Ինտեգրալների աղյուսակը ամբողջական է, իսկ ինտեգրման կանոնները։ Տրանսցենդենտալ ֆունկցիաների ինտեգրալներ

Սահմանում 1

Հակաածանցյալ $F(x)$ $y=f(x)$ ֆունկցիայի $$ հատվածի հակաածանցյալը ֆունկցիա է, որը տարբերելի է այս հատվածի յուրաքանչյուր կետում, և դրա ածանցյալի համար գործում է հետևյալ հավասարությունը.

Սահմանում 2

Որոշ հատվածի վրա սահմանված $y=f(x)$ տրված ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը կոչվում է տրված $y=f(x)$ ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալ։ Անորոշ ինտեգրալը նշվում է $\int f(x)dx $ նշանով։

Ածանցյալների աղյուսակից և Սահմանում 2-ից մենք ստանում ենք հիմնական ինտեգրալների աղյուսակ:

Օրինակ 1

Ստուգեք 7-րդ բանաձևի վավերականությունը ինտեգրալների աղյուսակից.

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Տարբերենք աջ կողմը՝ $-\ln |\cos x|+C$:

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Օրինակ 2

Ստուգեք 8-րդ բանաձևի վավերականությունը ինտեգրալների աղյուսակից.

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Տարբերեք աջ կողմը՝ $\ln |\sin x|+C$:

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին։ Հետևաբար, բանաձևը ճիշտ է.

Օրինակ 3

Ստուգեք 11» բանաձևի վավերականությունը ինտեգրալների աղյուսակից.

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Տարբերեք աջ կողմը՝ $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$:

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2)) (a^(2) +x^(2) ) \]

Ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին։ Հետևաբար, բանաձևը ճիշտ է.

Օրինակ 4

Ստուգեք 12-րդ բանաձևի վավերականությունը ինտեգրալների աղյուսակից.

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \ձախ|\frac(a+x)(a-x) \աջ|+ C,\, \, C=const.\]

Տարբերեք աջ կողմը՝ $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$:

$\left(\frac(1)(2a) \ln \ձախ|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \աջ)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին։ Հետևաբար, բանաձևը ճիշտ է.

Օրինակ 5

Ստուգեք «13» բանաձևի վավերականությունը ինտեգրալների աղյուսակից.

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Տարբերեք աջ կողմը՝ $\arcsin \frac(x)(a) +C$:

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \աջ)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին։ Հետևաբար, բանաձևը ճիշտ է.

Օրինակ 6

Ստուգեք 14-րդ բանաձևի վավերականությունը ինտեգրալների աղյուսակից.

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=const.\]

Տարբերեք աջ կողմը՝ $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$:

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին։ Հետևաբար, բանաձևը ճիշտ է.

Օրինակ 7

Գտեք ինտեգրալը.

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\աջ) dx.\]

Եկեք օգտագործենք գումարի ինտեգրալ թեորեմը.

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\աջ) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Եկեք օգտագործենք հաստատուն գործոնը ինտեգրալ նշանից հանելու թեորեմը.

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Համաձայն ինտեգրալների աղյուսակի.

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Առաջին ինտեգրալը հաշվարկելիս մենք օգտագործում ենք կանոն 3.

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Հետևաբար,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\աջ) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1) ) +C_(2) \]

Օգտվելով այն հանգամանքից, որ ինտեգրումը տարբերակման հակառակն է: հնարավոր է ստանալ հիմնական ինտեգրալների աղյուսակ՝ շրջելով դիֆերենցիալ հաշվարկի համապատասխան բանաձևերը (դիֆերենցիալների աղյուսակ) և օգտագործելով անորոշ ինտեգրալի հատկությունները։ օրինակ, ինչպես

