USO en el nivel de perfil de matemáticas

El trabajo consta de 19 tareas.
Parte 1:
8 tareas con una respuesta corta del nivel básico de complejidad.
Parte 2:
4 tareas con una respuesta corta
7 tareas con una respuesta detallada de un alto nivel de complejidad.

Tiempo de ejecución - 3 horas 55 minutos.

Ejemplos de asignaciones USE

Resolver tareas USE en matemáticas.

Para una solución independiente:

1 kilovatio-hora de electricidad cuesta 1 rublo 80 kopeks.
El medidor de electricidad el 1 de noviembre mostró 12625 kilovatios-hora, y el 1 de diciembre mostró 12802 kilovatios-hora.
¿Cuánto hay que pagar de luz en noviembre?
Dé su respuesta en rublos.

Problema con solución:

En una pirámide triangular regular ABCS con una base ABC, los bordes son conocidos: AB \u003d 5 raíces de 3, SC \u003d 13.
Halla el ángulo formado por el plano de la base y la recta que pasa por el punto medio de las aristas AS y BC.

Solución:

1. Como SABC es una pirámide regular, entonces ABC es un triángulo equilátero y las caras restantes son triángulos isósceles iguales.
Es decir, todos los lados de la base miden 5 sqrt(3), y todos los bordes laterales miden 13.

2. Sea D el punto medio de BC, E el punto medio de AS, SH la altura desde el punto S hasta la base de la pirámide, EP la altura desde el punto E hasta la base de la pirámide.

3. Encuentra AD a partir del triángulo rectángulo CAD usando el teorema de Pitágoras. Obtienes 15/2 = 7.5.

4. Como la pirámide es regular, el punto H es el punto de intersección de alturas / medianas / bisectrices del triángulo ABC, lo que significa que divide AD en una proporción de 2: 1 (AH = 2 AD).

5. Encuentra SH a partir del triángulo rectángulo ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, por el teorema de Pitágoras SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Los triángulos AEP y ASH son ambos rectángulos y tienen un ángulo común A, por lo que son similares. Por suposición, AE = AS/2, por lo tanto, tanto AP = AH/2 como EP = SH/2.

7. Queda por considerar el triángulo rectángulo EDP (solo nos interesa el ángulo EDP).
PE = SH/2 = 6;
PD = 2/3 DA = 5;

Ángulo tangente EDP = EP/DP = 6/5,
Ángulo EDP = arctg(6/5)

Responder:

USE 2019 en la tarea de matemáticas 17 con una solución

Versión de demostración del Examen Estatal Unificado 2019 en matemáticas

Examen Estatal Unificado de Matemáticas 2019 en formato pdf Nivel básico | Nivel de perfil

Tareas para preparar el examen de matemáticas: nivel básico y de perfil con respuestas y soluciones.

17 la tarea del nivel de perfil del Examen Estatal Unificado de matemáticas es una tarea relacionada con las finanzas, es decir, esta tarea puede ser para intereses, parte de deudas, etc. La dificultad radica en que es necesario calcular el interés o parte durante un largo período, por lo que esta tarea no es una analogía directa de los problemas estándar con porcentajes. Para no hablar de lo general, vayamos directamente al análisis de una tarea típica.

Análisis de opciones típicas para tareas No. 17 USO en matemáticas a nivel de perfil

La primera versión de la tarea (versión demo 2018)

Las condiciones para su devolución son las siguientes:

• El día 1 de cada mes, la deuda aumenta en un r por ciento en comparación con el final del mes anterior, donde r es un número entero;
• del 2 al 14 de cada mes se debe pagar parte de la deuda;
• El día 15 de cada mes, la deuda debe ascender a una cantidad determinada de acuerdo con la siguiente tabla.

Encuentre el valor más grande de r para el cual el monto total de los pagos será inferior a 1,2 millones de rublos.

Algoritmo de solución:

1. Consideramos cuál es el monto de los pagos del préstamo mensualmente.
2. Determinamos la deuda de cada mes.
3. Encuentre el porcentaje requerido.
4. Determinamos el monto de los pagos para todo el período.
5. Calculamos el porcentaje r del monto de los pagos de la deuda.
6. Anotamos la respuesta.

