Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspešno polaganje ispita iz matematike za 60-65 poena. U potpunosti svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da riješite prvi dio za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

1

Dryomova O.N. (, MBOU srednja škola "Anninsky Lyceum")

1. Geometrija 7-9 razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / A.V. Pogorelov. – 10. izd. – M.: Prosvjeta, 2016. – 240 str.

2. http://en.solverbook.com

3. http://ege-study.ru

4. https://reshyege.ru/

5. http:// www.fmclass.ru/math.phpid = 4850e0880794e

6. http://tehtab.ru

7. https://ege.sdamgia.ru/problemid = 50847

8. http://alexlarin.net/ege17.html

Ovaj članak je sažetak glavnog rada. Kompletan tekst naučnog rada, prijave, ilustracije i drugi dodatni materijali dostupni su na web stranici IV Međunarodnog konkursa za istraživačko-kreativne radove učenika „Počni u nauci“ na linku: https://school-science.ru /1017/7/770.

Hipoteza, relevantnost, cilj, ciljevi projekta, predmet i predmet istraživanja, rezultati

Target: Otkriti, dokazati malo poznate teoreme, svojstva geometrije.

Ciljevi istraživanja:

1. Proučite edukativnu i referentnu literaturu.

2. Prikupiti malo poznat teorijski materijal potreban za rješavanje planimetrijskih zadataka.

3. Razumjeti dokaze malo poznatih teorema i svojstava.

4. Pronađite i riješite probleme KIM-a Jedinstvenog državnog ispita, za primjenu ovih malo poznatih teorema i svojstava.

Relevantnost: Na ispitu, u zadacima iz matematike, često se pojavljuju problemi iz geometrije čije rješavanje izaziva određene poteškoće i tjera vas da trošite mnogo vremena. Sposobnost rješavanja ovakvih zadataka bitan je uslov za uspješan polaganje ispita na profilnom nivou iz matematike. Ali postoji rješenje za ovaj problem, neki od ovih problema se lako mogu riješiti korištenjem teorema, osobina koje su malo poznate i njima se ne poklanja pažnja u školskom kursu matematike. Po mom mišljenju, ovo može objasniti moj interes za temu istraživanja i njenu relevantnost.

Predmet studija: geometrijski problemi upotrebe KIM-a.

Predmet studija: malo poznate teoreme i svojstva planimetrije.

hipoteza: Postoje malo poznate teoreme i svojstva geometrije, čije će poznavanje olakšati rješavanje nekih planimetrijskih problema KIM-a Jedinstvenog državnog ispita.

Metode istraživanja:

1) Teorijska analiza i traženje informacija o malo poznatim teoremama i svojstvima;

2) Dokaz teorema i svojstava

3) Pronalaženje i rješavanje problema koristeći ove teoreme i svojstva

U matematici, i općenito u geometriji, postoji ogroman broj različitih teorema, svojstava. Za rješavanje planimetrijskih problema poznate su mnoge teoreme i svojstva, koja su do danas relevantna, ali su malo poznata i vrlo korisna za rješavanje problema. Prilikom proučavanja ovog predmeta asimiliraju se samo osnovne, dobro poznate teoreme i metode za rješavanje geometrijskih problema. No, osim toga, postoji prilično velik broj različitih svojstava i teorema koji pojednostavljuju rješenje određenog problema, ali malo ljudi uopće zna za njih. U KIM-ovima Jedinstvenog državnog ispita, rješavanje problema iz geometrije može biti mnogo lakše, poznavajući ova malo poznata svojstva i teoreme. U CMM-ima, problemi iz geometrije se nalaze u brojevima 8, 13, 15 i 16. Malo poznate teoreme i svojstva opisana u mom radu mnogostruko pojednostavljuju rješavanje planimetrijskih problema.

Teorema o simetrali ugla trougla

Teorema: Simetrala ugla trougla deli suprotnu stranu na segmente proporcionalne susednim stranicama trougla.

Dokaz.

Posmatrajmo trougao ABC i simetralu njegovog ugla B. Povučemo pravu SM kroz vrh C, paralelnu sa simetralom BK, sve dok se u tački M ne preseče nastavkom stranice AB. Kako je VC simetrala ugla ABC, onda je ∠ABK = ∠KBC. Nadalje, ∠ABK = ∠BMC, kao odgovarajući uglovi kod paralelnih pravih, i ∠KBC = ∠BCM, kao poprečno ležeći uglovi kod paralelnih pravih. Stoga je ∠VCM = ∠VMS, pa je trougao VMS jednakokračan, pa je BC = VM. Prema teoremi o paralelnim pravima koje seku stranice ugla, imamo AK: KS = AB: VM = AB: BC, što je trebalo dokazati.

Razmotrimo probleme u čijem se rješavanju koristi svojstvo simetrala trougla.

Zadatak broj 1. U trouglu ABC simetrala AH dijeli stranicu BC na segmente čije su dužine 28 i 12. Nađi obim trougla ABC ako je AB - AC = 18.

ABC - trougao

AH - simetrala

Neka je AC = X onda AB = X + 18

Po svojstvu simetrale ugla alfa, AB·HC = BH·AC;

28 X \u003d 12 (x + 18) x \u003d 13,5,

pa AC = 13,5, odakle

AB = 13,5 + 18 = 31,5 BC = 28 + 12 = 40,

P=AB+BC+AC=85

Teorema o medijani trougla

Teorema. Medijane trougla se sijeku u jednoj tački i dijele se u njoj u omjeru 2:1, računajući od vrha.

Dokaz. U trouglu A BC nacrtamo medijane AA1 i CC1 i njihovu presečnu tačku označimo sa M.

