Allgemeine und besondere Lösung des Systems. Wie löst man ein lineares Gleichungssystem? Gauß-Verfahren und lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen

Entscheidung. A= . Finde r(A). Als Matrix A hat die Ordnung 3x4, dann ist die höchste Ordnung der Minderjährigen 3. In diesem Fall sind alle Minderjährigen der dritten Ordnung gleich Null (überprüfen Sie es selbst). Meint, r(A)< 3. Возьмем главный grundlegendes Moll = -5-4 = -9 ≠ 0. Also r(A) =2.

Prüfen Matrix Mit = .

Kleines Drittel Befehl ≠ 0. Daher ist r(C) = 3.

Da r(A) ≠ r(C) , dann ist das System inkonsistent.

Beispiel 2 Bestimmen Sie die Kompatibilität des Gleichungssystems

Lösen Sie dieses System, wenn es kompatibel ist.

Entscheidung.

A = , C = . Offensichtlich ist r(À) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Da detC = 0 ist, ist r(C)< 4. Prüfen unerheblich Dritter Befehl, befindet sich in der oberen linken Ecke der Matrix A und C: = -23 ≠ 0. Also r(A) = r(C) = 3.

Anzahl Unbekannt im System n=3. Das System hat also eine einzigartige Lösung. In diesem Fall ist die vierte Gleichung die Summe der ersten drei und kann ignoriert werden.

Nach Cramers Formeln wir erhalten x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Matrix-Methode. Gauss-Methode

System n lineare Gleichungen mit n Unbekannte können gelöst werden Matrix-Methode nach der Formel X \u003d A -1 B (für Δ ≠ 0), die man aus (2) erhält, indem man beide Teile mit A -1 multipliziert.

Beispiel 1. Lösen Sie ein Gleichungssystem

nach der Matrixmethode (in Abschnitt 2.2 wurde dieses System mit den Cramer-Formeln gelöst)

Entscheidung. Δ=10 ≠ 0 A = - nichtsinguläre Matrix.

= (Überprüfen Sie dies selbst, indem Sie die erforderlichen Berechnungen durchführen).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Antworten: .

Aus praktischer Sicht Matrixmethode und Formeln Kramer sind mit einem hohen Rechenaufwand verbunden, daher wird bevorzugt Gauss-Methode, die in der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten besteht. Dazu wird das Gleichungssystem auf ein äquivalentes System mit einer dreieckig erweiterten Matrix reduziert (alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind gleich Null). Diese Aktionen werden als direkte Bewegung bezeichnet. Aus dem resultierenden Dreieckssystem werden die Variablen durch sukzessive Substitutionen (Reverse Move) gefunden.

Beispiel 2. Lösen Sie das System mit der Gauß-Methode

(Dieses System wurde oben mit der Cramer-Formel und der Matrixmethode gelöst).

Entscheidung.

Direkter Umzug. Wir schreiben die erweiterte Matrix und bringen sie durch elementare Transformationen auf eine Dreiecksform:

~ ~ ~ ~ .

Werden System

Rückwärtsbewegung. Aus der letzten Gleichung finden wir X 3 = -6 und setze diesen Wert in die zweite Gleichung ein:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Antworten: .

2.5. Allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem = b ich(ich=). Sei r(A) = r(C) = r, d.h. Das System ist kollaborativ. Jeder von Null verschiedene Minor der Ordnung r ist grundlegendes Moll. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass sich der grundlegende Minor in den ersten r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) Zeilen und Spalten der Matrix A befindet. Wenn wir die letzten m-r-Gleichungen des Systems verwerfen, schreiben wir eine verkürzte System:

was dem Original entspricht. Nennen wir die Unbekannten x 1 ,….x r grundlegend und x r +1 ,…, x r frei und verschieben Sie die Terme mit den freien Unbekannten auf die rechte Seite der Gleichungen des abgeschnittenen Systems. Wir erhalten das System bezüglich der grundlegenden Unbekannten:

die für jeden Wertesatz von freien Unbekannten x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r hat die einzige Lösung x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), gefunden durch Cramers Regel.

Passende Lösung verkürzt, und daher hat das ursprüngliche System die Form:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - allgemeine Lösung des Systems.

Wenn in der allgemeinen Lösung den freien Unbekannten einige Zahlenwerte gegeben werden, dann erhalten wir die Lösung des linearen Systems, genannt privat.

Beispiel. Stellen Sie die Kompatibilität her und finden Sie die Gesamtlösung des Systems

Entscheidung. A = , С = .

So als r(A)= r(C) = 2 (überzeugen Sie sich selbst), dann ist das ursprüngliche System kompatibel und hat unendlich viele Lösungen (seit r< 4).