Solución:

1. Según la condición, la deuda con el banco deberá disminuir mensualmente en el siguiente orden:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

2. Sea k = 1 + r / 100, entonces la deuda de cada mes es:

k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0.1k.

3. Entonces, los pagos de la 2 a la 14 mensual son:

k - 0,6; 0,6k - 0,4; 0,4 k - 0,3; 0,3k - 0,2; 0,2k - 0,1; 0.1k

4. El monto total de los pagos es igual a:

Por condición, el monto total de los pagos es inferior a 1,2 millones de rublos, por lo tanto,

La solución entera más grande de la desigualdad resultante es 7. Entonces es la requerida: 7.

La segunda opción (de Yaschenko, No. 1)

En julio de 2020, está previsto obtener un préstamo de un banco por un monto de 300,000 rublos. Las condiciones para su devolución son las siguientes:

• cada mes de enero, la deuda aumenta un r% con respecto al cierre del año anterior;
• De febrero a junio de cada año, parte de la deuda debe ser pagada en un solo pago.

Encuentre r si se sabe que el préstamo se pagará por completo en dos años, y en el primer año se pagarán 160,000 rublos, y en el segundo año, 240,000 rublos.

Algoritmo para resolver el problema:

1. Determinar el monto de la deuda.
2. Calculamos el importe de la deuda después de la primera cuota.
3. Encontrar el monto de la deuda después de la segunda cuota
4. Encuentre el porcentaje requerido.
5. Anotamos la respuesta.

Solución:

1. Se tomaron prestados 300.000 rublos. Según la condición, el monto de la deuda a pagar aumenta en un r%, lo que significa veces. Para pagar la deuda, debe darle al banco 300,000∙k.

2. Después de realizar un pago igual a 160.000 rublos. El saldo de la deuda es

Hoy nos desviaremos un poco de los logaritmos estándar, las integrales, la trigonometría, etc., y juntos consideraremos una tarea más vital del Examen Estatal Unificado de matemáticas, que está directamente relacionada con nuestra atrasada economía rusa basada en recursos. Y para ser precisos, consideraremos el problema de los depósitos, intereses y préstamos. Porque son las tareas con porcentajes que se han agregado recientemente a la segunda parte del examen estatal unificado de matemáticas. Hago una reserva de inmediato que de acuerdo con las especificaciones de USE, se ofrecen tres puntos principales a la vez para resolver este problema, es decir, los examinadores consideran que esta tarea es una de las más difíciles.

Al mismo tiempo, para resolver cualquiera de estas tareas del Examen Estatal Unificado de matemáticas, solo necesita conocer dos fórmulas, cada una de las cuales es bastante accesible para cualquier graduado de la escuela, sin embargo, por razones que no entiendo, estas fórmulas son completamente ignorado tanto por los maestros de escuela como por los compiladores de varias tareas para la preparación del examen. Por lo tanto, hoy no solo les diré cuáles son estas fórmulas y cómo aplicarlas, sino que derivaré cada una de estas fórmulas literalmente ante sus ojos, tomando como base tareas del banco abierto USE en matemáticas.

Por lo tanto, la lección resultó ser bastante voluminosa, bastante significativa, así que ponte cómodo y comenzamos.

Poner dinero en el banco

En primer lugar, me gustaría hacer una pequeña digresión lírica relacionada con las finanzas, los bancos, los préstamos y los depósitos, a partir de la cual obtendremos las fórmulas que utilizaremos para resolver este problema. Entonces, desviémonos un poco de los exámenes, de los próximos problemas escolares y miremos hacia el futuro.

Digamos que has crecido y vas a comprar un apartamento. Digamos que no vas a comprar un apartamento malo en las afueras, sino un apartamento de buena calidad por 20 millones de rublos. Al mismo tiempo, supongamos que tienes un trabajo más o menos normal y ganas 300 mil rublos al mes. En este caso, para el año puede ahorrar alrededor de tres millones de rublos. Por supuesto, si gana 300 mil rublos al mes, obtendrá una cantidad un poco mayor durante el año, 3 600 000, pero deje que estos 600 000 se gasten en alimentos, ropa y otras alegrías domésticas diarias. Los datos de entrada totales son los siguientes: es necesario ganar veinte millones de rublos, mientras que tenemos a nuestra disposición solo tres millones de rublos al año. Surge una pregunta natural: ¿cuántos años necesitamos apartar tres millones para obtener estos mismos veinte millones? Se considera elemental:

\[\frac(20)(3)=6,....\a 7\]

