Silt: trigonomeetriline Fourier seeria. Suurenenud keerukusega arvrida Pöördtrigonomeetriaga seeriad
Trigonomeetrilised jadad Definitsioon. Piiramata hulgal D määratletud funktsiooni /(x) nimetatakse perioodiliseks, kui on olemas arv T ↦ 0, nii et tingimus on täidetud iga x.€ D korral. Väiksemat neist arvudest T nimetatakse funktsiooni f(x) perioodiks. Näide 1. Intervallil defineeritud funktsioon on perioodiline, kuna on olemas arv T = 2* f O, mille tingimus on täidetud kõigi x-ide korral. Seega on funktsiooni sin x periood T = 2x. Sama kehtib ka funktsiooni kohta Näide 2. Arvude hulgal D defineeritud funktsioon on perioodiline, kuna on olemas arv T f 0, nimelt T = selline, et x 6 D korral on meil Definitsioon. Vormi funktsionaalsed jada ao FOURIER SERIES Trigonomeetriline jada Trigonomeetrilise süsteemi ortogonomeetriline süsteem Trigonomeetriline Fourier jada ). Trigonomeetrilise jada (1) osasummad Sp(x) on funktsioonide lineaarsed kombinatsioonid funktsioonide süsteemist, mida nimetatakse trigonomeetriliseks süsteemiks. Kuna selle rea liikmed on perioodilised funktsioonid perioodiga 2n-, siis rea (I) konvergentsi korral on selle summa S(x) perioodiline funktsioon perioodiga T = 2m: Definitsioon . Perioodilise funktsiooni f(x) perioodiga T = 2n laiendamine trigonomeetriliseks jadaks (1) tähendab konvergentse trigonomeetrilise jada leidmist, mille summa on võrdne funktsiooniga /(x). . Trigonomeetrilise süsteemi ortogonaalsus Definitsioon. Funktsioone f(x) ja g(x), mis on pidevad lõigul [a, 6], nimetatakse selle lõigu ortogonaalseteks, kui tingimus on täidetud. Näiteks funktsioonid on lõigul [-1,1] ortogonaalsed, alates Definitsioonist. Lõplikku või lõpmatut intervalliga [a, b] integreeritavat funktsioonide süsteemi nimetatakse intervalli [a, 6) ortogonaalsüsteemiks, kui suvaliste arvude korral on meil üldiselt p Ф О Kasutades tuntud trigonomeetria valemeid mis tahes naturaalarvu m ja n, m Ф n korral leiame: Lõpuks saame mis tahes täisarvu tüübi valemi alusel trigonomeetrilise Fourier' jada. 2. Kehtib võrdsus kõigi x väärtuste ja seeria jaoks võrdsuse paremal poolel koondub ühtlaselt intervallile [-zr, x]. Siis kehtivad valemid.Rea (1) ühtlane konvergents eeldab pidevust ja sellest tulenevalt funktsiooni f(x) integreeritavust. Seetõttu on võrdsused (2) mõistlikud. Lisaks saab seeriat (1) integreerida termini kaupa. Meil on kust ja järgneb esimene valemitest (2), kui n = 0. Nüüd korrutame mõlemad võrdsuse (1) osad funktsiooniga cos mi, kus m on suvaline naturaalarv: seeria (3), nagu seeria (1) ), koondub ühtlaselt. Seetõttu saab seda integreerida termini kaupa.Kõik paremal pool olevad integraalid, välja arvatud üks, mis saadakse n = m juures, on trigonomeetrilise süsteemi ortogonaalsuse tõttu võrdsed nulliga. Seega, korrutades võrdsuse (1) mõlemad pooled sinmx-ga ja integreerides -r-st m-ni, saame Kas seda saab esitada mõne konvergentse trigonomeetrilise jada summana, pole ette teada. Valemeid (2) saab aga kasutada konstantide an ja bn arvutamiseks. Definitsioon. Trigonomeetrilised jadad, mille koefitsiendid oq, an, bn määratakse funktsiooni f(x) kaudu valemitega FOURIER SERIA Trigonomeetriline jada Trigonomeetrilise süsteemi ortogonaalsus Trigonomeetriline Fourier' jada Piisavaid tingimusi funktsiooni laiendamiseks Fourier' jadaks nimetatakse trigonomeetriliseks Fourier'ks. funktsiooni f(x) seeriaid ja nende valemitega määratud kordajaid a„ , bnt nimetatakse funktsiooni f(x) Fourier' kordajateks. Iga intervalliga [-m, -k] integreeritavat funktsiooni f(x) saab seostada selle Fourier' seeriaga, st. trigonomeetrilised jadad, mille koefitsiendid määratakse valemitega (2). Kui aga funktsioonilt f(x) ei nõuta midagi peale lõimitavuse intervallil [--n*, r], siis ei saa viimases seoses olevat vastavusmärki üldiselt võrdusmärgiga asendada. kommenteerida. Sageli on vaja funktsiooni f(x) laiendada trigonomeetriliseks