Algorytm Euklidesa - znajdowanie największego wspólnego dzielnika. Matematyka Podoba mi się algorytm Euklidesa do obliczania największego wspólnego dzielnika

07.07.2020

W przedmowie do swojego pierwszego wydania W królestwie pomysłowości (1908) E. I. Ignatiev pisze: Wyniki są wiarygodne tylko wtedy, gdy wprowadzenie w dziedzinę wiedzy matematycznej dokonuje się w sposób łatwy i przyjemny, na przedmiotach i przykładach codziennych i codziennych sytuacji, dobranych z należytym dowcipem i rozbawieniem.

W przedmowie do wydania „Rola pamięci w matematyce” z 1911 r. E.I. Ignatiev pisze „… w matematyce należy pamiętać nie o formułach, ale o procesie myślenia”.

Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy, istnieją tabele kwadratów dla liczb dwucyfrowych, możesz rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze i wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z produktu. Tabela kwadratów to za mało, wyciągnięcie pierwiastka przez faktoring to czasochłonne zadanie, które również nie zawsze prowadzi do pożądanego rezultatu. Spróbuj wydobyć pierwiastek kwadratowy z liczby 209764? Rozkład na czynniki pierwsze daje iloczyn 2 * 2 * 52441. Metodą prób i błędów wybór - to oczywiście można zrobić, jeśli masz pewność, że jest to liczba całkowita. Sposób, który chcę zasugerować, pozwala w każdym przypadku wyciągnąć pierwiastek kwadratowy.

Kiedyś w instytucie (Państwowy Instytut Pedagogiczny w Permie) zostaliśmy zapoznani z tą metodą, o której teraz chcę opowiedzieć. Nigdy nie myślałem o tym, czy ta metoda ma dowód, więc teraz musiałem sam wydedukować jakiś dowód.

Podstawą tej metody jest kompozycja liczby =.

=&, czyli &2=596334.

1. Podziel numer (5963364) na pary od prawej do lewej (5`96`33`64)

2. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z pierwszej grupy po lewej ( - numer 2). Otrzymujemy więc pierwszą cyfrę liczby &.

3. Znajdź kwadrat pierwszej cyfry (2 2 \u003d 4).

4. Znajdź różnicę między pierwszą grupą a kwadratem pierwszej cyfry (5-4=1).

5. Niszczymy kolejne dwie cyfry (otrzymaliśmy liczbę 196).

6. Podwajamy pierwszą znalezioną liczbę, zapisujemy ją po lewej stronie za linią (2*2=4).

7. Teraz musisz znaleźć drugą cyfrę liczby &: podwojona pierwsza cyfra, którą znaleźliśmy, staje się cyfrą dziesiątek liczby, po pomnożeniu przez liczbę jednostek musisz uzyskać liczbę mniejszą niż 196 ( to jest liczba 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 to druga cyfra &.

8. Znajdź różnicę (196-176=20).

9. Rozbieramy kolejną grupę (otrzymujemy numer 2033).

10. Podwój liczbę 24, otrzymujemy 48.

11,48 dziesiątek w liczbie, po pomnożeniu przez liczbę jednostek, powinniśmy otrzymać liczbę mniejszą niż 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Znaleziona przez nas cyfra jednostek (4) jest trzecią cyfrą liczby &.

Dowód podaję dla przypadków:

1. Wyodrębnienie pierwiastka kwadratowego z liczby trzycyfrowej;

2. Wyodrębnienie pierwiastka kwadratowego z liczby czterocyfrowej.

Przybliżone metody wyciągania pierwiastka kwadratowego (bez użycia kalkulatora).

1. Starożytni Babilończycy używali następującej metody, aby znaleźć przybliżoną wartość pierwiastka kwadratowego ich liczby x. Reprezentowali liczbę x jako sumę a 2 + b, gdzie a 2 jest najbliższe x dokładnemu kwadratowi liczby naturalnej a (a 2 ? x) i użyli wzoru . (1)

Korzystając ze wzoru (1), wyciągamy pierwiastek kwadratowy, na przykład z liczby 28:

Wynik ekstrakcji korzenia 28 przy użyciu MK 5.2915026.

Jak widać, metoda babilońska daje dobre przybliżenie dokładnej wartości korzenia.

