Nauka o kvantitativnim odnosima stvarnog svijeta. Matematika kao nauka o kvantitativnim odnosima i prostornim oblicima realnog svijeta. Period matematike varijabli

Idealizirana svojstva objekata koji se proučavaju su ili formulirana kao aksiomi ili navedena u definiciji odgovarajućih matematičkih objekata. Zatim se, prema strogim pravilima logičkog zaključivanja, iz ovih svojstava izvode druga istinita svojstva (teoreme). Ova teorija zajedno čini matematički model objekta koji se proučava. Tako, u početku polazeći od prostornih i kvantitativnih odnosa, matematika dobija apstraktnije odnose, čije je proučavanje i predmet moderne matematike.

Tradicionalno, matematika se dijeli na teorijsku, koja vrši dubinsku analizu unutar-matematičkih struktura, i primijenjenu, koja svoje modele daje drugim naukama i inženjerskim disciplinama, a neke od njih zauzimaju poziciju na granici s matematikom. Konkretno, formalna logika se može smatrati i dijelom filozofskih nauka i dijelom matematičkih nauka; mehanika - i fizika i matematika; informatika, kompjuterska tehnologija i algoritama odnose se i na inženjerske i na matematičke nauke, itd. U literaturi su predložene mnoge različite definicije matematike.

Etimologija

Reč "matematika" dolazi iz drugog grčkog jezika. μάθημα, što znači studija o, znanje, nauku, itd. - grčki. μαθηματικός, izvorno značenje prijemčiv, plodan, kasnije studirati, naknadno koji se odnose na matematiku. posebno, μαθηματικὴ τέχνη , na latinskom ars mathematica, znači umjetnost matematike. Termin drugi grčki. μᾰθημᾰτικά u modernom smislu riječi "matematika" već se nalazi u spisima Aristotela (4. vijek prije nove ere). Prema Fasmeru, riječ je došla u ruski jezik ili preko poljskog. matematyka, ili preko lat. mathematica.

Definicije

Jednu od prvih definicija predmeta matematike dao je Descartes:

Područje matematike uključuje samo one nauke u kojima se razmatra ili red ili mjera, i uopće nije važno da li su to brojevi, figure, zvijezde, zvukovi ili bilo šta drugo u čemu se traži ova mjera. Dakle, mora postojati neka opšta nauka koja objašnjava sve što se tiče reda i mere, ne ulazeći u proučavanje nekih posebnih predmeta, a ta nauka se mora zvati ne stranim, već starim, već uobičajenim imenom Opšta matematika.

Suština matematike... sada je predstavljena kao doktrina odnosa između objekata, o kojima se ništa ne zna, osim nekih svojstava koja ih opisuju - upravo onih koja se kao aksiomi stavljaju u osnovu teorije... Matematika je skup apstraktnih oblika – matematičke strukture.

Grane matematike

1. Matematika kao akademska disciplina

Notacija

Budući da se matematika bavi izuzetno raznolikim i prilično složenim strukturama, njena notacija je također vrlo složena. Savremeni sistem pisanja formula formiran je na osnovu evropske algebarske tradicije, kao i potreba kasnijih sekcija matematike - matematičke analize, matematičke logike, teorije skupova itd. Geometrija je od vremena koristila vizuelni (geometrijski) prikaz. pamtivijek. U modernoj matematici, složeni grafički sistemi označavanja (na primjer, komutativni dijagrami) su također uobičajeni, a često se koristi i notacija zasnovana na grafovima.

Pripovijetka

Filozofija matematike

Ciljevi i metode

Svemir R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), at n > 3 (\displaystyle n>3) je matematički izum. Međutim, vrlo genijalan izum koji pomaže da se matematički razumiju složene pojave».

Temelji

intuicionizam

Konstruktivna matematika

razjasniti

Glavne teme

Količina

Glavni dio koji se bavi apstrakcijom kvantiteta je algebra. Koncept "broja" izvorno je nastao iz aritmetičkih prikaza i odnosio se na prirodne brojeve. Kasnije je, uz pomoć algebre, postepeno proširen na cijele, racionalne, realne, kompleksne i druge brojeve.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) Racionalni brojevi 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) Realni brojevi − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\dots ) Kompleksni brojevi Kvaternioni

Transformacije

Analizom se u najopštijem obliku razmatraju fenomeni transformacija i promjena.

strukture

Prostorni odnosi

Geometrija razmatra osnove prostornih odnosa. Trigonometrija razmatra svojstva trigonometrijskih funkcija. Proučavanje geometrijskih objekata kroz matematičku analizu bavi se diferencijalnom geometrijom. Topologijom se proučavaju svojstva prostora koji ostaju nepromijenjeni pod kontinuiranim deformacijama i sam fenomen kontinuiteta.

Discrete Math

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

Matematika postoji već dugo vremena. Čovjek je skupljao voće, iskopavao voće, pecao i sve ih spremao za zimu. Da bi shvatila koliko se hrane skladišti, osoba je izmislila račun. Ovako je počela matematika.

Tada se čovjek počeo baviti poljoprivredom. Trebalo je mjeriti parcele, graditi stanove, mjeriti vrijeme.

Odnosno, postalo je neophodno da osoba koristi kvantitativni omjer stvarnog svijeta. Odredite koliko je usjeva požnjeveno, kolika je veličina građevinske parcele ili kolika je površina neba sa određenim brojem sjajnih zvijezda.

Osim toga, osoba je počela određivati ​​forme: sunce je okruglo, kutija je kvadratna, jezero je ovalno i kako su ti objekti raspoređeni u prostoru. Odnosno, osoba se zainteresovala za prostorne oblike stvarnog svijeta.

Dakle koncept matematike može se definisati kao nauka o kvantitativnim odnosima i prostornim oblicima stvarnog sveta.

Trenutno ne postoji nijedna profesija u kojoj bi se moglo bez matematike. Čuveni njemački matematičar Carl Friedrich Gauss, kojeg su zvali "Kralj matematike", jednom je rekao:

"Matematika je kraljica nauka, aritmetika je kraljica matematike."

Riječ "aritmetika" dolazi od grčke riječi "arithmos" - "broj".

dakle, aritmetika je grana matematike koja proučava brojeve i operacije nad njima.

U osnovnoj školi, prije svega, uče aritmetiku.

Kako se razvila ova nauka, hajde da istražimo ovo pitanje.

Period rađanja matematike

Glavnim periodom akumulacije matematičkog znanja smatra se vrijeme prije 5. vijeka prije nove ere.

Prvi koji je počeo da dokazuje matematičke pozicije bio je drevni grčki mislilac koji je živeo u 7. veku pre nove ere, verovatno 625-545. Ovaj filozof je putovao po zemljama Istoka. Predanje kaže da je učio kod egipatskih sveštenika i babilonskih Kaldejaca.

Tales iz Mileta donio je iz Egipta u Grčku prve koncepte elementarne geometrije: šta je prečnik, šta određuje trougao, itd. Predvidio je pomračenje Sunca, projektovao inženjerske strukture.

U tom periodu postepeno se razvija aritmetika, razvijaju se astronomija i geometrija. Rađaju se algebra i trigonometrija.

Razdoblje osnovne matematike

Ovaj period počinje sa VI pne. Sada se matematika pojavljuje kao nauka sa teorijama i dokazima. Pojavljuje se teorija brojeva, doktrina količina, njihovog mjerenja.

Najpoznatiji matematičar tog vremena je Euklid. Živeo je u III veku pre nove ere. Ovaj čovjek je autor prve teorijske rasprave o matematici koja je došla do nas.

U Euklidovim djelima date su osnove takozvane euklidske geometrije - to su aksiomi koji počivaju na osnovnim pojmovima, kao npr.

U periodu osnovne matematike rođena je teorija brojeva, kao i učenje o količinama i njihovom mjerenju. Po prvi put se pojavljuju negativni i iracionalni brojevi.

Na kraju ovog perioda uočava se stvaranje algebre, kao doslovnog računa. Sama nauka o "algebri" pojavljuje se među Arapima kao nauka o rješavanju jednačina. Riječ "algebra" na arapskom znači "oporavak", odnosno prijenos negativnih vrijednosti na drugi dio jednačine.

Period matematike varijabli

Osnivač ovog perioda je Rene Descartes, koji je živio u 17. vijeku nove ere. U svojim spisima, Descartes po prvi put uvodi koncept varijable.

Zahvaljujući tome, naučnici prelaze sa proučavanja konstantnih veličina na proučavanje odnosa između varijabli i na matematički opis kretanja.

Fridrih Engels je najjasnije okarakterisao ovaj period, u svojim spisima je napisao:

„Prekretnica u matematici bila je kartezijanska varijabla. Zahvaljujući tome, pokret, a time i dijalektika ušli su u matematiku, pa je zahvaljujući tome odmah postao nužan diferencijalni i integralni račun, koji odmah nastaje i koji je uglavnom završen, a ne izmišljen od Newtona i Leibniza.

Period moderne matematike

Dvadesetih godina 19. veka Nikolaj Ivanovič Lobačevski je postao osnivač takozvane neeuklidske geometrije.

Od ovog trenutka počinje razvoj najvažnijih sekcija moderne matematike. Kao što su teorija vjerovatnoće, teorija skupova, matematička statistika i tako dalje.

Sva ova otkrića i studije naširoko se koriste u različitim oblastima nauke.

A trenutno se matematička nauka ubrzano razvija, predmet matematike se širi, uključujući nove oblike i odnose, nove teoreme se dokazuju, a osnovni pojmovi se produbljuju.

Idealizirana svojstva objekata koji se proučavaju su ili formulirana kao aksiomi ili navedena u definiciji odgovarajućih matematičkih objekata. Zatim se, prema strogim pravilima logičkog zaključivanja, iz ovih svojstava izvode druga istinita svojstva (teoreme). Ova teorija zajedno čini matematički model objekta koji se proučava. Tako, u početku, polazeći od prostornih i kvantitativnih odnosa, matematika dobija apstraktnije odnose, čije je proučavanje i predmet moderne matematike.

Tradicionalno, matematika se dijeli na teorijsku, koja vrši dubinsku analizu unutar-matematičkih struktura, i primijenjenu, koja svoje modele daje drugim naukama i inženjerskim disciplinama, a neke od njih zauzimaju poziciju na granici s matematikom. Konkretno, formalna logika se može smatrati i dijelom filozofskih nauka i dijelom matematičkih nauka; mehanika - i fizika i matematika; kompjuterska nauka, kompjuterska tehnologija i algoritama se odnose i na inženjerske i na matematičke nauke, itd. U literaturi su predložene mnoge različite definicije matematike (vidi).

Etimologija

Reč "matematika" dolazi iz drugog grčkog jezika. μάθημα ( mathema), što znači studija o, znanje, nauku, itd. - grčki. μαθηματικός ( mathematicos), izvorno značenje prijemčiv, plodan, kasnije studirati, naknadno koji se odnose na matematiku. posebno, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), na latinskom ars mathematica, znači umjetnost matematike.

Definicije

Područje matematike uključuje samo one nauke u kojima se razmatra ili red ili mjera, i uopće nije važno da li su to brojevi, figure, zvijezde, zvukovi ili bilo šta drugo u čemu se traži ova mjera. Dakle, mora postojati neka opšta nauka koja objašnjava sve što se tiče reda i mere, ne ulazeći u proučavanje nekih posebnih predmeta, a ta nauka se mora zvati ne stranim, već starim, već uobičajenim imenom Opšta matematika.

U sovjetsko doba, definicija iz TSB-a koju je dao A. N. Kolmogorov smatrala se klasičnom:

Matematika ... nauka o kvantitativnim odnosima i prostornim oblicima stvarnog svijeta.

Suština matematike... sada je predstavljena kao doktrina odnosa između objekata, o kojima se ništa ne zna, osim nekih svojstava koja ih opisuju - upravo onih koja se kao aksiomi stavljaju u osnovu teorije... Matematika je skup apstraktnih oblika – matematičke strukture.

Evo nekoliko modernijih definicija.

Savremena teorijska („čista”) matematika je nauka o matematičkim strukturama, matematičkim invarijantama različitih sistema i procesa.

Matematika je nauka koja pruža mogućnost izračunavanja modela koji se mogu svesti na standardni (kanonski) oblik. Nauka o pronalaženju rješenja za analitičke modele (analiza) putem formalnih transformacija.