Kroz tačku C1 povlačimo pravu paralelnu sa AA1 i označavamo njenu tačku preseka sa BC kao D.

Tada je D sredina BA1, dakle CA1:A1D = 2:1.

Prema Talesovoj teoremi, CM:MC1 = 2:1. Tako medijan AA1 siječe medijanu CC1 u tački M dijeleći medijanu CC1 u omjeru 2:1.

Slično, medijan BB1 siječe medijanu CC1 u tački koja dijeli medijanu CC1 u omjeru 2:1, tj. tačka M.

Zadatak 1. Dokazati da medijana trougla leži bliže većoj strani, tj. ako je u trokutu ABC, AC>BC, tada medijan CC1 zadovoljava nejednakost ACC1< BCC1.

Nastavljamo medijanu CC1 i odvajamo segment C1B jednak AC1. Trougao AC1D jednak je trokutu BC1C sa dve strane i ugla između njih. Dakle, AD = BC, ADC1 = BCC1. U trouglu ACD AC> AD. Pošto postoji veći ugao nasuprot veće stranice trokuta, onda je ADC1>ACD. Dakle, nejednakost ACC1

Zadatak broj 2. Površina trougla ABC je 1. Nađite površinu trougla čije su stranice jednake medijanama ovog trougla.

ABC trougao

Neka su AA1, BB1, CC1 medijane trougla ABC koji se sijeku u tački M. Nastavljamo medijanu CC1 i odvajamo segment C1D jednak MC1.

Površina trokuta BMC je 1/3, a njegove stranice su 2/3 medijana originalnog trokuta. Dakle, površina trokuta čije su stranice jednake medijanama ovog trokuta je 3/4. Izvedemo formulu koja izražava medijane trokuta kroz njegove stranice. Neka su stranice trougla ABC a, b, c. Označite željenu dužinu medijane CD-a sa mc. Po zakonu kosinusa imamo:

Sabiranjem ove dvije jednakosti i uzimajući u obzir da je cosADC = -cosBDC, dobijamo jednakost: iz koje nalazimo .

Teorema srednje linije trougla

Teorema: tri srednje linije trokuta dijele ga na 4 jednaka trokuta slična datom sa koeficijentom sličnosti ½

dokaz:

Neka je ABC trougao. C1 je sredina AB, A1 je sredina BC, B1 je sredina AC.

Dokažimo da su trouglovi AC1B1, BC1A1, A1B1C, C1B1A1 jednaki.

Budući da je C1 A1 B1 sredina, onda AC1 = C1B, BA1 = A1C, AB1 = B1C.

Koristimo svojstvo srednje linije:

C1A1 = 1/2 AC = 1/2 (AB1 + B1C) = 1/2 (AB1 + AB1) = AB1

Slično, C1B1 = A1C, A1B1 = AC1.

Zatim u trokutima AC1B1, BA1C1, A1B1C, C1B1A1

AC1 = BC1 = A1B1 = A1B1

AB1 = C1A1 = B1C = C1A1

C1B1 = BA1 = A1C = C1B1

Dakle, trouglovi su podudarni na tri strane, iz toga sledi

A1/B1 = A1C1/AC = B1C1/BC = ½

Teorema je dokazana.

Razmislite o rješavanju problema koristeći svojstvo srednjih linija trougla.

Zadatak broj 1. Dat je trougao ABC sa stranicama 9,4 i 7. Nađite obim trougla C1A1B1 čiji su vrhovi sredine ovih stranica

Zadato: trougao - ABC

9,4,7-strane trougla

Prema svojstvu sličnosti trouglova: 3 srednje linije trougla dijele ga na 4 jednaka trougla slična ovom sa koeficijentom 1/2.

C1A1 = 9/2 = 4,5 A1B1 = 4/2 = 2 C1B1 = 7/2 = 3,5 pa je perimetar = 4,5 + 2 + 3,5 = 10

Svojstvo tangente na kružnicu

Teorema: kvadrat tangente jednak je proizvodu sekanse i njenog vanjskog dijela.

Dokaz.

Nacrtajmo segmente AK i BK Trouglovi AKM i BKM su slični jer imaju zajednički ugao M. A uglovi AKM i B su jednaki, jer se svaki od njih mjeri polovicom luka AK. Dakle, MK/MA = MB/MK, ili MK2 = MA MB.

Primjeri rješavanja problema.

Zadatak br. 1. Iz tačke A izvan kruga povučena je sekansa dužine 12 cm i tangenta čija je dužina 2 puta manja od segmenta sekante koji se nalazi unutar kruga. pronađite dužinu tangente.

ACD sekant

Ako se iz jedne tačke u kružnicu povuku tangenta i sekansa, tada je umnožak cijelog sekansa po vanjskom dijelu jednak kvadratu tangente,

tj. AD·AC = AB2. Ili AD (AD-2AB) = AB2.

Zamijenite poznate vrijednosti: 12(12-2AB) = AB2 ili AB2 + 24 AB-144.

AB = -12 + 12v2 = 12(v2-1)

Svojstvo stranica opisanog četvorougla

Teorema: za četverougao opisan oko kružnice, zbroji dužina suprotnih strana su jednaki

dokaz:

Po svojstvu tangente AP = AQ, DP = DN, CN = CM i BQ = BM, dobijamo da

AB + CD = AQ + BQ + CN + DN i BC + + AD = BM + CM + AP + DP.

Dakle

AB+CD=BC+AD

Razmotrite primjere rješavanja problema.

Zadatak br. 1. Tri stranice četvorougla opisanog oko kružnice povezane su (u nizu) kao 1:2:3. Pronađite najdužu stranicu ovog četverokuta ako je poznato da je njegov obim 32.

