Ամենապարզ եռանկյունաչափության լուծումը. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ գտնելու կանոններ՝ սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս: Կոսինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = cos x

Սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս հասկացությունները եռանկյունաչափության հիմնական կատեգորիաներն են՝ մաթեմատիկայի ճյուղ, և անքակտելիորեն կապված են անկյան սահմանման հետ։ Այս մաթեմատիկական գիտությանը տիրապետելը պահանջում է բանաձևերի և թեորեմների անգիր և ընկալում, ինչպես նաև զարգացած տարածական մտածողություն: Այդ իսկ պատճառով եռանկյունաչափական հաշվարկները հաճախ դժվարություններ են առաջացնում դպրոցականների և ուսանողների համար։ Դրանք հաղթահարելու համար դուք պետք է ավելի լավ ծանոթանաք եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին և բանաձևերին:

Հայեցակարգեր եռանկյունաչափության մեջ

Եռանկյունաչափության հիմնական հասկացությունները հասկանալու համար նախ պետք է որոշել, թե ինչ են ուղղանկյուն եռանկյունը և անկյունը շրջանագծի մեջ, և ինչու են բոլոր հիմնական եռանկյունաչափական հաշվարկները կապված դրանց հետ: Եռանկյունը, որի անկյուններից մեկը 90 աստիճան է, ուղղանկյուն եռանկյուն է: Պատմականորեն այս ցուցանիշը հաճախ օգտագործվում էր ճարտարապետության, նավիգացիայի, արվեստի, աստղագիտության մեջ: Ըստ այդմ, ուսումնասիրելով և վերլուծելով այս գործչի հատկությունները, մարդիկ եկան դրա պարամետրերի համապատասխան հարաբերակցությունների հաշվարկին:

Ուղղանկյուն եռանկյունների հետ կապված հիմնական կատեգորիաներն են հիպոթենուսը և ոտքերը: Հիպոթենուսը եռանկյան այն կողմն է, որը գտնվում է ուղիղ անկյան դիմաց: Ոտքերը, համապատասխանաբար, մյուս երկու կողմերն են։ Ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը միշտ 180 աստիճան է։

Գնդաձև եռանկյունաչափությունը եռանկյունաչափության բաժին է, որը չի ուսումնասիրվում դպրոցում, բայց կիրառական գիտություններում, ինչպիսիք են աստղագիտությունը և գեոդեզիան, գիտնականներն այն օգտագործում են: Գնդաձև եռանկյունու առանձնահատկությունն այն է, որ այն միշտ ունի 180 աստիճանից մեծ անկյունների գումար:

Եռանկյան անկյուններ

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ անկյան սինուսը ցանկալի անկյան դիմաց գտնվող ոտքի հարաբերությունն է եռանկյան հիպոթենուսին: Համապատասխանաբար, կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է: Այս երկու արժեքներն էլ միշտ ունեն մեկից պակաս արժեք, քանի որ հիպոթենուսը միշտ ավելի երկար է, քան ոտքը:

Անկյունի շոշափողը մի արժեք է, որը հավասար է հակառակ ոտքի և ցանկալի անկյան հարակից ոտքի կամ սինուսի և կոսինուսի հարաբերությանը: Կոտանգենսն իր հերթին ցանկալի անկյան հարակից ոտքի հարաբերակցությունն է հակառակ կակտետին: Անկյունի կոտանգենսը կարելի է ստանալ նաև միավորը շոշափողի արժեքի վրա բաժանելով։

միավոր շրջան

Միավոր շրջանագիծը երկրաչափության մեջ այն շրջանագիծն է, որի շառավիղը հավասար է մեկի: Նման շրջանագիծը կառուցված է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում, շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է սկզբնակետի հետ, իսկ շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը որոշվում է X առանցքի դրական ուղղությամբ (աբսցիսային առանցք)։ Շրջանակի յուրաքանչյուր կետ ունի երկու կոորդինատ՝ XX և YY, այսինքն՝ աբսցիսայի և օրդինատի կոորդինատները։ Ընտրելով XX հարթության շրջանագծի ցանկացած կետ և ուղղահայացը գցելով դեպի աբսցիսայի առանցքը, մենք ստանում ենք ընտրված կետի շառավղով ձևավորված ուղղանկյուն եռանկյուն (նշանակենք այն C տառով), ուղղահայաց, որը գծված է. X առանցքը (հատման կետը նշվում է G տառով), և աբսցիսայի առանցքի հատվածը սկզբնաղբյուրի (կետը նշվում է A տառով) և հատման կետի G-ի միջև: շրջան, որտեղ AG-ն հիպոթենուսն է, իսկ AC-ն և GC-ն ոտքերն են: AC շրջանագծի շառավղի և AG նշմամբ աբսցիսային առանցքի հատվածի միջև անկյունը մենք սահմանում ենք α (ալֆա): Այսպիսով, cos α = AG/AC: Հաշվի առնելով, որ AC-ը միավոր շրջանագծի շառավիղն է, և այն հավասար է մեկի, ստացվում է, որ cos α=AG: Նմանապես, sin α=CG:

Բացի այդ, իմանալով այս տվյալները, դուք կարող եք որոշել C կետի կոորդինատը շրջանագծի վրա, քանի որ cos α=AG, և sin α=CG, ինչը նշանակում է, որ C կետն ունի տրված կոորդինատները (cos α; sin α): Իմանալով, որ շոշափողը հավասար է սինուսի և կոսինուսի հարաբերությանը, մենք կարող ենք որոշել, որ tg α \u003d y / x և ctg α \u003d x / y: Հաշվի առնելով անկյունները բացասական կոորդինատային համակարգում, կարելի է հաշվարկել, որ որոշ անկյունների սինուսի և կոսինուսի արժեքները կարող են բացասական լինել:

Հաշվարկներ և հիմնական բանաձևեր

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքներ

Հաշվի առնելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների էությունը միավորի շրջանակի միջոցով, մենք կարող ենք դուրս բերել այդ ֆունկցիաների արժեքները որոշ անկյունների համար: Արժեքները թվարկված են ստորև բերված աղյուսակում:

