Jedna od najzanimljivijih tema iz geometrije iz školskog kolegija je "Četverokut" (8. razred). Koje vrste takvih figura postoje, koja posebna svojstva imaju? Što je jedinstveno kod četverokuta s kutovima od devedeset stupnjeva? Pogledajmo sve ovo.

Koji geometrijski lik se zove četverokut

Poligoni, koji se sastoje od četiri strane i, sukladno tome, od četiri vrha (ugla), u euklidskoj geometriji nazivaju se četverokuti.

Zanimljiva je povijest imena ove vrste figura. U ruskom jeziku imenica "četverokutna" nastala je od izraza "četiri ugla" (baš kao "trokut" - tri ugla, "petokut" - pet ugla itd.).

Međutim, na latinskom (kroz koji su mnogi geometrijski pojmovi došli na većinu jezika svijeta) naziva se četverokut. Ova riječ je nastala od broja quadri (četiri) i imenice latus (strana). Dakle, možemo zaključiti da se među starima ovaj poligon nazivao samo "četverostranim".

Inače, takav naziv (s naglaskom na prisutnosti četiri strane, a ne uglova u figurama ovog tipa) sačuvan je u nekim modernim jezicima. Na primjer, na engleskom - quadrilateral i na francuskom - quadrilatère.

Istodobno, u većini slavenskih jezika, razmatrana vrsta figura još uvijek se identificira brojem kutova, a ne stranica. Na primjer, na slovačkom (štvoruholník), na bugarskom ("četirigalnik"), na bjeloruskom ("chatyrokhkutnik"), na ukrajinskom ("chotirikutnik"), na češkom (čtyřúhelník), ali u poljskom se četverokut naziva brojem strane - czworoboczny.

Koje se vrste četverokuta izučavaju u školskom programu

U modernoj geometriji postoje 4 vrste poligona s četiri strane.

Međutim, zbog previše složenih svojstava nekih od njih, u nastavi geometrije školarci se upoznaju samo s dvije vrste.

• Paralelogram. Suprotne strane takvog četverokuta su parno paralelne jedna s drugom i, prema tome, također su jednake u parovima.
• Trapez (trapez ili trapez). Ovaj četverokut sastoji se od dvije suprotne stranice koje su paralelne jedna s drugom. Međutim, drugi par strana nema tu značajku.

Vrste četverokuta koje se ne izučavaju u školskom kolegiju geometrije

Osim navedenih, postoje još dvije vrste četverokuta s kojima se školarci ne upoznaju na nastavi geometrije zbog njihove posebne složenosti.

• Deltoid (zmaj)- lik u kojem je svaka od dva para susjednih stranica jednaka jedna drugoj. Takav četverokut dobio je ime zbog činjenice da izgledom prilično podsjeća na slovo grčke abecede - "delta".
• Antiparalelogram- ova je figura složena koliko i njezino ime. U njemu su dvije suprotne strane jednake, ali istovremeno nisu paralelne jedna s drugom. Osim toga, duge suprotne stranice ovog četverokuta sijeku jedna drugu, kao i produžeci druge dvije, kraće stranice.

Vrste paralelograma

Nakon što smo se pozabavili glavnim vrstama četverokuta, vrijedno je obratiti pažnju na njegove podvrste. Dakle, svi paralelogrami, zauzvrat, također su podijeljeni u četiri skupine.

• Klasični paralelogram.
• romb (romb)- četverokutni lik s jednakim stranicama. Njegove se dijagonale sijeku pod pravim kutom, dijeleći romb na četiri jednaka pravokutna trokuta.
• Pravokutnik. Ime govori za sebe. Budući da je četverokut s pravim kutovima (svaki od njih jednak je devedeset stupnjeva). Njegove suprotne strane nisu samo paralelne jedna s drugom, već su i jednake.
• Kvadrat (kvadrat). Poput pravokutnika, četverokut je s pravim kutovima, ali ima sve strane jednake jedna drugoj. Ova figura je blizu romba. Dakle, može se tvrditi da je kvadrat križ između romba i pravokutnika.

Posebna svojstva pravokutnika

S obzirom na figure u kojima je svaki od kutova između strana jednak devedeset stupnjeva, vrijedi se pobliže zadržati na pravokutniku. Dakle, koje posebne značajke ima koje ga razlikuju od drugih paralelograma?

Da bismo potvrdili da je paralelogram koji se razmatra pravokutnik, njegove dijagonale moraju biti jednake jedna drugoj, a svaki od kutova mora biti pravi. Osim toga, kvadrat njegovih dijagonala mora odgovarati zbroju kvadrata dviju susjednih stranica ove figure. Drugim riječima, klasični pravokutnik sastoji se od dva pravokutna trokuta, a u njima, kao što je poznato, dijagonala razmatranog četverokuta djeluje kao hipotenuza.

