Grundbegriffe der Kinematik und Gleichungen. Kinematik. Grundformeln Formeln der Kinematik mit Dekodierung

KINEMATIK

Grundbegriffe, Gesetze und Formeln.

Kinematik- ein Zweig der Mechanik, in dem die mechanische Bewegung von Körpern untersucht wird, ohne die Ursachen zu berücksichtigen, die die Bewegung verursachen.

Mechanische Bewegung bezeichnet die Änderung der Position eines Körpers im Raum im Laufe der Zeit relativ zu anderen Körpern.

Das einfachste mechanische Uhrwerk ist die Bewegung eines materiellen Punktes - eines Körpers, dessen Größe und Form bei der Beschreibung seiner Bewegung vernachlässigt werden kann.

Die Bewegung eines materiellen Punktes wird durch eine Trajektorie, Weglänge, Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung charakterisiert.

Flugbahn Nennen Sie eine Linie im Raum, die während ihrer Bewegung durch einen Punkt beschrieben wird.

Distanz, die der Körper entlang der Bewegungsbahn passiert, ist der Weg (S).

ziehen um- gerichtetes Segment, das die Anfangs- und Endposition des Körpers verbindet.

Pfadlänge ist eine skalare Größe, Verschiebung ist eine vektorielle Größe.

Durchschnittsgeschwindigkeit ist eine physikalische Größe, die dem Verhältnis des Verschiebungsvektors zum Zeitintervall entspricht, in dem die Verschiebung aufgetreten ist:

Momentane Geschwindigkeit oder Geschwindigkeit an einem bestimmten Punkt der Flugbahn ist eine physikalische Größe, die der Grenze entspricht, zu der die Durchschnittsgeschwindigkeit bei unendlicher Abnahme des Zeitintervalls Dt tendiert:

Der Wert, der die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit charakterisiert, wird als mittlere Beschleunigung bezeichnet:

.

Ähnlich wie das Konzept der Momentangeschwindigkeit wird das Konzept der Momentanbeschleunigung eingeführt:

Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ist die Beschleunigung konstant.

Die einfachste Form der mechanischen Bewegung ist die geradlinige Bewegung eines Punktes mit konstanter Beschleunigung.

Bewegung mit konstanter Beschleunigung heißt gleich variabel; in diesem Fall:

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Zusammenhang zwischen linearen und Winkelgrößen bei Drehbewegung:

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Jede komplexe Bewegung kann als Ergebnis der Addition einfacher Bewegungen betrachtet werden. Die resultierende Verschiebung ist gleich der geometrischen Summe und wird durch die Regel der Vektoraddition gefunden. Auch die Geschwindigkeit des Körpers und die Geschwindigkeit des Bezugssystems addieren sich vektoriell.

Bei der Lösung von Problemen für bestimmte Abschnitte des Kurses müssen zusätzlich zu den allgemeinen Lösungsregeln einige Ergänzungen berücksichtigt werden, die sich auf die Besonderheiten der Abschnitte selbst beziehen.

Kinematische Aufgaben, die im Rahmen der Elementarphysik analysiert werden, umfassen: Probleme der gleichförmig veränderlichen geradlinigen Bewegung eines oder mehrerer Punkte, Probleme der krummlinigen Bewegung eines Punktes auf einer Ebene. Wir werden jede dieser Arten von Aufgaben separat betrachten.

Nachdem Sie den Zustand des Problems gelesen haben, müssen Sie eine schematische Zeichnung erstellen, die das Referenzsystem darstellen und die Flugbahn des Punktes angeben soll.

Nachdem die Zeichnung abgeschlossen ist, verwenden Sie die Formeln:

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Durch Ersetzen der erweiterten Ausdrücke für Sn, S0, vn, v0 usw. in ihnen endet der erste Teil der Lösung.

Beispiel 1 . Der Radfahrer war von einer Stadt zur anderen unterwegs. Er fuhr die halbe Strecke mit einer Geschwindigkeit von v1 = 12 km/h, dann fuhr er die Hälfte der restlichen Zeit mit einer Geschwindigkeit von v2 = 6 km/h und ging dann mit einer Geschwindigkeit von v3 bis zum Ende der Strecke = 4 km/h. Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Radfahrers für die gesamte Strecke.

a) Dieses Problem betrifft die gleichförmige geradlinige Bewegung eines Körpers. Wir stellen es als Diagramm dar. Bei der Erstellung stellen wir die Bewegungsbahn dar und wählen darauf den Referenzpunkt (Punkt 0). Wir teilen den gesamten Weg in drei Segmente S1, S2, S3, auf jedem von ihnen geben wir die Geschwindigkeiten v1, v2, v3 an und notieren die Bewegungszeit t1, t2, t3.

S = S1 + S2 + S3, t = t1 + t2 + t3.

b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für jedes Bahnsegment auf:

S1 = v1t1; S2 = v2t2; S3 = v3t3 und schreiben Sie zusätzliche Bedingungen des Problems:

S1 = S2 + S3; t2 = t3; .

c) Wir lesen die Bedingung des Problems erneut, schreiben die Zahlenwerte der bekannten Größen aus und bestimmen die Anzahl der Unbekannten im resultierenden Gleichungssystem (es gibt 7 davon: S1, S2, S3, t1 , t2, t3, vav), lösen wir nach dem gesuchten Wert vav.

Wenn bei der Lösung des Problems alle Bedingungen vollständig berücksichtigt werden, in den formulierten Gleichungen jedoch die Anzahl der Unbekannten größer ist als die Anzahl der Gleichungen, bedeutet dies, dass bei nachfolgenden Berechnungen eine der Unbekannten reduziert wird, tritt auch ein solcher Fall ein Platz in diesem Problem.