ABCD - četverougao

AB:BC:CD = 1:2:3

Neka je strana AB = x, tada je AD = 2x, a DC = 3x. Po svojstvu opisanog četvorougla, sume suprotnih strana su jednake, pa je x + 3x = BC + 2x, odakle je BC = 2x, tada je obim četvorougla 8X.

Dobijamo da je x = 4, a najveća strana je 12.

Zadatak broj 2. Trapez je opisan oko kružnice čiji je obim 40. Pronađite njegovu srednju liniju.

ABCD-trapez, l - srednja linija

Rješenje: Srednja linija trapeza je polovina zbira osnovica. Neka su osnovice trapeza a i c, a stranice b i d. Po svojstvu opisanog četvorougla, a + c = b + d, pa je perimetar 2(a + c).

Dobijamo da je a + c = 20, odakle je L = 10

Peak Formula

Pickova teorema: Površina poligona je:

gdje je G broj čvorova rešetke na granici poligona

B je broj čvorova rešetke unutar poligona.

Na primjer, da bismo izračunali površinu četverokuta prikazanog na slici, uzimamo u obzir:

D = 7, V = 23,

odakle je S = 7:2 + 23 - 1 = 25,5.

Površina bilo kojeg poligona nacrtanog na kockastom papiru može se lako izračunati tako što se predstavlja kao zbir ili razlika površina pravokutnih trokuta i pravokutnika čije stranice prate linije mreže koje prolaze kroz vrhove nacrtanog trokuta.

U nekim slučajevima možete primijeniti čak i gotovu formulu za površinu trokuta ili četverokuta. Ali u nekim slučajevima, ove metode je ili nemoguće primijeniti, ili je proces njihove primjene dugotrajan, nezgodan.

Da bismo izračunali površinu poligona prikazanog na slici, koristeći formulu Peak, imamo: S = 8/2 + 19-1 = 22.

Zaključak

U toku istraživanja potvrđena je hipoteza da u geometriji postoje teoreme i svojstva malo poznata iz školskog predmeta, koja pojednostavljuju rješavanje nekih planimetrijskih zadataka, uključujući i probleme KIM-a Jedinstvenog državnog ispita.

Uspio sam pronaći takve teoreme i svojstva i primijeniti ih na rješavanje problema, te dokazati da njihova primjena svodi ogromna rješenja nekih problema na rješenja za nekoliko minuta. Primjena teorema i svojstava opisanih u mom radu u pojedinim slučajevima omogućava rješavanje problema odmah i usmeno, te vam omogućava da uštedite više vremena na ispitu i samo pri rješavanju u školi.

Vjerujem da materijali mog istraživanja mogu biti od koristi maturantima u pripremama za ispit iz matematike.

Bibliografska veza

Khvorov I.I. MALO POZNATE TEOREME PLANIMETRIJE // International School Scientific Bulletin. - 2018. - br. 3-2. – str. 184-188;
URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=544 (datum pristupa: 02.01.2020.).

REFERENTNI MATERIJAL IZ GEOMETRIJE ZA 7-11. RAZRED.

Dragi roditelji! Ako tražite nastavnika matematike za svoje dijete, onda je ovaj oglas za vas. Nudim Skype podučavanje: priprema za OGE, Jedinstveni državni ispit, otklanjanje praznina u znanju. Vaše prednosti su jasne:

1) Vaše dijete je kod kuće i možete biti mirni za njega;

2) Nastava se održava u vrijeme koje je pogodno za dijete, a možete čak i pohađati ove časove. Objašnjavam jednostavno i jasno na uobičajenoj školskoj tabli.

3) Možete se i sami sjetiti drugih važnih prednosti Skype časova!

P.S. Prijatelji, naravno da je besplatno!

Dragi prijatelji! Da li se pripremate za OGE ili USE?

da ti pomognem "Priručnik iz geometrije 7-9" .

Definicija paralelograma.

Paralelogram je četvorougao čije su suprotne strane paralelne u parovima: AB||CD, AD||DC.

Suprotne strane paralelograma su: AB=CD, AD=DC.

Nasuprotni uglovi paralelograma su:

∠A=∠c,∠B=∠D.

Zbir uglova paralelograma uz jednu stranu je 180°. Na primjer, ∠ A+∠B=180°.

Bilo koja dijagonala paralelograma dijeli ga na dva jednaka trougla. ∆ABD=∆BCD.

Dijagonale paralelograma se sijeku, a presječna tačka je prepolovljena. AO=OC, BO=OD. Neka je AC=d 1 i BD=d 2 , ∠COD=α. Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata svih njegovih stranica:

• Ako su dvije suprotne strane četverougla paralelne i jednake, onda je četverokut paralelogram.
• Ako su suprotne strane četverougla po paru jednake, onda je četverokut paralelogram.
• Ako se dijagonale četverougla sijeku, a presječna tačka je popolovljena, onda je četverougao paralelogram.

Površina paralelograma.

1) S=ah;

2) S=ab∙sinα;

Pravougaonik je paralelogram sa svim pravim uglovima. A B C D- pravougaonik. Pravougaonik ima sva svojstva paralelograma.

Dijagonale pravougaonika su jednake.

AC=BD. Neka je AC=d 1 i BD=d 2 , ∠COD=α.

d 1 \u003d d 2 - dijagonale pravokutnika su jednake. α je ugao između dijagonala.

Kvadrat dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata stranica pravokutnika:

(d 1) 2 = (d 2) 2 = a 2 + b 2.

Površina pravougaonika može se pronaći pomoću formula:

1) S=ab; 2) S=(½) d²∙sinα; (d je dijagonala pravougaonika).

U blizini bilo kojeg pravougaonika moguće je opisati kružnicu čiji je centar tačka presjeka dijagonala; dijagonale su prečnici kruga.

