การกระจายความหนาแน่นของผลรวมของตัวแปรสุ่ม การกระจายผลรวมของตัวแปรอิสระสุ่มสองตัว ประมาณการสำหรับการกระจายผลรวม
คำนิยาม. ตัวแปรสุ่ม Х 1 , Х 2 , …, Х n เรียกว่าอิสระ ถ้า x 1, x 2 , …, x n เหตุการณ์เป็นอิสระ
(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.
เป็นไปตามนิยามโดยตรงว่าสำหรับตัวแปรสุ่มอิสระ X 1, X2, …, X นู๋ฟังก์ชันการกระจาย น- ตัวแปรสุ่มมิติ X = X 1, X2, …, X นู๋เท่ากับผลคูณของฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม X 1, X2, …, X นู๋
F(x 1 , x2, …, x น) = F(x 1)F(x2)…F(x น). (1)
ให้เราแยกแยะความเท่าเทียมกัน (1) นครั้งโดย x 1 , x2, …, x น, เราได้รับ
พี(x 1 , x2, …, x น) = พี(x 1)พี(x2)…พี(x น). (2)
สามารถให้คำจำกัดความอื่นของความเป็นอิสระของตัวแปรสุ่มได้
หากกฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มตัวหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มอื่นๆ ตัวแปรสุ่มดังกล่าวจะเรียกว่าอิสระในการรวม
ตัวอย่างเช่น ซื้อสลากลอตเตอรี่สองใบจากรุ่นต่างๆ ปล่อยให้เป็น X– จำนวนเงินที่ชนะสำหรับตั๋วแรก Y– จำนวนเงินที่ชนะสำหรับตั๋วที่สอง ตัวแปรสุ่ม Xและ Y- เป็นอิสระเนื่องจากการชนะตั๋วหนึ่งใบจะไม่ส่งผลต่อกฎหมายการจำหน่ายของอีกใบ แต่ถ้าตั๋วเป็นรุ่นเดียวกันก็ Xและ Y- ขึ้นอยู่กับ.
ตัวแปรสุ่มสองตัวเรียกว่าอิสระหากกฎการแจกแจงของหนึ่งในนั้นไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรอื่น
ทฤษฎีบท 1(การบิด) หรือ "ทฤษฎีบทความหนาแน่นของผลรวมของตัวแปรสุ่ม 2 ตัว"
ปล่อยให้เป็น X = (X 1;X2) เป็นตัวแปรสุ่มสองมิติต่อเนื่องอิสระ Y = X 1+ X2. จากนั้นความหนาแน่นของการกระจาย
การพิสูจน์. สามารถแสดงได้ว่าถ้า , แล้ว
ที่ไหน X = (X 1 , X 2 , …, X นู๋). แล้วถ้า X = (X 1 , X 2) จากนั้นฟังก์ชันการกระจาย Y = X 1 + X 2 สามารถกำหนดได้ดังนี้ (รูปที่ 1) –
ตามคำจำกัดความ ฟังก์ชันคือความหนาแน่นของการกระจายของตัวแปรสุ่ม Y = X 1 + X 2 เช่น
พาย (t) = ที่จะพิสูจน์
ให้เราหาสูตรในการหาการกระจายความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องกันสองตัว
ทฤษฎีบท 2ปล่อยให้เป็น X 1 , X 2 – ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องอิสระ
การพิสูจน์. ลองนึกภาพเหตุการณ์ เอ็กซ์ = {X 1 +X 2 = x) เป็นผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้
เอ็กซ์ = å( X 1 = xฉัน ; X 2 = x– xฉัน).
เนื่องจาก X 1 , X 2 - เป็นอิสระแล้ว พี(X 1 = xฉัน ; X 2 = x– xผม) = พี(X 1 = xฉัน) พี(X 2 = x-xผม) แล้ว
พี(เอ็กซ์) = พี(å( X 1 = xฉัน ; X 2 = x – x ฉัน)) = å( พี(X 1 = x ฉัน) พี(X 2 = x-xฉัน))
คิวอีดี
ตัวอย่างที่ 1ปล่อยให้เป็น X 1 , X 2 - ตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงแบบปกติพร้อมพารามิเตอร์ นู๋(0;1); X 1 , X 2 ~ นู๋(0;1).
ให้เราหาความหนาแน่นของการกระจายของผลรวมของพวกเขา (เราแสดงว่า X 1 = x, Y = X 1 +X 2)
มันง่ายที่จะเห็นว่าอินทิกรัลคือความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มปกติพร้อมพารามิเตอร์ เอ= , , เช่น อินทิกรัลคือ 1
การทำงาน พาย(t) คือความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติด้วยพารามิเตอร์ a = 0, s = ดังนั้น ผลรวมของตัวแปรสุ่มปกติอิสระที่มีพารามิเตอร์ (0,1) มีการแจกแจงแบบปกติพร้อมพารามิเตอร์ (0,) กล่าวคือ Y = X 1 + X 2 ~ นู๋(0;).
ตัวอย่าง 2. ให้ตัวแปรสุ่มอิสระที่ไม่ต่อเนื่องสองตัวที่มีการแจกแจงแบบปัวซอง จากนั้น
ที่ไหน k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.
โดยทฤษฎีบท 2 เรามี:
ตัวอย่างที่ 3ปล่อยให้เป็น X 1, X 2 - ตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล มาหาความหนาแน่นกันเถอะ Y= X 1 +X 2 .
หมายถึง x = x 1. ตั้งแต่ X 1, X 2 เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ จากนั้นเราใช้ "ทฤษฎีบทการบิด"
จะแสดงให้เห็นได้ว่าหากผลรวม ( Х ฉันมีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลพร้อมพารามิเตอร์ l) จากนั้น Y= มีการแจกแจงที่เรียกว่าการแจกแจง Erlang ( น- 1) สั่งซื้อ กฎหมายนี้ได้มาโดยการจำลองการทำงานของการแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์ในงานแรกเกี่ยวกับทฤษฎีการเข้าคิว
ในสถิติทางคณิตศาสตร์ กฎการแจกแจงมักใช้กับตัวแปรสุ่มที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มปกติที่เป็นอิสระ ลองพิจารณากฎสามข้อที่พบบ่อยที่สุดในการสร้างแบบจำลองปรากฏการณ์สุ่ม
ทฤษฎีบทที่ 3ถ้าตัวแปรสุ่มเป็นอิสระ X 1, ..., X นู๋จากนั้นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มเหล่านี้ก็เป็นอิสระเช่นกัน Y 1 = ฉ 1 (X 1), ...,Y n = ฉ น(X นู๋).
การกระจายของเพียร์สัน(จาก2 -การกระจาย). ปล่อยให้เป็น X 1, ..., X นู๋เป็นตัวแปรสุ่มปกติที่เป็นอิสระพร้อมพารามิเตอร์ เอ= 0, s = 1. เขียนตัวแปรสุ่ม
ดังนั้น,
สามารถแสดงให้เห็นว่าความหนาแน่นของ x > 0 มีรูปแบบ โดยที่ k n คือสัมประสิทธิ์บางประการสำหรับเงื่อนไขที่จะเป็นไปตามนั้น n ® ¥ การแจกแจงแบบเพียร์สันมีแนวโน้มที่จะแจกแจงแบบปกติ
ให้ Х 1 , Х 2 , …, Хn ~ N(a,s) จากนั้นตัวแปรสุ่ม ~ N(0,1) ดังนั้น ตัวแปรสุ่มจึงมีการแจกแจงแบบ c 2 โดยมีองศาอิสระ n
การแจกแจงแบบเพียร์สันถูกจัดตารางและใช้ในแอปพลิเคชันต่างๆ ของสถิติทางคณิตศาสตร์ (ตัวอย่างเช่น เมื่อทดสอบสมมติฐานว่ากฎการแจกแจงความสอดคล้องกัน)
ผู้มีอำนาจตัดสินใจอาจใช้การประกันเพื่อลดผลกระทบทางการเงินที่ไม่พึงประสงค์จากเหตุการณ์สุ่มบางประเภท
แต่การสนทนานี้เป็นเรื่องทั่วไป เนื่องจากผู้มีอำนาจตัดสินใจอาจหมายถึงทั้งบุคคลที่แสวงหาความคุ้มครองจากความเสียหายต่อทรัพย์สิน เงินออม หรือรายได้ และองค์กรที่ต้องการความคุ้มครองจากความเสียหายประเภทเดียวกัน
อันที่จริง องค์กรดังกล่าวอาจเป็นบริษัทประกันภัยที่กำลังมองหาวิธีป้องกันตนเองจากความสูญเสียทางการเงินอันเนื่องมาจากเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัยที่เกิดขึ้นกับลูกค้าแต่ละรายหรือกับพอร์ตประกันมากเกินไป ความคุ้มครองนี้เรียกว่า ประกันภัยต่อ.
