ศาสตร์แห่งความสัมพันธ์เชิงปริมาณของโลกแห่งความเป็นจริง คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์แห่งความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ของโลกแห่งความเป็นจริง คาบคณิตศาสตร์ของตัวแปร
คุณสมบัติในอุดมคติของวัตถุที่กำลังศึกษาอยู่ในสูตรเป็นสัจพจน์หรือระบุไว้ในคำจำกัดความของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง จากนั้นตามกฎที่เข้มงวดของการอนุมานเชิงตรรกะ คุณสมบัติที่แท้จริงอื่น ๆ (ทฤษฎีบท) จะถูกอนุมานจากคุณสมบัติเหล่านี้ ทฤษฎีนี้ร่วมกันสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุที่กำลังศึกษาอยู่ ดังนั้นในขั้นต้นการดำเนินการจากความสัมพันธ์เชิงพื้นที่และเชิงปริมาณคณิตศาสตร์ได้รับความสัมพันธ์ที่เป็นนามธรรมมากขึ้นการศึกษาซึ่งเป็นเรื่องของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ด้วย
ตามเนื้อผ้า คณิตศาสตร์แบ่งออกเป็นทฤษฎี ซึ่งทำการวิเคราะห์เชิงลึกของโครงสร้างภายในคณิตศาสตร์ และประยุกต์ ซึ่งให้แบบจำลองกับวิทยาศาสตร์และสาขาวิชาวิศวกรรมอื่น ๆ และบางส่วนของพวกเขาครองตำแหน่งที่ติดกับคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตรรกะที่เป็นทางการถือได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์ปรัชญาและเป็นส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ กลศาสตร์ - ทั้งฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ และอัลกอริธึมหมายถึงทั้งวิศวกรรมศาสตร์และวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ เป็นต้น มีการเสนอคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมากมายในวรรณคดี
นิรุกติศาสตร์
คำว่า "คณิตศาสตร์" มาจากภาษากรีกอื่นๆ μάθημα ซึ่งหมายถึง การศึกษาของ, ความรู้, วิทยาศาสตร์, ฯลฯ - กรีก. μαθηματικός ความหมายเดิม เปิดรับ อุดมสมบูรณ์, ภายหลัง เรียนได้, ต่อมา เกี่ยวกับคณิตศาสตร์. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, μαθηματικὴ τέχνη , ในภาษาละติน ars คณิตศาสตร์, วิธี ศิลปะแห่งคณิตศาสตร์. ศัพท์ภาษากรีกอื่น ๆ μᾰθημᾰτικά ในความหมายสมัยใหม่ของคำว่า "คณิตศาสตร์" มีอยู่แล้วในงานเขียนของอริสโตเติล (ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช) ตามคำกล่าวของฟาสเมอร์ คำนี้มาจากภาษารัสเซียไม่ว่าจะผ่านทางภาษาโปแลนด์ matematyka หรือผ่าน lat. คณิตศาสตร์
คำจำกัดความ
Descartes หนึ่งในคำจำกัดความแรกของวิชาคณิตศาสตร์คือ
สาขาวิชาคณิตศาสตร์รวมเฉพาะศาสตร์ที่มีการพิจารณาลำดับหรือการวัด และไม่สำคัญว่าจะเป็นตัวเลข ตัวเลข ดาว เสียง หรือสิ่งอื่นใดที่ต้องการวัดนี้ ดังนั้น จะต้องมีวิทยาศาสตร์ทั่วไปบางอย่างที่อธิบายทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับและการวัด โดยไม่ต้องเข้าสู่การศึกษาวิชาใดวิชาหนึ่งโดยเฉพาะ และวิทยาศาสตร์นี้จะต้องไม่ถูกเรียกโดยชาวต่างชาติ แต่โดยชื่อสามัญทั่วไปของคณิตศาสตร์ทั่วไป
สาระสำคัญของคณิตศาสตร์ ... ถูกนำเสนอเป็นหลักคำสอนของความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุซึ่งไม่มีอะไรเป็นที่รู้จักยกเว้นคุณสมบัติบางอย่างที่อธิบายพวกเขา - อย่างแม่นยำเหล่านั้นที่วางเป็นสัจพจน์ที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎี ... คณิตศาสตร์คือ ชุดของรูปแบบนามธรรม - โครงสร้างทางคณิตศาสตร์
สาขาวิชาคณิตศาสตร์
1. คณิตศาสตร์เป็น วินัยทางวิชาการ
สัญกรณ์
เนื่องจากคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับโครงสร้างที่หลากหลายและค่อนข้างซับซ้อน สัญกรณ์ของคณิตศาสตร์จึงซับซ้อนมาก ระบบการเขียนสูตรสมัยใหม่ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของประเพณีเกี่ยวกับพีชคณิตของยุโรปรวมถึงความต้องการของสาขาคณิตศาสตร์ในภายหลัง - การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ตรรกะทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีเซต ฯลฯ เรขาคณิตจากกาลเวลาได้ใช้ภาพ (เรขาคณิต) ) การเป็นตัวแทน ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ระบบสัญกรณ์กราฟิกที่ซับซ้อน (เช่น ไดอะแกรมสับเปลี่ยน) ก็เป็นเรื่องธรรมดาเช่นกัน และมักใช้สัญกรณ์ที่ยึดตามกราฟ
เรื่องสั้น
ปรัชญาคณิตศาสตร์
เป้าหมายและวิธีการ
ช่องว่าง R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), ที่ n > 3 (\displaystyle n>3)เป็นการประดิษฐ์ทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม เป็นสิ่งประดิษฐ์ที่แยบยลมากที่ช่วยให้เข้าใจปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนทางคณิตศาสตร์».
ฐานราก
สัญชาตญาณ
คณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์
ชี้แจง
หัวข้อหลัก
ปริมาณ
ส่วนหลักที่เกี่ยวข้องกับนามธรรมของปริมาณคือพีชคณิต แนวคิดของ "ตัวเลข" มีต้นกำเนิดมาจากการแทนค่าทางคณิตศาสตร์และอ้างอิงถึงตัวเลขธรรมชาติ ต่อมา ด้วยความช่วยเหลือของพีชคณิต มันค่อยๆ ขยายเป็นจำนวนเต็ม ตรรกยะ จริง เชิงซ้อน และตัวเลขอื่นๆ
การแปลงร่าง
ปรากฏการณ์ของการเปลี่ยนแปลงและการเปลี่ยนแปลงได้รับการพิจารณาในรูปแบบทั่วไปมากที่สุดโดยการวิเคราะห์
โครงสร้าง
ความสัมพันธ์เชิงพื้นที่
เรขาคณิตพิจารณาพื้นฐานของความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติพิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ การศึกษาวัตถุเรขาคณิตผ่านการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ คุณสมบัติของช่องว่างที่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนรูปอย่างต่อเนื่องและปรากฏการณ์ของความต่อเนื่องนั้นศึกษาโดยโทโพโลยี
คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง
∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x"))) | |||
คณิตศาสตร์มีมานานแล้ว มนุษย์เก็บผลไม้ ขุดผลไม้ ตกปลา และเก็บไว้ทั้งหมดสำหรับฤดูหนาว เพื่อให้เข้าใจถึงปริมาณอาหารที่ถูกเก็บไว้ บุคคลผู้คิดค้นบัญชี นี่คือวิธีที่คณิตศาสตร์เริ่มต้นขึ้น
จากนั้นชายคนนั้นก็เริ่มทำการเกษตร จำเป็นต้องวัดแปลงที่ดิน, สร้างบ้านเรือน, วัดเวลา.
นั่นคือมันเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับบุคคลที่จะใช้อัตราส่วนเชิงปริมาณของโลกแห่งความเป็นจริง กำหนดจำนวนพืชผลที่เก็บเกี่ยวได้ ขนาดของแปลงอาคารคือเท่าใด หรือพื้นที่ท้องฟ้าใหญ่แค่ไหนที่มีดาวสว่างจำนวนหนึ่ง
นอกจากนี้บุคคลเริ่มกำหนดรูปแบบ: ดวงอาทิตย์เป็นทรงกลม, กล่องเป็นสี่เหลี่ยม, ทะเลสาบเป็นวงรี, และวัตถุเหล่านี้ตั้งอยู่ในอวกาศอย่างไร นั่นคือบุคคลเริ่มสนใจรูปแบบเชิงพื้นที่ของโลกแห่งความเป็นจริง
ดังนั้นแนวคิด คณิตศาสตร์สามารถกำหนดได้ว่าเป็นศาสตร์แห่งความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ของโลกแห่งความเป็นจริง
ปัจจุบันไม่มีอาชีพใดที่สามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ได้รับฉายาว่า "ราชาแห่งคณิตศาสตร์" เคยกล่าวไว้ว่า:
"คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์เป็นราชินีของคณิตศาสตร์"
คำว่า "เลขคณิต" มาจากคำภาษากรีก "arithmos" - "number"
ดังนั้น, เลขคณิตเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาตัวเลขและการดำเนินการกับตัวเลข
ในโรงเรียนประถม อย่างแรกเลย พวกเขาเรียนเลขคณิต
วิทยาศาสตร์นี้มีการพัฒนาอย่างไร เรามาสำรวจประเด็นนี้กัน
ช่วงเวลาของการเกิดของคณิตศาสตร์
ช่วงเวลาหลักของการสะสมความรู้ทางคณิตศาสตร์ถือเป็นช่วงเวลาก่อนศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช
คนแรกที่เริ่มพิสูจน์ตำแหน่งทางคณิตศาสตร์คือนักคิดชาวกรีกโบราณที่อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาล สันนิษฐานว่า 625-545 ปราชญ์ท่านนี้เดินทางไปทั่วประเทศทางตะวันออก ประเพณีกล่าวว่าเขาศึกษากับนักบวชชาวอียิปต์และชาวเคลเดียชาวบาบิโลน
Thales of Miletus นำแนวคิดแรกของเรขาคณิตเบื้องต้นจากอียิปต์มายังกรีซ: เส้นผ่านศูนย์กลางคืออะไร อะไรกำหนดสามเหลี่ยม และอื่นๆ เขาทำนายสุริยุปราคา ออกแบบโครงสร้างทางวิศวกรรม
ในช่วงเวลานี้ เลขคณิตจะค่อยๆ พัฒนาขึ้น ดาราศาสตร์และเรขาคณิตจะพัฒนาขึ้น พีชคณิตและตรีโกณมิติเกิดขึ้น
วิชาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา
ช่วงเวลานี้เริ่มต้นด้วย VI BC ตอนนี้คณิตศาสตร์กำลังกลายเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีทฤษฎีและการพิสูจน์ ทฤษฎีจำนวนปรากฏ หลักคำสอนของปริมาณ ของการวัด
นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในยุคนี้คือยุคลิด เขาอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ชายคนนี้เป็นผู้เขียนบทความเชิงทฤษฎีเรื่องแรกเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ลงมาหาเรา
ในงานของ Euclid มีการให้รากฐานของสิ่งที่เรียกว่าเรขาคณิตแบบยุคลิด ซึ่งเป็นสัจพจน์ที่อยู่บนแนวคิดพื้นฐาน เช่น
ในช่วงเวลาของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ทฤษฎีของตัวเลขถือกำเนิดขึ้น เช่นเดียวกับหลักคำสอนเรื่องปริมาณและการวัดปริมาณ เป็นครั้งแรกที่ตัวเลขติดลบและไม่ลงตัวปรากฏขึ้น
ในตอนท้ายของช่วงเวลานี้จะสังเกตเห็นการสร้างพีชคณิตเป็นแคลคูลัสตามตัวอักษร ศาสตร์แห่ง "พีชคณิต" ปรากฏในหมู่ชาวอาหรับว่าเป็นศาสตร์แห่งการแก้สมการ คำว่า "พีชคณิต" ในภาษาอาหรับหมายถึง "การฟื้นตัว" นั่นคือการถ่ายโอนค่าลบไปยังส่วนอื่นของสมการ
คาบคณิตศาสตร์ของตัวแปร
ผู้ก่อตั้งยุคนี้คือ Rene Descartes ซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 17 ในงานเขียนของเขา Descartes ได้แนะนำแนวคิดของตัวแปรเป็นครั้งแรก
ด้วยเหตุนี้นักวิทยาศาสตร์จึงเปลี่ยนจากการศึกษาปริมาณคงที่ไปสู่การศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรและคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่
ฟรีดริช เองเงิลส์ระบุถึงช่วงเวลานี้อย่างชัดเจนที่สุดในงานเขียนของเขา เขาเขียนว่า:
“จุดเปลี่ยนในวิชาคณิตศาสตร์คือตัวแปรคาร์ทีเซียน ด้วยเหตุนี้การเคลื่อนไหวและวิภาษวิธีจึงเข้าสู่วิชาคณิตศาสตร์ และด้วยเหตุนี้ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์จึงมีความจำเป็นในทันที ซึ่งเกิดขึ้นทันที และเสร็จสมบูรณ์โดยส่วนใหญ่ และไม่ได้ถูกคิดค้นโดยนิวตันและไลบนิซ
ยุคคณิตศาสตร์สมัยใหม่
ในช่วงทศวรรษที่ 20 ของศตวรรษที่ 19 นิโคไล อิวาโนวิช โลบาชอฟสกี ได้กลายเป็นผู้ก่อตั้งสิ่งที่เรียกว่าเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
จากช่วงเวลานี้เริ่มการพัฒนาส่วนที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เช่น ทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีเซต สถิติทางคณิตศาสตร์ เป็นต้น
การค้นพบและการศึกษาเหล่านี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านวิทยาศาสตร์ต่างๆ
และในปัจจุบัน วิทยาศาสตร์ของคณิตศาสตร์กำลังพัฒนาอย่างรวดเร็ว วิชาคณิตศาสตร์กำลังขยายตัว รวมถึงรูปแบบและความสัมพันธ์ใหม่ ทฤษฎีบทใหม่กำลังได้รับการพิสูจน์ และแนวคิดพื้นฐานนั้นลึกซึ้งยิ่งขึ้น
คุณสมบัติในอุดมคติของวัตถุที่กำลังศึกษาอยู่ในสูตรเป็นสัจพจน์หรือระบุไว้ในคำจำกัดความของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง จากนั้นตามกฎที่เข้มงวดของการอนุมานเชิงตรรกะ คุณสมบัติที่แท้จริงอื่น ๆ (ทฤษฎีบท) จะถูกอนุมานจากคุณสมบัติเหล่านี้ ทฤษฎีนี้ร่วมกันสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุที่กำลังศึกษาอยู่ ดังนั้นในขั้นต้นการดำเนินการจากความสัมพันธ์เชิงพื้นที่และเชิงปริมาณคณิตศาสตร์ได้รับความสัมพันธ์ที่เป็นนามธรรมมากขึ้นการศึกษาซึ่งเป็นเรื่องของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ด้วย
ตามเนื้อผ้า คณิตศาสตร์แบ่งออกเป็นทฤษฎี ซึ่งทำการวิเคราะห์เชิงลึกของโครงสร้างภายในคณิตศาสตร์ และประยุกต์ ซึ่งให้แบบจำลองกับวิทยาศาสตร์และสาขาวิชาวิศวกรรมอื่น ๆ และบางส่วนของพวกเขาครองตำแหน่งที่ติดกับคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตรรกะที่เป็นทางการถือได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์ปรัชญาและเป็นส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ กลศาสตร์ - ทั้งฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ และอัลกอริธึมหมายถึงทั้งวิศวกรรมศาสตร์และคณิตศาสตร์ เป็นต้น มีการเสนอคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมากมายในวรรณกรรม (ดู)
นิรุกติศาสตร์
คำว่า "คณิตศาสตร์" มาจากภาษากรีกอื่นๆ μάθημα ( คณิตศาสตร์), ซึ่งหมายความว่า การศึกษาของ, ความรู้, วิทยาศาสตร์, ฯลฯ - กรีก. μαθηματικός ( คณิตศาสตร์) ความหมายเดิม เปิดรับ อุดมสมบูรณ์, ภายหลัง เรียนได้, ต่อมา เกี่ยวกับคณิตศาสตร์. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, μαθηματικὴ τέχνη (คณิตศาสตร์ tékhnē) ในภาษาละติน ars คณิตศาสตร์, วิธี ศิลปะแห่งคณิตศาสตร์.
