การกระจายความหนาแน่นของผลรวมของตัวแปรสุ่ม การกระจายผลรวมของตัวแปรอิสระสุ่มสองตัว ประมาณการสำหรับการกระจายผลรวม

คำนิยาม. ตัวแปรสุ่ม Х 1 , Х 2 , …, Х n เรียกว่าอิสระ ถ้า x 1, x 2 , …, x n เหตุการณ์เป็นอิสระ

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

เป็นไปตามนิยามโดยตรงว่าสำหรับตัวแปรสุ่มอิสระ X 1, X2, …, X นู๋ฟังก์ชันการกระจาย น- ตัวแปรสุ่มมิติ X = X 1, X2, …, X นู๋เท่ากับผลคูณของฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม X 1, X2, …, X นู๋

F(x 1 , x2, …, x น) = F(x 1)F(x2)…F(x น). (1)

ให้เราแยกแยะความเท่าเทียมกัน (1) นครั้งโดย x 1 , x2, …, x น, เราได้รับ

พี(x 1 , x2, …, x น) = พี(x 1)พี(x2)…พี(x น). (2)

สามารถให้คำจำกัดความอื่นของความเป็นอิสระของตัวแปรสุ่มได้

หากกฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มตัวหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มอื่นๆ ตัวแปรสุ่มดังกล่าวจะเรียกว่าอิสระในการรวม

ตัวอย่างเช่น ซื้อสลากลอตเตอรี่สองใบจากรุ่นต่างๆ ปล่อยให้เป็น X– จำนวนเงินที่ชนะสำหรับตั๋วแรก Y– จำนวนเงินที่ชนะสำหรับตั๋วที่สอง ตัวแปรสุ่ม Xและ Y- เป็นอิสระเนื่องจากการชนะตั๋วหนึ่งใบจะไม่ส่งผลต่อกฎหมายการจำหน่ายของอีกใบ แต่ถ้าตั๋วเป็นรุ่นเดียวกันก็ Xและ Y- ขึ้นอยู่กับ.

ตัวแปรสุ่มสองตัวเรียกว่าอิสระหากกฎการแจกแจงของหนึ่งในนั้นไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรอื่น

ทฤษฎีบท 1(การบิด) หรือ "ทฤษฎีบทความหนาแน่นของผลรวมของตัวแปรสุ่ม 2 ตัว"

ปล่อยให้เป็น X = (X 1;X2) เป็นตัวแปรสุ่มสองมิติต่อเนื่องอิสระ Y = X 1+ X2. จากนั้นความหนาแน่นของการกระจาย

การพิสูจน์. สามารถแสดงได้ว่าถ้า , แล้ว

ที่ไหน X = (X 1 , X 2 , …, X นู๋). แล้วถ้า X = (X 1 , X 2) จากนั้นฟังก์ชันการกระจาย Y = X 1 + X 2 สามารถกำหนดได้ดังนี้ (รูปที่ 1) –

ตามคำจำกัดความ ฟังก์ชันคือความหนาแน่นของการกระจายของตัวแปรสุ่ม Y = X 1 + X 2 เช่น

พาย (t) = ที่จะพิสูจน์

ให้เราหาสูตรในการหาการกระจายความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องกันสองตัว

ทฤษฎีบท 2ปล่อยให้เป็น X 1 , X 2 – ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องอิสระ

การพิสูจน์. ลองนึกภาพเหตุการณ์ เอ็กซ์ = {X 1 +X 2 = x) เป็นผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

เอ็กซ์ = å( X 1 = xฉัน ; X 2 = x– xฉัน).

เนื่องจาก X 1 , X 2 - เป็นอิสระแล้ว พี(X 1 = xฉัน ; X 2 = x– xผม) = พี(X 1 = xฉัน) พี(X 2 = x-xผม) แล้ว

พี(เอ็กซ์) = พี(å( X 1 = xฉัน ; X 2 = x – x ฉัน)) = å( พี(X 1 = x ฉัน) พี(X 2 = x-xฉัน))

คิวอีดี

ตัวอย่างที่ 1ปล่อยให้เป็น X 1 , X 2 - ตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงแบบปกติพร้อมพารามิเตอร์ นู๋(0;1); X 1 , X 2 ~ นู๋(0;1).

ให้เราหาความหนาแน่นของการกระจายของผลรวมของพวกเขา (เราแสดงว่า X 1 = x, Y = X 1 +X 2)

มันง่ายที่จะเห็นว่าอินทิกรัลคือความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มปกติพร้อมพารามิเตอร์ เอ= , , เช่น อินทิกรัลคือ 1

การทำงาน พาย(t) คือความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติด้วยพารามิเตอร์ a = 0, s = ดังนั้น ผลรวมของตัวแปรสุ่มปกติอิสระที่มีพารามิเตอร์ (0,1) มีการแจกแจงแบบปกติพร้อมพารามิเตอร์ (0,) กล่าวคือ Y = X 1 + X 2 ~ นู๋(0;).

ตัวอย่าง 2. ให้ตัวแปรสุ่มอิสระที่ไม่ต่อเนื่องสองตัวที่มีการแจกแจงแบบปัวซอง จากนั้น

ที่ไหน k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

โดยทฤษฎีบท 2 เรามี:

ตัวอย่างที่ 3ปล่อยให้เป็น X 1, X 2 - ตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล มาหาความหนาแน่นกันเถอะ Y= X 1 +X 2 .

หมายถึง x = x 1. ตั้งแต่ X 1, X 2 เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ จากนั้นเราใช้ "ทฤษฎีบทการบิด"

จะแสดงให้เห็นได้ว่าหากผลรวม ( Х ฉันมีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลพร้อมพารามิเตอร์ l) จากนั้น Y= มีการแจกแจงที่เรียกว่าการแจกแจง Erlang ( น- 1) สั่งซื้อ กฎหมายนี้ได้มาโดยการจำลองการทำงานของการแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์ในงานแรกเกี่ยวกับทฤษฎีการเข้าคิว

ในสถิติทางคณิตศาสตร์ กฎการแจกแจงมักใช้กับตัวแปรสุ่มที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มปกติที่เป็นอิสระ ลองพิจารณากฎสามข้อที่พบบ่อยที่สุดในการสร้างแบบจำลองปรากฏการณ์สุ่ม

ทฤษฎีบทที่ 3ถ้าตัวแปรสุ่มเป็นอิสระ X 1, ..., X นู๋จากนั้นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มเหล่านี้ก็เป็นอิสระเช่นกัน Y 1 = ฉ 1 (X 1), ...,Y n = ฉ น(X นู๋).

การกระจายของเพียร์สัน(จาก2 -การกระจาย). ปล่อยให้เป็น X 1, ..., X นู๋เป็นตัวแปรสุ่มปกติที่เป็นอิสระพร้อมพารามิเตอร์ เอ= 0, s = 1. เขียนตัวแปรสุ่ม

ดังนั้น,

สามารถแสดงให้เห็นว่าความหนาแน่นของ x > 0 มีรูปแบบ โดยที่ k n คือสัมประสิทธิ์บางประการสำหรับเงื่อนไขที่จะเป็นไปตามนั้น n ® ¥ การแจกแจงแบบเพียร์สันมีแนวโน้มที่จะแจกแจงแบบปกติ

ให้ Х 1 , Х 2 , …, Хn ~ N(a,s) จากนั้นตัวแปรสุ่ม ~ N(0,1) ดังนั้น ตัวแปรสุ่มจึงมีการแจกแจงแบบ c 2 โดยมีองศาอิสระ n

การแจกแจงแบบเพียร์สันถูกจัดตารางและใช้ในแอปพลิเคชันต่างๆ ของสถิติทางคณิตศาสตร์ (ตัวอย่างเช่น เมื่อทดสอบสมมติฐานว่ากฎการแจกแจงความสอดคล้องกัน)

ผู้มีอำนาจตัดสินใจอาจใช้การประกันเพื่อลดผลกระทบทางการเงินที่ไม่พึงประสงค์จากเหตุการณ์สุ่มบางประเภท

แต่การสนทนานี้เป็นเรื่องทั่วไป เนื่องจากผู้มีอำนาจตัดสินใจอาจหมายถึงทั้งบุคคลที่แสวงหาความคุ้มครองจากความเสียหายต่อทรัพย์สิน เงินออม หรือรายได้ และองค์กรที่ต้องการความคุ้มครองจากความเสียหายประเภทเดียวกัน

อันที่จริง องค์กรดังกล่าวอาจเป็นบริษัทประกันภัยที่กำลังมองหาวิธีป้องกันตนเองจากความสูญเสียทางการเงินอันเนื่องมาจากเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัยที่เกิดขึ้นกับลูกค้าแต่ละรายหรือกับพอร์ตประกันมากเกินไป ความคุ้มครองนี้เรียกว่า ประกันภัยต่อ.