พิจารณาหนึ่งในสองรูปแบบ (คือ แบบจำลองความเสี่ยงส่วนบุคคล) ใช้กันอย่างแพร่หลายในการกำหนดอัตราและเงินสำรองประกันภัยตลอดจนในการประกันภัยต่อ
แสดงโดย สจำนวนการสูญเสียโดยบังเอิญของบริษัทประกันภัยสำหรับความเสี่ยงบางส่วน ในกรณีนี้ สเป็นตัวแปรสุ่มที่เราต้องกำหนดการกระจายความน่าจะเป็น ในอดีต สำหรับการกระจายของ r.v. สมีสมมุติฐานสองชุด โมเดลความเสี่ยงส่วนบุคคลกำหนด สด้วยวิธีต่อไปนี้:
ที่ไหน r.v. หมายถึง ความสูญเสียอันเกิดจากวัตถุแห่งการเอาประกันภัยด้วยเลขที่ ฉัน,เอ นหมายถึงจำนวนวัตถุประกันทั้งหมด
โดยปกติแล้วจะถือว่าพวกมันเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ เนื่องจากในกรณีนี้การคำนวณทางคณิตศาสตร์นั้นง่ายกว่าและไม่ต้องการข้อมูลเกี่ยวกับธรรมชาติของความสัมพันธ์ระหว่างพวกมัน รูปแบบที่สองคือแบบจำลองความเสี่ยงโดยรวม
แบบจำลองความเสี่ยงส่วนบุคคลที่พิจารณาแล้วไม่ได้สะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงของมูลค่าเงินเมื่อเวลาผ่านไป สิ่งนี้ทำเพื่อลดความซับซ้อนของแบบจำลอง ซึ่งเป็นสาเหตุที่ชื่อบทความอ้างอิงถึงช่วงเวลาสั้นๆ
เราจะพิจารณาเฉพาะรุ่นปิดเช่น ที่มีจำนวนวัตถุประกัน นในสูตร (1.1) เป็นที่รู้จักและกำหนดไว้ที่จุดเริ่มต้นของช่วงเวลาที่พิจารณา หากเราเสนอสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของการย้ายถิ่นจากหรือไปยังระบบประกัน เราก็จะได้โมเดลที่เปิดกว้าง
ตัวแปรสุ่มที่อธิบายการจ่ายเงินรายบุคคล
อันดับแรก ให้เรานึกถึงบทบัญญัติหลักเกี่ยวกับการประกันชีวิต
กรณีประกันมรณะเป็นระยะเวลาหนึ่งปี ผู้เอาประกันภัยตกลงที่จะจ่ายเงินจำนวนนั้น ขหากผู้ถือกรมธรรม์เสียชีวิตภายในหนึ่งปีนับแต่วันที่สิ้นสุดสัญญาประกันภัย และไม่ต้องจ่ายอะไรเลยหากผู้ถือกรมธรรม์มีชีวิตอยู่ในปีนี้
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เอาประกันภัยที่เกิดขึ้นระหว่างปีที่ระบุแสดงโดย
ตัวแปรสุ่มที่อธิบายการชำระเงินประกันมีการแจกแจงที่สามารถระบุได้โดยฟังก์ชันความน่าจะเป็น
(2.1)
หรือฟังก์ชันการกระจายที่สอดคล้องกัน
(2.2)
จากสูตร (2.1) และจากนิยามของโมเมนต์ เราจะได้
(2.4)
สามารถหาสูตรเหล่านี้ได้โดยการเขียน Xเช่น
โดยที่ค่าคงที่ที่จ่ายในกรณีที่เสียชีวิตและเป็นตัวแปรสุ่มที่นำค่า 1 มาสู่ความตายและ 0 อย่างอื่น
ดังนั้นและ และค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของ r.v. มีค่าเท่ากันและตามลำดับ และค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของ r.v. เท่ากับ และ ซึ่งตรงกับสูตรข้างต้น
ตัวแปรสุ่มที่มีช่วง (0,1) ใช้กันอย่างแพร่หลายในแบบจำลองคณิตศาสตร์ประกันภัย
ในตำราทฤษฎีความน่าจะเป็นเรียกว่า ตัวบ่งชี้, เบอร์นูลีสุ่มค่าหรือ ตัวแปรสุ่มทวินามในการออกแบบการทดสอบเดี่ยว
เราจะเรียกเธอว่า ตัวบ่งชี้ด้วยเหตุผลที่กระชับ และเพราะมันบ่งบอกถึงการเริ่มมีอาการหรือไม่มีอาการของเหตุการณ์ที่เป็นปัญหา
ต่อไปเราจะค้นหารุ่นทั่วไปกันต่อไป ซึ่งมูลค่าของเงินประกันจะเป็นตัวแปรสุ่มและเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัยหลายเหตุการณ์อาจเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่พิจารณา
การประกันสุขภาพ การประกันภัยรถยนต์และทรัพย์สินอื่นๆ และการประกันภัยความรับผิดให้ตัวอย่างมากมายในทันที สูตรทั่วไป (2.5) เราตั้งค่า
โดยที่ตัวแปรสุ่มที่อธิบายการชำระเงินประกันในช่วงเวลาที่พิจารณาคือ r.v. หมายถึงจำนวนเงินที่ชำระทั้งหมดในช่วงเวลานี้และ r.v. เป็นเครื่องบ่งชี้เหตุการณ์ที่เกิดเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัยอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์
เป็นเครื่องบ่งชี้เหตุการณ์ดังกล่าว r.v. แก้ไขการแสดงตน () หรือขาด () เหตุการณ์ที่เอาประกันภัยในช่วงเวลานี้แต่ไม่ใช่จำนวนเหตุการณ์ที่เอาประกันภัยในนั้น
ความน่าจะเป็นจะยังคงแสดงโดย
มาอภิปรายตัวอย่างต่างๆ และพิจารณาการกระจายของตัวแปรสุ่มและในบางรุ่น
ขั้นแรกให้พิจารณาการประกันการเสียชีวิตเป็นเวลาหนึ่งปีพร้อมผลประโยชน์เพิ่มเติมหากการตายเป็นอุบัติเหตุ
เพื่อความชัดเจนสมมุติว่าถ้าเสียชีวิตจากอุบัติเหตุจะจ่ายเงินให้ 50,000 ถ้าเสียชีวิตจากสาเหตุอื่นจะจ่ายเงิน 25,000.
สมมุติว่าสำหรับคนในวัยใด ภาวะสุขภาพและอาชีพที่กำหนด ความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิตจากอุบัติเหตุระหว่างปีคือ 0.0005 และความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิตจากสาเหตุอื่นคือ 0.0020 ในรูปแบบสูตรดูเหมือนว่านี้:
รวมค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ , เราได้รับ
,
การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขค. ใน. สภาพมีรูปแบบ
ให้เราพิจารณาประกันการชนกันของรถ (ค่าชดเชยที่จ่ายให้กับเจ้าของรถสำหรับความเสียหายที่เกิดกับรถของเขา) โดยมีการหักลดหย่อนแบบไม่มีเงื่อนไข 250 และการจ่ายเงินสูงสุด 2,000
เพื่อความชัดเจน เราคิดว่าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัยหนึ่งเหตุการณ์ในช่วงเวลาที่พิจารณาสำหรับแต่ละบุคคลคือ 0.15 และความน่าจะเป็นของการชนกันมากกว่าหนึ่งครั้งมีค่าเท่ากับศูนย์:
,
.
สมมติฐานที่ไม่สมจริงว่าเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัยสามารถเกิดขึ้นได้ไม่เกินหนึ่งเหตุการณ์ในช่วงเวลาหนึ่งเพื่อทำให้การกระจายของ r.v. ง่ายขึ้น .
เราจะยกเลิกข้อสันนิษฐานนี้ในหัวข้อถัดไป หลังจากที่เราพิจารณาการกระจายผลรวมของการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนหลายรายการ
เนื่องจากเป็นมูลค่าเงินที่บริษัทประกันจ่ายให้ ไม่ใช่ความเสียหายที่เกิดกับตัวรถ เราจึงพิจารณาได้ 2 ลักษณะ คือ
ขั้นแรก เหตุการณ์รวมถึงการชนกันซึ่งความเสียหายน้อยกว่าการหักลดหย่อนแบบไม่มีเงื่อนไข ซึ่งก็คือ 250
ประการที่สอง การกระจายของ r.v. จะมี "ก้อน" ของมวลความน่าจะเป็น ณ จุดที่จำนวนเงินเอาประกันภัยสูงสุดซึ่งเท่ากับ 2,000
สมมติว่ามวลความน่าจะเป็นกระจุกตัว ณ จุดนี้เท่ากับ 0.1 นอกจากนี้ สมมติว่ามูลค่าของเงินประกันในช่วง 0 ถึง 2000 สามารถจำลองได้โดยการแจกแจงแบบต่อเนื่องโดยมีฟังก์ชันความหนาแน่นเป็นสัดส่วนกับ (ในทางปฏิบัติ เส้นโค้งต่อเนื่องที่เลือกแสดงการกระจายเบี้ยเป็นผลจากการศึกษาเบี้ยในงวดก่อน)
สรุปสมมติฐานเหล่านี้เกี่ยวกับการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของ r.v. ภายใต้เงื่อนไข เรามาถึงการแจกแจงแบบผสมที่มีความหนาแน่นเป็นบวกในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 2000 และ "พวง" ของมวลความน่าจะเป็นที่จุด 2000 ซึ่งแสดงโดยกราฟในรูปที่ 2.2.1.