Rhombus.

Romb je paralelogram čije su sve strane jednake.

A B C D- romb.

Romb ima sva svojstva paralelograma.

Dijagonale romba su međusobno okomite.

AC | B.D.

Dijagonale romba su simetrale njegovih uglova.

Rhombus area.

1) S=ah;

2) S=a 2 ∙sinα;

3) S \u003d (½) d 1 ∙d 2;

4) S= P∙r, gde je P obim romba, r poluprečnik upisane kružnice.

Square.

Sve strane kvadrata su jednake, dijagonale kvadrata su jednake i sijeku se pod pravim uglom.

Dijagonala kvadrata je d=a√2.

Kvadratna površina. 1) S=a 2 ; 2) S \u003d (½) d 2.

Trapez.

Osnove trapeza AD||BC, MN-srednja linija

Područje trapeza jednak je umnošku polovine zbira njegovih osnova i visine:

S=(AD+BC)∙BF/2 ili S=(a+b)∙h/2.

U jednakokračnom (jednakokrakom) trapezu, dužine stranica su jednake; bazni uglovi su jednaki.

Površina bilo kojeg četverougla.

• Površina bilo kojeg četverokuta jednaka je polovini umnoška njegovih dijagonala i sinusa kuta između njih:

S=(½) d 1 ∙d 2 ∙sinβ.

• Površina bilo kojeg četverokuta jednaka je polovini umnoška njegovog perimetra i polumjera upisane kružnice:

Upisani i opisani četvorouglovi.

U konveksnom četverokutu upisanom u krug, proizvod dijagonala jednak je zbiru proizvoda suprotnih strana (Ptolemejev teorem).

AC∙BD=AB∙DC+AD∙BC.

Ako su zbroji suprotnih uglova četvorougla svaki po 180°, onda krug se može opisati oko četvorougla. I obrnuto je tačno.

Ako su zbroji suprotnih strana četverougla (a+c=b+d), onda u ovaj četvorougao može biti upisan krug. I obrnuto je tačno.

Krug, krug.

1) Obim S=2πr;

2) Površina kruga S=πr 2 ;

3) Dužina luka AB:

4) Površina AOB sektora:

5) Područje segmenta (istaknuto područje):

("-" se uzima ako je α<180°; «+» берут, если α>180°), ∠AOB=α – centralni ugao. Arc l gledano iz centra O pod uglom α.

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta: c²=a²+b².

Površina pravouglog trougla.

SΔ=(½) a∙b, gdje su a i b noge ili SΔ\u003d (½) c∙h, gdje je c hipotenuza, h je visina povučena do hipotenuze.

Polumjer kružnice upisane u pravokutni trokut.

Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu.

Visina povučena od temena pravog ugla do hipotenuze je srednja proporcionalna vrednost između projekcija kateta na hipotenuzu: h 2 = a c ∙ b c ;

a svaki krak je prosječna proporcionalna vrijednost između cijele hipotenuze i projekcije ovog kraka na hipotenuzu: a 2 =c∙a c i b 2 =c∙b c ( proizvod srednjih članova proporcije jednak je proizvodu njegovih ekstremnih članova: h, a, b su srednji članovi odgovarajućih proporcija).

Sinusni teorem.

U bilo kojem trokutu, stranice su proporcionalne sinusima suprotnih uglova.

Posljedica iz teoreme sinusa.

Svaki od omjera strane i sinusa suprotnog ugla je 2R, gdje je R je polumjer kružnice koja opisuje trokut.

Kosinus teorema.

Kvadrat bilo koje stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata njegove druge dvije stranice bez udvostručenja umnožaka ovih stranica kosinusom ugla između njih.

Svojstva jednakokračnog trougla.

U jednakokračnom trouglu ( bočne dužine jednaka) visina povučena do osnove je medijana i simetrala. Uglovi u osnovi jednakokračnog trougla su jednaki.

Zbir unutrašnjih uglova bilo kojeg trougla je 180°, tj. ∠1+∠2+∠3=180°.

Vanjski ugao trougla(∠4) jednak je zbiru dva unutrašnja koja nisu susedna njemu, tj. ∠4=∠1+∠2.

Srednja linija trougla povezuje sredine stranica trougla.

Srednja linija trougla je paralelna sa osnovicom i jednaka njenoj polovini: MN=AC/2.

Površina trougla.

Formula čaplja.

Težište trougla.

Težište trougla je tačka presjeka medijana, koja dijeli svaku medijanu u omjeru 2:1, računajući od vrha.

Dužina medijane povučene na stranu a:

Medijan dijeli trokut na dva trokuta jednake površine, površina svakog od ova dva trokuta jednaka je polovini površine datog trokuta.

Simetrala ugla trougla.

1) Simetrala ugla bilo kojeg trokuta dijeli suprotnu stranu na dijelove, odnosno proporcionalne stranicama trokuta:

2) ako je AD=β a , tada je dužina simetrale:

3) Sve tri simetrale trougla seku se u jednoj tački.

Centar kružnice upisane u trokut, leži na presjeku simetrala ugla trokuta.

Površina trougla S Δ =(½) P∙r, gdje je P=a+b+c, r polumjer upisane kružnice.

Radijus upisane kružnice može se pronaći pomoću formule:

Centar kružnice opisane oko trougla, leži na presjeku simetrala okomite strane trougla.

Polumjer kružnice opisane oko bilo kojeg trougla:

Poluprečnik kružnice upisane u pravokutni trokut, jednako polovini hipotenuze: R=AB/2;

Medijane pravokutnih trougla povučene u hipotenuzu jednake su polovini hipotenuze (ovo su poluprečnici opisane kružnice) OC=OC 1 =R.