Ամենապարզ եռանկյունաչափական ինքնությունները

Այն հավասարումները, որոնցում եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ անհայտ արժեք կա, կոչվում են եռանկյունաչափական: Sin x = α արժեքով նույնականություններ, k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk:
4. sin x = a, |a| > 1, լուծումներ չկան:
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Cos x = a արժեքով նույնականություններ, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk:
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, լուծումներ չկան:
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Նույնականություններ tg x = a արժեքով, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk:

ctg x = a արժեք ունեցող նույնականություններ, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Ձուլման բանաձևեր

Մշտական ​​բանաձևերի այս կատեգորիան նշանակում է մեթոդներ, որոնց միջոցով ձևի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից կարող եք անցնել փաստարկի ֆունկցիաների, այսինքն՝ ցանկացած արժեքի անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը փոխարկել անկյան համապատասխան ցուցիչներին։ 0-ից 90 աստիճանի միջակայքը՝ հաշվարկների ավելի հարմարավետության համար:

Անկյունի սինուսի համար ֆունկցիաների կրճատման բանաձևերը հետևյալն են.

• sin(900 - α) = α;
• sin (900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin (1800 + α) = -sin α;
• sin (2700 - α) = -cos α;
• sin (2700 + α) = -cos α;
• sin (3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Անկյան կոսինուսի համար.

• cos(900 - α) = մեղք α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Վերոնշյալ բանաձևերի օգտագործումը հնարավոր է երկու կանոնների համաձայն. Նախ, եթե անկյունը կարող է ներկայացվել որպես արժեք (π/2 ± a) կամ (3π/2 ± a), ֆունկցիայի արժեքը փոխվում է.

• մեղքից մինչև կոս;
• cos-ից մինչև մեղք;
• tg-ից մինչև ctg;
• ctg-ից tg.

Ֆունկցիայի արժեքը մնում է անփոփոխ, եթե անկյունը կարող է ներկայացվել որպես (π ± a) կամ (2π ± a):

Երկրորդ, կրճատված ֆունկցիայի նշանը չի փոխվում. եթե ի սկզբանե դրական է եղել, այդպես էլ մնում է։ Նույնը վերաբերում է բացասական գործառույթներին:

Հավելման բանաձևեր

Այս բանաձևերը արտահայտում են սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և պտտման երկու անկյունների գումարի և տարբերության արժեքները՝ ըստ դրանց եռանկյունաչափական ֆունկցիաների: Անկյունները սովորաբար նշանակում են α և β:

Բանաձևերն այսպիսի տեսք ունեն.

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β):
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β):

Այս բանաձևերը վավեր են α և β ցանկացած անկյունների համար:

Կրկնակի և եռակի անկյունային բանաձևեր

Կրկնակի և եռակի անկյան եռանկյունաչափական բանաձևերը բանաձևեր են, որոնք կապում են համապատասխանաբար 2α և 3α անկյունների ֆունկցիաները α անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ։ Ավելացման բանաձևերից ստացված.

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α):
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α):

Անցում գումարից ապրանքի

Հաշվի առնելով, որ 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), պարզեցնելով այս բանաձևը, մենք ստանում ենք նույնականությունը sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2: Նմանապես, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α):

Անցում ապրանքից դեպի գումար

Գումարի արդյունքին անցնելու նույնականացումներից բխում են այս բանաձևերը.

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 *:

Կրճատման բանաձևեր

Այս նույնություններում սինուսի և կոսինուսի քառակուսի և խորանարդ հզորությունները կարող են արտահայտվել բազմակի անկյան առաջին ուժի սինուսի և կոսինուսի տեսքով.

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Ունիվերսալ փոխարինում

Եռանկյունաչափական փոխարինման համընդհանուր բանաձևերը արտահայտում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կիսանկյունի շոշափողով։

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), մինչդեռ x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), որտեղ x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), որտեղ x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), մինչդեռ x \u003d π + 2πn.

Հատուկ դեպքեր

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների առանձին դեպքեր տրված են ստորև (k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է):

Անձնական սինուսի համար.

մեղք x արժեք	x արժեքը
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk կամ 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk կամ -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk կամ 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk կամ -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk կամ 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk կամ -2π/3 + 2πk

Կոսինուսի գործակիցները.

cos x արժեքը	x արժեքը
0	π/2 + 2πk
1	2 πk
-1	2 + 2 πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Մասնավոր շոշափողի համար.

tg x արժեքը	x արժեքը
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Կոտանգենսների գործակիցները.

ctg x արժեքը	x արժեքը
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Թեորեմներ

Սինուսի թեորեմ

Թեորեմի երկու տարբերակ կա՝ պարզ և ընդլայնված։ Պարզ սինուսների թեորեմ՝ a/sin α = b/sin β = c/sin γ: Այս դեպքում a, b, c-ն եռանկյան կողմերն են, իսկ α, β, γ՝ համապատասխանաբար հակառակ անկյունները։

Ընդլայնված սինուսի թեորեմ կամայական եռանկյունու համար՝ a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R: Այս նույնությամբ R-ը նշանակում է շրջանագծի շառավիղը, որում մակագրված է տվյալ եռանկյունը։

Կոսինուսների թեորեմ

Ինքնությունը ցուցադրվում է այսպես՝ a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α: Բանաձևում a, b, c-ն եռանկյան կողմերն են, իսկ α-ն՝ a կողմի հակառակ անկյունը:

Շոշափող թեորեմ

Բանաձևն արտահայտում է երկու անկյունների շոշափողների և նրանց դիմաց գտնվող կողմերի երկարության հարաբերությունները: Կողմերը նշված են a, b, c, իսկ համապատասխան հակադիր անկյուններն են α, β, γ: Շոշափող թեորեմի բանաձևը՝ (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Կոտանգենտի թեորեմ

Եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը կապում է նրա կողմերի երկարության հետ: Եթե ​​a, b, c եռանկյան կողմերն են, իսկ A, B, C, համապատասխանաբար, նրանց հակադիր անկյուններն են, r-ը ներգծված շրջանագծի շառավիղն է, իսկ p-ն եռանկյան կիսաշրջագիծն է, ապա հետևյալ նույնականությունները. պահել:

• ctg A / 2 = (p-a) / r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Դիմումներ