2. Izaak Newton opracował metodę pierwiastka kwadratowego, która sięga czasów Herona z Aleksandrii (ok. 100 ne). Ta metoda (znana jako metoda Newtona) jest następująca.

Zostawiać 1- pierwsze przybliżenie liczby (jako 1 można przyjąć wartości pierwiastka kwadratowego z liczby naturalnej - dokładny kwadrat, który nie przekracza X) .

Następne, dokładniejsze przybliżenie 2 liczby znaleziony przez formułę .

Rozmiar: piks

Rozpocznij wyświetlanie od strony:

transkrypcja

1 WYKŁAD 2 OBLICZANIE WIELKIEGO WSPÓLNEGO PODZIAŁU Algorytm Euklidesa Podczas pracy z dużymi liczbami złożonymi ich rozkład na czynniki pierwsze jest zwykle nieznany. Jednak dla wielu stosowanych problemów teorii liczb poszukiwanie rozkładu liczby na czynniki jest ważnym, często napotykanym problemem praktycznym. W teorii liczb istnieje stosunkowo szybki sposób obliczania gcd dwóch liczb, który nazywa się algorytmem Euklidesa. Algorytm 1. Algorytm Euklidesa. Wejście. Liczby a, b; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0, algorytm Euklidesa zatrzymuje się, a liczba d, którą tworzy, jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b. Dowód . Z twierdzenia o dzieleniu z resztą, dla dowolnego i 1 mamy r i 1 = q i r i + r i+1, gdzie 0 r i+1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0 ograniczony od dołu. Taki ciąg nie może być nieskończony, dlatego algorytm Euklidesa zatrzymuje się. Algorytm binarny Euklidesa Algorytm binarny Euklidesa GCD okazuje się szybszy przy implementacji tego

2 algorytmy na komputerze, ponieważ wykorzystuje binarną reprezentację liczb a i b. Binarny algorytm Euclid opiera się na następujących właściwościach największego wspólnego dzielnika (zakładamy, że 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b, następnie nwd(a, b) = nwd(a b, b); 4) jeśli a = b, to gcd(a, b) = a. Algorytm 2. Binarny algorytm Euklidesa. Wejście. Liczby a, b; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >b. Wtedy są liczby całkowite x i y takie, że d = ax + by. Innymi słowy, gcd dwóch liczb można przedstawić w

3 jako liniowa kombinacja tych liczb ze współczynnikami całkowitymi. Algorytm 3. Schemat rozszerzonego algorytmu Euklidesa. 1. Określ = 1, = 0, = 0, = 1, α = a, β = b. 2. Niech liczba q będzie ilorazem liczby a podzielonej przez liczbę b, a liczba r będzie resztą z dzielenia tych liczb (tzn. a = qb + r). a = b; b = r; t = ; //t = x i-1 ; = tq; // = x i dla prawej strony = x i+1 dla prawej strony; //t = y i-1 ; = tq; 5. Wróć do kroku Określ x = x 0, y = y 0, d = αx + βy. Wariant rozszerzonego algorytmu Euclid Log. Liczby a, b; 0< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,

4 obliczonych przez algorytm, pokazuje następujące twierdzenie. Twierdzenie 4. W każdej iteracji Algorytmu 3 spełniona jest równość ax i + przez i = r i, dla i 0. Dowód. Wykorzystajmy metodę indukcji matematycznej. Dla i = 0 oraz i = 1 wymagana równość jest zachowana zgodnie z krokiem 1 algorytmu 3. Załóżmy, że jest to prawdziwe dla i 1 oraz dla i. Następnie w kroku 3 otrzymujemy x i+1 = x i 1 x i oraz y i+1 = y i 1 y i. Dlatego ax i+1 + o i+1 = a(x i 1 x i) + b(y i 1 y i,) = ax i 1 + o i 1 (ax i + o i) = r i 1 r i = r i+1 . Przykład. Mając a = 1769, b = 551. Używając rozszerzonego algorytmu euklidesowego, znajdź liczby całkowite x i y takie, że d = ax + by, gdzie d gcd liczb a i b. I etap sekwencji obliczeń. 1. Wyznacz = 1, = 0, = 0, = 1, α = 1769, β = Iloraz q = a / b = 1769/551 = 3, a reszta z dzielenia r = 116. a = 551; b = 116; t = =0: = tq = 1 0 = 1 = 0; = tq = 3; następujące wartości pośrednie

