I. EKONOMSKA TEORIJA

10. Proizvodna funkcija. Zakon opadajućeg prinosa. efekat skale

proizvodna funkcija je odnos između skupa faktora proizvodnje i maksimalnog mogućeg obima proizvoda proizvedenog korištenjem ovog skupa faktora.

Proizvodna funkcija je uvijek konkretna, tj. namenjeno ovoj tehnologiji. Nova tehnologija - nova produktivna funkcija.

Proizvodna funkcija određuje minimalnu količinu inputa koja je potrebna za proizvodnju određene količine proizvoda.

Proizvodne funkcije, bez obzira koju vrstu proizvodnje izražavaju, imaju sljedeća opća svojstva:

1) Povećanje proizvodnje zbog povećanja troškova za samo jedan resurs ima ograničenje (ne možete zaposliti mnogo radnika u jednoj prostoriji - neće svi imati mjesta).

2) Faktori proizvodnje mogu biti komplementarni (radnici i alati) i zamjenjivi (automatizacija proizvodnje).

U svom najopćenitijem obliku, proizvodna funkcija izgleda ovako:

gdje je obim proizvodnje;
K- kapital (oprema);
M - sirovine, materijali;
T - tehnologija;
N - preduzetničke sposobnosti.

Najjednostavniji je dvofaktorski model Cobb-Douglasove proizvodne funkcije, koji otkriva odnos između rada (L) i kapitala (K). Ovi faktori su zamjenjivi i komplementarni.

,

gdje je A proizvodni koeficijent koji pokazuje proporcionalnost svih funkcija i promjena kada se osnovna tehnologija promijeni (za 30-40 godina);

K, L- kapital i rad;

Koeficijenti elastičnosti outputa za kapital i inpute rada.

Ako je = 0,25, onda povećanje kapitalnih troškova od 1% povećava proizvodnju za 0,25%.

Na osnovu analize koeficijenata elastičnosti u Cobb-Douglas proizvodnoj funkciji možemo razlikovati:
1) proporcionalno rastuća proizvodna funkcija, kada je ( ).
2) neproporcionalno - u porastu);
3) opadajući.

Razmotrimo kratak period aktivnosti firme, u kojem je rad varijabla dva faktora. U takvoj situaciji, firma može povećati proizvodnju koristeći više radnih resursa. Grafikon Cobb-Douglasove proizvodne funkcije s jednom varijablom prikazan je na Sl. 10.1 (kriva TP n).

Kratkoročno gledano, primjenjuje se zakon opadajuće granične produktivnosti.

Zakon opadajuće granične produktivnosti djeluje u kratkom roku kada jedan faktor proizvodnje ostaje nepromijenjen. Djelovanje zakona pretpostavlja nepromijenjeno stanje tehnologije i tehnologije proizvodnje, ako se u proizvodnom procesu primjenjuju najnoviji izumi i druga tehnička poboljšanja, onda se povećanje proizvodnje može postići korištenjem istih faktora proizvodnje. Odnosno, tehnološki napredak može promijeniti granice zakona.

Ako je kapital fiksni faktor, a rad varijabilni faktor, onda firma može povećati proizvodnju zapošljavanjem više rada. Ali dalje zakon opadajuće granične produktivnosti, dosljedno povećanje promjenjivog resursa, dok ostali ostaju nepromijenjeni, dovodi do smanjenja povrata ovog faktora, odnosno do smanjenja graničnog proizvoda ili granične produktivnosti rada. Ako se zapošljavanje radnika nastavi, onda će se na kraju oni međusobno ometati (granična produktivnost će postati negativna) i proizvodnja će se smanjiti.

Granična produktivnost rada (granični proizvod rada - MP L) je povećanje proizvodnje svake naredne jedinice rada

one. povećanje produktivnosti do ukupnog proizvoda (TP L)

Granični kapitalni proizvod MP K je definisan slično.

Na osnovu zakona opadajuće produktivnosti, analizirajmo odnos između ukupnih (TP L), prosječnih (AP L) i graničnih proizvoda (MP L) (slika 10.1).

Postoje tri faze u kretanju krive ukupnog proizvoda (TP). U fazi 1 raste ubrzanim tempom, jer se granični proizvod (MP) povećava (svaki novi radnik donosi više proizvodnje od prethodnog) i dostiže maksimum u tački A, odnosno stopa rasta funkcije je maksimalna . Nakon tačke A (faza 2), zbog zakona opadanja prinosa, MP kriva pada, odnosno svaki angažovani radnik daje manji prirast ukupnog proizvoda u odnosu na prethodni, pa se stopa rasta TP nakon TS usporava. dolje. Ali sve dok je MP pozitivan, TP će i dalje rasti i dostići vrhunac na MP=0.

Rice. 10.1. Dinamika i odnos ukupnog prosječnog i graničnog proizvoda

U fazi 3, kada broj radnika postaje višak u odnosu na osnovni kapital (mašine), MR postaje negativan, pa TP počinje da opada.

Konfiguracija krive prosječnog proizvoda AR također je određena dinamikom MP krive. U fazi 1, obje krive rastu sve dok prirast proizvodnje novozaposlenih radnika ne bude veći od prosječne produktivnosti (AP L) prethodno unajmljenih radnika. Ali nakon tačke A (max MP), kada četvrti radnik dodaje manje ukupnom proizvodu (TP) od trećeg, MP se smanjuje, pa se smanjuje i prosječan učinak četiri radnika.

efekat skale

1. Manifestuje se u promjeni dugoročnih prosječnih troškova proizvodnje (LATC).

2. LATC kriva je omotač minimalnog kratkoročnog prosječnog troška firme po jedinici proizvodnje (slika 10.2).

3. Dugoročni period u delatnosti preduzeća karakteriše promena u broju svih faktora proizvodnje koji se koriste.

Rice. 10.2. Kriva dugoročnih i prosječnih troškova firme

Reakcija LATC-a na promjenu parametara (skale) firme može biti različita (slika 10.3).

Rice. 10.3. Dinamika dugoročnih prosječnih troškova

I faza: pozitivan efekat razmjera	Povećanje proizvodnje je praćeno smanjenjem LATC-a, što se objašnjava efektom uštede (na primjer, zbog produbljivanja specijalizacije rada, upotrebe novih tehnologija, efikasnog korištenja otpada).
II faza: stalni prinosi na skalu	Prilikom promjene obima troškovi ostaju nepromijenjeni, odnosno povećanje količine utrošenih resursa za 10% izazvalo je povećanje obima proizvodnje također za 10%.
III faza: negativan efekat skale	Povećanje proizvodnje (na primjer, za 7%) uzrokuje povećanje LATC-a (za 10%). Razlog štete od obima mogu biti tehnički faktori (neopravdana gigantska veličina preduzeća), organizacioni razlozi (rast i nefleksibilnost administrativnog i upravljačkog aparata).

Svaka kompanija, koja se bavi proizvodnjom određenog proizvoda, nastoji da ostvari maksimalan profit. Problemi vezani za proizvodnju proizvoda mogu se podijeliti u tri nivoa:

1. Preduzetnik se može suočiti sa pitanjem kako proizvesti datu količinu proizvoda u određenom preduzeću. Ovi problemi se odnose na pitanja kratkoročne minimizacije troškova proizvodnje;
2. preduzetnik se može odlučiti za proizvodnju optimalnog, tj. donosi veći profit, broj proizvoda na određenom preduzeću. Ova pitanja se odnose na dugoročnu maksimalizaciju profita;
3. Preduzetnik se može suočiti sa zadatkom da pronađe najoptimalnije veličine preduzeća. Slična pitanja se odnose na dugoročnu maksimizaciju profita.

Optimalno rješenje možete pronaći na osnovu analize odnosa između troškova i obima proizvodnje (outputa). Na kraju krajeva, profit je određen razlikom između prihoda od prodaje proizvoda i svih troškova. I prihodi i troškovi zavise od obima proizvodnje. Ekonomska teorija koristi proizvodnu funkciju kao alat za analizu ove zavisnosti.

Proizvodna funkcija određuje maksimalnu količinu outputa za svaku datu količinu resursa. Ova funkcija opisuje odnos između troškova resursa i rezultata, omogućavajući vam da odredite maksimalan mogući učinak za svaku datu količinu resursa, ili minimalnu moguću količinu resursa za pružanje datog rezultata. Proizvodna funkcija sažima samo tehnološki efikasne metode kombinovanja resursa kako bi se osigurao maksimalni učinak. Svako poboljšanje tehnologije proizvodnje koje doprinosi povećanju produktivnosti rada dovodi do nove proizvodne funkcije.

PROIZVODNA FUNKCIJA - funkcija koja prikazuje odnos između maksimalnog obima proizvedenog proizvoda i fizičkog obima proizvodnih faktora na datom nivou tehničkog znanja.

Budući da obim proizvodnje zavisi od količine utrošenih resursa, odnos između njih može se izraziti sljedećom funkcionalnom notacijom:

Q = f(L,K,M),

gdje je Q maksimalni volumen proizvoda proizvedenih datom tehnologijom i određenim faktorima proizvodnje;
L - rad; K - kapital; M - materijali; f je funkcija.

Proizvodna funkcija s ovom tehnologijom ima svojstva koja određuju odnos između obima proizvodnje i broja korištenih faktora. Međutim, za različite vrste proizvodnje, proizvodne funkcije su različite? svi imaju zajednička svojstva. Mogu se razlikovati dvije glavne osobine.

