Պատահական փոփոխականների գումարի բաշխման խտությունը: Երկու պատահական անկախ փոփոխականների գումարի բաշխում. Գումարի բաշխման մոտավոր հաշվարկներ

Սահմանում. Х 1 , Х 2 , …, Х n պատահական փոփոխականները կոչվում են անկախ, եթե որևէ x 1, x 2, …, x n իրադարձություններն անկախ են։

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

Սահմանումից ուղղակիորեն հետևում է, որ անկախ պատահական փոփոխականների համար X 1, X 2, …, X nբաշխման գործառույթ n- ծավալային պատահական փոփոխական X = X 1, X 2, …, X nհավասար է պատահական փոփոխականների բաշխման ֆունկցիաների արտադրյալին X 1, X 2, …, X n

Ֆ(x 1 , x2, …, x n) = Ֆ(x 1)Ֆ(x2)…Ֆ(x n). (1)

Եկեք տարբերակենք հավասարությունը (1) nանգամ ըստ x 1 , x2, …, x n, ստանում ենք

էջ(x 1 , x2, …, x n) = էջ(x 1)էջ(x2)…էջ(x n). (2)

Պատահական փոփոխականների անկախության մեկ այլ սահմանում կարելի է տալ:

Եթե ​​մեկ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կախված չէ նրանից, թե ինչ արժեքներ են վերցրել այլ պատահական փոփոխականները, ապա այդպիսի պատահական փոփոխականները ագրեգատում կոչվում են անկախ:

Օրինակ՝ գնվում է երկու տարբեր թողարկումների վիճակախաղի տոմս։ Թող լինի X- առաջին տոմսի շահումների գումարը, Յ– երկրորդ տոմսի շահումների գումարը: պատահական փոփոխականներ Xև Յ- անկախ, քանի որ մեկ տոմսի շահումը չի ազդի մյուսի բաշխման օրենքի վրա: Բայց եթե տոմսերը նույն թողարկման են, ապա Xև Յ- կախված.

Երկու պատահական փոփոխականներ կոչվում են անկախ, եթե դրանցից մեկի բաշխման օրենքը չի փոխվում՝ կախված նրանից, թե ինչ արժեքներ է վերցրել մյուս փոփոխականը։

Թեորեմ 1(կոնվուլյուցիաներ) կամ «2 պատահական փոփոխականների գումարի խտության թեորեմ»։

Թող լինի X = (X 1;X 2) անկախ շարունակական երկչափ պատահական փոփոխական է, Յ = X 1+ X 2. Այնուհետեւ բաշխման խտությունը

Ապացույց. Կարելի է ցույց տալ, որ եթե , ապա

որտեղ X = (X 1 , X 2 , …, X n): Հետո եթե X = (X 1 , X 2), ապա բաշխման ֆունկցիան Յ = X 1 + X 2-ը կարելի է սահմանել հետևյալ կերպ (նկ. 1) –

Ըստ սահմանման՝ ֆունկցիան Y = X 1 + X 2 պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունն է, այսինքն.

py (տ) = որը պետք է ապացուցվեր։

Բերենք բանաձև երկու անկախ դիսկրետ պատահական փոփոխականների գումարի հավանականության բաշխումը գտնելու համար:

Թեորեմ 2.Թող լինի X 1 , X 2 – անկախ դիսկրետ պատահական փոփոխականներ,

Ապացույց. Պատկերացրեք իրադարձություն Կացին = {X 1 +X 2 = x) որպես անհամատեղելի իրադարձությունների գումար

Կացին = å( X 1 = xես ; X 2 = x– x i).

Ինչպես X 1 , X 2 - անկախ, ապա Պ(X 1 = xես ; X 2 = x– x i) = Պ(X 1 = x i) Պ(X 2 = x-x i), ապա

Պ(Կացին) = Պ(å( X 1 = xես ; X 2 = x – x i)) = å( Պ(X 1 = x i) Պ(X 2 = x-xես))

Ք.Ե.Դ.

Օրինակ 1Թող լինի X 1 , X 2 - անկախ պատահական փոփոխականներ, որոնք ունեն նորմալ բաշխում պարամետրերով Ն(0;1); X 1 , X 2 ~ Ն(0;1).

Գտնենք դրանց գումարի բաշխման խտությունը (նշում ենք X 1 = x, Յ = X 1 +X 2)

Հեշտ է տեսնել, որ ինտեգրանդը պարամետրերով նորմալ պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունն է ա= , , այսինքն. ինտեգրալը 1 է։

Գործառույթ py(տ) նորմալ բաշխման խտությունն է a = 0, s = . Այսպիսով, անկախ նորմալ պատահական փոփոխականների գումարը (0,1) պարամետրերով ունի նորմալ բաշխում (0,), այսինքն. Յ = X 1 + X 2 ~ Ն(0;).

Օրինակ 2. Թող տրվեն երկու դիսկրետ անկախ պատահական փոփոխականներ Պուասոնի բաշխմամբ

որտեղ k, m, n = 0, 1, 2, …,¥:

Թեորեմ 2-ով մենք ունենք.

Օրինակ 3Թող լինի X 1, X 2 - անկախ պատահական փոփոխականներ էքսպոնենցիալ բաշխմամբ: Գտնենք խտությունը Յ= X 1 +X 2 .

Նշանակել x = x 1. Քանի որ X 1, X 2-ը անկախ պատահական փոփոխականներ են, այնուհետև մենք օգտագործում ենք «կոնվոլյուցիայի թեորեմը»

Կարելի է ցույց տալ, որ եթե գումարը ( Հ iունեն էքսպոնենցիալ բաշխում l պարամետրով), ապա Յ= ունի բաշխում, որը կոչվում է Erlang բաշխում ( n- 1) պատվիրել. Այս օրենքը ստացվել է հեռախոսային կայանների աշխատանքի մոդելավորման միջոցով հերթերի տեսության առաջին աշխատություններում։

Մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ բաշխման օրենքները հաճախ օգտագործվում են պատահական փոփոխականների համար, որոնք անկախ նորմալ պատահական փոփոխականների ֆունկցիաներ են։ Դիտարկենք երեք օրենքներ, որոնք առավել հաճախ հանդիպում են պատահական երևույթների մոդելավորման ժամանակ:

Թեորեմ 3.Եթե ​​պատահական փոփոխականներն անկախ են X 1, ..., X n, ապա այս պատահական փոփոխականների ֆունկցիաները նույնպես անկախ են Յ 1 = զ 1 (X 1), ...,Y n = f n(X n).

Պիրսոնի բաշխում(2-ից -բաշխում). Թող լինի X 1, ..., X nանկախ նորմալ պատահական փոփոխականներ են՝ պարամետրերով ա= 0, s = 1. Կազմեք պատահական փոփոխական

Այսպիսով,

Կարելի է ցույց տալ, որ x > 0-ի խտությունն ունի , որտեղ k n-ը պայմանի բավարարման որոշ գործակից է: Որպես n ® ¥, Պիրսոնի բաշխումը հակված է նորմալ բաշխմանը:

Թող Х 1 , Х 2 , …, Хn ~ N(a,s), ապա պատահական փոփոխականներ ~ N(0,1): Հետևաբար, պատահական փոփոխականն ունի c 2 բաշխում՝ n ազատության աստիճանով:

Պիրսոնի բաշխումը աղյուսակավորված է և օգտագործվում է մաթեմատիկական վիճակագրության տարբեր կիրառություններում (օրինակ՝ բաշխման օրենքի համահունչ լինելու վարկածը ստուգելիս):

Որոշում կայացնողը կարող է օգտագործել ապահովագրությունը՝ որոշակի տեսակի պատահական իրադարձությունների անբարենպաստ ֆինանսական ազդեցությունը մեղմելու համար:

Բայց այս քննարկումը շատ ընդհանուր է, քանի որ որոշում կայացնողը կարող է նշանակել և՛ անհատ, որը պաշտպանություն է փնտրում գույքին, խնայողություններին կամ եկամուտներին հասցված վնասից, և՛ կազմակերպություն, որը պաշտպանություն է փնտրում նույն տեսակի վնասից:

Իրականում, նման կազմակերպությունը կարող է լինել ապահովագրական ընկերություն, որը փնտրում է միջոցներ իրեն պաշտպանելու ֆինանսական կորուստներից՝ կապված անհատ հաճախորդի կամ նրա ապահովագրական պորտֆելի հետ տեղի ունեցած չափազանց շատ ապահովագրական իրադարձությունների հետ: Այս պաշտպանությունը կոչվում է վերաապահովագրություն.