jadaks, mis on defineeritud ainult segmendil (-*, n\ ja seetõttu ei ole perioodiline. funktsioone saab kirjutada ka trigonomeetrilisteks Fourier' jadadeks.Kui aga jätkame funktsiooni f (x) perioodiliselt kogu teljel Ox, siis saame funktsiooni F (x), perioodilise perioodiga 2n, mis langeb kokku / (x) intervallil (-ir, k): See funktsioon F(x) nimetatakse f(x) perioodiliseks laienemiseks ja funktsioonil F(x) ei ole punktides x = ±n, ±3r, ±5r, ... unikaalset definitsiooni. Seeria Fourier funktsiooni F(x) jada on identne funktsiooni f(x) Fourier' jadaga. Lisaks, kui funktsiooni f(x) Fourier' jada koondub sellele, siis selle summa, olles perioodiline funktsioon, annab funktsiooni f(x) perioodiline jätk lõigust |-jt, n\ kogu teljele Ox. Selles mõttes on segmendil (-i-, jt|) määratletud funktsiooni f(x) Fourier' seeriast rääkimine samaväärne funktsiooni F(x) Fourier' seeriast rääkimisega, mis on funktsiooni F(x) perioodiline jätk. funktsioon f(x) tervikule 4. Piisavad tingimused funktsiooni laiendamiseks Fourier' jadaks Esitame Fourier' jada konvergentsi jaoks piisava kriteeriumi ehk Fourier' jada koondub ja saame teada, kuidas Selle rea summa käitub sel juhul.Oluline on rõhutada, et kuigi allpool toodud tükkhaaval monotoonsete funktsioonide klass on üsna lai, ei ammenda see funktsioone, mille jaoks Fourier' jada koondub. Definitsioon. Funktsioon f( x) nimetatakse lõigul [a, 6] tükikaupa monotoonseks, kui selle lõigu saab jagada lõpliku arvu punktidega intervallideks, millest igaühel on f(x) monotoonne, st kas ei vähene või ei suurene (vt joonis fig. ... üks). Näide 1. Funktsioon on intervallil (-oo, oo) tükkhaaval monotoonne, kuna selle intervalli saab jagada kaheks intervalliks (-syu, 0) ja (0, + oo), millest esimesel see väheneb (ja seega ei suurene, vaid suureneb teisel (ja seetõttu ei vähene). Näide 2. Funktsioon on lõigul [-zg, jt| tükkhaaval monotoonne, kuna selle lõigu saab jagada kaheks intervalliks, millest esimesel suureneb cos i väärtuselt -I väärtusele +1 ja teisel väheneb. Teoreem 3. Funktsioonil f(x), mis on tükkhaaval monotoonne ja mis on piiratud lõiguga (a, b], võib sellel olla ainult esimest tüüpi katkestuspunkte. Olgu näiteks funktsiooni f(x) katkestuspunkt Seejärel on piirifunktsiooni f(x) ja monotoonsuse tõttu punkti c mõlemal küljel lõplikud ühepoolsed piirid. See tähendab, et punkt c on esimest tüüpi katkestuspunkt (joonis 2). on piiratud lõiguga [-m, m), siis selle Fourier' jada koondub selle lõigu igas punktis x ja selle jada summa rahuldab võrdusi: Perioodi 2jt funktsioon /(z), mis on defineeritud intervallil (-*,*) võrrandiga (joonis 3), täidab teoreemi tingimused. Seetõttu saab seda Fourier-seerias laiendada. Leiame selle jaoks Fourier' koefitsiendid: Selle funktsiooni Fourier' jada on kujul Näide 4. Laiendage funktsioon Fourier' jadaks (joonis 4) intervallil See funktsioon vastab teoreemi tingimustele. Leiame Fourier' koefitsiendid. Kasutades kindla integraali liitvusomadust, saame FOURIER' SERIA Trigonomeetriline jada Trigonomeetrilise süsteemi ortogonaalsus Trigonomeetriline Fourier' jada Piisavad tingimused funktsiooni laiendamiseks Fourier' jadaks Seetõttu on Fourier' jada järgmine kuju: segment (-i, ir], st st punktides x = -x ja x = x, mis on esimest tüüpi katkestuspunktid, on meil märkus. Kui paneme leitud Fourier' jadasse x = 0, siis saame selle, kust
Näitame, et peaaegu iga perioodilist funktsiooni saab nn trigonomeetrilisi jada kasutades kujutada jaana, mille liikmed on lihtsad harmoonilised.
Definitsioon. Trigonomeetriline jada on vormi funktsionaalne jada
kus on tegelikud numbrid a 0 , a n , b n nimetatakse seeria koefitsientideks.
Sarja vaba termin kirjutatakse vormile hiljem saadud valemite ühtsuse huvides.
Käsitleda tuleb kahte küsimust:
1) Millistel tingimustel funktsioon töötab f(x) perioodiga 2π saab laiendada reas (5.2.1)?
2) Kuidas koefitsiente arvutada a 0 ,… a n , b n ?