พิจารณาหนึ่งในสองรูปแบบ (คือ แบบจำลองความเสี่ยงส่วนบุคคล) ใช้กันอย่างแพร่หลายในการกำหนดอัตราและเงินสำรองประกันภัยตลอดจนในการประกันภัยต่อ

แสดงโดย สจำนวนการสูญเสียโดยบังเอิญของบริษัทประกันภัยสำหรับความเสี่ยงบางส่วน ในกรณีนี้ สเป็นตัวแปรสุ่มที่เราต้องกำหนดการกระจายความน่าจะเป็น ในอดีต สำหรับการกระจายของ r.v. สมีสมมุติฐานสองชุด โมเดลความเสี่ยงส่วนบุคคลกำหนด สด้วยวิธีต่อไปนี้:

ที่ไหน r.v. หมายถึง ความสูญเสียอันเกิดจากวัตถุแห่งการเอาประกันภัยด้วยเลขที่ ฉัน,เอ นหมายถึงจำนวนวัตถุประกันทั้งหมด

โดยปกติแล้วจะถือว่าพวกมันเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ เนื่องจากในกรณีนี้การคำนวณทางคณิตศาสตร์นั้นง่ายกว่าและไม่ต้องการข้อมูลเกี่ยวกับธรรมชาติของความสัมพันธ์ระหว่างพวกมัน รูปแบบที่สองคือแบบจำลองความเสี่ยงโดยรวม

แบบจำลองความเสี่ยงส่วนบุคคลที่พิจารณาแล้วไม่ได้สะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงของมูลค่าเงินเมื่อเวลาผ่านไป สิ่งนี้ทำเพื่อลดความซับซ้อนของแบบจำลอง ซึ่งเป็นสาเหตุที่ชื่อบทความอ้างอิงถึงช่วงเวลาสั้นๆ

เราจะพิจารณาเฉพาะรุ่นปิดเช่น ที่มีจำนวนวัตถุประกัน นในสูตร (1.1) เป็นที่รู้จักและกำหนดไว้ที่จุดเริ่มต้นของช่วงเวลาที่พิจารณา หากเราเสนอสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของการย้ายถิ่นจากหรือไปยังระบบประกัน เราก็จะได้โมเดลที่เปิดกว้าง

ตัวแปรสุ่มที่อธิบายการจ่ายเงินรายบุคคล

อันดับแรก ให้เรานึกถึงบทบัญญัติหลักเกี่ยวกับการประกันชีวิต

กรณีประกันมรณะเป็นระยะเวลาหนึ่งปี ผู้เอาประกันภัยตกลงที่จะจ่ายเงินจำนวนนั้น ขหากผู้ถือกรมธรรม์เสียชีวิตภายในหนึ่งปีนับแต่วันที่สิ้นสุดสัญญาประกันภัย และไม่ต้องจ่ายอะไรเลยหากผู้ถือกรมธรรม์มีชีวิตอยู่ในปีนี้

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เอาประกันภัยที่เกิดขึ้นระหว่างปีที่ระบุแสดงโดย

ตัวแปรสุ่มที่อธิบายการชำระเงินประกันมีการแจกแจงที่สามารถระบุได้โดยฟังก์ชันความน่าจะเป็น

(2.1)

หรือฟังก์ชันการกระจายที่สอดคล้องกัน

(2.2)

จากสูตร (2.1) และจากนิยามของโมเมนต์ เราจะได้

(2.4)

สามารถหาสูตรเหล่านี้ได้โดยการเขียน Xเช่น

โดยที่ค่าคงที่ที่จ่ายในกรณีที่เสียชีวิตและเป็นตัวแปรสุ่มที่นำค่า 1 มาสู่ความตายและ 0 อย่างอื่น

ดังนั้นและ และค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของ r.v. มีค่าเท่ากันและตามลำดับ และค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของ r.v. เท่ากับ และ ซึ่งตรงกับสูตรข้างต้น

ตัวแปรสุ่มที่มีช่วง (0,1) ใช้กันอย่างแพร่หลายในแบบจำลองคณิตศาสตร์ประกันภัย

ในตำราทฤษฎีความน่าจะเป็นเรียกว่า ตัวบ่งชี้, เบอร์นูลีสุ่มค่าหรือ ตัวแปรสุ่มทวินามในการออกแบบการทดสอบเดี่ยว

เราจะเรียกเธอว่า ตัวบ่งชี้ด้วยเหตุผลที่กระชับ และเพราะมันบ่งบอกถึงการเริ่มมีอาการหรือไม่มีอาการของเหตุการณ์ที่เป็นปัญหา

ต่อไปเราจะค้นหารุ่นทั่วไปกันต่อไป ซึ่งมูลค่าของเงินประกันจะเป็นตัวแปรสุ่มและเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัยหลายเหตุการณ์อาจเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่พิจารณา

การประกันสุขภาพ การประกันภัยรถยนต์และทรัพย์สินอื่นๆ และการประกันภัยความรับผิดให้ตัวอย่างมากมายในทันที สูตรทั่วไป (2.5) เราตั้งค่า

โดยที่ตัวแปรสุ่มที่อธิบายการชำระเงินประกันในช่วงเวลาที่พิจารณาคือ r.v. หมายถึงจำนวนเงินที่ชำระทั้งหมดในช่วงเวลานี้และ r.v. เป็นเครื่องบ่งชี้เหตุการณ์ที่เกิดเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัยอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์

เป็นเครื่องบ่งชี้เหตุการณ์ดังกล่าว r.v. แก้ไขการแสดงตน () หรือขาด () เหตุการณ์ที่เอาประกันภัยในช่วงเวลานี้แต่ไม่ใช่จำนวนเหตุการณ์ที่เอาประกันภัยในนั้น

ความน่าจะเป็นจะยังคงแสดงโดย

มาอภิปรายตัวอย่างต่างๆ และพิจารณาการกระจายของตัวแปรสุ่มและในบางรุ่น

ขั้นแรกให้พิจารณาการประกันการเสียชีวิตเป็นเวลาหนึ่งปีพร้อมผลประโยชน์เพิ่มเติมหากการตายเป็นอุบัติเหตุ

เพื่อความชัดเจนสมมุติว่าถ้าเสียชีวิตจากอุบัติเหตุจะจ่ายเงินให้ 50,000 ถ้าเสียชีวิตจากสาเหตุอื่นจะจ่ายเงิน 25,000.

สมมุติว่าสำหรับคนในวัยใด ภาวะสุขภาพและอาชีพที่กำหนด ความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิตจากอุบัติเหตุระหว่างปีคือ 0.0005 และความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิตจากสาเหตุอื่นคือ 0.0020 ในรูปแบบสูตรดูเหมือนว่านี้:

รวมค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ , เราได้รับ

,

การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขค. ใน. สภาพมีรูปแบบ

ให้เราพิจารณาประกันการชนกันของรถ (ค่าชดเชยที่จ่ายให้กับเจ้าของรถสำหรับความเสียหายที่เกิดกับรถของเขา) โดยมีการหักลดหย่อนแบบไม่มีเงื่อนไข 250 และการจ่ายเงินสูงสุด 2,000

เพื่อความชัดเจน เราคิดว่าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัยหนึ่งเหตุการณ์ในช่วงเวลาที่พิจารณาสำหรับแต่ละบุคคลคือ 0.15 และความน่าจะเป็นของการชนกันมากกว่าหนึ่งครั้งมีค่าเท่ากับศูนย์:

, .

สมมติฐานที่ไม่สมจริงว่าเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัยสามารถเกิดขึ้นได้ไม่เกินหนึ่งเหตุการณ์ในช่วงเวลาหนึ่งเพื่อทำให้การกระจายของ r.v. ง่ายขึ้น .

