչև վերջնական տասնորդական կոտորակը:

Օրինակ 11. Պարբերական տասնորդական կոտորակի վերածում ընդհանուր կոտորակի

Եկեք շրջենք 3, 75 (0) պարբերական կոտորակը:

Վերացնելով աջ կողմի զրոները՝ ստանում ենք վերջնական տասնորդական կոտորակը 3.75։

Վերափոխելով այս կոտորակը սովորական կոտորակի՝ օգտագործելով նախորդ պարբերություններում քննարկված ալգորիթմը, մենք ստանում ենք.

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Իսկ եթե կոտորակի պարբերությունը տարբերվի զրոյից: Պարբերական մասը պետք է դիտարկել որպես երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների գումար, որը նվազում է։ Սա բացատրենք օրինակով.

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձև կա։ Եթե ​​պրոգրեսիայի առաջին անդամը b է, իսկ q հայտարարն այնպիսին է, որ 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Եկեք նայենք մի քանի օրինակների՝ օգտագործելով այս բանաձևը:

Օրինակ 12. Պարբերական տասնորդական կոտորակի վերածում ընդհանուր կոտորակի

Եկեք ունենանք 0, (8) պարբերական կոտորակ, և այն պետք է վերածենք սովորականի:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Այստեղ մենք ունենք անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա առաջին անդամով 0, 8 և հայտարար 0, 1:

Եկեք կիրառենք բանաձևը.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Սա պահանջվող սովորական կոտորակն է։

Նյութը համախմբելու համար դիտարկենք մեկ այլ օրինակ։

Օրինակ 13. Պարբերական տասնորդական կոտորակի վերածում ընդհանուր կոտորակի

Դարձնենք 0 կոտորակը 43 (18):

Սկզբում կոտորակը գրում ենք որպես անվերջ գումար.

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Դիտարկենք տերմինները փակագծերում: Այս երկրաչափական առաջընթացը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Արդյունքը գումարում ենք վերջնական կոտորակի 0, 43 = 43 100 և ստանում ենք արդյունքը.

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Այս կոտորակները գումարելուց և կրճատելուց հետո ստանում ենք վերջնական պատասխանը.

0 , 43 (18) = 19 44

Այս հոդվածը եզրափակելու համար կասենք, որ ոչ պարբերական անվերջ տասնորդական կոտորակները չեն կարող վերածվել սովորական կոտորակների։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Կոտորակների վերաբերյալ նյութեր և հաջորդաբար ուսումնասիրություն: Ստորև դուք կգտնեք մանրամասն տեղեկատվություն օրինակներով և բացատրություններով:

1. Խառը թիվը ընդհանուր կոտորակի մեջ:Թիվը գրենք ընդհանուր ձևով.

Մենք հիշում ենք մի պարզ կանոն՝ ամբողջ մասը բազմապատկում ենք հայտարարով և ավելացնում համարիչը, այսինքն.

Օրինակներ.

2. Ընդհակառակը, սովորական կոտորակը խառը թվի մեջ: *Իհարկե, դա կարելի է անել միայն ոչ պատշաճ կոտորակի դեպքում (երբ համարիչը մեծ է հայտարարից):

«Փոքր» թվերով, ընդհանուր առմամբ, ոչ մի գործողություններ պետք չէ ձեռնարկել, արդյունքը «տեսանելի» է անմիջապես, օրինակ՝ կոտորակները.

*Ավելի մանրամասն:

15:13 = 1 մնացորդ 2

4:3 = 1 մնացորդ 1

9:5 = 1 մնացորդ 4

Բայց եթե թվերն ավելի շատ են, ապա դուք չեք կարող անել առանց հաշվարկների: Այստեղ ամեն ինչ պարզ է՝ համարիչը բաժանեք հայտարարի վրա, մինչև մնացորդը փոքր լինի բաժանարարից: Բաժանման սխեման.

Օրինակ:

*Մեր համարիչը դիվիդենտն է, հայտարարը բաժանարարն է։

Ստանում ենք ամբողջ մասը (անավարտ քանորդը) և մնացածը։ Մենք գրում ենք ամբողջ թիվ, այնուհետև կոտորակ (համարիչը պարունակում է մնացորդը, բայց հայտարարը մնում է նույնը).

3. Փոխարկել տասնորդականի սովորականի:

Մասամբ առաջին պարբերությունում, որտեղ խոսեցինք տասնորդական կոտորակների մասին, մենք արդեն անդրադարձանք սրան։ Մենք այն գրում ենք այնպես, ինչպես լսում ենք: Օրինակ - 0.3; 0,45; 0,008; 4.38; 10.00015

Մենք ունենք առաջին երեք կոտորակները՝ առանց ամբողջական մասի։ Եվ չորրորդ և հինգերորդներն ունեն դա, եկեք դրանք վերածենք սովորականների, մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես դա անել.

*Մենք տեսնում ենք, որ կոտորակները նույնպես կարող են կրճատվել, օրինակ 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 և այլն, բայց մենք դա չենք անի այստեղ: Կրճատման վերաբերյալ ստորև կգտնեք առանձին պարբերություն, որտեղ մենք ամեն ինչ մանրամասն կվերլուծենք։

4. Սովորականի վերածել տասնորդականի:

Դա այնքան էլ պարզ չէ: Որոշ կոտորակներով անմիջապես ակնհայտ և պարզ է, թե ինչ անել դրա հետ, որպեսզի այն դառնա տասնորդական, օրինակ.

Մենք օգտագործում ենք կոտորակի մեր հիասքանչ հիմնական հատկությունը՝ համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք համապատասխանաբար 5-ով, 25-ով, 2-ով, 5-ով, 4-ով, 2-ով և ստանում ենք.

Եթե ​​կա մի ամբողջ մաս, ապա դա նույնպես բարդ չէ.

Կոտորակային մասը բազմապատկում ենք համապատասխանաբար 2-ով, 25-ով, 2-ով և 5-ով և ստանում.

Եվ կան այնպիսիք, որոնց համար առանց փորձի անհնար է որոշել, որ դրանք կարող են վերածվել տասնորդականների, օրինակ.

Ի՞նչ թվերով պետք է բազմապատկենք համարիչը և հայտարարը:

Այստեղ կրկին օգնության է գալիս ապացուցված մեթոդը՝ բաժանումը անկյունով, ունիվերսալ մեթոդ, որը միշտ կարող եք օգտագործել՝ սովորական կոտորակը տասնորդականի վերածելու համար.