Եռանկյունաչափությունը միայն տեսական գիտություն չէ, որը կապված է մաթեմատիկական բանաձևերի հետ։ Նրա հատկությունները, թեորեմները և կանոնները գործնականում օգտագործվում են մարդկային գործունեության տարբեր ճյուղերում՝ աստղագիտություն, օդային և ծովային նավարկություն, երաժշտության տեսություն, գեոդեզիա, քիմիա, ակուստիկա, օպտիկա, էլեկտրոնիկա, ճարտարապետություն, տնտեսագիտություն, մեքենաշինություն, չափիչ աշխատանք, համակարգչային գրաֆիկա, քարտեզագրություն, օվկիանոսագրություն և շատ ուրիշներ։

Սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը եռանկյունաչափության հիմնական հասկացություններն են, որոնցով կարելի է մաթեմատիկորեն արտահայտել եռանկյան անկյունների և կողմերի երկարությունների միջև կապը և գտնել ցանկալի մեծությունները նույնականությունների, թեորեմների և կանոնների միջոցով:

Եռանկյունաչափական հավասարումները ամենահեշտ թեման չեն: Ցավալիորեն դրանք բազմազան են։) Օրինակ՝ սրանք.

sin2x + cos3x = ctg5x

sin (5x+π /4) = ctg (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

և այլն...

Բայց այս (և բոլոր մյուս) եռանկյունաչափական հրեշներն ունեն երկու ընդհանուր և պարտադիր հատկանիշ։ Առաջինը, չես հավատա, հավասարումների մեջ կան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ:) Երկրորդ. x-ով բոլոր արտահայտությունները. այս նույն գործառույթների շրջանակներում:Եվ միայն այնտեղ! Եթե ​​x ինչ-որ տեղ հայտնվում է դրսում,Օրինակ, sin2x + 3x = 3,սա կլինի խառը տիպի հավասարում: Նման հավասարումները պահանջում են անհատական ​​մոտեցում։ Այստեղ մենք դրանք չենք դիտարկի:

Այս դասին էլ չար հավասարումներ չենք լուծի։) Այստեղ կզբաղվենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները.Ինչո՞ւ։ Այո, քանի որ որոշումը ցանկացածեռանկյունաչափական հավասարումները բաղկացած են երկու փուլից. Առաջին փուլում տարբեր փոխակերպումներով չար հավասարումը վերածվում է պարզի։ Երկրորդի վրա՝ այս ամենապարզ հավասարումը լուծված է: Ուրիշ ճանապարհ չկա։

Այսպիսով, եթե դուք խնդիրներ ունեք երկրորդ փուլում, ապա առաջին փուլն այնքան էլ իմաստ չունի:)

Ինչպիսի՞ն են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները:

sinx = ա

cosx = ա

tgx = ա

ctgx = ա

Այստեղ ա նշանակում է ցանկացած թիվ: Ցանկացած.

Ի դեպ, ֆունկցիայի ներսում կարող է լինել ոչ թե մաքուր x, այլ ինչ-որ արտահայտություն, ինչպիսին է.

cos(3x+π /3) = 1/2

և այլն: Սա բարդացնում է կյանքը, բայց չի ազդում եռանկյունաչափական հավասարման լուծման մեթոդի վրա:

Ինչպե՞ս լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:

Եռանկյունաչափական հավասարումները կարելի է լուծել երկու եղանակով. Առաջին ճանապարհը` օգտագործելով տրամաբանությունը և եռանկյունաչափական շրջանը: Մենք կուսումնասիրենք այս ճանապարհը այստեղ: Երկրորդ ճանապարհը՝ հիշողության և բանաձևերի օգտագործումը, կքննարկվի հաջորդ դասում:

Առաջին ճանապարհը պարզ է, հուսալի և դժվար է մոռանալ:) Այն լավ է եռանկյունաչափական հավասարումներ, անհավասարություններ և բոլոր տեսակի բարդ ոչ ստանդարտ օրինակներ լուծելու համար: Տրամաբանությունն ավելի ուժեղ է, քան հիշողությունը:

Մենք լուծում ենք հավասարումները՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական շրջան:

Մենք ներառում ենք տարրական տրամաբանություն և եռանկյունաչափական շրջանակ օգտագործելու ունակություն: Չե՞ս կարող։ Այնուամենայնիվ... Եռանկյունաչափության մեջ ձեզ համար դժվար կլինի...) Բայց դա նշանակություն չունի։ Նայեք դասերին «Եռանկյունաչափական շրջան ...... Ի՞նչ է դա»: և «Անկյունների հաշվում եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա»։ Այնտեղ ամեն ինչ պարզ է. Ի տարբերություն դասագրքերի...)

Ահ, գիտե՞ք! Եվ նույնիսկ յուրացրել է «Գործնական աշխատանք եռանկյունաչափական շրջանով»!? Ընդունեք շնորհավորանքներ: Այս թեման ձեզ մոտ և հասկանալի կլինի։) Հատկապես հաճելին այն է, որ եռանկյունաչափական շրջանին չի հետաքրքրում, թե որ հավասարումը կլուծեք։ Սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս - նրա մոտ ամեն ինչ նույնն է: Լուծման սկզբունքը նույնն է.

Այսպիսով, մենք վերցնում ենք ցանկացած տարրական եռանկյունաչափական հավասարում: Գոնե սա.

cosx = 0,5

Ես պետք է գտնեմ X. Խոսելով մարդկային լեզվով, դուք պետք է գտե՛ք անկյունը (x), որի կոսինուսը 0,5 է։

Ինչպե՞ս էինք նախկինում օգտագործում շրջանակը: Մենք դրա վրա մի անկյուն գծեցինք։ աստիճաններով կամ ռադիաններով: Եվ անմիջապես տեսած այս անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Հիմա անենք հակառակը։ Շրջանակի վրա գծե՛ք 0,5-ի հավասար կոսինուս և անմիջապես կտեսնենք ներարկում. Մնում է միայն գրել պատասխանը։) Այո՛, այո։

Մենք շրջանագիծ ենք գծում և նշում ենք 0,5 հավասար կոսինուսը։ Կոսինուսի առանցքի վրա, իհարկե։ Սրա նման:

Այժմ գծենք այն անկյունը, որը մեզ տալիս է այս կոսինուսը: Սկավառեք ձեր մկնիկը նկարի վրա (կամ հպեք նկարը պլանշետի վրա) և տեսնելայս նույն անկյունը X.

