Matrična metoda SLAU rješenja koristi se za rješavanje sistema jednačina u kojima broj jednačina odgovara broju nepoznanica. Metoda se najbolje koristi za rješavanje sistema nižeg reda. Matrična metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina zasniva se na primjeni svojstava množenja matrice.

Ovako, drugim riječima metoda inverzne matrice, naziva se tako, budući da se rješenje svodi na uobičajenu matričnu jednadžbu, za čije rješenje treba pronaći inverznu matricu.

Metoda matričnog rješenja SLAE sa determinantom većom ili manjom od nule je kako slijedi:

Pretpostavimo da postoji SLE (sistem linearnih jednačina) sa n nepoznato (preko proizvoljnog polja):

Dakle, lako ga je prevesti u matrični oblik:

AX=B, gdje A je glavna matrica sistema, B i X- kolone slobodnih članova i rješenja sistema, odnosno:

Pomnožite ovu matričnu jednačinu na lijevoj strani sa A -1- inverzna matrica prema matrici A: A −1 (AX)=A −1 B.

Jer A −1 A=E, znači, X=A −1 B. Desna strana jednačine daje kolonu rješenja početnog sistema. Uslov za primjenjivost matrične metode je nedegeneriranost matrice A. Neophodan i dovoljan uslov za to je da je determinanta matrice A:

detA≠0.

Za homogeni sistem linearnih jednačina, tj. ako vektor B=0, važi suprotno pravilo: sistem AX=0 je netrivijalno (tj. nije jednako nuli) rješenje samo kada detA=0. Ova veza između rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih jednačina naziva se alternativa Fredholmu.

Dakle, rješenje SLAE matričnom metodom je napravljeno prema formuli . Ili, SLAE rješenje se može pronaći pomoću inverzna matrica A -1.

Poznato je da je kvadratna matrica ALI red n na n postoji inverzna matrica A -1 samo ako je njegova determinanta različita od nule. Dakle, sistem n linearne algebarske jednadžbe sa n nepoznanice se rješavaju matričnim metodom samo ako determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli.

Unatoč činjenici da postoje ograničenja u mogućnosti korištenja takve metode i da postoje računske poteškoće za velike vrijednosti koeficijenata i sisteme visokog reda, metoda se lako može implementirati na računaru.

Primjer rješavanja nehomogenog SLAE.

Prvo, provjerimo da li determinanta matrice koeficijenata za nepoznate SLAE nije jednaka nuli.

Sada pronalazimo matrica saveza, transponirati ga i zamijeniti u formulu za određivanje inverzne matrice.

Zamjenjujemo varijable u formuli:

Sada nalazimo nepoznanice množenjem inverzne matrice i stupca slobodnih članova.

dakle, x=2; y=1; z=4.

Kada prelazite sa uobičajenog oblika SLAE na matrični oblik, budite pažljivi s redoslijedom nepoznatih varijabli u sistemskim jednačinama. na primjer:

NEMOJTE pisati kao:

Potrebno je, prvo, poredati nepoznate varijable u svakoj jednadžbi sistema i tek nakon toga preći na matričnu notaciju:

Osim toga, morate biti oprezni s označavanjem nepoznatih varijabli, umjesto x 1 , x 2 , …, x n mogu postojati i druga slova. Na primjer:

u matričnom obliku pišemo:

Koristeći matričnu metodu, bolje je rješavati sisteme linearnih jednadžbi u kojima se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli. Kada postoji više od 3 jednačine u sistemu, biće potrebno više računskog napora da se pronađe inverzna matrica, stoga je u ovom slučaju preporučljivo koristiti Gaussovu metodu za rješavanje.

Gaussova metoda, koja se naziva i metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih, sastoji se u sljedećem. Koristeći elementarne transformacije, sistem linearnih jednadžbi je doveden u takav oblik da se njegova matrica koeficijenata ispostavi da je trapezoidni (isto kao trokutasti ili stepenasti) ili blizu trapezoidnog (direktan tok Gaussove metode, zatim - samo direktan potez). Primjer takvog sistema i njegovo rješenje prikazano je na gornjoj slici.

U takvom sistemu posljednja jednačina sadrži samo jednu varijablu i njena vrijednost se može jedinstveno pronaći. Tada se vrijednost ove varijable zamjenjuje u prethodnu jednačinu ( Gausov revers , zatim - samo obrnuti potez), iz koje se pronalazi prethodna varijabla itd.

U trapezoidnom (trouglastom) sistemu, kao što vidimo, treća jednačina više ne sadrži varijable y i x, a druga jednačina - varijabla x .

Nakon što matrica sistema poprimi trapezoidni oblik, više nije teško riješiti pitanje kompatibilnosti sistema, odrediti broj rješenja i pronaći sama rješenja.