Այս կերպ դուք միշտ կարող եք որոշել, թե արդյոք կոտորակը վերածվում է տասնորդականի: Փաստն այն է, որ ամեն սովորական կոտորակ չէ, որ կարող է փոխարկվել տասնորդականի, օրինակ՝ 1/9, 3/7, 7/26 չեն փոխարկվում։ Այդ դեպքում ի՞նչ կոտորակ է ստացվում 1-ը 9-ի, 3-ը 7-ի, 5-ը 11-ի բաժանելիս: Իմ պատասխանն անսահման տասնորդական է (դրանց մասին խոսեցինք 1-ին պարբերությունում): Եկեք բաժանենք.

Այսքանը: Հաջողություն քեզ!

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր Կրուտիցկիխ։

Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես կոտորակները տասնորդականների վերածելը, և նաև հաշվի առեք հակադարձ գործընթացը՝ տասնորդական կոտորակների վերածումը սովորական կոտորակների: Այստեղ մենք կուրվագծենք կոտորակների փոխակերպման կանոնները և մանրամասն լուծումներ կտանք բնորոշ օրինակներին:

Էջի նավարկություն.

Կոտորակների վերածումը տասնորդականների

Նշենք այն հաջորդականությունը, որով կզբաղվենք կոտորակները տասնորդականների վերածելը.

Նախ, մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես ներկայացնել 10, 100, 1000, ... հայտարարներով կոտորակները որպես տասնորդական: Սա բացատրվում է նրանով, որ տասնորդական կոտորակները ըստ էության 10, 100, ... հայտարարներով սովորական կոտորակներ գրելու կոմպակտ ձև են:

Դրանից հետո մենք ավելի հեռուն կգնանք և ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է գրել ցանկացած սովորական կոտորակ (ոչ միայն 10, 100, ... հայտարար ունեցողները) որպես տասնորդական կոտորակ: Երբ սովորական կոտորակները նման կերպ են վարվում, ստացվում են ինչպես վերջավոր տասնորդական, այնպես էլ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակներ:

Հիմա եկեք ամեն ինչի մասին խոսենք հերթականությամբ։

10, 100, ... հայտարարներով կոտորակների վերածում տասնորդականների

Որոշ պատշաճ կոտորակներ պահանջում են «նախնական նախապատրաստում» նախքան տասնորդականների վերածվելը: Սա վերաբերում է սովորական կոտորակներին, որոնց համարիչում թվանշանների թիվը պակաս է հայտարարի զրոների թվից։ Օրինակ՝ 2/100 ընդհանուր կոտորակը նախ պետք է պատրաստվի տասնորդական կոտորակի վերածելու համար, սակայն 9/10 կոտորակը նախապատրաստման կարիք չունի։

Տասնորդական կոտորակների վերածելու համար պատշաճ սովորական կոտորակների «նախնական նախապատրաստումը» բաղկացած է համարիչի ձախ կողմում այնքան զրոներ ավելացնելուց, որ այնտեղ թվանշանների ընդհանուր թիվը հավասարվի հայտարարի զրոների թվին: Օրինակ՝ զրոներ ավելացնելուց հետո կոտորակը նման կլինի .

Երբ դուք պատրաստում եք պատշաճ կոտորակ, կարող եք սկսել այն վերածել տասնորդականի:

Եկեք տանք 10, կամ 100, կամ 1000, ... ճիշտ ընդհանուր կոտորակը տասնորդական կոտորակի վերածելու կանոն. Այն բաղկացած է երեք քայլից.

• գրել 0;
• դրանից հետո մենք դնում ենք տասնորդական կետ;
• Թիվը գրում ենք համարիչից (ավելացված զրոների հետ միասին, եթե ավելացրել ենք)։

Դիտարկենք այս կանոնի կիրառումը օրինակներ լուծելիս։

Օրինակ.

37/100 ճիշտ կոտորակը դարձրեք տասնորդականի:

Լուծում.

Հայտարարը պարունակում է 100 թիվը, որն ունի երկու զրո։ Համարիչը պարունակում է 37 թիվը, դրա նշումը ունի երկու նիշ, հետևաբար, այս կոտորակը պետք չէ պատրաստվել տասնորդական կոտորակի վերածելու համար:

Այժմ գրում ենք 0, դնում ենք տասնորդական կետ և համարիչից գրում ենք 37 թիվը և ստանում ենք 0,37 տասնորդական կոտորակը։

Պատասխան.

0,37 .

10, 100, ... համարիչներով ճիշտ սովորական կոտորակները տասնորդական կոտորակների վերածելու հմտությունները ամրապնդելու համար մենք կվերլուծենք մեկ այլ օրինակի լուծումը:

Օրինակ.

107/10 000 000 ճիշտ կոտորակը գրի՛ր տասնորդական թվով:

Լուծում.

Թվանշանների թիվը համարիչում 3 է, իսկ զրոների թիվը հայտարարում՝ 7, ուստի այս ընդհանուր կոտորակը պետք է պատրաստվի տասնորդականի վերածելու համար։ Հարկավոր է համարիչի ձախ կողմում ավելացնել 7-3=4 զրո, որպեսզի այնտեղ թվանշանների ընդհանուր թիվը հավասարվի հայտարարի զրոների թվին։ Մենք ստանում ենք.

Մնում է միայն ստեղծել անհրաժեշտ տասնորդական կոտորակը: Դրա համար նախ գրում ենք 0, երկրորդ՝ դնում ենք ստորակետ, երրորդ՝ համարիչից թիվը գրում ենք 0000107 զրոների հետ միասին, արդյունքում ունենում ենք տասնորդական կոտորակ 0,0000107։

Պատասխան.

0,0000107 .

Անպատշաճ կոտորակները տասնորդականների վերածելիս որևէ նախապատրաստություն չեն պահանջում: Պետք է պահպանել հետևյալը 10, 100, ... հայտարարներով ոչ պատշաճ կոտորակները տասնորդականների վերածելու կանոններ:

• Գրեք համարը համարիչից;
• Մենք օգտագործում ենք տասնորդական կետ՝ աջ կողմում այնքան թվանշան առանձնացնելու համար, որքան զրոներ կան սկզբնական կոտորակի հայտարարում:

Օրինակ լուծելիս նայենք այս կանոնի կիրառմանը։

Օրինակ.