Sin embargo, como ya hemos señalado, ganan 300 mil rublos al mes, lo que significa que son personas inteligentes y no ahorrarán dinero "debajo de la almohada", sino que lo llevarán al banco. Y, por tanto, anualmente sobre esos depósitos que traigas al banco, se cobrarán intereses. Digamos que elige un banco confiable, pero al mismo tiempo más o menos rentable y, por lo tanto, sus depósitos crecerán un 15% anual anualmente. En otras palabras, podemos decir que la cantidad en sus cuentas aumentará 1,15 veces cada año. Déjame recordarte la fórmula:

Calculemos cuánto dinero habrá en sus cuentas después de cada año:

En el primer año, cuando comience a ahorrar dinero, no se acumularán intereses, es decir, al final del año ahorrará tres millones de rublos:

Al final del segundo año, ya se acumularán intereses sobre esos tres millones de rublos que quedaron del primer año, es decir. tenemos que multiplicar por 1,15. Sin embargo, durante el segundo año, también reportó otros tres millones de rublos. Eso sí, estos tres millones aún no habían devengado intereses, porque al finalizar el segundo año, estos tres millones solo habían aparecido en la cuenta:

Entonces, el tercer año. Al final del tercer año, se devengarán intereses sobre esta cantidad, es decir, es necesario multiplicar esta cantidad total por 1,15. Y nuevamente, durante todo el año trabajaste duro y ahorraste tres millones de rublos:

\[\left(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m\]

Calculemos otro cuarto año. De nuevo, la cantidad total que teníamos al final del tercer año se multiplica por 1,15, es decir Se cobrarán intereses sobre el monto total. Esto incluye interés sobre interés. Y a esta cantidad se le suman tres millones más, porque durante el cuarto año también trabajaste y también ahorraste dinero:

\[\left(\left(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m\]

Y ahora abramos los paréntesis y veamos qué cantidad tendremos al final del cuarto año de ahorro:

\[\begin(alinear)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \right) \\\end(alinear)\]

Como puedes ver, entre paréntesis tenemos elementos de una progresión geométrica, es decir, tenemos la suma de los elementos de una progresión geométrica.

Les recuerdo que si la progresión geométrica está dada por el elemento $((b)_(1))$, así como el denominador $q$, entonces la suma de los elementos se calculará de acuerdo a la siguiente fórmula:

Esta fórmula debe ser conocida y claramente aplicada.

Tenga en cuenta: la fórmula norte El elemento suena así:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Debido a este grado, muchos estudiantes están confundidos. En total, solo tenemos norte por la suma norte- elementos, y norte-th elemento tiene grado $n-1$. En otras palabras, si ahora tratamos de calcular la suma de una progresión geométrica, debemos considerar lo siguiente:

\[\begin(alinear)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(alinear)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Calculemos el numerador por separado:

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right ))^(2))=1,74900625\aprox. 1,75\]

En total, volviendo a la suma de la progresión geométrica, obtenemos:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Como resultado, conseguimos que en cuatro años de ahorro, nuestra cantidad inicial no se multiplique por cuatro, como si no hubiéramos depositado dinero en el banco, sino por cinco, es decir, quince millones. Escribámoslo por separado:

4 años → 5 veces

De cara al futuro, diré que si no hubiéramos estado ahorrando durante cuatro años, sino durante cinco años, como resultado, nuestra cantidad de ahorro habría aumentado 6,7 veces:

5 años → 6,7 veces

En otras palabras, al final del quinto año, tendríamos la siguiente cantidad en la cuenta:

Es decir, al final del quinto año de ahorro, teniendo en cuenta los intereses del depósito, ya habríamos recibido más de veinte millones de rublos. Así, la cuenta de ahorro total por intereses bancarios disminuiría de casi siete años a cinco años, es decir, en casi dos años.

Así, incluso a pesar de que el banco cobra un interés bastante bajo sobre nuestros depósitos (15%), al cabo de cinco años ese mismo 15% da un incremento que supera con creces nuestras ganancias anuales. Al mismo tiempo, el principal efecto multiplicador se produce en los últimos años e incluso, más bien, en el último año de ahorro.