Grane matematike

1. Matematika kao akademska disciplina je u Ruskoj Federaciji podijeljena na osnovnu matematiku koja se izučava u srednjoj školi i koju čine sljedeće discipline:

• elementarna geometrija: planimetrija i stereometrija
• teorija elementarnih funkcija i elementi analize

4. Američko matematičko društvo (AMS) razvilo je vlastiti standard za klasifikaciju grana matematike. To se zove klasifikacija predmeta matematike. Ovaj standard se periodično ažurira. Trenutna verzija je MSC 2010. Prethodna verzija je MSC 2000.

Notacija

Zbog činjenice da se matematika bavi izuzetno raznolikim i prilično složenim strukturama, notacija je također vrlo složena. Savremeni sistem pisanja formula formiran je na osnovu evropske algebarske tradicije, kao i matematičke analize (pojam funkcije, derivacije itd.). Od pamtivijeka, geometrija je koristila vizualni (geometrijski) prikaz. U modernoj matematici, složeni grafički sistemi označavanja (na primjer, komutativni dijagrami) su također uobičajeni, a često se koristi i notacija zasnovana na grafovima.

Pripovijetka

Razvoj matematike se oslanja na pisanje i sposobnost zapisivanja brojeva. Vjerovatno su stari ljudi prvi izražavali količinu crtajući linije na tlu ili ih grebajući po drvetu. Drevni Inke, koji nisu imali drugi sistem pisanja, predstavljali su i pohranjivali numeričke podatke koristeći složen sistem čvorova užadi, takozvani quipu. Bilo je mnogo različitih brojevnih sistema. Prvi poznati zapisi o brojevima pronađeni su u Ahmesovom papirusu, koji su stvorili Egipćani Srednjeg kraljevstva. Indijska civilizacija razvila je moderni decimalni brojevni sistem koji uključuje koncept nule.

Istorijski gledano, glavne matematičke discipline su nastale pod uticajem potrebe za izvođenjem proračuna u komercijalnom polju, u merenju zemljišta i za predviđanje astronomskih pojava, a kasnije i za rešavanje novih fizičkih problema. Svaka od ovih oblasti igra veliku ulogu u širokom razvoju matematike, koja se sastoji od proučavanja struktura, prostora i promjena.

Filozofija matematike

Ciljevi i metode

Matematika proučava imaginarne, idealne objekte i odnose među njima koristeći formalni jezik. Općenito, matematički koncepti i teoreme ne odgovaraju nužno bilo čemu u fizičkom svijetu. Osnovni zadatak primijenjene grane matematike je stvaranje matematičkog modela koji je dovoljno adekvatan za stvarni predmet koji se proučava. Zadatak teoretskog matematičara je da obezbijedi dovoljan skup pogodnih sredstava za postizanje ovog cilja.

Sadržaj matematike se može definisati kao sistem matematičkih modela i alata za njihovo kreiranje. Objektni model ne uzima u obzir sve njegove karakteristike, već samo ono najpotrebnije za potrebe proučavanja (idealizirano). Na primjer, kada proučavamo fizička svojstva narandže, možemo apstrahirati od njene boje i okusa i predstaviti je (iako ne savršeno točno) kao loptu. Ako treba da shvatimo koliko narandži dobijemo ako zbrojimo dva i tri, onda možemo da se apstrahujemo od forme, ostavljajući modelu samo jednu karakteristiku - količinu. Apstrakcija i uspostavljanje odnosa između objekata u najopštijem obliku jedno je od glavnih područja matematičke kreativnosti.

Drugi pravac, uz apstrakciju, je generalizacija. Na primjer, generaliziranje koncepta "prostora" na prostor n-dimenzija. " Prostor u je matematički izum. Međutim, vrlo genijalan izum koji pomaže da se matematički razumiju složene pojave».

Proučavanje intramatematičkih objekata po pravilu se odvija aksiomatskom metodom: prvo se formuliše lista osnovnih pojmova i aksioma za objekte koji se proučavaju, a zatim se iz aksioma pomoću pravila zaključivanja dobijaju smislene teoreme, koje zajedno čine matematički model.

Temelji

Pitanje suštine i osnova matematike raspravlja se još od Platonovog vremena. Od 20. veka postoji uporedna saglasnost o tome šta bi trebalo smatrati rigoroznim matematičkim dokazom, ali nije bilo saglasnosti o tome šta se smatra tačnim u matematici. To dovodi do nesuglasica kako u pitanjima aksiomatike i povezanosti grana matematike, tako i u izboru logičkih sistema koje treba koristiti u dokazima.

Osim skeptičnih, poznati su i sljedeći pristupi ovoj problematici.

Teorijski pristup

Predlaže se da se svi matematički objekti razmatraju u okviru teorije skupova, najčešće sa Zermelo-Fraenkel aksiomatikom (iako postoje mnoge druge koje su joj ekvivalentne). Ovaj pristup se smatra preovlađujućim od sredine 20. stoljeća, međutim, u stvarnosti, većina matematičkih radova ne postavlja sebi zadatak da svoje izjave prevedu striktno na jezik teorije skupova, već operišu konceptima i činjenicama utvrđenim u nekim područjima. matematike. Dakle, ako se pronađe kontradikcija u teoriji skupova, to neće dovesti do poništavanja većine rezultata.

logicizam

Ovaj pristup pretpostavlja strogo kucanje matematičkih objekata. Mnogi paradoksi koji se u teoriji skupova izbjegavaju samo posebnim trikovima pokazuju se u principu nemogućim.

Formalizam

Ovaj pristup uključuje proučavanje formalnih sistema zasnovanih na klasičnoj logici.

intuicionizam

Intuicionizam u temelju matematike pretpostavlja intuicionističku logiku koja je ograničenija u dokaznim sredstvima (ali, vjeruje se, i pouzdanija). Intuicionizam odbacuje dokaz kontradiktorno, mnogi nekonstruktivni dokazi postaju nemogući, a mnogi problemi teorije skupova postaju besmisleni (neformalizirani).

Konstruktivna matematika

Konstruktivna matematika je trend u matematici blizak intuicionizmu koji proučava konstruktivne konstrukcije [ razjasniti] . Po kriteriju konstruktivnosti -" postojati znači biti izgrađen". Kriterijum konstruktivnosti je jači zahtjev od kriterija konzistentnosti.

Glavne teme

Brojevi

Koncept "broja" prvobitno se odnosio na prirodne brojeve. Kasnije je postepeno proširen na cijele, racionalne, realne, kompleksne i druge brojeve.

Cijeli brojevi Racionalni brojevi Realni brojevi Kompleksni brojevi Kvaternioni

Numerički sistemi
Brojanje setovi	Prirodni brojevi () Cijeli brojevi () Racionali () Algebarski () Periode Izračunljiva aritmetika
Realni brojevi i njihove ekstenzije	Realni () Kompleksni () Kvaternioni () Cayleyevi brojevi (oktave, oktononi) () Sedenioni () Alternioni Cayley-Dixonova procedura Dvostruki hiperkompleks Superreal Hiperrealan nadrealni broj ( engleski)
Ostalo sistemi brojeva	Kardinalni brojevi Redni brojevi (transfinitni, redni) p-adični natprirodni brojevi
vidi takođe	Dvostruki brojevi Iracionalni brojevi Transcendentni broj zraka Bikvaternion

Transformacije

Discrete Math

Kodovi u sistemima klasifikacije znanja

Online usluge

Postoji veliki broj sajtova koji pružaju usluge matematičkih proračuna. Većina ih je na engleskom. Od onih koji govore ruski, može se primijetiti usluga matematičkih upita tražilice Nigma.

vidi takođe

Popularizatori nauke

Bilješke

1. Encyclopedia Britannica
2. Websterov online rječnik
3. Poglavlje 2. Matematika kao jezik nauke. Sibirski otvoreni univerzitet. Arhivirano iz originala 2. februara 2012. Pristupljeno 5. oktobra 2010.
4. Veliki starogrčki rječnik (αω)
5. Rečnik ruskog jezika XI-XVII veka. Broj 9 / Ch. ed. F. P. Filin. - M.: Nauka, 1982. - S. 41.
6. Descartes R. Pravila koja vode um. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
7. Vidi: TSB matematika
8. Marx K., Engels F. Radi. 2nd ed. T. 20. S. 37.
9. Bourbaki N. Arhitektura matematike. Eseji o istoriji matematike / Prevela I. G. Bašmakova, ur. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
10. Kaziev V. M. Uvod u matematiku
11. Mukhin O. I. Vodič za modeliranje sistema. Perm: RCI PSTU.
12. Herman Weil // Kline M.. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
13. Državni obrazovni standard visokog stručnog obrazovanja. Specijalitet 01.01.00. "Matematika". Kvalifikacija - matematičar. Moskva, 2000. (Sastavljeno pod vodstvom O. B. Lupanova)
14. Nomenklatura specijalnosti naučnih radnika, odobrena naredbom Ministarstva obrazovanja i nauke Rusije od 25. februara 2009. br. 59
15. UDK 51 Matematika
16. Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Elementi linearne algebre i analitičke geometrije. M.: Nauka, 1988. S. 44.
17. N. I. Kondakov. Logički rječnik-priručnik. M.: Nauka, 1975. S. 259.
18. G. I. Ruzavin. O prirodi matematičkog znanja. M.: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Na primjer: http://mathworld.wolfram.com

Književnost

enciklopedije

• // Enciklopedijski rječnik Brockhausa i Efrona: U 86 svezaka (82 sveska i 4 dodatna). - St. Petersburg. , 1890-1907.
• Matematička enciklopedija (u 5 tomova), 1980-e. // Opće i posebne matematičke reference na EqWorld
• Kondakov N.I. Logički rječnik-priručnik. Moskva: Nauka, 1975.
• Enciklopedija matematičkih nauka i njihove primjene (njemački) 1899-1934 (najveći pregled literature 19. stoljeća)

Referentne knjige

• G. Korn, T. Korn. Priručnik iz matematike za naučnike i inženjere M., 1973

Knjige

• Kline M. Matematika. Gubitak sigurnosti. - M.: Mir, 1984.
• Kline M. Matematika. Potraga za istinom. M.: Mir, 1988.
• Klein F. Elementarna matematika sa višeg ugla.

• Tom I. Aritmetika. Algebra. Analiza M.: Nauka, 1987. 432 str.
• Volume II. Geometrija M.: Nauka, 1987. 416 str.

• R. Courant, G. Robbins.Šta je matematika? 3. izdanje, rev. i dodatne - M.: 2001. 568 str.
• Pisarevsky B. M., Kharin V. T. O matematici, matematičarima i ne samo. - M.: Binom. Laboratorij znanja, 2012. - 302 str.
• Poincare A. Nauka i metoda (rus.) (fr.)

Matematika je jedna od najstarijih nauka. Nije nimalo lako dati kratku definiciju matematike, njen sadržaj će uvelike varirati u zavisnosti od nivoa matematičkog obrazovanja osobe. Učenik osnovne škole koji je tek počeo da uči aritmetiku reći će da matematika proučava pravila za brojanje objekata. I bit će u pravu, jer se s tim u početku upoznaje. Stariji učenici će ovome dodati da pojam matematike uključuje algebru i proučavanje geometrijskih objekata: pravih, njihovih preseka, ravnih figura, geometrijskih tela, raznih vrsta transformacija. Maturanti će u definiciju matematike uključiti i proučavanje funkcija i radnje prelaska do granice, kao i srodne pojmove derivacije i integrala. Diplomci visokih tehničkih obrazovnih ustanova ili prirodnih nauka univerziteta i pedagoških instituta više neće biti zadovoljni školskim definicijama, jer znaju da su i druge discipline dio matematike: teorija vjerovatnoće, matematička statistika, diferencijalni račun, programiranje, računske metode, kao i primjene ovih disciplina za modeliranje proizvodnih procesa, obradu eksperimentalnih podataka, prijenos i obradu informacija. Međutim, navedeno ne iscrpljuje sadržaj matematike. Teorija skupova, matematička logika, optimalno upravljanje, teorija slučajnih procesa i još mnogo toga su također uključeni u njegov sastav.

Pokušaji da se matematika definiše nabrajanjem njenih sastavnih grana odvode nas na stranputicu, jer ne daju predstavu o tome šta tačno matematika proučava i kakav je njen odnos prema svetu oko nas. Ako bi se slično pitanje postavilo fizičaru, biologu ili astronomu, onda bi svaki od njih dao vrlo kratak odgovor, ne sadržavajući popis dijelova koji čine nauku koju proučavaju. Takav odgovor bi sadržavao naznaku fenomena prirode koje ona istražuje. Na primjer, biolog bi rekao da je biologija proučavanje različitih manifestacija života. Iako ovaj odgovor nije u potpunosti potpun, budući da ne govori šta su život i životne pojave, ipak bi ovakva definicija dala prilično potpunu predstavu o sadržaju same biološke nauke i o različitim nivoima ove nauke. . I ova definicija se neće promijeniti sa proširenjem našeg znanja o biologiji.