1. Postoji ograničenje rasta proizvodnje koje se može postići povećanjem cijene jednog resursa, pod jednakim drugim uslovima. Dakle, u firmi sa fiksnim brojem mašina i proizvodnih objekata postoji ograničenje rasta proizvodnje povećanjem dodatnih radnika, jer radnik neće dobiti mašine za rad.
2. Postoji određena komplementarnost (komplementarnost) faktora proizvodnje, međutim, bez smanjenja obima proizvodnje, vjerovatna je i određena zamjenjivost ovih faktora proizvodnje. Dakle, različite kombinacije resursa mogu se koristiti za proizvodnju dobra; moguće je proizvesti ovo dobro koristeći manje kapitala i više rada, i obrnuto. U prvom slučaju, proizvodnja se smatra tehnički efikasnom u odnosu na drugi slučaj. Međutim, postoji ograničenje koliko rada može biti zamijenjeno većim kapitalom bez smanjenja proizvodnje. S druge strane, postoji ograničenje upotrebe ručnog rada bez upotrebe mašina.

U grafičkom obliku, svaka vrsta proizvodnje može biti predstavljena točkom, čije koordinate karakteriziraju minimalne resurse potrebne za proizvodnju datog obima proizvodnje, a proizvodna funkcija - izokvantom.

Nakon što smo razmotrili proizvodnu funkciju firme, pređimo na karakterizaciju sljedeća tri važna koncepta: ukupni (kumulativni), prosječni i granični proizvod.

Rice. a) Krivulja ukupnog proizvoda (TR); b) kriva prosječnog proizvoda (AP) i graničnog proizvoda (MP)

Na sl. prikazana je kriva ukupnog proizvoda (TP) koja varira u zavisnosti od vrednosti promenljivog faktora X. Na TP krivulji su označene tri tačke: B je tačka prevoje, C je tačka koja pripada tangenti koja se poklapa sa linija koja povezuje ovu tačku sa ishodištem, D – tačka maksimalne TP vrednosti. Tačka A se kreće duž TP krive. Povezujući tačku A sa ishodištem, dobijamo pravu OA. Spuštanjem okomice iz tačke A na osu apscise, dobijamo trougao OAM, gde je tg a odnos stranice AM prema OM, odnosno izraz za prosečni proizvod (AR).

Povlačeći tangentu kroz tačku A, dobijamo ugao P čija će tangenta izražavati granični proizvod MP. Upoređujući trouglove LAM i OAM, nalazimo da je do određene tačke tangenta P veća od tg a. Dakle, granični proizvod (MP) je veći od prosječnog proizvoda (AP). U slučaju kada se tačka A poklapa sa tačkom B, tangenta P poprima maksimalnu vrednost i stoga granični proizvod (MP) dostiže najveći volumen. Ako se tačka A poklapa sa tačkom C, tada su vrednost prosečnog i graničnog proizvoda jednake. Granični proizvod (MP), dostigavši ​​svoju maksimalnu vrijednost u tački B (slika 22, b), počinje opadati i u tački C se siječe sa grafikom prosječnog proizvoda (AP), koji u ovoj tački dostiže svoj maksimum vrijednost. Tada se i granični proizvod i prosječni proizvod smanjuju, ali se granični proizvod smanjuje brže. U tački maksimalnog ukupnog proizvoda (TP), granični proizvod MP = 0.

Vidimo da se najefikasnija promena promenljivog faktora X primećuje u segmentu od tačke B do tačke C. Ovde granični proizvod (MP), dostigavši ​​svoju maksimalnu vrednost, počinje da se smanjuje, a prosečni proizvod (AR) i dalje raste, ukupan proizvod (TR) dobija najveći rast.

Dakle, proizvodna funkcija je funkcija koja vam omogućava da odredite maksimalan mogući učinak za različite kombinacije i količine resursa.

U teoriji proizvodnje tradicionalno se koristi dvofaktorska proizvodna funkcija, u kojoj je obim proizvodnje funkcija upotrebe resursa rada i kapitala:

Q = f(L, K).

Može se predstaviti kao grafikon ili kriva. U teoriji ponašanja proizvođača, pod određenim pretpostavkama, postoji jedinstvena kombinacija resursa koja minimizira troškove resursa za dati obim proizvodnje.

Proračun proizvodne funkcije firme je potraga za optimalnim, među mnogim opcijama koje uključuju različite kombinacije faktora proizvodnje, onim koji daje maksimalan mogući učinak. U uslovima rasta cijena i gotovinskih troškova, firma, tj. troškova sticanja faktora proizvodnje, proračun proizvodne funkcije je fokusiran na pronalaženje takve opcije koja bi maksimizirala profit uz najniže troškove.

Proračun proizvodne funkcije firme, nastojeći da postigne ravnotežu između graničnih troškova i graničnog prihoda, fokusiraće se na pronalaženje takve varijante koja će obezbediti traženi učinak uz minimalne troškove proizvodnje. Minimalni troškovi se određuju u fazi proračuna proizvodne funkcije metodom supstitucije, zamjenjivanjem skupih ili poskupljenih faktora proizvodnje alternativnim, jeftinijim. Zamjena se vrši uz pomoć uporedne ekonomske analize zamjenjivih i komplementarnih faktora proizvodnje po njihovim tržišnim cijenama. Zadovoljavajuća opcija bi bila ona u kojoj kombinacija faktora proizvodnje i datog obima proizvodnje ispunjava kriterijum najnižih troškova proizvodnje.

Postoji nekoliko tipova proizvodnih funkcija. Glavni su:

1. Nelinearni PF;
2. Linearni PF;
3. Multiplikativni PF;
4. PF "ulaz-izlaz".

Proizvodna funkcija i izbor optimalne veličine proizvodnje

Proizvodna funkcija je odnos između skupa faktora proizvodnje i najveće moguće količine proizvoda proizvedenog ovim skupom faktora.

Proizvodna funkcija je uvijek konkretna, tj. namenjeno ovoj tehnologiji. Nova tehnologija - nova produktivna funkcija.

Proizvodna funkcija određuje minimalnu količinu inputa koja je potrebna za proizvodnju određene količine proizvoda.

Proizvodne funkcije, bez obzira koju vrstu proizvodnje izražavaju, imaju sljedeća opća svojstva:

1. Povećanje proizvodnje zbog povećanja troškova za samo jedan resurs ima ograničenje (ne možete zaposliti mnogo radnika u jednoj prostoriji - neće svi imati mjesta).
2. Faktori proizvodnje mogu biti komplementarni (radnici i alati) i zamjenjivi (automatizacija proizvodnje).

U svom najopćenitijem obliku, proizvodna funkcija izgleda ovako:

Q = f(K,L,M,T,N),

gdje je L volumen proizvodnje;
K - kapital (oprema);
M - sirovine, materijali;
T - tehnologija;
N - preduzetničke sposobnosti.

Najjednostavniji je dvofaktorski model Cobb-Douglasove proizvodne funkcije, koji otkriva odnos između rada (L) i kapitala (K). Ovi faktori su zamjenjivi i komplementarni.

Q = AK α * L β ,

gdje je A proizvodni koeficijent koji pokazuje proporcionalnost svih funkcija i promjena kada se osnovna tehnologija promijeni (za 30-40 godina);
K, L - kapital i rad;
α, β su koeficijenti elastičnosti obima proizvodnje u smislu troškova kapitala i rada.

Ako je = 0,25, onda povećanje kapitalnih troškova od 1% povećava proizvodnju za 0,25%.

Na osnovu analize koeficijenata elastičnosti u Cobb-Douglas proizvodnoj funkciji možemo razlikovati:

1. proporcionalno rastuća proizvodna funkcija kada je α + β = 1 (Q = K 0,5 * L 0,2).
2. neproporcionalno - povećanje α + β > 1 (Q = K 0,9 * L 0,8);
3. smanjenje α + β< 1 (Q = K 0,4 * L 0,2).

Optimalne veličine preduzeća nisu apsolutne prirode, pa se stoga ne mogu utvrditi van vremena i van lokacije, jer su različite za različite periode i ekonomske regione.

Optimalna veličina projektovanog preduzeća treba da obezbedi minimum troškova ili maksimalan profit, izračunat po formulama:

Ts + S + Tp + K * En_ - minimum, P - maksimum,

gdje je Tc - trošak isporuke sirovina i materijala;
C - troškovi proizvodnje, tj. trošak proizvodnje;
Tp - trošak isporuke gotovih proizvoda potrošačima;
K - kapitalni troškovi;
En je normativni koeficijent efikasnosti;
P je profit preduzeća.

Drugim rečima, pod optimalnom veličinom preduzeća podrazumevaju se ona koja obezbeđuju ciljeve za plan proizvodnje i povećanja proizvodnih kapaciteta minus smanjene troškove (uzimajući u obzir kapitalne investicije u srodnim delatnostima) i maksimalnu moguću ekonomsku efikasnost.

Problem optimizacije proizvodnje i, shodno tome, odgovor na pitanje koja bi trebala biti optimalna veličina preduzeća, sa svom svojom ozbiljnošću, suočio se i sa zapadnim preduzetnicima, predsednicima kompanija i firmi.