Die Lösung des Systems nach der Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt:

.

d) Setzen wir die Zahlenwerte in die Berechnungsformel ein, erhalten wir:

; durchschnittlich 7 km/h.

Wir erinnern Sie daran, dass es bequemer ist, numerische Werte in der endgültigen Berechnungsformel zu ersetzen und alle Zwischenwerte zu umgehen. Das spart Zeit bei der Lösung des Problems und verhindert zusätzliche Fehler in den Berechnungen.

Bei der Lösung von Problemen bei der Bewegung von Körpern, die senkrecht nach oben geworfen werden, sollte auf Folgendes besonders geachtet werden. Die Geschwindigkeits- und Verschiebungsgleichungen für einen senkrecht nach oben geworfenen Körper geben die allgemeine Abhängigkeit von v und h von t für die gesamte Bewegungszeit des Körpers. Sie gelten (mit Minuszeichen) nicht nur für einen langsamen Aufstieg nach oben, sondern auch für einen weiteren gleichmäßig beschleunigten Fall des Körpers, da die Bewegung des Körpers nach einem augenblicklichen Stopp am höchsten Punkt der Flugbahn mit derselben erfolgt Beschleunigung. In diesem Fall bedeutet h immer die Bewegung eines sich bewegenden Punktes entlang der Vertikalen, dh seine Koordinate zu einem bestimmten Zeitpunkt - die Entfernung vom Ursprung der Bewegung zum Punkt.

Wird ein Körper mit der Geschwindigkeit V0 senkrecht nach oben geschleudert, so sind die Zeit tpod und die Höhe hmax seines Aufstiegs gleich:

; .

Außerdem ist die Fallzeit dieses Körpers zum Ausgangspunkt gleich der Aufstiegszeit zur maximalen Höhe (tfall = tpod), und die Fallgeschwindigkeit ist gleich der anfänglichen Wurfgeschwindigkeit (vfall = v0).

Beispiel 2 . Ein Körper wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 = 3,13 m/s senkrecht nach oben geschleudert. Als es den Höhepunkt seines Fluges erreichte, wurde ein zweiter Körper vom selben Startpunkt mit derselben Anfangsgeschwindigkeit geworfen. Bestimmen Sie, in welcher Entfernung vom Wurfpunkt sich die Körper treffen; Luftwiderstand wird vernachlässigt.

Entscheidung. Wir machen eine Zeichnung. Wir markieren darauf die Flugbahn des ersten und zweiten Körpers. Nachdem wir den Ursprung am Punkt gewählt haben, geben wir die Anfangsgeschwindigkeit der Körper v0, die Höhe h, in der das Treffen stattfand (Koordinate y=h), und die Zeit t1 und t2 der Bewegung jedes Körpers bis zum Moment an das Treffen.

Die Gleichung für die Bewegung eines aufgeworfenen Körpers ermöglicht es Ihnen, die Koordinate des sich bewegenden Körpers für jeden Moment zu finden, unabhängig davon, ob der Körper nach oben steigt oder nach dem Absenken fällt, also für den ersten Körper

,

und zum zweiten

.

Wir bilden die dritte Gleichung basierend auf der Bedingung, dass der zweite Körper für die Zeit des maximalen Aufstiegs später geworfen wurde als der erste:

Lösen wir das System aus drei Gleichungen nach h auf, erhalten wir:

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wo und ; https://pandia.ru/text/78/108/images/image042.gif" width="58" height="22 src=">.gif" width="381" height="278">

Wir wählen ein rechteckiges Koordinatensystem so, dass sein Ursprung mit dem Wurfpunkt zusammenfällt und die Achsen entlang der Erdoberfläche und senkrecht zu ihr in Richtung der anfänglichen Verschiebung des Projektils gerichtet sind. Wir zeigen die Flugbahn des Projektils, seine Anfangsgeschwindigkeit, den Wurfwinkel a, die Höhe h, die horizontale Verschiebung S, die Geschwindigkeit im Fallmoment (sie ist tangential zur Flugbahn am Aufprallpunkt gerichtet) und den Einfallswinkel j ( Der Einfallswinkel eines Körpers ist der Winkel zwischen der Tangente an die zum Einfallspunkt gezogene Flugbahn und der Normalen zur Erdoberfläche).

Die Bewegung eines Körpers, der in einem Winkel zum Horizont geworfen wird, kann als Ergebnis der Addition von zwei geradlinigen Bewegungen dargestellt werden: eine entlang der Erdoberfläche (sie wird gleichmäßig sein, da der Luftwiderstand nicht berücksichtigt wird) und die zweitens senkrecht zur Erdoberfläche (in diesem Fall wird es die Bewegung eines Körpers sein, der senkrecht nach oben geworfen wird). Um eine komplexe Bewegung durch zwei einfache zu ersetzen, zerlegen wir (gemäß der Parallelogrammregel) Geschwindigkeiten und vx und vy stehen für Geschwindigkeit.

a, b) Stellen Sie die Geschwindigkeits- und Verschiebungsgleichung für ihre Projektionen in jede Richtung auf. Da das Projektil gleichmäßig in horizontaler Richtung fliegt, erfüllen seine Geschwindigkeit und seine Koordinaten jederzeit die Gleichungen

und . (2)

Für vertikale Richtung:

(3)

und . (4)

Zum Zeitpunkt t1, wenn das Projektil auf dem Boden auftrifft, sind seine Koordinaten:

In der letzten Gleichung wird die Verschiebung h mit einem Minuszeichen genommen, da sich das Projektil während der Bewegung relativ zum Referenzniveau 0 der Höhe in die Richtung bewegen wird, die der als positiv angenommenen Richtung entgegengesetzt ist.