ฟังก์ชันการกระจายของการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขนี้มีลักษณะดังนี้:
รูปที่ 2.1 ฟังก์ชันการกระจายของ r.v. B ภายใต้เงื่อนไข I = 1
เราคำนวณความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ในตัวอย่างที่พิจารณากับการประกันภัยรถยนต์ในสองวิธี
อันดับแรก เราเขียนการกระจายของ r.v. และใช้เพื่อคำนวณและ แสดงผ่านฟังก์ชันการกระจายของ r.v. , เรามี
สำหรับ x<0
นี่คือการกระจายแบบผสม ดังแสดงในรูป 2.2 มีทั้งแบบไม่ต่อเนื่อง (“กอ” ของมวลความน่าจะเป็นที่จุด 2000) และส่วนที่ต่อเนื่องกัน ฟังก์ชันการกระจายดังกล่าวสอดคล้องกับผลรวมของฟังก์ชันความน่าจะเป็น
ข้าว. 2.2. ฟังก์ชันการกระจายของ r.v. X=IB
และฟังก์ชันความหนาแน่น
โดยเฉพาะและ . ดังนั้น
.
มีสูตรจำนวนหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาของตัวแปรสุ่มกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แบบมีเงื่อนไข สำหรับความคาดหมายทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวน สูตรเหล่านี้มีรูปแบบ
(2.10)
(2.11)
สันนิษฐานว่านิพจน์ทางด้านซ้ายมือของความเท่าเทียมกันเหล่านี้คำนวณโดยตรงจากการกระจายของ r.v. . เมื่อคำนวณนิพจน์ทางด้านขวามือ กล่าวคือ และ จะใช้การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของ r.v. ที่ค่าคงที่ของ r.v. .
นิพจน์เหล่านี้เป็นหน้าที่ของ r.v. และเราสามารถคำนวณโมเมนต์ของพวกมันได้โดยใช้การกระจายของ r.v. .
การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขถูกใช้ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกันภัยหลายแบบ และทำให้สามารถใช้สูตรข้างต้นได้โดยตรง ในแบบฉบับของเรา พิจารณา r.v. เป็นและ r.v. ตามที่ เราได้รับ
(2.12)
, (2.14)
, (2.15)
และพิจารณาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แบบมีเงื่อนไข
(2.16)
(2.17)
สูตร (2.16) และ (2.17) ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของ r.v. ซึ่งสามารถเขียนเป็นสูตรได้ดังนี้
ตั้งแต่ ณ ตอนนั้น (2.21)
เพราะเรามีและ (2.22)
สูตร (2.21) และ (2.22) สามารถรวมกันได้: (2.23)
ดังนั้น (2.24)
แทนที่ (2.21) (2.20) และ (2.24) ลงใน (2.12) และ (2.13) เราจะได้
มาประยุกต์ใช้สูตรการคำนวณที่ได้รับและในตัวอย่างประกันภัยรถยนต์ (รูปที่ 2.2) เนื่องจากฟังก์ชันความหนาแน่นของ r.v. ในเงื่อนไขจะแสดงโดยสูตร
และ P(B=2000|ฉัน=1)= 0.1 เรามี
สุดท้ายสมมติว่า q= 0.15 จากสูตร (2.25) และ (2.26) เราได้รับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
เพื่ออธิบายสถานการณ์การประกันภัยอื่น เราสามารถนำเสนอโมเดลอื่นๆ สำหรับ r.v. .
ตัวอย่าง แบบจำลองจำนวนผู้เสียชีวิตจากอุบัติเหตุทางการบิน
ตัวอย่างเช่น พิจารณาแบบจำลองสำหรับจำนวนผู้เสียชีวิตจากอุบัติเหตุทางการบินในช่วงระยะเวลาหนึ่งปีของการดำเนินงานของสายการบิน
เราสามารถเริ่มต้นด้วยตัวแปรสุ่มที่อธิบายจำนวนผู้เสียชีวิตในหนึ่งเที่ยวบิน จากนั้นจึงรวมตัวแปรสุ่มเหล่านี้ในทุกเที่ยวบินในหนึ่งปี
สำหรับหนึ่งเที่ยวบิน เหตุการณ์จะระบุการโจมตีทางอากาศ จำนวนผู้เสียชีวิตจากภัยพิบัติครั้งนี้จะแสดงด้วยผลคูณของตัวแปรสุ่มสองตัว และ ปัจจัยด้านน้ำหนักบรรทุกของเครื่องบินอยู่ที่ใด กล่าวคือ จำนวนคนบนเครื่อง ณ เวลาที่เครื่องบินตก และเป็นสัดส่วนของการเสียชีวิตของผู้คนบนเครื่องบิน คณะกรรมการ.
จำนวนผู้เสียชีวิตจะแสดงในลักษณะนี้ เนื่องจากสถิติที่แยกจากกันและสามารถเข้าถึงได้มากกว่าสถิติสำหรับ r.v. . ดังนั้น แม้ว่าสัดส่วนการเสียชีวิตระหว่างบุคคลบนเรือและจำนวนคนบนเรืออาจมีความเกี่ยวข้องกัน ในการประมาณการครั้งแรก สามารถสันนิษฐานได้ว่า r.v. และเป็นอิสระ
ผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ
ในรูปแบบความเสี่ยงส่วนบุคคล การชำระเงินประกันที่จ่ายโดยบริษัทประกันภัยจะแสดงเป็นผลรวมของการชำระเงินให้กับบุคคลจำนวนมาก
จำสองวิธีในการกำหนดการกระจายของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ พิจารณาผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวก่อน ซึ่งพื้นที่ตัวอย่างจะแสดงในรูปที่ 3.1.
ข้าว. 2.3.1. เหตุการณ์
เส้นและพื้นที่ใต้บรรทัดนี้แสดงถึงเหตุการณ์ ดังนั้น ฟังก์ชันการกระจายของ r.v. สมีรูปแบบ (3.1)
สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องกันสองตัวแปร เราสามารถใช้สูตรความน่าจะเป็นรวมและเขียน (3.1) เป็น
ถ้า Xและ Yเป็นอิสระผลรวมสุดท้ายสามารถเขียนใหม่เป็น
(3.3)
ฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับฟังก์ชันการกระจายนี้สามารถหาได้จากสูตร
(3.4)
สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ใช่ค่าลบต่อเนื่อง สูตรที่สอดคล้องกับสูตร (3.2), (3.3) และ (3.4) มีรูปแบบ
เมื่อตัวแปรสุ่มตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งสองตัว Xและ Yมีการกระจายแบบผสม (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับแบบจำลองความเสี่ยงแต่ละแบบ) สูตรมีความคล้ายคลึงกัน แต่ยุ่งยากกว่า สำหรับตัวแปรสุ่มที่สามารถนำค่าลบมาใช้ได้ ผลรวมและปริพันธ์ในสูตรข้างต้นจะถูกนำไปทับค่าทั้งหมดของ y จาก ถึง .
ในทฤษฎีความน่าจะเป็น การดำเนินการในสูตร (3.3) และ (3.6) เรียกว่าการบิดของฟังก์ชันการกระจายสองฟังก์ชัน และเขียนแทนด้วย การดำเนินการ convolution ยังสามารถกำหนดคู่ของฟังก์ชันความน่าจะเป็นหรือความหนาแน่นโดยใช้สูตร (3.4) และ (3.7)
เพื่อกำหนดการกระจายของผลรวมของตัวแปรสุ่มมากกว่าสองตัว เราสามารถใช้การวนซ้ำของกระบวนการบิด สำหรับ โดยที่ตัวแปรสุ่มอิสระหมายถึงฟังก์ชันการกระจายของ r.v. และเป็นฟังก์ชันการกระจายของ r.v.
, เราจะได้
ตัวอย่างที่ 3.1 แสดงขั้นตอนนี้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสามตัว
ตัวอย่างที่ 3.1ตัวแปรสุ่ม และเป็นอิสระและมีการแจกแจงตามคอลัมน์ (1), (2) และ (3) ของตารางด้านล่าง
ให้เราเขียนฟังก์ชันความน่าจะเป็นและฟังก์ชันการกระจายของ r.v.