Oni koji nisu uspeli da dostignu potrebnu skalu našli su se u nezavidnom položaju proizvođača visokih troškova, osuđenih na postojanje na ivici propasti i na kraju bankrota.

Danas, međutim, one američke kompanije koje još uvijek nastoje uspjeti u konkurenciji kroz ekonomiju obima ne dobijaju toliko koliko gube. U savremenim uslovima ovaj pristup u početku dovodi do smanjenja ne samo fleksibilnosti, već i efikasnosti proizvodnje.

Uz to, poduzetnici se sjećaju da mala preduzeća znače manje ulaganja, a samim tim i manji finansijski rizik. Što se tiče čisto menadžerske strane problema, američki istraživači primjećuju da preduzeća s više od 500 zaposlenih postaju loše vođena, nespretna i slabo reagiraju na probleme koji se pojavljuju.

Stoga je jedan broj američkih kompanija 60-ih otišao na smanjenje svojih filijala i preduzeća kako bi značajno smanjio veličinu primarnih proizvodnih veza.

Pored jednostavne mehaničke dezagregacije preduzeća, organizatori proizvodnje sprovode radikalnu reorganizaciju unutar preduzeća, formirajući komandne i brigadne org. strukture umjesto linearno-funkcionalnih.

Prilikom određivanja optimalne veličine preduzeća, preduzeća koriste koncept minimalne efektivne veličine. To je jednostavno najniži nivo proizvodnje na kojem firma može minimizirati svoje dugoročne prosječne troškove.

Proizvodna funkcija i izbor optimalne veličine proizvodnje.

Proizvodnjom se naziva svaka ljudska transformacija ograničenih resursa - materijalnih, radnih, prirodnih - u gotove proizvode. Proizvodna funkcija karakteriše odnos između količine utrošenih resursa (faktora proizvodnje) i maksimalnog mogućeg učinka koji se može postići, pod uslovom da se svi raspoloživi resursi koriste na najracionalniji način.

Proizvodna funkcija ima sljedeća svojstva:

1. Postoji granica povećanja proizvodnje koja se može postići povećanjem jednog resursa i održavanjem ostalih resursa konstantnim. Ako se, na primjer, količina rada u poljoprivredi povećava sa stalnim količinama kapitala i zemlje, tada prije ili kasnije dođe tačka kada proizvodnja prestane da raste.
2. Resursi se međusobno nadopunjuju, ali je u određenim granicama moguća i njihova zamjenjivost bez smanjenja proizvodnje. Ručni rad, na primjer, može se zamijeniti upotrebom više mašina i obrnuto.
3. Što je duži vremenski period, više resursa se može pregledati. U tom smislu, postoje trenutni, kratki i dugi periodi. Trenutni period - period kada su svi resursi fiksni. Kratak period je period kada je barem jedan resurs fiksiran. Dugi period je period kada su svi resursi varijabilni.

Obično se u mikroekonomiji analizira dvofaktorska proizvodna funkcija, koja odražava ovisnost outputa (q) od količine utrošenog rada ( L) i kapital ( K). Podsjetimo da se kapital odnosi na sredstva za proizvodnju, tj. broj mašina i opreme koji se koriste u proizvodnji, mjeren u mašinskim satima. Zauzvrat, količina rada se mjeri u radnim satima.

U pravilu, razmatrana proizvodna funkcija izgleda ovako:

q = AK α L β

A, α, β - dati parametri. Parametar A je koeficijent ukupne produktivnosti faktora proizvodnje. Ona odražava uticaj tehnološkog napretka na proizvodnju: ako proizvođač uvede napredne tehnologije, vrednost A raste, odnosno proizvodnja raste sa istom količinom rada i kapitala. Parametri α i β su koeficijenti elastičnosti outputa u odnosu na kapital i rad, respektivno. Drugim riječima, oni pokazuju procentualnu promjenu outputa kada se kapital (rad) promijeni za jedan posto. Ovi koeficijenti su pozitivni, ali manji od jedinice. Potonje znači da s rastom rada sa stalnim kapitalom (ili kapitala sa stalnim radom) za jedan posto, proizvodnja raste u manjoj mjeri.

Izgradnja izokvante

Navedena proizvodna funkcija kaže da proizvođač može zamijeniti rad kapitalom i kapital radom, ostavljajući output nepromijenjenim. Na primjer, u poljoprivredi razvijenih zemalja rad je visoko mehaniziran, tj. ima mnogo mašina (kapitala) za jednog radnika. Naprotiv, u zemljama u razvoju isti učinak postiže se velikom količinom rada sa malo kapitala. Ovo vam omogućava da izgradite izokvantu (slika 8.1).

Izokvanta (linija jednakog proizvoda) odražava sve kombinacije dva faktora proizvodnje (rad i kapital) u kojima output ostaje nepromijenjen. Na sl. 8.1 pored izokvante je ispuštanje koje joj odgovara. Da, pusti q 1, ostvarivo korištenjem L1 rada i K1 kapital ili korišćenje L 2 rada i K 2 kapital.

Rice. 8.1. izokvanta

Moguće su i druge kombinacije količina rada i kapitala potrebnih za postizanje datog učinka.

Sve kombinacije resursa koje odgovaraju ovoj izokvanti odražavaju tehnički efikasne metode proizvodnje. Metoda proizvodnje A je tehnički efikasna u poređenju sa metodom B ako zahteva korišćenje najmanje jednog resursa u manjoj količini, a svih ostalih ne u velikim količinama u odnosu na metod B. Shodno tome, metod B je tehnički neefikasan u odnosu na A. Tehnički neefikasne načine proizvodnje racionalni poduzetnici ne koriste i ne pripadaju proizvodnoj funkciji.

Iz navedenog slijedi da izokvanta ne može imati pozitivan nagib, kao što je prikazano na Sl. 8.2.

Segment označen isprekidanom linijom odražava sve tehnički neefikasne metode proizvodnje. Konkretno, u poređenju sa metodom A, metodom B da se osigura isti učinak ( q 1) zahtijeva isti iznos kapitala, ali više rada. Očigledno je, dakle, da način B nije racionalan i da se ne može uzeti u obzir.

Na osnovu izokvante moguće je odrediti graničnu stopu tehničke zamjene.

Granična stopa tehničke zamjene faktora Y faktorom X (MRTS XY) je iznos faktora Y(na primjer, kapital), koji se može napustiti povećanjem faktora X(na primjer, rad) za 1 jedinicu tako da se output ne mijenja (ostajemo na istoj izokvanti).

Rice. 8.2. Tehnički efikasna i neefikasna proizvodnja

Prema tome, granična stopa tehničke zamjene kapitala radom izračunava se po formuli
Za beskonačno male promjene u L i K, jeste
Prema tome, granična stopa tehničke zamjene je derivat funkcije izokvante u datoj tački. Geometrijski, to je nagib izokvante (slika 8.3).

Rice. 8.3. Granična stopa tehničke zamjene

Prilikom kretanja od vrha do dna duž izokvante, granična stopa tehničke zamjene sve vrijeme se smanjuje, o čemu svjedoči opadajući nagib izokvante.

Ako proizvođač povećava i rad i kapital, to mu omogućava da postigne veći učinak, tj. premjestiti na višu izokvantu (q2). Izokvanta koja se nalazi desno i iznad prethodne odgovara većem izlazu. Skup izokvanti formira kartu izokvanti (slika 8.4).

Rice. 8.4. Izokvantna karta

Posebni slučajevi izokvanti

Podsjetimo da date izokvante odgovaraju proizvodnoj funkciji oblika q = AK α L β. Ali postoje i druge proizvodne funkcije. Razmotrimo slučaj kada postoji savršena supstitucija faktora proizvodnje. Pretpostavimo, na primjer, da se u skladištu mogu koristiti kvalifikovani i nekvalificirani utovarivači, a produktivnost kvalifikovanog utovarivača je N puta veća od one nekvalifikovanog. To znači da možemo zamijeniti bilo koji broj vještih pokretača nevještim u omjeru od N prema jedan. Suprotno tome, može se zamijeniti N nekvalifikovanih utovarivača jednim kvalifikovanim.

Proizvodna funkcija tada izgleda ovako: q = ax + by, gdje x- broj KV radnika, y- broj nekvalificiranih radnika, a i b- konstantni parametri koji odražavaju produktivnost jednog kvalifikovanog i jednog nekvalifikovanog radnika. Odnos koeficijenata a i b je granična stopa tehničke zamjene nekvalificiranih selidbenih radnika. Ona je konstantna i jednaka je N: MRTSxy=a/b=N.

Neka, na primjer, kvalificirani utovarivač može obraditi 3 tone tereta u jedinici vremena (to će biti koeficijent a u proizvodnoj funkciji), a nekvalifikovani - samo 1 tonu (koeficijent b). To znači da poslodavac može odbiti tri nekvalifikovana utovarivača, dodatno angažujući jednog kvalifikovanog utovarivača, kako bi učinak (ukupna težina rukovanog tereta) ostao isti.

Izokvanta je u ovom slučaju linearna (slika 8.5).

Rice. 8.5. Izokvanta pod savršenom zamjenom faktora

Tangens nagiba izokvante jednak je graničnoj stopi tehničke zamjene nestručnih pokretača kvalifikovanim.