¿Por qué escribí todo esto? Eso sí, para no agitarte a llevar dinero al banco. Porque si realmente desea aumentar sus ahorros, debe invertirlos no en un banco, sino en un negocio real, donde estos mismos porcentajes, es decir, la rentabilidad en las condiciones de la economía rusa, rara vez cae por debajo del 30%, es decir, dos veces tantos depósitos bancarios.

Pero lo realmente útil de todo este razonamiento es una fórmula que nos permite encontrar el importe final del depósito a través del importe de las cuotas anuales, así como a través de los intereses que cobra el banco. Así que escribamos:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

Por sí mismo, el % se calcula utilizando la siguiente fórmula:

Esta fórmula también debe ser conocida, así como la fórmula básica para el monto de la contribución. Y, a su vez, la fórmula principal puede reducir significativamente los cálculos en aquellos problemas con porcentajes donde se requiera calcular la cotización.

¿Por qué usar fórmulas en lugar de tablas?

Muchos probablemente tendrán una pregunta, ¿por qué todas estas dificultades? ¿Es posible simplemente escribir cada año en una tableta, como lo hacen en muchos libros de texto, calcular cada año por separado y luego calcular el monto total de la contribución? Por supuesto, generalmente puede olvidarse de la suma de una progresión geométrica y contar todo usando tabletas clásicas; esto se hace en la mayoría de las colecciones para prepararse para el examen. Sin embargo, en primer lugar, el volumen de cálculos aumenta considerablemente y, en segundo lugar, como resultado, aumenta la probabilidad de cometer un error.

Y, en general, usar mesas en lugar de esta maravillosa fórmula es lo mismo que cavar zanjas con las manos en un sitio de construcción en lugar de usar una excavadora que está cerca y en pleno funcionamiento.

Bueno, o lo mismo que multiplicar cinco por diez sin usar la tabla de multiplicar, sino sumando cinco a sí mismo diez veces seguidas. Sin embargo, ya me he desviado, así que repetiré la idea más importante una vez más: si hay alguna forma de simplificar y acortar los cálculos, entonces esta es la forma de usar.

Intereses de prestamos

Descubrimos los depósitos, por lo que pasamos al siguiente tema, a saber, a los intereses de los préstamos.

Entonces, mientras está ahorrando dinero, planificando cuidadosamente su presupuesto, pensando en su futuro apartamento, su compañero de clase y ahora una simple persona desempleada, decidió vivir por hoy y simplemente pidió un préstamo. Al mismo tiempo, todavía se burlará y se reirá de ti, dicen, tiene un teléfono de crédito y un automóvil usado, tomado a crédito, y todavía viajas en el metro y usas un viejo teléfono de botón. Por supuesto, por todos estos "presumidos" baratos, su antiguo compañero de clase tendrá que pagar un alto precio. Qué caro: esto es lo que calcularemos ahora mismo.

Primero, una breve introducción. Digamos que su antiguo compañero de clase tomó dos millones de rublos a crédito. Al mismo tiempo, según el contrato, debe pagar x rublos por mes. Digamos que tomó un préstamo a una tasa del 20% anual, que en las condiciones actuales parece bastante decente. Además, suponga que el plazo del préstamo es de solo tres meses. Intentemos conectar todas estas cantidades en una fórmula.

Entonces, al principio, tan pronto como su antiguo compañero de clase dejó el banco, tiene dos millones en el bolsillo, y esta es su deuda. Al mismo tiempo, no ha pasado ni un año ni un mes, pero esto es solo el comienzo:

Luego, después de un mes, se acumularán intereses sobre el monto adeudado. Como ya sabemos, para calcular los intereses basta con multiplicar la deuda original por un coeficiente, que se calcula mediante la siguiente fórmula:

En nuestro caso, estamos hablando de una tasa del 20% anual, es decir, podemos escribir:

Esta es la proporción de la cantidad que se cobrará por año. Sin embargo, nuestro compañero de clase no es muy inteligente y no leyó el contrato, y de hecho le dieron un préstamo no al 20% anual, sino al 20% mensual. Y al final del primer mes, se acumularán intereses sobre esta cantidad y aumentarán 1,2 veces. Inmediatamente después de eso, la persona deberá pagar la cantidad acordada, es decir, x rublos por mes:

\[\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

Y nuevamente, nuestro chico hace un pago por la cantidad de $x$ rublos.