Անպատշաճ 56,888,038,009/100,000 կոտորակը փոխարկե՛ք տասնորդականի:

Լուծում.

Նախ՝ 56888038009 համարիչից գրում ենք համարը, իսկ երկրորդը՝ աջ կողմի 5 նիշերն առանձնացնում ենք տասնորդական կետով, քանի որ սկզբնական կոտորակի հայտարարն ունի 5 զրո։ Արդյունքում ունենք 568880.38009 տասնորդական կոտորակը:

Պատասխան.

568 880,38009 .

Խառը թիվը տասնորդական կոտորակի վերածելու համար, որի կոտորակային մասի հայտարարը 10 թիվն է, կամ 100, կամ 1000,… կոտորակը տասնորդական կոտորակի մեջ: Բայց դուք կարող եք նաև օգտագործել հետևյալը 10, կամ 100, կամ 1000, ... կոտորակային հայտարար ունեցող խառը թվերը տասնորդական կոտորակների վերածելու կանոն.:

• անհրաժեշտության դեպքում կատարում ենք սկզբնական խառը թվի կոտորակային մասի «նախնական պատրաստում»՝ համարիչի ձախ կողմում ավելացնելով անհրաժեշտ թվով զրոներ.
• գրի առեք բնօրինակ խառը թվի ամբողջական մասը.
• դնել տասնորդական կետ;
• Թիվը համարիչից գրում ենք ավելացված զրոների հետ միասին։

Դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ մենք լրացնում ենք բոլոր անհրաժեշտ քայլերը՝ խառը թիվը տասնորդական կոտորակի տեսքով ներկայացնելու համար:

Օրինակ.

Խառը թիվը վերածիր տասնորդականի:

Լուծում.

Կոտորակային մասի հայտարարն ունի 4 զրո, բայց համարիչը պարունակում է 17 թիվը՝ բաղկացած 2 նիշից, հետևաբար, պետք է համարիչի ձախ կողմում ավելացնել երկու զրո, որպեսզի այնտեղ թվանշանների թիվը հավասար լինի թվին։ զրոները հայտարարի մեջ: Դա անելուց հետո համարիչը կլինի 0017:

Այժմ գրում ենք սկզբնական թվի ամբողջ մասը, այսինքն՝ 23 թիվը, դնում ենք տասնորդական կետ, որից հետո համարիչից գրում ենք թիվը ավելացված զրոների հետ միասին, այսինքն՝ 0017, և ստանում ենք ցանկալի տասնորդականը։ կոտորակ 23.0017.

Համառոտ գրենք ամբողջ լուծումը. .

Իհարկե, հնարավոր եղավ նախ խառը թիվը ներկայացնել որպես ոչ պատշաճ կոտորակ, ապա այն վերածել տասնորդական կոտորակի։ Այս մոտեցմամբ լուծումն ունի հետևյալ տեսքը.

Պատասխան.

23,0017 .

Կոտորակների վերածումը վերջավոր և անվերջ պարբերական տասնորդականների

Դուք կարող եք տասնորդական կոտորակի վերածել ոչ միայն 10, 100, ... հայտարար ունեցող սովորական կոտորակները, այլև այլ հայտարարներով սովորական կոտորակները։ Այժմ մենք պարզելու ենք, թե ինչպես է դա արվում:

Որոշ դեպքերում սկզբնական սովորական կոտորակը հեշտությամբ կրճատվում է 10, կամ 100, կամ 1000, ... հայտարարներից մեկին (տես սովորական կոտորակի նոր հայտարարի բերելը), որից հետո ստացված կոտորակը ներկայացնելը դժվար չէ։ որպես տասնորդական կոտորակ: Օրինակ, ակնհայտ է, որ 2/5 կոտորակը կարող է կրճատվել 10 հայտարար ունեցող կոտորակի, դրա համար անհրաժեշտ է համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել 2-ով, ինչը կստացվի 4/10 կոտորակը, որը, ըստ Նախորդ պարբերությունում քննարկված կանոնները հեշտությամբ փոխարկվում են 0, 4 տասնորդական կոտորակի:

Այլ դեպքերում, դուք պետք է օգտագործեք սովորական կոտորակը տասնորդականի փոխարկելու այլ մեթոդ, որը մենք այժմ անցնում ենք դիտարկմանը:

Սովորական կոտորակը տասնորդական կոտորակի վերածելու համար կոտորակի համարիչը բաժանվում է հայտարարի վրա, համարիչը սկզբում փոխարինվում է հավասար տասնորդական կոտորակով՝ տասնորդական կետից հետո ցանկացած թվով զրոներով (այս մասին խոսեցինք հավասար և հավասար բաժնում։ անհավասար տասնորդական կոտորակներ): Այս դեպքում բաժանումը կատարվում է այնպես, ինչպես բաժանումը բնական թվերի սյունակով, իսկ քանորդում տեղադրվում է տասնորդական կետ, երբ ավարտվում է դիվիդենտի ամբողջ մասի բաժանումը։ Այս ամենը պարզ կդառնա ստորև բերված օրինակների լուծումներից։

Օրինակ.

621/4 կոտորակը փոխարկե՛ք տասնորդականի։

Լուծում.

Ներկայացնենք 621 համարիչի թիվը որպես տասնորդական կոտորակ՝ դրանից հետո ավելացնելով տասնորդական կետ և մի քանի զրո։ Նախ, եկեք ավելացնենք 2 նիշ 0, ավելի ուշ, անհրաժեշտության դեպքում, միշտ կարող ենք ավելացնել ավելի շատ զրոներ: Այսպիսով, մենք ունենք 621.00:

Այժմ 621000 թիվը սյունակով բաժանենք 4-ի։ Առաջին երեք քայլերը ոչնչով չեն տարբերվում բնական թվերը սյունակի վրա բաժանելուց, որից հետո հանգում ենք հետևյալ պատկերին.

Այսպես մենք հասնում ենք դիվիդենտի տասնորդական կետին, իսկ մնացորդը տարբերվում է զրոյից: Այս դեպքում մենք տասնորդական կետ ենք դնում քանորդում և շարունակում ենք բաժանումը սյունակում՝ ուշադրություն չդարձնելով ստորակետերին.