Druga proizvodna funkcija je Leontijevska funkcija. Ona pretpostavlja krutu komplementarnost faktora proizvodnje. To znači da se faktori mogu koristiti samo u strogo određenoj proporciji, čije je kršenje tehnološki nemoguće. Na primjer, zračni let se normalno može obavljati s najmanje jednim zrakoplovom i pet članova posade. Istovremeno, nemoguće je povećati avionske sate (kapital) uz istovremeno smanjenje radnih sati (rad), i obrnuto, i zadržati proizvodnju nepromijenjenom. Izokvante u ovom slučaju imaju oblik pravih uglova, tj. granične stope tehničke zamjene su nule (slika 8.6). Istovremeno, moguće je povećati proizvodnju (broj letova) povećanjem i rada i kapitala u istoj proporciji. Grafički, ovo znači prelazak na višu izokvantu.

Rice. 8.6. Izokvante u slučaju rigidne komplementarnosti faktora proizvodnje

Analitički, takva proizvodna funkcija ima oblik: q = min (aK; bL), gdje su a i b konstantni koeficijenti koji odražavaju produktivnost kapitala i rada, respektivno. Odnos ovih koeficijenata određuje odnos upotrebe kapitala i rada.

U našem primjeru leta, funkcija proizvodnje izgleda ovako: q = min(1K; 0,2L). Činjenica je da je produktivnost kapitala ovdje jedan let za jedan avion, a produktivnost rada jedan let za pet ljudi, odnosno 0,2 leta za jednu osobu. Ako aviokompanija ima flotu od 10 aviona i 40 letačkog osoblja, tada će njen maksimalni učinak biti: q = min( 1 x 8; 0,2 x 40) = 8 letova. Istovremeno, dvije letjelice će mirovati na zemlji zbog nedostatka osoblja.

Pogledajmo na kraju proizvodnu funkciju, koja pretpostavlja postojanje ograničenog broja proizvodnih tehnologija za proizvodnju date količine autputa. Svaki od njih odgovara određenom stanju rada i kapitala. Kao rezultat, imamo niz referentnih tačaka u prostoru „radni kapital“, povezujući koje, dobijamo izlomljenu izokvantu (slika 8.7).

Rice. 8.7. Slomljene izokvante u prisustvu ograničenog broja proizvodnih metoda

Slika pokazuje da se učinak q1 može dobiti sa četiri kombinacije rada i kapitala, koje odgovaraju tačkama A, B, C i D. Moguće su i srednje kombinacije, koje se mogu postići u slučajevima kada se dvije tehnologije koriste zajedno da bi se dobio određeni ukupni izlaz . Kao i uvijek, povećanjem količine rada i kapitala prelazimo na višu izokvantu.

proizvodne funkcije nazivaju se ekonomsko-matematički modeli koji povezuju varijabilne troškove sa izlaznim vrijednostima. Koncepti "troškovi" i "output" vezani su, po pravilu, za proizvodni proces; ovo objašnjava porijeklo naziva ove vrste modela. Ako se posmatra ekonomija regiona ili zemlje u cjelini, onda se razvijaju agregirane proizvodne funkcije u kojima je output pokazatelj ukupnog društvenog proizvoda. Konkretni slučajevi proizvodnih funkcija su karakteristike izdanja (ovisnost obima proizvodnje od raspoloživosti ili potrošnje resursa), funkcije troškova (odnos između obima proizvodnje i troškova proizvodnje), funkcije kapitalnih troškova (zavisnost kapitalnih ulaganja od proizvodnog kapaciteta preduzeća koja se stvara) itd.

Multiplikativni oblici predstavljanja proizvodnih funkcija se široko koriste. U svom najopćenitijem obliku, multiplikativna proizvodna funkcija se piše na sljedeći način:

Evo koeficijenta ALI određuje dimenziju količina i zavisi od odabranih jedinica mjerenja troškova i outputa. Faktori X ja predstavljam faktore koji utiču i mogu imati različit ekonomski sadržaj u zavisnosti od toga koji faktori utiču na učinak R. Parametri snage α, β, ..., γ pokazuju udio u rastu finalnog proizvoda kojem svaki od faktora doprinosi; oni se zovu koeficijenti elastičnosti proizvodnje u odnosu na troškove odgovarajućeg resursa i pokažu za koji procenat se proizvodnja povećava sa povećanjem cene ovog resursa za jedan procenat.

Zbir koeficijenata elastičnosti važan je za karakterizaciju svojstava proizvodne funkcije. Pretpostavimo da se troškovi svih vrsta resursa povećavaju k jednom. Tada će vrijednost izlaza u skladu sa (7.16) biti

Stoga, ako , onda s povećanjem troškova u to puta povećava se i proizvodnja k jednom; proizvodna funkcija je u ovom slučaju linearno homogena. At E > 1 isto povećanje troškova će dovesti do povećanja proizvodnje za više od to vremena i u E < 1 – менее чем в to puta (tzv. efekat skale).

Primjer multiplikativne proizvodne funkcije je dobro poznata Cobb-Douglasova proizvodna funkcija:

N - nacionalni dohodak;

ALI – koeficijent dimenzije;

L, K - obim primenjenog rada i osnovnog kapitala, respektivno;

α i β su koeficijenti elastičnosti nacionalnog dohotka na rad L i kapital TO.

Ovu funkciju koristili su američki istraživači u analizi razvoja američke ekonomije 30-ih godina prošlog stoljeća.

Efikasnost korišćenja resursa karakterišu dva glavna indikatora: prosjek (apsolutno ) efikasnost resurs

i marginalna efikasnost resurs

Ekonomsko značenje μi je očigledno; u zavisnosti od vrste resursa, karakteriše indikatore kao što su produktivnost rada, kapitalna produktivnost itd. v i prikazuje marginalno povećanje proizvodnje proizvoda s povećanjem cijene i-tog resursa za "malu jedinicu" (za 1 rublju, za 1 standardni sat, itd.).

Mnogo poena n -dimenzionalni prostor proizvodnih faktora (resursa) koji zadovoljavaju uslov konstantnosti outputa R (X ) = C, pozvao izokvanta. Najvažnija svojstva izokvanti su sljedeća: izokvante se ne seku jedna s drugom; veća izlazna vrijednost odgovara izokvanti koja je udaljenija od početka koordinata; ako su svi resursi apsolutno neophodni za proizvodnju, tada izokvante nemaju zajedničkih tačaka sa koordinatnim hiperravnima i koordinatnim osovinama.

U materijalnoj proizvodnji, koncept zamjenjivost resursa. U teoriji proizvodnih funkcija, mogućnosti supstitucije resursa karakterišu proizvodnu funkciju u smislu različitih kombinacija inputa resursa koje dovode do istog nivoa autputa. Objasnimo ovo hipotetičkim primjerom. Neka je za proizvodnju određene količine poljoprivrednih proizvoda potrebno 10 radnika i 2 tone đubriva, a ako se na zemljište unese samo 1 tona đubriva, za dobijanje istog roda biće potrebno 12 radnika. Ovdje se 1 tona đubriva (prvi resurs) zamjenjuje radom dva radnika (drugi resurs).

Iz jednakosti proizilaze uslovi za ekvivalentnu zamjenjivost resursa u nekom trenutku dP = 0:

Odavde granična stopa supstitucije (ekvivalentna zamjenjivost) bilo koja dva resursa k i l dato formulom

(7.20)

Granična stopa supstitucije kao indikator proizvodne funkcije karakteriše relativnu efikasnost zamenljivih faktora proizvodnje pri kretanju duž izokvante. Na primjer, za Cobb-Douglasovu funkciju, granična stopa zamjene troškova rada kapitalnim troškovima, tj. proizvodna sredstva imaju oblik

(7.21)

Znak minus na desnoj strani formula (7.20) i (7.21) znači da uz fiksni obim proizvodnje, povećanje jednog od zamjenjivih resursa odgovara smanjenju drugog.

Primjer 7.1. Razmotrimo primjer Cobb-Douglasove proizvodne funkcije, za koju su poznati koeficijenti elastičnosti autputa za rad i kapital: α = 0,3; β = 0,7, kao i troškovi rada i kapitala: L = 30 hiljada ljudi; To = 490 miliona rubalja. Pod ovim uslovima, granična stopa zamene proizvodnih sredstava troškovima rada je jednaka

Dakle, u ovom uslovnom primjeru, u tim tačkama dvodimenzionalnog prostora ( L, K ), gdje su radni i kapitalni resursi zamjenjivi, smanjenje proizvodnih sredstava za 7 hiljada rubalja. može se nadoknaditi povećanjem troškova rada po osobi, i obrnuto.

Povezan je sa konceptom granične stope supstitucije elastičnost supstitucije resursa. Koeficijent elastičnosti supstitucije karakteriše omjer relativne promjene u omjeru troškova resursa k i l na relativnu promjenu granične stope supstitucije ovih resursa:

Ovaj koeficijent pokazuje za koji postotak se mora promijeniti odnos između zamjenjivih resursa da bi se granična stopa zamjene ovih resursa promijenila za 1%. Što je veća elastičnost supstitucije resursa, oni se šire mogu zamijeniti. Uz beskonačnu elastičnost () ne postoje granice za zamjenjivost resursa. Uz nultu elastičnost zamjene () ne postoji mogućnost zamjene; u ovom slučaju, resursi se međusobno nadopunjuju i moraju se koristiti u određenom omjeru.