Luego, al final del tercer mes, el monto de su deuda aumenta nuevamente en un 20%:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

Y según la condición a los tres meses, debe pagar en su totalidad, es decir, después de realizar el último tercer pago, su monto de deuda debe ser igual a cero. Podemos escribir esta ecuación:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Vamos a decidir:

\[\begin(alinear)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(alinear)\]

Ante nosotros está nuevamente una progresión geométrica, o más bien, la suma de los tres elementos de una progresión geométrica. Reescribámoslo en orden ascendente de elementos:

Ahora necesitamos encontrar la suma de los tres elementos de una progresión geométrica. Vamos a escribir:

\[\begin(alinear)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(alinear)\]

Ahora encontremos la suma de la progresión geométrica:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Cabe recordar que la suma de una progresión geométrica con tales parámetros $\left(((b)_(1));q \right)$ se calcula mediante la fórmula:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Esta es la fórmula que acabamos de usar. Sustituye esta fórmula en nuestra expresión:

Para más cálculos, necesitamos averiguar a qué es igual $((1,2)^(3))$. Desafortunadamente, en este caso, ya no podemos pintar como la última vez en forma de doble cuadrado, pero podemos calcular así:

\[\begin(alinear)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(alinear)\]

Reescribimos nuestra expresión:

Esta es una expresión lineal clásica. Volvamos a la siguiente fórmula:

De hecho, si lo generalizamos, obtendremos una fórmula que relaciona intereses, préstamos, pagos y plazos. La fórmula es así:

Aquí está, la fórmula más importante de la lección en video de hoy, con la ayuda de la cual se consideran al menos el 80% de todas las tareas económicas del Examen Estatal Unificado de matemáticas en la segunda parte.

La mayoría de las veces, en tareas reales, se le pedirá un pago, o con menos frecuencia un préstamo, es decir, la cantidad total de la deuda que tenía nuestro compañero de clase al comienzo de los pagos. En tareas más complejas, se le pedirá que encuentre un porcentaje, pero para las muy complejas, que analizaremos en una lección de video separada, se le pedirá que encuentre el período de tiempo durante el cual, con los parámetros de préstamo y pago dados, nuestro compañero de clase desempleado podrá pagar completamente el banco.

Quizás ahora alguien piense que soy un feroz oponente de los préstamos, las finanzas y el sistema bancario en general. ¡Así que nada de eso! Por el contrario, creo que los instrumentos de crédito son muy útiles y esenciales para nuestra economía, pero solo con la condición de que el préstamo se tome para el desarrollo empresarial. En casos extremos, puede solicitar un préstamo para comprar una casa, es decir, una hipoteca o para un tratamiento médico de emergencia; eso es todo, simplemente no hay otras razones para solicitar un préstamo. Y todo tipo de desempleados que toman préstamos para comprar "show-offs" y al mismo tiempo no piensan en absoluto en las consecuencias al final y se convierten en la causa de las crisis y problemas en nuestra economía.

Volviendo al tema de la lección de hoy, me gustaría señalar que también es necesario conocer esta fórmula que conecta préstamos, pagos e intereses, así como la cantidad de una progresión geométrica. Es con la ayuda de estas fórmulas que se resuelven los problemas económicos reales del Examen Estatal Unificado de matemáticas. Bueno, ahora que sabes todo esto muy bien, cuando entiendes qué es un préstamo y por qué no debes tomarlo, pasemos a resolver problemas económicos reales del Examen Estatal Unificado de matemáticas.

Resolvemos problemas reales del examen de matemáticas

Ejemplo 1

Así que la primera tarea es:

El 31 de diciembre de 2014, Alexei tomó un préstamo de 9,282,000 rublos del banco al 10% anual. El esquema de pago del préstamo es el siguiente: el 31 de diciembre de cada año siguiente, el banco acumula intereses sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en un 10%), luego Alexey transfiere X rublos al banco. ¿Cuál debería ser la cantidad X para que Alexey pague la deuda en cuatro pagos iguales (es decir, durante cuatro años)?