Die resultierende Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Sturzes ist:

Es gibt fünf Unbekannte im erstellten Gleichungssystem, wir müssen S und v bestimmen.

Ohne Luftwiderstand ist die Geschwindigkeit fallender Körper gleich der anfänglichen Wurfgeschwindigkeit, unabhängig von dem Winkel, in dem der Körper geworfen wurde, solange sich der Wurf- und der Fallpunkt auf derselben Höhe befinden. Wenn man bedenkt, dass sich die horizontale Komponente der Geschwindigkeit im Laufe der Zeit nicht ändert, lässt sich leicht feststellen, dass die Geschwindigkeit des Körpers im Moment des Fallens denselben Winkel mit dem Horizont bildet wie im Moment des Wurfs.

e) Auflösen der Gleichungen (2), (4) und (5) nach dem anfänglichen Wurfwinkel a ergibt:

. (10)

Da der Wurfwinkel nicht imaginär sein kann, hat dieser Ausdruck nur unter der Bedingung eine physikalische Bedeutung

,

also ,

woraus folgt, dass die maximale Bewegung des Projektils in horizontaler Richtung gleich ist:

.

Setzt man den Ausdruck für S = Smax in Formel (10) ein, erhält man für den Winkel a, bei dem die Flugreichweite am größten ist:

Zunächst sei darauf hingewiesen, dass es sich um einen geometrischen Punkt handelt, also um einen Raumbereich, der keine Dimensionen hat. Für dieses abstrakte Bild (Modell) gelten alle unten aufgeführten Definitionen und Formeln. Der Kürze halber werde ich jedoch oft auf den Antrag verweisen Karosserie, Objekt oder Partikel. Ich mache das nur, um Ihnen das Lesen zu erleichtern. Aber denken Sie immer daran, dass wir über einen geometrischen Punkt sprechen.

Radius-Vektor Punkte ist ein Vektor, dessen Anfang mit dem Ursprung des Koordinatensystems zusammenfällt und dessen Ende mit dem gegebenen Punkt zusammenfällt. Der Radiusvektor wird üblicherweise mit dem Buchstaben bezeichnet r. Leider beziehen sich einige Autoren darauf als s. Sehr zu empfehlen verwende nicht Bezeichnung s für den Radiusvektor. Tatsache ist, dass die überwiegende Mehrheit der Autoren (sowohl im Inland als auch im Ausland) den Buchstaben s verwendet, um einen Pfad zu bezeichnen, der ein Skalar ist und in der Regel nichts mit dem Radiusvektor zu tun hat. Wenn Sie den Radiusvektor als bezeichnen s da kann man leicht durcheinander kommen. Wieder einmal werden wir, wie alle normalen Menschen, die folgende Notation verwenden: r der Radiusvektor des Punktes ist, s der vom Punkt zurückgelegte Weg ist.

Verschiebungsvektor(man sagt oft nur - ziehen um) - Das Vektor, dessen Anfang mit dem Punkt der Bahn zusammenfällt, an dem sich der Körper befand, als wir begannen, diese Bewegung zu studieren, und das Ende dieses Vektors mit dem Punkt der Bahn zusammenfällt, an dem wir diese Studie beendeten. Wir bezeichnen diesen Vektor als Δ r. Die Verwendung des Symbols Δ ist offensichtlich: Δ r ist die Differenz zwischen dem Radiusvektor r der Endpunkt des untersuchten Segments der Trajektorie und der Radiusvektor r 0 Punkt des Anfangs dieses Segments (Fig. 1), dh Δ r= r − r 0 .

Flugbahn ist die Linie, entlang der sich der Körper bewegt.

Weg- dies ist die Summe der Längen aller Abschnitte der Bahn, die der Körper während der Bewegung nacheinander durchläuft. Sie wird entweder mit ∆S bezeichnet, wenn es sich um einen Abschnitt der Bahn handelt, oder um S, wenn es sich um die gesamte Bahn der beobachteten Bewegung handelt. Manchmal (selten) wird der Pfad auch durch einen anderen Buchstaben gekennzeichnet, zum Beispiel L (bezeichne ihn nur nicht als r, darüber haben wir bereits gesprochen). Erinnern! Der Weg ist positiver Skalar! Der Pfad im Bewegungsablauf kann nur erhöhen.

Durchschnittliche Reisegeschwindigkeit v Heiraten

v cf = ∆ r/Δt.

Momentane Bewegungsgeschwindigkeit v der durch den Ausdruck definierte Vektor ist

v=d r/dt.

Durchschnittliche Reisegeschwindigkeit v cp ist der durch den Ausdruck definierte Skalar

Waw = ∆s/∆t.

Andere Notationen werden oft verwendet, zum Beispiel .

Momentane Fahrgeschwindigkeit v ist der durch den Ausdruck definierte Skalar

Der Modul der Momentangeschwindigkeit der Bewegung und der Momentangeschwindigkeit des Weges sind gleich, da dr = ds.

Durchschnittliche Beschleunigung a

a cf = ∆ v/Δt.

Sofortiger Schub(oder einfach, Beschleunigung) a der durch den Ausdruck definierte Vektor ist

a=d v/dt.

Tangentiale (tangentiale) Beschleunigung aτ (der Index ist der griechische Kleinbuchstabe Tau) ist Vektor, welches ist Vektorprojektion momentane Beschleunigung auf der Tangentialachse.

