ศาสตร์แห่งความสัมพันธ์เชิงปริมาณของโลกแห่งความเป็นจริง คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์แห่งความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ของโลกแห่งความเป็นจริง คาบคณิตศาสตร์ของตัวแปร

คุณสมบัติในอุดมคติของวัตถุที่กำลังศึกษาอยู่ในสูตรเป็นสัจพจน์หรือระบุไว้ในคำจำกัดความของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง จากนั้นตามกฎที่เข้มงวดของการอนุมานเชิงตรรกะ คุณสมบัติที่แท้จริงอื่น ๆ (ทฤษฎีบท) จะถูกอนุมานจากคุณสมบัติเหล่านี้ ทฤษฎีนี้ร่วมกันสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุที่กำลังศึกษาอยู่ ดังนั้นในขั้นต้นการดำเนินการจากความสัมพันธ์เชิงพื้นที่และเชิงปริมาณคณิตศาสตร์ได้รับความสัมพันธ์ที่เป็นนามธรรมมากขึ้นการศึกษาซึ่งเป็นเรื่องของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ด้วย

ตามเนื้อผ้า คณิตศาสตร์แบ่งออกเป็นทฤษฎี ซึ่งทำการวิเคราะห์เชิงลึกของโครงสร้างภายในคณิตศาสตร์ และประยุกต์ ซึ่งให้แบบจำลองกับวิทยาศาสตร์และสาขาวิชาวิศวกรรมอื่น ๆ และบางส่วนของพวกเขาครองตำแหน่งที่ติดกับคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตรรกะที่เป็นทางการถือได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์ปรัชญาและเป็นส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ กลศาสตร์ - ทั้งฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ และอัลกอริธึมหมายถึงทั้งวิศวกรรมศาสตร์และวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ เป็นต้น มีการเสนอคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมากมายในวรรณคดี

นิรุกติศาสตร์

คำว่า "คณิตศาสตร์" มาจากภาษากรีกอื่นๆ μάθημα ซึ่งหมายถึง การศึกษาของ, ความรู้, วิทยาศาสตร์, ฯลฯ - กรีก. μαθηματικός ความหมายเดิม เปิดรับ อุดมสมบูรณ์, ภายหลัง เรียนได้, ต่อมา เกี่ยวกับคณิตศาสตร์. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, μαθηματικὴ τέχνη , ในภาษาละติน ars คณิตศาสตร์, วิธี ศิลปะแห่งคณิตศาสตร์. ศัพท์ภาษากรีกอื่น ๆ μᾰθημᾰτικά ในความหมายสมัยใหม่ของคำว่า "คณิตศาสตร์" มีอยู่แล้วในงานเขียนของอริสโตเติล (ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช) ตามคำกล่าวของฟาสเมอร์ คำนี้มาจากภาษารัสเซียไม่ว่าจะผ่านทางภาษาโปแลนด์ matematyka หรือผ่าน lat. คณิตศาสตร์

คำจำกัดความ

Descartes หนึ่งในคำจำกัดความแรกของวิชาคณิตศาสตร์คือ

สาขาวิชาคณิตศาสตร์รวมเฉพาะศาสตร์ที่มีการพิจารณาลำดับหรือการวัด และไม่สำคัญว่าจะเป็นตัวเลข ตัวเลข ดาว เสียง หรือสิ่งอื่นใดที่ต้องการวัดนี้ ดังนั้น จะต้องมีวิทยาศาสตร์ทั่วไปบางอย่างที่อธิบายทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับและการวัด โดยไม่ต้องเข้าสู่การศึกษาวิชาใดวิชาหนึ่งโดยเฉพาะ และวิทยาศาสตร์นี้จะต้องไม่ถูกเรียกโดยชาวต่างชาติ แต่โดยชื่อสามัญทั่วไปของคณิตศาสตร์ทั่วไป

สาระสำคัญของคณิตศาสตร์ ... ถูกนำเสนอเป็นหลักคำสอนของความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุซึ่งไม่มีอะไรเป็นที่รู้จักยกเว้นคุณสมบัติบางอย่างที่อธิบายพวกเขา - อย่างแม่นยำเหล่านั้นที่วางเป็นสัจพจน์ที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎี ... คณิตศาสตร์คือ ชุดของรูปแบบนามธรรม - โครงสร้างทางคณิตศาสตร์

สาขาวิชาคณิตศาสตร์

1. คณิตศาสตร์เป็น วินัยทางวิชาการ

สัญกรณ์

เนื่องจากคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับโครงสร้างที่หลากหลายและค่อนข้างซับซ้อน สัญกรณ์ของคณิตศาสตร์จึงซับซ้อนมาก ระบบการเขียนสูตรสมัยใหม่ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของประเพณีเกี่ยวกับพีชคณิตของยุโรปรวมถึงความต้องการของสาขาคณิตศาสตร์ในภายหลัง - การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ตรรกะทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีเซต ฯลฯ เรขาคณิตจากกาลเวลาได้ใช้ภาพ (เรขาคณิต) ) การเป็นตัวแทน ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ระบบสัญกรณ์กราฟิกที่ซับซ้อน (เช่น ไดอะแกรมสับเปลี่ยน) ก็เป็นเรื่องธรรมดาเช่นกัน และมักใช้สัญกรณ์ที่ยึดตามกราฟ

เรื่องสั้น

ปรัชญาคณิตศาสตร์

เป้าหมายและวิธีการ

ช่องว่าง R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), ที่ n > 3 (\displaystyle n>3)เป็นการประดิษฐ์ทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม เป็นสิ่งประดิษฐ์ที่แยบยลมากที่ช่วยให้เข้าใจปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนทางคณิตศาสตร์».

ฐานราก

สัญชาตญาณ

คณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์

ชี้แจง

หัวข้อหลัก

ปริมาณ

ส่วนหลักที่เกี่ยวข้องกับนามธรรมของปริมาณคือพีชคณิต แนวคิดของ "ตัวเลข" มีต้นกำเนิดมาจากการแทนค่าทางคณิตศาสตร์และอ้างอิงถึงตัวเลขธรรมชาติ ต่อมา ด้วยความช่วยเหลือของพีชคณิต มันค่อยๆ ขยายเป็นจำนวนเต็ม ตรรกยะ จริง เชิงซ้อน และตัวเลขอื่นๆ

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) สรุปตัวเลข 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) ตัวเลขจริง − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , ผม , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\จุด ) ตัวเลขที่ซับซ้อน ควอเทอร์เนียนส์

การแปลงร่าง

ปรากฏการณ์ของการเปลี่ยนแปลงและการเปลี่ยนแปลงได้รับการพิจารณาในรูปแบบทั่วไปมากที่สุดโดยการวิเคราะห์

โครงสร้าง

ความสัมพันธ์เชิงพื้นที่

เรขาคณิตพิจารณาพื้นฐานของความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติพิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ การศึกษาวัตถุเรขาคณิตผ่านการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ คุณสมบัติของช่องว่างที่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนรูปอย่างต่อเนื่องและปรากฏการณ์ของความต่อเนื่องนั้นศึกษาโดยโทโพโลยี

คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

คณิตศาสตร์มีมานานแล้ว มนุษย์เก็บผลไม้ ขุดผลไม้ ตกปลา และเก็บไว้ทั้งหมดสำหรับฤดูหนาว เพื่อให้เข้าใจถึงปริมาณอาหารที่ถูกเก็บไว้ บุคคลผู้คิดค้นบัญชี นี่คือวิธีที่คณิตศาสตร์เริ่มต้นขึ้น

จากนั้นชายคนนั้นก็เริ่มทำการเกษตร จำเป็นต้องวัดแปลงที่ดิน, สร้างบ้านเรือน, วัดเวลา.

นั่นคือมันเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับบุคคลที่จะใช้อัตราส่วนเชิงปริมาณของโลกแห่งความเป็นจริง กำหนดจำนวนพืชผลที่เก็บเกี่ยวได้ ขนาดของแปลงอาคารคือเท่าใด หรือพื้นที่ท้องฟ้าใหญ่แค่ไหนที่มีดาวสว่างจำนวนหนึ่ง

นอกจากนี้บุคคลเริ่มกำหนดรูปแบบ: ดวงอาทิตย์เป็นทรงกลม, กล่องเป็นสี่เหลี่ยม, ทะเลสาบเป็นวงรี, และวัตถุเหล่านี้ตั้งอยู่ในอวกาศอย่างไร นั่นคือบุคคลเริ่มสนใจรูปแบบเชิงพื้นที่ของโลกแห่งความเป็นจริง

ดังนั้นแนวคิด คณิตศาสตร์สามารถกำหนดได้ว่าเป็นศาสตร์แห่งความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ของโลกแห่งความเป็นจริง

ปัจจุบันไม่มีอาชีพใดที่สามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ได้รับฉายาว่า "ราชาแห่งคณิตศาสตร์" เคยกล่าวไว้ว่า:

"คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์เป็นราชินีของคณิตศาสตร์"

คำว่า "เลขคณิต" มาจากคำภาษากรีก "arithmos" - "number"

ดังนั้น, เลขคณิตเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาตัวเลขและการดำเนินการกับตัวเลข

ในโรงเรียนประถม อย่างแรกเลย พวกเขาเรียนเลขคณิต

วิทยาศาสตร์นี้มีการพัฒนาอย่างไร เรามาสำรวจประเด็นนี้กัน

ช่วงเวลาของการเกิดของคณิตศาสตร์

ช่วงเวลาหลักของการสะสมความรู้ทางคณิตศาสตร์ถือเป็นช่วงเวลาก่อนศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช

คนแรกที่เริ่มพิสูจน์ตำแหน่งทางคณิตศาสตร์คือนักคิดชาวกรีกโบราณที่อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาล สันนิษฐานว่า 625-545 ปราชญ์ท่านนี้เดินทางไปทั่วประเทศทางตะวันออก ประเพณีกล่าวว่าเขาศึกษากับนักบวชชาวอียิปต์และชาวเคลเดียชาวบาบิโลน

Thales of Miletus นำแนวคิดแรกของเรขาคณิตเบื้องต้นจากอียิปต์มายังกรีซ: เส้นผ่านศูนย์กลางคืออะไร อะไรกำหนดสามเหลี่ยม และอื่นๆ เขาทำนายสุริยุปราคา ออกแบบโครงสร้างทางวิศวกรรม

ในช่วงเวลานี้ เลขคณิตจะค่อยๆ พัฒนาขึ้น ดาราศาสตร์และเรขาคณิตจะพัฒนาขึ้น พีชคณิตและตรีโกณมิติเกิดขึ้น

วิชาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา

ช่วงเวลานี้เริ่มต้นด้วย VI BC ตอนนี้คณิตศาสตร์กำลังกลายเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีทฤษฎีและการพิสูจน์ ทฤษฎีจำนวนปรากฏ หลักคำสอนของปริมาณ ของการวัด

นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในยุคนี้คือยุคลิด เขาอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ชายคนนี้เป็นผู้เขียนบทความเชิงทฤษฎีเรื่องแรกเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ลงมาหาเรา

ในงานของ Euclid มีการให้รากฐานของสิ่งที่เรียกว่าเรขาคณิตแบบยุคลิด ซึ่งเป็นสัจพจน์ที่อยู่บนแนวคิดพื้นฐาน เช่น

ในช่วงเวลาของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ทฤษฎีของตัวเลขถือกำเนิดขึ้น เช่นเดียวกับหลักคำสอนเรื่องปริมาณและการวัดปริมาณ เป็นครั้งแรกที่ตัวเลขติดลบและไม่ลงตัวปรากฏขึ้น

ในตอนท้ายของช่วงเวลานี้จะสังเกตเห็นการสร้างพีชคณิตเป็นแคลคูลัสตามตัวอักษร ศาสตร์แห่ง "พีชคณิต" ปรากฏในหมู่ชาวอาหรับว่าเป็นศาสตร์แห่งการแก้สมการ คำว่า "พีชคณิต" ในภาษาอาหรับหมายถึง "การฟื้นตัว" นั่นคือการถ่ายโอนค่าลบไปยังส่วนอื่นของสมการ

คาบคณิตศาสตร์ของตัวแปร

ผู้ก่อตั้งยุคนี้คือ Rene Descartes ซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 17 ในงานเขียนของเขา Descartes ได้แนะนำแนวคิดของตัวแปรเป็นครั้งแรก

ด้วยเหตุนี้นักวิทยาศาสตร์จึงเปลี่ยนจากการศึกษาปริมาณคงที่ไปสู่การศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรและคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่

ฟรีดริช เองเงิลส์ระบุถึงช่วงเวลานี้อย่างชัดเจนที่สุดในงานเขียนของเขา เขาเขียนว่า:

“จุดเปลี่ยนในวิชาคณิตศาสตร์คือตัวแปรคาร์ทีเซียน ด้วยเหตุนี้การเคลื่อนไหวและวิภาษวิธีจึงเข้าสู่วิชาคณิตศาสตร์ และด้วยเหตุนี้ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์จึงมีความจำเป็นในทันที ซึ่งเกิดขึ้นทันที และเสร็จสมบูรณ์โดยส่วนใหญ่ และไม่ได้ถูกคิดค้นโดยนิวตันและไลบนิซ

ยุคคณิตศาสตร์สมัยใหม่

ในช่วงทศวรรษที่ 20 ของศตวรรษที่ 19 นิโคไล อิวาโนวิช โลบาชอฟสกี ได้กลายเป็นผู้ก่อตั้งสิ่งที่เรียกว่าเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

จากช่วงเวลานี้เริ่มการพัฒนาส่วนที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เช่น ทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีเซต สถิติทางคณิตศาสตร์ เป็นต้น

การค้นพบและการศึกษาเหล่านี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านวิทยาศาสตร์ต่างๆ

และในปัจจุบัน วิทยาศาสตร์ของคณิตศาสตร์กำลังพัฒนาอย่างรวดเร็ว วิชาคณิตศาสตร์กำลังขยายตัว รวมถึงรูปแบบและความสัมพันธ์ใหม่ ทฤษฎีบทใหม่กำลังได้รับการพิสูจน์ และแนวคิดพื้นฐานนั้นลึกซึ้งยิ่งขึ้น

คุณสมบัติในอุดมคติของวัตถุที่กำลังศึกษาอยู่ในสูตรเป็นสัจพจน์หรือระบุไว้ในคำจำกัดความของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง จากนั้นตามกฎที่เข้มงวดของการอนุมานเชิงตรรกะ คุณสมบัติที่แท้จริงอื่น ๆ (ทฤษฎีบท) จะถูกอนุมานจากคุณสมบัติเหล่านี้ ทฤษฎีนี้ร่วมกันสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุที่กำลังศึกษาอยู่ ดังนั้นในขั้นต้นการดำเนินการจากความสัมพันธ์เชิงพื้นที่และเชิงปริมาณคณิตศาสตร์ได้รับความสัมพันธ์ที่เป็นนามธรรมมากขึ้นการศึกษาซึ่งเป็นเรื่องของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ด้วย

ตามเนื้อผ้า คณิตศาสตร์แบ่งออกเป็นทฤษฎี ซึ่งทำการวิเคราะห์เชิงลึกของโครงสร้างภายในคณิตศาสตร์ และประยุกต์ ซึ่งให้แบบจำลองกับวิทยาศาสตร์และสาขาวิชาวิศวกรรมอื่น ๆ และบางส่วนของพวกเขาครองตำแหน่งที่ติดกับคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตรรกะที่เป็นทางการถือได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์ปรัชญาและเป็นส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ กลศาสตร์ - ทั้งฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ และอัลกอริธึมหมายถึงทั้งวิศวกรรมศาสตร์และคณิตศาสตร์ เป็นต้น มีการเสนอคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมากมายในวรรณกรรม (ดู)

นิรุกติศาสตร์

คำว่า "คณิตศาสตร์" มาจากภาษากรีกอื่นๆ μάθημα ( คณิตศาสตร์), ซึ่งหมายความว่า การศึกษาของ, ความรู้, วิทยาศาสตร์, ฯลฯ - กรีก. μαθηματικός ( คณิตศาสตร์) ความหมายเดิม เปิดรับ อุดมสมบูรณ์, ภายหลัง เรียนได้, ต่อมา เกี่ยวกับคณิตศาสตร์. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, μαθηματικὴ τέχνη (คณิตศาสตร์ tékhnē) ในภาษาละติน ars คณิตศาสตร์, วิธี ศิลปะแห่งคณิตศาสตร์.

คำจำกัดความ

สาขาวิชาคณิตศาสตร์รวมเฉพาะศาสตร์ที่มีการพิจารณาลำดับหรือการวัด และไม่สำคัญว่าจะเป็นตัวเลข ตัวเลข ดาว เสียง หรือสิ่งอื่นใดที่ต้องการวัดนี้ ดังนั้น จะต้องมีวิทยาศาสตร์ทั่วไปบางอย่างที่อธิบายทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับและการวัด โดยไม่ต้องเข้าสู่การศึกษาวิชาใดวิชาหนึ่งโดยเฉพาะ และวิทยาศาสตร์นี้จะต้องไม่ถูกเรียกโดยชาวต่างชาติ แต่โดยชื่อสามัญทั่วไปของคณิตศาสตร์ทั่วไป

ในสมัยโซเวียตคำจำกัดความจาก TSB ที่ A. N. Kolmogorov ให้ไว้ถือเป็นแบบคลาสสิก:

คณิตศาสตร์ ... ศาสตร์แห่งความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ของโลกแห่งความเป็นจริง

สาระสำคัญของคณิตศาสตร์ ... ถูกนำเสนอเป็นหลักคำสอนของความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุซึ่งไม่มีอะไรเป็นที่รู้จักยกเว้นคุณสมบัติบางอย่างที่อธิบายพวกเขา - อย่างแม่นยำเหล่านั้นที่วางเป็นสัจพจน์ที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎี ... คณิตศาสตร์คือ ชุดของรูปแบบนามธรรม - โครงสร้างทางคณิตศาสตร์

ต่อไปนี้เป็นคำจำกัดความที่ทันสมัยกว่า

คณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีสมัยใหม่ ("บริสุทธิ์") เป็นศาสตร์ของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ของระบบและกระบวนการต่างๆ

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ให้ความสามารถในการคำนวณแบบจำลองที่สามารถย่อให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน (บัญญัติ) ศาสตร์แห่งการหาคำตอบของแบบจำลองการวิเคราะห์ (การวิเคราะห์) โดยการแปลงรูปแบบที่เป็นทางการ

สาขาวิชาคณิตศาสตร์

1. คณิตศาสตร์เป็น วินัยทางวิชาการถูกแบ่งย่อยในสหพันธรัฐรัสเซียเป็นคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาที่ศึกษาในโรงเรียนมัธยมศึกษาและเกิดขึ้นจากสาขาวิชาต่อไปนี้:

• เรขาคณิตเบื้องต้น: planimetry และ stereometry
• ทฤษฎีฟังก์ชันเบื้องต้นและองค์ประกอบของการวิเคราะห์

4. American Mathematical Society (AMS) ได้พัฒนามาตรฐานของตนเองในการจำแนกสาขาวิชาคณิตศาสตร์ เรียกว่า การจำแนกวิชาคณิตศาสตร์ มาตรฐานนี้มีการปรับปรุงเป็นระยะ เวอร์ชันปัจจุบันคือ MSC 2010 เวอร์ชันก่อนหน้าคือ MSC 2000