Posljednji od navedenih znakova ove figure također je njeno posebno svojstvo. Osim ovoga, postoje i drugi. Na primjer, činjenica da su sve strane proučavanog četverokuta s pravim kutovima u isto vrijeme njegove visine.

Osim toga, ako se oko bilo kojeg pravokutnika nacrta krug, njegov će promjer biti jednak dijagonali upisane figure.

Među ostalim svojstvima ovog četverokuta, da je ravan i da ne postoji u neeuklidskoj geometriji. To je zbog činjenice da u takvom sustavu nema četverokutnih likova, čiji je zbroj kutova jednak tristo šezdeset stupnjeva.

Kvadrat i njegove značajke

Nakon što smo se pozabavili znakovima i svojstvima pravokutnika, vrijedno je obratiti pažnju na drugi četverokut poznat znanosti s pravim kutovima (ovo je kvadrat).

Budući da je zapravo isti pravokutnik, ali s jednakim stranicama, ova figura ima sva svoja svojstva. Ali za razliku od njega, kvadrat je prisutan u neeuklidskoj geometriji.

Osim toga, ova figura ima i druge posebne značajke. Na primjer, činjenica da dijagonale kvadrata nisu samo jednake jedna drugoj, već se i sijeku pod pravim kutom. Dakle, kao i romb, kvadrat se sastoji od četiri pravokutna trokuta, na koje je podijeljen dijagonalama.

Osim toga, ova je figura najsimetričnija među svim četverokutima.

Koliki je zbroj kutova četverokuta

S obzirom na značajke četverokuta euklidske geometrije, vrijedno je obratiti pažnju na njihove kutove.

Dakle, na svakoj od gornjih slika, bez obzira ima li pravi kut ili ne, njihov je ukupni zbroj uvijek isti - tristo šezdeset stupnjeva. Ovo je jedinstvena karakteristika ove vrste figure.

Opseg četverokuta

Nakon što smo shvatili koliki je zbroj kutova četverokuta i druga posebna svojstva figura ove vrste, vrijedno je znati koje se formule najbolje koriste za izračunavanje njihovog perimetra i površine.

Da biste odredili opseg bilo kojeg četverokuta, trebate samo zbrojiti duljinu svih njegovih stranica.

Na primjer, na slici KLMN, njegov se perimetar može izračunati pomoću formule: P \u003d KL + LM + MN + KN. Ako ovdje zamijenite brojeve, dobit ćete: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

U slučaju kada je dotični lik romb ili kvadrat, da biste pronašli opseg, možete pojednostaviti formulu jednostavnim množenjem duljine jedne od njegovih strana s četiri: P \u003d KL x 4. Na primjer: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Formule četverokuta površine

Nakon što smo shvatili kako pronaći opseg bilo koje figure s četiri kuta i strane, vrijedi razmotriti najpopularnije i najjednostavnije načine pronalaženja njezina područja.

Ostala svojstva četverokuta: upisane i opisane kružnice

Uzimajući u obzir značajke i svojstva četverokuta kao figure euklidske geometrije, vrijedno je obratiti pozornost na sposobnost opisivanja ili upisivanja krugova unutar njega:

• Ako su zbroji suprotnih kutova lika svaki po sto osamdeset stupnjeva i međusobno su jednaki u paru, tada se oko takvog četverokuta može slobodno opisati kružnica.
• Prema Ptolemejevom teoremu, ako je kružnica opisana izvan poligona s četiri strane, tada je umnožak njegovih dijagonala jednak zbroju umnožaka suprotnih strana zadanog lika. Dakle, formula će izgledati ovako: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Ako konstruirate četverokut u kojem su zbroji suprotnih strana međusobno jednaki, tada se u njega može upisati kružnica.

Nakon što smo shvatili što je četverokut, koje vrste postoje, koji od njih imaju samo prave kutove između stranica i koja svojstva imaju, vrijedno je zapamtiti sav ovaj materijal. Konkretno, formule za pronalaženje perimetra i površine razmatranih poligona. Uostalom, brojke ovog oblika su jedni od najčešćih, a ovo znanje može biti korisno za izračune u stvarnom životu.

Definicija. Paralelogram je četverokut čije su suprotne strane parno paralelne.

Vlasništvo. U paralelogramu su suprotne strane jednake, a suprotni kutovi jednaki.

Vlasništvo. Dijagonale paralelograma prepolovljene su točkom presjeka.

1 znak paralelograma. Ako su dvije strane četverokuta jednake i paralelne, onda je četverokut paralelogram.

2 znak paralelograma. Ako su suprotne strane četverokuta u paru jednake, onda je četverokut paralelogram.

3 znak paralelograma. Ako se u četverokutu dijagonale sijeku, a presjek je prepolovljen, onda je ovaj četverokut paralelogram.