Formule za polumjere upisanih i opisanih kružnica pravilnih poligona.

krug, opisano oko regularnog n-ugla.

krug, upisano u pravilan n-ugao.

zbir unutrašnjih uglova bilo kojeg konveksnog n-ugla je 180°(n-2).

Zbir vanjskih uglova bilo kojeg konveksnog0 n-ugla je jednako 360°.

Pravougaoni paralelepiped.

Sva lica kvadra su pravokutnici. a, b, c - linearne dimenzije pravokutnog paralelepipeda (dužina, širina, visina).

1) Dijagonala pravokutnog paralelepipeda d 2 \u003d a 2 + b 2 + c 2;

2) Bočna površina S strana. =P main. ∙H ili S strana. =2 (a+b) c;

3) Potpuna površina S je potpuna. =2S glavni. +S strana ili

S puna =2(ab+ac+bc);

4) Volumen pravougaonog paralelepipeda V=S glavnog. ∙H ili V=abc.

1) Sve strane kocke su kvadrati sa stranicom a.

2) Dijagonala kocke d=a√3.

3) Bočna površina S strane kocke. =4a 2 ;

4) Ukupna površina kocke S je potpuna. \u003d 6a 2;

5) Zapremina kocke V=a 3 .

Desni paralelepiped(u osnovi leži paralelogram ili romb, bočni rub je okomit na bazu).

1) Bočna površina S strana. =P main. ∙N.

2) Kompletna površina S je potpuna. =2S glavni. +S strana

3) Zapremina pravog paralelepipeda V=S glavnog. ∙N.

Kosi paralelepiped.

U osnovi paralelograma ili pravougaonika ili romba ili kvadrata, a bočne ivice NISU okomite na ravan osnove.

1) Volumen V=S glavni. ∙H;

2) Volumen V=S sek. ∙ l, gdje l— bočno rebro, S sec. - površina presjeka nagnutog paralelepipeda nacrtanog okomito na bočni rub l.

direktna prizma.

Bočna površina S strana. =P main. ∙H;

Ukupna površina S ukupno. =2S glavni. +S strana ;

Volumen direktne prizme V=S glavni. ∙N.

nagnuta prizma.

Bočne i ukupne površine, kao i zapremina, mogu se pronaći pomoću istih formula kao u slučaju ravne prizme. Ako je poznata površina poprečnog presjeka prizme okomita na njenu bočnu ivicu, tada je volumen V = S sec. ∙ l, gdje l- bočno rebro, S sec. - površina poprečnog presjeka okomita na bočno rebro l.

Piramida.

1) bočna površina S strana. jednak zbiru površina bočnih strana piramide;

2) ukupna površina S ukupno. =S main. +S strana ;

3) volumen V=(1/3) S glavni. ∙N.

4) Pravilna piramida ima pravilan poligon u osnovi, a vrh piramide je projektovan u centar ovog poligona, odnosno u centar opisane i upisane kružnice.

5) Apothem l je visina bočne strane pravilne piramide. Bočna površina pravilne S stranice piramide. =(½) P glavni. ∙ l.

Teorema o tri okomice.

Prava linija povučena u ravni kroz osnovu kosog, okomita na njegovu projekciju, također je okomita na samu nagnutu.

Inverzna teorema. Ako je prava linija u ravni okomita na nagnutu, onda je ona okomita i na projekciju ove nagnute.

Krnja piramida.

Ako su S i s, respektivno, površine osnova krnje piramide, tada je volumen bilo koje skraćene piramide

gdje je h visina krnje piramide.

Bočna površina pravilne krnje piramide

gdje su P i p, redom, perimetri osnova pravilne skraćene piramide,

l- apotema (visina bočne strane pravilne skraćene piramide).

Cilindar.

Bočna površina S strana. =2πRH;

Ukupna površina S ukupno. =2πRH+2πR 2 ili S pun. =2πR(H+R);

Zapremina cilindra V=πR 2 H.

Kornet.

Bočna površina S strana. = πR l;

Ukupna površina S ukupno. =πR l+πR 2 ili S pun. =πR ( l+R);

Zapremina piramide je V=(1/3)πR 2 H. Ovdje l- generatrisa, R - poluprečnik osnove, H - visina.

Lopta i sfera.

Površina sfere S=4πR 2 ; Zapremina lopte je V=(4/3)πR 3 .

R je poluprečnik sfere (kuglice).

Ova stranica sadrži teoreme planimetrije koje nastavnik matematike može koristiti u pripremi sposobnog učenika za ozbiljan ispit: olimpijadu ili ispit na Moskovskom državnom univerzitetu (u pripremi za Mehmat Moskovskog državnog univerziteta, VMK), za olimpijadu na Višu ekonomsku školu, za olimpijadu na Finansijskoj akademiji i na MIPT-u. Poznavanje ovih činjenica otvara velike mogućnosti za nastavnika u sastavljanju takmičarskih zadataka. Dovoljno je “pobijediti” neku spomenutu teoremu o brojevima ili dopuniti njene elemente jednostavnim relacijama s drugim matematičkim objektima i dobićete sasvim pristojan olimpijski zadatak. Mnoga svojstva su prisutna u jakim školskim udžbenicima kao dokazni zadaci i nisu posebno uključena u naslove i odeljke pasusa. Pokušao sam da ispravim ovaj nedostatak.

Matematika je ogroman predmet, a broj činjenica koje se mogu razlikovati kao teoreme je beskrajan. Nastavnik matematike ne može fizički sve znati i zapamtiti. Stoga se učitelju svaki put iznova otkrivaju neki lukavi odnosi između geometrijskih objekata. Sakupiti ih sve na jednoj stranici odjednom je fizički nemoguće. Stoga ću postepeno popunjavati stranicu, pošto se teoreme koriste u mojim lekcijama.