Դիտարկենք երկու մոդելներից մեկը (մասնավորապես անհատական ​​ռիսկի մոդել) լայնորեն կիրառվում է ապահովագրական դրույքաչափերի և պահուստների որոշման, ինչպես նաև վերաապահովագրության մեջ։

Նշել ըստ Սապահովագրական ընկերության պատահական վնասների չափը իր ռիսկերի որոշ մասի համար. Այս դեպքում Սպատահական փոփոխական է, որի համար մենք պետք է որոշենք հավանականության բաշխումը: Պատմականորեն, r.v.-ի բաշխումների համար. Սկար պոստուլատների երկու խումբ. Անհատական ​​ռիսկի մոդելը սահմանում է Սհետևյալ կերպ.

որտեղ r.v. նշանակում է ապահովագրության օբյեկտի պատճառած վնասները թվով ես,ա nնշանակում է ապահովագրական օբյեկտների ընդհանուր թիվը:

Սովորաբար ենթադրվում է, որ դրանք անկախ պատահական փոփոխականներ են, քանի որ այս դեպքում մաթեմատիկական հաշվարկներն ավելի պարզ են, և նրանց միջև հարաբերությունների բնույթի մասին տեղեկատվություն չի պահանջվում: Երկրորդ մոդելը կոլեկտիվ ռիսկի մոդելն է:

Առանձին ռիսկերի դիտարկված մոդելը չի ​​արտացոլում ժամանակի ընթացքում փողի արժեքի փոփոխությունները: Սա արվում է մոդելը պարզեցնելու համար, ինչի պատճառով էլ հոդվածի վերնագիրը վերաբերում է կարճ ժամանակային ընդմիջմանը։

Մենք կդիտարկենք միայն փակ մոդելները, այսինքն. նրանք, որոնցում ապահովագրական օբյեկտների թիվը nբանաձևում (1.1) հայտնի է և ամրագրված դիտարկված ժամանակային միջակայքի հենց սկզբում: Եթե ​​մենք ենթադրություններ ենք ներկայացնում ապահովագրական համակարգից կամ դեպի ապահովագրական համակարգից միգրացիայի առկայության մասին, ապա մենք ստանում ենք բաց մոդել։

Պատահական փոփոխականներ, որոնք նկարագրում են անհատական ​​վճարումները

Նախ հիշենք կյանքի ապահովագրության վերաբերյալ հիմնական դրույթները։

Մահվան ապահովագրության դեպքում մեկ տարի ժամկետով ապահովագրողը պարտավորվում է վճարել գումարը բ, եթե ապահովադիրը մահանում է ապահովագրության պայմանագրի կնքման օրվանից մեկ տարվա ընթացքում, և ոչինչ չի վճարում, եթե ապահովադիրը ապրում է ս.թ.

Նշված տարվա ընթացքում ապահովագրական դեպքի տեղի ունենալու հավանականությունը նշվում է .

Ապահովագրական վճարումները նկարագրող պատահական փոփոխականն ունի բաշխում, որը կարող է սահմանվել կամ հավանականության ֆունկցիայի միջոցով.

(2.1)

կամ համապատասխան բաշխման ֆունկցիան

(2.2)

Բանաձևից (2.1) և պահերի սահմանումից մենք ստանում ենք

(2.4)

Այս բանաձևերը կարելի է ձեռք բերել նաև գրելով Xինչպես

որտեղ հաստատուն արժեք է վճարվում մահվան դեպքում, և պատահական փոփոխական է, որը վերցնում է 1 արժեքը մահվան դեպքում, իսկ հակառակ դեպքում՝ 0:

Այսպիսով, և , և r.v-ի միջին արժեքը և շեղումը: հավասար են և համապատասխանաբար, և r.v-ի միջին արժեքը և շեղումը: հավասար են և , որը համընկնում է վերը նշված բանաձևերի հետ։

Պատահական փոփոխականը (0,1) տիրույթով լայնորեն օգտագործվում է ակտուարական մոդելներում:

Հավանականությունների տեսության դասագրքերում այն ​​կոչվում է ցուցիչ, Բերնուլի պատահականարժեքը կամ երկանդամ պատահական փոփոխականմեկ թեստային նախագծում:

Մենք կկանչենք նրան ցուցիչհակիրճ լինելու պատճառով, ինչպես նաև այն պատճառով, որ դա ցույց է տալիս խնդրո առարկա իրադարձության սկիզբը կամ ոչ սկիզբը:

Եկեք դիմենք ավելի ընդհանուր մոդելների որոնմանը, որտեղ ապահովագրական վճարի արժեքը նույնպես պատահական փոփոխական է, և մի քանի ապահովագրական իրադարձություններ կարող են տեղի ունենալ դիտարկված ժամանակային միջակայքում:

Առողջության ապահովագրությունը, ավտոմեքենաների և այլ գույքի ապահովագրությունը և պատասխանատվության ապահովագրությունը անմիջապես տալիս են բազմաթիվ օրինակներ: Ընդհանրացնելով բանաձևը (2.5), մենք սահմանում ենք

որտեղ է պատահական փոփոխականը, որը նկարագրում է ապահովագրական վճարումները դիտարկված ժամանակային միջակայքում, r.v. նշանակում է վճարումների ընդհանուր գումարը այս միջակայքում և ռ.վ. ցուցիչ է այն իրադարձության համար, որ տեղի է ունեցել առնվազն մեկ ապահովագրական դեպք:

Լինելով նման իրադարձության ցուցիչ՝ ռ.վ. ամրացնում է ներկայությունը () կամ պակաս () ապահովագրված դեպքերն այս ժամանակային միջակայքում, բայց ոչ դրանում ապահովագրված դեպքերի քանակը:

Հավանականությունը կշարունակվի նշանակվել .

Եկեք քննարկենք մի քանի օրինակներ և որոշենք պատահական փոփոխականների բաշխումը և որոշ մոդելում:

Եկեք նախ դիտարկենք մահվան ապահովագրությունը մեկ տարվա համար՝ հավելյալ նպաստով, եթե մահը դժբախտ պատահար է։

Հստակության համար ենթադրենք, որ եթե մահը տեղի է ունեցել դժբախտ պատահարի հետևանքով, ապա վճարի չափը կկազմի 50.000, եթե մահը տեղի է ունենում այլ պատճառներով, ապա վճարի չափը կկազմի 25.000։

Ենթադրենք, որ տվյալ տարիքի, առողջական վիճակի և մասնագիտության անձի համար տարվա ընթացքում դժբախտ պատահարի հետևանքով մահանալու հավանականությունը 0,0005 է, իսկ այլ պատճառներով մահանալու հավանականությունը՝ 0,0020։ Բանաձևի տեսքով այն ունի հետևյալ տեսքը.

Ամփոփելով բոլոր հնարավոր արժեքները՝ մենք ստանում ենք

,

Պայմանական բաշխում գ. մեջ պայմանն ունի ձև

Այժմ դիտարկենք ավտոմեքենայի բախման ապահովագրությունը (հատուցում, որը վճարվում է մեքենայի սեփականատիրոջը՝ իր մեքենային պատճառված վնասի համար)՝ 250 անվերապահ նվազեցմամբ և 2000 առավելագույն վճարմամբ:

Պարզության համար մենք ենթադրում ենք, որ անհատի համար դիտարկված ժամանակահատվածում մեկ ապահովագրական դեպքի առաջացման հավանականությունը 0,15 է, իսկ մեկից ավելի բախումների հավանականությունը հավասար է զրոյի.

, .

Անիրատեսական ենթադրությունը, որ մեկ ժամանակահատվածում կարող է տեղի ունենալ ոչ ավելի, քան մեկ ապահովագրական դեպք, արվում է r.v-ի բաշխումը պարզեցնելու նպատակով: .

Մենք կթողնենք այս ենթադրությունը հաջորդ բաժնում, երբ դիտարկենք մի քանի ապահովագրական պահանջների գումարի բաշխումը:

Քանի որ ապահովագրողի վճարումների արժեքն է, և ոչ թե մեքենային պատճառված վնասը, մենք կարող ենք դիտարկել երկու հատկանիշ, և.

Նախ, իրադարձությունը ներառում է այն բախումները, որոնցում վնասը ավելի քիչ է, քան անվերապահ նվազեցվող գումարը, որը 250 է:

Երկրորդ, բաշխումը r.v. Ապահովագրական վճարների առավելագույն չափի կետում կունենա հավանականական զանգվածի «թլամք», որը հավասար է 2000 թ.

Ենթադրենք, որ այս կետում կենտրոնացված հավանական զանգվածը 0,1 է: Ավելին, ենթադրենք, որ ապահովագրական վճարումների արժեքը 0-ից 2000 միջակայքում կարող է մոդելավորվել շարունակական բաշխմամբ՝ համաչափ խտության ֆունկցիայով։ (Գործնականում շարունակական կորը, որն ընտրվում է հավելավճարների բաշխումը ներկայացնելու համար, նախորդ ժամանակաշրջանում պրեմիաների ուսումնասիրությունների արդյունքն է):

Ամփոփելով այս ենթադրությունները ռ.վ.-ի պայմանական բաշխման մասին: պայմանով, մենք հասնում ենք խառը տիպի բաշխման, որն ունի դրական խտություն 0-ից մինչև 2000 միջակայքում և հավանականական զանգվածի որոշակի «խցան» 2000-ի կետում: Սա պատկերված է նկ. 2.2.1.