สัญกรณ์

เนื่องจากคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับโครงสร้างที่ค่อนข้างหลากหลายและค่อนข้างซับซ้อน สัญกรณ์จึงซับซ้อนมาก ระบบการเขียนสูตรสมัยใหม่ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของประเพณีเกี่ยวกับพีชคณิตของยุโรปรวมถึงการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (แนวคิดของฟังก์ชันอนุพันธ์ ฯลฯ ) ตั้งแต่สมัยโบราณ เรขาคณิตได้ใช้การแสดงภาพ (เรขาคณิต) ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ระบบสัญกรณ์กราฟิกที่ซับซ้อน (เช่น ไดอะแกรมสับเปลี่ยน) ก็เป็นเรื่องธรรมดาเช่นกัน และมักใช้สัญกรณ์ที่ยึดตามกราฟ

เรื่องสั้น

การพัฒนาคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับการเขียนและความสามารถในการเขียนตัวเลข อาจเป็นไปได้ว่าคนโบราณแสดงปริมาณโดยวาดเส้นบนพื้นหรือเกาบนไม้ ชาวอินคาโบราณไม่มีระบบการเขียนอื่นใด นำเสนอและจัดเก็บข้อมูลตัวเลขโดยใช้ระบบที่ซับซ้อนของปมเชือก ที่เรียกว่าคีปู มีระบบตัวเลขที่แตกต่างกันมากมาย บันทึกตัวเลขที่รู้จักครั้งแรกพบใน Ahmes Papyrus ซึ่งสร้างขึ้นโดยชาวอียิปต์ในอาณาจักรกลาง อารยธรรมอินเดียได้พัฒนาระบบเลขฐานสิบสมัยใหม่โดยผสมผสานแนวคิดเรื่องศูนย์

ในอดีต สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่สำคัญเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของความจำเป็นในการคำนวณในด้านการค้า ในการวัดที่ดิน และสำหรับการทำนายปรากฏการณ์ทางดาราศาสตร์ และสำหรับการแก้ปัญหาทางกายภาพใหม่ๆ ในภายหลัง แต่ละพื้นที่เหล่านี้มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์ในวงกว้าง ซึ่งประกอบด้วยการศึกษาโครงสร้าง ช่องว่าง และการเปลี่ยนแปลง

ปรัชญาคณิตศาสตร์

เป้าหมายและวิธีการ

คณิตศาสตร์ศึกษาเรื่องจินตภาพ วัตถุในอุดมคติ และความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุทั้งสองโดยใช้ภาษาที่เป็นทางการ โดยทั่วไป แนวคิดและทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับสิ่งใดในโลกทางกายภาพ งานหลักของสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์คือการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอสำหรับวัตถุจริงที่กำลังศึกษาอยู่ งานของนักคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีคือการจัดเตรียมชุดวิธีที่สะดวกเพียงพอเพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้

เนื้อหาของคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นระบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และเครื่องมือสำหรับการสร้างของพวกเขา โมเดลวัตถุไม่ได้คำนึงถึงคุณลักษณะทั้งหมด แต่เฉพาะที่จำเป็นที่สุดสำหรับวัตถุประสงค์ของการศึกษาเท่านั้น (ในอุดมคติ) ตัวอย่างเช่น เมื่อศึกษาคุณสมบัติทางกายภาพของส้ม เราสามารถแยกแยะจากสีและรสชาติของส้ม และแสดงมันออกมาเป็นลูกบอล หากเราต้องเข้าใจว่าเราจะได้ส้มกี่ผล หากเราบวกสองและสามเข้าด้วยกัน เราก็สามารถแยกส่วนออกจากแบบฟอร์มได้ โดยปล่อยให้แบบจำลองมีลักษณะเฉพาะ - ปริมาณเท่านั้น นามธรรมและการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุในรูปแบบทั่วไปมากที่สุดเป็นหนึ่งในพื้นที่หลักของความคิดสร้างสรรค์ทางคณิตศาสตร์

อีกทิศทางหนึ่งพร้อมกับสิ่งที่เป็นนามธรรมก็คือการวางนัยทั่วไป ตัวอย่างเช่น การวางแนวความคิดของ "สเปซ" ให้เป็นสเปซของมิติ n " พื้นที่ที่เป็นนิยายคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม เป็นสิ่งประดิษฐ์ที่แยบยลมากที่ช่วยให้เข้าใจปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนทางคณิตศาสตร์».

ตามกฎแล้วการศึกษาวัตถุภายในร่างกายเกิดขึ้นโดยใช้วิธีสัจพจน์: ขั้นแรกรายการแนวคิดพื้นฐานและสัจพจน์ถูกกำหนดขึ้นสำหรับวัตถุที่อยู่ระหว่างการศึกษาและจากนั้นจะได้ทฤษฎีบทที่มีความหมายจากสัจพจน์โดยใช้กฎการอนุมานซึ่งรวมกันเป็น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ฐานราก

คำถามเกี่ยวกับสาระสำคัญและพื้นฐานของคณิตศาสตร์ได้รับการกล่าวถึงตั้งแต่สมัยของเพลโต ตั้งแต่ศตวรรษที่ 20 มีข้อตกลงเปรียบเทียบกันในสิ่งที่ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด แต่ไม่มีข้อตกลงใด ๆ กับสิ่งที่ถือว่าเป็นความจริงในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่งนี้ทำให้เกิดความขัดแย้งทั้งในคำถามเกี่ยวกับสัจพจน์และการเชื่อมโยงกันของสาขาคณิตศาสตร์ และในการเลือกระบบตรรกะที่ควรใช้ในการพิสูจน์

นอกเหนือจากความสงสัยแล้วยังมีแนวทางต่อไปนี้สำหรับปัญหานี้

วิธีการตั้งทฤษฎี

เสนอให้พิจารณาวัตถุทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดภายในกรอบของทฤษฎีเซต ส่วนใหญ่มักใช้กับสัจพจน์ของ Zermelo-Fraenkel (แม้ว่าจะมีอีกหลายอย่างที่เทียบเท่ากันก็ตาม) วิธีนี้ได้รับการพิจารณาว่ามีความโดดเด่นตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 20 อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริง งานคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่ได้ตั้งตัวเองเป็นงานแปลข้อความเป็นภาษาของทฤษฎีเซตอย่างเคร่งครัด แต่ดำเนินการด้วยแนวคิดและข้อเท็จจริงที่กำหนดขึ้นในบางพื้นที่ ของคณิตศาสตร์ ดังนั้น หากพบความขัดแย้งในทฤษฎีเซต สิ่งนี้จะไม่ทำให้ผลลัพธ์ส่วนใหญ่เป็นโมฆะ

ตรรกะ

วิธีการนี้ถือว่าการพิมพ์วัตถุทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวด ความขัดแย้งมากมายที่หลีกเลี่ยงในทฤษฎีเซตโดยกลอุบายพิเศษเท่านั้นกลับกลายเป็นว่าเป็นไปไม่ได้ในหลักการ

พิธีการ

แนวทางนี้เกี่ยวข้องกับการศึกษาระบบที่เป็นทางการตามตรรกะแบบคลาสสิก

สัญชาตญาณ

การหยั่งรู้สัญชาตญาณสันนิษฐานว่าพื้นฐานของคณิตศาสตร์เป็นตรรกะของสัญชาตญาณที่มีข้อ จำกัด มากขึ้นในวิธีการพิสูจน์ (แต่เชื่อกันว่าน่าเชื่อถือกว่าด้วย) สัญชาตญาณปฏิเสธการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง การพิสูจน์ที่ไม่เชิงสร้างสรรค์จำนวนมากกลายเป็นสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ และปัญหามากมายของทฤษฎีเซตกลายเป็นเรื่องที่ไม่มีความหมาย

คณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์

คณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์เป็นแนวโน้มทางคณิตศาสตร์ที่ใกล้เคียงกับสัญชาตญาณที่ศึกษาโครงสร้างเชิงสร้างสรรค์ [ ชี้แจง] . ตามเกณฑ์ความสามารถในการก่อสร้าง - " มีอยู่หมายถึงถูกสร้างขึ้น". เกณฑ์การสร้างสรรค์เป็นข้อกำหนดที่เข้มงวดกว่าเกณฑ์ความสอดคล้อง

หัวข้อหลัก

ตัวเลข

แนวคิดของ "จำนวน" เดิมเรียกว่าจำนวนธรรมชาติ ต่อมาค่อยขยายเป็นจำนวนเต็ม ตรรกยะ จริง เชิงซ้อน และจำนวนอื่นๆ

จำนวนทั้งหมด สรุปตัวเลข ตัวเลขจริง ตัวเลขที่ซับซ้อน ควอเทอร์เนียนส์

ระบบตัวเลข
นับ ชุด	ตัวเลขธรรมชาติ () จำนวนเต็ม () เหตุผล () พีชคณิต () งวด เลขคณิตที่คำนวณได้
ตัวเลขจริง และนามสกุลของพวกเขา	จริง () คอมเพล็กซ์ () ควอเทอร์เนียน () ตัวเลขเคย์ลีย์ (อ็อกเทฟ, ออคโทเนียน) () เซเดนเนียน () ทางเลือกอื่น Cayley-Dixon ขั้นตอน Dual Hypercomplex Superreal Hyperreal หมายเลขเซอร์เรียล ( ภาษาอังกฤษ)
อื่น ระบบตัวเลข	เลขคาร์ดินัล เลขลำดับ (ทรานฟินิท, ลำดับ) p-adic เลขเหนือธรรมชาติ
ดูสิ่งนี้ด้วย	เลขคู่ เลขอตรรกยะ เลขเหนือธรรมชาติ ray Biquaternion

การแปลงร่าง

คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง

รหัสในระบบการจำแนกความรู้

บริการออนไลน์

มีไซต์จำนวนมากที่ให้บริการสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ส่วนใหญ่เป็นภาษาอังกฤษ ในบรรดาผู้ที่พูดภาษารัสเซียสามารถสังเกตบริการการสืบค้นทางคณิตศาสตร์ของเครื่องมือค้นหา Nigma ได้

ดูสิ่งนี้ด้วย

ความนิยมของวิทยาศาสตร์

หมายเหตุ

1. สารานุกรมบริแทนนิกา
2. พจนานุกรมออนไลน์ของเว็บสเตอร์
3. บทที่ 2 คณิตศาสตร์เป็นภาษาของวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเปิดไซบีเรีย. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 2 กุมภาพันธ์ 2555 สืบค้นเมื่อ 5 ตุลาคม 2553
4. พจนานุกรมกรีกโบราณขนาดใหญ่ (αω)
5. พจนานุกรมภาษารัสเซียของศตวรรษที่ XI-XVII ฉบับที่ 9 / Ch. เอ็ด เอฟ.พี.ฟิลิน. - ม.: เนาคา, 2525. - ส. 41.
6. เดส์การต อาร์กฎเกณฑ์เพื่อนำทางจิตใจ M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
7. ดู: คณิตศาสตร์ TSB
8. มาร์กซ์ เค., เองเงิลส์ เอฟ.ผลงาน. ฉบับที่ 2 ต. 20. ส. 37.
9. บูร์บากิ เอ็น.สถาปัตยกรรมของคณิตศาสตร์ บทความเกี่ยวกับประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ / แปลโดย I. G. Bashmakova, ed. K.A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
10. Kaziev V. M.คณิตศาสตร์เบื้องต้น
11. มุกขิ่น โอ.ไอ.การสอนระบบการสร้างแบบจำลอง ระดับการใช้งาน: RCI PSTU
12. เฮอร์แมน ไวล์ // คลีน เอ็ม. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
13. มาตราฐานการศึกษาระดับอุดมศึกษาของวิชาชีพชั้นสูง พิเศษ 01.01.00 น. "คณิตศาสตร์". คุณสมบัติ - นักคณิตศาสตร์. มอสโก, 2000 (รวบรวมภายใต้การแนะนำของ O. B. Lupanov)
14. ศัพท์เฉพาะของคนงานวิทยาศาสตร์ได้รับการอนุมัติโดยคำสั่งของกระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของรัสเซียลงวันที่ 25 กุมภาพันธ์ 2552 ฉบับที่ 59
15. UDC 51 คณิตศาสตร์
16. ยา S. Bugrov, S. M. Nikolsky องค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์ ม.: เนาคา, 1988. ส. 44.
17. เอ็น.ไอ.คอนดาคอฟ หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมตรรกะ M.: Nauka, 1975. S. 259.
18. จี ไอ รูซาวิน เกี่ยวกับธรรมชาติของความรู้ทางคณิตศาสตร์ ม.: 2511.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. ตัวอย่างเช่น: http://mathworld.wolfram.com

วรรณกรรม

สารานุกรม

• // พจนานุกรมสารานุกรมของ Brockhaus และ Efron: ใน 86 เล่ม (82 เล่มและ 4 เพิ่มเติม) - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก. , พ.ศ. 2433-2450.
• สารานุกรมคณิตศาสตร์ (ใน 5 เล่ม), 1980 // การอ้างอิงทางคณิตศาสตร์ทั่วไปและพิเศษใน EqWorld
• คอนดาคอฟ N.I.หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมตรรกะ มอสโก: เนาก้า, 1975.
• สารานุกรมคณิตศาสตร์และการประยุกต์ (ภาษาเยอรมัน) พ.ศ. 2442-2477 (การทบทวนวรรณกรรมศตวรรษที่ 19 ที่ใหญ่ที่สุด)

หนังสืออ้างอิง

• ก. กร, ต. กร.คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร ม., 1973

หนังสือ

• คลีน เอ็มคณิตศาสตร์. เสียความมั่นใจ. - ม.: มีร์, 1984.
• คลีน เอ็มคณิตศาสตร์. การค้นหาความจริง ม.: มีร์, 1988.
• ไคลน์ เอฟคณิตศาสตร์เบื้องต้นจากมุมมองที่สูงขึ้น

• เล่มที่ 1 เลขคณิต. พีชคณิต. วิเคราะห์ M.: Nauka, 1987. 432 น.
• เล่มที่สอง เรขาคณิต ม.: เนาคา, 2530. 416 น.

• อาร์. คูแรนต์, จี. ร็อบบินส์.คณิตศาสตร์คืออะไร? ฉบับที่ 3, ฉบับที่. และเพิ่มเติม - ม.: 2544 568 น.
• Pisarevsky B. M. , Kharin V. T.เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ และไม่เพียงเท่านั้น - ม.: บินอม. ห้องปฏิบัติการความรู้, 2555. - 302 น.
• พอยน์แคร์ เอวิทยาศาสตร์และวิธีการ (rus.) (fr.)

คณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด การให้คำจำกัดความสั้น ๆ ของคณิตศาสตร์ไม่ใช่เรื่องง่ายเลย เนื้อหาจะแตกต่างกันอย่างมากขึ้นอยู่กับระดับการศึกษาคณิตศาสตร์ของบุคคล นักเรียนชั้นประถมศึกษาที่เพิ่งเริ่มเรียนเลขคณิตจะบอกว่าคณิตศาสตร์กำลังศึกษากฎการนับวัตถุอยู่ และเขาจะพูดถูกเพราะเขาคุ้นเคยกับสิ่งนี้ในตอนแรก นักเรียนที่มีอายุมากกว่าจะเพิ่มสิ่งที่ได้รับการกล่าวว่าแนวคิดของคณิตศาสตร์รวมถึงพีชคณิตและการศึกษาวัตถุเรขาคณิต: เส้น, จุดตัดของพวกเขา, ตัวเลขเครื่องบิน, ร่างกายเรขาคณิต, การแปลงประเภทต่างๆ อย่างไรก็ตาม ผู้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลายจะรวมไว้ในคำจำกัดความของคณิตศาสตร์ด้วยการศึกษาฟังก์ชันและการดำเนินการที่ส่งผ่านไปยังขีดจำกัด ตลอดจนแนวคิดที่เกี่ยวข้องของอนุพันธ์และปริพันธ์ ผู้สำเร็จการศึกษาจากสถาบันการศึกษาด้านเทคนิคระดับสูงหรือแผนกวิทยาศาสตร์ธรรมชาติของมหาวิทยาลัยและสถาบันการศึกษาจะไม่พอใจกับคำจำกัดความของโรงเรียนอีกต่อไป เนื่องจากพวกเขารู้ว่าสาขาวิชาอื่นๆ เป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ด้วยเช่นกัน: ทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติทางคณิตศาสตร์ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ การเขียนโปรแกรม วิธีการคำนวณ เช่นเดียวกับการประยุกต์ใช้สาขาวิชาเหล่านี้เพื่อสร้างแบบจำลองกระบวนการผลิต การประมวลผลข้อมูลการทดลอง การส่งและการประมวลผลข้อมูล อย่างไรก็ตาม สิ่งที่ระบุไว้ไม่ได้ทำให้เนื้อหาของคณิตศาสตร์หมดลง ทฤษฎีเซต ตรรกะทางคณิตศาสตร์ การควบคุมที่เหมาะสม ทฤษฎีกระบวนการสุ่ม และอื่นๆ อีกมากมายรวมอยู่ในองค์ประกอบด้วย

ความพยายามที่จะกำหนดคณิตศาสตร์โดยการระบุสาขาที่เป็นส่วนประกอบทำให้เราหลงทางเพราะพวกเขาไม่ได้ให้แนวคิดว่าการศึกษาคณิตศาสตร์คืออะไรและความสัมพันธ์กับโลกรอบตัวเราเป็นอย่างไร. หากคำถามดังกล่าวถูกส่งไปยังนักฟิสิกส์ นักชีววิทยา หรือนักดาราศาสตร์ แต่ละคนก็จะให้คำตอบสั้น ๆ โดยไม่มีรายการส่วนประกอบที่ประกอบเป็นวิทยาศาสตร์ที่พวกเขาศึกษา คำตอบดังกล่าวจะบ่งบอกถึงปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่เธอค้นคว้า ตัวอย่างเช่น นักชีววิทยาจะบอกว่าชีววิทยาคือการศึกษาปรากฏการณ์ต่างๆ ของชีวิต แม้ว่าคำตอบนี้จะไม่สมบูรณ์ทั้งหมด เนื่องจากไม่ได้บอกว่าปรากฏการณ์ชีวิตและชีวิตคืออะไร อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความดังกล่าวจะให้แนวคิดที่สมบูรณ์พอสมควรเกี่ยวกับเนื้อหาของวิทยาศาสตร์ของชีววิทยาเองและระดับต่างๆ ของวิทยาศาสตร์นี้ . และคำจำกัดความนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงไปพร้อมกับการขยายความรู้ทางชีววิทยาของเรา

ไม่มีปรากฏการณ์ของธรรมชาติ เทคนิค หรือกระบวนการทางสังคมดังกล่าวที่จะเป็นหัวข้อของการศึกษาคณิตศาสตร์ แต่จะไม่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์ทางกายภาพ ชีวภาพ เคมี วิศวกรรม หรือทางสังคม สาขาวิชาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติแต่ละสาขา: ชีววิทยาและฟิสิกส์ เคมีและจิตวิทยา - ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติทางวัตถุของวิชา ลักษณะเฉพาะของพื้นที่ในโลกแห่งความเป็นจริงที่ศึกษา วัตถุหรือปรากฏการณ์นั้นสามารถศึกษาได้ด้วยวิธีการต่างๆ ซึ่งรวมถึงวิธีทางคณิตศาสตร์ด้วย แต่ด้วยการเปลี่ยนวิธีการ เรายังคงอยู่ภายในขอบเขตของระเบียบวินัยนี้ เนื่องจากเนื้อหาของวิทยาศาสตร์นี้เป็นหัวข้อจริง ไม่ใช่วิธีการวิจัย สำหรับคณิตศาสตร์ เนื้อหาสาระของการวิจัยไม่สำคัญอย่างยิ่ง วิธีประยุกต์มีความสำคัญ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถใช้ได้ทั้งในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบสั่นและเพื่อกำหนดความสูงของวัตถุที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ และปรากฏการณ์ใดในโลกแห่งความเป็นจริงที่สามารถตรวจสอบได้โดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์? ปรากฏการณ์เหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดโดยธรรมชาติทางวัตถุ แต่โดยคุณสมบัติเชิงโครงสร้างที่เป็นทางการเท่านั้น และเหนือสิ่งอื่นใดโดยความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ที่มีอยู่