Predavačima početnicima savjetujem da budu pažljiviji u korištenju dodatnih referentnih materijala, budući da učenici većinu ovih činjenica ne znaju.

Nastavnik matematike o svojstvima geometrijskih oblika

1) Simetrala okomita na stranicu trougla seče sa simetralom suprotnog ugla na kružnici opisanoj oko datog trougla. To proizilazi iz jednakosti lukova na koje simetrala okomice dijeli donji luk i iz teoreme o upisanom kutu u kružnici.

2)Ako se iz jednog vrha trougla povuku simetrala b, medijan m i visina h, tada će simetrala ležati između druga dva segmenta, a dužine svih segmenata podliježu dvostrukoj nejednakosti.

3) U proizvoljnom trokutu, udaljenost od bilo kojeg njegovog vrha do njegovog ortocentra (tačka presjeka visina) je 2 puta veća od centra kružnice opisane u blizini ovog trougla do strane suprotne ovom vrhu. Da bismo to dokazali, možemo povući ravne linije kroz vrhove trougla paralelno s njegovim visinama. Zatim koristite sličnost originalnog i rezultirajućeg trokuta.

4) Točka presjeka medijana M bilo kojeg trougla (njegovo težište), zajedno sa ortocentrom trougla H i središtem opisane kružnice (tačka O), leže na istom prima, i . Ovo slijedi iz prethodnog svojstva i svojstva medijane raskrsnice.

5) Nastavak zajedničke tetive dvaju kružnica koje se sijeku dijeli segment njihove zajedničke tangente na dva jednaka dijela. Ovo svojstvo vrijedi bez obzira na prirodu ovog sjecišta (tj. lokaciju centara krugova). Da biste to dokazali, možete koristiti svojstvo kvadrata tangentnog segmenta.

6) Ako je simetrala njegovog ugla povučena u trokut, tada je njegov kvadrat jednak razlici između proizvoda stranica ugla i segmenata na koje simetrala dijeli suprotnu stranu.

To jest, imamo sljedeću jednakost

7) Da li vam je poznata situacija kada se visina iz vrha pravog ugla povuče do hipotenuze? Sigurno. Jeste li znali da su svi trokuti koji se dobiju u ovom slučaju slični? Sigurno znaš. Onda vjerovatno ne znate da bilo koji odgovarajući elementi ovih trokuta čine jednakost koja ponavlja Pitagorinu teoremu, to jest, na primjer, gdje su i polumjeri upisanih krugova u male trokute, i polumjer kružnice upisane u veliki trougao.

8)Ako naiđete na proizvoljni četverokut sa svim poznatim stranicama a, b, c i d, onda se njegova površina može lako izračunati pomoću formule koja podsjeća na Heronovu formulu:
, gdje je x zbir bilo koja dva suprotna ugla četverougla. Ako je dati četverokut upisan u krug, tada formula poprima oblik:
i pozvao formula Brahmagupte

9)Ako je vaš četverokut opisan u blizini kruga (to jest, krug je u njega upisan), tada se površina četverokuta izračunava po formuli

Teoreme i opće informacije

I. Geometrija

II. Planimetrija bez formula.

Dva ugla se zovu susjedni, ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge dvije strane ovih uglova jesu dodatne poluprave.

1. Zbir susjednih uglova je 180 ° .

Dva ugla se zovu vertikalno ako su stranice jednog ugla komplementarne poluprave stranica drugog.

2. Vertikalni uglovi su jednaki.

Ugao jednak 90 ° , zove se pravi ugao. Prave koje se seku pod pravim uglom nazivaju se okomito.

3. Kroz svaku tačku prave moguće je povući samo jednu okomitu na pravu liniju.

Ugao manji od 90 ° , zove se oštar. Ugao veći od 90 ° , zove se glupo.

4. Znakovi jednakosti trouglova.

- na dvije strane i ugao između njih;

- duž strane i dva ugla uz nju;

- na tri strane.

Trougao pozvan jednakokraki ako su njegove dvije strane jednake.

Medijan Trougao je segment prave koji povezuje vrh trougla sa sredinom suprotne strane.

simetrala Trougao se naziva pravi segment zatvoren između temena i tačke njegovog preseka sa suprotnom stranom, koja deli ugao na pola.

Visina Trougao je odsječak okomice ispušten iz vrha trougla na suprotnu stranu, ili na njegov nastavak.

Trougao se zove pravougaona ako ima pravi ugao. U pravokutnom trokutu naziva se strana suprotna pravom kutu hipotenuza. Druge dvije strane se zovu noge.

5. Svojstva stranica i uglova pravouglog trougla:

- uglovi naspram krakova su oštri;

- hipotenuza je veća od bilo koje katete;

- zbir kateta je veći od hipotenuze.

6. Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:

- duž noge i oštri ugao;

- na dvije noge;

- duž hipotenuze i kraka;

- hipotenuzu i oštar ugao.

7. Svojstva jednakokračnog trougla:

- u jednakokračnom trouglu uglovi u osnovi su jednaki;

- ako su u trokutu dva ugla jednaka, onda je jednakokrak;

U jednakokračnom trokutu, medijana povučena do osnove je simetrala i visina;

- ako se u trokutu medijana i simetrala (ili visina i simetrala, ili medijana i visina) povučeni iz nekog vrha poklapaju, onda je takav trokut jednakokračan.

8. U trokutu, veći ugao leži nasuprot veće stranice, a veća stranica leži nasuprot većeg ugla.

9. (Nejednakost trougla). U svakom trouglu, zbir dviju stranica je veći od treće strane.

vanjski ugao trougao ABC u vrhu A naziva se ugao koji graniči sa uglom trougla u vrhu A.