Alustame teise küsimusega. Laske funktsioonil f(x) on intervallil pidev ja sellel on periood T = 2π. Järgnevalt esitame valemid, mida vajame.
Mis tahes täisarvu puhul, kuna funktsioon on paaris.
Iga terviku jaoks.
(m ja n täisarvud)
Kell ( m ja n täisarvud) iga integraal (III, IV, V) teisendatakse integraalide (I) või (II) summaks. Kui , siis valemis (IV) saame:
Võrdsus (V) on tõestatud sarnaselt.
Oletame nüüd, et funktsioon osutus selliseks, et selle jaoks leiti laiendus koonduvaks Fourier' jadaks, st
(Pange tähele, et summeerimine ületab indeksi n).
Kui seeria läheneb, märkige selle summa S(x).
Tähtajaline integreerimine (õigustatud, kuna eeldatakse, et seeria konvergents) vahemikus alates kuni annab
kuna kõik liikmed peale esimese on võrdsed nulliga (relatsioonid I, II). Siit leiame
(5.2.2) korrutamine ( m=1,2,…) ja integreerides termini kaupa vahemikus alates kuni , leiame koefitsiendi a n.
Võrdsuse paremal küljel on kõik liikmed, välja arvatud üks, võrdsed nulliga m = n(suhted IV, V), Siit saame
(5.2.2) korrutamine ( m\u003d 1,2, ...) ja integreerides terminite kaupa vahemikus alates kuni , leiame samamoodi koefitsiendi b n
Valemitega (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) määratud väärtusi nimetatakse Fourier' koefitsientideks ja trigonomeetrilisi seeriaid (5.2.2) on antud funktsiooni Fourier' jada f(x).
Niisiis, saime funktsiooni lagunemise f(x) Fourier' seerias
Pöördume tagasi esimese küsimuse juurde ja uurime, millised omadused sellel funktsioonil peaksid olema f(x), nii et konstrueeritud Fourier' jada on konvergentne ja seeriate summa oleks täpselt võrdne f(x).
Definitsioon. Funktsiooni f(x) nimetatakse jupikaupa pidevaks, kui see on pidev või sellel on piiratud arv esimest tüüpi katkestuspunkte.
Definitsioon. Funktsioon f(x), segmendil antud nimetatakse tükkhaaval monotoonne, kui lõigu saab jagada punktide kaupa lõplikuks arvuks intervallideks, millest igaühes muutub funktsioon monotoonselt (kasvab või väheneb).
Vaatleme funktsioone f(x), millel on periood T = 2π. Selliseid funktsioone nimetatakse 2π- perioodiline.
Sõnastame teoreemi, mis esindab funktsiooni Fourier' jadaks laiendamise piisavat tingimust.
Dirichlet’ teoreem(nõustu ilma tõendita) . Kui a 2π- perioodiline funktsioon f(x) lõigul on tükkhaaval pidev ja tükkhaaval monotoonne, siis funktsioonile vastav Fourier' jada koondub sellele lõigule ja sel juhul:
1. Funktsiooni pidevuspunktides langeb jada summa kokku funktsiooni endaga S(x)=f(x);
2. Igas punktis x 0 funktsiooni katkestus f(x) seeria summa on ,
need. punktist vasakul ja paremal asuva funktsiooni piiride aritmeetiline keskmine x 0 ;
3. Punktides (lõigu otstes) on Fourier' rea summa ,
need. funktsiooni piirväärtuste aritmeetiline keskmine segmendi otstes, kui argument kaldub nendesse punktidesse intervalli seestpoolt.
Märkus: kui funktsioon f(x) perioodiga 2π on pidev ja diferentseeruv kogu intervalli ulatuses ning selle väärtused intervalli otstes on võrdsed, st perioodilisuse tõttu on see funktsioon pidev kogu reaalteljel ja mis tahes X selle Fourier-rea summa on sama, mis f(x).
Seega, kui intervalliga integreeritav funktsioon f(x) rahuldab Dirichlet' teoreemi tingimusi, siis toimub võrdsus intervallil (laiendus Fourier' reas):
Koefitsiendid arvutatakse valemitega (5.2.3) - (5.2.5).
Dirichleti tingimused on täidetud enamiku matemaatikas ja selle rakendustes esinevate funktsioonidega.
Funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks kasutatakse Fourier-seeriaid, nagu ka võimsusrida. Kui funktsiooni laiendamine f(x) toimub trigonomeetrilisse jada, siis saab alati kasutada ligikaudset võrdsust , asendades selle funktsiooni mitme harmoonilise summaga, st. osaline summa (2 n+1) Fourier' seeria tähtaeg.
Trigonomeetrilisi seeriaid kasutatakse laialdaselt elektrotehnikas, nende abiga lahendatakse palju matemaatilise füüsika probleeme.
Laiendage Fourier' reas funktsiooni perioodiga 2π, mis on antud intervallil (-π; π).