Prednosti metode:

1. pri rješavanju sistema linearnih jednačina sa više od tri jednačine i nepoznanica, Gaussova metoda nije tako glomazna kao Cramerova metoda, jer je potrebno manje proračuna za rješavanje Gaussove metode;
2. pomoću Gaussove metode možete rješavati neodređene sisteme linearnih jednačina, odnosno imati zajedničko rješenje (a mi ćemo ih analizirati u ovoj lekciji), a koristeći Cramerovu metodu, možete samo konstatovati da je sistem neizvjestan;
3. možete rješavati sisteme linearnih jednačina u kojima broj nepoznatih nije jednak broju jednačina (također ćemo ih analizirati u ovoj lekciji);
4. metoda se zasniva na elementarnim (školskim) metodama - metodi zamjene nepoznanica i metodi sabiranja jednačina, kojih smo se dotakli u odgovarajućem članku.

Kako bi svi bili prožeti jednostavnošću kojom se rješavaju trapezoidni (trouglasti, stepenasti) sistemi linearnih jednadžbi, predstavljamo rješenje takvog sistema pomoću obrnutog poteza. Brzo rješenje ovog sistema prikazano je na slici na početku lekcije.

Primjer 1 Riješite sistem linearnih jednadžbi koristeći obrnuti potez:

Odluka. U ovom trapezoidnom sistemu, varijabla z se jedinstveno nalazi iz treće jednačine. Njegovu vrijednost zamjenjujemo u drugu jednačinu i dobivamo vrijednost varijable y:

Sada znamo vrijednosti dvije varijable - z i y. Zamjenjujemo ih u prvu jednačinu i dobivamo vrijednost varijable x:

Iz prethodnih koraka ispisujemo rješenje sistema jednačina:

Da bi se dobio ovakav trapezoidni sistem linearnih jednadžbi, koji smo rešili vrlo jednostavno, potrebno je primeniti direktan potez povezan sa elementarnim transformacijama sistema linearnih jednačina. Takođe nije mnogo teško.

Elementarne transformacije sistema linearnih jednačina

Ponavljajući školski metod algebarskog sabiranja jednačina sistema, saznali smo da se jednoj od jednačina sistema može dodati još jedna jednačina sistema, a svaka od jednačina može se pomnožiti sa nekim brojevima. Kao rezultat, dobijamo sistem linearnih jednačina koji je ekvivalentan datom. U njoj je jedna jednadžba već sadržavala samo jednu varijablu, zamjenom čije vrijednosti u druge jednačine dolazimo do rješenja. Takvo sabiranje je jedan od tipova elementarne transformacije sistema. Kada se koristi Gaussova metoda, možemo koristiti nekoliko vrsta transformacija.

Gornja animacija pokazuje kako se sistem jednačina postepeno pretvara u trapezoidni. Odnosno onu koju ste vidjeli na prvoj animaciji i uvjerili se da je iz nje lako pronaći vrijednosti svih nepoznanica. Kako izvesti takvu transformaciju i, naravno, primjere, raspravljat ćemo dalje.

Prilikom rješavanja sistema linearnih jednačina sa bilo kojim brojem jednačina i nepoznanica u sistemu jednačina iu proširenoj matrici sistema mogu:

1. zameni linije (ovo je pomenuto na samom početku ovog članka);
2. ako su se kao rezultat drugih transformacija pojavile jednake ili proporcionalne linije, mogu se izbrisati, osim jedne;
3. brisati "null" redove, gdje su svi koeficijenti jednaki nuli;
4. pomnožite ili podijelite bilo koji niz nekim brojem;
5. dodati u bilo koji red još jedan red pomnožen nekim brojem.

Kao rezultat transformacija dobijamo sistem linearnih jednačina koji je ekvivalentan datom.

Algoritam i primjeri rješavanja Gaussovom metodom sistema linearnih jednadžbi sa kvadratnom matricom sistema

Razmotrimo prvo rješenje sistema linearnih jednačina u kojima je broj nepoznanica jednak broju jednačina. Matrica takvog sistema je kvadratna, odnosno broj redova u njoj jednak je broju kolona.

Primjer 2 Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Rješavajući sisteme linearnih jednačina školskim metodama množili smo pojam po član jednu od jednačina određenim brojem, tako da su koeficijenti prve varijable u dvije jednačine bili suprotni brojevi. Prilikom dodavanja jednačina ova varijabla se eliminira. Gaussova metoda radi na sličan način.

Za pojednostavljenje izgleda rješenja sastaviti proširenu matricu sistema:

U ovoj matrici, koeficijenti nepoznanica nalaze se lijevo prije vertikalne trake, a slobodni članovi su desno nakon okomite trake.