Սա ավարտում է բաժանումը, և արդյունքում ստանում ենք 155.25 տասնորդական կոտորակը, որը համապատասխանում է սկզբնական սովորական կոտորակին։

Պատասխան.

155,25 .

Նյութը համախմբելու համար հաշվի առեք մեկ այլ օրինակի լուծումը:

Օրինակ.

21/800 կոտորակը դարձրեք տասնորդականի:

Լուծում.

Այս ընդհանուր կոտորակը տասնորդականի վերածելու համար տասնորդական կոտորակի սյունակով 21000... բաժանում ենք 800-ի: Առաջին քայլից հետո մենք պետք է տասնորդական կետ դնենք քանորդի մեջ, այնուհետև շարունակենք բաժանումը.

Ի վերջո, մենք ստացանք մնացած 0-ը, սա ավարտում է 21/400 ընդհանուր կոտորակի փոխարկումը տասնորդական կոտորակի, և մենք հասանք 0,02625 տասնորդական կոտորակի:

Պատասխան.

0,02625 .

Կարող է պատահել, որ համարիչը սովորական կոտորակի հայտարարի վրա բաժանելիս, այնուամենայնիվ, 0-ի մնացորդ չստացվի։ Այս դեպքերում բաժանումը կարող է շարունակվել անորոշ ժամանակով։ Սակայն որոշակի քայլից սկսած մնացորդները սկսում են պարբերաբար կրկնվել, իսկ քանորդի թվերը նույնպես կրկնվում են։ Սա նշանակում է, որ սկզբնական կոտորակը վերածվում է անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակի: Սա ցույց տանք օրինակով։

Օրինակ.

19/44 կոտորակը գրի՛ր տասնորդական թվով:

Լուծում.

Սովորական կոտորակը տասնորդականի վերածելու համար կատարեք բաժանում ըստ սյունակի.

Արդեն պարզ է, որ բաժանման ժամանակ սկսեցին կրկնվել 8-րդ և 36-ի մնացորդները, մինչդեռ քանորդում կրկնվում են 1-ին և 8-րդ թվերը։ Այսպիսով, սկզբնական ընդհանուր կոտորակը 19/44 վերածվում է պարբերական տասնորդական կոտորակի 0,43181818...=0,43(18):

Պատասխան.

0,43(18) .

Այս կետը եզրափակելու համար մենք կպարզենք, թե որ սովորական կոտորակները կարող են վերածվել վերջավոր տասնորդական կոտորակների, և որոնք կարող են վերածվել միայն պարբերականների:

Եկեք մեր առջև ունենանք անկրճատելի սովորական կոտորակ (եթե կոտորակը կրճատելի է, ապա նախ փոքրացնում ենք կոտորակը), և պետք է պարզենք, թե որ տասնորդական կոտորակի կարող է այն վերածվել՝ վերջավոր, թե պարբերական։

Հասկանալի է, որ եթե սովորական կոտորակը կարող է կրճատվել 10, 100, 1000, ... հայտարարներից մեկին, ապա ստացված կոտորակը հեշտությամբ կարելի է վերածել վերջնական տասնորդական կոտորակի՝ համաձայն նախորդ պարբերությունում քննարկված կանոնների։ Բայց հայտարարներին՝ 10, 100, 1000 և այլն։ Ոչ բոլոր սովորական կոտորակներն են տրված։ Միայն այն կոտորակները, որոնց հայտարարը 10, 100, ... թվերից գոնե մեկն է, իսկ ո՞ր թվերը կարող են լինել 10, 100, ... բաժանարարներ: 10, 100, ... թվերը մեզ թույլ կտան պատասխանել այս հարցին, և դրանք հետևյալն են՝ 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Հետևում է, որ բաժանարարներն են 10, 100, 1000 և այլն։ Կարող են լինել միայն թվեր, որոնց տարրալուծումը պարզ գործոնների պարունակում է միայն 2 և (կամ) 5 թվերը:

Այժմ մենք կարող ենք ընդհանուր եզրակացություն անել սովորական կոտորակները տասնորդականների վերածելու վերաբերյալ.

• եթե հայտարարի պարզ գործոնների տարրալուծման ժամանակ առկա են միայն 2 և (կամ) 5 թվերը, ապա այս կոտորակը կարող է վերածվել վերջնական տասնորդական կոտորակի.
• եթե, բացի երկուսից և հինգից, հայտարարի ընդլայնման մեջ կան նաև այլ պարզ թվեր, ապա այս կոտորակը վերածվում է անվերջ տասնորդական պարբերական կոտորակի։

Օրինակ.

Առանց սովորական կոտորակները տասնորդականների փոխարկելու, ասա ինձ, թե 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 կոտորակներից որը կարելի է վերածել վերջնական տասնորդական կոտորակի, իսկ որոնք՝ միայն պարբերական կոտորակի։

Լուծում.

47/20 կոտորակի հայտարարը գործոնացվում է պարզ գործակիցների՝ 20=2·2·5: Այս ընդլայնման մեջ կան միայն երկու և հինգերորդներ, ուստի այս կոտորակը կարող է կրճատվել մինչև 10, 100, 1000, ... հայտարարներից մեկին (այս օրինակում՝ 100 հայտարարի), հետևաբար, կարող է փոխարկվել վերջնական տասնորդականի։ մաս.

7/12 կոտորակի հայտարարի տարրալուծումը պարզ գործակիցների ունի 12=2·2·3 ձև: Քանի որ այն պարունակում է 3-ի պարզ գործակից, որը տարբերվում է 2-ից և 5-ից, այս կոտորակը չի կարող ներկայացվել որպես վերջավոր տասնորդական, բայց կարող է փոխարկվել պարբերական տասնորդականի:

Մաս 21/56 – կծկվող, կծկվելուց հետո ստանում է 3/8 ձև։ Հայտարարը պարզ գործակիցների վերածելը պարունակում է երեք գործակից, որը հավասար է 2-ի, հետևաբար, ընդհանուր 3/8 կոտորակը և, հետևաբար, հավասար կոտորակը 21/56, կարող է վերածվել վերջնական տասնորդական կոտորակի:

Վերջապես, 31/17 կոտորակի հայտարարի ընդլայնումը ինքնին 17 է, հետևաբար այս կոտորակը չի կարող վերածվել վերջավոր տասնորդական կոտորակի, այլ կարող է վերածվել անվերջ պարբերական կոտորակի։

Պատասխան.