Normale (zentripetale) Beschleunigung a n ist Vektor, welches ist Vektorprojektion momentane Beschleunigung auf der Normalachse .

Tangentialer Beschleunigungsmodul

| aτ | = du/dt,

Das heißt, es ist die zeitliche Ableitung des Moduls der Momentangeschwindigkeit.

Normales Beschleunigungsmodul

| a n | = v 2 /r,

Wobei r der Wert des Krümmungsradius der Flugbahn an dem Punkt ist, an dem sich der Körper befindet.

Wichtig! Ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auf Folgendes lenken. Nicht verwechseln mit der Notation von Tangential- und Normalbeschleunigung! Tatsache ist, dass es in der Literatur zu diesem Thema traditionell einen kompletten Leapfrog gibt.

Erinnern!

a es ist Vektor Tangentialbeschleunigung,

a n ist Vektor normale Beschleunigung.

aτ und a n sind Vektor volle Beschleunigungsprojektionen a auf der Tangentialachse bzw. der Normalachse,

A τ ist die Projektion (skalar!) der Tangentialbeschleunigung auf die Tangentialachse,

A n ist die Projektion (skalar!) der Normalbeschleunigung auf die Normalachse,

| aτ | ist Modul Vektor Tangentialbeschleunigung,

| a n | - Das Modul Vektor normale Beschleunigung.

Seien Sie insbesondere nicht überrascht, wenn Sie beim Lesen in der Literatur über krummlinige (insbesondere Rotations-) Bewegung feststellen, dass der Autor ein τ als einen Vektor und seine Projektion und seinen Modul versteht. Dasselbe gilt für ein n . Alles, wie sie sagen, "in einer Flasche". Und das ist leider allzu oft der Fall. Sogar Lehrbücher für die Hochschulbildung sind keine Ausnahme, in vielen von ihnen (glauben Sie mir - in den meisten!) herrscht darüber völlige Verwirrung.

Also, ohne die Grundlagen der Vektoralgebra zu kennen oder sie zu vernachlässigen, ist es sehr leicht, beim Studieren und Analysieren physikalischer Prozesse völlig verwirrt zu werden. Daher sind Kenntnisse in Vektoralgebra erforderlich die wichtigste Voraussetzung für den Erfolg im Studium der Mechanik. Und nicht nur Mechanik. Davon werden Sie in Zukunft beim Studium anderer Teilgebiete der Physik immer wieder überzeugt sein.

Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit(oder einfach, Winkelgeschwindigkeit) ω der durch den Ausdruck definierte Vektor ist

ω =d φ /dt,

Wo d φ - eine infinitesimale Änderung der Winkelkoordinate (d φ - Vektor!).

Momentane Winkelbeschleunigung(oder einfach, Winkelbeschleunigung) ε der durch den Ausdruck definierte Vektor ist

ε =d ω /dt.

Verbindung zwischen v, ω und r:

v = ω × r.

Verbindung zwischen v, ω und r:

Verbindung zwischen | aτ |, ε und r:

| aτ | = ε r.

Kommen wir nun zu kinematische Gleichungen bestimmte Bewegungsarten. Diese Gleichungen müssen gelernt werden auswendig.

Kinematische Gleichung der gleichförmigen und geradlinigen Bewegung sieht aus wie:

r = r 0 + v t,

Woher r ist der Radiusvektor des Objekts zum Zeitpunkt t, r 0 - das gleiche zum Anfangszeitpunkt t 0 (zu Beginn der Beobachtungen).

Kinematische Bewegungsgleichung mit konstanter Beschleunigung sieht aus wie:

r = r 0 + v 0 t + a t 2 /2, wo v 0 die Geschwindigkeit des Objekts zum Zeitpunkt t 0 .

Die Gleichung für die Geschwindigkeit eines Körpers bei Bewegung mit konstanter Beschleunigung sieht aus wie:

v = v 0 + a t.

Kinematische Gleichung der gleichförmigen Kreisbewegung in Polarkoordinaten sieht aus wie:

φ = φ 0 + ω z t,

Wobei φ die Winkelkoordinate des Körpers zu einem gegebenen Zeitpunkt ist, φ 0 die Winkelkoordinate des Körpers zu dem Zeitpunkt ist, zu dem die Beobachtung beginnt (zum Anfangszeitpunkt), ω z die Projektion der Winkelgeschwindigkeit ist ω auf der Z-Achse (normalerweise wird diese Achse senkrecht zur Rotationsebene gewählt).

Kinematische Kreisbewegungsgleichung mit konstanter Beschleunigung in Polarkoordinaten sieht aus wie:

φ = φ 0 + ω 0z t + ε z t 2 /2.

Kinematische Gleichung harmonischer Schwingungen entlang der X-Achse sieht aus wie:

X \u003d Ein Cos (ω t + φ 0),

Wobei A die Amplitude der Schwingungen ist, ω die zyklische Frequenz ist, φ 0 die Anfangsphase der Schwingungen ist.

Die Projektion der Geschwindigkeit eines entlang der X-Achse oszillierenden Punktes auf diese Achse entspricht:

V x = − ω A Sin (ω t + φ 0).

Die Projektion der Beschleunigung eines entlang der X-Achse oszillierenden Punktes auf diese Achse entspricht:

A x \u003d - ω 2 A Cos (ω t + φ 0).

Verbindung zwischen der zyklischen Frequenz ω, der ordentlichen Frequenz ƒ und der Schwingungsdauer T:

ω \u003d 2 πƒ \u003d 2 π / T (π \u003d 3,14 - die Anzahl der Pi).