Radi pogodnosti dijeljenja koeficijenata varijabli (da biste dobili podjelu sa jedan) zamijenite prvi i drugi red sistemske matrice. Dobijamo sistem koji je ekvivalentan datom, jer se u sistemu linearnih jednačina mogu preurediti jednačine:

Sa novom prvom jednačinom eliminisati varijablu x iz druge i svih narednih jednadžbi. Da biste to učinili, dodajte prvi red pomnožen sa (u našem slučaju sa ) ​​drugom redu matrice, a prvi red pomnožen sa (u našem slučaju sa ) ​​trećem redu.

Ovo je moguće jer

Ako je u našem sistemu bilo više od tri jednačine, onda svim narednim jednačinama treba dodati prvi red, pomnožen odnosom odgovarajućih koeficijenata, uzetih sa predznakom minus.

Kao rezultat, dobijamo matricu ekvivalentnu datom sistemu novog sistema jednačina, u kojem su sve jednačine, počevši od drugog ne sadrže varijablu x :

Da bismo pojednostavili drugi red rezultujućeg sistema, pomnožimo ga sa i ponovo dobijemo matricu sistema jednačina ekvivalentnog ovom sistemu:

Sada, zadržavajući prvu jednačinu rezultirajućeg sistema nepromijenjenom, koristeći drugu jednačinu, eliminiramo varijablu y iz svih narednih jednačina. Da biste to učinili, dodajte drugi red pomnožen sa (u našem slučaju sa ) ​​trećem redu sistemske matrice.

Ako je u našem sistemu bilo više od tri jednačine, onda svim narednim jednačinama treba dodati drugi red, pomnožen odnosom odgovarajućih koeficijenata, uzetih sa predznakom minus.

Kao rezultat, ponovo dobijamo matricu sistema ekvivalentnu datom sistemu linearnih jednačina:

Dobili smo trapezni sistem linearnih jednadžbi koji je ekvivalentan datom:

Ako je broj jednačina i varijabli veći nego u našem primjeru, onda se proces sekvencijalne eliminacije varijabli nastavlja sve dok matrica sistema ne postane trapezoidna, kao u našem demo primjeru.

Naći ćemo rješenje "s kraja" - obrnuto. Za ovo iz zadnje jednačine koju odredimo z:
.
Zamjenom ove vrijednosti u prethodnu jednačinu, naći y:

Iz prve jednadžbe naći x:

Odgovor: rješenje ovog sistema jednačina - .

: u ovom slučaju će se dati isti odgovor ako sistem ima jedinstveno rješenje. Ako sistem ima beskonačan broj rješenja, onda će biti i odgovor, a to je tema petog dijela ove lekcije.

Sami riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom, a zatim pogledajte rješenje

Pred nama je opet primjer konzistentnog i određenog sistema linearnih jednačina, u kojem je broj jednačina jednak broju nepoznatih. Razlika u odnosu na naš demo primjer iz algoritma je u tome što već postoje četiri jednadžbe i četiri nepoznanice.

Primjer 4 Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom:

Sada morate koristiti drugu jednačinu da isključite varijablu iz sljedećih jednačina. Uradimo neke pripremne radove. Da biste to učinili praktičnijim s omjerom koeficijenata, morate dobiti jedinicu u drugom stupcu drugog reda. Da biste to učinili, oduzmite treći red od drugog reda i pomnožite rezultirajući drugi red sa -1.

Hajde da sada izvršimo stvarnu eliminaciju varijable iz treće i četvrte jednačine. Da biste to učinili, dodajte drugi, pomnožen sa , u treći red, a drugi, pomnožen sa , u četvrti.

Sada, koristeći treću jednačinu, eliminiramo varijablu iz četvrte jednačine. Da biste to učinili, u četvrti red dodajte treći, pomnožen sa . Dobijamo proširenu matricu trapeznog oblika.

Dobili smo sistem jednačina, koji je ekvivalentan datom sistemu:

Stoga su rezultirajući i dati sistemi konzistentni i određeni. Konačno rješenje nalazimo "s kraja". Iz četvrte jednačine možemo direktno izraziti vrijednost varijable "x fourth":

Ovu vrijednost zamjenjujemo u treću jednačinu sistema i dobijamo

,

,

Konačno, zamjena vrijednosti

U prvoj jednačini daje

,

gdje nalazimo "x prvi":

Odgovor: Ovaj sistem jednačina ima jedinstveno rješenje. .

Rješenje sistema možete provjeriti i na kalkulatoru koji rješava Cramerovom metodom: u ovom slučaju će se dati isti odgovor ako sistem ima jedinstveno rješenje.