Matrix-Methode SLAU-Lösungen zur Lösung von Gleichungssystemen, bei denen die Anzahl der Gleichungen der Anzahl der Unbekannten entspricht. Die Methode eignet sich am besten zum Lösen von Systemen niedriger Ordnung. Das Matrixverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme basiert auf der Anwendung der Eigenschaften der Matrizenmultiplikation.

Mit anderen Worten, auf diese Weise inverse Matrixmethode, so genannt, da die Lösung auf die übliche Matrixgleichung reduziert wird, für deren Lösung Sie die inverse Matrix finden müssen.

Matrixlösungsverfahren Ein SLAE mit einer Determinante größer oder kleiner als Null lautet wie folgt:

Angenommen, es gibt ein SLE (System linearer Gleichungen) mit n unbekannt (über einem beliebigen Feld):

Es ist also einfach, es in eine Matrixform zu übersetzen:

AX=B, wo EIN ist die Hauptmatrix des Systems, B und X- Spalten mit freien Mitgliedern bzw. Lösungen des Systems:

Multipliziere diese Matrixgleichung links mit A-1- Inverse Matrix zu Matrix A: A −1 (AX)=A −1 B.

weil A – 1 A = E, meint, X=A −1 B. Die rechte Seite der Gleichung gibt eine Spalte mit Lösungen für das Ausgangssystem. Voraussetzung für die Anwendbarkeit der Matrixmethode ist die Nichtentartung der Matrix EIN. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass die Determinante der Matrix EIN:

detA≠0.

Für homogenes System linearer Gleichungen, d.h. wenn Vektor B=0, gilt die gegenteilige Regel: das System AX=0 ist nur dann eine nicht-triviale (d. h. nicht gleich Null) Lösung, wenn detA=0. Diesen Zusammenhang zwischen den Lösungen homogener und inhomogener linearer Gleichungssysteme nennt man Alternative zu Fredholm.

Somit erfolgt die Lösung des SLAE nach der Matrixmethode gemäß der Formel . Oder die SLAE-Lösung wird mit gefunden inverse Matrix A-1.

Es ist bekannt, dass eine quadratische Matrix SONDERN Befehl n auf der n Es gibt eine inverse Matrix A-1 nur wenn seine Determinante nicht Null ist. So das System n lineare algebraische Gleichungen mit n Unbekannte werden nur dann nach der Matrixmethode gelöst, wenn die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist.

Trotz der Tatsache, dass die Verwendungsmöglichkeiten dieses Verfahrens eingeschränkt sind und Rechenschwierigkeiten für große Werte der Koeffizienten und Systeme höherer Ordnung bestehen, kann das Verfahren leicht auf einem Computer implementiert werden.

Ein Beispiel für die Lösung eines inhomogenen SLAE.

Prüfen wir zunächst, ob die Determinante der Koeffizientenmatrix für unbekannte SLAEs ungleich Null ist.

Jetzt finden wir Allianz Matrix, transponiere sie und setze sie in die Formel zur Bestimmung der inversen Matrix ein.

Wir ersetzen die Variablen in der Formel:

Jetzt finden wir die Unbekannten, indem wir die inverse Matrix und die Spalte der freien Terme multiplizieren.

So, x=2; y=1; z=4.

Wenn Sie von der üblichen Form von SLAE zur Matrixform wechseln, achten Sie auf die Reihenfolge der unbekannten Variablen in den Systemgleichungen. zum Beispiel:

Schreiben Sie NICHT als:

Es ist zunächst notwendig, die unbekannten Variablen in jeder Gleichung des Systems zu ordnen und erst danach mit der Matrixnotation fortzufahren:

Außerdem müssen Sie mit der Bezeichnung unbekannter Variablen vorsichtig sein, statt x 1 , x 2 , …, x n Es können andere Buchstaben sein. Z.B:

in Matrixform schreiben wir:

Mit der Matrixmethode ist es besser, lineare Gleichungssysteme zu lösen, bei denen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt und die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist. Wenn das System mehr als 3 Gleichungen enthält, wird es mehr Rechenaufwand erfordern, um die inverse Matrix zu finden, daher ist es in diesem Fall ratsam, die Gauß-Methode zur Lösung zu verwenden.

In der Praxis sind jedoch zwei weitere Fälle weit verbreitet:

– Das System ist inkonsistent (hat keine Lösungen);
Das System ist konsistent und hat unendlich viele Lösungen.

Notiz : Der Begriff "Konsistenz" impliziert, dass das System zumindest eine Lösung hat. Bei einer Reihe von Aufgaben ist es erforderlich, das System vorab auf Kompatibilität zu untersuchen, wie dies zu tun ist - siehe Artikel über Matrix Rang.