เราจะยกเลิกข้อสันนิษฐานนี้ในหัวข้อถัดไป หลังจากที่เราพิจารณาการกระจายผลรวมของการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนหลายรายการ

เนื่องจากเป็นมูลค่าเงินที่บริษัทประกันจ่ายให้ ไม่ใช่ความเสียหายที่เกิดกับตัวรถ เราจึงพิจารณาได้ 2 ลักษณะ คือ

ขั้นแรก เหตุการณ์รวมถึงการชนกันซึ่งความเสียหายน้อยกว่าการหักลดหย่อนแบบไม่มีเงื่อนไข ซึ่งก็คือ 250

ประการที่สอง การกระจายของ r.v. จะมี "ก้อน" ของมวลความน่าจะเป็น ณ จุดที่จำนวนเงินเอาประกันภัยสูงสุดซึ่งเท่ากับ 2,000

สมมติว่ามวลความน่าจะเป็นกระจุกตัว ณ จุดนี้เท่ากับ 0.1 นอกจากนี้ สมมติว่ามูลค่าของเงินประกันในช่วง 0 ถึง 2000 สามารถจำลองได้โดยการแจกแจงแบบต่อเนื่องโดยมีฟังก์ชันความหนาแน่นเป็นสัดส่วนกับ (ในทางปฏิบัติ เส้นโค้งต่อเนื่องที่เลือกแสดงการกระจายเบี้ยเป็นผลจากการศึกษาเบี้ยในงวดก่อน)

สรุปสมมติฐานเหล่านี้เกี่ยวกับการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของ r.v. ภายใต้เงื่อนไข เรามาถึงการแจกแจงแบบผสมที่มีความหนาแน่นเป็นบวกในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 2000 และ "พวง" ของมวลความน่าจะเป็นที่จุด 2000 ซึ่งแสดงโดยกราฟในรูปที่ 2.2.1.

ฟังก์ชันการกระจายของการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขนี้มีลักษณะดังนี้:

รูปที่ 2.1 ฟังก์ชันการกระจายของ r.v. B ภายใต้เงื่อนไข I = 1

เราคำนวณความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ในตัวอย่างที่พิจารณากับการประกันภัยรถยนต์ในสองวิธี

อันดับแรก เราเขียนการกระจายของ r.v. และใช้เพื่อคำนวณและ แสดงผ่านฟังก์ชันการกระจายของ r.v. , เรามี

สำหรับ x<0

นี่คือการกระจายแบบผสม ดังแสดงในรูป 2.2 มีทั้งแบบไม่ต่อเนื่อง (“กอ” ของมวลความน่าจะเป็นที่จุด 2000) และส่วนที่ต่อเนื่องกัน ฟังก์ชันการกระจายดังกล่าวสอดคล้องกับผลรวมของฟังก์ชันความน่าจะเป็น

ข้าว. 2.2. ฟังก์ชันการกระจายของ r.v. X=IB

และฟังก์ชันความหนาแน่น

โดยเฉพาะและ . ดังนั้น .

มีสูตรจำนวนหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาของตัวแปรสุ่มกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แบบมีเงื่อนไข สำหรับความคาดหมายทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวน สูตรเหล่านี้มีรูปแบบ

(2.10)

(2.11)

สันนิษฐานว่านิพจน์ทางด้านซ้ายมือของความเท่าเทียมกันเหล่านี้คำนวณโดยตรงจากการกระจายของ r.v. . เมื่อคำนวณนิพจน์ทางด้านขวามือ กล่าวคือ และ จะใช้การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของ r.v. ที่ค่าคงที่ของ r.v. .

นิพจน์เหล่านี้เป็นหน้าที่ของ r.v. และเราสามารถคำนวณโมเมนต์ของพวกมันได้โดยใช้การกระจายของ r.v. .

การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขถูกใช้ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกันภัยหลายแบบ และทำให้สามารถใช้สูตรข้างต้นได้โดยตรง ในแบบฉบับของเรา พิจารณา r.v. เป็นและ r.v. ตามที่ เราได้รับ

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

และพิจารณาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แบบมีเงื่อนไข

(2.16)

(2.17)

สูตร (2.16) และ (2.17) ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของ r.v. ซึ่งสามารถเขียนเป็นสูตรได้ดังนี้

ตั้งแต่ ณ ตอนนั้น (2.21)

เพราะเรามีและ (2.22)

สูตร (2.21) และ (2.22) สามารถรวมกันได้: (2.23)

ดังนั้น (2.24)

แทนที่ (2.21) (2.20) และ (2.24) ลงใน (2.12) และ (2.13) เราจะได้

มาประยุกต์ใช้สูตรการคำนวณที่ได้รับและในตัวอย่างประกันภัยรถยนต์ (รูปที่ 2.2) เนื่องจากฟังก์ชันความหนาแน่นของ r.v. ในเงื่อนไขจะแสดงโดยสูตร

และ P(B=2000|ฉัน=1)= 0.1 เรามี

สุดท้ายสมมติว่า q= 0.15 จากสูตร (2.25) และ (2.26) เราได้รับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

เพื่ออธิบายสถานการณ์การประกันภัยอื่น เราสามารถนำเสนอโมเดลอื่นๆ สำหรับ r.v. .

ตัวอย่าง แบบจำลองจำนวนผู้เสียชีวิตจากอุบัติเหตุทางการบิน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาแบบจำลองสำหรับจำนวนผู้เสียชีวิตจากอุบัติเหตุทางการบินในช่วงระยะเวลาหนึ่งปีของการดำเนินงานของสายการบิน

เราสามารถเริ่มต้นด้วยตัวแปรสุ่มที่อธิบายจำนวนผู้เสียชีวิตในหนึ่งเที่ยวบิน จากนั้นจึงรวมตัวแปรสุ่มเหล่านี้ในทุกเที่ยวบินในหนึ่งปี

สำหรับหนึ่งเที่ยวบิน เหตุการณ์จะระบุการโจมตีทางอากาศ จำนวนผู้เสียชีวิตจากภัยพิบัติครั้งนี้จะแสดงด้วยผลคูณของตัวแปรสุ่มสองตัว และ ปัจจัยด้านน้ำหนักบรรทุกของเครื่องบินอยู่ที่ใด กล่าวคือ จำนวนคนบนเครื่อง ณ เวลาที่เครื่องบินตก และเป็นสัดส่วนของการเสียชีวิตของผู้คนบนเครื่องบิน คณะกรรมการ.

จำนวนผู้เสียชีวิตจะแสดงในลักษณะนี้ เนื่องจากสถิติที่แยกจากกันและสามารถเข้าถึงได้มากกว่าสถิติสำหรับ r.v. . ดังนั้น แม้ว่าสัดส่วนการเสียชีวิตระหว่างบุคคลบนเรือและจำนวนคนบนเรืออาจมีความเกี่ยวข้องกัน ในการประมาณการครั้งแรก สามารถสันนิษฐานได้ว่า r.v. และเป็นอิสระ

ผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ

ในรูปแบบความเสี่ยงส่วนบุคคล การชำระเงินประกันที่จ่ายโดยบริษัทประกันภัยจะแสดงเป็นผลรวมของการชำระเงินให้กับบุคคลจำนวนมาก

จำสองวิธีในการกำหนดการกระจายของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ พิจารณาผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวก่อน ซึ่งพื้นที่ตัวอย่างจะแสดงในรูปที่ 3.1.

ข้าว. 2.3.1. เหตุการณ์

เส้นและพื้นที่ใต้บรรทัดนี้แสดงถึงเหตุการณ์ ดังนั้น ฟังก์ชันการกระจายของ r.v. สมีรูปแบบ (3.1)

สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องกันสองตัวแปร เราสามารถใช้สูตรความน่าจะเป็นรวมและเขียน (3.1) เป็น

ถ้า Xและ Yเป็นอิสระผลรวมสุดท้ายสามารถเขียนใหม่เป็น

(3.3)

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับฟังก์ชันการกระจายนี้สามารถหาได้จากสูตร

(3.4)

สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ใช่ค่าลบต่อเนื่อง สูตรที่สอดคล้องกับสูตร (3.2), (3.3) และ (3.4) มีรูปแบบ

เมื่อตัวแปรสุ่มตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งสองตัว Xและ Yมีการกระจายแบบผสม (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับแบบจำลองความเสี่ยงแต่ละแบบ) สูตรมีความคล้ายคลึงกัน แต่ยุ่งยากกว่า สำหรับตัวแปรสุ่มที่สามารถนำค่าลบมาใช้ได้ ผลรวมและปริพันธ์ในสูตรข้างต้นจะถูกนำไปทับค่าทั้งหมดของ y จาก ถึง .

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น การดำเนินการในสูตร (3.3) และ (3.6) เรียกว่าการบิดของฟังก์ชันการกระจายสองฟังก์ชัน และเขียนแทนด้วย การดำเนินการ convolution ยังสามารถกำหนดคู่ของฟังก์ชันความน่าจะเป็นหรือความหนาแน่นโดยใช้สูตร (3.4) และ (3.7)

เพื่อกำหนดการกระจายของผลรวมของตัวแปรสุ่มมากกว่าสองตัว เราสามารถใช้การวนซ้ำของกระบวนการบิด สำหรับ โดยที่ตัวแปรสุ่มอิสระหมายถึงฟังก์ชันการกระจายของ r.v. และเป็นฟังก์ชันการกระจายของ r.v. , เราจะได้

ตัวอย่างที่ 3.1 แสดงขั้นตอนนี้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสามตัว

ตัวอย่างที่ 3.1ตัวแปรสุ่ม และเป็นอิสระและมีการแจกแจงตามคอลัมน์ (1), (2) และ (3) ของตารางด้านล่าง

ให้เราเขียนฟังก์ชันความน่าจะเป็นและฟังก์ชันการกระจายของ r.v.