Definicija. Trapez je četverokut u kojem su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne. Paralelne stranice nazivaju se razlozima.

Trapez se zove jednakokračan (jednakokračan) ako su mu stranice jednake. U jednakokračnom trapezu kutovi na bazama su jednaki.

pravokutan.

srednja linija trapeza. Srednja linija je paralelna s bazama i jednaka je njihovom poluzbroju.

Pravokutnik

Definicija.

Vlasništvo. Dijagonale pravokutnika su jednake.

Znak pravokutnika. Ako su dijagonale paralelograma jednake, onda je paralelogram pravokutnik.

Definicija.

Vlasništvo. Dijagonale romba međusobno su okomite i dijele njegove kutove na pola.

Definicija.

Kvadrat je posebna vrsta pravokutnika, a također i posebna vrsta romba. Stoga ima sva njihova svojstva.

Svojstva:
1. Svi kutovi kvadrata su pravi

Četverokutna sva pravila

Ključne riječi:
četverokut, konveksan, zbroj kutova, površina četverokuta

četverokut naziva se lik koji se sastoji od četiri točke i četiri segmenta koji ih povezuju u seriju. U tom slučaju tri od ovih točaka ne bi smjele ležati na jednoj ravnoj liniji, a segmenti koji ih povezuju ne bi se trebali sijeći.

• Zovu se vrhovi četverokuta susjedni ako su krajevi jedne njegove strane.
• Vrhovi koji nisu susjedi , pozvao suprotan .
• Zovu se segmenti koji spajaju suprotne vrhove četverokuta dijagonale .
• Stranice četverokuta koje potječu iz istog vrha nazivaju se susjedni stranke.
• Strane koje nemaju zajednički kraj nazivaju se suprotan stranke.
• Četverokut se zove konveksan , ako se nalazi u jednoj poluravnini u odnosu na ravnu liniju koja sadrži bilo koju od njegovih strana.

Vrste četverokuta

1. Paralelogram Četverokut s paralelnim suprotnim stranama
   • Pravokutnik paralelogram sa svim pravim kutovima
   • Romb - paralelogram sa svim stranama jednakim
   • Kvadrat - pravokutnik sa svim stranama jednakim
2. Trapez - četverokut u kojemu su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne
3. Deltoid Četverokut čija su dva para susjednih stranica jednaka

Četverokutnici

četverokut naziva se lik koji se sastoji od četiri točke i četiri segmenta koji ih povezuju u seriju. U ovom slučaju tri od ovih točaka ne leže na istoj pravoj liniji, a segmenti koji ih povezuju se ne sijeku.

suprotan. suprotan.

Vrste četverokuta

Paralelogram

Paralelogram naziva se četverokut čije su suprotne stranice parno paralelne.

Svojstva paralelograma

• suprotne strane su jednake;
• suprotni kutovi su jednaki;
• zbroj kvadrata dijagonala jednak je zbroju kvadrata svih strana:

Značajke paralelograma

TrapezČetverokut se naziva, u kojem su dvije suprotne stranice paralelne, a druge dvije nisu paralelne.

Paralelne stranice trapeza nazivaju se njegovim razlozima i neparalelne strane strane. Segment koji povezuje sredine stranica naziva se srednja linija.

Trapez se zove jednakokračan(ili jednakokračan) ako su mu stranice jednake.

Trapez s jednim pravim kutom naziva se pravokutan.

Svojstva trapeza

Znakovi trapeza

Pravokutnik

Pravokutnik Paralelogram se naziva ako su svi kutovi pravi kutovi.

Svojstva pravokutnika

Značajke pravokutnika

Paralelogram je pravokutnik ako:

1. Jedan od njegovih kutova je desni.
2. Njegove su dijagonale jednake.

Romb Paralelogram se naziva ako su sve strane jednake.

Svojstva romba

• sva svojstva paralelograma;
• dijagonale su okomite;

Znakovi romba

Kvadrat Pravokutnik se zove u kojem su sve strane jednake.

Kvadratna svojstva

• svi kutovi kvadrata su pravi;
• dijagonale kvadrata su jednake, međusobno okomite, sjecište je podijeljeno na pola, a kutovi kvadrata podijeljeni na pola.

Kvadratni znakovi

Osnovne formule

S=d 1 d 2 grijeh

Paralelogram
a i b- susjedne stranke; - kut između njih; h a - visina na stranu a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 grijeh

Trapez
a i b- tereni; h- udaljenost između njih; l- srednja linija .

Pravokutnik

S=d 1 d 2 grijeh

S = 2 grijeha

S=d 1 d 2

Kvadrat
d- dijagonala.

www.univer.omsk.su

Svojstva četverokuta. Vrste četverokuta. Svojstva proizvoljnih četverokuta. Svojstva paralelograma. Svojstva romba. Svojstva pravokutnika. Kvadratna svojstva. svojstva trapeza. Otprilike 7-9 razred (13-15 godina)

Svojstva četverokuta. Vrste četverokuta. Svojstva proizvoljnih četverokuta.
Svojstva paralelograma. Svojstva romba. Svojstva pravokutnika. Kvadratna svojstva. svojstva trapeza.