การตัดสินใจ.ตารางใช้สัญกรณ์ที่แนะนำก่อนตัวอย่าง:
คอลัมน์ (1)-(3) มีข้อมูลที่มีอยู่
คอลัมน์ (4) ได้มาจากคอลัมน์ (1) และ (2) โดยใช้ (3.4)
คอลัมน์ (5) ได้มาจากคอลัมน์ (3) และ (4) โดยใช้ (3.4)
คำจำกัดความของคอลัมน์ (5) ทำให้การกำหนดฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับ r.v. เสร็จสมบูรณ์ . ฟังก์ชันการกระจายในคอลัมน์ (8) คือชุดของผลรวมบางส่วนของคอลัมน์ (5) โดยเริ่มจากด้านบน
เพื่อความชัดเจน เราได้รวมคอลัมน์ (6) ฟังก์ชันการกระจายสำหรับคอลัมน์ (1) คอลัมน์ (7) ซึ่งสามารถหาได้โดยตรงจากคอลัมน์ (1) และ (6) โดยใช้ (2.3.3) และคอลัมน์ (8 ) กำหนดโดยในทำนองเดียวกันสำหรับคอลัมน์ (3) และ (7) คอลัมน์ (5) สามารถกำหนดได้จากคอลัมน์ (8) โดยการลบแบบต่อเนื่อง
ให้เราพิจารณาสองตัวอย่างด้วยตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง
ตัวอย่างที่ 3.2ให้ r.v. มีการแจกแจงสม่ำเสมอตามช่วงเวลา (0,2) และให้ r.v. ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ r.v. และมีการกระจายสม่ำเสมอตามช่วงเวลา (0,3) ให้เรากำหนดฟังก์ชันการกระจายของ r.v.
การตัดสินใจ.ตั้งแต่การกระจายของ r.v. และต่อเนื่องเราใช้สูตร (3.6):
แล้ว
พื้นที่ตัวอย่างของ r.v. และแสดงไว้ในรูปที่ 3.2. พื้นที่สี่เหลี่ยมมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคู่และ . เหตุการณ์ที่เราสนใจ , , ปรากฎในรูปของค่าห้าค่า ส.
สำหรับแต่ละค่า เส้นตัดกับแกน Yณ จุดนั้น สและเส้นตรงจุด ค่าฟังก์ชันสำหรับห้ากรณีนี้อธิบายโดยสูตรต่อไปนี้:
ข้าว. 3.2. การหมุนของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอสองครั้ง
ตัวอย่างที่ 3.3ให้เราพิจารณาสาม r.v. อิสระ . สำหรับรถอาร์วี มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล และ . ให้เราหาฟังก์ชันความหนาแน่นของ r.v. โดยใช้การดำเนินการบิด
การตัดสินใจ.เรามี
โดยใช้สูตร (3.7) สามครั้ง เราจะได้
อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดการกระจายของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระนั้นขึ้นอยู่กับเอกลักษณ์ของฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ ซึ่งสำหรับ r.v. ถูกกำหนดโดยอัตราส่วน .
หากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์นี้มีขอบเขตจำกัดสำหรับทุกคน tจากช่วงเปิดบางช่วงที่มีจุดกำเนิด เป็นฟังก์ชันเดียวที่สร้างของช่วงเวลาการกระจายของ r.v. ในแง่ที่ว่าไม่มีฟังก์ชันอื่นใดนอกจาก ซึ่งจะเป็นฟังก์ชันสร้างของโมเมนต์การกระจายของ r.v. .
เอกลักษณ์นี้สามารถใช้ได้ดังนี้: สำหรับผลรวม
หากเป็นอิสระจากนั้นความคาดหวังของผลิตภัณฑ์ในสูตร (3.8) จะเท่ากับ ..., ดังนั้น
การหานิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับการแจกแจงอย่างเดียวที่สอดคล้องกับฟังก์ชันการสร้างของช่วงเวลา (3.9) จะทำให้การค้นหาการแจกแจงของ r.v. สมบูรณ์ . หากไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจน ก็สามารถค้นหาได้โดยวิธีตัวเลข
ตัวอย่าง 3.4. พิจารณาตัวแปรสุ่มจากตัวอย่างที่ 3.3 ให้เรากำหนดฟังก์ชันความหนาแน่นของ r.v. โดยใช้ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของ r.v. .
การตัดสินใจ.ตามความเท่าเทียมกัน (3.9) ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น
โดยใช้วิธีการสลายตัวเป็นเศษส่วนอย่างง่าย วิธีแก้ปัญหาคือ
. แต่เป็นฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลด้วยพารามิเตอร์ ดังนั้นฟังก์ชันความหนาแน่นของอาร์วี มีรูปแบบ
ตัวอย่าง 3.5. ในการศึกษากระบวนการสุ่ม ได้มีการแนะนำการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผัน มันถูกใช้เป็นการกระจายของ r.v. ที่, จำนวนเงินเอาประกันภัย. ฟังก์ชันความหนาแน่นและฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์ของการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันถูกกำหนดโดยสูตร
ให้เราหาการกระจายของ r.v. ที่ไหน r.v. เป็นอิสระและมีการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันเหมือนกัน
การตัดสินใจ.โดยใช้สูตร (3.9) เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันการสร้างของช่วงเวลา r.v. :
ฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์สอดคล้องกับการแจกแจงแบบพิเศษ และจะเห็นได้ว่ามีการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันพร้อมพารามิเตอร์ และ
ค่าประมาณสำหรับการกระจายผลรวม
ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางให้วิธีการในการค้นหาค่าตัวเลขสำหรับการแจกแจงผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ โดยปกติ ทฤษฎีบทนี้กำหนดขึ้นสำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระและกระจายเหมือนกัน โดยที่ .
สำหรับ n ใดๆ การกระจายตัวของ r.v. ที่ไหน =
มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ 0 และความแปรปรวน 1 ดังที่ทราบกันดีว่าลำดับของการแจกแจงดังกล่าว (for น= 1, 2, ...) มีแนวโน้มการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน เมื่อไหร่ นใหญ่ ทฤษฎีบทนี้ใช้เพื่อประมาณการกระจายของ r.v. การแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ย μ
และกระจายตัว ในทำนองเดียวกันการแจกแจงผลรวม นตัวแปรสุ่มถูกประมาณโดยการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน
ประสิทธิภาพของการประมาณดังกล่าวไม่เพียงแต่ขึ้นกับจำนวนเทอมเท่านั้น แต่ยังขึ้นกับความใกล้ชิดของการกระจายของเทอมกับเทอมปกติด้วย หลักสูตรสถิติเบื้องต้นจำนวนมากระบุว่า n ต้องมีอย่างน้อย 30 เพื่อให้การประมาณมีความสมเหตุสมผล
อย่างไรก็ตาม หนึ่งในโปรแกรมสำหรับสร้างตัวแปรสุ่มแบบกระจายตามปกติที่ใช้ในการจำลองแบบจำลองใช้ตัวแปรสุ่มปกติเป็นค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มอิสระ 12 ตัวที่กระจายอย่างสม่ำเสมอตามช่วงเวลา (0,1)
ในรูปแบบความเสี่ยงส่วนบุคคลจำนวนมาก ตัวแปรสุ่มที่รวมอยู่ในผลรวมจะไม่ถูกกระจายอย่างเท่าเทียมกัน สิ่งนี้จะแสดงให้เห็นโดยตัวอย่างในหัวข้อถัดไป
ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางยังขยายไปถึงลำดับของตัวแปรสุ่มที่กระจายอย่างไม่เท่ากัน
เพื่อแสดงตัวอย่างการประยุกต์ใช้แบบจำลองความเสี่ยงแต่ละรายการ เราจะใช้การประมาณปกติของการแจกแจงผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเพื่อให้ได้คำตอบที่เป็นตัวเลข ถ้า , แล้ว
และต่อไปถ้า r.v. อิสระ แล้ว
สำหรับแอปพลิเคชันที่เป็นปัญหา เราต้องการเพียง:
- หาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่จำลองการสูญเสียแต่ละรายการ
- สรุปเพื่อหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการสูญเสียของบริษัทประกันภัยโดยรวม
- ใช้การประมาณปกติ
ด้านล่างเราจะแสดงลำดับของการกระทำนี้
ใบสมัครประกันภัย
ส่วนนี้แสดงการใช้การประมาณปกติพร้อมตัวอย่างสี่ตัวอย่าง