Ne postoje takvi fenomeni prirode, tehnički ili društveni procesi koji bi bili predmet proučavanja matematike, ali ne bi bili vezani za fizičke, biološke, hemijske, inženjerske ili društvene pojave. Svaka prirodnonaučna disciplina: biologija i fizika, hemija i psihologija - određena je materijalnim karakteristikama svog predmeta, specifičnostima područja stvarnog svijeta koji proučava. Sam predmet ili pojava može se proučavati različitim metodama, uključujući i matematičke, ali promjenom metoda i dalje ostajemo u granicama ove discipline, budući da je sadržaj ove nauke stvarni predmet, a ne metoda istraživanja. Za matematiku materijalni predmet istraživanja nije od presudne važnosti, bitna je primijenjena metoda. Na primjer, trigonometrijske funkcije mogu se koristiti i za proučavanje oscilatornog kretanja i za određivanje visine nepristupačnog objekta. A koji se fenomeni stvarnog svijeta mogu istražiti pomoću matematičke metode? Ove pojave nisu određene njihovom materijalnom prirodom, već isključivo formalnim strukturnim svojstvima, a prije svega onim kvantitativnim odnosima i prostornim oblicima u kojima postoje.

Dakle, matematika ne proučava materijalne objekte, već istražuje metode i strukturna svojstva predmeta proučavanja, koji omogućavaju primjenu određenih operacija na njega (sumiranje, diferencijacija, itd.). Međutim, značajan dio matematičkih problema, koncepata i teorija ima kao primarni izvor stvarne pojave i procese. Na primjer, aritmetika i teorija brojeva proizašle su iz primarnog praktičnog zadatka brojanja objekata. Elementarna geometrija je kao izvor imala probleme vezane za poređenje udaljenosti, izračunavanje površina ravnih figura ili zapremina prostornih tijela. Sve je to trebalo pronaći, jer je bilo potrebno izvršiti preraspodjelu zemljišta između korisnika, izračunati veličinu žitnica ili obim zemljanih radova prilikom izgradnje odbrambenih objekata.

Matematički rezultat ima svojstvo da se ne može koristiti samo u proučavanju određenog fenomena ili procesa, već se može koristiti i za proučavanje drugih pojava, čija je fizička priroda fundamentalno drugačija od onih koje smo prethodno razmatrali. Dakle, pravila aritmetike su primenljiva i u ekonomskim problemima, i u tehničkim pitanjima, i u rešavanju problema poljoprivrede, i u naučnim istraživanjima. Pravila aritmetike su razvijena prije milenijuma, ali su zauvijek zadržala svoju praktičnu vrijednost. Aritmetika je sastavni dio matematike, njen tradicionalni dio više nije podložan kreativnom razvoju u okviru matematike, ali nalazi i naći će brojne nove primjene. Ove aplikacije mogu biti od velike važnosti za čovječanstvo, ali više neće doprinositi samoj matematici.

Matematika, kao kreativna sila, ima za cilj razvoj općih pravila koja treba koristiti u brojnim posebnim slučajevima. Onaj ko stvara ta pravila, stvara nešto novo, stvara. Onaj ko primjenjuje gotova pravila više ne stvara u samoj matematici, već, vrlo moguće, stvara nove vrijednosti u drugim područjima znanja uz pomoć matematičkih pravila. Na primjer, danas se podaci iz interpretacije satelitskih snimaka, kao i podaci o sastavu i starosti stijena, geohemijskim i geofizičkim anomalijama obrađuju pomoću kompjutera. Bez sumnje, upotreba kompjutera u geološkim istraživanjima ostavlja ovo istraživanje geološkim. Principi rada računara i njihov softver razvijeni su bez uzimanja u obzir mogućnosti njihove upotrebe u interesu geološke nauke. Sama ova mogućnost određena je činjenicom da su strukturna svojstva geoloških podataka u skladu sa logikom određenih kompjuterskih programa.

Dvije definicije matematike postale su raširene. Prvi od njih dao je F. Engels u Anti-Dühringu, a drugi grupa francuskih matematičara poznatih kao Nicolas Bourbaki u članku Arhitektura matematike (1948).

"Čista matematika ima za cilj prostorne oblike i kvantitativne odnose stvarnog svijeta." Ova definicija ne samo da opisuje predmet proučavanja matematike, već ukazuje i na njegovo porijeklo - stvarni svijet. Međutim, ova definicija F. Engelsa u velikoj mjeri odražava stanje matematike u drugoj polovini 19. stoljeća. i ne uzima u obzir ona njegova nova područja koja nisu direktno povezana ni s kvantitativnim odnosima ni sa geometrijskim oblicima. To je prije svega matematička logika i discipline vezane za programiranje. Stoga je ova definicija potrebna pojašnjenje. Možda bi trebalo reći da matematika za predmet proučavanja ima prostorne forme, kvantitativne odnose i logičke konstrukcije.

Bourbaki tvrde da su "jedini matematički objekti, pravilno govoreći, matematičke strukture." Drugim riječima, matematiku treba definirati kao nauku o matematičkim strukturama. Ova definicija je u suštini tautologija, jer kaže samo jedno: matematika se bavi objektima koje proučava. Još jedan nedostatak ove definicije je da ne pojašnjava odnos matematike prema svijetu oko nas. Štoviše, Bourbaki naglašava da se matematičke strukture stvaraju neovisno o stvarnom svijetu i njegovim fenomenima. Zato je Bourbaki bio primoran da izjavi da je „glavni problem odnos između eksperimentalnog i matematičkog svijeta. Čini se da su otkrića moderne fizike na potpuno neočekivan način potvrdila da postoji bliska veza između eksperimentalnih pojava i matematičkih struktura, ali mi smo potpuno nesvjesni dubokih razloga za to... i možda ih nikada nećemo saznati .

Ovako razočaravajući zaključak ne može proizaći iz definicije F. Engelsa, jer već sadrži tvrdnju da su matematički koncepti apstrakcije iz određenih odnosa i oblika stvarnog svijeta. Ovi koncepti su preuzeti iz stvarnog svijeta i povezani su s njim. U suštini, to objašnjava nevjerovatnu primjenjivost rezultata matematike na fenomene svijeta oko nas, a ujedno i uspješnost procesa matematizacije znanja.

Matematika nije izuzetak od svih oblasti znanja – ona takođe formira koncepte koji proizilaze iz praktičnih situacija i kasnijih apstrakcija; omogućava proučavanje stvarnosti i približno. Ali istovremeno treba imati na umu da matematika ne proučava stvari iz stvarnog svijeta, već apstraktne pojmove, te da su njeni logički zaključci apsolutno strogi i precizni. Njegova blizina nije unutrašnje prirode, već je povezana sa sastavljanjem matematičkog modela fenomena. Također napominjemo da pravila matematike nemaju apsolutnu primjenjivost, imaju i ograničeno područje primjene, gdje vladaju. Objasnimo izraženu ideju na primjeru: ispada da dva i dva nisu uvijek jednaki četiri. Poznato je da se miješanjem 2 litre alkohola i 2 litre vode dobije manje od 4 litre smjese. U ovoj mješavini molekuli su raspoređeni kompaktnije, a volumen smjese je manji od zbira zapremina sastavnih komponenti. Pravilo aritmetike sabiranja je prekršeno. Također možete navesti primjere u kojima se krše druge aritmetičke istine, na primjer, kada se dodaju neki objekti, ispada da zbroj ovisi o redoslijedu zbrajanja.

Mnogi matematičari ne smatraju matematičke koncepte tvorevinom čistog razuma, već kao apstrakcije od stvarno postojećih stvari, fenomena, procesa ili apstrakcije od već uspostavljenih apstrakcija (apstrakcija višeg reda). U Dijalektici prirode, F. Engels je napisao da „...sva takozvana čista matematika se bavi apstrakcijama... sve njene količine su, strogo govoreći, imaginarne veličine...” Ove riječi sasvim jasno odražavaju mišljenje jedan od osnivača marksističke filozofije o ulozi apstrakcija u matematici. Treba samo dodati da su sve te "imaginarne veličine" preuzete iz stvarnosti, a ne konstruirane proizvoljno, slobodnim letom misli. Tako je koncept broja ušao u opštu upotrebu. U početku su to bili brojevi unutar jedinica, i, osim toga, samo pozitivni cijeli brojevi. Tada je iskustvo prisililo da proširi arsenal brojeva na desetine i stotine. Koncept neograničenosti niza celih brojeva rođen je već u eri istorijski bliskoj nama: Arhimed je u knjizi „Psamit“ („Izračunavanje zrna peska“) pokazao kako je moguće konstruisati brojeve i veće od datih. . U isto vrijeme, koncept razlomaka je rođen iz praktičnih potreba. Proračuni vezani za najjednostavnije geometrijske figure doveli su čovječanstvo do novih brojeva - iracionalnih. Tako se postepeno formirala ideja o skupu svih realnih brojeva.

Isti put se može pratiti i za bilo koji drugi koncept matematike. Svi su oni proizašli iz praktičnih potreba i postepeno se formirali u apstraktne koncepte. Možemo se opet prisjetiti riječi F. Engelsa: „...čista matematika ima značenje nezavisno od posebnog iskustva svakog pojedinca... Ali potpuno je pogrešno da se u čistoj matematici um bavi samo svojim proizvodima kreativnosti i mašte. Koncepti broja i figure nisu preuzeti niotkuda, već samo iz stvarnog svijeta. Deset prstiju na kojima su ljudi naučili da broje, odnosno da izvrše prvu aritmetičku operaciju, sve su samo ne proizvod slobodne kreativnosti uma. Da bi se brojalo potrebno je imati ne samo objekte koje treba brojati, već i sposobnost da se pri razmatranju ovih objekata odvrati od svih drugih svojstava osim broja, a ta sposobnost je rezultat dugog istorijskog razvoja zasnovanog na iskustvo. I pojam broja i pojam figure su posuđeni isključivo iz vanjskog svijeta, a nisu nastali u glavi iz čistog razmišljanja. Morale su postojati stvari koje su imale određenu formu i te su forme morale da se uporede pre nego što se dođe do pojma figure.

Razmotrimo da li u nauci postoje koncepti koji su stvoreni bez veze sa prošlim napretkom nauke i sadašnjim napretkom prakse. Znamo dobro da naučnom matematičkom stvaralaštvu prethodi izučavanje mnogih predmeta u školi, na fakultetu, čitanje knjiga, članaka, razgovori sa stručnjacima kako iz svoje oblasti tako i iz drugih oblasti znanja. Matematičar živi u društvu, a iz knjiga, na radiju, iz drugih izvora uči o problemima koji se javljaju u nauci, tehnici i društvenom životu. Osim toga, na razmišljanje istraživača utječe cjelokupna prethodna evolucija naučne misli. Stoga se ispostavlja da je spreman za rješavanje određenih problema neophodnih za napredak nauke. Zato naučnik ne može postavljati probleme po svojoj volji, po volji, već mora stvarati matematičke koncepte i teorije koje bi bile vrijedne za nauku, za druge istraživače, za čovječanstvo. Ali matematičke teorije zadržavaju svoj značaj u uslovima različitih društvenih formacija i istorijskih epoha. Osim toga, često se iste ideje javljaju od naučnika koji nisu ni na koji način povezani. Ovo je dodatni argument protiv onih koji se pridržavaju koncepta slobodnog stvaranja matematičkih pojmova.

Dakle, rekli smo šta je uključeno u koncept "matematike". Ali postoji i takva stvar kao što je primijenjena matematika. Podrazumijeva se kao ukupnost svih matematičkih metoda i disciplina koje nalaze primjenu izvan matematike. U antičko doba, geometrija i aritmetika predstavljale su svu matematiku, a pošto su obje našle brojne primjene u trgovinskim razmjenama, mjerenju površina i zapremina, te u pitanjima plovidbe, sva matematika je bila ne samo teorijska, već i primijenjena. Kasnije, u staroj Grčkoj, postojala je podjela na matematiku i primijenjenu matematiku. Međutim, svi eminentni matematičari su se bavili i aplikacijama, a ne samo čisto teorijskim istraživanjima.