Uzmimo u obzir, pored Cobb-Douglasove funkcije, neke druge proizvodne funkcije koje se široko koriste kao ekonometrijski modeli. Linearna proizvodna funkcija ima oblik

su procijenjeni parametri modela;

, - faktori proizvodnje, međusobno zamjenjivi u bilo kojoj proporciji (elastičnost supstitucije).

Izokvante ove produkcijske funkcije formiraju porodicu paralelnih hiperravnina u nenegativnom ortantu n -dimenzionalni prostor faktora.

Mnoge studije koriste proizvodne funkcije sa konstantnom elastičnošću supstitucije.

(7.23)

Proizvodna funkcija (7.23) je homogena funkcija stepena P. Sve elastičnosti supstitucije resursa su međusobno jednake:

Stoga se ova funkcija poziva funkcija sa konstantnom elastičnošću zamjene (CES funkcija ). Ako je , elastičnost zamjene je manja od jedan; ako je , vrijednost je veća od jedan; kada , CES funkcija se transformira u multiplikativnu funkciju proizvodnje energije (7.16).

Dvofaktorska funkcija CES ima oblik

At n = 1 i p = 0, ova funkcija se transformira u funkciju tipa Cobb-Douglasove funkcije (7.17).

Pored proizvodnih funkcija sa konstantnim koeficijentima elastičnosti outputa iz resursa i konstantnom elastičnošću supstitucije resursa, u ekonomskoj analizi i predviđanju koriste se i opštije funkcije. Primjer je funkcija

Ova funkcija se razlikuje od Cobb-Douglasove funkcije faktorom , gdje z = K/L- omjer kapitala i rada (odnos kapitala i rada) rada, a u njemu elastičnost supstitucije poprima različite vrijednosti u zavisnosti od nivoa odnosa kapitala i rada. U tom smislu, ova funkcija pripada tipu proizvodne funkcije sa varijabilnom elastičnošću supstitucije (VES funkcije ).

Okrenimo se razmatranju niza pitanja praktične upotrebe proizvodnih funkcija u privredi.

hemijska analiza. Makroekonomske proizvodne funkcije se koriste kao alat za predviđanje obima bruto proizvodnje, finalnog proizvoda i nacionalnog dohotka, za analizu komparativne efikasnosti proizvodnih faktora. Dakle, važan uslov za rast proizvodnje i produktivnosti rada je povećanje odnosa kapitala i rada rada. Ako je za Cobb-Douglasovu funkciju

postaviti uslov linearne homogenosti , zatim iz omjera između produktivnosti rada ( P/L ) i omjer kapitala i rada ( K/L )

(7.24)

slijedi da produktivnost rada raste sporije od omjera kapitala i rada, budući da . Ovaj zaključak, kao i mnogi drugi rezultati analize zasnovani na proizvodnim funkcijama, uvijek vrijedi za statične proizvodne funkcije koje ne uzimaju u obzir poboljšanje tehničkih sredstava rada i kvalitativne karakteristike korištenih resursa, tj. bez obzira na tehnološki napredak. Za procjenu parametara modela (7.24), on se linearizira uzimanjem logaritma:

Uz kvantitativno povećanje količine utrošenih resursa (radnih resursa, proizvodnih sredstava i sl.), najvažniji faktor rasta proizvodnje je naučno-tehnološki napredak koji se sastoji u unapređenju tehničkih sredstava i tehnologije, usavršavanju vještina radnika, te unapređenje organizacije upravljanja proizvodnjom. Statički ekonometrijski modeli, uključujući statičke proizvodne funkcije, ne uzimaju u obzir faktor tehničkog napretka, pa se koriste dinamičke makroekonomske proizvodne funkcije čiji se parametri određuju vremenskim serijama obrade. Tehnološki napredak se obično ogleda u proizvodnim funkcijama u vidu vremenski zavisnog trenda razvoja proizvodnje.

Na primjer, Cobb-Douglasova funkcija, uzimajući u obzir faktor tehnološkog napretka, ima sljedeći oblik:

U modelu (7.25), faktor odražava trend razvoja proizvodnje povezan sa naučno-tehnološkim napretkom. U ovom množitelju t - vrijeme, i λ - stopa rasta proizvodnje zbog tehničkog napretka. U praktičnoj upotrebi modela (7.25), za procjenu njegovih parametara, linearizacija se provodi uzimanjem logaritama, slično modelu (7.24):

Posebno treba napomenuti da je pri konstruisanju proizvodnih funkcija, kao i za sve multifaktorske ekonometrijske modele, veoma važna tačka ispravan odabir faktora koji utiču. Posebno je potrebno osloboditi se fenomena multikolinearnosti faktora i fenomena autokorelacije unutar svakog od njih. Ovo pitanje je detaljno opisano u paragrafu 7.1 ovog poglavlja. Prilikom procjene parametara proizvodnih funkcija na osnovu statističkih opservacija, uključujući vremenske serije, glavna metoda je metoda najmanjih kvadrata.

Razmotrimo primjenu proizvodnih funkcija za ekonomsku analizu i predviđanje na uslovnom primjeru iz oblasti ekonomije rada.

Primjer 7.2. Neka proizvodnja industrije bude okarakterisana proizvodnom funkcijom tipa Cobb-Douglas:

R - obim proizvodnje (milioni rubalja);

T - broj zaposlenih u industriji (hiljade ljudi);

F - prosječni godišnji trošak osnovnih proizvodnih sredstava (miliona rubalja).

Pretpostavimo da su parametri ove proizvodne funkcije poznati i jednaki: a = 0,3; β = 0,7; faktor dimenzija A = = 0,6 (hiljada rubalja/osobi) 0,3. Poznata je i vrijednost prosječne godišnje cijene osnovnih proizvodnih sredstava F = 900 miliona rubalja. Ovi uslovi zahtevaju:

• 1) utvrđuje broj zaposlenih u industriji potrebnih za proizvodnju proizvoda u iznosu od 300 miliona rubalja;
• 2) saznati kako će se proizvodnja promeniti sa povećanjem broja zaposlenih za 1% i istim obimom proizvodnih sredstava;
• 3) procijeniti zamjenjivost materijalnih i radnih resursa.

Da bismo odgovorili na pitanje prvog zadatka, ovu proizvodnu funkciju lineariziramo uzimajući logaritam u prirodnoj bazi;

odakle to sledi

Zamjenom početnih podataka dobijamo

Dakle (hiljade ljudi).

Razmotrimo drugi zadatak. Budući da je ova proizvodna funkcija linearno homogena; u skladu s tim, AIR koeficijenti su koeficijenti elastičnosti proizvodnje za rad i sredstva, respektivno. Shodno tome, povećanje broja zaposlenih u industriji za 1% uz konstantan obim proizvodnih sredstava dovešće do povećanja proizvodnje za 0,3%, tj. emisija će iznositi 300,9 miliona rubalja.

Prelazeći na treći zadatak, izračunavamo graničnu stopu zamjene proizvodnih sredstava radnim resursima. Prema formuli (7.21)

Dakle, podložno zamjenjivosti resursa kako bi se osigurala konstantnost proizvodnje (tj. pri kretanju duž izokvante), smanjenje proizvodnih sredstava u industriji za 3,08 tisuća rubalja. može se nadoknaditi povećanjem radnih resursa za 1 osobu, i obrnuto.

Karakterizira odnos između količine korištenih resursa () i maksimalnog mogućeg učinka koji se može postići pod uvjetom da se svi raspoloživi resursi koriste na najracionalniji način.

Proizvodna funkcija ima sljedeća svojstva:

1. Postoji granica povećanja proizvodnje koja se može postići povećanjem jednog resursa i održavanjem ostalih resursa konstantnim. Ako se, na primjer, količina rada u poljoprivredi povećava sa stalnim količinama kapitala i zemlje, tada prije ili kasnije dođe tačka kada proizvodnja prestane da raste.

2. Resursi se međusobno nadopunjuju, ali je u određenim granicama moguća i njihova zamjenjivost bez smanjenja proizvodnje. Ručni rad, na primjer, može se zamijeniti upotrebom više mašina i obrnuto.

3. Što je duži vremenski period, više resursa se može pregledati. U tom smislu, postoje trenutni, kratki i dugi periodi. Instant period - period kada su svi resursi fiksni. kratak period— period kada je barem jedan resurs fiksiran. Dug period - period kada su svi resursi varijabilni.

Obično se u mikroekonomiji analizira dvofaktorska proizvodna funkcija, koja odražava ovisnost autputa (q) o količini upotrijebljenog rada () i kapitala (). Podsjetimo da se kapital odnosi na sredstva za proizvodnju, tj. broj mašina i opreme koji se koriste u proizvodnji i mjereni u mašinskim satima (tema 2, stav 2.2). Zauzvrat, količina rada se mjeri u radnim satima.

U pravilu, razmatrana proizvodna funkcija izgleda ovako:

A, α, β su dati parametri. Parametar ALI je koeficijent ukupne faktorske produktivnosti. To odražava uticaj tehnološkog napretka na proizvodnju: ako proizvođač uvodi napredne tehnologije, vrijednost ALI povećava, tj. proizvodnja raste sa istom količinom rada i kapitala. Opcije α i β su koeficijenti elastičnosti outputa u odnosu na kapital i rad, respektivno. Drugim riječima, oni pokazuju procentualnu promjenu outputa kada se kapital (rad) promijeni za jedan posto. Ovi koeficijenti su pozitivni, ali manji od jedinice. Potonje znači da s rastom rada sa stalnim kapitalom (ili kapitala sa stalnim radom) za jedan posto, proizvodnja raste u manjoj mjeri.