5 parametrów: a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Ponieważ pozostała część dzielenia wynosi r 0, wracamy do kroku 2. Etap II sekwencji obliczeń. 1. Wartość parametru: a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Iloraz q = a/b = 551/116 = 4, a reszta r = 87. a = 116; b = 87; t == 0; =1: = tq = = 4 = 3; = tq = 1 (3) 4 = 13; następujące pośrednie wartości parametrów: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Ponieważ pozostała część dzielenia wynosi r 0, wracamy do kroku 2. Etap III sekwencji obliczeń . 1. Wartość parametrów: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Iloraz q = a/b = 116/87 = 1, a reszta r = 29.

6a = 87; b = 29; t = = 4: = tq = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = tq = 3 (13) 1 = 16; następujące pośrednie wartości parametrów: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Ponieważ pozostała część dzielenia to r 0, wracamy do kroku 2. Etap IV sekwencji obliczeniowej . 1. Wartość parametru: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Iloraz q = a/b = 87/29 = 3, a reszta r = 0. a = 87; b = 29; t == 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = tq = 13 (16) 3 = 61; następujące pośrednie wartości parametrów: a= 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = Ponieważ reszta z dzielenia to r = 0, wykonujemy krok 6.

7 6. Oblicz GCD ze wzoru d = αx + βy, gdzie x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, α= 1769, β = 551. Podstawiając wartości parametrów otrzymujemy d = αx + βy = = = 29 Rozszerzony algorytm Euclid może być również zaimplementowany w postaci binarnej. Algorytm 4. Rozszerzony binarny algorytm Euklidesa. Wejście. Liczby a, b; 0< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.

Rozwiązywanie równań w liczbach całkowitych Równania liniowe. Metoda bezpośredniego wyliczenia Przykład. Króliki i bażanty siedzą w klatce. Łącznie mają 8 nóg. Dowiedz się, ile z tych i innych jest w celi. Wymień wszystkie rozwiązania. Decyzja.

Lekcja 7 Liczba d jest nazywana największym wspólnym dzielnikiem (NWD) liczb aib, jeśli (1) d a i db, a także (2) dla wszystkich x od x a i x b wynika z x d. W tym przypadku piszemy d = (a, b). Lemat 1. Dla dowolnych liczb

Podmiot. Podstawy elementarnej teorii liczb i zastosowań - Materiał teoretyczny. Zbiór reszt modulo, własności kongruencji. Niech będzie liczbą naturalną większą niż . Przez Z oznaczamy zbiór wszystkich klas

Liceum Fizyki i Matematyki Ugra VP Czuwakow PODSTAWY TEORII CYFR Notatki do wykładu (0)(mod) (0)(mod) Liczby naturalne N, - zbiór liczb naturalnych służący do liczenia lub liczenia

Rozdział 2 Liczby całkowite, wymierne i rzeczywiste 2.. Liczby całkowite Liczby 2, 3,... nazywamy naturalnymi. Zbiór wszystkich liczb naturalnych jest oznaczony przez N, tj. N = (,2,3,...). Liczby..., 3, 2,0,2,3,...

Ułamki łańcuchowe Ułamki łańcuchowe Definicja Wyrażenie w postaci a 0 + a + a + + a m gdzie a 0 Z a a m N a m N/() jest nazywane ułamkiem łańcuchowym a m jest długością ułamka łańcuchowego a 0 a a m będzie nazwane współczynnikami ułamka łańcuchowego

WYKŁAD 1 NIEKTÓRE ELEMENTY TEORII CYFR

Gorbaczow NIE Wielomiany w jednej zmiennej Rozwiązywanie równań stopnia Pojęcie wielomianu Działania arytmetyczne na wielomianach Dep Wielomian (wielomian) stopnia-tego względem zmiennej

Podzielność liczb całkowitych Liczba a jest podzielna przez liczbę b (lub b dzieli a), jeśli istnieje taka liczba c, że a = bc W tym przypadku liczba c nazywana jest ilorazem dzielenia a przez b Zapis: a - a jest podzielna przez b lub bab dzieli

WYKŁAD 12 PORÓWNANIA DRUGIEGO STOPNIA NA PROSTYCH RESZTACH MODUŁOWYCH I KWADRATOWYCH Ogólna postać porównania modulo p drugiego stopnia ma postać (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p. Znalezienie rozwiązania porównawczego (1)