դ(մեղ u) = cos ու*դու, ապա ինտեգրման հիմնական մեթոդները դիտարկելիս կտրվի աղյուսակի մի շարք բանաձևերի ածանցավորում։
Ստորև բերված աղյուսակի ինտեգրալները կոչվում են աղյուսակային. Նրանք պետք է անգիր հայտնի լինեն։ Ինտեգրալ հաշվարկում տարրական ֆունկցիաներից հակաածանցյալներ գտնելու պարզ և համընդհանուր կանոններ չկան, ինչպես դիֆերենցիալ հաշվում։ Հակաածանցյալներ գտնելու մեթոդները (այսինքն՝ ֆունկցիայի ինտեգրում) կրճատվում են՝ ցույց տալով մեթոդներ, որոնք տվյալ (ցանկալի) ինտեգրալը բերում են աղյուսակային: Ուստի անհրաժեշտ է իմանալ աղյուսակային ինտեգրալները և կարողանալ ճանաչել դրանք։
Նկատի ունեցեք, որ հիմնական ինտեգրալների աղյուսակում ինտեգրման փոփոխական և կարող է նշանակել ինչպես անկախ փոփոխական, այնպես էլ անկախ փոփոխականի ֆունկցիա (ըստ ինտեգրման բանաձևի անփոփոխության հատկության):
Ստորև բերված բանաձևերի վավերականությունը կարելի է ստուգել՝ վերցնելով աջ կողմի դիֆերենցիալը, որը հավասար կլինի բանաձևի ձախ կողմի ինտեգրմանը:
Եկեք ապացուցենք, օրինակ, բանաձև 2-ի վավերականությունը: Ֆունկցիան 1/ uսահմանված և շարունակական բոլոր արժեքների համար u, բացի զրոյից:
Եթե u> 0. ապա ln | u| =ln u, ապա դ ln | u| = դ ln u = du/u. Այսպիսով

Հիմնական ինտեգրալների աղյուսակ

Մենք թվարկում ենք տարրական ֆունկցիաների ինտեգրալները, որոնք երբեմն կոչվում են աղյուսակային.

Վերոնշյալ բանաձևերից որևէ մեկը կարելի է ապացուցել՝ վերցնելով աջ կողմի ածանցյալը (արդյունքում կստացվի ինտեգրանդը)։

Ինտեգրման մեթոդներ

Դիտարկենք ինտեգրման մի քանի հիմնական մեթոդներ: Դրանք ներառում են.

1. Քայքայման մեթոդ(ուղղակի ինտեգրում).

Այս մեթոդը հիմնված է աղյուսակային ինտեգրալների ուղղակի կիրառման վրա, ինչպես նաև անորոշ ինտեգրալի 4 և 5 հատկությունների կիրառման վրա (այսինքն՝ հաստատուն գործակիցը փակագծից հանելով և/կամ ինտեգրանդը ներկայացնելով որպես ֆունկցիաների գումար. ինտեգրման ընդլայնում տերմիններով):

Օրինակ 1Օրինակ, (dx/x 4) գտնելու համար կարող եք ուղղակիորեն օգտագործել աղյուսակի ինտեգրալը x n dx-ի համար: Իրոք, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C:

Դիտարկենք ևս մի քանի օրինակ։

Օրինակ 2Գտնելու համար մենք օգտագործում ենք նույն ինտեգրալը.

Օրինակ 3Գտնելու համար հարկավոր է վերցնել

Օրինակ 4Գտնելու համար մենք ներկայացնում ենք ինտեգրանդը ձևով և օգտագործեք աղյուսակի ինտեգրալը էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի համար.

Դիտարկենք կայուն գործոնի փակագծերի օգտագործումը:

Օրինակ 5Գտնենք, օրինակ . Հաշվի առնելով դա՝ ստանում ենք

Օրինակ 6Եկեք գտնենք. Այնքանով, որքանով , օգտագործում ենք աղյուսակի ինտեգրալը Ստացեք

Կարող եք նաև օգտագործել փակագծերը և աղյուսակի ինտեգրալները հետևյալ երկու օրինակներում.

Օրինակ 7

(մենք օգտագործում ենք և );

Օրինակ 8

(մենք օգտագործում ենք և ).

Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակներ, որոնք օգտագործում են գումարային ինտեգրալը:

Օրինակ 9Օրինակ, եկեք գտնենք
. Ընդլայնման մեթոդը համարիչում կիրառելու համար մենք օգտագործում ենք գումարի խորանարդի  բանաձևը, իսկ հետո ստացված բազմանդամի անդամը բաժանում ենք հայտարարի վրա։

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Հարկ է նշել, որ լուծման վերջում գրվում է մեկ ընդհանուր հաստատուն C (և ոչ առանձին՝ յուրաքանչյուր անդամ ինտեգրելիս)։ Հետագայում առաջարկվում է նաև լուծելու գործընթացում առանձին տերմինների ինտեգրումից հաստատունները բաց թողնել, քանի դեռ արտահայտությունը պարունակում է առնվազն մեկ անորոշ ինտեգրալ (լուծման վերջում կգրենք մեկ հաստատուն)։