Rješenje Gaussovom metodom primijenjenih zadataka na primjeru zadatka za legure

Sistemi linearnih jednačina se koriste za modeliranje stvarnih objekata fizičkog svijeta. Hajde da riješimo jedan od ovih problema - za legure. Slični zadaci - zadaci za mješavine, cijenu ili specifičnu težinu pojedinačne robe u grupi roba i sl.

Primjer 5 Tri komada legure imaju ukupnu masu od 150 kg. Prva legura sadrži 60% bakra, druga - 30%, treća - 10%. Istovremeno, u drugoj i trećoj leguri zajedno, bakra je manje za 28,4 kg nego u prvoj leguri, a u trećoj leguri bakra je manje za 6,2 kg nego u drugoj. Pronađite masu svakog komada legure.

Odluka. Sastavljamo sistem linearnih jednačina:

Množenjem druge i treće jednačine sa 10 dobijamo ekvivalentni sistem linearnih jednačina:

Sastavljamo proširenu matricu sistema:

Pažnja, direktan potez. Dodavanjem (u našem slučaju, oduzimanjem) jednog reda, pomnoženog brojem (primjenjujemo ga dvaput), dolazi do sljedećih transformacija sa proširenom matricom sistema:

Pravo trčanje je završeno. Dobili smo proširenu matricu trapeznog oblika.

Koristimo obrnuto. Pronalazimo rješenje s kraja. Vidimo to.

Iz druge jednačine nalazimo

Iz treće jednačine -

Rješenje sistema možete provjeriti i na kalkulatoru koji rješava Cramerovom metodom: u ovom slučaju će se dati isti odgovor ako sistem ima jedinstveno rješenje.

O jednostavnosti Gaussove metode svjedoči i činjenica da je njemačkom matematičaru Carlu Friedrichu Gausu trebalo samo 15 minuta da je izmisli. Pored metode njegovog imena, iz Gaussovog djela, izreka „Ne treba brkati ono što nam se čini nevjerovatnim i neprirodnim sa apsolutno nemogućim“ svojevrsno je kratko uputstvo za otkrivanje.

U mnogim primijenjenim problemima možda i ne postoji treće ograničenje, odnosno treća jednačina, tada je potrebno Gausovom metodom riješiti sistem od dvije jednačine sa tri nepoznanice, ili, obrnuto, manje je nepoznanica nego jednačina. Sada počinjemo rješavati takve sisteme jednačina.

Koristeći Gaussov metod, možete odrediti da li je bilo koji sistem konzistentan ili nekonzistentan n linearne jednačine sa n varijable.

Gausova metoda i sistemi linearnih jednačina sa beskonačnim brojem rješenja

Sljedeći primjer je konzistentan, ali neodređen sistem linearnih jednačina, odnosno ima beskonačan broj rješenja.

Nakon izvođenja transformacija u proširenoj matrici sistema (permutiranje redova, množenje i dijeljenje redova određenim brojem, dodavanje jednog reda drugom), redovi oblika

Ako u svim jednadžbama imaju oblik

Slobodni članovi su jednaki nuli, to znači da je sistem neodređen, odnosno da ima beskonačan broj rješenja, a jednačine ovog tipa su „suvišne“ i isključene su iz sistema.

Primjer 6

Odluka. Hajde da sastavimo proširenu matricu sistema. Zatim, koristeći prvu jednačinu, eliminiramo varijablu iz sljedećih jednačina. Da biste to učinili, u drugi, treći i četvrti red dodajte prvi, pomnožen sa , respektivno:

Sada dodajmo drugi red trećem i četvrtom.

Kao rezultat, dolazimo do sistema

Posljednje dvije jednadžbe su postale jednačine oblika . Ove jednadžbe su zadovoljene za bilo koje vrijednosti nepoznanica i mogu se odbaciti.

Da bismo zadovoljili drugu jednadžbu, možemo odabrati proizvoljne vrijednosti za i , tada će vrijednost za biti određena nedvosmisleno: . Iz prve jednadžbe, vrijednost za je također jedinstveno pronađena: .

I dati i posljednji sistem su kompatibilni, ali neodređeni, i formule

za proizvoljno i dati nam sva rješenja datog sistema.

Gausova metoda i sistemi linearnih jednačina koji nemaju rješenja

Sljedeći primjer je nekonzistentan sistem linearnih jednačina, odnosno nema rješenja. Odgovor na takve probleme formuliše se na sledeći način: sistem nema rešenja.

Kao što je već spomenuto u vezi s prvim primjerom, nakon izvođenja transformacija u proširenoj matrici sistema, linije oblika

što odgovara jednačini oblika

Ako među njima postoji barem jedna jednačina sa slobodnim članom različitom od nule (tj. ), onda je ovaj sistem jednačina nekonzistentan, odnosno nema rješenja i time je njegovo rješenje završeno.