Instrukcje, rozwiązania, odpowiedzi RÓWNANIA W CAŁKOWITYCH. Równanie z jedną niewiadomą Rozwiązanie. Umieśćmy to w równaniu. Otrzymujemy równość (4a b 4) (a b 8) 0. Równość A B 0, gdzie A i B są liczbami całkowitymi, jest spełniona,

Wielomiany algebraiczne. 1 Wielomiany algebraiczne stopnia n nad ciałem K Definicja 1.1 Wielomian stopnia n, n N (0), w zmiennej z nad ciałem liczbowym K jest wyrażeniem postaci: fz = a n z n

Wykład Reszty kwadratowe i nie pozostałości Wykładowca: Nyu Zolotykh Nagrane przez: E Zamaraeva?? wrzesień 00 Spis treści Reszty kwadratowe i niereszty Symbol Legendre'a Właściwości symbolu Legendre'a Kwadratowe prawo wzajemności

Państwowa Instytucja Oświatowa z internatem "Intelektualne" liczby naturalne jako kombinacja liniowa ze współczynnikami całkowitymi"

Analiza matematyczna Sekcja: Całka nieoznaczona Temat: Całkowanie ułamków wymiernych Prowadzący Pakhovova E.G. 0 5. Całkowanie ułamków wymiernych DEFINICJA. Ułamek wymierny nazywa się

4 Teoria liczb 4 Liczby całkowite 7 Definicja Niech, b Z Następnie dzieli b, jeśli istnieje liczba całkowita taka, że b (oznaczone przez b) 73 Twierdzenie (dzielenie z resztą) Jeśli, b Z i b, to są takie liczby całkowite

Analiza matematyczna Sekcja: Całka nieoznaczona Temat: Całkowanie ułamków wymiernych Wykładowca Rozhkova S.V. 0 5. Całkowanie ułamków wymiernych DEFINICJA. Ułamek wymierny nazywa się

009-00 konto rok. 6, 9 komórek. Matematyka. Elementy teorii liczb. 4. Obliczanie największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności Zachowajmy zapis z akapitu. Dla liczby naturalnej n notacja n

ALGEBRA STOSOWANA. Część I: Pola skończone (pola Galois). I 1 / 67 Część I Pola skończone (pola Galois). ZASTOSOWAŁEM ALGEBRĘ. Część I: Pola skończone (pola Galois). I 2 / 67 Pola resztowe modulo prime

5 Rozwiązywanie równań w liczbach całkowitych Przy rozwiązywaniu nawet tak prostych równań, jak równanie liniowe z jedną niewiadomą, istnieją pewne osobliwości, jeśli współczynniki równania są liczbami całkowitymi i jest to wymagane

Praca laboratoryjna 8 Obliczanie największego wspólnego dzielnika dla dwóch liczb za pomocą algorytmu Euklidesa

Sekcja 1. Matematyczne podstawy kryptografii 1 Definicja pola Skończone pole GF q (lub pole Galois) to skończony dowolny zbiór elementów z określonymi między nimi operacjami dodawania i mnożenia

XIX Międzyregionalna Olimpiada Uczniów z Matematyki i Kryptografii Zadania dla Klasy 11 Rozwiązanie Problemu 1 Najpierw zauważamy, że jeśli N = pq, gdzie p i q są liczbami pierwszymi, to liczba liczb naturalnych jest mniejsza niż

Wielomiany i ich pierwiastki 2018 Gushchina Elena Nikolaevna Definicja: Wielomian stopnia n n N jest dowolnym wyrażeniem postaci: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., gdzie a & , a &+, a, a. R, a&

Wykład 4. STANDARDOWE AES. ALGORYTM RIJNDAELA. AES (Advnced Encrypton Stndrd) to nowy standard szyfrowania jednym kluczem, który zastąpił standard DES. Algorytm Rjndela (Rhine-Dal)

Wielomiany i ich pierwiastki Definicja: Wielomian stopnia n (n N) jest dowolnym wyrażeniem postaci: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, gdzie a n, a n 1, a 1, a 0 R, n wiodący współczynnik, a

1 Algorytm Euklidesa i jego złożoność Definicja 1. Wspólnym dzielnikiem liczb aib jest liczba c taka, że c a i c b. Definicja 2. Największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b jest ich wspólny dzielnik,