ดังนั้น คณิตศาสตร์ไม่ได้ศึกษาวัตถุทางวัตถุ แต่ใช้วิธีการวิจัยและคุณสมบัติโครงสร้างของวัตถุที่ศึกษา ซึ่งอนุญาตให้ใช้การดำเนินการบางอย่างกับมันได้ (ผลรวม ความแตกต่าง ฯลฯ) อย่างไรก็ตาม ส่วนสำคัญของปัญหา แนวคิด และทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เป็นที่มาของปรากฏการณ์และกระบวนการที่แท้จริง ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีเลขคณิตและจำนวนเกิดขึ้นจากภารกิจหลักในทางปฏิบัติของการนับวัตถุ เรขาคณิตเบื้องต้นมีปัญหาที่มาที่เกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบระยะทาง การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขระนาบหรือปริมาตรของวัตถุเชิงพื้นที่ ทั้งหมดนี้จำเป็นต้องหา เนื่องจากจำเป็นต้องแจกจ่ายที่ดินระหว่างผู้ใช้ คำนวณขนาดของยุ้งฉางหรือปริมาตรของกำแพงดินระหว่างการก่อสร้างโครงสร้างป้องกัน

ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติที่ไม่เพียงแต่สามารถใช้ในการศึกษาปรากฏการณ์หรือกระบวนการหนึ่งๆ เท่านั้น แต่ยังสามารถใช้เพื่อศึกษาปรากฏการณ์อื่นๆ ด้วย ซึ่งลักษณะทางกายภาพของธรรมชาตินั้นแตกต่างไปจากที่เคยพิจารณาโดยพื้นฐานแล้ว ดังนั้นกฎของเลขคณิตจึงนำไปใช้ในปัญหาทางเศรษฐกิจและในประเด็นทางเทคนิคและในการแก้ปัญหาทางการเกษตรและในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ กฎของเลขคณิตได้รับการพัฒนามานับพันปีแล้ว แต่ยังคงคุณค่าในทางปฏิบัติไว้ตลอดไป เลขคณิตเป็นส่วนสำคัญของคณิตศาสตร์ ส่วนดั้งเดิมนั้นไม่อยู่ภายใต้การพัฒนาเชิงสร้างสรรค์ภายในกรอบของคณิตศาสตร์อีกต่อไป แต่จะพบและจะค้นหาแอปพลิเคชันใหม่ๆ มากมายต่อไป แอปพลิเคชันเหล่านี้อาจมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับมนุษยชาติ แต่จะไม่มีส่วนช่วยในการคำนวณทางคณิตศาสตร์อีกต่อไป

คณิตศาสตร์ในฐานะพลังสร้างสรรค์มีเป้าหมายในการพัฒนากฎทั่วไปซึ่งควรใช้ในกรณีพิเศษมากมาย ผู้สร้างกฎเหล่านี้สร้างสิ่งใหม่สร้าง ผู้ที่ใช้กฎสำเร็จรูปไม่ได้สร้างขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์อีกต่อไป แต่อาจสร้างค่านิยมใหม่ในด้านความรู้อื่น ๆ ด้วยความช่วยเหลือของกฎทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ในปัจจุบัน ข้อมูลจากการตีความภาพถ่ายดาวเทียม ตลอดจนข้อมูลเกี่ยวกับองค์ประกอบและอายุของหิน ความผิดปกติทางธรณีเคมีและธรณีฟิสิกส์ได้รับการประมวลผลโดยใช้คอมพิวเตอร์ ไม่ต้องสงสัยเลยว่าการใช้คอมพิวเตอร์ในการวิจัยทางธรณีวิทยาทำให้งานวิจัยนี้เป็นธรณีวิทยาอย่างไม่ต้องสงสัย หลักการทำงานของคอมพิวเตอร์และซอฟต์แวร์ได้รับการพัฒนาโดยไม่คำนึงถึงความเป็นไปได้ในการใช้งานเพื่อประโยชน์ของวิทยาศาสตร์ทางธรณีวิทยา ความเป็นไปได้นี้ถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าคุณสมบัติโครงสร้างของข้อมูลทางธรณีวิทยาเป็นไปตามตรรกะของโปรแกรมคอมพิวเตอร์บางโปรแกรม

คำจำกัดความของคณิตศาสตร์สองข้อเป็นที่แพร่หลาย ผลงานชิ้นแรกนี้มอบให้โดย F. Engels ใน Anti-Dühring อีกชุดหนึ่งจัดทำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่รู้จักกันในชื่อ Nicolas Bourbaki ในบทความเรื่อง The Architecture of Mathematics (1948)

"คณิตศาสตร์บริสุทธิ์มีรูปแบบเชิงพื้นที่และความสัมพันธ์เชิงปริมาณของโลกแห่งความเป็นจริงเป็นวัตถุ" คำจำกัดความนี้ไม่เพียงแต่อธิบายวัตถุประสงค์ของการศึกษาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังระบุที่มาของมันด้วย - โลกแห่งความจริง อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้โดย F. Engels ส่วนใหญ่สะท้อนถึงสถานะของคณิตศาสตร์ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 และไม่คำนึงถึงพื้นที่ใหม่ที่ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับความสัมพันธ์เชิงปริมาณหรือรูปแบบทางเรขาคณิต ประการแรกคือ ตรรกะทางคณิตศาสตร์และสาขาวิชาที่เกี่ยวข้องกับการเขียนโปรแกรม ดังนั้นคำจำกัดความนี้จึงจำเป็นต้องมีการชี้แจง บางทีอาจกล่าวได้ว่าคณิตศาสตร์เป็นเป้าหมายของการศึกษารูปแบบเชิงพื้นที่ ความสัมพันธ์เชิงปริมาณ และโครงสร้างเชิงตรรกะ

Bourbaki โต้แย้งว่า "วัตถุทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวคือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่พูดอย่างถูกต้อง" กล่าวอีกนัยหนึ่ง คณิตศาสตร์ควรถูกกำหนดให้เป็นศาสตร์แห่งโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ คำจำกัดความนี้โดยพื้นฐานแล้วเป็นการพูดซ้ำซาก เพราะมันพูดเพียงสิ่งเดียวเท่านั้น: คณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับวัตถุที่ศึกษา ข้อบกพร่องอีกประการหนึ่งของคำจำกัดความนี้คือไม่ชี้แจงความสัมพันธ์ของคณิตศาสตร์กับโลกรอบตัวเรา นอกจากนี้ Bourbaki ยังเน้นย้ำว่าโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นโดยไม่ขึ้นกับโลกแห่งความจริงและปรากฏการณ์ของมัน นั่นคือเหตุผลที่ Bourbaki ถูกบังคับให้ประกาศว่า "ปัญหาหลักคือความสัมพันธ์ระหว่างโลกทดลองกับโลกทางคณิตศาสตร์ ว่ามีความสัมพันธ์ใกล้ชิดระหว่างปรากฏการณ์การทดลองกับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนจะได้รับการยืนยันในทางที่ไม่คาดฝันโดยสิ้นเชิงจากการค้นพบฟิสิกส์สมัยใหม่ แต่เราไม่รู้เหตุผลลึก ๆ ของเรื่องนี้โดยสิ้นเชิง ... และบางทีเราอาจจะไม่มีวันรู้เลย .

ข้อสรุปที่น่าผิดหวังดังกล่าวไม่สามารถเกิดขึ้นได้จากคำจำกัดความของ F. Engels เนื่องจากมีคำยืนยันอยู่แล้วว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์เป็นนามธรรมจากความสัมพันธ์และรูปแบบบางอย่างของโลกแห่งความเป็นจริง แนวคิดเหล่านี้นำมาจากโลกแห่งความเป็นจริงและเกี่ยวข้องกับมัน โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้จะอธิบายการใช้งานอันน่าทึ่งของผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์กับปรากฏการณ์ของโลกรอบตัวเรา และในขณะเดียวกัน ความสำเร็จของกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของความรู้

คณิตศาสตร์ไม่ใช่ข้อยกเว้นจากความรู้ทุกด้าน แต่ยังสร้างแนวคิดที่เกิดขึ้นจากสถานการณ์จริงและนามธรรมที่ตามมา จะช่วยให้สามารถศึกษาความเป็นจริงได้ประมาณ แต่ในขณะเดียวกัน ควรระลึกไว้เสมอว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้ศึกษาสิ่งต่าง ๆ ในโลกแห่งความเป็นจริง แต่เป็นแนวคิดเชิงนามธรรม และข้อสรุปเชิงตรรกะของมันนั้นเข้มงวดและแม่นยำอย่างยิ่ง ความใกล้ชิดของมันไม่ได้มีลักษณะภายใน แต่เกี่ยวข้องกับการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ นอกจากนี้เรายังทราบด้วยว่ากฎของคณิตศาสตร์ไม่มีการบังคับใช้อย่างสมบูรณ์พวกเขายังมีพื้นที่ จำกัด ในการใช้งานซึ่งพวกเขาปกครองสูงสุด ให้เราอธิบายความคิดที่แสดงออกมาด้วยตัวอย่าง: ปรากฎว่าสองและสองไม่เท่ากับสี่เสมอ เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อผสมแอลกอฮอล์ 2 ลิตรกับน้ำ 2 ลิตร จะได้ส่วนผสมน้อยกว่า 4 ลิตร ในส่วนผสมนี้ โมเลกุลจะถูกจัดเรียงอย่างแน่นหนายิ่งขึ้น และปริมาตรของส่วนผสมจะน้อยกว่าผลรวมของปริมาตรของส่วนประกอบที่เป็นส่วนประกอบ กฎการบวกเลขถูกละเมิด คุณยังสามารถยกตัวอย่างที่มีการละเมิดความจริงทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ เช่น เมื่อเพิ่มวัตถุบางอย่าง ปรากฎว่าผลรวมขึ้นอยู่กับลำดับของผลบวก

นักคณิตศาสตร์หลายคนมองว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่การสร้างเหตุผลล้วนๆ แต่เป็นการนามธรรมจากสิ่งที่มีอยู่จริง ปรากฏการณ์ กระบวนการ หรือสิ่งที่เป็นนามธรรมจากสิ่งที่เป็นนามธรรมที่สร้างไว้แล้ว (นามธรรมของลำดับที่สูงกว่า) ในภาษาถิ่นของธรรมชาติ F. Engels เขียนว่า "... ทั้งหมดที่เรียกว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มีส่วนร่วมในสิ่งที่เป็นนามธรรม ... ปริมาณทั้งหมดของมันคือการพูดอย่างเคร่งครัดปริมาณจินตภาพ ... " คำเหล่านี้ค่อนข้างชัดเจนสะท้อนความคิดเห็นของ หนึ่งในผู้ก่อตั้งปรัชญามาร์กซิสต์เกี่ยวกับบทบาทของนามธรรมในวิชาคณิตศาสตร์ เราควรเสริมว่า "ปริมาณจินตภาพ" ทั้งหมดนี้นำมาจากความเป็นจริงและไม่ได้สร้างขึ้นโดยพลการด้วยความคิดที่เป็นอิสระ นี่เป็นวิธีที่แนวคิดเรื่องจำนวนถูกนำมาใช้โดยทั่วไป ในตอนแรก ตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขภายในหน่วย และยิ่งกว่านั้น มีเพียงจำนวนเต็มบวกเท่านั้น จากนั้นประสบการณ์ก็บังคับให้ฉันขยายคลังแสงของตัวเลขเป็นสิบและหลายร้อย แนวคิดเรื่องความไร้ขอบเขตของชุดจำนวนเต็มถือกำเนิดขึ้นในยุคประวัติศาสตร์ที่ใกล้ตัวเรา: อาร์คิมิดีสในหนังสือ "Psammit" ("การคำนวณเม็ดทราย") แสดงให้เห็นว่าสามารถสร้างตัวเลขให้มากกว่าที่กำหนดได้อย่างไร . ในเวลาเดียวกัน แนวคิดเรื่องจำนวนเศษส่วนเกิดจากความต้องการในทางปฏิบัติ การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดได้นำมนุษยชาติไปสู่ตัวเลขใหม่ - ตัวเลขที่ไม่ลงตัว ดังนั้น แนวคิดเรื่องเซตของจำนวนจริงทั้งหมดจึงค่อยๆ ก่อตัวขึ้น

เส้นทางเดียวกันนี้สามารถติดตามได้สำหรับแนวคิดอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ ทั้งหมดเกิดจากความต้องการในทางปฏิบัติและค่อยๆ ก่อตัวเป็นแนวคิดที่เป็นนามธรรม เราสามารถจำคำพูดของ F. Engels ได้อีกครั้ง: “... คณิตศาสตร์บริสุทธิ์มีความหมายที่ไม่ขึ้นกับประสบการณ์พิเศษของแต่ละคน ... แต่มันผิดอย่างสมบูรณ์ที่ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์จิตใจเกี่ยวข้องกับผลิตภัณฑ์ของตัวเองเท่านั้น ความคิดสร้างสรรค์และจินตนาการ แนวคิดเรื่องจำนวนและตัวเลขไม่ได้นำมาจากที่ใด แต่มาจากโลกแห่งความเป็นจริงเท่านั้น สิบนิ้วที่คนเราเรียนรู้ที่จะนับ นั่นคือ การดำเนินการเลขคณิตครั้งแรก เป็นเพียงผลิตภัณฑ์จากความคิดสร้างสรรค์อิสระของจิตใจ ในการนับ จำเป็นต้องมีไม่เพียงแต่วัตถุที่จะนับเท่านั้น แต่ยังต้องมีความสามารถในการฟุ้งซ่านเมื่อพิจารณาวัตถุเหล่านี้จากคุณสมบัติอื่น ๆ ทั้งหมดยกเว้นจำนวนและความสามารถนี้เป็นผลมาจากการพัฒนาทางประวัติศาสตร์ที่ยาวนานตาม ประสบการณ์. ทั้งแนวคิดของตัวเลขและแนวคิดของตัวเลขนั้นยืมมาจากโลกภายนอกเท่านั้นและไม่ได้เกิดขึ้นในหัวจากการคิดที่บริสุทธิ์ ต้องมีบางสิ่งที่มีรูปแบบที่แน่นอนและต้องเปรียบเทียบรูปแบบเหล่านี้ก่อนที่จะมีแนวคิดเกี่ยวกับตัวเลข

ให้เราพิจารณาว่ามีแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ที่สร้างขึ้นโดยไม่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์ในอดีตและความก้าวหน้าของการปฏิบัติในปัจจุบันหรือไม่ เรารู้ดีว่าความคิดสร้างสรรค์ทางคณิตศาสตร์ทางวิทยาศาสตร์นำหน้าด้วยการศึกษาหลายวิชาในโรงเรียน มหาวิทยาลัย การอ่านหนังสือ บทความ การสนทนากับผู้เชี่ยวชาญทั้งในสาขาของตนเองและในสาขาความรู้อื่นๆ นักคณิตศาสตร์อาศัยอยู่ในสังคม และจากหนังสือ วิทยุ และจากแหล่งอื่นๆ เขาได้เรียนรู้เกี่ยวกับปัญหาที่เกิดขึ้นในด้านวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และชีวิตทางสังคม นอกจากนี้ ความคิดของผู้วิจัยยังได้รับอิทธิพลจากวิวัฒนาการทางความคิดทางวิทยาศาสตร์ก่อนหน้านี้ทั้งหมด ดังนั้นจึงกลายเป็นการเตรียมพร้อมสำหรับการแก้ปัญหาบางอย่างที่จำเป็นสำหรับความก้าวหน้าของวิทยาศาสตร์ นั่นคือเหตุผลที่นักวิทยาศาสตร์ไม่สามารถหยิบยกปัญหาขึ้นมาได้ตามใจชอบ แต่ต้องสร้างแนวคิดและทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่จะเป็นประโยชน์ต่อวิทยาศาสตร์ สำหรับนักวิจัยคนอื่นๆ เพื่อมนุษยชาติ แต่ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ยังคงมีความสำคัญในเงื่อนไขของการก่อตัวทางสังคมและยุคประวัติศาสตร์ต่างๆ นอกจากนี้ มักมีความคิดแบบเดียวกันนี้เกิดขึ้นจากนักวิทยาศาสตร์ที่ไม่เกี่ยวโยงกันแต่อย่างใด นี่เป็นข้อโต้แย้งเพิ่มเติมสำหรับผู้ที่ยึดมั่นในแนวคิดเรื่องการสร้างแนวคิดทางคณิตศาสตร์อย่างอิสระ

ดังนั้นเราจึงบอกสิ่งที่รวมอยู่ในแนวคิดของ "คณิตศาสตร์" แต่ยังมีสิ่งเช่นคณิตศาสตร์ประยุกต์ เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นผลรวมของวิธีการทางคณิตศาสตร์และสาขาวิชาทั้งหมดที่พบการใช้งานนอกคณิตศาสตร์ ในสมัยโบราณ เรขาคณิตและเลขคณิตเป็นตัวแทนของคณิตศาสตร์ทั้งหมด และเนื่องจากทั้งสองพบการใช้งานมากมายในการแลกเปลี่ยนทางการค้า การวัดพื้นที่และปริมาตร และในเรื่องของการนำทาง คณิตศาสตร์ทั้งหมดไม่ได้เป็นเพียงทฤษฎีเท่านั้น แต่ยังประยุกต์ใช้ด้วย ต่อมาในสมัยกรีกโบราณ มีการแบ่งเป็นหมวดคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงทุกคนต่างก็มีส่วนร่วมในการประยุกต์ใช้งาน ไม่เพียงแต่ในการวิจัยเชิงทฤษฎีเท่านั้น