Mathematisches Pendel hat eine Schwingungsdauer T, bestimmt durch den Ausdruck:

Im Zähler des Wurzelausdrucks steht die Länge des Pendelfadens, im Nenner die Beschleunigung des freien Falls

Verbindung zwischen absolut v abs, relativ v relativ und figurativ v Bahngeschwindigkeiten:

v abs = v rel + v pro.

Hier sind vielleicht alle Definitionen und Formeln, die bei der Lösung von Problemen in der Kinematik benötigt werden. Die bereitgestellten Informationen dienen nur als Referenz und können kein E-Book ersetzen, in dem die Theorie dieses Abschnitts der Mechanik auf zugängliche, detaillierte und, wie ich hoffe, faszinierende Weise präsentiert wird.

Was sind die Grundbegriffe der Kinematik? Was ist diese Wissenschaft und was untersucht sie? Heute werden wir darüber sprechen, was Kinematik ist, welche grundlegenden Konzepte der Kinematik in Aufgaben vorkommen und was sie bedeuten. Lassen Sie uns außerdem über die Mengen sprechen, die am häufigsten behandelt werden.

Kinematik. Grundbegriffe und Definitionen

Lassen Sie uns zuerst darüber sprechen, was es ist. Einer der am meisten studierten Bereiche der Physik im Schulkurs ist die Mechanik. Es folgen in unbestimmter Reihenfolge die Elektrizität, die Optik und einige andere Zweige, wie zum Beispiel die Kern- und Atomphysik. Aber werfen wir einen genaueren Blick auf die Mechanik. Dieser befasst sich mit der Untersuchung der mechanischen Bewegung von Körpern. Darin werden einige Regelmäßigkeiten festgestellt und ihre Methoden studiert.

Kinematik als Teil der Mechanik

Letztere gliedert sich in drei Teile: Kinematik, Dynamik und drei Teilwissenschaften, wenn man sie so nennen kann, haben einige Besonderheiten. Die Statik untersucht zum Beispiel die Regeln für das Gleichgewicht mechanischer Systeme. Da kommt mir sofort eine Assoziation mit Waagen in den Sinn. Die Dynamik untersucht die Bewegungsgesetze von Körpern, achtet aber gleichzeitig auf die auf sie einwirkenden Kräfte. Aber die Kinematik tut dasselbe, nur Kräfte werden nicht berücksichtigt. Folglich wird die Masse eben dieser Körper bei den Aufgaben nicht berücksichtigt.

Grundbegriffe der Kinematik. mechanische Bewegung

Gegenstand dieser Wissenschaft ist: Darunter versteht man einen Körper, dessen Dimensionen im Vergleich zu einem bestimmten mechanischen System vernachlässigt werden können. Dieser sogenannte idealisierte Körper ist mit einem idealen Gas verwandt, das in der Sektion Molekularphysik betrachtet wird. Generell spielt der Begriff des materiellen Punktes sowohl in der Mechanik im Allgemeinen als auch in der Kinematik im Besonderen eine ziemlich wichtige Rolle. Die am häufigsten als sogenannte

Was bedeutet das und was kann das sein?

Typischerweise werden Bewegungen in Rotations- und Translationsbewegungen unterteilt. Die grundlegenden Konzepte der Kinematik der Translationsbewegung beziehen sich hauptsächlich auf die in den Formeln verwendeten Größen. Wir werden später darüber sprechen, aber kehren wir jetzt zu der Art der Bewegung zurück. Es ist klar, dass sich der Körper dreht, wenn wir über Rotation sprechen. Dementsprechend wird die Translationsbewegung die Bewegung des Körpers in einer Ebene oder linear genannt.

Theoretische Grundlagen zur Lösung von Problemen

Die Kinematik, deren grundlegende Konzepte und Formeln wir jetzt betrachten, hat eine Vielzahl von Aufgaben. Dies wird durch die übliche Kombinatorik erreicht. Eines der Diversity-Verfahren ist hier das Ändern unbekannter Bedingungen. Ein und dasselbe Problem kann in einem anderen Licht dargestellt werden, indem einfach der Zweck seiner Lösung geändert wird. Es ist erforderlich, Entfernung, Geschwindigkeit, Zeit und Beschleunigung zu finden. Wie Sie sehen können, gibt es eine ganze Reihe von Optionen. Wenn wir hier die Bedingungen des freien Falls mit einbeziehen, wird der Raum einfach unvorstellbar.

Mengen und Formeln

Lassen Sie uns zunächst eine Einschränkung machen. Mengen können bekanntermaßen einen Doppelcharakter haben. Einerseits kann ein bestimmter Zahlenwert einem bestimmten Wert entsprechen. Andererseits kann es aber auch eine Verteilungsrichtung haben. Zum Beispiel eine Welle. In der Optik sind wir mit einem Konzept wie der Wellenlänge konfrontiert. Aber wenn es eine kohärente Lichtquelle gibt (derselbe Laser), dann haben wir es mit einem Strahl ebener polarisierter Wellen zu tun. Somit entspricht die Welle nicht nur einem numerischen Wert, der ihre Länge angibt, sondern auch einer bestimmten Ausbreitungsrichtung.

Klassisches Beispiel

Solche Fälle sind eine Analogie in der Mechanik. Nehmen wir an, ein Karren rollt vor uns her. Durch die Art der Bewegung können wir die Vektoreigenschaften ihrer Geschwindigkeit und Beschleunigung bestimmen. Dies wird etwas schwieriger, wenn Sie sich vorwärts bewegen (z. B. auf einem flachen Boden), daher werden wir zwei Fälle betrachten: wenn der Wagen hochrollt und wenn er herunterrollt.