WYKŁAD 14 Obliczanie pierwiastka kwadratowego modulo złożonego Z powyższej teorii wynika, że jeśli =, gdzie i są liczbami pierwszymi, grupa Z jest izomorficzna z przestrzenią Z Z. Ponieważ izomorfizm zachowuje własności

WYKŁAD 3 OBLICZANIE RODZAJÓW KWADRATOWYCH MODUŁOWY Przypadek prostego modułu Rozważ porównanie x a mod p, () gdzie liczba p jest liczbą pierwszą a liczba całkowita a nie jest podzielna przez p Obliczenie rozwiązania x tego równania jest

Program kolokwium z matematyki dyskretnej (nurt główny) Na początku kolokwium otrzymasz bilet zawierający trzy pytania: pytanie definicyjne, zadanie i pytanie o dowód.

Algorytm Shora Yu Lifshits. 1 grudnia 005 Zarys wykładu 1. Przygotowanie (a) Faktoryzacja liczb (b) Obliczenia kwantowe (c) Emulacja obliczeń klasycznych. Algorytm Simona (a) Równoległość kwantowa

Z historii matematyki Pierwszą dość obszerną książką, w której arytmetykę prezentowano niezależnie od geometrii, było Wprowadzenie do arytmetyki Nicomachusa (okne).

Krótkie wprowadzenie do początków elementarnej teorii liczb Letnia szkoła komputerowa Denisa Kirienko, 1 stycznia 2009 Dzielenie liczb całkowitych Niech zostaną podane dwie liczby całkowite aib, b 0.

Temat 1-9: Wielomiany. Budowa pierścienia wielomianów. Teoria podzielności. Pochodna A. Ya Ovsyannikov Ural Federal University Instytut Matematyki i Informatyki Wydział Algebry i Dyskretnej

Równania algebraiczne, gdzie Definicja. Algebraiczne to równanie postaci 0, P () 0, niektóre liczby rzeczywiste. 0 0 W tym przypadku zmienną nazywamy nieznaną, a liczby 0 nazywamy

Wykład 6 Elementy teorii liczb 1 Problem. Kontynuuj ciąg liczb 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 Arytmetyka liczb całkowitych Używa liczb całkowitych: Z = (, -2 , -1, 0,

Wielomiany Wielomian z jedną zmienną x stopnia n jest wyrażeniem w postaci, w której występują dowolne liczby zwane współczynnikami wielomianu, a wiodący współczynnik wielomianu nazywa się Jeśli zamiast zmiennej

1 2 Spis treści. 1. Wstęp. 4-6 1.1. Streszczenie...4 1.2. Zadanie 4 1.3. Cel pracy 5 1.4. Hipoteza...5 1.5. Przedmiot badań... 5 1.6. Przedmiot badań. 5 1.7. Nowość... 5-6 1.8. Metody badawcze...6

8.3, 8.4.2 klasa Matematyka (podręcznik Makarychev) Rok akademicki 2018-2019 Temat modułu „Liczby całkowite. Podzielność liczb. Stopień ze wskaźnikiem całkowitym „Część teoretyczna i praktyczna sprawdzana jest w teście. TEMAT Wiedzieć

Wykład CAŁKOWANIE Ułamków wymiernych Ułamki wymierne Całkowanie prostych ułamków wymiernych Rozkład ułamka wymiernego na ułamki proste Całkowanie ułamków wymiernych Wymierne

Www.cryptolymp.ru XIX Międzyregionalna Olimpiada Uczniów z Matematyki i Kryptografii (klasa 11) Rozwiązanie problemu 1 Najpierw zauważamy, że jeśli N pq, gdzie p i q są liczbami pierwszymi, to liczba liczb naturalnych,

Rozdział Liczby całkowite Teoria podzielności Liczby całkowite nazywamy liczbami, -3, -, -, 0, 3, te liczby naturalne, 3, 4, a także liczby zerowe i ujemne -, -, -3, -4, Zbiór wszystkich liczb całkowitych jest oznaczony przez

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Uralski Państwowy Uniwersytet Ekonomiczny Yu. 4, ks. i dodatkowe e-mail: [e-mail chroniony],