Für diese Systeme kommt das universellste aller Lösungsverfahren zum Einsatz - Gauss-Methode. Tatsächlich wird auch die "Schul"-Methode zur Antwort führen, aber in der höheren Mathematik ist es üblich, die Gaußsche Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten zu verwenden. Diejenigen, die mit dem Algorithmus der Gauß-Methode nicht vertraut sind, lesen Sie bitte zuerst die Lektion Gauss-Methode für Dummies.

Die elementaren Matrixtransformationen selbst sind genau gleich, wird der Unterschied am Ende der Lösung liegen. Betrachten Sie zunächst einige Beispiele, bei denen das System keine Lösungen hat (inkonsistent).

Beispiel 1

Was fällt Ihnen bei diesem System sofort ins Auge? Die Anzahl der Gleichungen ist kleiner als die Anzahl der Variablen. Wenn die Anzahl der Gleichungen kleiner ist als die Anzahl der Variablen, dann können wir sofort sagen, dass das System entweder inkonsistent ist oder unendlich viele Lösungen hat. Und es bleibt nur herauszufinden.

Der Anfang der Lösung ist ganz gewöhnlich - wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen in eine schrittweise Form:

(1) Auf der oberen linken Stufe müssen wir +1 oder -1 erhalten. In der ersten Spalte gibt es keine solchen Zahlen, daher funktioniert das Neuanordnen der Zeilen nicht. Die Einheit muss unabhängig organisiert werden, und dies kann auf verschiedene Weise erfolgen. Ich habe folgendes gemacht: Zur ersten Zeile füge die dritte Zeile hinzu, multipliziert mit -1.

(2) Jetzt bekommen wir zwei Nullen in der ersten Spalte. Zur zweiten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit 3. Zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit 5.

(3) Nachdem die Transformation abgeschlossen ist, ist es immer ratsam zu prüfen, ob es möglich ist, die resultierenden Zeichenfolgen zu vereinfachen? Dürfen. Wir teilen die zweite Zeile durch 2 und erhalten gleichzeitig die gewünschte -1 im zweiten Schritt. Teilen Sie die dritte Zeile durch -3.

(4) Fügen Sie die zweite Zeile zur dritten Zeile hinzu.

Wahrscheinlich haben alle auf die schlechte Linie geachtet, die sich als Ergebnis elementarer Transformationen herausstellte: . Dass das nicht sein kann, ist klar. Tatsächlich schreiben wir die resultierende Matrix um zurück zum linearen Gleichungssystem:

Wenn als Ergebnis elementarer Transformationen eine Zeichenfolge der Form erhalten wird, wobei eine Zahl ungleich Null ist, dann ist das System inkonsistent (hat keine Lösungen) .

Wie zeichnet man das Ende einer Aufgabe auf? Zeichnen wir mit weißer Kreide: "Als Ergebnis elementarer Transformationen wird eine Linie der Form erhalten, wo" und geben Sie die Antwort: Das System hat keine Lösungen (inkonsistent).

Wenn es gemäß der Bedingung erforderlich ist, das System auf Kompatibilität zu ERFORSCHEN, muss eine Lösung in einem solideren Stil unter Einbeziehung des Konzepts herausgegeben werden Matrixrang und das Kronecker-Capelli-Theorem.

Bitte beachten Sie, dass es hier keine Rückwärtsbewegung des Gaußschen Algorithmus gibt - es gibt keine Lösungen und es gibt einfach nichts zu finden.

Beispiel 2

Löse ein lineares Gleichungssystem

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Ich erinnere Sie noch einmal daran, dass Ihr Lösungsweg von meinem Lösungsweg abweichen kann, der Gaußsche Algorithmus hat keine starke „Steifigkeit“.

Ein weiteres technisches Feature der Lösung: Elementare Transformationen können gestoppt werden sofort, sobald eine Zeile wie , wo . Betrachten Sie ein bedingtes Beispiel: Nehmen Sie an, dass wir nach der ersten Transformation eine Matrix erhalten . Die Matrix wurde noch nicht auf eine Stufenform reduziert, aber es besteht keine Notwendigkeit für weitere elementare Transformationen, da eine Linie der Form erschienen ist, wo . Es sollte sofort geantwortet werden, dass das System inkompatibel ist.

Wenn ein lineares Gleichungssystem keine Lösungen hat, ist dies fast ein Geschenk, da eine kurze Lösung erhalten wird, manchmal buchstäblich in 2-3 Schritten.

Aber alles auf dieser Welt ist ausgeglichen, und das Problem, bei dem das System unendlich viele Lösungen hat, ist nur länger.

Beispiel 3

Löse ein lineares Gleichungssystem

Es gibt 4 Gleichungen und 4 Unbekannte, sodass das System entweder eine einzige Lösung oder keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben kann. Was auch immer es war, aber die Gauß-Methode wird uns auf jeden Fall zur Antwort führen. Darin liegt seine Vielseitigkeit.