Stellen wir uns also vor, dass der Wagen eine leichte Steigung hinauffährt. In diesem Fall wird es langsamer, wenn keine äußeren Kräfte auf es einwirken. Aber in der umgekehrten Situation, nämlich wenn der Wagen herunterrollt, wird er beschleunigen. Die Geschwindigkeit ist in zwei Fällen dahin gerichtet, wo sich das Objekt bewegt. Dies sollte als Regel gelten. Aber die Beschleunigung kann den Vektor verändern. Beim Verzögern wird es in die dem Geschwindigkeitsvektor entgegengesetzte Richtung gerichtet. Das erklärt die Verlangsamung. Eine ähnliche logische Kette kann auf die zweite Situation angewendet werden.

Andere Mengen

Wir haben gerade darüber gesprochen, dass sie in der Kinematik nicht nur mit skalaren Größen arbeiten, sondern auch mit vektoriellen. Gehen wir jetzt noch einen Schritt weiter. Neben Geschwindigkeit und Beschleunigung werden beim Lösen von Problemen auch Eigenschaften wie Entfernung und Zeit verwendet. Übrigens ist die Geschwindigkeit in Anfangs- und Momentangeschwindigkeit unterteilt. Der erste von ihnen ist ein Spezialfall des zweiten. - Dies ist die Geschwindigkeit, die jederzeit gefunden werden kann. Und von Anfang an ist wahrscheinlich alles klar.

Aufgabe

Ein beträchtlicher Teil der Theorie wurde von uns weiter oben in den vorangegangenen Abschnitten untersucht. Jetzt müssen nur noch die Grundformeln angegeben werden. Aber wir werden es noch besser machen: Wir werden die Formeln nicht nur betrachten, sondern auch bei der Problemlösung anwenden, um die gewonnenen Erkenntnisse abschließend zu festigen. Kinematik verwendet eine ganze Reihe von Formeln, durch deren Kombination Sie alles erreichen können, was Sie lösen müssen. Stellen wir uns ein Problem mit zwei Bedingungen vor, um dies vollständig zu verstehen.

Ein Radfahrer bremst nach dem Überqueren der Ziellinie ab. Er brauchte fünf Sekunden, um vollständig zum Stehen zu kommen. Finden Sie heraus, mit welcher Beschleunigung er abgebremst hat und wie viel Bremsweg er zurückgelegt hat. als linear betrachtet, wird die Endgeschwindigkeit gleich Null genommen. Beim Überqueren der Ziellinie betrug die Geschwindigkeit 4 Meter pro Sekunde.

Tatsächlich ist die Aufgabe recht interessant und gar nicht so einfach, wie es auf den ersten Blick erscheinen mag. Wenn wir versuchen, die Abstandsformel in die Kinematik zu übernehmen (S = Vot + (-) (bei ^ 2/2)), dann wird daraus nichts, da wir eine Gleichung mit zwei Variablen haben werden. Wie ist in einem solchen Fall vorzugehen? Wir können zwei Wege gehen: zuerst die Beschleunigung berechnen, indem wir die Daten in die Formel V = Vo - at einsetzen, oder die Beschleunigung von dort ausdrücken und sie in die Entfernungsformel einsetzen. Wenden wir die erste Methode an.

Die Endgeschwindigkeit ist also Null. Anfänglich - 4 Meter pro Sekunde. Indem wir die entsprechenden Größen auf die linke und rechte Seite der Gleichung übertragen, erhalten wir einen Ausdruck für die Beschleunigung. Hier gilt: a = Vo/t. Sie beträgt also 0,8 Meter pro Quadratsekunde und hat Bremscharakter.

Kommen wir zur Entfernungsformel. Wir ersetzen einfach Daten darin. Wir bekommen die Antwort: Der Bremsweg beträgt 10 Meter.

Um zu verstehen, was die Mechanik studiert, muss man sich überlegen, was Bewegung im allgemeinsten Sinne bedeutet. Die Bedeutung dieses Wortes impliziert eine Veränderung in etwas. Beispielsweise setzt sich eine politische Bewegung für die Gleichberechtigung verschiedener Bevölkerungsgruppen unabhängig von ihrer Rasse ein. Früher gab es das nicht, dann hat sich etwas geändert und jetzt hat jeder Mensch die gleichen Rechte. Dies ist die Vorwärtsbewegung der Zivilisation. Ein weiteres Beispiel ist die Umwelt. In der Vergangenheit hat sich niemand Gedanken darüber gemacht, was der Müll hinterlässt, wenn er in die Natur gegangen ist. Heute wird es von jeder zivilisierten Person gesammelt und zu einem speziell dafür vorgesehenen Ort zur weiteren Entsorgung gebracht.

Ähnliches lässt sich in der Mechanik beobachten. Bei mechanischer Bewegung ändert sich die Position des Körpers im Raum relativ zu anderen Objekten im Laufe der Zeit. Die Hauptaufgabe der Mechanik besteht darin, anzuzeigen, wo sich das Objekt gerade befindet, auch unter Berücksichtigung des noch nicht eingetroffenen. Das heißt, um die Position des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt vorherzusagen, und nicht nur um herauszufinden, wo im Raum er sich in der Vergangenheit genau befunden hat.

Die Kinematik ist ein Teilgebiet der Mechanik, das die Bewegung eines Körpers untersucht, ohne seine Ursachen zu analysieren. Das heißt, es lehrt nicht zu erklären, sondern zu beschreiben. Das heißt, einen Weg zu finden, mit dem man die Position des Körpers jederzeit einstellen könnte. Die grundlegenden Konzepte der Kinematik umfassen Geschwindigkeit, Beschleunigung, Weg, Zeit und Verschiebung.