(przykłady układu trygonometrycznego szeregów trygonometrycznych - rozwinięcie na przedziale [ -l; l ] dla funkcji dowolnego okresu - rozwinięcie szeregu niepełnego w sinusy i cosinusy parzyste i nieparzyste kontynuacje)

Informatyka teoretyczna II Wykład 5. Algorytmy całkowite: rozszerzony algorytm Euklidesa, modulo elementu odwrotnego, modulo potęgowania. Kryptografia klucza publicznego, protokół RSA. probabilistyczny

5. Kody Bose-Chaudhury-Hokvinghama Własności korekcyjne kodów cyklicznych można określić na podstawie dwóch twierdzeń. Twierdzenie 1. Dla dowolnego m i t istnieje kod cykliczny o długości n = 2 m 1, z krotnością

ARYTMETYKA MODUŁOWA W niektórych zastosowaniach wygodnie jest wykonywać operacje arytmetyczne na liczbach całkowitych podanych w tzw. reprezentacji modularnej, która zakłada, że liczba całkowita

WYKORZYSTANIE MATEMATYKI 00 Koryanov A.G. Zadania z Briańska Wyślij komentarze i sugestie do: [e-mail chroniony] RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI W LICZBACH CAŁKOWITYCH (od problemów edukacyjnych do problemów olimpijskich) Liniowe

2.22. Wyjmij wspólny dzielnik (n jest liczbą naturalną) z nawiasów: 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23. Każdy numer został przypisany

WYKŁAD 15 LICZBY PIERWSZE Liczbę naturalną p większą od jedności nazywamy liczbą pierwszą, jeśli jest ona podzielna tylko przez 1 i samą siebie. Twierdzenie (Euklid). Zbiór liczb pierwszych jest nieskończony. Oznacz przez π(x)

Temat 3. Elementy algebraicznej i analitycznej teorii liczb Materiał teoretyczny 1. Ułamki ciągłe. Końcowy ułamek łańcuchowy to wyrażenie a +, (1) gdzie a jest liczbą całkowitą, a, i > 0, liczbami naturalnymi,

Http://vk.ucoz.et/ Działania na wielomianach k a k Wielomian (wielomian) stopnia k jest funkcją postaci a, gdzie zmienna, a są współczynnikami liczbowymi (=,.k) i. Można wziąć pod uwagę dowolną liczbę niezerową

Penza State Pedagogical University im. V. G. Belinsky'ego M. V. Glebova V. F. Timerbulatova

Podzielność liczb całkowitych z resztą Niech m będzie liczbą całkowitą, a n liczbą naturalną

Avdoshin SM, Savelieva A.A. Algorytm rozwiązywania układów równań liniowych w pierścieniach resztowych Opracowano efektywny algorytm rozwiązywania układów równań liniowych w pierścieniach resztowych, który jest równoważny złożonością do

ALGEBRA STOSOWANA. Część I: Ciała skończone (pola Galois) I 1 / 88 Część I Ciała skończone (pola Galois) ZASTOSOWAłem ALGEBRĘ. Część I: Pola skończone (pola Galois) I 2 / 88 Pola resztowe modulo a liczba pierwsza

5 Struktury algebraiczne 6 Definicja Operacja binarna na zbiorze S to odwzorowanie S S na S

/E Elementy teorii liczb i. Rochev 28 sierpnia 2018 r. ............. 1 1.2 Największy wspólny dzielnik ..................................

Liczby całkowite, wymierne i rzeczywiste. Dzielenie z resztą. Podziel każdą z liczb ±23, ±4 a resztę przez każdą z liczb ±5. 2. Znajdź wszystkie dodatnie dzielniki liczby 42. 3. Teraz jest godzina trzecia.

Równania różniczkowe wykład 4 Równania w różniczkach całkowitych. Czynnik całkujący Prowadzący Anna Igorevna Sherstneva 9. Równania w różniczkach całkowitych Równanie d + d = 14 nazywa się równaniem

Podmiot. Podstawy elementarnej teorii liczb i zastosowań. Pierwiastki pierwotne, indeksy. Materiał teoretyczny Niech a, m będą liczbami naturalnymi względnie pierwszymi, a m, to zgodnie z twierdzeniem Eulera, a m)

Katedra Matematyki i Informatyki Podstawy Matematyki Wyższej Zespół dydaktyczno-metodologiczny dla uczniów szkół średnich zawodowych studiujących z wykorzystaniem technologii na odległość Moduł Teoria Granic Opracował: dr hab.