Der Anfang ist wieder Standard. Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform:

Das ist alles, und du hattest Angst.

(1) Beachten Sie, dass alle Zahlen in der ersten Spalte durch 2 teilbar sind, also ist eine 2 auf der obersten linken Sprosse in Ordnung. Zur zweiten Zeile addieren wir die erste Zeile, multipliziert mit -4. Zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile, multipliziert mit -2. Zur vierten Zeile addieren wir die erste Zeile, multipliziert mit -1.

Beachtung! Viele mögen von der vierten Linie an versucht werden subtrahieren erste Linie. Dies kann gemacht werden, ist aber nicht notwendig, die Erfahrung zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Berechnungsfehlers um ein Vielfaches zunimmt. Einfach addieren: Zur vierten Zeile addieren Sie die erste Zeile, multipliziert mit -1 - genau so!

(2) Die letzten drei Zeilen sind proportional, zwei davon können gestrichen werden.

Auch hier gilt es zu zeigen erhöhte Aufmerksamkeit, aber sind die Linien wirklich proportional? Für die Rückversicherung (insbesondere für eine Teekanne) wäre es nicht überflüssig, die zweite Zeile mit -1 zu multiplizieren und die vierte Zeile durch 2 zu teilen, was drei identische Zeilen ergibt. Und erst danach zwei davon entfernen.

Durch elementare Transformationen wird die erweiterte Matrix des Systems auf eine Stufenform reduziert:

Wenn Sie eine Aufgabe in einem Notizbuch erledigen, ist es ratsam, die gleichen Notizen zur besseren Übersichtlichkeit mit Bleistift zu machen.

Wir schreiben das entsprechende Gleichungssystem um:

Die „übliche“ einzige Lösung des Systems stinkt hier nicht. Es gibt auch keine schlechte Linie. Dies bedeutet, dass dies der dritte verbleibende Fall ist - das System hat unendlich viele Lösungen. Manchmal ist es bedingt notwendig, die Kompatibilität des Systems zu untersuchen (d. h. nachzuweisen, dass es überhaupt eine Lösung gibt), dazu können Sie im letzten Absatz des Artikels nachlesen Wie findet man den Rang einer Matrix? Aber jetzt lassen Sie uns die Grundlagen aufschlüsseln:

Die unendliche Menge von Lösungen des Systems wird kurz in Form der sogenannten geschrieben allgemeine Systemlösung .

Wir werden die allgemeine Lösung des Systems finden, indem wir die umgekehrte Bewegung des Gauß-Verfahrens verwenden.

Zuerst müssen wir bestimmen, welche Variablen wir haben Basic, und welche Variablen frei. Es ist nicht notwendig, sich mit den Begriffen der linearen Algebra zu beschäftigen, es genügt, sich daran zu erinnern, dass es solche gibt Basisvariablen und freie Variablen.

Basisvariablen "sitzen" immer strikt auf den Stufen der Matrix.
In diesem Beispiel sind die Basisvariablen und

Freie Variablen sind alles verbleibend Variablen, die keinen Schritt bekommen haben. In unserem Fall gibt es zwei davon: – freie Variablen.

Jetzt brauchen Sie alles Basisvariablen ausdrücken nur durch freie Variablen.

Die umgekehrte Bewegung des Gaußschen Algorithmus funktioniert traditionell von unten nach oben.
Aus der zweiten Gleichung des Systems drücken wir die Grundvariable aus:

Betrachten Sie nun die erste Gleichung: . Zuerst ersetzen wir den gefundenen Ausdruck:

Es bleibt, die Grundvariable durch freie Variablen auszudrücken:

Das Ergebnis ist, was Sie brauchen - alles die Basisvariablen ( und ) werden ausgedrückt nur durch freie Variablen:

Eigentlich ist die allgemeine Lösung fertig:

Wie schreibe ich die allgemeine Lösung auf?
Freie Variablen werden "von alleine" und strikt an ihren Stellen in die allgemeine Lösung geschrieben. In diesem Fall sollten an zweiter und vierter Stelle freie Variablen geschrieben werden:
.

Die resultierenden Ausdrücke für die Basisvariablen und muss natürlich an erster und dritter Stelle geschrieben werden:

Freie Variablen geben willkürliche Werte, es gibt unendlich viele private Entscheidungen. Die beliebtesten Werte sind Nullen, da die jeweilige Lösung am einfachsten zu bekommen ist. Ersatz in der allgemeinen Lösung:

ist eine private Entscheidung.

Einsen sind ein weiteres süßes Paar, lassen Sie uns in die allgemeine Lösung einsetzen:

ist eine weitere besondere Lösung.