47/20-ը և 21/56-ը կարող են վերածվել վերջավոր տասնորդական կոտորակի, բայց 7/12 և 31/17-ը կարող են փոխարկվել միայն պարբերական կոտորակի:

Սովորական կոտորակները չեն վերածվում անվերջ ոչ պարբերական տասնորդականների

Նախորդ պարբերության տեղեկատվությունը առաջացնում է հարց. «Կոտորակի համարիչը հայտարարի վրա բաժանելը կարո՞ղ է հանգեցնել անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի»:

Պատասխան՝ ոչ։ Ընդհանուր կոտորակը փոխարկելիս արդյունքը կարող է լինել կամ վերջավոր տասնորդական կոտորակ կամ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ: Եկեք բացատրենք, թե ինչու է դա այդպես:

Մնացորդով բաժանելիության թեորեմից պարզ է դառնում, որ մնացորդը միշտ փոքր է բաժանարարից, այսինքն՝ եթե որոշ ամբողջ թիվ բաժանենք q ամբողջ թվի վրա, ապա մնացորդը կարող է լինել միայն 0, 1, 2 թվերից մեկը։ , ..., q−1. Հետևում է, որ սյունակի ավարտից հետո ընդհանուր կոտորակի համարիչի ամբողջ մասը բաժանելը q հայտարարի վրա, q քայլերից ոչ ավելի, կառաջանա հետևյալ երկու իրավիճակներից մեկը.

• կամ մենք կստանանք 0-ի մնացորդ, սա կավարտի բաժանումը, և մենք կստանանք վերջնական տասնորդական կոտորակը.
• կամ կստանանք նախկինում արդեն հայտնված մնացորդ, որից հետո մնացորդները կսկսեն կրկնվել ինչպես նախորդ օրինակում (քանի որ հավասար թվերը q-ի բաժանելիս ստացվում են հավասար մնացորդներ, որը բխում է արդեն նշված բաժանելիության թեորեմից), սա. կստացվի անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ:

Այլ տարբերակներ լինել չեն կարող, հետևաբար սովորական կոտորակը տասնորդական կոտորակի վերածելիս չի կարելի ստանալ անսահման ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակ։

Այս պարբերությունում բերված պատճառաբանությունից հետևում է նաև, որ տասնորդական կոտորակի պարբերության երկարությունը միշտ փոքր է համապատասխան սովորական կոտորակի հայտարարի արժեքից:

Տասնորդական թվերը կոտորակների վերածելը

Հիմա եկեք պարզենք, թե ինչպես կարելի է տասնորդական կոտորակը վերածել սովորական կոտորակի: Սկսենք վերջնական տասնորդական կոտորակները սովորական կոտորակների վերածելուց: Դրանից հետո մենք կդիտարկենք անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակները շրջելու մեթոդ: Եզրափակելով, ասենք անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակները սովորական կոտորակների վերածելու անհնարինության մասին։

Հետևյալ տասնորդականների վերածումը կոտորակների

Կոտորակի ստացումը, որը գրված է որպես վերջնական տասնորդական, բավականին պարզ է: Վերջնական տասնորդական կոտորակը սովորական կոտորակի վերածելու կանոնըբաղկացած է երեք քայլից.

• նախ գրեք տրված տասնորդական կոտորակը համարիչի մեջ՝ նախապես հրաժարվելով տասնորդական կետից և ձախ կողմում գտնվող բոլոր զրոներից, եթե այդպիսիք կան.
• երկրորդ, հայտարարի մեջ գրեք մեկը և դրան ավելացրեք այնքան զրո, որքան թվանշաններ կան սկզբնական տասնորդական կոտորակի տասնորդական կետից հետո.
• երրորդը, անհրաժեշտության դեպքում, կրճատեք ստացված ֆրակցիան:

Դիտարկենք օրինակների լուծումները։

Օրինակ.

Տասնորդական 3.025-ը փոխարկեք կոտորակի:

Լուծում.

Եթե ​​սկզբնական տասնորդական կոտորակից հանենք տասնորդական կետը, կստանանք 3025 թիվը։ Ձախ կողմում չկան զրոներ, որոնք մենք կհրաժարվեինք: Այսպիսով, ցանկալի կոտորակի համարիչում գրում ենք 3025։

Մենք 1 թիվը գրում ենք հայտարարի մեջ և աջում ավելացնում ենք 3 զրո, քանի որ սկզբնական տասնորդական կոտորակի մեջ տասնորդական կետից հետո կա 3 նիշ։

Այսպիսով, մենք ստացանք ընդհանուր կոտորակը 3,025/1,000: Այս կոտորակը կարելի է կրճատել 25-ով, ստանում ենք .

Պատասխան.

.

Օրինակ.

0,0017 տասնորդական կոտորակը փոխարկեք կոտորակի:

Լուծում.

Առանց տասնորդական կետի, սկզբնական տասնորդական կոտորակը նման է 00017-ին, ձախ կողմում զրոները դեն նետելով՝ ստանում ենք 17 թիվը, որը ցանկալի սովորական կոտորակի համարիչն է։

Մեկը գրում ենք չորս զրոներով, քանի որ սկզբնական տասնորդական կոտորակը տասնորդական կետից հետո ունի 4 նիշ։

Արդյունքում ունենք սովորական կոտորակ 17/10000։ Այս կոտորակն անկրճատելի է, և տասնորդական կոտորակի վերածումը սովորական կոտորակի ավարտված է։

Պատասխան.

.

Երբ սկզբնական վերջնական տասնորդական կոտորակի ամբողջական մասը զրոյական չէ, այն կարող է անմիջապես վերածվել խառը թվի՝ շրջանցելով ընդհանուր կոտորակը։ Եկեք տանք վերջնական տասնորդական կոտորակը խառը թվի վերածելու կանոն:

• տասնորդական կետից առաջ թիվը պետք է գրվի որպես ցանկալի խառը թվի ամբողջական մաս.
• կոտորակային մասի համարիչում պետք է գրել սկզբնական տասնորդական կոտորակի կոտորակային մասից ստացված թիվը ձախ կողմում գտնվող բոլոր զրոները հեռացնելուց հետո.
• կոտորակային մասի հայտարարի մեջ պետք է գրել 1 թիվը, որին աջ գումարել այնքան զրո, որքան թվանշաններ կան սկզբնական տասնորդական կոտորակի տասնորդական կետից հետո.
• անհրաժեշտության դեպքում կրճատեք ստացված խառը թվի կոտորակային մասը։

Դիտարկենք տասնորդական կոտորակը խառը թվի վերածելու օրինակ։

Օրինակ.