Sekcja 2. Metody numeryczne w kryptografii Zadanie do samodzielnej pracy Badanie algorytmów szeroko stosowanych w kryptografii. Elementy teorii liczb: rozszerzony algorytm Euklidesa;

Plan tematyczny oparty jest na materiale programowym roku akademickiego 206-207 według podręcznika „Algebra 8”, wyd. A.G. Mordkovich, biorąc pod uwagę zalecaną obowiązkową minimalną treść kształcenia Temat

Wykład 2. Własności współczynników dwumianowych. Sumowanie i metoda generowania funkcji (przypadek końcowy). Współczynniki wielomianowe. Szacunki dla współczynników dwumianowych i wielomianowych. Szacunki kwotowe

Rozważmy ten algorytm na przykładzie. Znajdźmy

Pierwszy krok. Liczbę pod pierwiastkiem dzielimy na dwie cyfry (od prawej do lewej):

Drugi krok. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z pierwszej ściany, czyli z liczby 65 otrzymujemy liczbę 8. Pod pierwszą ścianą zapisujemy kwadrat liczby 8 i odejmujemy. Drugą twarz (59) przypisujemy reszcie:

(liczba 159 to pierwsza reszta).

Trzeci krok. Podwajamy znaleziony korzeń i zapisujemy wynik po lewej stronie:

Czwarty krok. W reszcie (159) oddzielamy jedną cyfrę po prawej stronie, po lewej otrzymujemy liczbę dziesiątek (równą 15). Następnie dzielimy 15 przez podwojoną pierwszą cyfrę pierwiastka, czyli przez 16, ponieważ 15 nie jest podzielne przez 16, to w ilorazu otrzymujemy zero, które zapisujemy jako drugą cyfrę pierwiastka. Czyli w ilorazu otrzymaliśmy liczbę 80, którą ponownie podwajamy i burzymy kolejną ścianę

(liczba 15901 to druga reszta).

Piąty krok. Oddzielamy jedną cyfrę od prawej w drugiej reszcie i dzielimy wynikową liczbę 1590 przez 160. Wynik (liczba 9) jest zapisywany jako trzecia cyfra pierwiastka i przypisywany do liczby 160. Wynikowa liczba 1609 jest mnożona przez 9 i znajdujemy następującą resztę (1420):

Kolejne czynności wykonywane są w kolejności wskazanej w algorytmie (korzeń można wyodrębnić z wymaganym stopniem dokładności).

Komentarz. Jeśli wyrażenie pierwiastka jest ułamkiem dziesiętnym, to jego część całkowita jest dzielona na dwie cyfry od prawej do lewej, część ułamkowa jest dzielona na dwie cyfry od lewej do prawej, a pierwiastek jest wyodrębniany zgodnie z określonym algorytmem.

MATERIAŁY DYDAKTYCZNE

1. Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z liczby: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Pozdrawiamy czytelników i odwiedzających naszą stronę!. W tej sekcji przeanalizujemy różne algorytmy, a także ich implementację w Pascalu.

Aby opanować materiał dzisiejszej lekcji, będziesz potrzebować wiedzy i.

Dzisiaj rozważymy trzy algorytmy (z pięciu) do znalezienia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb całkowitych, z których dwa są bezpośrednio związane z nazwą Euklidesa. W następnej sekcji przyjrzymy się dwóm innym.
Największy wspólny dzielnik (nkd) dwóch liczb a i b to największa liczba całkowita dzieląca je obie.
Przykład: gcd(25, 5) = 5; gcd(12, 18) = 6.

Algorytm wyszukiwania

Zacznijmy d- najmniejsza z dwóch liczb. To pierwszy oczywisty kandydat na ich największego wspólnego dzielnika. A potem, dopóki d nie podzieli obu liczb, zmniejszamy je o jeden. Gdy tylko taki podział zostanie zapewniony, zatrzymujemy spadek d.

Var a, b, d: liczba całkowita; rozpocznij pisanie("Wprowadź dwie liczby: "); readln(a, b); Jeśli< b then d:= a + 1 else d:= b + 1; {так как мы используем цикл с постусловием, необходимо минимальное значение увеличить на один, иначе цикл repeat, в силу своих конструктивных особенностей, не учтет это минимальное число и не сделает его кандидатом в НОД. Например, 5 и 25.} repeat d:= d - 1 until (a mod d = 0) and (b mod d = 0); write("NOD = ", d) end.