Es ist leicht zu sehen, dass das Gleichungssystem gilt unendlich viele Lösungen(da wir freie Variablen angeben können irgendein Werte)

Jede eine bestimmte Lösung muss genügen zu jedem Systemgleichung. Dies ist die Grundlage für eine „schnelle“ Überprüfung der Richtigkeit der Lösung. Nehmen Sie zum Beispiel eine bestimmte Lösung und setzen Sie sie in die linke Seite jeder Gleichung im ursprünglichen System ein:

Alles muss zusammenpassen. Und bei jeder speziellen Lösung, die Sie erhalten, sollte auch alles zusammenlaufen.

Aber streng genommen täuscht die Überprüfung einer bestimmten Lösung manchmal; eine bestimmte Lösung kann jede Gleichung des Systems erfüllen, und die allgemeine Lösung selbst wird tatsächlich falsch gefunden.

Daher ist die Überprüfung der allgemeinen Lösung gründlicher und zuverlässiger. So überprüfen Sie die resultierende allgemeine Lösung ?

Es ist einfach, aber ziemlich mühsam. Wir müssen Ausdrücke nehmen Basic Variablen, in diesem Fall und , und ersetzen Sie sie auf der linken Seite jeder Gleichung des Systems.

Zur linken Seite der ersten Gleichung des Systems:

Zur linken Seite der zweiten Gleichung des Systems:


Die rechte Seite der ursprünglichen Gleichung wird erhalten.

Beispiel 4

Lösen Sie das System mit der Gauß-Methode. Finden Sie eine allgemeine Lösung und zwei private. Überprüfen Sie die Gesamtlösung.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Übrigens ist auch hier die Anzahl der Gleichungen kleiner als die Anzahl der Unbekannten, wodurch sofort klar ist, dass das System entweder inkonsistent sein wird oder unendlich viele Lösungen haben wird. Was ist im Entscheidungsprozess selbst wichtig? Achtung und nochmals Achtung. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Und noch ein paar Beispiele, um das Material zu verstärken

Beispiel 5

Löse ein lineares Gleichungssystem. Wenn das System unendlich viele Lösungen hat, finden Sie zwei bestimmte Lösungen und überprüfen Sie die allgemeine Lösung

Entscheidung: Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit Hilfe elementarer Transformationen auf die Stufenform:

(1) Fügen Sie die erste Zeile zur zweiten Zeile hinzu. Zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit 2. Zur vierten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit 3.
(2) Fügen Sie zur dritten Zeile die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit -5. Zur vierten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -7.
(3) Die dritte und vierte Zeile sind gleich, wir löschen eine davon.

Hier ist so eine Schönheit:

Basisvariablen sitzen auf Stufen, sind also Basisvariablen.
Es gibt nur eine freie Variable, die keinen Schritt bekommen hat:

Rückwärtsbewegung:
Wir drücken die Basisvariablen durch die freie Variable aus:
Aus der dritten Gleichung:

Betrachten Sie die zweite Gleichung und setzen Sie den gefundenen Ausdruck ein:

Betrachten Sie die erste Gleichung und setzen Sie die gefundenen Ausdrücke und in sie ein:

Ja, ein Taschenrechner, der gewöhnliche Brüche zählt, ist immer noch praktisch.

Die allgemeine Lösung lautet also:

Noch einmal, wie ist es passiert? Die freie Variable sitzt allein auf ihrem rechtmäßigen vierten Platz. Die resultierenden Ausdrücke für die Basisvariablen nahmen ebenfalls ihre Ordinalstellen ein.

Lassen Sie uns gleich die allgemeine Lösung überprüfen. Arbeite für Schwarze, habe ich aber schon gemacht, also fang an =)

Wir setzen drei Helden , , in die linke Seite jeder Gleichung des Systems ein:

Die entsprechenden rechten Seiten der Gleichungen werden erhalten, sodass die allgemeine Lösung korrekt gefunden wird.

Nun von der gefundenen allgemeinen Lösung wir erhalten zwei besondere Lösungen. Der Koch ist hier die einzige freie Variable. Sie müssen sich nicht den Kopf zerbrechen.

Lass dann ist eine private Entscheidung.
Lass dann ist eine weitere besondere Lösung.

Antworten: Gemeinsame Entscheidung: , besondere Lösungen: , .

Ich hätte hier nicht an Schwarze denken sollen ... ... denn mir kamen allerlei sadistische Motive in den Sinn und ich erinnerte mich an die bekannte Fotozhaba, bei der Ku-Klux-Klan-Männer in weißen Overalls nach einem schwarzen Fußball über das Feld rennen Spieler. Ich sitze und lächle leise. Sie wissen, wie ablenkend ….

Viel Mathe schadet, daher ein ähnliches abschließendes Beispiel für eine eigenständige Lösung.