Այս պայմանական բաշխման բաշխման ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը.

Նկ.2.1. r.v-ի բաշխման գործառույթը. B I = 1 պայմանով

Մենք հաշվարկում ենք մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը դիտարկված օրինակում ավտոմեքենայի ապահովագրությամբ երկու եղանակով.

Նախ, մենք գրում ենք r.v-ի բաշխումը: և օգտագործել այն հաշվարկելու համար և . Նշելով ռ.վ. բաշխման ֆունկցիայի միջոցով: , մենք ունենք

Համար x<0

Սա խառը բաշխում է: Ինչպես ցույց է տրված նկ. 2.2, այն ունի և՛ դիսկրետ (հավանական զանգվածի «կույտ» 2000 թ. կետում), և՛ շարունակական մաս: Նման բաշխման ֆունկցիան համապատասխանում է հավանականության ֆունկցիայի համակցությանը

Բրինձ. 2.2. r.v-ի բաշխման գործառույթը. X=IB

և խտության ֆունկցիաները

Մասնավորապես, և . Այսպիսով .

Կան մի շարք բանաձևեր, որոնք կապում են պատահական փոփոխականների պահերը պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիքների հետ։ Մաթեմատիկական ակնկալիքների և շեղումների համար այս բանաձևերը ունեն ձև

(2.10)

(2.11)

Ենթադրվում է, որ այս հավասարումների ձախ կողմի արտահայտությունները հաշվարկվում են անմիջապես ռ.վ.-ի բաշխումից: . Աջակողմյան արտահայտությունները հաշվարկելիս, մասնավորապես, և , օգտագործվում է ռ.վ.-ի պայմանական բաշխումը: ֆիքսված արժեքով r.v. .

Այս արտահայտությունները, հետևաբար, ռ.վ.-ի գործառույթներն են: , և մենք կարող ենք հաշվարկել դրանց մոմենտները՝ օգտագործելով r.v. .

Պայմանական բաշխումները օգտագործվում են բազմաթիվ ակտուարական մոդելներում, և դա թույլ է տալիս վերը նշված բանաձևերը ուղղակիորեն կիրառել: Մեր մոդելում. Հաշվի առնելով ռ.վ. ինչպես և ռ.վ. ինչպես , մենք ստանում ենք

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

և հաշվի առնենք պայմանական մաթեմատիկական ակնկալիքները

(2.16)

(2.17)

Բանաձևերը (2.16) և (2.17) սահմանվում են որպես ռ.վ.-ի գործառույթ: , որը կարելի է գրել հետևյալ բանաձևով.

Այդ ժամանակվանից սկսած (2.21)

Քանի որ մենք ունենք և (2.22)

Բանաձևերը (2.21) և (2.22) կարելի է համատեղել՝ (2.23)

Այսպիսով, (2.24)

(2.21), (2.20) և (2.24) (2.12) և (2.13) փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք.

Կիրառենք ստացված բանաձևերը հաշվարկի համար և ավտոմոբիլային ապահովագրության օրինակում (նկ. 2.2): Քանի որ ռ.վ.-ի խտության ֆունկցիան. Պայմանում արտահայտվում է բանաձևով

և P(B=2000|I=1)= 0.1, մենք ունենք

Վերջապես, ենթադրելով ք= 0.15, (2.25) և (2.26) բանաձևերից ստանում ենք հետևյալ հավասարությունները.

Մեկ այլ ապահովագրական իրավիճակ նկարագրելու համար մենք կարող ենք առաջարկել այլ մոդելներ r.v. .

Օրինակ՝ ավիացիոն պատահարների հետևանքով մահացածների թվի մոդել

Որպես օրինակ՝ դիտարկեք ավիաընկերության գործունեության մեկ տարվա ընթացքում ավիացիոն պատահարների հետևանքով մահացածների թվի մոդելը:

Մենք կարող ենք սկսել պատահական փոփոխականից, որը նկարագրում է մահերի թիվը մեկ թռիչքի համար, այնուհետև գումարում ենք այս պատահական փոփոխականները մեկ տարվա ընթացքում բոլոր թռիչքների վրա:

Մեկ թռիչքի համար իրադարձությունը ցույց կտա օդային վթարի սկիզբը: Այս աղետի հետևանքով մահացությունների թիվը կներկայացվի երկու պատահական փոփոխականների արտադրյալով, և որտեղ է օդանավի բեռնվածության գործակիցը, այսինքն՝ ինքնաթիռում գտնվող մարդկանց թիվը վթարի պահին, և որտեղ է մահերի համամասնությունը մարդկանց շրջանում: տախտակ.

Մահացությունների թիվը ներկայացված է այսպես, քանի որ առանձին վիճակագրություն և ավելի մատչելի է, քան ռ.վ. . Այսպիսով, թեև նավի վրա գտնվող անձանց միջև մահացությունների համամասնությունը և նավի վրա գտնվող անձանց թիվը, հավանաբար, կապված են, որպես առաջին մոտարկում կարելի է ենթադրել, որ ռ.վ. և անկախ:

Անկախ պատահական փոփոխականների գումարներ

Անհատական ​​ռիսկի մոդելում ապահովագրական ընկերության կողմից կատարված ապահովագրական վճարումները ներկայացված են որպես բազմաթիվ ֆիզիկական անձանց վճարումների գումար:

Հիշեք անկախ պատահական փոփոխականների գումարի բաշխումը որոշելու երկու մեթոդ: Նախ դիտարկենք երկու պատահական փոփոխականների գումարը, որոնց ընտրանքային տարածքը ցույց է տրված Նկ. 3.1.

Բրինձ. 2.3.1. Իրադարձություն

Այս գծի տակ գտնվող գիծը և տարածքը ներկայացնում են իրադարձություն: Հետեւաբար, բաշխման ֆունկցիան r.v. Սունի ձև (3.1)

Երկու դիսկրետ ոչ բացասական պատահական փոփոխականների համար մենք կարող ենք օգտագործել ընդհանուր հավանականության բանաձևը և գրել (3.1) որպես

Եթե Xև Յանկախ են, վերջին գումարը կարող է վերաշարադրվել որպես

(3.3)

Այս բաշխման ֆունկցիային համապատասխան հավանականության ֆունկցիան կարելի է գտնել բանաձևով

(3.4)

Շարունակական ոչ բացասական պատահական փոփոխականների համար (3.2), (3.3) և (3.4) բանաձևերին համապատասխանող բանաձևերը ունեն ձև.

Երբ պատահական փոփոխականներից մեկը կամ երկուսը Xև Յունեն խառը տիպի բաշխում (որը բնորոշ է ռիսկի առանձին մոդելների համար), բանաձևերը նման են, բայց ավելի ծանր: Պատահական փոփոխականների համար, որոնք կարող են նաև բացասական արժեքներ ընդունել, վերը նշված բանաձևերի գումարներն ու ինտեգրալները վերցված են y-ի բոլոր արժեքներից մինչև .

Հավանականությունների տեսության մեջ (3.3) և (3.6) բանաձևերի գործողությունը կոչվում է երկու բաշխման ֆունկցիաների կոնվոլյուցիա և նշանակվում է . Կովոլյուցիոն գործողությունը կարող է սահմանվել նաև հավանականության կամ խտության զույգ ֆունկցիաների համար՝ օգտագործելով (3.4) և (3.7) բանաձևերը:

Երկուից ավելի պատահական փոփոխականների գումարի բաշխումը որոշելու համար մենք կարող ենք օգտագործել ոլորման գործընթացի կրկնությունները: Համար , որտեղ անկախ պատահական փոփոխականներ են, նշանակում է r.v.-ի բաշխման ֆունկցիան և r.v-ի բաշխման ֆունկցիան է: , կստանանք

Օրինակ 3.1-ը ցույց է տալիս այս ընթացակարգը երեք դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար:

Օրինակ 3.1.Պատահական փոփոխականներ և անկախ են և ունեն բաշխումներ՝ սահմանված ստորև աղյուսակի (1), (2) և (3) սյունակներով:

Դուրս գրենք r.v-ի հավանականության ֆունկցիան և բաշխման ֆունկցիան:

Որոշում.Աղյուսակը օգտագործում է օրինակից առաջ ներկայացված նշումը.