การตัดสินใจ.ตารางใช้สัญกรณ์ที่แนะนำก่อนตัวอย่าง:

คอลัมน์ (1)-(3) มีข้อมูลที่มีอยู่

คอลัมน์ (4) ได้มาจากคอลัมน์ (1) และ (2) โดยใช้ (3.4)

คอลัมน์ (5) ได้มาจากคอลัมน์ (3) และ (4) โดยใช้ (3.4)

คำจำกัดความของคอลัมน์ (5) ทำให้การกำหนดฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับ r.v. เสร็จสมบูรณ์ . ฟังก์ชันการกระจายในคอลัมน์ (8) คือชุดของผลรวมบางส่วนของคอลัมน์ (5) โดยเริ่มจากด้านบน

เพื่อความชัดเจน เราได้รวมคอลัมน์ (6) ฟังก์ชันการกระจายสำหรับคอลัมน์ (1) คอลัมน์ (7) ซึ่งสามารถหาได้โดยตรงจากคอลัมน์ (1) และ (6) โดยใช้ (2.3.3) และคอลัมน์ (8 ) กำหนดโดยในทำนองเดียวกันสำหรับคอลัมน์ (3) และ (7) คอลัมน์ (5) สามารถกำหนดได้จากคอลัมน์ (8) โดยการลบแบบต่อเนื่อง

ให้เราพิจารณาสองตัวอย่างด้วยตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่ 3.2ให้ r.v. มีการแจกแจงสม่ำเสมอตามช่วงเวลา (0,2) และให้ r.v. ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ r.v. และมีการกระจายสม่ำเสมอตามช่วงเวลา (0,3) ให้เรากำหนดฟังก์ชันการกระจายของ r.v.

การตัดสินใจ.ตั้งแต่การกระจายของ r.v. และต่อเนื่องเราใช้สูตร (3.6):

แล้ว

พื้นที่ตัวอย่างของ r.v. และแสดงไว้ในรูปที่ 3.2. พื้นที่สี่เหลี่ยมมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคู่และ . เหตุการณ์ที่เราสนใจ , , ปรากฎในรูปของค่าห้าค่า ส.

สำหรับแต่ละค่า เส้นตัดกับแกน Yณ จุดนั้น สและเส้นตรงจุด ค่าฟังก์ชันสำหรับห้ากรณีนี้อธิบายโดยสูตรต่อไปนี้:

ข้าว. 3.2. การหมุนของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอสองครั้ง

ตัวอย่างที่ 3.3ให้เราพิจารณาสาม r.v. อิสระ . สำหรับรถอาร์วี มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล และ . ให้เราหาฟังก์ชันความหนาแน่นของ r.v. โดยใช้การดำเนินการบิด

การตัดสินใจ.เรามี

โดยใช้สูตร (3.7) สามครั้ง เราจะได้

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดการกระจายของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระนั้นขึ้นอยู่กับเอกลักษณ์ของฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ ซึ่งสำหรับ r.v. ถูกกำหนดโดยอัตราส่วน .

หากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์นี้มีขอบเขตจำกัดสำหรับทุกคน tจากช่วงเปิดบางช่วงที่มีจุดกำเนิด เป็นฟังก์ชันเดียวที่สร้างของช่วงเวลาการกระจายของ r.v. ในแง่ที่ว่าไม่มีฟังก์ชันอื่นใดนอกจาก ซึ่งจะเป็นฟังก์ชันสร้างของโมเมนต์การกระจายของ r.v. .

เอกลักษณ์นี้สามารถใช้ได้ดังนี้: สำหรับผลรวม

หากเป็นอิสระจากนั้นความคาดหวังของผลิตภัณฑ์ในสูตร (3.8) จะเท่ากับ ..., ดังนั้น

การหานิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับการแจกแจงอย่างเดียวที่สอดคล้องกับฟังก์ชันการสร้างของช่วงเวลา (3.9) จะทำให้การค้นหาการแจกแจงของ r.v. สมบูรณ์ . หากไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจน ก็สามารถค้นหาได้โดยวิธีตัวเลข

ตัวอย่าง 3.4. พิจารณาตัวแปรสุ่มจากตัวอย่างที่ 3.3 ให้เรากำหนดฟังก์ชันความหนาแน่นของ r.v. โดยใช้ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของ r.v. .

การตัดสินใจ.ตามความเท่าเทียมกัน (3.9) ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น โดยใช้วิธีการสลายตัวเป็นเศษส่วนอย่างง่าย วิธีแก้ปัญหาคือ . แต่เป็นฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลด้วยพารามิเตอร์ ดังนั้นฟังก์ชันความหนาแน่นของอาร์วี มีรูปแบบ

ตัวอย่าง 3.5. ในการศึกษากระบวนการสุ่ม ได้มีการแนะนำการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผัน มันถูกใช้เป็นการกระจายของ r.v. ที่, จำนวนเงินเอาประกันภัย. ฟังก์ชันความหนาแน่นและฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์ของการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันถูกกำหนดโดยสูตร

ให้เราหาการกระจายของ r.v. ที่ไหน r.v. เป็นอิสระและมีการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันเหมือนกัน

การตัดสินใจ.โดยใช้สูตร (3.9) เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันการสร้างของช่วงเวลา r.v. :

ฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์สอดคล้องกับการแจกแจงแบบพิเศษ และจะเห็นได้ว่ามีการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันพร้อมพารามิเตอร์ และ

ค่าประมาณสำหรับการกระจายผลรวม

ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางให้วิธีการในการค้นหาค่าตัวเลขสำหรับการแจกแจงผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ โดยปกติ ทฤษฎีบทนี้กำหนดขึ้นสำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระและกระจายเหมือนกัน โดยที่ .

สำหรับ n ใดๆ การกระจายตัวของ r.v. ที่ไหน = มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ 0 และความแปรปรวน 1 ดังที่ทราบกันดีว่าลำดับของการแจกแจงดังกล่าว (for น= 1, 2, ...) มีแนวโน้มการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน เมื่อไหร่ นใหญ่ ทฤษฎีบทนี้ใช้เพื่อประมาณการกระจายของ r.v. การแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ย μ และกระจายตัว ในทำนองเดียวกันการแจกแจงผลรวม นตัวแปรสุ่มถูกประมาณโดยการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

ประสิทธิภาพของการประมาณดังกล่าวไม่เพียงแต่ขึ้นกับจำนวนเทอมเท่านั้น แต่ยังขึ้นกับความใกล้ชิดของการกระจายของเทอมกับเทอมปกติด้วย หลักสูตรสถิติเบื้องต้นจำนวนมากระบุว่า n ต้องมีอย่างน้อย 30 เพื่อให้การประมาณมีความสมเหตุสมผล

อย่างไรก็ตาม หนึ่งในโปรแกรมสำหรับสร้างตัวแปรสุ่มแบบกระจายตามปกติที่ใช้ในการจำลองแบบจำลองใช้ตัวแปรสุ่มปกติเป็นค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มอิสระ 12 ตัวที่กระจายอย่างสม่ำเสมอตามช่วงเวลา (0,1)

ในรูปแบบความเสี่ยงส่วนบุคคลจำนวนมาก ตัวแปรสุ่มที่รวมอยู่ในผลรวมจะไม่ถูกกระจายอย่างเท่าเทียมกัน สิ่งนี้จะแสดงให้เห็นโดยตัวอย่างในหัวข้อถัดไป

ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางยังขยายไปถึงลำดับของตัวแปรสุ่มที่กระจายอย่างไม่เท่ากัน

เพื่อแสดงตัวอย่างการประยุกต์ใช้แบบจำลองความเสี่ยงแต่ละรายการ เราจะใช้การประมาณปกติของการแจกแจงผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเพื่อให้ได้คำตอบที่เป็นตัวเลข ถ้า , แล้ว

และต่อไปถ้า r.v. อิสระ แล้ว

สำหรับแอปพลิเคชันที่เป็นปัญหา เราต้องการเพียง:

• หาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่จำลองการสูญเสียแต่ละรายการ
• สรุปเพื่อหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการสูญเสียของบริษัทประกันภัยโดยรวม
• ใช้การประมาณปกติ