Otsus. Leidke Fourier' seeria koefitsiendid:
Funktsiooni laienduse saime Fourier-seerias
Järjepidevuspunktides on Fourier' jada summa võrdne funktsiooni väärtusega f(x)=S(x), punktis x = 0 S(x) = 1/2, punktides x=π,2π,… S(x)=1/2.
Paljudel juhtudel saab vormi (C) jadade kordajaid uurides kindlaks teha, et need jadad koonduvad (võib-olla üksikud punktid välja arvatud) ja on nende summade osas Fourier' jadad (vt näiteks eelmist nr. ), kuid kõigil neil juhtudel tekib loomulikult küsimus
kuidas leida nende seeriate summasid või täpsemalt väljendada neid lõppkujul elementaarfunktsioonide osas, kui neid sellisel kujul üldse väljendatakse. Isegi Euler (ja ka Lagrange) kasutas trigonomeetriliste jadade lõplikul kujul kokkuvõtmiseks edukalt keeruka muutuja analüütilisi funktsioone. Euleri meetodi idee on järgmine.
Oletame, et teatud koefitsientide komplekti korral koonduvad jada (C) ja funktsioonidele kõikjal vahemikus, jättes välja ainult üksikud punktid. Vaatleme nüüd samade koefitsientidega astmerida, mis on paigutatud kompleksmuutuja astmetesse
Ühikringi ümbermõõdul, st punktis , läheneb see seeria eeldusel, et üksikud punktid välja jäetud:
Sel juhul koondub seeria (5) astmeridade üldtuntud omaduse kohaselt kindlasti ühikringi sisse, defineerides seal kompleksmuutuja teatud funktsiooni. Kasutades meile tuntud [vt. XII peatüki § 5] kompleksmuutuja elementaarfunktsioonide laiendamise kohta, on sageli võimalik funktsioon neile taandada. Siis on meil:
ja Aabeli teoreemi järgi, niipea kui seeria (6) läheneb, saadakse selle summa piirväärtusena
Tavaliselt on see piirmäär lihtsalt võrdne, mis võimaldab arvutada funktsiooni lõplikul kujul
Olgu näiteks seeria
Eelmises lõigus tõestatud väited viivad järeldusele, et mõlemad seeriad koonduvad (esimene, välja arvatud punktid 0 ja
toimivad Fourier' seeriatena nende määratletud funktsioonide jaoks. Aga mis need funktsioonid on? Sellele küsimusele vastamiseks koostame sarja
Sarnasuse järgi logaritmilise seeriaga on selle summa hõlpsasti tuvastatav:
seega,
Nüüd annab lihtne arvutus:
nii et selle avaldise moodul on , ja argument on .
ja seega lõpuks
Need tulemused on meile tuttavad ja isegi kunagi saadi "keeruliste" kaalutluste abil; kuid esimesel juhul alustasime funktsioonidest ja, teisel - analüütilisest funktsioonist. Siin oli esimest korda lähtepunktiks seeria ise. Selliseid näiteid leiab lugeja järgmisest jaotisest.
Rõhutame veel kord, et konvergentsi ja jada (C) eel peab olema kindel ning selleks, et oleks õigus määrata nende summad piirava võrdsuse (7) abil. Ainuüksi piiri olemasolu selle võrdsuse paremal poolel ei võimalda veel järeldada, et mainitud jadad koonduvad. Selle näitega näitamiseks kaaluge seeriat
Mitme kaare koosinuste ja siinuste, st vormi jada järgi
või keerulisel kujul
kus a k,b k või vastavalt c k helistas koefitsiendid T. r.
Esimest korda T. r. kohtuma L. Euleri juures (L. Euler, 1744). Ta sai laiendusi
Kõik R. 18. sajand Seoses stringi vaba vibratsiooni probleemi uurimisega kerkis üles küsimus võimalusest esitada stringi algpositsiooni iseloomustavat funktsiooni T. r summana. See küsimus tekitas mitu aastakümmet kestnud tulise arutelu, tolle aja parimad analüütikud - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler). Funktsiooni mõiste sisuga seotud vaidlused. Sel ajal seostati funktsioone tavaliselt nende analüütikaga. määramine, mis viis ainult analüütiliste või osade kaupa analüütiliste funktsioonide kaalumiseni. Ja siin tuli vajalikuks, et funktsioon, mille graafik on piisavalt meelevaldne, konstrueeriks seda funktsiooni esindava T. r. Kuid nende vaidluste tähtsus on suurem. Tegelikult arutati või tekkisid need seoses küsimustega, mis on seotud paljude matemaatika põhimõtteliselt oluliste mõistete ja ideedega. analüüs üldiselt - funktsioonide esitus Taylori seeria järgi ja analüütiline. funktsioonide jätkamine, lahknevate ridade kasutamine, piirid, lõpmatud võrrandisüsteemid, funktsioonid polünoomide järgi jne.