Vrste četverokuta:

• Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice paralelne

• Romb je paralelogram sa svim stranama jednakim.

• Pravokutnik je paralelogram sa svim pravim kutovima.

• Kvadrat je pravokutnik sa svim stranama jednakim.

Svojstva proizvoljnih četverokuta:

Svojstva paralelograma:

Svojstva romba:

Svojstva pravokutnika:

Svojstva kvadrata:

Svojstva trapeza:

Savjetovanje i tehničko
podrška stranicama: Zavarka tim

Četverokutna sva pravila

Neeuklidska geometrija, geometrija slična geometriji Euklid po tome što definira kretanje likova, ali se razlikuje od euklidske geometrije po tome što je jedan od njezinih pet postulata (drugi ili peti) zamijenjen njegovom negacijom. Poricanje jednog od euklidskih postulata (1825.) bio je značajan događaj u povijesti misli, jer je poslužio kao prvi korak prema teorija relativnosti.

Euklidov drugi postulat to kaže bilo koji segment se može produžiti unedogled. Euklid je očito vjerovao da ovaj postulat također sadrži izjavu da ravna crta ima beskonačnu duljinu. Međutim u "eliptičnoj" geometriji svaka ravna crta je konačna i, poput kružnice, zatvorena.

Peti postulat kaže da ako pravac siječe dvije zadane prave na način da su dva unutarnja kuta na jednoj njegovoj strani u zbroju manja od dva prava kuta, tada će se ta dva pravca, ako se neograničeno produžavaju, sijeći na strani gdje je zbroj tih kutova manji je od zbroja dva ravna pravca. Ali u "hiperboličnoj" geometriji može postojati pravac CB (vidi sliku), okomita u točki C na danu liniju r i koja siječe drugu liniju s pod oštrim kutom u točki B, ali, ipak, beskonačne linije r i s se nikada neće križati .

Iz ovih revidiranih postulata slijedi da je zbroj kutova trokuta, jednak 180° u euklidskoj geometriji, veći od 180° u eliptičkoj geometriji i manji od 180° u hiperboličnoj geometriji.

Četverokut

Četverokut je mnogokut koji sadrži četiri vrha i četiri strane.

Četverokut, geometrijski lik - poligon s četiri kuta, kao i bilo koji objekt, uređaj ovog oblika.

Zovu se dvije nesusjedne stranice četverokuta suprotan. Također se nazivaju dva vrha koja nisu susjedna suprotan.

Četverokuti su konveksni (kao ABCD) i
nekonveksan (A 1 B 1 C 1 D 1).

Vrste četverokuta

• Paralelogram- četverokut u kojemu su sve suprotne stranice paralelne;
• Pravokutnik- četverokut sa svim pravim kutovima;
• Romb- četverokut u kojem su sve stranice jednake;
• Kvadrat- četverokut u kojem su svi kutovi pravi i sve stranice jednake;
• Trapez- četverokut s dvije suprotne strane paralelne;
• DeltoidČetverokut čija su dva para susjednih stranica jednaka.

Paralelogram

Paralelogram je četverokut čije su suprotne strane parno paralelne.

Paralelogram (od grčkog parallelos - paralela i gramme - pravac), tj. leži na paralelnim crtama. Posebni slučajevi paralelograma su pravokutnik, kvadrat i romb.

• suprotne strane su jednake;
• suprotni kutovi su jednaki;
• dijagonale točke presjeka podijeljene su na pola;
• zbroj kutova susjednih jednoj strani je 180°;
• zbroj kvadrata dijagonala jednak je zbroju kvadrata svih strana.

Četverokut je paralelogram ako:

1. Dvije suprotne strane su mu jednake i paralelne.
2. Suprotne strane su jednake u parovima.
3. Suprotni kutovi su jednaki u paru.
4. Dijagonale točke presjeka podijeljene su na pola.

Pravokutnik

Pravokutnik je paralelogram sa svim pravim kutovima.

• suprotne strane su jednake;
• suprotni kutovi su jednaki;
• dijagonale točke presjeka podijeljene su na pola;
• zbroj kutova susjednih jednoj strani je 180°;
• dijagonale su jednake.

Paralelogram je pravokutnik ako:

1. Jedan od njegovih kutova je desni.
2. Njegove su dijagonale jednake.

Romb je paralelogram u kojem su sve strane jednake.

• suprotne strane su jednake;
• suprotni kutovi su jednaki;
• dijagonale točke presjeka podijeljene su na pola;
• zbroj kutova susjednih jednoj strani je 180°;
• zbroj kvadrata dijagonala jednak je zbroju kvadrata svih strana;
• dijagonale su okomite;
• dijagonale su simetrale njegovih kutova.