Schwierigkeiten, Bewegung zu beschreiben

Das erste Problem der Kinematik ist, dass jeder Körper eine bestimmte Größe hat. Angenommen, es ist notwendig, die Bewegung eines Objekts zu beschreiben. Dies bedeutet zu lernen, seine Position zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen. Aber jedes Objekt nimmt einen bestimmten Platz im Raum ein. Das heißt, dass alle Teile dieses Objekts gleichzeitig eine andere Position einnehmen.

Welcher Punkt sollte in diesem Fall genommen werden, um den Standort des gesamten Objekts zu beschreiben? Wenn Sie beide berücksichtigen, werden die Berechnungen zu kompliziert. Daher kann die Antwort auf diese Frage so weit wie möglich vereinfacht werden. Wenn sich alle Punkte eines Körpers in die gleiche Richtung bewegen, dann genügt ein solcher Punkt, den dieser Körper enthält, um die Bewegung zu beschreiben.

Bewegungsarten in der Kinematik

Es gibt drei Arten:

1. Translation ist eine Bewegung, bei der jede im Körper gezogene gerade Linie parallel zu sich selbst bleibt. Beispielsweise macht ein Auto, das sich auf einer Autobahn bewegt, diese Art von Bewegung.
2. Rotation ist die Bewegung eines Körpers, bei der sich alle seine Punkte auf Kreisen bewegen, wobei die Mittelpunkte auf einer geraden Linie liegen, die Rotationsachse genannt wird. Zum Beispiel die Drehung der Erde um ihre Achse.
3. Eine oszillierende Bewegung ist eine Bewegung, bei der der Körper seine Bahn nach einer bestimmten Zeit wiederholt. Zum Beispiel die Bewegung eines Pendels.

Grundbegriffe der Kinematik - Materialpunkt

Jede komplexe Bewegung kann als Kombination von zwei einfachen Arten beschrieben werden - Translation und Rotation. Beispielsweise nimmt das Rad eines Autos oder ein Dach, das auf einer sich bewegenden geraden Plattform steht, gleichzeitig an diesen beiden Bewegungsarten teil.

Was aber, wenn die Bewegung des Körpers nicht als Kombination dargestellt werden kann? Wenn beispielsweise ein Auto auf einer holprigen Straße fährt, ändert sich seine Position auf sehr komplexe Weise. Wenn wir nur zählen, dass sich dieser Transport von einer Stadt zur anderen bewegt, dann spielt es in einer solchen Situation keine Rolle, welche Größe der Körper von Punkt A nach Punkt B bewegt, und kann vernachlässigt werden. In diesem Fall ist nur wichtig, wie lange das Auto eine bestimmte Strecke zurückgelegt hat und mit welcher Geschwindigkeit es sich bewegt hat.

Es sollte jedoch berücksichtigt werden, dass die Vernachlässigung der Größe nicht bei jedem Problem erlaubt ist. Wenn Sie beispielsweise die Bewegung beim Parken eines Autos berechnen, führt das Ignorieren der Größe eines bestimmten Körpers zu einem nachteiligen Effekt. Nur in den Situationen, in denen im Rahmen einer bestimmten Aufgabe die Abmessungen eines sich bewegenden Objekts vernachlässigt werden können, wird ein solcher Körper daher normalerweise als materieller Punkt bezeichnet.

Kinematische Formeln

Die Zahlen, durch die die Lage eines Punktes im Raum angegeben wird, heißen Koordinaten. Um es auf einer geraden Linie zu definieren, reicht eine Zahl; wenn es um die Oberfläche geht, dann zwei, über den Raum - drei. Mehr Zahlen in der dreidimensionalen Welt (um die Position eines materiellen Punktes zu beschreiben) sind nicht erforderlich.

Es gibt drei grundlegende Gleichungen für den Begriff der Kinematik, als Abschnitt über die Bewegung von Körpern:

1. v = u + bei.
2. S = ut + 1/2 bei 2 .
3. v2 = u2 + 2as.

v = Endgeschwindigkeit,

u = Anfangsgeschwindigkeit,

a = Beschleunigung,

s = vom Körper zurückgelegte Strecke,

Kinematische Formeln im eindimensionalen Raum:

X - Xo = Vo t + 1/2a t2

V 2 \u003d V o 1 + 2a (X - X o)

X - X o \u003d 1 \ 2 (V o + V) t
Woher,

V - Endgeschwindigkeit (m / s),

V o - Anfangsgeschwindigkeit (m / s),

a - Beschleunigung (m / s 2),

t - Zeit (s),

X - Endposition (m),

Formeln der Kinematik im zweidimensionalen Raum

Da die folgenden Gleichungen verwendet werden, um einen materiellen Punkt auf einer Ebene zu beschreiben, lohnt es sich, die X- und Y-Achse zu betrachten.

Gegeben die X-Richtung:

ein x = Konstante

V fx = Vi x + a x Δt

X f = X ich + V ich x Δt + 1/2a x Δt 2

Δt \u003d V fx -V ix /a x

V fx 2 = V ix 2 + 2ax Δx

X f \u003d X ich + 1/2 (V fx + V ix) Δ t.
Und bei gegebener y-Richtung:

ein y = Konstante

V fy = V iy + a y Δt

y f = y ich + V iy Δt + 1/2 a x Δt 2

Δt = Vfy - Viy/ay

V fy 2 = V iy 2 + 2 ay Δ y

y f = y i + 1/2 (V fy + V iy) Δt.