Ո՞ր անկյունն ունի 0,5 կոսինուս:

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Ոմանք թերահավատորեն կմռթնան, այո... Ասում են՝ արժե՞ր շրջանակը պարսպել, երբ ամեն ինչ պարզ է, իհարկե... Կարելի է, իհարկե, մռնչալ...) Բայց փաստն այն է, որ սա սխալ է։ պատասխանել. Ավելի ճիշտ՝ ոչ ադեկվատ։ Շրջանակի գիտակները հասկանում են, որ դեռևս կան մի ամբողջ փունջ անկյուններ, որոնք նույնպես տալիս են 0,5-ի հավասար կոսինուս։

Եթե ​​դուք շրջեք շարժական կողմը OA ամբողջական շրջադարձի համար, A կետը կվերադառնա իր սկզբնական դիրքին: Նույն կոսինուսով, որը հավասար է 0,5-ի: Նրանք. անկյունը կփոխվի 360° կամ 2π ռադիաններ, և կոսինուսը չէ: 60° + 360° = 420° նոր անկյունը նույնպես կլինի մեր հավասարման լուծումը, քանի որ.

Նման լրիվ պտույտների անսահման քանակ կա... Եվ այս բոլոր նոր անկյունները կլինեն մեր եռանկյունաչափական հավասարման լուծումներ։ Եվ դրանք բոլորը պետք է ինչ-որ կերպ գրի առնել: Բոլորը.Հակառակ դեպքում որոշումը չի դիտարկվում, այո...)

Մաթեմատիկան կարող է դա անել պարզ և նրբագեղ: Մեկ կարճ պատասխանում գրեք անսահման հավաքածուլուծումներ։ Ահա թե ինչ տեսք ունի մեր հավասարման համար.

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ես կվերծանեմ. Դեռ գրիր իմաստալիցավելի լավ է, քան հիմարաբար ինչ-որ առեղծվածային տառեր նկարելը, այնպես չէ՞:)

π /3 նույն անկյունն է, ինչ մենք տեսավշրջանի վրա և որոշվածըստ կոսինուսների աղյուսակի.

2պ մեկ լրիվ պտույտ է ռադիաններով:

n - սա ամբողջականների թիվն է, այսինքն. ամբողջհեղափոխություններ։ Հասկանալի է, որ n կարող է լինել 0, ±1, ±2, ±3.... և այլն։ Ինչպես նշված է կարճ մուտքում.

n ∈ Զ

n պատկանում է ( ∈ ) ամբողջ թվերի բազմությանը ( Զ ): Ի դեպ, նամակի փոխարեն n տառերը կարող են օգտագործվել k, m, t և այլն:

Այս նշումը նշանակում է, որ դուք կարող եք վերցնել ցանկացած ամբողջ թիվ n . Առնվազն -3, առնվազն 0, առնվազն +55: Ինչ ես դու ուզում. Եթե ​​դուք միացնեք այդ թիվը ձեր պատասխանի մուտքագրման մեջ, դուք կստանաք որոշակի անկյուն, որը, անկասկած, կլինի մեր կոշտ հավասարման լուծումը:)

Կամ, այլ կերպ ասած, x \u003d π / 3 անսահման բազմության միակ արմատն է: Մնացած բոլոր արմատները ստանալու համար բավական է ցանկացած քանակի ամբողջական պտույտներ ավելացնել π ​​/ 3-ին ( n ) ռադիաններով։ Նրանք. 2πn ռադիան.

Ամեն ինչ? Ոչ Ես հատուկ ձգում եմ հաճույքը: Ավելի լավ հիշելու համար։) Մենք ստացանք մեր հավասարման պատասխանների միայն մի մասը։ Լուծման այս առաջին մասը կգրեմ հետևյալ կերպ.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ոչ մի արմատ, դա արմատների մի ամբողջ շարք է՝ գրված կարճ ձևով։

Բայց կան նաև այլ անկյուններ, որոնք նույնպես տալիս են 0,5-ի հավասար կոսինուս:

Վերադառնանք մեր նկարին, ըստ որի՝ գրել ենք պատասխանը. Ահա նա.

Մկնիկը տեղափոխեք պատկերի վրայով և տեսնելմեկ այլ անկյուն, որ տալիս է նաև կոսինուս 0,5։Ի՞նչ եք կարծում, դա ինչի՞ն է հավասար: Եռանկյունները նույնն են... Այո՛։ Այն հավասար է անկյունին X , միայն գծված է բացասական ուղղությամբ։ Սա անկյունն է -X. Բայց մենք արդեն հաշվարկել ենք x. π /3 կամ 60°. Այսպիսով, մենք կարող ենք ապահով գրել.

x 2 \u003d - π / 3

Եվ, իհարկե, մենք ավելացնում ենք բոլոր անկյունները, որոնք ստացվում են ամբողջական շրջադարձերի միջոցով.

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Հիմա այսքանն է։) Եռանկյունաչափական շրջանակում՝ մենք տեսավ(ով իհարկե հասկանում է)) բոլորըանկյուններ, որոնք տալիս են 0,5 հավասար կոսինուս: Եվ նրանք գրեցին այս անկյունները կարճ մաթեմատիկական ձևով: Պատասխանը երկու անսահման շարք արմատներ է.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Սա ճիշտ պատասխանն է։

Հույս, եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր սկզբունքշրջանագծի օգնությամբ հասկանալի է. Տրված հավասարումից շրջանագծի վրա նշում ենք կոսինուսը (սինուս, տանգենս, կոտանգենս), գծում ենք համապատասխան անկյունները և գրում պատասխանը։Իհարկե, պետք է պարզել, թե ինչպիսի անկյուններ ենք մենք տեսավշրջանագծի վրա։ Երբեմն դա այնքան էլ ակնհայտ չէ: Դե, ինչպես ասացի, այստեղ տրամաբանություն է պահանջվում։)

Օրինակ, եկեք վերլուծենք մեկ այլ եռանկյունաչափական հավասարում.