Paralelogram je romb ako:

1. Dvije susjedne strane su mu jednake.
2. Njegove su dijagonale okomite.
3. Jedna od dijagonala je simetrala njenog kuta.

Kvadrat je pravokutnik u kojem su sve strane jednake.

• svi kutovi kvadrata su pravi;
• dijagonale kvadrata su jednake, međusobno okomite, sjecište je podijeljeno na pola, a kutovi kvadrata podijeljeni na pola.

1. Pravokutnik je kvadrat ako ima neku karakteristiku romba.

Trapez je četverokut u kojem su dvije suprotne strane paralelne, a druge dvije nisu paralelne.

Paralelne stranice trapeza zovu se njegove baze, a neparalelne stranice nazivaju se njegove stranice. Segment koji povezuje središnje točke strana naziva se središnja linija.

Trapez se naziva jednakokračan (ili jednakokračan) ako su mu stranice jednake.

Trapez s jednim pravim kutom naziva se pravokutni trapez.

• njegova je srednja crta paralelna s bazama i jednaka njihovom poluzbroju;
• ako je trapez jednakokračan, tada su mu dijagonale jednake, a kutovi na bazi jednaki;
• ako je trapez jednakokračan, tada se oko njega može opisati kružnica;
• ako je zbroj baza jednak zbroju stranica, tada se u njega može upisati kružnica.

1. Četverokut je trapez ako mu paralelne stranice nisu jednake

DeltoidČetverokut s dva para stranica iste duljine. Za razliku od paralelograma, dva para susjednih stranica nisu jednaka, već dva para susjednih stranica. Deltoid je u obliku zmaja.

• Kutovi između stranica nejednake duljine su jednaki.
• Dijagonale deltoida (ili njihovih produžetaka) sijeku se pod pravim kutom.
• Krug se može upisati u bilo koji konveksni deltoid, osim ovoga, ako deltoid nije romb, postoji još jedna kružnica koja dodiruje produžetke sve četiri strane. Za nekonveksni deltoid može se konstruirati kružnica tangenta na dvije veće stranice i produžetke dviju manjih stranica, te kružnica tangenta na dvije manje stranice i produžetke dviju većih stranica.

• Ako je kut između nejednakih strana deltoida ravna crta, tada se u nju može upisati kružnica (opisani deltoid).
• Ako je par suprotnih strana deltoida jednak, onda je takav deltoid romb.
• Ako su par suprotnih strana i obje dijagonale deltoida jednake, tada je deltoid kvadrat. Upisani deltoid s jednakim dijagonalama također je kvadrat.

Pojava geometrije seže u antičko doba i bila je posljedica praktičnih potreba ljudske djelatnosti (potreba mjerenja zemljišta, mjerenja volumena raznih tijela itd.).

Najjednostavniji geometrijski podaci i pojmovi bili su poznati u starom Egiptu. Tijekom tog razdoblja, geometrijski iskazi su formulirani u obliku pravila danih bez dokaza.

Od 7. stoljeća pr e. do 1. stoljeća nove ere e. geometrija se kao znanost brzo razvijala u staroj Grčkoj. U tom razdoblju ne samo da se gomilaju različiti geometrijski podaci, već se razrađuje i metodologija dokazivanja geometrijskih tvrdnji, te prvi pokušaji formuliranja osnovnih primarnih odredbi (aksioma) geometrije, iz kojih su mnoge različite geometrijske tvrdnje. iskazi se izvode čisto logičkim zaključivanjem. Stupanj razvoja geometrije u staroj Grčkoj ogleda se u djelu Euklidovih "Početaka".

U ovoj se knjizi po prvi put pokušalo dati sustavnu konstrukciju planimetrije na temelju osnovnih nedefiniranih geometrijskih pojmova i aksioma (postulata).

Posebno mjesto u povijesti matematike zauzima peti Euklidov postulat (aksiom paralelnih pravaca). Matematičari su dugo vremena bezuspješno pokušavali izvesti peti postulat iz ostalih Euklidovih postulata, a tek sredinom 19. stoljeća, zahvaljujući studijama N. I. Lobačevskog, B. Riemanna i J. Boyaija, postalo je jasno da peti se postulat ne može izvesti iz ostatka, a sustav aksioma, koji je predložio Euklid, nije jedini mogući.

Euklidovi "Elementi" imali su ogroman utjecaj na razvoj matematike. Više od dvije tisuće godina ova knjiga nije bila samo udžbenik iz geometrije, već je služila i kao polazište za mnoge matematičke studije, uslijed kojih su nastale nove samostalne grane matematike.

Sustavna konstrukcija geometrije obično se provodi prema sljedećem planu:

ja Navedeni su glavni geometrijski pojmovi koji se uvode bez definicija.