คำจำกัดความ
สาขาวิชาคณิตศาสตร์รวมเฉพาะศาสตร์ที่มีการพิจารณาลำดับหรือการวัด และไม่สำคัญว่าจะเป็นตัวเลข ตัวเลข ดาว เสียง หรือสิ่งอื่นใดที่ต้องการวัดนี้ ดังนั้น จะต้องมีวิทยาศาสตร์ทั่วไปบางอย่างที่อธิบายทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับและการวัด โดยไม่ต้องเข้าสู่การศึกษาวิชาใดวิชาหนึ่งโดยเฉพาะ และวิทยาศาสตร์นี้จะต้องไม่ถูกเรียกโดยชาวต่างชาติ แต่โดยชื่อสามัญทั่วไปของคณิตศาสตร์ทั่วไป
ในสมัยโซเวียตคำจำกัดความจาก TSB ที่ A. N. Kolmogorov ให้ไว้ถือเป็นแบบคลาสสิก:
คณิตศาสตร์ ... ศาสตร์แห่งความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ของโลกแห่งความเป็นจริง
สาระสำคัญของคณิตศาสตร์ ... ถูกนำเสนอเป็นหลักคำสอนของความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุซึ่งไม่มีอะไรเป็นที่รู้จักยกเว้นคุณสมบัติบางอย่างที่อธิบายพวกเขา - อย่างแม่นยำเหล่านั้นที่วางเป็นสัจพจน์ที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎี ... คณิตศาสตร์คือ ชุดของรูปแบบนามธรรม - โครงสร้างทางคณิตศาสตร์
ต่อไปนี้เป็นคำจำกัดความที่ทันสมัยกว่า
คณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีสมัยใหม่ ("บริสุทธิ์") เป็นศาสตร์ของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ของระบบและกระบวนการต่างๆ
คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ให้ความสามารถในการคำนวณแบบจำลองที่สามารถย่อให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน (บัญญัติ) ศาสตร์แห่งการหาคำตอบของแบบจำลองการวิเคราะห์ (การวิเคราะห์) โดยการแปลงรูปแบบที่เป็นทางการ
สาขาวิชาคณิตศาสตร์
1. คณิตศาสตร์เป็น วินัยทางวิชาการถูกแบ่งย่อยในสหพันธรัฐรัสเซียเป็นคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาที่ศึกษาในโรงเรียนมัธยมศึกษาและเกิดขึ้นจากสาขาวิชาต่อไปนี้:
- เรขาคณิตเบื้องต้น: planimetry และ stereometry
- ทฤษฎีฟังก์ชันเบื้องต้นและองค์ประกอบของการวิเคราะห์
4. American Mathematical Society (AMS) ได้พัฒนามาตรฐานของตนเองในการจำแนกสาขาวิชาคณิตศาสตร์ เรียกว่า การจำแนกวิชาคณิตศาสตร์ มาตรฐานนี้มีการปรับปรุงเป็นระยะ เวอร์ชันปัจจุบันคือ MSC 2010 เวอร์ชันก่อนหน้าคือ MSC 2000
สัญกรณ์
เนื่องจากคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับโครงสร้างที่ค่อนข้างหลากหลายและค่อนข้างซับซ้อน สัญกรณ์จึงซับซ้อนมาก ระบบการเขียนสูตรสมัยใหม่ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของประเพณีเกี่ยวกับพีชคณิตของยุโรปรวมถึงการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (แนวคิดของฟังก์ชันอนุพันธ์ ฯลฯ ) ตั้งแต่สมัยโบราณ เรขาคณิตได้ใช้การแสดงภาพ (เรขาคณิต) ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ระบบสัญกรณ์กราฟิกที่ซับซ้อน (เช่น ไดอะแกรมสับเปลี่ยน) ก็เป็นเรื่องธรรมดาเช่นกัน และมักใช้สัญกรณ์ที่ยึดตามกราฟ
เรื่องสั้น
การพัฒนาคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับการเขียนและความสามารถในการเขียนตัวเลข อาจเป็นไปได้ว่าคนโบราณแสดงปริมาณโดยวาดเส้นบนพื้นหรือเกาบนไม้ ชาวอินคาโบราณไม่มีระบบการเขียนอื่นใด นำเสนอและจัดเก็บข้อมูลตัวเลขโดยใช้ระบบที่ซับซ้อนของปมเชือก ที่เรียกว่าคีปู มีระบบตัวเลขที่แตกต่างกันมากมาย บันทึกตัวเลขที่รู้จักครั้งแรกพบใน Ahmes Papyrus ซึ่งสร้างขึ้นโดยชาวอียิปต์ในอาณาจักรกลาง อารยธรรมอินเดียได้พัฒนาระบบเลขฐานสิบสมัยใหม่โดยผสมผสานแนวคิดเรื่องศูนย์
ในอดีต สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่สำคัญเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของความจำเป็นในการคำนวณในด้านการค้า ในการวัดที่ดิน และสำหรับการทำนายปรากฏการณ์ทางดาราศาสตร์ และสำหรับการแก้ปัญหาทางกายภาพใหม่ๆ ในภายหลัง แต่ละพื้นที่เหล่านี้มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์ในวงกว้าง ซึ่งประกอบด้วยการศึกษาโครงสร้าง ช่องว่าง และการเปลี่ยนแปลง
ปรัชญาคณิตศาสตร์
เป้าหมายและวิธีการ
คณิตศาสตร์ศึกษาเรื่องจินตภาพ วัตถุในอุดมคติ และความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุทั้งสองโดยใช้ภาษาที่เป็นทางการ โดยทั่วไป แนวคิดและทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับสิ่งใดในโลกทางกายภาพ งานหลักของสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์คือการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอสำหรับวัตถุจริงที่กำลังศึกษาอยู่ งานของนักคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีคือการจัดเตรียมชุดวิธีที่สะดวกเพียงพอเพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้
เนื้อหาของคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นระบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และเครื่องมือสำหรับการสร้างของพวกเขา โมเดลวัตถุไม่ได้คำนึงถึงคุณลักษณะทั้งหมด แต่เฉพาะที่จำเป็นที่สุดสำหรับวัตถุประสงค์ของการศึกษาเท่านั้น (ในอุดมคติ) ตัวอย่างเช่น เมื่อศึกษาคุณสมบัติทางกายภาพของส้ม เราสามารถแยกแยะจากสีและรสชาติของส้ม และแสดงมันออกมาเป็นลูกบอล หากเราต้องเข้าใจว่าเราจะได้ส้มกี่ผล หากเราบวกสองและสามเข้าด้วยกัน เราก็สามารถแยกส่วนออกจากแบบฟอร์มได้ โดยปล่อยให้แบบจำลองมีลักษณะเฉพาะ - ปริมาณเท่านั้น นามธรรมและการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุในรูปแบบทั่วไปมากที่สุดเป็นหนึ่งในพื้นที่หลักของความคิดสร้างสรรค์ทางคณิตศาสตร์
อีกทิศทางหนึ่งพร้อมกับสิ่งที่เป็นนามธรรมก็คือการวางนัยทั่วไป ตัวอย่างเช่น การวางแนวความคิดของ "สเปซ" ให้เป็นสเปซของมิติ n " พื้นที่ที่เป็นนิยายคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม เป็นสิ่งประดิษฐ์ที่แยบยลมากที่ช่วยให้เข้าใจปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนทางคณิตศาสตร์».
ตามกฎแล้วการศึกษาวัตถุภายในร่างกายเกิดขึ้นโดยใช้วิธีสัจพจน์: ขั้นแรกรายการแนวคิดพื้นฐานและสัจพจน์ถูกกำหนดขึ้นสำหรับวัตถุที่อยู่ระหว่างการศึกษาและจากนั้นจะได้ทฤษฎีบทที่มีความหมายจากสัจพจน์โดยใช้กฎการอนุมานซึ่งรวมกันเป็น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์
ฐานราก
คำถามเกี่ยวกับสาระสำคัญและพื้นฐานของคณิตศาสตร์ได้รับการกล่าวถึงตั้งแต่สมัยของเพลโต ตั้งแต่ศตวรรษที่ 20 มีข้อตกลงเปรียบเทียบกันในสิ่งที่ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด แต่ไม่มีข้อตกลงใด ๆ กับสิ่งที่ถือว่าเป็นความจริงในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่งนี้ทำให้เกิดความขัดแย้งทั้งในคำถามเกี่ยวกับสัจพจน์และการเชื่อมโยงกันของสาขาคณิตศาสตร์ และในการเลือกระบบตรรกะที่ควรใช้ในการพิสูจน์
นอกเหนือจากความสงสัยแล้วยังมีแนวทางต่อไปนี้สำหรับปัญหานี้
วิธีการตั้งทฤษฎี
เสนอให้พิจารณาวัตถุทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดภายในกรอบของทฤษฎีเซต ส่วนใหญ่มักใช้กับสัจพจน์ของ Zermelo-Fraenkel (แม้ว่าจะมีอีกหลายอย่างที่เทียบเท่ากันก็ตาม) วิธีนี้ได้รับการพิจารณาว่ามีความโดดเด่นตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 20 อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริง งานคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่ได้ตั้งตัวเองเป็นงานแปลข้อความเป็นภาษาของทฤษฎีเซตอย่างเคร่งครัด แต่ดำเนินการด้วยแนวคิดและข้อเท็จจริงที่กำหนดขึ้นในบางพื้นที่ ของคณิตศาสตร์ ดังนั้น หากพบความขัดแย้งในทฤษฎีเซต สิ่งนี้จะไม่ทำให้ผลลัพธ์ส่วนใหญ่เป็นโมฆะ
ตรรกะ
วิธีการนี้ถือว่าการพิมพ์วัตถุทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวด ความขัดแย้งมากมายที่หลีกเลี่ยงในทฤษฎีเซตโดยกลอุบายพิเศษเท่านั้นกลับกลายเป็นว่าเป็นไปไม่ได้ในหลักการ
พิธีการ
แนวทางนี้เกี่ยวข้องกับการศึกษาระบบที่เป็นทางการตามตรรกะแบบคลาสสิก
สัญชาตญาณ
การหยั่งรู้สัญชาตญาณสันนิษฐานว่าพื้นฐานของคณิตศาสตร์เป็นตรรกะของสัญชาตญาณที่มีข้อ จำกัด มากขึ้นในวิธีการพิสูจน์ (แต่เชื่อกันว่าน่าเชื่อถือกว่าด้วย) สัญชาตญาณปฏิเสธการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง การพิสูจน์ที่ไม่เชิงสร้างสรรค์จำนวนมากกลายเป็นสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ และปัญหามากมายของทฤษฎีเซตกลายเป็นเรื่องที่ไม่มีความหมาย
คณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์
คณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์เป็นแนวโน้มทางคณิตศาสตร์ที่ใกล้เคียงกับสัญชาตญาณที่ศึกษาโครงสร้างเชิงสร้างสรรค์ [ ชี้แจง] . ตามเกณฑ์ความสามารถในการก่อสร้าง - " มีอยู่หมายถึงถูกสร้างขึ้น". เกณฑ์การสร้างสรรค์เป็นข้อกำหนดที่เข้มงวดกว่าเกณฑ์ความสอดคล้อง
หัวข้อหลัก
ตัวเลข
แนวคิดของ "จำนวน" เดิมเรียกว่าจำนวนธรรมชาติ ต่อมาค่อยขยายเป็นจำนวนเต็ม ตรรกยะ จริง เชิงซ้อน และจำนวนอื่นๆ
ระบบตัวเลข | |
---|---|
นับ ชุด |
ตัวเลขธรรมชาติ () จำนวนเต็ม () เหตุผล () พีชคณิต () งวด เลขคณิตที่คำนวณได้ |
ตัวเลขจริง และนามสกุลของพวกเขา |
จริง () คอมเพล็กซ์ () ควอเทอร์เนียน () ตัวเลขเคย์ลีย์ (อ็อกเทฟ, ออคโทเนียน) () เซเดนเนียน () ทางเลือกอื่น Cayley-Dixon ขั้นตอน Dual Hypercomplex Superreal Hyperreal หมายเลขเซอร์เรียล ( ภาษาอังกฤษ) |
อื่น ระบบตัวเลข |
เลขคาร์ดินัล เลขลำดับ (ทรานฟินิท, ลำดับ) p-adic เลขเหนือธรรมชาติ |
ดูสิ่งนี้ด้วย | เลขคู่ เลขอตรรกยะ เลขเหนือธรรมชาติ ray Biquaternion |
การแปลงร่าง
คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง
รหัสในระบบการจำแนกความรู้
บริการออนไลน์
มีไซต์จำนวนมากที่ให้บริการสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ส่วนใหญ่เป็นภาษาอังกฤษ ในบรรดาผู้ที่พูดภาษารัสเซียสามารถสังเกตบริการการสืบค้นทางคณิตศาสตร์ของเครื่องมือค้นหา Nigma ได้
ดูสิ่งนี้ด้วย
ความนิยมของวิทยาศาสตร์หมายเหตุ
- สารานุกรมบริแทนนิกา
- พจนานุกรมออนไลน์ของเว็บสเตอร์
- บทที่ 2 คณิตศาสตร์เป็นภาษาของวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเปิดไซบีเรีย. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 2 กุมภาพันธ์ 2555 สืบค้นเมื่อ 5 ตุลาคม 2553
- พจนานุกรมกรีกโบราณขนาดใหญ่ (αω)
- พจนานุกรมภาษารัสเซียของศตวรรษที่ XI-XVII ฉบับที่ 9 / Ch. เอ็ด เอฟ.พี.ฟิลิน. - ม.: เนาคา, 2525. - ส. 41.
- เดส์การต อาร์กฎเกณฑ์เพื่อนำทางจิตใจ M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
- ดู: คณิตศาสตร์ TSB
- มาร์กซ์ เค., เองเงิลส์ เอฟ.ผลงาน. ฉบับที่ 2 ต. 20. ส. 37.
- บูร์บากิ เอ็น.สถาปัตยกรรมของคณิตศาสตร์ บทความเกี่ยวกับประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ / แปลโดย I. G. Bashmakova, ed. K.A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
- Kaziev V. M.คณิตศาสตร์เบื้องต้น
- มุกขิ่น โอ.ไอ.การสอนระบบการสร้างแบบจำลอง ระดับการใช้งาน: RCI PSTU
- เฮอร์แมน ไวล์ // คลีน เอ็ม. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
- มาตราฐานการศึกษาระดับอุดมศึกษาของวิชาชีพชั้นสูง พิเศษ 01.01.00 น. "คณิตศาสตร์". คุณสมบัติ - นักคณิตศาสตร์. มอสโก, 2000 (รวบรวมภายใต้การแนะนำของ O. B. Lupanov)
- ศัพท์เฉพาะของคนงานวิทยาศาสตร์ได้รับการอนุมัติโดยคำสั่งของกระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของรัสเซียลงวันที่ 25 กุมภาพันธ์ 2552 ฉบับที่ 59
- UDC 51 คณิตศาสตร์
- ยา S. Bugrov, S. M. Nikolsky องค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์ ม.: เนาคา, 1988. ส. 44.
- เอ็น.ไอ.คอนดาคอฟ หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมตรรกะ M.: Nauka, 1975. S. 259.
- จี ไอ รูซาวิน เกี่ยวกับธรรมชาติของความรู้ทางคณิตศาสตร์ ม.: 2511.
- http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
- ตัวอย่างเช่น: http://mathworld.wolfram.com
วรรณกรรม
สารานุกรม- // พจนานุกรมสารานุกรมของ Brockhaus และ Efron: ใน 86 เล่ม (82 เล่มและ 4 เพิ่มเติม) - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก. , พ.ศ. 2433-2450.
- สารานุกรมคณิตศาสตร์ (ใน 5 เล่ม), 1980 // การอ้างอิงทางคณิตศาสตร์ทั่วไปและพิเศษใน EqWorld
- คอนดาคอฟ N.I.หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมตรรกะ มอสโก: เนาก้า, 1975.
- สารานุกรมคณิตศาสตร์และการประยุกต์ (ภาษาเยอรมัน) พ.ศ. 2442-2477 (การทบทวนวรรณกรรมศตวรรษที่ 19 ที่ใหญ่ที่สุด)
- ก. กร, ต. กร.คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร ม., 1973
- คลีน เอ็มคณิตศาสตร์. เสียความมั่นใจ. - ม.: มีร์, 1984.
- คลีน เอ็มคณิตศาสตร์. การค้นหาความจริง ม.: มีร์, 1988.
- ไคลน์ เอฟคณิตศาสตร์เบื้องต้นจากมุมมองที่สูงขึ้น
- เล่มที่ 1 เลขคณิต. พีชคณิต. วิเคราะห์ M.: Nauka, 1987. 432 น.
- เล่มที่สอง เรขาคณิต ม.: เนาคา, 2530. 416 น.
- อาร์. คูแรนต์, จี. ร็อบบินส์.คณิตศาสตร์คืออะไร? ฉบับที่ 3, ฉบับที่. และเพิ่มเติม - ม.: 2544 568 น.
- Pisarevsky B. M. , Kharin V. T.เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ และไม่เพียงเท่านั้น - ม.: บินอม. ห้องปฏิบัติการความรู้, 2555. - 302 น.
- พอยน์แคร์ เอวิทยาศาสตร์และวิธีการ (rus.) (fr.)
คณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด การให้คำจำกัดความสั้น ๆ ของคณิตศาสตร์ไม่ใช่เรื่องง่ายเลย เนื้อหาจะแตกต่างกันอย่างมากขึ้นอยู่กับระดับการศึกษาคณิตศาสตร์ของบุคคล นักเรียนชั้นประถมศึกษาที่เพิ่งเริ่มเรียนเลขคณิตจะบอกว่าคณิตศาสตร์กำลังศึกษากฎการนับวัตถุอยู่ และเขาจะพูดถูกเพราะเขาคุ้นเคยกับสิ่งนี้ในตอนแรก นักเรียนที่มีอายุมากกว่าจะเพิ่มสิ่งที่ได้รับการกล่าวว่าแนวคิดของคณิตศาสตร์รวมถึงพีชคณิตและการศึกษาวัตถุเรขาคณิต: เส้น, จุดตัดของพวกเขา, ตัวเลขเครื่องบิน, ร่างกายเรขาคณิต, การแปลงประเภทต่างๆ อย่างไรก็ตาม ผู้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลายจะรวมไว้ในคำจำกัดความของคณิตศาสตร์ด้วยการศึกษาฟังก์ชันและการดำเนินการที่ส่งผ่านไปยังขีดจำกัด ตลอดจนแนวคิดที่เกี่ยวข้องของอนุพันธ์และปริพันธ์ ผู้สำเร็จการศึกษาจากสถาบันการศึกษาด้านเทคนิคระดับสูงหรือแผนกวิทยาศาสตร์ธรรมชาติของมหาวิทยาลัยและสถาบันการศึกษาจะไม่พอใจกับคำจำกัดความของโรงเรียนอีกต่อไป เนื่องจากพวกเขารู้ว่าสาขาวิชาอื่นๆ เป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ด้วยเช่นกัน: ทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติทางคณิตศาสตร์ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ การเขียนโปรแกรม วิธีการคำนวณ เช่นเดียวกับการประยุกต์ใช้สาขาวิชาเหล่านี้เพื่อสร้างแบบจำลองกระบวนการผลิต การประมวลผลข้อมูลการทดลอง การส่งและการประมวลผลข้อมูล อย่างไรก็ตาม สิ่งที่ระบุไว้ไม่ได้ทำให้เนื้อหาของคณิตศาสตร์หมดลง ทฤษฎีเซต ตรรกะทางคณิตศาสตร์ การควบคุมที่เหมาะสม ทฤษฎีกระบวนการสุ่ม และอื่นๆ อีกมากมายรวมอยู่ในองค์ประกอบด้วย
ความพยายามที่จะกำหนดคณิตศาสตร์โดยการระบุสาขาที่เป็นส่วนประกอบทำให้เราหลงทางเพราะพวกเขาไม่ได้ให้แนวคิดว่าการศึกษาคณิตศาสตร์คืออะไรและความสัมพันธ์กับโลกรอบตัวเราเป็นอย่างไร. หากคำถามดังกล่าวถูกส่งไปยังนักฟิสิกส์ นักชีววิทยา หรือนักดาราศาสตร์ แต่ละคนก็จะให้คำตอบสั้น ๆ โดยไม่มีรายการส่วนประกอบที่ประกอบเป็นวิทยาศาสตร์ที่พวกเขาศึกษา คำตอบดังกล่าวจะบ่งบอกถึงปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่เธอค้นคว้า ตัวอย่างเช่น นักชีววิทยาจะบอกว่าชีววิทยาคือการศึกษาปรากฏการณ์ต่างๆ ของชีวิต แม้ว่าคำตอบนี้จะไม่สมบูรณ์ทั้งหมด เนื่องจากไม่ได้บอกว่าปรากฏการณ์ชีวิตและชีวิตคืออะไร อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความดังกล่าวจะให้แนวคิดที่สมบูรณ์พอสมควรเกี่ยวกับเนื้อหาของวิทยาศาสตร์ของชีววิทยาเองและระดับต่างๆ ของวิทยาศาสตร์นี้ . และคำจำกัดความนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงไปพร้อมกับการขยายความรู้ทางชีววิทยาของเรา
ไม่มีปรากฏการณ์ของธรรมชาติ เทคนิค หรือกระบวนการทางสังคมดังกล่าวที่จะเป็นหัวข้อของการศึกษาคณิตศาสตร์ แต่จะไม่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์ทางกายภาพ ชีวภาพ เคมี วิศวกรรม หรือทางสังคม สาขาวิชาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติแต่ละสาขา: ชีววิทยาและฟิสิกส์ เคมีและจิตวิทยา - ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติทางวัตถุของวิชา ลักษณะเฉพาะของพื้นที่ในโลกแห่งความเป็นจริงที่ศึกษา วัตถุหรือปรากฏการณ์นั้นสามารถศึกษาได้ด้วยวิธีการต่างๆ ซึ่งรวมถึงวิธีทางคณิตศาสตร์ด้วย แต่ด้วยการเปลี่ยนวิธีการ เรายังคงอยู่ภายในขอบเขตของระเบียบวินัยนี้ เนื่องจากเนื้อหาของวิทยาศาสตร์นี้เป็นหัวข้อจริง ไม่ใช่วิธีการวิจัย สำหรับคณิตศาสตร์ เนื้อหาสาระของการวิจัยไม่สำคัญอย่างยิ่ง วิธีประยุกต์มีความสำคัญ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถใช้ได้ทั้งในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบสั่นและเพื่อกำหนดความสูงของวัตถุที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ และปรากฏการณ์ใดในโลกแห่งความเป็นจริงที่สามารถตรวจสอบได้โดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์? ปรากฏการณ์เหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดโดยธรรมชาติทางวัตถุ แต่โดยคุณสมบัติเชิงโครงสร้างที่เป็นทางการเท่านั้น และเหนือสิ่งอื่นใดโดยความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ที่มีอยู่
ดังนั้น คณิตศาสตร์ไม่ได้ศึกษาวัตถุทางวัตถุ แต่ใช้วิธีการวิจัยและคุณสมบัติโครงสร้างของวัตถุที่ศึกษา ซึ่งอนุญาตให้ใช้การดำเนินการบางอย่างกับมันได้ (ผลรวม ความแตกต่าง ฯลฯ) อย่างไรก็ตาม ส่วนสำคัญของปัญหา แนวคิด และทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เป็นที่มาของปรากฏการณ์และกระบวนการที่แท้จริง ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีเลขคณิตและจำนวนเกิดขึ้นจากภารกิจหลักในทางปฏิบัติของการนับวัตถุ เรขาคณิตเบื้องต้นมีปัญหาที่มาที่เกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบระยะทาง การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขระนาบหรือปริมาตรของวัตถุเชิงพื้นที่ ทั้งหมดนี้จำเป็นต้องหา เนื่องจากจำเป็นต้องแจกจ่ายที่ดินระหว่างผู้ใช้ คำนวณขนาดของยุ้งฉางหรือปริมาตรของกำแพงดินระหว่างการก่อสร้างโครงสร้างป้องกัน
ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติที่ไม่เพียงแต่สามารถใช้ในการศึกษาปรากฏการณ์หรือกระบวนการหนึ่งๆ เท่านั้น แต่ยังสามารถใช้เพื่อศึกษาปรากฏการณ์อื่นๆ ด้วย ซึ่งลักษณะทางกายภาพของธรรมชาตินั้นแตกต่างไปจากที่เคยพิจารณาโดยพื้นฐานแล้ว ดังนั้นกฎของเลขคณิตจึงนำไปใช้ในปัญหาทางเศรษฐกิจและในประเด็นทางเทคนิคและในการแก้ปัญหาทางการเกษตรและในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ กฎของเลขคณิตได้รับการพัฒนามานับพันปีแล้ว แต่ยังคงคุณค่าในทางปฏิบัติไว้ตลอดไป เลขคณิตเป็นส่วนสำคัญของคณิตศาสตร์ ส่วนดั้งเดิมนั้นไม่อยู่ภายใต้การพัฒนาเชิงสร้างสรรค์ภายในกรอบของคณิตศาสตร์อีกต่อไป แต่จะพบและจะค้นหาแอปพลิเคชันใหม่ๆ มากมายต่อไป แอปพลิเคชันเหล่านี้อาจมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับมนุษยชาติ แต่จะไม่มีส่วนช่วยในการคำนวณทางคณิตศาสตร์อีกต่อไป
คณิตศาสตร์ในฐานะพลังสร้างสรรค์มีเป้าหมายในการพัฒนากฎทั่วไปซึ่งควรใช้ในกรณีพิเศษมากมาย ผู้สร้างกฎเหล่านี้สร้างสิ่งใหม่สร้าง ผู้ที่ใช้กฎสำเร็จรูปไม่ได้สร้างขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์อีกต่อไป แต่อาจสร้างค่านิยมใหม่ในด้านความรู้อื่น ๆ ด้วยความช่วยเหลือของกฎทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ในปัจจุบัน ข้อมูลจากการตีความภาพถ่ายดาวเทียม ตลอดจนข้อมูลเกี่ยวกับองค์ประกอบและอายุของหิน ความผิดปกติทางธรณีเคมีและธรณีฟิสิกส์ได้รับการประมวลผลโดยใช้คอมพิวเตอร์ ไม่ต้องสงสัยเลยว่าการใช้คอมพิวเตอร์ในการวิจัยทางธรณีวิทยาทำให้งานวิจัยนี้เป็นธรณีวิทยาอย่างไม่ต้องสงสัย หลักการทำงานของคอมพิวเตอร์และซอฟต์แวร์ได้รับการพัฒนาโดยไม่คำนึงถึงความเป็นไปได้ในการใช้งานเพื่อประโยชน์ของวิทยาศาสตร์ทางธรณีวิทยา ความเป็นไปได้นี้ถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าคุณสมบัติโครงสร้างของข้อมูลทางธรณีวิทยาเป็นไปตามตรรกะของโปรแกรมคอมพิวเตอร์บางโปรแกรม
คำจำกัดความของคณิตศาสตร์สองข้อเป็นที่แพร่หลาย ผลงานชิ้นแรกนี้มอบให้โดย F. Engels ใน Anti-Dühring อีกชุดหนึ่งจัดทำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่รู้จักกันในชื่อ Nicolas Bourbaki ในบทความเรื่อง The Architecture of Mathematics (1948)
"คณิตศาสตร์บริสุทธิ์มีรูปแบบเชิงพื้นที่และความสัมพันธ์เชิงปริมาณของโลกแห่งความเป็นจริงเป็นวัตถุ" คำจำกัดความนี้ไม่เพียงแต่อธิบายวัตถุประสงค์ของการศึกษาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังระบุที่มาของมันด้วย - โลกแห่งความจริง อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้โดย F. Engels ส่วนใหญ่สะท้อนถึงสถานะของคณิตศาสตร์ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 และไม่คำนึงถึงพื้นที่ใหม่ที่ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับความสัมพันธ์เชิงปริมาณหรือรูปแบบทางเรขาคณิต ประการแรกคือ ตรรกะทางคณิตศาสตร์และสาขาวิชาที่เกี่ยวข้องกับการเขียนโปรแกรม ดังนั้นคำจำกัดความนี้จึงจำเป็นต้องมีการชี้แจง บางทีอาจกล่าวได้ว่าคณิตศาสตร์เป็นเป้าหมายของการศึกษารูปแบบเชิงพื้นที่ ความสัมพันธ์เชิงปริมาณ และโครงสร้างเชิงตรรกะ
Bourbaki โต้แย้งว่า "วัตถุทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวคือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่พูดอย่างถูกต้อง" กล่าวอีกนัยหนึ่ง คณิตศาสตร์ควรถูกกำหนดให้เป็นศาสตร์แห่งโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ คำจำกัดความนี้โดยพื้นฐานแล้วเป็นการพูดซ้ำซาก เพราะมันพูดเพียงสิ่งเดียวเท่านั้น: คณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับวัตถุที่ศึกษา ข้อบกพร่องอีกประการหนึ่งของคำจำกัดความนี้คือไม่ชี้แจงความสัมพันธ์ของคณิตศาสตร์กับโลกรอบตัวเรา นอกจากนี้ Bourbaki ยังเน้นย้ำว่าโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นโดยไม่ขึ้นกับโลกแห่งความจริงและปรากฏการณ์ของมัน นั่นคือเหตุผลที่ Bourbaki ถูกบังคับให้ประกาศว่า "ปัญหาหลักคือความสัมพันธ์ระหว่างโลกทดลองกับโลกทางคณิตศาสตร์ ว่ามีความสัมพันธ์ใกล้ชิดระหว่างปรากฏการณ์การทดลองกับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนจะได้รับการยืนยันในทางที่ไม่คาดฝันโดยสิ้นเชิงจากการค้นพบฟิสิกส์สมัยใหม่ แต่เราไม่รู้เหตุผลลึก ๆ ของเรื่องนี้โดยสิ้นเชิง ... และบางทีเราอาจจะไม่มีวันรู้เลย .
ข้อสรุปที่น่าผิดหวังดังกล่าวไม่สามารถเกิดขึ้นได้จากคำจำกัดความของ F. Engels เนื่องจากมีคำยืนยันอยู่แล้วว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์เป็นนามธรรมจากความสัมพันธ์และรูปแบบบางอย่างของโลกแห่งความเป็นจริง แนวคิดเหล่านี้นำมาจากโลกแห่งความเป็นจริงและเกี่ยวข้องกับมัน โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้จะอธิบายการใช้งานอันน่าทึ่งของผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์กับปรากฏการณ์ของโลกรอบตัวเรา และในขณะเดียวกัน ความสำเร็จของกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของความรู้
คณิตศาสตร์ไม่ใช่ข้อยกเว้นจากความรู้ทุกด้าน แต่ยังสร้างแนวคิดที่เกิดขึ้นจากสถานการณ์จริงและนามธรรมที่ตามมา จะช่วยให้สามารถศึกษาความเป็นจริงได้ประมาณ แต่ในขณะเดียวกัน ควรระลึกไว้เสมอว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้ศึกษาสิ่งต่าง ๆ ในโลกแห่งความเป็นจริง แต่เป็นแนวคิดเชิงนามธรรม และข้อสรุปเชิงตรรกะของมันนั้นเข้มงวดและแม่นยำอย่างยิ่ง ความใกล้ชิดของมันไม่ได้มีลักษณะภายใน แต่เกี่ยวข้องกับการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ นอกจากนี้เรายังทราบด้วยว่ากฎของคณิตศาสตร์ไม่มีการบังคับใช้อย่างสมบูรณ์พวกเขายังมีพื้นที่ จำกัด ในการใช้งานซึ่งพวกเขาปกครองสูงสุด ให้เราอธิบายความคิดที่แสดงออกมาด้วยตัวอย่าง: ปรากฎว่าสองและสองไม่เท่ากับสี่เสมอ เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อผสมแอลกอฮอล์ 2 ลิตรกับน้ำ 2 ลิตร จะได้ส่วนผสมน้อยกว่า 4 ลิตร ในส่วนผสมนี้ โมเลกุลจะถูกจัดเรียงอย่างแน่นหนายิ่งขึ้น และปริมาตรของส่วนผสมจะน้อยกว่าผลรวมของปริมาตรของส่วนประกอบที่เป็นส่วนประกอบ กฎการบวกเลขถูกละเมิด คุณยังสามารถยกตัวอย่างที่มีการละเมิดความจริงทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ เช่น เมื่อเพิ่มวัตถุบางอย่าง ปรากฎว่าผลรวมขึ้นอยู่กับลำดับของผลบวก
นักคณิตศาสตร์หลายคนมองว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่การสร้างเหตุผลล้วนๆ แต่เป็นการนามธรรมจากสิ่งที่มีอยู่จริง ปรากฏการณ์ กระบวนการ หรือสิ่งที่เป็นนามธรรมจากสิ่งที่เป็นนามธรรมที่สร้างไว้แล้ว (นามธรรมของลำดับที่สูงกว่า) ในภาษาถิ่นของธรรมชาติ F. Engels เขียนว่า "... ทั้งหมดที่เรียกว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มีส่วนร่วมในสิ่งที่เป็นนามธรรม ... ปริมาณทั้งหมดของมันคือการพูดอย่างเคร่งครัดปริมาณจินตภาพ ... " คำเหล่านี้ค่อนข้างชัดเจนสะท้อนความคิดเห็นของ หนึ่งในผู้ก่อตั้งปรัชญามาร์กซิสต์เกี่ยวกับบทบาทของนามธรรมในวิชาคณิตศาสตร์ เราควรเสริมว่า "ปริมาณจินตภาพ" ทั้งหมดนี้นำมาจากความเป็นจริงและไม่ได้สร้างขึ้นโดยพลการด้วยความคิดที่เป็นอิสระ นี่เป็นวิธีที่แนวคิดเรื่องจำนวนถูกนำมาใช้โดยทั่วไป ในตอนแรก ตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขภายในหน่วย และยิ่งกว่านั้น มีเพียงจำนวนเต็มบวกเท่านั้น จากนั้นประสบการณ์ก็บังคับให้ฉันขยายคลังแสงของตัวเลขเป็นสิบและหลายร้อย แนวคิดเรื่องความไร้ขอบเขตของชุดจำนวนเต็มถือกำเนิดขึ้นในยุคประวัติศาสตร์ที่ใกล้ตัวเรา: อาร์คิมิดีสในหนังสือ "Psammit" ("การคำนวณเม็ดทราย") แสดงให้เห็นว่าสามารถสร้างตัวเลขให้มากกว่าที่กำหนดได้อย่างไร . ในเวลาเดียวกัน แนวคิดเรื่องจำนวนเศษส่วนเกิดจากความต้องการในทางปฏิบัติ การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดได้นำมนุษยชาติไปสู่ตัวเลขใหม่ - ตัวเลขที่ไม่ลงตัว ดังนั้น แนวคิดเรื่องเซตของจำนวนจริงทั้งหมดจึงค่อยๆ ก่อตัวขึ้น
เส้นทางเดียวกันนี้สามารถติดตามได้สำหรับแนวคิดอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ ทั้งหมดเกิดจากความต้องการในทางปฏิบัติและค่อยๆ ก่อตัวเป็นแนวคิดที่เป็นนามธรรม เราสามารถจำคำพูดของ F. Engels ได้อีกครั้ง: “... คณิตศาสตร์บริสุทธิ์มีความหมายที่ไม่ขึ้นกับประสบการณ์พิเศษของแต่ละคน ... แต่มันผิดอย่างสมบูรณ์ที่ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์จิตใจเกี่ยวข้องกับผลิตภัณฑ์ของตัวเองเท่านั้น ความคิดสร้างสรรค์และจินตนาการ แนวคิดเรื่องจำนวนและตัวเลขไม่ได้นำมาจากที่ใด แต่มาจากโลกแห่งความเป็นจริงเท่านั้น สิบนิ้วที่คนเราเรียนรู้ที่จะนับ นั่นคือ การดำเนินการเลขคณิตครั้งแรก เป็นเพียงผลิตภัณฑ์จากความคิดสร้างสรรค์อิสระของจิตใจ ในการนับ จำเป็นต้องมีไม่เพียงแต่วัตถุที่จะนับเท่านั้น แต่ยังต้องมีความสามารถในการฟุ้งซ่านเมื่อพิจารณาวัตถุเหล่านี้จากคุณสมบัติอื่น ๆ ทั้งหมดยกเว้นจำนวนและความสามารถนี้เป็นผลมาจากการพัฒนาทางประวัติศาสตร์ที่ยาวนานตาม ประสบการณ์. ทั้งแนวคิดของตัวเลขและแนวคิดของตัวเลขนั้นยืมมาจากโลกภายนอกเท่านั้นและไม่ได้เกิดขึ้นในหัวจากการคิดที่บริสุทธิ์ ต้องมีบางสิ่งที่มีรูปแบบที่แน่นอนและต้องเปรียบเทียบรูปแบบเหล่านี้ก่อนที่จะมีแนวคิดเกี่ยวกับตัวเลข