Entonces, este es un problema sobre un préstamo, por lo que inmediatamente escribimos nuestra fórmula:

Conocemos el préstamo - 9,282,000 rublos.

Ahora nos ocuparemos de los porcentajes. Estamos hablando del 10% del problema. Por lo tanto, podemos traducirlos:

Podemos hacer una ecuación:

Hemos obtenido una ecuación lineal ordinaria con respecto a $x$, aunque con coeficientes bastante formidables. Tratemos de resolverlo. Primero, busquemos la expresión $((1,1)^(4))$:

$\begin(alinear)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(alinear)$

Ahora reescribamos la ecuación:

\[\begin(alinear)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(alinear)\]\[\]

Eso es todo, nuestro problema con los porcentajes está resuelto.

Por supuesto, esta fue solo la tarea más simple con porcentajes del Examen Estatal Unificado de matemáticas. En un examen real, lo más probable es que no haya tal tarea. Y si lo hace, considérate muy afortunado. Bueno, para aquellos a los que les gusta contar y no les gusta correr riesgos, pasemos a las siguientes tareas más difíciles.

Ejemplo #2

El 31 de diciembre de 2014, Stepan tomó prestados 4 004 000 rublos de un banco al 20 % anual. El esquema de pago del préstamo es el siguiente: el 31 de diciembre de cada año siguiente, el banco devenga intereses sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en un 20 %), luego Stepan realiza un pago al banco. Stepan pagó toda la deuda en 3 pagos iguales. ¿Cuántos rublos menos le daría al banco si pudiera pagar la deuda en 2 pagos iguales?

Tenemos ante nosotros un problema de préstamos, por lo que escribimos nuestra fórmula:

\[\]\

¿Qué sabemos? Primero, conocemos el crédito total. También sabemos los porcentajes. Encontremos la razón:

En cuanto a $n$, debe leer detenidamente la condición del problema. Es decir, primero debemos calcular cuánto pagó por tres años, es decir, $n=3$, y luego realizar los mismos pasos nuevamente pero calcular los pagos por dos años. Escribamos una ecuación para el caso en que el pago se pague por tres años:

Resolvamos esta ecuación. Pero primero, busquemos la expresión $((1,2)^(3))$:

\[\begin(alinear)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(alinear)\]

Reescribimos nuestra expresión:

\[\begin(alinear)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

En total, nuestro pago será de 1900800 rublos. Sin embargo, preste atención: en la tarea, se nos pidió que encontráramos no un pago mensual, sino cuánto pagaría Stepan en total por tres pagos iguales, es decir, durante todo el período de uso del préstamo. Por lo tanto, el valor resultante debe multiplicarse por tres nuevamente. Contemos:

En total, Stepan pagará 5.702.400 rublos por tres pagos iguales. Eso es lo que le costará utilizar el préstamo durante tres años.

Ahora considere la segunda situación, cuando Stepan se recompuso, se preparó y pagó todo el préstamo no en tres, sino en dos pagos iguales. Escribimos nuestra misma fórmula:

\[\begin(alinear)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Pero eso no es todo, porque ahora hemos calculado solo uno de los dos pagos, por lo que en total Stepan pagará exactamente el doble:

Genial, ahora estamos cerca de la respuesta final. Pero preste atención: en ningún caso hemos recibido una respuesta definitiva, porque Stepan pagará 5.702.400 rublos por tres años de pagos, y 5.241.600 rublos por dos años de pagos, es decir, un poco menos. ¿Cuánto menos? Para averiguarlo, debe restar el monto del segundo pago del monto del primer pago:

La respuesta final total es de 460.800 rublos. Exactamente cuánto ahorrará Stepan si paga no tres años, sino dos.

Como puede ver, la fórmula que vincula el interés, los plazos y los pagos simplifica enormemente los cálculos en comparación con las tablas clásicas y, lamentablemente, por razones desconocidas, las tablas todavía se usan en la mayoría de las colecciones problemáticas.