II. Daje se formulacija aksioma geometrije.

III. Na temelju aksioma i osnovnih geometrijskih pojmova formuliraju se drugi geometrijski pojmovi i teoremi.

1. Podrijetlo naziva neeuklidska geometrija?
2. Koji se oblici nazivaju četverokuti?
3. Svojstva paralelograma?
4. Vrste četverokuta?

Popis korištenih izvora

1. A.G. Tsypkin. Priručnik iz matematike
2. “Jedinstveni državni ispit 2006. Matematika. Obrazovni materijali i materijali za obuku za pripremu učenika / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Rješavanje glavnih natjecateljskih problema u matematici zbirke koju je uredio M. I. Scanavi"

Rad na lekciji

Možete postaviti pitanje o modernom obrazovanju, izraziti ideju ili riješiti hitan problem na Obrazovni forum gdje se na međunarodnoj razini sastaje obrazovno vijeće svježe misli i djelovanja. Stvorivši blog, Ne samo da ćete poboljšati svoj status kompetentnog učitelja, već ćete dati i značajan doprinos razvoju škole budućnosti. Ceh voditelja obrazovanja otvara vrata vrhunskim stručnjacima i poziva vas na suradnju u smjeru stvaranja najboljih škola na svijetu.

Popularan:

• Članak 282. Poticanje mržnje ili neprijateljstva, kao i ponižavanje ljudskog dostojanstva
• Kalkulator poreza na imovinu Kako izračunati porez na imovinu Promijenjen je obrazac za obračun predujmova. Počevši od izvještaja za prvu polovicu 2017. godine, obračun poreza na imovinu […]
• Zakoni ekologije Za više od 100 godina sveobuhvatnog proučavanja populacija i zajednica nakupljena je ogromna količina činjenica. Među njima - veliki broj, koji odražava slučajne ili nepravilne pojave i procese. Ali ne […]
• Mogućnosti mirovinskog osiguranja u sustavu obveznog mirovinskog osiguranja Do kraja 2015. građani rođeni 1967. godine i mlađi mogli su birati hoće li nastaviti graditi mirovinu […]
• Naredba Ministarstva poljoprivrede 549 Registrirano u Ministarstvu pravosuđa Ruske Federacije 5. ožujka 2009. N 13476 MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE RUSKOG FEDERACIJE od 16. prosinca 2008. N 532 O ODOBRAVANJU KLASIFIKACIJE NACIONALNE KLASIFIKACIJE HRVATSKE I […]
• Povećanje mirovina za djecu s teškoćama u razvoju od 1. siječnja 2018. Mirovinsko osiguranje građana obveza je države. To je navedeno u kodeksu zakona zemlje - u Ustavu. Među invalidima koji trebaju […]
• Pravilo internog reda JSC RŽD JSC "RUSKE ŽELJEZNICE" NAREDBA od 26. srpnja 2012. N 87 O ODOBRAVANJU PROPISA UNUTARNJEG PRAVILA RADA REGIONALNIH SLUŽBI (ODJELA) RAZVOJA PUTNIČKIH I PUTNIČKIH […]
• Zakon 3 stupnja comtea Pozitivizam kao filozofski pokret polazi od ideje da se najveći dio znanja o svijetu, čovjeku i društvu stječe u posebnim znanostima, da "pozitivna" znanost treba napustiti pokušaje […]

Sa četiri ugla i četiri strane. Četverokut tvori zatvorena policrta, koja se sastoji od četiri karike, i onog dijela ravnine koji se nalazi unutar polilinije.

Oznaku četverokuta čine slova na njegovim vrhovima, imenujući ih redom. Na primjer, kažu ili pišu: četverokut ABCD :

U četverokutu ABCD bodova A, B, C i D- Ovo četverokutnih vrhova, segmenti AB, PRIJE KRISTA, CD i DA - strane.

Vrhovi koji pripadaju istoj strani nazivaju se susjedni, vrhovi koji nisu susjedni se nazivaju suprotan:

U četverokutu ABCD vrhovima A i B, B i C, C i D, D i A su susjedni, a vrhovi A i C, B i D- suprotno. Kutovi koji leže na susjednim vrhovima također se nazivaju susjednim, a na suprotnim vrhovima - suprotnim.

Stranice četverokuta također se mogu podijeliti u parovima na susjedne i suprotne stranice: stranice koje imaju zajednički vrh nazivaju se susjedni(ili povezane), stranice koje nemaju zajedničke vrhove - suprotan:

Zabave AB i PRIJE KRISTA, PRIJE KRISTA i CD, CD i DA, DA i AB su susjedni, a strane AB i DC, OGLAS i PRIJE KRISTA- suprotno.