Խնդրում եմ նկատի ունեցեք, որ 0,5 թիվը միակ հնարավոր թիվը չէ հավասարումների մեջ։) Ուղղակի ինձ համար ավելի հարմար է գրել այն, քան արմատներն ու կոտորակները։

Մենք աշխատում ենք ընդհանուր սկզբունքով. Մենք գծում ենք շրջան, նշում (իհարկե սինուսի առանցքի վրա) 0,5: Մենք միանգամից գծում ենք այս սինուսին համապատասխան բոլոր անկյունները։ Մենք ստանում ենք այս նկարը.

Եկեք նախ զբաղվենք անկյունով: X առաջին եռամսյակում։ Մենք հիշում ենք սինուսների աղյուսակը և որոշում այս անկյան արժեքը: Հարցը պարզ է.

x \u003d π / 6

Մենք հիշում ենք ամբողջ շրջադարձերը և հանգիստ խղճով գրում պատասխանների առաջին շարքը.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Գործի կեսն արված է։ Այժմ մենք պետք է սահմանենք երկրորդ անկյուն...Սա ավելի բարդ է, քան կոսինուսներում, այո... Բայց տրամաբանությունը մեզ կփրկի: Ինչպես որոշել երկրորդ անկյունը x-ի միջոցով Այո Հեշտ! Նկարում պատկերված եռանկյունները նույնն են, իսկ կարմիր անկյունը X հավասար է անկյան X . Միայն այն հաշվվում է π անկյան տակ բացասական ուղղությամբ։ Դրա համար էլ կարմիր է։) Իսկ պատասխանի համար մեզ անհրաժեշտ է OX դրական կիսաառանցքից ճիշտ չափված անկյուն, այսինքն. 0 աստիճանի անկյան տակ:

Սավառնեք կուրսորը նկարի վրա և տեսեք ամեն ինչ: Առաջին անկյունը հանեցի, որպեսզի նկարը չբարդացնեմ։ Մեզ հետաքրքրող անկյունը (կանաչով նկարված) հավասար կլինի.

π - x

x մենք դա գիտենք π /6 . Այսպիսով, երկրորդ անկյունը կլինի.

π - π /6 = 5π /6

Կրկին հիշում ենք ամբողջական հեղափոխությունների հավելումը և գրում պատասխանների երկրորդ շարքը.

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Այսքանը: Ամբողջական պատասխանը բաղկացած է արմատների երկու շարքից.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Շոշափող և կոտանգենսով հավասարումները կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման նույն ընդհանուր սկզբունքը: Եթե, իհարկե, չգիտեք, թե ինչպես գծել շոշափողն ու կոտանգենսը եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա:

Վերոնշյալ օրինակներում ես օգտագործել եմ սինուսի և կոսինուսի աղյուսակային արժեքը՝ 0,5: Նրանք. այն իմաստներից մեկը, որը սովորողը գիտի պետք է.Հիմա եկեք ընդլայնենք մեր հնարավորությունները մինչև մնացած բոլոր արժեքները:Որոշիր, ուրեմն որոշիր։)

Այսպիսով, ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք հետևյալ եռանկյունաչափական հավասարումը.

Կարճ աղյուսակներում կոսինուսի նման արժեքը չկա։ Մենք սառնասրտորեն անտեսում ենք այս սարսափելի փաստը։ Շրջանագիծ ենք գծում, կոսինուսի առանցքի վրա նշում ենք 2/3-ը և գծում համապատասխան անկյունները։ Մենք ստանում ենք այս նկարը.

Մենք հասկանում ենք, ի սկզբանե, առաջին եռամսյակի անկյունից: Իմանալու համար, թե ինչին է հավասար x-ը, նրանք անմիջապես կգրեին պատասխանը։ Չգիտենք... Անհաջողությո՞ւն։ Հանգիստ. Մաթեմատիկան դժվարության մեջ չի թողնում իր սեփականը: Նա այս դեպքի համար հորինեց աղեղային կոսինուսներ: Չգիտեմ? Իզուր. Պարզեք: Դա շատ ավելի հեշտ է, քան կարծում եք: Ըստ այս հղումի՝ «հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների» մասին ոչ մի խրթին ուղղագրություն չկա... Այս թեմայում ավելորդ է։

Եթե ​​դուք տեղյակ եք, պարզապես ասեք ինքներդ ձեզ. «X-ը անկյուն է, որի կոսինուսը 2/3 է»: Եվ անմիջապես, զուտ արկկոսինի սահմանմամբ, կարող ենք գրել.

Մենք հիշում ենք լրացուցիչ հեղափոխությունների մասին և հանգիստ գրում ենք մեր եռանկյունաչափական հավասարման արմատների առաջին շարքը.

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Արմատների երկրորդ շարքը նույնպես գրվում է գրեթե ինքնաբերաբար՝ երկրորդ անկյան համար։ Ամեն ինչ նույնն է, միայն x (arccos 2/3) կլինի մինուսով.

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Եվ բոլոր բաները: Սա ճիշտ պատասխանն է։ Նույնիսկ ավելի հեշտ է, քան աղյուսակային արժեքներով: Պետք չէ ոչինչ հիշել։) Ի դեպ, ամենաուշադիրները կնկատեն, որ այս նկարը լուծում է աղեղի կոսինուսի միջով։ ըստ էության չի տարբերվում cosx = 0.5 հավասարման նկարից:

Ճիշտ! Ընդհանուր սկզբունքը դրա վրա և ընդհանուր! Ես հատուկ նկարեցի երկու գրեթե նույնական նկարներ: Շրջանակը մեզ ցույց է տալիս անկյունը X իր կոսինուսով։ Դա աղյուսակային կոսինուս է, թե ոչ՝ շրջանագիծը չգիտի։ Ինչպիսի՞ անկյուն է սա, π / 3, կամ ինչպիսի աղեղային կոսինուս պետք է որոշենք:

Սինուսով նույն երգը. Օրինակ:

Կրկին շրջանագիծ ենք գծում, նշում ենք 1/3-ի սինուսը, գծում ենք անկյունները։ Ստացվում է այս նկարը.

Եվ կրկին պատկերը գրեթե նույնն է, ինչ հավասարման դեպքում sinx = 0,5:Առաջին քառորդում կրկին սկսում ենք անկյունայինից։ Ինչի՞ է հավասար x-ը, եթե նրա սինուսը 1/3 է: Ոչ մի խնդիր!