152.06005 տասնորդական կոտորակն արտահայտե՛ք խառը թվով

Հենց սկզբում դուք դեռ պետք է պարզեք, թե ինչ է կոտորակը և ինչ տեսակների մեջ է մտնում: Եվ կան երեք տեսակ. Իսկ դրանցից առաջինը սովորական կոտորակն է, օրինակ՝ ½, 3/7, 3/432 և այլն։ Այս թվերը կարելի է գրել նաև հորիզոնական գծիկով։ Ե՛վ առաջինը, և՛ երկրորդը հավասարապես ճշմարիտ կլինեն: Վերևի թիվը կոչվում է թիվ, իսկ ներքևի թիվը՝ հայտարար։ Նույնիսկ ասացվածք կա այն մարդկանց համար, ովքեր անընդհատ շփոթում են այս երկու անունները. Դա հետևյալն է. «Zzzzz հիշիր! Zzzz հայտարար - downzzzz! « Սա կօգնի ձեզ խուսափել շփոթությունից: Ընդհանուր կոտորակը ընդամենը երկու թվեր են, որոնք բաժանվում են միմյանց վրա: Դրանցում գծիկը ցույց է տալիս բաժանման նշանը։ Այն կարող է փոխարինվել հաստ աղիքով։ Եթե ​​հարցն այն է, թե «ինչպես փոխարկել կոտորակը թվի», ապա դա շատ պարզ է: Պարզապես պետք է համարիչը բաժանել հայտարարի վրա։ Այսքանը: Կոտորակը թարգմանված է։

Կոտորակի երկրորդ տեսակը կոչվում է տասնորդական: Սա թվերի շարք է, որին հաջորդում է ստորակետը: Օրինակ՝ 0,5, 3,5 և այլն: Դրանք կոչվում էին տասնորդական միայն այն պատճառով, որ երգված թվից հետո առաջին թվանշանը նշանակում է «տասնյակ», երկրորդը տասնապատիկ ավելի է, քան «հարյուրները» և այլն: Իսկ տասնորդական կետից առաջ առաջին թվանշանները կոչվում են ամբողջ թվեր։ Օրինակ՝ 2.4 թիվը հնչում է այսպես՝ տասներկու կետ երկու և երկու հարյուր երեսունչորս հազարերորդական։ Նման կոտորակները հիմնականում առաջանում են այն պատճառով, որ առանց մնացորդի երկու թվեր բաժանելը չի ​​գործում։ Եվ կոտորակների մեծ մասը, երբ վերածվում է թվերի, ավարտվում են տասնորդականներով: Օրինակ, մեկ վայրկյանը հավասար է զրոյական հինգ կետի:

Եվ վերջին երրորդ տեսակետը. Սրանք խառը թվեր են։ Դրա օրինակը կարելի է բերել որպես 2½: Այն հնչում է որպես երկու ամբողջություն և մեկ վայրկյան: Ավագ դպրոցում այս տեսակի կոտորակներն այլևս չեն օգտագործվում: Նրանք, հավանաբար, պետք է փոխարկվեն կամ սովորական կոտորակի ձևի կամ տասնորդական ձևի: Նույնքան հեշտ է դա անել: Պարզապես պետք է բազմապատկել ամբողջ թիվը հայտարարով և ավելացնել ստացված նշումը թվին: Վերցնենք մեր օրինակը 2½: Երկուը բազմապատկած երկուսով հավասար է չորսի: Չորսին գումարած մեկ հավասար է հինգի: Եվ 2½ ձևի մի մասը ձևավորվում է 5/2-ի: Իսկ հինգը, բաժանված երկուսի, կարելի է ստանալ տասնորդական կոտորակի տեսքով: 2½=5/2=2,5: Արդեն պարզ է դարձել, թե ինչպես կարելի է կոտորակները վերածել թվերի։ Պարզապես պետք է համարիչը բաժանել հայտարարի վրա։ Եթե ​​թվերը մեծ են, կարող եք օգտագործել հաշվիչը:

Եթե ​​այն չի արտադրում ամբողջ թվեր, և տասնորդական կետից հետո շատ թվանշաններ կան, ապա այս արժեքը կարող է կլորացվել: Ամեն ինչ կլորացված է շատ պարզ. Նախ պետք է որոշեք, թե որ թիվն է պետք կլորացնել: Պետք է դիտարկել օրինակ. Մարդը պետք է զրոյական թիվը կլորացնի ինը հազար յոթ հարյուր հիսունվեց տասը հազարերորդական կամ 0,6 թվային արժեքով: Կլորացումը պետք է կատարվի մինչև հարյուրերորդականը: Սա նշանակում է, որ այս պահին այն կազմում է մինչև յոթ հարյուրերորդական։ Յոթ թվից հետո կոտորակի մեջ կա հինգ։ Այժմ մենք պետք է օգտագործենք կլորացման կանոնները: Հինգից մեծ թվերը կլորացվում են դեպի վեր, իսկ հինգից փոքր թվերը՝ ներքև։ Օրինակում մարդն ունի հինգ, նա գտնվում է սահմանագծին, բայց համարվում է, որ կլորացումը տեղի է ունենում դեպի վեր։ Սա նշանակում է, որ մենք հանում ենք յոթից հետո բոլոր թվերը և ավելացնում մեկին: Ստացվում է 0,8:

Իրավիճակներ են առաջանում նաև, երբ մարդուն անհրաժեշտ է սովորական կոտորակը արագ վերածել թվի, բայց մոտակայքում հաշվիչ չկա։ Դա անելու համար օգտագործեք սյունակի բաժանումը: Առաջին քայլը թղթի վրա իրար կողքի համարիչն ու հայտարարը գրելն է: Նրանց միջև դրված է բաժանարար անկյուն, որը կարծես «T» տառ է, որը միայն կողքի վրա է ընկած: Օրինակ, կոտորակը կարող եք վերցնել տասը վեցերորդ: Եվ այսպես, տասը պետք է բաժանել վեցի։ Քանի՞ վեց կարող է տեղավորվել տասում, միայն մեկը: Անկյունի տակ գրված է միավորը։ Տասը հանել վեցը հավասար է չորսի: Քանի՞ վեցյակ կլինի քառյակում, մի քանիսը: Սա նշանակում է, որ պատասխանում մեկից հետո դրվում է ստորակետ, իսկ չորսը բազմապատկվում է տասով։ Քառասունվեց վեց տարեկանում: Պատասխանին գումարվում է վեցը, իսկ քառասունից հանվում է երեսունվեցը: Դա նորից չորս է ստացվում։