Izgradnja izokvante

Data proizvodna funkcija kaže da proizvođač može zamijeniti rad kapetanom, a kapital radom, ostavljajući output nepromijenjenim. Na primjer, u poljoprivredi razvijenih zemalja rad je visoko mehaniziran, tj. ima mnogo mašina (kapitala) za jednog radnika. Naprotiv, u zemljama u razvoju isti učinak postiže se velikom količinom rada sa malo kapitala. Ovo vam omogućava da izgradite izokvantu (slika 8.1).

izokvanta(linija jednakog proizvoda) odražava sve kombinacije dva faktora proizvodnje (rad i kapital), u kojima output ostaje nepromijenjen. Na sl. 8.1 pored izokvante je ispuštanje koje joj odgovara. Dakle, output se može postići korištenjem rada i kapitala, ili korištenjem rada i kapetana.

Rice. 8.1. izokvanta

Moguće su i druge kombinacije količina rada i kapitala potrebnih za postizanje datog učinka.

Sve kombinacije resursa koje odgovaraju datoj izokvanti odražavaju tehnički efikasan metode proizvodnje. Način proizvodnje A je tehnički efikasan u poređenju sa metodom AT, ako zahtijeva korištenje barem jednog resursa u manjoj količini, a svih ostalih ne u velikim količinama u odnosu na metodu AT. Shodno tome, metoda AT je tehnički neefikasna u poređenju sa ALI. Tehnički neefikasne načine proizvodnje racionalni poduzetnici ne koriste i ne pripadaju proizvodnoj funkciji.

Iz navedenog slijedi da izokvanta ne može imati pozitivan nagib, kao što je prikazano na Sl. 8.2.

Segment označen isprekidanom linijom odražava sve tehnički neefikasne metode proizvodnje. Konkretno, u poređenju sa metodom ALI način AT da bi se osigurala ista proizvodnja () potrebna je ista količina kapitala, ali više rada. Očigledno je, dakle, da je način B nije racionalno i ne može se uzeti u obzir.

Na osnovu izokvante moguće je odrediti graničnu stopu tehničke zamjene.

Granična stopa tehničke zamjene faktora Y faktorom X (MRTS XY)- to je iznos faktora (na primjer, kapitala) koji se može napustiti kada se faktor (npr. rad) poveća za 1 jedinicu, tako da se output ne mijenja (ostajemo na istoj izokvanti).

Rice. 8.2. Tehnički efikasna i neefikasna proizvodnja

Prema tome, granična stopa tehničke zamjene kapitala radom izračunava se po formuli

Sa beskonačno malim promjenama L i K ona je

Prema tome, granična stopa tehničke zamjene je derivat funkcije izokvante u datoj tački. Geometrijski, to je nagib izokvante (slika 8.3).

Rice. 8.3. Granična stopa tehničke zamjene

Prilikom kretanja od vrha do dna duž izokvante, granična stopa tehničke zamjene sve vrijeme se smanjuje, o čemu svjedoči opadajući nagib izokvante.

Ako proizvođač povećava i rad i kapital, to mu omogućava da postigne veći učinak, tj. premjestiti na višu izokvantu (q 2). Izokvanta koja se nalazi desno i iznad prethodne odgovara većem izlazu. Skup izokvanti se formira izokvantna karta(Sl. 8.4).

Rice. 8.4. Izokvantna karta

Posebni slučajevi izokvanti

Podsjetimo da date odgovaraju proizvodnoj funkciji oblika . Ali postoje i druge proizvodne funkcije. Razmotrimo slučaj kada postoji savršena supstitucija faktora proizvodnje. Pretpostavimo, na primjer, da se kvalifikovani i nekvalificirani utovarivači mogu koristiti u skladišnim poslovima, a produktivnost kvalifikovanog utovarivača u N puta veći od nekvalifikovanih. To znači da možemo zamijeniti bilo koji broj kvalifikovanih selidbe nestručnim u omjeru N do jednog. Suprotno tome, može se zamijeniti N nekvalifikovanih utovarivača jednim kvalifikovanim.

U ovom slučaju, proizvodna funkcija ima oblik: gdje je broj KV radnika, je broj nekvalificiranih radnika, a i b- konstantni parametri koji odražavaju produktivnost jednog kvalifikovanog i jednog nekvalifikovanog radnika. Odnos koeficijenta a i b- granična stopa tehničke zamjene nekvalifikovanih utovarivača kvalifikovanim. Ona je konstantna i jednaka N: MRTSxy= a/b = N.

Neka, na primjer, kvalificirani utovarivač može obraditi 3 tone tereta u jedinici vremena (to će biti koeficijent a u proizvodnoj funkciji), a nekvalifikovani - samo 1 tonu (koeficijent b). To znači da poslodavac može odbiti tri nekvalifikovana utovarivača, dodatno angažujući jednog kvalifikovanog utovarivača, kako bi učinak (ukupna težina rukovanog tereta) ostao isti.

Izokvanta je u ovom slučaju linearna (slika 8.5).

Rice. 8.5. Izokvanta pod savršenom zamjenom faktora

Tangens nagiba izokvante jednak je graničnoj stopi tehničke zamjene nestručnih pokretača kvalifikovanim.

Druga proizvodna funkcija je Leontijevska funkcija. Ona pretpostavlja krutu komplementarnost faktora proizvodnje. To znači da se faktori mogu koristiti samo u strogo određenoj proporciji, čije je kršenje tehnološki nemoguće. Na primjer, zračni let se normalno može obavljati s najmanje jednim zrakoplovom i pet članova posade. Istovremeno, nemoguće je povećati avionske sate (kapital) uz istovremeno smanjenje radnih sati (rad), i obrnuto, i zadržati proizvodnju nepromijenjenom. Izokvante u ovom slučaju imaju oblik pravih uglova, tj. granične stope tehničke zamjene su nule (slika 8.6). Istovremeno, moguće je povećati proizvodnju (broj letova) povećanjem i rada i kapitala u istoj proporciji. Grafički, ovo znači prelazak na višu izokvantu.

Rice. 8.6. Izokvante u slučaju rigidne komplementarnosti faktora proizvodnje

Analitički, takva proizvodna funkcija ima oblik: q =min (aK; bL), gdje a i b su konstantni koeficijenti koji odražavaju produktivnost kapitala i rada, respektivno. Odnos ovih koeficijenata određuje odnos upotrebe kapitala i rada.

U našem primjeru leta, funkcija proizvodnje izgleda ovako: q = min (1K; 0,2L). Činjenica je da je ovdje produktivnost kapitala jedan let za jedan avion, a produktivnost rada jedan let za pet ljudi, odnosno 0,2 leta za jednu osobu. Ako aviokompanija ima flotu od 10 aviona i 40 letačkog osoblja, tada će njen maksimalni učinak biti: q = min( 1 x 8; 0,2 x 40) = 8 letova. Istovremeno, dvije letjelice će mirovati na zemlji zbog nedostatka osoblja.

Pogledajmo na kraju proizvodnu funkciju, koja pretpostavlja postojanje ograničenog broja proizvodnih tehnologija za proizvodnju date količine autputa. Svaki od njih odgovara određenom stanju rada i kapitala. Kao rezultat, imamo niz referentnih tačaka u prostoru „radni kapital“, povezujući koje, dobijamo izlomljenu izokvantu (slika 8.7).

Rice. 8.7. Slomljene izokvante u prisustvu ograničenog broja proizvodnih metoda

Slika pokazuje da je izlaz u volumenu q 1 može se dobiti sa četiri kombinacije rada i kapitala koje odgovaraju bodovima A, B, C i D. Moguće su i srednje kombinacije, koje se mogu postići kada preduzeće koristi dve tehnologije zajedno da bi dobilo određeni agregatni učinak. Kao i uvijek, povećanjem količine rada i kapitala prelazimo na višu izokvantu.

Proizvodnja ne može stvoriti proizvode ni iz čega. Proizvodni proces je povezan sa potrošnjom različitih resursa. Broj resursa uključuje sve što je potrebno za proizvodne aktivnosti - sirovine, energiju, radnu snagu, opremu i prostor. Da bismo opisali ponašanje firme, potrebno je znati koliko proizvoda može proizvesti koristeći resurse u različitim količinama. Polazićemo od pretpostavke da preduzeće proizvodi homogen proizvod čija se količina meri prirodnim jedinicama - tonama, komadima, metrima itd. Zavisnost količine proizvoda koju preduzeće može proizvesti od obima troškova resursa se zove proizvodna funkcija.

Razmatranje koncepta "proizvodne funkcije" počet će najjednostavnijim slučajem, kada je proizvodnja posljedica samo jednog faktora. U ovom slučaju, proizvodna funkcija - ovo je funkcija čija nezavisna varijabla uzima vrijednosti korištenog resursa (faktor proizvodnje), a zavisna varijabla - vrijednosti obima proizvodnje y=f(x).

U ovoj formuli, y je funkcija jedne varijable x. U tom smislu, proizvodna funkcija (PF) se naziva jednoresursna ili jednofaktorska. Njegov domen definicije je skup nenegativnih realnih brojeva. Simbol f je karakteristika proizvodnog sistema koji pretvara resurs u izlaz.