(1)-(3) սյունակները պարունակում են առկա տեղեկատվությունը:

Սյունակ (4) ստացվում է (1) և (2) սյունակներից՝ օգտագործելով (3.4):

Սյունակ (5) ստացվում է (3) և (4) սյունակներից՝ օգտագործելով (3.4):

Սյունակի (5) սահմանումը լրացնում է հավանականության ֆունկցիայի որոշումը r.v. . Նրա բաշխման ֆունկցիան (8) սյունակում (5) սյունակի մասնակի գումարների բազմությունն է՝ սկսած վերևից։

Պարզության համար մենք ներառել ենք սյունակ (6), սյունակ (1), սյունակ (7) բաշխման ֆունկցիա, որը կարելի է ուղղակիորեն ստանալ (1) և (6) սյունակից՝ օգտագործելով (2.3.3) և (8) սյունակը: ) որոշվում է նույն կերպ (3) և (7) սյունակների համար: Սյունակը (5) կարելի է որոշել սյունակ (8) հաջորդական հանումով:

Եկեք անդրադառնանք շարունակական պատահական փոփոխականներով երկու օրինակների քննարկմանը:

Օրինակ 3.2.Թող ռ.վ. ունի միատեսակ բաշխում (0,2) միջակայքի վրա, և թող r.v. կախված չէ ռ.վ. և ունի միատեսակ բաշխում (0,3) միջակայքի վրա։ Եկեք սահմանենք r.v-ի բաշխման ֆունկցիան:

Որոշում.Քանի որ բաշխումները r.v. և շարունակական, մենք օգտագործում ենք բանաձևը (3.6).

Հետո

Նմուշային տարածք r.v. և պատկերված է Նկ. 3.2. Ուղղանկյուն տարածքը պարունակում է զույգի բոլոր հնարավոր արժեքները և. Մեզ հետաքրքրող իրադարձությունը՝ , նկարում պատկերված է հինգ արժեքներով ս.

Յուրաքանչյուր արժեքի համար տողը հատում է առանցքը Յկետում սև մի գիծ մի կետում: Այս հինգ դեպքերի համար ֆունկցիայի արժեքները նկարագրված են հետևյալ բանաձևով.

Բրինձ. 3.2. Երկու միատեսակ բաշխումների կոնվուլյացիա

Օրինակ 3.3.Դիտարկենք երեք անկախ ռ.վ. . Համար r.v. ունի էքսպոնենցիալ բաշխում և . Եկեք գտնենք r.v-ի խտության ֆունկցիան: կիրառելով ոլորման գործողությունը:

Որոշում.Մենք ունենք

Օգտագործելով (3.7) բանաձևը երեք անգամ, մենք ստանում ենք

Անկախ պատահական փոփոխականների գումարի բաշխումը որոշելու մեկ այլ մեթոդ հիմնված է մոմենտի գեներացնող ֆունկցիայի եզակիության վրա, որը r.v. որոշվում է հարաբերակցությամբ .

Եթե ​​այս մաթեմատիկական ակնկալիքը բոլորի համար վերջավոր է տսկզբնաղբյուր պարունակող ինչ-որ բաց միջակայքից, ուրեմն ռ.վ.-ի բաշխման մոմենտների միակ գեներացնող ֆունկցիան է: այն իմաստով, որ չկա այլ ֆունկցիա, քան , որը կլինի ռ.վ.-ի բաշխման մոմենտների գեներացնող ֆունկցիան: .

Այս եզակիությունը կարող է օգտագործվել հետևյալ կերպ՝ գումարի համար

Եթե ​​դրանք անկախ են, ապա (3.8) բանաձևով ապրանքի ակնկալիքը հավասար է ..., ուրեմն

Մոմենտների (3.9) գեներացնող ֆունկցիային համապատասխանող միակ բաշխման համար հստակ արտահայտություն գտնելը կավարտի ռ.վ.-ի բաշխման հայտնաբերումը: . Եթե ​​դա հնարավոր չէ հստակորեն նշել, ապա այն կարելի է որոնել թվային մեթոդներով։

Օրինակ 3.4. Դիտարկենք օրինակ 3.3-ի պատահական փոփոխականները: Եկեք սահմանենք r.v-ի խտության ֆունկցիան: , օգտագործելով ռ.վ.-ի մոմենտների գեներացնող ֆունկցիան։ .

Որոշում.Ըստ հավասարության (3.9), որը կարելի է գրել այսպես օգտագործելով պարզ կոտորակների տարրալուծման եղանակը. Լուծումն այն է . Բայց արդյո՞ք էքսպոնենցիալ բաշխման մոմենտների գեներացնող ֆունկցիան պարամետրով է, որպեսզի ռ.վ.-ի խտության ֆունկցիան. ունի ձևը

Օրինակ 3.5. Պատահական գործընթացների ուսումնասիրության ժամանակ ներկայացվեց հակադարձ Գաուսի բաշխումը։ Այն օգտագործվում է որպես բաշխում r.v. AT, ապահովագրական վճարների չափը. Հակադարձ Գաուսի բաշխման մոմենտների խտության ֆունկցիան և գեներացնող ֆունկցիան տրված են բանաձևերով.

Եկեք գտնենք r.v-ի բաշխումը. , որտեղ r.v. անկախ են և ունեն նույն հակադարձ Գաուսի բաշխումները։

Որոշում.Օգտագործելով բանաձևը (3.9), մենք ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը r.v. մոմենտների գեներացնող ֆունկցիայի համար. :

Մոմենտների գեներացնող ֆունկցիան համապատասխանում է եզակի բաշխման, և երևում է, որ այն ունի հակադարձ Գաուսի բաշխում՝ պարամետրերով և .

Գումարի բաշխման մոտավոր հաշվարկներ

Կենտրոնական սահմանային թեորեմը տալիս է անկախ պատահական փոփոխականների գումարի բաշխման համար թվային արժեքներ գտնելու մեթոդ: Սովորաբար այս թեորեմը ձևակերպվում է անկախ և նույնականորեն բաշխված պատահական փոփոխականների գումարի համար, որտեղ .

Ցանկացած n-ի համար r.v-ի բաշխումը. որտեղ = , ունի մաթեմատիկական ակնկալիք 0 և շեղում 1: Ինչպես հայտնի է, նման բաշխումների հաջորդականությունը (համար n= 1, 2, ...) հակված է ստանդարտ նորմալ բաշխմանը: Երբ nմեծ, այս թեորեմը կիրառվում է r.v-ի բաշխումը մոտավոր գնահատելու համար։ նորմալ բաշխում միջինով μ և ցրվածություն. Նմանապես, գումարի բաշխումը nՊատահական փոփոխականները մոտավորվում են նորմալ բաշխմամբ՝ միջինով և շեղումներով:

Նման մոտարկման արդյունավետությունը կախված է ոչ միայն տերմինների քանակից, այլև տերմինների բաշխման մոտիկությունից նորմալին։ Շատ տարրական վիճակագրության դասընթացներ ասում են, որ n-ը պետք է լինի առնվազն 30, որպեսզի մոտարկումը ողջամիտ լինի:

Այնուամենայնիվ, սիմուլյացիոն մոդելավորման մեջ օգտագործվող նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականների ստեղծման ծրագրերից մեկը կիրառում է նորմալ պատահական փոփոխական՝ որպես միջինը 12 անկախ պատահական փոփոխականներ, որոնք հավասարաչափ բաշխված են միջակայքում (0,1):

Շատ առանձին ռիսկային մոդելներում գումարներում ներառված պատահական փոփոխականները հավասարաչափ բաշխված չեն: Սա կներկայացվի օրինակներով հաջորդ բաժնում:

Կենտրոնական սահմանային թեորեմը տարածվում է նաև անհավասար բաշխված պատահական փոփոխականների հաջորդականությունների վրա։

Առանձին ռիսկի մոդելի որոշ կիրառություններ պատկերացնելու համար մենք կօգտագործենք անկախ պատահական փոփոխականների գումարի բաշխման նորմալ մոտարկում՝ թվային լուծումներ ստանալու համար: Եթե , ապա

և հետագայում, եթե r.v. անկախ, ուրեմն

Քննարկվող դիմումի համար մեզ միայն անհրաժեշտ է.

• գտնել անհատական ​​կորուստները մոդելավորող պատահական փոփոխականների միջինները և շեղումները,
• ամփոփել դրանք՝ ստանալով ապահովագրական ընկերության ընդհանուր կորուստների միջինը և շեղումը,
• օգտագործեք նորմալ մոտարկումը.