Dalji razvoj matematike kontinuirano je bio povezan sa napretkom prirodnih nauka i tehnike, sa pojavom novih društvenih potreba. Do kraja XVIII vijeka. pojavila se potreba (pre svega u vezi sa problemima plovidbe i artiljerije) za stvaranjem matematičke teorije kretanja. To su u svojim radovima učinili G. V. Leibniz i I. Newton. Primijenjena matematika dopunjena je novom vrlo moćnom istraživačkom metodom - matematičkom analizom. Gotovo istovremeno, potrebe demografije i osiguranja dovele su do formiranja početaka teorije vjerovatnoće (vidi Teorija vjerovatnoće). 18. i 19. vijeka proširio sadržaj primijenjene matematike, dodajući mu teoriju običnih i parcijalnih diferencijalnih jednačina, jednačine matematičke fizike, elemente matematičke statistike, diferencijalnu geometriju. 20ti vijek donio je nove metode matematičkog istraživanja praktičnih problema: teoriju slučajnih procesa, teoriju grafova, funkcionalnu analizu, optimalno upravljanje, linearno i nelinearno programiranje. Štaviše, pokazalo se da su teorija brojeva i apstraktna algebra našli neočekivanu primjenu na probleme fizike. Kao rezultat toga, počelo se formirati uvjerenje da primijenjena matematika kao posebna disciplina ne postoji i da se sva matematika može smatrati primijenjenom. Možda je potrebno reći ne da je matematika primijenjena i teorijska, već da se matematičari dijele na primijenjene i teoretičare. Za neke je matematika metoda spoznaje okolnog svijeta i pojava koje se u njemu dešavaju, u tu svrhu naučnik razvija i proširuje matematičko znanje. Za druge, sama matematika predstavlja cijeli svijet vrijedan proučavanja i razvoja. Za napredak nauke potrebni su naučnici oba tipa.

Matematika, prije nego što proučava bilo koju pojavu vlastitim metodama, kreira svoj matematički model, odnosno navodi sve one karakteristike fenomena koje će uzeti u obzir. Model prisiljava istraživača da odabere one matematičke alate koji će omogućiti da se na adekvatan način prenesu karakteristike fenomena koji se proučava i njegova evolucija. Kao primjer, uzmimo model planetarnog sistema: Sunce i planete se smatraju materijalnim tačkama sa odgovarajućim masama. Interakcija svake dvije tačke određena je silom privlačenja između njih

gdje su m 1 i m 2 mase tačaka interakcije, r je rastojanje između njih, a f je gravitaciona konstanta. Uprkos jednostavnosti ovog modela, on već tri stotine godina sa velikom preciznošću prenosi karakteristike kretanja planeta Sunčevog sistema.

Naravno, svaki model ugružava stvarnost, a zadatak istraživača je, prije svega, da predloži model koji, s jedne strane, najpotpunije prenosi činjeničnu stranu stvari (kako kažu, njene fizičke karakteristike), i, s druge strane, daje značajnu aproksimaciju stvarnosti. Naravno, može se predložiti nekoliko matematičkih modela za isti fenomen. Svi oni imaju pravo na postojanje sve dok ne počne da utiče značajan nesklad između modela i stvarnosti.

Matematika 1. Odakle dolazi riječ matematika 2. Ko je izmislio matematiku? 3. Glavne teme. 4. Definicija 5. Etimologija Na posljednjem slajdu.

Odakle dolazi riječ (idite na prethodni slajd) Matematika od grčkog – proučavanje, nauka) je nauka o strukturama, redu i odnosima, istorijski zasnovana na operacijama brojanja, mjerenja i opisivanja oblika objekata. Matematički objekti nastaju idealizacijom svojstava stvarnih ili drugih matematičkih objekata i pisanjem ovih svojstava na formalnom jeziku.

Ko je izmislio matematiku (idite na meni) Prvi matematičar se obično zove Tales iz Mileta, koji je živeo u VI veku. BC e. , jedan od takozvanih sedam mudraca Grčke. Bilo kako bilo, on je bio taj koji je prvi strukturirao cjelokupnu bazu znanja o ovoj temi, koja je odavno formirana u njemu poznatom svijetu. Međutim, autor prve rasprave o matematici koja je došla do nas je Euklid (III vek pne). I on se zasluženo smatra ocem ove nauke.

Glavne teme (idite na meni) Područje matematike obuhvata samo one nauke u kojima se razmatra red ili mera, i uopšte nije važno da li su to brojevi, figure, zvezde, zvukovi ili bilo šta drugo u čemu je ova mera je pronađen. Dakle, mora postojati neka opšta nauka koja objašnjava sve što se tiče reda i mere, ne ulazeći u proučavanje nekih posebnih predmeta, a ta nauka se mora zvati ne stranim, već starim, već uobičajenim imenom Opšta matematika.

Definicija (idite na meni) Moderna analiza se zasniva na klasičnoj matematičkoj analizi, koja se smatra jednom od tri glavne oblasti matematike (zajedno sa algebrom i geometrijom). Istovremeno, termin "matematička analiza" u klasičnom smislu koristi se uglavnom u nastavnim programima i materijalima. U anglo-američkoj tradiciji, klasična matematička analiza odgovara programima kurseva pod nazivom "račun"

Etimologija (idite na meni) Reč "matematika" dolazi iz drugog grčkog jezika. , što znači učenje, znanje, nauka, itd. -grčki, izvorno znači prijemčiv, uspješan, kasnije vezano za učenje, kasnije vezano za matematiku. Konkretno, na latinskom to znači umjetnost matematike. Termin je drugi - grčki. u savremenom značenju ove reči, "matematika" se već nalazi u Aristotelovim delima (4. vek pne), u "Knjizi izabranih ukratko o devet muza i o sedam slobodnih umetnosti" (1672.)

Matematika je nauka o kvantitativnim odnosima i prostornim oblicima stvarnog svijeta. U bliskoj vezi sa zahtjevima nauke i tehnologije, zaliha kvantitativnih odnosa i prostornih oblika koje proučava matematika neprestano se širi, tako da se gornja definicija mora shvatiti u najopštijem smislu.

Svrha proučavanja matematike je povećanje opšteg pogleda, kulture mišljenja, formiranje naučnog pogleda na svet.

Razumijevanje samostalnog položaja matematike kao posebne nauke postalo je moguće nakon akumulacije prilično velike količine činjeničnog materijala i nastalo je prvi put u Staroj Grčkoj u 6.-5. vijeku prije nove ere. To je bio početak perioda elementarne matematike.

Tokom ovog perioda, matematička istraživanja su se bavila samo prilično ograničenim fondom osnovnih pojmova koji su nastali iz najjednostavnijih zahteva ekonomskog života. Istovremeno, već se dešava kvalitativno unapređenje matematike kao nauke.

Savremena matematika se često poredi sa velikim gradom. Ovo je odlično poređenje, jer u matematici, kao iu velikom gradu, postoji kontinuirani proces rasta i usavršavanja. Pojavljuju se nova područja u matematici, grade se elegantne i duboke nove teorije, poput izgradnje novih naselja i zgrada. Ali napredak matematike nije ograničen samo na promjenu lica grada zbog izgradnje novog. Moramo promijeniti staro. Stare teorije su uključene u nove, opštije; postoji potreba za jačanjem temelja starih zgrada. Moraju se postaviti nove ulice kako bi se uspostavile veze između udaljenih kvartova matematičkog grada. Ali to nije dovoljno - arhitektonsko projektovanje zahteva znatan trud, jer raznolikost stilova u različitim oblastima matematike ne samo da kvari ukupni dojam nauke, već i ometa razumevanje nauke u celini, uspostavljajući veze između njenih različitih delova.

Često se koristi još jedno poređenje: matematika se poredi sa velikim razgranatim stablom koje, sistematski, daje nove izdanke. Svaka grana drveta je jedno ili drugo područje matematike. Broj grana ne ostaje nepromijenjen, kako nove grane rastu, rastu zajedno u početku rastu odvojeno, neke grane se osuše, lišene hranjivih sokova. Oba poređenja su uspješna i vrlo dobro prenose stvarno stanje stvari.

Bez sumnje, potražnja za ljepotom igra važnu ulogu u izgradnji matematičkih teorija. Podrazumijeva se da je percepcija ljepote vrlo subjektivna i često postoje prilično ružne ideje o tome. Pa ipak, mora se iznenaditi jednoglasnost koju matematičari stavljaju u koncept "ljepote": rezultat se smatra lijepim ako je iz malog broja uslova moguće dobiti opći zaključak koji se odnosi na širok raspon objekata. Matematički izvod se smatra lijepim ako je u njemu moguće dokazati značajnu matematičku činjenicu jednostavnim i kratkim rasuđivanjem. O zrelosti matematičara, njegovom talentu nagađa se po tome koliko je razvijen njegov smisao za lepo. Estetski potpuni i matematički savršeni rezultati se lakše razumiju, pamte i koriste; lakše je identifikovati njihov odnos sa drugim oblastima znanja.

Matematika je u naše vrijeme postala naučna disciplina sa mnogim područjima istraživanja, ogromnim brojem rezultata i metoda. Matematika je sada toliko sjajna da nije moguće da je jedna osoba pokrije u svim njenim dijelovima, ne postoji mogućnost da budete univerzalni specijalisti za nju. Gubitak veza između njenih zasebnih pravaca svakako je negativna posljedica naglog razvoja ove nauke. Međutim, u osnovi razvoja svih grana matematike nalazi se zajednička stvar - porijeklo razvoja, korijeni stabla matematike.

Euklidova geometrija kao prva prirodna naučna teorija

• U 3. veku pre nove ere, Euklidova knjiga sa istim imenom pojavila se u Aleksandriji, u ruskom prevodu „Početaka“. Iz latinskog naziva "Počeci" proizašao je izraz "elementarna geometrija". Iako spisi Euklidovih prethodnika nisu došli do nas, iz Euklidovih Elementa možemo steći neko mišljenje o tim spisima. U "Počecima" postoje odeljci koji su logično vrlo malo povezani sa drugim odeljcima. Njihov izgled se objašnjava samo činjenicom da su uvedeni prema tradiciji i kopiraju "Početke" Euklidovih prethodnika.

  Euklidovi elementi se sastoje od 13 knjiga. Knjige 1 - 6 posvećene su planimetriji, knjige 7 - 10 o aritmetici i nesamerljivim veličinama koje se mogu izgraditi pomoću šestara i ravnala. Knjige od 11 do 13 bile su posvećene stereometriji.

  "Počeci" počinju prezentacijom 23 definicije i 10 aksioma. Prvih pet aksioma su "opći koncepti", ostali se nazivaju "postulati". Prva dva postulata određuju radnje uz pomoć idealnog ravnala, treći - uz pomoć idealnog kompasa. Četvrto, "svi pravi uglovi su jednaki jedan drugom", je suvišno, jer se može zaključiti iz ostalih aksioma. Posljednji, peti postulat glasi: „Ako prava pada na dvije prave i formira unutrašnje jednostrane uglove u zbiru manjim od dvije prave, onda će se, uz neograničen nastavak ove dvije prave, sijeći na strani na kojoj je uglovi su manji od dvije prave."

  Pet "općih koncepata" Euklida su principi mjerenja dužina, uglova, površina, zapremina: "jednako istom jednako je jedno drugom", "ako se jednako dodaju jednakima, zbrojevi su jednaki jedan drugom", "ako se jednaki oduzmu od jednakih, ostatci su među sobom jednaki", "kombinovanje jedni s drugima jednaki su jedni drugima", "cjelina je veća od dijela".

  Zatim je uslijedila kritika Euklidove geometrije. Euklid je bio kritikovan iz tri razloga: zbog činjenice da je razmatrao samo takve geometrijske veličine koje se mogu konstruisati pomoću šestara i ravnala; za razbijanje geometrije i aritmetike i dokazivanje za cele brojeve onoga što je već dokazao za geometrijske veličine i, konačno, za Euklidove aksiome. Peti postulat, Euklidov najteži postulat, najoštrije je kritiziran. Mnogi su ga smatrali suvišnim, te da se može i treba izvesti iz drugih aksioma. Drugi su smatrali da bi je trebalo zamijeniti jednostavnijom i ilustrativnijom, ekvivalentnom njoj: "Kroz tačku izvan prave linije ne može se povući više od jedne prave linije u njihovoj ravni koja ne siječe ovu pravu liniju."