ด้านล่างเราจะแสดงลำดับของการกระทำนี้

ใบสมัครประกันภัย

ส่วนนี้แสดงการใช้การประมาณปกติพร้อมตัวอย่างสี่ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 5.1บริษัทประกันชีวิตเสนอสัญญาประกันการเสียชีวิต 1 ปี โดยจ่ายเงิน 1 หน่วย และ 2 หน่วย ให้แก่บุคคลที่มีโอกาสเสียชีวิตได้เท่ากับ 0.02 หรือ 0.01 ตารางด้านล่างแสดงจำนวนคน นในแต่ละชั้นทั้งสี่ที่เกิดขึ้นตามการชำระเงิน b kและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เอาประกันภัย คิวเค:

k	q k	b k	น
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

บริษัทประกันภัยต้องการเรียกเก็บเงินจากกลุ่มนี้จำนวน 1,800 รายเป็นจำนวนเงินเท่ากับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 95 ของการกระจายการชำระเงินประกันทั้งหมดสำหรับกลุ่มนี้ นอกจากนี้ เธอต้องการให้ส่วนแบ่งของแต่ละคนในจำนวนเงินนั้นเป็นสัดส่วนกับการจ่ายเงินประกันที่คาดหวังของบุคคลนั้น

ส่วนแบ่งของบุคคลที่มีหมายเลขซึ่งมีการจ่ายเงินเฉลี่ยเท่ากับควรเป็น เป็นไปตามข้อกำหนดของเปอร์เซ็นไทล์ที่ 95 ว่า มูลค่าส่วนเกิน คือ ค่าความเสี่ยง และเรียกว่า ค่าความเสี่ยงสัมพัทธ์ มาคำนวณกัน

การตัดสินใจ.ค่าจะถูกกำหนดโดยอัตราส่วน = 0.95 โดยที่ S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 .คำสั่งความน่าจะเป็นนี้เทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้:

ตามสิ่งที่กล่าวเกี่ยวกับทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางใน ก.ล.ต. 4 เราประมาณการกระจายของ r.v. การแจกแจงแบบปกติมาตรฐานและใช้เปอร์เซ็นไทล์ที่ 95 ซึ่งเราได้รับ:

สำหรับสี่ประเภทที่ผู้ถือกรมธรรม์ถูกแบ่งออก เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

k	q k	b k	เฉลี่ย b k q k	ความแปรปรวน b 2 k q k (1-q k)	น
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

ดังนั้น,

ดังนั้น เบี้ยประกันภัยความเสี่ยงสัมพัทธ์เท่ากับ

ตัวอย่างที่ 5.2ลูกค้าของบริษัทประกันภัยรถยนต์แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ

ระดับ	หมายเลขในชั้นเรียน	ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น เหตุการณ์ผู้เอาประกันภัย	การกระจายการชำระเงินประกัน, พารามิเตอร์เลขชี้กำลังที่ถูกตัดทอน การกระจาย
k				หลี่
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ถูกตัดทอนถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการกระจาย

นี่คือการกระจายแบบผสมที่มีฟังก์ชันความหนาแน่น และ "กอ" ของมวลความน่าจะเป็น ณ จุดหนึ่ง หลี่. กราฟของฟังก์ชันการกระจายนี้แสดงในรูปที่ 5.1

ข้าว. 5.1. การกระจายเลขชี้กำลังที่ถูกตัดทอน

เช่นเดิม ความน่าจะเป็นที่จำนวนเงินเอาประกันภัยทั้งหมดเกินจำนวนเงินที่เรียกเก็บจากผู้ถือกรมธรรม์ควรเท่ากับ 0.05 เราจะถือว่าค่าความเสี่ยงสัมพัทธ์ควรเท่ากันในแต่ละชั้นที่อยู่ระหว่างการพิจารณา มาคำนวณกัน

การตัดสินใจ.ตัวอย่างนี้คล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้านี้มาก ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือตอนนี้มูลค่าของเงินประกันเป็นตัวแปรสุ่ม

อันดับแรก เราจะได้นิพจน์สำหรับช่วงเวลาของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ถูกตัดทอน นี่จะเป็นขั้นตอนเตรียมการสำหรับการใช้สูตร (2.25) และ (2.26):

การใช้ค่าพารามิเตอร์ที่ระบุในเงื่อนไขและการใช้สูตร (2.25) และ (2.26) เราจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

k	q k	µk	σ 2 k	เฉลี่ย q k μ k	การกระจาย μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	น
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

ดังนั้น, ส, จำนวนเงินเอาประกันภัยทั้งหมด, มีช่วงเวลา

เงื่อนไขสำหรับคำจำกัดความยังคงเหมือนกับในตัวอย่างที่ 5.1 กล่าวคือ

ใช้การประมาณการแจกแจงแบบปกติอีกครั้ง จะได้

ตัวอย่างที่ 5.3พอร์ตโฟลิโอของบริษัทประกันภัยประกอบด้วยสัญญาประกันชีวิต 16,000 ฉบับ เป็นระยะเวลา 1 ปี ตามตารางต่อไปนี้

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัย q สำหรับลูกค้าแต่ละราย 16,000 ราย (เหตุการณ์เหล่านี้ถือว่าไม่เกิดร่วมกัน) คือ 0.02 บริษัทต้องการกำหนดอัตราการรักษาไว้เอง สำหรับผู้ถือกรมธรรม์แต่ละราย ระดับการเก็บรักษาของตัวเองเป็นมูลค่าที่ต่ำกว่าที่บริษัทนี้ (บริษัทที่โอนกรรมสิทธิ์) ทำการชำระเงินโดยอิสระ และการชำระเงินที่เกินมูลค่านี้อยู่ภายใต้สัญญาประกันภัยต่อโดยบริษัทอื่น (บริษัทประกันภัยต่อ)

ตัวอย่างเช่น หากอัตราประกันตัวเองอยู่ที่ 200,000 บริษัทจะสำรองความคุ้มครองสูงสุด 20,000 ให้กับผู้ถือกรมธรรม์แต่ละราย และซื้อประกันต่อให้ครอบคลุมส่วนต่างระหว่างเบี้ยประกันภัย และ 20,000 สำหรับผู้ถือกรมธรรม์ 4,500 รายแต่ละรายที่มีเบี้ยประกันเกิน 20,000 .

บริษัทเลือกเป็นเกณฑ์ในการตัดสินใจลดความเป็นไปได้ที่ประกันจะเรียกร้องเหลือจากการหักของตัวเองบวกกับจำนวนเงินที่จ่ายสำหรับการประกันภัยต่อจะเกินจำนวน 8,250,000 ประกันภัยต่อมีค่าใช้จ่าย 0.025 ต่อหน่วยของความคุ้มครอง (เช่น 125% ของมูลค่าที่คาดว่าจะได้รับ มูลค่าเงินประกันต่อหน่วย 0.02)

เราเชื่อว่าพอร์ตที่อยู่ระหว่างการพิจารณาปิดลงแล้ว: สัญญาประกันใหม่ที่ทำขึ้นระหว่างปีปัจจุบันจะไม่ถูกนำมาพิจารณาในกระบวนการตัดสินใจที่อธิบายไว้

สารละลายบางส่วน มาทำการคำนวณทั้งหมดก่อน โดยเลือก 10,000 เป็นหน่วยการจ่ายเงิน ตามภาพประกอบ สมมติว่าค ใน. สคือจำนวนเงินที่เหลือจากการหักเอง โดยมีรูปแบบดังนี้

สำหรับเงินประกันที่เหลือจากการหักของคุณเอง ส, มีการเพิ่มจำนวนเบี้ยประกันภัยต่อ รวมมูลค่าความคุ้มครองทั้งหมดตามโครงการนี้คือ

จำนวนเงินที่เหลือในการหักของตัวเองเท่ากับ

ดังนั้นมูลค่าการประกันภัยต่อทั้งหมดจึงเท่ากับ 35,000-24,000=11,000 และต้นทุนการประกันภัยต่อคือ

ดังนั้น ที่ระดับเงินประกันตนเองเท่ากับ 2 เงินประกันที่เหลือจากการประกันตนบวกกับค่าประกันต่อคือ เกณฑ์การตัดสินใจขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นที่ยอดรวมนี้จะเกิน 825

จากการกระจายตัวแบบปกติ เราได้ค่านี้ประมาณ เท่ากับ 0.0062

มูลค่าเฉลี่ยของการจ่ายประกันเมื่อทำประกันส่วนที่เกินจากค่าประกันไม่ได้ ซึ่งเป็นประเภทประกันต่อประเภทหนึ่ง สามารถประมาณได้โดยใช้การแจกแจงแบบปกติเป็นการกระจายของเงินประกันทั้งหมด

ให้จำนวนเงินเอาประกันภัยทั้งหมด X มีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

ตัวอย่างที่ 5.4ลองพิจารณาพอร์ตประกันดังตัวอย่างที่ 5.3 ให้เราหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเงินที่จ่ายประกันภายใต้สัญญาประกันการสูญเสียส่วนเกิน if

(ก) ไม่มีการประกันภัยต่อส่วนบุคคลและค่าลดหย่อนแบบไม่มีเงื่อนไขตั้งไว้ที่ 7,500,000

(b) มีการหักภาษี ณ ที่จ่ายส่วนบุคคลจำนวน 20,000 รายการในสัญญาประกันส่วนบุคคลและการหักลดหย่อนสำหรับพอร์ตโฟลิโอโดยไม่มีเงื่อนไขคือ 5,300,000

การตัดสินใจ.