Ստորև մենք ցույց ենք տալիս գործողությունների այս հաջորդականությունը:

Ապահովագրության համար դիմումներ

Այս բաժինը ցույց է տալիս սովորական մոտարկման օգտագործումը չորս օրինակով:

Օրինակ 5.1.Կյանքի ապահովագրման ընկերությունն առաջարկում է մեկ տարվա մահվան ապահովագրության պայմանագիր՝ 1 և 2 միավոր վճարումներով այն անձանց, որոնց մահվան հավանականությունը 0,02 կամ 0,01 է: Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս մարդկանց թիվը նկվճարին համապատասխան ձևավորված չորս դասերից յուրաքանչյուրում բ կև ապահովագրված դեպքի հավանականությունը qk:

կ	ք կ	բ կ	նկ
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

Ապահովագրական ընկերությունը ցանկանում է 1800 ֆիզիկական անձանց այս խմբից գանձել գումար, որը հավասար է այս խմբի ընդհանուր ապահովագրական վճարների բաշխման 95-րդ տոկոսին: Բացի այդ, նա ցանկանում է, որ յուրաքանչյուր անձի մասնաբաժինը այդ գումարում համաչափ լինի անձի ակնկալվող ապահովագրական վճարին:

Թիվ ունեցող անձի մասնաբաժինը, որի միջին վճարը հավասար է, պետք է լինի. 95-րդ տոկոսի պահանջից բխում է, որ . Ավելորդ արժեքը, , ռիսկի հավելավճար է և կոչվում է հարաբերական ռիսկի հավելավճար: Եկեք հաշվարկենք.

Որոշում.Արժեքը որոշվում է հարաբերակցությամբ = 0,95, որտեղ S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 թ .Այս հավանականության հայտարարությունը համարժեք է հետևյալին.

Կենտրոնական սահմանային թեորեմի մասին ասվածին համապատասխան վրկ. 4, մենք մոտավոր բաշխում ենք r.v. ստանդարտ նորմալ բաշխում և օգտագործում դրա 95-րդ տոկոսը, որից ստանում ենք.

Չորս դասերի համար, որոնց բաժանված են ապահովադիրները, մենք ստանում ենք հետևյալ արդյունքները.

կ	ք կ	բ կ	Միջին b k q k	Տարբերություն b 2 k q k (1-q k)	նկ
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

Այսպիսով,

Հետևաբար, հարաբերական ռիսկի հավելավճարն է

Օրինակ 5.2.Ավտոապահովագրող ընկերության հաճախորդները բաժանվում են երկու դասի.

Դասարան	Համարը դասարանում	Առաջացման հավանականությունը ապահովագրված իրադարձություն	Ապահովագրական վճարների բաշխում, կրճատված էքսպոնենցիալ պարամետրեր բաշխում
կ				Լ
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

Կտրված էքսպոնենցիալ բաշխումը որոշվում է բաշխման ֆունկցիայով

Սա խառը տիպի բաշխում է՝ խտության ֆունկցիայով , և հավանականական զանգվածի «կույտ» մի կետում Լ. Այս բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 5.1-ում:

Բրինձ. 5.1. Կտրված էքսպոնենցիալ բաշխում

Ինչպես և նախկինում, ապահովագրական վճարների ընդհանուր գումարը գերազանցելու է ապահովադիրներից հավաքագրված գումարի հավանականությունը պետք է հավասար լինի 0,05-ի: Մենք կենթադրենք, որ հարաբերական ռիսկի հավելավճարը պետք է լինի նույնը դիտարկվող երկու դասերից յուրաքանչյուրում: Եկեք հաշվարկենք.

Որոշում.Այս օրինակը շատ նման է նախորդին. Միակ տարբերությունն այն է, որ ապահովագրական վճարումների արժեքներն այժմ պատահական փոփոխականներ են:

Նախ, մենք կստանանք արտահայտություններ կրճատված էքսպոնենցիալ բաշխման պահերի համար: Սա նախապատրաստական ​​քայլ կլինի (2.25) և (2.26) բանաձևերի կիրառման համար.

Օգտագործելով պայմանի մեջ տրված պարամետրերի արժեքները և կիրառելով (2.25) և (2.26) բանաձևերը, մենք ստանում ենք հետևյալ արդյունքները.

կ	ք կ	միկ	σ 2k	Միջին q k μ k	Դիսպերսիա μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	նկ
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

Այսպիսով, Ս, ապահովագրական վճարների ընդհանուր գումարը, ունի պահեր

Սահմանման պայմանը մնում է նույնը, ինչ օրինակ 5.1-ում, մասնավորապես.

Կրկին օգտագործելով նորմալ բաշխման մոտավորությունը, մենք ստանում ենք

Օրինակ 5.3.Ապահովագրական ընկերության պորտֆելը ներառում է 16000 մահվան ապահովագրության պայմանագիր մեկ տարի ժամկետով` համաձայն հետևյալ աղյուսակի.

Ապահովագրված իրադարձության q հավանականությունը 16000 հաճախորդներից յուրաքանչյուրի համար (այդ իրադարձությունները ենթադրվում են փոխադարձ անկախ) 0,02 է: Ընկերությունը ցանկանում է սահմանել սեփական պահպանման տոկոսադրույքը: Յուրաքանչյուր ապահովադրի համար սեփական պահման մակարդակն այն արժեքն է, որից ցածր այս ընկերությունը (հանձնարար ընկերությունը) վճարումներ է կատարում ինքնուրույն, և այդ արժեքը գերազանցող վճարումները ծածկվում են մեկ այլ ընկերության (վերաապահովագրողի) կողմից վերաապահովագրության պայմանագրով:

Օրինակ, եթե սեփական պահման դրույքաչափը 200,000 է, ապա ընկերությունը պահում է ծածկույթ մինչև 20,000 յուրաքանչյուր ապահովագրողի համար և գնում է վերաապահովագրություն, որպեսզի ծածկի պրեմիումի և 20,000 գումարի տարբերությունը 4,500 ապահովադիրներից յուրաքանչյուրի համար, որոնց ապահովագրավճարները գերազանցում են 20,000-ը:

Ընկերությունը որպես որոշման չափանիշ ընտրում է նվազագույնի հասցնել այն հավանականությունը, որ ապահովագրական հատուցումները թողնվել են սեփական նվազեցման վրա, գումարած վերաապահովագրության համար վճարված գումարը, կգերազանցի 8,250,000-ը: միավորի համար ապահովագրական վճարների արժեքը 0,02):

Կարծում ենք, որ խնդրո առարկա պորտֆելը փակված է. ընթացիկ տարվա ընթացքում կնքված նոր ապահովագրական պայմանագրերը հաշվի չեն առնվի նկարագրված որոշումների կայացման գործընթացում:

Մասնակի լուծում. Եկեք նախ կատարենք բոլոր հաշվարկները՝ որպես վճարման միավոր ընտրելով 10,000-ը: Որպես օրինակ, ենթադրենք, որ ք. մեջ Սսեփական նվազեցման վրա մնացած վճարումների չափն է, ունի հետևյալ ձևը.

Այս ապահովագրական վճարումները մնացել են ձեր սեփական նվազեցման վրա Ս, ավելացվում է վերաապահովագրության վճարների չափը։ Ընդհանուր առմամբ, այս սխեմայի համաձայն ծածկույթի ընդհանուր գումարը կազմում է

Սեփական նվազեցման վրա մնացած գումարը հավասար է

Այսպիսով, ընդհանուր վերաապահովագրված արժեքը կազմում է 35000-24000=11000, իսկ վերաապահովագրության արժեքը՝

Հետևաբար, սեփական պահման մակարդակի դեպքում, որը հավասար է 2-ի, ապահովագրական վճարները, որոնք մնացել են սեփական պահման վրա, գումարած վերաապահովագրության արժեքը, կազմում են: Որոշման չափանիշը հիմնված է հավանականության վրա, որ այս ընդհանուր գումարը կգերազանցի 825-ը,

Օգտագործելով նորմալ բաշխումը, մենք ստանում ենք, որ այս արժեքը մոտավորապես հավասար է 0,0062-ի:

Ապահովագրական վճարների միջին արժեքները կորուստների ավելցուկային ապահովագրության դեպքում, որպես վերաապահովագրության տեսակներից մեկը, կարող են մոտավորվել՝ օգտագործելով նորմալ բաշխումը որպես ընդհանուր ապահովագրական վճարների բաշխում:

Թող X ընդհանուր ապահովագրական վճարներն ունենան նորմալ բաշխում՝ միջինով և շեղումներով

Օրինակ 5.4.Դիտարկենք ապահովագրական պորտֆելը, ինչպես օրինակ 5.3-ում: Եկեք գտնենք ապահովագրական պայմանագրով ապահովագրական վճարների չափի մաթեմատիկական ակնկալիքը անշահութաբերության գերազանցման համար, եթե.

ա) չկա անհատական ​​վերաապահովագրություն, և անվերապահ նվազեցման չափը սահմանվել է 7,500,000

բ) անհատական ​​ապահովագրության պայմանագրերի վրա սահմանվում է 20,000-ի անձնական պահում, և պորտֆելի համար անվերապահ նվազեցվող գումարը կազմում է 5,300,000:

Որոշում.