Primjer 7 Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom:

Odluka. Sastavljamo proširenu matricu sistema. Koristeći prvu jednačinu, isključujemo varijablu iz sljedećih jednačina. Da biste to učinili, dodajte prvo pomnoženo sa drugom redu, prvo pomnoženo sa trećim redom, a prvo pomnoženo sa četvrtim redom.

Sada morate koristiti drugu jednačinu da isključite varijablu iz sljedećih jednačina. Da bismo dobili cjelobrojne omjere koeficijenata, zamijenimo drugi i treći red proširene matrice sistema.

Da biste isključili iz treće i četvrte jednačine, dodajte drugi, pomnožen sa , u treći red, a drugi, pomnožen sa , u četvrti.

Sada, koristeći treću jednačinu, eliminiramo varijablu iz četvrte jednačine. Da biste to učinili, u četvrti red dodajte treći, pomnožen sa .

Dakle, dati sistem je ekvivalentan sledećem:

Rezultirajući sistem je nekonzistentan, jer njegovu posljednju jednačinu ne može zadovoljiti nijedna vrijednost nepoznanica. Dakle, ovaj sistem nema rješenja.

gdje x* - jedno od rješenja nehomogenog sistema (2) (na primjer (4)), (E-A + A) formira jezgro (nulti prostor) matrice A.

Napravimo skeletnu dekompoziciju matrice (E-A + A):

E−A + A=Q S

gdje Q n×n−r- matrica ranga (Q)=n−r, S n−r×n-rang matrica (S)=n−r.

Tada se (13) može napisati u sljedećem obliku:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

gdje k=Sz.

dakle, opći postupak rješenja sistemi linearnih jednadžbi koji koriste pseudoinverznu matricu mogu se predstaviti u sljedećem obliku:

1. Izračunajte pseudoinverznu matricu A + .
2. Izračunavamo posebno rješenje nehomogenog sistema linearnih jednačina (2): x*=A + b.
3. Provjeravamo kompatibilnost sistema. Za ovo izračunavamo aa + b. Ako a aa + b≠b, onda je sistem nekonzistentan. U suprotnom nastavljamo proceduru.
4. vyssylyaem E−A+A.
5. Radimo razgradnju skeleta E−A + A=Q·S.
6. Izgradnja rješenja

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

Rješavanje sistema linearnih jednačina na mreži

Online kalkulator vam omogućava da pronađete opće rješenje sistema linearnih jednačina sa detaljnim objašnjenjima.

Uputstvo

Metoda supstitucije ili sukcesivne eliminacije Zamjena se koristi u sistemu sa malim brojem nepoznanica. Ovo je najjednostavniji način rješenja za jednostavno . Prvo, iz prve jednačine, izražavamo jednu nepoznatu kroz druge i zamjenjujemo ovaj izraz u drugu jednačinu. Drugu nepoznanicu izražavamo iz transformirane druge jednačine, dobijeni rezultat zamjenjujemo u treću jednačinu i tako dalje. dok ne izračunamo posljednju nepoznanicu. Zatim njegovu vrijednost zamjenjujemo u prethodnu jednačinu i pronalazimo pretposljednju nepoznanicu, itd. Razmotrimo sa nepoznanicama.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Izrazite iz prve jednačine x: x = 3 - y. Zamjena u drugoj jednačini: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3 - 3y = 0
y=1
Zamjena u prvoj jednačini sistemi(ili u izraz za x, koji je isti): x + 1 - 3 = 0. Dobijamo da je x = 2.

Oduzimanje po članu (ili sabiranje) Ovaj metod često skraćuje rješenja sistemi i pojednostaviti proračune. Sastoji se od analize za nepoznanice na način da se sabiraju (ili oduzmu) jednačine sistemi da eliminišemo neke od nepoznanica iz jednačine. Razmotrite primjer, uzmite isti sistem kao u prvoj metodi.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Lako je vidjeti da su kod y koeficijenti identični u apsolutnoj vrijednosti, ali sa predznakom, pa ako dodamo dvije jednačine pojam po član, onda će y moći isključiti y. Dodajmo: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 ili 3x - 6 = 0. Dakle, x = 2. Zamjenom ove vrijednosti u bilo kojoj jednačini, nalazimo y.
Alternativno, x se može isključiti. Koeficijenti na x imaju isti predznak, pa ćemo jednu jednačinu oduzeti od druge. Ali u prvoj jednadžbi koeficijent na x je 1, au drugoj je 2, tako da jednostavno ne možete eliminisati x. Pomnoživši prvu jednačinu sa 2, dobijamo sledeći sistem:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Sada, pojam po član, oduzmite drugu od prve jednačine: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 ili, dajući slične, 3y - 3 = 0. Dakle, y = 1. Zamjenom u bilo koju jednačinu nalazimo x.