Այսպիսով, արմատների առաջին փաթեթը պատրաստ է.

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Եկեք նայենք երկրորդ անկյունին: 0,5 աղյուսակի արժեքով օրինակում այն ​​հավասար էր.

π - x

Այսպիսով, այստեղ դա կլինի ճիշտ նույնը: Միայն x-ն է տարբեր, arcsin 1/3: Եւ ինչ!? Դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների երկրորդ փաթեթը.

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Սա լիովին ճիշտ պատասխան է։ Չնայած դա այնքան էլ ծանոթ չի թվում: Բայց դա հասկանալի է, հուսով եմ:)

Այսպես են լուծվում եռանկյունաչափական հավասարումները շրջանագծի միջոցով։ Այս ճանապարհը պարզ է և հասկանալի։ Նա է, ով խնայում է եռանկյունաչափական հավասարումների մեջ՝ տրված միջակայքում արմատների ընտրությամբ, եռանկյունաչափական անհավասարություններում. դրանք հիմնականում լուծվում են գրեթե միշտ շրջանագծի մեջ։ Մի խոսքով, ցանկացած առաջադրանքում, որոնք մի փոքր ավելի բարդ են, քան ստանդարտները:

Գիտելիքը գործի դնելու՞մ:

Լուծել եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Սկզբում դա ավելի պարզ է, անմիջապես այս դասի վրա:

Հիմա ավելի դժվար է։

Հուշում. այստեղ դուք պետք է մտածեք շրջանակի մասին: Անձամբ:)

Իսկ հիմա արտաքուստ ոչ հավակնոտ... Դրանք կոչվում են նաև հատուկ դեպքեր։

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Հուշում․ այստեղ դուք պետք է շրջանակի մեջ պարզեք, թե որտեղ կան պատասխանների երկու շարք, և որտեղ կա մեկը ... Եվ ինչպես գրել մեկը պատասխանների երկու շարքի փոխարեն: Այո, այնպես, որ անսահման թվից ոչ մի արմատ չկորչի:)

Դե, բավականին պարզ):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Հուշում. այստեղ դուք պետք է իմանաք, թե որն է արկսինը, արկկոսինը: Ի՞նչ է աղեղային շոշափողը, աղեղային շոշափողը: Ամենապարզ սահմանումները. Բայց ձեզ հարկավոր չէ հիշել աղյուսակային արժեքներ:)

Պատասխանները, իհարկե, անհասկանալի են).

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Ամեն ինչ չի ստացվում? Պատահում է. Կրկին կարդացեք դասը: Միայն մտածված(այդպիսի հնացած բառ կա...) Եվ հետևեք հղումներին։ Հիմնական հղումները շրջանակի մասին են։ Առանց դրա եռանկյունաչափության մեջ՝ ինչպես անցնել ճանապարհը աչքերը կապած: Երբեմն դա աշխատում է:)

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Եռանկյունաչափական հավասարումներ .

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները .

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ.

Եռանկյունաչափական հավասարումներ. Անհայտ տակ պարունակող հավասարում կոչվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշան եռանկյունաչափական.

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները.

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ. Եռանկյունաչափական հավասարման լուծումը բաղկացած է երկու փուլից. հավասարման փոխակերպումպարզեցնելու համարտեսակը (տես վերևում) և որոշումըստացված ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարում.Կան յոթ Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները.

1. Հանրահաշվական մեթոդ. Այս մեթոդը մեզ քաջ հայտնի է հանրահաշիվից

(փոփոխական փոխարինման և փոխարինման մեթոդ):

2. Ֆակտորիզացիա. Դիտարկենք այս մեթոդը օրինակներով:

ՕՐԻՆԱԿ 1. Լուծե՛ք հավասարումը.մեղք x+ cos x = 1 .

Լուծում Հավասարման բոլոր անդամները տեղափոխե՛ք ձախ.

Մեղք x+ cos x – 1 = 0 ,

Եկեք փոխակերպենք և գործոնացնենք արտահայտությունը

Հավասարման ձախ կողմը.

Օրինակ 2. Լուծե՛ք հավասարումը. cos 2 x+ մեղք x cos x = 1.

ԼՈՒԾՈՒՄ cos 2 x+ մեղք x cos x– մեղք 2 x- cos 2 x = 0 ,

Մեղք x cos x– մեղք 2 x = 0 ,

Մեղք x(cos x– մեղք x ) = 0 ,

Օրինակ 3. Լուծե՛ք հավասարումը. cos 2 x- 8 x+ cos 6 x = 1.

ԼՈՒԾՈՒՄ cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos8 x,

2-ը 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x- cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x 2 մեղք 3 xմեղք x = 0 ,

մեկը): cos 4 x= 0, 2): մեղք 3 x= 0, 3): մեղք x = 0 ,

3.

Ձուլում դեպի միատեսակ հավասարում. Հավասարումը կանչեց միատարր ից համեմատաբար մեղքև cos , եթե այն բոլորը նույն աստիճանի պայմանների նկատմամբ մեղքև cosնույն անկյունը. Միատարր հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է. ա) տեղափոխել իր բոլոր անդամները դեպի ձախ կողմը. բ) փակագծերից դուրս դնել բոլոր ընդհանուր գործոնները. մեջ) բոլոր գործոնները և փակագծերը հավասարեցնել զրոյի. Գ) փակագծերը զրոյական են տալիս փոքր աստիճանի միատարր հավասարումը, որը պետք է բաժանվի cos(կամ մեղք) ավագ աստիճանում. դ) լուծեք ստացված հանրահաշվական հավասարումը նկատմամբtan . ՕՐԻՆԱԿ Լուծել հավասարումը. 3մեղք 2 x+ 4 մեղք x cos x+ 5 կոթ 2 x = 2. Լուծում: 3sin 2 x+ 4 մեղք x cos x+ 5 co 2 x= 2 մեղք 2 x+ 2 co 2 x , Մեղք 2 x+ 4 մեղք x cos x+ 3 co 2 x = 0 , Թան 2 x+ 4թան x + 3 = 0 , այստեղից y 2 + 4y +3 = 0 , Այս հավասարման արմատներն են.y 1 = - 1, y 2 = - 3, հետևաբար 1) թան x= –1, 2) թան x = –3,

4. Անցում դեպի կիսանկյուն: Դիտարկենք այս մեթոդը օրինակով.