ตัวอย่าง 5.1บริษัทประกันชีวิตเสนอสัญญาประกันการเสียชีวิต 1 ปี โดยจ่ายเงิน 1 หน่วย และ 2 หน่วย ให้แก่บุคคลที่มีโอกาสเสียชีวิตได้เท่ากับ 0.02 หรือ 0.01 ตารางด้านล่างแสดงจำนวนคน นในแต่ละชั้นทั้งสี่ที่เกิดขึ้นตามการชำระเงิน b kและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เอาประกันภัย คิวเค:
k | q k | b k | น |
---|---|---|---|
1 | 0,02 | 1 | 500 |
2 | 0,02 | 2 | 500 |
3 | 0,10 | 1 | 300 |
4 | 0,10 | 2 | 500 |
บริษัทประกันภัยต้องการเรียกเก็บเงินจากกลุ่มนี้จำนวน 1,800 รายเป็นจำนวนเงินเท่ากับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 95 ของการกระจายการชำระเงินประกันทั้งหมดสำหรับกลุ่มนี้ นอกจากนี้ เธอต้องการให้ส่วนแบ่งของแต่ละคนในจำนวนเงินนั้นเป็นสัดส่วนกับการจ่ายเงินประกันที่คาดหวังของบุคคลนั้น
ส่วนแบ่งของบุคคลที่มีหมายเลขซึ่งมีการจ่ายเงินเฉลี่ยเท่ากับควรเป็น เป็นไปตามข้อกำหนดของเปอร์เซ็นไทล์ที่ 95 ว่า มูลค่าส่วนเกิน คือ ค่าความเสี่ยง และเรียกว่า ค่าความเสี่ยงสัมพัทธ์ มาคำนวณกัน
การตัดสินใจ.ค่าจะถูกกำหนดโดยอัตราส่วน = 0.95 โดยที่ S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 .คำสั่งความน่าจะเป็นนี้เทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้:
ตามสิ่งที่กล่าวเกี่ยวกับทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางใน ก.ล.ต. 4 เราประมาณการกระจายของ r.v. การแจกแจงแบบปกติมาตรฐานและใช้เปอร์เซ็นไทล์ที่ 95 ซึ่งเราได้รับ:
สำหรับสี่ประเภทที่ผู้ถือกรมธรรม์ถูกแบ่งออก เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:
k | q k | b k | เฉลี่ย b k q k | ความแปรปรวน b 2 k q k (1-q k) | น |
---|---|---|---|---|---|
1 | 0,02 | 1 | 0,02 | 0,0196 | 500 |
2 | 0,02 | 2 | 0,04 | 0,0784 | 500 |
3 | 0,10 | 1 | 0,10 | 0,0900 | 300 |
4 | 0,10 | 2 | 0,20 | 0,3600 | 500 |
ดังนั้น,
ดังนั้น เบี้ยประกันภัยความเสี่ยงสัมพัทธ์เท่ากับ
ตัวอย่างที่ 5.2ลูกค้าของบริษัทประกันภัยรถยนต์แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ
ระดับ | หมายเลขในชั้นเรียน |
ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น เหตุการณ์ผู้เอาประกันภัย |
การกระจายการชำระเงินประกัน, พารามิเตอร์เลขชี้กำลังที่ถูกตัดทอน การกระจาย |
|
---|---|---|---|---|
k | หลี่ | |||
1 | 500 | 0,10 | 1 | 2,5 |
2 | 2000 | 0,05 | 2 | 5,0 |
การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ถูกตัดทอนถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการกระจาย
นี่คือการกระจายแบบผสมที่มีฟังก์ชันความหนาแน่น และ "กอ" ของมวลความน่าจะเป็น ณ จุดหนึ่ง หลี่. กราฟของฟังก์ชันการกระจายนี้แสดงในรูปที่ 5.1
ข้าว. 5.1. การกระจายเลขชี้กำลังที่ถูกตัดทอน
เช่นเดิม ความน่าจะเป็นที่จำนวนเงินเอาประกันภัยทั้งหมดเกินจำนวนเงินที่เรียกเก็บจากผู้ถือกรมธรรม์ควรเท่ากับ 0.05 เราจะถือว่าค่าความเสี่ยงสัมพัทธ์ควรเท่ากันในแต่ละชั้นที่อยู่ระหว่างการพิจารณา มาคำนวณกัน
การตัดสินใจ.ตัวอย่างนี้คล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้านี้มาก ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือตอนนี้มูลค่าของเงินประกันเป็นตัวแปรสุ่ม
อันดับแรก เราจะได้นิพจน์สำหรับช่วงเวลาของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ถูกตัดทอน นี่จะเป็นขั้นตอนเตรียมการสำหรับการใช้สูตร (2.25) และ (2.26):
การใช้ค่าพารามิเตอร์ที่ระบุในเงื่อนไขและการใช้สูตร (2.25) และ (2.26) เราจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:
k | q k | µk | σ 2 k | เฉลี่ย q k μ k | การกระจาย μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k | น |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0,10 | 0,9139 | 0,5828 | 0,09179 | 0,13411 | 500 |
2 | 0,05 | 0,5000 | 0,2498 | 0,02500 | 0,02436 | 2000 |
ดังนั้น, ส, จำนวนเงินเอาประกันภัยทั้งหมด, มีช่วงเวลา
เงื่อนไขสำหรับคำจำกัดความยังคงเหมือนกับในตัวอย่างที่ 5.1 กล่าวคือ
ใช้การประมาณการแจกแจงแบบปกติอีกครั้ง จะได้
ตัวอย่างที่ 5.3พอร์ตโฟลิโอของบริษัทประกันภัยประกอบด้วยสัญญาประกันชีวิต 16,000 ฉบับ เป็นระยะเวลา 1 ปี ตามตารางต่อไปนี้
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัย q สำหรับลูกค้าแต่ละราย 16,000 ราย (เหตุการณ์เหล่านี้ถือว่าไม่เกิดร่วมกัน) คือ 0.02 บริษัทต้องการกำหนดอัตราการรักษาไว้เอง สำหรับผู้ถือกรมธรรม์แต่ละราย ระดับการเก็บรักษาของตัวเองเป็นมูลค่าที่ต่ำกว่าที่บริษัทนี้ (บริษัทที่โอนกรรมสิทธิ์) ทำการชำระเงินโดยอิสระ และการชำระเงินที่เกินมูลค่านี้อยู่ภายใต้สัญญาประกันภัยต่อโดยบริษัทอื่น (บริษัทประกันภัยต่อ)
ตัวอย่างเช่น หากอัตราประกันตัวเองอยู่ที่ 200,000 บริษัทจะสำรองความคุ้มครองสูงสุด 20,000 ให้กับผู้ถือกรมธรรม์แต่ละราย และซื้อประกันต่อให้ครอบคลุมส่วนต่างระหว่างเบี้ยประกันภัย และ 20,000 สำหรับผู้ถือกรมธรรม์ 4,500 รายแต่ละรายที่มีเบี้ยประกันเกิน 20,000 .
บริษัทเลือกเป็นเกณฑ์ในการตัดสินใจลดความเป็นไปได้ที่ประกันจะเรียกร้องเหลือจากการหักของตัวเองบวกกับจำนวนเงินที่จ่ายสำหรับการประกันภัยต่อจะเกินจำนวน 8,250,000 ประกันภัยต่อมีค่าใช้จ่าย 0.025 ต่อหน่วยของความคุ้มครอง (เช่น 125% ของมูลค่าที่คาดว่าจะได้รับ มูลค่าเงินประกันต่อหน่วย 0.02)
เราเชื่อว่าพอร์ตที่อยู่ระหว่างการพิจารณาปิดลงแล้ว: สัญญาประกันใหม่ที่ทำขึ้นระหว่างปีปัจจุบันจะไม่ถูกนำมาพิจารณาในกระบวนการตัดสินใจที่อธิบายไว้
สารละลายบางส่วน มาทำการคำนวณทั้งหมดก่อน โดยเลือก 10,000 เป็นหน่วยการจ่ายเงิน ตามภาพประกอบ สมมติว่าค ใน. สคือจำนวนเงินที่เหลือจากการหักเอง โดยมีรูปแบบดังนี้
สำหรับเงินประกันที่เหลือจากการหักของคุณเอง ส, มีการเพิ่มจำนวนเบี้ยประกันภัยต่อ รวมมูลค่าความคุ้มครองทั้งหมดตามโครงการนี้คือ
จำนวนเงินที่เหลือในการหักของตัวเองเท่ากับ
ดังนั้นมูลค่าการประกันภัยต่อทั้งหมดจึงเท่ากับ 35,000-24,000=11,000 และต้นทุนการประกันภัยต่อคือ
ดังนั้น ที่ระดับเงินประกันตนเองเท่ากับ 2 เงินประกันที่เหลือจากการประกันตนบวกกับค่าประกันต่อคือ เกณฑ์การตัดสินใจขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นที่ยอดรวมนี้จะเกิน 825
จากการกระจายตัวแบบปกติ เราได้ค่านี้ประมาณ เท่ากับ 0.0062
มูลค่าเฉลี่ยของการจ่ายประกันเมื่อทำประกันส่วนที่เกินจากค่าประกันไม่ได้ ซึ่งเป็นประเภทประกันต่อประเภทหนึ่ง สามารถประมาณได้โดยใช้การแจกแจงแบบปกติเป็นการกระจายของเงินประกันทั้งหมด
ให้จำนวนเงินเอาประกันภัยทั้งหมด X มีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน
ตัวอย่างที่ 5.4ลองพิจารณาพอร์ตประกันดังตัวอย่างที่ 5.3 ให้เราหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเงินที่จ่ายประกันภายใต้สัญญาประกันการสูญเสียส่วนเกิน if
(ก) ไม่มีการประกันภัยต่อส่วนบุคคลและค่าลดหย่อนแบบไม่มีเงื่อนไขตั้งไว้ที่ 7,500,000
(b) มีการหักภาษี ณ ที่จ่ายส่วนบุคคลจำนวน 20,000 รายการในสัญญาประกันส่วนบุคคลและการหักลดหย่อนสำหรับพอร์ตโฟลิโอโดยไม่มีเงื่อนไขคือ 5,300,000
การตัดสินใจ.