Povezani video zapisi

Savjet 2: Kako dokazati kompatibilnost sistema linearnih jednačina

Jedan od zadataka više matematike je dokazivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina. Dokaz se mora izvesti prema Kroncker-Capellijevom teoremu, prema kojem je sistem konzistentan ako je rang njegove glavne matrice jednak rangu proširene matrice.

Uputstvo

Zapišite glavnu matricu sistema. Da biste to učinili, dovedite jednadžbe u standardni oblik (odnosno, stavite sve koeficijente u isti red, ako neki od njih nedostaje, zapišite ih, jednostavno s numeričkim koeficijentom "0"). Ispišite sve koeficijente u obliku tabele, stavite je u zagrade (ne uzimajte u obzir slobodne termine prenesene na desnu stranu).

Na isti način zapišite proširenu matricu sistema, samo u tom slučaju stavite vertikalnu traku sa desne strane i zapišite kolonu slobodnih članova.

Izračunajte rang glavne matrice, ovo je najveći minor različit od nule. Minor prvog reda je bilo koja znamenka matrice, očito je da nije jednaka nuli. Da biste izračunali minor drugog reda, uzmite bilo koja dva reda i bilo koja dva stupca (dobićete četiri cifre). Izračunajte determinantu, pomnožite gornji lijevi broj sa donjim desnim, oduzmite proizvod donjeg lijevog i gornjeg desnog od rezultirajućeg broja. Imate maloljetnika drugog reda.

Teže je izračunati minor trećeg reda. Da biste to uradili, uzmite bilo koja tri reda i tri kolone, dobićete tabelu od devet brojeva. Izračunajte determinantu koristeći formulu: ∆=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a12a21a33-a11a23a32 (prva znamenka koeficijenta je broj reda, druga brojka kolone). Dobili ste maloljetnika trećeg reda.

Slično, pronađite rang proširene matrice. Imajte na umu da ako broj jednačina u vašem sistemu odgovara rangu (na primjer, tri jednačine, a rang je 3), nema smisla izračunati rang proširene matrice - očito, on će također biti jednak ovom broju . U ovom slučaju možemo sa sigurnošću zaključiti da je sistem linearnih jednačina konzistentan.

Povezani video zapisi

Postavljeno pitanje u potpunosti pokriva glavni cilj cijelog predmeta "Linearna algebra". Stoga se odgovor može dati samo u komprimiranom obliku, bez detaljnih proračuna i objašnjenja. Općenito, linearne jednadžbe su zanimljive jer se mogu riješiti čisto algoritamskim metodama.

Uputstvo

Sistem od m linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih ima oblik (vidi sliku 1).
U njemu aij su sistemski koeficijenti, xj su nepoznate, bi su slobodni članovi (i=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... , p). Takav sistem ima praktično značenje u slučaju kada broj njegovih jednačina ne prelazi broj nepoznatih, odnosno kada je m≤n. Činjenica je da inače "dodatne" jednačine moraju biti linearna kombinacija ostalih. Samo ih ponavljaju. Ako ne, onda rješenje ne postoji (sistem nije konzistentan).

Takav sistem se može kompaktno zapisati u matričnom obliku AX=B. Ovdje su A koeficijenti sistema, X je matrica stupaca nepoznatih, B je matrica stupaca slobodnih članova (vidi sliku 2). Ako je m=n, tj. je broj nepoznanica i broj jednačina je isti, tada je matrica A kvadratna. Stoga je za nju definiran pojam determinante matrice ∆=|A|. Za |A|≠0 postoji inverzna matrica A⁻¹. Zasniva se na jednakosti AA⁻¹= A⁻¹A=E (E je matrica identiteta). Formula za proračun je takođe prisutna na slici 2. Treba samo dodati da se elementi Aij G, koji se nazivaju algebarski komplementi elemenata aij matrice A, izračunavaju na sljedeći način. Uzmite determinantu |A| i izbrišite iz nje red i kolonu koji sadrže element aij. Zapišite preostale koeficijente kao determinantu, koju pomnožite sa (-1) ako i+j nije paran. Odgovarajući broj je Aij. Algebarski dodaci se zapisuju preko stupaca pridružene matrice.

Naći rješenje sistema na matrični način. Da biste to učinili, pomnožite oba dijela sistema AX=B sa A⁻¹ na lijevoj strani. Dobijte (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B ili X=A⁻¹B. Svi detalji su ilustrovani na sl. 3. Ista slika pokazuje

U ovoj lekciji ćemo razmotriti metode za rješavanje sistema linearnih jednačina. U toku više matematike, sisteme linearnih jednadžbi potrebno je rješavati kako u obliku zasebnih zadataka, na primjer, “Rješiti sistem pomoću Cramerovih formula”, tako i u toku rješavanja drugih zadataka. Mora se baviti sistemima linearnih jednačina u gotovo svim granama više matematike.