ให้เราพิจารณาว่ามีแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ที่สร้างขึ้นโดยไม่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์ในอดีตและความก้าวหน้าของการปฏิบัติในปัจจุบันหรือไม่ เรารู้ดีว่าความคิดสร้างสรรค์ทางคณิตศาสตร์ทางวิทยาศาสตร์นำหน้าด้วยการศึกษาหลายวิชาในโรงเรียน มหาวิทยาลัย การอ่านหนังสือ บทความ การสนทนากับผู้เชี่ยวชาญทั้งในสาขาของตนเองและในสาขาความรู้อื่นๆ นักคณิตศาสตร์อาศัยอยู่ในสังคม และจากหนังสือ วิทยุ และจากแหล่งอื่นๆ เขาได้เรียนรู้เกี่ยวกับปัญหาที่เกิดขึ้นในด้านวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และชีวิตทางสังคม นอกจากนี้ ความคิดของผู้วิจัยยังได้รับอิทธิพลจากวิวัฒนาการทางความคิดทางวิทยาศาสตร์ก่อนหน้านี้ทั้งหมด ดังนั้นจึงกลายเป็นการเตรียมพร้อมสำหรับการแก้ปัญหาบางอย่างที่จำเป็นสำหรับความก้าวหน้าของวิทยาศาสตร์ นั่นคือเหตุผลที่นักวิทยาศาสตร์ไม่สามารถหยิบยกปัญหาขึ้นมาได้ตามใจชอบ แต่ต้องสร้างแนวคิดและทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่จะเป็นประโยชน์ต่อวิทยาศาสตร์ สำหรับนักวิจัยคนอื่นๆ เพื่อมนุษยชาติ แต่ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ยังคงมีความสำคัญในเงื่อนไขของการก่อตัวทางสังคมและยุคประวัติศาสตร์ต่างๆ นอกจากนี้ มักมีความคิดแบบเดียวกันนี้เกิดขึ้นจากนักวิทยาศาสตร์ที่ไม่เกี่ยวโยงกันแต่อย่างใด นี่เป็นข้อโต้แย้งเพิ่มเติมสำหรับผู้ที่ยึดมั่นในแนวคิดเรื่องการสร้างแนวคิดทางคณิตศาสตร์อย่างอิสระ
ดังนั้นเราจึงบอกสิ่งที่รวมอยู่ในแนวคิดของ "คณิตศาสตร์" แต่ยังมีสิ่งเช่นคณิตศาสตร์ประยุกต์ เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นผลรวมของวิธีการทางคณิตศาสตร์และสาขาวิชาทั้งหมดที่พบการใช้งานนอกคณิตศาสตร์ ในสมัยโบราณ เรขาคณิตและเลขคณิตเป็นตัวแทนของคณิตศาสตร์ทั้งหมด และเนื่องจากทั้งสองพบการใช้งานมากมายในการแลกเปลี่ยนทางการค้า การวัดพื้นที่และปริมาตร และในเรื่องของการนำทาง คณิตศาสตร์ทั้งหมดไม่ได้เป็นเพียงทฤษฎีเท่านั้น แต่ยังประยุกต์ใช้ด้วย ต่อมาในสมัยกรีกโบราณ มีการแบ่งเป็นหมวดคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงทุกคนต่างก็มีส่วนร่วมในการประยุกต์ใช้งาน ไม่เพียงแต่ในการวิจัยเชิงทฤษฎีเท่านั้น
การพัฒนาเพิ่มเติมของคณิตศาสตร์เชื่อมโยงกับความก้าวหน้าของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีธรรมชาติอย่างต่อเนื่อง พร้อมการเกิดขึ้นของความต้องการทางสังคมรูปแบบใหม่ ในตอนท้ายของศตวรรษที่สิบแปด มีความจำเป็น (ในขั้นต้นเกี่ยวกับปัญหาการนำทางและปืนใหญ่) เพื่อสร้างทฤษฎีการเคลื่อนที่ทางคณิตศาสตร์ งานนี้ทำโดย G. V. Leibniz และ I. Newton คณิตศาสตร์ประยุกต์ได้รับการเติมเต็มด้วยวิธีการวิจัยใหม่ที่ทรงพลัง - การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกือบพร้อมๆ กัน ความต้องการของประชากรศาสตร์และการประกันภัยทำให้เกิดจุดเริ่มต้นของทฤษฎีความน่าจะเป็น (ดู ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ศตวรรษที่ 18 และ 19 ขยายเนื้อหาของคณิตศาสตร์ประยุกต์ เพิ่มทฤษฎีสมการอนุพันธ์สามัญและบางส่วน สมการฟิสิกส์คณิตศาสตร์ องค์ประกอบของสถิติทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ศตวรรษที่ 20 ได้นำวิธีการใหม่ในการวิจัยทางคณิตศาสตร์ของปัญหาในทางปฏิบัติมาใช้ ได้แก่ ทฤษฎีกระบวนการสุ่ม ทฤษฎีกราฟ การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน การควบคุมที่เหมาะสมที่สุด การโปรแกรมเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น นอกจากนี้ ปรากฎว่าทฤษฎีจำนวนและพีชคณิตนามธรรมพบการประยุกต์ใช้กับปัญหาทางฟิสิกส์โดยไม่คาดคิด เป็นผลให้ความเชื่อมั่นเริ่มเป็นรูปเป็นร่างว่าคณิตศาสตร์ประยุกต์เป็นวินัยที่แยกจากกันไม่มีอยู่และคณิตศาสตร์ทั้งหมดสามารถนำมาประยุกต์ใช้ บางทีอาจจำเป็นต้องบอกว่าไม่ใช่ว่าคณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้และทฤษฎี แต่นักคณิตศาสตร์นั้นแบ่งออกเป็นนักประยุกต์และนักทฤษฎี สำหรับบางคน คณิตศาสตร์เป็นวิธีการรับรู้ของโลกรอบข้างและปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นในนั้น เพื่อจุดประสงค์นี้ที่นักวิทยาศาสตร์จะพัฒนาและขยายความรู้ทางคณิตศาสตร์ สำหรับคนอื่นๆ คณิตศาสตร์เป็นตัวแทนของโลกทั้งใบที่คู่ควรแก่การศึกษาและพัฒนา เพื่อความก้าวหน้าของวิทยาศาสตร์ จำเป็นต้องมีนักวิทยาศาสตร์ทั้งสองประเภท
คณิตศาสตร์ ก่อนที่จะศึกษาปรากฏการณ์ใด ๆ ด้วยวิธีการของมันเอง จะสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของมัน กล่าวคือ แสดงรายการคุณลักษณะทั้งหมดของปรากฏการณ์ที่จะนำมาพิจารณา แบบจำลองนี้บังคับให้ผู้วิจัยเลือกเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เหล่านั้นที่จะถ่ายทอดคุณสมบัติของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาและวิวัฒนาการของมันได้อย่างเพียงพอ ตัวอย่างเช่น ลองใช้แบบจำลองของระบบดาวเคราะห์: ดวงอาทิตย์และดาวเคราะห์ถือเป็นจุดวัตถุที่มีมวลเท่ากัน ปฏิสัมพันธ์ของจุดสองจุดแต่ละจุดถูกกำหนดโดยแรงดึงดูดระหว่างจุดทั้งสอง
โดยที่ m 1 และ m 2 คือมวลของจุดที่มีปฏิสัมพันธ์ r คือระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง และ f คือค่าคงตัวโน้มถ่วง แม้จะมีความเรียบง่ายของแบบจำลองนี้ แต่ในช่วงสามร้อยปีที่ผ่านมาได้มีการถ่ายทอดคุณสมบัติของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะอย่างแม่นยำอย่างมาก
แน่นอนว่าแต่ละแบบจำลองนั้นหยาบกระด้างตามความเป็นจริง และงานของผู้วิจัยคือ ประการแรกคือ เสนอแบบจำลองที่ในด้านหนึ่ง สื่อถึงด้านที่เป็นข้อเท็จจริงของเรื่องได้อย่างเต็มที่ที่สุด (ดังที่พวกเขากล่าวคือ ลักษณะทางกายภาพของมัน) และในทางกลับกัน ให้การประมาณที่สำคัญกับความเป็นจริง แน่นอนว่าสามารถเสนอแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้หลายแบบสำหรับปรากฏการณ์เดียวกัน พวกเขาทั้งหมดมีสิทธิที่จะดำรงอยู่จนกว่าความคลาดเคลื่อนระหว่างแบบจำลองกับความเป็นจริงจะเริ่มส่งผลกระทบ
คณิตศาสตร์ 1. คำว่าคณิตศาสตร์ มาจากไหน 2. ใครเป็นผู้คิดค้นคณิตศาสตร์? 3. ธีมหลัก 4. คำจำกัดความ 5. นิรุกติศาสตร์ ในสไลด์สุดท้าย
คำมาจากไหน (ไปที่สไลด์ก่อนหน้า) คณิตศาสตร์จากกรีก - ศึกษา, วิทยาศาสตร์) เป็นศาสตร์แห่งโครงสร้าง, ลำดับและความสัมพันธ์, ตามประวัติของการดำเนินการของการนับ, การวัดและการอธิบายรูปร่างของวัตถุ วัตถุทางคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นโดยการทำให้คุณสมบัติของวัตถุจริงหรือวัตถุทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติเป็นจริง และเขียนคุณสมบัติเหล่านี้ในภาษาที่เป็นทางการ
ผู้คิดค้นคณิตศาสตร์ (ไปที่เมนู) นักคณิตศาสตร์คนแรกชื่อ Thales of Miletus ซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่หก BC อี ซึ่งเป็นหนึ่งในเจ็ดนักปราชญ์แห่งกรีซ อย่างไรก็ตาม เขาเป็นคนแรกในการจัดโครงสร้างฐานความรู้ทั้งหมดเกี่ยวกับเรื่องนี้ ซึ่งได้ก่อตัวขึ้นในโลกที่เขารู้จักมาช้านาน อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบทความแรกเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่มาหาเราคือ Euclid (ศตวรรษที่ III ก่อนคริสต์ศักราช) เขาเองก็สมควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นบิดาแห่งวิทยาศาสตร์นี้
หัวข้อหลัก (ไปที่เมนู) สาขาวิชาคณิตศาสตร์รวมเฉพาะศาสตร์ที่พิจารณาตามลำดับหรือการวัด และไม่สำคัญเลย ไม่ว่าจะเป็นตัวเลข ตัวเลข ดาว เสียง หรือสิ่งอื่นใดที่วัดนี้ ถูกพบ ดังนั้น จะต้องมีวิทยาศาสตร์ทั่วไปบางอย่างที่อธิบายทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับและการวัด โดยไม่ต้องเข้าสู่การศึกษาวิชาใดวิชาหนึ่งโดยเฉพาะ และวิทยาศาสตร์นี้จะต้องไม่ถูกเรียกโดยชาวต่างชาติ แต่โดยชื่อสามัญทั่วไปของคณิตศาสตร์ทั่วไป
คำจำกัดความ (ไปที่เมนู) การวิเคราะห์สมัยใหม่ใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์แบบคลาสสิก ซึ่งถือเป็นหนึ่งในสามส่วนหลักของคณิตศาสตร์ (พร้อมกับพีชคณิตและเรขาคณิต) ในเวลาเดียวกัน คำว่า "การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์" ในความหมายดั้งเดิมนั้นถูกใช้เป็นหลักในหลักสูตรและสื่อการเรียนการสอน ตามธรรมเนียมแองโกล-อเมริกัน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์แบบคลาสสิกสอดคล้องกับโปรแกรมหลักสูตรที่มีชื่อว่า "แคลคูลัส"
นิรุกติศาสตร์ (ไปที่เมนู) คำว่า "คณิตศาสตร์" มาจากภาษากรีกอื่นๆ ซึ่งหมายถึงการศึกษา ความรู้ วิทยาศาสตร์ ฯลฯ -กรีก แต่เดิมหมายถึงเปิดกว้าง ประสบความสำเร็จ เกี่ยวข้องกับการศึกษาในภายหลัง เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ในภายหลัง โดยเฉพาะในภาษาลาติน หมายถึง ศิลปะแห่งคณิตศาสตร์ คำนี้เป็นภาษากรีกอื่น ๆ ในความหมายที่ทันสมัยของคำนี้ "คณิตศาสตร์" มีอยู่แล้วในผลงานของอริสโตเติล (ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช) ใน "หนังสือที่เลือกโดยสังเขปเกี่ยวกับ Nine Muses และ Seven Free Arts" (1672)
ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช หนังสือ Euclid ที่มีชื่อเดียวกันปรากฏในอเล็กซานเดรียในการแปลภาษารัสเซีย "จุดเริ่มต้น" จากชื่อภาษาละติน "จุดเริ่มต้น" มาคำว่า "เรขาคณิตเบื้องต้น" แม้ว่างานเขียนของยุคลิดรุ่นก่อนไม่ได้มาถึงเรา แต่เราสามารถสร้างความคิดเห็นบางอย่างเกี่ยวกับงานเขียนเหล่านี้ได้จากองค์ประกอบของยุคลิด ใน "จุดเริ่มต้น" มีส่วนที่เชื่อมโยงกับส่วนอื่นๆ ตามหลักเหตุผลน้อยมาก ลักษณะที่ปรากฏของพวกเขาอธิบายได้ด้วยความจริงที่ว่าพวกเขาได้รับการแนะนำตามประเพณีและคัดลอก "จุดเริ่มต้น" ของรุ่นก่อนของยุคลิด
องค์ประกอบของยุคลิดประกอบด้วยหนังสือ 13 เล่ม หนังสือเล่มที่ 1 - 6 มีไว้สำหรับการตรวจวัดระนาบ เล่มที่ 7 - 10 เป็นเรื่องเกี่ยวกับเลขคณิตและปริมาณที่เทียบไม่ได้ที่สามารถสร้างได้โดยใช้เข็มทิศและเส้นตรง หนังสือเล่มที่ 11 ถึง 13 มีเนื้อหาเกี่ยวกับสเตอริโอเมทรี
"จุดเริ่มต้น" เริ่มต้นด้วยการนำเสนอ 23 คำจำกัดความและ 10 สัจพจน์ สัจพจน์ห้าประการแรกคือ "แนวคิดทั่วไป" ส่วนที่เหลือเรียกว่า "สมมุติฐาน" สองข้อแรกกำหนดการกระทำด้วยความช่วยเหลือของผู้ปกครองในอุดมคติ ประการที่สาม - ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศในอุดมคติ ประการที่สี่ "มุมฉากทั้งหมดเท่ากัน" ซ้ำซ้อน เนื่องจากสามารถอนุมานได้จากสัจพจน์ที่เหลือ ข้อสุดท้าย ข้อที่ 5 อ่านว่า “ถ้าเส้นหนึ่งตกลงไปในสองเส้นและเกิดมุมด้านเดียวภายในเป็นผลรวมของเส้นที่น้อยกว่าสองเส้น ดังนั้น ด้วยความต่อเนื่องไม่จำกัดของสองเส้นนี้ พวกมันจะตัดกันที่ด้านที่ มุมน้อยกว่าสองเส้น"
ห้า "แนวคิดทั่วไป" ของ Euclid เป็นหลักการของการวัดความยาว มุม พื้นที่ ปริมาตร: "เท่ากับเท่ากันเท่ากัน", "ถ้าเพิ่มเท่ากับเท่ากับ ผลรวมจะเท่ากัน", "ถ้าเท่ากับถูกลบออกจากเท่ากับ ส่วนที่เหลือจะเท่ากันระหว่างกัน", "เมื่อรวมกันจะเท่ากัน", "ทั้งหมดมากกว่าส่วน"
จากนั้นก็มีการวิพากษ์วิจารณ์เรขาคณิตของยุคลิด ยูคลิดถูกวิพากษ์วิจารณ์ด้วยเหตุผลสามประการ: เพราะเขาพิจารณาเฉพาะปริมาณทางเรขาคณิตที่สามารถสร้างได้โดยใช้เข็มทิศและเส้นตรง สำหรับการแยกเรขาคณิตและเลขคณิต และการพิสูจน์หาจำนวนเต็ม ซึ่งเขาได้พิสูจน์แล้วสำหรับปริมาณเรขาคณิต และสุดท้าย สำหรับสัจพจน์ของยุคลิด สัจธรรมข้อที่ห้า ซึ่งเป็นสัจธรรมที่ยากที่สุดของยุคลิด ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์อย่างรุนแรงที่สุด หลายคนคิดว่ามันฟุ่มเฟือย และสามารถอนุมานได้จากสัจพจน์อื่นๆ คนอื่นๆ เชื่อว่าควรแทนที่ด้วยเส้นที่เรียบง่ายและแสดงให้เห็นมากขึ้น เทียบเท่ากับมัน: "ผ่านจุดนอกเส้นตรง ไม่สามารถลากเส้นตรงได้มากกว่าหนึ่งเส้นในระนาบที่ไม่ตัดกับเส้นตรงนี้"
การวิพากษ์วิจารณ์ช่องว่างระหว่างเรขาคณิตและเลขคณิตนำไปสู่การขยายแนวคิดเรื่องจำนวนเป็นจำนวนจริง ข้อพิพาทเกี่ยวกับสัจธรรมข้อที่ 5 นำไปสู่ความจริงที่ว่าในตอนต้นของศตวรรษที่ 19 N.I. Lobachevsky, J. Bolyai และ K.F. Gauss ได้สร้างเรขาคณิตใหม่ขึ้นซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ทั้งหมดของเรขาคณิตของยุคลิด ยกเว้นข้อสมมุติที่ห้า มันถูกแทนที่ด้วยข้อความตรงข้าม: "ในระนาบผ่านจุดนอกเส้น สามารถลากเส้นมากกว่าหนึ่งเส้นที่ไม่ตัดกับเส้นที่กำหนด" เรขาคณิตนี้มีความสม่ำเสมอเท่ากับเรขาคณิตของยุคลิด
แบบจำลอง planimetry ของ Lobachevsky บนเครื่องบินแบบยุคลิดสร้างขึ้นโดย Henri Poincaré นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในปี 1882
ลากเส้นแนวนอนบนระนาบแบบยุคลิด บรรทัดนี้เรียกว่าสัมบูรณ์ (x) จุดของระนาบแบบยุคลิดที่อยู่เหนือจุดสัมบูรณ์คือจุดของระนาบโลบาชอฟสกี เครื่องบิน Lobachevsky เป็นระนาบครึ่งเปิดที่วางอยู่เหนือระดับสัมบูรณ์ ส่วนที่ไม่ใช่แบบยุคลิดในแบบจำลอง Poincaré คือส่วนโค้งของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ส่วนสัมบูรณ์หรือส่วนของเส้นตั้งฉากกับส่วนสัมบูรณ์ (AB, CD) ตัวเลขบนระนาบ Lobachevsky คือร่างของครึ่งระนาบเปิดซึ่งอยู่เหนือค่าสัมบูรณ์ (F) การเคลื่อนที่ที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเป็นองค์ประกอบของการผกผันจำนวนจำกัดซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่สมมาตรสัมบูรณ์และแนวแกนซึ่งมีแกนตั้งฉากกับจุดสัมบูรณ์ ส่วนที่ไม่ใช่แบบยุคลิดสองส่วนจะเท่ากัน ถ้าส่วนใดส่วนหนึ่งสามารถแปลเป็นอีกส่วนได้โดยการเคลื่อนไหวที่ไม่ใช่แบบยุคลิด เหล่านี้เป็นแนวคิดพื้นฐานของสัจพจน์ของ planimetry ของ Lobachevsky
สัจพจน์ทั้งหมดของแผนภาพของ Lobachevsky มีความสอดคล้องกัน "เส้นที่ไม่ใช่แบบยุคลิดคือครึ่งวงกลมที่มีปลายอยู่บนสัมบูรณ์ หรือรังสีที่มีต้นกำเนิดอยู่บนสัมบูรณ์และตั้งฉากกับจุดสัมบูรณ์" ดังนั้น การยืนยันสัจพจน์ของการขนานกันของ Lobachevsky ถือได้ว่าไม่เพียงแต่สำหรับเส้น a และจุด A บางเส้นที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนี้ แต่ยังรวมถึงเส้น a และจุด A ใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนนั้นด้วย
เบื้องหลังเรขาคณิตของ Lobachevsky เรขาคณิตที่สอดคล้องกันอื่นๆ เกิดขึ้น: เรขาคณิตโปรเจ็กเตอร์ที่แยกออกจากแบบยุคลิด เรขาคณิตแบบยุคลิดหลายมิติที่พัฒนาขึ้น เรขาคณิตรีมันเนียนเกิดขึ้น (ทฤษฎีทั่วไปของช่องว่างด้วยกฎเกณฑ์ของกฎการวัดความยาว) เป็นต้น จากศาสตร์แห่งตัวเลขในสามมิติเดียว อวกาศแบบยุคลิด เรขาคณิตเป็นเวลา 40 - 50 ปี ได้กลายเป็นชุดของทฤษฎีต่าง ๆ ซึ่งคล้ายกับต้นกำเนิดของมันเท่านั้น - เรขาคณิตของยุคลิด
ขั้นตอนหลักของการก่อตัวของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ โครงสร้างของคณิตศาสตร์สมัยใหม่
นักวิชาการ A.N. Kolmogorov ระบุสี่ช่วงเวลาในการพัฒนาคณิตศาสตร์ Kolmogorov A.N. - คณิตศาสตร์, พจนานุกรมสารานุกรมคณิตศาสตร์, มอสโก, สารานุกรมของสหภาพโซเวียต, 1988: การกำเนิดของคณิตศาสตร์, คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา, คณิตศาสตร์ของตัวแปร, คณิตศาสตร์สมัยใหม่
ในระหว่างการพัฒนาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ทฤษฎีของตัวเลขจะค่อยๆ เติบโตจากเลขคณิต พีชคณิตถูกสร้างขึ้นเป็นแคลคูลัสตามตัวอักษร และระบบการนำเสนอเรขาคณิตเบื้องต้นที่สร้างขึ้นโดยชาวกรีกโบราณ - เรขาคณิตของยุคลิด - เป็นเวลาสองพันปีข้างหน้าได้กลายเป็นแบบจำลองของการสร้างทฤษฎีทางคณิตศาสตร์แบบนิรนัย