การพัฒนาเพิ่มเติมของคณิตศาสตร์เชื่อมโยงกับความก้าวหน้าของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีธรรมชาติอย่างต่อเนื่อง พร้อมการเกิดขึ้นของความต้องการทางสังคมรูปแบบใหม่ ในตอนท้ายของศตวรรษที่สิบแปด มีความจำเป็น (ในขั้นต้นเกี่ยวกับปัญหาการนำทางและปืนใหญ่) เพื่อสร้างทฤษฎีการเคลื่อนที่ทางคณิตศาสตร์ งานนี้ทำโดย G. V. Leibniz และ I. Newton คณิตศาสตร์ประยุกต์ได้รับการเติมเต็มด้วยวิธีการวิจัยใหม่ที่ทรงพลัง - การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกือบพร้อมๆ กัน ความต้องการของประชากรศาสตร์และการประกันภัยทำให้เกิดจุดเริ่มต้นของทฤษฎีความน่าจะเป็น (ดู ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ศตวรรษที่ 18 และ 19 ขยายเนื้อหาของคณิตศาสตร์ประยุกต์ เพิ่มทฤษฎีสมการอนุพันธ์สามัญและบางส่วน สมการฟิสิกส์คณิตศาสตร์ องค์ประกอบของสถิติทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ศตวรรษที่ 20 ได้นำวิธีการใหม่ในการวิจัยทางคณิตศาสตร์ของปัญหาในทางปฏิบัติมาใช้ ได้แก่ ทฤษฎีกระบวนการสุ่ม ทฤษฎีกราฟ การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน การควบคุมที่เหมาะสมที่สุด การโปรแกรมเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น นอกจากนี้ ปรากฎว่าทฤษฎีจำนวนและพีชคณิตนามธรรมพบการประยุกต์ใช้กับปัญหาทางฟิสิกส์โดยไม่คาดคิด เป็นผลให้ความเชื่อมั่นเริ่มเป็นรูปเป็นร่างว่าคณิตศาสตร์ประยุกต์เป็นวินัยที่แยกจากกันไม่มีอยู่และคณิตศาสตร์ทั้งหมดสามารถนำมาประยุกต์ใช้ บางทีอาจจำเป็นต้องบอกว่าไม่ใช่ว่าคณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้และทฤษฎี แต่นักคณิตศาสตร์นั้นแบ่งออกเป็นนักประยุกต์และนักทฤษฎี สำหรับบางคน คณิตศาสตร์เป็นวิธีการรับรู้ของโลกรอบข้างและปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นในนั้น เพื่อจุดประสงค์นี้ที่นักวิทยาศาสตร์จะพัฒนาและขยายความรู้ทางคณิตศาสตร์ สำหรับคนอื่นๆ คณิตศาสตร์เป็นตัวแทนของโลกทั้งใบที่คู่ควรแก่การศึกษาและพัฒนา เพื่อความก้าวหน้าของวิทยาศาสตร์ จำเป็นต้องมีนักวิทยาศาสตร์ทั้งสองประเภท

คณิตศาสตร์ ก่อนที่จะศึกษาปรากฏการณ์ใด ๆ ด้วยวิธีการของมันเอง จะสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของมัน กล่าวคือ แสดงรายการคุณลักษณะทั้งหมดของปรากฏการณ์ที่จะนำมาพิจารณา แบบจำลองนี้บังคับให้ผู้วิจัยเลือกเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เหล่านั้นที่จะถ่ายทอดคุณสมบัติของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาและวิวัฒนาการของมันได้อย่างเพียงพอ ตัวอย่างเช่น ลองใช้แบบจำลองของระบบดาวเคราะห์: ดวงอาทิตย์และดาวเคราะห์ถือเป็นจุดวัตถุที่มีมวลเท่ากัน ปฏิสัมพันธ์ของจุดสองจุดแต่ละจุดถูกกำหนดโดยแรงดึงดูดระหว่างจุดทั้งสอง

โดยที่ m 1 และ m 2 คือมวลของจุดที่มีปฏิสัมพันธ์ r คือระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง และ f คือค่าคงตัวโน้มถ่วง แม้จะมีความเรียบง่ายของแบบจำลองนี้ แต่ในช่วงสามร้อยปีที่ผ่านมาได้มีการถ่ายทอดคุณสมบัติของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะอย่างแม่นยำอย่างมาก

แน่นอนว่าแต่ละแบบจำลองนั้นหยาบกระด้างตามความเป็นจริง และงานของผู้วิจัยคือ ประการแรกคือ เสนอแบบจำลองที่ในด้านหนึ่ง สื่อถึงด้านที่เป็นข้อเท็จจริงของเรื่องได้อย่างเต็มที่ที่สุด (ดังที่พวกเขากล่าวคือ ลักษณะทางกายภาพของมัน) และในทางกลับกัน ให้การประมาณที่สำคัญกับความเป็นจริง แน่นอนว่าสามารถเสนอแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้หลายแบบสำหรับปรากฏการณ์เดียวกัน พวกเขาทั้งหมดมีสิทธิที่จะดำรงอยู่จนกว่าความคลาดเคลื่อนระหว่างแบบจำลองกับความเป็นจริงจะเริ่มส่งผลกระทบ

คณิตศาสตร์ 1. คำว่าคณิตศาสตร์ มาจากไหน 2. ใครเป็นผู้คิดค้นคณิตศาสตร์? 3. ธีมหลัก 4. คำจำกัดความ 5. นิรุกติศาสตร์ ในสไลด์สุดท้าย

คำมาจากไหน (ไปที่สไลด์ก่อนหน้า) คณิตศาสตร์จากกรีก - ศึกษา, วิทยาศาสตร์) เป็นศาสตร์แห่งโครงสร้าง, ลำดับและความสัมพันธ์, ตามประวัติของการดำเนินการของการนับ, การวัดและการอธิบายรูปร่างของวัตถุ วัตถุทางคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นโดยการทำให้คุณสมบัติของวัตถุจริงหรือวัตถุทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติเป็นจริง และเขียนคุณสมบัติเหล่านี้ในภาษาที่เป็นทางการ

ผู้คิดค้นคณิตศาสตร์ (ไปที่เมนู) นักคณิตศาสตร์คนแรกชื่อ Thales of Miletus ซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่หก BC อี ซึ่งเป็นหนึ่งในเจ็ดนักปราชญ์แห่งกรีซ อย่างไรก็ตาม เขาเป็นคนแรกในการจัดโครงสร้างฐานความรู้ทั้งหมดเกี่ยวกับเรื่องนี้ ซึ่งได้ก่อตัวขึ้นในโลกที่เขารู้จักมาช้านาน อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบทความแรกเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่มาหาเราคือ Euclid (ศตวรรษที่ III ก่อนคริสต์ศักราช) เขาเองก็สมควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นบิดาแห่งวิทยาศาสตร์นี้

หัวข้อหลัก (ไปที่เมนู) สาขาวิชาคณิตศาสตร์รวมเฉพาะศาสตร์ที่พิจารณาตามลำดับหรือการวัด และไม่สำคัญเลย ไม่ว่าจะเป็นตัวเลข ตัวเลข ดาว เสียง หรือสิ่งอื่นใดที่วัดนี้ ถูกพบ ดังนั้น จะต้องมีวิทยาศาสตร์ทั่วไปบางอย่างที่อธิบายทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับและการวัด โดยไม่ต้องเข้าสู่การศึกษาวิชาใดวิชาหนึ่งโดยเฉพาะ และวิทยาศาสตร์นี้จะต้องไม่ถูกเรียกโดยชาวต่างชาติ แต่โดยชื่อสามัญทั่วไปของคณิตศาสตร์ทั่วไป

คำจำกัดความ (ไปที่เมนู) การวิเคราะห์สมัยใหม่ใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์แบบคลาสสิก ซึ่งถือเป็นหนึ่งในสามส่วนหลักของคณิตศาสตร์ (พร้อมกับพีชคณิตและเรขาคณิต) ในเวลาเดียวกัน คำว่า "การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์" ในความหมายดั้งเดิมนั้นถูกใช้เป็นหลักในหลักสูตรและสื่อการเรียนการสอน ตามธรรมเนียมแองโกล-อเมริกัน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์แบบคลาสสิกสอดคล้องกับโปรแกรมหลักสูตรที่มีชื่อว่า "แคลคูลัส"

นิรุกติศาสตร์ (ไปที่เมนู) คำว่า "คณิตศาสตร์" มาจากภาษากรีกอื่นๆ ซึ่งหมายถึงการศึกษา ความรู้ วิทยาศาสตร์ ฯลฯ -กรีก แต่เดิมหมายถึงเปิดกว้าง ประสบความสำเร็จ เกี่ยวข้องกับการศึกษาในภายหลัง เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ในภายหลัง โดยเฉพาะในภาษาลาติน หมายถึง ศิลปะแห่งคณิตศาสตร์ คำนี้เป็นภาษากรีกอื่น ๆ ในความหมายที่ทันสมัยของคำนี้ "คณิตศาสตร์" มีอยู่แล้วในผลงานของอริสโตเติล (ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช) ใน "หนังสือที่เลือกโดยสังเขปเกี่ยวกับ Nine Muses และ Seven Free Arts" (1672)

คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์แห่งความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ของโลกแห่งความเป็นจริง ในการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดกับความต้องการของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี สต็อกของความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ที่ศึกษาโดยคณิตศาสตร์มีการขยายตัวอย่างต่อเนื่อง เพื่อให้คำจำกัดความข้างต้นต้องเข้าใจในความหมายทั่วไปมากที่สุด

จุดประสงค์ของการเรียนคณิตศาสตร์คือเพื่อเพิ่มมุมมองทั่วไป วัฒนธรรมแห่งการคิด การก่อตัวของโลกทัศน์ทางวิทยาศาสตร์

การทำความเข้าใจตำแหน่งอิสระของคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์พิเศษเป็นไปได้หลังจากการสะสมของวัสดุที่เป็นข้อเท็จจริงจำนวนมากพอสมควรและเกิดขึ้นเป็นครั้งแรกในกรีกโบราณในศตวรรษที่ 6-5 ก่อนคริสต์ศักราช นี่คือจุดเริ่มต้นของช่วงเวลาของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา

ในช่วงเวลานี้ การวิจัยทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานที่มีอยู่ค่อนข้างจำกัด ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับความต้องการที่เรียบง่ายที่สุดของชีวิตทางเศรษฐกิจ ในขณะเดียวกัน การพัฒนาเชิงคุณภาพของคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์ก็เกิดขึ้นแล้ว

คณิตศาสตร์สมัยใหม่มักถูกนำมาเปรียบเทียบกับเมืองใหญ่ นี่เป็นการเปรียบเทียบที่ยอดเยี่ยม เพราะในทางคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับในเมืองใหญ่ มีกระบวนการเติบโตและพัฒนาอย่างต่อเนื่อง พื้นที่ใหม่ๆ เกิดขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ มีการสร้างทฤษฎีใหม่ที่สง่างามและลึกซึ้ง เช่น การก่อสร้างย่านและอาคารใหม่ แต่ความก้าวหน้าของคณิตศาสตร์ไม่ได้จำกัดอยู่เพียงแค่การเปลี่ยนโฉมหน้าของเมืองอันเนื่องมาจากการสร้างรูปแบบใหม่ เราต้องเปลี่ยนของเก่า ทฤษฎีเก่ารวมอยู่ในทฤษฎีใหม่ที่กว้างกว่า จำเป็นต้องเสริมสร้างฐานรากของอาคารเก่า ต้องวางถนนสายใหม่เพื่อสร้างความเชื่อมโยงระหว่างย่านที่อยู่ห่างไกลของเมืองทางคณิตศาสตร์ แต่ยังไม่เพียงพอ - การออกแบบสถาปัตยกรรมต้องใช้ความพยายามอย่างมาก เนื่องจากความหลากหลายของรูปแบบในด้านต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่ทำลายความประทับใจโดยรวมของวิทยาศาสตร์ แต่ยังขัดขวางการทำความเข้าใจวิทยาศาสตร์โดยรวม ทำให้เกิดการเชื่อมโยงระหว่างส่วนต่างๆ

มักใช้การเปรียบเทียบอื่น: คณิตศาสตร์เปรียบได้กับต้นไม้ใหญ่ที่มีกิ่งก้านสาขาซึ่งให้หน่อใหม่อย่างเป็นระบบ กิ่งก้านของต้นไม้แต่ละกิ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ จำนวนกิ่งไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อกิ่งใหม่งอกขึ้น เติบโตพร้อมกันในตอนแรกแยกกัน กิ่งบางกิ่งก็แห้ง ขาดน้ำบำรุง การเปรียบเทียบทั้งสองประสบความสำเร็จและถ่ายทอดสถานการณ์จริงได้เป็นอย่างดี

ความต้องการความงามมีบทบาทสำคัญในการสร้างทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อย่างไม่ต้องสงสัย มันไปโดยไม่บอกว่าการรับรู้ของความงามเป็นเรื่องส่วนตัวมากและมักจะมีความคิดที่ค่อนข้างน่าเกลียดเกี่ยวกับเรื่องนี้ อย่างไรก็ตาม เราต้องแปลกใจกับความเป็นเอกฉันท์ที่นักคณิตศาสตร์ใส่ไว้ในแนวคิดเรื่อง "ความงาม": ผลที่ได้จะถือว่าสวยงามหากเงื่อนไขจำนวนน้อยนิดจึงเป็นไปได้ที่จะได้ข้อสรุปทั่วไปเกี่ยวกับวัตถุที่หลากหลาย รากศัพท์ทางคณิตศาสตร์ถือว่าสวยงามหากสามารถพิสูจน์ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ที่มีนัยสำคัญได้โดยให้เหตุผลง่ายๆ และสั้น วุฒิภาวะของนักคณิตศาสตร์ พรสวรรค์ของเขาเดาได้จากการพัฒนาความรู้สึกในความงามของเขา ผลลัพธ์ที่สมบูรณ์แบบและสมบูรณ์แบบทางคณิตศาสตร์นั้นง่ายต่อการเข้าใจ จดจำและใช้งาน การระบุความสัมพันธ์ของพวกเขากับความรู้ด้านอื่นๆ ทำได้ง่ายกว่า

คณิตศาสตร์ในสมัยของเราได้กลายเป็นวินัยทางวิทยาศาสตร์ที่มีการวิจัยหลายด้าน ผลลัพธ์และวิธีการจำนวนมาก คณิตศาสตร์ตอนนี้ยอดเยี่ยมมากจนเป็นไปไม่ได้ที่คน ๆ หนึ่งจะครอบคลุมมันในทุกส่วน ไม่มีความเป็นไปได้ที่จะเป็นผู้เชี่ยวชาญระดับสากลในเรื่องนี้ การสูญเสียการเชื่อมต่อระหว่างทิศทางที่แยกจากกันนั้นเป็นผลเสียต่อการพัฒนาอย่างรวดเร็วของวิทยาศาสตร์นี้อย่างแน่นอน อย่างไรก็ตาม ที่พื้นฐานของการพัฒนาของสาขาคณิตศาสตร์ทั้งหมดมีสิ่งทั่วไป - ต้นกำเนิดของการพัฒนา รากของต้นไม้แห่งคณิตศาสตร์

เรขาคณิตของยุคลิดเป็นทฤษฎีวิทยาศาสตร์ธรรมชาติข้อแรก

• ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช หนังสือ Euclid ที่มีชื่อเดียวกันปรากฏในอเล็กซานเดรียในการแปลภาษารัสเซีย "จุดเริ่มต้น" จากชื่อภาษาละติน "จุดเริ่มต้น" มาคำว่า "เรขาคณิตเบื้องต้น" แม้ว่างานเขียนของยุคลิดรุ่นก่อนไม่ได้มาถึงเรา แต่เราสามารถสร้างความคิดเห็นบางอย่างเกี่ยวกับงานเขียนเหล่านี้ได้จากองค์ประกอบของยุคลิด ใน "จุดเริ่มต้น" มีส่วนที่เชื่อมโยงกับส่วนอื่นๆ ตามหลักเหตุผลน้อยมาก ลักษณะที่ปรากฏของพวกเขาอธิบายได้ด้วยความจริงที่ว่าพวกเขาได้รับการแนะนำตามประเพณีและคัดลอก "จุดเริ่มต้น" ของรุ่นก่อนของยุคลิด

  องค์ประกอบของยุคลิดประกอบด้วยหนังสือ 13 เล่ม หนังสือเล่มที่ 1 - 6 มีไว้สำหรับการตรวจวัดระนาบ เล่มที่ 7 - 10 เป็นเรื่องเกี่ยวกับเลขคณิตและปริมาณที่เทียบไม่ได้ที่สามารถสร้างได้โดยใช้เข็มทิศและเส้นตรง หนังสือเล่มที่ 11 ถึง 13 มีเนื้อหาเกี่ยวกับสเตอริโอเมทรี

  "จุดเริ่มต้น" เริ่มต้นด้วยการนำเสนอ 23 คำจำกัดความและ 10 สัจพจน์ สัจพจน์ห้าประการแรกคือ "แนวคิดทั่วไป" ส่วนที่เหลือเรียกว่า "สมมุติฐาน" สองข้อแรกกำหนดการกระทำด้วยความช่วยเหลือของผู้ปกครองในอุดมคติ ประการที่สาม - ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศในอุดมคติ ประการที่สี่ "มุมฉากทั้งหมดเท่ากัน" ซ้ำซ้อน เนื่องจากสามารถอนุมานได้จากสัจพจน์ที่เหลือ ข้อสุดท้าย ข้อที่ 5 อ่านว่า “ถ้าเส้นหนึ่งตกลงไปในสองเส้นและเกิดมุมด้านเดียวภายในเป็นผลรวมของเส้นที่น้อยกว่าสองเส้น ดังนั้น ด้วยความต่อเนื่องไม่จำกัดของสองเส้นนี้ พวกมันจะตัดกันที่ด้านที่ มุมน้อยกว่าสองเส้น"

  ห้า "แนวคิดทั่วไป" ของ Euclid เป็นหลักการของการวัดความยาว มุม พื้นที่ ปริมาตร: "เท่ากับเท่ากันเท่ากัน", "ถ้าเพิ่มเท่ากับเท่ากับ ผลรวมจะเท่ากัน", "ถ้าเท่ากับถูกลบออกจากเท่ากับ ส่วนที่เหลือจะเท่ากันระหว่างกัน", "เมื่อรวมกันจะเท่ากัน", "ทั้งหมดมากกว่าส่วน"

  จากนั้นก็มีการวิพากษ์วิจารณ์เรขาคณิตของยุคลิด ยูคลิดถูกวิพากษ์วิจารณ์ด้วยเหตุผลสามประการ: เพราะเขาพิจารณาเฉพาะปริมาณทางเรขาคณิตที่สามารถสร้างได้โดยใช้เข็มทิศและเส้นตรง สำหรับการแยกเรขาคณิตและเลขคณิต และการพิสูจน์หาจำนวนเต็ม ซึ่งเขาได้พิสูจน์แล้วสำหรับปริมาณเรขาคณิต และสุดท้าย สำหรับสัจพจน์ของยุคลิด สัจธรรมข้อที่ห้า ซึ่งเป็นสัจธรรมที่ยากที่สุดของยุคลิด ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์อย่างรุนแรงที่สุด หลายคนคิดว่ามันฟุ่มเฟือย และสามารถอนุมานได้จากสัจพจน์อื่นๆ คนอื่นๆ เชื่อว่าควรแทนที่ด้วยเส้นที่เรียบง่ายและแสดงให้เห็นมากขึ้น เทียบเท่ากับมัน: "ผ่านจุดนอกเส้นตรง ไม่สามารถลากเส้นตรงได้มากกว่าหนึ่งเส้นในระนาบที่ไม่ตัดกับเส้นตรงนี้"

  การวิพากษ์วิจารณ์ช่องว่างระหว่างเรขาคณิตและเลขคณิตนำไปสู่การขยายแนวคิดเรื่องจำนวนเป็นจำนวนจริง ข้อพิพาทเกี่ยวกับสัจธรรมข้อที่ 5 นำไปสู่ความจริงที่ว่าในตอนต้นของศตวรรษที่ 19 N.I. Lobachevsky, J. Bolyai และ K.F. Gauss ได้สร้างเรขาคณิตใหม่ขึ้นซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ทั้งหมดของเรขาคณิตของยุคลิด ยกเว้นข้อสมมุติที่ห้า มันถูกแทนที่ด้วยข้อความตรงข้าม: "ในระนาบผ่านจุดนอกเส้น สามารถลากเส้นมากกว่าหนึ่งเส้นที่ไม่ตัดกับเส้นที่กำหนด" เรขาคณิตนี้มีความสม่ำเสมอเท่ากับเรขาคณิตของยุคลิด

  แบบจำลอง planimetry ของ Lobachevsky บนเครื่องบินแบบยุคลิดสร้างขึ้นโดย Henri Poincaré นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในปี 1882