V f - Endgeschwindigkeit (m / s),

V i - Anfangsgeschwindigkeit (m / s),

a - Beschleunigung (m / s 2),

t - Zeit (s),

X - Endposition (m),

X 0 - Anfangsposition (m).

Die Bewegung eines geworfenen Projektils ist das beste Beispiel, um die Bewegung eines Objekts in zwei Dimensionen zu beschreiben. Hier bewegt sich der Körper sowohl in der vertikalen Position Y als auch in der horizontalen Position X, sodass wir sagen können, dass das Objekt zwei Geschwindigkeiten hat.

Beispiele für Aufgaben in der Kinematik

Aufgabe 1: Die Anfangsgeschwindigkeit des Lastwagens ist Null. Zunächst befindet sich dieses Objekt in Ruhe. Während eines Zeitintervalls von 5,21 Sekunden beginnt eine gleichmäßige Beschleunigung darauf zu wirken. Die vom LKW zurückgelegte Strecke beträgt 110 m. Finden Sie die Beschleunigung.

Entscheidung:
zurückgelegte Strecke s = 110 m,
Anfangsgeschwindigkeit v i = 0,
Zeit t = 5,21 s,
Beschleunigung a=?
Unter Verwendung der grundlegenden Konzepte und Formeln der Kinematik können wir schließen, dass
s \u003d v ich t + 1/2 bei 2,
110 m = (0) × (5,21) + 1/2 × a (5,21) 2 ,
a \u003d 8,10 m / s 2.

Aufgabe 2: Der Punkt bewegt sich entlang der x-Achse (in cm), nach t Sekunden Bewegung kann er mit der Gleichung x = 14t 2 - t + 10 dargestellt werden. Es muss die Durchschnittsgeschwindigkeit des Punktes ermittelt werden, vorausgesetzt, dass t = 3s ?

Entscheidung:
Die Position des Punktes bei t = 0 ist x = 10 cm.
Bei t = 3s, x = 133 cm.
Durchschnittsgeschwindigkeit, V av = Δx/Δt = 133-10/3-0 = 41 cm/s.

Was ist die Bezugsstelle

Wir können nur dann von Bewegung sprechen, wenn es etwas gibt, relativ zu dem eine Änderung der Position des untersuchten Objekts betrachtet wird. Ein solches Objekt heißt Bezugskörper und wird bedingt immer als unbeweglich angenommen.

Wenn die Aufgabe nicht angibt, in welchem ​​Berichtssystem sich der materielle Punkt bewegt, wird standardmäßig die Erde als Referenzkörper betrachtet. Dies bedeutet jedoch nicht, dass kein anderes für die Berechnung geeignetes Objekt zu einem bestimmten Zeitpunkt als bewegungsloses Objekt angesehen werden kann, relativ zu dem die Bewegung ausgeführt wird. Beispielsweise kann ein fahrender Zug, der ein Auto dreht, als Bezugskörper genommen werden, und so weiter.

Bezugssystem und seine Bedeutung in der Kinematik

Drei Komponenten werden benötigt, um Bewegung zu beschreiben:

1. Koordinatensystem.
2. Körper zählen.
3. Ein Gerät zur Zeitmessung.

Der Bezugskörper, das ihm zugeordnete Koordinatensystem und die Einrichtung zur Zeitmessung bilden das Bezugssystem. Es ist sinnlos, über Bewegung zu sprechen, wenn sie nicht angezeigt wird. Ein richtig gewähltes Bezugssystem ermöglicht es, die Beschreibung der Bewegung zu vereinfachen und umgekehrt bei erfolgloser Wahl zu erschweren.

Aus diesem Grund hat die Menschheit lange geglaubt, dass sich die Sonne um die Erde bewegt und dass sie im Mittelpunkt des Universums steht. Eine so komplexe Bewegung der Gestirne, weil sich irdische Beobachter in einem Bezugsrahmen befinden, der sich auf sehr komplizierte Weise bewegt. Die Erde dreht sich um ihre Achse und gleichzeitig um die Sonne. In der Tat, wenn Sie das Bezugssystem ändern, werden alle Bewegungen von Himmelskörpern leicht beschrieben. Dies wurde einst von Kopernikus getan. Er bot seine eigene Beschreibung der Weltordnung an, in der die Sonne bewegungslos ist. In Bezug darauf ist es viel einfacher, die Bewegung der Planeten zu beschreiben, als wenn der Bezugskörper die Erde ist.

Grundbegriffe der Kinematik - Weg und Trajektorie

Lassen Sie einen Punkt zunächst an Position A liegen, nach einiger Zeit an Position B. Zwischen ihnen kann eine Linie gezogen werden. Aber damit diese gerade Linie mehr Informationen über die Bewegung enthält, das heißt, es war klar, woher und woher sich der Körper bewegte, sollte es nicht nur ein Segment sein, sondern ein gerichtetes, normalerweise mit dem Buchstaben S bezeichnet. Die Bewegung des Körpers ist ein Vektor, der von der Anfangsposition des Objekts bis zum Ende gezogen wird.

Wenn der Körper ursprünglich an Punkt A war und dann an Punkt B gelandet ist, bedeutet dies nicht, dass er sich nur in einer geraden Linie bewegt hat. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, von einer Position zur anderen zu gelangen. Die Linie, entlang der sich der Körper bewegt, ist ein weiteres Grundkonzept der Kinematik – die Trajektorie. Und seine Länge wird als Pfad bezeichnet, der normalerweise mit den Buchstaben L oder l bezeichnet wird.