(ก) ในกรณีที่ไม่มีการประกันภัยต่อส่วนบุคคลและในช่วงเปลี่ยนผ่านเป็น 10,000 เป็นสกุลเงิน
ใช้สูตร (5.2) ให้
ซึ่งเป็นผลรวมของ 43,770 ในหน่วยเดิม
(b) ในเอกสารแนบ 5.3 เราได้รับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของเบี้ยประกันภัยทั้งหมดสำหรับการหักลดหย่อนส่วนบุคคลที่ 20,000 เป็น 480 และ 784 ตามลำดับ โดยใช้ 10,000 เป็นหน่วย ดังนั้น =28.
ใช้สูตร (5.2) ให้
ซึ่งเป็นผลรวมของ 4140 ในหน่วยเดิม
ในทางปฏิบัติ มักจะจำเป็นต้องหากฎการแจกแจงสำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่ม
ให้มีระบบ (X ข x 2)สองต่อเนื่อง s ใน. และผลรวมของพวกเขา
ให้เราหาความหนาแน่นของการกระจาย c ใน. U. ตามวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของย่อหน้าก่อนหน้า เราจะพบพื้นที่ของระนาบโดยที่ x + x 2 (รูปที่ 9.4.1):
การแยกความแตกต่างของนิพจน์นี้เทียบกับ y เราได้รับ ap ตัวแปรสุ่ม Y \u003d X + X 2:
![](https://i1.wp.com/bstudy.net/htm/img/15/12124/1337.png)
เนื่องจากฟังก์ชัน φ (x b x 2) = Xj + x 2 มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น
ถ้าด้วย. ใน. Xและ X 2 เป็นอิสระ จากนั้นสูตร (9.4.2) และ (9.4.3) จะอยู่ในรูปแบบ:
![](https://i0.wp.com/bstudy.net/htm/img/15/12124/1339.png)
ในกรณีที่เป็นอิสระค. ใน. x xและ X2,พูดถึงองค์ประกอบของกฎหมายการจำหน่าย ผลิต องค์ประกอบกฎหมายการจำหน่ายสองฉบับ - นี่หมายถึงการค้นหากฎหมายการจำหน่ายสำหรับผลรวมของคอิสระสองตัว ค. เผยแพร่ตามกฎหมายเหล่านี้ สัญกรณ์สัญลักษณ์ใช้เพื่อกำหนดองค์ประกอบของกฎหมายการจำหน่าย
ซึ่งกำหนดโดยสูตร (9.4.4) หรือ (9.4.5)
ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาการทำงานของอุปกรณ์ทางเทคนิคสองตัว (TD) ขั้นแรก TU จะทำงานหลังจากความล้มเหลว (ความล้มเหลว) รวมอยู่ในการทำงานของ TU 2 เวลาทำงาน TU TU TU 2 - x xและ X 2 - เป็นอิสระและกระจายตามกฎเลขชี้กำลังด้วยพารามิเตอร์ A,1 และ X2 .ดังนั้นเวลา Yการทำงานที่ปราศจากปัญหาของ TU ซึ่งประกอบด้วย TU! และ TU 2 จะถูกกำหนดโดยสูตร
![](https://i0.wp.com/bstudy.net/htm/img/15/12124/1341.png)
จำเป็นต้องหาพีอาร์ ตัวแปรสุ่ม ใช่กล่าวคือ องค์ประกอบของกฎเลขชี้กำลังสองกฎที่มีพารามิเตอร์และ X2 .
การตัดสินใจ. ตามสูตร (9.4.4) เราจะได้ (y > 0)
![](https://i2.wp.com/bstudy.net/htm/img/15/12124/1343.png)
หากมีองค์ประกอบของกฎเลขชี้กำลังสองกฎที่มีพารามิเตอร์เหมือนกัน (?c = X 2 = Y) จากนั้นในนิพจน์ (9.4.8) จะได้รับความไม่แน่นอนของประเภท 0/0 ขยายซึ่งเราได้รับ:
เมื่อเปรียบเทียบนิพจน์นี้กับนิพจน์ (6.4.8) เราเชื่อว่าองค์ประกอบของกฎเลขชี้กำลังที่เหมือนกันสองกฎ (?c = X 2 = x)เป็นกฎ Erlang ลำดับที่สอง (9.4.9) เมื่อเขียนกฎเลขชี้กำลังสองตัวที่มีพารามิเตอร์ต่างกัน x xและ A-2 รับ กฎหมาย Erlang ทั่วไปอันดับสอง (9.4.8). ?
ปัญหาที่ 1 กฎการกระจายผลต่างของสองวิ ใน. ระบบด้วย. ใน. (X และ X 2)มีข้อต่อ r.p./(x x x 2) หาพีอาร์ ความแตกต่างของพวกเขา Y=X - X2 .
การตัดสินใจ. สำหรับระบบกับ ใน. (X ข - X 2)ฯลฯ จะเป็น / (x b - x 2),นั่นคือเราแทนที่ส่วนต่างด้วยผลรวม ดังนั้น a.r. ตัวแปรสุ่ม U จะมีรูปแบบ (ดู (9.4.2), (9.4.3)):
ถ้า กับ. ใน. X x iX 2 อิสระ แล้ว
ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา f.r. ผลต่างของการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลอิสระสองตัว ใน. ด้วยพารามิเตอร์ x xและ X2 .
การตัดสินใจ. ตามสูตร (9.4.11) เราจะได้
ข้าว. 9.4.2 ข้าว. 9.4.3
รูปที่ 9.4.2 แสดงหน้า g(ย). หากเราพิจารณาผลต่างของการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลอิสระสองตัว ใน. ด้วยพารามิเตอร์เดียวกัน (AI= X 2 = แต่,),แล้ว g(y) \u003d / 2 - คุ้นเคยแล้ว
กฎของลาปลาซ (รูปที่ 9.4.3) ?
ตัวอย่างที่ 3 ค้นหากฎหมายการจำหน่ายสำหรับผลรวมของคอิสระสองตัว ใน. Xและ X2,กระจายตามกฎหมายปัวซองพร้อมพารามิเตอร์ xและ 2 .
การตัดสินใจ. หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (X x + X 2 = เสื้อ) (t = 0, 1,
![](https://i2.wp.com/bstudy.net/htm/img/15/12124/1347.png)
![](https://i0.wp.com/bstudy.net/htm/img/15/12124/1348.png)
![](https://i0.wp.com/bstudy.net/htm/img/15/12124/1349.png)
![](https://i0.wp.com/bstudy.net/htm/img/15/12124/1350.png)
ดังนั้น ส. ใน. Y= X x + X 2 กระจายตามกฎปัวซองด้วยพารามิเตอร์ ก x2) - ก x + ก 2 ?
ตัวอย่างที่ 4 ค้นหากฎหมายการจำหน่ายสำหรับผลรวมของคอิสระสองตัว ใน. x xและ X2,กระจายตามกฎทวินามพร้อมพารามิเตอร์ พี x ริ พี 2 , พีตามลำดับ
การตัดสินใจ. จินตนาการด้วย ใน. x xเช่น:
ที่ไหน X 1) -ตัวบ่งชี้เหตุการณ์ แต่ประสบการณ์ที่หวู่:
ช่วงการจำหน่ายด้วย ใน. X,- มีรูปแบบ
![](https://i2.wp.com/bstudy.net/htm/img/15/12124/1353.png)
![](https://i2.wp.com/bstudy.net/htm/img/15/12124/1354.png)
เราจะทำการแสดงที่คล้ายกันสำหรับ s ใน. X 2:โดยที่ X] 2) - ตัวบ่งชี้เหตุการณ์ แต่ในประสบการณ์ที่ y"-th:
![](https://i0.wp.com/bstudy.net/htm/img/15/12124/1355.png)
เพราะฉะนั้น,
X อยู่ที่ไหน 1)+(2) ถ้าตัวบ่งชี้เหตุการณ์ แต่:
![](https://i0.wp.com/bstudy.net/htm/img/15/12124/1357.png)
ดังนั้นเราจึงแสดงให้เห็นว่า ใน. จำนวนพ่อตา (ยู + น 2)ตัวชี้วัดเหตุการณ์ แต่ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น ใน. ^กระจายตามกฎทวินามพร้อมพารามิเตอร์ ( น x + น 2), น.
สังเกตว่าถ้าความน่าจะเป็น Rในชุดการทดลองที่แตกต่างกันนั้นแตกต่างกันจากนั้นเป็นผลมาจากการเพิ่ม s อิสระสองตัว ค. กระจายตามกฎทวินาม ปรากฎว่า ค. ค. แจกจ่ายไม่เป็นไปตามกฎทวินาม ?