  ลากเส้นแนวนอนบนระนาบแบบยุคลิด บรรทัดนี้เรียกว่าสัมบูรณ์ (x) จุดของระนาบแบบยุคลิดที่อยู่เหนือจุดสัมบูรณ์คือจุดของระนาบโลบาชอฟสกี เครื่องบิน Lobachevsky เป็นระนาบครึ่งเปิดที่วางอยู่เหนือระดับสัมบูรณ์ ส่วนที่ไม่ใช่แบบยุคลิดในแบบจำลอง Poincaré คือส่วนโค้งของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ส่วนสัมบูรณ์หรือส่วนของเส้นตั้งฉากกับส่วนสัมบูรณ์ (AB, CD) ตัวเลขบนระนาบ Lobachevsky คือร่างของครึ่งระนาบเปิดซึ่งอยู่เหนือค่าสัมบูรณ์ (F) การเคลื่อนที่ที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเป็นองค์ประกอบของการผกผันจำนวนจำกัดซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่สมมาตรสัมบูรณ์และแนวแกนซึ่งมีแกนตั้งฉากกับจุดสัมบูรณ์ ส่วนที่ไม่ใช่แบบยุคลิดสองส่วนจะเท่ากัน ถ้าส่วนใดส่วนหนึ่งสามารถแปลเป็นอีกส่วนได้โดยการเคลื่อนไหวที่ไม่ใช่แบบยุคลิด เหล่านี้เป็นแนวคิดพื้นฐานของสัจพจน์ของ planimetry ของ Lobachevsky

  สัจพจน์ทั้งหมดของแผนภาพของ Lobachevsky มีความสอดคล้องกัน "เส้นที่ไม่ใช่แบบยุคลิดคือครึ่งวงกลมที่มีปลายอยู่บนสัมบูรณ์ หรือรังสีที่มีต้นกำเนิดอยู่บนสัมบูรณ์และตั้งฉากกับจุดสัมบูรณ์" ดังนั้น การยืนยันสัจพจน์ของการขนานกันของ Lobachevsky ถือได้ว่าไม่เพียงแต่สำหรับเส้น a และจุด A บางเส้นที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนี้ แต่ยังรวมถึงเส้น a และจุด A ใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนนั้นด้วย

  เบื้องหลังเรขาคณิตของ Lobachevsky เรขาคณิตที่สอดคล้องกันอื่นๆ เกิดขึ้น: เรขาคณิตโปรเจ็กเตอร์ที่แยกออกจากแบบยุคลิด เรขาคณิตแบบยุคลิดหลายมิติที่พัฒนาขึ้น เรขาคณิตรีมันเนียนเกิดขึ้น (ทฤษฎีทั่วไปของช่องว่างด้วยกฎเกณฑ์ของกฎการวัดความยาว) เป็นต้น จากศาสตร์แห่งตัวเลขในสามมิติเดียว อวกาศแบบยุคลิด เรขาคณิตเป็นเวลา 40 - 50 ปี ได้กลายเป็นชุดของทฤษฎีต่าง ๆ ซึ่งคล้ายกับต้นกำเนิดของมันเท่านั้น - เรขาคณิตของยุคลิด

  ขั้นตอนหลักของการก่อตัวของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ โครงสร้างของคณิตศาสตร์สมัยใหม่

• นักวิชาการ A.N. Kolmogorov ระบุสี่ช่วงเวลาในการพัฒนาคณิตศาสตร์ Kolmogorov A.N. - คณิตศาสตร์, พจนานุกรมสารานุกรมคณิตศาสตร์, มอสโก, สารานุกรมของสหภาพโซเวียต, 1988: การกำเนิดของคณิตศาสตร์, คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา, คณิตศาสตร์ของตัวแปร, คณิตศาสตร์สมัยใหม่

  ในระหว่างการพัฒนาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ทฤษฎีของตัวเลขจะค่อยๆ เติบโตจากเลขคณิต พีชคณิตถูกสร้างขึ้นเป็นแคลคูลัสตามตัวอักษร และระบบการนำเสนอเรขาคณิตเบื้องต้นที่สร้างขึ้นโดยชาวกรีกโบราณ - เรขาคณิตของยุคลิด - เป็นเวลาสองพันปีข้างหน้าได้กลายเป็นแบบจำลองของการสร้างทฤษฎีทางคณิตศาสตร์แบบนิรนัย

  ในศตวรรษที่ 17 ความต้องการของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีธรรมชาตินำไปสู่การสร้างวิธีการที่ทำให้สามารถศึกษาการเคลื่อนไหวทางคณิตศาสตร์ กระบวนการของการเปลี่ยนแปลงปริมาณ และการแปลงรูปเรขาคณิต ด้วยการใช้ตัวแปรในเรขาคณิตวิเคราะห์และการสร้างแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ ช่วงเวลาของคณิตศาสตร์ของตัวแปรจึงเริ่มต้นขึ้น การค้นพบที่ยิ่งใหญ่ของศตวรรษที่ 17 คือแนวคิดของปริมาณที่น้อยมากที่นิวตันและไลบนิซนำเสนอ ซึ่งเป็นการสร้างรากฐานสำหรับการวิเคราะห์ปริมาณที่น้อยมาก (การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์)

  แนวคิดของฟังก์ชันมาก่อน หน้าที่กลายเป็นวิชาหลักของการศึกษา การศึกษาฟังก์ชันนำไปสู่แนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ ลิมิต อนุพันธ์ ดิฟเฟอเรนเชียล อินทิกรัล

  การปรากฏตัวของความคิดที่ยอดเยี่ยมของ R. Descartes เกี่ยวกับวิธีการพิกัดก็เป็นของเวลานี้เช่นกัน เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ถูกสร้างขึ้น ซึ่งช่วยให้สามารถศึกษาวัตถุทางเรขาคณิตโดยวิธีพีชคณิตและการวิเคราะห์ ในทางกลับกัน วิธีการประสานงานเปิดโอกาสให้การตีความทางเรขาคณิตของข้อเท็จจริงเกี่ยวกับพีชคณิตและการวิเคราะห์

  การพัฒนาเพิ่มเติมของคณิตศาสตร์นำไปสู่การกำหนดปัญหาของการศึกษาความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ที่เป็นไปได้จากมุมมองที่ค่อนข้างทั่วไปในตอนต้นของศตวรรษที่ 19

  ความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์กับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติเริ่มซับซ้อนขึ้นเรื่อยๆ ทฤษฎีใหม่เกิดขึ้นและไม่เพียงเป็นผลมาจากความต้องการของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีธรรมชาติเท่านั้น แต่ยังเป็นผลมาจากความต้องการภายในของคณิตศาสตร์ด้วย ตัวอย่างที่โดดเด่นของทฤษฎีดังกล่าวคือเรขาคณิตจินตภาพของ N.I. Lobachevsky พัฒนาการของคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 และ 20 ทำให้เราสามารถระบุถึงช่วงเวลาของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ได้ การพัฒนาคณิตศาสตร์เอง การคำนวณทางคณิตศาสตร์ในสาขาต่างๆ ของวิทยาศาสตร์ การแทรกซึมของวิธีการทางคณิตศาสตร์ในกิจกรรมเชิงปฏิบัติหลายๆ ด้าน ความก้าวหน้าของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ทำให้เกิดสาขาวิชาคณิตศาสตร์ใหม่ๆ เช่น การวิจัยปฏิบัติการ ทฤษฎีเกม เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์และอื่น ๆ

  วิธีหลักในการวิจัยทางคณิตศาสตร์คือการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ - การใช้เหตุผลเชิงตรรกะอย่างเข้มงวด การคิดเชิงคณิตศาสตร์ไม่ได้จำกัดอยู่แค่การใช้เหตุผลเชิงตรรกะ สัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการกำหนดปัญหาที่ถูกต้อง เพื่อประเมินทางเลือกของวิธีการแก้ปัญหา

  ในวิชาคณิตศาสตร์มีการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกันสามารถอธิบายคุณสมบัติของปรากฏการณ์จริงที่อยู่ห่างไกลจากกัน ดังนั้น สมการเชิงอนุพันธ์เดียวกันนี้สามารถอธิบายกระบวนการของการเติบโตของประชากรและการสลายตัวของวัสดุกัมมันตภาพรังสี สำหรับนักคณิตศาสตร์ สิ่งสำคัญไม่ใช่ธรรมชาติของวัตถุที่อยู่ระหว่างการพิจารณา แต่เป็นความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างวัตถุเหล่านั้น

  การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์มีสองประเภท: การหักและการเหนี่ยวนำ

  การเหนี่ยวนำเป็นวิธีการวิจัยที่มีการสร้างข้อสรุปทั่วไปบนพื้นฐานของสถานที่เฉพาะ

  การหักเป็นวิธีการให้เหตุผลโดยวิธีการที่ข้อสรุปของลักษณะเฉพาะตามมาจากสถานที่ทั่วไป

  คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ วิศวกรรมศาสตร์ และมนุษยศาสตร์ เหตุผลของการแทรกซึมของคณิตศาสตร์ในสาขาวิชาต่างๆ ก็คือ มันนำเสนอแบบจำลองที่ชัดเจนมากสำหรับการศึกษาความเป็นจริงโดยรอบ ตรงกันข้ามกับแบบจำลองทั่วไปที่น้อยกว่าและคลุมเครือมากกว่าที่นำเสนอโดยวิทยาศาสตร์อื่นๆ หากปราศจากคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ด้วยเครื่องมือทางตรรกะและการคำนวณที่พัฒนาขึ้น ความก้าวหน้าในด้านต่าง ๆ ของกิจกรรมของมนุษย์คงเป็นไปไม่ได้

  คณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเพียงเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาประยุกต์และภาษาวิทยาศาสตร์สากลเท่านั้น แต่ยังเป็นองค์ประกอบของวัฒนธรรมร่วมด้วย

  คุณสมบัติพื้นฐานของการคิดทางคณิตศาสตร์

• ในประเด็นนี้ สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือลักษณะเฉพาะของการคิดเชิงคณิตศาสตร์ที่อ.ญาญ่า ขินชิน ให้ไว้ หรือให้เป็นรูปแบบทางประวัติศาสตร์จำเพาะก็คือรูปแบบการคิดเชิงคณิตศาสตร์ โดยเปิดเผยแก่นแท้ของรูปแบบการคิดเชิงคณิตศาสตร์ เขาแยกแยะลักษณะเด่นสี่ประการที่เหมือนกันในทุกยุคทุกสมัยที่แยกแยะลักษณะนี้ออกจากรูปแบบการคิดในศาสตร์อื่นๆ ได้อย่างชัดเจน

  ประการแรก นักคณิตศาสตร์มีลักษณะเด่นของการครอบงำของรูปแบบตรรกะของการให้เหตุผลจนถึงขีดจำกัด นักคณิตศาสตร์ที่มองไม่เห็นโครงร่างนี้ อย่างน้อยก็ชั่วคราว สูญเสียความสามารถในการคิดในเชิงวิทยาศาสตร์ไปพร้อมกัน ลักษณะเฉพาะของรูปแบบการคิดทางคณิตศาสตร์นี้มีคุณค่าในตัวเองมาก เห็นได้ชัดว่าในระดับสูงสุดจะช่วยให้คุณตรวจสอบความถูกต้องของการไหลของความคิดและรับประกันข้อผิดพลาด ในทางกลับกัน มันบังคับให้นักคิดมองเห็นความเป็นไปได้ทั้งหมดที่มีอยู่ในระหว่างการวิเคราะห์และบังคับให้เขาพิจารณาแต่ละอย่างโดยไม่พลาดแม้แต่ครั้งเดียว (การละเลยดังกล่าวค่อนข้างเป็นไปได้และในความเป็นจริงมักถูกสังเกต ในรูปแบบการคิดอื่นๆ)

  ประการที่สอง ความรัดกุม กล่าวคือ ความปรารถนาอย่างมีสติที่จะค้นหาเส้นทางตรรกะที่สั้นที่สุดซึ่งนำไปสู่เป้าหมายที่กำหนดเสมอ การปฏิเสธทุกสิ่งที่จำเป็นอย่างยิ่งต่อความถูกต้องที่ไร้ที่ติของการโต้แย้ง เรียงความทางคณิตศาสตร์ที่มีรูปแบบที่ดี ไม่ทนต่อ "น้ำ" ใดๆ ไม่ปรุงแต่ง ทำให้ความตึงเครียดเชิงตรรกะของการพูดจาโผงผางอ่อนลง การฟุ้งซ่านไปด้านข้าง ความตระหนี่อย่างรุนแรง ความเข้มงวดของความคิดอย่างรุนแรง และการนำเสนอเป็นลักษณะสำคัญของการคิดทางคณิตศาสตร์ คุณลักษณะนี้มีค่าอย่างยิ่งไม่เพียงแต่สำหรับคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังสำหรับการให้เหตุผลอื่นๆ ที่จริงจังอีกด้วย Laconism ความปรารถนาที่จะไม่ยอมให้อะไรที่ฟุ่มเฟือยช่วยให้ทั้งนักคิดและผู้อ่านหรือผู้ฟังของเขามีสมาธิอย่างเต็มที่กับขบวนการคิดที่กำหนดโดยไม่ถูกรบกวนจากความคิดรองและไม่สูญเสียการติดต่อโดยตรงกับสายการให้เหตุผลหลัก

  ตามกฎแล้วผู้ทรงคุณวุฒิแห่งวิทยาศาสตร์จะคิดและแสดงออกอย่างรัดกุมในทุกสาขาของความรู้ แม้ว่าความคิดของพวกเขาจะสร้างและกำหนดแนวคิดใหม่โดยพื้นฐานแล้วก็ตาม ช่างเป็นความประทับใจที่ยิ่งใหญ่ เช่น ความตระหนี่อันสูงส่งของความคิดและคำพูดของผู้สร้างฟิสิกส์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด: Newton, Einstein, Niels Bohr! บางทีอาจเป็นเรื่องยากที่จะหาตัวอย่างที่ชัดเจนกว่านี้ว่ารูปแบบการคิดของผู้สร้างสามารถมีผลกระทบอย่างลึกซึ้งต่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์อย่างไร

  สำหรับคณิตศาสตร์ ความรัดกุมของความคิดเป็นกฎที่เถียงไม่ได้ ซึ่งเป็นที่ยอมรับมานานหลายศตวรรษ ความพยายามใดๆ ที่จะทำให้การนำเสนอเป็นภาระโดยไม่จำเป็น (แม้ว่าจะน่าพอใจและน่าตื่นเต้นสำหรับผู้ฟังก็ตาม) รูปภาพ สิ่งรบกวนสมาธิ การกล่าวสุนทรพจน์จะอยู่ภายใต้ข้อสงสัยอันชอบด้วยกฎหมายล่วงหน้าและทำให้เกิดการเตรียมพร้อมที่สำคัญโดยอัตโนมัติ

  ประการที่สาม การแยกแยะที่ชัดเจนของแนวทางการให้เหตุผล ตัวอย่างเช่น ถ้าในการพิสูจน์ข้อเสนอ เราต้องพิจารณากรณีที่เป็นไปได้สี่กรณี ซึ่งแต่ละกรณีสามารถแบ่งออกเป็นกรณีย่อยหนึ่งหรือหลายกรณี จากนั้นในแต่ละช่วงเวลาของการให้เหตุผล นักคณิตศาสตร์ต้องจำไว้อย่างชัดเจนว่ากรณีใดและกรณีย่อยของเขา ตอนนี้กำลังได้รับความคิดและกรณีและกรณีย่อยใดที่เขายังต้องพิจารณา ด้วยการแจงนับแบบแยกสาขา นักคณิตศาสตร์จะต้องตระหนักถึงแนวคิดทั่วไปทุกครั้งที่เขาแจกแจงแนวคิดของสปีชีส์ที่เป็นส่วนประกอบ ตามปกติแล้ว การคิดที่ไม่เป็นไปตามหลักวิทยาศาสตร์ เรามักสังเกตเห็นความสับสนและกระโดดข้ามในกรณีดังกล่าว ซึ่งนำไปสู่ความสับสนและข้อผิดพลาดในการให้เหตุผล มักเกิดขึ้นที่บุคคลเริ่มแจกแจงชนิดของพืชสกุลหนึ่งแล้วจึงให้ผู้ฟังอย่างไม่รับรู้ (และบ่อยครั้งสำหรับตัวเขาเอง) โดยใช้เหตุผลแยกความแตกต่างทางตรรกะไม่เพียงพอกระโดดไปยังอีกสกุลหนึ่งและลงท้ายด้วยข้อความว่าทั้งสองสกุล ตอนนี้ถูกจัดประเภท; และผู้ฟังหรือผู้อ่านไม่รู้ว่าขอบเขตระหว่างชนิดของชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองอยู่ที่ไหน

  ในการที่จะทำให้ความสับสนและการกระโดดข้ามดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ นักคณิตศาสตร์ได้ใช้วิธีการภายนอกที่เรียบง่ายในการนับแนวคิดและการตัดสินมาเป็นเวลานาน ซึ่งบางครั้ง (แต่ไม่บ่อยนัก) ที่ใช้ในวิทยาศาสตร์อื่นๆ กรณีที่เป็นไปได้เหล่านั้นหรือแนวคิดทั่วไปที่ควรพิจารณาในการให้เหตุผลนี้จะถูกจัดลำดับใหม่ล่วงหน้า ภายในแต่ละกรณีดังกล่าว กรณีย่อยที่พิจารณาว่าประกอบด้วยนั้นจะถูกจัดลำดับใหม่ด้วย (บางครั้ง เพื่อความแตกต่าง โดยใช้ระบบการนับอื่น) ก่อนแต่ละย่อหน้า ซึ่งการพิจารณาคดีย่อยใหม่เริ่มต้นขึ้น การกำหนดที่ยอมรับสำหรับกรณีย่อยนี้จะถูกใส่ (เช่น: II 3 - นี่หมายความว่าการพิจารณาคดีย่อยที่สามของคดีที่สองเริ่มต้นที่นี่ หรือคำอธิบายของกรณีที่สาม ประเภทที่สองถ้าเรากำลังพูดถึงการจำแนกประเภท) และผู้อ่านรู้ดีว่าจนกว่าเขาจะเจอรูบริกที่เป็นตัวเลขใหม่ ทุกอย่างที่นำเสนอจะมีผลเฉพาะกับกรณีนี้และกรณีย่อยเท่านั้น มันไปโดยไม่บอกว่าการนับดังกล่าวเป็นเพียงอุปกรณ์ภายนอก มีประโยชน์มาก แต่ไม่ได้บังคับ และสาระสำคัญของเรื่องไม่ได้อยู่ในนั้น แต่ในการแบ่งแยกการโต้แย้งหรือการจัดหมวดหมู่ที่ชัดเจนซึ่งทั้งสองกระตุ้นและทำเครื่องหมาย ด้วยตัวมันเอง.