Օրինակ 10Եկեք գտնենք . Այս խնդիրը լուծելու համար մենք գործոնացնում ենք համարիչը (դրանից հետո կարող ենք կրճատել հայտարարը)։

Օրինակ 11.Եկեք գտնենք. Եռանկյունաչափական ինքնությունները կարող են օգտագործվել այստեղ:

Երբեմն արտահայտությունը տերմինների տարրալուծելու համար դուք պետք է օգտագործեք ավելի բարդ տեխնիկա:

Օրինակ 12.Եկեք գտնենք . Ինտեգրանդում ընտրում ենք կոտորակի ամբողջ թվային մասը . Հետո

Օրինակ 13Եկեք գտնենք

2. Փոփոխական փոխարինման մեթոդ (փոխարինման մեթոդ)

Մեթոդը հիմնված է հետևյալ բանաձևի վրա.

Ապացույց. Բանաձևի ձախ և աջ մասերից գտնենք t փոփոխականի ածանցյալները:

Նկատի ունեցեք, որ ձախ կողմում կա բարդ ֆունկցիա, որի միջանկյալ արգումենտն է x = (t): Հետևաբար, t-ի նկատմամբ այն տարբերելու համար մենք նախ տարբերակում ենք ինտեգրալը x-ի նկատմամբ, այնուհետև վերցնում ենք միջանկյալ փաստարկի ածանցյալը t-ի նկատմամբ։

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Աջ կողմի ածանցյալը.

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Քանի որ այս ածանցյալները հավասար են, Լագրանժի թեորեմի հետևանքով ապացուցված բանաձևի ձախ և աջ մասերը տարբերվում են որոշակի հաստատունով: Քանի որ անորոշ ինտեգրալներն իրենք սահմանված են մինչև անորոշ հաստատուն անդամ, այս հաստատունը կարող է բաց թողնել վերջնական նշումում: Ապացուցված է.

Փոփոխականի հաջող փոփոխությունը մեզ թույլ է տալիս պարզեցնել սկզբնական ինտեգրալը, իսկ ամենապարզ դեպքերում այն ​​կրճատել աղյուսակայինի: Այս մեթոդի կիրառման մեջ առանձնանում են գծային և ոչ գծային փոխարինման մեթոդները։

ա) Գծային փոխարինման մեթոդեկեք մի օրինակ նայենք.

Օրինակ 1
. Lett= 1 – 2x, ապա

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Պետք է նշել, որ նոր փոփոխականը պետք չէ հստակորեն դուրս գրել: Նման դեպքերում խոսվում է դիֆերենցիալի նշանի տակ ֆունկցիայի փոխակերպման կամ դիֆերենցիալի նշանի տակ հաստատունների և փոփոխականների ներմուծման մասին, այսինքն. մասին անուղղակի փոփոխականի փոխարինում.

Օրինակ 2Օրինակ, եկեք գտնենք cos(3x + 2)dx: dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), ապաcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x +) դիֆերենցիալի հատկություններով 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Երկու դիտարկված օրինակներում էլ ինտեգրալները գտնելու համար օգտագործվել է t=kx+b(k0) գծային փոխարինումը։

Ընդհանուր դեպքում գործում է հետևյալ թեորեմը.

Գծային փոխարինման թեորեմ. Թող F(x) որոշ հակաածանցյալ լինի f(x) ֆունկցիայի համար: Այնուհետևf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, որտեղ k և b որոշ հաստատուններ են,k0:

Ապացույց.

f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C ինտեգրալի սահմանմամբ։ Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Ինտեգրալ նշանի համար հանում ենք k հաստատուն գործակիցը՝ kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C: Այժմ մենք կարող ենք հավասարության ձախ և աջ մասերը բաժանել k-ի և ստանալ այն պնդումը, որը պետք է ապացուցվի մինչև հաստատուն անդամի նշումը:

Այս թեորեմը ասում է, որ եթե (kx+b) արտահայտությունը փոխարինվի f(x)dx= F(x) + C ինտեգրալի սահմանման մեջ, ապա դա կհանգեցնի առջևում 1/k լրացուցիչ գործոնի ի հայտ գալուն։ հակաածանցյալի.

Օգտագործելով ապացուցված թեորեմը՝ լուծում ենք հետևյալ օրինակները.