(ก) ในกรณีที่ไม่มีการประกันภัยต่อส่วนบุคคลและในช่วงเปลี่ยนผ่านเป็น 10,000 เป็นสกุลเงิน

ใช้สูตร (5.2) ให้

ซึ่งเป็นผลรวมของ 43,770 ในหน่วยเดิม

(b) ในเอกสารแนบ 5.3 เราได้รับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของเบี้ยประกันภัยทั้งหมดสำหรับการหักลดหย่อนส่วนบุคคลที่ 20,000 เป็น 480 และ 784 ตามลำดับ โดยใช้ 10,000 เป็นหน่วย ดังนั้น =28.

ใช้สูตร (5.2) ให้

ซึ่งเป็นผลรวมของ 4140 ในหน่วยเดิม

ในทางปฏิบัติ มักจะจำเป็นต้องหากฎการแจกแจงสำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่ม

ให้มีระบบ (X ข x 2)สองต่อเนื่อง s ใน. และผลรวมของพวกเขา

ให้เราหาความหนาแน่นของการกระจาย c ใน. U. ตามวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของย่อหน้าก่อนหน้า เราจะพบพื้นที่ของระนาบโดยที่ x + x 2 (รูปที่ 9.4.1):

การแยกความแตกต่างของนิพจน์นี้เทียบกับ y เราได้รับ ap ตัวแปรสุ่ม Y \u003d X + X 2:

เนื่องจากฟังก์ชัน φ (x b x 2) = Xj + x 2 มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น

ถ้าด้วย. ใน. Xและ X 2 เป็นอิสระ จากนั้นสูตร (9.4.2) และ (9.4.3) จะอยู่ในรูปแบบ:

ในกรณีที่เป็นอิสระค. ใน. x xและ X2,พูดถึงองค์ประกอบของกฎหมายการจำหน่าย ผลิต องค์ประกอบกฎหมายการจำหน่ายสองฉบับ - นี่หมายถึงการค้นหากฎหมายการจำหน่ายสำหรับผลรวมของคอิสระสองตัว ค. เผยแพร่ตามกฎหมายเหล่านี้ สัญกรณ์สัญลักษณ์ใช้เพื่อกำหนดองค์ประกอบของกฎหมายการจำหน่าย

ซึ่งกำหนดโดยสูตร (9.4.4) หรือ (9.4.5)

ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาการทำงานของอุปกรณ์ทางเทคนิคสองตัว (TD) ขั้นแรก TU จะทำงานหลังจากความล้มเหลว (ความล้มเหลว) รวมอยู่ในการทำงานของ TU 2 เวลาทำงาน TU TU TU 2 - x xและ X 2 - เป็นอิสระและกระจายตามกฎเลขชี้กำลังด้วยพารามิเตอร์ A,1 และ X2 .ดังนั้นเวลา Yการทำงานที่ปราศจากปัญหาของ TU ซึ่งประกอบด้วย TU! และ TU 2 จะถูกกำหนดโดยสูตร

จำเป็นต้องหาพีอาร์ ตัวแปรสุ่ม ใช่กล่าวคือ องค์ประกอบของกฎเลขชี้กำลังสองกฎที่มีพารามิเตอร์และ X2 .

การตัดสินใจ. ตามสูตร (9.4.4) เราจะได้ (y > 0)

หากมีองค์ประกอบของกฎเลขชี้กำลังสองกฎที่มีพารามิเตอร์เหมือนกัน (?c = X 2 = Y) จากนั้นในนิพจน์ (9.4.8) จะได้รับความไม่แน่นอนของประเภท 0/0 ขยายซึ่งเราได้รับ:

เมื่อเปรียบเทียบนิพจน์นี้กับนิพจน์ (6.4.8) เราเชื่อว่าองค์ประกอบของกฎเลขชี้กำลังที่เหมือนกันสองกฎ (?c = X 2 = x)เป็นกฎ Erlang ลำดับที่สอง (9.4.9) เมื่อเขียนกฎเลขชี้กำลังสองตัวที่มีพารามิเตอร์ต่างกัน x xและ A-2 รับ กฎหมาย Erlang ทั่วไปอันดับสอง (9.4.8). ?

ปัญหาที่ 1 กฎการกระจายผลต่างของสองวิ ใน. ระบบด้วย. ใน. (X และ X 2)มีข้อต่อ r.p./(x x x 2) หาพีอาร์ ความแตกต่างของพวกเขา Y=X - X2 .

การตัดสินใจ. สำหรับระบบกับ ใน. (X ข - X 2)ฯลฯ จะเป็น / (x b - x 2),นั่นคือเราแทนที่ส่วนต่างด้วยผลรวม ดังนั้น a.r. ตัวแปรสุ่ม U จะมีรูปแบบ (ดู (9.4.2), (9.4.3)):

ถ้า กับ. ใน. X x iX 2 อิสระ แล้ว

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา f.r. ผลต่างของการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลอิสระสองตัว ใน. ด้วยพารามิเตอร์ x xและ X2 .

การตัดสินใจ. ตามสูตร (9.4.11) เราจะได้

ข้าว. 9.4.2 ข้าว. 9.4.3

รูปที่ 9.4.2 แสดงหน้า g(ย). หากเราพิจารณาผลต่างของการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลอิสระสองตัว ใน. ด้วยพารามิเตอร์เดียวกัน (AI= X 2 = แต่,),แล้ว g(y) \u003d / 2 - คุ้นเคยแล้ว

กฎของลาปลาซ (รูปที่ 9.4.3) ?

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหากฎหมายการจำหน่ายสำหรับผลรวมของคอิสระสองตัว ใน. Xและ X2,กระจายตามกฎหมายปัวซองพร้อมพารามิเตอร์ xและ 2 .

การตัดสินใจ. หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (X x + X 2 = เสื้อ) (t = 0, 1,

ดังนั้น ส. ใน. Y= X x + X 2 กระจายตามกฎปัวซองด้วยพารามิเตอร์ ก x2) - ก x + ก 2 ?

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหากฎหมายการจำหน่ายสำหรับผลรวมของคอิสระสองตัว ใน. x xและ X2,กระจายตามกฎทวินามพร้อมพารามิเตอร์ พี x ริ พี 2 , พีตามลำดับ

การตัดสินใจ. จินตนาการด้วย ใน. x xเช่น:

ที่ไหน X 1) -ตัวบ่งชี้เหตุการณ์ แต่ประสบการณ์ที่หวู่:

ช่วงการจำหน่ายด้วย ใน. X,- มีรูปแบบ

เราจะทำการแสดงที่คล้ายกันสำหรับ s ใน. X 2:โดยที่ X] 2) - ตัวบ่งชี้เหตุการณ์ แต่ในประสบการณ์ที่ y"-th:

เพราะฉะนั้น,

X อยู่ที่ไหน 1)+(2) ถ้าตัวบ่งชี้เหตุการณ์ แต่:

ดังนั้นเราจึงแสดงให้เห็นว่า ใน. จำนวนพ่อตา (ยู + น 2)ตัวชี้วัดเหตุการณ์ แต่ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น ใน. ^กระจายตามกฎทวินามพร้อมพารามิเตอร์ ( น x + น 2), น.

สังเกตว่าถ้าความน่าจะเป็น Rในชุดการทดลองที่แตกต่างกันนั้นแตกต่างกันจากนั้นเป็นผลมาจากการเพิ่ม s อิสระสองตัว ค. กระจายตามกฎทวินาม ปรากฎว่า ค. ค. แจกจ่ายไม่เป็นไปตามกฎทวินาม ?