Por separado, me gustaría llamar su atención sobre el plazo por el cual se tomó el préstamo y el monto de los pagos mensuales. El hecho es que esta conexión no es directamente visible a partir de las fórmulas que escribimos, pero su comprensión es necesaria para la solución rápida y efectiva de problemas reales en el examen. De hecho, esta conexión es muy simple: cuanto más tiempo se tome el préstamo, menor será la cantidad en los pagos mensuales, pero mayor será la cantidad acumulada durante todo el período de uso del préstamo. Y viceversa: a menor plazo, mayor cuota mensual, pero menor sobrepago final y menor costo total del préstamo.

Por supuesto, todas estas declaraciones serán iguales solo con la condición de que el monto del préstamo y la tasa de interés sean los mismos en ambos casos. En general, por ahora, solo recuerde este hecho: se usará para resolver los problemas más difíciles sobre este tema, pero por ahora analizaremos un problema más simple, donde solo necesita encontrar el monto total del préstamo original.

Ejemplo #3

Entonces, una tarea más para un préstamo y medio tiempo, la última tarea en el video tutorial de hoy.

El 31 de diciembre de 2014, Vasily tomó una cierta cantidad del banco a crédito al 13% anual. El esquema de pago del préstamo es el siguiente: el 31 de diciembre de cada año siguiente, el banco acumula intereses sobre el monto restante de la deuda (es decir, aumenta la deuda en un 13%), luego Vasily transfiere 5,107,600 rublos al banco. ¿Qué cantidad tomó prestada Vasily del banco si pagó la deuda en dos cuotas iguales (durante dos años)?

Entonces, en primer lugar, esta tarea se trata nuevamente de préstamos, por lo que escribimos nuestra maravillosa fórmula:

Veamos lo que sabemos de la condición del problema. En primer lugar, el pago - es igual a 5.107.600 rublos al año. En segundo lugar, los porcentajes, por lo que podemos encontrar la relación:

Además, de acuerdo con la condición del problema, Vasily tomó un préstamo del banco por dos años, es decir. pagado en dos cuotas iguales, por lo tanto $n=2$. Sustituyamos todo y también tengamos en cuenta que el préstamo es desconocido para nosotros, es decir. la cantidad que tomó, y la denotaremos como $x$. Obtenemos:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Reescribamos nuestra ecuación con este hecho en mente:

\[\begin(alinear)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(alinear)\]

Eso es todo, esta es la respuesta final. Fue esta cantidad la que Vasily tomó a crédito desde el principio.

Ahora está claro por qué en este problema se nos pide que tomemos un préstamo por solo dos años, porque aquí aparecen tasas de interés de dos dígitos, es decir, el 13%, que, al cuadrado, ya da un número bastante "brutal". Pero este no es el límite: en la próxima lección separada, consideraremos tareas más complejas en las que será necesario encontrar el plazo del préstamo, y la tasa será del uno, dos o tres por ciento.

En general, aprender a resolver problemas de depósitos y préstamos, prepararse para los exámenes y aprobarlos "excelentemente". Y si algo no está claro en los materiales de la lección en video de hoy, no dude: escriba, llame e intentaré ayudarlo.

matemáticas financieras

Para la tarea correcta completada sin errores, recibirá 3 puntos.

Aproximadamente 35 minutos

Para resolver la tarea 17 en matemáticas de un nivel de perfil, necesita saber:

1. La tarea se divide en varios tipos:
   • tareas relacionadas con bancos, depósitos y préstamos;
   • tareas para la elección óptima.
2. La fórmula para calcular el pago mensual: S crédito = S/12t
3. Fórmula para calcular el interés simple: S=α (1 + tp/m)
4. Fórmula para calcular el interés compuesto: C \u003d x (1 + a%)n

por ciento - es la centésima parte de un valor.

• x*(1 + p/100) - valor X incrementado por pags%
• x*(1 - k/100) - valor X disminuido en k%
• x*(1 + p/100) k - valor X incrementado por pags% k una vez
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – valor X primero aumentado en pags%, y luego disminuyó en k%

Tareas para pagar el préstamo en cuotas iguales:

El monto del préstamo se toma como X. Interés bancario - una. Pago de prestamo - S.

Un año después del devengo de intereses y pago del importe S deuda - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• Deuda después de 2 años: (xp-S)p-S
• Deuda después de 3 años: ((xp - S)p - S)p - S
• El monto de la deuda a través de norte años: xp n - S(p n-1 + ... + p 3 + p 2 + p + 1)