10. Zbir unutrašnjih uglova trougla:

Zbir bilo koja dva ugla trougla je manji od 180 ° ;

Svaki trougao ima dva oštra ugla;

Vanjski ugao trokuta veći je od bilo kojeg unutrašnjeg ugla koji mu nije susjedan;

Zbir uglova trougla je 180 ° ;

Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva druga ugla koji nisu susjedni njemu.

Zbir oštrih uglova pravouglog trougla je 90 ° .

Segment koji spaja sredine stranica trougla naziva se srednja linija trougla.

11. Srednja linija trougla ima svojstvo da je paralelna osnovici trougla i jednaka njegovoj polovini.

12. Dužina isprekidane linije nije manja od dužine segmenta koji spaja njene krajeve.

13. Svojstva simetrale okomitog segmenta:

Tačka koja leži na okomitoj simetrali jednako je udaljena od krajeva segmenta;

Bilo koja tačka jednako udaljena od krajeva segmenta leži na okomitoj simetrali.

14. Svojstva simetrale ugla:

Svaka tačka koja leži na simetrali ugla jednako je udaljena od strana ugla;

Svaka tačka jednako udaljena od stranica ugla leži na simetrali ugla.

15. Postojanje kružnice opisane oko trougla:

Sve tri okomite simetrale trougla seku se u jednoj tački, a ta tačka je centar opisane kružnice. Krug opisan oko trougla uvijek postoji i jedinstven je;

Središte opisane kružnice pravokutnog trougla je središte hipotenuze.

16. Postojanje kružnice upisane u trokut:

Sve tri simetrale trougla seku se u jednoj tački, a ta tačka je centar upisane kružnice. Krug upisan u trokut uvijek postoji i jedinstven je.

17. Znakovi paralelnih pravih. Teoreme o paralelizmu i okomitosti pravih:

Dvije prave paralelne s trećom su paralelne;

Ako su u preseku dve prave za trećinu unutrašnji (vanjski) poprečno ležeći uglovi jednaki, ili su unutrašnji (vanjski) jednostrani uglovi 180 ° , tada su ove prave paralelne;

Ako se paralelne prave sijeku trećom pravom, tada su unutrašnji i vanjski dijagonalni uglovi jednaki, a unutrašnji i eksterno jednostrano zbroj uglova je 180 ° ;

Dvije prave okomite na istu pravu su paralelne;

Prava koja je okomita na jednu od dvije paralelne prave je također okomita na drugu.

Krug je skup svih tačaka u ravni jednako udaljenih od jedne tačke.

Akord Segment koji spaja dvije tačke na kružnici.

Prečnik je tetiva koja prolazi kroz centar.

Tangenta Prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom.

Centralni ugao je ugao sa vrhom u centru kružnice.

Upisani ugao Ugao sa vrhom na kružnici čije stranice sijeku kružnicu.

18. Teoreme vezane za krug:

Poluprečnik povučen do tačke dodira je okomit na tangentu;

Prečnik koji prolazi kroz sredinu tetive je okomit na nju;

Kvadrat dužine tangente jednak je proizvodu dužine sekansa i njegovog vanjskog dijela;

Centralni ugao se meri stepenom luka na koji se oslanja;

Upisani ugao se meri polovinom luka na koji se oslanja ili nadopunjuje njegovu polovinu do 180 ° ;

Tangente povučene u kružnicu iz jedne tačke su jednake;

Proizvod sekansa po vanjskom dijelu je konstantna vrijednost;

Paralelogram naziva se četvorougao čije su suprotne strane parno paralelne.

19. Znakovi paralelograma. Svojstva paralelograma:

Suprotne strane su jednake;

Suprotni uglovi su jednaki;

Dijagonale paralelograma su prepolovljene točkom presjeka;

Zbir kvadrata dijagonala jednak je zbroju kvadrata svih njegovih strana;

Ako su u konveksnom četverokutu suprotne strane jednake, onda je takav četverokut paralelogram;

Ako su suprotni uglovi u konveksnom četvorouglu jednaki, onda je takav četvorougao paralelogram;

Ako su u konveksnom četvorouglu dijagonale prepolovljene točkom preseka, onda je takav četvorougao paralelogram;

Sredina stranica bilo kojeg četverougla su vrhovi paralelograma.

Paralelogram čije su sve strane jednake se naziva rhombus.

20. Dodatna svojstva i znaci romba:

Dijagonale romba su međusobno okomite;

Dijagonale romba su simetrale njegovih unutrašnjih uglova;

Ako su dijagonale paralelograma međusobno okomite, ili su simetrale odgovarajućih uglova, onda je ovaj paralelogram romb.

Paralelogram čiji su svi uglovi pravi uglovi se naziva pravougaonik.

21. Dodatna svojstva i karakteristike pravokutnika:

Dijagonale pravougaonika su jednake;

Ako su dijagonale paralelograma jednake, onda je takav paralelogram pravougaonik;

Sredina stranica pravougaonika su vrhovi romba;

Sredine stranica romba su vrhovi pravougaonika.

Zove se pravougaonik sa svim stranama jednakim kvadrat.

22. Dodatna svojstva i znakovi kvadrata:

Dijagonale kvadrata su jednake i okomite;

Ako su dijagonale četverokuta jednake i okomite, onda je četverokut kvadrat.

Četvorougao čije su dvije stranice paralelne naziva se trapezoid.

Segment prave koji spaja sredine stranica trapeza naziva se srednja linija trapeza.

23. Svojstva trapeza:

- u jednakokrakom trapezu su uglovi u osnovi jednaki;

- segment koji povezuje sredine dijagonala trapeza jednak je polurazlici osnovica trapeza.