Beispiel 6

Finden Sie die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems.

Ich habe bereits die allgemeine Lösung überprüft, der Antwort kann vertraut werden. Ihre Lösung kann von meiner Lösung abweichen, Hauptsache die allgemeinen Lösungen stimmen überein.

Wahrscheinlich ist vielen Leuten ein unangenehmer Moment in den Lösungen aufgefallen: Sehr oft mussten wir im umgekehrten Verlauf der Gauß-Methode mit gewöhnlichen Brüchen herumspielen. In der Praxis trifft dies zu, Fälle, in denen es keine Brüche gibt, sind viel seltener. Bereiten Sie sich mental und vor allem technisch vor.

Ich werde auf einige Merkmale der Lösung eingehen, die in den gelösten Beispielen nicht gefunden wurden.

Die allgemeine Lösung des Systems kann manchmal eine Konstante (oder Konstanten) enthalten, zum Beispiel: . Hier ist eine der Grundvariablen gleich einer konstanten Zahl: . Darin ist nichts Exotisches, das passiert. Offensichtlich wird in diesem Fall jede bestimmte Lösung eine Fünf an der ersten Position enthalten.

Selten, aber es gibt Systeme, in denen die Anzahl der Gleichungen ist größer als die Anzahl der Variablen. Die Gauss-Methode funktioniert unter härtesten Bedingungen, man sollte die erweiterte Matrix des Systems in aller Ruhe nach dem Standardalgorithmus in eine Stufenform bringen. Ein solches System kann inkonsistent sein, unendlich viele Lösungen haben und seltsamerweise eine eindeutige Lösung haben.

Das Gaußsche Verfahren hat eine Reihe von Nachteilen: Es ist unmöglich zu wissen, ob das System konsistent ist oder nicht, bis alle für das Gaußsche Verfahren erforderlichen Transformationen durchgeführt wurden; das Gaußsche Verfahren ist für Systeme mit Buchstabenkoeffizienten nicht geeignet.

Betrachten Sie andere Methoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Diese Methoden verwenden das Konzept des Rangs einer Matrix und reduzieren die Lösung eines beliebigen gemeinsamen Systems auf die Lösung eines Systems, auf das die Cramersche Regel zutrifft.

Beispiel 1 Finden Sie die allgemeine Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems unter Verwendung des fundamentalen Lösungssystems des reduzierten homogenen Systems und einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems.

1. Wir erstellen eine Matrix EIN und die erweiterte Matrix des Systems (1)

2. Erkunden Sie das System (1) für Kompatibilität. Dazu finden wir die Ränge der Matrizen EIN und https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Wenn sich herausstellt, dass , dann das System (1) unvereinbar. Wenn wir das bekommen , dann ist dieses System konsistent und wir werden es lösen. (Die Konsistenzstudie basiert auf dem Satz von Kronecker-Capelli).

a. Wir finden rA.

Finden rA, betrachten wir sukzessive von Null verschiedene Minoren der ersten, zweiten usw. Ordnung der Matrix EIN und die sie umgebenden Minderjährigen.

M1=1≠0 (1 wird aus der oberen linken Ecke der Matrix genommen SONDERN).

Angrenzend M1 die zweite Zeile und zweite Spalte dieser Matrix. . Wir fahren weiter an der Grenze M1 die zweite Zeile und die dritte Spalte..gif" width="37" height="20 src=">. Jetzt begrenzen wir den Moll ungleich Null М2′ zweite Bestellung.

Wir haben: (weil die ersten beiden Spalten gleich sind)

(weil die zweite und dritte Zeile proportional sind).

Wir sehen das rA=2, und ist der Basis-Minor der Matrix EIN.

b. Wir finden .

Ausreichend grundlegendes Moll М2′ Matrizen EIN Grenze mit einer Spalte mit freien Mitgliedern und allen Zeilen (wir haben nur die letzte Zeile).

. Daraus folgt das М3′′ bleibt die Basis Minor der Matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Als М2′- Basis-Moll der Matrix EIN Systeme (2) , dann ist dieses System äquivalent zu dem System (3) , bestehend aus den ersten beiden Gleichungen des Systems (2) (zum М2′ befindet sich in den ersten beiden Zeilen der Matrix A).

(3)

Da der grundlegende Minor https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> ist (4)

In diesem System sind zwei freie Unbekannte ( x2 und x4 ). So FSR Systeme (4) besteht aus zwei Lösungen. Um sie zu finden, weisen wir freie Unbekannte zu (4) Werte zuerst x2=1 , x4=0 , und dann - x2=0 , x4=1 .

Beim x2=1 , x4=0 wir bekommen:

.