  ประการที่สี่ ความถูกต้องแม่นยำของสัญลักษณ์ สูตร สมการ นั่นคือ "สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์แต่ละอันมีความหมายที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด: แทนที่ด้วยสัญลักษณ์อื่นหรือจัดเรียงใหม่ไปยังที่อื่นตามกฎแล้วทำให้เกิดการบิดเบือนและบางครั้งก็ทำลายความหมายของข้อความนี้อย่างสมบูรณ์"

  A.Ya. Khinchin ได้แยกแยะลักษณะสำคัญของรูปแบบการคิดทางคณิตศาสตร์ว่าคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะคณิตศาสตร์ของตัวแปร) โดยธรรมชาติมีลักษณะวิภาษวิธีและดังนั้นจึงมีส่วนช่วยในการพัฒนาการคิดวิภาษ อันที่จริง ในกระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์ มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างภาพ (คอนกรีต) และแนวความคิด (นามธรรม) Kant เขียนว่า "เราไม่สามารถคิดเส้นได้" หากไม่ได้วาดภาพด้วยใจ เราก็ไม่สามารถคิดถึงสามมิติสำหรับตัวเราเองโดยไม่ได้วาดเส้นสามเส้นตั้งฉากกันจากจุดหนึ่ง

  ปฏิสัมพันธ์ของการคิดทางคณิตศาสตร์ที่เป็นรูปธรรมและนามธรรม "นำ" ไปสู่การพัฒนาแนวคิดใหม่และหมวดหมู่ทางปรัชญา ในคณิตศาสตร์โบราณ (คณิตศาสตร์ของค่าคงที่) สิ่งเหล่านี้คือ "ตัวเลข" และ "ช่องว่าง" ซึ่งเดิมสะท้อนให้เห็นในเรขาคณิตเลขคณิตและเรขาคณิตแบบยุคลิด และต่อมาในพีชคณิตและระบบเรขาคณิตต่างๆ คณิตศาสตร์ของตัวแปรนั้น "มีพื้นฐาน" ตามแนวคิดที่สะท้อนถึงการเคลื่อนไหวของสสาร - "จำกัด", "อนันต์", "ความต่อเนื่อง", "ไม่ต่อเนื่อง", "เล็กอย่างไม่สิ้นสุด", "อนุพันธ์" เป็นต้น

  ถ้าเราพูดถึงขั้นตอนทางประวัติศาสตร์ในปัจจุบันในการพัฒนาความรู้ทางคณิตศาสตร์ มันก็จะสอดคล้องกับการพัฒนาต่อไปของหมวดหมู่ปรัชญา: ทฤษฎีความน่าจะเป็น "ผู้เชี่ยวชาญ" ประเภทของความเป็นไปได้และการสุ่ม; โทโพโลยี - ประเภทของความสัมพันธ์และความต่อเนื่อง ทฤษฎีภัยพิบัติ - หมวดกระโดด; ทฤษฎีกลุ่ม - หมวดหมู่สมมาตรและความสามัคคี ฯลฯ

  ในการคิดทางคณิตศาสตร์ จะแสดงรูปแบบหลักของการสร้างการเชื่อมต่อเชิงตรรกะที่คล้ายคลึงกันในรูปแบบ ด้วยความช่วยเหลือของมัน การเปลี่ยนจากเอกพจน์ (เช่น จากวิธีการทางคณิตศาสตร์บางอย่าง - สัจพจน์ อัลกอริธึม เชิงสร้างสรรค์ เซตทฤษฎีและอื่น ๆ ) ไปเป็นแบบพิเศษและแบบทั่วไป ไปจนถึงแบบนิรนัยทั่วไป ความสามัคคีของวิธีการและวิชาคณิตศาสตร์เป็นตัวกำหนดลักษณะเฉพาะของการคิดทางคณิตศาสตร์ ทำให้เราสามารถพูดภาษาคณิตศาสตร์พิเศษที่ไม่เพียงแต่สะท้อนถึงความเป็นจริง แต่ยังสังเคราะห์ สรุป และทำนายความรู้ทางวิทยาศาสตร์อีกด้วย พลังและความงามของความคิดทางคณิตศาสตร์อยู่ที่ความชัดเจนของตรรกะ ความสง่างามของโครงสร้าง และการสร้างนามธรรมอย่างเชี่ยวชาญ

  ความเป็นไปได้ใหม่พื้นฐานของกิจกรรมทางจิตเปิดขึ้นด้วยการประดิษฐ์คอมพิวเตอร์ด้วยการสร้างคณิตศาสตร์เครื่อง มีการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญในภาษาของคณิตศาสตร์ หากภาษาของคณิตศาสตร์คำนวณแบบคลาสสิกประกอบด้วยสูตรพีชคณิต เรขาคณิต และการวิเคราะห์ เน้นที่คำอธิบายของกระบวนการต่อเนื่องของธรรมชาติ ศึกษาเป็นหลักในกลศาสตร์ ดาราศาสตร์ ฟิสิกส์ แล้วภาษาสมัยใหม่ก็คือภาษาของอัลกอริธึมและโปรแกรมต่างๆ ได้แก่ ภาษาเก่าของสูตรเป็นกรณีเฉพาะ

  ภาษาของคณิตศาสตร์เชิงคำนวณสมัยใหม่มีความเป็นสากลมากขึ้นเรื่อยๆ ซึ่งสามารถอธิบายระบบที่ซับซ้อน (หลายพารามิเตอร์) ได้ ในเวลาเดียวกัน ฉันต้องการเน้นว่าไม่ว่าภาษาคณิตศาสตร์จะสมบูรณ์แบบเพียงใด เสริมด้วยเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ ก็ไม่ทำลายความสัมพันธ์กับ "ชีวิต" ที่หลากหลาย ภาษาธรรมชาติ นอกจากนี้ ภาษาพูดยังเป็นพื้นฐานของภาษาเทียมอีกด้วย ในเรื่องนี้การค้นพบล่าสุดของนักวิทยาศาสตร์เป็นที่สนใจ ประเด็นคือภาษาโบราณของชาวอินเดียนแดงไอมาราซึ่งมีคนพูดประมาณ 2.5 ล้านคนในโบลิเวียและเปรู กลับกลายเป็นว่าสะดวกมากสำหรับเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ เร็วเท่าที่ 1610 มิชชันนารีนิกายเยซูอิตชาวอิตาลี Ludovico Bertoni ผู้รวบรวมพจนานุกรม Aymara เล่มแรกตั้งข้อสังเกตถึงอัจฉริยะของผู้สร้างซึ่งบรรลุความบริสุทธิ์เชิงตรรกะสูง ตัวอย่างเช่น ใน Aymara ไม่มีกริยาที่ผิดปกติและไม่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎไวยากรณ์ที่ชัดเจนสองสามข้อ คุณลักษณะเหล่านี้ของภาษาไอย์มาราทำให้นักคณิตศาสตร์ชาวโบลิเวีย Ivan Guzmán de Rojas สร้างระบบการแปลคอมพิวเตอร์พร้อมกันจากภาษายุโรปทั้งห้าภาษาที่รวมอยู่ในโปรแกรม "สะพาน" ระหว่างภาษาไอย์มารา คอมพิวเตอร์ "Aymara" ที่สร้างขึ้นโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวโบลิเวีย ได้รับการชื่นชมอย่างสูงจากผู้เชี่ยวชาญ การสรุปคำถามส่วนนี้เกี่ยวกับแก่นแท้ของรูปแบบการคิดทางคณิตศาสตร์ ควรสังเกตว่าเนื้อหาหลักคือความเข้าใจในธรรมชาติ

  วิธีการเชิงสัจพจน์

• สัจพจน์เป็นวิธีหลักในการสร้างทฤษฎีตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงปัจจุบัน ซึ่งยืนยันถึงความเป็นสากลและการนำไปใช้ทั้งหมด

  การสร้างทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับวิธีสัจพจน์ ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์มีพื้นฐานมาจากบทบัญญัติเบื้องต้นบางอย่าง เรียกว่าสัจพจน์ และบทบัญญัติอื่นๆ ทั้งหมดของทฤษฎีได้มาจากผลลัพธ์เชิงตรรกะของสัจพจน์

  วิธีการเชิงสัจพจน์ปรากฏในกรีกโบราณและปัจจุบันใช้ในวิทยาศาสตร์เชิงทฤษฎีเกือบทั้งหมดและเหนือสิ่งอื่นใดในวิชาคณิตศาสตร์

  เมื่อเทียบกับรูปทรงเรขาคณิตสามประการที่เสริมกัน: Euclidean (พาราโบลา), Lobachevsky (ไฮเปอร์โบลิก) และ Riemannian (วงรี) ควรสังเกตว่าเมื่อรวมกับความคล้ายคลึงบางอย่างแล้วมีความแตกต่างใหญ่ระหว่างเรขาคณิตทรงกลมในอันเดียว มือและรูปทรงเรขาคณิตของ Euclid และ Lobachevsky - ในอีกทางหนึ่ง

  ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างเรขาคณิตสมัยใหม่คือตอนนี้ได้รวมเอา "เรขาคณิต" ของพื้นที่จินตภาพที่แตกต่างกันจำนวนนับไม่ถ้วน อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าเรขาคณิตทั้งหมดเหล่านี้เป็นการตีความเรขาคณิตแบบยุคลิดและอาศัยวิธีการเชิงสัจพจน์ที่ใช้ครั้งแรกโดยยุคลิด

  บนพื้นฐานของการวิจัย วิธีการเชิงสัจพจน์ได้รับการพัฒนาและใช้กันอย่างแพร่หลาย ในกรณีพิเศษของการใช้วิธีนี้คือวิธีการติดตามในสเตอริโอเมทรี ซึ่งช่วยให้สามารถแก้ปัญหาในการสร้างส่วนต่างๆ ในรูปทรงหลายเหลี่ยมและปัญหาอื่นๆ เกี่ยวกับตำแหน่งได้

  วิธีการเชิงสัจพจน์ที่พัฒนาขึ้นครั้งแรกในเรขาคณิต ได้กลายเป็นเครื่องมือสำคัญในการศึกษาในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และกลศาสตร์ ขณะนี้งานอยู่ระหว่างการปรับปรุงและศึกษาวิธีเชิงสัจพจน์ของการสร้างทฤษฎีในเชิงลึกยิ่งขึ้น

  วิธีการเชิงสัจพจน์ของการสร้างทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ประกอบด้วยการเน้นย้ำแนวคิดพื้นฐาน การกำหนดสัจพจน์ของทฤษฎี และข้อความอื่นๆ ทั้งหมดนั้นได้มาในลักษณะที่เป็นตรรกะ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าแนวคิดหนึ่งต้องอธิบายด้วยความช่วยเหลือจากผู้อื่น ซึ่งในที่สุดก็ถูกกำหนดด้วยความช่วยเหลือของแนวคิดที่เป็นที่รู้จัก ดังนั้นเราจึงมาถึงแนวคิดพื้นฐานที่ไม่สามารถกำหนดเป็นแนวคิดอื่นได้ แนวคิดเหล่านี้เรียกว่าพื้นฐาน

  เมื่อเราพิสูจน์ข้อความ ทฤษฎีบท เราอาศัยสถานที่ที่ได้รับการพิจารณาแล้วว่าได้รับการพิสูจน์แล้ว แต่สถานที่เหล่านี้ก็ได้รับการพิสูจน์เช่นกัน พวกเขาต้องได้รับการพิสูจน์ ในที่สุด เราก็มาถึงข้อความที่พิสูจน์ไม่ได้และยอมรับโดยไม่มีการพิสูจน์ ข้อความเหล่านี้เรียกว่าสัจพจน์ เซตของสัจพจน์จะต้องเป็นแบบที่เราสามารถพิสูจน์ข้อความเพิ่มเติมได้

  เมื่อแยกแยะแนวคิดหลักและกำหนดสัจพจน์แล้ว เราก็ได้ทฤษฎีบทและแนวคิดอื่นๆ ในลักษณะที่เป็นเหตุเป็นผล นี่คือโครงสร้างเชิงตรรกะของเรขาคณิต สัจพจน์และแนวคิดพื้นฐานเป็นรากฐานของการวัดระนาบ

  เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะให้คำจำกัดความเดียวของแนวคิดพื้นฐานสำหรับเรขาคณิตทั้งหมด แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิตควรถูกกำหนดให้เป็นวัตถุที่มีลักษณะใดๆ ก็ตามที่เป็นไปตามสัจพจน์ของเรขาคณิตนี้ ดังนั้น ในการสร้างสัจพจน์ของระบบเรขาคณิต เราเริ่มต้นจากระบบสัจพจน์หรือสัจพจน์ สัจพจน์เหล่านี้อธิบายคุณสมบัติของแนวคิดพื้นฐานของระบบเรขาคณิต และเราสามารถแสดงแนวคิดพื้นฐานในรูปแบบของวัตถุในลักษณะใดๆ ก็ตามที่มีคุณสมบัติตามที่ระบุในสัจพจน์

  หลังจากกำหนดและพิสูจน์ข้อความทางเรขาคณิตชุดแรกแล้ว ก็เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ข้อความบางส่วน (ทฤษฎีบท) ด้วยความช่วยเหลือจากผู้อื่น หลักฐานของทฤษฎีบทมากมายมาจากพีทาโกรัสและเดโมคริตุส

  Hippocrates of Chios ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้รวบรวมแนวทางเรขาคณิตอย่างเป็นระบบครั้งแรกตามคำจำกัดความและสัจพจน์ หลักสูตรนี้และการประมวลผลในภายหลังเรียกว่า "องค์ประกอบ"

  วิธีการเชิงสัจพจน์ของการสร้างทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์

• การสร้างวิธีการนิรนัยหรือเชิงสัจพจน์ของการสร้างวิทยาศาสตร์เป็นหนึ่งในความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของการคิดทางคณิตศาสตร์ มันต้องการงานของนักวิทยาศาสตร์หลายชั่วอายุคน

  คุณลักษณะที่โดดเด่นของระบบนิรนัยในการนำเสนอคือความเรียบง่ายของโครงสร้างนี้ ซึ่งทำให้สามารถอธิบายได้ด้วยคำไม่กี่คำ

  ระบบนิรนัยของการนำเสนอลดลงเป็น:

  1) ไปที่รายการแนวคิดพื้นฐาน

  2) การนำเสนอคำจำกัดความ

  3) เพื่อนำเสนอสัจพจน์

  4) เพื่อนำเสนอทฤษฎีบท

  5) เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านี้

  สัจพจน์คือคำแถลงที่ยอมรับโดยไม่มีการพิสูจน์

  ทฤษฎีบทคือคำแถลงที่ตามมาจากสัจพจน์

  การพิสูจน์เป็นส่วนสำคัญของระบบนิรนัย เป็นการให้เหตุผลที่แสดงว่าความจริงของข้อความเป็นไปตามตรรกะจากความจริงของทฤษฎีบทหรือสัจพจน์ก่อนหน้า

  ภายในระบบนิรนัย คำถามสองข้อไม่สามารถแก้ไขได้: 1) เกี่ยวกับความหมายของแนวคิดพื้นฐาน 2) เกี่ยวกับความจริงของสัจพจน์ แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าคำถามเหล่านี้โดยทั่วไปจะแก้ไม่ได้

  ประวัติของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติแสดงให้เห็นว่าความเป็นไปได้ของการสร้างจริงของวิทยาศาสตร์เฉพาะปรากฏขึ้นเฉพาะในระดับที่ค่อนข้างสูงของการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้บนพื้นฐานของวัสดุที่เป็นข้อเท็จจริงจำนวนมากซึ่งทำให้สามารถระบุหลักได้อย่างชัดเจน ความเชื่อมโยงและความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างวัตถุที่ศึกษาโดยวิทยาศาสตร์นี้

  ตัวอย่างการสร้างสัจพจน์ของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์คือเรขาคณิตเบื้องต้น ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตอธิบายโดย Euclid (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล) ในงาน "จุดเริ่มต้น" ที่ไม่มีใครเทียบได้ในความสำคัญของมัน ระบบนี้ส่วนใหญ่รอดมาได้จนถึงทุกวันนี้

  แนวคิดพื้นฐาน: จุด เส้น ภาพพื้นฐานระนาบ อยู่ระหว่าง, เป็นของ, ย้าย.

  เรขาคณิตเบื้องต้นมี 13 สัจพจน์ ซึ่งแบ่งออกเป็นห้ากลุ่ม ในกลุ่มที่ห้า มีสัจพจน์หนึ่งเกี่ยวกับความคล้ายคลึงกัน (สมมุติฐานของ Euclid V): ผ่านจุดบนระนาบ สามารถลากเส้นตรงได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ไม่ตัดกับเส้นตรงนี้ นี่เป็นสัจพจน์เดียวที่ทำให้เกิดความจำเป็นในการพิสูจน์ ความพยายามที่จะพิสูจน์หลักธรรมข้อที่ห้าของนักคณิตศาสตร์ที่ถูกยึดครองมานานกว่า 2 พันปี จนถึงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 19 กล่าวคือ จนถึงช่วงเวลาที่ Nikolai Ivanovich Lobachevsky พิสูจน์ในงานเขียนของเขาถึงความสิ้นหวังอย่างสมบูรณ์ของความพยายามเหล่านี้ ในปัจจุบัน ความไม่สามารถพิสูจน์ได้ของสัจพจน์ข้อที่ 5 เป็นความจริงทางคณิตศาสตร์ที่พิสูจน์แล้วโดยเคร่งครัด

  สัจพจน์เกี่ยวกับขนาน N.I. Lobachevsky แทนที่สัจพจน์: ให้เส้นตรงและจุดที่อยู่นอกเส้นตรงถูกกำหนดในระนาบที่กำหนด จากจุดนี้ สามารถลากเส้นขนานอย่างน้อยสองเส้นไปยังเส้นที่กำหนด

  จากระบบสัจพจน์ใหม่ N.I. Lobachevsky ด้วยความเข้มงวดเชิงตรรกะที่ไร้ที่ติ อนุมานระบบที่สอดคล้องกันของทฤษฎีบทที่ประกอบขึ้นเป็นเนื้อหาของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด เรขาคณิตทั้งสองของ Euclid และ Lobachevsky นั้นเท่ากันกับระบบตรรกะ

  นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่สามคนในศตวรรษที่ 19 เกือบจะพร้อมๆ กันโดยเป็นอิสระจากกัน มาถึงผลลัพธ์เดียวกันของความไม่สามารถพิสูจน์ได้ของสัจธรรมข้อที่ห้าและการสร้างเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

  นิโคไล อิวาโนวิช โลบาชอฟสกี (ค.ศ. 1792-1856)

  คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (1777-1855)

  จานอส โบลใหญ่ (1802-1860)

  หลักฐานทางคณิตศาสตร์

• วิธีหลักในการวิจัยทางคณิตศาสตร์คือการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ - การใช้เหตุผลเชิงตรรกะอย่างเข้มงวด โดยอาศัยความจำเป็นตามวัตถุประสงค์ ชี้ให้เห็นถึงสมาชิกที่สอดคล้องกันของ Russian Academy of Sciences L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - คณิตศาสตร์สมัยใหม่และการสอน, มอสโก, นอก้า, 1985, การให้เหตุผลเชิงตรรกะ (ซึ่งโดยธรรมชาติแล้ว ถ้าถูกต้อง ก็เข้มงวดเช่นกัน) เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ก็คิดไม่ถึงหากไม่มีพวกเขา ควรสังเกตว่าการคิดทางคณิตศาสตร์ไม่ได้จำกัดอยู่แค่การให้เหตุผลเชิงตรรกะ สำหรับการกำหนดปัญหาที่ถูกต้องสำหรับการประเมินข้อมูลสำหรับการเลือกสิ่งที่สำคัญจากพวกเขาและสำหรับการเลือกวิธีการในการแก้ปัญหานั้นจำเป็นต้องมีสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ซึ่งทำให้สามารถคาดการณ์ผลลัพธ์ที่ต้องการได้ก่อน มันได้มาเพื่อร่างเส้นทางของการวิจัยด้วยความช่วยเหลือของการให้เหตุผลที่เป็นไปได้ แต่ความถูกต้องของข้อเท็จจริงที่พิจารณานั้นไม่ได้พิสูจน์โดยการตรวจสอบจากตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่าง ไม่ใช่โดยการทดลองหลายครั้ง (ซึ่งในตัวมันเองมีบทบาทสำคัญในการวิจัยทางคณิตศาสตร์) แต่ในทางตรรกะล้วนๆ ตาม กฎแห่งตรรกะที่เป็นทางการ