ในศตวรรษที่ 17 ความต้องการของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีธรรมชาตินำไปสู่การสร้างวิธีการที่ทำให้สามารถศึกษาการเคลื่อนไหวทางคณิตศาสตร์ กระบวนการของการเปลี่ยนแปลงปริมาณ และการแปลงรูปเรขาคณิต ด้วยการใช้ตัวแปรในเรขาคณิตวิเคราะห์และการสร้างแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ ช่วงเวลาของคณิตศาสตร์ของตัวแปรจึงเริ่มต้นขึ้น การค้นพบที่ยิ่งใหญ่ของศตวรรษที่ 17 คือแนวคิดของปริมาณที่น้อยมากที่นิวตันและไลบนิซนำเสนอ ซึ่งเป็นการสร้างรากฐานสำหรับการวิเคราะห์ปริมาณที่น้อยมาก (การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์)
แนวคิดของฟังก์ชันมาก่อน หน้าที่กลายเป็นวิชาหลักของการศึกษา การศึกษาฟังก์ชันนำไปสู่แนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ ลิมิต อนุพันธ์ ดิฟเฟอเรนเชียล อินทิกรัล
การปรากฏตัวของความคิดที่ยอดเยี่ยมของ R. Descartes เกี่ยวกับวิธีการพิกัดก็เป็นของเวลานี้เช่นกัน เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ถูกสร้างขึ้น ซึ่งช่วยให้สามารถศึกษาวัตถุทางเรขาคณิตโดยวิธีพีชคณิตและการวิเคราะห์ ในทางกลับกัน วิธีการประสานงานเปิดโอกาสให้การตีความทางเรขาคณิตของข้อเท็จจริงเกี่ยวกับพีชคณิตและการวิเคราะห์
การพัฒนาเพิ่มเติมของคณิตศาสตร์นำไปสู่การกำหนดปัญหาของการศึกษาความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ที่เป็นไปได้จากมุมมองที่ค่อนข้างทั่วไปในตอนต้นของศตวรรษที่ 19
ความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์กับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติเริ่มซับซ้อนขึ้นเรื่อยๆ ทฤษฎีใหม่เกิดขึ้นและไม่เพียงเป็นผลมาจากความต้องการของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีธรรมชาติเท่านั้น แต่ยังเป็นผลมาจากความต้องการภายในของคณิตศาสตร์ด้วย ตัวอย่างที่โดดเด่นของทฤษฎีดังกล่าวคือเรขาคณิตจินตภาพของ N.I. Lobachevsky พัฒนาการของคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 และ 20 ทำให้เราสามารถระบุถึงช่วงเวลาของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ได้ การพัฒนาคณิตศาสตร์เอง การคำนวณทางคณิตศาสตร์ในสาขาต่างๆ ของวิทยาศาสตร์ การแทรกซึมของวิธีการทางคณิตศาสตร์ในกิจกรรมเชิงปฏิบัติหลายๆ ด้าน ความก้าวหน้าของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ทำให้เกิดสาขาวิชาคณิตศาสตร์ใหม่ๆ เช่น การวิจัยปฏิบัติการ ทฤษฎีเกม เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์และอื่น ๆ
วิธีหลักในการวิจัยทางคณิตศาสตร์คือการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ - การใช้เหตุผลเชิงตรรกะอย่างเข้มงวด การคิดเชิงคณิตศาสตร์ไม่ได้จำกัดอยู่แค่การใช้เหตุผลเชิงตรรกะ สัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการกำหนดปัญหาที่ถูกต้อง เพื่อประเมินทางเลือกของวิธีการแก้ปัญหา
ในวิชาคณิตศาสตร์มีการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกันสามารถอธิบายคุณสมบัติของปรากฏการณ์จริงที่อยู่ห่างไกลจากกัน ดังนั้น สมการเชิงอนุพันธ์เดียวกันนี้สามารถอธิบายกระบวนการของการเติบโตของประชากรและการสลายตัวของวัสดุกัมมันตภาพรังสี สำหรับนักคณิตศาสตร์ สิ่งสำคัญไม่ใช่ธรรมชาติของวัตถุที่อยู่ระหว่างการพิจารณา แต่เป็นความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างวัตถุเหล่านั้น
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์มีสองประเภท: การหักและการเหนี่ยวนำ
การเหนี่ยวนำเป็นวิธีการวิจัยที่มีการสร้างข้อสรุปทั่วไปบนพื้นฐานของสถานที่เฉพาะ
การหักเป็นวิธีการให้เหตุผลโดยวิธีการที่ข้อสรุปของลักษณะเฉพาะตามมาจากสถานที่ทั่วไป
คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ วิศวกรรมศาสตร์ และมนุษยศาสตร์ เหตุผลของการแทรกซึมของคณิตศาสตร์ในสาขาวิชาต่างๆ ก็คือ มันนำเสนอแบบจำลองที่ชัดเจนมากสำหรับการศึกษาความเป็นจริงโดยรอบ ตรงกันข้ามกับแบบจำลองทั่วไปที่น้อยกว่าและคลุมเครือมากกว่าที่นำเสนอโดยวิทยาศาสตร์อื่นๆ หากปราศจากคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ด้วยเครื่องมือทางตรรกะและการคำนวณที่พัฒนาขึ้น ความก้าวหน้าในด้านต่าง ๆ ของกิจกรรมของมนุษย์คงเป็นไปไม่ได้
คณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเพียงเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาประยุกต์และภาษาวิทยาศาสตร์สากลเท่านั้น แต่ยังเป็นองค์ประกอบของวัฒนธรรมร่วมด้วย
คุณสมบัติพื้นฐานของการคิดทางคณิตศาสตร์
ในประเด็นนี้ สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือลักษณะเฉพาะของการคิดเชิงคณิตศาสตร์ที่อ.ญาญ่า ขินชิน ให้ไว้ หรือให้เป็นรูปแบบทางประวัติศาสตร์จำเพาะก็คือรูปแบบการคิดเชิงคณิตศาสตร์ โดยเปิดเผยแก่นแท้ของรูปแบบการคิดเชิงคณิตศาสตร์ เขาแยกแยะลักษณะเด่นสี่ประการที่เหมือนกันในทุกยุคทุกสมัยที่แยกแยะลักษณะนี้ออกจากรูปแบบการคิดในศาสตร์อื่นๆ ได้อย่างชัดเจน
ประการแรก นักคณิตศาสตร์มีลักษณะเด่นของการครอบงำของรูปแบบตรรกะของการให้เหตุผลจนถึงขีดจำกัด นักคณิตศาสตร์ที่มองไม่เห็นโครงร่างนี้ อย่างน้อยก็ชั่วคราว สูญเสียความสามารถในการคิดในเชิงวิทยาศาสตร์ไปพร้อมกัน ลักษณะเฉพาะของรูปแบบการคิดทางคณิตศาสตร์นี้มีคุณค่าในตัวเองมาก เห็นได้ชัดว่าในระดับสูงสุดจะช่วยให้คุณตรวจสอบความถูกต้องของการไหลของความคิดและรับประกันข้อผิดพลาด ในทางกลับกัน มันบังคับให้นักคิดมองเห็นความเป็นไปได้ทั้งหมดที่มีอยู่ในระหว่างการวิเคราะห์และบังคับให้เขาพิจารณาแต่ละอย่างโดยไม่พลาดแม้แต่ครั้งเดียว (การละเลยดังกล่าวค่อนข้างเป็นไปได้และในความเป็นจริงมักถูกสังเกต ในรูปแบบการคิดอื่นๆ)
ประการที่สอง ความรัดกุม กล่าวคือ ความปรารถนาอย่างมีสติที่จะค้นหาเส้นทางตรรกะที่สั้นที่สุดซึ่งนำไปสู่เป้าหมายที่กำหนดเสมอ การปฏิเสธทุกสิ่งที่จำเป็นอย่างยิ่งต่อความถูกต้องที่ไร้ที่ติของการโต้แย้ง เรียงความทางคณิตศาสตร์ที่มีรูปแบบที่ดี ไม่ทนต่อ "น้ำ" ใดๆ ไม่ปรุงแต่ง ทำให้ความตึงเครียดเชิงตรรกะของการพูดจาโผงผางอ่อนลง การฟุ้งซ่านไปด้านข้าง ความตระหนี่อย่างรุนแรง ความเข้มงวดของความคิดอย่างรุนแรง และการนำเสนอเป็นลักษณะสำคัญของการคิดทางคณิตศาสตร์ คุณลักษณะนี้มีค่าอย่างยิ่งไม่เพียงแต่สำหรับคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังสำหรับการให้เหตุผลอื่นๆ ที่จริงจังอีกด้วย Laconism ความปรารถนาที่จะไม่ยอมให้อะไรที่ฟุ่มเฟือยช่วยให้ทั้งนักคิดและผู้อ่านหรือผู้ฟังของเขามีสมาธิอย่างเต็มที่กับขบวนการคิดที่กำหนดโดยไม่ถูกรบกวนจากความคิดรองและไม่สูญเสียการติดต่อโดยตรงกับสายการให้เหตุผลหลัก
ตามกฎแล้วผู้ทรงคุณวุฒิแห่งวิทยาศาสตร์จะคิดและแสดงออกอย่างรัดกุมในทุกสาขาของความรู้ แม้ว่าความคิดของพวกเขาจะสร้างและกำหนดแนวคิดใหม่โดยพื้นฐานแล้วก็ตาม ช่างเป็นความประทับใจที่ยิ่งใหญ่ เช่น ความตระหนี่อันสูงส่งของความคิดและคำพูดของผู้สร้างฟิสิกส์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด: Newton, Einstein, Niels Bohr! บางทีอาจเป็นเรื่องยากที่จะหาตัวอย่างที่ชัดเจนกว่านี้ว่ารูปแบบการคิดของผู้สร้างสามารถมีผลกระทบอย่างลึกซึ้งต่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์อย่างไร
สำหรับคณิตศาสตร์ ความรัดกุมของความคิดเป็นกฎที่เถียงไม่ได้ ซึ่งเป็นที่ยอมรับมานานหลายศตวรรษ ความพยายามใดๆ ที่จะทำให้การนำเสนอเป็นภาระโดยไม่จำเป็น (แม้ว่าจะน่าพอใจและน่าตื่นเต้นสำหรับผู้ฟังก็ตาม) รูปภาพ สิ่งรบกวนสมาธิ การกล่าวสุนทรพจน์จะอยู่ภายใต้ข้อสงสัยอันชอบด้วยกฎหมายล่วงหน้าและทำให้เกิดการเตรียมพร้อมที่สำคัญโดยอัตโนมัติ
ประการที่สาม การแยกแยะที่ชัดเจนของแนวทางการให้เหตุผล ตัวอย่างเช่น ถ้าในการพิสูจน์ข้อเสนอ เราต้องพิจารณากรณีที่เป็นไปได้สี่กรณี ซึ่งแต่ละกรณีสามารถแบ่งออกเป็นกรณีย่อยหนึ่งหรือหลายกรณี จากนั้นในแต่ละช่วงเวลาของการให้เหตุผล นักคณิตศาสตร์ต้องจำไว้อย่างชัดเจนว่ากรณีใดและกรณีย่อยของเขา ตอนนี้กำลังได้รับความคิดและกรณีและกรณีย่อยใดที่เขายังต้องพิจารณา ด้วยการแจงนับแบบแยกสาขา นักคณิตศาสตร์จะต้องตระหนักถึงแนวคิดทั่วไปทุกครั้งที่เขาแจกแจงแนวคิดของสปีชีส์ที่เป็นส่วนประกอบ ตามปกติแล้ว การคิดที่ไม่เป็นไปตามหลักวิทยาศาสตร์ เรามักสังเกตเห็นความสับสนและกระโดดข้ามในกรณีดังกล่าว ซึ่งนำไปสู่ความสับสนและข้อผิดพลาดในการให้เหตุผล มักเกิดขึ้นที่บุคคลเริ่มแจกแจงชนิดของพืชสกุลหนึ่งแล้วจึงให้ผู้ฟังอย่างไม่รับรู้ (และบ่อยครั้งสำหรับตัวเขาเอง) โดยใช้เหตุผลแยกความแตกต่างทางตรรกะไม่เพียงพอกระโดดไปยังอีกสกุลหนึ่งและลงท้ายด้วยข้อความว่าทั้งสองสกุล ตอนนี้ถูกจัดประเภท; และผู้ฟังหรือผู้อ่านไม่รู้ว่าขอบเขตระหว่างชนิดของชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองอยู่ที่ไหน
ในการที่จะทำให้ความสับสนและการกระโดดข้ามดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ นักคณิตศาสตร์ได้ใช้วิธีการภายนอกที่เรียบง่ายในการนับแนวคิดและการตัดสินมาเป็นเวลานาน ซึ่งบางครั้ง (แต่ไม่บ่อยนัก) ที่ใช้ในวิทยาศาสตร์อื่นๆ กรณีที่เป็นไปได้เหล่านั้นหรือแนวคิดทั่วไปที่ควรพิจารณาในการให้เหตุผลนี้จะถูกจัดลำดับใหม่ล่วงหน้า ภายในแต่ละกรณีดังกล่าว กรณีย่อยที่พิจารณาว่าประกอบด้วยนั้นจะถูกจัดลำดับใหม่ด้วย (บางครั้ง เพื่อความแตกต่าง โดยใช้ระบบการนับอื่น) ก่อนแต่ละย่อหน้า ซึ่งการพิจารณาคดีย่อยใหม่เริ่มต้นขึ้น การกำหนดที่ยอมรับสำหรับกรณีย่อยนี้จะถูกใส่ (เช่น: II 3 - นี่หมายความว่าการพิจารณาคดีย่อยที่สามของคดีที่สองเริ่มต้นที่นี่ หรือคำอธิบายของกรณีที่สาม ประเภทที่สองถ้าเรากำลังพูดถึงการจำแนกประเภท) และผู้อ่านรู้ดีว่าจนกว่าเขาจะเจอรูบริกที่เป็นตัวเลขใหม่ ทุกอย่างที่นำเสนอจะมีผลเฉพาะกับกรณีนี้และกรณีย่อยเท่านั้น มันไปโดยไม่บอกว่าการนับดังกล่าวเป็นเพียงอุปกรณ์ภายนอก มีประโยชน์มาก แต่ไม่ได้บังคับ และสาระสำคัญของเรื่องไม่ได้อยู่ในนั้น แต่ในการแบ่งแยกการโต้แย้งหรือการจัดหมวดหมู่ที่ชัดเจนซึ่งทั้งสองกระตุ้นและทำเครื่องหมาย ด้วยตัวมันเอง.
ประการที่สี่ ความถูกต้องแม่นยำของสัญลักษณ์ สูตร สมการ นั่นคือ "สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์แต่ละอันมีความหมายที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด: แทนที่ด้วยสัญลักษณ์อื่นหรือจัดเรียงใหม่ไปยังที่อื่นตามกฎแล้วทำให้เกิดการบิดเบือนและบางครั้งก็ทำลายความหมายของข้อความนี้อย่างสมบูรณ์"
A.Ya. Khinchin ได้แยกแยะลักษณะสำคัญของรูปแบบการคิดทางคณิตศาสตร์ว่าคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะคณิตศาสตร์ของตัวแปร) โดยธรรมชาติมีลักษณะวิภาษวิธีและดังนั้นจึงมีส่วนช่วยในการพัฒนาการคิดวิภาษ อันที่จริง ในกระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์ มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างภาพ (คอนกรีต) และแนวความคิด (นามธรรม) Kant เขียนว่า "เราไม่สามารถคิดเส้นได้" หากไม่ได้วาดภาพด้วยใจ เราก็ไม่สามารถคิดถึงสามมิติสำหรับตัวเราเองโดยไม่ได้วาดเส้นสามเส้นตั้งฉากกันจากจุดหนึ่ง
ปฏิสัมพันธ์ของการคิดทางคณิตศาสตร์ที่เป็นรูปธรรมและนามธรรม "นำ" ไปสู่การพัฒนาแนวคิดใหม่และหมวดหมู่ทางปรัชญา ในคณิตศาสตร์โบราณ (คณิตศาสตร์ของค่าคงที่) สิ่งเหล่านี้คือ "ตัวเลข" และ "ช่องว่าง" ซึ่งเดิมสะท้อนให้เห็นในเรขาคณิตเลขคณิตและเรขาคณิตแบบยุคลิด และต่อมาในพีชคณิตและระบบเรขาคณิตต่างๆ คณิตศาสตร์ของตัวแปรนั้น "มีพื้นฐาน" ตามแนวคิดที่สะท้อนถึงการเคลื่อนไหวของสสาร - "จำกัด", "อนันต์", "ความต่อเนื่อง", "ไม่ต่อเนื่อง", "เล็กอย่างไม่สิ้นสุด", "อนุพันธ์" เป็นต้น
ถ้าเราพูดถึงขั้นตอนทางประวัติศาสตร์ในปัจจุบันในการพัฒนาความรู้ทางคณิตศาสตร์ มันก็จะสอดคล้องกับการพัฒนาต่อไปของหมวดหมู่ปรัชญา: ทฤษฎีความน่าจะเป็น "ผู้เชี่ยวชาญ" ประเภทของความเป็นไปได้และการสุ่ม; โทโพโลยี - ประเภทของความสัมพันธ์และความต่อเนื่อง ทฤษฎีภัยพิบัติ - หมวดกระโดด; ทฤษฎีกลุ่ม - หมวดหมู่สมมาตรและความสามัคคี ฯลฯ
ในการคิดทางคณิตศาสตร์ จะแสดงรูปแบบหลักของการสร้างการเชื่อมต่อเชิงตรรกะที่คล้ายคลึงกันในรูปแบบ ด้วยความช่วยเหลือของมัน การเปลี่ยนจากเอกพจน์ (เช่น จากวิธีการทางคณิตศาสตร์บางอย่าง - สัจพจน์ อัลกอริธึม เชิงสร้างสรรค์ เซตทฤษฎีและอื่น ๆ ) ไปเป็นแบบพิเศษและแบบทั่วไป ไปจนถึงแบบนิรนัยทั่วไป ความสามัคคีของวิธีการและวิชาคณิตศาสตร์เป็นตัวกำหนดลักษณะเฉพาะของการคิดทางคณิตศาสตร์ ทำให้เราสามารถพูดภาษาคณิตศาสตร์พิเศษที่ไม่เพียงแต่สะท้อนถึงความเป็นจริง แต่ยังสังเคราะห์ สรุป และทำนายความรู้ทางวิทยาศาสตร์อีกด้วย พลังและความงามของความคิดทางคณิตศาสตร์อยู่ที่ความชัดเจนของตรรกะ ความสง่างามของโครงสร้าง และการสร้างนามธรรมอย่างเชี่ยวชาญ
ความเป็นไปได้ใหม่พื้นฐานของกิจกรรมทางจิตเปิดขึ้นด้วยการประดิษฐ์คอมพิวเตอร์ด้วยการสร้างคณิตศาสตร์เครื่อง มีการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญในภาษาของคณิตศาสตร์ หากภาษาของคณิตศาสตร์คำนวณแบบคลาสสิกประกอบด้วยสูตรพีชคณิต เรขาคณิต และการวิเคราะห์ เน้นที่คำอธิบายของกระบวนการต่อเนื่องของธรรมชาติ ศึกษาเป็นหลักในกลศาสตร์ ดาราศาสตร์ ฟิสิกส์ แล้วภาษาสมัยใหม่ก็คือภาษาของอัลกอริธึมและโปรแกรมต่างๆ ได้แก่ ภาษาเก่าของสูตรเป็นกรณีเฉพาะ
ภาษาของคณิตศาสตร์เชิงคำนวณสมัยใหม่มีความเป็นสากลมากขึ้นเรื่อยๆ ซึ่งสามารถอธิบายระบบที่ซับซ้อน (หลายพารามิเตอร์) ได้ ในเวลาเดียวกัน ฉันต้องการเน้นว่าไม่ว่าภาษาคณิตศาสตร์จะสมบูรณ์แบบเพียงใด เสริมด้วยเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ ก็ไม่ทำลายความสัมพันธ์กับ "ชีวิต" ที่หลากหลาย ภาษาธรรมชาติ นอกจากนี้ ภาษาพูดยังเป็นพื้นฐานของภาษาเทียมอีกด้วย ในเรื่องนี้การค้นพบล่าสุดของนักวิทยาศาสตร์เป็นที่สนใจ ประเด็นคือภาษาโบราณของชาวอินเดียนแดงไอมาราซึ่งมีคนพูดประมาณ 2.5 ล้านคนในโบลิเวียและเปรู กลับกลายเป็นว่าสะดวกมากสำหรับเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ เร็วเท่าที่ 1610 มิชชันนารีนิกายเยซูอิตชาวอิตาลี Ludovico Bertoni ผู้รวบรวมพจนานุกรม Aymara เล่มแรกตั้งข้อสังเกตถึงอัจฉริยะของผู้สร้างซึ่งบรรลุความบริสุทธิ์เชิงตรรกะสูง ตัวอย่างเช่น ใน Aymara ไม่มีกริยาที่ผิดปกติและไม่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎไวยากรณ์ที่ชัดเจนสองสามข้อ คุณลักษณะเหล่านี้ของภาษาไอย์มาราทำให้นักคณิตศาสตร์ชาวโบลิเวีย Ivan Guzmán de Rojas สร้างระบบการแปลคอมพิวเตอร์พร้อมกันจากภาษายุโรปทั้งห้าภาษาที่รวมอยู่ในโปรแกรม "สะพาน" ระหว่างภาษาไอย์มารา คอมพิวเตอร์ "Aymara" ที่สร้างขึ้นโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวโบลิเวีย ได้รับการชื่นชมอย่างสูงจากผู้เชี่ยวชาญ การสรุปคำถามส่วนนี้เกี่ยวกับแก่นแท้ของรูปแบบการคิดทางคณิตศาสตร์ ควรสังเกตว่าเนื้อหาหลักคือความเข้าใจในธรรมชาติ
วิธีการเชิงสัจพจน์