Dieses System hat bereits Das einzige Lösung (sie kann durch die Cramersche Regel oder durch jede andere Methode gefunden werden). Subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten Gleichung, erhält man:

Ihre Entscheidung wird sein x1= -1 , x3=0 . Angesichts der Werte x2 und x4 , die wir gegeben haben, erhalten wir die erste fundamentale Lösung des Systems (2) : .

Jetzt setzen wir ein (4) x2=0 , x4=1 . Wir bekommen:

.

Wir lösen dieses System mit dem Satz von Cramer:

.

Wir erhalten die zweite fundamentale Lösung des Systems (2) : .

Lösungen β1 , β2 und ausmachen FSR Systeme (2) . Dann wird seine allgemeine Lösung sein

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Hier C1 , C2 sind beliebige Konstanten.

4. Finden Sie einen Privat Entscheidung heterogenes System(1) . Wie im Absatz 3 , anstelle des Systems (1) Betrachten Sie das äquivalente System (5) , bestehend aus den ersten beiden Gleichungen des Systems (1) .

(5)

Wir übertragen die freien Unbekannten auf die rechte Seite x2 und x4.

(6)

Lassen Sie uns freie Unbekannte geben x2 und x4 beliebige Werte, zum Beispiel x2=2 , x4=1 und stecke sie ein (6) . Holen wir uns das System

Dieses System hat eine eindeutige Lösung (weil seine Determinante М2′0). Wenn wir es lösen (unter Verwendung des Cramer-Theorems oder der Gauß-Methode), erhalten wir x1=3 , x3=3 . Gegeben sind die Werte der freien Unbekannten x2 und x4 , wir bekommen spezielle Lösung eines inhomogenen Systems(1)α1=(3,2,3,1).

5. Jetzt bleibt noch zu schreiben allgemeine Lösung α eines inhomogenen Systems(1) : es ist gleich der Summe private Entscheidung dieses System u allgemeine Lösung seines reduzierten homogenen Systems (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(-С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Das heisst: (7)

6. Untersuchung. Um zu überprüfen, ob Sie das System richtig gelöst haben (1) , brauchen wir eine allgemeine Lösung (7) einwechseln (1) . Wenn jede Gleichung eine Identität wird ( C1 und C2 zerstört werden soll), dann ist die Lösung richtig gefunden.

Wir werden ersetzen (7) beispielsweise nur in der letzten Gleichung des Systems (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Wir erhalten: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Wobei -1=-1. Wir haben eine Identität. Das machen wir mit allen anderen Gleichungen des Systems (1) .

Kommentar. Die Verifizierung ist in der Regel recht umständlich. Wir können folgende „Teilprüfung“ empfehlen: in der Gesamtlösung des Systems (1) Weisen Sie beliebigen Konstanten einige Werte zu und ersetzen Sie die resultierende bestimmte Lösung nur in den verworfenen Gleichungen (d.h. in jenen Gleichungen aus (1) die nicht darin enthalten sind (5) ). Wenn Sie Identitäten bekommen, dann wahrscheinlich, Lösung des Systems (1) korrekt gefunden (aber eine solche Überprüfung gibt keine volle Garantie für die Korrektheit!). Wenn zum Beispiel in (7) stellen C2=- 1 , C1=1, dann erhalten wir: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Durch Einsetzen in die letzte Gleichung des Systems (1) haben wir: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , also –1=–1. Wir haben eine Identität.

Beispiel 2 Finden Sie eine allgemeine Lösung für ein lineares Gleichungssystem (1) , die die wichtigsten Unbekannten in Form von freien ausdrückt.

Entscheidung. Wie in Beispiel 1, Matrizen erstellen EIN und https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dieser Matrizen. Jetzt lassen wir nur noch diese Gleichungen des Systems (1) , deren Koeffizienten in diesem grundlegenden Minor enthalten sind (d. h. wir haben die ersten beiden Gleichungen), und betrachten das System, das aus ihnen besteht, das dem System (1) entspricht.

Übertragen wir die freien Unbekannten auf die rechte Seite dieser Gleichungen.

System (9) wir lösen nach der Gaußschen Methode, wobei wir die rechten Teile als freie Glieder betrachten.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Option 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Möglichkeit 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Möglichkeit 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Möglichkeit 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Vereinigung von n linearen Gleichungen, die jeweils k Variablen enthalten. Es ist so geschrieben:

Viele, die zum ersten Mal mit höherer Algebra konfrontiert werden, glauben fälschlicherweise, dass die Anzahl der Gleichungen notwendigerweise mit der Anzahl der Variablen übereinstimmen muss. In der Schulalgebra ist das meistens der Fall, aber für die höhere Algebra gilt das im Allgemeinen nicht.