  Kritika jaza između geometrije i aritmetike dovela je do proširenja koncepta broja na realan broj. Sporovi oko petog postulata doveli su do toga da su početkom 19. stoljeća N.I. Lobačevski, J. Bolyai i K.F. Gauss izgradili novu geometriju u kojoj su ispunjeni svi aksiomi Euklidove geometrije, osim petog postulata. Zamijenjena je suprotnom tvrdnjom: "U ravni kroz tačku izvan prave može se povući više od jedne prave koja ne siječe datu." Ova geometrija bila je konzistentna kao i Euklidova geometrija.

  Planimetrijski model Lobačevskog na Euklidovoj ravni izgradio je francuski matematičar Henri Poincaré 1882. godine.

  Nacrtajte vodoravnu liniju na euklidskoj ravni. Ova linija se naziva apsolutnim (x). Tačke euklidske ravni koje leže iznad apsoluta su tačke ravni Lobačevskog. Ravan Lobačevskog je otvorena poluravan koja leži iznad apsoluta. Neeuklidski segmenti u Poincaréovom modelu su lukovi kružnica sa centrom na apsolut ili segmenti okomiti na apsolut (AB, CD). Figura na ravni Lobačevskog je lik otvorene poluravnine koja leži iznad apsoluta (F). Neeuklidsko kretanje je kompozicija konačnog broja inverzija usredsređenih na apsolutnu i aksijalnu simetriju čije su ose okomite na apsolut. Dva neeuklidska segmenta su jednaka ako se jedan od njih može prevesti u drugi neeuklidskim kretanjem. Ovo su osnovni koncepti aksiomatike planimetrije Lobačevskog.

  Svi aksiomi planimetrije Lobačevskog su konzistentni. "Neeuklidska prava je polukrug sa krajevima na apsolutu, ili zrak sa ishodištem na apsolutu i okomit na apsolut." Dakle, tvrdnja Lobačevskog aksioma paralelizma važi ne samo za neku pravu a i tačku A koja ne leži na ovoj pravoj, već i za bilo koju pravu a i bilo koju tačku A koja ne leži na njoj.

  Iza geometrije Lobačevskog nastale su druge konzistentne geometrije: projektivna geometrija odvojena od euklidske, razvila se višedimenzionalna euklidska geometrija, nastala je Rimanova geometrija (opća teorija prostora sa proizvoljnim zakonom mjernih dužina) itd. Iz nauke o figurama u jednom trodimenzionalnom Euklidski prostor, geometrija se za 40 - 50 godina pretvorila u skup raznih teorija, samo donekle sličnih svom praroditelju - geometriji Euklida.

  Glavne faze formiranja moderne matematike. Struktura savremene matematike

• Akademik A.N. Kolmogorov identifikuje četiri perioda u razvoju matematike Kolmogorov A.N. - Matematika, Matematički enciklopedijski rečnik, Moskva, Sovjetska enciklopedija, 1988: rođenje matematike, elementarna matematika, matematika varijabli, savremena matematika.

  Tokom razvoja elementarne matematike, teorija brojeva postepeno prerasta iz aritmetike. Algebra je stvorena kao literalni račun. A sistem predstavljanja elementarne geometrije koji su stvorili stari Grci - Euklidova geometrija - za dva milenijuma unapred postao je model deduktivne konstrukcije matematičke teorije.

  U 17. veku, zahtevi prirodnih nauka i tehnologije doveli su do stvaranja metoda koje omogućavaju matematičko proučavanje kretanja, procesa promene veličina i transformacije geometrijskih figura. Korišćenjem varijabli u analitičkoj geometriji i stvaranjem diferencijalnog i integralnog računa počinje period matematike varijabli. Velika otkrića 17. stoljeća su koncept beskonačno male veličine koji su uveli Newton i Leibniz, stvaranje temelja za analizu infinitezimalnih veličina (matematička analiza).

  Koncept funkcije dolazi do izražaja. Funkcija postaje glavni predmet proučavanja. Proučavanje funkcije dovodi do osnovnih pojmova matematičke analize: granica, derivacija, diferencijal, integral.

  Ovom vremenu pripada i pojava briljantne ideje R. Descartesa o metodi koordinata. Kreirana je analitička geometrija koja omogućava proučavanje geometrijskih objekata metodama algebre i analize. S druge strane, koordinatni metod je otvorio mogućnost geometrijske interpretacije algebarskih i analitičkih činjenica.

  Dalji razvoj matematike doveo je početkom 19. stoljeća do formulacije problema proučavanja mogućih tipova kvantitativnih odnosa i prostornih oblika sa prilično opšteg gledišta.

  Veza između matematike i prirodnih nauka postaje sve složenija. Nove teorije nastaju i nastaju ne samo kao rezultat zahtjeva prirodnih nauka i tehnologije, već i kao rezultat unutrašnje potrebe matematike. Izvanredan primjer takve teorije je imaginarna geometrija N. I. Lobačevskog. Razvoj matematike u 19. i 20. veku omogućava nam da je pripišemo periodu moderne matematike. Razvoj same matematike, matematizacija različitih oblasti nauke, prodor matematičkih metoda u mnoga područja praktične delatnosti, napredak računarske tehnologije doveli su do pojave novih matematičkih disciplina, na primer, istraživanja operacija, teorije igara, itd. matematička ekonomija i drugi.

  Glavne metode u matematičkom istraživanju su matematički dokazi – rigorozno logičko rasuđivanje. Matematičko razmišljanje nije ograničeno na logičko zaključivanje. Matematička intuicija je neophodna za ispravnu formulaciju problema, za procjenu izbora metode za njegovo rješavanje.

  U matematici se proučavaju matematički modeli objekata. Isti matematički model može opisati svojstva stvarnih pojava koje su udaljene jedna od druge. Dakle, ista diferencijalna jednadžba može opisati procese rasta populacije i raspadanja radioaktivnog materijala. Za matematičara nije važna priroda predmeta koji se razmatraju, već odnosi koji postoje između njih.

  U matematici postoje dvije vrste zaključivanja: dedukcija i indukcija.

  Indukcija je istraživačka metoda u kojoj se na osnovu određenih premisa gradi opći zaključak.

  Dedukcija je metoda rasuđivanja pomoću koje zaključak određene prirode slijedi iz općih premisa.

  Matematika igra važnu ulogu u prirodnim, inženjerskim i humanističkim istraživanjima. Razlog prodora matematike u različite grane znanja je to što ona nudi vrlo jasne modele za proučavanje okolne stvarnosti, za razliku od manje opštih i neodređenih modela koje nude druge nauke. Bez moderne matematike, sa njenim razvijenim logičkim i računarskim aparatima, napredak u različitim oblastima ljudske delatnosti bio bi nemoguć.

  Matematika nije samo moćno sredstvo za rješavanje primijenjenih problema i univerzalni jezik nauke, već i element zajedničke kulture.

  Osnovne karakteristike matematičkog mišljenja

• Po ovom pitanju posebno je zanimljiva karakteristika matematičkog mišljenja koju je dao A.Ya.Khinčin, odnosno njegov specifični istorijski oblik - stil matematičkog mišljenja. Otkrivajući suštinu stila matematičkog mišljenja, izdvaja četiri osobine zajedničke svim epohama koje uočljivo izdvajaju ovaj stil od stilova mišljenja u drugim naukama.

  Prvo, matematičara karakterizira dominacija logičke sheme zaključivanja dovedena do krajnjih granica. Matematičar koji izgubi iz vida ovu šemu, barem privremeno, gubi sposobnost potpunog naučnog razmišljanja. Ova posebna karakteristika stila matematičkog razmišljanja sama po sebi ima veliku vrijednost. Očigledno, u maksimalnoj mjeri vam omogućava da pratite ispravnost toka misli i garantuje od grešaka; s druge strane, prisiljava mislioca da ima pred očima sveukupnost raspoloživih mogućnosti tokom analize i obavezuje ga da uzme u obzir svaku od njih, a da pritom ne propusti nijednu (takvi propusti su sasvim mogući i, zapravo, često se uočavaju u drugim stilovima razmišljanja).

  Drugo, sažetost, tj. svjesna želja da se uvijek pronađe najkraći logički put koji vodi do zadanog cilja, nemilosrdno odbacivanje svega što je apsolutno neophodno za besprijekornu valjanost argumenta. Matematički esej dobrog stila, ne trpi nikakvu "vodu", nikakvo uljepšavanje, slabljenje logičke napetosti razglabanja, skretanje pažnje na stranu; krajnja škrtost, teška strogost misli i njenog prikaza sastavni su značaj matematičkog mišljenja. Ova karakteristika je od velike vrijednosti ne samo za matematičko, već i za svako drugo ozbiljno razmišljanje. Lakonizam, želja da se ne dopusti ništa suvišno, pomaže i misliocu i njegovom čitaocu ili slušaocu da se u potpunosti koncentrišu na dati tok misli, a da ga ne ometaju sporedne ideje i bez gubljenja direktnog kontakta s glavnom linijom razmišljanja.

  Svetlosti nauke, po pravilu, razmišljaju i izražavaju se sažeto u svim oblastima znanja, čak i kada njihova misao stvara i postavlja suštinski nove ideje. Kakav veličanstven dojam, na primjer, plemenita škrtost misli i govora najvećih tvoraca fizike: Newtona, Einsteina, Nielsa Bohra! Možda je teško pronaći upečatljiviji primjer kakav dubok uticaj stil razmišljanja njegovih tvoraca može imati na razvoj nauke.

  Za matematiku je sažetost misli neosporan zakon, kanonizovan vekovima. Svaki pokušaj opterećivanja prezentacije ne nužno potrebnim (makar i prijatnim i uzbudljivim za slušaoce) slikama, distrakcijama, govorom unaprijed se stavlja pod opravdanu sumnju i automatski izaziva kritičku budnost.

  Treće, jasna disekcija toka rasuđivanja. Ako, na primjer, prilikom dokazivanja tvrdnje moramo uzeti u obzir četiri moguća slučaja, od kojih se svaki može raščlaniti na jedan ili drugi broj podslučaja, onda u svakom trenutku razmišljanja, matematičar mora jasno zapamtiti u kom slučaju i podslučaju njegov sada se stiče misao i koje slučajeve i podslučajeve još treba da razmotri. Sa svim vrstama razgranatih nabrajanja, matematičar mora u svakom trenutku biti svjestan generičkog koncepta za koji nabraja njegove sastavne koncepte vrsta. U običnom, nenaučnom razmišljanju, vrlo često opažamo zabunu i skokove u takvim slučajevima, što dovodi do zabune i grešaka u zaključivanju. Često se dešava da osoba počne da nabraja vrste jednog roda, a onda neprimjetno za slušaoce (a često i za sebe), koristeći nedovoljnu logičku jasnoću rasuđivanja, uskoči u drugi rod i završi konstatacijom da oba roda su sada klasifikovani; a slušaoci ili čitaoci ne znaju gdje je granica između vrsta prve i druge vrste.

  Kako bi takve zabune i skokove učinili nemogućim, matematičari su dugo koristili jednostavne vanjske metode numeriranja pojmova i sudova, koje se ponekad (ali mnogo rjeđe) koriste u drugim naukama. Oni mogući slučajevi ili oni generički koncepti koje treba razmotriti u ovom obrazloženju su prenumerisani unapred; unutar svakog takvog slučaja, oni podslučaji koje treba uzeti u obzir koje sadrži su također prenumerirani (ponekad, radi razlikovanja, korištenjem nekog drugog sistema numeriranja). Prije svakog paragrafa, gdje počinje razmatranje novog podslučaja, stavlja se oznaka prihvaćena za ovaj podslučaj (na primjer: II 3 - to znači da ovdje počinje razmatranje trećeg podslučaja drugog slučaja, odnosno opis trećeg tip druge vrste, ako je u pitanju klasifikacija). A čitalac zna da dok ne naiđe na novu numeričku rubriku, sve što je predstavljeno važi samo za ovaj padež i podslučaj. Podrazumijeva se da je takvo numeriranje samo vanjski uređaj, vrlo koristan, ali nipošto obavezan, i da suština stvari nije u njemu, već u onoj jasnoj podjeli argumentacije ili klasifikacije, koju ono i potiče i obilježava. sama po sebi.

  Četvrto, skrupulozna tačnost simbola, formula, jednačina. Odnosno, "svaki matematički simbol ima strogo definirano značenje: njegova zamjena drugim simbolom ili preuređivanje na drugo mjesto, po pravilu, povlači izobličenje, a ponekad i potpuno uništenje značenja ove izjave."