24. Srednja linija trapeza ima svojstvo da je paralelna sa osnovama trapeza i jednaka njihovom poluzbiru.

25. Znakovi sličnosti trokuti:

Na dva ugla;

Na dvije proporcionalne strane i ugao između njih;

na tri proporcionalne strane.

26. Znakovi sličnosti pravokutnih trougla:

Na oštrom uglu;

Po proporcionalnim nogama;

By proporcionalan nogu i hipotenuzu.

27. Odnosi u poligonima:

Svi pravilni poligoni su slični jedni drugima;

Zbir uglova bilo kojeg konveksnog poligona je 180 ° (n-2);

Zbir vanjskih uglova bilo kojeg konveksnog poligona, uzetih po jedan na svakom vrhu, je 360 ° .

Perimetri sličnih poligona su povezani takvi kakvi jesu slično strane, a ovaj odnos je jednak koeficijentu sličnosti;

Površine sličnih poligona su povezane kao kvadrati njihovih sličnih stranica, a ovaj omjer je jednak kvadratu koeficijenta sličnosti;

Najvažnije teoreme planimetrije:

28. Talesova teorema. Ako paralelne prave koje sijeku stranice ugla odsijecaju jednake segmente na jednoj strani, onda te prave također odsijecaju jednake segmente na drugoj strani.

29. Pitagorina teorema. U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta: .

30. Kosinus teorema. U bilo kojem trokutu kvadrat stranice jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice bez dvostrukog njihovog proizvoda pomnoženog kosinusom ugla između njih: .

31. Teorema sinusa. Stranice trokuta su proporcionalne sinusima suprotnih uglova: , gdje je polumjer kružnice opisane oko ovog trougla.

32. Tri medijane trougla seku se u jednoj tački, koja deli svaku medijanu u omjeru 2:1, računajući od vrha trougla.

33. Tri prave koje sadrže visine trougla seku se u jednoj tački.

34. Površina paralelograma jednaka je umnošku jedne od njegovih stranica visine spuštene na ovu stranu (ili proizvodu stranica na sinus ugla između njih).

35. Površina trokuta jednaka je polovini umnoška stranice i visine spuštene na ovu stranu (ili polovini umnoška stranica i sinusa ugla između njih).

36. Površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira osnovica i visine.

37. Površina romba je polovina proizvoda dijagonala.

38. Površina bilo kojeg četverokuta jednaka je polovini umnoška njegovih dijagonala i sinusa ugla između njih.

39. Simetrala dijeli stranicu trougla na segmente proporcionalne njegovim drugim dvjema stranicama.

40. U pravokutnom trouglu, medijana povučena do hipotenuze dijeli trokut na dva trougla jednake površine.

41. Površina jednakokračnog trapeza, čije su dijagonale međusobno okomite, jednaka je kvadratu njegove visine:.

42. Zbir suprotnih uglova četvorougla upisanog u krug je 180 ° .

43. Četvorougao se može opisati oko kruga ako su zbroji dužina suprotnih strana jednaki.

III.Osnovne formule planimetrije.

1. Proizvoljni trougao.- sa strane; - suprotni uglovi - poluperimetar; - poluprečnik opisane kružnice; - poluprečnik upisane kružnice; - kvadrat; - visina povučena u stranu:

Rješenje kosih trouglova:

Kosinus teorema: .

Teorema sinusa: .

Dužina medijane trokuta izražava se formulom:

.

Dužina stranice trokuta kroz medijane izražava se formulom:

.

Dužina simetrale trokuta izražava se formulom:

,

Pravokutni trokut.- na atetiju; - hipotenuza; - projekcije kateta na hipotenuzu:

Pitagorina teorema: .

Rješenje pravokutnih trougla:

2. Jednakostranični trougao:

3. Proizvoljni konveksni četverougao: - dijagonala; - ugao između njih; - kvadrat.

4. Paralelogram: - susjedne strane; - ugao između njih; - visina povučena u stranu; - kvadrat.

5. Rhombus:

6. Pravougaonik:

7. Kvadrat:

8. trapez:- tereni; - visina ili rastojanje između njih; - srednja linija trapeza.

.

9. Opisani poligon(- poluperimetar; - poluprečnik upisane kružnice):

10. pravilan poligon(- strana ispravne - kvadrat; - poluprečnik opisane kružnice; - radijus upisane kružnice):

11. Krug, krug(- poluprečnik; - obim; - površina kruga):

12. Sektor(- dužina luka koji ograničava sektor; - mera stepena centralnog ugla; - radijanska mera centralnog ugla):

Zadatak 1.Površina trougla ABC je 30 cm 2. na strani AC tačka D se uzima tako da je AD : DC =2:3. Okomita dužinaDE se držao na strani BC, jednako je 9 cm BC.

Odluka. Hajde da potrošimo BD (vidi sl.1.); trouglovi ABD i BDC imaju zajedničku visinu bf ; stoga su njihove površine povezane kao dužine baza, tj.:

AD : DC=2:3,

gdje 18 cm2.

Na drugoj strani , ili , odakle je BC = 4 cm. Odgovor: BC = 4 cm.

Zadatak 2.U jednakokračnom trouglu, visine povučene na osnovu i na stranu su 10, odnosno 12 cm. Pronađite dužinu baze.

Odluka. AT ABC imamo AB= BC, BD^ AC, AE^ DC, BD=10 cm i AE\u003d 12 cm (vidi sliku 2). Neka pravokutni trougloviAEC i bdc slično (ugao Cgeneralno); dakle, ili 10:12=5:6. Primjenom Pitagorine teoreme na bdc, imamo , tj. .