ตัวอย่างที่ 3 และ 4 สามารถสรุปได้ง่าย ๆ เป็นจำนวนพจน์ตามอำเภอใจ เมื่อเขียนกฎของปัวซองด้วยพารามิเตอร์ เอ บี 2 , ..., ที่กฎของปัวซองได้มาอีกครั้งด้วยพารามิเตอร์ a (t) \u003d a x + a 2 + ... + และที

เมื่อเขียนกฎทวินามด้วยพารามิเตอร์ (น ร); (ผม 2 , ร) , (น ที พี)อีกครั้งเราได้รับกฎทวินามพร้อมพารามิเตอร์ (“(“), ร),ที่ไหน n (t) \u003d u + n 2 + ... + ฯลฯ

เราได้พิสูจน์คุณสมบัติที่สำคัญของกฎปัวซองและกฎทวินาม นั่นคือ "สมบัติความเสถียร" กฎหมายว่าด้วยการกระจายสินค้าเรียกว่า อย่างยั่งยืน,หากองค์ประกอบของกฎหมายสองฉบับที่เป็นประเภทเดียวกันส่งผลให้เกิดกฎหมายประเภทเดียวกัน (เฉพาะพารามิเตอร์ของกฎหมายนี้ต่างกันเท่านั้น) ในหัวข้อย่อย 9.7 เราจะแสดงให้เห็นว่ากฎปกติมีคุณสมบัติเสถียรภาพเหมือนกัน

THEME 3
	แนวคิดของฟังก์ชันการกระจาย
	ความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์
	การกระจายเครื่องแบบ (สี่เหลี่ยม)
	การแจกแจงแบบปกติ (เกาส์เซียน)
	การกระจาย
	t- การกระจายตัวของนักเรียน
	F- การกระจาย
	การกระจายผลรวมของตัวแปรอิสระสุ่มสองตัว
	ตัวอย่าง: การแจกแจงผลรวมของสองอิสระ ปริมาณกระจายสม่ำเสมอ
	การแปลงตัวแปรสุ่ม
	ตัวอย่าง: การกระจายของคลื่นฮาร์มอนิก ด้วยเฟสสุ่ม
	ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง
	โมเมนต์ของตัวแปรสุ่มและคุณสมบัติของมัน
วัตถุประสงค์ของวัฏจักร บรรยาย:		รายงานข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับฟังก์ชันการกระจายที่สำคัญที่สุดและคุณสมบัติของพวกเขา

ฟังก์ชั่นการกระจาย

ปล่อยให้เป็น x(k)เป็นตัวแปรสุ่มบางตัว จากนั้นสำหรับค่าคงที่ใดๆ x เหตุการณ์สุ่ม x(k) xถูกกำหนดให้เป็นชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด kดังนั้น x(k) x. ในแง่ของการวัดความน่าจะเป็นเดิมที่ให้ไว้บนพื้นที่ตัวอย่าง ฟังก์ชันการกระจายพี(x)กำหนดเป็นความน่าจะเป็นที่กำหนดให้กับชุดของคะแนน k x(k) x. สังเกตว่าชุดของคะแนน kสนองความไม่เท่าเทียมกัน x(k) xเป็นสับเซตของเซตของจุดที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน x(k) . อย่างเป็นทางการ

เห็นได้ชัดว่า

หากช่วงของค่าของตัวแปรสุ่มเป็นแบบต่อเนื่องซึ่งถือว่าด้านล่าง ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น(หนึ่งมิติ) พี(x)ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์

(4)

เพราะฉะนั้น,

(6)

เพื่อให้สามารถพิจารณากรณีที่ไม่ต่อเนื่องได้ จำเป็นต้องยอมรับการมีอยู่ของฟังก์ชันเดลต้าในองค์ประกอบของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

มูลค่าที่คาดหวัง

ให้ตัวแปรสุ่ม x(k)รับค่าจากช่วงตั้งแต่ -  ถึง +  หมายถึง(มิฉะนั้น, มูลค่าที่คาดหวังหรือ มูลค่าที่คาดหวัง) x(k)คำนวณโดยใช้ขั้นตอนที่สอดคล้องกันถึงขีด จำกัด ของผลรวมของค่า x(k)เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ที่เกิดขึ้น:

(8)

ที่ไหน อี- การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของนิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยมโดย index k. การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าเดียวจริงถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน g(x)จากตัวแปรสุ่ม x(k)

(9)

ที่ไหน พี(x)- ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม x(k).โดยเฉพาะการทาน ก.(x)=x,เราได้รับ ค่าเฉลี่ยกำลังสอง x(k) :

(10)

การกระจายตัวx(k)กำหนดเป็นกำลังสองเฉลี่ยของความแตกต่าง x(k)และมูลค่าเฉลี่ย

กล่าวคือในกรณีนี้ ก.(x)= และ

เอ-ไพรเออรี่, ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวแปรสุ่ม x(k),หมายถึง , คือค่าบวกของรากที่สองของความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานวัดในหน่วยเดียวกับค่าเฉลี่ย

ฟังก์ชันการกระจายที่สำคัญที่สุด

ชุดเครื่องแบบ (สี่เหลี่ยม) จำหน่าย

สมมติว่าการทดลองประกอบด้วยการเลือกจุดแบบสุ่มจากช่วง [ a,b] รวมถึงจุดปลายด้วย ในตัวอย่างนี้ เป็นค่าของตัวแปรสุ่ม x(k)คุณสามารถใช้ค่าตัวเลขของจุดที่เลือกได้ ฟังก์ชันการกระจายที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ

ดังนั้นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจึงถูกกำหนดโดยสูตร

ในตัวอย่างนี้ การคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนโดยใช้สูตร (9) และ (11) ให้

การกระจายปกติ (GAUSSIAN)

, - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต, - RMS

ค่าของ z ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็น P(z)=1- นั่นคือ

CHI - การกระจายสแควร์

ปล่อยให้เป็น - ตัวแปรสุ่มอิสระ n ตัว ซึ่งแต่ละตัวมีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนของหน่วย

ตัวแปรสุ่มไคสแควร์ที่มีองศาอิสระ n

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

DF: 100 - คะแนนร้อยละ - การแจกแจงแสดงโดย , i.e.

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากัน

t - การกระจายนักเรียน

y, z เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ y - มี - การแจกแจง, z - การกระจายตามปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนของหน่วย

ค่า - has t- การกระจายของนักเรียนด้วย n องศาอิสระ

DF: 100 - จุดเปอร์เซ็นต์ t - มีการระบุการแจกแจง

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากัน

F - การกระจาย

ตัวแปรสุ่มอิสระ มี - การกระจายด้วยองศาอิสระ การกระจายด้วยองศาอิสระ ค่าสุ่ม:

,

F คือตัวแปรสุ่มแบบกระจายที่มีและองศาอิสระ

,

DF: 100 - จุดเปอร์เซ็นต์:

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากัน:

การกระจายจำนวนเงิน

สองตัวแปรสุ่ม

ปล่อยให้เป็น x(k)และ y(k)เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นร่วม พี(x,y).หาความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่ม

ที่คงที่ xเรามี y=z–x.ดังนั้น

ที่คงที่ zค่า xรันช่วงเวลาจาก – ถึง + ดังนั้น

(37)

จากที่จะเห็นได้ว่าในการคำนวณความหนาแน่นที่ต้องการของผลรวม เราต้องทราบความหนาแน่นของความน่าจะเป็นร่วมเดิม ถ้า x(k)และ y(k)เป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีความหนาแน่นและตามลำดับ จากนั้น และ

(38)

ตัวอย่าง:ผลรวมของสองตัวแปรสุ่มที่แจกจ่ายอย่างอิสระและสม่ำเสมอ

ให้ตัวแปรอิสระสุ่มสองตัวมีความหนาแน่นของรูปแบบ

ในกรณีอื่นๆ ให้เราหาความหนาแน่นของความน่าจะเป็น p(z) ของผลรวม z= x+ y

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น สำหรับ เช่นสำหรับ เพราะฉะนั้น, xน้อยกว่า z. นอกจากนี้ไม่เท่ากับศูนย์สำหรับ โดยสูตร (38) เราพบว่า

ภาพประกอบ:

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มที่กระจายอย่างสม่ำเสมอและเป็นอิสระสองตัว

การแปลงแบบสุ่ม

ค่านิยม

ปล่อยให้เป็น x(ท)- ตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(x),ปล่อยมันไป กรัม(x)เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องจริงที่มีค่าเดียวของ x. พิจารณากรณีแรกเมื่อฟังก์ชันผกผัน x(ก.)ยังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าเดียวของ กรัมความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(ก.),สอดคล้องกับตัวแปรสุ่ม ก.(x(k)) = ก.(k),สามารถหาได้จากความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(x)ตัวแปรสุ่ม x(k)และอนุพันธ์ dg/dxภายใต้สมมติฐานว่าอนุพันธ์มีอยู่แล้วและแตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ

(12)

ดังนั้นในขอบเขต dg/dx#0

(13)

ใช้สูตรนี้ตามทางด้านขวาแทนตัวแปร xแทนค่าที่เหมาะสม g.