Ako su suprotni vrhovi povezani segmentom, tada će se takav segment zvati dijagonala četverokuta. Uzimajući u obzir da postoje samo dva para suprotnih vrhova u četverokutu, tada mogu postojati samo dvije dijagonale:

Segmenti AC i BD- dijagonale.

Razmotrimo glavne vrste konveksnih četverokuta:

• Trapez- četverokut u kojem je jedan par suprotnih stranica međusobno paralelan, a drugi par nije paralelan.
  • Jednakokraki trapez- trapez čije su stranice jednake.
  • Pravokutni trapez Trapez s jednim od pravih kutova.
• ParalelogramČetverokut u kojem su oba para suprotnih stranica međusobno paralelna.
  • Pravokutnik Paralelogram u kojem su svi kutovi jednaki.
  • Romb Paralelogram čije su sve strane jednake.
  • Kvadrat Paralelogram s jednakim stranicama i kutovima. I pravokutnik i romb mogu biti kvadrat.

Svojstva kuta konveksnih četverokuta

Svi konveksni četverokuti imaju sljedeća dva svojstva:

1. Svaki unutarnji kut manji od 180°.
2. Zbroj unutarnjih kutova je 360°.

Tema lekcije

• Definicija četverokuta.

Ciljevi lekcije

• Obrazovno - ponavljanje, generalizacija i provjera znanja na temu: “Četverokut”; razvoj osnovnih vještina.
• Razvijanje – razvijati pažnju učenika, ustrajnost, ustrajnost, logičko mišljenje, matematički govor.
• Odgojno - kroz nastavu njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja suboraca, međusobnog pomaganja, neovisnosti.

Ciljevi lekcije

• Formirati vještine građenja četverokuta pomoću skale i trokuta za crtanje.
• Provjerite sposobnost učenika da rješavaju probleme.

Plan učenja

1. Referenca za povijest. Neeuklidska geometrija.
2. Četverokut.
3. Vrste četverokuta.

Neeuklidska geometrija

Neeuklidska geometrija, geometrija slična geometriji Euklid po tome što definira kretanje likova, ali se razlikuje od euklidske geometrije po tome što je jedan od njezinih pet postulata (drugi ili peti) zamijenjen njegovom negacijom. Poricanje jednog od euklidskih postulata (1825.) bio je značajan događaj u povijesti misli, jer je poslužio kao prvi korak prema teorija relativnosti.

Euklidov drugi postulat to kaže bilo koji segment se može produžiti unedogled. Euklid je očito vjerovao da ovaj postulat također sadrži izjavu da ravna crta ima beskonačnu duljinu. Međutim u "eliptičnoj" geometriji svaka ravna crta je konačna i, poput kružnice, zatvorena.

Peti postulat kaže da ako pravac siječe dvije zadane prave na način da su dva unutarnja kuta na jednoj njegovoj strani u zbroju manja od dva prava kuta, tada će se ta dva pravca, ako se neograničeno produžavaju, sijeći na strani gdje je zbroj tih kutova manji je od zbroja dva ravna pravca. Ali u "hiperboličnoj" geometriji može postojati pravac CB (vidi sliku), okomita u točki C na danu liniju r i koja siječe drugu liniju s pod oštrim kutom u točki B, ali, ipak, beskonačne linije r i s se nikada neće križati .

Iz ovih revidiranih postulata slijedi da je zbroj kutova trokuta, jednak 180° u euklidskoj geometriji, veći od 180° u eliptičkoj geometriji i manji od 180° u hiperboličnoj geometriji.

Četverokut

Predmeti > Matematika > Matematika 8. razred

Konveksni četverokut je lik koji se sastoji od četiri strane povezane jedna s drugom u vrhovima, tvoreći zajedno sa stranicama četiri kuta, dok je sam četverokut uvijek u istoj ravnini u odnosu na ravnu liniju na kojoj leži jedna od njegovih stranica. Drugim riječima, cijela se figura nalazi na jednoj strani bilo koje svoje strane.

U kontaktu s

Kao što vidite, definiciju je prilično lako zapamtiti.

Osnovna svojstva i vrste

Gotovo sve nam poznate figure, koje se sastoje od četiri kuta i stranica, mogu se pripisati konveksnim četverokutima. Može se razlikovati sljedeće:

1. paralelogram;
2. kvadrat;
3. pravokutnik;
4. trapez;
5. romb.

Sve ove figure objedinjuje ne samo činjenica da su četverokutne, već i činjenica da su i konveksne. Pogledajte samo dijagram:

Na slici je prikazan konveksni trapez. Ovdje možete vidjeti da je trapez u istoj ravnini ili na jednoj strani segmenta. Ako izvršite slične radnje, možete saznati da je u slučaju svih ostalih strana trapez konveksan.

Je li paralelogram konveksan četverokut?