  เชื่อกันว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นความจริงขั้นสูงสุด การตัดสินใจบนพื้นฐานของตรรกะล้วนไม่ผิด แต่ด้วยการพัฒนาวิทยาศาสตร์และงานก่อนที่นักคณิตศาสตร์จะมีความซับซ้อนมากขึ้น

  Keith Devlin จากมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด แคลิฟอร์เนีย สหรัฐอเมริกา กล่าวว่า “เราเข้าสู่ยุคที่เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ซับซ้อนและยุ่งยากมาก จนเมื่อมองแวบแรกก็ไม่สามารถบอกได้อีกต่อไปว่าปัญหาที่พบนั้นจริงหรือไม่” Keith Devlin จากมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด แคลิฟอร์เนีย สหรัฐอเมริกา เชื่อ เขายกตัวอย่างว่า "การจำแนกกลุ่มที่มีขอบเขตจำกัดอย่างง่าย" ซึ่งกำหนดขึ้นในปี 1980 แต่ยังไม่มีการพิสูจน์หลักฐานที่ครบถ้วนสมบูรณ์ เป็นไปได้มากว่าทฤษฎีบทนี้เป็นความจริง แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะพูดอย่างแน่ชัดเกี่ยวกับเรื่องนี้

  โซลูชันคอมพิวเตอร์ไม่สามารถเรียกได้ว่าแน่นอนเช่นกันเพราะการคำนวณดังกล่าวมีข้อผิดพลาดอยู่เสมอ ในปี 1998 เฮลส์เสนอวิธีแก้ปัญหาโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยสำหรับทฤษฎีบทของเคปเลอร์ ซึ่งคิดค้นขึ้นในปี 1611 ทฤษฎีบทนี้อธิบายการบรรจุลูกบอลที่หนาแน่นที่สุดในอวกาศ หลักฐานถูกนำเสนอใน 300 หน้าและมีรหัสเครื่อง 40,000 บรรทัด ผู้ตรวจสอบ 12 คนตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาเป็นเวลาหนึ่งปี แต่พวกเขาไม่เคยได้รับความมั่นใจ 100% ในความถูกต้องของหลักฐาน และการศึกษาก็ถูกส่งไปเพื่อทำการแก้ไข เป็นผลให้มีการเผยแพร่หลังจากสี่ปีเท่านั้นและไม่มีการรับรองจากผู้ตรวจสอบอย่างครบถ้วน

  การคำนวณล่าสุดสำหรับปัญหาที่นำไปใช้จะทำบนคอมพิวเตอร์ แต่นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าเพื่อความน่าเชื่อถือที่มากขึ้น ควรนำเสนอการคำนวณทางคณิตศาสตร์โดยไม่มีข้อผิดพลาด

  ทฤษฎีการพิสูจน์ได้รับการพัฒนาในเชิงตรรกะและประกอบด้วยองค์ประกอบโครงสร้างสามส่วน: วิทยานิพนธ์ (สิ่งที่ควรจะพิสูจน์) การโต้แย้ง (ชุดของข้อเท็จจริง แนวคิดที่ยอมรับโดยทั่วไป กฎหมาย ฯลฯ ของวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง) และการสาธิต (ขั้นตอนสำหรับ การนำหลักฐานไปใช้เอง การอนุมานที่ต่อเนื่องกันเมื่อการอนุมานที่ n กลายเป็นหนึ่งในสถานที่ตั้งของการอนุมานที่ n+1) กฎการพิสูจน์มีความโดดเด่น มีการระบุข้อผิดพลาดทางตรรกะที่เป็นไปได้

  การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มีความเหมือนกันมากกับหลักการที่กำหนดโดยตรรกะที่เป็นทางการ นอกจากนี้ กฎทางคณิตศาสตร์ของการให้เหตุผลและการดำเนินการยังเป็นหนึ่งในพื้นฐานในการพัฒนาขั้นตอนการพิสูจน์ในเชิงตรรกะอย่างชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นักวิจัยในประวัติศาสตร์ของการก่อตัวของตรรกะที่เป็นทางการเชื่อว่าครั้งหนึ่งเมื่ออริสโตเติลเริ่มขั้นตอนแรกเพื่อสร้างกฎหมายและกฎของตรรกะ เขาหันไปทางคณิตศาสตร์และการปฏิบัติกิจกรรมทางกฎหมาย ในแหล่งข้อมูลเหล่านี้ เขาพบเนื้อหาสำหรับการสร้างตรรกะของทฤษฎีที่คิดขึ้น

  ในศตวรรษที่ 20 แนวความคิดเรื่องการพิสูจน์ได้สูญเสียความหมายอันเข้มงวด ซึ่งเกิดขึ้นจากการค้นพบความขัดแย้งเชิงตรรกะที่ซ่อนอยู่ในทฤษฎีเซต และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่ทฤษฎีบทของเค. โกเดลเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ของการทำให้เป็นทางการนำมา

  ประการแรกสิ่งนี้ส่งผลกระทบต่อคณิตศาสตร์ซึ่งเกี่ยวข้องกับการที่เชื่อกันว่าคำว่า "การพิสูจน์" ไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน แต่ถ้าความคิดเห็นดังกล่าว (ซึ่งยังคงมีอยู่จนถึงทุกวันนี้) ส่งผลกระทบต่อคณิตศาสตร์ พวกเขาก็สรุปได้ว่าการพิสูจน์ไม่ควรได้รับการยอมรับในตรรกะ-คณิตศาสตร์ แต่ในแง่จิตวิทยา ยิ่งกว่านั้น อริสโตเติลเองก็มีทัศนะที่คล้ายกัน ซึ่งเชื่อว่าการพิสูจน์หมายถึงการใช้เหตุผลที่จะโน้มน้าวใจเราถึงขนาดที่ว่าเมื่อใช้สิ่งนี้ เราจะโน้มน้าวผู้อื่นถึงความถูกต้องของบางสิ่ง เราพบแนวทางจิตวิทยาบางประการใน A.E. Yesenin-Volpin เขาคัดค้านอย่างมากต่อการยอมรับความจริงโดยไม่มีการพิสูจน์ เชื่อมโยงกับการกระทำของศรัทธา และเขียนเพิ่มเติมว่า: "ฉันเรียกการพิสูจน์คำพิพากษาว่าเป็นวิธีการที่ตรงไปตรงมาซึ่งทำให้การตัดสินนี้ปฏิเสธไม่ได้" Yesenin-Volpin รายงานว่าคำจำกัดความของเขายังคงต้องได้รับการชี้แจง ในเวลาเดียวกัน การระบุลักษณะของหลักฐานว่าเป็น "วิธีการที่ซื่อสัตย์" ไม่ได้หักหลังการอุทธรณ์การประเมินทางศีลธรรมและจิตวิทยาใช่หรือไม่

  ในเวลาเดียวกัน การค้นพบชุดทฤษฎีที่ขัดแย้งกันและการปรากฏตัวของทฤษฎีบทของ Godel มีส่วนทำให้เกิดการพัฒนาทฤษฎีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการโดยนักสัญชาตญาณ โดยเฉพาะทิศทางคอนสตรัคติวิสต์และดี. ฮิลเบิร์ต

  บางครั้งมีความเชื่อกันว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นสากลและแสดงถึงการพิสูจน์ทางวิทยาศาสตร์ในอุดมคติ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่วิธีเดียว แต่มีวิธีการอื่นของขั้นตอนและการดำเนินการตามหลักฐาน เป็นความจริงเพียงอย่างเดียวที่การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มีความคล้ายคลึงกันมากกับการพิสูจน์เชิงตรรกะที่นำไปใช้ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์นั้นมีความเฉพาะเจาะจงบางอย่าง เช่นเดียวกับชุดของการดำเนินการเทคนิค นี่คือที่ที่เราจะหยุด โดยละเว้นสิ่งทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับหลักฐานรูปแบบอื่น กล่าวคือ โดยไม่ขยายอัลกอริทึม กฎ ข้อผิดพลาด ฯลฯ ในทุกขั้นตอน (แม้แต่ขั้นตอนหลัก) กระบวนการพิสูจน์

  การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือการให้เหตุผลที่มีภาระหน้าที่ในการพิสูจน์ความจริง

  ชุดของกฎที่ใช้ในการพิสูจน์ถูกสร้างขึ้นพร้อมกับการถือกำเนิดของโครงสร้างจริงของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ สิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างชัดเจนและสมบูรณ์ที่สุดในเรขาคณิตของยุคลิด "หลักการ" ของเขากลายเป็นมาตรฐานแบบจำลองสำหรับการจัดระเบียบความรู้เชิงสัจพจน์ของความรู้ทางคณิตศาสตร์และเป็นเวลานานสำหรับนักคณิตศาสตร์

  ข้อความที่นำเสนอในรูปแบบของลำดับที่แน่นอนต้องรับประกันข้อสรุปซึ่งถือว่าได้รับการพิสูจน์ตามกฎของการดำเนินการทางตรรกะ ต้องเน้นว่าการให้เหตุผลบางอย่างเป็นข้อพิสูจน์เฉพาะเกี่ยวกับระบบสัจพจน์บางอย่างเท่านั้น

  เมื่อกำหนดลักษณะการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ คุณลักษณะหลักสองประการจะแตกต่างออกไป ประการแรก การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ไม่รวมการอ้างอิงถึงหลักฐานเชิงประจักษ์ ขั้นตอนทั้งหมดสำหรับการพิสูจน์ความจริงของข้อสรุปนั้นดำเนินการภายในกรอบของสัจพจน์ที่ยอมรับ นักวิชาการ A.D. Aleksandrov เน้นย้ำในเรื่องนี้ คุณสามารถวัดมุมของสามเหลี่ยมได้หลายพันครั้ง และทำให้แน่ใจว่ามันเท่ากับ 2d แต่คณิตศาสตร์ไม่ได้พิสูจน์อะไร คุณจะพิสูจน์ให้เขาเห็นถ้าคุณอนุมานข้อความข้างต้นจากสัจพจน์ มาทำซ้ำกันเถอะ ที่นี่คณิตศาสตร์อยู่ใกล้กับวิธีการของนักวิชาการซึ่งโดยพื้นฐานแล้วปฏิเสธการโต้แย้งโดยให้ข้อเท็จจริงจากการทดลอง

  ตัวอย่างเช่น เมื่อค้นพบความไม่สามารถเปรียบเทียบได้ของเซกเมนต์ เมื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ การอุทธรณ์ต่อการทดลองทางกายภาพไม่ได้รับการยกเว้น เนื่องจากในตอนแรก แนวคิดของ "ความเปรียบเทียบไม่ได้" นั้นไร้ความหมายทางกายภาพ และประการที่สอง นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถ เมื่อต้องรับมือกับสิ่งที่เป็นนามธรรม ให้นำส่วนขยายของวัสดุ-คอนกรีตมาช่วยในการวัดโดยอุปกรณ์ประสาทสัมผัสและภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความไม่สามารถเทียบเคียงได้ของด้านข้างและแนวทแยงของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ได้รับการพิสูจน์โดยอาศัยคุณสมบัติของจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในเรื่องความเท่าเทียมกันของกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ตามลำดับ เส้นทแยงมุม) กับผลรวมของกำลังสองของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขา (สองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก) หรือเมื่อ Lobachevsky กำลังมองหาการยืนยันสำหรับเรขาคณิตของเขา ซึ่งอ้างถึงผลลัพธ์ของการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์ การยืนยันนี้เกิดขึ้นโดยเขาโดยใช้ลักษณะการเก็งกำไรล้วนๆ การตีความเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดของเคย์ลีย์-ไคลน์และเบลตรามียังให้ความสำคัญกับคณิตศาสตร์มากกว่าวัตถุทางกายภาพ

  คุณลักษณะที่สองของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือความเป็นนามธรรมสูงสุด ซึ่งแตกต่างจากขั้นตอนการพิสูจน์ในวิทยาศาสตร์อื่นๆ และอีกครั้ง ในกรณีของแนวคิดของวัตถุทางคณิตศาสตร์ มันไม่ได้เกี่ยวกับระดับของนามธรรมเท่านั้น แต่เกี่ยวกับธรรมชาติของมันด้วย ความจริงก็คือการพิสูจน์ได้บรรลุถึงนามธรรมในระดับสูงในศาสตร์อื่น ๆ จำนวนมาก ตัวอย่างเช่น ในทางฟิสิกส์ จักรวาลวิทยา และแน่นอนในปรัชญา เนื่องจากปัญหาสุดท้ายของการมีอยู่และการคิดกลายเป็นประเด็นในข้อหลัง ในทางกลับกัน คณิตศาสตร์มีความแตกต่างจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวแปรทำงานที่นี่ ความหมายที่เป็นนามธรรมจากคุณสมบัติเฉพาะใดๆ พึงระลึกว่า โดยนิยาม ตัวแปรเป็นสัญญาณว่าในตัวเองไม่มีความหมายและได้รับสิ่งหลังก็ต่อเมื่อมีการแทนที่ชื่อของวัตถุบางอย่างเท่านั้น (ตัวแปรส่วนบุคคล) หรือเมื่อมีการระบุคุณสมบัติและความสัมพันธ์เฉพาะ (ตัวแปรเพรดิเคต) หรือในที่สุด ในกรณีของการแทนที่ตัวแปรด้วยคำสั่งที่มีความหมาย (ตัวแปรเชิงประพจน์)

  คุณลักษณะที่ระบุไว้จะกำหนดลักษณะของความเป็นนามธรรมสุดโต่งของสัญญาณที่ใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ตลอดจนข้อความซึ่งเนื่องจากการรวมตัวแปรไว้ในโครงสร้างจึงกลายเป็นคำสั่ง

  ขั้นตอนของการพิสูจน์ที่กำหนดในตรรกะเป็นการสาธิตดำเนินการบนพื้นฐานของกฎการอนุมานโดยพิจารณาจากการเปลี่ยนแปลงจากคำสั่งที่พิสูจน์แล้วไปยังอีกคำสั่งหนึ่งทำให้เกิดการอนุมานที่สอดคล้องกัน ที่พบมากที่สุดคือกฎสองข้อ (การแทนที่และการได้มาของข้อสรุป) และทฤษฎีบทการหัก

  กฎการทดแทน ในวิชาคณิตศาสตร์ การแทนที่ถูกกำหนดให้เป็นการแทนที่องค์ประกอบแต่ละตัว a ของเซตที่กำหนดโดยองค์ประกอบอื่น F(a) จากเซตเดียวกัน ในตรรกะทางคณิตศาสตร์ กฎการแทนที่ถูกกำหนดดังนี้ หากสูตร M ที่แท้จริงในแคลคูลัสเชิงประพจน์มีตัวอักษร ให้พูดว่า A จากนั้นแทนที่มันทุกที่ที่มันเกิดขึ้นด้วยตัวอักษร D เราก็จะได้สูตรที่เป็นจริงเหมือนกันกับสูตรดั้งเดิม สิ่งนี้เป็นไปได้และยอมรับได้อย่างแม่นยำเพราะในแคลคูลัสของข้อเสนอ หนึ่งนามธรรมจากความหมายของข้อเสนอ (สูตร)... เฉพาะค่าที่ "จริง" หรือ "เท็จ" เท่านั้นที่จะถูกนำมาพิจารณา ตัวอย่างเช่น ในสูตร M: A--> (BUA) เราแทนที่นิพจน์ (AUB) แทน A ดังนั้นเราจึงได้สูตรใหม่ (AUB) -->[(BU(AUB) ]

  กฎสำหรับการอนุมานข้อสรุปสอดคล้องกับโครงสร้างของโมดัส ponens syllogism ที่จัดหมวดหมู่ตามเงื่อนไข (โหมดยืนยัน) ในตรรกะที่เป็นทางการ ดูเหมือนว่านี้:

  เอ .

  ให้ข้อเสนอ (a-> b) และให้ a มันเป็นไปตามข.

  ตัวอย่างเช่น หากฝนตก แสดงว่าพื้นถนนเปียก แสดงว่าฝนตก (ก) ดังนั้น ทางเท้าจึงเปียก (b) ในตรรกะทางคณิตศาสตร์ syllogism นี้เขียนดังนี้ (a-> b) a-> b

  การอนุมานจะถูกกำหนดตามกฎโดยการแยกนัย หากมีความหมาย (a-> b) และมาก่อน (a) เราก็มีสิทธิ์ที่จะเพิ่มเหตุผล (การพิสูจน์) ที่เป็นผลมาจากความหมายนี้ (b) Syllogism เป็นการบีบบังคับ ประกอบเป็นคลังแสงของวิธีการพิสูจน์นิรนัย กล่าวคือ ตรงตามข้อกำหนดของการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน

  บทบาทสำคัญในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เล่นโดยทฤษฎีบทการหัก ซึ่งเป็นชื่อทั่วไปของทฤษฎีบทจำนวนหนึ่ง ซึ่งขั้นตอนดังกล่าวทำให้สามารถพิสูจน์ความน่าจะเป็นของความหมายได้: A-> B เมื่อมีการสืบหาเชิงตรรกะของ สูตร B จากสูตร A ในเวอร์ชันทั่วไปของแคลคูลัสเชิงประพจน์ (ในคณิตศาสตร์คลาสสิก สัญชาตญาณ และคณิตศาสตร์ประเภทอื่นๆ) ทฤษฎีบทการหักล้างมีดังต่อไปนี้ หากระบบของสถานที่ G และหลักฐาน A ได้รับซึ่งตามกฎแล้ว B G, A B (- เครื่องหมายของอนุพันธ์) สามารถอนุมานได้จากนั้นจึงมีเพียงจากสถานที่ของ G เท่านั้นที่จะได้รับประโยค A --> ข.

  เราได้พิจารณาประเภทซึ่งเป็นข้อพิสูจน์โดยตรง ในเวลาเดียวกัน สิ่งที่เรียกว่า หลักฐานทางอ้อม ก็ใช้ในตรรกะเช่นกัน มีการพิสูจน์ที่ไม่ใช่โดยตรง ที่ปรับใช้ตามรูปแบบต่อไปนี้ เนื่องจากเหตุผลหลายประการ (ไม่สามารถเข้าถึงวัตถุประสงค์ของการศึกษาการสูญเสียความเป็นจริงของการดำรงอยู่ของมัน ฯลฯ ) โอกาสที่จะดำเนินการพิสูจน์โดยตรงของความจริงของข้อความใด ๆ วิทยานิพนธ์พวกเขาสร้างสิ่งที่ตรงกันข้าม พวกเขาเชื่อว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามนำไปสู่ความขัดแย้ง ดังนั้นจึงเป็นเท็จ จากนั้นจากข้อเท็จจริงของความเท็จของสิ่งที่ตรงกันข้าม - บนพื้นฐานของกฎหมายของกลางที่ยกเว้น (a v) - ข้อสรุปเกี่ยวกับความจริงของวิทยานิพนธ์

  ในวิชาคณิตศาสตร์ การพิสูจน์ทางอ้อมรูปแบบหนึ่งใช้กันอย่างแพร่หลาย - การพิสูจน์โดยความขัดแย้ง มีคุณค่าอย่างยิ่งและจำเป็นอย่างยิ่งในการยอมรับแนวคิดพื้นฐานและบทบัญญัติของคณิตศาสตร์ เช่น แนวคิดเรื่องอนันต์จริง ซึ่งไม่สามารถนำเสนอในรูปแบบอื่นได้

  การทำงานของการพิสูจน์โดยความขัดแย้งจะแสดงในตรรกะทางคณิตศาสตร์ดังนี้ กำหนดลำดับของสูตร G และการปฏิเสธของ A (G , A) หากนี่หมายถึง B และการปฏิเสธ (G , A B, ไม่ใช่ B) เราก็สามารถสรุปได้ว่าความจริงของ A เป็นไปตามลำดับของสูตร G กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความจริงของวิทยานิพนธ์ตามมาจากความเท็จของสิ่งที่ตรงกันข้าม .