  Izdvajajući glavne karakteristike matematičkog stila mišljenja, A.Ya.Khinčin napominje da matematika (posebno matematika varijabli) po svojoj prirodi ima dijalektički karakter, te stoga doprinosi razvoju dijalektičkog mišljenja. Zaista, u procesu matematičkog mišljenja postoji interakcija između vizuelnog (konkretnog) i konceptualnog (apstraktnog). “Ne možemo razmišljati o linijama,” pisao je Kant, “a da ih mentalno ne nacrtamo, ne možemo zamisliti tri dimenzije za sebe, a da ne nacrtamo tri prave okomite jedna na drugu iz jedne tačke.”

  Interakcija konkretnog i apstraktnog „dovela je“ matematičko mišljenje do razvoja novih i novih koncepata i filozofskih kategorija. U antičkoj matematici (matematika konstanti) to su bili „broj“ i „prostor“, koji su se prvobitno ogledali u aritmetici i euklidskoj geometriji, a kasnije u algebri i raznim geometrijskim sistemima. Matematika varijabli bila je „bazirana“ na konceptima koji odražavaju kretanje materije – „konačno“, „beskonačno“, „kontinuitet“, „diskretno“, „beskonačno malo“, „derivacija“ itd.

  Ako govorimo o sadašnjoj istorijskoj fazi razvoja matematičkog znanja, onda to ide u skladu sa daljim razvojem filozofskih kategorija: teorija verovatnoće „gospodari“ kategorijama mogućeg i slučajnog; topologija - kategorije odnosa i kontinuiteta; teorija katastrofe - kategorija skoka; teorija grupa - kategorije simetrije i harmonije, itd.

  U matematičkom razmišljanju izraženi su glavni obrasci izgradnje logičkih veza sličnih po formi. Uz nju se vrši prijelaz sa singularnih (recimo, od određenih matematičkih metoda - aksiomatske, algoritamske, konstruktivne, teorijske skupova i drugih) na posebne i opšte, na generalizovane deduktivne konstrukcije. Jedinstvo metoda i predmeta matematike određuje specifičnosti matematičkog mišljenja, omogućava nam da govorimo o posebnom matematičkom jeziku koji ne samo da odražava stvarnost, već i sintetizuje, generalizuje i predviđa naučna znanja. Moć i ljepota matematičke misli leži u najvećoj jasnoći njene logike, eleganciji konstrukcija i vještoj konstrukciji apstrakcija.

  Fundamentalno nove mogućnosti mentalne aktivnosti otvorile su se pronalaskom kompjutera, stvaranjem mašinske matematike. Značajne promjene su se dogodile u jeziku matematike. Ako se jezik klasične računarske matematike sastojao od formula algebre, geometrije i analize, fokusiranih na opis kontinuiranih procesa prirode, proučavanih prvenstveno u mehanici, astronomiji, fizici, onda je njen savremeni jezik jezik algoritama i programa, uključujući stari jezik formula kao poseban slučaj.

  Jezik moderne računarske matematike postaje sve univerzalniji, sposoban da opiše složene (višeparametarske) sisteme. Istovremeno, želim da naglasim da koliko god savršen matematički jezik, unapređen tehnologijom elektronskog računarstva, on ne prekida veze sa raznovrsnim „živim“, prirodnim jezikom. Štaviše, govorni jezik je osnova veštačkog jezika. S tim u vezi, zanimljivo je nedavno otkriće naučnika. Stvar je u tome da se drevni jezik Indijanaca Aymara, koji govori oko 2,5 miliona ljudi u Boliviji i Peruu, pokazao izuzetno pogodnim za kompjutersku tehnologiju. Još 1610. talijanski jezuitski misionar Ludovico Bertoni, koji je sastavio prvi rječnik Aymara, primijetio je genijalnost njegovih tvoraca, koji su postigli visoku logičku čistoću. U Aymara, na primjer, nema nepravilnih glagola i nema izuzetaka od nekoliko jasnih gramatičkih pravila. Ove karakteristike jezika Aymara omogućile su bolivijskom matematičaru Ivanu Guzmanu de Rojasu da stvori sistem simultanog kompjuterskog prevođenja sa bilo kog od pet evropskih jezika uključenih u program, "most" između kojih je jezik Aymara. Kompjuter "Aymara", koji je kreirao bolivijski naučnik, bio je visoko cijenjen od strane stručnjaka. Sumirajući ovaj dio pitanja o suštini matematičkog stila mišljenja, treba napomenuti da je njegov glavni sadržaj razumijevanje prirode.

  Aksiomatska metoda

• Aksiomatika je glavni način izgradnje teorije, od antike do danas, potvrđujući njenu univerzalnost i svu primjenjivost.

  Izgradnja matematičke teorije zasniva se na aksiomatskoj metodi. Naučna teorija se zasniva na nekim početnim odredbama, zvanim aksiomi, a sve ostale odredbe teorije se dobijaju kao logičke posledice aksioma.

  Aksiomatska metoda se pojavila u staroj Grčkoj, a danas se koristi u gotovo svim teorijskim naukama, a prije svega u matematici.

  Upoređujući tri, u određenom pogledu, komplementarne geometrije: Euklidsku (paraboličku), Lobačevskog (hiperboličku) i Rimanovsku (eliptičku), treba napomenuti da, uz neke sličnosti, postoji velika razlika između sferne geometrije, na jednoj ruku, i geometrije Euklida i Lobačevskog - s druge.

  Osnovna razlika između moderne geometrije je u tome što ona sada obuhvata "geometrije" beskonačnog broja različitih imaginarnih prostora. Međutim, treba napomenuti da su sve ove geometrije interpretacije euklidske geometrije i zasnovane su na aksiomatskoj metodi koju je prvi koristio Euklid.

  Na osnovu istraživanja razvijena je i široko korištena aksiomatska metoda. Kao poseban slučaj primjene ove metode je metoda tragova u stereometriji, koja omogućava rješavanje zadataka o konstrukciji presjeka u poliedrima i nekih drugih pozicionih problema.

  Aksiomatska metoda, koja je prvi put razvijena u geometriji, sada je postala važan alat za proučavanje u drugim granama matematike, fizike i mehanike. Trenutno se radi na poboljšanju i dubljem proučavanju aksiomatske metode izgradnje teorije.

  Aksiomatska metoda konstruisanja naučne teorije sastoji se u isticanju osnovnih pojmova, formulisanju aksioma teorija, a svi ostali iskazi se izvode na logičan način, oslanjajući se na njih. Poznato je da se jedan koncept mora objasniti uz pomoć drugih, koji se, pak, također definišu uz pomoć nekih dobro poznatih pojmova. Tako dolazimo do elementarnih pojmova koji se ne mogu definisati u terminima drugih. Ovi koncepti se nazivaju osnovnim.

  Kada dokazujemo tvrdnju, teoremu, oslanjamo se na premise koje se smatraju već dokazanim. Ali i ove premise su dokazane, trebalo ih je potkrijepiti. Na kraju dolazimo do nedokazivih izjava i prihvatamo ih bez dokaza. Ove izjave se nazivaju aksiomi. Skup aksioma mora biti takav da se, oslanjajući se na njega, mogu dokazati dalje tvrdnje.

  Nakon što smo izdvojili glavne koncepte i formulisali aksiome, onda na logičan način izvodimo teoreme i druge koncepte. Ovo je logička struktura geometrije. Aksiomi i osnovni koncepti čine temelje planimetrije.

  Pošto je nemoguće dati jedinstvenu definiciju osnovnih pojmova za sve geometrije, osnovne pojmove geometrije treba definisati kao objekte bilo koje prirode koji zadovoljavaju aksiome ove geometrije. Dakle, u aksiomatskoj konstrukciji geometrijskog sistema polazimo od određenog sistema aksioma, odnosno aksiomatike. Ovi aksiomi opisuju svojstva osnovnih pojmova geometrijskog sistema, a osnovne koncepte možemo predstaviti u obliku objekata bilo koje prirode koji imaju svojstva navedena u aksiomima.

  Nakon formulisanja i dokazivanja prvih geometrijskih iskaza, postaje moguće dokazati neke tvrdnje (teoreme) uz pomoć drugih. Dokazi mnogih teorema pripisuju se Pitagori i Demokritu.

  Hipokrat sa Hiosa je zaslužan za sastavljanje prvog sistematskog kursa geometrije zasnovanog na definicijama i aksiomima. Ovaj kurs i njegove naknadne obrade nazvane su "Elementi".

  Aksiomatska metoda izgradnje naučne teorije

• Stvaranje deduktivne ili aksiomatske metode konstruisanja nauke jedno je od najvećih dostignuća matematičke misli. Za to je bio potreban rad mnogih generacija naučnika.

  Izvanredna karakteristika deduktivnog sistema prezentacije je jednostavnost ove konstrukcije, koja omogućava da se opiše u nekoliko reči.

  Deduktivni sistem prezentacije svodi se na:

  1) na listu osnovnih pojmova,

  2) na izlaganje definicija,

  3) na prezentaciju aksioma,

  4) na prezentaciju teorema,

  5) na dokaz ovih teorema.

  Aksiom je izjava prihvaćena bez dokaza.

  Teorema je izjava koja slijedi iz aksioma.

  Dokaz je sastavni dio deduktivnog sistema, to je rezonovanje koje pokazuje da istinitost iskaza logički slijedi iz istinitosti prethodnih teorema ili aksioma.

  Unutar deduktivnog sistema ne mogu se riješiti dva pitanja: 1) o značenju osnovnih pojmova, 2) o istinitosti aksioma. Ali to ne znači da su ova pitanja generalno nerešiva.

  Istorija prirodne nauke pokazuje da se mogućnost aksiomatske konstrukcije određene nauke pojavljuje tek na prilično visokom nivou razvoja ove nauke, na osnovu velike količine činjeničnog materijala, što omogućava da se jasno identifikuju glavni veze i odnosi koji postoje između objekata koje ova nauka proučava.

  Primjer aksiomatske konstrukcije matematičke nauke je elementarna geometrija. Sistem aksioma geometrije izložio je Euklid (oko 300. godine p.n.e.) u nenadmašnom po svom značaju djelu "Počeci". Ovaj sistem je uglavnom opstao do danas.

  Osnovni pojmovi: tačka, prava, ravan osnovne slike; ležati između, pripadati, kretati se.

  Elementarna geometrija ima 13 aksioma, koji su podijeljeni u pet grupa. U petoj grupi postoji jedan aksiom o paralelama (Euklidov V postulat): kroz tačku na ravni može se povući samo jedna prava koja ne siječe ovu pravu. Ovo je jedini aksiom koji je izazvao potrebu za dokazom. Pokušaji dokazivanja petog postulata zaokupljali su matematičare više od 2 milenijuma, sve do prve polovine 19. vijeka, tj. sve do trenutka kada je Nikolaj Ivanovič Lobačevski u svojim spisima dokazao potpunu beznadežnost ovih pokušaja. Trenutno je nedokazivost petog postulata strogo dokazana matematička činjenica.

  Aksiom o paralelnom N.I. Lobačevski je zamenio aksiom: Neka su u datoj ravni date prava linija i tačka koja leži van prave. Kroz ovu tačku se na datu pravu mogu povući najmanje dvije paralelne prave.

  Iz novog sistema aksioma N.I. Lobačevski je, sa besprijekornom logičkom strogošću, izveo koherentan sistem teorema koje čine sadržaj neeuklidske geometrije. Obje geometrije Euklida i Lobačevskog jednake su kao logički sistemi.

  Tri velika matematičara u 19. veku gotovo istovremeno, nezavisno jedan od drugog, došli su do istih rezultata o nedokazivosti petog postulata i do stvaranja neeuklidske geometrije.

  Nikolaj Ivanovič Lobačevski (1792-1856)

  Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

  Janos Bolyai (1802-1860)

  Matematički dokaz

• Glavni metod u matematičkom istraživanju je matematički dokaz – rigorozno logičko rasuđivanje. S obzirom na objektivnu nužnost, ističe dopisni član Ruske akademije nauka L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Savremena matematika i njeno učenje, Moskva, Nauka, 1985, logičko rasuđivanje (koje je po svojoj prirodi, ako je tačno, i rigorozno) je metoda matematike, bez njih je matematika nezamisliva. Treba napomenuti da matematičko razmišljanje nije ograničeno na logičko zaključivanje. Za ispravnu formulaciju problema, za procjenu njegovih podataka, za odabir značajnih iz njih i za izbor metode za njegovo rješavanje neophodna je i matematička intuicija koja omogućava da se prije predvidi željeni rezultat. dobija se, da se ocrta put istraživanja uz pomoć uverljivog zaključivanja. Ali valjanost činjenice koja se razmatra dokazuje se ne provjerom na brojnim primjerima, ne izvođenjem niza eksperimenata (što samo po sebi igra veliku ulogu u matematičkim istraživanjima), već na čisto logičan način, prema zakoni formalne logike.