พิจารณากรณีที่ฟังก์ชันผกผัน x(ก.)ถูกต้อง นฟังก์ชันมูลค่าของ g, ที่ไหน นเป็นจำนวนเต็มและค่า n ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน แล้ว

(14)

ตัวอย่าง:

การกระจายฟังก์ชันฮาร์โมนิก

ฟังก์ชันฮาร์มอนิกที่มีแอมพลิจูดคงที่ Xและความถี่ ฉจะเป็นตัวแปรสุ่มถ้ามุมเฟสเริ่มต้นของมัน  =  (k)- ค่าสุ่ม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้ tคงที่และเท่าเทียมกัน t oและให้ตัวแปรสุ่มฮาร์มอนิกมีรูปแบบ

มาแสร้งทำเป็นว่า  (k)มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสม่ำเสมอ พี( ) ใจดี

หาความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(x)ตัวแปรสุ่ม x(k).

ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันโดยตรง x( ) อย่างชัดเจนและฟังก์ชันผกผัน  (x)คลุมเครือ

ให้เราใช้วิธีทั่วไปข้างต้นในการแก้ปัญหาหนึ่งข้อ นั่นคือ หากฎการแจกแจงสำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว มีระบบของตัวแปรสุ่มสองตัว (X,Y) ที่มีความหนาแน่นของการกระจาย f(x,y) พิจารณาผลรวมของตัวแปรสุ่ม X และ Y: และหากฎการกระจายของค่า Z ในการทำเช่นนี้ เราสร้างเส้นบนระนาบ xOy ซึ่งสมการคือ (รูปที่ 7) นี่คือเส้นตรงที่ตัดส่วนที่เท่ากับ z บนแกนออก เส้นตรงแบ่งระนาบ xy ออกเป็นสองส่วน ไปทางขวาและเหนือมัน ซ้ายและด้านล่าง

ภูมิภาค D ในกรณีนี้คือส่วนล่างซ้ายของระนาบ xOy แรเงาในรูปที่ 7. ตามสูตร (16) เรามี:

การแยกความแตกต่างนิพจน์นี้เทียบกับตัวแปร z ที่รวมอยู่ในขีดจำกัดบนของอินทิกรัลด้านใน เราได้รับ:

นี่คือสูตรทั่วไปสำหรับความหนาแน่นของการแจกแจงของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว

สำหรับเหตุผลสมมาตรของปัญหาที่เกี่ยวกับ X และ Y เราสามารถเขียนสูตรเดียวกันอีกเวอร์ชันหนึ่งได้:

ซึ่งเทียบเท่ากับตัวแรกและใช้แทนกันได้

ตัวอย่างองค์ประกอบของกฎปกติ พิจารณาสองตัวแปรสุ่มอิสระ X และ Y ภายใต้กฎปกติ:

จำเป็นต้องสร้างองค์ประกอบของกฎหมายเหล่านี้ นั่นคือ เพื่อค้นหากฎการกระจายของปริมาณ:

เราใช้สูตรทั่วไปสำหรับองค์ประกอบของกฎหมายการจำหน่าย:

หากเราเปิดวงเล็บในเลขชี้กำลังของอินทิกรัลและนำพจน์ที่เหมือนกันมา เราจะได้:

แทนนิพจน์เหล่านี้ลงในสูตรที่เราได้พบแล้ว

หลังจากการแปลงเราได้รับ:

และนี่เป็นเพียงกฎธรรมดาที่มีศูนย์กลางการกระจายตัว

และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ข้อสรุปเดียวกันนี้สามารถบรรลุได้ง่ายกว่ามากโดยใช้การให้เหตุผลเชิงคุณภาพต่อไปนี้

โดยไม่ต้องเปิดวงเล็บและไม่มีการแปลงในอินทิกรัล (17) เราสรุปได้ทันทีว่าเลขชี้กำลังเป็นไตรนามกำลังสองเทียบกับ x ของแบบฟอร์ม

โดยที่ค่าของ z ไม่รวมอยู่ในสัมประสิทธิ์ A เลย ค่าสัมประสิทธิ์ B จะรวมอยู่ในดีกรีแรก และค่าสัมประสิทธิ์ C จะถูกยกกำลังสอง ด้วยความคิดนี้และการใช้สูตร (18) เราจึงสรุปได้ว่า g(z) เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นไตรนามกำลังสองเทียบกับ z และความหนาแน่นของการแจกแจง ประเภทนี้สอดคล้องกับกฎปกติ ดังนั้นเราจึง; เราได้ข้อสรุปเชิงคุณภาพอย่างหมดจด: กฎการกระจายตัวของ z ต้องเป็นปกติ ในการหาค่าพารามิเตอร์ของกฎข้อนี้ - และ - เราใช้ทฤษฎีบทของการเพิ่มความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีบทของการบวกความแปรปรวน โดยการเพิ่มทฤษฎีบทของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ โดยทฤษฎีบทการบวกการกระจายตัวหรือสูตรที่ (20) ดังต่อไปนี้

เราจะได้รับ:

ดังนั้น เราจึงได้มาถึงกฎต่อไปนี้: เมื่อกฎปกติประกอบขึ้น กฎปกติจะได้รับอีกครั้ง และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวน (หรือค่าเบี่ยงเบนที่น่าจะเป็นกำลังสอง) จะถูกสรุป

กฎองค์ประกอบสำหรับกฎปกติสามารถสรุปได้ในกรณีของตัวแปรสุ่มอิสระจำนวนหนึ่ง

หากมีตัวแปรสุ่มอิสระ n ตัว: อยู่ภายใต้กฎปกติที่มีจุดศูนย์กลางการกระจายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่านั้นก็จะอยู่ภายใต้กฎปกติพร้อมพารามิเตอร์

แทนที่จะใช้สูตร (22) สามารถใช้สูตรที่เทียบเท่าได้:

หากระบบของตัวแปรสุ่ม (X, Y) มีการกระจายตามกฎปกติ แต่ปริมาณ X, Y นั้นขึ้นอยู่กับปริมาณ ดังนั้นพิสูจน์ได้ง่ายเหมือนเมื่อก่อน โดยอิงตามสูตรทั่วไป (6.3.1) ว่ากฎการกระจายของปริมาณก็เป็นกฎปกติด้วย จุดศูนย์กลางกระเจิงยังคงถูกเพิ่มในทางพีชคณิต แต่สำหรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน กฎจะซับซ้อนมากขึ้น โดยที่ r คือสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของค่า X และ Y

เมื่อเพิ่มตัวแปรสุ่มตามหลายตัวที่ผลรวมเป็นไปตามกฎปกติ กฎการแจกแจงของผลรวมจะกลายเป็นปกติด้วยพารามิเตอร์

หรือความคลาดเคลื่อนที่เป็นไปได้

โดยที่สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของปริมาณ X ผม , X j และผลบวกขยายไปถึงชุดค่าผสมแบบคู่ที่แตกต่างกันทั้งหมด

เราได้เห็นคุณสมบัติที่สำคัญมากของกฎปกติ: เมื่อรวมกฎปกติเข้าด้วยกัน กฎธรรมดาจะได้รับอีกครั้ง นี่คือสิ่งที่เรียกว่า "คุณสมบัติความเสถียร" กล่าวกันว่ากฎหมายการจำหน่ายจะมีเสถียรภาพหากได้กฎประเภทเดียวกันสองฉบับโดยประกอบขึ้นเป็นสองกฎ เราได้แสดงให้เห็นข้างต้นแล้วว่ากฎปกติมีเสถียรภาพ กฎหมายการจำหน่ายน้อยมากที่มีคุณสมบัติของความมั่นคง กฎความหนาแน่นสม่ำเสมอนั้นไม่เสถียร: เมื่อประกอบกฎความหนาแน่นสม่ำเสมอสองกฎในส่วนที่ 0 ถึง 1 เราได้รับกฎของซิมป์สัน

ความมั่นคงของกฎปกติเป็นเงื่อนไขสำคัญประการหนึ่งสำหรับการนำไปใช้ในวงกว้างในทางปฏิบัติ อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติของความมั่นคงนอกเหนือจากคุณสมบัติปกติยังถูกครอบครองโดยกฎหมายการจำหน่ายอื่นๆ คุณลักษณะของกฎปกติคือ เมื่อมีการประกอบกฎหมายการจำหน่ายตามอำเภอใจในทางปฏิบัติจำนวนมากเพียงพอ กฎหมายทั้งหมดจะกลายเป็นกฎหมายที่ใกล้เคียงกับกฎปกติโดยพลการ ไม่ว่ากฎหมายการจำหน่ายของข้อกำหนดจะเป็นอย่างไร ตัวอย่างนี้สามารถแสดงให้เห็นได้โดยการจัดองค์ประกอบของกฎความหนาแน่นสม่ำเสมอสามข้อในส่วนต่างๆ จาก 0 ถึง 1 กฎการแจกแจงที่เป็นผลลัพธ์ g(z) แสดงในรูปที่ 8. ดังที่เห็นได้จากภาพวาด กราฟของฟังก์ชัน g (z) จะคล้ายกับกราฟของกฎปกติมาก