  ข้อมูลอ้างอิง:

• 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, คณิตศาสตร์ชั้นสูงสำหรับนักเศรษฐศาสตร์, ตำราเรียน, มอสโก, 2002;

  2. L.D. Kudryavtsev, คณิตศาสตร์สมัยใหม่และการสอน, มอสโก, Nauka, 1985;

  3. O. I. Larichev, แบบจำลองวัตถุประสงค์และการตัดสินใจเชิงอัตนัย, มอสโก, นอก้า, 1987;

  4. A.Ya.Halamizer, “คณิตศาสตร์? - มันตลก!” ฉบับผู้แต่ง 1989;

  5. P.K. Rashevsky, การวิเคราะห์เรขาคณิตและเทนเซอร์ของ Riemannian, มอสโก, ฉบับที่ 3, 1967;

  6. V.E. Gmurman, ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์, มอสโก, โรงเรียนมัธยม, 1977;

  7. เครือข่าย Enternet ทั่วโลก

คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์แห่งความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ของความเป็นจริง ศึกษาโลกรอบตัวเรา ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและทางสังคม แต่แตกต่างจากวิทยาศาสตร์อื่น ๆ คณิตศาสตร์ศึกษาคุณสมบัติพิเศษของพวกเขาโดยแยกจากผู้อื่น ดังนั้น เรขาคณิตจึงศึกษารูปร่างและขนาดของวัตถุ โดยไม่คำนึงถึงคุณสมบัติอื่นๆ เช่น สี มวล ความแข็ง ฯลฯ โดยทั่วไปแล้ว วัตถุทางคณิตศาสตร์ (เรขาคณิต จำนวน ค่า) ถูกสร้างขึ้นโดยจิตใจของมนุษย์และมีอยู่ในการคิดของมนุษย์เท่านั้น ในเครื่องหมายและสัญลักษณ์ที่สร้างภาษาคณิตศาสตร์

ความเป็นนามธรรมของคณิตศาสตร์ช่วยให้นำไปประยุกต์ใช้ในด้านต่างๆ ได้ เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการทำความเข้าใจธรรมชาติ

รูปแบบของความรู้แบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม

กลุ่มแรกเป็นรูปแบบของการรับรู้ทางประสาทสัมผัสซึ่งดำเนินการด้วยความช่วยเหลือของอวัยวะรับความรู้สึกต่าง ๆ : การเห็น, การได้ยิน, กลิ่น, การสัมผัส, การลิ้มรส

บจก. กลุ่มที่สองรวมถึงรูปแบบการคิดเชิงนามธรรม แนวคิดหลัก ถ้อยแถลง และการอนุมาน

รูปแบบของการรับรู้ทางประสาทสัมผัสคือ รู้สึก, การรับรู้และ การเป็นตัวแทน.

วัตถุแต่ละชิ้นไม่ได้มีคุณสมบัติเพียงอย่างเดียว แต่มีหลายอย่าง และเรารู้จักพวกมันด้วยความช่วยเหลือจากความรู้สึก

ความรู้สึก- นี่คือภาพสะท้อนของคุณสมบัติส่วนบุคคลของวัตถุหรือปรากฏการณ์ของโลกวัตถุซึ่งโดยตรง (เช่นตอนนี้ ในขณะนี้) ส่งผลกระทบต่อความรู้สึกของเรา เหล่านี้เป็นความรู้สึกของสีแดง อบอุ่น กลม เขียว หวาน ราบรื่นและคุณสมบัติอื่น ๆ ของวัตถุ [Getmanova, p. 7].

จากความรู้สึกส่วนบุคคลการรับรู้ของวัตถุทั้งหมดจะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น การรับรู้ของแอปเปิ้ลประกอบด้วยความรู้สึกดังกล่าว: ทรงกลม, แดง, เปรี้ยวหวาน, มีกลิ่นหอม ฯลฯ

การรับรู้เป็นภาพสะท้อนแบบองค์รวมของวัตถุภายนอกที่ส่งผลกระทบโดยตรงต่อความรู้สึกของเรา [Getmanova, p. แปด]. ตัวอย่างเช่น ภาพจาน ถ้วย ช้อน เครื่องใช้อื่นๆ ภาพของแม่น้ำถ้าตอนนี้เรากำลังแล่นไปตามแม่น้ำหรืออยู่บนฝั่ง ภาพของป่าถ้าตอนนี้เรามาถึงป่า ฯลฯ

แม้ว่าการรับรู้จะเป็นภาพสะท้อนทางประสาทสัมผัสของความเป็นจริงในจิตใจของเรา แต่ส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับประสบการณ์ของมนุษย์ ตัวอย่างเช่น นักชีววิทยาจะมองเห็นทุ่งหญ้าในทางเดียว (เขาจะได้เห็นพืชชนิดต่างๆ) แต่นักท่องเที่ยวหรือศิลปินจะรับรู้ในวิถีที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ประสิทธิภาพ- นี่เป็นภาพที่เย้ายวนของวัตถุที่เราไม่ได้รับรู้ในขณะนี้ แต่ที่เรารับรู้ก่อนหน้านี้ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง [Getmanova, p. สิบ]. ตัวอย่างเช่น เราสามารถจินตนาการถึงใบหน้าของคนรู้จัก ห้องของเราในบ้าน ต้นเบิร์ชหรือเห็ดด้วยสายตา นี่คือตัวอย่าง การสืบพันธุ์อย่างที่เราได้เห็นวัตถุเหล่านี้

การนำเสนอสามารถ ความคิดสร้างสรรค์, รวมทั้ง มหัศจรรย์. เราขอนำเสนอเจ้าหญิงหงส์แสนสวย หรือซาร์ซัลตัน หรือกระทงทองคำ และตัวละครอื่นๆ อีกมากมายจากเทพนิยายของ A.S. พุชกินที่เราไม่เคยเห็นและไม่เคยเห็น นี่คือตัวอย่างการนำเสนอที่สร้างสรรค์เหนือคำบรรยายด้วยวาจา เรายังจินตนาการถึง Snow Maiden, ซานตาคลอส, นางเงือก ฯลฯ

ดังนั้น รูปแบบของความรู้ทางประสาทสัมผัสคือความรู้สึก การรับรู้ และการเป็นตัวแทน ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา เราเรียนรู้ลักษณะภายนอกของวัตถุ (คุณสมบัติของมัน รวมถึงคุณสมบัติของมัน)

รูปแบบของการคิดเชิงนามธรรม ได้แก่ แนวคิด ถ้อยแถลง และข้อสรุป

แนวคิด ขอบเขตและเนื้อหาของแนวคิด

คำว่า "แนวคิด" มักใช้เพื่ออ้างถึงคลาสทั้งหมดของวัตถุที่มีลักษณะตามอำเภอใจซึ่งมีคุณสมบัติเฉพาะ (โดดเด่น, จำเป็น) หรือชุดของคุณสมบัติดังกล่าวทั้งหมด กล่าวคือ คุณสมบัติที่เป็นเอกลักษณ์เฉพาะของสมาชิกของคลาสนั้น

จากมุมมองของตรรกะ แนวคิดเป็นรูปแบบพิเศษของการคิด ซึ่งมีลักษณะดังนี้ 1) แนวคิดเป็นผลจากเรื่องที่มีการจัดระเบียบสูง 2) แนวคิดนี้สะท้อนถึงโลกแห่งวัตถุ 3) แนวคิดปรากฏในจิตสำนึกเป็นวิธีการทั่วไป 4) แนวคิดนี้หมายถึงกิจกรรมของมนุษย์โดยเฉพาะ 5) การก่อตัวของแนวคิดในใจของบุคคลนั้นแยกออกไม่ได้จากการแสดงออกผ่านคำพูด การเขียน หรือสัญลักษณ์

แนวคิดของวัตถุแห่งความเป็นจริงเกิดขึ้นได้อย่างไรในจิตใจของเรา?

กระบวนการสร้างแนวคิดบางอย่างเป็นกระบวนการที่ค่อยเป็นค่อยไปซึ่งสามารถมองเห็นขั้นตอนที่ต่อเนื่องกันได้หลายขั้นตอน พิจารณากระบวนการนี้โดยใช้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด - การก่อตัวของแนวคิดของหมายเลข 3 ในเด็ก

1. ในระยะแรกของความรู้ความเข้าใจ เด็ก ๆ จะทำความคุ้นเคยกับชุดเฉพาะต่างๆ โดยใช้รูปภาพหัวข้อและแสดงชุดองค์ประกอบสามชุดต่างๆ (แอปเปิ้ลสามลูก หนังสือ 3 เล่ม ดินสอ 3 เล่ม เป็นต้น) เด็กๆ ไม่เพียงแต่เห็นแต่ละฉากเท่านั้น แต่ยังสามารถสัมผัส (สัมผัส) สิ่งของต่างๆ ที่ประกอบเป็นชุดเหล่านี้ได้ กระบวนการ "มองเห็น" นี้สร้างภาพสะท้อนของความเป็นจริงในจิตใจของเด็กเป็นพิเศษซึ่งเรียกว่า การรับรู้ (ความรู้สึก)

2. ให้เอาสิ่งของ (สิ่งของ) ที่ประกอบเป็นชุดแต่ละชุดออก แล้วให้เด็กๆ พิจารณาว่ามีบางอย่างที่เหมือนกันซึ่งกำหนดลักษณะแต่ละชุดหรือไม่ จำนวนสิ่งของในแต่ละชุดจะต้องตราตรึงในใจของเด็กๆ ว่ามี “สาม” อยู่ทุกหนทุกแห่ง หากเป็นเช่นนี้ ก็เกิดรูปแบบใหม่ขึ้นในใจของเด็ก ๆ - ความคิดของหมายเลขสาม

3. ในขั้นต่อไป บนพื้นฐานของการทดลองทางความคิด เด็ก ๆ ควรเห็นว่าคุณสมบัติที่แสดงในคำว่า "สาม" แสดงถึงชุดขององค์ประกอบต่าง ๆ ของแบบฟอร์ม (a; b; c) ดังนั้น คุณลักษณะทั่วไปที่สำคัญของชุดดังกล่าวจะถูกแยกออก: "ให้มีสามองค์ประกอบ".ตอนนี้สามารถพูดได้ว่าในใจของเด็ก ๆ ก่อตัวขึ้น แนวคิดของหมายเลข 3

แนวคิด- นี่เป็นรูปแบบการคิดพิเศษซึ่งสะท้อนถึงคุณสมบัติที่จำเป็น (โดดเด่น) ของวัตถุหรือวัตถุที่ศึกษา

รูปแบบภาษาศาสตร์ของแนวคิดคือคำหรือกลุ่มคำ ตัวอย่างเช่น "สามเหลี่ยม" "หมายเลขสาม" "จุด" "เส้นตรง" "สามเหลี่ยมหน้าจั่ว" "พืช" "ต้นสน" "แม่น้ำ Yenisei" "ตาราง" เป็นต้น

แนวคิดทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติหลายประการ สิ่งสำคัญคือวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นสำหรับการสร้างแนวคิดนั้นไม่มีอยู่จริง วัตถุทางคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นโดยจิตใจของมนุษย์ สิ่งเหล่านี้เป็นวัตถุในอุดมคติที่สะท้อนถึงวัตถุหรือปรากฏการณ์จริง ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิต จะศึกษารูปร่างและขนาดของวัตถุ โดยไม่คำนึงถึงคุณสมบัติอื่นๆ ของวัตถุ เช่น สี มวล ความแข็ง ฯลฯ จากทั้งหมดนี้พวกเขาจะฟุ้งซ่านและเป็นนามธรรม ดังนั้นในทางเรขาคณิต แทนที่จะพูดว่า "วัตถุ" พวกเขาพูดว่า "รูปเรขาคณิต" ผลลัพธ์ของสิ่งที่เป็นนามธรรมยังเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์เช่น "จำนวน" และ "ค่า"

คุณสมบัติหลักใดๆ แนวคิดคือดังต่อไปนี้ 1) ปริมาณ; 2) เนื้อหา; 3) ความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิด.

เมื่อพวกเขาพูดถึงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ พวกเขามักจะหมายถึงทั้งชุด (ชุด) ของวัตถุที่แสดงด้วยคำศัพท์เดียว (คำหรือกลุ่มคำ) เมื่อพูดถึงสี่เหลี่ยมจัตุรัส พวกเขาหมายถึงรูปทรงเรขาคณิตทั้งหมดที่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เป็นที่เชื่อกันว่าเซตของสี่เหลี่ยมทั้งหมดเป็นขอบเขตของแนวคิดของ "สี่เหลี่ยมจัตุรัส"

ขอบเขตของแนวคิดชุดของวัตถุหรือวัตถุที่ใช้แนวคิดนี้เรียกว่า

ตัวอย่างเช่น 1) ขอบเขตของแนวคิดของ "สี่เหลี่ยมด้านขนาน" คือชุดของรูปสี่เหลี่ยม เช่น สี่เหลี่ยมด้านขนานที่เหมาะสม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยม 2) ขอบเขตของแนวคิดของ "จำนวนธรรมชาติหนึ่งหลัก" จะเป็นชุด - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

วัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ มีคุณสมบัติบางอย่าง ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีสี่ด้าน มุมฉากสี่มุมเท่ากับเส้นทแยงมุม เส้นทแยงมุมถูกผ่าครึ่งด้วยจุดตัดกัน คุณสามารถระบุคุณสมบัติอื่น ๆ ได้ แต่ในคุณสมบัติของวัตถุมี จำเป็น (โดดเด่น)และ ไม่จำเป็น.

ทรัพย์สินเรียกว่า จำเป็น (โดดเด่น) สำหรับวัตถุหากมีอยู่ในวัตถุนี้และไม่มีอยู่จริง ทรัพย์สินเรียกว่า ไม่สำคัญ สำหรับวัตถุถ้ามันสามารถอยู่ได้โดยปราศจากมัน

ตัวอย่างเช่น สำหรับสี่เหลี่ยมจตุรัส คุณสมบัติทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้นมีความจำเป็น คุณสมบัติ “ด้าน AD เป็นแนวนอน” จะไม่เกี่ยวข้องกับสี่เหลี่ยม ABCD (รูปที่ 1) หากสี่เหลี่ยมนี้หมุน ด้าน AD จะเป็นแนวตั้ง

พิจารณาตัวอย่างสำหรับเด็กก่อนวัยเรียนที่ใช้สื่อการมองเห็น (รูปที่ 2):

อธิบายรูป.

สามเหลี่ยมสีดำขนาดเล็ก ข้าว. 2

สามเหลี่ยมสีขาวขนาดใหญ่

ตัวเลขมีความคล้ายคลึงกันอย่างไร?

ตัวเลขต่างกันอย่างไร?

สี ขนาด.

สามเหลี่ยมมีอะไรบ้าง?

3 ด้าน 3 มุม

ดังนั้น เด็ก ๆ จึงค้นพบคุณสมบัติที่สำคัญและไม่จำเป็นของแนวคิดของ "สามเหลี่ยม" คุณสมบัติที่สำคัญ - "มีสามด้านและสามมุม" คุณสมบัติที่ไม่จำเป็น - สีและขนาด

ผลรวมของคุณสมบัติที่จำเป็น (โดดเด่น) ทั้งหมดของวัตถุหรือวัตถุที่สะท้อนในแนวคิดนี้เรียกว่า เนื้อหาของแนวคิด .

ตัวอย่างเช่น สำหรับแนวคิดของ "สี่เหลี่ยมด้านขนาน" เนื้อหาเป็นชุดของคุณสมบัติ: มีสี่ด้าน มีสี่มุม ด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ ด้านตรงข้ามเท่ากัน มุมตรงข้ามเท่ากัน เส้นทแยงมุมที่จุดตัดคือ แบ่งครึ่ง

มีความเชื่อมโยงระหว่างปริมาณของแนวคิดและเนื้อหา: หากปริมาณของแนวคิดเพิ่มขึ้น เนื้อหาของแนวคิดก็จะลดลง และในทางกลับกัน ตัวอย่างเช่น ขอบเขตของแนวคิด "สามเหลี่ยมหน้าจั่ว" เป็นส่วนหนึ่งของขอบเขตแนวคิด "สามเหลี่ยม" และเนื้อหาของแนวคิด "สามเหลี่ยมหน้าจั่ว" มีคุณสมบัติมากกว่าเนื้อหาของแนวคิด "สามเหลี่ยม" เพราะ สามเหลี่ยมหน้าจั่วไม่เพียงมีคุณสมบัติทั้งหมดของสามเหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังมีคุณสมบัติอื่นๆ ที่มีอยู่ในสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่านั้น ("สองด้านเท่ากัน", "สองมุมเท่ากัน", "ค่ามัธยฐานสองค่าเท่ากัน" ฯลฯ)

แนวคิดแบ่งออกเป็น โสดทั่วไปและ หมวดหมู่

แนวคิดที่มีปริมาตรเท่ากับ 1 เรียกว่า แนวคิดเดียว .

ตัวอย่างเช่น แนวคิด: "แม่น้ำ Yenisei", "สาธารณรัฐตูวา", "เมืองมอสโก"

แนวคิดที่มีปริมาตรมากกว่า 1 เรียกว่า ทั่วไป .

ตัวอย่างเช่น แนวคิด: "เมือง" "แม่น้ำ" "สี่เหลี่ยม" "ตัวเลข" "รูปหลายเหลี่ยม" "สมการ"

ในกระบวนการศึกษาพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ใด ๆ เด็ก ๆ มักสร้างแนวคิดทั่วไป ตัวอย่างเช่น ในชั้นประถมศึกษาปีที่นักเรียนทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเช่น "ตัวเลข", "ตัวเลข", "ตัวเลขหลักเดียว", "ตัวเลขสองหลัก", "ตัวเลขหลายหลัก", "เศษส่วน", "หุ้น" ”, “บวก”, “เทอม” , "ผลรวม", "การลบ", "ลบ", "ลด", "ผลต่าง", "การคูณ", "คูณ", "ผลิตภัณฑ์", "หาร", "หาร", "ตัวหาร", "ผลหาร", "ลูก, ทรงกระบอก, กรวย, ลูกบาศก์, สี่เหลี่ยมด้านขนาน, ปิรามิด, มุม, สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, สี่เหลี่ยมผืนผ้า, รูปหลายเหลี่ยม, วงกลม , "วงกลม", "เส้นโค้ง", "เส้นหลายเหลี่ยม", "ส่วน" , "ความยาวของส่วน", "รังสี", "เส้นตรง", "จุด", "ความยาว", "ความกว้าง", "ความสูง", "ปริมณฑล", "พื้นที่รูป", "ปริมาตร", "เวลา", " ความเร็ว", "มวล", "ราคา", "ต้นทุน" และอื่นๆ อีกมากมาย แนวคิดทั้งหมดเหล่านี้เป็นแนวคิดทั่วไป