Iznad je slika paralelograma. Kao što se može vidjeti iz slike, paralelogram je također konveksan. Ako pogledate sliku s obzirom na pravce na kojima leže segmenti AB, BC, CD i AD, postaje jasno da je od ovih pravaca uvijek u istoj ravnini. Glavne značajke paralelograma su da su njegove stranice u paru paralelne i jednake na isti način kao što su suprotni kutovi međusobno jednaki.

Sada zamislite kvadrat ili pravokutnik. Po svojim glavnim svojstvima oni su također paralelogrami, odnosno sve su im stranice raspoređene u paru paralelno. Samo u slučaju pravokutnika duljina stranica može biti različita, a kutovi su pravi (jednaki 90 stupnjeva), kvadrat je pravokutnik u kojem su sve stranice jednake i kutovi također pravi, dok su duljine stranice i kutovi paralelograma mogu biti različiti.

Kao rezultat, zbroj sva četiri ugla četverokuta mora biti jednak 360 stupnjeva. Najlakši način da to odredite je pravokutnikom: sva četiri kuta pravokutnika su prava, odnosno jednaka 90 stupnjeva. Zbroj ovih kutova od 90 stupnjeva daje 360 ​​stupnjeva, drugim riječima, ako zbrojite 90 stupnjeva 4 puta, dobit ćete željeni rezultat.

Svojstvo dijagonala konveksnog četverokuta

Dijagonale konveksnog četverokuta sijeku se. Doista, ovaj se fenomen može promatrati vizualno, samo pogledajte sliku:

Slika s lijeve strane prikazuje nekonveksni četverokut ili četverokut. Kako želiš. Kao što vidite, dijagonale se ne sijeku, barem ne sve. S desne strane je konveksni četverokut. Ovdje je već uočeno svojstvo dijagonala da se sijeku. Isto svojstvo može se smatrati znakom konveksnosti četverokuta.

Ostala svojstva i znakovi konveksnosti četverokuta

Naime, prema ovom pojmu vrlo je teško imenovati neka specifična svojstva i značajke. Lakše je izolirati prema različitim vrstama četverokuta ove vrste. Možete početi s paralelogramom. Već znamo da je ovo četverokutni lik čije su stranice parno paralelne i jednake. Istodobno, ovdje je uključeno i svojstvo dijagonala paralelograma da se sijeku jedna s drugom, kao i znak konveksnosti samog lika: paralelogram je uvijek u istoj ravnini i s jedne strane relativan na bilo koju njegovu stranu.

Tako, poznate su glavne karakteristike i svojstva:

1. zbroj kutova četverokuta je 360 ​​stupnjeva;
2. dijagonale likova sijeku se u jednoj točki.

Pravokutnik. Ova figura ima ista svojstva i značajke kao i paralelogram, ali su svi njezini kutovi jednaki 90 stupnjeva. Otuda i naziv, pravokutnik.

Kvadrat, isti paralelogram, ali su mu kutovi pravi, poput pravokutnika. Zbog toga se kvadrat rijetko naziva pravokutnikom. No, glavna razlikovna značajka kvadrata, osim onih već navedenih, jest da su sve četiri njegove strane jednake.

Trapez je vrlo zanimljiva figura.. Ovo je također četverokut i također konveksan. U ovom je članku već razmatran trapez na primjeru crteža. Jasno je da je i ona konveksna. Glavna razlika i, sukladno tome, znak trapeza je da njegove strane ne mogu biti apsolutno jednake jedna drugoj po duljini, kao ni po vrijednostima njegovih kutova. U tom slučaju lik uvijek ostaje u istoj ravnini s obzirom na bilo koju od ravnih linija koje spajaju bilo koja dva njegova vrha duž segmenata koji tvore lik.

Romb je jednako zanimljiva figura. Djelomično se romb može smatrati kvadratom. Znak romba je činjenica da se njegove dijagonale ne samo sijeku, već i dijele kutove romba na pola, a same dijagonale sijeku se pod pravim kutom, odnosno okomite su. Ako su duljine stranica romba jednake, tada su i dijagonale podijeljene na pola na sjecištu.

Deltoidi ili konveksni romboidi (rombovi) mogu imati različite duljine stranica. Ali istodobno su i dalje sačuvana i glavna svojstva i značajke samog romba i značajke i svojstva konveksnosti. To jest, možemo primijetiti da dijagonale sijeku kutove i sijeku pod pravim kutom.

Današnji zadatak bio je razmotriti i razumjeti što su konveksni četverokuti, što su i njihova glavna obilježja i svojstva. Pažnja! Vrijedno je još jednom podsjetiti da je zbroj kutova konveksnog četverokuta 360 stupnjeva. Opseg figura, na primjer, jednak je zbroju duljina svih segmenata koji tvore lik. Formule za izračunavanje perimetra i površine četverokuta bit će obrađene u sljedećim člancima.

Vrste konveksnih četverokuta