Օրինակ 3

Եկեք գտնենք . Այստեղ kx+b= 3 –x, այսինքն k= -1,b= 3. Հետո

Օրինակ 4

Եկեք գտնենք. Այստեղ kx+b= 4x+ 3, այսինքն՝ k= 4,b= 3: Ապա

Օրինակ 5

Եկեք գտնենք . Այստեղ kx+b= -2x+ 7, այսինքն՝ k= -2,b= 7։ Ապա

.

Օրինակ 6Եկեք գտնենք
. Այստեղ kx+b= 2x+ 0, այսինքն՝ k= 2,b= 0։

.

Ստացված արդյունքը համեմատենք օրինակ 8-ի հետ, որը լուծվել է տարրալուծման մեթոդով։ Նույն խնդիրը լուծելով այլ մեթոդով՝ ստացանք պատասխանը
. Եկեք համեմատենք արդյունքները. Այսպիսով, այս արտահայտությունները միմյանցից տարբերվում են հաստատուն տերմինով , այսինքն. ստացված պատասխանները չեն հակասում միմյանց.

Օրինակ 7Եկեք գտնենք
. Հայտարարի մեջ ընտրում ենք լրիվ քառակուսի:

Որոշ դեպքերում փոփոխականի փոփոխությունը չի նվազեցնում ինտեգրալը ուղղակիորեն աղյուսակայինի, սակայն այն կարող է պարզեցնել լուծումը՝ հնարավոր դարձնելով տարրալուծման մեթոդի կիրառումը հաջորդ քայլում:

Օրինակ 8Օրինակ, եկեք գտնենք . Փոխարինեք t=x+ 2, ապա dt=d(x+ 2) =dx: Հետո

,

որտեղ C \u003d C 1 - 6 (t-ի փոխարեն (x + 2) արտահայտությունը փոխարինելիս, առաջին երկու տերմինների փոխարեն մենք ստանում ենք ½x 2 -2x - 6):

Օրինակ 9Եկեք գտնենք
. Թող t= 2x+ 1, ապա dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2:

t-ի փոխարեն փոխարինում ենք (2x + 1) արտահայտությունը, բացում ենք փակագծերը և տալիս նմանատիպերը։

Նկատենք, որ փոխակերպումների գործընթացում մենք անցել ենք մեկ այլ հաստատուն տերմինի, քանի որ Փոխակերպումների գործընթացում հաստատուն տերմինների խումբը կարող էր բաց թողնել:

բ) Ոչ գծային փոխարինման մեթոդեկեք մի օրինակ նայենք.

Օրինակ 1
. Թող t= -x 2: Այնուհետև, կարելի է x արտահայտել t-ով, այնուհետև գտնել dx-ի արտահայտություն և իրականացնել փոփոխականի փոփոխություն ցանկալի ինտեգրալում: Բայց այս դեպքում ավելի հեշտ է այլ կերպ վարվել։ Գտեք dt=d(-x 2) = -2xdx: Նկատի ունեցեք, որ xdx արտահայտությունը պահանջվող ինտեգրալի ինտեգրման գործոնն է։ Այն արտահայտում ենք ստացված xdx= - ½dt հավասարությունից։ Հետո

Ինտեգրումը մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական գործողություններից մեկն է: Հայտնի հակաածանցյալների աղյուսակները կարող են օգտակար լինել, բայց այժմ, համակարգչային հանրահաշվի համակարգերի հայտնվելուց հետո, դրանք կորցնում են իրենց նշանակությունը: Ստորև ներկայացված է ամենատարածված հակաածանցյալների ցանկը:

Հիմնական ինտեգրալների աղյուսակ

Մեկ այլ կոմպակտ տարբերակ

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից ինտեգրալների աղյուսակ

Ռացիոնալ ֆունկցիաներից

Իռացիոնալ գործառույթներից

Տրանսցենդենտալ ֆունկցիաների ինտեգրալներ

«C»-ն կամայական ինտեգրման հաստատուն է, որը որոշվում է, եթե ինչ-որ պահի ինտեգրալի արժեքը հայտնի է: Յուրաքանչյուր ֆունկցիա ունի անսահման թվով հակաածանցյալներ:

Դպրոցականների և ուսանողների մեծ մասը խնդիրներ ունի ինտեգրալների հաշվարկի հետ կապված։ Այս էջը պարունակում է ինտեգրալների աղյուսակներեռանկյունաչափական, ռացիոնալ, իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ ֆունկցիաներից, որոնք կօգնեն լուծելու հարցում։ Ածանցյալների աղյուսակը նույնպես կօգնի ձեզ:

Տեսանյութ - ինչպես գտնել ինտեգրալներ