ตัวอย่างที่ 3 และ 4 สามารถสรุปได้ง่าย ๆ เป็นจำนวนพจน์ตามอำเภอใจ เมื่อเขียนกฎของปัวซองด้วยพารามิเตอร์ เอ บี 2 , ..., ที่กฎของปัวซองได้มาอีกครั้งด้วยพารามิเตอร์ a (t) \u003d a x + a 2 + ... + และที
เมื่อเขียนกฎทวินามด้วยพารามิเตอร์ (น ร); (ผม 2 , ร) , (น ที พี)อีกครั้งเราได้รับกฎทวินามพร้อมพารามิเตอร์ (“(“), ร),ที่ไหน n (t) \u003d u + n 2 + ... + ฯลฯ
เราได้พิสูจน์คุณสมบัติที่สำคัญของกฎปัวซองและกฎทวินาม นั่นคือ "สมบัติความเสถียร" กฎหมายว่าด้วยการกระจายสินค้าเรียกว่า อย่างยั่งยืน,หากองค์ประกอบของกฎหมายสองฉบับที่เป็นประเภทเดียวกันส่งผลให้เกิดกฎหมายประเภทเดียวกัน (เฉพาะพารามิเตอร์ของกฎหมายนี้ต่างกันเท่านั้น) ในหัวข้อย่อย 9.7 เราจะแสดงให้เห็นว่ากฎปกติมีคุณสมบัติเสถียรภาพเหมือนกัน
THEME 3 |
||
แนวคิดของฟังก์ชันการกระจาย |
||
ความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ |
||
การกระจายเครื่องแบบ (สี่เหลี่ยม) |
||
การแจกแจงแบบปกติ (เกาส์เซียน) |
||
การกระจาย |
||
t- การกระจายตัวของนักเรียน |
||
F- การกระจาย |
||
การกระจายผลรวมของตัวแปรอิสระสุ่มสองตัว |
||
ตัวอย่าง: การแจกแจงผลรวมของสองอิสระ ปริมาณกระจายสม่ำเสมอ |
||
การแปลงตัวแปรสุ่ม |
||
ตัวอย่าง: การกระจายของคลื่นฮาร์มอนิก ด้วยเฟสสุ่ม |
||
ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง |
||
โมเมนต์ของตัวแปรสุ่มและคุณสมบัติของมัน |
||
วัตถุประสงค์ของวัฏจักร บรรยาย: | รายงานข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับฟังก์ชันการกระจายที่สำคัญที่สุดและคุณสมบัติของพวกเขา |
ฟังก์ชั่นการกระจาย
ปล่อยให้เป็น x(k)เป็นตัวแปรสุ่มบางตัว จากนั้นสำหรับค่าคงที่ใดๆ x เหตุการณ์สุ่ม x(k) xถูกกำหนดให้เป็นชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด kดังนั้น x(k) x. ในแง่ของการวัดความน่าจะเป็นเดิมที่ให้ไว้บนพื้นที่ตัวอย่าง ฟังก์ชันการกระจายพี(x)กำหนดเป็นความน่าจะเป็นที่กำหนดให้กับชุดของคะแนน k x(k) x. สังเกตว่าชุดของคะแนน kสนองความไม่เท่าเทียมกัน x(k) xเป็นสับเซตของเซตของจุดที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน x(k)
.
อย่างเป็นทางการ
เห็นได้ชัดว่า
หากช่วงของค่าของตัวแปรสุ่มเป็นแบบต่อเนื่องซึ่งถือว่าด้านล่าง ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น(หนึ่งมิติ) พี(x)ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์
(4)
เพราะฉะนั้น,
(6)
เพื่อให้สามารถพิจารณากรณีที่ไม่ต่อเนื่องได้ จำเป็นต้องยอมรับการมีอยู่ของฟังก์ชันเดลต้าในองค์ประกอบของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น
มูลค่าที่คาดหวัง
ให้ตัวแปรสุ่ม x(k)รับค่าจากช่วงตั้งแต่ - ถึง + หมายถึง(มิฉะนั้น, มูลค่าที่คาดหวังหรือ มูลค่าที่คาดหวัง) x(k)คำนวณโดยใช้ขั้นตอนที่สอดคล้องกันถึงขีด จำกัด ของผลรวมของค่า x(k)เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ที่เกิดขึ้น:
(8)
ที่ไหน อี- การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของนิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยมโดย index k. การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าเดียวจริงถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน g(x)จากตัวแปรสุ่ม x(k)
(9)
ที่ไหน พี(x)- ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม x(k).โดยเฉพาะการทาน ก.(x)=x,เราได้รับ ค่าเฉลี่ยกำลังสอง x(k) :
(10)
การกระจายตัวx(k)กำหนดเป็นกำลังสองเฉลี่ยของความแตกต่าง x(k)และมูลค่าเฉลี่ย
กล่าวคือในกรณีนี้ ก.(x)= และ
เอ-ไพรเออรี่, ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวแปรสุ่ม x(k),หมายถึง , คือค่าบวกของรากที่สองของความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานวัดในหน่วยเดียวกับค่าเฉลี่ย
ฟังก์ชันการกระจายที่สำคัญที่สุด
ชุดเครื่องแบบ (สี่เหลี่ยม) จำหน่าย
สมมติว่าการทดลองประกอบด้วยการเลือกจุดแบบสุ่มจากช่วง [ a,b] รวมถึงจุดปลายด้วย ในตัวอย่างนี้ เป็นค่าของตัวแปรสุ่ม x(k)คุณสามารถใช้ค่าตัวเลขของจุดที่เลือกได้ ฟังก์ชันการกระจายที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ
ดังนั้นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจึงถูกกำหนดโดยสูตร
ในตัวอย่างนี้ การคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนโดยใช้สูตร (9) และ (11) ให้
การกระจายปกติ (GAUSSIAN)
, - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต, - RMS
ค่าของ z ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็น P(z)=1- นั่นคือ
CHI - การกระจายสแควร์
ปล่อยให้เป็น - ตัวแปรสุ่มอิสระ n ตัว ซึ่งแต่ละตัวมีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนของหน่วย
ตัวแปรสุ่มไคสแควร์ที่มีองศาอิสระ n
ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น
DF: 100 - คะแนนร้อยละ - การแจกแจงแสดงโดย , i.e.
ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากัน
t - การกระจายนักเรียน
y, z เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ y - มี - การแจกแจง, z - การกระจายตามปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนของหน่วย
ค่า - has t- การกระจายของนักเรียนด้วย n องศาอิสระ
DF: 100 - จุดเปอร์เซ็นต์ t - มีการระบุการแจกแจง
ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากัน
F - การกระจาย
ตัวแปรสุ่มอิสระ มี - การกระจายด้วยองศาอิสระ การกระจายด้วยองศาอิสระ ค่าสุ่ม:
,
F คือตัวแปรสุ่มแบบกระจายที่มีและองศาอิสระ
,
DF: 100 - จุดเปอร์เซ็นต์:
ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากัน:
การกระจายจำนวนเงิน
สองตัวแปรสุ่ม
ปล่อยให้เป็น x(k)และ y(k)เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นร่วม พี(x,y).หาความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่ม
ที่คงที่ xเรามี y=z–x.ดังนั้น
ที่คงที่ zค่า xรันช่วงเวลาจาก – ถึง + ดังนั้น
(37)
จากที่จะเห็นได้ว่าในการคำนวณความหนาแน่นที่ต้องการของผลรวม เราต้องทราบความหนาแน่นของความน่าจะเป็นร่วมเดิม ถ้า x(k)และ y(k)เป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีความหนาแน่นและตามลำดับ จากนั้น และ
(38)
ตัวอย่าง:ผลรวมของสองตัวแปรสุ่มที่แจกจ่ายอย่างอิสระและสม่ำเสมอ
ให้ตัวแปรอิสระสุ่มสองตัวมีความหนาแน่นของรูปแบบ
ในกรณีอื่นๆ ให้เราหาความหนาแน่นของความน่าจะเป็น p(z) ของผลรวม z= x+ y
ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น สำหรับ
เช่นสำหรับ
เพราะฉะนั้น, xน้อยกว่า z. นอกจากนี้ไม่เท่ากับศูนย์สำหรับ โดยสูตร (38) เราพบว่า
ภาพประกอบ:
ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มที่กระจายอย่างสม่ำเสมอและเป็นอิสระสองตัว
การแปลงแบบสุ่ม
ค่านิยม
ปล่อยให้เป็น x(ท)- ตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(x),ปล่อยมันไป กรัม(x)เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องจริงที่มีค่าเดียวของ x. พิจารณากรณีแรกเมื่อฟังก์ชันผกผัน x(ก.)ยังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าเดียวของ กรัมความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(ก.),สอดคล้องกับตัวแปรสุ่ม ก.(x(k)) = ก.(k),สามารถหาได้จากความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(x)ตัวแปรสุ่ม x(k)และอนุพันธ์ dg/dxภายใต้สมมติฐานว่าอนุพันธ์มีอยู่แล้วและแตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ
(12)
ดังนั้นในขอบเขต dg/dx#0
(13)
ใช้สูตรนี้ตามทางด้านขวาแทนตัวแปร xแทนค่าที่เหมาะสม g.
พิจารณากรณีที่ฟังก์ชันผกผัน x(ก.)ถูกต้อง นฟังก์ชันมูลค่าของ g, ที่ไหน นเป็นจำนวนเต็มและค่า n ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน แล้ว
(14)
ตัวอย่าง:
การกระจายฟังก์ชันฮาร์โมนิก
ฟังก์ชันฮาร์มอนิกที่มีแอมพลิจูดคงที่ Xและความถี่ ฉจะเป็นตัวแปรสุ่มถ้ามุมเฟสเริ่มต้นของมัน = (k)- ค่าสุ่ม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้ tคงที่และเท่าเทียมกัน t oและให้ตัวแปรสุ่มฮาร์มอนิกมีรูปแบบ
มาแสร้งทำเป็นว่า (k)มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสม่ำเสมอ พี( ) ใจดี
หาความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(x)ตัวแปรสุ่ม x(k).
ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันโดยตรง x( ) อย่างชัดเจนและฟังก์ชันผกผัน (x)คลุมเครือ
ให้เราใช้วิธีทั่วไปข้างต้นในการแก้ปัญหาหนึ่งข้อ นั่นคือ หากฎการแจกแจงสำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว มีระบบของตัวแปรสุ่มสองตัว (X,Y) ที่มีความหนาแน่นของการกระจาย f(x,y) พิจารณาผลรวมของตัวแปรสุ่ม X และ Y: และหากฎการกระจายของค่า Z ในการทำเช่นนี้ เราสร้างเส้นบนระนาบ xOy ซึ่งสมการคือ (รูปที่ 7) นี่คือเส้นตรงที่ตัดส่วนที่เท่ากับ z บนแกนออก เส้นตรงแบ่งระนาบ xy ออกเป็นสองส่วน ไปทางขวาและเหนือมัน ซ้ายและด้านล่าง
ภูมิภาค D ในกรณีนี้คือส่วนล่างซ้ายของระนาบ xOy แรเงาในรูปที่ 7. ตามสูตร (16) เรามี:
การแยกความแตกต่างนิพจน์นี้เทียบกับตัวแปร z ที่รวมอยู่ในขีดจำกัดบนของอินทิกรัลด้านใน เราได้รับ:
![](https://i1.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image032.png)
นี่คือสูตรทั่วไปสำหรับความหนาแน่นของการแจกแจงของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว
สำหรับเหตุผลสมมาตรของปัญหาที่เกี่ยวกับ X และ Y เราสามารถเขียนสูตรเดียวกันอีกเวอร์ชันหนึ่งได้:
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image033.png)
ซึ่งเทียบเท่ากับตัวแรกและใช้แทนกันได้
ตัวอย่างองค์ประกอบของกฎปกติ พิจารณาสองตัวแปรสุ่มอิสระ X และ Y ภายใต้กฎปกติ:
![](https://i1.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image034.png)
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image035.png)
จำเป็นต้องสร้างองค์ประกอบของกฎหมายเหล่านี้ นั่นคือ เพื่อค้นหากฎการกระจายของปริมาณ:
เราใช้สูตรทั่วไปสำหรับองค์ประกอบของกฎหมายการจำหน่าย:
หากเราเปิดวงเล็บในเลขชี้กำลังของอินทิกรัลและนำพจน์ที่เหมือนกันมา เราจะได้:
![](https://i1.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image037.png)
แทนนิพจน์เหล่านี้ลงในสูตรที่เราได้พบแล้ว
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image038.png)
หลังจากการแปลงเราได้รับ:
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image039.png)
และนี่เป็นเพียงกฎธรรมดาที่มีศูนย์กลางการกระจายตัว
![](https://i1.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image040.png)
และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image041.png)
ข้อสรุปเดียวกันนี้สามารถบรรลุได้ง่ายกว่ามากโดยใช้การให้เหตุผลเชิงคุณภาพต่อไปนี้
โดยไม่ต้องเปิดวงเล็บและไม่มีการแปลงในอินทิกรัล (17) เราสรุปได้ทันทีว่าเลขชี้กำลังเป็นไตรนามกำลังสองเทียบกับ x ของแบบฟอร์ม
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image043.png)
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image045.png)
โดยที่ค่าของ z ไม่รวมอยู่ในสัมประสิทธิ์ A เลย ค่าสัมประสิทธิ์ B จะรวมอยู่ในดีกรีแรก และค่าสัมประสิทธิ์ C จะถูกยกกำลังสอง ด้วยความคิดนี้และการใช้สูตร (18) เราจึงสรุปได้ว่า g(z) เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นไตรนามกำลังสองเทียบกับ z และความหนาแน่นของการแจกแจง ประเภทนี้สอดคล้องกับกฎปกติ ดังนั้นเราจึง; เราได้ข้อสรุปเชิงคุณภาพอย่างหมดจด: กฎการกระจายตัวของ z ต้องเป็นปกติ ในการหาค่าพารามิเตอร์ของกฎข้อนี้ - และ - เราใช้ทฤษฎีบทของการเพิ่มความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีบทของการบวกความแปรปรวน โดยการเพิ่มทฤษฎีบทของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ โดยทฤษฎีบทการบวกการกระจายตัวหรือสูตรที่ (20) ดังต่อไปนี้
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image044.png)
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image046.png)
เราจะได้รับ:
ดังนั้น เราจึงได้มาถึงกฎต่อไปนี้: เมื่อกฎปกติประกอบขึ้น กฎปกติจะได้รับอีกครั้ง และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวน (หรือค่าเบี่ยงเบนที่น่าจะเป็นกำลังสอง) จะถูกสรุป
กฎองค์ประกอบสำหรับกฎปกติสามารถสรุปได้ในกรณีของตัวแปรสุ่มอิสระจำนวนหนึ่ง
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image047.png)
![](https://i0.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image048.png)
หากมีตัวแปรสุ่มอิสระ n ตัว: อยู่ภายใต้กฎปกติที่มีจุดศูนย์กลางการกระจายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่านั้นก็จะอยู่ภายใต้กฎปกติพร้อมพารามิเตอร์
แทนที่จะใช้สูตร (22) สามารถใช้สูตรที่เทียบเท่าได้:
หากระบบของตัวแปรสุ่ม (X, Y) มีการกระจายตามกฎปกติ แต่ปริมาณ X, Y นั้นขึ้นอยู่กับปริมาณ ดังนั้นพิสูจน์ได้ง่ายเหมือนเมื่อก่อน โดยอิงตามสูตรทั่วไป (6.3.1) ว่ากฎการกระจายของปริมาณก็เป็นกฎปกติด้วย จุดศูนย์กลางกระเจิงยังคงถูกเพิ่มในทางพีชคณิต แต่สำหรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน กฎจะซับซ้อนมากขึ้น โดยที่ r คือสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของค่า X และ Y
เมื่อเพิ่มตัวแปรสุ่มตามหลายตัวที่ผลรวมเป็นไปตามกฎปกติ กฎการแจกแจงของผลรวมจะกลายเป็นปกติด้วยพารามิเตอร์
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image055.png)
หรือความคลาดเคลื่อนที่เป็นไปได้
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image056.png)
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image057.png)
โดยที่สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของปริมาณ X ผม , X j และผลบวกขยายไปถึงชุดค่าผสมแบบคู่ที่แตกต่างกันทั้งหมด
เราได้เห็นคุณสมบัติที่สำคัญมากของกฎปกติ: เมื่อรวมกฎปกติเข้าด้วยกัน กฎธรรมดาจะได้รับอีกครั้ง นี่คือสิ่งที่เรียกว่า "คุณสมบัติความเสถียร" กล่าวกันว่ากฎหมายการจำหน่ายจะมีเสถียรภาพหากได้กฎประเภทเดียวกันสองฉบับโดยประกอบขึ้นเป็นสองกฎ เราได้แสดงให้เห็นข้างต้นแล้วว่ากฎปกติมีเสถียรภาพ กฎหมายการจำหน่ายน้อยมากที่มีคุณสมบัติของความมั่นคง กฎความหนาแน่นสม่ำเสมอนั้นไม่เสถียร: เมื่อประกอบกฎความหนาแน่นสม่ำเสมอสองกฎในส่วนที่ 0 ถึง 1 เราได้รับกฎของซิมป์สัน
![](https://i2.wp.com/studwood.ru/imag_/43/199189/image058.png)
ความมั่นคงของกฎปกติเป็นเงื่อนไขสำคัญประการหนึ่งสำหรับการนำไปใช้ในวงกว้างในทางปฏิบัติ อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติของความมั่นคงนอกเหนือจากคุณสมบัติปกติยังถูกครอบครองโดยกฎหมายการจำหน่ายอื่นๆ คุณลักษณะของกฎปกติคือ เมื่อมีการประกอบกฎหมายการจำหน่ายตามอำเภอใจในทางปฏิบัติจำนวนมากเพียงพอ กฎหมายทั้งหมดจะกลายเป็นกฎหมายที่ใกล้เคียงกับกฎปกติโดยพลการ ไม่ว่ากฎหมายการจำหน่ายของข้อกำหนดจะเป็นอย่างไร ตัวอย่างนี้สามารถแสดงให้เห็นได้โดยการจัดองค์ประกอบของกฎความหนาแน่นสม่ำเสมอสามข้อในส่วนต่างๆ จาก 0 ถึง 1 กฎการแจกแจงที่เป็นผลลัพธ์ g(z) แสดงในรูปที่ 8. ดังที่เห็นได้จากภาพวาด กราฟของฟังก์ชัน g (z) จะคล้ายกับกราฟของกฎปกติมาก