Prvo, malo teorije. Šta u ovom slučaju znači matematička riječ "linearno"? To znači da u jednačinama sistema sve varijable su uključene na prvom stepenu: nema fensi stvari poput itd., od kojih su oduševljeni samo učesnici matematičkih olimpijada.

U višoj matematici za označavanje varijabli ne koriste se samo slova poznata iz djetinjstva.
Prilično popularna opcija su varijable s indeksima: .
Ili početna slova latinice, mala i velika:
Nije tako retko pronaći grčka slova: - mnogima dobro poznata "alfa, beta, gama". I također skup s indeksima, recimo, sa slovom "mu":

Upotreba jednog ili drugog skupa slova zavisi od grane više matematike u kojoj se suočavamo sa sistemom linearnih jednačina. Tako, na primjer, u sistemima linearnih jednadžbi koje se susreću u rješavanju integrala, diferencijalnih jednadžbi, tradicionalno je uobičajeno koristiti notaciju

Ali bez obzira na to kako su varijable označene, principi, metode i metode za rješavanje sistema linearnih jednačina se od ovoga ne mijenjaju. Stoga, ako naiđete na nešto strašno, nemojte žuriti da u strahu zatvorite knjigu zadataka, na kraju krajeva, umjesto toga možete nacrtati sunce, umjesto toga - pticu, i umjesto toga - lice (učitelja). I, što je čudno, sistem linearnih jednačina sa ovim oznakama takođe se može rešiti.

Nešto imam takav predosjećaj da će članak ispasti dosta dugačak, dakle mali sadržaj. Dakle, sekvencijalni "debrifing" će biti sljedeći:

– Rješavanje sistema linearnih jednačina metodom zamjene („školska metoda“);
– Rješenje sistema metodom sabiranja (oduzimanja) jednačina sistema po članu;
– Rješenje sistema po Cramerovim formulama;
– Rješenje sistema pomoću inverzne matrice;
– Rješenje sistema Gaussovom metodom.

Svi su upoznati sa sistemima linearnih jednačina iz školskog predmeta matematike. U stvari, počinjemo s ponavljanjem.

Rješavanje sistema linearnih jednačina metodom zamjene

Ova metoda se može nazvati i "školska metoda" ili metoda eliminacije nepoznanica. Slikovito rečeno, može se nazvati i "poluzavršena Gaussova metoda".

Primjer 1

Ovdje imamo sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate. Imajte na umu da se slobodni članovi (brojevi 5 i 7) nalaze na lijevoj strani jednačine. Uopšteno govoreći, nije bitno gdje se nalaze, lijevo ili desno, samo se u zadacima iz više matematike često nalaze na taj način. I takav zapis ne bi trebao biti zbunjujući, ako je potrebno, sistem se uvijek može napisati "kao i obično":. Ne zaboravite da prilikom prijenosa pojma iz dijela u dio morate promijeniti njegov znak.

Šta znači riješiti sistem linearnih jednačina? Rješavanje sistema jednačina znači pronalaženje skupa njegovih rješenja. Rješenje sistema je skup vrijednosti svih varijabli uključenih u njega, što SVAKU jednačinu sistema pretvara u pravu jednakost. Osim toga, sistem može biti nekompatibilno (nema rješenja).Ne stidite se, ovo je opšta definicija =) Imaćemo samo jednu vrednost "x" i jednu vrednost "y", koje zadovoljavaju svaku jednačinu sa-mi.

Postoji grafička metoda za rješavanje sistema, koja se može naći u lekciji. Najjednostavniji problemi sa pravom linijom. Tamo sam pričao o tome geometrijskom smislu sisteme dve linearne jednačine sa dve nepoznate. Ali sada je u dvorištu era algebre, i brojeva-brojeva, akcija-akcija.

Mi odlučujemo: iz prve jednačine izražavamo:
Dobijeni izraz zamjenjujemo u drugu jednačinu:

Otvaramo zagrade, dajemo slične pojmove i pronalazimo vrijednost:

Zatim se prisjećamo iz čega su plesali:
Već znamo vrijednost, ostaje da se pronađe:

Odgovori:

Nakon što je BILO KOJI sistem jednadžbi riješen na BILO KOJI način, toplo preporučujem provjeru (usmeno, na nacrtu ili kalkulatoru). Na sreću, to se radi brzo i lako.

1) Zamijenite pronađeni odgovor u prvu jednačinu:

- dobija se tačna jednakost.

2) Pronađeni odgovor zamjenjujemo u drugu jednačinu:

- dobija se tačna jednakost.