Primjer 1. Uzmite proizvodnu funkciju f u obliku f(x)=ax b , gdje je x vrijednost utrošenog resursa (na primjer, radni sati), f(x) je obim proizvodnje (na primjer, broj frižidera spremnih za otpremu). Vrijednosti a i b su parametri proizvodne funkcije f. Ovdje su a i b pozitivni brojevi, a broj b1, vektor parametara je dvodimenzionalni vektor (a,b). Proizvodna funkcija y=ax b tipičan je predstavnik široke klase jednofaktorskih PF-ova.

Rice. jedan.

Grafikon pokazuje da s povećanjem vrijednosti utrošenog resursa, y raste. Međutim, u isto vrijeme, svaka dodatna jedinica resursa daje sve manji porast obima y proizvodnje. Navedena okolnost (povećanje volumena y i smanjenje povećanja volumena y sa povećanjem vrijednosti x) odražava temeljni stav ekonomske teorije (dobro potvrđen u praksi), nazvan zakon opadanja efikasnost (smanjenje produktivnosti ili smanjenje povrata).

PF mogu imati različita područja upotrebe. Input-output princip se može implementirati i na mikro- i na makroekonomskom nivou. Hajde da se prvo fokusiramo na mikroekonomski nivo. PF y=ax b, o kojoj je bilo riječi u gornjem tekstu, može se koristiti za opisivanje odnosa između vrijednosti utrošenog ili korišćenog resursa x tokom godine u posebnom preduzeću (firmi) i godišnje proizvodnje ovog preduzeća (firme). Ulogu proizvodnog sistema ovdje igra zasebno preduzeće (firma) - imamo mikroekonomski PF (MIPF). Na mikroekonomskom nivou, industrija, međusektorski proizvodni kompleks, takođe može delovati kao proizvodni sistem. MIPF se grade i koriste uglavnom za rješavanje problema analize i planiranja, kao i problema predviđanja.

PF se može koristiti za opisivanje odnosa između godišnjih troškova rada regije ili zemlje u cjelini i godišnjeg finalnog učinka (ili prihoda) tog regiona ili zemlje u cjelini. Ovdje se regija ili država u cjelini ponašaju kao proizvodni sistem – imamo makroekonomski nivo i makroekonomski PF (MAPF). MAFF se grade i aktivno koriste za rješavanje sve tri vrste problema (analiza, planiranje i predviđanje).

Sada prelazimo na razmatranje proizvodnih funkcija nekoliko varijabli.

Proizvodna funkcija više varijabli je funkcija čije nezavisne varijable uzimaju vrijednosti volumena utrošenih ili iskorištenih resursa (broj varijabli n je jednak broju resursa), a vrijednost funkcije ima značenje vrijednosti izlaza sveske:

y=f(x)=f(x 1 ,…,h n).

U formuli, y (y0) je skalar, a x je vektorska veličina, x 1 ,…,x n su koordinate vektora x, odnosno, f(x 1 ,…,x n) je numerička funkcija od nekoliko varijabli x 1 ,…,x n. U tom smislu, PF f(x 1 ,…,h n) se naziva multi-resurs ili multi-faktorski. Ispravniji je takav simbolizam f(x 1 ,…, x n ,a), gdje je a vektor PF parametara.

Prema ekonomskom smislu, sve varijable ove funkcije su nenegativne, stoga je domen definicije multifaktorskog PF skup n-dimenzionalnih vektora x, od kojih su sve koordinate x 1 ,…, x n nenegativne brojevi.

Graf funkcije dvije varijable ne može se nacrtati u ravni. Proizvodna funkcija nekoliko varijabli može se predstaviti u trodimenzionalnom kartezijanskom prostoru, čije su dvije koordinate (x1 i x2) ucrtane na horizontalne ose i odgovaraju troškovima resursa, a treća (q) je ucrtana na vertikalnoj osi i odgovara izlazu proizvoda (slika 2). Graf proizvodne funkcije je površina "brda", koja raste s rastom svake od koordinata x1 i x2.

Za zasebno preduzeće (firmu) koje proizvodi homogeni proizvod, PF f(x 1 ,…,h n) može povezati obim proizvodnje sa troškovima radnog vremena za različite vrste radnih aktivnosti, različite vrste sirovina, komponenti , energija, stalni kapital. PF ovog tipa karakterišu trenutnu tehnologiju preduzeća (firme).

Kada se konstruiše PF za region ili zemlju u celini, agregatni proizvod (dohodak) regiona ili zemlje, obično izračunat po stalnim cenama, a ne u tekućim cenama, često se uzima kao vrednost godišnje proizvodnje Y, fiksni kapital (x 1 (= K) - obim stalnog kapitala utrošenog tokom godine) i živog rada (x 2 (= L) - broj jedinica živog rada utrošenog tokom godine), obično izračunato u vrijednosti. Tako je izgrađen dvofaktorski PF Y=f(K,L). Sa dvofaktorskih PF prelaze na trofaktorne. Osim toga, ako se PF konstruiše iz podataka iz vremenskih serija, tada se tehnološki napredak može uključiti kao poseban faktor rasta proizvodnje.

Poziva se PF y=f(x 1 ,x 2). statički, ako njegovi parametri i njegova karakteristika f ne zavise od vremena t, iako obim resursa i volumen proizvodnje mogu ovisiti o vremenu t, odnosno mogu se predstaviti u obliku vremenske serije: x 1 (0) , x 1 (1),…, x 1 (T); x 2 (0), x 2 (1), ..., x 2 (T); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Ovdje je t broj godine, t=0,1,…,T; t= 0 - bazna godina vremenskog intervala koji pokriva godine 1,2,…,T.

Primjer 2. Za modeliranje određenog regiona ili zemlje u cjelini (tj. za rješavanje problema na makroekonomskom, kao i na mikroekonomskom nivou), često se koristi PF oblika y=, gdje je 0 , a 1 i 2 su parametri PF-a. To su pozitivne konstante (često su a 1 i a 2 takvi da je a 1 + a 2 =1). PF upravo datog oblika naziva se Cobb-Douglas PF (CPKD) prema dvojici američkih ekonomista koji su predložili njegovu upotrebu 1929.

PPCD se aktivno koristi za rješavanje različitih teorijskih i primijenjenih problema zbog svoje strukturne jednostavnosti. PFKD pripada klasi takozvanih multiplikativnih PF (MPF). U aplikacijama, PFKD x 1 = K je jednak volumenu utrošenog osnovnog kapitala (obim korišćenih osnovnih sredstava - domaćom terminologijom), - troškovima živog rada, tada PFKD poprima oblik koji se često koristi u literaturi:

Primjer 3. Linearni PF (LPF) ima oblik: (dvofaktorski) i (multifaktorski). PSF pripada klasi takozvanih aditiva PF (APF). Prijelaz sa multiplikativnog PF na aditivni vrši se logaritamskom operacijom. Za multiplikativni PF s dva faktora

ovaj prelaz izgleda ovako: . Uvodeći odgovarajuću supstituciju, dobijamo aditiv PF.

Za proizvodnju određenog proizvoda potrebna je kombinacija različitih faktora. Unatoč tome, različite proizvodne funkcije dijele niz zajedničkih svojstava.

Radi određenosti, ograničavamo se na proizvodne funkcije dvije varijable. Prije svega, treba napomenuti da je takva proizvodna funkcija definirana u nenegativnom ortantu dvodimenzionalne ravni, odnosno at. PF zadovoljava sljedeći skup svojstava:

• 1) nema izlaza bez resursa, tj. f(0,0,a)=0;
• 2) u nedostatku barem jednog od resursa nema izlaza, tj. ;
• 3) povećanjem cene najmanje jednog resursa povećava se obim proizvodnje;

4) sa povećanjem cene jednog resursa uz konstantnu količinu drugog resursa, povećava se obim proizvodnje, tj. ako je x>0, onda;

5) sa povećanjem troškova jednog resursa sa istom količinom drugog resursa, vrednost povećanja proizvodnje za svaku dodatnu jedinicu i-tog resursa ne raste (zakon opadajuće efikasnosti), tj. ako onda;

• 6) sa rastom jednog resursa raste granična efikasnost drugog resursa, tj. ako je x>0, onda;
• 7) PF je homogena funkcija, tj. ; kod p>1 imamo povećanje efikasnosti proizvodnje zbog povećanja obima proizvodnje; na str

Proizvodne funkcije nam omogućavaju da kvantitativno analiziramo najvažnije ekonomske zavisnosti u sferi proizvodnje. Oni omogućavaju procjenu prosječne i granične efikasnosti različitih proizvodnih resursa, elastičnosti proizvodnje za različite resurse, graničnih stopa supstitucije resursa, efekta obima proizvodnje i još mnogo toga.

Zadatak 1. Neka je data funkcija proizvodnje koja povezuje obim proizvodnje u preduzeću sa brojem radnika, proizvodnim sredstvima i obimom utrošenih mašinskih sati

Potrebno je odrediti maksimalan učinak pod ograničenjima

Odluka. Da bismo riješili problem, sastavljamo Lagrangeovu funkciju

razlikujemo ga u odnosu na varijable i izjednačavamo rezultirajuće izraze sa nulom:

Iz prve i treće jednačine slijedi da je, dakle,

odakle dobijamo rješenje za koje je y=2. Pošto, na primer, tačka (0,2,0) pripada dozvoljenom regionu i y=0 u njemu, zaključujemo da je tačka (1,1,1) globalna tačka maksimuma. Ekonomske implikacije rezultirajućeg rješenja su očigledne.