Ja edaspidi, nagu selles esialgses, on teooria T. r. oli matemaatika uute ideede allikas. Fourier' integraal, peaaegu perioodilised funktsioonid, üldine ortogonaalne jada, abstraktne . Uurimusi T. jõe kohta. oli hulgateooria loomise lähtepunktiks. T. r. on võimas tööriist funktsioonide esitamiseks ja uurimiseks.
Küsimuse, mis 18. sajandil matemaatikute seas vaidlusi põhjustas, lahendas 1807. aastal J. Fourier, kes tõi välja valemid T. r koefitsientide arvutamiseks. (1), mis peab. esindavad funktsioonil f(x):
ja rakendas neid soojusjuhtivusprobleemide lahendamisel. Valemeid (2) nimetatakse Fourier' valemiteks, kuigi nendega puutus varem kokku A. Clairaut (1754) ja L. Euler (1777) jõudis nendeni terminipõhise integratsiooni abil. T. r. (1), mille koefitsiendid määratakse valemitega (2), nn. Fourier funktsiooni f lähedal ja arvud a k , b k- Fourier koefitsiendid.
Saadud tulemuste olemus oleneb sellest, kuidas mõistetakse funktsiooni esitust reana, kuidas mõistetakse integraali valemites (2). T. jõe kaasaegne teooria. omandatud pärast Lebesgue'i integraali ilmumist.
Teooria T. r. võib tinglikult jagada kaheks suureks osaks – teooriaks Fourier seeria, milles eeldatakse, et jada (1) on teatud funktsiooni Fourier' jada ja üldise T. R. teooria, kus sellist eeldust ei tehta. Allpool on toodud peamised tulemused, mis on saadud üldise T. r. (sel juhul mõistetakse hulkasid ja funktsioonide mõõdetavust Lebesgue järgi).
Esimene süstemaatiline uurimistöö T. r., milles ei eeldatud, et need seeriad on Fourier' seeriad, oli V. Riemanni väitekiri (V. Riemann, 1853). Seetõttu on teooria üldise T. r. helistas mõnikord Riemanni termodünaamika teooria.
Suvalise T. r omaduste uurimiseks. (1) nullile kalduvate koefitsientidega B. Riemann käsitles pidevat funktsiooni F(x) ,
mis on ühtlaselt koonduva jada summa
saadud pärast seeriate (1) kahekordset perioodide kaupa integreerimist. Kui jada (1) läheneb mingis punktis x arvule s, siis selles punktis eksisteerib teine sümmeetria ja võrdub s-ga. F-funktsioonid:
siis see viib tegurite poolt genereeritud seeria (1) liitmiseni 
helistas Riemanni summeerimismeetodil. Funktsiooni F abil formuleeritakse Riemanni lokaliseerimisprintsiip, mille kohaselt jada (1) käitumine punktis x sõltub ainult funktsiooni F käitumisest selle punkti suvaliselt väikeses naabruses.
Kui T. r. koondub positiivsete mõõtmete hulgale, siis kipuvad selle koefitsiendid olema nulli (Cantor-Lebesgue). Kalduvus nullkoefitsientidele T. r. tuleneb ka selle lähenemisest teise kategooria hulgale (W. Young, W. Young, 1909).
Üldtermodünaamika teooria üks keskseid probleeme on suvalise funktsiooni esitamise probleem T. r. Tugevdades N. N. Luzini (1915) tulemusi T. R. funktsioonide esitamisel Abel-Poissoni ja Riemanni liidetavate meetoditega, tõestas D. E. Men'shov (1940) järgmise teoreemi, mis viitab kõige olulisemale juhtumile, kui funktsiooni f esitus. all mõistetakse T. r. juurde f(x) peaaegu kõikjal. Iga peaaegu kõikjal mõõdetava ja lõpliku funktsiooni f jaoks on olemas T. R., mis läheneb sellele peaaegu kõikjal (Men'shovi teoreem). Tuleb märkida, et isegi kui f on integreeritav, siis üldiselt ei saa funktsiooni f Fourier' seeriat sellise jaana võtta, kuna on Fourier' jadasid, mis lahknevad kõikjal.
Ülaltoodud Men'shovi teoreem lubab järgmist täpsustust: kui funktsioon f on mõõdetav ja lõplik peaaegu kõikjal, siis on olemas selline, 
peaaegu kõikjal ja funktsiooni j terminite haaval diferentseeritud Fourier' jada koondub peaaegu kõikjal f(x)-le (N. K. Bari, 1952).
Ei ole teada (1984), kas funktsiooni f lõplikkuse tingimust on Men'shovi teoreemis peaaegu kõikjal võimalik välja jätta. Eelkõige pole teada (1984), kas T. r. lähenevad peaaegu kõikjale
Seetõttu käsitleti positiivsete mõõtmete komplektil lõpmatuid väärtusi omandavate funktsioonide esitamise probleemi juhul, kui see asendatakse nõrgema nõudega - . Mõõtmete lähenemine funktsioonidele, mis võivad omandada lõpmatuid väärtusi, on määratletud järgmiselt: T. p. osalised summad. s n(x) koondub mõõtude järgi funktsioonile f(x) .
kui kus f n(x) läheneb / (x) peaaegu kõikjal ja jada koondub nullini. Selles seadistuses on funktsioonide esitamise probleem lõpuni lahendatud: iga mõõdetava funktsiooni jaoks on olemas T. R., mis koondub sellele mõõdult (D. E. Men'shov, 1948).