ՕՐԻՆԱԿ Լուծել հավասարումը. 3մեղք x- 5 կոթ x = 7.

Լուծում. 6 մեղք ( x/ 2) cos( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 մեղք² ( x/ 2) =

7 մեղք² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 մեղք² ( x/ 2) – 6 մեղք ( x/ 2) cos( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan²( x/ 2) – 3 թան ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Օժանդակ անկյան ներմուծում. Դիտարկենք ձևի հավասարումը:

ամեղք x + բ cos x = գ ,

Որտեղ ա, բ, գ- գործակիցներ;x- անհայտ:

Այժմ հավասարման գործակիցներն ունեն սինուսի և կոսինուսի հատկություններ, այսինքն: յուրաքանչյուրի մոդուլը (բացարձակ արժեքը):

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները հավասարումներն են

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

Հավասարում cos(x) = a

Բացատրություն և հիմնավորում

1. cosx = a հավասարման արմատները. Երբ | ա | > 1 հավասարումը արմատներ չունի, քանի որ | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1-ին կամ ա< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Թող | ա |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Ինտերվալի վրա y = cos x ֆունկցիան նվազում է 1-ից մինչև -1: Բայց նվազող ֆունկցիան վերցնում է իր յուրաքանչյուր արժեքն իր սահմանման տիրույթի միայն մի կետում, հետևաբար cos x \u003d a հավասարումն ունի միայն մեկ արմատ այս միջակայքում, որը, ըստ աղեղի կոսինուսի սահմանման, հետևյալն է. x 1 \u003d arccos a (և այս արմատի համար cos x \u003d a):

Կոսինուսը զույգ ֆունկցիա է, ուստի [-p; 0] cos x = հավասարումը և ունի նաև միայն մեկ արմատ՝ x 1-ին հակառակ թիվը, այսինքն.

x 2 = -arccos a.

Այսպիսով, [-n; n] (երկարությունը 2n) հավասարումը cos x = a | ա |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

y = cos x ֆունկցիան պարբերական է 2n պարբերությամբ, ուստի մնացած բոլոր արմատները տարբերվում են 2np-ով (n € Z) հայտնաբերված արմատներից: cos x = a երբ հավասարման արմատների համար ստանում ենք հետևյալ բանաձևը

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. cosx = a հավասարման լուծման առանձին դեպքեր.

Օգտակար է հիշել cos x = a երբ հավասարման արմատների հատուկ նշումը

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, որը հեշտությամբ կարելի է ձեռք բերել՝ օգտագործելով միավորի շրջանակը որպես ուղեցույց:

Քանի որ կոսինուսը հավասար է միավոր շրջանագծի համապատասխան կետի աբսցիսային, մենք ստանում ենք cos x = 0, եթե և միայն այն դեպքում, եթե միավոր շրջանագծի համապատասխան կետը A կետն է կամ B կետը:

Նմանապես, cos x = 1, եթե և միայն այն դեպքում, երբ միավոր շրջանագծի համապատասխան կետը C կետն է, հետևաբար,

x = 2πp, k € Զ.

Նաև cos x \u003d -1, եթե և միայն եթե միավոր շրջանագծի համապատասխան կետը D կետն է, հետևաբար x \u003d n + 2n,

Հավասարում sin(x) = a

Բացատրություն և հիմնավորում

1. Sinx = a հավասարման արմատները. Երբ | ա | > 1 հավասարումը արմատներ չունի, քանի որ | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1-ին կամ ա< -1 не пересекает график функции y = sinx).

«Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում» թեմայով դաս և ներկայացում.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով։

Ձեռնարկներ և սիմուլյատորներ «Integral» առցանց խանութում 10-րդ դասարանի համար 1C-ից
Մենք լուծում ենք երկրաչափության խնդիրներ. Ինտերակտիվ առաջադրանքներ տիեզերքում կառուցելու համար
Ծրագրային միջավայր «1C. մաթեմատիկական կոնստրուկտոր 6.1»

Ինչ ենք ուսումնասիրելու.
1. Որո՞նք են եռանկյունաչափական հավասարումները:

3. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման երկու հիմնական մեթոդ.
4. Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.
5. Օրինակներ.

Որո՞նք են եռանկյունաչափական հավասարումները:

Տղերք, մենք արդեն ուսումնասիրել ենք արկսինը, արկկոզինը, արկտանգենսը և արկկոտանգենսը: Այժմ դիտարկենք եռանկյունաչափական հավասարումները ընդհանրապես։

Եռանկյունաչափական հավասարումներ - հավասարումներ, որոնցում փոփոխականը պարունակվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ:

Կրկնում ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ձևը.

1) Եթե |а|≤ 1, ապա cos(x) = a հավասարումը լուծում ունի.

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Եթե |а|≤ 1, ապա sin(x) = a հավասարումը լուծում ունի.

3) Եթե |ա| > 1, ապա հավասարումը sin(x) = a և cos(x) = a լուծումներ չունեն 4) tg(x)=a հավասարումն ունի լուծում` x=arctg(a)+ πk.

5) ctg(x)=a հավասարումն ունի լուծում՝ x=arcctg(a)+ πk.

Բոլոր բանաձևերի համար k-ն ամբողջ թիվ է

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները ունեն ձև՝ Т(kx+m)=a, T- ցանկացած եռանկյունաչափական ֆունկցիա։

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումներ՝ ա) sin(3x)= √3/2

Որոշում:

Ա) Նշանակենք 3x=t, այնուհետև մեր հավասարումը կվերագրենք հետևյալ ձևով.

Այս հավասարման լուծումը կլինի՝ t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn:

Արժեքների աղյուսակից ստանում ենք t=((-1)^n)×π/3+ πn:

Եկեք վերադառնանք մեր փոփոխականին՝ 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Ապա x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Պատասխան՝ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: (-1)^n - մինուս մեկ n-ի հզորությանը:

Եռանկյունաչափական հավասարումների ավելի շատ օրինակներ:

Լուծե՛ք հավասարումները՝ ա) cos(x/5)=1 բ) tg(3x- π/3)= √3

Որոշում:

Ա) Այս անգամ մենք անմիջապես կանցնենք հավասարման արմատների հաշվարկին.