Ili, jednostavnije rečeno, "sve se poklopilo"

Razmatrana metoda rješenja nije jedina; iz prve jednačine je bilo moguće izraziti , ali ne.
Možete i obrnuto - izraziti nešto iz druge jednačine i zamijeniti to prvom jednačinom. Usput, imajte na umu da je najnepovoljniji od četiri načina izražavanje iz druge jednačine:

Razlomci se dobijaju, ali zašto? Postoji racionalnije rešenje.

Međutim, u nekim slučajevima, razlomci su još uvijek neophodni. S tim u vezi, skrećem vam pažnju na to KAKO sam napisao izraz. Ne ovako: i nikako ovako: .

Ako se u višoj matematici bavite razlomcima, pokušajte sve proračune izvesti u običnim nepravilnim razlomcima.

Tačno, ne ili!

Zarez se može koristiti samo povremeno, posebno ako je - ovo konačan odgovor na neki problem, i s ovim brojem nije potrebno izvršiti daljnje radnje.

Vjerovatno su mnogi čitaoci pomislili “zašto tako detaljno objašnjenje, kao za popravni čas, i sve je jasno”. Ništa od toga, čini se da je to tako jednostavan školski primjer, ali koliko JAKO važnih zaključaka! evo još jednog:

Svaki zadatak treba nastojati da bude završen na najracionalniji način.. Makar samo zato što štedi vrijeme i živce, a također smanjuje vjerovatnoću da napravite grešku.

Ako u zadatku iz više matematike naiđete na sistem od dvije linearne jednadžbe sa dvije nepoznate, onda uvijek možete koristiti metodu zamjene (osim ako je naznačeno da sistem treba riješiti drugom metodom)".
Štaviše, u nekim slučajevima je preporučljivo koristiti metodu zamjene sa većim brojem varijabli.

Primjer 2

Riješiti sistem linearnih jednačina sa tri nepoznate

Sličan sistem jednačina se često javlja kada se koristi tzv. metoda neodređenih koeficijenata, kada se pronađe integral racionalne frakcijske funkcije. Dotični sistem sam preuzeo odatle.

Prilikom pronalaženja integrala - cilj brzo pronaći vrijednosti koeficijenata, a ne biti sofisticiran s Cramerovim formulama, metodom inverzne matrice, itd. Stoga je u ovom slučaju odgovarajuća metoda zamjene.

Kada je dat bilo koji sistem jednačina, prije svega je poželjno saznati, ali da li je moguće to ODMAH nekako pojednostaviti? Analizirajući jednačine sistema, uočavamo da se druga jednačina sistema može podeliti sa 2, što i radimo:

Referenca: matematički simbol znači "iz ovoga slijedi ovo", često se koristi u toku rješavanja problema.

Sada analiziramo jednačine, trebamo izraziti neku varijablu kroz ostatak. Koju jednačinu odabrati? Verovatno ste već pogodili da je najlakši način za ovu svrhu uzeti prvu jednačinu sistema:

Ovdje nije važno koju varijablu izraziti, može se isto tako izraziti ili .

Zatim zamjenjujemo izraz za u drugu i treću jednačinu sistema:

Otvorite zagrade i dodajte slične pojmove:

Treću jednačinu dijelimo sa 2:

Iz druge jednačine izražavamo i zamjenjujemo u treću jednačinu:

Gotovo sve je spremno, iz treće jednačine nalazimo:
Iz druge jednačine:
Iz prve jednadžbe:

Provjera: Zamijenite pronađene vrijednosti varijabli na lijevoj strani svake jednačine sistema:

1)
2)
3)

Dobivaju se odgovarajuće desne strane jednadžbi, tako da je rješenje pronađeno ispravno.

Primjer 3

Riješiti sistem linearnih jednačina sa 4 nepoznate

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Rješenje sistema sabiranjem (oduzimanjem) jednačina sistema po članu

Prilikom rješavanja sistema linearnih jednačina treba pokušati koristiti ne „školsku metodu“, već metodu sabiranja (oduzimanja) jednačina sistema po članu. Zašto? Ovo štedi vrijeme i pojednostavljuje proračune, međutim, sada će to postati jasnije.

Primjer 4

Riješite sistem linearnih jednačina:

Uzeo sam isti sistem kao i prvi primjer.
Analizirajući sistem jednačina, uočavamo da su koeficijenti varijable identični po apsolutnoj vrijednosti i suprotni po predznaku (–1 i 1). U ovoj situaciji, jednačine se mogu dodavati pojam po član:

Radnje zaokružene crvenom bojom se izvode MENTALNO.
Kao što vidite, kao rezultat zbrajanja termina, izgubili smo varijablu . Ovo, u stvari, jeste Suština metode je da se riješi jedne od varijabli.