Przejdźmy do tego programu na przykład z liczbami 30 i 18. Następnie w drodze do odpowiedzi (liczba 6) będzie musiał przejść przez liczby: 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12 , 11, 10, 9, 8, 7 .6.

Algorytm Euklidesa „z odejmowaniem”

Niech a i b będą liczbami całkowitymi, wtedy prawdziwe są następujące stwierdzenia:

Wszystkie wspólne dzielniki pary a i b są również wspólnymi dzielnikami pary a - b, b;
Odwrotnie, wszystkie wspólne dzielniki pary a - b i b są również wspólnymi dzielnikami pary a i b;
gcd(A, B) = gcd(A - B, B) jeśli A > B;
gcd(A, 0) = A.

Dowód:

Jeśli t jest dowolnym wspólnym dzielnikiem a i b, to również dzieli różnicę a - b. Rzeczywiście, z a = t * u i b = t * v wynika, że a - b = t * u - t * v = t * (u - v). Oznacza to, że t jest również wspólnym dzielnikiem a - b i b.
I odwrotnie, jeśli t jest arbitralnym dzielnikiem, wspólnym dzielnikiem a - b i b, to również dzieli ich sumę a - b + b = a. Można to udowodnić analogicznie do poprzedniego. Dlatego t jest również wspólnym dzielnikiem aib.
Dochodzimy do wniosku, że zbiór wspólnych dzielników aib pokrywa się ze zbiorem dzielników a - b i b. W szczególności pokrywają się również największe wspólne dzielniki tych par.
Największa liczba całkowita dzieląca liczbę a to sama liczba a. Liczba 0 jest podzielna przez dowolną liczbę. Stąd największym wspólnym dzielnikiem a i 0 jest a.

Sprawdzony wzór (3) pozwala nam sprowadzić obliczenie największego dzielnika jednej pary do obliczenia największego wspólnego dzielnika innej pary, w której liczby są już mniejsze. Oczywista formuła (4) pozwala nam wiedzieć, kiedy przestać.

Krótko mówiąc, algorytm Euklidesa „z odejmowaniem” byłby następujący. Odejmujemy mniejszą liczbę od większej i zastępujemy większą różnicą, aż jedna z liczb stanie się zero. Wtedy pozostała niezerowa liczba jest największym wspólnym dzielnikiem.

Przykład. Niech a = 82 i b = 60. NWD(82, 60) = NWD(22, 60) = NWD(22, 38) = NWD(22, 16) = NWD(6, 16) = NWD(6, 10) = nwd(6, 4) = nwd(2, 4) = nwd(2, 2) = nwd(2, 0) = 2.

W przedostatnim kroku algorytmu, przed pojawieniem się 0, obie liczby są równe, w przeciwnym razie nie mogłoby powstać 0. Dlatego właśnie w tym momencie wyodrębnimy NWD.

Schemat blokowy algorytmu Euklidesa „z odejmowaniem”

Program

zmienna a, b: liczba całkowita; rozpocznij pisanie("a = "); przeczytajln(a); napisz("b = "); przeczytajln(b); podczas<>b wykonaj jeśli a > b to a:= a - b inaczej b:= b - a; writeln("NOD = ", a); koniec.

Algorytm Euklidesa z „podziałem”

Niech a i b będą liczbami całkowitymi, a r będzie resztą z dzielenia a przez b. Wtedy nwd(a, b) = nwd(b, r).

Ta formuła pozwala również zredukować obliczenie największego wspólnego dzielnika jednej pary liczb do obliczenia największego wspólnego dzielnika innej pary liczb.

Przykład. gcd(82, 60) = gcd(22, 60) = gcd(22, 16) = gcd(6, 16) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(0, 2) = 2 .

Var a, b: liczba całkowita; rozpocznij pisanie("a = "); przeczytajln(a); napisz("b = "); przeczytajln(b); podczas<>0) i (b<>0) wykonaj jeśli a >= b to a:= a mod b inaczej b:= b mod a; napisz(a + b) koniec.

To wszystko na dzisiaj! W następnych lekcjach dowiesz się kilku innych modyfikacji algorytmu Euclid i sposobów znajdowania GCD.