T. r. ainulaadsuse probleemile on pühendatud palju uurimistööd: kas kaks erinevat T. võivad sama funktsiooni jaoks erineda? erinevas sõnastuses: kui T. r. koondub nullile, kas sellest järeldub, et kõik seeria koefitsiendid on võrdsed nulliga. Siin võib mõelda konvergentsi kõikides punktides või kõikides punktides väljaspool teatud hulka. Vastus neile küsimustele sõltub sisuliselt selle hulga omadustest, millest väljaspool konvergentsi ei eeldata.
Kehtestatud on järgmine terminoloogia. Palju nimesid. ainulaadsuse komplekt või U- määrata, kui, konvergentsist T. r. nullini kõikjal, välja arvatud ehk komplekti punktid E, sellest järeldub, et kõik selle seeria koefitsiendid on võrdsed nulliga. Muidu Enaz. M-komplekt.
Nagu näitas G. Cantor (1872), on ka kõik lõplikud U-hulgad. Suvaline on ka U-hulk (W. Jung, 1909). Teisest küljest on iga positiivsete mõõtude komplekt M-komplekt.
M-mõõdukomplektide olemasolu tegi kindlaks D. E. Men'shov (1916), kes koostas esimese näite nende omadustega täiuslikust komplektist. See tulemus on ainulaadsuse probleemis fundamentaalse tähtsusega. Nullmõõdu M-hulkade olemasolust tuleneb, et peaaegu kõikjal koonduvate T. R. funktsioonide esituses on need jadad defineeritud alati mitmetähenduslikult.
Täiuslikud komplektid võivad olla ka U-komplektid (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Mõõtühikute nulli väga peened omadused mängivad ainulaadsuse probleemis olulist rolli. Üldine küsimus mõõdukogumite klassifitseerimise kohta null M- ja U-komplektid jäävad (1984) avatuks. Seda ei lahendata isegi täiuslike komplektide puhul.
Järgmine probleem on seotud unikaalsusprobleemiga. Kui T. r. koondub funktsioonile 
siis kas see jada peab olema funktsiooni / Fourier' jada. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) andis sellele küsimusele positiivse vastuse, kui f on integreeritav Riemanni tähenduses ja jada koondub kõigis punktides f(x)-le. Tulemustest III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) viitab sellele, et vastus on positiivne isegi siis, kui seeria läheneb kõikjale, välja arvatud loendatava punktide hulga puhul ja selle summa on lõplik.
Kui T. p koondub absoluutselt mingis punktis x 0, siis selle jada lähenemispunktid ja ka absoluutse lähenemise punktid paiknevad sümmeetriliselt punkti x 0 suhtes.
(P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Vastavalt Nautige – Luzini teoreem absoluutsest konvergentsist T. r. (1) positiivsete mõõtude kogumi korral seeria läheneb 
ja järelikult seeria (1) absoluutne lähenemine kõigi jaoks X. Seda omadust omavad ka teise kategooria komplektid, samuti teatud nullmõõtude komplektid.
See uuring hõlmab ainult ühemõõtmelist T. r. (üks). Üldise T. p.-ga on seotud eraldi tulemused. mitmest muutujast. Siin on paljudel juhtudel ikkagi vaja leida loomulikke probleemipüstitusi.
Valgus: Bari N. K., Trigonomeetriline seeria, M., 1961; Sigmund A., Trigonomeetriline seeria, tlk. inglise keelest, kd 1-2, M., 1965; Luzin N. N., Integraal- ja trigonomeetrilised seeriad, M.-L., 1951; Riemann B., Teosed, tlk. saksa keelest, M.-L., 1948, lk. 225-61.
S. A. Teljakovski.
Matemaatiline entsüklopeedia. - M.: Nõukogude entsüklopeedia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Tuletame meelde, et reaalanalüüsis on trigonomeetriline jada mitme kaare koosinuste ja siinuste jada, st. vormi rida
Natuke ajalugu. Taoliste jadate teooria algperiood on seotud 18. sajandi keskpaigaga seoses stringide võnkeprobleemiga, mil otsiti soovitud funktsiooni jadade summana (14,1). Küsimus sellise esituse võimalikkuse kohta tekitas matemaatikute seas tuliseid vaidlusi, mis kestsid mitu aastakümmet. Funktsiooni mõiste sisuga seotud vaidlused. Sel ajal seostati funktsioone tavaliselt nende analüütilise omistamisega, kuid siin tekkis vajadus esitada (14.1) kõrval funktsioon, mille graafik on üsna meelevaldne kõver. Kuid nende vaidluste tähtsus on suurem. Tegelikult tõstatasid nad küsimusi, mis on seotud paljude põhimõtteliselt oluliste matemaatilise analüüsi ideedega.