  Vjeruje se da je matematički dokaz konačna istina. Odluka koja se zasniva na čistoj logici jednostavno ne može biti pogrešna. Ali sa razvojem nauke i zadaci pred matematičare postaju sve složeniji.

  „Ušli smo u eru kada je matematički aparat postao toliko složen i glomazan da se na prvi pogled više ne može reći da li je problem na koji smo naišli tačan ili ne“, smatra Keith Devlin sa Univerziteta Stanford, Kalifornija, SAD. On kao primjer navodi „klasifikaciju jednostavnih konačnih grupa“, koja je formulirana još 1980. godine, ali potpuni egzaktni dokaz još nije dat. Najvjerovatnije je teorema tačna, ali je nemoguće reći o tome sa sigurnošću.

  Ni kompjutersko rješenje se ne može nazvati tačnim, jer takvi proračuni uvijek imaju grešku. Godine 1998. Hales je predložio kompjuterski potpomognuto rješenje Keplerove teoreme, formulisane još 1611. godine. Ova teorema opisuje najgušće pakiranje loptica u prostoru. Dokaz je predstavljen na 300 stranica i sadržavao je 40.000 linija mašinskog koda. 12 recenzenata je provjeravalo rješenje godinu dana, ali nikada nisu postigli 100% povjerenje u ispravnost dokaza, te je studija poslana na reviziju. Kao rezultat toga, objavljen je tek nakon četiri godine i bez potpune ovjere recenzenata.

  Svi najnoviji proračuni za primijenjene probleme rađeni su na kompjuteru, ali naučnici smatraju da za veću pouzdanost matematičke proračune treba prikazati bez grešaka.

  Teorija dokaza je razvijena u logici i uključuje tri strukturne komponente: tezu (ono što se treba dokazati), argumente (skup činjenica, opšteprihvaćenih koncepata, zakona, itd. relevantne nauke) i demonstraciju (postupak za raspoređivanje samog dokaza; konzistentan lanac zaključaka kada n-ti zaključak postaje jedna od premisa n+1. zaključivanja). Razlikuju se pravila dokazivanja, naznačene su moguće logičke greške.

  Matematički dokaz ima mnogo zajedničkog sa principima uspostavljenim formalnom logikom. Štaviše, matematička pravila zaključivanja i operacija očito su poslužila kao jedan od temelja u razvoju postupka dokazivanja u logici. Konkretno, istraživači povijesti formiranja formalne logike vjeruju da se svojevremeno, kada je Aristotel napravio prve korake da stvori zakone i pravila logike, okrenuo matematici i praksi pravne djelatnosti. U tim izvorima pronašao je materijal za logičke konstrukcije zamišljene teorije.

  U 20. veku pojam dokaza gubi strogo značenje, što se dogodilo u vezi sa otkrićem logičkih paradoksa koji se kriju u teoriji skupova, a posebno u vezi sa rezultatima koje su donele teoreme K. Gödela o nepotpunosti formalizacije.

  Prije svega, to je utjecalo na samu matematiku, u vezi s kojom se vjerovalo da pojam "dokaz" nema preciznu definiciju. Ali ako takvo mišljenje (koje i danas postoji) utiče na samu matematiku, onda se dolazi do zaključka da dokaz treba prihvatiti ne u logičko-matematičkom, već u psihološkom smislu. Štaviše, sličan stav nalazi se i kod samog Aristotela, koji je vjerovao da dokazati znači voditi rasuđivanje koje bi nas uvjerilo do te mjere da, koristeći ga, uvjeravamo druge u ispravnost nečega. Određenu nijansu psihološkog pristupa nalazimo u A.E. Yesenin-Volpinu. On se oštro protivi prihvatanju istine bez dokaza, povezujući je sa činom vjere, i dalje piše: "Dokaz presude nazivam poštenom metodom koja ovu presudu čini nepobitnom." Jesenin-Volpin izvještava da njegovu definiciju još treba razjasniti. Istovremeno, ne odaje li sama karakterizacija dokaza kao "poštene metode" pozivanje na moralno-psihološku procjenu?

  Istovremeno, otkriće teoretskih paradoksa i pojava Godelovih teorema upravo su doprinijeli razvoju teorije matematičkog dokaza koju su poduzeli intuicionisti, posebno konstruktivističkog smjera, i D. Hilbert.

  Ponekad se vjeruje da je matematički dokaz univerzalan i da predstavlja idealnu verziju naučnog dokaza. Međutim, to nije jedina metoda, postoje i druge metode procedura i operacija zasnovanih na dokazima. Istina je samo da matematički dokaz ima dosta zajedničkog sa formalno-logičkim koji se primjenjuje u prirodnim naukama, te da matematički dokaz ima određene specifičnosti, kao i skup tehnika-operacija. Tu ćemo stati, izostavljajući ono generalno što ga povezuje sa drugim oblicima dokaza, odnosno bez proširenja algoritma, pravila, grešaka itd. u svim koracima (pa i u glavnim). proces dokazivanja.

  Matematički dokaz je obrazloženje koje ima zadatak da potkrijepi istinitost (naravno, u matematičkom, odnosno kao deducibilnosti, smislu) iskaza.

  Skup pravila korištenih u dokazu formiran je zajedno s pojavom aksiomatskih konstrukcija matematičke teorije. To je najjasnije i najpotpunije ostvareno u geometriji Euklida. Njegovi "Principi" postali su neka vrsta standarda modela za aksiomatsku organizaciju matematičkog znanja, i dugo su ostali takvi za matematičare.

  Izjave predstavljene u obliku određenog niza moraju garantovati zaključak, koji se, prema pravilima logičke operacije, smatra dokazanim. Mora se naglasiti da je određeno rezonovanje dokaz samo u odnosu na neki aksiomatski sistem.

  Prilikom karakterizacije matematičkog dokaza razlikuju se dvije glavne karakteristike. Prije svega, činjenica da matematički dokaz isključuje svako pozivanje na empirijski dokaz. Cijeli postupak potvrđivanja istinitosti zaključka provodi se u okviru prihvaćene aksiomatike. S tim u vezi naglašava akademik A.D. Aleksandrov. Možete izmjeriti uglove trougla hiljade puta i uvjeriti se da su jednaki 2d. Ali matematika ništa ne dokazuje. To ćeš mu dokazati ako iz aksioma zaključiš gornju tvrdnju. Hajde da ponovimo. Ovdje je matematika bliska metodama skolastike, koja također fundamentalno odbacuje argumentaciju eksperimentalno datim činjenicama.

  Na primjer, kada je otkrivena nesamjerljivost segmenata, prilikom dokazivanja ove teoreme, isključeno je pozivanje na fizički eksperiment, budući da je, prvo, sam koncept "nesumjerljivosti" lišen fizičkog značenja, a kao drugo, matematičari nisu mogli, kada se radi o apstrakciji, u pomoć privesti materijalno-betonska proširenja, mjerljiva senzorno-vizuelnim uređajem. Nesumjerljivost, posebno, stranice i dijagonale kvadrata, dokazuje se na osnovu svojstva cijelih brojeva korištenjem Pitagorine teoreme o jednakosti kvadrata hipotenuze (odnosno dijagonale) sa zbrojem kvadrata kvadrata noge (dve stranice pravouglog trougla). Ili kada je Lobačevski tražio potvrdu za svoju geometriju, pozivajući se na rezultate astronomskih opservacija, onda je tu potvrdu on izvršio čisto spekulativne prirode. Cayley-Klein i Beltramijeve interpretacije neeuklidske geometrije također su sadržavale tipično matematičke, a ne fizičke objekte.

  Druga karakteristika matematičkog dokaza je njegova najveća apstraktnost, po čemu se razlikuje od postupaka dokazivanja u drugim naukama. I opet, kao iu slučaju koncepta matematičkog objekta, ne radi se samo o stepenu apstrakcije, već o njegovoj prirodi. Činjenica je da dokaz dostiže visok nivo apstrakcije u nizu drugih nauka, na primjer, u fizici, kosmologiji i, naravno, u filozofiji, budući da krajnji problemi bića i mišljenja postaju predmet potonjeg. Matematika se, s druge strane, odlikuje činjenicom da ovdje funkcionišu varijable, čije je značenje u apstrakciji od bilo kojih specifičnih svojstava. Podsjetimo da su, po definiciji, varijable znakovi koji sami po sebi nemaju značenja i dobivaju potonje tek kada se za njih zamjene nazivi određenih objekata (pojedinačne varijable) ili kada se naznače određena svojstva i odnosi (predikatne varijable), ili, konačno. , u slučajevima zamjene varijable sa smislenim iskazom (propoziciona varijabla).

  Navedena karakteristika određuje prirodu ekstremne apstraktnosti znakova koji se koriste u matematičkom dokazu, kao i iskaza, koji se zbog uključivanja varijabli u njihovu strukturu pretvaraju u iskaze.

  Sam postupak dokazivanja, definisan u logici kao demonstracija, odvija se na osnovu pravila zaključivanja, na osnovu kojih se vrši prelazak sa jedne dokazane tvrdnje na drugu, formirajući konzistentan lanac zaključaka. Najčešća su dva pravila (zamjena i izvođenje zaključaka) i teorema dedukcije.

  pravilo zamjene. U matematici, zamjena je definirana kao zamjena svakog od elemenata a datog skupa nekim drugim elementom F(a) iz istog skupa. U matematičkoj logici, pravilo zamjene je formulirano na sljedeći način. Ako istinita formula M u propozicionom proračunu sadrži slovo, recimo A, onda zamjenom gdje god se pojavi proizvoljnim slovom D dobijamo formulu koja je također istinita kao i originalna. To je moguće, a i dopustivo upravo zato što se u proračunu tvrdnji apstrahuje od značenja iskaza (formula)... U obzir se uzimaju samo vrednosti „tačno“ ili „netačno“. Na primjer, u formuli M: A--> (BUA) zamjenjujemo izraz (AUB) umjesto A, kao rezultat dobijamo novu formulu (AUB) -->[(BU(AUB) ].

  Pravilo za izvođenje zaključaka odgovara strukturi uslovno kategoričnog silogizma modus ponens (afirmativni način) u formalnoj logici. izgleda ovako:

  a .

  Dat je prijedlog (a-> b) i također dat a. Slijedi b.

  Na primjer: Ako pada kiša, onda je pločnik mokar, pada kiša (a), dakle, pločnik je mokar (b). U matematičkoj logici, ovaj silogizam je zapisan na sljedeći način (a-> b) a-> b.

  Zaključak se, po pravilu, utvrđuje odvajanjem radi implikacije. Ako su date implikacija (a-> b) i njen antecedent (a), onda imamo pravo da u obrazloženje (dokaz) dodamo i posljedicu ove implikacije (b). Silogizam je prisilan, čini arsenal deduktivnih dokaznih sredstava, odnosno apsolutno ispunjava zahtjeve matematičkog zaključivanja.

  Važnu ulogu u matematičkom dokazu igra teorema dedukcije - opšti naziv za brojne teoreme, čiji postupak omogućava da se utvrdi dokazivost implikacije: A-> B, kada postoji logička derivacija formula B iz formule A. U najobičnijoj verziji propozicionog računa (u klasičnoj, intuicionističkoj i drugim vrstama matematike), teorema dedukcije kaže sljedeće. Ako su dati sistem premisa G i premisa A, iz kojih se, prema pravilima, može izvesti B G, A B (- znak izvodljivosti), onda sledi da se samo iz premisa G može dobiti rečenica A --> B.

  Razmotrili smo tip, što je direktan dokaz. Istovremeno, u logici se koriste i takozvani indirektni dokazi; postoje nedirektni dokazi koji su raspoređeni prema sljedećoj shemi. Nemajući, zbog niza razloga (nedostupnost predmeta proučavanja, gubitak realnosti njegovog postojanja, itd.) mogućnost da izvrše direktan dokaz istinitosti bilo koje tvrdnje, teze, grade antitezu. Oni su uvjereni da antiteza vodi u kontradikcije, pa je stoga lažna. Zatim se iz činjenice lažnosti antiteze izvodi - na osnovu zakona isključene sredine (a v) - zaključak o istinitosti teze.