Die Lösung eines Gleichungssystems ist eine Folge von Zahlen (k 1 , k 2 , ..., k n ), die die Lösung jeder Gleichung des Systems ist, d.h. beim Einsetzen in diese Gleichung anstelle der Variablen x 1 , x 2 , ..., x n ergibt die korrekte numerische Gleichheit.

Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet demnach, die Menge aller seiner Lösungen zu finden oder zu beweisen, dass diese Menge leer ist. Da die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Unbekannten möglicherweise nicht gleich sind, sind drei Fälle möglich:

1. Das System ist inkonsistent, d.h. die Menge aller Lösungen ist leer. Ein ziemlich seltener Fall, der leicht erkannt wird, unabhängig davon, mit welcher Methode das System gelöst wird.
2. Das System ist konsistent und definiert, d.h. hat genau eine Lösung. Die klassische Version, bekannt aus der Schulzeit.
3. Das System ist konsistent und undefiniert, d.h. hat unendlich viele Lösungen. Dies ist die schwierigste Option. Es reicht nicht zu sagen, dass „das System eine unendliche Menge von Lösungen hat“ – es ist notwendig zu beschreiben, wie diese Menge angeordnet ist.

Die Variable x i wird als erlaubt bezeichnet, wenn sie in nur einer Gleichung des Systems und mit einem Koeffizienten von 1 enthalten ist. Mit anderen Worten, in den verbleibenden Gleichungen muss der Koeffizient für die Variable x i gleich Null sein.

Wenn wir in jeder Gleichung eine zulässige Variable auswählen, erhalten wir einen Satz zulässiger Variablen für das gesamte Gleichungssystem. Das System selbst, in dieser Form geschrieben, wird auch als erlaubt bezeichnet. Generell kann ein und dasselbe Ausgangssystem auf verschiedene zulässige Systeme reduziert werden, aber das betrifft uns jetzt nicht. Hier sind Beispiele für zulässige Systeme:

Bezüglich der Variablen x 1 , x 3 und x 4 sind beide Systeme erlaubt. Allerdings kann mit gleichem Erfolg argumentiert werden, dass das zweite System in Bezug auf x 1 , x 3 und x 5 erlaubt ist. Es reicht aus, die letzte Gleichung in der Form x 5 = x 4 umzuschreiben.

Betrachten Sie nun einen allgemeineren Fall. Angenommen, wir haben insgesamt k Variablen, von denen r erlaubt sind. Dann sind zwei Fälle möglich:

1. Die Anzahl der erlaubten Variablen r ist gleich der Gesamtzahl der Variablen k : r = k . Wir erhalten ein System von k Gleichungen, in denen r = k erlaubte Variablen sind. Ein solches System ist kooperativ und eindeutig, weil x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Die Anzahl der erlaubten Variablen r ist kleiner als die Gesamtzahl der Variablen k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

In den obigen Systemen sind also die Variablen x 2 , x 5 , x 6 (für das erste System) und x 2 , x 5 (für das zweite) frei. Der Fall freier Variablen lässt sich besser als Theorem formulieren:

Bitte beachten Sie: Dies ist ein sehr wichtiger Punkt! Je nachdem, wie Sie das resultierende System schreiben, kann dieselbe Variable sowohl erlaubt als auch frei sein. Die meisten fortgeschrittenen Mathematiklehrer empfehlen, Variablen in lexikografischer Reihenfolge aufzuschreiben, d. h. aufsteigender Index. Sie müssen diesen Rat jedoch überhaupt nicht befolgen.

Satz. Wenn in einem System von n Gleichungen die Variablen x 1 , x 2 , ..., x r erlaubt sind und x r + 1 , x r + 2 , ..., x k frei sind, dann gilt:

1. Wenn wir die Werte der freien Variablen setzen (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ) und dann die Werte x 1 , x 2 , . .., x r , erhalten wir eine der Lösungen.
2. Wenn die Werte der freien Variablen in zwei Lösungen gleich sind, dann sind auch die Werte der erlaubten Variablen gleich, d.h. Lösungen sind gleich.

Welche Bedeutung hat dieser Satz? Um alle Lösungen des erlaubten Gleichungssystems zu erhalten, genügt es, die freien Variablen herauszugreifen. Indem wir freien Variablen unterschiedliche Werte zuweisen, erhalten wir fertige Lösungen. Das ist alles - auf diese Weise erhalten Sie alle Lösungen des Systems. Es gibt keine anderen Lösungen.

Fazit: Das erlaubte Gleichungssystem ist immer konsistent. Wenn die Anzahl der Gleichungen im zulässigen System gleich der Anzahl der Variablen ist, ist das System definitiv, wenn es weniger ist, ist es unbestimmt.

Und alles wäre gut, aber es stellt sich die Frage: Wie bekommt man das aufgelöste aus dem ursprünglichen Gleichungssystem? Dafür gibt es