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Ապա x/5= πk => x=5πk

Պատասխան՝ x=5πk, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է:

Բ) Գրում ենք 3x- π/3=arctg(√3)+ πk ձևով: Մենք գիտենք, որ arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Պատասխան՝ x=2π/9 + πk/3, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է:

Լուծեք հավասարումներ՝ cos(4x)= √2/2: Եվ գտեք բոլոր արմատները հատվածի վրա:

Որոշում:

Եկեք լուծենք մեր հավասարումը ընդհանուր ձևով՝ 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Հիմա տեսնենք, թե ինչ արմատներ են ընկնում մեր հատվածի վրա։ k-ի համար k=0, x= π/16-ի համար մենք գտնվում ենք տրված հատվածում:
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16-ով նորից խփում են.
k=2-ի համար x= π/16+ π=17π/16, բայց այստեղ մենք չխփեցինք, ինչը նշանակում է, որ մեծ k-ի համար էլ չենք խփի:

Պատասխան՝ x= π/16, x= 9π/16

Լուծման երկու հիմնական մեթոդ.

Մենք դիտարկել ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները, բայց կան ավելի բարդ: Դրանք լուծելու համար օգտագործվում է նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը և ֆակտորացման մեթոդը։ Եկեք նայենք օրինակներին:

Եկեք լուծենք հավասարումը.

Որոշում:
Մեր հավասարումը լուծելու համար մենք օգտագործում ենք նոր փոփոխական ներմուծելու մեթոդը, որը նշանակում է՝ t=tg(x):

Փոխարինման արդյունքում մենք ստանում ենք t 2 + 2t -1 = 0

Գտե՛ք քառակուսային հավասարման արմատները՝ t=-1 և t=1/3

Այնուհետև tg(x)=-1 և tg(x)=1/3 ստացանք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը, եկեք գտնենք դրա արմատները։

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Պատասխան՝ x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Հավասարման լուծման օրինակ

Լուծեք հավասարումներ՝ 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Որոշում:

Օգտագործենք նույնականությունը՝ sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Մեր հավասարումը դառնում է՝ 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ներկայացնենք t=cos(x) փոխարինումը. 2t 2 -3t - 2 = 0

Մեր քառակուսային հավասարման լուծումը արմատներն են՝ t=2 և t=-1/2

Այնուհետև cos(x)=2 և cos(x)=-1/2:

Որովհետեւ Կոսինուսը չի կարող վերցնել մեկից մեծ արժեքներ, այնուհետև cos(x)=2-ն արմատներ չունի:

cos(x)=-1/2 համար՝ x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Պատասխան՝ x= ±2π/3 + 2πk

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Սահմանում. a sin(x)+b cos(x) ձևի հավասարումը կոչվում է առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ:

Ձևի հավասարումներ

երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար այն բաժանում ենք cos(x) վրա. Անհնար է բաժանել կոսինուսով, եթե այն հավասար է զրոյի, եկեք համոզվենք, որ դա այդպես չէ.
Թող cos(x)=0, ապա ասին(x)+0=0 => sin(x)=0, բայց սինուսը և կոսինուսը միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, ստացել ենք հակասություն, ուստի կարող ենք ապահով բաժանել. զրոյով։

Լուծե՛ք հավասարումը.
Օրինակ՝ cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Որոշում:

Հանեք ընդհանուր գործակիցը՝ cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Այնուհետև մենք պետք է լուծենք երկու հավասարումներ.

cos(x)=0 և cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk-ի համար;

Դիտարկենք cos(x)+sin(x)=0 հավասարումը: Բաժանենք մեր հավասարումը cos(x-ի):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Պատասխան՝ x= π/2 + πk և x= -π/4+πk

Ինչպե՞ս լուծել երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ:
Տղերք, միշտ հետևեք այս կանոններին:

1. Տեսեք, թե ինչին է հավասար a գործակիցը, եթե a \u003d 0, ապա մեր հավասարումը կունենա cos (x) (bsin (x) + ccos (x) ձևը, որի լուծման օրինակը նախորդի վրա է. Սլայդ

2. Եթե a≠0, ապա պետք է հավասարման երկու մասերը բաժանել քառակուսի կոսինուսի վրա, կստանանք.

Կատարում ենք t=tg(x) փոփոխականի փոփոխությունը՝ ստանում ենք հավասարումը.

Լուծել օրինակ #:3

Լուծե՛ք հավասարումը.
Որոշում:

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք կոսինուսի քառակուսու վրա.

Կատարում ենք t=tg(x) փոփոխականի փոփոխություն՝ t 2 + 2 t - 3 = 0

Գտե՛ք քառակուսային հավասարման արմատները՝ t=-3 և t=1

Հետո՝ tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Պատասխան՝ x=-arctg(3) + πk և x= π/4+ πk

Լուծել օրինակ #:4

Լուծե՛ք հավասարումը.

Որոշում:
Եկեք վերափոխենք մեր արտահայտությունը.

Մենք կարող ենք լուծել այսպիսի հավասարումներ՝ x= - π/4 + 2πk և x=5π/4 + 2πk

Պատասխան՝ x= - π/4 + 2πk և x=5π/4 + 2πk

Լուծել օրինակ #:5

Լուծե՛ք հավասարումը.

Որոշում:
Եկեք վերափոխենք մեր արտահայտությունը.

Ներկայացնում ենք tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 փոխարինումը

Մեր քառակուսային հավասարման լուծումը կլինի արմատները՝ t=-2 և t=1/2

Այնուհետև ստանում ենք tg(2x)=-2 և tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Պատասխան՝ x=-arctg(2)/2 + πk/2 և x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

1) Լուծե՛ք հավասարումը

Ա) sin(7x)= 1/2 բ) cos(3x)= √3/2 գ) cos(-x) = -1 դ) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Լուծե՛ք հավասարումներ՝ sin(3x)= √3/2: Եվ գտեք բոլոր արմատները հատվածի վրա [π/2; π].

3) Լուծե՛ք հավասարումը. ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0.

4) Լուծե՛ք հավասարումը. 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Լուծե՛ք հավասարումը 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Լուծե՛ք հավասարումը cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)