สัจพจน์เป็นวิธีหลักในการสร้างทฤษฎีตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงปัจจุบัน ซึ่งยืนยันถึงความเป็นสากลและการนำไปใช้ทั้งหมด
การสร้างทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับวิธีสัจพจน์ ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์มีพื้นฐานมาจากบทบัญญัติเบื้องต้นบางอย่าง เรียกว่าสัจพจน์ และบทบัญญัติอื่นๆ ทั้งหมดของทฤษฎีได้มาจากผลลัพธ์เชิงตรรกะของสัจพจน์
วิธีการเชิงสัจพจน์ปรากฏในกรีกโบราณและปัจจุบันใช้ในวิทยาศาสตร์เชิงทฤษฎีเกือบทั้งหมดและเหนือสิ่งอื่นใดในวิชาคณิตศาสตร์
เมื่อเทียบกับรูปทรงเรขาคณิตสามประการที่เสริมกัน: Euclidean (พาราโบลา), Lobachevsky (ไฮเปอร์โบลิก) และ Riemannian (วงรี) ควรสังเกตว่าเมื่อรวมกับความคล้ายคลึงบางอย่างแล้วมีความแตกต่างใหญ่ระหว่างเรขาคณิตทรงกลมในอันเดียว มือและรูปทรงเรขาคณิตของ Euclid และ Lobachevsky - ในอีกทางหนึ่ง
ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างเรขาคณิตสมัยใหม่คือตอนนี้ได้รวมเอา "เรขาคณิต" ของพื้นที่จินตภาพที่แตกต่างกันจำนวนนับไม่ถ้วน อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าเรขาคณิตทั้งหมดเหล่านี้เป็นการตีความเรขาคณิตแบบยุคลิดและอาศัยวิธีการเชิงสัจพจน์ที่ใช้ครั้งแรกโดยยุคลิด
บนพื้นฐานของการวิจัย วิธีการเชิงสัจพจน์ได้รับการพัฒนาและใช้กันอย่างแพร่หลาย ในกรณีพิเศษของการใช้วิธีนี้คือวิธีการติดตามในสเตอริโอเมทรี ซึ่งช่วยให้สามารถแก้ปัญหาในการสร้างส่วนต่างๆ ในรูปทรงหลายเหลี่ยมและปัญหาอื่นๆ เกี่ยวกับตำแหน่งได้
วิธีการเชิงสัจพจน์ที่พัฒนาขึ้นครั้งแรกในเรขาคณิต ได้กลายเป็นเครื่องมือสำคัญในการศึกษาในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และกลศาสตร์ ขณะนี้งานอยู่ระหว่างการปรับปรุงและศึกษาวิธีเชิงสัจพจน์ของการสร้างทฤษฎีในเชิงลึกยิ่งขึ้น
วิธีการเชิงสัจพจน์ของการสร้างทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ประกอบด้วยการเน้นย้ำแนวคิดพื้นฐาน การกำหนดสัจพจน์ของทฤษฎี และข้อความอื่นๆ ทั้งหมดนั้นได้มาในลักษณะที่เป็นตรรกะ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าแนวคิดหนึ่งต้องอธิบายด้วยความช่วยเหลือจากผู้อื่น ซึ่งในที่สุดก็ถูกกำหนดด้วยความช่วยเหลือของแนวคิดที่เป็นที่รู้จัก ดังนั้นเราจึงมาถึงแนวคิดพื้นฐานที่ไม่สามารถกำหนดเป็นแนวคิดอื่นได้ แนวคิดเหล่านี้เรียกว่าพื้นฐาน
เมื่อเราพิสูจน์ข้อความ ทฤษฎีบท เราอาศัยสถานที่ที่ได้รับการพิจารณาแล้วว่าได้รับการพิสูจน์แล้ว แต่สถานที่เหล่านี้ก็ได้รับการพิสูจน์เช่นกัน พวกเขาต้องได้รับการพิสูจน์ ในที่สุด เราก็มาถึงข้อความที่พิสูจน์ไม่ได้และยอมรับโดยไม่มีการพิสูจน์ ข้อความเหล่านี้เรียกว่าสัจพจน์ เซตของสัจพจน์จะต้องเป็นแบบที่เราสามารถพิสูจน์ข้อความเพิ่มเติมได้
เมื่อแยกแยะแนวคิดหลักและกำหนดสัจพจน์แล้ว เราก็ได้ทฤษฎีบทและแนวคิดอื่นๆ ในลักษณะที่เป็นเหตุเป็นผล นี่คือโครงสร้างเชิงตรรกะของเรขาคณิต สัจพจน์และแนวคิดพื้นฐานเป็นรากฐานของการวัดระนาบ
เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะให้คำจำกัดความเดียวของแนวคิดพื้นฐานสำหรับเรขาคณิตทั้งหมด แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิตควรถูกกำหนดให้เป็นวัตถุที่มีลักษณะใดๆ ก็ตามที่เป็นไปตามสัจพจน์ของเรขาคณิตนี้ ดังนั้น ในการสร้างสัจพจน์ของระบบเรขาคณิต เราเริ่มต้นจากระบบสัจพจน์หรือสัจพจน์ สัจพจน์เหล่านี้อธิบายคุณสมบัติของแนวคิดพื้นฐานของระบบเรขาคณิต และเราสามารถแสดงแนวคิดพื้นฐานในรูปแบบของวัตถุในลักษณะใดๆ ก็ตามที่มีคุณสมบัติตามที่ระบุในสัจพจน์
หลังจากกำหนดและพิสูจน์ข้อความทางเรขาคณิตชุดแรกแล้ว ก็เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ข้อความบางส่วน (ทฤษฎีบท) ด้วยความช่วยเหลือจากผู้อื่น หลักฐานของทฤษฎีบทมากมายมาจากพีทาโกรัสและเดโมคริตุส
Hippocrates of Chios ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้รวบรวมแนวทางเรขาคณิตอย่างเป็นระบบครั้งแรกตามคำจำกัดความและสัจพจน์ หลักสูตรนี้และการประมวลผลในภายหลังเรียกว่า "องค์ประกอบ"
วิธีการเชิงสัจพจน์ของการสร้างทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์
การสร้างวิธีการนิรนัยหรือเชิงสัจพจน์ของการสร้างวิทยาศาสตร์เป็นหนึ่งในความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของการคิดทางคณิตศาสตร์ มันต้องการงานของนักวิทยาศาสตร์หลายชั่วอายุคน
คุณลักษณะที่โดดเด่นของระบบนิรนัยในการนำเสนอคือความเรียบง่ายของโครงสร้างนี้ ซึ่งทำให้สามารถอธิบายได้ด้วยคำไม่กี่คำ
ระบบนิรนัยของการนำเสนอลดลงเป็น:
1) ไปที่รายการแนวคิดพื้นฐาน
2) การนำเสนอคำจำกัดความ
3) เพื่อนำเสนอสัจพจน์
4) เพื่อนำเสนอทฤษฎีบท
5) เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านี้
สัจพจน์คือคำแถลงที่ยอมรับโดยไม่มีการพิสูจน์
ทฤษฎีบทคือคำแถลงที่ตามมาจากสัจพจน์
การพิสูจน์เป็นส่วนสำคัญของระบบนิรนัย เป็นการให้เหตุผลที่แสดงว่าความจริงของข้อความเป็นไปตามตรรกะจากความจริงของทฤษฎีบทหรือสัจพจน์ก่อนหน้า
ภายในระบบนิรนัย คำถามสองข้อไม่สามารถแก้ไขได้: 1) เกี่ยวกับความหมายของแนวคิดพื้นฐาน 2) เกี่ยวกับความจริงของสัจพจน์ แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าคำถามเหล่านี้โดยทั่วไปจะแก้ไม่ได้
ประวัติของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติแสดงให้เห็นว่าความเป็นไปได้ของการสร้างจริงของวิทยาศาสตร์เฉพาะปรากฏขึ้นเฉพาะในระดับที่ค่อนข้างสูงของการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้บนพื้นฐานของวัสดุที่เป็นข้อเท็จจริงจำนวนมากซึ่งทำให้สามารถระบุหลักได้อย่างชัดเจน ความเชื่อมโยงและความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างวัตถุที่ศึกษาโดยวิทยาศาสตร์นี้
ตัวอย่างการสร้างสัจพจน์ของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์คือเรขาคณิตเบื้องต้น ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตอธิบายโดย Euclid (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล) ในงาน "จุดเริ่มต้น" ที่ไม่มีใครเทียบได้ในความสำคัญของมัน ระบบนี้ส่วนใหญ่รอดมาได้จนถึงทุกวันนี้
แนวคิดพื้นฐาน: จุด เส้น ภาพพื้นฐานระนาบ อยู่ระหว่าง, เป็นของ, ย้าย.
เรขาคณิตเบื้องต้นมี 13 สัจพจน์ ซึ่งแบ่งออกเป็นห้ากลุ่ม ในกลุ่มที่ห้า มีสัจพจน์หนึ่งเกี่ยวกับความคล้ายคลึงกัน (สมมุติฐานของ Euclid V): ผ่านจุดบนระนาบ สามารถลากเส้นตรงได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ไม่ตัดกับเส้นตรงนี้ นี่เป็นสัจพจน์เดียวที่ทำให้เกิดความจำเป็นในการพิสูจน์ ความพยายามที่จะพิสูจน์หลักธรรมข้อที่ห้าของนักคณิตศาสตร์ที่ถูกยึดครองมานานกว่า 2 พันปี จนถึงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 19 กล่าวคือ จนถึงช่วงเวลาที่ Nikolai Ivanovich Lobachevsky พิสูจน์ในงานเขียนของเขาถึงความสิ้นหวังอย่างสมบูรณ์ของความพยายามเหล่านี้ ในปัจจุบัน ความไม่สามารถพิสูจน์ได้ของสัจพจน์ข้อที่ 5 เป็นความจริงทางคณิตศาสตร์ที่พิสูจน์แล้วโดยเคร่งครัด
สัจพจน์เกี่ยวกับขนาน N.I. Lobachevsky แทนที่สัจพจน์: ให้เส้นตรงและจุดที่อยู่นอกเส้นตรงถูกกำหนดในระนาบที่กำหนด จากจุดนี้ สามารถลากเส้นขนานอย่างน้อยสองเส้นไปยังเส้นที่กำหนด
จากระบบสัจพจน์ใหม่ N.I. Lobachevsky ด้วยความเข้มงวดเชิงตรรกะที่ไร้ที่ติ อนุมานระบบที่สอดคล้องกันของทฤษฎีบทที่ประกอบขึ้นเป็นเนื้อหาของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด เรขาคณิตทั้งสองของ Euclid และ Lobachevsky นั้นเท่ากันกับระบบตรรกะ
นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่สามคนในศตวรรษที่ 19 เกือบจะพร้อมๆ กันโดยเป็นอิสระจากกัน มาถึงผลลัพธ์เดียวกันของความไม่สามารถพิสูจน์ได้ของสัจธรรมข้อที่ห้าและการสร้างเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
นิโคไล อิวาโนวิช โลบาชอฟสกี (ค.ศ. 1792-1856)
คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (1777-1855)
จานอส โบลใหญ่ (1802-1860)
หลักฐานทางคณิตศาสตร์
วิธีหลักในการวิจัยทางคณิตศาสตร์คือการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ - การใช้เหตุผลเชิงตรรกะอย่างเข้มงวด โดยอาศัยความจำเป็นตามวัตถุประสงค์ ชี้ให้เห็นถึงสมาชิกที่สอดคล้องกันของ Russian Academy of Sciences L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - คณิตศาสตร์สมัยใหม่และการสอน, มอสโก, นอก้า, 1985, การให้เหตุผลเชิงตรรกะ (ซึ่งโดยธรรมชาติแล้ว ถ้าถูกต้อง ก็เข้มงวดเช่นกัน) เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ก็คิดไม่ถึงหากไม่มีพวกเขา ควรสังเกตว่าการคิดทางคณิตศาสตร์ไม่ได้จำกัดอยู่แค่การให้เหตุผลเชิงตรรกะ สำหรับการกำหนดปัญหาที่ถูกต้องสำหรับการประเมินข้อมูลสำหรับการเลือกสิ่งที่สำคัญจากพวกเขาและสำหรับการเลือกวิธีการในการแก้ปัญหานั้นจำเป็นต้องมีสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ซึ่งทำให้สามารถคาดการณ์ผลลัพธ์ที่ต้องการได้ก่อน มันได้มาเพื่อร่างเส้นทางของการวิจัยด้วยความช่วยเหลือของการให้เหตุผลที่เป็นไปได้ แต่ความถูกต้องของข้อเท็จจริงที่พิจารณานั้นไม่ได้พิสูจน์โดยการตรวจสอบจากตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่าง ไม่ใช่โดยการทดลองหลายครั้ง (ซึ่งในตัวมันเองมีบทบาทสำคัญในการวิจัยทางคณิตศาสตร์) แต่ในทางตรรกะล้วนๆ ตาม กฎแห่งตรรกะที่เป็นทางการ
เชื่อกันว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นความจริงขั้นสูงสุด การตัดสินใจบนพื้นฐานของตรรกะล้วนไม่ผิด แต่ด้วยการพัฒนาวิทยาศาสตร์และงานก่อนที่นักคณิตศาสตร์จะมีความซับซ้อนมากขึ้น
Keith Devlin จากมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด แคลิฟอร์เนีย สหรัฐอเมริกา กล่าวว่า “เราเข้าสู่ยุคที่เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ซับซ้อนและยุ่งยากมาก จนเมื่อมองแวบแรกก็ไม่สามารถบอกได้อีกต่อไปว่าปัญหาที่พบนั้นจริงหรือไม่” Keith Devlin จากมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด แคลิฟอร์เนีย สหรัฐอเมริกา เชื่อ เขายกตัวอย่างว่า "การจำแนกกลุ่มที่มีขอบเขตจำกัดอย่างง่าย" ซึ่งกำหนดขึ้นในปี 1980 แต่ยังไม่มีการพิสูจน์หลักฐานที่ครบถ้วนสมบูรณ์ เป็นไปได้มากว่าทฤษฎีบทนี้เป็นความจริง แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะพูดอย่างแน่ชัดเกี่ยวกับเรื่องนี้
โซลูชันคอมพิวเตอร์ไม่สามารถเรียกได้ว่าแน่นอนเช่นกันเพราะการคำนวณดังกล่าวมีข้อผิดพลาดอยู่เสมอ ในปี 1998 เฮลส์เสนอวิธีแก้ปัญหาโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยสำหรับทฤษฎีบทของเคปเลอร์ ซึ่งคิดค้นขึ้นในปี 1611 ทฤษฎีบทนี้อธิบายการบรรจุลูกบอลที่หนาแน่นที่สุดในอวกาศ หลักฐานถูกนำเสนอใน 300 หน้าและมีรหัสเครื่อง 40,000 บรรทัด ผู้ตรวจสอบ 12 คนตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาเป็นเวลาหนึ่งปี แต่พวกเขาไม่เคยได้รับความมั่นใจ 100% ในความถูกต้องของหลักฐาน และการศึกษาก็ถูกส่งไปเพื่อทำการแก้ไข เป็นผลให้มีการเผยแพร่หลังจากสี่ปีเท่านั้นและไม่มีการรับรองจากผู้ตรวจสอบอย่างครบถ้วน
การคำนวณล่าสุดสำหรับปัญหาที่นำไปใช้จะทำบนคอมพิวเตอร์ แต่นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าเพื่อความน่าเชื่อถือที่มากขึ้น ควรนำเสนอการคำนวณทางคณิตศาสตร์โดยไม่มีข้อผิดพลาด
ทฤษฎีการพิสูจน์ได้รับการพัฒนาในเชิงตรรกะและประกอบด้วยองค์ประกอบโครงสร้างสามส่วน: วิทยานิพนธ์ (สิ่งที่ควรจะพิสูจน์) การโต้แย้ง (ชุดของข้อเท็จจริง แนวคิดที่ยอมรับโดยทั่วไป กฎหมาย ฯลฯ ของวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง) และการสาธิต (ขั้นตอนสำหรับ การนำหลักฐานไปใช้เอง การอนุมานที่ต่อเนื่องกันเมื่อการอนุมานที่ n กลายเป็นหนึ่งในสถานที่ตั้งของการอนุมานที่ n+1) กฎการพิสูจน์มีความโดดเด่น มีการระบุข้อผิดพลาดทางตรรกะที่เป็นไปได้
การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มีความเหมือนกันมากกับหลักการที่กำหนดโดยตรรกะที่เป็นทางการ นอกจากนี้ กฎทางคณิตศาสตร์ของการให้เหตุผลและการดำเนินการยังเป็นหนึ่งในพื้นฐานในการพัฒนาขั้นตอนการพิสูจน์ในเชิงตรรกะอย่างชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นักวิจัยในประวัติศาสตร์ของการก่อตัวของตรรกะที่เป็นทางการเชื่อว่าครั้งหนึ่งเมื่ออริสโตเติลเริ่มขั้นตอนแรกเพื่อสร้างกฎหมายและกฎของตรรกะ เขาหันไปทางคณิตศาสตร์และการปฏิบัติกิจกรรมทางกฎหมาย ในแหล่งข้อมูลเหล่านี้ เขาพบเนื้อหาสำหรับการสร้างตรรกะของทฤษฎีที่คิดขึ้น
ในศตวรรษที่ 20 แนวความคิดเรื่องการพิสูจน์ได้สูญเสียความหมายอันเข้มงวด ซึ่งเกิดขึ้นจากการค้นพบความขัดแย้งเชิงตรรกะที่ซ่อนอยู่ในทฤษฎีเซต และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่ทฤษฎีบทของเค. โกเดลเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ของการทำให้เป็นทางการนำมา
ประการแรกสิ่งนี้ส่งผลกระทบต่อคณิตศาสตร์ซึ่งเกี่ยวข้องกับการที่เชื่อกันว่าคำว่า "การพิสูจน์" ไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน แต่ถ้าความคิดเห็นดังกล่าว (ซึ่งยังคงมีอยู่จนถึงทุกวันนี้) ส่งผลกระทบต่อคณิตศาสตร์ พวกเขาก็สรุปได้ว่าการพิสูจน์ไม่ควรได้รับการยอมรับในตรรกะ-คณิตศาสตร์ แต่ในแง่จิตวิทยา ยิ่งกว่านั้น อริสโตเติลเองก็มีทัศนะที่คล้ายกัน ซึ่งเชื่อว่าการพิสูจน์หมายถึงการใช้เหตุผลที่จะโน้มน้าวใจเราถึงขนาดที่ว่าเมื่อใช้สิ่งนี้ เราจะโน้มน้าวผู้อื่นถึงความถูกต้องของบางสิ่ง เราพบแนวทางจิตวิทยาบางประการใน A.E. Yesenin-Volpin เขาคัดค้านอย่างมากต่อการยอมรับความจริงโดยไม่มีการพิสูจน์ เชื่อมโยงกับการกระทำของศรัทธา และเขียนเพิ่มเติมว่า: "ฉันเรียกการพิสูจน์คำพิพากษาว่าเป็นวิธีการที่ตรงไปตรงมาซึ่งทำให้การตัดสินนี้ปฏิเสธไม่ได้" Yesenin-Volpin รายงานว่าคำจำกัดความของเขายังคงต้องได้รับการชี้แจง ในเวลาเดียวกัน การระบุลักษณะของหลักฐานว่าเป็น "วิธีการที่ซื่อสัตย์" ไม่ได้หักหลังการอุทธรณ์การประเมินทางศีลธรรมและจิตวิทยาใช่หรือไม่
ในเวลาเดียวกัน การค้นพบชุดทฤษฎีที่ขัดแย้งกันและการปรากฏตัวของทฤษฎีบทของ Godel มีส่วนทำให้เกิดการพัฒนาทฤษฎีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการโดยนักสัญชาตญาณ โดยเฉพาะทิศทางคอนสตรัคติวิสต์และดี. ฮิลเบิร์ต
บางครั้งมีความเชื่อกันว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นสากลและแสดงถึงการพิสูจน์ทางวิทยาศาสตร์ในอุดมคติ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่วิธีเดียว แต่มีวิธีการอื่นของขั้นตอนและการดำเนินการตามหลักฐาน เป็นความจริงเพียงอย่างเดียวที่การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มีความคล้ายคลึงกันมากกับการพิสูจน์เชิงตรรกะที่นำไปใช้ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์นั้นมีความเฉพาะเจาะจงบางอย่าง เช่นเดียวกับชุดของการดำเนินการเทคนิค นี่คือที่ที่เราจะหยุด โดยละเว้นสิ่งทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับหลักฐานรูปแบบอื่น กล่าวคือ โดยไม่ขยายอัลกอริทึม กฎ ข้อผิดพลาด ฯลฯ ในทุกขั้นตอน (แม้แต่ขั้นตอนหลัก) กระบวนการพิสูจน์
การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือการให้เหตุผลที่มีภาระหน้าที่ในการพิสูจน์ความจริง
ชุดของกฎที่ใช้ในการพิสูจน์ถูกสร้างขึ้นพร้อมกับการถือกำเนิดของโครงสร้างจริงของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ สิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างชัดเจนและสมบูรณ์ที่สุดในเรขาคณิตของยุคลิด "หลักการ" ของเขากลายเป็นมาตรฐานแบบจำลองสำหรับการจัดระเบียบความรู้เชิงสัจพจน์ของความรู้ทางคณิตศาสตร์และเป็นเวลานานสำหรับนักคณิตศาสตร์
ข้อความที่นำเสนอในรูปแบบของลำดับที่แน่นอนต้องรับประกันข้อสรุปซึ่งถือว่าได้รับการพิสูจน์ตามกฎของการดำเนินการทางตรรกะ ต้องเน้นว่าการให้เหตุผลบางอย่างเป็นข้อพิสูจน์เฉพาะเกี่ยวกับระบบสัจพจน์บางอย่างเท่านั้น
เมื่อกำหนดลักษณะการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ คุณลักษณะหลักสองประการจะแตกต่างออกไป ประการแรก การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ไม่รวมการอ้างอิงถึงหลักฐานเชิงประจักษ์ ขั้นตอนทั้งหมดสำหรับการพิสูจน์ความจริงของข้อสรุปนั้นดำเนินการภายในกรอบของสัจพจน์ที่ยอมรับ นักวิชาการ A.D. Aleksandrov เน้นย้ำในเรื่องนี้ คุณสามารถวัดมุมของสามเหลี่ยมได้หลายพันครั้ง และทำให้แน่ใจว่ามันเท่ากับ 2d แต่คณิตศาสตร์ไม่ได้พิสูจน์อะไร คุณจะพิสูจน์ให้เขาเห็นถ้าคุณอนุมานข้อความข้างต้นจากสัจพจน์ มาทำซ้ำกันเถอะ ที่นี่คณิตศาสตร์อยู่ใกล้กับวิธีการของนักวิชาการซึ่งโดยพื้นฐานแล้วปฏิเสธการโต้แย้งโดยให้ข้อเท็จจริงจากการทดลอง
ตัวอย่างเช่น เมื่อค้นพบความไม่สามารถเปรียบเทียบได้ของเซกเมนต์ เมื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ การอุทธรณ์ต่อการทดลองทางกายภาพไม่ได้รับการยกเว้น เนื่องจากในตอนแรก แนวคิดของ "ความเปรียบเทียบไม่ได้" นั้นไร้ความหมายทางกายภาพ และประการที่สอง นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถ เมื่อต้องรับมือกับสิ่งที่เป็นนามธรรม ให้นำส่วนขยายของวัสดุ-คอนกรีตมาช่วยในการวัดโดยอุปกรณ์ประสาทสัมผัสและภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความไม่สามารถเทียบเคียงได้ของด้านข้างและแนวทแยงของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ได้รับการพิสูจน์โดยอาศัยคุณสมบัติของจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในเรื่องความเท่าเทียมกันของกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ตามลำดับ เส้นทแยงมุม) กับผลรวมของกำลังสองของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขา (สองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก) หรือเมื่อ Lobachevsky กำลังมองหาการยืนยันสำหรับเรขาคณิตของเขา ซึ่งอ้างถึงผลลัพธ์ของการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์ การยืนยันนี้เกิดขึ้นโดยเขาโดยใช้ลักษณะการเก็งกำไรล้วนๆ การตีความเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดของเคย์ลีย์-ไคลน์และเบลตรามียังให้ความสำคัญกับคณิตศาสตร์มากกว่าวัตถุทางกายภาพ
คุณลักษณะที่สองของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือความเป็นนามธรรมสูงสุด ซึ่งแตกต่างจากขั้นตอนการพิสูจน์ในวิทยาศาสตร์อื่นๆ และอีกครั้ง ในกรณีของแนวคิดของวัตถุทางคณิตศาสตร์ มันไม่ได้เกี่ยวกับระดับของนามธรรมเท่านั้น แต่เกี่ยวกับธรรมชาติของมันด้วย ความจริงก็คือการพิสูจน์ได้บรรลุถึงนามธรรมในระดับสูงในศาสตร์อื่น ๆ จำนวนมาก ตัวอย่างเช่น ในทางฟิสิกส์ จักรวาลวิทยา และแน่นอนในปรัชญา เนื่องจากปัญหาสุดท้ายของการมีอยู่และการคิดกลายเป็นประเด็นในข้อหลัง ในทางกลับกัน คณิตศาสตร์มีความแตกต่างจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวแปรทำงานที่นี่ ความหมายที่เป็นนามธรรมจากคุณสมบัติเฉพาะใดๆ พึงระลึกว่า โดยนิยาม ตัวแปรเป็นสัญญาณว่าในตัวเองไม่มีความหมายและได้รับสิ่งหลังก็ต่อเมื่อมีการแทนที่ชื่อของวัตถุบางอย่างเท่านั้น (ตัวแปรส่วนบุคคล) หรือเมื่อมีการระบุคุณสมบัติและความสัมพันธ์เฉพาะ (ตัวแปรเพรดิเคต) หรือในที่สุด ในกรณีของการแทนที่ตัวแปรด้วยคำสั่งที่มีความหมาย (ตัวแปรเชิงประพจน์)
คุณลักษณะที่ระบุไว้จะกำหนดลักษณะของความเป็นนามธรรมสุดโต่งของสัญญาณที่ใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ตลอดจนข้อความซึ่งเนื่องจากการรวมตัวแปรไว้ในโครงสร้างจึงกลายเป็นคำสั่ง
ขั้นตอนของการพิสูจน์ที่กำหนดในตรรกะเป็นการสาธิตดำเนินการบนพื้นฐานของกฎการอนุมานโดยพิจารณาจากการเปลี่ยนแปลงจากคำสั่งที่พิสูจน์แล้วไปยังอีกคำสั่งหนึ่งทำให้เกิดการอนุมานที่สอดคล้องกัน ที่พบมากที่สุดคือกฎสองข้อ (การแทนที่และการได้มาของข้อสรุป) และทฤษฎีบทการหัก
กฎการทดแทน ในวิชาคณิตศาสตร์ การแทนที่ถูกกำหนดให้เป็นการแทนที่องค์ประกอบแต่ละตัว a ของเซตที่กำหนดโดยองค์ประกอบอื่น F(a) จากเซตเดียวกัน ในตรรกะทางคณิตศาสตร์ กฎการแทนที่ถูกกำหนดดังนี้ หากสูตร M ที่แท้จริงในแคลคูลัสเชิงประพจน์มีตัวอักษร ให้พูดว่า A จากนั้นแทนที่มันทุกที่ที่มันเกิดขึ้นด้วยตัวอักษร D เราก็จะได้สูตรที่เป็นจริงเหมือนกันกับสูตรดั้งเดิม สิ่งนี้เป็นไปได้และยอมรับได้อย่างแม่นยำเพราะในแคลคูลัสของข้อเสนอ หนึ่งนามธรรมจากความหมายของข้อเสนอ (สูตร)... เฉพาะค่าที่ "จริง" หรือ "เท็จ" เท่านั้นที่จะถูกนำมาพิจารณา ตัวอย่างเช่น ในสูตร M: A--> (BUA) เราแทนที่นิพจน์ (AUB) แทน A ดังนั้นเราจึงได้สูตรใหม่ (AUB) -->[(BU(AUB) ]
กฎสำหรับการอนุมานข้อสรุปสอดคล้องกับโครงสร้างของโมดัส ponens syllogism ที่จัดหมวดหมู่ตามเงื่อนไข (โหมดยืนยัน) ในตรรกะที่เป็นทางการ ดูเหมือนว่านี้:
เอ .
ให้ข้อเสนอ (a-> b) และให้ a มันเป็นไปตามข.
ตัวอย่างเช่น หากฝนตก แสดงว่าพื้นถนนเปียก แสดงว่าฝนตก (ก) ดังนั้น ทางเท้าจึงเปียก (b) ในตรรกะทางคณิตศาสตร์ syllogism นี้เขียนดังนี้ (a-> b) a-> b
การอนุมานจะถูกกำหนดตามกฎโดยการแยกนัย หากมีความหมาย (a-> b) และมาก่อน (a) เราก็มีสิทธิ์ที่จะเพิ่มเหตุผล (การพิสูจน์) ที่เป็นผลมาจากความหมายนี้ (b) Syllogism เป็นการบีบบังคับ ประกอบเป็นคลังแสงของวิธีการพิสูจน์นิรนัย กล่าวคือ ตรงตามข้อกำหนดของการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน
บทบาทสำคัญในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เล่นโดยทฤษฎีบทการหัก ซึ่งเป็นชื่อทั่วไปของทฤษฎีบทจำนวนหนึ่ง ซึ่งขั้นตอนดังกล่าวทำให้สามารถพิสูจน์ความน่าจะเป็นของความหมายได้: A-> B เมื่อมีการสืบหาเชิงตรรกะของ สูตร B จากสูตร A ในเวอร์ชันทั่วไปของแคลคูลัสเชิงประพจน์ (ในคณิตศาสตร์คลาสสิก สัญชาตญาณ และคณิตศาสตร์ประเภทอื่นๆ) ทฤษฎีบทการหักล้างมีดังต่อไปนี้ หากระบบของสถานที่ G และหลักฐาน A ได้รับซึ่งตามกฎแล้ว B G, A B (- เครื่องหมายของอนุพันธ์) สามารถอนุมานได้จากนั้นจึงมีเพียงจากสถานที่ของ G เท่านั้นที่จะได้รับประโยค A --> ข.
เราได้พิจารณาประเภทซึ่งเป็นข้อพิสูจน์โดยตรง ในเวลาเดียวกัน สิ่งที่เรียกว่า หลักฐานทางอ้อม ก็ใช้ในตรรกะเช่นกัน มีการพิสูจน์ที่ไม่ใช่โดยตรง ที่ปรับใช้ตามรูปแบบต่อไปนี้ เนื่องจากเหตุผลหลายประการ (ไม่สามารถเข้าถึงวัตถุประสงค์ของการศึกษาการสูญเสียความเป็นจริงของการดำรงอยู่ของมัน ฯลฯ ) โอกาสที่จะดำเนินการพิสูจน์โดยตรงของความจริงของข้อความใด ๆ วิทยานิพนธ์พวกเขาสร้างสิ่งที่ตรงกันข้าม พวกเขาเชื่อว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามนำไปสู่ความขัดแย้ง ดังนั้นจึงเป็นเท็จ จากนั้นจากข้อเท็จจริงของความเท็จของสิ่งที่ตรงกันข้าม - บนพื้นฐานของกฎหมายของกลางที่ยกเว้น (a v) - ข้อสรุปเกี่ยวกับความจริงของวิทยานิพนธ์
ในวิชาคณิตศาสตร์ การพิสูจน์ทางอ้อมรูปแบบหนึ่งใช้กันอย่างแพร่หลาย - การพิสูจน์โดยความขัดแย้ง มีคุณค่าอย่างยิ่งและจำเป็นอย่างยิ่งในการยอมรับแนวคิดพื้นฐานและบทบัญญัติของคณิตศาสตร์ เช่น แนวคิดเรื่องอนันต์จริง ซึ่งไม่สามารถนำเสนอในรูปแบบอื่นได้
การทำงานของการพิสูจน์โดยความขัดแย้งจะแสดงในตรรกะทางคณิตศาสตร์ดังนี้ กำหนดลำดับของสูตร G และการปฏิเสธของ A (G , A) หากนี่หมายถึง B และการปฏิเสธ (G , A B, ไม่ใช่ B) เราก็สามารถสรุปได้ว่าความจริงของ A เป็นไปตามลำดับของสูตร G กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความจริงของวิทยานิพนธ์ตามมาจากความเท็จของสิ่งที่ตรงกันข้าม .
ข้อมูลอ้างอิง:
1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, คณิตศาสตร์ชั้นสูงสำหรับนักเศรษฐศาสตร์, ตำราเรียน, มอสโก, 2002;
2. L.D. Kudryavtsev, คณิตศาสตร์สมัยใหม่และการสอน, มอสโก, Nauka, 1985;
3. O. I. Larichev, แบบจำลองวัตถุประสงค์และการตัดสินใจเชิงอัตนัย, มอสโก, นอก้า, 1987;
4. A.Ya.Halamizer, “คณิตศาสตร์? - มันตลก!” ฉบับผู้แต่ง 1989;
5. P.K. Rashevsky, การวิเคราะห์เรขาคณิตและเทนเซอร์ของ Riemannian, มอสโก, ฉบับที่ 3, 1967;
6. V.E. Gmurman, ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์, มอสโก, โรงเรียนมัธยม, 1977;
7. เครือข่าย Enternet ทั่วโลก
คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์แห่งความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ของโลกแห่งความเป็นจริง ในการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดกับความต้องการของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี สต็อกของความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ที่ศึกษาโดยคณิตศาสตร์มีการขยายตัวอย่างต่อเนื่อง เพื่อให้คำจำกัดความข้างต้นต้องเข้าใจในความหมายทั่วไปมากที่สุด
จุดประสงค์ของการเรียนคณิตศาสตร์คือเพื่อเพิ่มมุมมองทั่วไป วัฒนธรรมแห่งการคิด การก่อตัวของโลกทัศน์ทางวิทยาศาสตร์
การทำความเข้าใจตำแหน่งอิสระของคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์พิเศษเป็นไปได้หลังจากการสะสมของวัสดุที่เป็นข้อเท็จจริงจำนวนมากพอสมควรและเกิดขึ้นเป็นครั้งแรกในกรีกโบราณในศตวรรษที่ 6-5 ก่อนคริสต์ศักราช นี่คือจุดเริ่มต้นของช่วงเวลาของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา
ในช่วงเวลานี้ การวิจัยทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานที่มีอยู่ค่อนข้างจำกัด ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับความต้องการที่เรียบง่ายที่สุดของชีวิตทางเศรษฐกิจ ในขณะเดียวกัน การพัฒนาเชิงคุณภาพของคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์ก็เกิดขึ้นแล้ว
คณิตศาสตร์สมัยใหม่มักถูกนำมาเปรียบเทียบกับเมืองใหญ่ นี่เป็นการเปรียบเทียบที่ยอดเยี่ยม เพราะในทางคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับในเมืองใหญ่ มีกระบวนการเติบโตและพัฒนาอย่างต่อเนื่อง พื้นที่ใหม่ๆ เกิดขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ มีการสร้างทฤษฎีใหม่ที่สง่างามและลึกซึ้ง เช่น การก่อสร้างย่านและอาคารใหม่ แต่ความก้าวหน้าของคณิตศาสตร์ไม่ได้จำกัดอยู่เพียงแค่การเปลี่ยนโฉมหน้าของเมืองอันเนื่องมาจากการสร้างรูปแบบใหม่ เราต้องเปลี่ยนของเก่า ทฤษฎีเก่ารวมอยู่ในทฤษฎีใหม่ที่กว้างกว่า จำเป็นต้องเสริมสร้างฐานรากของอาคารเก่า ต้องวางถนนสายใหม่เพื่อสร้างความเชื่อมโยงระหว่างย่านที่อยู่ห่างไกลของเมืองทางคณิตศาสตร์ แต่ยังไม่เพียงพอ - การออกแบบสถาปัตยกรรมต้องใช้ความพยายามอย่างมาก เนื่องจากความหลากหลายของรูปแบบในด้านต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่ทำลายความประทับใจโดยรวมของวิทยาศาสตร์ แต่ยังขัดขวางการทำความเข้าใจวิทยาศาสตร์โดยรวม ทำให้เกิดการเชื่อมโยงระหว่างส่วนต่างๆ
มักใช้การเปรียบเทียบอื่น: คณิตศาสตร์เปรียบได้กับต้นไม้ใหญ่ที่มีกิ่งก้านสาขาซึ่งให้หน่อใหม่อย่างเป็นระบบ กิ่งก้านของต้นไม้แต่ละกิ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ จำนวนกิ่งไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อกิ่งใหม่งอกขึ้น เติบโตพร้อมกันในตอนแรกแยกกัน กิ่งบางกิ่งก็แห้ง ขาดน้ำบำรุง การเปรียบเทียบทั้งสองประสบความสำเร็จและถ่ายทอดสถานการณ์จริงได้เป็นอย่างดี
ความต้องการความงามมีบทบาทสำคัญในการสร้างทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อย่างไม่ต้องสงสัย มันไปโดยไม่บอกว่าการรับรู้ของความงามเป็นเรื่องส่วนตัวมากและมักจะมีความคิดที่ค่อนข้างน่าเกลียดเกี่ยวกับเรื่องนี้ อย่างไรก็ตาม เราต้องแปลกใจกับความเป็นเอกฉันท์ที่นักคณิตศาสตร์ใส่ไว้ในแนวคิดเรื่อง "ความงาม": ผลที่ได้จะถือว่าสวยงามหากเงื่อนไขจำนวนน้อยนิดจึงเป็นไปได้ที่จะได้ข้อสรุปทั่วไปเกี่ยวกับวัตถุที่หลากหลาย รากศัพท์ทางคณิตศาสตร์ถือว่าสวยงามหากสามารถพิสูจน์ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ที่มีนัยสำคัญได้โดยให้เหตุผลง่ายๆ และสั้น วุฒิภาวะของนักคณิตศาสตร์ พรสวรรค์ของเขาเดาได้จากการพัฒนาความรู้สึกในความงามของเขา ผลลัพธ์ที่สมบูรณ์แบบและสมบูรณ์แบบทางคณิตศาสตร์นั้นง่ายต่อการเข้าใจ จดจำและใช้งาน การระบุความสัมพันธ์ของพวกเขากับความรู้ด้านอื่นๆ ทำได้ง่ายกว่า
คณิตศาสตร์ในสมัยของเราได้กลายเป็นวินัยทางวิทยาศาสตร์ที่มีการวิจัยหลายด้าน ผลลัพธ์และวิธีการจำนวนมาก คณิตศาสตร์ตอนนี้ยอดเยี่ยมมากจนเป็นไปไม่ได้ที่คน ๆ หนึ่งจะครอบคลุมมันในทุกส่วน ไม่มีความเป็นไปได้ที่จะเป็นผู้เชี่ยวชาญระดับสากลในเรื่องนี้ การสูญเสียการเชื่อมต่อระหว่างทิศทางที่แยกจากกันนั้นเป็นผลเสียต่อการพัฒนาอย่างรวดเร็วของวิทยาศาสตร์นี้อย่างแน่นอน อย่างไรก็ตาม ที่พื้นฐานของการพัฒนาของสาขาคณิตศาสตร์ทั้งหมดมีสิ่งทั่วไป - ต้นกำเนิดของการพัฒนา รากของต้นไม้แห่งคณิตศาสตร์
เรขาคณิตของยุคลิดเป็นทฤษฎีวิทยาศาสตร์ธรรมชาติข้อแรก
คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์แห่งความสัมพันธ์เชิงปริมาณและรูปแบบเชิงพื้นที่ของความเป็นจริง ศึกษาโลกรอบตัวเรา ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและทางสังคม แต่แตกต่างจากวิทยาศาสตร์อื่น ๆ คณิตศาสตร์ศึกษาคุณสมบัติพิเศษของพวกเขาโดยแยกจากผู้อื่น ดังนั้น เรขาคณิตจึงศึกษารูปร่างและขนาดของวัตถุ โดยไม่คำนึงถึงคุณสมบัติอื่นๆ เช่น สี มวล ความแข็ง ฯลฯ โดยทั่วไปแล้ว วัตถุทางคณิตศาสตร์ (เรขาคณิต จำนวน ค่า) ถูกสร้างขึ้นโดยจิตใจของมนุษย์และมีอยู่ในการคิดของมนุษย์เท่านั้น ในเครื่องหมายและสัญลักษณ์ที่สร้างภาษาคณิตศาสตร์
ความเป็นนามธรรมของคณิตศาสตร์ช่วยให้นำไปประยุกต์ใช้ในด้านต่างๆ ได้ เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการทำความเข้าใจธรรมชาติ
รูปแบบของความรู้แบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม
กลุ่มแรกเป็นรูปแบบของการรับรู้ทางประสาทสัมผัสซึ่งดำเนินการด้วยความช่วยเหลือของอวัยวะรับความรู้สึกต่าง ๆ : การเห็น, การได้ยิน, กลิ่น, การสัมผัส, การลิ้มรส
บจก. กลุ่มที่สองรวมถึงรูปแบบการคิดเชิงนามธรรม แนวคิดหลัก ถ้อยแถลง และการอนุมาน
รูปแบบของการรับรู้ทางประสาทสัมผัสคือ รู้สึก, การรับรู้และ การเป็นตัวแทน.