Ja tulevikus, nagu ka sel algperioodil, oli trigonomeetriliste seeriate teooria uute ideede allikaks. Nendega seoses tekkis näiteks hulgateooria ja reaalmuutuja funktsioonide teooria.
Selles kokkuvõtvas peatükis käsitleme materjale, mis taas ühendavad tegelikku ja keerulist analüüsi, kuid mida TFCT-i käsitlevates õpikutes vähe kajastatakse. Analüüsi käigus lähtusid nad etteantud funktsioonist ja laiendasid selle trigonomeetriliseks Fourier' jaaks. Siin käsitleme pöördülesannet: antud trigonomeetrilise jada jaoks määrake selle konvergents ja summa. Selleks kasutasid Euler ja Lagrange edukalt analüütilisi funktsioone. Ilmselt saavutas Euler esimest korda (1744) võrdsuse
Allpool järgime Euleri samme, piirdudes ainult seeriate (14.1) erijuhtudega, nimelt trigonomeetriliste seeriatega.
kommenteerida. Sisuliselt kasutatakse järgmist fakti: kui positiivsete koefitsientide jada a p monotoonselt nulli, siis koonduvad need seeriad ühtlaselt mis tahes suletud intervallile, mis ei sisalda ühtegi vormi punkti 2lx (gZ-ni). Eelkõige toimub intervallil (0,2n -) punktide konvergents. Vt selle kohta tööst lk 429-430.
Euleri idee ridade (14.4), (14.5) liitmiseks on see, et kasutades asendust z = e a mine võimsussarjadesse
Kui ühikringi sees on selle summa eksplitsiitselt leitav, siis tavaliselt lahendatakse probleem nii, et eraldatakse sellest tegelik ja kujuteldav osa. Rõhutame, et Euleri meetodit kasutades tuleks kontrollida ridade (14.4), (14.5) konvergentsi.
Vaatame mõnda näidet. Paljudel juhtudel on geomeetriline seeria kasulik
samuti sellest terminite kaupa diferentseerimise või integreerimise teel saadud seeriad. Näiteks,
Näide 14.1. Leidke rea summa
Otsus. Tutvustame sarnast koosinustega seeriat
Mõlemad seeriad lähenevad kõikjale, sest geomeetrilise seeriaga 1 + r + r 2+.... Eeldusel z = e"x, saame
Siin vähendatakse murdosa vormi
kust saame vastuse probleemi küsimusele:
Selle käigus kehtestasime võrdsuse (14,2): Näide 14.2. Summa read
Otsus.Ülaltoodud märkuse kohaselt koonduvad mõlemad seeriad määratud intervallile ja toimivad nende määratletud funktsioonide jaoks Fourier' jadana f(x) 9 g(x). Mis need funktsioonid on? Küsimusele vastamiseks koostame Euleri meetodil jada (14.6) koefitsientidega a p= -. nõus-
aga võrdsuse (14,7) saame
Jättes välja üksikasjad (lugeja peaks neid taasesitama), juhime tähelepanu sellele, et logaritmimärgi all olevat avaldist saab esitada järgmiselt
Selle avaldise moodul on võrdne - ja argumendiga (täpsemalt selle põhiväärtus on
- 2 patt-
väärtus) on võrdne Seetõttu In ^ = -ln(2sin
Näide 14.3. Kell - Summeerin read
Otsus. Mõlemad seeriad koonduvad kõikjal, kuna neis domineerib koonduv
ühisliikme kõrval -! . Rida (14,6)
n(n +1)
otse
J_ _\_ __1_
/?(/? +1) P /1 + 1
ns annab teadaoleva summa. Alusel esindame seda vormis
võrdsus
Siin on sulgudes olev avaldis ln(l + z) ja nurksulgudes olev avaldis on ^ ^ + ** ^--. Seega
= (1 + -)ln(1 + z). Nüüd tuleks siia panna z = eLX ja tehke samad toimingud nagu eelmises näites. Üksikasjad välja jättes juhime sellele tähelepanu Jääb avada sulgud ja kirjutada vastus. Jätame selle lugeja hooleks. 14. peatüki ülesanded Arvutage järgmiste ridade summad. 3.1.a). Kui w=u + iv, siis ja= -r- -v = -^-^. Seega l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d:) 2 Koordinaatide alguspunkt tuleks sellest ringist välja jätta, kuna (m, v) 9* (0; 0) V* e R, toon ja= lim v = 0. x-yx>.v->oo a = 1, a = 2. z "=-! + -> z,=-l - neid w = 2x; ei ole kusagil holomorfne; St St sõltuvad muutujast "t. Cauchy-Riemanni tingimused viitavad sellele, et need funktsioonid on samuti sõltumatud y-st. 4.5. Mõelge näiteks juhtumile Re f(z) = i(x, y) = konst. Koos kasutades Cauchy-Riemanni tingimusi, järeldage sellest, et Im/(z) = v (x 9 a) = konst. tuletise argument on võrdne nulliga, siis selle mõtteline osa on null ja reaalosa positiivne. Siit tuletage vastus: otse juures = -X-1 (X* 0). b) ring z + i=j2. sulgudes olev väljend sai sama tähenduse, siis oleks neil mis on vastuolus irratsionaalsusega a . juures= 0, -1 x 1 meil on ja =--e [-1,1]" v = 0. Vaatleme piiri teist lõiku – poolringi z=e u,tg. Selles jaotises väljend teisendatakse vormile w=u=-- ,/* -. Vahel. Vastavalt (8.6) on soovitud integraal võrdne