Takođe treba napomenuti da proizvodna funkcija opisuje skup tehnički efikasnih proizvodnih metoda (tehnologija). Svaku tehnologiju karakterizira određena kombinacija resursa potrebnih za dobivanje jedinice outputa. Iako su proizvodne funkcije različite za različite vrste proizvodnje, sve imaju zajednička svojstva:

• 1. Postoji ograničenje povećanja proizvodnje koje se može postići povećanjem cijene jednog resursa, pod uslovom da su sve ostale jednake. To znači da u firmi sa datim brojem mašina i proizvodnih objekata postoji granica povećanja proizvodnje privlačenjem većeg broja radnika. Povećanje proizvodnje sa povećanjem broja zaposlenih približiće se nuli.
• 2. Postoji određena komplementarnost (komplementarnost) faktora proizvodnje, ali bez smanjenja obima proizvodnje moguć je i određeni međuodnos ovih faktora. Na primjer, rad radnika je efikasan ako su im snabdjeveni svi potrebni alati. U nedostatku takvih alata, obim se može smanjiti ili povećati s povećanjem broja zaposlenih. U ovom slučaju, jedan resurs se zamjenjuje drugim.
• 3. Način proizvodnje ALI smatra se tehnički efikasnijim od B, ako uključuje korištenje barem jednog resursa u manje, a svi ostali - ne u više od metode B. Tehnički neefikasne metode ne koriste racionalni proizvođači.
• 4. Ako način ALI uključuje korištenje nekih resursa u više, a drugih - u manjoj količini od metode B, ove metode su neuporedive u pogledu tehničke efikasnosti. U ovom slučaju, obje metode se smatraju tehnički efikasnim i uključene su u proizvodnu funkciju. Koju odabrati ovisi o odnosu cijena korištenih resursa. Ovaj izbor je zasnovan na kriterijumima isplativosti. Dakle, tehnička efikasnost nije identična ekonomskoj efikasnosti.

Tehnička efikasnost je najveći mogući obim proizvodnje koji se postiže korišćenjem raspoloživih resursa. Ekonomska efikasnost je proizvodnja datog obima proizvodnje uz minimalne troškove. U teoriji proizvodnje tradicionalno se koristi dvofaktorska proizvodna funkcija, u kojoj je obim proizvodnje funkcija upotrebe resursa rada i kapitala:

Grafički, svaki način proizvodnje (tehnologija) se može predstaviti tačkom koja karakteriše minimalni potrebni skup od dva faktora potrebna za proizvodnju datog obima proizvodnje (slika 3).

Na slici su prikazani različiti načini proizvodnje (tehnologija): T 1 , T 2 , T 3 , koje karakterišu različiti odnosi u upotrebi rada i kapitala: T 1 = L 1 K 1 ; T 2 = L 2 K 2 ; T 3 = L 3 K 3 . nagib grede pokazuje veličinu primjene različitih resursa. Što je veći ugao nagiba grede, to je veći trošak kapitala i niži trošak rada. Tehnologija T 1 je kapitalno intenzivnija od tehnologije T 2 .

Rice. 3.

Ako povežete različite tehnologije linijom, dobijate sliku proizvodne funkcije (linija jednakog izlaza), koja se zove izokvante. Slika pokazuje da se obim proizvodnje Q može postići različitim kombinacijama faktora proizvodnje (T 1, T 2, T 3 itd.). Gornji dio izokvante odražava kapitalno intenzivne tehnologije, dok donji dio odražava radno intenzivne tehnologije.

Mapa izokvanti je skup izokvanti koje odražavaju maksimalni dostižni nivo proizvodnje za bilo koji dati skup faktora proizvodnje. Što je izokvanta udaljenija od početka, veći je izlaz. Izokvante mogu proći kroz bilo koju tačku u prostoru gdje postoje dva faktora proizvodnje. Značenje karte izokvante je slično značenju karte krivulje indiferentnosti za potrošače.

Fig.4.

Izokvante imaju sljedeće svojstva:

• 1. Izokvante se ne seku.
• 2. Veća udaljenost izokvante od početka odgovara većem nivou izlaza.
• 3. Izokvante - silazne krive, imaju negativan nagib.

Izokvante su slične krivuljama indiferentnosti sa jedinom razlikom što odražavaju stanje ne u sferi potrošnje, već u sferi proizvodnje.

Negativan nagib izokvanti objašnjava se činjenicom da će povećanje upotrebe jednog faktora pri određenom volumenu proizvodnje proizvoda uvijek biti praćeno smanjenjem količine drugog faktora.

Razmotrite moguće karte izokvante

Na sl. Slika 5 prikazuje neke mape izokvante koje karakteriziraju različite situacije koje nastaju kada se dva resursa troše u proizvodnji. Rice. 5a odgovara apsolutnoj međusobnoj zamjeni resursa. U slučaju prikazanom na sl. 5b, prvi resurs može se potpuno zamijeniti drugim: izokvantne točke koje se nalaze na osi x2 pokazuju količinu drugog resursa, što omogućava dobivanje jednog ili drugog rezultata proizvoda bez korištenja prvog resursa. Upotreba prvog resursa smanjuje cijenu drugog, ali je nemoguće u potpunosti zamijeniti drugi resurs prvim. Rice. 5c prikazuje situaciju u kojoj su potrebna oba resursa i nijedan se ne može u potpunosti zamijeniti drugim. Konačno, slučaj prikazan na sl. 5d karakterizira apsolutna komplementarnost resursa.

Rice. 5. Primjeri izokvantne karte

Da bi se objasnila proizvodna funkcija, uvodi se koncept troškova.

U najopštijem obliku, troškovi se mogu definisati kao skup troškova koje proizvođač ima kada proizvodi određeni obim proizvodnje.

Postoji njihova klasifikacija prema vremenskim periodima tokom kojih kompanija donosi određenu proizvodnu odluku. Da bi promijenila obim proizvodnje, firma mora prilagoditi iznos i sastav svojih troškova. Neki troškovi se mogu promijeniti prilično brzo, dok drugi zahtijevaju određeno vrijeme.

Kratkoročni period je vremenski interval koji je nedovoljan za modernizaciju ili puštanje u rad novih proizvodnih kapaciteta preduzeća. Međutim, u ovom periodu preduzeće može povećati proizvodnju povećanjem intenziteta korišćenja postojećih proizvodnih kapaciteta (npr. zaposliti dodatne radnike, nabaviti više sirovina, povećati smjenski odnos održavanja opreme itd.). Iz toga slijedi da kratkoročni troškovi mogu biti fiksni ili varijabilni.

Fiksni troškovi (TFC) su zbir troškova koji ne zavise od promjena u obimu proizvodnje. Fiksni troškovi povezani su sa samim postojanjem firme i moraju se platiti čak i ako firma ništa ne proizvodi. Oni uključuju troškove amortizacije zgrada i opreme; porez na imovinu; plaćanja osiguranja; troškovi popravke i održavanja; isplate obveznica; plate višeg rukovodećeg osoblja itd.

Varijabilni trošak (TVC) je trošak resursa koji se direktno koriste za proizvodnju datog rezultata. Elementi varijabilnih troškova su troškovi sirovina, goriva, energije; plaćanje transportnih usluga; plaćanje većine radnih resursa (plata). Za razliku od fiksnih troškova, varijabilni troškovi zavise od obima proizvodnje. Međutim, treba napomenuti da povećanje iznosa varijabilnih troškova povezanih s povećanjem proizvodnje za 1 jedinicu nije konstantno.

Na početku procesa povećanja proizvodnje, varijabilni troškovi će se neko vrijeme povećavati opadajućom stopom; i tako će se nastaviti do određene vrijednosti obima proizvodnje. Tada će varijabilni troškovi početi rasti po rastućoj stopi za svaku narednu jedinicu proizvodnje. Ovo ponašanje varijabilnih troškova je određeno zakonom opadajućeg povrata. Povećanje graničnog proizvoda tokom vremena će uzrokovati sve manje i manje prirasta varijabilnih resursa za proizvodnju svake dodatne jedinice proizvodnje.

A pošto se sve jedinice varijabilnih resursa kupuju po istoj cijeni, to znači da će se zbir varijabilnih troškova povećavati opadajućom stopom. Ali kako granična produktivnost počinje da pada u skladu sa zakonom opadajućeg prinosa, sve više i više dodatnih varijabilnih resursa će se morati koristiti za proizvodnju svake uzastopne jedinice proizvodnje. Suma varijabilnih troškova će se stoga ubrzano povećavati.

Zbir fiksnih i varijabilnih troškova povezanih sa proizvodnjom određene količine proizvoda naziva se ukupni trošak (TC). Tako dobijamo sljedeću jednakost:

TC - TFC + TVC.

U zaključku, napominjemo da se proizvodne funkcije mogu koristiti za ekstrapolaciju ekonomskog efekta proizvodnje u datom periodu budućnosti. Kao iu slučaju konvencionalnih ekonometrijskih modela, ekonomska prognoza počinje procjenom predviđenih vrijednosti faktora proizvodnje. U ovom slučaju se može koristiti metoda ekonomskog predviđanja koja je najpogodnija u svakom pojedinačnom slučaju.