ա) Անհատական ​​վերաապահովագրության բացակայության և որպես արժույթ 10,000-ի անցման դեպքում.

կիրառելով բանաձևը (5.2) տալիս է

որը սկզբնական միավորների 43770 գումարն է։

(բ) Նկար 5.3-ում մենք ստանում ենք ընդհանուր հավելավճարների միջինը և շեղումը 20,000 անհատ նվազեցվող գումարի համար, համապատասխանաբար, 480 և 784, օգտագործելով 10,000 որպես միավոր: Այսպիսով, =28.

կիրառելով բանաձևը (5.2) տալիս է

որը սկզբնական միավորների 4140-ի գումարն է։

Գործնականում հաճախ անհրաժեշտ է դառնում գտնել պատահական փոփոխականների գումարի բաշխման օրենքը:

Թող համակարգ լինի (X b X 2)երկու շարունակական ս. մեջ և դրանց գումարը

Գտնենք բաշխման խտությունը c. մեջ U. Նախորդ պարբերության ընդհանուր լուծման համաձայն գտնում ենք հարթության այն շրջանը, որտեղ x + x 2 (նկ. 9.4.1):

Տարբերակելով այս արտահայտությունը y-ի նկատմամբ՝ մենք ստանում ենք ap. պատահական փոփոխական Y \u003d X + X 2:

Քանի որ φ (x b x 2) = Xj + x 2 ֆունկցիան սիմետրիկ է իր արգումենտների նկատմամբ, ապա

Եթե ​​հետ. մեջ Xև X 2 անկախ են, ապա (9.4.2) և (9.4.3) բանաձևերը ստանում են հետևյալ ձևը.

Այն դեպքում, երբ անկախ ք. մեջ x xև X 2,խոսել բաշխման օրենքների կազմի մասին. Արտադրել կազմըերկու բաշխման օրենք - սա նշանակում է գտնել բաշխման օրենքը երկու անկախ գների գումարի համար: գ., բաշխված սույն օրենքների համաձայն. Խորհրդանշական նշումը օգտագործվում է բաշխման օրենքների կազմը նշելու համար

որը ըստ էության նշվում է (9.4.4) կամ (9.4.5) բանաձևերով։

Օրինակ 1. Դիտարկվում է երկու տեխնիկական սարքերի (TD) աշխատանքը: Նախ, TU-ն աշխատում է այն բանից հետո, երբ դրա ձախողումը (խափանումը) ներառված է TU 2-ի շահագործման մեջ: Գործարկման ժամանակ TU TU TU 2 - x xև X 2 - անկախ են և բաշխված են ըստ էքսպոնենցիալ օրենքների՝ A,1 և պարամետրերով X 2.Հետեւաբար, ժամանակը Յ TU-ից բաղկացած TU-ի անխափան աշխատանքը: իսկ TU 2-ը կորոշվի բանաձևով

Պահանջվում է գտնել p.r. պատահական փոփոխական Y,այսինքն՝ երկու էքսպոնենցիալ օրենքների կազմը՝ պարամետրերով և X 2.

Որոշում. Բանաձևով (9.4.4) մենք ստանում ենք (y > 0)

Եթե ​​կա նույն պարամետրերով երկու էքսպոնենցիալ օրենքների կազմ (?c = X 2 = Y), ապա (9.4.8) արտահայտության մեջ ստացվում է 0/0 տիպի անորոշություն, որն ընդլայնելով՝ ստանում ենք.

Համեմատելով այս արտահայտությունը (6.4.8) արտահայտության հետ՝ մենք համոզված ենք, որ երկու նույնական էքսպոնենցիալ օրենքների կազմությունը (?c = X 2 = x)Էրլանգի երկրորդ կարգի օրենքն է (9.4.9): Տարբեր պարամետրերով երկու էքսպոնենցիալ օրենք կազմելիս x xեւ A-2 ստանալ երկրորդ կարգի ընդհանրացված Էրլանգի օրենքը (9.4.8). ?

Խնդիր 1. Երկու սերի տարբերության բաշխման օրենքը. մեջ Համակարգի հետ: մեջ (X և X 2)ունի համատեղ ռ.պ./(x x x 2): Գտեք p.r. նրանց տարբերությունները Y=X - X 2.

Որոշում. Համակարգի համար մեջ (X b - X 2)և այլն: կլինի / (x b - x 2),այսինքն՝ տարբերությունը փոխարինեցինք գումարով։ Հետեւաբար, a.r. պատահական U փոփոխականը կունենա ձևը (տես (9.4.2), (9.4.3)).

Եթե հետ։ մեջ X x iX 2 անկախ, ուրեմն

Օրինակ 2. Գտեք ֆ.ռ. երկու անկախ էքսպոնենցիալ բաշխված ս–ների տարբերությունը. մեջ պարամետրերով x xև X 2.

Որոշում. Ըստ (9.4.11) բանաձևի ստանում ենք

Բրինձ. 9.4.2 Բրինձ. 9.4.3

Նկար 9.4.2-ում ներկայացված է էջ. է(y): Եթե ​​դիտարկենք երկու անկախ էքսպոնենցիալ բաշխված ս-ների տարբերությունը. մեջ նույն պարամետրերով (Ա-ի= X 2 = ԲԱՅՑ,),ապա է(y) \u003d / 2 - արդեն ծանոթ

Լապլասի օրենք (նկ. 9.4.3): ?

Օրինակ 3. Գտե՛ք բաշխման օրենքը երկու անկախ c-ի գումարի համար: մեջ Xև X 2,բաշխված ըստ Պուասոնի օրենքի՝ պարամետրերով կացինև ա 2.

Որոշում. Գտեք իրադարձության հավանականությունը (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Հետեւաբար, Ս. մեջ Y= X x + X 2 բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն պարամետրով a x2) - a x + a 2. ?

Օրինակ 4. Գտե՛ք բաշխման օրենքը երկու անկախ c-ի գումարի համար: մեջ x xև X 2,բաշխված ըստ երկանդամ օրենքների՝ պարամետրերով p x ri p 2, pհամապատասխանաբար.

Որոշում. Պատկերացրեք հետ. մեջ x xորպես:

որտեղ X 1) -իրադարձության ցուցիչ ԲԱՅՑ wu "th փորձը:

Բաշխման տիրույթը հետ. մեջ X,- ունի ձևը

Նմանատիպ ներկայացում կկատարենք ս. մեջ X 2:որտեղ X] 2) - իրադարձության ցուցիչ ԲԱՅՑ y"-րդ փորձառության մեջ:

Հետևաբար,

որտեղ է X 1)+(2) եթե իրադարձության ցուցիչը ԲԱՅՑ:

Այսպիսով, մենք դա ցույց տվեցինք մեջ սկեսրայր գումար (u + n 2)իրադարձությունների ցուցիչներ ԲԱՅՑ, որտեղից հետևում է, որ ս. մեջ ^բաշխված ըստ երկանդամության օրենքի՝ պարամետրերով ( n x + n 2), էջ.

Նշենք, որ եթե հավանականությունները Ռփորձերի տարբեր շարքերում տարբեր են, ապա երկու անկախ ս-ների գումարման արդյունքում. գ., բաշխված ըստ երկանդամ օրենքների, պարզվում է ք. գ., բաշխված ոչ ըստ երկանդամ օրենքի. ?

Օրինակներ 3 և 4 հեշտությամբ ընդհանրացվում են կամայական թվով տերմիններով: Պուասոնի օրենքները պարամետրերով կազմելիս ա բ ա 2, ..., ա տՊարամետրով կրկին ստացվում է Պուասոնի օրենքը a (t) \u003d a x + a 2 + ... + և տ.

Պարամետրերով երկանդամ օրենքներ կազմելիս (n r); (ես 2, Հ) , (n t, p)կրկին ստանում ենք երկանդամ օրենքը պարամետրերով («(»), Ռ),որտեղ n (t) \u003d u + n 2 + ... + և այլն:

Մենք ապացուցել ենք Պուասոնի օրենքի և երկանդամության օրենքի կարևոր հատկությունները՝ «կայունության հատկությունը»: Բաշխման օրենքը կոչվում է կայուն,եթե նույն տիպի երկու օրենքների բաղադրությունը հանգեցնում է նույն տիպի օրենքի (տարբերվում են միայն այս օրենքի պարամետրերը): 9.7 ենթաբաժնում մենք ցույց կտանք, որ նորմալ օրենքը ունի նույն կայունության հատկությունը:

ԹԵՄԱ 3
	բաշխման ֆունկցիայի հայեցակարգը
	մաթեմատիկական ակնկալիք և շեղում
	միասնական (ուղղանկյուն) բաշխում
	նորմալ (գաուսյան) բաշխում
	Բաշխում
	տ- Ուսանողների բաշխում
	Ֆ- բաշխում
	երկու պատահական անկախ փոփոխականների գումարի բաշխում
	Օրինակ՝ երկու անկախների գումարի բաշխում միատեսակ բաշխված քանակություններ
	պատահական փոփոխական փոխակերպում
	Օրինակ՝ ներդաշնակ ալիքի բաշխում պատահական փուլով
	կենտրոնական սահմանային թեորեմ
	պատահական փոփոխականի պահերը և դրանց հատկությունները
ՑԻԿԼԻ ՆՊԱՏԱԿԸ ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ.		ՀԱՇՎԵՑՆԵԼ ՍԿԶԲԱՆ ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԲԱՇԽՄԱՆ ԱՄԵՆԱԿԱՐԵՎՈՐ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ԵՎ ԴՐԱՆՑ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ.

ԲԱՇԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

Թող լինի x(k)ինչ-որ պատահական փոփոխական է: Այնուհետև ցանկացած ֆիքսված արժեք x պատահական իրադարձություն x(k) xսահմանվում է որպես բոլոր հնարավոր արդյունքների ամբողջություն կայնպիսին է, որ x(k) x. Նմուշի տարածության վրա տրված սկզբնական հավանականության չափման առումով, բաշխման գործառույթP(x)սահմանվում է որպես միավորների մի շարքին վերագրվող հավանականություն կ x(k) x. Նկատի ունեցեք, որ միավորների հավաքածուն կանհավասարությունը բավարարելով x(k) x, անհավասարությունը բավարարող կետերի բազմության ենթաբազմություն է x(k) . Ֆորմալ կերպով

Ակնհայտ է, որ

Եթե ​​պատահական փոփոխականի արժեքների միջակայքը շարունակական է, որը ենթադրվում է ստորև, ապա հավանականության խտությունը(միաչափ) p(x)որոշվում է դիֆերենցիալ կապով

(4)

Հետևաբար,

(6)

Որպեսզի կարողանանք դիտարկել դիսկրետ դեպքեր, անհրաժեշտ է ընդունել դելտա ֆունկցիաների առկայությունը հավանականության խտության բաղադրության մեջ։

ՍՊԱՍՎԱԾ ԱՐԺԵՔ

Թող պատահական փոփոխականը x(k)վերցնում է արժեքներ - -ից +  միջակայքից: Նկատի ունեմ(հակառակ դեպքում, ակնկալվող արժեքըկամ ակնկալվող արժեքը) x(k)հաշվարկվում է՝ օգտագործելով արժեքների արտադրյալների գումարի սահմանագծին համապատասխան անցումը x(k)այս իրադարձությունների առաջացման հավանականության վերաբերյալ.

(8)

որտեղ Ե- քառակուսի փակագծերում արտահայտության մաթեմատիկական ակնկալիքն ըստ ինդեքսների կ. Նմանապես սահմանվում է իրական միարժեք շարունակական ֆունկցիայի մաթեմատիկական ակնկալիքը է(x)պատահական փոփոխականից x(k)

(9)

որտեղ p(x)- պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը x(k).Մասնավորապես, վերցնելով g(x)=x,մենք ստանում ենք միջին քառակուսի x(k) :

(10)

Ցրվածությունx(k)սահմանվում է որպես տարբերության միջին քառակուսի x(k)և դրա միջին արժեքը,

այսինքն այս դեպքում g(x)= և

Ա-առաջնային, ստանդարտ շեղումպատահական փոփոխական x (k),նշվում է , շեղման քառակուսի արմատի դրական արժեքն է։ Ստանդարտ շեղումը չափվում է նույն միավորներով, ինչ միջինը:

ԲԱՇԽՄԱՆ ԱՄԵՆԱԿԱՐԵՎՈՐ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԸ

ՀԱՄԱՍՆԱԿԱՆ (ուղղանկյուն) ԲԱՇԽՈՒՄ.

Ենթադրենք, որ փորձը բաղկացած է մի կետի պատահական ընտրությունից [ինտերվալից] ա, բ], ներառյալ դրա վերջնակետերը: Այս օրինակում՝ որպես պատահական փոփոխականի արժեք x(k)կարող եք վերցնել ընտրված կետի թվային արժեքը: Համապատասխան բաշխման ֆունկցիան ունի ձևը

Հետևաբար, հավանականության խտությունը տրվում է բանաձևով

Այս օրինակում (9) և (11) բանաձևերի միջոցով միջինի և շեղումների հաշվարկը տալիս է.

ՆՈՐՄԱԼ (ԳԱՈՒՍՅԱՆ) ԲԱՇԽՈՒՄ

, - թվաբանական միջին, - RMS.

P(z)=1- հավանականությանը համապատասխան z-ի արժեքը, այսինքն.

ՉԻ - ՀՐԱՊԱՐԱԿԻ ԲԱՇԽՈՒՄ

Թող լինի - n անկախ պատահական փոփոխականներ, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի նորմալ բաշխում զրոյական միջինով և միավորի շեղումով:

Խի-քառակուսի պատահական փոփոխական՝ n ազատության աստիճանով:

հավանականության խտությունը.

DF: 100 - տոկոսային միավոր - բաշխումները նշվում են , այսինքն.

միջինը և շեղումը հավասար են

t - ՈՒՍԱՆՈՂԱԿԱՆ ԲԱՇԽՈՒՄՆԵՐ

y, z-ն անկախ պատահական փոփոխականներ են. y - ունի - բաշխում, z - սովորաբար բաշխվում է զրոյական միջինով և միավորի շեղումով:

արժեք - ունի տ- Ուսանողների բաշխումը n ազատության աստիճանով

DF: 100 - տոկոսային կետ t - բաշխումը նշված է

Միջին և շեղումը հավասար են

Զ - ԲԱՇԽՈՒՄ

Անկախ պատահական փոփոխականներ; ունի - բաշխում ազատության աստիճաններով; բաշխում ազատության աստիճաններով։ Պատահական արժեք:

,

F-ը բաշխված պատահական փոփոխական է՝ ազատության աստիճաններով և աստիճաններով:

,

DF: 100 - տոկոսային կետ:

Միջին և շեղումը հավասար են.

ԳՈՒՄԱՐԻ ԲԱՇԽՈՒՄ

ԵՐԿՈՒ ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆ

Թող լինի x(k)և y(k)պատահական փոփոխականներ են, որոնք ունեն համատեղ հավանականության խտություն p(x,y):Գտե՛ք պատահական փոփոխականների գումարի հավանականության խտությունը

Մի ֆիքսված xմենք ունենք y=z–x.Այսպիսով

Մի ֆիքսված զարժեքներ xգործարկել ընդմիջումը –-ից +: Այսպիսով

(37)

որտեղից կարելի է տեսնել, որ գումարի ցանկալի խտությունը հաշվարկելու համար պետք է իմանալ սկզբնական համատեղ հավանականության խտությունը: Եթե x(k)և y(k)անկախ պատահական փոփոխականներ են, որոնք ունեն խտություն և, համապատասխանաբար, ապա և

(38)

ՕՐԻՆԱԿ:ԵՐԿՈՒ ԱՆԿԱԽ, ՄԻԱՍՆԱԿԱՆ ԲԱՇԽՎԱԾ ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐԸ։

Թող երկու պատահական անկախ փոփոխականներ ունենան ձևի խտություն

Այլ դեպքերում Գտնենք դրանց գումարի p(z) հավանականության խտությունը z= x+ y:

Հավանականության խտություն համար այսինքն համար Հետևաբար, xավելի քիչ քան զ. Բացի այդ, հավասար չէ զրոյի Ըստ բանաձևի (38), մենք գտնում ենք, որ

Նկարազարդում:

Երկու անկախ, հավասարաչափ բաշխված պատահական փոփոխականների գումարի հավանականության խտությունը:

Պատահական փոխակերպում

ԱՐԺԵՔՆԵՐ

Թող լինի x(t)- պատահական փոփոխական՝ հավանականության խտությամբ p(x),թող գնա g(x)-ի միարժեք իրական շարունակական ֆունկցիա է x. Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ հակադարձ ֆունկցիան x(g)է նաև միարժեք շարունակական ֆունկցիա է.Հավանականության խտություն p(g),համապատասխանում է պատահական փոփոխականին g(x(k)) = g(k),կարելի է որոշել հավանականության խտությունից p(x)պատահական փոփոխական x(k)և ածանցյալ dg/dxայն ենթադրությամբ, որ ածանցյալը գոյություն ունի և տարբերվում է զրոյից, այն է՝

(12)

Հետեւաբար, սահմանի մեջ dg/dx#0

(13)

Օգտագործելով այս բանաձևը, փոփոխականի փոխարեն հետևում է աջ կողմում xփոխարինել համապատասխան արժեքը է.