b). Alumise poolringi võrrandil on vorm z(t) = e“,t e[l, 2n). Valemi (8.8) järgi on integraal võrdne z = t + i,te. Vastus: - + - i. .1 .t+2/r e 2, e 2. Ülesande tingimustest järeldub, et jutt käib juure põhiväärtusest: Vz, s.o. umbes esimene neist. Siis on integraal 8.3. Ülesande lahendamisel joonist teadlikult ei anta, kuid lugeja peaks selle täiendama. Kasutatakse sirge lõigu võrrandit, mis ühendab kahte etteantud punkti i, /> e C (a - Alusta, b - lõpp): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Jagame soovitud integraali neljaks: I = I AB + I BC + I CD +1
D.A. Segmendil AB meil on z- (1 -1)
? 1 +1
/, seega on selle lõigu integraal vastavalt (8.8) võrdne Samamoodi toimides leiame ala D, mis sisaldab Г ja ns, mis sisaldab a. /),/]-le rakendatud integraaliteoreemi järgi on soovitud integraal võrdne nulliga. geomeetriline seeria 1 + q + q2 (|| esindavad kujul /(z) = /(-^z). Ilma üldistust kaotamata võime seda eeldada punktis 0 tsentreeritud funktsiooni Taylori rea lähenemisraadius on suurem kui üks. Meil on: Funktsiooni väärtused on samad diskreetsel hulgal, mille piirpunkt kuulub lähenemisringi. Unikaalsusteoreemi järgi /(z) = konst. 11.3. Oletame, et soovitud analüütiline funktsioon /(z) on olemas. Võrdleme selle väärtusi funktsiooniga (z) = z2 võtteplatsil E, koosneb punktidest z n = - (n = 2,3,...). Nende tähendused on samad ja kuna E on antud ringile kuuluv piirpunkt, siis unikaalsusteoreemiga /(z) = z 2 antud ringi kõikide argumentide jaoks. Kuid see on vastuolus tingimusega /(1) = 0. Vastus: ns ei eksisteeri. 12.2. a). Esitage funktsiooni vormil ja laiendage sulgusid. lihtpostid 1,-1,/. Nendes olevate jääkide summa on võrdne -- ja integraal on võrdne sisse). Pooluste hulgas 2 trki (kGZ) integrandist ainult kaks asuvad antud ringi sees. See on 0 ja 2 ma mõlemad on lihtsad, jäägid neis on võrdsed 1. Vastus: 4z7. korrutage see 2/r/-ga. Üksikasjad välja jättes märgime vastuse: / = -i . 13.2. a). Paneme siis e"=z e"idt =dz
, dt= - .
Ho e" - e~" z-z~ x sin / =-=-, intefal taandatakse kujule Siin on nimetaja faktoriseeritud (z-z,)(z-z 2), kus z, = 3 - 2 V2 / asub ringi sees juures
, a z,=3 + 2V2 / asub eespool. Üle jääb leida jääk lihtpooluse z suhtes, kasutades valemit (13.2) ja b) . Eeldusel, nagu eespool, e" = z
, taandame intefali vormile Subintefaalsel funktsioonil on kolm lihtsat poolust (millised need?). Jättes lugejal nendes sisalduvad jäägid arvutama, anname vastuse: I=
. võrdub 2(^-1- h-dt).
Tähistage sulgudes olevat integraali tähega /. Rakendades võrdust cos "/ = - (1 + cos2f) saame, et / = [- tsit
. Analoogiliselt juhtumitega a), b) tehke asendus e 2,t
= z, taandada integraal vormiks kus integratsioonikõver on sama ühikring. Täiendavad argumendid on samad, mis juhul a). Vastus: algne otsitav integraal on võrdne /r(2-n/2). 13.3. a). Vaatleme abikompleksi integraali /(/?)= f f(z)dz, kus f(z) = - p-, G (I) - kontuur, mis koosneb poolringid y(R): | z |= R> 1, Imz > 0 ja kõik läbimõõdud (tee joonis). Jagame selle integraali kaheks osaks – vastavalt intervallile [-/?,/?] ja vastavalt y(R). et. Jah. Ahela sees asuvad ainult lihtsad poolused z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (joonis 186). Nende jääkide kohta leiame: Jääb üle kontrollida, kas integraal on läbi y(R) kipub nulli as R. Võrratusest |g + A|>||i|-|/>|| ja integraali hinnangust for z e y(R) sellest järeldub