วัตถุแต่ละชิ้นไม่ได้มีคุณสมบัติเพียงอย่างเดียว แต่มีหลายอย่าง และเรารู้จักพวกมันด้วยความช่วยเหลือจากความรู้สึก
ความรู้สึก- นี่คือภาพสะท้อนของคุณสมบัติส่วนบุคคลของวัตถุหรือปรากฏการณ์ของโลกวัตถุซึ่งโดยตรง (เช่นตอนนี้ ในขณะนี้) ส่งผลกระทบต่อความรู้สึกของเรา เหล่านี้เป็นความรู้สึกของสีแดง อบอุ่น กลม เขียว หวาน ราบรื่นและคุณสมบัติอื่น ๆ ของวัตถุ [Getmanova, p. 7].
จากความรู้สึกส่วนบุคคลการรับรู้ของวัตถุทั้งหมดจะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น การรับรู้ของแอปเปิ้ลประกอบด้วยความรู้สึกดังกล่าว: ทรงกลม, แดง, เปรี้ยวหวาน, มีกลิ่นหอม ฯลฯ
การรับรู้เป็นภาพสะท้อนแบบองค์รวมของวัตถุภายนอกที่ส่งผลกระทบโดยตรงต่อความรู้สึกของเรา [Getmanova, p. แปด]. ตัวอย่างเช่น ภาพจาน ถ้วย ช้อน เครื่องใช้อื่นๆ ภาพของแม่น้ำถ้าตอนนี้เรากำลังแล่นไปตามแม่น้ำหรืออยู่บนฝั่ง ภาพของป่าถ้าตอนนี้เรามาถึงป่า ฯลฯ
แม้ว่าการรับรู้จะเป็นภาพสะท้อนทางประสาทสัมผัสของความเป็นจริงในจิตใจของเรา แต่ส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับประสบการณ์ของมนุษย์ ตัวอย่างเช่น นักชีววิทยาจะมองเห็นทุ่งหญ้าในทางเดียว (เขาจะได้เห็นพืชชนิดต่างๆ) แต่นักท่องเที่ยวหรือศิลปินจะรับรู้ในวิถีที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง
ประสิทธิภาพ- นี่เป็นภาพที่เย้ายวนของวัตถุที่เราไม่ได้รับรู้ในขณะนี้ แต่ที่เรารับรู้ก่อนหน้านี้ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง [Getmanova, p. สิบ]. ตัวอย่างเช่น เราสามารถจินตนาการถึงใบหน้าของคนรู้จัก ห้องของเราในบ้าน ต้นเบิร์ชหรือเห็ดด้วยสายตา นี่คือตัวอย่าง การสืบพันธุ์อย่างที่เราได้เห็นวัตถุเหล่านี้
การนำเสนอสามารถ ความคิดสร้างสรรค์, รวมทั้ง มหัศจรรย์. เราขอนำเสนอเจ้าหญิงหงส์แสนสวย หรือซาร์ซัลตัน หรือกระทงทองคำ และตัวละครอื่นๆ อีกมากมายจากเทพนิยายของ A.S. พุชกินที่เราไม่เคยเห็นและไม่เคยเห็น นี่คือตัวอย่างการนำเสนอที่สร้างสรรค์เหนือคำบรรยายด้วยวาจา เรายังจินตนาการถึง Snow Maiden, ซานตาคลอส, นางเงือก ฯลฯ
ดังนั้น รูปแบบของความรู้ทางประสาทสัมผัสคือความรู้สึก การรับรู้ และการเป็นตัวแทน ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา เราเรียนรู้ลักษณะภายนอกของวัตถุ (คุณสมบัติของมัน รวมถึงคุณสมบัติของมัน)
รูปแบบของการคิดเชิงนามธรรม ได้แก่ แนวคิด ถ้อยแถลง และข้อสรุป
แนวคิด ขอบเขตและเนื้อหาของแนวคิด
คำว่า "แนวคิด" มักใช้เพื่ออ้างถึงคลาสทั้งหมดของวัตถุที่มีลักษณะตามอำเภอใจซึ่งมีคุณสมบัติเฉพาะ (โดดเด่น, จำเป็น) หรือชุดของคุณสมบัติดังกล่าวทั้งหมด กล่าวคือ คุณสมบัติที่เป็นเอกลักษณ์เฉพาะของสมาชิกของคลาสนั้น
จากมุมมองของตรรกะ แนวคิดเป็นรูปแบบพิเศษของการคิด ซึ่งมีลักษณะดังนี้ 1) แนวคิดเป็นผลจากเรื่องที่มีการจัดระเบียบสูง 2) แนวคิดนี้สะท้อนถึงโลกแห่งวัตถุ 3) แนวคิดปรากฏในจิตสำนึกเป็นวิธีการทั่วไป 4) แนวคิดนี้หมายถึงกิจกรรมของมนุษย์โดยเฉพาะ 5) การก่อตัวของแนวคิดในใจของบุคคลนั้นแยกออกไม่ได้จากการแสดงออกผ่านคำพูด การเขียน หรือสัญลักษณ์
แนวคิดของวัตถุแห่งความเป็นจริงเกิดขึ้นได้อย่างไรในจิตใจของเรา?
กระบวนการสร้างแนวคิดบางอย่างเป็นกระบวนการที่ค่อยเป็นค่อยไปซึ่งสามารถมองเห็นขั้นตอนที่ต่อเนื่องกันได้หลายขั้นตอน พิจารณากระบวนการนี้โดยใช้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด - การก่อตัวของแนวคิดของหมายเลข 3 ในเด็ก
1. ในระยะแรกของความรู้ความเข้าใจ เด็ก ๆ จะทำความคุ้นเคยกับชุดเฉพาะต่างๆ โดยใช้รูปภาพหัวข้อและแสดงชุดองค์ประกอบสามชุดต่างๆ (แอปเปิ้ลสามลูก หนังสือ 3 เล่ม ดินสอ 3 เล่ม เป็นต้น) เด็กๆ ไม่เพียงแต่เห็นแต่ละฉากเท่านั้น แต่ยังสามารถสัมผัส (สัมผัส) สิ่งของต่างๆ ที่ประกอบเป็นชุดเหล่านี้ได้ กระบวนการ "มองเห็น" นี้สร้างภาพสะท้อนของความเป็นจริงในจิตใจของเด็กเป็นพิเศษซึ่งเรียกว่า การรับรู้ (ความรู้สึก)
2. ให้เอาสิ่งของ (สิ่งของ) ที่ประกอบเป็นชุดแต่ละชุดออก แล้วให้เด็กๆ พิจารณาว่ามีบางอย่างที่เหมือนกันซึ่งกำหนดลักษณะแต่ละชุดหรือไม่ จำนวนสิ่งของในแต่ละชุดจะต้องตราตรึงในใจของเด็กๆ ว่ามี “สาม” อยู่ทุกหนทุกแห่ง หากเป็นเช่นนี้ ก็เกิดรูปแบบใหม่ขึ้นในใจของเด็ก ๆ - ความคิดของหมายเลขสาม
3. ในขั้นต่อไป บนพื้นฐานของการทดลองทางความคิด เด็ก ๆ ควรเห็นว่าคุณสมบัติที่แสดงในคำว่า "สาม" แสดงถึงชุดขององค์ประกอบต่าง ๆ ของแบบฟอร์ม (a; b; c) ดังนั้น คุณลักษณะทั่วไปที่สำคัญของชุดดังกล่าวจะถูกแยกออก: "ให้มีสามองค์ประกอบ".ตอนนี้สามารถพูดได้ว่าในใจของเด็ก ๆ ก่อตัวขึ้น แนวคิดของหมายเลข 3
แนวคิด- นี่เป็นรูปแบบการคิดพิเศษซึ่งสะท้อนถึงคุณสมบัติที่จำเป็น (โดดเด่น) ของวัตถุหรือวัตถุที่ศึกษา
รูปแบบภาษาศาสตร์ของแนวคิดคือคำหรือกลุ่มคำ ตัวอย่างเช่น "สามเหลี่ยม" "หมายเลขสาม" "จุด" "เส้นตรง" "สามเหลี่ยมหน้าจั่ว" "พืช" "ต้นสน" "แม่น้ำ Yenisei" "ตาราง" เป็นต้น
แนวคิดทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติหลายประการ สิ่งสำคัญคือวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นสำหรับการสร้างแนวคิดนั้นไม่มีอยู่จริง วัตถุทางคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นโดยจิตใจของมนุษย์ สิ่งเหล่านี้เป็นวัตถุในอุดมคติที่สะท้อนถึงวัตถุหรือปรากฏการณ์จริง ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิต จะศึกษารูปร่างและขนาดของวัตถุ โดยไม่คำนึงถึงคุณสมบัติอื่นๆ ของวัตถุ เช่น สี มวล ความแข็ง ฯลฯ จากทั้งหมดนี้พวกเขาจะฟุ้งซ่านและเป็นนามธรรม ดังนั้นในทางเรขาคณิต แทนที่จะพูดว่า "วัตถุ" พวกเขาพูดว่า "รูปเรขาคณิต" ผลลัพธ์ของสิ่งที่เป็นนามธรรมยังเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์เช่น "จำนวน" และ "ค่า"
คุณสมบัติหลักใดๆ แนวคิดคือดังต่อไปนี้ 1) ปริมาณ; 2) เนื้อหา; 3) ความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิด.
เมื่อพวกเขาพูดถึงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ พวกเขามักจะหมายถึงทั้งชุด (ชุด) ของวัตถุที่แสดงด้วยคำศัพท์เดียว (คำหรือกลุ่มคำ) เมื่อพูดถึงสี่เหลี่ยมจัตุรัส พวกเขาหมายถึงรูปทรงเรขาคณิตทั้งหมดที่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เป็นที่เชื่อกันว่าเซตของสี่เหลี่ยมทั้งหมดเป็นขอบเขตของแนวคิดของ "สี่เหลี่ยมจัตุรัส"
ขอบเขตของแนวคิดชุดของวัตถุหรือวัตถุที่ใช้แนวคิดนี้เรียกว่า
ตัวอย่างเช่น 1) ขอบเขตของแนวคิดของ "สี่เหลี่ยมด้านขนาน" คือชุดของรูปสี่เหลี่ยม เช่น สี่เหลี่ยมด้านขนานที่เหมาะสม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยม 2) ขอบเขตของแนวคิดของ "จำนวนธรรมชาติหนึ่งหลัก" จะเป็นชุด - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
วัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ มีคุณสมบัติบางอย่าง ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีสี่ด้าน มุมฉากสี่มุมเท่ากับเส้นทแยงมุม เส้นทแยงมุมถูกผ่าครึ่งด้วยจุดตัดกัน คุณสามารถระบุคุณสมบัติอื่น ๆ ได้ แต่ในคุณสมบัติของวัตถุมี จำเป็น (โดดเด่น)และ ไม่จำเป็น.
ทรัพย์สินเรียกว่า จำเป็น (โดดเด่น) สำหรับวัตถุหากมีอยู่ในวัตถุนี้และไม่มีอยู่จริง ทรัพย์สินเรียกว่า ไม่สำคัญ สำหรับวัตถุถ้ามันสามารถอยู่ได้โดยปราศจากมัน
ตัวอย่างเช่น สำหรับสี่เหลี่ยมจตุรัส คุณสมบัติทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้นมีความจำเป็น คุณสมบัติ “ด้าน AD เป็นแนวนอน” จะไม่เกี่ยวข้องกับสี่เหลี่ยม ABCD (รูปที่ 1) หากสี่เหลี่ยมนี้หมุน ด้าน AD จะเป็นแนวตั้ง
พิจารณาตัวอย่างสำหรับเด็กก่อนวัยเรียนที่ใช้สื่อการมองเห็น (รูปที่ 2):
อธิบายรูป.
สามเหลี่ยมสีดำขนาดเล็ก ข้าว. 2
สามเหลี่ยมสีขาวขนาดใหญ่
ตัวเลขมีความคล้ายคลึงกันอย่างไร?
ตัวเลขต่างกันอย่างไร?
สี ขนาด.
สามเหลี่ยมมีอะไรบ้าง?
3 ด้าน 3 มุม
ดังนั้น เด็ก ๆ จึงค้นพบคุณสมบัติที่สำคัญและไม่จำเป็นของแนวคิดของ "สามเหลี่ยม" คุณสมบัติที่สำคัญ - "มีสามด้านและสามมุม" คุณสมบัติที่ไม่จำเป็น - สีและขนาด
ผลรวมของคุณสมบัติที่จำเป็น (โดดเด่น) ทั้งหมดของวัตถุหรือวัตถุที่สะท้อนในแนวคิดนี้เรียกว่า เนื้อหาของแนวคิด .
ตัวอย่างเช่น สำหรับแนวคิดของ "สี่เหลี่ยมด้านขนาน" เนื้อหาเป็นชุดของคุณสมบัติ: มีสี่ด้าน มีสี่มุม ด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ ด้านตรงข้ามเท่ากัน มุมตรงข้ามเท่ากัน เส้นทแยงมุมที่จุดตัดคือ แบ่งครึ่ง
มีความเชื่อมโยงระหว่างปริมาณของแนวคิดและเนื้อหา: หากปริมาณของแนวคิดเพิ่มขึ้น เนื้อหาของแนวคิดก็จะลดลง และในทางกลับกัน ตัวอย่างเช่น ขอบเขตของแนวคิด "สามเหลี่ยมหน้าจั่ว" เป็นส่วนหนึ่งของขอบเขตแนวคิด "สามเหลี่ยม" และเนื้อหาของแนวคิด "สามเหลี่ยมหน้าจั่ว" มีคุณสมบัติมากกว่าเนื้อหาของแนวคิด "สามเหลี่ยม" เพราะ สามเหลี่ยมหน้าจั่วไม่เพียงมีคุณสมบัติทั้งหมดของสามเหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังมีคุณสมบัติอื่นๆ ที่มีอยู่ในสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่านั้น ("สองด้านเท่ากัน", "สองมุมเท่ากัน", "ค่ามัธยฐานสองค่าเท่ากัน" ฯลฯ)
แนวคิดแบ่งออกเป็น โสดทั่วไปและ หมวดหมู่
แนวคิดที่มีปริมาตรเท่ากับ 1 เรียกว่า แนวคิดเดียว .
ตัวอย่างเช่น แนวคิด: "แม่น้ำ Yenisei", "สาธารณรัฐตูวา", "เมืองมอสโก"
แนวคิดที่มีปริมาตรมากกว่า 1 เรียกว่า ทั่วไป .
ตัวอย่างเช่น แนวคิด: "เมือง" "แม่น้ำ" "สี่เหลี่ยม" "ตัวเลข" "รูปหลายเหลี่ยม" "สมการ"
ในกระบวนการศึกษาพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ใด ๆ เด็ก ๆ มักสร้างแนวคิดทั่วไป ตัวอย่างเช่น ในชั้นประถมศึกษาปีที่นักเรียนทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเช่น "ตัวเลข", "ตัวเลข", "ตัวเลขหลักเดียว", "ตัวเลขสองหลัก", "ตัวเลขหลายหลัก", "เศษส่วน", "หุ้น" ”, “บวก”, “เทอม” , "ผลรวม", "การลบ", "ลบ", "ลด", "ผลต่าง", "การคูณ", "คูณ", "ผลิตภัณฑ์", "หาร", "หาร", "ตัวหาร", "ผลหาร", "ลูก, ทรงกระบอก, กรวย, ลูกบาศก์, สี่เหลี่ยมด้านขนาน, ปิรามิด, มุม, สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, สี่เหลี่ยมผืนผ้า, รูปหลายเหลี่ยม, วงกลม , "วงกลม", "เส้นโค้ง", "เส้นหลายเหลี่ยม", "ส่วน" , "ความยาวของส่วน", "รังสี", "เส้นตรง", "จุด", "ความยาว", "ความกว้าง", "ความสูง", "ปริมณฑล", "พื้นที่รูป", "ปริมาตร", "เวลา", " ความเร็ว", "มวล", "ราคา", "ต้นทุน" และอื่นๆ อีกมากมาย แนวคิดทั้งหมดเหล่านี้เป็นแนวคิดทั่วไป