Այս օրինակում առաջացել է մի օղակ, եթե շարունակեք անել ամեն ինչ ճիշտ նույնը, ապա կստանաք 1.6(6) պատասխանը: . Ինչը շատ ավելի հարմար է։ Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ ոչ բոլոր սովորական կոտորակները կարող են վերածվել տասնորդականների։ Ոմանց մեջ կա ցիկլ. Բայց ցանկացած տասնորդական կոտորակ կարող է վերածվել պարզ կոտորակի: Այստեղ կօգնի մի տարրական կանոն՝ ինչպես լսվում է, այնպես էլ գրված է։ Օրինակ, 1.5 թիվը լսվում է որպես մեկ կետ քսանհինգ հարյուրերորդական: Այսպիսով, դուք պետք է գրեք այն, մեկ ամբողջություն, քսանհինգը բաժանված է հարյուրի: Մեկ ամբողջ թիվը հարյուր է, ինչը նշանակում է, որ պարզ կոտորակը կլինի հարյուր քսանհինգ անգամ հարյուր (125/100): Ամեն ինչ նույնպես պարզ է և պարզ:

Այսպիսով, քննարկվել են ամենահիմնական կանոններն ու փոխակերպումները, որոնք կապված են կոտորակների հետ: Նրանք բոլորն էլ պարզ են, բայց դուք պետք է իմանաք դրանք: Կոտորակները, հատկապես տասնորդականները, վաղուց դարձել են առօրյա կյանքում: Սա հստակ տեսանելի է խանութների գների պիտակների վրա: Երկար ժամանակ է, ինչ որևէ մեկը գրում է կլոր գներ, բայց կոտորակներով գինը տեսողականորեն շատ ավելի էժան է թվում: Նաև տեսություններից մեկն ասում է, որ մարդկությունը շրջվեց հռոմեական թվերից և ընդունեց արաբական թվերը, միայն այն պատճառով, որ հռոմեականները կոտորակներ չունեին: Եվ շատ գիտնականներ համաձայն են այս ենթադրության հետ։ Ի վերջո, կոտորակներով դուք կարող եք ավելի ճշգրիտ հաշվարկներ կատարել: Եվ տիեզերական տեխնոլոգիաների մեր դարում հաշվարկների ճշգրտությունն առավել քան երբևէ անհրաժեշտ է: Այսպիսով, դպրոցական մաթեմատիկայի կոտորակների ուսումնասիրությունը կենսական նշանակություն ունի բազմաթիվ գիտությունների և տեխնոլոգիական առաջընթացների հասկանալու համար:

Թվում է, թե տասնորդական կոտորակը կանոնավոր կոտորակի վերածելը տարրական թեմա է, բայց շատ ուսանողներ դա չեն հասկանում: Ուստի այսօր մենք մանրամասն կանդրադառնանք միանգամից մի քանի ալգորիթմների, որոնց օգնությամբ դուք կհասկանաք ցանկացած կոտորակ ընդամենը մեկ վայրկյանում։

Հիշեցնեմ, որ նույն կոտորակը գրելու առնվազն երկու ձև կա՝ ընդհանուր և տասնորդական։ Տասնորդական կոտորակները 0,75 ձևի բոլոր տեսակի կոնստրուկցիաներն են. 1.33; և նույնիսկ −7,41։ Ահա սովորական կոտորակների օրինակներ, որոնք արտահայտում են նույն թվերը.

Հիմա եկեք պարզենք. ինչպե՞ս անցնել տասնորդական նշումից սովորական նշագրման: Եվ ամենակարևորը. ինչպե՞ս դա անել հնարավորինս արագ:

Հիմնական ալգորիթմ

Իրականում կա առնվազն երկու ալգորիթմ. Եվ մենք հիմա կանդրադառնանք երկուսին էլ: Սկսենք առաջինից՝ ամենապարզն ու հասկանալիը։

Տասնորդականը կոտորակի վերածելու համար անհրաժեշտ է կատարել երեք քայլ.

Կարևոր նշում բացասական թվերի մասին. Եթե ​​սկզբնական օրինակում տասնորդական կոտորակի դիմաց մինուս նշան է, ապա ելքում պետք է լինի նաև մինուս նշան սովորական կոտորակի դիմաց։ Ահա ևս մի քանի օրինակ.

Կոտորակների տասնորդական նշումից սովորականին անցնելու օրինակներ

Ես կցանկանայի հատուկ ուշադրություն դարձնել վերջին օրինակին. Ինչպես տեսնում եք, 0,0025 կոտորակը տասնորդական կետից հետո պարունակում է բազմաթիվ զրոներ: Դրա պատճառով դուք պետք է բազմապատկեք համարիչն ու հայտարարը 10-ով այնքան, որքան չորս անգամ:

Իհարկե, դուք կարող եք. Եվ հիմա մենք կանդրադառնանք այլընտրանքային ալգորիթմին. դա մի փոքր ավելի դժվար է հասկանալ, բայց մի փոքր պրակտիկայից հետո այն աշխատում է շատ ավելի արագ, քան ստանդարտը:

Ավելի արագ ճանապարհ

Այս ալգորիթմը նույնպես ունի 3 քայլ. Տասնորդականից կոտորակ ստանալու համար կատարեք հետևյալը.