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ հակադարձ ֆունկցիան է x(g)վավեր է n- արժեքավոր գործառույթը է, որտեղ nամբողջ թիվ է, և բոլոր n արժեքները հավասարապես հավանական են: Հետո

(14)

ՕՐԻՆԱԿ:

ՆԵՐԴԱՇՆԱԿԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԲԱՇԽՈՒՄԸ.

Հարմոնիկ ֆունկցիա ֆիքսված ամպլիտուդով Xև հաճախականությունը զկլինի պատահական փոփոխական, եթե դրա սկզբնական փուլի անկյունը  =  (k)- պատահական արժեք: Մասնավորապես, թող տհաստատուն և հավասար տ o, և թող ներդաշնակ պատահական փոփոխականն ունենա ձև

Եկեք այդպես ձևացնենք  (k)ունի հավանականության միատեսակ խտություն p( ) բարի

Գտեք հավանականության խտությունը p(x)պատահական փոփոխական x(k).

Այս օրինակում ուղղակի ֆունկցիան x( ) միանշանակ, իսկ հակադարձ ֆունկցիան  (x)երկիմաստ.

Եկեք օգտագործենք վերը նշված ընդհանուր մեթոդը մեկ խնդիր լուծելու համար, այն է՝ գտնել բաշխման օրենքը երկու պատահական փոփոխականների գումարի համար: Գոյություն ունի երկու պատահական փոփոխականների համակարգ (X,Y) բաշխման խտությամբ f(x,y): Դիտարկենք X և Y պատահական փոփոխականների գումարը և գտե՛ք Z արժեքի բաշխման օրենքը: Դրա համար xOy հարթության վրա գծում ենք մի գիծ, ​​որի հավասարումն է (նկ. 7): Սա ուղիղ գիծ է, որը կտրում է առանցքների վրա z-ին հավասար հատվածներ: Ուղիղ գիծը xy հարթությունը բաժանում է երկու մասի. դեպի աջ և դրա վերևում; ձախ և ներքև:

Տարածաշրջան D այս դեպքում xOy հարթության ստորին ձախ հատվածն է՝ ստվերված Նկ. 7. Ըստ (16) բանաձևի ունենք.

Տարբերելով այս արտահայտությունը ներքին ինտեգրալի վերին սահմանում ներառված z փոփոխականի նկատմամբ՝ մենք ստանում ենք.

Սա երկու պատահական փոփոխականների գումարի բաշխման խտության ընդհանուր բանաձևն է։

Խնդիրի համաչափության պատճառով X և Y-ի նկատմամբ մենք կարող ենք գրել նույն բանաձևի մեկ այլ տարբերակ.

որը համարժեք է առաջինին և կարող է օգտագործվել դրա փոխարեն։

Նորմալ օրենքների կազմության օրինակ. Դիտարկենք երկու անկախ պատահական փոփոխականներ X և Y, որոնք ենթակա են նորմալ օրենքների.

Պահանջվում է ստեղծել այս օրենքների կազմը, այսինքն՝ գտնել քանակի բաշխման օրենքը.

Մենք կիրառում ենք բաշխման օրենքների կազմման ընդհանուր բանաձևը.

Եթե ​​բացենք ինտեգրանդի արտահայտիչի փակագծերը և բերենք նման տերմիններ, ապա կստանանք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով արդեն հանդիպած բանաձևով

փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք.

և սա ոչ այլ ինչ է, քան սովորական օրենք՝ ցրման կենտրոնով

և ստանդարտ շեղում

Նույն եզրակացությանը կարելի է շատ ավելի հեշտ հանգել հետեւյալ որակական պատճառաբանության օգնությամբ.

Առանց փակագծերը բացելու և (17) ինտեգրանդում փոխակերպումներ կատարելու, մենք անմիջապես գալիս ենք այն եզրակացության, որ ցուցիչը քառակուսի եռանկյուն է x ձևի նկատմամբ.

որտեղ z-ի արժեքն ընդհանրապես ներառված չէ Ա գործակցի մեջ, B գործակիցը ներառված է առաջին աստիճանում, իսկ C գործակիցը քառակուսի է։ Սա նկատի ունենալով և կիրառելով (18) բանաձևը, մենք եզրակացնում ենք, որ g(z)-ը էքսպոնենցիալ ֆունկցիա է, որի ցուցիչը z-ի նկատմամբ քառակուսի եռանկյուն է, և բաշխման խտությունը. այս տեսակը համապատասխանում է սովորական օրենքին: Այսպիսով, մենք; մենք գալիս ենք զուտ որակական եզրակացության՝ z-ի բաշխման օրենքը պետք է նորմալ լինի։ Այս օրենքի պարամետրերը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարման թեորեմը և շեղումների գումարման թեորեմը: Մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարման թեորեմով. Դիսպերսիայի գումարման թեորեմով, կամ որտեղից հետևում է (20) բանաձևը.

Արմատ-միջին քառակուսի շեղումներից անցնելով դրանց համաչափ հավանական շեղումների՝ կստանանք.

Այսպիսով, մենք եկել ենք հետևյալ կանոնին. երբ նորմալ օրենքներ են կազմվում, նորից նորմալ օրենք է ստացվում, և մաթեմատիկական ակնկալիքներն ու շեղումները (կամ հավանական շեղումները քառակուսի) ամփոփվում են։

Նորմալ օրենքների բաղադրության կանոնը կարող է ընդհանրացվել անկախ պատահական փոփոխականների կամայական քանակի դեպքում:

Եթե ​​կան n անկախ պատահական փոփոխականներ՝ ենթակա են նորմալ օրենքների՝ ցրման կենտրոններով և ստանդարտ շեղումներով, ապա արժեքը նույնպես ենթակա է նորմալ օրենքի՝ պարամետրերով:

Բանաձևի (22) փոխարեն կարող է օգտագործվել համարժեք բանաձև.

Եթե ​​պատահական փոփոխականների համակարգը (X, Y) բաշխված է սովորական օրենքի համաձայն, բայց X, Y մեծությունները կախված են, ապա դա հեշտ է ապացուցել, ինչպես նախկինում, հիմնվելով ընդհանուր բանաձևի վրա (6.3.1). որ քանակի բաշխման օրենքը նույնպես նորմալ օրենք է։ Ցրման կենտրոնները դեռ ավելացվում են հանրահաշվորեն, սակայն ստանդարտ շեղումների դեպքում կանոնն ավելի է բարդանում. , որտեղ r-ը X և Y արժեքների հարաբերակցության գործակիցն է:

Մի քանի կախյալ պատահական փոփոխականներ ավելացնելիս, որոնք ամբողջությամբ ենթարկվում են նորմալ օրենքին, գումարի բաշխման օրենքը նույնպես նորմալ է ստացվում պարամետրերով.

կամ հավանական շեղումներ

որտեղ է X i, X j մեծությունների հարաբերակցության գործակիցը, և գումարումը տարածվում է մեծությունների բոլոր տարբեր զույգերի համակցությունների վրա:

Մենք տեսանք նորմալ օրենքի մի շատ կարևոր հատկություն. երբ նորմալ օրենքները միավորվում են, նորից նորմալ օրենք է ստացվում: Սա այսպես կոչված «կայունության սեփականություն» է։ Բաշխման օրենքը համարվում է կայուն, եթե այս տիպի երկու օրենք կազմելով նորից նույն տիպի օրենք է ստացվում: Մենք վերևում ցույց տվեցինք, որ նորմալ օրենքը կայուն է։ Բաշխման շատ քիչ օրենքներ ունեն կայունության հատկություն: Միատեսակ խտության օրենքը անկայուն է. 0-ից 1 հատվածներում միատեսակ խտության երկու օրենք կազմելիս մենք ստացանք Սիմփսոնի օրենքը:

Նորմալ օրենքի կայունությունը գործնականում դրա լայն կիրառման էական պայմաններից մեկն է։ Սակայն կայունության հատկությունը, բացի նորմալից, ունի նաև բաշխման որոշ այլ օրենքներ։ Նորմալ օրենքի առանձնահատկությունն այն է, որ երբ կազմվում են բավականին մեծ թվով գործնականորեն կամայական բաշխման օրենքներ, ընդհանուր օրենքը պարզվում է, որ կամայականորեն մոտ է նորմալին, անկախ նրանից, թե ինչպիսին են եղել տերմինների բաշխման օրենքները: Սա կարելի է ցույց տալ, օրինակ, միատեսակ խտության երեք օրենքների բաղադրությունը կազմելով 0-ից 1 հատվածներում: Ստացված բաշխման օրենքը g(z) ցույց է տրված նկ. 8. Ինչպես երևում է գծագրից, g (z) ֆունկցիայի գրաֆիկը շատ նման է նորմալ օրենքի գրաֆիկին։