  U matematici se široko koristi jedan od oblika indirektnog dokaza – dokaz kontradikcijom. Posebno je vrijedan i, zapravo, neophodan u prihvatanju osnovnih pojmova i odredbi matematike, na primjer, koncepta stvarne beskonačnosti, koji se ne može uvesti na drugi način.

  Operacija dokaza kontradikcijom predstavljena je u matematičkoj logici na sljedeći način. Dat je niz formula G i negacija A (G , A). Ako ovo implicira B i njegovu negaciju (G , A B, ne-B), onda možemo zaključiti da istinitost A slijedi iz niza formula G. Drugim riječima, istinitost teze slijedi iz neistinitosti antiteze .

  Reference:

• 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Viša matematika za ekonomiste, udžbenik, Moskva, 2002;

  2. L.D. Kudryavtsev, Moderna matematika i njena nastava, Moskva, Nauka, 1985;

  3. O. I. Laričev, Objektivni modeli i subjektivne odluke, Moskva, Nauka, 1987;

  4. A.Ya.Halamizer, „Matematika? - Smiješno je! ”, Autorsko izdanje, 1989.;

  5. P.K. Raševski, Rimanova geometrija i tenzorska analiza, Moskva, 3. izdanje, 1967;

  6. V.E. Gmurman, Teorija vjerovatnoće i matematička statistika, Moskva, Viša škola, 1977;

  7. Svjetska mreža Enternet.

Matematika kao nauka o kvantitativnim odnosima i prostornim oblicima stvarnosti proučava svijet oko nas, prirodne i društvene pojave. Ali za razliku od drugih nauka, matematika proučava njihova posebna svojstva, apstrahujući od drugih. Dakle, geometrija proučava oblik i veličinu objekata, ne uzimajući u obzir njihova druga svojstva: boju, masu, tvrdoću itd. Općenito, matematičke objekte (geometrijski lik, broj, vrijednost) stvara ljudski um i postoje samo u ljudskom razmišljanju, u znakovima i simbolima koji čine matematički jezik.

Apstraktnost matematike omogućava njenu primenu u raznim oblastima, moćno je oruđe za razumevanje prirode.

Oblici znanja su podijeljeni u dvije grupe.

prva grupačine forme čulne spoznaje, koje se odvijaju uz pomoć različitih organa čula: vida, sluha, mirisa, dodira, ukusa.

Co. druga grupa uključuju oblike apstraktnog mišljenja, prvenstveno pojmove, iskaze i zaključke.

Oblici čulne spoznaje su Osjećati, percepcija i reprezentacija.

Svaki predmet ima ne jedno, već mnogo svojstava, a poznajemo ih uz pomoć osjeta.

Feeling- ovo je odraz pojedinačnih svojstava predmeta ili pojava materijalnog svijeta, koji direktno (tj. sada, u ovom trenutku) utiču na naša osjetila. To su senzacije crvene, tople, okrugle, zelene, slatke, glatke i druga pojedinačna svojstva predmeta [Getmanova, str. 7].

Iz pojedinačnih senzacija formira se percepcija cijelog objekta. Na primjer, percepcija jabuke sastoji se od takvih senzacija: sferni, crveni, slatko-kiseli, mirisni itd.

Percepcija je holistički odraz spoljašnjeg materijalnog objekta koji direktno utiče na naša čula [Getmanova, str. osam]. Na primjer, slika tanjura, šalice, žlice, drugog pribora; slika rijeke, ako sada plovimo uz nju ili smo na njenim obalama; slika šume, ako smo sada došli do šume itd.

Percepcije, iako su senzorni odraz stvarnosti u našim umovima, u velikoj mjeri zavise od ljudskog iskustva. Na primjer, biolog će livadu percipirati na jedan način (vidjet će različite vrste biljaka), ali će je turist ili umjetnik percipirati na potpuno drugačiji način.

Performanse- ovo je senzualna slika predmeta koji mi trenutno ne percipiramo, ali koji smo prethodno percipirali u ovom ili onom obliku [Getmanova, str. deset]. Na primjer, možemo vizualno zamisliti lica poznanika, našu sobu u kući, drvo breze ili gljive. Ovo su primjeri reprodukcija reprezentacije, kao što smo vidjeli ove objekte.

Prezentacija može biti kreativan, uključujući fantastično. Predstavljamo prelijepu princezu Labud, ili cara Saltana, ili zlatnog petla, i mnoge druge likove iz bajki A.S. Puškina, koga nikada nismo videli i nikada nećemo videti. Ovo su primjeri kreativnog predstavljanja u odnosu na verbalni opis. Zamišljamo i Snjeguljicu, Djeda Mraza, sirenu itd.

Dakle, oblici čulnog znanja su senzacije, percepcije i reprezentacije. Uz njihovu pomoć učimo vanjske aspekte objekta (njegove karakteristike, uključujući svojstva).

Oblici apstraktnog mišljenja su koncepti, izjave i zaključci.

Koncepti. Obim i sadržaj pojmova

Termin "pojam" se obično koristi da se odnosi na čitavu klasu objekata proizvoljne prirode koji imaju određeno karakteristično (distinktivno, bitno) svojstvo ili čitav skup takvih svojstava, tj. svojstva koja su jedinstvena za članove te klase.

Sa stanovišta logike, pojam je posebna forma mišljenja koju karakteriše: 1) pojam je proizvod visokoorganizovane materije; 2) koncept odražava materijalni svijet; 3) koncept se pojavljuje u svesti kao sredstvo generalizacije; 4) pojam označava specifično ljudsku aktivnost; 5) formiranje pojma u umu osobe neodvojivo je od njegovog izražavanja kroz govor, pisanje ili simbol.

Kako koncept bilo kog objekta stvarnosti nastaje u našim umovima?

Proces formiranja određenog koncepta je postepen proces u kojem se može uočiti nekoliko uzastopnih faza. Razmotrite ovaj proces koristeći najjednostavniji primjer - formiranje koncepta broja 3 kod djece.

1. U prvoj fazi spoznaje djeca se upoznaju sa različitim specifičnim skupovima, koristeći predmetne slike i prikazujući različite skupove od tri elementa (tri jabuke, tri knjige, tri olovke itd.). Djeca ne samo da vide svaki od ovih skupova, već mogu i dodirnuti (dodirnuti) predmete koji čine ove skupove. Ovaj proces "viđenja" stvara u djetetovom umu poseban oblik odraza stvarnosti, koji se naziva percepcija (osjećaj).

2. Uklonimo predmete (predmete) koji čine svaki skup i pozovimo djecu da utvrde da li postoji nešto zajedničko što karakteriše svaki skup. Broj predmeta u svakom setu trebao je biti utisnut u svijest djece, da ih je posvuda „tri“. Ako je to tako, onda je stvorena nova forma u glavama djece - ideja broja tri.

3. U sljedećoj fazi, na osnovu misaonog eksperimenta, djeca treba da vide da svojstvo izraženo u riječi "tri" karakterizira bilo koji skup različitih elemenata oblika (a; b; c). Stoga će se izdvojiti bitna zajednička karakteristika ovakvih skupova: „imati tri elementa“. Sada možemo reći da se u svijesti djece formiralo koncept broja 3.

koncept- ovo je poseban oblik mišljenja, koji odražava bitna (distinktna) svojstva predmeta ili predmeta proučavanja.

Jezički oblik pojma je riječ ili grupa riječi. Na primjer, "trokut", "broj tri", "tačka", "prava linija", "jednakokraki trokut", "biljka", "četinarsko drvo", "rijeka Jenisej", "sto" itd.

Matematički koncepti imaju niz karakteristika. Glavni je da matematički objekti o kojima je potrebno formirati koncept ne postoje u stvarnosti. Matematičke objekte stvara ljudski um. To su idealni objekti koji odražavaju stvarne objekte ili pojave. Na primjer, u geometriji se proučavaju oblik i veličina objekata, ne uzimajući u obzir njihova druga svojstva: boju, masu, tvrdoću itd. Od svega toga oni su odvučeni, apstrahovani. Stoga se u geometriji umjesto riječi "objekat" kaže "geometrijska figura". Rezultat apstrakcije su i takvi matematički koncepti kao što su "broj" i "vrijednost".

Glavne karakteristike bilo koji koncepti su sljedeće: 1) volumen; 2) sadržaja; 3) odnose između pojmova.

Kada se govori o matematičkom pojmu, obično se misli na cijeli skup (skup) objekata označenih jednim pojmom (riječ ili grupa riječi). Dakle, kada govorimo o kvadratu, oni podrazumijevaju sve geometrijske oblike koji su kvadrati. Vjeruje se da je skup svih kvadrata opseg koncepta "kvadrata".

Obim koncepta skup objekata ili objekata na koje je ovaj koncept primenljiv se zove.

Na primjer, 1) opseg koncepta "paralelograma" je skup takvih četverouglova kao što su pravi paralelogrami, rombovi, pravokutnici i kvadrati; 2) opseg koncepta "jednocifrenog prirodnog broja" biće skup - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Svaki matematički objekat ima određena svojstva. Na primjer, kvadrat ima četiri stranice, četiri prava ugla jednaka dijagonalama, dijagonale su podijeljene na pola presječne točke. Možete odrediti njegova druga svojstva, ali među svojstvima objekta postoje suštinski (različit) i nebitno.

Nekretnina se zove značajan (različit) za objekat ako je inherentan ovom objektu i bez njega ne može postojati; imovina se zove beznačajan za objekat ako može postojati bez njega.

Na primjer, za kvadrat su sva svojstva navedena iznad bitna. Svojstvo “strana AD je horizontalna” neće biti relevantno za kvadrat ABCD (slika 1). Ako se ovaj kvadrat rotira, tada će strana AD biti okomita.

Razmotrimo primjer za predškolce koji koriste vizuelni materijal (slika 2):

Opišite sliku.

Mali crni trougao. Rice. 2

Veliki beli trougao.

Koliko su brojke slične?

Po čemu se brojke razlikuju?

Boja, veličina.

Šta ima trougao?

3 strane, 3 ugla.

Tako djeca saznaju bitna i nebitna svojstva pojma "trokut". Bitna svojstva - "imaju tri strane i tri ugla", nebitna svojstva - boja i veličina.

Ukupnost svih bitnih (distinktnih) svojstava objekta ili predmeta koji se ogledaju u ovom konceptu naziva se sadržaj koncepta .

Na primjer, za koncept „paralelograma“, sadržaj je skup svojstava: ima četiri strane, ima četiri ugla, suprotne strane su parno paralelne, suprotne strane su jednake, suprotni uglovi su jednaki, dijagonale u raskrsnici bodovi su podijeljeni na pola.

Postoji veza između obima pojma i njegovog sadržaja: ako se volumen pojma povećava, onda se njegov sadržaj smanjuje, i obrnuto. Tako, na primjer, obim pojma "jednakokraki trokut" je dio obima pojma "trokut", a sadržaj pojma "jednakokraki trokut" uključuje više svojstava od sadržaja pojma "trokut", jer jednakokraki trokut ima ne samo sva svojstva trougla, već i druga svojstva koja su svojstvena samo jednakokračnim trouglovima („dvije strane su jednake“, „dva ugla su jednaka“, „dvije medijane su jednake“ itd.).

Koncepti se dijele na pojedinačni, zajednički i kategorije.

Pojam čiji je volumen jednak 1 se zove jedinstven koncept .

Na primjer, koncepti: "Rijeka Jenisej", "Republika Tuva", "grad Moskva".

Zovu se pojmovi čiji je volumen veći od 1 često .

Na primjer, pojmovi: "grad", "rijeka", "četvorokut", "broj", "poligon", "jednačina".

U procesu proučavanja osnova bilo koje nauke, djeca općenito formiraju opšte pojmove. Na primjer, u osnovnim razredima učenici se upoznaju sa pojmovima kao što su „broj”, „broj”, „jednocifreni brojevi”, „dvocifreni brojevi”, „višecifreni brojevi”, „razlomak”, „udio ”, “sabiranje”, “pojam” , “zbir”, “oduzimanje”, “oduzeto”, “smanjeno”, “razlika”, “množenje”, “množilac”, “proizvod”, “podjela”, “djeljivo”, "djelitelj", "količnik", " lopta, cilindar, konus, kocka, paralelepiped, piramida, ugao, trokut, četverougao, kvadrat, pravougaonik, poligon, krug, "krug", "kriva", "polilinija", "segment" , "dužina segmenta", "zraka", "prava", "tačka", "dužina", "širina", "visina", "perimetar", "područje figure", "volumen", "vrijeme", " brzina", "masa", "cijena", "cijena" i mnoge druge. Svi ovi koncepti su opšti koncepti.