1. Հաշվե՛ք, թե քանի թվանշան է գտնվում տասնորդական կետից հետո: Օրինակ՝ 1,75 կոտորակն ունի երկու նման թվանշան, իսկ 0,0025-ը՝ չորս։ Նշենք այս մեծությունը $n$ տառով։
2. Բնօրինակ թիվը վերագրեք որպես $\frac(a)(((10)^(n)))$ ձևի կոտորակ, որտեղ $a$-ը սկզբնական կոտորակի բոլոր թվանշաններն են (առանց կոտորակի «մեկնարկային» զրոների: ձախ, եթե այդպիսիք կան), իսկ $n$-ը տասնորդական կետից հետո թվանշանների նույն թիվն է, որը մենք հաշվարկել ենք առաջին քայլում: Այլ կերպ ասած, դուք պետք է բաժանեք սկզբնական կոտորակի թվանշանները մեկով, որին հաջորդում են $n$ զրոները:
3. Հնարավորության դեպքում կրճատեք ստացված մասնաբաժինը:

Այսքանը: Առաջին հայացքից այս սխեման ավելի բարդ է, քան նախորդը: Բայց իրականում դա և՛ ավելի պարզ է, և՛ արագ։ Դատեք ինքներդ.

Ինչպես տեսնում եք, 0,64 կոտորակի մեջ տասնորդական կետից հետո երկու նիշ կա՝ 6 և 4։ Հետևաբար $n=2$։ Եթե ​​ձախից հանենք ստորակետն ու զրոները (այս դեպքում՝ ընդամենը մեկ զրո), կստանանք 64 թիվը։ Անցնենք երկրորդ քայլին՝ $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, հետևաբար հայտարարը ուղիղ հարյուր է։ Դե ուրեմն մնում է համարիչն ու հայտարարը կրճատել :)

Եվս մեկ օրինակ.

Այստեղ ամեն ինչ մի փոքր ավելի բարդ է։ Նախ, տասնորդական կետից հետո արդեն կա 3 թիվ, այսինքն. $n=3$, այնպես որ դուք պետք է բաժանեք $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$-ի: Երկրորդ, եթե ստորակետը հանենք տասնորդական նշումից, կստանանք հետևյալը. 0,004 → 0004: Հիշեք, որ ձախ կողմի զրոները պետք է հեռացվեն, հետևաբար մենք ունենք 4 թիվը: Հետո ամեն ինչ պարզ է՝ բաժանեք, փոքրացրեք և ստացեք: պատասխան.

Վերջապես, վերջին օրինակը.

Այս կոտորակի առանձնահատկությունը ամբողջ մասի առկայությունն է։ Հետևաբար, մեր ստացած արդյունքը 47/25-ի ոչ պատշաճ կոտորակն է: Դուք, իհարկե, կարող եք փորձել 47-ը բաժանել 25-ի մնացորդով և այդպիսով կրկին մեկուսացնել ամբողջ մասը։ Բայց ինչու՞ բարդացնել ձեր կյանքը, եթե դա հնարավոր է անել վերափոխման փուլում: Դե, եկեք պարզենք:

Ինչ անել ամբողջ մասի հետ

Իրականում ամեն ինչ շատ պարզ է. եթե ուզում ենք ճիշտ կոտորակ ստանալ, ապա փոխակերպման ժամանակ պետք է նրանից հեռացնել ամբողջ մասը, իսկ հետո, երբ արդյունքը ստանանք, այն նորից ավելացնենք դեպի աջ՝ կոտորակի գծից առաջ։ .

Օրինակ, հաշվի առեք նույն թիվը՝ 1.88։ Գնահատենք մեկով (ամբողջ մասը) և նայենք 0,88 կոտորակը։ Այն կարող է հեշտությամբ փոխակերպվել.

Այնուհետև մենք հիշում ենք «կորցրած» միավորի մասին և այն ավելացնում առջևում.

\[\frac(22)(25)\մինչև 1\frac(22)(25)\]

Այսքանը: Պատասխանը նույնն էր, ինչ նախորդ անգամ ամբողջ մասն ընտրելուց հետո։ Եվս մի քանի օրինակ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& 2.15\մինչև 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\մինչև 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\մինչև 13\frac(4)(5): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Սա է մաթեմատիկայի գեղեցկությունը՝ անկախ նրանից, թե որ ճանապարհով եք գնում, եթե բոլոր հաշվարկները ճիշտ արվեն, պատասխանը միշտ նույնն է լինելու:

Եզրափակելով, ես կցանկանայի դիտարկել ևս մեկ տեխնիկա, որն օգնում է շատերին:

Փոխակերպումներ «ականջով»

Եկեք մտածենք, թե ինչ է տասնորդական թիվը: Ավելի ճիշտ՝ ինչպես ենք կարդում։ Օրինակ՝ 0.64 թիվը - մենք այն կարդում ենք որպես «զրոյական կետ 64 հարյուրերորդական», ճիշտ է։ Դե, կամ պարզապես «64 հարյուրերորդական»: Հիմնական բառն այստեղ «հարյուրերորդներն» են, այսինքն. թիվ 100.

Ինչ վերաբերում է 0.004-ին: Սա «զրոյական կետ 4 հազարերորդական» է կամ պարզապես «չորս հազարերորդական»: Այսպես թե այնպես, հիմնական բառը «հազար» է, այսինքն. 1000.

Այսպիսով, ո՞րն է մեծ գործը: Եվ փաստն այն է, որ հենց այս թվերն են, որ ի վերջո «հայտնվում» են ալգորիթմի երկրորդ փուլում հայտարարների մեջ: Նրանք. 0,004-ը «չորս հազարերորդական» է կամ «4-ը բաժանված է 1000-ի».

Փորձեք զբաղվել ինքներդ ձեզ, դա շատ պարզ է: Հիմնական բանը բնօրինակ կոտորակը ճիշտ կարդալն է։ Օրինակ, 2.5-ը «2 ամբողջ, 5 տասներորդ» է, այսպես

Եվ որոշ 1,125-ը «1 ամբողջություն է, 125 հազարերորդական», այսպես

Վերջին օրինակում, իհարկե, ինչ-որ մեկը կառարկի, որ յուրաքանչյուր ուսանողի համար ակնհայտ չէ, որ 1000-ը բաժանվում է 125-ի: Բայց այստեղ պետք է հիշել, որ 1000 = 10 3, և 10 = 2 ∙ 5, հետևաբար.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, տասի ցանկացած հզորություն տարրալուծվում է միայն 2-րդ և 5-րդ գործոնների. հենց այս գործոնները պետք է փնտրել համարիչում, որպեսզի ի վերջո ամեն ինչ կրճատվի:

Սա ավարտում է դասը: Եկեք անցնենք ավելի բարդ հակադարձ գործողության. տես «